ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤIΚΟ - ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΜΟΝΟΧΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ΣΕ ΕΝΑ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ Ιάσων Γεώργιος Κουτσουρελάκης Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Επιβλέπων: Καθηγητής Κ. Μέμος

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση αυτής της υπερετήσιας προσπάθειας θα ήθελα να αφιερώσω αυτό, το πρώτο, κομμάτι της στις ευχαριστίες μου προς αυτούς που με βοήθησαν και έκαναν εφικτή την προσπάθεια μου. Αρχικώς, οφείλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου και δάσκαλο, κ. Κωνσταντίνο Μέμο για την εμπιστοσύνη, την επίβλεψη και την ουσιαστική καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια αυτής της επίπονης αλλά παράλληλα και εξαιρετικά ενδιαφέρουσας πορείας. Ένα μεγάλο τμήμα της ευγνωμοσύνης μου το οφείλω και στον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Θεοφάνη Καραμπά για τις καίριες και άμεσες παρεμβάσεις του που έκαναν εφικτή, την έστω και επιφανειακή, αυτή αναδίφηση μου στο κόσμο της αριθμητικής προσομοίωσης. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα και τον συνάδελφο και φίλο κ. Μιχάλη Χονδρό για τα στοιχεία που μου παρείχε από την δικιά του εργασία και τις εμπειρίες του στο αντικείμενο της διπλωματική εργασίας μου, καθιστώντας έτσι την δικιά μου δουλειά πιο ολοκληρωμένη. Κλείνοντας δεν θα ήθελα να παραλείψω να ευχαριστήσω τις συναδέλφους και πολύ καλές φίλες κ. Κατωπόδη Δέσποινα και Ουρλόγλου Όλγα οι οποίες αν και δεν είχαν άμεση ανάμειξη στην εργασία αυτή, εντούτοις με την ενθάρρυνση που μου παρείχαν και τα εύστοχα σχόλια τους διευκόλυναν κατά πολύ την δύσκολη αυτή πορεία. Κουτσουρελάκης Ιάσων Γεώργιος Οκτώβριος 2009

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Θεμελιώδεις εξισώσεις και οριακές συνθήκες Αναλυτική περιγραφή μονοδιάστατων κυματισμών Θεωρία γραμμικών κυματισμών απειροστού εύρους Μη γραμμικοί κυματισμοί Θεωρίες Stokes ανώτερης τάξεως Θεωρία ελλειπτικού συνημιτόνου (Cnoidal) Θεωρία μοναχικού κύματος Θεωρία Ροϊκής συνάρτησης (Stream Function Theory) Περιοχή ισχύος των θεωριών Στατιστική ανάλυση και ενεργειακά φάσματα πραγματικών κυματισμών Παράμετροι περιγραφής πραγματικών κυματισμών Φασματική ανάλυση Μαθηματικά ομοιώματα διάδοσης κυματισμών Ομοίωμα διάθλασης περίθλασης ( εξίσωση ήπιας κλίσης) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Εισαγωγή Εξισώσεις Boussinesq Peregrine (1967,1972) Ομοιώματα Boussinesq με βελτιωμένα χαρακτηριστικά διασποράς Εξισώσεις Boussinesq των Madsen et al. (1992) Εξισώσεις Boussinesq του Nwogu (1993) Εξισώσεις Boussinesq Zou (1999)... 51

4 2.4 Εξισώσεις Boussinesq πλήρους μη γραμμικότητας και υψηλής τάξεως διασποράς Πλήρως μη γραμμικές εξισώσεις Gobbi, Kirby& Wei (2000) Εξισώσεις πλήρους μη γραμμικότητας και διασποράς των Madsen et al. (2002 & 2003) Μέθοδος Fourier-Boussinesq για μη γραμμικούς κυματισμούς των Bingham & Agnon (2005) Η θραύση στα ομοιώματα Boussinesq Εισαγωγή στη θραύση των κυματισμών Κριτήρια θραύσεως Εισαγωγή της θραύσης στα μοντέλα Boussinesq Εισαγωγή στην τριβή πυθμένα Οριακές συνθήκες Όρια γένεσης κυματισμού Όρια ακτινοβολίας ή απορροφητικά όρια ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Εισαγωγή Κατάστρωση εξισώσεων Boussinesq Karambas & Memos (2009) Μονοδιάστατη περίπτωση (1DH) Δισδιάστατη περίπτωση Ανάλυση μη γραμμικότητας Αριθμητικό σχήμα επίλυσης Επαλήθευση του ομοιώματος Boussinesq Karambas & Memos (2009)

5 3.5.1 (1DH) Σταθερό βάθος- Γραμμικοί και μη γραμμικοί κυματισμοί, γραμμική σύνθετη κυματική διάδοση (1DH) Μεταβαλλόμενο βάθος- Γραμμική ρήχωση, μη γραμμική κυματική διάδοση πάνω από ύφαλο τραπέζιο και ρήχωση μοναχικού κυματισμού σε κεκλιμένο πυθμένα (2DΗ) Σταθερό βάθος- Πολυκατευθυντικοί σύνθετοι γραμμικοί κυματισμοί (2DΗ) Μεταβαλλόμενο βάθος- Ρήχωση μονοχρωματικών κυματισμών πάνω από ελλειπτικού σχήματος ύφαλο εμπόδιο (2DΗ) Μεταβαλλόμενο βάθος- Μη γραμμική διάθλαση-περίθλαση μονοχρωματικών κυματισμών πάνω από ημικυκλικού σχήματος ύφαλο εμπόδιο (2DΗ) Μεταβαλλόμενο βάθος Λοξώς προσπίπτοντες, μονοκατευθυντικοί σύνθετοι κυματισμοί Οριακές συνθήκες Όρια γένεσης κύματος (Lee & Suh, 1998) Απορροφητικά όρια (Υοοn & Choi, 2001) Προσθήκες στο ομοίωμα Karambas & Memos (2009) Θραύση κυματισμών (Schäffer et al, 1993, Madsen et al. 1997) Τριβή πυθμένα (Memos et al.2005) ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) Εισαγωγή Γενική περιγραφή Βασικές εξισώσεις Θραύση κυματισμών (Madsen et al. 1997) Οριακές συνθήκες Αριθμητικό σχήμα επίλυσης

6 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Εισαγωγή Πείραμα Wallingford (1997) Περιγραφή πειραματικής διάταξης Wallingford (1997) Εφαρμογή ομοιώματος Boussinesq Karambas & Memos (2009) Εφαρμογή MIKE21 BW Αποτελέσματα Σχολιασμός Πείραμα Beji & Battjes (1994) Περιγραφή πειραματικής διάταξης Εφαρμογή ομοιώματος Karambas & Memos (2009) Εφαρμογή MIKE21 BW Παρουσίαση-Σχολιασμός αποτελεσμάτων Πείραμα Beji & Battjes (1992) Περιγραφή πειραματικής διάταξης Εφαρμογή ομοιώματος Karambas & Memos (2009) Εφαρμογή MIKE21 BW Παρουσίαση αποτελεσμάτων Σύγκριση κριτηρίων θραύσης: Επιφανειακός κύλινδρος - Κριτήριο τυρβώδους συνεκτικότητας (Kennedy et al,2000) Σχολιασμός αποτελεσμάτων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Γενικά συμπεράσματα για το μαθηματικό ομοίωμα Karambas & Memos (2009) Συμπεράσματα για το εμπορικό μοντέλο MIKE21 BW Προτάσεις για περαιτέρω εξέλιξη του μοντέλου Karambas & Memos (2009) 241

7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α

8 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε με σκοπό τη διερεύνηση και την περεταίρω βελτίωση ενός νέου μαθηματικού μοντέλου που αφορά στην διάδοση μονοχρωματικών κυματισμών. Η διερεύνηση της αξιοπιστίας του μαθηματικού αυτού ομοιώματος, καθώς και των βελτιώσεων που προστέθηκαν σε αυτό, βασίστηκε στην απόδοση του στην ζώνη θραύσης των κυματισμών, σε περιπτώσεις με πυθμένα είτε ήπια μεταβαλλόμενο ή με την παρουσία ύφαλου αναβαθμού τραπεζοειδούς διατομής. Το υπό μελέτη μονοδιάστατο μοντέλο βασίζεται σε ένα εξελιγμένο ζεύγος εξισώσεων Boussinesq που προτάθηκαν από τους Karambas & Memos (2009). Η προσπάθεια βελτίωσης συνίστατο στην συμπερίληψη του φαινομένου της θραύσης των κυματισμών χρησιμοποιώντας το κριτήριο του επιφανειακού κυλίνδρου των Schäffer al (1993), καθώς και την επίδραση της τριβής του πυθμένα στην εξέλιξη του κυματισμού. Οι εξελιγμένες αυτές εξισώσεις Boussinesq έχουν το πλεονέκτημα έναντι άλλων διατυπώσεων του σχετικά μικρού πλήθους όρων. Μάλιστα η εξίσωση διατήρησης της ορμής αποτελείται από 5 μόνο όρους. Από αυτούς ο όρος της συχνότητας διασποράς εκφράζεται μέσω ενός συνελικτικού ολοκληρώματος όπως προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Tsutsui et al. (1998). H προσομοίωση των διεργασιών της διάχυσης ενέργειας λόγω θραύσης και της τριβής πυθμένα γίνεται με την προσθήκη δύο όρων στην εξίσωση διατήρησης της ορμής. Το υπολογιστικό πεδίο διακριτοποιείται χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές. Το σχήμα ολοκλήρωσης των δύο εξισώσεων, συνέχειας και διατήρησης της ορμής, είναι ρητό και μόνο στην περίπτωση θραυόμενων μακρών κυματισμών χρησιμοποιήθηκε το σχήμα πρόβλεψης - διόρθωσης, 3 ης και 4 ης τάξης αντίστοιχα, Adams - Bashforth Moulton που χρησιμοποιείται συνήθως σε άρρητα σχήματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων. H διάρθρωση της εργασίας είναι η ακόλουθη: Στο 1 ο κεφάλαιο πραγματοποιείται αρχικά μια εισαγωγή στις βασικές θεωρίες περιγραφής των απλών κυματισμών 1 ής τάξης (γραμμική θεωρία Airy/Stokes 1 ης τάξης) καθώς ανωτέρων τάξεων (Stokes 2 ης, 3 ης,5 ης, ελλειπτικού συνημιτόνου κ.α.). Στην συνέχεια παρουσιάζονται οι διαδικασίες ανάλυσης των σύνθετων κυματισμών, αυτών που παρουσιάζονται κατά κύριο λόγο στη φύση. Τέλος παρατίθενται συνοπτικά και οι μέθοδοι προσομοίωσης των μη γραμμικών και χρονικά εξελισσόμενων κυματισμών μέσω μαθηματικών μοντέλων. I

9 Στο 2 ο κεφάλαιο γίνεται μια εκτενής αναφορά στην διαχρονική εξέλιξη των μοντέλων Boussinesq και στις διάφορες προσεγγίσεις που πραγματοποιήθηκαν τα τελευταία χρόνια για την βελτίωση της ακρίβειας και τη διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής τους. Η αναφορά αυτή γίνεται χρησιμοποιώντας τις εργασίες, ορόσημα στον τομέα των μοντέλων Boussinesq, της διεθνούς βιβλιογραφίας από τις αρχικές εργασίες του Peregrine (1967) μέχρι τις πιο πρόσφατες (Madsen-2002 και 2003, Bingham&Agnon-2005). To κεφάλαιο κλείνει με εκτενή αναφορά στα φαινόμενα της θραύσης των κυματισμών και στην τριβή του πυθμένα. Στο 3 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η κατάστρωση των εξισώσεων, τόσο στην μονοδιάστατη (1DH) όσο και στη δισδιάστατη περίπτωση (2DH), του εξελιγμένου μαθηματικού ομοιώματος Boussinesq Karambas & Memos (2009). Στη συνέχεια παρουσιάζεται η επαλήθευση τις επάρκειας του μοντέλου, στη μια και στις δυο διαστάσεις, στην προσομοίωση των φαινομένων της ρήχωσης, της διάθλασης και της περίθλασης για διάφορες περιπτώσεις πυθμένα και κυματισμών (μονοχρωματικών, σύνθετων κ.α.). Κατόπιν γίνεται αναφορά στις οριακές συνθήκες που επιλέχθηκαν για το μοντέλο (γένεση κυματισμών και στοιβάδες απορρόφησης κυματισμών που φεύγουν από το πεδίο), ενώ κλείνοντας παρουσιάζονται οι επιπλέον όροι (θραύση και τριβή πυθμένα) που ενσωματώθηκαν στο αρχικό μοντέλο για την βελτίωση των χαρακτηριστικών του. Στο 4 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο του εμπορικού μοντέλου MIKE21 ΒW. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζονται οι εξισώσεις στις οποίες βασίζεται (Madsen et al. (1997)) καθώς και τα κριτήρια θραύσης και τριβής πυθμένα που χρησιμοποιούνται από αυτό. Κατά αυτόν τον τρόπο προκύπτει μια ενδιαφέρουσα σύγκριση καθώς τα κριτήρια θραύσης ταυτίζονται και στα δύο μοντέλα. Τέλος παρατίθενται οι οριακές συνθήκες και το σχήμα επίλυσης του μοντέλου όπως αυτά παρουσιάζονται στο βιβλίο οδηγιών του. Το 5 ο κεφάλαιο αποτελεί το κυριότερο της παρούσας διπλωματικής γιατί σε αυτό παρουσιάζονται οι πειραματικές διατάξεις των τριών πειραμάτων (Wallingford (1997), Beji & Battjes (1994), Beji & Battjes (1992)) που χρησιμοποιήθηκαν για την σύγκριση των 2 μαθηματικών ομοιωμάτων, οι ρυθμίσεις που έγιναν σε αυτά πριν την εφαρμογή τους καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Κατόπιν γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων χρησιμοποιώντας ως κριτήριο θραύσης τον «επιφανειακό κύλινδρο»( Schäffer et al., 1993) με αυτά που προκύπτουν χρησιμοποιώντας το κριτήριο τυρβώδους συνεκτικότητας (Kennedy et al. 2000) για το μοντέλο Karambas & Memos (2009). Κλείνοντας το κεφάλαιο παρατίθεται ο σχολιασμός των αποτελεσμάτων που προέκυψαν τα οποία είναι πολύ ικανοποιητικά για το βελτιωμένο μοντέλο Karambas & Memos (2009). II

10 Η εργασία αυτή ολοκληρώνεται στο έκτο κεφάλαιο με τα συμπεράσματα για τα μοντέλα Karambas & Memos (2009) και ΜΙΚΕ21 BW καθώς και τις προτάσεις για την περεταίρω εξέλιξη και βελτίωση του υπό εξέταση μοντέλου Karambas & Memos (2009). III

11 EXTENDED ABSTRACT Introduction The design, operation and management of various structures and natural systems in the marine environment (such as breakwaters, harbours, offshore platforms, beaches etc.) are determined to a great extent by waves. It is therefore essential for any engineer who operates in this field to understand and determine efficiently the behavior of this interesting natural phenomenon. The most demanding and therefore less know area of wave dynamics is the surf zone wave kinematics. It is in this area that shoaling, refraction, diffraction and wave breaking take place thus changing the various characteristics of the waves. In the recent years there have been extensive efforts to comprehend the aforementioned processes and develop efficient mathematical theories and numerical models in order to simulate the wave propagation in the surf zone. The scope of this postgraduate thesis is the further development and enhancement of a new one dimensional Boussinesq numerical model, initially proposed by Karambas & Memos (2009). This effort aims to incorporate the phenomena of wave breaking and bottom friction thus extending the model s validity to areas where these phenomena have an important impact on wave propagation and transformation. The new post Boussinesq wave model (Karambas & Memos 2009) The one dimensional model used in the present thesis is based on the post- Boussinesq wave model proposed by Karambas & Memos (2009). The two dependent variables of the model are the surface elevation, denoted here as ζ, and the depth averaged horizontal velocity, denoted here as U. The continuity and momentum equations of the model read: (( d ζ) U) ζ + + = 0 t x IV

12 U U ζ g πξ τ + U + g = ζ x-ξ,t ζ x,t ln tanh dξ + R b ( ) ( ) bx t x x πd(x) x 4d h The first term of the left hand side of the momentum equation is of order Ο(σ 2 ) and accounts for non-hydrostatic pressure effects. The last two terms of the momentum equation account for the energy dissipation due to the effects of wave breaking and bottom friction respectively. Wave breaking is incorporated using the surface roller criterion as proposed initially by Schäffer et al. (1993). The formulation of the bottom friction term is derived from the work of Memos et al. (2005). This model is valid for fully dispersive and weakly nonlinear regular and irregular waves. Wave generation is introduced inside the model domain by specifying the values of ζ along the wave generation line according to the procedure described by Lee & Suh (1998). Waves propagating out of the model domain were adequately absorbed by implementing there wave absorbing boundaries (or sponge layers) based on the methodology presented by Yoon & Choi (2001) For the solution of the aforementioned equations, a fully explicit finite difference scheme developed by Karambas & Memos (2009) was imposed. The choice of small values for the time and space steps introduces numerical instabilities. Especially for the case of long breaking waves these instabilities are significant. Thus a 4 th order Adams Bashforth Moulton predictor-corrector scheme (Wei & Kirby, 1995) was introduced to dissipate more effectively these instabilities. The model results were compared with 3 cases of experimental data, accounting for mildly sloping bottom and the presence of a trapezoidal and impermeable reef breakwater for either breaking or non-breaking regular waves. These results were also compared with the output from MIKE21 BW which is one of the most acknowledged internationally commercial wave models. Structure The present thesis consists of 6 chapters, namely: In the first chapter the well known mathematical theories describing the propagation of linear waves (linear wave theory, Airy/ Stokes 1 st order) or of higher order ( Stokes 2 nd, 3 rd and 5 th V

13 order, Cnoidal and Solitary wave theory etc) are described. Following this, a brief account of the spectral analysis of random waves is presented and concluding an introduction of the two most popular types of phased resolving wave models is given (mild slope equation based models and Boussinesq models). In the second chapter an extensive presentation of the Boussinesq wave modeling is conducted. This presentation consists of the historical evolution of such wave models and the various approaches of numerous researchers to extend their accuracy and application validity. An even more in-depth citation is given for the most prominent of these works, presenting their derivation of the modified equations, the numerical schemes and the boundary conditions. This chapter ends with a generalized description of wave breaking, bottom friction and the inclusion of boundary conditions (wave generation and reflecting or absorbing layers) in Boussinesq models. The 3 rd chapter consists of the presentation of the new post Boussinesq model proposed by Karambas & Memos (2009). More specifically the derivation of equations (for both 1DH and 2DH cases), the numerical scheme, the boundary conditions and the model s verification are the topics that are dealt with in this chapter. Concluding this chapter the derivation of the additional momentum terms, accounting for wave breaking and bottom friction, is cited and thoroughly analyzed. The 4 th chapter is a brief reference to the theoretical background of the MIKE21 BW wave model. More specifically the model s equations, it s boundary conditions, the numerical scheme used and the wave breaking and bottom friction formulations are presented, as described in the model s manual. In the 5 th chapter the ability of the modified model of Karambas & Memos (2009) to predict the free surface displacement is tested against the results of MIKE21 BW and the laboratory measurements for thee different cases (Wallingford-1997, Beji-Battjes1994, Beji- Battjes1992). For each case the laboratory set up is briefly presented along with the settings implemented in the two models before each test. Afterwards the formulation for wave breaking introduced in this thesis (surface roller criterion, Schäffer et al 1993) is checked against a previously checked formulation of the eddy viscosity criterion (Kennedy et al. 2000). In the sixth chapter, the conclusions for both numerical models are presented along with remarks for further improvement of the Karambas & Memos (2009) post Boussinesq model. The most prominent of these are: VI

14 Modification of the present explicit scheme to an implicit with implication of the 4 th order predictor corrector scheme to advance in time. Modification of the algorithm in order to incorporate a self-adaptive-time-varying-grid. Such a grid is defined so that it is finer at the toe of the roller and characterized by grid points which vary according to the roller s dimension. With this numerical strategy a better resolution of the roller region is provided without affecting the computational efficiency of the model. Incorporation of the BCI (Breaking Celerity Index - D'Alessandro & Tomasicchio,2008 ) breaking criterion in order to establish the criterion that suits better to this model. Extension of the model into two dimensions. VII

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 o ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γνώση των κυματικού κλίματος σε μια παράκτια περιοχή είναι κεφαλαιώδους σημασίας για τον σχεδιασμό και την εκτέλεση των τεχνικών έργων που προβλέπονται για την περιοχή αυτή. Ως θαλάσσιος κυματισμός μπορεί να οριστεί η ταλάντωση των υγρών μορίων της θάλασσας γύρω από μια θέση ισορροπίας, στο εσωτερικό ή στην επιφάνεια της. Τα γενεσιουργά αίτια τους στη φύση διαφοροποιούνται σημαντικά. Ο άνεμος, οι διαταραχές στην ατμοσφαιρική πίεση, η βαρυτική επίδραση ουρανίων σωμάτων στη Γη και η σεισμική δραστηριότητα είναι οι κυριότερες αιτίες γενέσεως επιφανειακών ή και εσωτερικών κυματισμών. Οι ανεμογενείς 1

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ κυματισμοί αποτελούν την πλειοψηφία των κυματισμών που απαντώνται στην φύση και έχουν σαν κύριο χαρακτηριστικό τους την σχετικά χαμηλή περίοδο, ήτοι 0,5 έως 30 δευτερόλεπτα. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται μόνον αυτή η κατηγορία κυματισμών. 1.1 Θεμελιώδεις εξισώσεις και οριακές συνθήκες Κατά την ανάπτυξη όλων των θεωριών περιγραφής των κυματισμών γίνονται πάντα οι ακόλουθες παραδοχές: Ρευστό ασυμπίεστο. Ροή αστρόβιλη. Πυθμένας αδιαπέρατος και οριζόντιος. Με βάση τις παραδοχές θεωρείται το δυναμικό των ταχυτήτων Φ(x,y,z,t) το οποίο εκφράζεται στην ακόλουθη εξίσωση συνέχειας: r u= 0 (1.1α) ή Φ = 0 (1.1β) ή Φ Φ Φ Φ 0 x y z = + + = (1.1γ) όπου ο τελεστής βαθμίδας ( / x, / y, / z) στις 3 διευθύνσεις και το διάνυσμα της r = (u,v,w) ταχύτητας u. Οι σχέσεις (1.1β) ή (1.1γ) είναι γνωστές ως εξισώσεις Laplace. Η εξίσωση Laplace ισχύει σε ολόκληρο το πεδίο ροής. 2

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Βάσει της εξίσωσης διατήρησης της ορμής για ένα ιδεατό ρευστό, μόνον υπό την επίδραση των δυνάμεων βαρύτητας, προκύπτουν οι εξισώσεις στο επίπεδο x-z: u u u 1 p + u + w = t x z ρ x (1.2α) w w w 1 p + u + w = g t x z ρ z (1.2β) Οι εξισώσεις (1.2) είναι γνωστές και ως εξισώσεις Euler. Ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις (1.2) και χρησιμοποιώντας την (1.1γ) παίρνουμε την εξίσωση: Φ p + (u + w ) + gζ + = C(t) t 2 ρ (1.3) όπου C(t) η σταθερά Bernoulli. Η εξίσωση (.13) είναι γνωστή και ως εξίσωση Bernoulli. Στον πυθμένα, εφόσον θεωρείται αδιαπέρατος, ισχύει η συνθήκη μηδενικής ροής : w=0 στο z=-h (1.4α) ή dφ = 0 στο z=-h (1.4β) dz Στην ελεύθερη επιφάνεια πρέπει να ικανοποιούνται οι εξής δυο συνθήκες: Η κινηματική οριακή συνθήκη της ελεύθερης επιφάνειας, ήτοι Φ η Φ η = στο z=η(x,t) (1.5α) z t x x 3

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Η δυναμική οριακή συνθήκη της ελεύθερης επιφάνειας, ήτοι 2 2 Φ 1 Φ Φ gη = C(t) t 2 x z στο z=η(x,t) (1.5β). Τέλος τα περιοδικές πλευρικές οριακές συνθήκες ισχύουν τόσο χρονικά όσο και χωρικά: Φ(x,t) = Φ(x + L,t) (1.6α) Φ(x,t) = Φ(x,t + T) (1.6β) 1.2 Αναλυτική περιγραφή μονοδιάστατων κυματισμών. Οι κυματισμοί μπορούν αρχικά να διακριθούν σε δυο κατηγορίες: τους απλούς και τους σύνθετους. Οι κυματισμοί της πρώτης κατηγορίας αναλύονται με τη σειρά τους στους γραμμικούς και τους μη γραμμικούς. Ο όρος γραμμικός αντιπροσωπεύει έναν δισδιάστατο κυματισμό που περιγράφεται από μια αρμονική (ημιτονοειδή) συνάρτηση και εμφανίζει συμμετρία τόσο κατά τον κατακόρυφο(οz) όσο και κατά τον οριζόντιο (Ox) άξονα. Οι μη γραμμικοί κυματισμοί εμφανίζουν ασυμμετρία κατά τις δυο διευθύνσεις ενώ περιγράφονται από μη γραμμικές συναρτήσεις. Αντίθετα οι σύνθετοι μπορεί να είναι τρισδιάστατοι και προέρχονται από επαλληλία πολλών απλών κυματισμών με διαφορετικά χαρακτηριστικά. Είναι πιο περιγραφικοί των θαλάσσιων κυματισμών που απαντώνται στη φύση και η εξαγωγή των διαφόρων υδραυλικών χαρακτηριστικών τους (ύψος και περίοδος κυματισμού, ταχύτητες κ.τ.λ.) γίνεται με εξελιγμένες στατιστικές μεθόδους Θεωρία γραμμικών κυματισμών απειροστού εύρους Η κλασική θεωρία γραμμικών κυματισμών απειροστού εύρους βασίζεται στις παραδοχές μικρών τιμών των λόγων ε=η/d και σ=h/l, αμελητέων δυνάμεων ιξώδους και κατά το δυνατόν αστρόβιλη ροή. Για την εύρεση της συναρτήσεως δυναμικού Φ(x,z,t) γίνεται συνδυασμός των οριακών συνθηκών πυθμένα και ελεύθερης επιφάνειας μαζί με την εξίσωση Laplace ( γ). 4

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Hg cosh(d+ z) Φ = sin(kx ωt) 2 ω coshkd (1.7) H διακύμανση της ελεύθερης επιφάνειας γίνεται σύμφωνα με τη σχέση: H ζ = cos(kx ωt) 2 (1.8) Με αντικατάσταση των σχέσεων (1.7) και (1.8) στην κινηματική συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας (1.6), προκύπτει η ακόλουθη σχέση: 2 ω = g k tanh(kd) (1.9) Η σχέση αυτή είναι γνωστή και ως εξίσωση διασποράς γιατί σε παράγωγες μορφές: gt C = tanh(kd) 2π (1.10) L = 2 gt 2π tanh(kd) (1.11) Υποδηλώνει ότι η ταχύτητα φάσης του κυματισμού είναι αύξουσα συνάρτηση της περιόδου του και κατά συνέπεια ένας κυματισμός που συντίθεται από μια σειρά ημιτονοειδών κυματισμών με διαφορετικές περιόδους κατά τη διάδοσή του, διασπείρεται καθώς οι συνιστώσες με τις μεγαλύτερες περιόδους διαδίδονται ταχύτερα. Από την συνάρτηση του Φ προκύπτουν ως παράγωγα μεγέθη οι συνιστώσες της ταχύτητας των μορίων του νερού u, w, καθώς και των τοπικών επιταχύνσεων α x και α z αντίστοιχα: Φ πh coshk(d+ z) u = = cos(kx ωt) x T sinh(kd) (1.12) u H cosh k(d+ z) t 2 sinh(kd) (1.13) 2 αx = = ω cos(kx ωt) 5

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Φ πh sinhk(d+ z) w = = sin(kx ωt) z T sinh(kd) (1.14) w H sinh k(d+ z) t 2 sinh(kd) (1.15) 2 αz = = ω cos(kx ωt) Εξετάζοντας τις συναρτήσεις της οριζόντιας και κατακόρυφης ταχύτητας, είναι φανερό ότι ευρίσκονται εκτός φάσης κατά 90 ο. Η κατακόρυφη διακύμανση των συνιστωσών της ταχύτητας φαίνεται καλύτερα στο σχήμα 1.2 Ξεκινώντας από τον πυθμένα όπου k(d+ζ)=0 οπότε οι υπερβολικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί που εμπεριέχουν την μεταβλητή του ύψους z, παρουσιάζουν ελάχιστα τόσο στις u όσο και στις w συνιστώσες της ταχύτητας. Καθώς το βάθος μειώνεται, τα μεγέθη των ταχυτήτων αυξάνονται. Στο σχήμα 1.2 φαίνονται επίσης και οι κατακόρυφες και οι οριζόντιες ταχύτητες για τέσσερεις φασικές θέσεις. Όσον αφορά τις επιταχύνσεις των υγρών σωματιδίων, αυτές είναι τέτοιες ώστε οι μέγιστες κατακόρυφες επιταχύνσεις εμφανίζονται όταν οι οριζόντιες ταχύτητες παρουσιάζουν τα μέγιστα και αντίστοιχα για τις οριζόντιες επιταχύνσεις. Σχ.1.1 Ταχύτητες υγρών σωματιδίων σε κυματισμό απειροστού εύρους [27] Από τις παραπάνω σχέσεις γίνεται φανερό ότι το εύρος των συνιστωσών της ταχύτητας μειώνεται εκθετικά με το βάθος z. Μάλιστα, για βάθη μεγαλύτερα του L/2 τα u(z) και w(z) είναι αμελητέα. Ως γνωστόν kd kd e + e coshk(d + z) =. Με επέκταση κατά Taylor γύρω από 2 6

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ το 0 η συνάρτηση e z γίνεται ( kd) 2 kd e 1 kd... ( kd) 2 kd e 1 kd... = και αντίστοιχα 2 = + +.Οπότε για μικρές τιμές του kd kd kd cosh(kd) = [(1 + kd +...) (1 kd...)] kd cosh(kd) Για σχετικά μεγάλες τιμές kd έχουμε kd=ekd /2 ενώ το e -kd γίνεται σχετικά μικρό. Στο ακόλουθο Σχ.1.3 φαίνονται οι υπερβολικές συναρτήσεις μαζί με τα τις 3 ασυμπτωτικές συναρτήσεις f 1 =kd, f 2 =1.00, f 3 =e kd /2. Όπως φαίνεται το μέγιστο σφάλμα μεταξύ των ασυμπτωτικών συναρτήσεων και των πραγματικών τιμών δεν υπερβαίνει το 5%. Επίσης στον πίνακα 1.1. παρουσιάζεται και το εύρος των συναρτήσεων «βαθέων», «ενδιάμεσων» και «ρηχών» νερών που παρουσιάζονται Σχ.1.2. Σχετικά βάθη και ασύμπτωτες με υπερβολικές συναρτήσεις.[27] 7

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΧΕΤΙΚΟ ΒΑΘΟΣ ΝΕΡΟΥ d/l d 1 ΡΗΧΑ ΝΕΡΑ L 20 ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ ΝΕΡΑ 1 d 1 < < 20 L 2 ΒΑΘΙΑ ΝΕΡΑ d 1 L 2 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ L C = = T gd L gt 2πd C = = tanh T 2π L L C = CO = = T gt 2π ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ L = T gd = CT L 2 gt 2πd = tanh 2π L 2 gt L = LO = = COT 2π TAXYTHTA ΟΜΑΔΑΣ 1 4πd L Cg = C = gd Cg = nc = 1 C 2 + sinh(4πd L) C g 1 gt = C = 2 4π ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ H g u= cosθ 2 d HgTcosh 2π(z + d) / L u = cosθ 2 L cosh(2πd/l) πh 2πz u = exp cosθ T L ΚΑΘΕΤΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ πh z HgTsinh 2π(z + d) / L w = (1 + )sinθ w = sinθ T d 2 L cosh(2πd/l) Πιν. 1.1 Χαρακτηριστικά γραμμικών κυματισμών πh 2πz u = exp sinθ T L Κλείνοντας θα πρέπει να αναφερθεί ότι σύμφωνα με την θεωρία γραμμικών κυματισμών απειροστού εύρους οι τροχιές των υγρών σωματιδίων είναι κλειστές, με περίοδο επαναφοράς στην αρχική θέση την περίοδο του κυματισμού Τ. Κατά συνέπεια γίνεται αποδεκτό ότι δεν υφίσταται μετακίνηση μάζας λόγω κυματικής κινήσεως. Στην περιοχή βαθιών νερών οι τροχιές είναι κυκλικές και η ακτίνα τους μειώνεται εκθετικά με το βάθος. Στις περιοχές με d/l<0.5 οι τροχιές είναι ελλειπτικές. Οι τροχιές των υγρών σωματιδίων για όλες τις περιπτώσεις φαίνονται στο ακόλουθο Σχ.1.4 8

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σx.1.3. Σχηματοποίηση των τροχιών των υγρών σωματιδίων για ρηχά, ενδιάμεσα και βαθιά νερά [27]

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Μη γραμμικοί κυματισμοί Στις περιπτώσεις που το πλάτος του κυματισμού είναι ένα μη αμελητέο ποσοστό του βάθους του νερού κρίνεται αναγκαίο να συμπεριληφθούν και μη γραμμικοί όροι από την δυναμική και κινηματική συνθήκη της ελεύθερης επιφάνειας. Για τον σκοπό αυτό έχουν αναπτυχθεί διάφορες μη γραμμικές θεωρίες που περιγράφουν καλύτερα το μη συμμετρικό προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας που εμφανίζει ασυμμετρία τόσο κατά τον κατακόρυφο όσο και κατά τον οριζόντιο άξονα. Οι πιο διαδεδομένες είναι οι θεωρίες Stokes 2 ης, 3 ης, 5 ης τάξης, η θεωρία μοναχικού κύματος, θεωρία ελλειπτικού συνημιτόνου (Cnoidal) και η πιο πρόσφατη είναι η θεωρία Ροϊκής Συνάρτησης (Stream Function) Θεωρίες Stokes ανώτερης τάξεως Η πιο διαδεδομένη μέθοδος για την εύρεση μίας προσεγγιστικής λύσης ενός μη γραμμικού προβλήματος είναι η μέθοδος των μικρών διαταραχών (perturbation method). Κατά τη μέθοδο αυτή, κάθε εξαρτημένη μεταβλητή εκφράζεται σαν μία πεπερασμένη σειρά δυνάμεων (δυναμοσειρά) μίας μικρής αδιάστατης παραμέτρου ε κυματισμών, σχετίζεται με το ύψος και το μήκος κύματος. = kα, η οποία, στην περίπτωση των Η αντικατάσταση στις μη γραμμικές συνθήκες της ελεύθερης επιφάνειας και ο διαχωρισμός των όρων ίδιας τάξεως σε σειρά προσδιοριστέους συντελεστές των όρων 1 ης, 2 ης, 3 ης κ.ο.κ. τάξεως. α = H δίνει την δυνατότητα επιλύσεως για τους 2 Θεωρία Stokes 2 ης τάξεως H συνάρτηση δυναμικού για δυναμοσειρά αναπτυγμένη έως την δεύτερη τάξη είναι: Φ = εφ + ε Φ (1.16)

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ή ισοδύναμα 2 Hg coshk(d+ z) 3πH cosh2k(d+ z) Φ = sin(kx ωt) + sin 2(kx ωt) 4 2 ω coshkd 16 T sinh kd (1.17) Όπου Φ 1 είναι η συνάρτηση δυναμικού από θεωρία 1 ης τάξης και Φ 2 από δεύτερης τάξης αντίστοιχα. Η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας δίνεται από την ακόλουθη σχέση: ζ = ζ + ε ζ (1.18) ή ισοδύναμα 2 H πh coshkd ζ = cos(kx ωt) + (cos 2kd+ 2) cos 2(kx ωt) (1.19) 3 2 8L sinh kd Στο ακόλουθο σχήμα 1.5 φαίνονται οι διαφορές των θεωριών 1 ης και 2 ης τάξεως. Οι κορυφές γίνονται οξύτερες και οι κοιλίες ρηχαίνουν. Επίσης το κύμα αποκτά ασυμμετρία ως προς την Μέση Στάθμη Κυματισμών (ΜΣΚ). Σχ.1.4 Σύγκριση θεωριών Stokes 1 ης και 2 ης τάξης [65] 11

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Η σχέση διασποράς που συσχετίζει την ω με τον k παραμένει ίδια με την αντίστοιχη της πρώτης τάξης, είναι δηλαδή: 2 ω = gk tanh(kd) (1.20) Οι συνιστώσες της ταχύτητας ενός ρευστού στοιχείου, σε οποιαδήποτε θέση x,z της μάζας του ρευστού, είναι: Φ πh coshk(d+ z) u = = cos(kx ωt) x T sinhkd π H cosh2k(d+ z) + 4 cos 2(kx ωt) 4 TL sinh kd (1.21) Φ πh sinhk(d+ z) w = = sin(kx ωt) z T sinhkd π H sinh2k(d+ z) + 4 sin2(kx ωt) 4 TL sinh kd (1.22) Είναι φανερό ότι η παρουσία των όρων δεύτερης τάξης αυξάνει την ταχύτητα, αλλά με τρόπο που διαφέρει κατά μήκος ενός κυματισμού λόγω της παρουσίας του όρου sin(kx ωt). Έτσι η οριζόντια ταχύτητα εμφανίζεται αυξημένη κάτω από τις κορυφές αλλά μειωμένη κάτω από τις κοιλίες σε σύγκριση με την γραμμική θεωρία. Θεωρία Stokes 3 ης τάξης Για την θεωρία 3 ης τάξεως η συνάρτηση δυναμικού, με θ=(kx-ωt), θα ισούται: cl 1 Φ = F cosh2k(d+ z) sinθ+ F cosh2k(d+ z) sin2θ π F 3 cosh3k(d + z) sin3θ 3 όπου: F ( ) πb 1 2πb cosh kd cosh kd = L sinhkd L 8sinh kd 1 2 (1.23) (1.24) 12

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ F 3 2πb 1 = 4 L sinh kd (1.25) F 3 3 2πb 11 2cosh2kd = 64 L sinh kd 3 7 (1.26) Η παράμετρος μήκους b συνδέεται με το ύψος του κύματος Η σύμφωνα με τη σχέση: π 3 H = 2b+ 2 b f L 2 3 όπου η παράμετρος f 3 δίνεται από τη σχέση: f cosh kd = 16 sinh kd 3 6 (1.27) (1.28) Η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας δίνεται από τη σχέση: πb π b ζ = bcosθ + f2 cosθ+ f3 cos3θ 2 L L (1.29) όπου η παράμετρος f 2 δίνεται από τη σχέση: f 2+ cosh2kd = coshkd 2sinh kd 2 3 (1.30) Η σχέση διασποράς της θεωρίας τρίτης τάξης είναι διαφορετική από την αντίστοιχη της πρώτης και δεύτερης τάξης και γράφεται: ( cosh 2 2kd) 2 2 g 2πb ω = tanh(kd) k L 16 sinh kd (1.31) Τέλος οι συνιστώσες u και w της ταχύτητας δίνονται από τις σχέσεις: u = F1 cosh( k(d+ z) ) cosθ+ F2 cosh( 2k(d+ z) ) cos2θ c + F cosh 3k(d+ z) cos 3θ 3 ( ) (1.32) 13

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ w = F 1 sinh ( k(d + z) ) sinθ + F 2 sinh ( 2k(d + z) ) sin2 θ c + F sinh 3k(d+ z) sin3θ 3 ( ) (1.33) Θεωρία Stokes 5 ης τάξης Η πιο πρόσφατη θεωρία Stokes είναι η Stokes 5 ης (ή Stokes V) που προτείνεται από τον Fenton, η οποία είναι πιο ακριβής από τις υπάρχουσες της ίδιας τάξης. Σαν αδιάστατη παράμετρος λαμβάνεται η καμπυλότητα του κύματος ε=kh/2, και του αδιάστατου βάθους kd, όπου k=2π/l ο αριθμός κύματος. Η λύση, σε ένα σύστημα αναφοράς κινούμενο με την ταχύτητα προώθησης c, δίνεται από (Fenton, 1985): 12 5 i g Φ(x,z) = ux + C0 ε A 3 ij cosh jkz sin jkx k i1 = j1 = i ( ) (1.34) Όπου u η μέση οριζόντια ταχύτητα του ρευστού, η οποία δίνεται από τη σχέση: 12 k u = C + ε C + ε C g (1.35) Η εξίσωση του προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας είναι πολυπλοκότερη κατά πολύ των θεωριών χαμηλότερης τάξης και δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2 kζ(x) = kd + ε cos kx + ε B22 cos2kx ( ) + ε B coskx cos 3kx + ε (B cos 2kx + B cos 4kx) ε (B53 + B 55) cos kx + B53 cos 3kx + B55 cos 5kx + O(ε ) ή συντομότερα (1.36) 5 i i kζ(x,z) kd Bijε cos jkx i= 1 j= 1 = + (1.37) 14

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Η μέση ειδική παροχή κάτω από τον κυματισμό δίνεται από τη σχέση: 12 3 k Q = C0kd+ ε ( Ckd 2 + D2) + ε ( Ckd 4 + D4) + O( ) = g 12 3 k u + ε D + ε D + O ε g ή εν συντομία ( ) (1.38) ( ) k i Q ud = Dε i g i= 1 (1.39) Οι όροι A ij, B ij, C i, D i, είναι αδιάστατοι συντελεστές του αδιάστατου βάθους kd (Fenton 1985). Η ταχύτητα προώθησης c δίνεται από: Q c = u+ ce = + cs (1.40) d Όπου c E είναι η μέση ως προς το χρόνο ταχύτητα του ρευστού και c S η μέση ως προς το βάθος ταχύτητα μεταφοράς μάζας. H u είναι ίση με την c σε ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο η ταχύτητα του ρεύματος είναι μηδέν, και άρα για τους γραμμικούς κυματισμούς u =Q/d. Η θεωρία αυτή έχει επιβεβαιωθεί σαν θεωρητικά ορθή, για ακρίβεια 5 ης τάξης της δυναμικής οριακής συνθήκης στην επιφάνεια (Fenton 1985), ενώ ταυτόχρονα βρίσκεται σε ικανοποιητική συμφωνία με πειραματικά δεδομένα, με την παραδοχή c S =0 (Huang, 1990, Sobey, 1990). Στα βαθειά νερά η παράμετρος ε παίρνει σχετικά μικρές τιμές, με μέγιστη τιμή την 0.142π, όπου το σφάλμα της θεωρίας είναι ασήμαντο. Αντίθετα στα ρηχότερα νερά ουσιαστικό ρόλο παίζει η αδιάστατη παράμετρος Ursell: U 2 = 1 HL 8π d (1.41) r 2 3 η οποία παίρνει τιμές μεγαλύτερες της μονάδας για μακρούς κυματισμούς και συνεπώς η λύση δεν είναι αποδεκτή. Το πεδίο ισχύος της θεωρίας Stokes V είναι η περιοχή όπου η παράμετρος Ursell U r <0.5. Για μακρύτερους κυματισμούς θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η Θεωρία Ροϊκής Συνάρτησης που 15

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ περιγράφεται σε επόμενο κεφάλαιο. Επιπροσθέτως ακόμα και εντός του πεδίου εφαρμογής της θεωρίας Stokes V, στην περίπτωση μεγάλων κυματισμών η λύση παρουσιάζει στην κοιλιά του κυματισμού δευτερεύουσες κορυφές. Η λύση αυτή είναι ορθή από μαθηματική άποψη όχι όμως και από φυσική. Οι Karambas and Koutitas (1997) πρότειναν μία προσεγγιστική μέθοδο που διορθώνει την μη αποδεκτή αυτή λύση Θεωρία ελλειπτικού συνημιτόνου (Cnoidal) Η διαμόρφωση μακρών κυματισμών, πεπερασμένου πλάτους, στα ρηχά και σταθερής μορφής με εξισορρόπηση τάσεως για θραύση (από τους μη γραμμικούς όρους) και της διασποράς πλάτους ερευνήθηκε αρχικά από τους Boussinesq (1877) και Korteweg και DeVries (1895). Οι κυματισμοί αυτοί έχουν τη μοναδική ιδιότητα να μεταπίπτουν σε μοναχικούς κυματισμούς (κεφ ) στη μια ακραία τους περίπτωση και στην άλλη σε προφίλ ελεύθερης επιφάνειας που εκφράζεται με συνημιτονοειδείς όρους. Το γεγονός αυτό τους δίνει την ικανότητα να γεφυρώνουν το χάσμα μεταξύ της γραμμικής θεωρίας και της θεωρίας μοναχικών κυματισμών. Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας εκφράζεται σε όρους ενός Ιακωβιανού ελλειπτικού ολοκληρώματος, cn(u), εξ ου και η διεθνής ονομασία τους, Cnoidal. Οι κυματισμοί Cnoidal έχουν μελετηθεί εκτενώς από διάφορους ερευνητές (Keulegan and Patterson 1940, Laitone et al. 1963, Keller 1948) που ανέπτυξαν πρώτης και τρίτης τάξεως προσεγγίσεις στη συγκεκριμένη θεωρία. Το 1979 ο Fenton ανέπτυξε μια γενική σχέση για τη λύση Korteweg και DeVries κάθε τάξης. Οι 5 ης και η 9 ης τάξης λύσεις είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες στην πράξη. Οι κυματισμοί αυτού του τύπου χαρακτηρίζονται από πολύ οξύτερες κορυφές και πεπλατυσμένες κοιλίες που απέχουν σχετικά λίγο από την ΜΣΗ. Η κωδικοποιημένη θεωρία (Wiegel, 1960) κυματισμών έχει εφαρμογή για λόγο d < 1 και τιμή της παραμέτρου Ursell L 8 U r >25. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας δίνεται από τον τύπο: x t ( ) L T (1.42) 2 ζ = ζmin + H cn 2K k,k 16

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ όπου ζ= απόσταση του πυθμένα μέχρι την κοιλία του κυματισμού H= ύψος της κοιλίας από την κορυφή του κυματισμού cn= η συνάρτηση ελλειπτικού συνημιτόνου K(k)=το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους k= όρισμα του ελλειπτικού ολοκληρώματος κυμαινόμενο από 0 έως 1 Η απόσταση ζmin της κοιλίας από την ΜΣΗ υπολογίζεται από τη σχέση: 1 E ζmin = H 1+ 1 m K (1.43) όπου Κ,Ε είναι τα πλήρη ελλειπτικά ολοκληρώματα πρώτου και δευτέρου είδους αντίστοιχα και ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: K = π/2 dφ (1.44) msin φ π/2 2 E = 1 msin φdφ (1.45) 0 Ο όρος cn 2K ( k) x t 2 L T έχει ένα μέγιστο εύρος ίσο με τη μονάδα. Ο συντελεστής k όπως προαναφέρθηκε παίρνει τιμές από 0 έως και 1. Όταν k=0, δηλαδή ο λόγος ύψους κύματος προς βάθος νερού γίνεται πάρα πολύ μικρός, το κυματικό προφίλ μεταπίπτει στο ημιτονοειδές όπως περιγράφει η γραμμική θεωρία, ενώ όταν k=1, δηλαδή το μήκος κύματος γίνεται τόσο μεγάλο που πλησιάζει το, το κυματικό προφίλ συμπίπτει με αυτό του μοναχικού κυματισμού (κεφ ). Το μήκος κύματος δίνεται από την εξίσωση: 3 16d L = k K k 3H ( ) (1.46) Και η περίοδος: 17

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ T g 16y d kk ( k) d 3H ζ H 1 Ek 1 + ζ k 2 K k t = ( ) ( ) 2 (1.47) Στα ακόλουθα σχήματα 1.5, 1.6, 1.7 δίνονται η σχέση του k με τα στοιχεία Η, T και d του κύματος, η σχέση μεταξύ k και L και η μορφή της ελεύθερης επιφάνειας ζ x Η L για διάφορες τιμές του k. Είναι χαρακτηριστική η κατακόρυφη ασυμμετρία του κύματος για αύξουσες τιμές του k (ελάττωση του βάθους του νερού). Σχ. 1.5 Σχέση k με τα στοιχεία T και d (Cnoidal wave theory) [65] 18

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σχ. 1.6 Σχέση k με τα στοιχεία H και d (Cnoidal wave theory) [65] Σχ. 1.7 Μορφή της ελεύθερης επιφάνειας για διάφορες τιμές του k (Cnoidal wave theory) [65] 19

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Θεωρία μοναχικού κύματος Η Θεωρία μοναχικού κυματισμού διερευνήθηκε αρχικά από τον Russell (1844) και τον Boussinesq (1872) (Dean & Dalrymple, 1991) ενώ ο Munk την χρησιμοποίησε (1949) για την περιγραφή κυματισμών στη ζώνη θραύσης. Η μόνιμη πλευρική μετατόπιση ενός στερεού ορίου κατά ένα πεπερασμένο διάστημα προκαλεί ύβωση της ελεύθερης επιφάνειας και τη διαμόρφωση ενός μοναχικού κύματος με όλα τα σημεία της ελεύθερης επιφάνειας του πάνω από την Μ.Σ.Η. και θεωρητικά άπειρο μήκος. Σx. 1.8 Προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας και τροχιά υγρού μορίου σε μοναχικό κύμα. [65] Στη φύση σπάνια εμφανίζονται μοναχικά κύματα και συνήθως ακολουθούνται από συρμούς κυματισμών μεγαλύτερης συχνότητας που ακολουθούν τον κύριο παλμό (λόγω διασποράς). Η πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι μακροί κυματισμοί (π.χ. Tsunami) που δημιουργούνται από μετατοπίσεις μεγάλων υδάτινων μαζών, οφειλόμενοι σε φαινόμενα όπως σεισμούς ή κατολισθήσεις, να συμπεριφέρονται σαν μοναχικοί. Θεωρητικά τόσο το μήκος ενός μοναχικού κύματος όσο και η περίοδος του τείνουν στο άπειρο. Συνεπώς χρησιμοποιείται μόνο μία παράμετρος, η Η/d, για να προσδιορίσει το κύμα. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα (κεφ ) η μορφή του μοναχικού 20

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ κυματισμού ταυτίζεται με αυτή του κυματισμού ελλειπτικού συνημιτόνου όταν k=1 K(k)=K(1)= και συνεπώς το ελλειπτικό συνημίτονο μετατρέπεται στην υπερβολική εξίσωση. Η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας ορίζεται από τον τύπο: 3H = 4 d ( ) 2 ζ Hsech x Ct 3 (1.48) όπου C η ταχύτητα φάσεως, που δίνεται από τη σχέση: C = g( H+ d) (1.49) Εργαστηριακά πειράματα έχουν δείξει ότι η απλή αυτή έκφραση δίνει πολύ καλά αποτελέσματα στον υπολογισμό της ταχύτητας του μοναχικού κυματισμού. Οι εξισώσεις της οριζόντιας και κατακόρυφης ταχύτητας των υγρών σωματιδίων, σύμφωνα με τη μελέτη του Munk το 1949, είναι αντίστοιχα: 1 + cos(m y / d) cosh(m x / d) u = C N cos(m y /d) + cosh(m x /d) και sin(m y / d) sinh(m x / d) w = C N cos(m y / d) + cosh(m x / d) 2 2 (1.50) (1.51) Οι συναρτήσεις Μ και Ν είναι συναρτήσεις του λόγου H/d και απεικονίζονται στο Σχ

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σχ. 1.9 Συντελεστές Μ και Ν συναρτήσει του λόγου H/d για τον υπολογισμό της οριζόντιας και της κάθετης ταχύτητας των υγρών στοιχείων ενός μοναχικού κυματισμού. H μορφή του μοναχικού κύματος είναι ασταθής και προκαλείται θραύση του όταν το βάθος είναι μικρότερο από την κρίσιμη τιμή: H d = 0,78 ή = 1,2 d H max min (1.53) Στο ακόλουθο σχήμα 1.10 φαίνονται όλα τα προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας όπως προκύπτουν από τις θεωρίες που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια. Η γραμμική θεωρία (Airy) εκφράζεται από ένα συμμετρικό και στις δύο διευθύνσεις, ημιτονοειδές προφίλ. Στις ανώτερες τάξεις της θεωρίας Stokes οι κορυφές των κυματισμών γίνονται πιο απότομες και οι κοιλίες πιο πλατιές από το ημιτονοειδές προφίλ εξαιτίας των υπέρ-αρμονικών στοιχείων που επαλληλίζονται με την αρχική (ημιτονοειδή) συχνότητα. Στους κυματισμούς ελλειπτικού συνημιτόνου (Cnoidal) το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας έχει ακόμα πιο απότομες κορυφές και ευρείς επίπεδες κοιλίες. Τέλος στο μοναχικό κυματισμό δεν υπάρχει κοιλία, η ελεύθερη επιφάνεια είναι ολόκληρη πάνω από τη μέση στάθμη ύδατος και το μήκος του τείνει στο άπειρο. 22

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σχ Προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας για τις θεωρίες διάδοσης κυματισμών.[16] Θεωρία Ροϊκής συνάρτησης (Stream Function Theory) Λόγω της μεγάλης δυσκολίας για την ανάπτυξη θεωριών Stokes ανώτερης τάξης, προέκυψε η ανάγκη για την ανάπτυξη μιας θεωρίας που θα μπορούσε εύκολα, με την χρήση Η/Υ, να αναπτυχθεί σε οποιαδήποτε τάξη. Η πρώτη θεωρία αυτού του είδους αναπτύχθηκε από τον Chappelear (1961) και έκανε χρήση της συνάρτησης δυναμικού της ταχύτητας (κεφ.1.1). Ο Dean (1965) πρότεινε τη χρήση της ροϊκής συνάρτησης Ψ για να αναπτύξει την θεωρία Ροϊκής συνάρτησης, που ήταν υπολογιστικά απλούστερη αυτής του Chappelear. H μέθοδος που προτάθηκε από τον Cokelet (1977) είναι ακόμα πιο ακριβής και φαίνεται ότι δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα για κυματισμούς μέχρι λίγο πριν τη έναρξη της θραύσης. Σε ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς, με ταχύτητα c, ώστε να είναι σταθερός ο κυματισμός (μόνιμη ροή), η συνάρτηση Ψ μπορεί να προσεγγιστεί: 23

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ( + ζ ) Hg sinh k(d Ψ(x,z) = Cz + coskx 2ω cosh(kd) (1.54) Σύμφωνα με τις οριακές συνθήκες, κάνοντας χρήση της συνάρτησης Ψ αντί της Φ (κεφ.1.1) προκύπτει: 2 Ψ = 0 (1.55) Ψ Ψ gζ Q(= B θετική σταθερά) = x z (1.56) Ψ Ψ ζ = x z x Ψ = 0 στο z=-d x (ισχύει στο z=ζ(x) ) (1.57) (1.58) Σε αναλογία με τις θεωρίες Stokes ανώτερης τάξεως, η Ν ιοστης τάξεως ροϊκήs συνάρτηση θα ισούται με: N Ψ(x,z) = cz + a sinjkz cos jkx j= 1 j (1.59) Η (1.59) ικανοποιεί ακριβώς την εξίσωση Laplace (1.55) και την οριακή συνθήκη πυθμένα (1.58), όχι όμως και την δυναμική συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια (1.56). Μετά την αντικατάσταση της (1.59) στην (1.56), με ταυτόχρονη διακριτοποίηση της ελεύθερης επιφάνειας από x=0 έως x=l/2, το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό της Ψ για z=ζ, του Q B και των συντελεστών a 1,a 2,,a N. Η κινηματική συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια είναι της μορφής: ( ( )) Ψ x,ζ x = Q στο z=ζ (1.60) Η ελεύθερη επιφάνεια διακριτοποιείται σε Μ+1 ίσα μέρη, από την κορυφή ως την κοιλία και έτσι οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται: ( ) Ψ x,ζ m m = Q για m=0, 1, 2,..M (1.61) 24

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 1 Ψ Ψ 2 x z 2 2 ( x m,ζ m) + ( x m,ζ m) + gζ m = QΒ (1.62) H=ζ 0 -ζ m (1.63) Q c = u+ c = + c E S (1.64) d d = ζ + ζ + ζ M m m M 2 m= 1 2 (1.65) Όπου L = ( ) και ζ ζ( x ) xm m 1 2M m = (1.66) m Οι σχέσεις (1.60)-(1.66) αποτελούν ένα μη-γραμμικό σύστημα από 2Μ+1 εξισώσεις Μ+Ν+6 αγνώστους: με k, u, c, Q και Q B M+1 τιμές της στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας ζ και Ν συντελεστές a 1,a 2,,a N Για Μ=Ν το σύστημα έχει μοναδικά καθορισμένη λύση, ενώ για Μ>Ν είναι υπέρ-ορισμένο. Οι Reinecker και Fenton (1981) προτείνουν για Μ=Ν η επίλυση του μη γραμμικού συστήματος των εξισώσεων να γίνεται με την προσεγγιστική μέθοδο Newton. Η πρώτη προσέγγιση είναι συνήθως το γραμμικό ημιτονοειδές κύμα. Οι Dean και Dalrymple (1984) χρησιμοποίησαν την επαναληπτική μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, παρόμοια με εκείνη των Chappelear (1961) και Dean (1965) που πρώτοι ασχολήθηκαν με τη μέθοδο. Η εκλογή της τάξης της θεωρίας εξαρτάται από την περιοχή εφαρμογής της. Μικρές τιμές του Ν (Ν=5) μπορεί να δημιουργήσουν στα ρηχά νερά μη ρεαλιστικά μικρού μήκους παρασιτικά κύματα, τα οποία όμως δεν εμφανίζονται για μεγαλύτερες τιμές (Ν=18). Η αριθμητική λύση, αφού γίνει και εδώ όπως και στη θεωρία Stokes 5 ης τάξης η παραδοχή ότι c S =0, δίνει τις τιμές των ζ 0, ζ 1,, ζ Μ, των a 1,a 2,,a N και των k, u, c, Q και R, από τις οποίες υπολογίζονται οι μεταβλητές F(jk), ζ(x), u(x,z) και w(x,z). 25

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Περιοχή ισχύος των θεωριών. Για να είναι εφαρμόσιμες και χρηστικές οι παραπάνω θεωρίες και οι εξισώσεις τους, και να δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα, θα πρέπει να εξεταστεί το πεδίο ισχύος τους. Οι θεωρίες Stokes πολύ υψηλής τάξης θα μπορούσαν να αποτελέσουν ένα σημείο σύγκρισης. Γενικότερα πάντως οι μη γραμμικές θεωρίες περιγράφουν αποτελεσματικότερα μεταφορές μάζας, τη θραύση των κυματισμών, τη ρήχωση, την ανάκλαση και άλλα μη γραμμικά χαρακτηριστικά. Για τον λόγο αυτό η χρήση τους προτείνεται σε περιπτώσεις όπου τα φαινόμενα αυτά είναι εντονότερα. Οι γραμμικοί κυματισμοί όπως και οι πεπερασμένου εύρους μπορούν να περιγραφούν προσδιορίζοντας δυο αδιάστατες παραμέτρους, το σχετικό βάθος νερού d/l και την κλίση του κύματος H/L. Το σχετικό βάθος d/l νερού προσδιορίζει εάν οι κυματισμοί είναι πλήρους ή μερικής διασποράς και πότε η ταχύτητα, το μήκος κύματος, και το ύψος κυματισμού επηρεάζονται από το βάθος του νερού. Η κλίση του κύματος H/L είναι ένα όρος που προσδιορίζει την εξάρτηση του κυματισμού από το ύψος του και καθορίζει εάν οι παραδοχές της γραμμικής θεωρίας ισχύουν. Ένας τρίτος όρος που χρησιμοποιείται στη θέση των προηγούμενων δυο είναι ο λόγος τους, δηλαδή: H/L H = d/l d Και ονομάζεται σχετικό ύψος κύματος. Μεγάλες τιμές της κλίσης και του σχετικού ύψους κύματος δηλώνουν ότι η παραδοχή μικρού εύρους κυματισμών δεν είναι κατάλληλη. Μια τέταρτη αδιάστατη παράμετρος που χρησιμοποιείται συχνά για την επιλογή θεωρίας διάδοσης κυματισμού, με γνωστό μήκος και ύψος κύματος σε ένα ορισμένο βάθος d, είναι ο αριθμός Ursell ή U R. Ορίζεται από το λόγο: U 2 2 L H LH = d = d d R 3 (1.67) 26

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Μεγάλες τιμές του συντελεστή U R προκύπτουν για πεπερασμένου εύρους, μακρούς κυματισμούς σε ρηχά νερά δηλώνοντας τα μη-γραμμικά χαρακτηριστικά θα είναι έντονα στην προσέγγιση των κυματισμών. Οι επεκτάσεις της θεωρίας του Stokes ισχύουν όταν: H/d «(kd) 2 για kd<1 και H/L «1 (Peregrine 1972). Αυτές οι απαιτήσεις ορίζουν έναν αριθμό Ursell, U R <79. Και έτσι αυτή η συνθήκη περιορίζει τα ύψη κυματισμών στα ρηχά νερά και περιορίζει την εφαρμογή των θεωριών Stokes (πρέπει d/l>1/8 ή kd>0.78). Συγκεκριμένο παράδειγμα είναι η μέγιστη τιμή του ύψους κύματος, που μπορεί να περιγραφεί από τη θεωρία Stokes 2 ης τάξης, και είναι ίση με το μισό του βάθους του νερού (Fenton 1985). Το πεδίο ισχύος της θεωρίας Cnoidal d/l<1/8 και ο συντελεστής U R >20. Αρχικά ο Dean (1968,1974) παρουσίασε μια ανάλυση, στην οποία όριζε τις περιοχές εφαρμογής κάθε θεωρίας, χρησιμοποιώντας τους όρους H/T 2 και d/t 2 (το T 2 είναι ανάλογο του μήκους κύματος L). Αργότερα ο Le Méhauté (1976) παρουσίασε μια ελαφρώς διαφορετική ανάλυση για να προσδιορίσει τα όρια καταλληλότητας της κάθε θεωρίας διάδοσης κυματισμών περιλαμβάνοντας ακόμα και τις θεωρίες Stokes 3 ης και 4 ης τάξης. Ο διαχωρισμός απεικονίζεται στο Σχ Η 4 ης τάξης θεωρία Stokes αντικαθίσταται με την δημοφιλέστερη της 5 ης τάξης, αφού η τελευταία χρησιμοποιείται συχνότερα σε πολλές εφαρμογές. Οι Dean και Le Méhauté προτείνουν και οι δυο τη θεωρία Cnoidal για κυματισμούς σε ρηχά νερά μικρής κλίσης, και τη θεωρία Stokes υψηλότερης τάξης για μεγάλης κλίσης κυματισμούς διαδιδόμενους στα βαθιά νερά. Η γραμμική θεωρία προτείνεται για μικρής κλίσης κύματα και χαμηλές τιμές δείκτη Ursell. Στα «ενδιάμεσα» και «βαθιά» νερά η γραμμική θεωρία είναι επαρκής, ωστόσο και άλλες θεωρίες συμπεριφέρονται ικανοποιητικά. Η θεωρία της ροϊκής συνάρτησης ή και η παρόμοια θεωρία του Fenton(1988) είναι κατάλληλες για μεγάλη περιοχή των κυματικών παραμέτρων. Για γνωστές τιμές των H, d και T το Σχ.1.11 χρησιμοποιείται ευρύτατα για την επιλογή της κατάλληλης θεωρίας. 27

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σχ.1.11 Περιοχή ισχύος των διαφόρων κυματικών θεωριών. [65] Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις οριακές τιμές του ύψους και της κλίσης κυματισμών σε διάφορα βάθη νερού, για να καθοριστεί η καταλληλότητα κάθε θεωρίας που χρησιμοποιεί την ανάλυση Stokes. Αυτό επιτυγχάνεται συγκρίνοντας το μέγεθος κάθε διαδοχικού όρου στην ανάλυση Stokes, όπου κάθε όρος πρέπει να είναι μικρότερος από αυτόν που προηγείται. Για παράδειγμα εάν ο δεύτερος όρος είναι μικρότερος από το 1% του πρώτου όρου της θεωρίας Stokes 2 ης τάξης, η οριακή κλίση δίνεται από τον τύπο: 3 H 1 sinh kd 2 L 80 coshkd(3 + 2 sinh kd) (1.68) 28

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Εάν ο όρος της τρίτης τάξης είναι μικρότερος του 1% του αντίστοιχου δεύτερης τάξης, η οριακή κλίση γίνεται: 3 H 1 sinh kd L cosh kd (1.69) Ομοίως, χρησιμοποιώντας την 5 ης τάξης ανάλυση, οι ασύμπτωτες στη 3 η τάξης θεωρία είναι H 0.1 L < και H 3 (kd) 2 < για βαθιά και ρηχά νερά αντίστοιχα. Αυτό επιτρέπει την επέκταση d 4 0 του εύρους της θεωρίας Stokes, προσθέτοντας μικρές διαδοχικές περιοχές στο πεδίο της γραμμικής θεωρίας όπως φαίνεται στο Σχ. 1.11, μέχρι να προσεγγιστεί το όριο θραύσης. 29

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 1.3 Στατιστική ανάλυση και ενεργειακά φάσματα πραγματικών κυματισμών Στα προηγούμενα κεφάλαια οι κυματισμοί αντιμετωπίστηκαν σαν μονοχρωματικοί, αποτελούνταν δηλαδή από κυματισμό μιας μόνο συχνότητας και είχαν προφίλ επιφανείας περίπου ημιτονοειδές. Στην πραγματικότητα όμως η επιφάνεια της θάλασσας, ή άλλη μεγάλη υδάτινη επιφάνεια, αποτελείται από μια μεγάλη ποικιλία κυματισμών διαφορετικών διευθύνσεων, συχνοτήτων, φάσεων και ευρών (Σχ. 1.12). Συνεπώς είναι κεφαλαιώδους σημασίας η έκφραση ή και αναπαράσταση της πραγματικής θαλάσσιας επιφάνειας με στατιστικούς όρους. Το γεγονός αυτό κάνει πιο περίπλοκη τη προσέγγιση τους αλλά περιγράφει ρεαλιστικότερα την κατάσταση στη φύση, αφού μονοχρωματικοί κυματισμοί με σταθερές ιδιότητες είναι πολύ σπάνιοι στην πραγματικότητα και παράγονται κυρίως σε εργαστηριακές διατάξεις. Σχ.1.12 Στιγμιότυπο πραγματικής θαλάσσιας επιφάνειας Στην πράξη η καταγραφή των θαλάσσιων συνθηκών γίνεται σημειακά με ειδικές διατάξεις. Μερικές από αυτές είναι ειδικές μεταλλικές ράβδοι που σταθεροποιούνται κοντά στην ακτή και από τη διαβροχή τους μετρούνται οι κυματισμοί με χρήση ηλεκτρικού κυκλώματος. Άλλη διάταξη είναι ο κυματογράφος πιέσεως ο οποίος σταθεροποιείται σε βάθος d και μέσω αισθητήρων πίεσης καταγράφει τις υψομετρικές διαφορές στην επιφάνεια. Σύγχρονη μέθοδος είναι και οι πλωτήρες (σημαδούρες) οι οποίες αγκυροβολούνται σε κάποιο σταθερό σημείο και καταγράφουν τις τρισδιάστατες επιταχύνσεις λόγω κυματισμών παρέχοντας έτσι μια πολύ καλή καταγραφή ακόμη και των κατευθύνσεων τους. Τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται και 30

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ καταγραφές από ειδικές διατάξεις πάνω σε δορυφόρους (altimeters). Οι μεταβολές του ύψους της ελεύθερης επιφάνειας καταγράφονται ως χρονοσειρές. Μια τέτοια χρονοσειρά φαίνεται ενδεικτικά στο ακόλουθο σχήμα Σχ.1.13 Μετρήσεις μεταβολής της ελεύθερης επιφάνειας με την πάροδο του χρόνου [16] Έχουν επικρατήσει δύο διαφορετικές κατευθύνσεις στην αντιμετώπιση των πραγματικών κυματισμών, οι φασματικές μέθοδοι και η ανάλυση κατά ομάδες κυματισμών (wave trains). Η φασματική προσέγγιση βασίζεται στον μετασχηματισμό Fourier της θαλάσσιας επιφάνειας. Ελλείψει κατάλληλων μετρήσεων (με καταγραφή και των κατευθύνσεων) για την πλήρη εκμετάλλευση των δυνατοτήτων της φασματικής μεθόδου χρησιμοποιείται πολλές φορές η μέθοδος ανάλυσης κατά ομάδες. Στη μέθοδο αυτή χρησιμοποιούνται σημειακές μετρήσεις των διαταραχών της επιφάνειας οι οποίες αντιμετωπίζονται ως κυματισμοί και αναλύονται στατιστικά. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι δεν παρέχει πληροφορίες για την κατεύθυνση των κυματισμών μιας και η καταγραφές μπορεί να προέρχονται από δύο ή και περισσότερα κύματα μικρότερου ύψους που κινούνται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Το μειονέκτημα της φασματικής μεθόδου είναι η γραμμικοποιημένη αντιμετώπιση των κυμάτων γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στην κακή απόδοση των μη γραμμικών χαρακτηριστικών τους Παράμετροι περιγραφής πραγματικών κυματισμών Σε ένα τμήμα χρονοσειράς ζ(t) (Σχ.1.14) καταγεγραμμένων κυματισμών όπως του σχήματος αποδεικνύονται τα εξής: 31

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Οι ανά χρονικές αποστάσεις Δt τιμές αποτελούν στοχαστικό μέγεθος που ακολουθεί την κατανομή Gauss. H πιθανότητα υπερβάσεως μιας τιμής Η σύμφωνα με την κατανομή Rayleigh είναι: 2 H P( H) = exp Hrms όπου η μέση τετραγωνική τιμή εύρους H rms ισούται με : (1.70) H rms 2 Hi = (1.71) N Σχ.1.14 Χαρακτηριστικά μεγέθη τυχαίου κυματισμού [16] Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (πιθανότητα τιμής Η μεταξύ Η-δΗ και Η+δΗ) δίνεται από την σχέση: 2 2H H p(h) = exp 2 H H rms rms Η μορφή των p, P φαίνεται στα ακόλουθο σχήμα 1.15: (1.72) 32

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σχ.1.15 Γραφική παράσταση συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας και της αθροιστικής κατανομής αυτής. [16] Η συχνότερα χρησιμοποιούμενη παράμετρος είναι το χαρακτηριστικό κύμα H s της διαταραχής, και έχει επικρατήσει σαν το αντιπροσωπευτικό ύψος του συνόλου των κυμάτων. Εμπειρικά το H s ορίζεται σαν το ύψος του κύματος, που μπορεί να εκτιμηθεί οπτικά από ένα παρατηρητή σαν το αντιπροσωπευτικό της διαταραχής. Το H s υπολογίζεται από το μέσο ύψος των υψηλότερων 33% (n=3) των κυμάτων ή από το μέσο ύψος των κυμάτων των υψηλότερων από τα υπόλοιπα 67% του συνόλου. Σχετίζεται με το H rms : H 33=H s= 2 Hrms (1.73) Μια καταγραφή κυματικού επεισοδίου που έχει Ν ύψη κύματος και διάρκεια Τ L δίνει μέση περίοδο κυματισμού εξίσωση: max rms T T N L m =, ενώ το μέγιστο πιθανό ύψος της καταγραφής δίνεται από την H = H = lnn (1.74) Εκτός από το H max χρησιμοποιούνται και άλλα χαρακτηριστικά ύψη κύματος με την γενικότερη ονομασία Η 1/n, δηλαδή το μέσο ύψος των υψηλότερων (100/n) κυμάτων στην καταγραφή. 33

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Φασματική ανάλυση Στην πράξη χρησιμοποιείται το ενεργειακό φάσμα, ή η κατανομή της φασματικής πυκνότητας της ενέργειας και υπολογίζεται με την ανάλυση Fourier (FFT) σε μια καταγραφή ζ(t) της ελεύθερης επιφάνειας. Τα δύο πιο διαδεδομένα ενεργειακά φάσματα είναι τα εξής: Pierson- Moskowitz. Αφορά τις πλήρως ανεπτυγμένες θάλασσες, συνήθως δηλαδή πολύ εκτεταμένες θαλάσσιες εκτάσεις. Το φάσμα σε όρους συχνότητας f και ταχύτητας ανέμου U 19,5 (σε ύψος 19,5 μ) δίνεται από τη σχέση: E(f) exp 0.74 (2π) f g 2πU19.5f = 4 5 g (1.75) JONSWAP. Εκτεταμένες μετρήσεις στη Βόρεια Θάλασσα έδειξαν ότι για ανάπτυξη κυματισμών με περιορισμό μήκους (συνηθέστερη περίπτωση για κλειστές παράκτιες λεκάνες) το ενεργειακό φάσμα δίνεται από τον τύπο: 4 2 ag f E(f) = exp 1.25 γ 4 5 (2π) f f p 2 f 1 f p exp 2 2σ (1.76) όπου α ο συντελεστής Phillips : 0,076 a = F g U ,22 fp η μέγιστη συχνότητα μέγιστης φασματικής πυκνότητας : (1.77) f = 3.5g p 0,33 U F g U (1.78) και γ ο παράγων εξέλιξης με μέση τιμή 3,3 και σ η παράμετρος εύρους φάσματος με σ=0,07 για f<fp και σ=0,09 για f>fp. 34

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Σύγκριση μεταξύ των φασμάτων P-M και JONSWAP φαίνεται στο σχήμα Σχ.1.16 Σύγκριση ενεργειακών φασμάτων P-M και JONSWAP [16] 1.4 Μαθηματικά ομοιώματα διάδοσης κυματισμών Οι αναλυτικές μέθοδοι περιγραφής των κυματισμών που παρουσιάστηκαν σε προηγούμενο κεφάλαιο (κεφ.1.2) περιέχουν πάντα κάποιες απλοποιητικές παραδοχές όσον αφορά τη γεωμετρία του πεδίου (σταθερό βάθος, διδιάστατο φαινόμενο ) που δυστυχώς δεν συναντώνται πουθενά στη φύση. Επιπλέον κάποιες πολύ σημαντικές διεργασίες που αφορούν κυρίως τα νερά μικρότερου βάθους, όπως η ρήχωση, η διάθλαση, περίθλαση, η ανάκλαση και η θραύση αντιμετωπίζονται χωριστά και επί μέρους, συνήθως δε με γραφικό τρόπο και σπανιότερα με αναλυτικό. Στην πραγματικότητα όμως το πεδίο διάδοσης των κυματισμών είναι τρισδιάστατο και οι παραπάνω διεργασίες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους οπότε κρίνεται επιτακτική η ανάγκη ύπαρξης ομοιωμάτων (μοντέλων) είτε φυσικών (εργαστηριακών) ή μαθηματικών για την καλύτερη προσομοίωση του συνολικού φαινομένου. Τα τελευταία λόγω της πολυπλοκότητάς τους λύνονται πάντα με την χρήση Η/Υ. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τα μη ολοκληρωμένα ως προς την περίοδο του κύματος (non phase averaged) και τα ολοκληρωμένα ως προς την περίοδο του κύματος (phase averaged). Στα πρώτα 35

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ περιλαμβάνεται ως ανεξάρτητη μεταβλητή και ο χρόνος. Η κυματική διαταραχή «εισάγεται» στο πεδίο με τη μορφή οριακής συνθήκης ταλαντώσεως της επιφάνειας και προωθείται προς το όρια όπου υπάρχουν κατασκευές που περιγράφονται από τις κατάλληλες οριακές συνθήκες(π.χ. όριο ανακλάσεως, απορροφητικό όριο κτλ).στα μαθηματικά ομοιώματα της δεύτερης κατηγορίας γίνεται η παραδοχή της ολοκλήρωσης ως προς την περίοδο του κύματος Τ με αποτέλεσμα να μένει το ύψος και μήκος του κύματος Η και L αντίστοιχα ως άγνωστοι. Στα επόμενα θα παρουσιαστούν συνοπτικά τα ομοιώματα διάθλασης-περίθλασης που βασίζονται στην επίλυση της εξίσωση ήπιας κλίσης (mild slope equation) και των μοντέλων τύπου Boussinesq τα οποία θα αναλυθούν διεξοδικά στο κεφάλαιο Ομοίωμα διάθλασης περίθλασης ( εξίσωση ήπιας κλίσης) Τα ομοιώματα αυτού του τύπου χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση της διαδόσεως με δυνατότητα ταυτόχρονης περιγραφής της διαθλάσεως, της περιθλάσεως, της ανακλάσεως αλλά και της θραύσεως. Εφαρμόζονται για περιπτώσεις μονοχρωματικών κυματισμών αφού στηρίζονται στην γραμμική θεωρία ενώ η περιγραφή τυχαίων (random ) κυματισμών γίνεται με την επαλληλία πολλών μονοχρωματικών κυματισμών με διαφορετικές συχνότητες και διευθύνσεις. Στο σημείο αυτό έγκειται ένα βασικό μειονέκτημα τους, η αδυναμία τους να περιγράψουν τις μη γραμμικές αλληλεπιδράσεις. Η εξέλιξη τους βασίστηκε στις ερευνητικές εργασίες των Tanimoto (1972), Berkhoff (1972) και Booij (1981) εκ των οποίων και προέκυψε η εξίσωση ήπιας κλίσης. Αποτελεί υπερβολική εξίσωση δευτέρας τάξεως : 2 Cg ζ ζ ζ cc cc 2 g g = + c t x x y y (1.75) όπου C η φασική ταχύτητα και Cg η ταχύτητα ομάδας. Ο Copeland (1985) εξέφρασε την (1.75) σαν ζεύγος υπερβολικών εξισώσεων 1 ης τάξης: C ζ + = c t g Q 0 Q + Cc g ζ = 0 t (1.76) (1.77) 36

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ όπου Q συμβολίζεται το γινόμενο της ολοκληρωμένης στο βάθος οριζόντιας ταχύτητας. Με τις εξισώσεις (1.76), (1.77) καθίσταται δυνατή και η περιγραφή των ανακλώμενων κυματισμών. 37

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 38

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 2.1 Εισαγωγή Η υδροδυναμική μελέτη της παράκτιας ζώνης και ιδιαίτερα τις υδροδυναμικές διεργασίες που συμβαίνουν στη ζώνη από το γραμμή έναρξης της θραύσης μέχρι την περιοχή αναρρίχησης των κυματισμών στις ακτές είναι αναμφίβολα ένας τομέας με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τον άνθρωπο. Το ενδιαφέρον αυτό δεν είναι μόνο καθαρά επιστημονικό αλλά και πρακτικό αφού τα φαινόμενα αυτά επηρεάζουν σημαντικά τον σχεδιασμό των θαλάσσιων κατασκευών, την εξέλιξη της ακτογραμμής και κατ επέκταση την ανθρώπινη δραστηριότητα στην παράκτια ζώνη. Τα φαινόμενα που παρουσιάζονται στην παράκτια ζώνη επηρεάζονται κυρίως από την θραύση, η οποία αποτελεί τον κυριότερο μηχανισμό στη φύση για την διάχυση της κυματικής ενέργειας. Επιπροσθέτως διάφοροι άλλοι παράγοντες όπως η διάθλαση η ρήχωση, η τριβή στον πυθμένα κ.α. αλλά και η έκταση της ζώνης θραύσης παίζουν σημαντικό ρόλο στη διαμόρφωση των κυματισμών καθώς προωθούνται από τα βαθιά στα ρηχά. Ένας από τους πιο αποδοτικούς τρόπους προσομοίωσης των φαινομένων αυτών έχει αποδειχτεί τα τελευταία χρόνια ότι είναι και τα μαθηματικά ομοιώματα τύπου Boussinesq, που βασίζονται δηλαδή στην επίλυση των διαφορικών εξισώσεων τύπου Boussinesq. Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την ολοκλήρωση των εξισώσεων Euler στο βάθος της ροής με την παραδοχή σχετικά μακρών κυματισμών. Η ανάλυση των διασπειρόμενων κυματισμών χαρακτηρίζεται από δυο σημαντικές παραμέτρους κλίμακας. Η πρώτη είναι ε=h/d (ύψος κύματος προς τοπικό βάθος) και εκφράζει τη μη γραμμικότητα, ενώ η δεύτερη η σ 2 =(d/l) 2 (τοπικό βάθος προς ένα χαρακτηριστικό μήκος, συνήθως το μήκος κύματος) και εκφράζει την διασπορά συχνοτήτων. Από υπολογιστικής απόψεως τα ομοιώματα Boussinesq θεωρούνται αποδοτικότερα σε σύγκριση με τις πιο περίπλοκες εξισώσεις Navier-Stokes και πιο ακριβή από τις απλούστερες εξισώσεις ρηχών νερών. Τα πλεονεκτήματα αυτά οδήγησαν τα τελευταία χρόνια σε αρκετές επιστημονικές προσπάθειες για την υπέρβαση των αρχικών μειονεκτημάτων των μοντέλων Boussinesq. Η προσπάθεια αυτή επικεντρώθηκε στην επέκταση του πεδίου εφαρμογής τους σε βαθύτερα νερά (Witting, 1984; Madsen et al., 1991; Nwogu, 1993; Gobbi and Kirby, 1999) βελτιώνοντας τα χαρακτηριστικά διασποράς τους. Εκτενής έρευνα έγινε επίσης στην υπέρβαση της αρχικής υπόθεσης των εξισώσεων Boussinesq για ήπια μη γραμμικότητα. Αυτό 39

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ σημαίνει ότι τα στοιχεία μη γραμμικότητας ισορροπούν ακριβώς με τα στοιχεία διάχυσης ενέργειας με σκοπό την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών υψηλής μη γραμμικότητας των κυματισμών καθώς πλησιάζουν στη θραύση και για την περαιτέρω εκμετάλλευση των βελτιωμένων χαρακτηριστικών διασποράς σε υψηλότερες συχνότητες όπως προτείνουν οι Wei et al. (1995). Ένα σημαντικό μειονέκτημα των μοντέλων αυτών είναι ο τρόπος με τον οποίον αναπαριστούν την διάχυση της ενέργειας λόγω θραύσης. 2.2 Εξισώσεις Boussinesq Peregrine (1967,1972) Η αρχική μορφή των εξισώσεων Boussinesq στις οποίες βασίζονται τα σημερινά μαθηματικά ομοιώματα, δόθηκε αρχικά από τον Peregrine (1967,1972). Οι εξισώσεις διατήρησης της μάζας και της ορμής προέκυψαν από τις εξισώσεις κίνησης Euler για ιδεατό ρευστό: u u + ( u ) u + w + p = 0 (2.1) t z w w p + ( u )w+ w + + 1= 0 (2.2) t z z και της εξίσωσης συνέχειας: w u + = 0 (2.3) z Βασιζόμενος στην παραδοχή ότι οι παράμετροι ε και σ 2 είναι μικρές (Ο(ε)<<1 και Ο(σ 2 )<<1) και της ίδιας τάξης (ε=ο(σ 2 )) προκύπτουν οι: ( ) ζ t + d + ζ u = 0 (2.4) 2 u d d t + ( u ) u + g ζ = ( d t) ( t) 2 u 6 u (2.5) 40

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Όπου u=(u,v) είναι το διάνυσμα της μέσης στο βάθος οριζόντιας ταχύτητας, d=d(x,y) είναι το μεταβαλλόμενο βάθος μετρούμενο από τη στάθμη ηρεμίας και =, x y οριζόντιος τελεστής βαθμίδας. είναι ο Η εξισώσεις αυτές εκφράζουν την εξίσωση συνέχειας (διατήρησης μάζας) και ορμής αντίστοιχα. Οι παραπάνω εξισώσεις σε μια διάσταση (1D) και στην περίπτωση ακτής κλίσης α : U U ζ 2 d U 2 U + U + = α + α d 2 t x x 3 x t x t ζ + ( ad + ζ) U = 0 t x (2.6) (2.7) Στα βαθιά νερά η παράμετρος σ 2 γίνεται σημαντική και συνεπώς οι εξισώσεις Boussinesq δεν έχουν ισχύ. Στην περίπτωση γραμμικών κυματισμών (Ο(ε)=0) η σχέση διασποράς που προκύπτει από τις παραπάνω εξισώσεις είναι: ω = gdk kd 3 ( ) 2 (2.8) Η εξίσωση (2.8) συμπίπτει με την ακριβή αναλυτική έκφραση της γραμμικής θεωρίας (Airy) (ω 2 =gktanhkd) για μικρές τιμές του kd. Μεγαλύτερες τιμές του kd δίνουν σημαντικές διαφοροποιήσεις από την ακριβή γραμμική λύση. Για τον λόγο αυτό οι κλασσικές εξισώσεις Boussinesq περιορίζονται στα ρηχά νερά, με ένα ποσοστό λάθους ταχύτητας φάσης περίπου 5%, για d/lo=0,22 (Lo, μήκος κύματος στα βαθιά νερά), το οποίο θεωρείται και το όριο «βαθιών» νερών για τις εξισώσεις αυτές. (Μadsen & Sørensen. 1991). 2.3 Ομοιώματα Boussinesq με βελτιωμένα χαρακτηριστικά διασποράς Το βασικότερο μειονέκτημα των αρχικών εξισώσεων Peregrine ήταν η δυνατότητα περιγραφής κυματισμών με ικανοποιητική ακρίβεια μόνο στα ρηχά νερά. Αρχικά ο Witting 41

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ (1984) προχώρησε στην εισαγωγή πρόσθετων όρων στην εξίσωση ορμής, ανάλογων μίας παραμέτρου διασποράς και στην ταύτιση των σχέσεων διασποράς που προκύπτουν από τις προτεινόμενες εξισώσεις με το ανάπτυγμα [2/2] Padé της σχέσης διασποράς της γραμμικής θεωρίας (η σχέση διασποράς (2.8) αντιστοιχεί σε ανάπτυγμα Padé [0/2] της σχέσης γραμμικής διασποράς (Schäffer & Madsen 1995)), που έχει τη μορφή : ω = gdk kd ( kd) 5 ( ) 2 2 (2.9) Η παράμετρος διασποράς υπεισέρχεται στις σχέσεις διασποράς με τη μορφή πολλαπλασιαστικού συντελεστή των όρων kd. Η παράμετρος αυτή συναντάται σε πολλές μεταγενέστερες εργασίες. Από τις εργασίες που εμπίπτουν σε αυτήν τη κατηγορία αυτή των Schäffer & Madsen (1995) έχει γενικότερο χαρακτήρα, αφού όπως διαπιστώνεται για διάφορους συνδυασμούς των παραμέτρων (Β 1,Β 2 ) προκύπτουν οι σχέσεις διασποράς άλλων εργασιών. Μάλιστα, συνδυάζοντας τις προσεγγίσεις των Madsen & Sørensen (1992) και Nwogu (1993) κατέληξαν σε νέες εξισώσεις με χαρακτηριστικά διασποράς που αντιστοιχούν σε ανάπτυγμα [4,4] Padé της σχέσης γραμμικής διασποράς. Οι παράμετροι που υπεισέρχονται στην περίπτωση αυτή είναι πέντε (α, β 1, β 2, γ 1, γ 2 κατά τον συμβολισμό σε αυτήν την εργασία). Συνοψίζοντας οι σημαντικότερες εργασίες που ανήκουν στην κατηγορία των μοντέλων με βελτιωμένα χαρακτηριστικά διασποράς είναι οι ακόλουθες (με χρονολογική σειρά): 1) Madsen et al. (1991) 2) Madsen & Sørensen (1992) 3) Nwogu (1993) 4) Beji & Battjes (1994) 5) Beji & Nadaoka (1996) 6) Madsen & Schäffer (1998) 7) Karambas (1999) 8) Zou (1999) Στην ενότητα αυτή θα γίνει εκτενέστερη αναφορά στις εργασίες Madsen et al. (1992), Nwogu (1993) και Κarambas (1999). 42

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Εξισώσεις Boussinesq των Madsen et al. (1992) Στην εργασία τους αυτή οι Madsen et al. είχαν ως σκοπό την εξέλιξη ενός νέου ζεύγους εξισώσεων Boussinesq με σκοπό την επέκταση του πεδίου εφαρμογής τους σε βαθύτερα νερά βασιζόμενοι σε προηγούμενες προσπάθειες. Αρχικά πρότειναν μια γενική μορφή της σχέσης της φασικής ταχύτητας με βελτιωμένα χαρακτηριστικά διασποράς: c 1+ Bk h = gh B + k h 3 (2.10) όπου το Β παίρνει διάφορες τιμές ανάλογα την έκφραση της κατακόρυφης κατανομής της οριζόντιας ταχύτητας. Οι τιμές αυτές είναι οι ακόλουθες 1/6 κάνοντας χρήση της Ub 1/3 κάνοντας χρήση της Us B = 0 κάνοντας χρήση της U 1/15 κάνοντας προσέγγιση Pade όπου U είναι η ταχύτητα πυθμένα (Svedsen 1974, Witting 1984), b U s είναι η ταχύτητα της επιφάνειας (Svedsen 1974) και U η μέση καθ ύψος ταχύτητα. Τα καλύτερα αποτελέσματα δίνονται για την τιμή Β=1/15 (Witting 1984) όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα 2.1: 43

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ.2.1 Ποσοστό σφάλματος για την φασική ταχύτητα για διάφορες μορφές εξισώσεων Boussinesq σε σύγκριση με θεωρία Stokes 1 ης τάξης. Είναι φανερό ότι με την μορφή που προτάθηκε από τον Witting (1984) (Β=1/15) τα σφάλματα ταχύτητας φάσης περιορίζονται στο 5% και το όριο εφαρμογής της μεθόδου αυτής μετακινείται στο d/l o =0,50. Αντίστοιχη διερεύνηση έγινε και για την ταχύτητα ομάδος. Η γενική μορφή της σχέσης γι αυτήν την παράμετρο είναι: ( B + ) ( ) Bk d 1/3 k d Cg = c 1+ 1 Bk 2 d 2 1 B 1/3 Bk 2 d όπου η παράμετρος Β παίρνει τις ίδιες τιμές που αναφέρθηκαν προηγούμενα. Η σύγκριση με την θεωρία Stokes 1 ης τάξης (100(C g -C gstokes )/C gstokes ) φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα 2.2: (2.11) 44

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ.2.2. Σύγκριση σφάλματος σε σχέση με τη γραμμική θεωρία για διάφορες τιμές του Β Περιορίζοντας το ποσοστό λάθους στο 6% τα όρια εφαρμογής για τις όλες τιμές του Β είναι τα ακόλουθα: d/l 0 0,055 (για B = 1/3) 0,12 (για B = 1/6) = 0,13 (για B = 0) 0,32 (για B = 1/15) Οι νέες εξισώσεις αναπτύχθηκαν έχοντας ως σκοπό τα εξής: Οι εξισώσεις να εκφραστούν σε δύο οριζόντιες διαστάσεις βάσει των όρων της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας και της μέσης στο βάθος ολοκληρωμένης ταχύτητας. Τα γραμμικά χαρακτηριστικά διασποράς θα πρέπει να ακολουθούν τη σχέση (2.10) Ξεκινώντας από τις κλασικές εξισώσεις Boussinesq από Abbott et al. (1984) : St + Px + Qy = 0 (2.12α) P gds h P + Q = 0 2 P PQ 1 2 t x xxt xyt d d 3 x y ( ) (2.12β) 45

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Q gds h Q + P = 0 2 Q PQ 1 2 t y yyt xyt d d y x 3 ( ) (2.12γ) Όπου d συμβολίζεται στην περίπτωση αυτή το συνολικό βάθος νερού, h το βάθος στη Μ.Σ.Η., S η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, και P,Q οι ταχύτητες ολοκληρωμένες στο βάθος στη διεύθυνση x και y αντίστοιχα. Η σχέση της γραμμικής διασποράς των εξισώσεων αυτών είναι η (2.10) θέτοντας Β=0. Χρησιμοποιώντας την διαδεδομένη μέθοδο της απλοποίησης των όρων υψηλότερης τάξης, εισάγοντας τις εξισώσεις μακρών κυματισμών σαν πρώτη προσέγγιση (Mei 1983) προκύπτει για ακτή ήπιας κλίσης, αμελώντας τις χωρικές παραγώγους του βάθους στη Μ.Σ.Η., σαν πρώτη προσέγγιση: ( P Q xxt xyt ) gh ( S S xxx xyy ) + + (2.13α) ( Q P yyt xyt ) gh ( S S yyy yxx ) + + (2.13β) Έτσι μια διαφορετική μορφή των εξισώσεων (2.12), α-γ, επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις (2.13α) και (2.13β). Στα ρηχά νερά αυτή η διαφορά δεν θα επέφερε αλλαγές στην αριθμητική λύση, αλλά στα βαθιά νερά τα χαρακτηριστικά διασποράς είναι πολύ πιο περιορισμένα, αντίστοιχα της χρήσης της τιμής του συντελεστή Β=-1/3 στη σχέση (2.10). Στην εργασία αυτή αντιθέτως ελήφθησαν υπ όψιν οι εξής ποσότητες: ( ) ε = Bh P + Q + gh S + S 2 1 xxt xyt xxx xyy ( ) ε = Bh Q + P + gh S + S 2 2 yyt xyt yyy yxx (2.14) (2.15) Σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.13α) και (2.13β) αυτοί οι όροι είναι ασήμαντοι στα ρηχά νερά και συνεπώς μπορούν να προστεθούν στις προηγούμενες εξισώσεις Boussinesq χωρίς να επηρεάσουν την ακρίβεια του μοντέλου. Οπότε οι νέες εξισώσεις είναι της μορφής: St + Px + Qy = 0 (2.16α) 46

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ P gds B + h P + Q Bgh S + S = 0 2 P PQ t x xxt xyt xxx xyy d d 3 x y ( ) ( ) (2.16β) Q gds B + h Q + P Bgh S + S = 0 2 Q PQ t y yyt xyt yyy yxx d d y x 3 ( ) ( ) (2.16γ) Αυτές οι εξισώσεις ικανοποιούν τις απαιτήσεις που αναφέρθηκαν στην αρχή της παρούσας ενότητας( που αφορούν τις απαιτήσεις για την φασική ταχύτητα και την ταχύτητα ομάδας). Ο συντελεστής Β δεν περιορίζεται στις προαναφερθείσες τιμές και στο διάγραμμα (σχ. 2.3) που ακολουθεί φαίνεται ότι επιλέγοντας για παράδειγμα την τιμή Β=1/21 οδηγούμαστε σε ποσοστό σφάλματος ταχύτητας φάσης λιγότερο από 3%, στο πεδίο 0<h/L o <0.75. Όσον αφορά την ταχύτητα ομάδας το σφάλμα είναι της τάξεως του 6% στο πεδίο 0<h/L o <0.55 Σχ. 2.3 Ποσοστιαίο λάθος ταχύτητας φάσης (100(c-c STOKES )/c STOKES ) όπου η ταχύτητα c υπολογίζεται από την (2.7) (Madsen et al. 1991) Με την προσθήκη πρόσθετων όρων στις εξισώσεις (2.16) του τύπου S xxxx και P xxxxt γίνεται δυνατή η εισαγωγή της ταχύτητας 4ης τάξης που πρότεινε ο Witting k h + 1 k h c = gh 1+ 4 k h + 1 k h 9 63 (2.17) 47

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ που δίνει ακόμα καλύτερα αποτελέσματα. Το σφάλμα για την ταχύτητα φάσης είναι λιγότερο από 0,05% στο όριο h/l o =0.5. Ωστόσο η εισαγωγή των όρων αυτών κάνει το μαθηματικό αυτό ομοίωμα μη ελκυστικό από πρακτικής απόψεως Εξισώσεις Boussinesq του Nwogu (1993) Για την εξαγωγή εξισώσεων Boussinesq με βελτιωμένα χαρακτηριστικά ο Nwogu (1993) ακολούθησε μια διαφορετική προσέγγιση από αυτή των Madsen et al.(1991). Οι εξισώσεις του Nwogu προκύπτουν με συνεχή διαφόριση της εξίσωσης συνέχειας και των εξισώσεων κίνησης του Euler. Στην κατάστρωση των εξισώσεων χρησιμοποιείται σαν εξαρτημένη μεταβλητή η οριζόντια ταχύτητα σε ένα τυχαίο βάθος z α. Το βάθος στο οποίο λαμβάνεται η ταχύτητα, καθορίζεται στη συνέχεια από την προκύπτουσα σχέση διασποράς σε σύγκριση με τη σχέση διασποράς της γραμμικής θεωρίας. Με αυτό τον τρόπο, οι εξισώσεις περιγράφουν καλύτερα τη διάδοση των κυματισμών σε νερά μεγαλύτερου βάθους σε σχέση με τις κλασσικές εξισώσεις Boussinesq. Οι εξισώσεις του Nwogu (1993) γράφονται: 2 2 z α d d ζ t + ( d + ζ ) uα + d ( uα) + zα + d ( d α) = u (2.18α) zα uαt + ( u ) uα g ζ zα ( t) ( d t) α + + uα + = 0 2 u α (2.18 β) Όπου u α =(u α,v α ) είναι το διάνυσμα της οριζόντιας ταχύτητας σε ένα τυχαίο βάθος z α. Οι παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν την εξίσωση συνέχειας (διατήρησης μάζας) και ορμής αντίστοιχα. Σε σχέση με τις κλασσικές εξισώσεις Boussinesq του Peregrine (1967) υπάρχει στην εξίσωση συνεχείας ένας πρόσθετος όρος διασποράς που την καθιστά μη ακριβή, ενώ οι συντελεστές των όρων διασποράς στην εξίσωση ορμής είναι διαφορετικοί. Οι εξισώσεις του Nwogu στην περίπτωση διάδοσης του κύματος σε μία διεύθυνση (1DΗ) με σταθερό βάθος. παίρνουν τη μορφή: 48

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 3 ( ζu ) ζ u 1 u = t x x 3 x α α 3 α d α d uα ζ uα 2 u α + g + uα + αd 0 2 = t x x t x (2.19α) (2.19β) Όπου ο συντελεστής α 2 1 zα = + zα 2 d d Γραμμικοποιώντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων και αντικαθιστώντας μία δοκιμαστική λύση της μορφής ikx ( ωt) ζ = α e και 0 ikx ( ωt) u = u e οδηγούμαστε στη σχέση γραμμικής διασποράς: ω = gdk α + kd 3 ( ) 1 α kd ( ) 2 2 (2.20) Στο Σχ. 2.4 γίνεται μια σύγκριση με τη σχέση διασποράς της γραμμικής θεωρίας 2 ω ( ) = gktanh kd, για διάφορες τιμές του α. Οι κλασσικές εξισώσεις Boussinesq όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως αντιστοιχούν σε α= - 1/3. Στα ρηχά νερά όπου kd 0 όλες οι σχέσεις διασποράς συγκλίνουν ασυμπτωτικά. Ωστόσο σε πιο βαθιά νερά όπου το γινόμενο kd αυξάνει, η σχέση διασποράς για τυχαίες τιμές του α, αποκλίνει σημαντικά από τη γραμμική θεωρία. Οι εξισώσεις του Nwogu έχουν το πλεονέκτημα ότι είναι δυνατόν να προσδιοριστεί μία βέλτιστη τιμή για την παράμετρο α, τέτοια ώστε η σχέση διασποράς σε μια καθορισμένη περιοχή τιμών kd να προσεγγίζει αυτήν της γραμμικής θεωρίας. Μια τιμή για το α= -2/5 μετατρέπει την (2.20) σε προσέγγιση Padé της διασποράς της γραμμικής θεωρίας όπως έδειξε ο Witting (1984). Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του σφάλματος, όπως παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα, οι τιμές του α μπορούν να βαθμονομηθούν περαιτέρω. Ο Nwogu προσδιόρισε μία βέλτιστη τιμή για το α ίση με η οποία αντιστοιχεί σε βάθος z α = -0,531d και δίνει μέγιστη διαφορά από τη γραμμική θεωρία 2% (Σχ. 2.4). Οι κλασικές εξισώσεις Boussinesq, που προκύπτουν για α=-1/3, έχουν ποσοστό λάθους 85% για μέγιστο λόγο h/l o <

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ. 2.4 Σύγκριση της κανονικοποιημένης ταχύτητας φάσης για διάφορες τιμές του α (Nwogu 1993). Ο Nwogu έλυσε αριθμητικά το καινούργιο ζεύγος εξισώσεων σε μια οριζόντια διάσταση χρησιμοποιώντας ένα προσεγγιστικό σχήμα Crank Nickolson. Όροι σφαλμάτων αποκοπής τρίτης παραγώγου συμπεριλήφθησαν εσκεμμένα σαν διαταραχές με επανατοποθέτηση στο αριθμητικό σχήμα. Οι Wei και Kirby (1995) παρατηρώντας ότι οι εξισώσεις του μοντέλου Boussinesq παρέχουν διόρθωση Ο(σ2) στην θεωρία ρηχών νερών, οι ιδιότητες της προσέγγισης Padé είναι τέτοιες ώστε η σχέση διασποράς να είναι ακριβής για τάξη Ο (σ 4 ). Έτσι χρησιμοποίησαν ένα σχήμα πρόγνωσης-διόρθωσης (predictor-corrector) για το χωρικό και το χρονικό βήμα. Η διακριτοποίηση αυτή αυτόματα απαλείφει σφάλματα που θα ήταν της ίδιας τάξης με τους όρους διάχυσης και θα έπρεπε να υπόκεινται σε διόρθωση αν χρησιμοποιείτο σχήμα χαμηλότερης τάξης. Με τον τρόπο αυτό προέκυψε ένα πολύ ακριβές αριθμητικό σχήμα. 50

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Εξισώσεις Boussinesq Zou (1999) Στις εργασίες που παρουσιάστηκαν παραπάνω θεωρήθηκε αρχικά γραμμική κατανομή της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας ενώ η αντίστοιχη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σαν πολυώνυμο 2 ου βαθμού. Η νέα μορφή εξισώσεων Boussinesq που παρουσίασε ο Zou (1999) είναι ακριβείς στον 3ο βαθμό Ο(ε 2,εσ 2, σ 4 ) και οι χωρικές παράγωγοι 4 ου βαθμού στους τριτοβάθμιους όρους εκφράζονται από με χωρικές παραγώγους 2 ου βαθμού. Βάσει των εξισώσεων αυτών οι εκφράσεις της κατανομής των κατακόρυφων και των οριζόντιων ταχυτήτων είναι πολυώνυμα 3 ου και 4 ου βαθμού αντίστοιχα. Στην περίπτωση οριζοντίου πυθμένα οι εξισώσεις συνέχειας και διατήρησης της ορμής στις οποίες καταλήγει είναι αντίστοιχα οι ακόλουθες: ( ) ζ t + h + ζ u = 0 (2.21) ut + ( ) + g ζ + G = ( h+ ζ) ( t) h ( t g ζ ) (2.22α) όπου: = ( ) ( ) t 3 u u u u u 10 u (2.22β) G h h ζ και h το βάθος νερού ενώ ζ η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας. Για την περίπτωση μεταβλητού βάθους και με την υπόθεση ήπιας κλίσης πυθμένα ( O( h) O(σ) ) οι εξισώσεις Boussinesq που προκύπτουν είναι αντίστοιχα: ( ) ζ t + h + ζ u = 0 (2.23) 1 1 u + ( u ) u+ g ζ + G = ( h+ ζ ) ( hu ) h+ ζ u 2 6 ( u ) 2 ( ) ( ) ( ) t t t 1 h 2 t g ζ (2.24α) 51

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ όπου: = ( ) ( ) ( ) 3 u u u u u 10 2 u u G h ζ h t h ζ t (2.24β) Τέλος για την βελτίωση της προσομοίωσης της ρήχωσης από τα βαθειά στα ρηχά νερά, ένας επιπλέον όρος προστίθεται στην δευτεροβάθμια εξίσωση συνέχειας : ( ) ζ t + h + ζ u = 0 (2.25) 1 1 u + ( u ) u+ g ζ + G = ( h+ ζ ) ( hu ) h+ ζ u Bh 1 ( t + g ζ ) + B 2 ( h t + gh ζ ) u u 2 ( ) ( ) ( ) t t t (2.26α) όπου: = ( u) u u ( u u) ( u ) (2.26β) G h ζ h t Οι εξισώσεις Boussinesq του Zou με τις 2 παραμέτρους Β 1 και Β 2 παραπέμπουν με τις εξισώσεις που παρουσιάστηκαν από τους Schäffer & Madsen (1995) απαλείφοντας τον όρο G και τις δευτεροβάθμιες παραγώγους του h και στις εξισώσεις των Madsen & Sørensen (1991) θέτοντας επιπλέον Β 1 =Β 2 =1/30. Η σχέση διασποράς δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση : ( ) 2 2 ω c = = gh 1 kh kh Okh 2 k (2.27) ενώ αυτή της γραμμικής θεωρίας : ( ) 2 tanh(kh) c = gh = gh 1 k h k h k h O k h kh (2.28) 52

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Στο ακόλουθο Σχ.2.5 γίνεται σύγκριση των χαρακτηριστικών διασποράς (2.27) των εξισώσεων Zou με τη γραμμική θεωρία του Airy (2.28) και τις κλασικές εξισώσεις Boussinesq (Peregrine 1967). Όπως διαπιστώνεται οι συγκεκριμένες εξισώσεις μπορούν να εφαρμοστούν και να δώσουν αποτελέσματα ταχύτητας φάσης λιγότερο από 5% σε βάθος h< 0.5L o (συγκριτικά με τις κλασικές που όπως προαναφέραμε περιορίζονται στο h< 0.22L o ). Σχ. 2.5 Σύγκριση ταχυτήτων φάσης. Stokes 1 st (συνεχής γραμμή), εξισώσεις Zou (διακεκομμένητελείες), κλασικές εξισώσεις Boussinesq (διακεκομμένη). H ταχύτητα ομάδος δίνεται από τον τύπο: dω kh 2kh C = = C 1+ dk 15+ kh 5+ 2kh g (2.29) Τα αποτελέσματα της σύγκρισης με την θεωρία Stokes 1ης τάξης και τις κλασικές εξισώσεις Boussinesq (σχ.2.6) παρουσιάζουν ότι οι εξισώσεις Zou μπορούν να εφαρμοστούν και σε βάθος h <0.3 L 0 σε σχέση με τις κλασικές εξισώσεις που ισχύουν για βάθη h <0.13 L 0. 53

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ. 2.6 Σύγκριση κανονικοποιημένων ταχυτήτων ομάδας C g / gh. Stokes 1 st (συνεχής γραμμή), εξισώσεις Zou (διακεκομμένη-τελείες), κλασικές εξισώσεις Boussinesq (διακεκομμένη). Η ακρίβεια στην φασική ταχύτητα και στην ταχύτητα ομάδας είναι πανομοιότυπη με αυτές των εργασιών των Madsen et al. (1991), Madsen and Søresen (1992) and Nwogu (1993). Όμως οι τελευταίες είναι ακριβείς στον δεύτερο βαθμό ως προς τις κατανομές ταχύτητας και πίεσης και συνεπώς δεν παρουσιάζουν κάποια βελτίωση σε σχέση με τις κλασικές εξισώσεις Boussinesq που έχουν το ίδιο βαθμό ακρίβειας. Οι εξισώσεις του Zou είναι ακριβείς στον 3 ο βαθμό ως προς τις κατανομές ταχύτητας και πίεσης. Οι αντίστοιχες εξισώσεις είναι οι ακόλουθες: 1 1 = σ (z 1) (h ζ) u u u 1 σ 4 (z 1) 4 2(h ζ) Ο(σ 6 ) ! u (2.30) 1 = + u u (2.31) w σ(z 1) σ (z 1) (z 1) (h ζ) ( ) Ο(σ ) p = p 0 (z ζ) + σ (z 1) (h ζ) t ( ) u + u u u (2.32) 1 2 σ 4 (z 1) 2 (h ζ) ( t ) + O(σ ) 4! u 54

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 2.4 Εξισώσεις Boussinesq πλήρους μη γραμμικότητας και υψηλής τάξεως διασποράς Οι πιο πρόσφατες εξελίξεις στον τομέα των ομοιωμάτων Boussinesq κινήθηκαν στην κατεύθυνση της αύξησης της τάξης ακρίβειας της μη γραμμικότητας και της διασποράς με σκοπό την επέκταση του εύρους εφαρμογής των μοντέλων αυτών. Το όριο εφαρμογής των μοντέλων Boussinesq για τις εργασίες που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα ήταν πρακτικά το kd Πιο πρόσφατες μελέτες ανέπτυξαν εξισώσεις με όρους ανώτερων τάξεων μη-γραμμικότητας και διασποράς επεκτείνοντας το όριο στο kd 40 καταργώντας πρακτικά τον περιορισμό του βάθους, μέχρι το οποίο είχαν ικανοποιητική εφαρμογή τα ομοιώματα αυτά. Η αρχή των μοντέλων πλήρους μη γραμμικότητας έγινε από τους Wei et al. (1995) οι οποίοι ακολουθώντας την προσέγγιση του Nwogu (1993) πρότειναν εξισώσεις πλήρως μη γραμμικές, δηλαδή διατηρήθηκαν όροι όλων των τάξεων της μη γραμμικής παραμέτρου ε, αλλά οι όροι της διασποράς παρέμειναν της τάξης Ο(σ 2 ). Οι σημαντικότερες εργασίες είναι οι ακόλουθες (με χρονολογική σειρά): Wei et al. (1995) Madsen & Schäffer (1998) Agnon, Madsen & Schäffer (1999) Gobbi, Kirby & Wei (2000) Madsen et al. (2002,2003) Bingham and Agnon (2005) Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν εκτενέστερα οι εργασίες των Gobbi, Kirby & Wei (2000), Madsen et al.(2002,2003) και Bingham and Agnon (2005). 55

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Πλήρως μη γραμμικές εξισώσεις Gobbi, Kirby& Wei (2000) Στην εργασία τους αυτή οι Gobbi, Kirby και Wei παρουσίασαν ένα μοντέλο Boussinesq 4 ης τάξης στο οποίο η εξίσωση δυναμικού της ταχύτητας προσεγγίζεται από ένα πολυώνυμο 4 ου βαθμού. Το ομοίωμα αυτό παρουσιάστηκε αρχικά για οριζόντιο πυθμένα. Ορίστηκε μια νέα εξαρτημένη μεταβλητή ως ο σταθμισμένος μέσος του δυναμικού της ταχύτητας σε δυο διαφορετικές στάθμες στη στήλη του νερού, των οποίων οι θέσεις και οι συντελεστές βαρύτητας υπολογίστηκαν από μια [4,4] προσέγγιση Padé της ακριβούς σχέσης διασποράς όπως αυτή παρουσιάστηκε από τον Witting (1984). Το συγκεκριμένο ομοίωμα δοκιμάστηκε για την ικανότητα του να αναπαραστήσει πιστά ασθενείς μη γραμμικές ιδιότητες σε νερά ενδιάμεσου βάθους χρησιμοποιώντας αναπτύγματα της θεωρίας Stokes σε δυνάμεις του ε για τυχαίες τιμές του σ. Η νέα εξαρτημένη μεταβλητή που ορίζεται είναι η : φ% = βφ + (1 β)φ (2.33) α b όπου φα και παράμετρος βαρύτητας. φ b είναι τα δυναμικά της ταχύτητας στις στάθμες z=z a και z=z β και β είναι μια Η σχέση του δυναμικού της ταχύτητας που ορίζεται βάσει της (2.33) θα είναι: { } 1 = % + + % % φ φ σ Β (1 z) φ σ Β Β(1 z) D (1 z) φ O(σ ) (2.34) Ορίζοντας το συνολικό βάθος ως H=1+ε ζ η σχέση διατήρησης της μάζας γίνεται: 56

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ % 1 1 % ζt + Η φ+ σ (Β Η ) ( φ) % = σ (Β Β Η D Η ) ( φ) Ο(σ ) (2.35) Ενώ η εξίσωση Bernoulli : { } ζ + φ% t + σ Β Η φ% t + σ Β ΒΗ D+ H φ% t ( φ) % + σ { Β Η } φ % ( φ) % + ση( φ) % + ση( φ) % σ Β ΒΗ D+ H φ % ( φ) % { }{ % } 1 σ 4 Β 2 2ΒΗ 2 H 4 ( 2 φ) σ ΒΗ Η ( φ)( % φ) % = Ο(σ ) 3 2 (2.36) To ζεύγος εξισώσεων Boussinesq των Gobbi & Kirby (2000) προκύπτει θεωρώντας ε/σ 2 =Ο(1) και κρατώντας όρους της τάξεως Ο(εσ 2,σ 4 ): % 1 1 ( ) % ζt + Η φ+ σ (Β 1+ 3 ζ ) ( φ) % = σ (Β Β D ) ( φ) Ο(σ ) (2.37) t t t { } ζ + φ% + σ Β (1 + 3 ζ) φ% + σ Β Β D+ H φ% % + ( ) % % + % + % = ( φ) σ Β 1 φ ( φ) ση( φ) ση( φ) Ο(σ ) (2.38) H σχέση μεταξύ των z α, z b και β δίνεται από τις σχέσεις: 1/2 1/2 1 8β 8 zα = (1 β) 567β(1 β) 1/2 (2.39) 57

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 1/2 1/2 1 8β zb = (1 β) (2.40) Στο ακόλουθο σχ. 2.7 φαίνεται η σύγκριση μεταξύ του ποσοστού της φασικής ταχύτητας του μοντέλου με την ακριβή λύση της θεωρίας Airy για τις κλασικές εξισώσεις Boussinesq Ο(σ 2 ), τις εξισώσεις Nwogu (1993) και το μοντέλο των Gobbi & Kirby (2000). Είναι φανερό ότι το τελευταίο έχει βελτιωμένες ιδιότητες διάχυσης από το προηγούμενα και αναπαράγει πιστά τις συνθήκες για νερά ενδιάμεσου και μεγάλου βάθους. Παρομοίως η αντίστοιχη σύγκριση για την ταχύτητα ομάδας, C g = ω k, που παρουσιάζεται στο σχήμα 2.8 παρουσιάζει ακόμα πιο πρόδηλο το πλεονέκτημα έναντι του μοντέλου Nwogu (1993). Σχ.2.7.Ποσοστό φασικής ταχύτητας μοντέλου προς ακριβή λύση θεωρίας Airy. Κλασικές εξισώσεις Boussinesq (παύλες, τελείες), Nwogu, α= 0:39 (τελείες), Gobbi&Kirby (4,4) Padé (παύλες). (μ=σ) 58

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ.2.8.Ποσοστό ταχύτητας ομάδας μοντέλου προς ακριβή λύση θεωρίας Airy. Nwogu, α= 0:39 (τελείες), Gobbi&Kirby (4,4) Padé (παύλες). (μ=σ) Εξισώσεις πλήρους μη γραμμικότητας και διασποράς των Madsen et al. (2002 & 2003) Η συνήθης αντιμετώπιση του προβλήματος της αύξησης της ακρίβειας των ομοιωμάτων Boussinesq για νερά ενδιάμεσου βάθους και βαθιά ήταν η εξεύρεση της ακριβούς κατακόρυφης κατανομής του πεδίου ταχυτήτων. Οι πιο επιτυχημένες προσπάθειες ήταν αυτές του Nwogu (1993) και των Gobbi & Kirby (2000) οι οποίες είχαν πεδίο εφαρμογής, με ικανοποιητική ακρίβεια, kd 1.5 για το πρώτο μοντέλο και kh 4 για το δεύτερο μοντέλο όσον αφορά το γραμμικό προφίλ των ταχυτήτων και kh 6 όσον αφορά την σχέση διασποράς. Μια σημαντική καινοτομία εισήχθη από τους Agnon et al. (1999) με την οποία κατέστησαν εφικτή την επίτευξη της ίδιας ακρίβειας για τις γραμμικές και τις μη γραμμικές ιδιότητες. Η μέθοδός τους συνίσταται στην ακριβή έκφραση των οριακών συνθηκών στην ελεύθερη επιφάνεια και στον πυθμένα συνδυασμένων με μια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης Laplace. Το πεδίο ταχυτήτων που προκύπτει δίνεται σε όρους των οριζόντιων και κατακόρυφων συνιστωσών στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Η διατύπωση τους αυτή αποτελείται από έξι ζεύγη εξισώσεων με αγνώστους την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, την οριζόντια 59

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ βαθμίδα του δυναμικού της ταχύτητας στην ελεύθερη επιφάνεια και τις συνιστώσες (οριζόντιες και κατακόρυφες)της ταχύτητας στην ελεύθερη επιφάνεια και στην Σ.Η. Αυτή η διατύπωση έχει ως όριο ακρίβειας για την διάχυση μη γραμμικών κυματισμών μέχρι το kd 6. Στην εργασία που παρουσίασαν οι Madsen, Bingham και Schäffer(2003) γενίκευσαν την διαδικασία των Agnon et al. (1999) και επέκτειναν την λύση της εξίσωσης Laplace από την ελεύθερη επιφάνεια σε ένα τυχαίο επίπεδο z. Αναλυτικότερα η διαδικασία που ακολούθησαν είναι η ακόλουθη: Αρχικά η ακριβής λύση της εξίσωσης Laplace σχηματοποιήθηκε σε όρους πεπερασμένων σειρών από την Σ.Η. Η διαδικασία αυτή ορίζει το πεδίο ταχυτήτων από τον πυθμένα έως την ελεύθερη επιφάνεια. Οι δυναμικές και κινηματικές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια εκφράστηκαν σε όρους μεταβλητών των ταχυτήτων εκπεφρασμένες απευθείας στην ελεύθερη επιφάνεια. Σε συνδυασμό με τις κινηματικές συνθήκες στον πυθμένα καθορίστηκε έτσι το πρόβλημα κυματισμών πλήρους μη γραμμικότητας και διασποράς με 5 μεταβλητές (την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας και τις οριζόντιες και κατακόρυφες ταχύτητες στην ελεύθερη επιφάνεια και την Σ.Η. Εν συνεχεία οι πεπερασμένες σειρές γενικοποιήθηκαν με την αντικατάσταση των μεταβλητών της ταχύτητας στην Σ.Η. με μεταβλητές σε τυχαία στάθμη ẑ που θεωρείται ότι είναι σταθερό ποσοστό του βάθους ηρεμίας( ẑ = σh ). Ενώ η επιλογή του επιπέδου ẑ δεν έχει αντίκτυπο όσο χρησιμοποιούνται άπειρες σειρές, παίζει σημαντικό ρόλο στους όρους αποκοπής. Επίσης η μέθοδος αποκοπής παίζει σημαντικό ρόλο στην ακρίβεια των ενσωματωμένων γραμμικών και μη γραμμικών ιδιοτήτων των συστημάτων εξισώσεων που προκύπτουν. Οι Madsen et al. δοκίμασαν τρεις μεθόδους αποκοπής( όπως τις συμβολίζουν στην εργασία τους): I. Μια απλή αποκοπή των όρων του αναπτύγματος σειράς Taylor. II. Η οριακή συνθήκη πυθμένα βελτιώνεται με την εισαγωγή προσέγγισης Padé σε συνδυασμό με βελτιστοποιημένους όρους κλίσης. III. Οι προσεγγίσεις Padé εισάγονται επιπρόσθετα και στην Σ.Η. Σε όλες τις παραπάνω μεθόδους η θέση του ẑ καθορίζεται μετά από ελαχιστοποίηση του σφάλματος του γραμμικού προφίλ ταχυτήτων και σε όλες τις περιπτώσεις αυτό επιτυγχάνεται με επιλογή ẑ =-h (h το βάθος μέχρι τη Σ.Η.). Μια διαφορετική διαδικασία που πραγματοποιείται στη μέθοδο ΙΙΙ είναι η επιλογή του ẑ με κριτήριο την βελτιστοποίηση της σχέσης γραμμικής διασποράς που οδηγεί σε τιμές ẑ = 0.2h 60

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Η σχέση της γραμμικής διασποράς (που προκύπτει όπως προαναφέρθηκε από μια ανάλυση Padé της λύσης πλήρους διασποράς) δίνεται από τον τύπο: ( ( + ˆ) ) ( ˆ) ( ( + ˆ) ) ( ˆ) ( ( + )) ( ) ( ( + )) ( ) sinhh k h z cos h kz cos h k h z sinh kz 2 ω 1 = 2 ghk kh ˆ ˆ ˆ ˆ cosh k h z cosh kz sinh k h z sinh kz (2.41) Η ακρίβεια που επιτυγχάνεται με τις τρεις μεθόδους αποκοπής που προαναφέρθηκαν συνοψίζεται στους ακόλουθους πίνακες 2.1 και 2.2 όπως τους παρουσιάζουν οι Madsen et al Στον πίνακα 2.1 η 3 η και 4 η στήλη βασίζονται στην γραμμική ανάλυση των ιδιοτήτων του μοντέλου η πέμπτη παρουσιάζει το σφάλμα στην 3 η αρμονική της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας και η τελευταία περιέχει τα σφάλματα στην οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας στην ελεύθερη επιφάνεια για ένα μη γραμμικό κύμα με κλίση H/L=0.12. Είναι προφανές ότι η αντιμετώπιση των μεθόδων Ι, ΙΙ, και ΙΙΙ μπορεί να εφαρμοστεί σε συνάρτηση με πιο χαμηλόβαθμες εξισώσεις και έτσι στον πίνακα 2.2 συνοψίζονται τα σφάλματα που προκύπτουν από αποκοπή που περιέχει μόνο μέχρι τους όρους των παραγώγων 3ης τάξης. Είναι φανερό ότι η μέθοδος ΙΙΙ με ẑ = 0.2h και ẑ = 0.5h είναι με διαφορά η ακριβέστερη από τις 3. Πιν. 2.1 Πιν. 2.2 Πρέπει να διευκρινιστεί ότι c 2 είναι το τετράγωνο της φασικής ταχύτητας και F 1 συμβολίζεται το σφάλμα της μέσης στο βάθος ταχύτητας σε σχέση με την ταχύτητα στόχο u s για ένα πεδίο kh. Δίνεται από τον τύπο: 61

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ S ( ) ( ) 0 1 u(z) u z F1 ( σ,kh) dz h u h S 0 2 (2.42) A 3 είναι το σφάλμα στην 3 η αρμονική της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Η σχέση του με το αθροιστικό εύρος της ρήχωσης: A A γ γ (2.43) * κ s * * = exp dκ, κ kd * 0 s 0 κ όπου k 0 είναι ο αριθμός κύματος στα βαθιά Μέθοδος Fourier-Boussinesq για μη γραμμικούς κυματισμούς των Bingham & Agnon (2005) Μέχρι τώρα παρατέθηκε η μέθοδος των Madsen et al. (2002,2003) πολύ υψηλής ακρίβειας που περιλαμβάνει μέχρι και τις παραγώγους 5ης τάξεως και απαιτεί την επίλυση τριών εξισώσεων σε κάθε κόμβο που γίνεται υπολογισμών των ζητούμενων μεγεθών του κυματισμού. Με την μέθοδο τους αυτή επεκτάθηκε το όριο εφαρμογής των εξισώσεων Boussinesq μέχρι και το kd 25, απαλείφοντας πρακτικά κάθε περιορισμό βάθους. Η επόμενη εξέλιξη προήλθε από τους Bingham & Agnon (2005) οι οποίοι παρουσίασαν μια μέθοδο με πολύ μικρό σφάλμα για 0 kd< και επομένως εξαλείφει και τυπικά κάθε περιορισμό βάθους. Η μέθοδος που παρουσίασαν είναι ουσιαστικά Boussinesq αλλά περιλαμβάνει έναν γενικευμένο μετασχηματισμό Hilbert για να απομακρύνει κάθε περιορισμό βάθους. To γεγονός ότι μετασχηματισμός Hilbert υπολογίζεται μέσω μετασχηματισμού Fourier (FFT) περιορίζει το πεδίο σε ορθογωνικό σχήμα. Η πολυπλοκότητα του σχήματος, για την τάξη ακρίβεια που επιλέχθηκε (κρατήθηκαν οι παράγωγοι μέχρι 6ου βαθμού ) είναι αντίστοιχη με τα άλλα ομοιώματα Boussinesq πλήρους μη γραμμικότητας. Σε αντίθεση με άλλες πολυωνυμικές μεθόδους, η μέθοδος Fourier-Boussinesq προσεγγίζει τον όρο διάχυσης tanh(kd)/(kd) συναρτήσει του kd αντί του k 2 d 2 και έτσι μπορεί να προσεγγίσει ασυμπτωτικά και στα δύο όρια του kd. Ο γενικευμένος μετασχηματισμός Hilbert χρησιμοποιείται τότε για να μετατρέψει τις 62

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ περιττές δυνάμεις σε άρτιες καθιστώντας τις έτσι κατάλληλες για εκτίμηση με τοπικές μεθόδους πεπερασμένων διαφορών. Έτσι οδηγούμαστε σε μικρά σφάλματα διάχυσης για 0 kd<. Θεωρώντας σύστημα αναφοράς όπου z=0 στην Σ.Η. και V(x,z,t) ο όγκος του ρευστού και περιορίζεται από την ελεύθερη επιφάνεια z=ζ(x,t) και από τον πυθμένα z=-d(x) το δυναμικό της ταχύτητας φ(x, z, t) το οποίο ικανοποιεί το ακόλουθο πρόβλημα οριακών τιμών: 2 φ+ φzz = 0 στον V (2.44) φz + φ h= 0, z=-h (2.45) t ( ) ζ + φ% ζ 1 + ζ ζ φ% = 0 (2.46) φ% t + φ% φ% ( 1 + ζ ζ) φ% z + gζ = 0 (2.47) 2 2 Οι οριακές συνθήκες της ελεύθερης επιφάνειας εκφράζονται σε όρους του δυναμικού στην ( ) ελεύθερη επιφάνεια = ( ) δίνονται. φ% φ x,ζ x,t,t και οι αρχικές συνθήκες των ζ και φ~ πρέπει να Προτείνεται η χρήση της προσέγγισης με σειρές Taylor των Dommermuth & Yue (1987) για την ικανοποίηση των οριακών συνθηκών ελεύθερης επιφάνειας, αφού αυτή οδηγεί σε ένα χρονικά μόνιμο Ν x N γραμμικό σύστημα εξισώσεων που μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των άμεσων πινάκων (direct matrix method). Σε αυτή την περίπτωση η προσέγγιση του δυναμικού της ταχύτητας γίνεται με σειρές αποκοπής στη μη γραμμική παράμετρο ( m) ε=kα<<1. Συνεπώς φ = φ, όπου M m= 1 φ ( m) m O( ε ) επιφάνεια υπολογίζεται μέσω της σειράς Taylor από z=0 δίνοντας: =. Η τιμή του φ (m) στην ελεύθερη M M m ( m % ) ˆ (2.48) φ = m= 1 n= 0 n n ζ φ n n! z 63

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Όπου φˆ =φ(x,0,t). Συλλέγοντας τους όρους κάθε τάξης του ε προκύπτει μια ρητή ακολουθία για την εκτίμηση των δυναμικών: ( 1) ˆφ = φ% (2.49) φˆ m 1 ( m) ( m n) = φˆ, m=2,3,,m. (2.50) n n= 1 n n ζ n! z Εκφράζοντας τις εξισώσεις με αυτό τον τρόπο, το πρόβλημα μεταπίπτει στον υπολογισμό του ˆφ ( m) ) από το z ( m) ˆφ, μετά τον οποίο οι πρόσθετες z-παράγωγοι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την αρνητική οριζόντια Λαπλασιανή σε αυτές τις δύο ποσότητες. Τέλος η z-παράγωγος της (2.48) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ˆφ z. H διαδικασία αυτή των μικρών διαταραχών (perturbations) υποθέτει ήπια μη γραμμικότητα αλλά κανένα περιορισμό στο kd. Το αριθμητικό σχήμα που προκύπτει φαίνεται να συγκλίνει μη γραμμικούς κυματισμούς σταθερού προφίλ έως και το 80% της οριακής κλίσης του κύματος, για κάθε kd. Στην συνέχεια για την εξαγωγή ενός μοντέλου Boussinesq το οποίο τείνει ασυμπτωτικά και στα δύο όρια του kd απαιτείται ο υπολογισμός της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας στην Σ.Η. από την εξίσωση δυναμικού στο ίδιο επίπεδο. Όλες οι υπάρχουσες μέθοδοι Boussinesq ικανοποιούν τη σχέση γραμμικής διασποράς, σε όρους της αδιάστατης ταχύτητας κύματος c 2 /(gd), η οποία είναι συνάρτηση του (kd) 2. Αυτό τις κάνει εφαρμόσιμες σε προβλήματα ποικίλων βαθών d. Όμως η ακριβής σχέση της γραμμικής διασποράς είναι υπερβατική, c 2 /(gd)=tanh(kd)/(kd), και τείνει στο 1/kd (μια περιττή δύναμη του kd) στα βαθιά νερά. Συνεπώς οι υπόλοιπες μέθοδοι Boussinesq αποκλίνουν σε αυτό το όριο. Έτσι για να διορθωθεί το ασυμπτωτικό όταν kd, εισάγονται στην προσέγγιση περιττές δυνάμεις του kd, καθώς και ο γενικευμένος (2D) τελεστής μετασχηματισμού Hilbert Η, ο οποίος είναι ένα μέσο για τον υπολογισμό αυτών στο φυσικό χώρο. Ο γενικευμένος αυτός τελεστής Hilbert εκφράζεται ως: { { }} 1 H φ = F kf φ (2.51) όπου το F είναι ο σταθερός 2D (x:k) μετασχηματισμός Fourier και F -1 ο αντίστροφος. 64

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Για την περίπτωση του σταθερού βάθους ένας συνηθισμένος έλεγχος που γίνεται σε όλα τα ομοιώματα Boussinesq όσον αφορά την ακρίβεια στη διασπορά ενέργειας είναι το κατά πόσον αποδίδεται ακριβώς η σχέση γραμμικής διασποράς: 2 C gd tanh(κ) = (2.52) κ οπου κ=kd για συντομία. Η σχέση (2.52) ορίζει την χαμηλότερης τάξης μέθοδο Fourier-Boussinesq. Για την έκφραση της μεθόδου στο χώρο x συσχετίζεται το iκ με το d και το κ με το dh.έτσι προκύπτει : iκ d tanh( d ) = i tanh(κ) = 1 + κ 1+ dh (2.53) από την οποία προκύπτει 1+ dh ω ˆ = d u ˆ (2.54) η οποία πρέπει να λυθεί ως προς ˆω ( ˆω= φ (x,0,t) ). Η αριθμητική λύση έρχεται μέσω δοκιμών αφού ο μετασχηματισμός Hilbert λειτουργεί στο αριστερό μέλος των εξισώσεων μόνο. Από την επίλυση αυτή έχουμε το σύστημα εξισώσεων : φˆ + ζωˆ = φ% (2.55) z d 2ˆ φ + 1+ dh ωˆ = 0 (2.56) 2ˆ Οπότε : ω% = ωˆ ζ φ (2.57) Η λύση αυτή αποτελεί την χαμηλότερης τάξης μέθοδο και παρουσιάζει ενδιαφέρον για πολύ μακρά ή πολύ βραχέα κύματα. 65

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 2.5 Η θραύση στα ομοιώματα Boussinesq Εισαγωγή στη θραύση των κυματισμών Ένα θαλάσσιο κύμα, που μεταδίδεται σε οριζόντιο η κεκλιμένο πυθμένα σε βάθος νερού σχετικά μεγάλο σε σχέση με το μήκος κύματος και δεν υφίσταται την επίδραση εξωτερικών παραγόντων (άνεμος, θαλάσσια ρεύματα κ.α.) παραμένει σχετικά αμετάβλητο και θεωρείται υδροδυναμικά ευσταθές. Σε περιοχές με βάθος μικρότερο από μια κρίσιμη τιμή που εξαρτάται από την αρχική καμπυλότητα του κύματος και την κλίση του πυθμένα οι παραμορφώσεις αυξάνουν σημαντικά. Οι σημαντικότερες είναι η αύξηση του ύψους και η μείωση του μήκους του κυματισμού. Εμφανίζεται δε και στροβιλότητα στην οριακή στοιβάδα κοντά στον πυθμένα. Όταν οι παραμορφώσεις αυτές ξεπεράσουν κάποιες οριακές τιμές η διατομή του κύματος οδηγείται στη θραύση με αποτέλεσμα την διάχυση ενός σημαντικού ποσοστού ενέργειας του κυματισμού. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η θραύση εμφανίζεται και σε κυματισμούς σε βαθιά νερά αλλά τα γενεσιουργά της αίτια είναι διαφορετικά από την αλληλεπίδραση της ροής με τον πυθμένα. Το φαινόμενο της θραύσης είναι η κύρια εκδήλωση της υδροδυναμικής αστάθειας ενός κυματισμού. Η θραύση των κυματισμών στα ανοικτά και στα ρηχά αποτελεί τον μηχανισμό περιορισμού του ύψους κύματος με δεδομένη περίοδο Τ (άρα και L 1.2.1) και τον κύριο μηχανισμό αναμίξεως των επιφανειακών νερών. Ειδικότερα στις ακτές ανάλογα με τις τιμές της παραμέτρου : ξ tan θ = (2.58) H /L 0 0 όπου ο δείκτης ο υποδηλώνει την κατάσταση στα βαθιά νερά, tanθ η κλίση του πυθμένα, διαμορφώνονται οι ακόλουθοι τύποι θραυόμενων κυματισμών και κατ επέκταση ρυθμών αποσβέσεως της ενέργειας του κύματος από τη γραμμή θραύσεως μέχρι την ακτογραμμή: 66

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ i. Θραύση κυλίσεως (spilling) Η αστάθεια εμφανίζεται στο άνω μέρος της διατομής του κύματος και ταυτόχρονα εμφανίζεται χαρακτηριστικός αφρός στην επιφάνεια του νερού. ii. iii. iv. Θραύση καταδύσεως - εκτινάξεως (plunging) Η κορυφή του κύματος κινείται προς την ακτή ταχύτερα από τον κορμό του κύματος κάτω από την επίδραση μιας οριζόντιας ταχύτητας και της βαρύτητας. Θραύση εφορμήσεως (surging) Η θραύση εμφανίζεται στη βάση της διατομής. Το σύνολο του κύματος συνεχίζει τη μετάδοση του προς την ακτή και μετά την εμφάνιση της θραύσεως. Θραύση καταρρεύσεως (collapsing) Το εμπρόσθιο μέτωπο της διατομής τείνει να γίνει κατακόρυφο στη βάση της διατομής και στη συνέχεια να καταρρεύσει. Σχ.2.9 Τύποι θραύσεως κυματισμών συναρτήσει της παραμέτρου ξ (οριζόντιος αξονας ) της κλίσης της ακτής (κατακόρυφος άξονας). 67

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ.2.10 Θραύση κυματισμών τύπου εφορμήσεως (surging). Σχ.2.11 Θραύση κυματισμών τύπου καταδύσεως-εκτινάξεως (plunging). 68

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σε ένα ομοιόμορφο κεκλιμένο πυθμένα ο τύπος θραύσης καθορίζεται ως εξής: Καταρρεύσεως /εφορμήσεως ( collapsing/surging) ξ ο > 3,3 Εκτινάξεως (plunging) 0,5 < ξ ο < 3,3 Κυλίσεως (spilling) ξ ο < 0, Κριτήρια θραύσεως Τα κριτήρια για την θραύση διαφέρουν ανάλογα με τον χαρακτηριστικά του κυματισμού. Ανάλογα με την περιοχή όπου λαμβάνει χώρα η θραύση έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Για νερά ενδίαμεσου ή μεγάλου βάθους η θεωρία της υδροδυναμικής ευστάθειας δίνει το όριο : H t Ho 1 < tanh(kd) < L 7 L 7 o Για ρηχά νερά σε περιοχές όπου οι κυματισμοί έχουν προσεγγίσει μορφολογικά μια σειρά μοναχικών κυματισμών το όριο γίνεται : H b γb = = 0.78 db πέρα από το οποίο παρουσιάζεται υπέρβαση της φασικής ταχύτητας από την ταχύτητα των μορίων και έτσι προκαλείται θραύση. Μια εμπειρική σχέση είναι αυτή του Munk (1949) ο οποίος ανέπτυξε την έκφραση του δείκτη ύψους θραύσης για ένα μοναχικό κύμα ως εξής: H H b o 1 H 3 o = 0.3 Lo (2.59) Η πειραματικά διαπιστωμένη επίδραση της κλίσης του πυθμένα στην διαμόρφωση των d b και H b συνιστά την εφαρμογή των παρακάτω νομογραφημάτων (σχ και 2.13). Από το πρώτο νομογράφημα και για γνωστές τιμές Η ο /gt 2 (Η ο = Η ο K R, όπου Κ R ο συντελεστής διάθλασης) και κλίσεως πυθμένα tanθ =m υπολογίζεται το H b και από το δεύτερο για τιμές H b / gt 2 και m υπολογίζεται το d b. 69

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ Επίδραση της κλίσης του πυθμένα (m) στο ύψος θραύσης (Η b ) [65] Σχ.2.13 Επίδραση της κλίσης του πυθμένα (m) στο βάθος θραύσης (d b ) [65] 70

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Εισαγωγή της θραύσης στα μοντέλα Boussinesq To κίνητρο για τις περισσότερες πρόσφατες εργασίες ακτομηχανικής εντοπίζεται στην ανάγκη για ακριβή περιγραφή του ύψους και της θέσης των θραυόμενων κυματισμών. Ο λόγος για την προφανή αυτή ανάγκη, είναι ότι τα χαρακτηριστικών των κυμάτων στο σημείο θραύσης (το ύψος των θραυόμενων κυμάτων, οι ταχύτητες του ρευστού, η λοξότητα και τα χαρακτηριστικά ασυμμετρίας των κυμάτων) είναι ο πιο σημαντικός μηχανισμός μεταβολών της δυναμικής κατάστασης και της στερεομεταφοράς στη ζώνη θραύσης. Σχ Οι κυριότερες διεργασίες στην ζώνη θραύσης(surf zone). Η ζώνη ρήχωσης (shoaling region), τα αμμοκυμάτια (ripples), το αντίρρευμα κάτω από τους θραυόμενους κυματισμούς (undertow), η ζώνη αναρρίχησης του κυματισμού (swash zone), τα ρεύματα κατά μήκος της ακτής (longshore currents) που τροφοδοτούνται με ενέργεια από τους θραυόμενους κυματισμούς και τα βελοειδή ρεύματα (rip currents). Τις δυο τελευταίες δεκαετίες έχει συντελεστεί σημαντική πρόοδος τόσο σε θεωρητικό όσο σε πειραματικό επίπεδο. Για τον λόγο αυτό υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία για την εξέλιξη της εισαγωγής της θραύσης σε μοντέλα Boussinesq. Ακολουθεί μα σύντομη περιγραφή των εξελίξεων αυτών όπως παρουσιάζονται από τους Skotner & Apelt (1999 -Part I) 71

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Η θραύση των κυματισμών συμπεριλήφθηκε αρχικά στις εξισώσεις τύπου Boussinesq από τον Tao (1983) και τους Abbott et al. (1983), οι οποίοι εισήγαγαν έναν όρο τυρβώδους συνεκτικότητας στην ολοκληρωμένη στο βάθος εξίσωση ορμής (Hamm et al. 1993). Ο όρος αυτός εκφράστηκε σαν γινόμενο των οριζόντιων βαθμίδων της θεωρούμενης ροϊκής μεταβλητής και ενός τοπικού συντελεστή τυρβώδους συνεκτικότητας, σχετιζόμενου με το βάθος του νερού και την τυρβώδη κινητική ενέργεια. Μια εξίσωση μεταφοράς εφαρμόστηκε για την περιγραφή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Ο Zelt (1991) χρησιμοποίησε επίσης έναν όρο τυρβώδους συνεκτικότητας για να περιγράψει με ικανοποιητική ακρίβεια τη διάδοση μοναχικών θραυόμενων κυμάτων και την αναρρίχηση τους στην ακτή. Στην εργασία του Zelt ο τοπικός συντελεστής τυρβώδους συνεκτικότητας υπολογιζόταν συναρτήσει ενός μήκους ανάμιξης. Οι Karambas et al. (1990,1991) ακολούθησαν την ίδια τεχνική, όμως ο τοπικός συντελεστής τυρβώδους συνεκτικότητας, προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας ένα απλό αλγεβρικό κλείσιμο που ήταν ανάλογο με το γινόμενο της γραμμικής ταχύτητας φάσης στα ρηχά νερά και το βάθος νερού. Οι Karambas και Koutitas (1992) υιοθέτησαν μία πιο περίπλοκη μεθοδολογία στην οποία η τυρβώδης συνεκτικότητα προσδιορίστηκε υποθέτοντας ότι η τύρβη παράγεται στο μέτωπο του θραυόμενου κύματος και στα απόνερα του προηγηθέντος κύματος. Η θέση του σημείου θραύσης και το πλάτος της ζώνης θραύσης προσδιορίστηκαν βάσει εμπειρικών σχέσεων. Οι Schäffer et al. (1993) σημείωσαν ότι το κύριο μειονέκτημα των παραπάνω μεθόδων είναι η υποτιθέμενη σχέση μεταξύ της σκέδασης της ενέργειας και των οριζοντίων βαθμίδων της οριζόντιας ροϊκής μεταβλητής. Η σκέδαση την ενέργειας εξαρτάται γενικά από τις κατακόρυφες βαθμίδες του οριζόντιου προφίλ της ταχύτητας (Madsen 1981) και γι αυτό οι μέθοδοι διαφοροποιούνται οριακά μόνο στη χρησιμοποίηση της διεπιφάνειας σκέδασης. Ο Engelund (1981) περιέγραψε ένα ελαφρύ υδραυλικό άλμα θεωρώντας ένα επιπλέον όρο πίεσης στην ολοκληρωμένη στο βάθος εξίσωση ορμής που προέρχονταν από την παρουσία ενός επιφανειακού υδάτινου κυλίνδρου (surface roller). Χρησιμοποιώντας την αναλογία μιας ξεχωριστής ροής διαχυτήρων η κλίση της διεπιφάνειας ανάμεσα στον κύλινδρο και την επικείμενη οργανωμένη ροή εκτιμήθηκε περίπου ίση με 10 ο. Ο Deigaard (1989) ακολούθησε τις ιδέες του Engelund και εισήγαγε τη θεώρηση του επιφανειακού κυλίνδρου σε ένα ομοίωμα Boussinesq που βασιζόταν αρχικά στις εξισώσεις των Abbott et al. (1978). Έγινε η υπόθεση ότι ο επιφανειακός κύλινδρος είναι μία μάζα νερού που ταξιδεύει με την ταχύτητα του κύματος. Η θραύση του κύματος ξεκινούσε όταν η τοπική κλίση του μετώπου του κύματος ξεπερνούσε την οριακή τιμή που προσδιόρισε ο Engelund. Παρόμοια η θραύση σταματούσε όταν η μέγιστη κλίση του μετώπου του κύματος έπαιρνε τιμή μικρότερη της εφαπτομένης των 10 ο. 72

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Προκαταρκτικά παραδείγματα μη γραμμικών κυμάτων θραυόμενων πάνω από έναν πυθμένα με γραμμικές υβώσεις κατέδειξαν τις δυνατότητες του ομοιώματος. Οι Brocchini et al. (1991,1992) ποσοτικοποίησαν τη διατμητική τάση στη διεπιφάνεια του επιφανειακού κυλίνδρου και της υποκείμενης ροής κάνοντας την υπόθεση ότι πίεση μέσα στον κύλινδρο είναι υδροστατική. Αυτό συμπεριλήφθηκε στις εξισώσεις τύπου Boussinesq και συνδυάστηκε με μία εμπειρική σχέση για τον εντοπισμό και την ανάπτυξη του επιφανειακού κυλίνδρου. Δόθηκαν παραδείγματα που έδειξαν ικανοποιητική συμφωνία με πειραματικά δεδομένα. Οι Madsen και Svendsen (1983) και οι Svendsen και Madsen (1984), διαδοχικά, ανέπτυξαν ένα θεωρητικό μοντέλο για την περιγραφή του μετώπου ενός τυρβώδους κατακόρυφου μετώπου που κινείται πάνω σε οριζόντιο ή κεκλιμένο πυθμένα. Σε αυτή την προσέγγιση, μια πλήρως τυρβώδης διατμητική ροή θεωρήθηκε στο ανώτερο στρώμα της στήλης του νερού, ενώ μια πρακτικά αστρόβιλη ροή θεωρήθηκε στο κατώτερο στρώμα. Εκτός από μια εξίσωση ορμής ολοκληρωμένη μόνο στην τυρβώδη περιοχή και οι ολοκληρωμένες στο βάθος εξισώσεις συνέχειας, ορμής και ενέργειας επιλύονταν ταυτόχρονα. Χωρίς την τύρβη το σύστημα των εξισώσεων μετασχηματίζεται στις μη γραμμικές εξισώσεις των κυματισμών στα ρηχά νερά. Ένα σημαντικό συμπέρασμα που βγήκε απ αυτές τις μελέτες είναι το γεγονός ότι το απλοποιημένο φαινόμενο της θραύσης μπορεί να συμπεριληφθεί στις εξισώσεις ορμής με την υπόθεση της αναδιανομής της οριζόντιας ταχύτητας πάνω στην κατακόρυφη ταχύτητα. Αυτό οδηγεί σε πρόσθετους όρους συναγωγής στις ολοκληρωμένες στο βάθος εξισώσεις ορμής. Οι ιδέες που περιγράφηκαν προηγουμένων ακολουθήθηκαν από τους Schäffer et al. (1993), που συμπεριέλαβαν το φαινόμενο της υπερχειλίζουσας θραύσης κύματος σε ένα σετ εξισώσεων τύπου Boussinesq όμοιες με αυτές του Peregrine. Οι υπολογισμοί έγιναν σε μία οριζόντια διάσταση χρησιμοποιώντας τη θεώρηση του επιφανειακού κυλίνδρου (βλ. Σχ.2.15). Βασιζόμενοι στην υπόθεση μιας ομοιόμορφης κατακόρυφης κατανομής της οριζόντιας ταχύτητας σε ένα μη θραυόμενο κύμα, ένας πρόσθετος συναγωγικός όρος ορμής που οφείλεται στη θραύση συμπεριλήφθηκε στην ολοκληρωμένη στο βάθος εξίσωση ορμής θεωρώντας το ανομοιόμορφο προφίλ ταχύτητας που πρότεινε ο Svendsen (1984). 73

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Σχ Προσομοίωση θραύσης με την τεχνική του επιφανειακού κυλίνδρου (Surface roller, Madsen et al. 1997a). Σε συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα του Stive (1980) η ταχύτητα του επιφανειακού κυλίνδρου μοντελοποιήθηκε ως 1,3 φορές η ταχύτητα του γραμμικού κύματος στα ρηχά νερά. Η θραύση του κύματος ξεκινούσε όταν η μέγιστη κλίση του μετώπου του κύματος ξεπερνούσε μία αποδιδόμενη αρχική τιμή. Παρόμοια, η θραύση τερματιζόταν, όταν η μέγιστη κλίση έπαιρνε μία μικρότερη τελική τιμή. Η χρονική εξέλιξη του πάχους του επιφανειακού κυλίνδρου προσδιοριζόταν γεωμετρικά περιγράφοντας μία διαφοροποίηση στο χρόνο της κλίσης της διεπιφάνειας ανάμεσα στον κύλινδρο και την υποκείμενη οργανωμένη κίνηση του κύματος. Εκτός από τις παραμέτρους που περιγράφουν την έναρξη και τη λήξη της θραύσης, το ομοίωμα ενσωματώνει μια χρονική κλίμακα για την ανάπτυξη του επιφανειακού κυλίνδρου όπως επίσης και μια παράμετρο σχήματος που αναφέρεται στον πρωτόλειο τρόπο διαχωρισμού του κυλίνδρου από την υποκείμενη ροή. Σε σύγκριση με πειραματικά δεδομένα καταδείχθηκε ότι το ομοίωμα προβλέπει ικανοποιητικά τη διαφοροποίηση της μέσης στάθμης ύδατος και του ύψους κύματος πριν, κατά τη διάρκεια και μετά την έναρξη της θραύσης. Ιδιαίτερα δόθηκε έμφαση στο ότι το ομοίωμα αποδείχθηκε ικανό να εκτιμήσει την αρχή της εσωτερικής περιοχής, δηλαδή του σημείου όπου η μέση στάθμη ύδατος αρχίζει να αυξάνει. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι το ομοίωμα αναπαράγει το φαινόμενο της ραγδαίας μετατροπής της δυναμικής ενέργειας σε κινητική στην εξωτερική μεταβατική περιοχή. Οι Schäffer et al. (1993) επέκτειναν το ομοίωμα της ζώνης θραύσης ώστε να περιλαμβάνει τη δεύτερη οριζόντια διάσταση και παρουσίασαν ένα προκαταρκτικό παράδειγμα. 74

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Ο Nwogu (1996) χρησιμοποίησε ένα πλήρως μη γραμμικό σετ εξισώσεων Boussinesq (Kirby & Wei 1994) για να προσομοιάσει το μετασχηματισμό των θραυόμενων κυμάτων σε δύο οριζόντιες διαστάσεις. Η θραύση ξεκινούσε όταν η οριζόντια ταχύτητα κορυφής ξεπερνούσε την ταχύτητα μετάδοσης του κύματος. Το φαινόμενο της θραύσης ενσωματώθηκε στις εξισώσεις ορμής χρησιμοποιώντας έναν όρο τυρβώδους συνεκτικότητας ανάλογο της κατακόρυφης βαθμίδας της οριζόντιας ταχύτητας κορυφής. Σε κάθε χρονικό βήμα υπολογισμού, η τυρβώδης συνεκτικότητα προσδιοριζόταν επιλύοντας μία πρόσθετη εξίσωση μεταφοράς για την τυρβώδη κινητική ενέργεια που παρήγαγε η θραύση του κύματος. Οι Yu και Svendsen (1996) ανέπτυξαν ένα συνεπές μαθηματικά ομοίωμα για τη ζώνη θραύσης στο οποίο η ροή θεωρήθηκε στροβιλή. Ένα σετ εξισώσεων τύπου Boussinesq καταστρώθηκε διαχωρίζοντας τη στήλη ύδατος σε μία στροβιλή περιοχή ροής κοντά στην επιφάνεια και ένα χαμηλότερο πυρήνα αστρόβιλης ροής. Το στροβιλό κομμάτι της ροής που συσχετιζόταν με τον επιφανειακό κύλινδρο, χρησίμευσε ως μία πηγή στροβιλότητας και τύρβης, με τη στροβιλότητα να προσδιορίζεται επιλύοντας μια πρόσθετη εξίσωση μεταφοράς στροβιλότητας. Μια άλλη τεχνική είναι η προσθήκη στην εξίσωση ορμής ενός όρου τυρβώδους συνεκτικότητας. Ο όρος τυρβώδους συνεκτικότητας είναι ένας όρος διάχυσης που εκφράζει τη σκέδαση της ενέργειας λόγω τύρβης (Abbott et al., 1983, Zelt, 1991, Karambas & Koutitas, 1992, Kennedy et al. 2000). Από την άλλη πλευρά η τεχνική του επιφανειακού κυλίνδρου οδηγεί σε ένα πρόσθετο όρο συναγωγής στη εξίσωση ορμής που εκφράζει την πίεση που ασκείται στο κύμα από τον επιφανειακό κύλινδρο (Deigaard, 1989, Brocchini et al., 1991) ή την ανομοιόμορφη κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας (Schäffer et al., 1993). Τα μοντέλα αυτού του τύπου αγνοούν την επίδραση των τυρβωδών διακυμάνσεων στο μέσο πεδίο ροής που εκφράζεται με τις τάσεις Reynolds. Σημειώνεται ότι σε ένα δισδιάστατο μοντέλο, οι τυρβώδεις τάσεις Reynolds είναι οι μοναδικοί όροι σκέδασης που εισάγονται στις εξισώσεις ορμής. Οι Karambas & Tozer 2001 πρότειναν έναν συνδυασμό των δύο παραπάνω τεχνικών, θεωρώντας κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας ίδια με αυτή των Madsen και Svendsen (1983) και οι Svendsen και Madsen (1984). Συνοψίζοντας τα παραπάνω μέχρι στιγμής έχουν προταθεί τρείς τρόποι επιπρόσθετης διάχυσης ορμής για την προσομοίωση της θραύσης: Το μοντέλο επιφανειακού κυλίνδρου ( surface roller model) (Schäffer et al., 1993; Madsen et al., 1997). 75

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Το μοντέλο στροβιλότητας (vorticity model) (Svendsen et al., 1996; Veeramony and Svendsen, 1999, 2000). Το μοντέλο τυρβώδους συνεκτικότητας (eddy viscosity model) (Heitner and Housner, 1970; Zelt, 1991; Kennedy et al., 2000) Μια συνοπτική, σχηματική, σύγκριση των μοντέλων τυρβώδους συνεκτικότητας (Kennedy 2000 ) και του μοντέλου επιφανειακού κυλίνδρου φαίνεται στο σχήμα 2.16 Οι κρίσιμες τιμές υπολογίζονται σε κάθε κόμβο μεμονωμένα. Η περιοχή θραύσης υπολογίζεται ως αποτέλεσμα των μεμονωμένων «κόμβων θραύσης». Η κατακόρυφη ταχύτητα της ελεύθερης επιφάνειας υπολογίζεται σε κάθε κόμβο μεμονωμένα. Η περιοχή θραύσης υπολογίζεται γεωμετρικά. Σχ2.16. Σχηματική σύγκριση των μοντέλων τυρβώδους συνεκτικότητας (Kennedy 2000 ) και επιφανειακού κυλίνδρου. [23] 76

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 2.6 Εισαγωγή στην τριβή πυθμένα Όπως έγινε φανερό από τα προηγούμενα κεφάλαια η μαθηματική αντιμετώπιση των διάφορων κυματικών θεωριών έγινε με την υπόθεση ενός σταθερού, αδιαπέρατου και τοπικά οριζόντιου πυθμένα. Στη φύση υπάρχει ένα τεράστιο εύρος από είδη πυθμένων, από λασπώδεις πυθμένες όπου η ιλύς συμπεριφέρεται σαν παχύρρευστο υγρό μέχρι πολύ σκληρούς και τραχείς βραχώδεις πυθμένες. Η ακαμψία του πυθμένα, το πορώδες του και η τραχύτητα του είναι παράγοντες που μπορούν να επηρεάσουν σε σημαντικό βαθμό τα χαρακτηριστικά των κυματισμών. Σε γενικές γραμμές η αλληλεπίδραση του κυματισμού και του πυθμένα οδηγεί σε απόσβεση ποσού της κυματικής ενέργειας και τοπική αλλαγή της κινηματικής των υγρών μορίων. οι σημαντικότερη απόσβεση ενέργειας εμφανίζεται όταν ο πυθμένας είναι πολύ μαλακός (εύκαμπτος ) ή όταν τα κύματα προωθούνται για μεγάλες αποστάσεις. Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις Navier Stokes για κυματισμούς σε ένα ιξώδες ρευστό: = + ν + t ρ x x z 2 2 u 1 p u u 2 2 (2.60α) = + ν + t ρ z x z 2 2 w 1 p w w 2 2 (2.60β) όπου ν είναι ο συντελεστής κινηματικού ιξώδους. Στην περίπτωση οριακής στοιβάδας στρωτής ροής και πολύ κοντά στον πυθμένα η επίδραση του ιξώδους είναι σημαντική. Χωρίζοντας το πεδίο ροής σε αστρόβιλο (u p ) και στροβιλό (u r ) θα έχουμε : u=u p +u r. ur H u r ικανοποιεί μια προσεγγιστική στροβιλή λύση: t u = v z 2 r 2 (2.61) ενώ από την γραμμική θεωρία έχουμε : gαk coshk(d+ z) up = cos(kx ωt) ω coshkd (2.62) όπου α είναι το εύρος του κυματισμού. Η συνολική οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας θα είναι τελικά: 77

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ + ω = + + 2v (2.63) ω /2v(z d) u e cos kx ωt (z d) και η κατακόρυφη (όπως προκύπτει από την εξίσωση συνέχειας): gαk i(ψ π/2) v + (1+ i) ω /2v (z+ d) i(ψ+ 3π/4) w = sinhk(d + z)e k (e 1)e ω cosh(kd) ω (2.64) όπου ψ=kx-ωt. Η στιγμιαία διατμητική τάση που ασκείται στον πυθμένα λαμβάνεται από την σχέση: u w ur τxz = ρv + ρv z x z z= d z= d (2.65) ή v gαk π τ = ρ cos kx ωt xz ωωcoshkd 4 (2.66) Από τον (2.66) φαίνεται ότι η διατμητική τάση πυθμένα είναι αρμονική συνάρτηση με διαφορά φάσης 45 ο από την ελεύθερη επιφάνεια. Για παλμική ροή κυματισμού η διατμητική τάση πυθμένα είναι: τ ρf = u u 8 xz b b (2.67) όπου u b είναι η ταχύτητα πυθμένα και f είναι ένας συντελεστής τριβής. Η μέγιστη ταχύτητα στον πυθμένα είναι: ( u ) b max gαk = = ζω b ω coshkd (2.68) όπου ζ b είναι η μέγιστη οριζόντια μετακίνηση ενός υγρού μορίου στον πυθμένα. Από τις (2.66) και (2.67) λαμβάνουμε: 78

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ f 8 = R 1/2 b (2.69) όπου R b είναι ο αριθμός Reynolds που δίνεται από τη σχέση: R b ubζ = v b (2.70) Η σχέση μεταξύ R b και f δίνεται στο παρακάτω σχ.2.17 Σχ.2.17 Σχέση μεταξύ συντελεστή τριβής f και αριθμού Reynolds R b.[27] Τις περισσότερες περιπτώσεις όμως όταν το ύψος του κύματος γίνεται σχετικά μεγάλο ή ο πυθμένας σχετικά τραχύς η ροή στην οριακή στοιβάδα γίνεται τυρβώδης και όχι στρωτή όπως εξετάστηκε στα προηγούμενα. Αυτή η περίπτωση είναι και η πιο συνηθισμένη στη φύση. Πειραματικές εργασίες από τους Jonsson (1966), Kamphuis (1975), Jonsson & Carlsen (1976) και οι θεωρητικές μελέτες από τον Kajiura (1968) επέδειξαν την εξάρτηση της οριακής αυτής στοιβάδας από τον αριθμό Reynolds και την σχετική τραχύτητα του πυθμένα που ορίζεται ως k e /ζ b όπου k e το ισοδύναμο μέγεθος κόκκου του πυθμένα. 79

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Ο Kamphuis (1975) προτείνει (με κάποια επιφύλαξη) ότι k e =2d 90 όπου d 90 είναι η διάμετρος του κόκκου της άμμου πυθμένα από την οποία το υπόλοιπο 90% είναι λεπτότερο. Όσον αφορά το συντελεστή τριβής f προτείνει: 3/4 k k = > ζb ζb e e f 0.1 για 0.02 (2.71) k k + = < 2 f 2 f e e ln 0.35 ln για ζ ζ b b (2.72) Οι (2.71) και (2.72) ισχύουν όταν k e ζ R b b Ενώ η (2.67) εξακολουθεί να ισχύει για την διατμητική τάση στον πυθμένα και για τυρβώδη στοιβάδα. Η απόσβεση ενέργειας λόγω τριβής δίνεται από τη σχέση: ε = τ u (2.73) D xy b ή ρf ( ) 3 2 εd = ubmax cos (kx ωt) cos(kx ωt) (2.74) 8 η οποία στην περίοδο του κύματος έχει μέση τιμή: ε D ρf 3 ( bmax) ρf u αω = = 8 6π sinhkd 3 (2.75) Κλείνοντας η μείωση του ύψους του κύματος συναρτήσει της απόστασης πάνω από έναν επίπεδο πυθμένα ισούται με α0 α(x) = 2 2f k α x π (2kd + sinh2kd) sinhkd (2.76) 80

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ όπου α 0 είναι ένας συντελεστής απόσβεσης. Η σχέση (2.76) σχηματοποιείται στο σχ.2.18 Σχ.2.18 Απόσβεση ενέργειας κυματισμού με σχηματισμό τυρβώδους οριακής στοιβάδας. [27] Το ποσό της μείωσης ενέργειας αυξάνεται αμε την αύξηση του συντελεστή τριβής f και εξαρτάται από το βάθος. Σε βαθιά νερά η σχέση α/α 0 γίνεται ίση με τη μονάδα και συνεπώς η τριβή γίνεται αμελητέα, ενώ στα ρηχά νερά η ασύμπτωτη ισούται με : α 1 = α f α 0 0x 1 + 6π d 2 (2.77) 81

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ 2.7 Οριακές συνθήκες Τα αριθμητικά σχήματα επίλυσης των ομοιωμάτων Boussinesq συμπληρώνονται και από τις κατάλληλες οριακές συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές χωρίζονται σε δυο μεγάλες κατηγορίες: Όρια γένεσης κυματισμού. Όρια ακτινοβολίας ή απορροφητικά όρια Όρια γένεσης κυματισμού Ο απλούστερος τρόπος για την προσομοίωση της εισαγωγής της κυματικής διαταραχής στο πεδίο συνίσταται στον καθορισμό σε ένα όριο του (συνήθως στο ανάντη) των τιμών των συναρτήσεων ζ(t), u(t), v(t) σε κάθε χρονικό βήμα του αριθμητικού σχήματος που εφαρμόζεται στο ομοίωμα Boussinesq. H προσέγγιση όμως αυτή, είναι αναποτελεσματική για την προσομοίωση των ανακλώμενων κυματισμών από το όριο αυτό, κυματισμών που επιστέφουν μέσα στο πεδίο. Συνήθως στο όριο γένεσης του κύματος είναι διαθέσιμη μόνο η χρονοσειρά της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, ζ(t), ενώ το ύψος του κύματος είναι μικρό σε σχέση με το βάθος στη θέση αυτή. Οι Wei & Kirby (1995) προτείνουν τις ακόλουθες σχέσεις για τον υπολογισμό των συνιστωσών της οριζόντιας ταχύτητας: ω u = ζ cos θ 1 kd ( ) α + kd0 3 (2.78) v ω = ζ sinθ 1 kd ( ) α + kd0 3 (2.79) όπου θ η γωνία διάδοσης των κυματισμών σε σχέση με τον άξονα x. 82

97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ H πιο πρόσφατη εξέλιξη στο πρόβλημα της γένεσης κυματισμών αφορά στην τεχνική της προσθήκης μιας συνάρτησης πηγής για την παραγωγή του κύματος στο εσωτερικό της υπολογιστικής περιοχής. Μια συνάρτηση «πηγής» προστίθεται στην εξίσωση διατήρησης της μάζας (ή εξίσωσης συνέχειας) εξαιτίας της εφαρμογής στοιβάδων απορρόφησης (sponge layers) της κυματικής ενέργειας κοντά στα όρια του πεδίου οπότε και αφαιρείται η δυνατότητα γένεσης κυματισμού σε αυτά. Συνεπώς τα κύματα που γεννώνται στο εσωτερικό του πεδίου λόγω της συνάρτησης πηγής απορροφώνται όταν προσπίπτουν στα όρια απορρόφησης. Η πρώτη προσπάθεια να συμπεριληφθεί ένας τέτοιος όρος στις εξισώσεις Boussinesq έγινε από τους Larsen & Darcy (1983), οι οποίοι προσθαφαιρούσαν μάζα κατά μήκος μιας γραμμής η οποία μετέπιπτε σε σημείο στις περιπτώσεις μονοδιάστατου ομοιώματος. Ο Wei (1997) διεπίστωσε ότι ενώ η προαναφερθείσα μέθοδος εφαρμόζεται με επιτυχία στον έκκεντρο κάναβο των Larsen & Darcy (1983), στην περίπτωση μη έκκεντρου κανάβου εμφανίζεται θόρυβος γύρω από το σημείο της πηγής. Για τον λόγω αυτό οι Gobbi & Kirby (1999) ακολουθώντας την προσέγγιση των Wei et al. (1999) κάνουν την υπόθεση της γκαουσιανής (κωδωνοειδούς ) κατανομής της συνάρτησης πηγής. Θεωρώντας σταθερό βάθος τοπικά στην περιοχή της γένεσης των κυματισμών, η συνάρτηση «πηγής» για μονοχρωματικούς κυματισμούς γωνιακής ταχύτητας ω δίνεται από τη σχέση (σε μονοδιάστατο πρόβλημα): 2 f(x,t) s Dsexp( β s(x x s) )sinωt = (2.80) όπου x s είναι η τετμημένη του κέντρου της συνάρτησης πηγής, β s συντελεστής που καθορίζει το πόσο επικεντρωμένη είναι η συνάρτηση πηγής, D s το μέτρο της συνάρτησης πηγής Υποθέτοντας ότι το παραγόμενο κύμα έχει περιορισμένο εύρος, προκύπτει από τις συναρτήσεις Green η αναλυτική έκφραση για το Ds: 83

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ D = iη 0 s 2 4 ωagi 1 1+ C(kd) 3 + C(kd) 4 (2.81) Οι συντελεστές A G, I 1, C 3 και C 4 δίνονται αναλυτικά από τους Gobbi & Kirby (1999). Οι Gobbi & Kirby επισημαίνουν ότι παρότι η γκαουσιανή παράμετρος σχήματος β s λαμβάνεται τυχαία, στην πράξη η τιμή της έχει μεγάλη επιρροή στην πιστότητα με την οποία η συνάρτηση πηγής παράγει το επιθυμητό κύμα. Θεωρητικά η τιμή αυτή θα έπρεπε να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ούτως ώστε η συνάρτηση πηγής να είναι περισσότερο επικεντρωμένη. Ωστόσο, από την εφαρμογή προκύπτει ότι αν η περιοχή της πηγής είναι στενή (μεγάλο β s ), τα παραγόμενα κύματα παρουσιάζουν διαταραχές,ενώ θόρυβος μπορεί να εμφανιστεί όταν έχουν πεπερασμένο εύρος. Επίσης καθόρισαν το πλάτος της περιοχής γένεσης κυματισμών, Ws, να είναι ίσο με την απόσταση δύο σημείων που ισαπέχουν από το κέντρο της συνάρτησης πηγής με συντεταγμένες e s 2 s = e : β (x x ) 5 W 5 s = 2 (2.82) β s Μια πηγή πλάτους Ws, ίσο με το μήκος κύματος, διαπιστώθηκε ότι δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για ένα ευρύ φάσμα υψών και κυματαριθμών μονοχρωματικών κυματισμών. Διαπιστώνουν (Gobbi & Kirby, 1999) όμως ότι όταν οι κυματισμοί είναι έντονα μη γραμμικοί ( Ο(1)) η συνάρτηση πηγής δεν μπορεί να εφαρμοστεί

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ Όρια ακτινοβολίας ή απορροφητικά όρια Η απορρόφηση της κυματικής ενέργειας, η διέλευση της χωρίς μεταβολές και η ανάκλαση (μέρους της ενέργειας αυτής ή και του συνόλου της) από τα ανοικτά όρια ή εσωτερικές περιοχές του πεδίου εφαρμογής ενός ομοιώματος Boussinesq είναι ζήτημα που έχει απασχολήσει πολλούς ερευνητές τα τελευταία χρόνια. Η γνωστή συνθήκη ακτινοβολίας του Sommerfeld (ή συνθήκη ελεύθερης διάβασης) η οποία υποδηλώνει ότι οι κυματικές διαταραχές απλά εξέρχονται προς το άπειρο χρησιμοποιείται πολύ συχνά. Η συνθήκη αυτή εκφράζεται μαθηματικά ως εξής: ζ + c cosθ ζ = 0 (2.83) t x όπου c συμβολίζεται η φασική ταχύτητα και θ η διεύθυνση διάδοσης του κυματισμού στο όριο. Στην περίπτωση όμως διασπειρόμενων κυματισμών δεν υπάρχει κάποια φασική ταχύτητα που να χαρακτηρίζει το σύστημα. Επιπλέον σε εφαρμογές των 2 διαστάσεων η διεύθυνση διάδοσης του κύματος δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Για την αντιμετώπιση των παραπάνω δυσκολιών γίνονται προσεγγίσεις στη συνθήκη ακτινοβολίας. Στην περίπτωση που η κύρια διεύθυνση διάδοσης βρίσκεται κοντά στον άξονα των x η προσεγγιστική συνθήκη γίνεται (Enquist & Madja, 1977): 2 c ζ tt + cζxt ζyy = 0 (2.84) 2 Η συνθήκη αυτή ανταποκρίνεται στην επιβολή μιας παραβολικής προσέγγισης για το εξερχόμενο κύμα. Η φασική ταχύτητα καθορίζεται από την σχέση των μακρών κυματισμών c = g d. H προαναφερθείσα προσεγγιστική σχέση ακτινοβολίας αναπόφευκτα εισάγει και ανακλάσεις κατά μήκος του ορίου γεγονός που μπορεί να οδηγήσει μοντέλο σε αστάθεια. Για την μειώση της ανάκλασης οι Wei and Kirby (1995) προτείνουν την εφαρμογή όρων απορρόφησης στο υπολογιστικό πεδίο. Η προσθήκη αυτή μεταφράζεται σε νέους όρους στην εξίσωση διατήρησης της ορμής. Για μονοδιάστατη περίπτωση αυτή γίνεται: Ut = F(ζ,u) w 1(x)u w 2(x) uxx (2.85) 85

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ BOUSSINESQ όπου F( ) είναι οι υπόλοιποι όροι της εξίσωσης διατήρησης της ορμής ενώ οι w 1 (x), w 2 (x) ονομάζονται παράμετροι απόσβεσης. Δίνονται από τις σχέσεις: 0; x<x w(x) 1 = αωf(x); x>x 1 s s (2.86) 0; x<x w 2(x) = α vf(x); x>x 2 s s (2.87) όπου α 1 και α 2 που καθορίζονται κάθε φορά για την κάθε εκτέλεση ενός μοντέλου, ω η συχνότητα κυματισμού που αποσβένυται, x s η τετμημένη της αρχής της απορροφητικής στοιβάδας (η περιοχή του μοντέλου θεωρείται ότι εκτείνεται από το x=0 x=x t ), ν είναι το κινηματικό ιξώδες και f(x) μια συνάρτηση εκθετικής μορφής υπολογιζόμενη από τη σχέση: f(x) = s exp 1 n x x xt xs exp(1) 1 (2.88) Οι Wei & Kirby (1995) προτείνουν για τις εφαρμογές των παραπάνω διατάξεων το εύρος της στοιβάδας απορρόφησης να λαμβάνεται ίσο με 2 ή 3 φορές το μήκος του κυματισμού. 86

101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Εισαγωγή Όπως έγινε φανερό σε προηγούμενα κεφάλαια ( κεφ. 2.3 και 2.4) η προσπάθεια όλων των ερευνητών για τα ομοιώματα Boussinesq ήταν προς την κατεύθυνση της απάλειψης του περιορισμού βάθους που είχαν οι αρχικές εξισώσεις (Peregrine 1967, 2.2). Σύμφωνα με τις τελευταίες εξελίξεις (Madsen et al και Bingham & Agnon 2005) ο περιορισμός αυτός έχει πρακτικά αρθεί. 87

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Παρόλα αυτά, αρκετά πρακτικά προβλήματα προκύπτουν σχετικά με την εφαρμογή, τη σταθερότητα και την ακρίβεια των αριθμητικών σχημάτων επίλυσής τους. Στην πλειονότητά τους αυτές οι δυσκολίες είναι συνέπεια της ιδιαίτερης πολυπλοκότητας των συστημάτων των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) οι οποίες εμπεριέχουν ένα σημαντικό αριθμό όρων με παραγώγους υψηλότερων τάξεων. Είναι φυσικό επακόλουθο ότι και τα αριθμητικά σχήματα επίλυσης των ΜΔΕ είναι πολύπλοκα και περιλαμβάνουν μεγάλα συστήματα διακριτών γραμμικών εξισώσεων. Στην παρούσα ενότητα, περιλαμβάνει την κατάστρωση ενός καινούριου εξελιγμένου ομοιώματος τύπου Boussinesq που προτάθηκε από τους Karambas & Memos (2009). Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι παρόμοιες με εκείνες που κατέστρωσαν οι Chester (1968) και Tsutsui et al. (1998). Το σύστημα των εξισώσεων που προτείνεται από τους Karambas & Memos, ορίζεται σε δύο οριζόντιες διαστάσεις και προσομοιάζει τη διάδοση κυματισμών πλήρους διασποράς και ελαφρώς μη γραμμικών, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο βάθος νερού. Το μοντέλο περιέχει πέντε όρους στην εξίσωση ορμής, περιέχοντας τους όρους της εξίσωσης μακρών κυματισμών και μόνο έναν όρο διασποράς συχνοτήτων. Το αριθμητικό σχήμα επίλυσής του βασίζεται σε ένα απλό σχήμα πεπερασμένων διαφορών, και περιλαμβάνει και τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος συνέλιξης. Συνεπώς το μοντέλο αυτό δεν εμπλέκει την επίλυση μεγάλων συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων όπως σε άλλες διατυπώσεις ομοιωμάτων Boussinesq. Ο κύριος σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η επέκταση του μαθηματικού αυτού ομοιώματος ούτως ώστε να συμπεριλάβει και θραυόμενους κυματισμούς καθώς και την επίδραση της τριβής του πυθμένα. Η διαδικασία αυτή επιτυγχάνεται με την ενσωμάτωση στην εξίσωση διατήρησης της ορμής δύο επιπρόσθετων όρων, έναν για την θραύση και έναν για την τριβή πυθμένα, οι οποίοι θα προσομοιώνουν την διάχυση της ενέργειας λόγω των διεργασιών αυτών. 88

103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Κατάστρωση εξισώσεων Boussinesq Karambas & Memos (2009) Μονοδιάστατη περίπτωση (1DH) Υποθέτοντας ιδεατό και ασυμπίεστο ρευστό όπου οι συνήθεις εξισώσεις Navier-Stokes ικανοποιούνται, η εξίσωση συνέχειας και οι κινηματικές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και πυθμένα γράφονται: u w + = 0 x z (3.1α) u u u 1 p + u + w = t x z ρ x (3.1β) w w w 1 p + u + w = g t x z ρ z (3.1γ) ζ ζ w = + u, στο z = ζ (x,t ) t x (3.1δ) d w = u, στο z = d x (3.1ε) όπου u και w είναι η οριζόντια και κατακόρυφη ταχύτητα των υγρών σωματιδίων, x και z οι οριζόντια και κατακόρυφη συντεταγμένη αντίστοιχα, (με την αρχή των αξόνων στη Σ.Η.), p η πίεση (ο τόνος υποδηλώνει μεταβλητές με διαστάσεις), d το βάθος του 89

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 νερού, ζ η διακύμανση της ελεύθερης. επιφάνειας, ρ η πυκνότητα του νερού, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και t ο χρόνος. Επίσης γίνεται η παραδοχή της αστρόβιλης ροής. Αυτό συνεπάγεται με την ύπαρξη ενός δυναμικού ταχύτητας F (x,z,t ) που περιγράφει τη ροή αυτή. Οι ταχύτητες του ρευστού u, w εκφράζονται ως εξής: F u = x, F w = z. (3.2) Οι ανεξάρτητες αυτές παράμετροι γίνονται αδιάστατες ως εξής: x x =, L z z = και d o t = gd o L t (3.3) όπου d o και L να αντιπροσωπεύουν το χαρακτηριστικό βάθος νερού και το χαρακτηριστικό μήκος κύματος αντίστοιχα. Ο τόνος υποδηλώνει παραμέτρους με διαστάσεις. Επίσης: d d =, d o ζ ζ =, u = uε gd H o, gd w = wε o (3.4) σ όπου H το χαρακτηριστικό ύψος κύματος, ε είναι η παράμετρος μη γραμμικότητας ε H/d o 2 = και ( ) 2 σ = d L η παράμετρος διασποράς. o Ολοκληρώνοντας την (3.1α) ως προς το βάθος και χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες της ελεύθερης επιφάνειας και του πυθμένα, η γνωστή εκδοχή της εξίσωσης συνέχειας προκύπτει, μετά από χρήση του κανόνα ολοκλήρωσης Leibnitz : 90

105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 (( d ζ) U) ζ + + = 0 t x (3.5) Όπου U, η μέση στο βάθος ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση: U = εζ 1 udz d + εζ (3.6) d Η εξίσωση (3.2) είναι μια ακριβής σχέση εφαρμόσιμη στα βαθιά, ενδιάμεσα και ρηχά νερά χωρίς κανένα περιορισμό στη μη-γραμμικότητα. Η εξίσωση ορμής (σχέσεις 3.1β, 3.1γ) και χρησιμοποιώντας αδιάστατες παραμέτρους με τη μέθοδο των Veeramony & Svendsen (2000) είναι: ( U( d εζ )) εζ + εζ 2 ( ) x (3.7) + ε u dz = p d d pdz t x x d d εζ z p(z) = ζ σ wdz εσ w εσ uwdz ε + + t x (3.8) z εζ z Όπου p είναι η κανονικοποιημένη (p=p /ρgd o ) πίεση Εισάγοντας την (3.8) στην (3.7) και κρατώντας όρους της τάξης Ο(1,ε,σ 2 ) η ακόλουθη εξίσωση ορμής ολοκληρωμένη στο βάθος και εκφρασμένη σε αδιάστατες παραμέτρους είναι: U U ζ 1 + = + t x x d x t d z ( ) (3.9) εu g σ wdz dz O εσ, ε,... Για το επίπεδο αυτό της προσέγγισης είναι δυνατή η παραδοχή ότι εζ=0 στα όρια των ολοκληρωμάτων πολλαπλασιασμένων επί σ 2. 91

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Με συνδυασμό των (3.1α) και (3.2) προκύπτει: F x F z σ + = (3.10) Από τους διάφορους ορισμούς του μετασχηματισμού Fourier (F.T.) και του ανάστροφού του, επιλέγονται οι ακόλουθοι: {} {} ˆ 1 ikx 2π ˆ x k F.T. f = e f(x) dx = f -1 1 ikx 2π F.T. f = e ˆf(k) dk = f (3.11) όπου k είναι ο κυματικός αριθμός. Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier στην (3.10) θα έχουμε( Radder, 1992, Kervella et al 1997): 2 φ 2 2 σ k φ = 0 2 z όπου ( ) ( ), (3.12) { } φ k,z,t = F.T. F x,z, t ;x k Μια γενική μορφή της επιλύουσας της (3.12) είναι: Φ = Acosh σk(d + z) + B sinh σk(d + z), (3.13) όπου Α, Β είναι συναρτήσεις του k, t. Χρησιμοποιώντας την (3.1ε) και υποθέτοντας σταθερό βάθος η λύση γίνεται: φ(k, z, t) = f cosh σk(d + z), (3.14) όπου η f είναι συνάρτηση του k, t. 92

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Συνεπώς το αδιάστατο δυναμικό της ταχύτητας F εκφράζεται ως ολοκλήρωμα Fourier συναρτήσει της f. 1 1 ikx F(x,z, t) F.T. φ(k, z, t);k x e cosh σk(d z) f(k, t) dk { } = = + 2π (3.15) Από την (3.15) λαμβάνονται οι συνιστώσες της ταχύτητας: F 1 ikx u = = ike cosh σk(d + z) f(k,t)dk x 2π (3.16) F 1 ikx w = = σke sinh σk(d + z) f(k,t)dk z 2π (3.17) Κατόπιν, χρησιμοποιώντας τον όρο ολοκληρώματος της σχέσης (3.9), = d x t x d z d z 2 1 D σ udzdz dz, η σχέση (3.16) γίνεται: z ikx D = σ ik e cosh σk(d z) f(k,t)dkdzdz dz d + = x t x 2π d z d ikx = σ ke sinh( σk(d z) ) f(k,t)dk dz dz d + = x t 2π d z ikx = e coshσkd cosh( σk(d z) ) f(k,t)dk dz d + = x t 2π d ikx ike coshσkd 1 dk 1 tanhσkd f(k, t) = 2π σkd t (3.18) 93

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Η σχέση (3.1β), σε αδιάστατη μορφή, γράφεται: u u ε u 1 p + εu + w = 2 t x σ z ε x (3.19) και κάνοντας χρήση της εξίσωσης (3.16) έχουμε: ikx 2 ε ike cosh σk(d z) dk O(ε,...) p 1 f(k,t) = + + x 2π (3.20) t Συνδυάζοντας την (3.20) με την σχέση (3.8) η κλίση της διακύμανσης της ελεύθερης επιφάνειας, για το επίπεδο ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι Karambas & Memos (2009), θα ισούται με : ikx ike coshσkd dk ζ 1 f(k,t) = x 2π (3.21) t Εφόσον η tanhσkd/σkd είναι μια άρτια συνάρτηση,δηλαδή, ikξ tanh σkd ijξ tanh σjd 2 πξ (3.22) e dk = e dj = lntanh σkd σjd σd 4σd αποδεικνύεται εύκολα: πξ ln tanh dξ = σπd 4σd (3.23) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας συνέλιξης: iξt F(ξ)G(ξ)e dξ = f(u)g(t u)du (3.24) 94

109 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 όπου : { } {} F.T. f F.T. g = F(ξ) = G(ξ) Η σχέση (3.18), χρησιμοποιώντας τις (3.21), (3.22) και (3.23), γίνεται: 1 πξ D = ζ(x ξ,t) ζ(x,t) lntanh dξ πd x (3.25) 4σd Καταλήγοντας, επιστρέφουμε στις μη αδιάστατες μεταβλητές (και καταργώντας τον συμβολισμό του τόνου) U U ζ g πξ + U + g = ζ(x ξ,t) ζ(x,t) ln tanh dξ t x x πd x (3.26) 4d Η σχέση (3.26) είναι μια εξίσωση διατήρησης της ορμής τύπου Boussinesq η οποία δεν λαμβάνει υπόψη περιορισμούς στη διασπορά. Το δεξί μέλος είναι της τάξης Ο(σ 2 ) και αντιστοιχεί στην επίδραση μη υδροστατικών πιέσεων. Οι Karambas & Memos σημειώνουν πως η σχέση (3.26) είχε δοθεί και από τον Chester (1968), με τη διαφορά ότι εξήχθη ακολουθώντας διαφορετική διαδικασία. Οι Tsutsui et al. (1998) εξήγαγαν από παραπλήσια διαδικασία μια εξίσωση διατήρησης ορμής : U U ζ + U = (x ξ,t)k(ξ)dξ t x (3.27) x όπου K(ξ) είναι ο πυρήνας του ολοκληρώματος που προκύπτει από τη σχέση: 95

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 g πξ K(ξ) = lntanh πd 4d (3.28) Οι Karambas & Memos (2009) προτείνουν την (3.26) αντί της (3.27), αφού η πρώτη εξίσωση οδηγεί σε αριθμητικώς καλύτερα αποτελέσματα. Η πρακτική εφαρμογή της (3.27) και το προτεινόμενο αριθμητικό σχήμα επίλυσής της δίνουν αποτελέσματα τα οποία έχουν μη σταθερές μορφές ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας και της ταχύτητας U, στην περίπτωση ενός γραμμικού περιοδικού κυματισμού διαδιδόμενου σε σταθερό βάθος νερού. Συνεπώς το σύστημα των εξισώσεων του μοντέλου αποτελείται από τις εξισώσεις (3.5) και (3.26). Θα πρέπει να τονιστεί ότι οι μόνες παραδοχές για το παρόν μοντέλο είναι το δυναμικό του πεδίου ροής, το σταθερό βάθος και τα ελαφρώς μη γραμμικά κύματα. Είναι επίσης προφανές ότι το ομοίωμα είναι σε συμφωνία με τη γραμμική θεωρία Stokes και ακριβές για κυματισμούς γραμμικούς και περιοδικούς που διαδίδονται σε σταθερό βάθος. Συνεπώς όσον αφορά τη σχέση της γραμμικής διασποράς, η παραπάνω προσέγγιση είναι ακριβής, δηλαδή το εξελιγμένο αυτό μοντέλο τύπου Boussinesq δεν περιορίζεται από το βάθος του νερού. Ωστόσο όπως τονίζουν οι συγγραφείς τα μη γραμμικά χαρακτηριστικά του δεν είναι τόσο αντιπροσωπευτικά στα βαθιά νερά. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο ότι στη διαδικασία που ακολουθείται για την εξαγωγή της (3.26) από την (3.9) θεωρήθηκε εζ 0 στα όρια του ολοκληρώματος της σχέσης (3.9) πολλαπλασιασμένα επί σ 2. Εφόσον κρατούνται οι όροι της μη-γραμμικότητας μόνο μέχρι την πρώτη τάξη το μοντέλο δεν αναπαριστά με πιστότητα τις συνθήκες σε βαθύτερα νερά όπου εσ 2 ε. 96

111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Δισδιάστατη περίπτωση Η δισδιάστατη εξίσωση προκύπτει με ανάλογη διαδικασία με αυτή που περιγράφη στην προηγούμενη ενότητα. Για λόγους απλότητας υιοθετείται όμως η διαδικασία που ακολουθήθηκε από τους Tsutsui et al. (1998). Συνεπώς οι εξισώσεις συνέχειας και ορμής γίνονται αντίστοιχα, για διαστατές παραμέτρους: ((d ζ)u ) ((d ζ)v) ζ = 0 t x y (3.29) (3.30) U U U ζ ζ ζ + U + V + g = (x ξ,x ξ,t) K(ξ,ξ )dξ dξ t x y x x x (3.31) V V V ζ ζ ζ + U + V + g = (x ξ,x ξ,t) K(ξ,ξ )dξ dξ t x y y y y Όπου V η μέση ταχύτητα στο βάθος στη διεύθυνση-y και ο πυρήνας K(x,y) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: n 1 g 1 ( 1) K(x,y) = 2 2πd r/d 2 2 n= 1 n + (r /d) /4 (3.32) με r 2 =x 2 +y 2. Ο πυρήνας που δίνεται από τη σχέση (3.28) έχει τις ιδιότητες(tsutsui et al. (1998)): 97

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 ( ) K x g π x x ln όταν 0 πd 4 d d = 2g π x x exp - όταν πd 2 d d (3.33) Έτσι από τις (3.33) βλέπουμε ότι πυρήνας (3.28) συμπεριφέρεται σαν το λογαριθμικό δυναμικό κοντά στην περιοχή του και μειώνεται εκθετικά ώστε K(x)=0 στην περιοχή xd> 4. Γι αυτό το πεδίο επιρροής του, περιορίζεται στην περιοχή xd< 4. Ανάλογα και για τον πυρήνα της σχέσης (3.32). Στο σχήμα 3.1 αναπαρίστανται οι μονοδιάστατοι και δισδιάστατοι πυρήνες (kernel) των ολοκληρωμάτων συνέλιξης: Kernel K(x,y) (2DH) K(x) (1DH) x/d Σχ.3.1. Οι 1DH και 2DH πυρήνες (kernels) συναρτήσει του x/d. (Karambas & Memos 2009). 98

113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Ανάλυση μη γραμμικότητας Στην παρούσα ενότητα αναλύονται οι εξισώσεις συνέχειας (3.5) και διατήρησης της ορμής (3.26) για την ποσοτικοποίηση των ενσωματωμένων σε αυτές χαρακτηριστικών που αφορούν την διασπορά και τη μη γραμμικότητα. Με την υπόθεση του οριζόντιου πυθμένα και ε<<1 ( ήτοι λύση ήπιας μη γραμμικότητας) πραγματοποιείται ένας μετασχηματισμός Fourier για κυματισμούς τύπους Stokes. Οι λύσεις που αναζητούνται είναι πρώτης και δεύτερης τάξης και είναι της μορφής : ζ = acosθ 1 + ε acos2θ, 2 U= U1cosθ + εucos2θ 2, (3.34) όπου θ = kx ωt ( ω = 2π /T, και T η περίοδος του κυματισμού). Αντικαθιστώντας τις (3.34), στην (3.5) λαμβάνουμε (στο O( ε 0 ) ) U = ωa /(kd) και τη σχέση διασποράς: ω = gk tanh(kd) (3.35) που είναι ταυτόσημη με τη γραμμική διασπορά Stokes. Εισάγοντας πάλι τις σχέσεις (3.34) στις (3.5) και (3.26), και συγκεντρώνοντας τους όρους O(ε) οδηγούμαστε στη λύση δεύτερης τάξης: a 2 2 a 1 3 tanh(kd) = d 4 tanh(kd) 2 tanh(2kd) (3.36) Η σχέση (3.36) παρουσιάζεται στον ακόλουθο πίνακα 3.1 συγκρινόμενη με την αντίστοιχη σχέση της θεωρίας Stokes (Madsen and Schäffer, 1998). 2 Stokes a a2 = kd coth(kd) 3coth (kd) 1 d 4 ( ) (3.37) 99

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 kd Stokes a 2 /a Πίν Ποσοστό της δεύτερης αρμονικής, Stokes a 2 /a 2 Είναι φανερή η απόκλιση του παρόντος μοντέλου από την αναλυτική σχέση (3.37) εξαιτίας της παραδοχής των ελαφρώς μη γραμμικών κυματισμών. Η συμπεριφορά αυτή είναι ανάλογη άλλων ομοιωμάτων ήπιας μη γραμμικότητας (για περισσότερες λεπτομέρειες Madsen and Schäffer, 1998). 3.4 Αριθμητικό σχήμα επίλυσης Για την αριθμητική επίλυση του συστήματος των εξισώσεων (3.5) και (3.26) χρησιμοποιείται το ευρέως χρησιμοποιούμενο και δοκιμασμένο σχήμα πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης. Το σχήμα είναι κεντρικό στο χώρο και εμπρόσθιο στο χρόνο ( forward time, centered space ή FTCS) σε ένα κάναβο που απεικονίζεται στο Σχ Η διακριτοποιημένη εξίσωση συνέχειας είναι κεντροθετημένη (centered) στα σημεία επιπέδου (level points) και η εξίσωση ορμής στα σημεία ροής (flux points) 100

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Σχ. 3.2 Κάναβος αριθμητικού σχήματος (Karambas & Memos 2008). Οι διαφορικές εξισώσεις (3.29),(3.30) και (3.31) προσεγγίζονται από τις ακόλουθες αλγεβρικές εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών σύμφωνα με το επιλεγμένο ρητό σχήμα (Koutitas 1988): ζ n n n n n ζ (U (d + ζ)) i i+ 1,j (U (d + ζ)) i,j (V (d + ζ)) i,j+ 1 (V (d + ζ)) i,j + + = 0 (3.38) Δt Δx Δy n+ 1 i n+ 1 n n n n n n+ 1 n+ 1 U i,j -U i,j U n i+ 1,j -Ui-1,j U n i,j+ 1 -Ui,j-1 ζi,j - ζi-1,j n+ 1 + Ui,j + Vi,j + g = I (3.39) Δt 2Δx 2Δy Δx n+ 1 n n n n n n+ 1 n+ 1 V i,j -V i,j n Vi+ 1,j -Vi 1,j V n i,j+ 1 -Vi,j-1 ζi,j - ζi,j 1 n+ 1 + Ui,j + Vi,j + g = I (3.40) Δt 2Δx 2Δy Δy Όπου Ι είναι το ολοκλήρωμα συνέλιξης, Δt και Δx,Δy είναι τα χρονικά και χωρικά βήματα διακριτοποίησης αντίστοιχα και η άνω παύλα υποδηλώνει μέση τιμή σύμφωνα με το Σχ. 3.2 : n n n i+ 1,j i,j i+ 1,j (d + ζ) = (d ζ) (d ζ) /2, n n n i,j+ 1 i,j i,j+ 1 (d + ζ) = (d ζ) (d ζ) /2, n n n i,j i,j i 1,j (d + ζ) = (d ζ) (d ζ) /2 n n n i,j i,j i,j 1 (d + ζ) = (d ζ) (d ζ) /2 (3.41) (3.42) 101

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 n n n n n n n n n = ( ), i,j ( i,j i,j+ 1 i 1,j i 1,j+ 1 ) n i,j i,j i 1,j i,j 1 i 1,j 1 U U U U U /4 V = V + V + V + V /4 (3.43) Τα ολοκληρώματα συνέλιξης των (3.30) και (3.31) υπολογίζονται αριθμητικά. Αριθμητικά πειράματα έχουν αποδείξει ότι είναι σημαντικό να χρησιμοποιούνται ψηλότερης τάξης ακρίβειας μέθοδοι όπως ο κανόνας Simpson ή ο κανόνας Newton των 3/8. Επίσης όπως απέδειξαν και οι Tsutsui et al και αναφέρθηκε πιο πάνω (Σχ. 3.1), οι πυρήνες στα ολοκληρώματα συνέλιξης περιέχουν συναρτήσεις παλμού, οι οποίες μετατρέπουν τα όρια των ολοκληρωμάτων σε απόσταση περίπου τεσσάρων βαθών νερού. ± 4d (στη θέση των ± ), που ανταποκρίνεται σε μια οριζόντια Οι όροι του αθροίσματος στην σχέση (3.32) εναλλάσσουν το πρόσημο τους και συνεπώς η σύγκλιση είναι αργή. Για να επιταχυνθεί ο ρυθμός σύγκλισης, οι σειρές στην (3.32) υπολογίζονται μέσω των μετασχηματισμών Euler λόγω του van Wijngaarden (Press et al. 1986). Με αυτό τον τρόπο δεν χρειάζονται παραπάνω από 25 όροι του αθροίσματος. 3.5 Επαλήθευση του ομοιώματος Boussinesq Karambas & Memos (2009) Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται η επαλήθευση του μοντέλου Karambas & Memos (2009) όπως αυτή παρουσιάστηκε στην εργασία των ίδιων. Το ομοίωμα συγκρίνεται με πειραματικές μετρήσεις, με τη γραμμική και τη μη γραμμική θεωρία, για απλούς και σύνθετους κυματισμούς, μη θραυόμενους, τόσο για την μονοδιάστατη περίπτωση (1DH) όσο και για τη δισδιάστατη περίπτωση (2DH). Ο πυθμένας είναι είτε σταθερού βάθους είτε ήπιας κλίσης. Τέλος μελετάται και η διάδοση πάνω από ύφαλο τραπέζιο και ύφαλο σχήματος ελλειπτικού. 102

117 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos (1DH) Σταθερό βάθος- Γραμμικοί και μη γραμμικοί κυματισμοί, γραμμική σύνθετη κυματική διάδοση. Η πρώτη περίπτωση είναι η διάδοση μη γραμμικών κυματισμών σε σταθερό βάθος. Το ύψος κύματος είναι Η=1 m, η περίοδος Τ=8sec και το βάθος d=50m. Το κύμα μπορεί να θεωρηθεί ως ελαφρά μη γραμμικό πεπερασμένου ύψους (Η/d=0.1 και H/L=0.05) διαδιδόμενο στα βαθιά νερά (d/l=0.5). Για την προσομοίωση της διάδοσης χρησιμοποιείται ένας κάναβος χωρικού και χρονικού βήματος Δx=2.5m και Δt=0.125sec αντίστοιχα. Στο Σχ. 3.2 αποτυπώνεται μια σύγκριση μεταξύ του υπολογισμένου και του θεωρητικού προφίλ ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Το θεωρητικό προφίλ σχηματίστηκε κάνοντας χρήση της θεωρίας Stokes 1 ης τάξης (βλ ). Στο Σχ. 3.3 εφαρμόζονται τα ίδια χαρακτηριστικά κύματος αλλά σε πιο βαθιά νερά, d=100m (d/l=1). Και στις δυο περιπτώσεις, οι προβλέψεις του μοντέλου και η μη γραμμική θεωρία βρίσκονται σε πολύ ικανοποιητική συμφωνία. Οι εφαρμογές αυτές δείχνουν ότι το παρών μοντέλο ανεξάρτητο του k (αριθμός κυμάτων), είναι ικανό να περιγράψει με ακρίβεια τη διάδοση των κυμάτων χωρίς κανένα περιορισμό στο σχετικό βάθος νερού. ζ (m) Model Linear theory d/l= x (m) Σχ. 3.2 Σύγκριση υπολογισμένου και θεωρητικού προφίλ ελεύθερης επιφάνειας (H=1m, T=8sec, d=50m) (Karambas & Memos 2009). 103

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 ζ (m) Model Linear theory d/l= x (m) Σχ. 3.3 Σύγκριση υπολογισμένου και θεωρητικού προφίλ ελεύθερης επιφάνειας (H=1m, T=8sec, d=100m) (Karambas & Memos 2009). Το μοντέλο κατόπιν εφαρμόζεται για την πρόβλεψη της προώθησης ελαφρώς μη γραμμικών κυματισμών σε νερό ενδιάμεσου βάθους. Η παράμετρος μη γραμμικότητας είναι ε=h/d= 0.25, ενώ τρεις διαφορετικές τιμές της παραμέτρου d/l λαμβάνονται υπόψη: d/l=0.22, d/l=0.14 και d/l=0.12. Η ανάλυση Fourier χρησιμοποιείται στην προβλεπόμενη χρονοσειρά της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Εξ αυτής λαμβάνεται το εύρος του κυματικού φάσματος και πληροφορίες για συχνότητες κυματισμών. Η θεωρία Stokes 5ης χρησιμοποιήθηκε για την σύγκριση των αρμονικών συχνοτήτων. Η σύγκριση φαίνεται στα σχ. 3.4, 3.5,

119 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Stokes 5th order theory Model H=5 m T= 8 s d=20 m A (m) f (sec -1 ) Σχ.3.4. Εύρος A της σειράς Fourier; d/l=0.22, H/d= Stokes 5th order theory Model H=2.5 m T=8 s d=10 m A (m) f (sec -1 ) Σχ.3.5. Εύρος A της σειράς Fourier; d/l=0.14, H/d=

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Stokes 5th order theory Model H=2.0 m T=8 s d=8 m A (m) f (sec -1 ) Σχ.3.6. Εύρος A της σειράς Fourier; d/l=0.12, H/d=0.25. Η σύγκριση από τα 3 προηγούμενα σχήματα παρουσιάζει την καλή συμφωνία μεταξύ της αριθμητικής προσέγγισης και της αναλυτικής λύσης. Η γραμμική εκδοχή του μοντέλου εφαρμόζεται για να περιγράψει στη διάδοση σύνθετων κυματισμών (όταν λύνεται γραμμικό πρόβλημα οι μη γραμμικοί όροι στις εξισώσεις του μοντέλου απενεργοποιούνται). Σαν αρχική πληροφορία στο μοντέλο εισάγεται μια συνημιτονοειδής σειρά τριών κυματισμών: H 1 =1.7m και T 1 =9sec H 2 =1.9m και T 1 =12sec H 3 =1.7m και T 3 =9sec Διαδιδόμενων σε σταθερό βάθος ίσο με d=25m. Τα χωρικά και χρονικά βήματα στον κάναβο είναι Δx=2.5m και Δt=0.125sec. Τα αποτελέσματα του μοντέλου συγκρίνονται με τη γραμμική υπέρθεση των προφίλ των παραπάνω τριών κυμάτων: 106

121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 H1 H H 2 3 ζ ( x,t) = cos ( k1x ω1t) + cos( k2x ω2t) + cos( k3x ω3t) (3.44) Όπου ω i και k i, η γωνιακή συχνότητα και ο κυματικός αριθμός αντίστοιχα. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο Σχ Τα κύματα ταξιδεύουν κατά μήκος του x, πάνω από 1.2km και παρατηρείται αρκετά καλή σύγκλιση. αυτό υποδεικνύει ξανά την ικανότητα του μοντέλου να προσομοιάσει τη διάδοση σύνθετων κυματισμών, δίνοντας ακριβή πρόβλεψη της εξέλιξης της ελεύθερης επιφάνειας. 4 2 Model Linear theory ζ (m) x(m) Σχ. 3.7 Σύγκριση μοντέλου και γραμμικής θεωρίας για επαλληλία τριών κυμάτων: H 1 =1.7 m and T=9 sec, H 2 =1.9 m και T=12 sec, H 3 =1.0 m and T=6 sec, σε βάθος d=25 m) (Karambas & Memos 2009). 107

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos (1DH) Μεταβαλλόμενο βάθος- Γραμμική ρήχωση, μη γραμμική κυματική διάδοση πάνω από ύφαλο τραπέζιο και ρήχωση μοναχικού κυματισμού σε κεκλιμένο πυθμένα. Το ομοίωμα των Karambas & Memos μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε μια αργά μεταβαλλόμενη τοπογραφία. Στην πραγματικότητα όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η εξίσωση (3.26) του μοντέλου είναι μαθηματικά ισοδύναμη με την (3.28) στην οποία η υπόθεση της ήπιας κλίσης πυθμένα μπορεί να εφαρμοστεί. Επίσης η κατασκευή του πυρήνα Κ είναι τέτοια ώστε αποσβένυται με το x γρηγορότερα από κάθε ήπια μεταβολή του d(x). Τυπικά το μοντέλο είναι εφαρμόσιμο οπουδήποτε το d(x) μπορεί να υποτεθεί σταθερό μέσα στην περιοχή επιρροής του σχετικού πυρήνα. Όντως για την μονοδιάστατη περίπτωση ο πυρήνας αυτός (kernel) του συνελικτικού ολοκληρώματος απαιτεί υπολογιστικό πεδίο που καλύπτει εύρος περίπου 2φορές το βάθος του νερού, ενώ για τη δισδιάστατη περίπτωση το εύρος αυτό επεκτείνεται σε 4 με 5 φορές το βάθος του νερού. Τα μεγέθη αυτά είναι συνήθως μικρότερα από αυτά που απαιτούνται από συνήθεις κώδικες για το υπολογιστικό τους πλέγμα. Συνεπώς το παρόν μοντέλο μπορεί να εφαρμοστεί σε βαθυμετρίες ήπιας κλίσης, ειδικά σε ρηχά νερά όπου τα μη γραμμικά χαρακτηριστικά βελτιώνονται σημαντικά. Αυτό ακολουθήθηκε από τους Tsutsui et al. (1998) και από τον Radder (1992) ο οποίος αναφέρθηκε στα αριθμητικά πειράματα του Zwartkruis (1991). Κάνοντας αυτή την υπόθεση η τιμή του d στην εξίσωση (3.26) μπορεί να θεωρηθεί ως η μέση τιμή του αργά μεταβαλλόμενου βάθους μέσα στο πεδίο x- ξ, δηλαδή ανάμεσα στα σημεία x και ξ. Για να συμπεριληφθούν οι γραμμικές ιδιότητες του μοντέλου και να επαληθευτεί η συμπεριφορά του σε συνδυασμό με το μεταβαλλόμενο βάθος, χρησιμοποιείται ένα «αριθμητικό» κανάλι με ήπια κλίση 1/20 (Σχ.3.8). Και στα δύο όρια το κανάλι αυτό διατηρεί σταθερό βάθος. Το βάθος στο αριστερό όριο είναι d o =50m και στο δεξί d s =0.5m. Ένας γραμμικός κυματισμός με ύψος H o =0.25m και ύψος Τ=8sec δημιουργείται στο αριστερό άκρο του πεδίου και διαδίδεται μέχρι να επέλθει μια σταθερή κατάσταση (steady state) σε όλο το πεδίο. Με αυτό τον τρόπο αναπαράγονται 108

123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 όλες οι συνθήκες από τα βαθιά στα ενδιάμεσα και ακόλουθα στα ρηχά νερά (το μήκος κύματος στα βαθιά L o είναι κατά προσέγγιση 2d o ). Και στα δύο άκρα του πεδίου εφαρμόζεται η τεχνική απορρόφησης κυματισμών με χρήση στοιβάδων απορρόφησης ( 3.6.2). Το Σχ. 3.8 απεικονίζει τη μεταβολή του λόγου ύψους κύματος προς το ύψος στα βαθιά H(x)/H o σε συνάρτηση με το x, έτσι όπως προβλέπει το μοντέλο και η διατήρηση της ενέργειας από τη γραμμική θεωρία: ( ) ( ) ( ) k( x) 1+ 2kd o o /sinh2kd ( o o) o + ( ) ( ) ( ) ( ) H x = H k o ( 1 2k x d x / sinh 2k x d x ) Όπου k o =2π/L o. 12 (3.45) 2 Present model Linear theory -d(x) H/Ho x (m) Σχ. 3.8 Περιβάλλουσα ύψους κυματισμού, όπως υπολογίζεται από το μοντέλο και η γραμμική θεωρία στην περίπτωση ρήχωσης ενός γραμμικού κυματισμού (Karambas & Memos 2009). -d(x) m Η καμπύλη ρήχωσης που υπολογίζει το μοντέλο είναι πολύ κοντά στη θεωρία Stokes 1 ης τάξης αν και τα αποτελέσματα δεν είναι ταυτόσημα. Ο Schäffer (2004) κατέστρωσε ένα μοντέλο για γραμμικούς κυματισμούς που διαδίδονται σε πυθμένα ήπιας κλίσης, το οποίο 109

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 είναι παρόμοιο με το παρόν, αλλά παρουσιάζει σχεδόν ταυτόσημα αποτελέσματα με τη σχέση (3.47). Στη συνέχεια εφαρμόζεται το αριθμητικό μοντέλο για την περίπτωση απλών κυματισμών που διαδίδονται πάνω από τραπεζοειδή ύφαλο αναβαθμό, χρησιμοποιώντας για σύγκριση το πείραμα του Dingemans (1994). Οι πειραματικές συνθήκες ήταν οι ακόλουθες: Ένα κανάλι μήκους 50m και βάθος 80cm Και ένα ύφαλο τραπέζιο τοποθετημένο στο κέντρο του καναλιού, αποτελούμενο από μία προσήνεμη πλευρά με κλίση 1/20 (ο πόδας βρίσκεται στα x=11.01m), μία επίπεδη στέψη μήκους 4m (από x=23.04 έως x=27.04m) στη στάθμη -0.20m και μία υπήνεμη πλευρά με κλίση 1/10 (από x=27.04 έως x=33.07m). Όταν μια κυματοσειρά διαδίδεται πάνω από ύφαλο κυματοθραύστη, συνήθως υπόκειται σε σημαντικές αλλαγές της μορφής της και σε μεταφορά μεγάλου ποσοστού, μη γραμμικής, ενέργειας με διάφορους τρόπους. Το κύμα γίνεται έντονα μη γραμμικό παράγοντας έτσι δεσμευμένες αρμονικέν υψηλότερης τάξης στην ανοδική πλευρά του τραπεζίου. Όταν το βάθος αυξάνεται μετά τη στέψη, στην υπήνεμη πλευρά, οι αρμονικές που δημιουργήθηκαν απελευθερώνονται, επειδή η διαφορά της ταχύτητας μεταξύ των ελεύθερων και των δεσμευμένων αυξάνεται. Αυτή η απελευθέρωση υψηλότερων αρμονικών στην καθοδική πλευρά έχει ως αποτέλεσμα μια σύνθετη κυματοσειρά, η οποία περιγράφεται με δυσκολία από τα αριθμητικά μοντέλα τύπου Boussinesq. Στο πείραμα του Dingemans (1994) κατά μήκος του καναλιού διάδοσης του κυματισμού υπήρχαν 11 μετρητές. Η κυματική συνθήκη που αναπαράχθηκε με το παρόν μοντέλο ήταν: (Test A) περίοδος Τ=2.86sec, ύψος H=4cm. Το χωρικό και χρονικό βήμα επίλυσης αντίστοιχα: Δx=0.025m Δt=0.0025sec. Στο Σχ. 3.9 απεικονίζονται οι μεταβολές της ελεύθερης επιφάνειας στην πάροδο του χρόνου για 4 σταθμούς (μετρητές): x=24.04m (στέψη ύφαλου τραπεζίου) x=28.04m (καθοδική πλευρά) 110

125 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 x=33.64m (δίπλα στον πόδα) x=41.04m (στην περιοχή σταθερού βάθους κατάντη) Η σύγκριση είναι αρκετά ικανοποιητική, ακόμα και κατάντη του ύφαλου εμποδίου, όπου οι υψηλότερες αρμονικές απελευθερώνονται, παρά τη χρήση ενός ελαφρά μη γραμμικού μοντέλου. Τα αποτελέσματα είναι παρόμοια με εκείνα που προκύπτουν χρησιμοποιώντας υψηλότερης τάξης μοντέλα Boussinesq (Bingham and Agnon, 2005), προσδιορίζοντας έτσι την ακρίβεια της υπολογισμένης διασποράς συχνοτήτων x=24.04 m Model Experiment ζ (m) t (sec) 0.08 x=28.04 m ζ (m) t (sec) Σχ. 3.9 (συνεχίζεται στην επόμενη σελίδα) 111

126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos x=33.64 m ζ (m) t (sec) 0.08 x=41.04 m ζ (m) t (sec) Σχ. 3.9 Χρονοσειρές υπολογισμένης και μετρημένης ανύψωσης ελεύθερης επιφάνειας, για διάδοση κύματος πάνω από ύφαλο τραπέζιο (Karambas & Memos 2009). Το μοντέλο εφαρμόζεται επίσης για την περίπτωση ρήχωσης μοναχικού (βλέπε ) κυματισμού σε επίπεδο πυθμένα και συγκρίνονται με πειραματικές μετρήσεις του Synolakis (1987). Το πείραμα πήρε μέρος σε μία δεξαμενή με γυάλινα πλευρικά τοιχώματα και διαστάσεις 37.73m x 0.61m x 0.39m, όπου δεξιά υπάρχει σταθερό βάθος πυθμένα d o =20cm και αριστερά μια σταθερή κλίση 1:19.85 (Σχ. 3.10).Το ποσοστό εύρους του κυματισμού είναι H/d o =0.28. Η πρώτης τάξης θεωρία μοναχικού κυματισμού χρησιμοποιήθηκε για την αρχική μορφή των κυματισμών: H 2 ζ ( x,0) = sech γ ( x X1 ) (3.46) d o Όπου γ = ( 3H 4d ) 12 o και Χ 1 είναι η θέση της αρχικής κορυφής του κύματος στο υπολογιστικό πεδίο. Το Σχ παρουσιάζει τα αποτελέσματα της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας του μοναχικού κυματισμού σε σύγκριση με τις πειραματικές μετρήσεις στους χρόνους ( ) 12 * t t g d 10 = = και * t = 15. Παρατηρείται ότι κατά τη ρήχωση, το εμπρόσθιο 112

127 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 τμήμα του κυματισμού γίνεται πιο απότομο από το οπίσθιο και κατά συνέπεια το προφίλ του κυματισμού γίνεται ασύμμετρο. Τα αριθμητικά αποτελέσματα δείχνουν ξεκάθαρα αυτή την τάση και ταυτίζονται σε ικανοποιητικό βαθμό με τις πειραματικές μετρήσεις. Model Experimental data d/d o ζ/d o t*= x/d o d/d o ζ/d o t*= x/d o Σχ Διάδοση μοναχικού κυματισμού σε πυθμένα με κλίση. Σύγκριση της κανονικοποιημένης * ανύψωσης ελεύθερης επιφάνειας ζ/d στις αδιάστατες χρονικές στιγμές ( ) * t = 15(Karambas & Memos 2008). t = t g d = 10 και 113

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos (2DΗ) Σταθερό βάθος- Πολυκατευθυντικοί σύνθετοι γραμμικοί κυματισμοί Σε αυτή την παράγραφο η δισδιάστατη γραμμικοποιημένη εκδοχή του μοντέλου εφαρμόζεται για να προσομοιωθεί η διάδοση πολυκατευθυντικών σύνθετων κυματισμών. Αριθμητικές δοκιμές εφαρμόστηκαν σε ένα υπολογιστικό πεδίο με απορροφητικές στοιβάδες στα τέσσερα όρια. Το βάθος νερού είναι ομοιόμορφο και ισούται με d=35m. Το αρχικό κύμα παράγεται από μια γραμμική επαλληλία (υπέρθεση) πέντε ημιτονοειδών κυματισμών διαφορετικών υψών, περιόδων και διευθύνσεων θ. Οι παράμετροι των αρχικών κυμάτων είναι: H 1 =H 2 =2m, T 1 =T 2 =12sec, θ 1 =15 ο, θ 2 =-15 ο (πλάγιο ξεκίνημα ) H 3 =H 4 =1m, T 3 =T 4 =12sec, θ 3 =25 ο, θ 4 =-25 ο (πλάγιο ξεκίνημα) H 5 =2m, T 5 =8sec, θ 5 =0 ο (κάθετο ξεκίνημα) Οι εισαγόμενη χρονοσειρά της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας ζ(t) δίνεται από τον τύπο: H ζ t = sin k sin θ x ω t 5 i i i i1 = 2 (3.49) i ( ) ( ) Οι αρχικές διευθύνσεις θ ορίζονται από την γωνία της διεύθυνσης διάδοσης και του άξονα y. Το Σχ απεικονίζει ένα στιγμιότυπο της διακύμανσης της ελεύθερης επιφάνειας, υποδεικνύοντας ένα συμμετρικό αλλά πολύπλοκο κυματικό πεδίο. Στο Σχ η υπολογισμένη ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του τομέα 1-1 του σχήματος 3.11 συγκρίνεται με την ανταποκρινόμενη γραμμική επαλληλία των πέντε παραπάνω μονοχρωματικών κυματισμών και παρατηρείται πολύ καλή συμφωνία. 114

129 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Section 1 1 Incident waves Σχ Στιγμιότυπο ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας για πολυκατευθυντικούς σύνθετους κυματισμούς (Karambas & Memos 2009). 2 Model Linear superposition ζ (m) y(m) Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων μοντέλου και γραμμικής θεωρίας για την τομή 1-1 (Karambas & Memos 2009). 115

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos (2DΗ) Μεταβαλλόμενο βάθος- Ρήχωση μονοχρωματικών κυματισμών πάνω από ελλειπτικού σχήματος ύφαλο εμπόδιο. Για να καταδειχτεί η σημασία των φαινομένων ρήχωσης, περίθλασης, διάθλασης και μη γραμμικής διασποράς, το προτεινόμενο μοντέλο των Karambas & Memos (2008) εφαρμόζεται στη διάδοση μονοχρωματικών κυματισμών πάνω από ανώμαλο πυθμένα σε δισδιάστατη διάταξη. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με πειραματικές μετρήσεις των Berkhoff et al. (1982). Η βαθυμετρία αποτελείται από μια ελλειπτικό εμπόδιο στηριζόμενο σε ένα επίπεδο πυθμένα κλίσης 1:50. Η κλίση του πυθμένα σχηματίζει γωνία -20 ο με τον πειραματικό μηχανισμό γένεσης κυματισμών (wave paddles). Η πειραματική διάταξη και η βαθυμετρία φαίνονται στο Σχ Το ύψος κύματος μετρήθηκε κατά μήκος οκτώ τομών (S1-S8). 20 S8 S7 S6 15 y (m) S5 S4 S3 S2 S Incident wave x (m) Σχ Πειραματική διάταξη και βαθυμετρία πειράματος Berkhoff et al. (1982). Το αντίστοιχο αριθμητικό πεδίο είναι παρόμοιο του σχήματος Σχ με τη μοναδική διαφορά ότι στα άκρα του υπάρχουν στοιβάδες απορρόφησης (sponge layers). Το ελάχιστο βάθος ορίστηκε ίσο με 0.1m, θεωρώντας την περίπτωση μόνο μη θραυόμενων κυματισμών. Τα χωρικά και χρονικά βήματα είναι αντίστοιχα: Δx=Δy=0.05m και Δt=0.0025sec. Το αρχικό κύμα είχε ύψος Ho= m και περίοδο T=1.0 s. Το 116

131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 υπολογιζόμενο κυματικό πεδίο έφτασε σε σταθερή κατάσταση μετά από 30 sec. Στο Σχ αποτυπώνεται ένα στιγμιότυπο της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας στο τελευταίο χρονικό βήμα (last time step). Τα προφίλ της επιφάνειας υποδεικνύουν μεγάλη συγκέντρωση ενέργειας κατάντη της ρήχωσης. Σχ Ρήχωση κυματισμών: στιγμιότυπο της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας στο τελευταίο χρονικό βήμα (Karambas & Memos 2008). Στα διαγράμματα του Σχ φαίνεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από το μοντέλο και τις πειραματικές μετρήσεις κατά μήκος των τομών S1- S8. Λόγω της διάθλασης, η συγκέντρωση των κυματισμών γίνεται κατάντη της ρήχωσης, με ένα μέγιστο ύψος κύματος περίπου 2.2 φορές του αρχικού (τομή S3). Η σύγκριση είναι αρκετά καλή κατά μήκος και των δυο διευθύνσεων, παράλληλα και κάθετα στον εισερχόμενο κυματισμό γεγονός πολύ ικανοποιητικό για ένα ελαφρώς μη-γραμμικό μοντέλο χωρίς υψηλές αξιώσεις μη γραμμικής διασποράς ειδικά για βαθιά νερά (όπως σε αυτό το πείραμα). 117

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Τέλος όπως σημειώνουν στην έρευνά τους οι Karambas & Memos (2009), το μοντέλο είναι ικανό να προσομοιώσει ικανοποιητικά την κυματική αναδιαμόρφωση πάνω από πολύπλοκες βαθυμετρίες, αναπαράγοντας επαρκώς τα σύνθετα αποτελέσματα της ρήχωσης, περίθλασης, διάθλασης και μη γραμμικής διασποράς. Αξίζει να σημειωθεί ότι η γραμμικοποιημένη εκδοχή του μοντέλου, όπως και άλλων μοντέλων που βασίζονται στη γραμμική εξίσωση ήπιας κλίσης, έδωσε επίσης ικανοποιητικά αποτελέσματα. Ωστόσο, η χρήση του μοντέλου μη γραμμικών κυματισμών διασποράς έδειξε καλύτερη συμφωνία με τις πειραματικές μετρήσεις, σημειώνοντας ότι η μη γραμμικότητα είναι υψίστης σημασίας για να επιτευχθεί μοντελοποίηση ακριβείας. (Kirby et al.,1998, Karambas, 1999) S1 H/H o x (m) S2 H/H o x (m) Σχ 3.15(α) (συνεχίζεται στην επόμενη σελίδα). 118

133 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos S3 H/H o x (m) S4 H/H o x (m) S5 H/H o x (m) Σχ 3.15(β) (συνεχίζεται στην επόμενη σελίδα). 119

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos S6 H/H o y (m) S7 H/H o y (m) S8 H/H o y (m) Σχ. 3.15(γ) Σύγκριση σχετικών υψών κύματος H/H o για τις τομές S1-S8, όπως υπολογίστηκαν από το μοντέλο (ευθεία γραμμή) και τις μετρήσεις του πειράματος (τελείες)berkhoff et al. 1982, (Karambas & Memos 2009). 120

135 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos (2DΗ) Μεταβαλλόμενο βάθος- Μη γραμμική διάθλαση-περίθλαση μονοχρωματικών κυματισμών πάνω από ημικυκλικού σχήματος ύφαλο εμπόδιο Η 3η αυτή περίπτωση δισδιάστατης διάδοσης των κυματισμών μελετήθηκε πειραματικά από τον Whalin (1971). H υπό μελέτη περιοχή κάλυπτε επιφάνεια 6.096m x m με διακύμανση βάθους που δίνεται από: x G 1 d(x, y) = (10.67 G x) G x G G x όπου G(y) = y (6.096 y) 0 y /2 Οι εισερχόμενοι κυματισμοί είναι γραμμικοί, αλλά μετά την συγκέντρωση ενέργειας στη ρήχωση υψηλότερες αρμονικές γίνονται σημαντικές λόγω μη γραμμικών φαινομένων. Η συγκέντρωση ενέργειας φαίνεται στο σχήμα 3.16., παρουσιάζοντας ένα στιγμιότυπο υπολογισμένο από το παρόν ομοίωμα. 121

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Σχ Μονοχρωματικοί κυματισμοί που προωθούνται πάνω από ημικυκλικού σχήματος ύφαλο εμπόδιο. Στιγμιότυπο της ελεύθερης επιφάνειας από το μοντέλο Karambas & Memos (2009). Στο Σχ.3.17 παρουσιάζεται η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος της κεντρικής γραμμής ζ (m) x (m) Σχ Διακύμανση της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος της κεντρικής γραμμής (T = 2 s και H= m). Αποτελέσματα ομοιώματος Karambas & Memos (2009). 122

137 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Στο Σχ.3.18 παρουσιάζεται η μεταφορά ενέργειας σε υψηλότερες αρμονικές. Normalized amplitude st harmonic 2nd harmonic 3rd harmonic Model results x (m) Σχ Κυματικό εύρος για την 1 η, 2 η και 3 η αρμονική (T = 2 s and H= m). Αποτελέσματα ομοιώματος Karambas & Memos (2009). Βασιζόμενοι σε μια ανάλυση Fourier της χρονοσειράς της διακύμανσης της ελεύθερης επιφάνειας σε κάθε κόμβο του πλέγματος κατά μήκος της κεντρικής γραμμής, η χωρική εξέλιξη της πρώτης, δεύτερης και τρίτης αρμονικής συγκρίνεται με τα πειραματικά δεδομένα. Η συμφωνία μεταξύ των δυο πηγών δεδομένων κρίνεται ικανοποιητική. 123

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos (2DΗ) Μεταβαλλόμενο βάθος Λοξώς προσπίπτοντες, μονοκατευθυντικοί σύνθετοι κυματισμοί. Πειραματικές δοκιμές διεξήχθησαν στο UK Coastal Research Facility στο HR Wallingford (Memos et al., 2005) με σκοπό την μελέτη των διάφορων φαινομένων της διάδοσης τυχαίων κυματισμών σε ρηχά νερά. Τα φαινόμενα αυτά αφορούσαν την κοινή πυκνότητα πιθανότητας ύψους κύματος και περιόδου και τη συσχέτιση τους με τα φάσματα, την κατευθυντικότητα των κυματισμών και την κινηματική των σωματιδίων στη ζώνη θραύσης. Η δεξαμενή των εγκαταστάσεων, με συνολικές διαστάσεις 27m x 54 m, περιέχει μια στενή λωρίδα οριζόντιου πυθμένα και μια συμπαγή ακτή, με ομοιόμορφη κλίση 5%. Το βάθος στην περιοχή οριζόντιου πυθμένα ήταν 0.80 m. Διεξήχθησαν 175 επιτυχή πειράματα και για την περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται τα πορίσματα από 2 (ΟΒ-3 και ΟΒ-10). Οι πειραματικές μετρήσεις αφορούν σύνθετους κυματισμούς με στέψη μεγάλου πλάτους που διαδίδονται λοξώς. Το φάσμα εισόδου είναι τύπου JONSWAP με συντελεστή αύξησης γ=3.3. Η γωνία προώθησης είναι θ=15 o. Στη δοκιμή OB-3 η περίοδος κορυφής ήταν T p =1.2 sec χαρακτηριστικό ύψος κύματος H s =0.09 m, ενώ στην OB-10, τα αντίστοιχα μεγέθη ήταν T p =1.4 s και H s =0.15 m. Περισσότερες λεπτομέρειες μπορούν να βρεθούν στο Memos et al. (2005). Το ομοίωμα Boussinesq που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο χρησιμοποιήθηκε για την αναπαραγωγή των πειραματικών δεδομένων. Το χωρικό βήμα που επιλέχθηκε ήταν Δx= m ενώ το αντίστοιχο χρονικό Δt= sec. Το αντίστοιχο αρχικό φάσμα εκτιμήθηκε από τη μετρημένη διακύμανση της ελεύθερης επιφάνειας κοντά στις διατάξεις παραγωγής κυματισμών και διαιρέθηκε σε N=80 τμήματα στο πεδίο συχνοτήτων. Η αρχική ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας η oi ελήφθη από κάθε τμήμα με συχνότητα ω i με χρήση του : η oi 2S(ω i )Δω i =, όπου S(ω) το φάσμα συχνοτήτων. 124

139 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Η υπολογιζόμενη ανύψωση της επιφάνειας, στο σημείο της κεκλιμένης ακτής με βάθος d=0.312 m, καταγράφηκε από το χρονική στιγμή t=40.96 s μέχρι την t= s. Το φάσμα που ελήφθη για διάφορες δοκιμές φάινεται στα σχήματα 3.19 και Measured Present model S (ω) m 2 /Hz ω (Hz) Σχ Test OB-3 (Memos et al., 2005): σύγκριση μετρούμενων και προβλεπόμενων φασμάτων ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Κύματα πλατιάς στέψης, γωνία διάδοσης θ =15 o, φάσμα εισόδου: JONSWAP (γ=3.3), περίοδος κορυφής T p =1.2 s, χαρακτηριστικό ύψος κυματισμού H s =0.09 m. 125

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Measured Present model S (ω) m 2 /Hz ω (Hz) Σχ Test OB-10 (Memos et al., 2005): σύγκριση μετρούμενων και προβλεπόμενων φασμάτων ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Κύματα πλατιάς στέψης, γωνία διάδοσης θ =15 o, φάσμα εισόδου: JONSWAP (γ=3.3), περίοδος κορυφής T p =1.4 s, χαρακτηριστικό ύψος κυματισμού H s =0.15 m. Στα δύο παραπάνω σχήματα τα μετρούμενα φάσματα ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας συμφωνούν με αυτά που προέκυψαν από την εφαρμογή του ομοιώματος. Το γεγονός αυτό καταδεικνύει την ικανότητα του μοντέλου να προσομοιώσει ικανοποιητικά διδιάστατα πεδία σύνθετων κυματισμών. Το φαινόμενο της μεταφοράς ενέργειας σε υψηλότερες συχνότερες είναι εμφανές και προσομοιώνεται πολύ ικανοποιητικά από το μοντέλο των Karambas & Memos (2009). Στην εργασία των Memos et al. (2005) οι συγγραφείς εφάρμοσαν ένα μοντέλο Boussinesq ανώτερης τάξης για την σύγκριση με τα παραπάνω πειραματικά δεδομένα. Στο παρόν νέο μοντέλο, μολονότι αποτελείται από μικρό αριθμό όρων και απαιτεί απλό 126

141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 αριθμητικό σχήμα για την εφαρμογή του, το κέρδος σε υπολογιστικό κόστος δεν ήταν σημαντικά μικρότερο. Αυτό οφείλεται στην ανάγκη υπολογισμού του συνελικτικού ολοκληρώματος που αυξάνει σημαντικά τον χρόνο υπολογισμού. Επιπρόσθετα απαιτήθηκε μικρότερο χρονικό βήμα από αυτό που χρησιμοποιήθηκε στο άρρητο σχήμα του ομοιώματος των Memos et al. (2005). 3.6 Οριακές συνθήκες Τα αριθμητικά σχήματα επίλυσης των μοντέλων Boussinesq για να προσομοιάσουν καλύτερα τις συνθήκες των πειραματικών διατάξεων συμπληρώνονται από κατάλληλες οριακές συνθήκες. Οι οριακές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν από τους Karambas & Memos (2009) είναι δυο κατηγοριών: Όρια γένεσης κύματος στο εσωτερικό του πεδίου (Internal wave generation, Lee & Suh, 1998) Απορροφητικά όρια (absorbing boundaries - sponge layers, Larsen & Dancy, 1983). Τα δύο αυτά είδη οριακών συνθηκών αναλύονται στα ακόλουθα υποκεφάλαια Όρια γένεσης κύματος (Lee & Suh, 1998) Για την αριθμητική προσομοίωση της διάδοσης των κυματισμών χρησιμοποιείται κατ αρχήν το σχήμα των Larsen και Dancy (1983), που παράγει κυματισμούς πάνω σε μια γραμμή μέσα στο πεδίο που προωθούνται προς δυο διαφορετικές κατευθύνσεις. Το σκεπτικό πίσω από το σχήμα αυτό είναι η προσθήκη της επιπλέον ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας ζ* στην ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας σε κάθε χρονικό βήμα ( για μια διάσταση): * Ι ζ = 2ζ C r (3.48) 127

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Όπου C r =C p Δt/Δx είναι ο αριθμός Courant και ζ I iωt = αe,όπου το α αναπαριστά το εύρος των εισερχόμενων κυματισμών. Οι Lee & Suh (1998) προτείνουν τη χρήση της ταχύτητας μεταφοράς ενεργείας C e αντί της ταχύτητας φάσης C p. Δt * Ι ζ = 2ζ Ce Δx (3.49) H ταχύτητα μεταφοράς ενέργειας C e υπολογίζεται μοναδικά, συναρτήσει του τύπου των κυματικών εξισώσεων. Για το μοντέλο Copeland (1985) είναι η ταχύτητα φάσης C p νεώ η C e για το μοντέλο Radder και Dingemans (1985) είναι η ταχύτητα ομάδας C g. H σύγκριση των αποτελεσμάτων από τους τύπους (3.50) και (3.51) φάινεται στο ακόλουθο Σχ.3.21 Σχ Η ελεύθερη επιφάνεια συσχετισμένη με διαφορετικές ταχύτητες μεταφοράς ενέργειας,c e. (a) C e = C p και (b)c e = C g.(υοοn &Choi, 2001) 128

143 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Οι Lee και Suh (1998) μελέτησαν τη γένεση κυματισμών για δύο χρόνο-εξαρτώμενα μοντέλα εξισώσεων ήπιας κλίσης των Copeland (1985) και Radder Dingemans (1985). Προσέγγισαν την εσωτερική παραγωγή κυμάτων από δυο οπτικές γωνίες, της μεταφοράς μάζας και της μεταφοράς ενέργειας. Οι οποίες μελετήθηκαν με τη χρήση της ταχύτητας φάσης και της ταχύτητας ενέργειας αντίστοιχα για τις διαταραχές της ταχύτητας των εισερχόμενων κυματισμών. Απέδειξαν ότι η προσέγγιση της μεταφοράς μάζας που χρησιμοποιήθηκε από τους Larsen & Dancy (1983) για τις εξισώσεις Boussinesq του Peregrine (1967) και από τους Madsen και Larsen για τις εξισώσεις Copeland, δεν μπορεί καταλλήλως να παράγει κύματα για τις εξισώσεις Radder Dingemans (1985). Οι χρόνο-εξαρτώμενες εξισώσεις προβλέπουν την εξέλιξη της ενέργειας των κυματισμών καθώς και της αλλαγής της ταχύτητας φάσης. Αυτό υποδηλώνει η ταχύτητα ενέργειας είναι η ταχύτητα διαταραχών που προκαλούνται από τους εισερχόμενους κυματισμούς. Η προσέγγιση των γεωμετρικών οπτικών χρησιμοποιείται για την απόκτηση της εικονικής εξίσωσης και της εξίσωσης μεταφοράς για την ταχύτητα φάσης και έτσι προκύπτει η ταχύτητα ενέργειας για τα χρόνο-εξαρτώμενα μοντέλα. Στο μοντέλο Copeland (μοντέλο ήπιας κλίσης), η ταχύτητα ενέργειας είναι ίση με την ταχύτητα φάσης και έτσι και οι δυο οπτικές προσέγγισης δίνουν τα ίδια αποτελέσματα. Ωστόσο, όπως διατύπωσαν οι ίδιοι δεν είναι σίγουρο εάν η προσέγγιση της μεταφοράς ενέργειας μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλα μοντέλα Boussinesq Απορροφητικά όρια (Υοοn & Choi, 2001) Με την εφαρμογή της περιοχής γένεσης των κυματισμών καθίσταται απαραίτητη και η εφαρμογή κατάλληλων ορίων περιμετρικά του πεδίου του ομοιώματος για την κατάλληλη διαχείριση των κυματισμών του φτάνουν εκεί. Στις περισσότερες εφαρμογές γίνεται χρήση των στοιβάδων απορρόφησης (sponge layers) για την πλήρη απόσβεση των κυματισμών που εξέρχονται του πεδίου και την αποφυγή επανα-ανάκλασης τους πίσω στο πεδίο Οι Larsen & Dancy (1983) επίσης χρησιμοποίησαν την τεχνική της στοιβάδας απορρόφησης (sponge layer) στα ανοικτά όρια για την απορρόφηση των κυματισμών. 129

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Σύμφωνα με την τεχνική τους οι στοιβάδες απορρόφησης απορροφούν βαθμιαία την ενέργεια του κύματος πολλαπλασιάζοντας τα ζ, u, και v με μία συνάρτηση v(x). Εάν οι στοιβάδες απορρόφησης είναι στο διάστημα 0 x xs τότε: ( ) v x * S ( x ) * /Δx x /Δx exp 2 2 ln α για 0 x x = 1 για x>x * S * S (3.50) Όπου α είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τον αριθμό των γραμμών του κανάβου στη στοιβάδα. Η συνάρτηση ν(x) διαγράφεται στο Σχ για δυο διαφορετικά σετ τιμών των x S /Δx και α. Η συνάρτηση είναι συνεχής για x=x S. Όπως φαίνεται οι Larsen και Dancy (1983) προτείνουν τις τιμές α=2 για x s = 5Δx και α=5 για x s = 10Δx. Η καταλληλότητα της στοιβάδας απορρόφησης εξαρτάται από την ανάλυση του πλέγματος των πεπερασμένων διαφορών. Όταν το εύρος είναι 5Δx ή 10Δx τότε το σχετικό εύρος της στοιβάδας με το μήκος κύματος αλλάζει συναρτήσει της ανάλυσης του πλέγματος. Συνεπώς η απόδοση της απορρόφησης των κυματισμών είναι χειρότερη όσο αυξάνεται η ανάλυση του πλέγματος και κατά συνέπεια η ανάκλαση κυματισμών από τη στοιβάδα απορρόφησης θα είναι ισχυρή. 130

145 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Σχ Η συνάρτηση ν(χ) για δυο διαφορετικά διαστήματα στοιβάδων απορρόφησης (Larsen & Dancy 1983). Oι Yoon και Choi (2001). παρουσίασαν ένα το βελτιωμένο σχήμα. Η συνάρτηση ν που πολλαπλασιάζεται με τα ζ, u, και v δίνεται: ( ) S ( x ) * /Δx x /Δx ν x = exp b b lnλ για 0 x x * * S (3.51) ( ) ν x = 1 για x > x (3.52) * * S όπου ( ) b = 1+ r + exp 1/r S S (3.53) r = 10/t (3.54) S S 131

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Όπου x s είναι το πλάτος της στοιβάδας απορρόφησης, x * η τοποθεσία της, t S ο αριθμός των σημείων του κανάβου που ανήκουν στη στοιβάδα και η παράμετρος Λ ισούται με 2. Οι Yoon και Choi (2001) προτείνουν το εύρος της στοιβάδας απορρόφησης να είναι ίσο με 1 μήκος κύματος τουλάχιστον ούτως ώστε η ανάκλαση να είναι αμελητέα. Στο σχήμα 3.23 περιγράφεται η διάταξη του πεδίου του μοντέλου των Yoon και Choi. Με τις διάφορες δοκιμές που έκαναν συνέκριναν τις τεχνικές απορροφητικών ορίων [(3.52) με (3.53)-(3.56)]. Σχ Μονοδιάστατο πεδίο εφαρμογής μοντέλου Boussinesq όπου φαίνονται οι περιοχές εφαρμογής των στοιβάδων απορρόφησης (sponge layers) και του σημείου (για 1DH) γένεσης των κυματισμών (wave generation point).(υοοn &Choi, 2001) Όπως φαίνεται στο Σχ η τεχνική των Larsen and Darcy (1983) έχει ως αποτέλεσμα την μερική ανάκλαση των κυματισμών πίσω στο πεδίο και κατά συνέπεια σε ήπια επαναδιαμόρφωση των κυματισμών στην περιοχή 0< x/λ<2. Η τεχνική των Υοοn &Choi, (2001) φαίνεται να έχει καλύτερα αποτελέσματα όσον αφορά την απορρόφηση της κυματικής ενέργειας. 132

147 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Σχ Μονοδιάστατο πεδίο εφαρμογής μοντέλου Boussinesq όπου φαίνονται οι περιοχές εφαρμογής των στοιβάδων απορρόφησης (sponge layers) και του σημείου (για 1DH) γένεσης των κυματισμών (wave generation point).(υοοn &Choi, 2001) 133

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos Προσθήκες στο ομοίωμα Karambas & Memos (2009) Όπως τονίστηκε και στην εισαγωγή της παρούσας εργασίας, η κυριότερη επιδίωξη ήταν εξαρχής η επέκταση του μοντέλου Boussinesq των Karambas και Memos (2009) για να συμπεριλάβει και άλλα σημαντικά φαινόμενα της παράκτιας ζώνης και ιδιαίτερα της ζώνης θραύσης, δηλαδή της θραύσης των κυματισμών και της διάχυσης ενέργειας λόγω της τριβής με τον θαλάσσιο πυθμένα. Αυτό επιδιώκεται με την ενσωμάτωση του κριτηρίου θραύσης του επιφανειακού κυλίνδρου (surface roller) και του όρου της διατμητικής τάσης των υγρών μορίων στον πυθμένα, λόγω αλληλεπίδρασης με το υλικό του πυθμένα (τριβή πυθμένα). Η αναλυτική διατύπωση των δυο παραπάνω κριτηρίων, όπως ακριβώς χρησιμοποιήθηκαν στην εφαρμογή της παρούσας εργασίας, παρουσιάζεται στις δύο επόμενες υπό-ενότητες Θραύση κυματισμών (Schäffer et al, 1993, Madsen et al. 1997) H τεχνική του επιφανειακού κυλίνδρου είναι ένας από τους 4 υπάρχοντες μηχανισμούς για την προσομοίωση της απώλειας ενέργειας λόγω θραύσης, στα μοντέλα Boussinesq. Η ιδέα αυτή, δηλαδή της επιρροής του επιφανειακού κυλίνδρου στην κίνηση του κυματισμού, προτάθηκε από τον Deigaard (1989). H θραύση των κυματισμών θεωρήθηκε ότι ξεκινούσε όταν η τοπική κλίση των κυματισμών ξεπερνούσε κάποια κρίσιμη τιμή. Ο επιφανειακός αυτός κύλινδρος θεωρήθηκε ως ένας όγκος νερού, απομονωμένος από το υπόλοιπο κύμα, που «μεταφέρεται» από το κύμα παθητικά με την ταχύτητα του κυματισμού. Η επίδραση του κυλίνδρου (surface roller) στην κίνηση του κυματισμού εκφράστηκε από τον Deigaard σαν ένας επιπλέον όρος πίεσης στην ολοκληρωμένη στο βάθος εξίσωση της ορμής. Οι Schäffer et al. (1993) εξέλιξαν το κριτήριο αυτό, βασιζόμενοι στη θεώρηση του κατακόρυφου προφίλ της οριζόντιας ταχύτητας που πρότεινε ο Svendsen (1984).Στο μοντέλο των Schäffer et al. (1993) η επιρροή του επιφανειακού κυλίνδρου λαμβάνεται υπόψιν σαν ένας επιπλέον συναγωγικός όρος ορμής που προκύπτει από την μη ομοιόμορφη κατανομή του προφίλ 134

149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 της οριζόντιας ταχύτητας. Η αρχή αυτή έχει σαν αποτέλεσμα την κάθετη ανακατανομή της οριζόντιας συνιστώσας της ταχύτητας που απεικονίζεται στο Σχ Θεωρώντας αυτό το προφίλ ταχύτητας να ισχύει κατά τη θραύση εξήγαγαν την εξίσωση (3.55) για τον επιπλέον όρο που προκύπτει από την ύπαρξη του επιφανειακού κυλίνδρου. Σχ Κάθετο προφίλ οριζόντιας ταχύτητας θραυόμενου κυματισμού (Madsen et al. 1997). 2 1 P δ R = δ c 1 d d (3.55) όπου δ είναι το πάχος του επιφανειακού κυλίνδρου, c η ταχύτητας φάσης του, d το συνολικό βάθος και P η ολοκληρωμένη στο βάθος οριζόντια τάχυτητα( P = udz). S h Στην εργασία τους οι Madsen et al. (1997), επεκτειναν τη χρήση του επιφανειακού κυλίνδρου» σε δυο διαστάσεις. Οι όροι R xx, R xy, και R yy αντιστοιχούν στην επιπρόσθετη ορμή η οποία προκύπτει από την ανομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας λόγω της παρουσίας του επιφανειακού κυλίνδρου (surface roller) και ορίζονται ως: R xx δ P = cx 1 δ d d δ P Q Rxy = cx cy 1 δ d d d 2 (3.56) (3.57) 135

150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 R yy δ Q = cy 1 δ d d 2 (3.58) Οι όροι R xx, R xy, και R yy αντιστοιχούν στην επιπρόσθετη ορμή η οποία προκύπτει από την ανομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας λόγω της παρουσίας του επιφανειακού κυλίνδρου,ενώ δ=δ(x,y,t) είναι το πάχος του επιφανειακού κυλίνδρου, c x, c y οι συνιστώσες της ταχύτητας φάσης του και P, Q οι ολοκληρωμένες στο βάθος συνιστώσες της οριζόντιας ταχύτητας κατά x, y αντίστοιχα. Ο χωρικός και χρονικός προσδιορισμός των επιφανειακών κυλίνδρων βασίζεται σε μια γεωμετρική προσέγγιση όπως προτείνεται τους Schäffer et al. (1993). όπως προχωράει η ρήχωση του κυματισμού η τοπική κλίση στο μέτωπο τους αυξάνεται και ξεκινάει το φαινόμενο της θραύσης. Θεωρόντας ότι για ένα μη θραυόμενο κύμα, το μέτωπο του έχει μέγιστη κλίση tanφ, θεωρείται ότι η θραύση ξεκινάει όταν η τιμή αυτή της κλίσης ξεπεραστεί. Επιπλέον οι Schäffer et al. (1993) υποθέτουν ότι η περιοχή πάνω από την κρίσιμη κλίση tanφ μέχρι την επιφάνεια του νερού ανήκει στον επιφανειακό κύλινδρο όπως φαίνεται στο Σχ.3.26 (α). Σχ Γεωμετρικός προσδιορισμός του επιφανειακού κυλίνδρου(α),(b) ο ίδιος κύλινδρος με εφαρμογή του συντελεστή f δ =1.5. Κατά τη μετάδοση από το αρχικό σημείο θραύσης η κρίσιμη γωνία φ, αλλάζει βαθμιαία από φ Β σε φ Ο (φ Ο < φ Β ). Η στιγμιαία τιμή της φ εξαρτάται από την περίοδο του κυλίνδρου και ακολουθεί μια εκθετική χρονική μεταβολή: B ( ) tan φ = tanφ0 + tanφβ tanφ0 exp -ln2 t 12 Όπου το t 1/2 ρυθμίζει τη χρονική κλίμακα για την ανάπτυξη του κυλίνδρου και t B είναι ο χρόνος έναρξης της θραύσης. Τοπικά, ο κύλινδρος ορίζεται σαν το νερό πάνω από την εφαπτομένη της κλίσης tanφ και η θραύση τελειώνει όταν η μέγιστη από την τοπική 136 t-t (3.59)

151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 κλίση γίνει μικρότερη της tanφ. Μετά τον προσδιορισμό του κυλίνδρου σε κάθε χρονικό βήμα, το πάχος (roller thickness) δ του, πολλαπλασιάζεται με ένα συντελεστή σχήματος f δ πριν τον υπολογισμό του στις βασικές εξισώσεις (Σχ.3.26 (b)) για να αποκτήσει με τον απλό αυτό τρόπο μια πιο «φυσική» μορφή η διατομή του επιφανειακού κυλίνδρου. Ένα μειονέκτημα αυτού του προσδιορισμού των επιφανειακών κυλίνδρων είναι ότι επιπλέον με το tanφ Β στηρίζεται σε τρείς παραμέτρους φ Ο, f δ, και t 1/2. Οι Madsen et al. (1997) δοκιμάζοντας διαφορετικές τιμές για την κάθε παράμετρο κατέληξαν στα επόμενα: Η τιμή του φ Ο δεν είναι κρίσιμη για εφαρμογές όπου η θραύση συνεχίζεται προς την ακτή. Βασιζόμενος στην αναλογία με το υδραυλικό άλμα ο Deiggard (1989) εκτίμησε τη φ Ο =10 ο. την οποία υιοθέτησαν αν και σε ορισμένες περιπτώσεις όπως είδαμε (π.χ. θραύση πάνω από το οριζόντιο μέρος ύφαλου τραπεζίου) η τιμή μειώνεται στις 7-8deg. με ανάλογη μείωση της φ Β. Η παράμετρος t 1/2 καθορίζει τo χρονικό διάστημα μεταφοράς μεταξύ των δυο γωνιών θραύσης και λαμβάνεται ίση με Τ/5, όπου Τ η χαρακτηριστική περίοδος του εισερχόμενου συρμού κυματισμών. Το πάχος του επιφανειακού κυλίνδρου δ, πολλαπλασιάζεται με 1,5 για θραύσεις τύπου κύλισης (spilling) ενώ για εκτινάξεως (plunging) οι Ozsanne et al. (2000) προτείνουν μια τιμή κοντά στο 2.0. Οι Schäffer et al. (1993), ύστερα από πολλές δοκιμές θραύσεων κυλίσεως (spilling) σε ακτές με επίπεδη κλίση πυθμένα, κατέληξαν ότι προκύπτουν αποδεκτά αποτελέσματα χρησιμοποιώντας την τιμή φ Β =20 ο. Αποδεικνύουν δε ότι αυτή η τιμή είναι κατάλληλη για θραύσεις αυτού του τύπου αλλά όχι και για θραύσεις εκτινάξεως (plunging breakers). Βασιζόμενοι στις μετρήσεις τους σημείωσαν ότι ο τύπος θραύσης εκτίναξης απαιτεί μια ελαφρά αύξηση στις γωνίες θραύσης ενώ η θραύση πάνω από ύφαλο τραπέζιο απαιτεί μείωση. Στο παρακάτω Σχ απεικονίζεται η χωρική μεταβολή του χαρακτηριστικού ύψους κύματος για τρεις διαφορετικές ομάδες παραμέτρων του μοντέλου: α) θραυόμενος κυματισμός με τις συνήθεις τιμές (φ Β, φ Ο )= (20 ο,10 ο ) [συνεχής γραμμή] β) θραυόμενος κυματισμός με (φ Β, φ Ο )=(14 ο,7 ο ) [διακεκομμένη γραμμή] και γ) τέλος προσομοίωση χωρίς θραύση [τελείες]. Από τη σύγκριση με τα πειραματικά δεδομένα 137

152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 είναι προφανές ότι η περίπτωση α) δίνει πολύ καλά αποτελέσματα ενώ οι τιμές της β) υποεκτιμούν τη διάχυση της ενέργειας. Σχ Χωρική μεταβολή του ύψους κύματος και βαθυμετρία του πειράματος Beji και Battjes (1993) (ο). α) μοντέλο Madsen et al. (1997) με αρχικές τιμές (20 ο,10 ο ) παραμέτρων ( ) β) με μειωμένες τιμές (14 ο,7 ο ) ( ) γ) χωρίς θραύση ( ). (Madsen et al. 1997) Η επιλογή της παραμέτρου φ Β, είναι προφανώς στενά συνδεδεμένη με την τελική ακρίβεια των υπολογισμών της ελεύθερης επιφάνειας πριν ξεκινήσει η θραύση. Οι Memos et al. (2005) δίνουν έναν διαφορετικό τρόπο υπολογισμού του όρου του επιφανειακού κυλίνδρου: ( ) ( ) M = d+ ζ u + δ c + u (3.60) u 0 0 όπου u o είναι το διάνυσμα της ταχύτητας πυθμένα u o =( u o, ν o ) και c=(c x,c y ) το διάνυσμα της ταχύτητας κυματισμού. Η σχέση (3.60) διαφέρει από τις (3.56)-(3.58) αφού περιέχει επιπρόσθετους όρους υψηλότερης τάξης μη γραμμικότητας. Η ταχύτητα κυματισμού c, η οποία θεωρείται ταυτόσημη με την ταχύτητα κυλίνδρου, είναι μια ουσιαστική παράμετρος της μεθόδου «επιφανειακού κυλίνδρου». Οι Schäffer et al. (1993) χρησιμοποίησαν τη σχέση: c = 1.3 gh (3.61) 138

153 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Η οποία δίνει καλά αποτελέσματα για απλούς κυματισμούς (εντός της ζώνης θραύσης) όχι όμως και για σύνθετους. Γι αυτό οι Madsen et al. (1997) χρησιμοποίησαν μια καινούρια προσέγγιση προσδιορίζοντας την ταχύτητα c αμφίδρομα από το στιγμιαίο κυματικό πεδίο. Υποθέτοντας ότι η ελεύθερη επιφάνεια μπορεί να εκφραστεί σαν ( x y ) ζ = ζ ωt-k x k y που αντιστοιχεί σε διάδοση απλού κυματικού πεδίου. Με τον ορισμό: ω = (3.62) k ( c,c ) ( k,k ) x y x y 2 Όπου k ο αριθμός κύματος και ω η γωνιακή συχνότητα. Σε όρους της ελεύθερης επιφάνειας αυτό μπορεί να εκφραστεί ως: c x ζ x ζ t = 2 2 c y ζ y ζ x ζ y + ( ) ( ) (3.63) Το οποίο εφαρμόζεται στο υψηλότερο σημείο του μετώπου του κύματος. Η μέθοδος αυτή κατάφερε να δώσει καλές τιμές για την ταχύτητα τόσο για τους απλούς όσο και για τους σύνθετους κυματισμούς. Όμως ένα γενικό πρόβλημα με κάθε αμφίδρομο προσδιορισμό της ταχύτητας είναι ότι μπορεί να οδηγήσει σε αστάθειες και θορύβους κάνοντας απαραίτητη τη χρήση κατάλληλων φίλτρων. Οι Madsen et al. (1997) παρουσιάζουν μια σύγκριση: της μετρούμενης ταχύτητας κύματος από το πείραμα του Stive (1984), της ταχύτητας σύμφωνα με τη γραμμική θεωρία και των c = 1.3 gh, c = gh. Η σύγκριση αυτή φαίνεται στο Σχ θεωρώντας απλούς κυματισμούς θραυόμενους σε ακτή με κλίση 1/

154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Σχ. 3.28Χωρική μεταβολή της ταχύτητας κύματος για το πείραμα του Stive (1980) (1) ταχύτητα προσδιορισμένη αμφίδρομα (2) γραμμική θεωρία (3) c = gh (4) c = 1.3 gh (Ο) πειραματικά δεδομένα Stive. (Madsen et al. 1997) Τριβή πυθμένα (Memos et al.2005) Όπως παρουσιάστηκε σε προηγούμενη ενότητα ( 2.6), ο κυριότερος τρόπος μαθηματικής αντιμετώπισης του προβλήματος της τριβής πυθμένα, βασίζεται στην θεώρηση της διατμητικής τάσης που ασκείται στον πυθμένα από το υπερκείμενο υγρό (bed-shear concept). Στην εργασία τους οι Memos et al. (2005) θεωρούν ότι οι στιγμιαίες διατμητικές τάσεις στον πυθμένα δίνονται από τους ακόλουθους τύπους (για 2 διαστάσεις): τbx = 1 fcwu 0 u 1 0, τby = fcwv0 u 0 (3.64) 2 2 όπου u = u + v και f cw είναι ο παράγοντας τριβής ρεύματος κύματος. Ο Ribberink (1998) προτείνει την τιμή: 140

155 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 f = u f + 1 u f oc oc cw c w uoc u ow max uoc u ow max (3.65) όπου f c, f w είναι οι συντελεστές τριβής για ρεύμα και κύμα αντίστοιχα,u ow-max είναι το εύρος του αυξομειούμενου τμήματος της ταχύτητας κοντά στον πυθμένα, u ow =( u ow, ν ow ), u = u + v, με u o και v o τις συνιστώσες της ταχύτητας πυθμένα του 2 2 oc o o μέσου στο χρόνο πεδίου των ρευμάτων, που λαμβάνεται βγάζοντας μέσο όρο στις στιγμιαίες ταχύτητες. Για περιοδικά κύματα τα u o και v o λαμβάνονται βγάζοντας μέσο όρο από τις στιγμιαίες ταχύτητες σε διάστημα τριών περιόδων κύματος. Το εύρος του αυξομειούμενου τμήματος της ταχύτητας κοντά στον πυθμένα, u ow-max, λαμβάνεται παίρνοντας τις μέσες τιμές του εύρους των αυξομειούμενων τιμών των ταχυτήτων πυθμένα των προηγούμενων κυματισμών. Για θραυόμενους κυματισμούς η ταχύτητα στον πυθμένα, κάτω από «επιφανειακούς κυλίνδρους», λαμβάνεται από την 1 σχέση ορισμού της μέσης στο βάθος ταχύτητας U, ( U = dz h u ): ζ d u h δ o = U h δ c h δ, (3.66) ενώ για μη θραυόμενους κυματισμούς από τις σχέσεις της κατακόρυφης κατανομής της ταχύτητας u(z) που δίνει ο Dingemans (1997, p. 614) θέτοντας z=-d: u 2 x 3 x d (du) d U o = U+ 2 2 (3.67) v 2 y 3 y d (dv) d V o = V (3.68) Οι αυξομειούμενες συνιστώσες των ταχυτήτων (κοντά στον) πυθμένα u ow και υπολογίζονται από τις ταχύτητες κοντά στον πυθμένα αφαιρώντας τις μέσες ταχύτητες ρεύματος: uow = uo uo και vow = vo vo. v ow 141

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ BOUSSINESQ ΗΠΙΑΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Karambas & Memos 2009 Ο συντελεστής τριβής κυματισμού (fw) υπολογίζεται βάσει της πεπλεγμένης σχέσης του Johnsson (1966): N N fw = exp για < 0,63 Ab Ab K N fw = 0,3 για 0,63 Ab K K (3.69) όπου Α b είναι το εύρος της διακύμανσης των υγρών μορίων (Α b =u ow-max /ω) και Κ Ν είναι η τραχύτητα του πυθμένα. Η χαρακτηριστική αυτή τραχύτητα πυθμένα ( παράμετρος Nikuradse) συσχετίζεται με κάποια χαρακτηριστική διάμετρο των κόκκων του πυθμένα. Ο Ribberink (1998) προτείνει τις εξής τιμές για να ορίσει την παράμετρο Κ Ν :Κ Ν =3 D 90, Κ Ν =2.5 D 50 και Κ Ν =1 D 50. Τέλος ο συντελεστής τριβής λόγω ρεύματος υπολογίζεται από τη σχέση (Ribberink, 1998) : f 2g = (3.70) c 2 Cc όπου C c είναι ο συντελεστής τριβής Chezy που δίνεται από τη σχέση: C 12(d + ζ ) = 18 log Κ Ν c 10 (3.71) με ζ να αντιπροσωπεύει την μέση τιμή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας ζ. 142

157 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) 143

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο καθώς και η μαθηματική εφαρμογή της μελέτης της διάδοσης των κυματισμών του προγράμματος ΜΙΚΕ21 Boussinesq Waves ή εν συντομία MIKE21 BW. Το MIKE21 BW είναι ένα προηγμένης τεχνολογίας πακέτο για αριθμητική προσομοίωση βραχέων και μακρών κυματισμών κοντά και εντός λιμενικών εγκαταστάσεων καθώς και σε παράκτιες ζώνες και ουσιαστικά αποτελεί μια από τις δημοφιλέστερες εμπορικές προτάσεις της αγοράς. Στα ακόλουθα υποκεφάλαια περιγράφονται οι εξισώσεις ορμής και συνέχειας που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα (Madsen et al. 1997a), το κριτήριο θραύσης στο οποίο βασίζεται καθώς και το αριθμητικό σχήμα επίλυσης του προγράμματος. Έτσι θα καταδειχθούν καλύτερα οι διαφορές με το μαθηματικό ομοίωμα που στο οποίο βασίστηκε η παρούσα διπλωματική (Karambas & Memos 2008, Κεφ. 3). Η σύγκριση αυτή θα ολοκληρωθεί με την πρακτική εφαρμογή των δύο μοντέλων και την σύγκριση των αποτελεσμάτων τους που παρουσιάζεται σε επόμενο κεφάλαιο (κεφ. 5). 144

159 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) 4.2 Γενική περιγραφή Το MIKE21 BW αποτελεί ένα από τα κύρια υποπρογράμματα του «πακέτου» λογισμικού ΜΙΚΕ21 της DHI (Danish Hydraulic Institute) που αφορά στο σύνολό του την προσομοίωση των περισσότερων διεργασιών της παράκτιας ζώνης. Το MIKE21 BW διαιρείται με τη σειρά του σε δυο υποπρογράμματα, ένα μονοδιάστατο (1DH) και ένα δισδιάστατο (2DH) (Σχ. 4.1), τα οποία βασίζονται στην επίλυση στον πεδίο του χρόνο των εξισώσεων τύπου Boussinesq. Αυτές περιλαμβάνουν μη γραμμικά χαρακτηριστικά καθώς και διασπορά συχνοτήτων. Ουσιαστικά η διασπορά των συχνοτήτων εισάγεται στις εξισώσεις ποσότητας κίνησης παίρνοντας υπόψη την επίδραση που έχουν οι κατακόρυφες επιταχύνσεις στην κατανομή των πιέσεων. Σχ. 4.1 Το MIKE21BW περιέχει 2 modules. Αριστερά: (2DH) εφαρμόζεται συνήθως για τον υπολογισμό της κυματικής διαταραχής σε λιμάνια. Δεξιά: (1DH) χρησιμοποιείται συνήθως για την προσομοίωση της κυματικής διάδοσης από τα βαθιά στα ρηχά (πηγή: DHI). Τα δύο αυτά υποπρογράμματα επιλύουν τις κλασσικές εξισώσεις τύπου Boussinesq χρησιμοποιώντας μια έκφραση ροής (flux-formulation) με βελτιστοποιημένα τα χαρακτηριστικά της γραμμικής διασποράς. Η νέα βελτιωμένη μορφή των εξισώσεων (Madsen et al., 1991; Madsen & Sørensen, 1992) τα καθιστούν ικανά για προσομοίωση της κατευθυντικής διάδοσης μιας κυματοσειράς από τα βαθιά στα ρηχά νερά. Ο μέγιστος επιτρεπόμενος λόγος θαλάσσιου βάθους προς μήκος κύματος στα βαθειά: dl0 0.5 (ή kd 3.1, όπου kd είναι ο σχετικός αριθμός κύματος και αποτελεί δείκτη όρων διασποράς). Για την κλασσική μορφή των εξισώσεων τύπου Boussinesq ( 2.2), ο μέγιστος επιτρεπόμενος λόγος θαλάσσιου βάθους προς μήκος κύματος στα βαθιά είναι: d L (ή kd 1.4 ). Οι εξισώσεις του μοντέλου έχουν επεκταθεί (Madsen et al., 1997; Sørensen et al. 1998, 2004) για να 145

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) συμπεριλάβουν τη θραύση των κυματισμών και την «κινούμενη» ακτογραμμή (για εφαρμογές που έχουν σχέση με την αναρρίχηση των κυματισμών). Το 2DH BW (δυο οριζόντιες διαστάσεις) επιλύει τις τροποποιημένες εξισώσεις τύπου Boussinesq μέσω ενός πεπλεγμένου αριθμητικού σχήματος πεπερασμένων διαφορών με τις μεταβλητές να ορίζονται πάνω σε έναν εναλλασσόμενο ορθογωνικό κάναβο. Το μοντέλο είναι ικανό να αναπαράγει τα περισσότερα συνδυαστικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα σε λιμενικές εγκαταστάσεις και παράκτιες ζώνες. Αυτά είναι: Διάθλαση (refraction) Ρήχωση (shoaling) Περίθλαση (diffraction) Μερική ανάκλαση (partial reflection) Μερική μετάδοση (partial transmission) Τριβή στον πυθμένα (bottom dissipation) Θραύση κυματισμών (wave breaking) Μεταβολή της ακτογραμμής (moving shoreline) Μη γραμμική αλληλεπίδραση κυμάτων (non-linear wave-wave interaction) Διασπορά συχνοτήτων (frequency spreading) Κατευθυντική διασπορά (directional spreading) Επιπρόσθετα πρέπει να σημειωθεί ότι η διασπορά συχνοτήτων και κατευθύνσεων γίνεται με γραμμική υπέρθεση (Linear superposition). Συνεπώς προβλήματα όπως ομαδοποίηση κυμάτων (wave grouping), «surf beats», δημιουργία δεσμευμένων χαμηλών και υψηλών συχνοτήτων (generation of sub- and super- harmonics) και τριαδικών αλληλεπιδράσεων συντονισμού (near-resonant triad interactions) μπορούν να εξεταστούν μέσω του MIKE21 BW. Ακόμα και λεπτομέρειες όπως η γένεση και η απελευθέρωση ταλαντώσεων χαμηλών συχνοτήτων λόγω μετασχηματισμού του αρχικού κύματος περιγράφονται αρκετά ικανοποιητικά από το μοντέλο. Η θραύση των κυμάτων εφαρμόζεται βάσει της υπόθεσης «επιφανειακού κυλίνδρου» για κυματισμούς τύπου κυλίσεως (spilling), και περιγράφεται αναλυτικά στην παράγραφο 4.4 (Σχ.4.2). Η κινούμενη της ακτογραμμή (moving shoreline) βασίζεται στην παρακάτω προσέγγιση: η εξεταζόμενη περιοχή επεκτείνεται τεχνητά με την αντικατάσταση του στερεού ορίου της ακτής με μία διαπερατή ζώνη με πολύ μικρό πορώδες. Κοντά στην κινούμενη ακτογραμμή η θαλάσσια επιφάνεια εισχωρεί στον 146

161 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) πορώδη πυθμένα. Συνακόλουθα η στιγμιαία θέση της ακτογραμμής καθορίζεται από αυτήν την αλληλεπίδραση. Σχ.4.2 Εικόνα από ομοίωμα BW (2DH) με προσομοίωση της θραύσης. Οι επιφανειακοί κύλινδροι απεικονίζονται με τον λευκό αφρό. Το 1DH BW επιλύει τις βελτιωμένες εξισώσεις τύπου Boussinesq (Madsen et al 1997) μέσω μίας μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων Galerkin με πεπλεγμένη παρεμβολή των μεταβλητών σε εναλλασσόμενο ή μη εναλλασσόμενο κάναβο. Μέσω αυτού του μοντέλου μπορούν να προσομοιωθούν η δυναμική της ζώνης θραύσης και οι μεταβολές στη ζώνη διαβροχής (swash zone) για οποιοδήποτε παράκτιο προφίλ. Επίσης αναπαράγει τα περισσότερα συνδυαστικά φαινόμενα στην παράκτια ζώνη όπως και η 2DH έκδοση. Το πρόβλημα της εμφάνισης υψηλότερης τάξης χωρικών διαφορικών αντιμετωπίζεται με τη γραμμικοποίηση των εξισώσεων τύπου Boussinesq, αφού εισαχθούν μια επιπρόσθετη μεταβλητή (w) και μια επιπρόσθετη αλγεβρική εξίσωση(υποκεφάλαιο 4.3). Οι εξισώσεις στις οποίες καταλήγουμε εμπεριέχουν όρους μόνο με δεύτερης τάξης διαφορικά όσο αφορά στις χωρικές συντεταγμένες (Sørensen et al., 2004). 147

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) 4.3 Βασικές εξισώσεις Το MIKE21 BW επιλύει τις τροποποιημένες εξισώσεις τύπου Boussinesq σε μία ή δύο διαστάσεις ως προς την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας ζ και ως προς τις κατά το βάθος ολοκληρωμένων συνιστωσών ταχύτητας, P και Q. Το σύστημα εξισώσεων για το 2DH BW είναι: Εξίσωση συνέχειας: ζ P Q n + + = 0 t x y (4.1) Εξίσωση ποσότητας κίνησης (ορμής) κατά x: 2 P PQ P h h R R ζ n t x y x x x xx xy Fn x gh + P + Q gp P + Q = h hc np α β nψ (4.2) Εξίσωση ποσότητας κίνησης κατά y: 2 Q PQ Q h h R R ζ n t y x x x y xx xy Fn y gh + P + Q gq P + Q = h hc np α β nψ (4.3) όπου οι όροι διασποράς Ψ 1 και Ψ 2 δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις: 148

163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) Ψ1 B+ d ( Pxxt + Qxyt ) nbgd ( ζxxx + ζxyy ) ddx Pxt + Qyt + nbgd( 2ζxx + ζyy ) ddy Qxt + nbgdζ xy (4.4) Ψ2 B+ d ( Pxyt + Qyyt ) nbgd ( ζyyy + ζxxy ) ddy Qyt + Pxt + nbgd( 2ζyy + ζxx) ddx Pyt + nbgdζ xy (4.5) Οι δείκτες x,y και t υποδηλώνουν μερική διαφόριση αναφορικά με το χώρο και το χρόνο αντίστοιχα. Λίστα συμβόλων: P: πυκνότητα ροής κατά x σε m 3 /(msec) Q: πυκνότητα ροής κατά y σε m 3 /(msec) B: Boussinesq όρος διασποράς F x : όρος οριζόντιας τάσης κατά x F y : όρος οριζόντιας τάσης κατά y x,y: καρτεσιανές συντεταγμένες t: χρόνος σε sec h: συνολικό βάθος (h=d+ζ) d: βάθος μέσης στάθμης ηρεμίας g: επιτάχυνση βαρύτητας n: πορώδες C: αριθμός αντίστασης Chezy σε m 1/2 /sec α: συντελεστής αντίστασης για στρωτή ροή σε πορώδες μέσο β: συντελεστής αντίστασης για τυρβώδη ροή σε πορώδες μέσο ζ: ανύψωση θαλάσσιας επιφάνειας πάνω από σημείο αναφοράς σε m 149

164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) Οι όροι οριζόντιας τάσης περιγράφονται με τη χρήση μιας σχέσης κλίσης της τάσης (gradient-stress) η οποία δίνει: P P Q Fx = νt νt x x + + y y x Q Q P Fy = νt + νt + y y x x y Όπου το ν t είναι η οριζόντια τυρβώδης συνεκτικότητα. (4.6) (4.7) Οι όροι R xx, R xy, και R yy αναφέρονται στην επίδραση του «επιφανειακού κυλίνδρου» και για αυτό αναλύονται διεξοδικότερα στην επόμενη υποενότητα. Αντίστοιχα το σύστημα εξισώσεων για το ΜΙΚΕ 21 BW 1DH είναι: Εξίσωση συνέχειας: ζ P n + = 0 t x (4.8) Εξίσωση ποσότητας κίνησης κατά x: 2 P 3 P h R xx 2 ζ 1 2 P n n gh n B+ d t x x x 3 x x x 2 1 d P P gp P 2 2 w 2 d n Bgd + n P α + β + = x x t x h hc ζ w = d x x (4.9) (4.10) Είναι φανερό ότι οι παραπάνω εξισώσεις περιέχουν χωρικά διαφορικά μέχρι 2ης τάξης. 150

165 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) 4.4 Θραύση κυματισμών (Madsen et al. 1997) Μια μέθοδος για την προσομοίωση της απώλειας ενέργειας λόγω θραύσης, στα μοντέλα Boussinesq, είναι ο «επιφανειακός κύλινδρος» (surface roller). Το ΜΙKE21 BW χρησιμοποιεί την τεχνική αυτή η οποία αναλύθηκε διεξοδικά στο υποκεφάλαιο Η αρχή στην οποία βασίζεται η τεχνική του επιφανειακού κυλίνδρου είναι η αλλαγή στην κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας συνιστώσας της ταχύτητας όπως απεικονίζεται στο Σχ Θεωρώντας αυτό το προφίλ ταχύτητας να ισχύει κατά τη θραύση εξάγονται οι εξισώσεις (4.1), (4.2) και (4.3) ( 4.3). Σχ. 4.3 Κάθετο προφίλ οριζόντιας ταχύτητας θραυόμενου κυματισμού (Madsen et al. 1997). Οι όροι R xx, R xy, και R yy αντιστοιχούν στην επιπρόσθετη ορμή η οποία προκύπτει από την ανομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας λόγω της παρουσίας του επιφανειακού κυλίνδρου (surface roller) και ορίζονται ως: R xx δ P = cx 1 δ d d 2 (4.10) δ P Q Rxy = cx cy 1 δ d d d (4.11) 151

166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) R yy δ Q = cy 1 δ d d 2 (4.12) Εδώ δ=δ(x,y,t) είναι το πάχος του επιφανειακού κυλίνδρου και c x, c y οι συνιστώσες της ταχύτητας φάσης του. Η επιλογή της ταχύτητας φάσης του επιφανειακού κυλίνδρου βασίζεται στην μεθοδολογία του Sørensen et al. (2004) και στην ακόλουθη μέθοδο εκτίμησης της ταχύτητας: (c x,c y) = (c cos θ,c sinθ) και c = fv gh. Χρησιμοποιώντας σαν συντελεστή f v =1.00 παίρνουμε την σχέση για ρηχά νερά της γραμμικής θεωρίας. Η προσέγγιση είναι καλή μέχρι λίγο πριν τη ζώνη θραύσης, όπου το MIKE21 BW έχει προεπιλεγμένη τιμή f v =1.30. Η μετάβαση από 1.00 σε 1.30 γίνεται βάσει μιας εκθετικής συνάρτησης χρόνου (για περισσότερες λεπτομέρειες, Sørensen et al., 2004). Για την διεύθυνση θ της ταχύτητας του επιφανειακού κυλίνδρου το MIKE21 BW παρέχει 2 επιλογές: Τύπος ταχύτητας 1, όπου η διεύθυνση της ταχύτητας επιλέγεται διαδραστικά από το κυματικό πεδίο. Τύπος ταχύτητας 3, όπου η διεύθυνση της ταχύτητας επιλέγεται βάσει της διεύθυνσης του κυματισμού. 4.5 Οριακές συνθήκες Στο MIKE21 BW οι συνθήκες στα όρια του πεδίου προσομοιώνονται με τη μέθοδο των στοιβάδων απορρόφησης ενέργειας ( sponge - absorbing layers), και με τα όρια γένεσης κυματισμών. Η διαδικασία προσθήκης απορροφητικών ορίων στο πεδίο συνίσταται στην ανάθεση σε έναν αριθμό κελιών του υπολογιστικού πεδίου, στις περιοχές ορίου, τις κατάλληλες συνθήκες ακτινοβολίας οι οποίες απομειώνουν σταδιακά μέρος ή όλη την ενέργεια του κυματικού πεδίου που διαδίδεται προς αυτές τις περιοχές από το χώρο προσομοίωσης, ενώ ταυτόχρονα εξασφαλίζουν μικρή ή μηδενική ανάκλαση. 152

167 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) Η επόμενη σχέση δίνει την τιμή του συντελεστή απομείωσης για πλήρως απορροφητικά όρια (sponge layers): Csponge i-1 ( r ) α =, i=1, N sponge Όπου α,r είναι σταθερές προς προσδιορισμό και N sponge ο αριθμός των γραμμών απορρόφησης. Η γραμμή γένεσης των κυματισμών τοποθετείται συνήθως μπροστά από απορροφητικές στοιβάδες στο όριο από το οποίο θεωρούμε ότι εισάγεται το κυματικό πεδίο σε οποιαδήποτε κατεύθυνση ως προς το χώρο προσομοίωσης, όπως φαινεταιι σχηματικά στο παρακάτω Σχ.4.4 Σχ. 4.4 Παράδειγμα εφαρμογής οριακών συνθηκών(απορροφητικών ορίων- sponge layers) σε κάποια περιοχή προσομοίωσης. 153

168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) 4.6 Αριθμητικό σχήμα επίλυσης Η αριθμητική μέθοδος που χρησιμοποιείται στο 2DH BW βασίζεται στο αποκαλούμενο SYSTEM21 σχήμα, το οποίο προτάθηκε από τους Abbott et al. (1973) και επεκτάθηκε για προσομοίωση βραχέων κυμάτων από τους Abbott et al. (1978). Από τότε το εύρωστο αυτό σχήμα έχει υποστεί συνεχή βελτίωση (Madsen et al., 1991; Madsen and Sørensen, 1992). Οι διαφορικές εξισώσεις διακριτοποιούνται χωρικά σε ορθογωνικό κάναβο σταθερού βήματος. Τα βαθμωτά μεγέθη, όπως η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, ορίζονται στους κόμβους του κανάβου, ενώ οι συνιστώσες της ροής ορίζονται στο μέσο γειτονικών κόμβων (επί των πλευρών βρόχων) όπως παρουσιάζεται στο Σχ Σχ. 4.4 Απεικόνιση κανάβου για το 2DH BW στο επίπεδο x, y. Η ολοκλήρωση στο χρόνο γίνεται χρησιμοποιώντας ένα πεπλεγμένο κεντρικό σχήμα. Ο αλγόριθμος είναι εναλλασσόμενης διεύθυνσης (Alternating Direction Implicit -ADI), με τις τεχνικές «fractional step» και «side-feeding». Το τελικό τρισδιαγώνιο σύστημα εξισώσεων λύνεται με τον διαδεδομένο αλγόριθμο διπλής σάρωσης (double-sweep). Η χρήση στο 1DH BW module πρωτόλειας μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση των μονοδιάστατων εξισώσεων μπορούν να αποδώσει σοβαρά σφάλματα ειδικά όταν εφαρμόζονται ίσης τάξης συναρτήσεις παρεμβολής για τον υπολογισμό των παροχών και της ανύψωσης. Για την λήψη σταθερών λύσεων χωρίς 154

169 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ MIKE 21 BOUSSINESQ WAVES (BW) διακυμάνσεις χρησιμοποιείται μικτή παρεμβολή. Στοιχεία με τετραγωνικές παροχές και γραμμική ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας καθώς και επιπρόσθετοι όροι εφαρμόζονται σε αυτή την κατεύθυνση. Η χρονική ολοκλήρωση γίνεται μέσω ενός ρητού Taylor-Galerkin τριών βημάτων ή μέσω μιας τέταρτης τάξης μεθόδου πρόβλεψης-διόρθωσης (predictor-corrector) Adams-Bashforth-Moulton. Ένα σετ τριών γραμμικών εξισώσεων πρέπει να επιλυθεί. Για μικρά προβλήματα αυτά τα συστήματα επιλύονται με απαλοιφή κατά Gauss. Για πιο μεγάλα συστήματα πρέπει να εφαρμόζονται πιο χρονοβόρες μέθοδοι, όπως η Krylov επαναληπτική μέθοδος (GMRES) σε συνδυασμό με μία επαρκή προϋπόθεση (μια ημιτελή LU παραγοντοποίηση) όπως περιγράφεται αναλυτικά από τους Sørensen et al. (2004). Οι εκδόσεις του MIKE21 BW μεταγενέστερα του 2004, υποστηρίζουν σταθερό και μεταβαλλόμενο πλέγμα (mesh) για μέγιστο βαθμό προσαρμοστικότητας. 155

170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW 156

171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η δυνατότητα του ομοιώματος Boussinesq των Karambas & Memos (2009), που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3, να προσομοιώσει με ακρίβεια και συνέπεια τη διάδοση και θραύση κυματισμών στον παράκτια ζώνη καθώς και την επίδραση της τριβής του πυθμένα κατά την διάδοση τους. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή του, συγκρίνονται με πειραματικές μετρήσεις και τα αντίστοιχα αποτελέσματα από το υπολογιστικό πακέτο MIKE21 BW (1DH module). Αρχικά (υποκεφάλαια 5.2 και 5.3) γίνεται σύγκριση των πορισμάτων από την εφαρμογή του μοντέλου με τα αποτελέσματα των εξής δύο πειραματικών διατάξεων: Πείραμα Wallingford (1997), μονοχρωματικοί, βραχείς κυματισμοί (monochromatic short wave) μη θραυόμενοι, διαδιδόμενοι σε πυθμένα ήπιας κλίσης. Πείραμα των Beji and Battjes (1994), μονοχρωματικοί μακρείς κυματισμοί (monochromatic long wave) διαδιδόμενοι πάνω από ύφαλο τραπέζιο. Στα πειράματα αυτά αφορούν μη θραυόμενους κυματισμούς οπότε το κριτήριο θραύσης ( 3.7.1) δεν εφαρμόζεται σε αυτά. Γίνεται παράλληλα σύγκριση με τα αποτελέσματα από το MIKE21 BW (1DH module). Στη συνέχεια (υποκεφάλαιο 5.4) γίνεται εφαρμογή του μοντέλου για την πειραματική διάταξη του πειράματος: Beji and Battjes (1993), μονοχρωματικοί μακρείς και βραχείς κυματισμοί, θραυόμενοι πάνω από ύφαλο τραπέζιο τύπου εκτινάξεως (ή καταδύσεως plunging) και κύλισης (spilling). Το πείραμα αυτό αφορά θραυόμενους κυματισμούς και κατά συνέπεια γίνεται η εφαρμογή τόσο του κριτηρίου θραύσης όσο και της τριβής πυθμένα ( ). Σε κάθε περίπτωση δίνεται μια ακριβής περιγραφή των πειραματικών διατάξεων και των πειραμάτων. Αναλύεται λεπτομερειακά η εφαρμογή και η επίλυση του αριθμητικού σχήματος του μοντέλου Boussinesq και του MIKE21 BW και η σύγκριση πραγματοποιείται μέσω της παρουσίασης των αντίστοιχων διαγραμμάτων μεταβολής της ελεύθερης επιφάνειας στον χρόνο. 157

172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW 5.2 Πείραμα Wallingford (1997) To πείραμα Wallingford, όπως προαναφέρθηκε, αφορά την διάδοση βραχέων, μονοχρωματικών κυματισμών (short monochromatic waves), μη θραυόμενων, σε επίπεδο πυθμένα ήπιας κλίσης. Τα αριθμητικά αποτελέσματα από την εφαρμογή του ομοιώματος Karambas & Memos (2009) συγκρίνονται με τις μετρήσεις του πειράματος Wallingford (1997) καθώς και με τα αντίστοιχα από το 1DH module του ΜΙΚΕ21 BW Περιγραφή πειραματικής διάταξης Wallingford (1997) Τα πειράματα διεξήχθησαν στις εγκαταστάσεις UKCRF (UK Coastal research Facility) του εργαστηρίου HR Wallingford σε διάστημα 12 εβδομάδων κατά τους θερινούς μήνες του Στόχος των πειραμάτων ήταν η μελέτη των χαρακτηριστικών των κυματισμών καθώς προωθούνται σε ρηχά νερά όπως την εξέλιξη της σχέσης ύψους και περιόδου τυχαίων κυματισμών κύματος σε συσχέτιση με το φάσμα τους, την κατευθυντικότητα των κυματισμών και την κινηματική των υγρών μορίων στη ζώνη θραύσης. Η πειραματική διάταξη του εργαστηρίου HR Wallingford φαίνεται στην ακόλουθη φωτογραφία (Σχ. 5.1). 158

173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ.5.1. Γενική άποψη πειραματικών διατάξεων στο εργαστήριο HR Wallingford. Οι εγκαταστάσεις UKCRF περιλαμβάνουν μια πειραματική δεξαμενή με γεωμετρικά χαρακτηριστικά που φαίνονται στον ακόλουθο Πίνακα 5.1. Η κυματογεννήτρια αποτελείται από 72 ηλεκτρονικά ελεγχόμενα επίπεδα πηδάλια, πλάτους 0.50 m. Η κυματογεννήτρια αυτή έχει την ικανότητα να παράγει μονοχρωματικούς (regular) και τυχαίους κυματισμούς (random) στενής και πλατιάς κορυφής (short/long crested) οι οποίοι θα έχουν γωνία πρόσπτωσης στην ακτή από 0 ο έως 30 ο. Η όλη εγκατάσταση μπορεί επίσης να παράγει, παράλληλα με τους κυματισμούς, ρεύματα παράλληλα της ακτογραμμής, είτε παλιρροιακής ή κυματογενούς προέλευσης. Η μέγιστη επιφανειακή ταχύτητα ρεύματος για βάθος 0.5 μέτρων είναι 0.14 m/s. ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ (m x m) ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ (m x m) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΒΑΘΟΣ (m) 54 x x 15 (κεντρική) 0,3-0,8 (κυματογεννήτρια) Πίν Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δεξαμενής 159

174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Η αναλυτική κάτοψη της δεξαμενής και των διαφόρων πειραματικών συσκευών που τοποθετούνται μέσα της για την διεξαγωγή των πειραμάτων φαίνεται στο Σχ H δεξαμενή αυτή διαχωρίζεται σε μια περιοχή σταθερού βάθους η οποία ξεκινά αμέσως μετά τις κυματογεννήτριες και σε μια δεύτερη με πυθμένα σταθερής κλίσης 1:20. Το βάθος του νερού στην πρώτη περιοχή καθορίστηκε για το σύνολο σχεδόν των πειραμάτων σε 0.8 m και συνιστά μία περιοχή βαθιών νερών λαμβάνοντας υπόψιν ότι το χαρακτηριστικό ύψος των παραγόμενων κυμάτων δεν ξεπερνούσε τα 0.14 m.. Αντίστοιχα, η περιοχή σταθερής κλίσης διακρίνεται σε περιοχή βαθιών, ενδιάμεσων και ρηχών νερών. Σχ.5.2 Κάτοψη δεξαμενής πειράματος Wallingford (1997). Οι μετρήσεις της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, έγιναν με τη βοήθεια 27 ηλεκτρικού τύπου αισθητήρων (μετρητών) (capacitance resistance probes), των οποίων η μεταβολή της αντίστασης στη διέλευση του ηλεκτρικού ρεύματος καταγράφεται και μετατρέπεται σε χρονοσειρές της μεταβολής της στάθμης της 160

175 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW ελεύθερης επιφάνειας. Εκτός από τους αισθητήρες στάθμης χρησιμοποιήθηκε σε ορισμένα από τα πειράματα και ένας μετρητής τύπου Nortek 3D ADV για την καταγραφή των τροχιακών ταχυτήτων και στις τρεις διευθύνσεις. Η συγκεκριμένη συσκευή τοποθετήθηκε σε μόνιμη θέση μέσα στην περιοχή των ρηχών νερών και λάμβανε μετρήσεις σε βάθος 15 cm. Ο συνολικός αριθμός των αισθητήρων στάθμης που χρησιμοποιήθηκαν κατά την εκτέλεση των πειραμάτων ήταν είτε 11 (αισθητήρες 1-11, διάταξη 1), είτε 27 (αισθητήρες 1-27, διάταξη 2). Στο Σχ. 5.3 παρουσιάζεται η γενική διάταξη των αισθητήρων, μαζί με τους κωδικούς αριθμούς αναγνώρισής τους. Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι αισθητήρες 2, 5, 7, 8, 9, 10 και 11 σχημάτιζαν μία γραμμική διάταξη αισθητήρων μέσω της οποίας ήταν δυνατή η ταυτόχρονη μέτρηση των υπερυψώσεων της ελεύθερης επιφάνειας σε μια περιοχή που εκτείνονταν από τα βαθιά μέχρι τα ρηχά νερά. Σχ.5.3. Γενική διάταξη των αισθητήρων (Wallingford 1997). 161

176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Παράλληλα οι αισθητήρες και τοποθετήθηκαν έτσι ώστε να διαμορφώνουν στα ρηχά και τα βαθιά νερά αντίστοιχα, δύο όμοιες κυκλικές διατάξεις (probes) με 7 αισθητήρες στην περιφέρεια και έναν αισθητήρα στο κέντρο όπως φαίνεται στο Σχ.5.4. Από την επεξεργασία των μετρήσεων των διατάξεων αυτών μπορεί να γίνει εκτίμηση των κατευθυντικών χαρακτηριστικών του κυματικού πεδίου. Σχ.5.4.Διάταξη αισθητήρων (Wallingford 1997). Για τις συγκρίσεις της παρούσας εργασίας χρησιμοποιείται το πείραμα με κωδικό RE- 08. Τα χαρακτηριστικά του κυματισμού που μελετάται από το πείραμα αυτό είναι τα ακόλουθα: Μονοχρωματικός κυματισμός. Περίοδος Τ=1sec. Ύψος κύματος Η=0,1m Γωνία πρόσπτωσης στην ακτή: 0 ο. Για την παραστατικότερη σύγκριση των πειραματικών μετρήσεων και το μοντέλων Karambas & Memos (2009) και MIKE21 BW χρησιμοποιούνται οι μετρήσεις της μεταβολής της ελεύθερης επιφάνειας από τους μετρητές 8, 9 και 10 (Σχ.5.2 και 5.3) 162

177 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Εφαρμογή ομοιώματος Boussinesq Karambas & Memos (2009) Η μονοδιάστατη εκδοχή του μοντέλου Karambas & Memos (2009), όπως αυτό παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο εφαρμόστηκε χρησιμοποιώντας την γεωμετρική διάταξη που φαίνεται στο Σχ. 5.5 η οποία προέκυψε από την τομή κατά μήκος της κεντρικής γραμμής (C L, σχήμα 5.3) της αρχικής πειραματικής διάταξης Wallingford (1997). ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΝΗΤΡΙA :20 AΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΟ ΟΡΙΟ AΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΟ ΟΡΙΟ Σχ.5.5. Γεωμετρική διάταξη ομοιώματος Karambas & Memos (2009) για το πείραμα Wallingford (1997) 163

178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Η θέση των τριών αισθητήρων και το βάθος στην θέση του καθενός από την Σ.Η. συνοψίζονται στον πίνακα 5.2 που ακολουθεί: Αισθητήρας Απόσταση από την κυματογεννήτρια Βάθος νερού (m) (m) , , ,412 Πιν Θέση και βαθυμετρία αισθητήρων πειράματος Wallingford (1997) Οι εξισώσεις (1DH) συνέχειας και διατήρησης της ορμής που χρησιμοποιήθησαν για την εφαρμογή του ομοιώματος είναι αντίστοιχα οι ακόλουθες: (( d ζ) U) ζ + + = 0 t x (5.1) U U ζ τ b g πξ + U + g + = ζ ( x-ξ,t) ζ ( x,t) ln tanh dξ t x x h πd(x) x 4d (5.2) όπου τ b είναι η τριβή στον πυθμένα, h=d+ζ. Oι εξαρτημένες μεταβλητές είναι η διακύμανση της ελεύθερης επιφάνειας ζ και η μέση στο βάθος οριζόντια ταχύτητα U. To κριτήριο της θραύσης, όπως τονίστηκε προηγουμένως, δεν συμπεριλήφθηκε λόγω του σχετικά μικρού λόγου ύψους κύματος προς βάθος (πιν.5.2) που απέκλειε την εμφάνιση θραύσης. Για την επίλυση του μοντέλου, έγινε εφαρμογή της χώρο-χρονικής διακριτοποίησης που προτείνεται από τους Karambas & Memos (2009) με χρήση πεπερασμένων διαφορών. Βασίζεται στην υιοθέτηση κεντρικών πεπερασμένων διαφορών ως προς το χώρο και εμπρόσθιων ως προς το χρόνο (Forward Time Centered Space FTCS) για την προσέγγιση των μερικών παραγώγων διαφόρων τάξεων. 164

179 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Έτσι οι τιμές των παραγώγων πρώτης τάξης των μεταβλητών U και ζ, που υπολογίζονται στο σημείο iδx και τη χρονική στιγμή nδt προσεγγίζονται ως εξής: F t F x n+ 1 n Fi F i Δt n F F i 2Δx n i n n i+ 1 i 1 (5.3) (5.4) Όπου F είναι η μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να αντικατασταθεί είτε από την ταχύτητα U ή η την ανύψωση ζ της ελεύθερης επιφάνειας. Για τους μη γραμμικούς όρους των σχέσεων (5.1) και (5.2), χρησιμοποιούνται οι προσεγγίσεις : U U x n U U U i 2Δx n n n i+ 1 i 1 i (5.5) n n n ( d ζ ) U n Ui+ 1( d+ ζ ) Ui 1( d+ ζ ) + x i i+ 1 i 1 2Δx n (5.6) Σύμφωνα με τα παραπάνω οι διαφορικές εξισώσεις (5.5), (5.6) γράφονται: ζ ζ n ( Ud ( + ζ) ) Ud ( + ζ ) ( ) n+ 1 n i i i+ 1 i Δt n + = 0 (5.7) Δx U U U U ζ ζ τ = (5.8) n+ 1 n n n n+ 1 n+ 1 n i i n i+ 1 i 1 i i 1 bi n+ 1 Ui g I n Δt 2Δx Δx hi Όπου Ι είναι το ολοκλήρωμα συνέλιξης. Η τιμή της τριβής τ b υπολογίζεται βάσει της σχέσης (3.64α): 1 τb = fu i w 0i u0i (5.9) 2 όπου : 165

180 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW K N KN fw = exp για < 0,63 Ab Ab K = N fw 0,3 για 0,63 Ab (5.10) To K N αντιπροσωπεύει την παράμετρο Nikuradse (σχετική τραχύτητα πυθμένα) και για όλες τις περιπτώσεις λαμβάνεται ίση με Κ Ν =2.5 D 50 όπου D 50 είναι μια αντιπροσωπευτική διάμετρος των κόκκων του υλικού του πυθμένα. Το Α b είναι το εύρος της διακύμανσης των υγρών μορίων κοντά στον πυθμένα (Α b =u ow-max /ω), όπου u ow-max είναι το εύρος του αυξομειούμενου τμήματος της ταχύτητας κοντά στον πυθμένα, και λαμβάνεται παίρνοντας τις μέσες τιμές του εύρους των αυξομειούμενων τιμών των ταχυτήτων πυθμένα των προηγούμενων κυματισμών. Τέλος η ταχύτητα κοντά στον πυθμένα u o δίνεται από τη σχέση (3.67). Τόσο η u o όσο και η u ow-max για κάθε κόμβο του υπολογιστικού πεδίου λαμβάνονται ως μέσοι όροι των τιμών αυτών στα σημεία αυτά για χρονικό διάστημα ίσο με 6 περιόδους κυματισμού. Τα χωρικά και χρονικά βήματα, Δx και Δt αντίστοιχα, επιλέχθηκαν με κριτήριο την επίτευξη μέγιστης ευστάθειας του αριθμητικού μοντέλου. Μετά από δοκιμές προέκυψαν οι τιμές Δx=0.02m και Δt=0.0025sec. Στους Beji and Battjes (1994) ( 5.3) προτείνεται ότι το χωρικό βήμα δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 1/20 του μήκους εισερχόμενου κυματισμού (Δx < L/20) ενώ το χρονικό να είναι μη είναι μεγαλύτερο από το 1/40 της περιόδου δηλαδή Δt < T/40 για την επίτευξη ικανοποιητικής ανάλυσης του υπολογιστικού πεδίου. Ο αριθμός Courant πρέπει παράλληλα να είναι μικρότερος της μονάδας. Ο αριθμός αυτός είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο κριτήριο αριθμητικής σταθερότητας για εφαρμογές με πεπερασμένες Δx διαφορές και ισούται με : c =, όπου c η ταχύτητα του εισερχόμενου κυματισμού. Δt Δx Στην παρούσα περίπτωση επιδιώχθηκε να c < 1 1<. c Δt Η εισαγωγή του κυματισμού στο πεδίο γίνεται σημειακά στο εσωτερικό του όπως φαίνεται στο σχήμα 5.5. Η εισαγωγή του κυματισμού γίνεται με την προσθήκη μιας ποσότητας ζ s στις τιμές των ζ μετά τον υπολογισμό των ζ και U σε κάθε χρονικό βήμα. Σύμφωνα με τους Gobbi and Kirby (1999), αφού το τοπικό βάθος στην περιοχή της 166

181 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW πηγής είναι σταθερό και ίσο με 0.8m, η συνάρτηση πηγής μονοχρωματικού κυματισμού γωνιακής συχνότητας ω γράφεται: 2 ( ) ( ) ζ s = Ds exp βs x xs sin ωt (5.11) Όπου x s είναι το κέντρο πηγής και δηλαδή η θέση της κυματογεννήτριας του πεδίου (Σχ.5.5). Το D s είναι το μέτρο της συνάρτησης πηγής και λήφθηκε ίσο με s ( ) D = H 2 (Kirby et al., 1998), όπου Η το ύψος κύματος. Το β s καθορίζει το πόσο επικεντρωμένη είναι η συνάρτηση πηγής και δίνεται από τον τύπο (Kirby et al., 1998): β = 80 ( δ L) s 2 (5.12) όπου το δ είναι ίσο με 0.3 και L=c T το μήκος κύματος. Για την αποφυγή της ανάκλασης των κυματισμών στα άκρα του πεδίου τοποθετούνται εκεί απορροφητικά όρια ή αλλιώς στοιβάδες απορρόφησης της κυματικής ενέργειας. Για την εισαγωγή τους χρησιμοποιείται το εξελιγμένο σχήμα των Yoon και Choi (2001) που παρουσιάστηκε στην παράγραφο Χρησιμοποιούνται οι σχέσεις (3.53)-(3.56) και σε κάθε χρονικό βήμα τα ζ, U των στοιβάδων απορρόφησης πολλαπλασιάζονται με τον συντελεστή ν ( x * ) (σχέση 3.53). Τέλος θα πρέπει να αναφερθεί ότι για την εκτέλεση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκε γλώσσα προγραμματισμού Fortran και ο κώδικας για το πείραμα Wallingford παρουσιάζεται στο Παράρτημα Α. 167

182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Εφαρμογή MIKE21 BW Για την προσομοίωση του πειράματος Wallingford σε ΜΙΚΕ21 BW διατηρήθηκαν τα ίδια δεδομένα, όσον αφορά το χωρικό και χρονικό βήμα, μιας και απαιτείται ο αριθμός Courant να είναι μικρότερος και από 0.5 για όλες τις μονοδιάστατες εφαρμογές. Κατά τα άλλα ακολουθούνται οι οδηγίες που προβλέπονται στο βιβλίο χρήσης του προγράμματος αυτού. Η πορεία μοντελοποίησης του πειράματος αυτού ακολουθεί την ακόλουθη σειρά: 1. Δημιουργία βυθομετρίας (μονοδιάστατο προφίλ). 2. Δημιουργία απορροφητικών στοιβάδων (sponge layers). 3. Δημιουργία κυματογεννήτριας μονοχρωματικών κυματισμών. 4. Εφαρμογή του υποπρογράμματος ΒW όπου επιλέγονται οι διάφοροι παράμετροι επίλυσης (εξισώσεις που εφαρμόζονται, χρονικό βήμα, διάρκεια προσομοίωσης, εφαρμογή τριβής πυθμένα κ.α.) Αναλυτικότερα τα παραπάνω βήματα έχουν ως εξής: 1. Δημιουργείται μονοδιάστατη βυθομετρία (cross-shore profile) από το MIKE Zero (Σχ.5.6). Βήμα διακριτοποίησης επιλέγεται το ίδιο με το μοντέλο Karambas & Memos, δηλαδή Δx=0.02m το οποίο διατηρείται σε όλη την εφαρμογή. Σχ.5.6 Δημιουργία μονοδιάστατης βαθυμετρίας (cross-shore profile) στο MIKE Zero. 168

183 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW 2. Δημιουργία απορροφητικών στοιβάδων σύμφωνα με την σχέση που r προτείνεται από το ίδιο το πρόγραμμα : C = α, i=1,n. Επιλέγεται sponge i 1 sponge αριθμός απορροφητικών στοιβάδων Ν sponge =100 οπότε το βιβλίο οδηγιών του ΜΙΚΕ21 προτείνει τις τιμές α=10, r=0.92. To αρχείο με τις απορροφητικές στοιβάδες φαίνεται στο σχήμα 5.7. Σχ.5.7 Δημιουργία αρχείου απορροφητικών στοιβάδων (sponge layers). 3. Δημιουργείται η κυματική διαταραχή (κυματογεννήτρια) με το εργαλείο MIKE21 TOOLS Regular Wave Generation. Επιλέγεται θεωρία κυματισμών Stokes 1ης τάξης ( η κυματογεννήτρια τοποθετείται σε «βαθιά» νερά), ύψος κύματος Η=0.1m, περίοδος κύματος Τ=1sec και το βάθος νερού d=0.8m στο οποίο θα βρίσκεται η γεννήτρια κυματισμών. 169

184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ.5.8 Δημιουργία απλών κυματισμών (regular wave generation). 4. Χρήση του προγράμματος MIKE21 BW, μονοδιάστατη περίπτωση (1DH module, Σχ. 5.9). Σχ.5.9 Εκκίνηση MIKE21 BW 1DH module. Στη συνέχεια εισάγεται η βαθυμετρία και επιλέγεται η χρήση των βελτιωμένων σχέσεων Boussinesq (Madsen et Sørensen 1992) που περιλαμβάνουν και όρους βαθιών νερών. Επιλέγεται να συμπεριληφθούν οι όροι των βαθιών νερών, ώστε να ληφθούν υπόψη οι βελτιωμένες εξισώσεις διασποράς με λόγο d/l

185 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ.5.10 Εισαγωγή βαθυμετρίας και επιλογή εξελιγμένων εξισώσεων Boussinesq. Στη συνέχεια επιλέγεται το χρονικό βήμα διακριτοποίησης,δt=0.0025sec, και ο αριθμός των χρονικών βημάτων Ν=30000 ούτως ώστε να έχουμε επαρκή διάρκεια προσομοίωσης (Ν Δt=75 sec) (Σχ.5.11). Το MIKE21 υπολογίζει αυτόματα τον αριθμό Courant που στην προκείμενη περίπτωση είναι 0.35, μικρότερο του 0.5 που απαιτείται για μονοδιάστατες προσομοιώσεις. Σχ Επιλογή χρονικού βήματος Δt= και υπολογισμός αριθμού Courant. Κατόπιν εισάγεται η κυματογεννήτρια στο σημείο 500 Δx(Σχ.5.12). 171

186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Εισαγωγή κυματισμού (κυματογεννήτριας) στο πεδίο. Μετά εισάγονται οι βοηθητικές παράμετροι του προγράμματος και εισάγεται το αρχείο των απορροφητικών στοιβάδων(σχ.5.13). Για το πείραμα Wallingford επιλέγεται να αγνοηθεί το φαινόμενο της θραύσης. Αντίθετα η τριβή πυθμένα στις αρχικές εφαρμογές αγνοείται, ενώ στα επόμενα ενεργοποιείται για την εκτίμηση της επίδρασης της( 5.2.4) Σχ Καθορισμός βοηθητικών παραμέτρων για την εκκίνηση της εφαρμογής. 172

187 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Τέλος καθορίζονται οι συντεταγμένες των σταθμών 8 (σημείο 1112), 9 (σημείο 1212) και 10 (σημείο 1312) δηλαδή τα σημεία του υπολογιστικού πεδίου από τα οποία θα εξαχθούν από το πρόγραμμα οι χρονοσειρές της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας (Σχ. 5.14). Σχ.5.14 Επιλογή δημιουργία αρχείων εξόδου για τους 3 αισθητήρες. Με την ακολουθία των παραπάνω βημάτων το πρόγραμμα είναι σε θέση να προσομοιώσει την προώθηση του κυματισμού. Τα αποτελέσματα που εξάγονται παρουσιάζονται στην επόμενη ενότητα. 173

188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Αποτελέσματα Σχολιασμός Για κάθε σταθμό μετρήσεων αρχικά παρουσιάζονται τα αποτελέσματα με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα (εξισώσεις 5.2 και 5.9) ενώ αμέσως μετά ο όρος αυτός ενεργοποιείται για την σύγκριση των αποτελεσμάτων μεταξύ των δύο περιπτώσεων. Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 8 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. (Wallingford 1997) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα όπου ο όρος της τριβής πυθμένα ήταν ενεργοποιημένος. Για το μοντέλο Karambas & Memos (2009) χρησιμοποιήθηκε μια τιμή χαρακτηριστικής διαμέτρου κόκκων πυθμένα d 50 =0.001m (1mm) και κατ αντιστοιχία συντελεστής τραχύτητας πυθμένα Κ Ν =2.5 d 50 = m (εξισώσεις 5.10). Το ΜΙΚΕ21 174

189 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW BW παραμετροποιεί την τριβή χρησιμοποιώντας τον συντελεστή Manning που δίνεται από τη σχέση : C M = (5.13) h 1/6 όπου C ο συντελεστής Chezy που δίνεται από τη σχέση : U 2g C = U f (5.14) b w στην οποία U b συμβολίζεται η ταχύτητα πυθμένα και fw είναι ο συντελεστής τριβής κυμάτων που εμφανίζεται και στη σχέση 5.9. Χρησιμοποιώντας την ίδια τιμή Κ Ν = m και λαμβάνοντας υπόψη ότι η σχέση μεταξύ U και U b κυμαίνεται μεταξύ 30% και 50% για βαθύτερα νερά, ήτοι U/U b =1.3 περίπου λαμβάνουμε f exp K N w = + Ab = και κατ αντιστοιχία C=29. O συντελεστής Manning θα πάρει τιμές Μ=32, τιμή που προτείνεται και από το βιβλίο οδηγιών του ΜΙΚΕ 21 ως ενδεικτική τιμή για πυθμένες με χαμηλή τραχύτητα. 175

190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 8 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). (Wallingford 1997) Αντίστοιχη διαδικασία ακολουθήθηκε και για τους άλλους δύο αισθητήρες, 9 και

191 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 9 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. (Wallingford 1997) Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 9 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). (Wallingford 1997) 177

192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 10 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. (Wallingford 1997) Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 10 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). (Wallingford 1997) 178

193 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Όπως φάνηκε από τα προηγούμενα διαγράμματα εμφανίζεται μια πολύ καλή συμφωνία μεταξύ των χρονοσειρών ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας που προέκυψαν από την εφαρμογή των δύο μοντέλων και αυτών των πειραματικών μετρήσεων. Συνεπώς εξάγεται το συμπέρασμα ότι το εξελιγμένο μοντέλο Boussinesq των Karambas & Memos (2009) αλλά και το αντίστοιχο μοντέλο MIKE21 BW είναι σε θέση να περιγράψουν πολύ καλή ακρίβεια την διάδοση μονοχρωματικών, μη θραυόμενων κυματισμών σε πυθμένα ήπιας κλίσης καθώς οι αποκλίσεις με τις πειραματικές μετρήσεις αλλά και μεταξύ τους είναι πολύ μικρές. Ένας λόγος στον οποίο θα πρέπει να αποδοθούν οι όποιες, μικρές, αποκλίσεις είναι η διαφορά στο πραγματικό πεδίο στο οποίο πραγματοποιήθηκαν οι μετρήσεις με το μονοδιάστατο πεδίο στο οποίο εφαρμόστηκαν τα μοντέλα. Κατά πρώτον η άγνωστη τραχύτητα του πυθμένα (επιλέχθηκε συντηρητικά μια τιμή d 50 =1 mm μετά και από υπόδειξη του καθηγητή κ. Μέμου που διεξήγαγε το πείραμα και είχε κάποιες ενδείξεις για την τραχύτητα του πυθμένα) εφαρμόστηκε ομοιόμορφα σε όλο το μήκος του πειράματος. Αντίθετα ο πυθμένας είχε διαμορφωθεί στο μισό της δεξαμενής ως λείος, ενώ στο άλλο μισό ως τραχύς. Επίσης θα πρέπει να αναφερθεί ότι από την μελέτη των πειραματικών μετρήσεων διαφαίνεται ένας ελαφρά διδιάστατος χαρακτήρας του πειράματος κυρίως λόγω του μεγάλου, σχετικά, πλάτους της δεξαμενής των πειραμάτων. Το φαινόμενο αυτό επιβεβαιώνεται κυρίως από το γεγονός ότι η τιμή της ταχύτητας παράλληλα με το ίχνος της ανωφέρειας είναι μη μηδενική, αντίθετα με ότι θα αναμενόταν από ένα μονοδιάστατο (1DH) πείραμα. Η ακρίβεια των μοντέλων Boussinesq σχετίζεται γενικά με τα χαρακτηριστικά διασποράς και την τάξη της μη γραμμικότητας που επιτυγχάνεται από αυτά από την διατήρηση των αντίστοιχών μη γραμμικών όρων από αυτές. Οι εξελιγμένες εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για το μοντέλο Karambas & Memos (2009) είναι εξισώσεις πλήρους διασποράς αλλά ήπιας μη γραμμικότητας. Η σχέση διασποράς είναι αρκετά ακριβής σε με αυτήν της γραμμικής θεωρίας σε βαθύτερα νερά και ιδιαίτερα σε περιοχές με λόγο d/l > 0.5 (ή ισοδύναμα kd > 3,14). Τέτοιες περιοχές υπήρχαν στο πεδίο εφαρμογής του ομοιώματος. Όσον αφορά την επίδραση των μη γραμμικών όρων αυτή είναι ιδιαίτερα έντονη στην περιοχή των ρηχών νερών και λίγο πριν τη θραύση των κυματισμών. Το μοντέλο είναι ικανό να περιγράψει ελαφρώς μη γραμμικούς 179

194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW κυματισμούς κρατώντας όρους της τάξης Ο(1,ε,σ 2 ) και η προκύπτουσα σύγκριση είναι πολύ ικανοποιητική. Όσον αφορά το μαθηματικό ομοίωμα MIKE21 BW, είναι σε θέση να περιγράψει τη διάδοση κυματισμών σε βαθύτερα νερά ενσωματώνοντας βελτιωμένα χαρακτηριστικά διασποράς. Όπως παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 4, το MIKE21 BW μπορεί να προσομοιώσει κυματισμούς με λόγο d/l έως 0.5, και συγχρόνως περιέχει όρους ήπιας μη γραμμικότητας για τη διάδοση στα ρηχά νερά. 180

195 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW 5.3 Πείραμα Beji & Battjes (1994) Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων του μοντέλου Karambas & Memos (2009) και του ΜΙΚΕ21 BW με τις πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των S. Beji και J.A. Battjes που δημοσιεύτηκε το 1994 στο Coastal Engineering υπο τον τίτλο Numerical simulation of nonlinear wave propagation over a bar. Οι κυματισμοί που εξετάζονται είναι μη θραυόμενοι και κατά συνέπεια η μεθοδολογία είναι ανάλογη με αυτήν που περιγράφηκε για το πείραμα Wallingford (κεφ. 5.2) με την διαφορά ότι στην περίπτωση αυτή δεν αντιμετωπίζεται πυθμένας με ομαλή ανωφερική κλίση, αλλά ύφαλος αναβαθμός τραπεζοειδούς διατομής Περιγραφή πειραματικής διάταξης. Τα πειράματα των Beji & Battjes διεξήχθησαν σε κανάλι κυματισμών που περιείχε ύφαλο εμπόδιο τραπεζοειδούς διατομής. Η τομή της διάταξης φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα 5.21.Η μεταβολή της ελεύθερης επιφάνειας μετρήθηκε με μετρητές μεταβολής της ηλεκτρικής αντίστασης σε σύρμα( parallel-wire resistance gage) οι οποίοι ήταν τοποθετημένοι στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα Τα πειράματα αφορούσαν θραυόμενους και μη κυματισμούς. Τα αποτελέσματα που χρησιμοποιήθηκαν στο πείραμα αυτό αφορούν τη δεύτερη κατηγορία κυματισμών, που παρουσιάζουν όμως σχετικά υψηλή κλίση. Στα πειράματα διερευνήθηκαν μονοχρωματικοί κυματισμοί συχνότητας 0.5 Hz και ύψους 2.0 cm καθώς επίσης και τυχαίοι κυματισμοί (φάσματος JONSWAP, με συχνότητα κορυφής f p =0.5 Hz και σημαντικό ύψος Hs 1.8 cm). Για την διεξαγωγή των συγκρίσεων με το που απαιτήθηκαν στην παρούσα εργασία τα πειραματικά δεδομένα ψηφιοποιήθηκαν από το Σχ που παρουσιάζεται στην εργασία των Beji & Battjes (1994). 181

196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW : m 1: m 1: m 6.0 m 12.0 m 14.0 m 17.0 m m m Σχ Kατά μήκος τομή του καναλιού του πειράματος Beji & Battjes (1994). Αισθητήρας Απόσταση από την κυματογεννήτρια Βάθος νερού (m) (m) Πιν Θέση και βαθυμετρία αισθητήρων πειράματος Beji & Battjes (1994) 182

197 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Πειραματικά δεδομένα από την εργασία Beji & Battjes (1994) (απεικονίζονται με τη διάστικτη γραμμή). 183

198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Εφαρμογή ομοιώματος Karambas & Memos (2009). Η διαδικασία εφαρμογής του ομοιώματος Karambas & Memos (2009) είναι αντίστοιχη με αυτήν που εφαρμόστηκε και στο πείραμα Wallingford και περιγράφεται στην παράγραφο Στην περίπτωση αυτή όμως λόγω της διαφορετικής γεωμετρίας του προβλήματος επιλέχθηκε χωρικό βήμα Δx=0.025 m και χρονικό Δt= μετά από πολλές δοκιμές φροντίζοντας ο αριθμός Courant να παραμένει μικρότερος της μονάδας (είναι μικρότερος και του 0.5 σε όλες τις περιπτώσεις). Η γεννήτρια κυματισμών τοποθετήθηκε στην θέση x=400 Δx μέσα στο πεδίο και για τις απορροφητικές στοιβάδες χρησιμοποιήθηκε και σε αυτή την περίπτωση x s =5 Δx (σχέσεις ). Tέλος θα πρέπει να τονιστεί ότι οι εφαρμογές εκτελέστηκαν χωρίς την εφαρμογή του κριτηρίου της θραύσης, μιας και οι κυματισμοί του πειράματος αυτού είναι μη θραυόμενοι, ενώ ο όρος της τριβής πυθμένα ήταν απενεργοποιημένος στο αρχικό σετ των εφαρμογών. Στη συνέχεια ενεργοποιήθηκε για εποπτικούς λόγους για σχετικά μικρές τιμές χαρακτηριστικού κόκκου πυθμένα d 50 =0.001m (1mm) Εφαρμογή MIKE21 BW. Για την προσομοίωση του πειράματος σε ΜΙΚΕ21 BW ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία με αυτή που περιγράφη στο κεφάλαιο Διατηρήθηκαν και σε αυτή την περίπτωση τα ίδια δεδομένα, όσον αφορά το χωρικό και χρονικό βήμα, με αποτέλεσμα ο αριθμός Courant να είναι μικρότερος από 0.5, όπως άλλωστε απαιτείται και από το πρόγραμμα για μονοδιάστατες εφαρμογές. Αναλυτικότερα: 1. Δημιουργείται μονοδιάστατη βυθομετρία (cross-shore profile) από το MIKE Zero (Σχ.5.23). Βήμα διακριτοποίησης επιλέγεται το ίδιο με το μοντέλο Karambas & Memos, δηλαδή Δx=0.025m το οποίο διατηρείται σε όλη την εφαρμογή. 184

199 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ.5.23 Δημιουργία μονοδιάστατης βαθυμετρίας (cross-shore profile) στο MIKE Zero. 2. Δημιουργία απορροφητικών στοιβάδων σύμφωνα με την σχέση που r προτείνεται από το ίδιο το πρόγραμμα : C = α, i=1,n. Επιλέγεται sponge i 1 sponge αριθμός απορροφητικών στοιβάδων Ν sponge =100 οπότε το βιβλίο οδηγιών του ΜΙΚΕ21 προτείνει τις τιμές α=10, r=0.92. To αρχείο με τις απορροφητικές στοιβάδες φαίνεται στο σχήμα Σχ.5.24 Δημιουργία αρχείου απορροφητικών στοιβάδων (sponge layers). 3. Δημιουργείται η κυματική διαταραχή (κυματογεννήτρια) με το εργαλείο MIKE21 TOOLS Regular Wave Generation. Επιλέγεται θεωρία κυματισμών Stokes 1ης τάξης 185

200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW ( η κυματογεννήτρια τοποθετείται σε «βαθιά» νερά), ύψος κύματος Η=0.02m, περίοδος κύματος Τ=2 sec και το βάθος νερού d=0.4m στο οποίο θα βρίσκεται η γεννήτρια κυματισμών. Σχ.5.25 Δημιουργία απλών κυματισμών (regular wave generation). 4. Χρήση του προγράμματος MIKE21 BW, μονοδιάστατη περίπτωση (1DH module, Σχ. 5.26). Σχ.5.26 Εκκίνηση MIKE21 BW 1DH module. Στη συνέχεια εισάγεται η βαθυμετρία και επιλέγεται η χρήση των εξελιγμένων σχέσεων Boussinesq που περιλαμβάνουν και όρους βαθιών νερών. Επιλέγεται να συμπεριληφθούν οι όροι των βαθιών νερών, ώστε να ληφθούν υπόψη οι βελτιωμένες εξισώσεις διασποράς με λόγο d/l

201 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Στη συνέχεια επιλέγεται το χρονικό βήμα διακριτοποίησης, Δt=0.0025sec, και ο αριθμός των χρονικών βημάτων Ν=30000 ούτως ώστε να έχουμε επαρκή διάρκεια προσομοίωσης (Ν Δt=75 sec). Το MIKE21 υπολογίζει αυτόματα τον αριθμό Courant που στην προκείμενη περίπτωση είναι 0.35, μικρότερο του 0.5 που απαιτείται για μονοδιάστατες προσομοιώσεις. Κατόπιν εισάγεται η κυματογεννήτρια στο σημείο 400 Δx. Στη συνέχεια εισάγονται οι βοηθητικές παράμετροι του προγράμματος και εισάγεται το αρχείο των απορροφητικών στοιβάδων. Για το πείραμα Wallingford επιλέγεται να αγνοηθεί το φαινόμενο της θραύσης. Αντίθετα η τριβή πυθμένα στα αρχικά σετ εφαρμογών αγνοείται, ενώ στα επόμενα ενεργοποιείται για εποπτικούς λόγους. Τέλος καθορίζονται οι συντεταγμένες των σταθμών 8 (σημείο i=1112), 9 (σημείο i=1212) και 10 (σημείο i=1312) δηλαδή τα σημεία του υπολογιστικού πεδίου από τα οποία θα εξαχθούν από το πρόγραμμα οι χρονοσειρές της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας (Σχ. 5.27). Σχ.5.27 Επιλογή δημιουργία αρχείων εξόδου για τους 3 αισθητήρες. Με την ακολουθία των παραπάνω βημάτων το πρόγραμμα είναι σε θέση να προσομοιώσει την προώθηση του κυματισμού. Τα αποτελέσματα που εξάγονται παρουσιάζονται στην επόμενη ενότητα. 187

202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Παρουσίαση-Σχολιασμός αποτελεσμάτων H παρουσίαση των αποτελεσμάτων γίνεται και σε αυτή την περίπτωση κατά αντίστοιχο τρόπο με την παρουσίαση του πειράματος Wallingford. Οι τιμές που δίνονται στις παραμέτρους της τριβής πυθμένα είναι ίδιες, δηλαδή d 50 =0.001 m (1mm) για το μοντέλο Karambas & Memos (2009) και συντελεστής Manning Μ=32 για το ΜΙΚΕ21 ΒW. Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 2 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. 188

203 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 2 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 3 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. 189

204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 3 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 4 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. 190

205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 4 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 5 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. 191

206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 5 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 6 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. 192

207 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 6 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 7 με απενεργοποιημένο τον όρο της τριβής πυθμένα. 193

208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Σύγκριση αποτελεσμάτων για τον αισθητήρα 7 με d 50 =0.001m πυθμένα (Μ=32 για ΜΙΚΕ21 BW). Στην περίπτωση του πειράματος Beji & Battjes (1994) μπορεί επίσης να ειπωθεί ότι επιτυγχάνεται μια καλή συμφωνία στην προσομοίωση τόσο από το πρόγραμμα ΜΙΚΕ21 BW αλλά ιδιαίτερα από το εξελιγμένο μοντέλο Karambas& memos (2009). Η συμφωνία αυτή είναι ιδιαίτερα καλή μετά την εισαγωγή του όρου της τριβής πυθμένα. Πιο συγκεκριμένα και ξεκινώντας από τον αισθητήρα 2 (Σχ.5.28), φαίνεται ότι μοντέλο και πρόγραμμα δίνουν πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η περίπτωση αυτή βέβαια είναι παρόμοια με αυτή του αισθητήρα 8 (Σχ. 5.16) όπου και τα δύο εξεταζόμενα μοντέλα παρουσίασαν πολύ καλά αποτελέσματα. Το ομοίωμα Karambas & Memos (2009) υπερεκτιμά σε μικρό βαθμό τις κορυφές σε σχέση με το ΜΙΚΕ21- ΒW. Στους αισθητήρες 3 και 4, που βρίσκονται στη στέψη, ο κυματισμός εμφανίζει εντονότερα τα χαρακτηριστικά μη γραμμικότητας (γίνεται εντονότερα μη γραμμικός στον αισθητήρα 4) ενώ ο συντελεστής Ursell (U R ) να αυξάνεται. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μικρές αποκλίσεις στις κορυφές και στις κοιλίες τόσο το ομοίωμα Karambas & Memos όσο και το ΜΙΚΕ21-BW που βασίζονται σε εξισώσεις ελαφρώς μη γραμμικές να εμφανίζουν ανακρίβειες στην περιγραφή και των κορυφών και των κοιλιών της διατομής του κύματος. Πρέπει να τονιστεί ότι η απόκλιση του ΜΙΚΕ21 BW 194

209 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW είναι λίγο μεγαλύτερη από του μοντέλου Karambas & Memos, ιδιαίτερα όσον αφορά τον αισθητήρα 4 (Σχ. 5.33). Στη συνέχεια οι αισθητήρες 6 και 7 που βρίσκονται στην κατωφέρεια του ύφαλου τραπεζίου εμφανίζεται το φαινόμενο της απελευθέρωσης υψηλότερων αρμονικών. Δηλαδή ο εισερχόμενος κυματισμός καθώς διαδίδεται πάνω από το ύφαλο εμπόδιο, ανεβαίνοντας την ανοδική του πλευρά, όπως προαναφέρθηκε, αποκτά έντονα μη γραμμικά χαρακτηριστικά. Αποτέλεσμα αυτού είναι ότι, μόλις το κύμα περάσει τη στέψη και διαδοθεί στην καθοδική κλίση, απελευθερώνει υψηλότερες αρμονικές. Το φαινόμενο αυτό έχει επισημανθεί τόσο πειραματικά όσο και θεωρητικά στην διεθνή βιβλιογραφία από τα πρώτα στάδια εξέλιξης των κυματικών θεωριών και αποτελεί μια από τις σημαντικότερες προκλήσεις όλων των σύγχρονων μαθηματικών μοντέλων. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, στην περιοχή που έχουμε απότομη αλλαγή της μορφής του κυματισμού (στα βαθιά νερά, πίσω από το ύφαλο τραπέζιο) είναι αρκετά δύσκολη η προσομοίωση διάδοσης και η ακριβής περιγραφή του κυματικού προφίλ. Απόδειξη αποτελούν τα διαγράμματα (Σχ.5.37, Σχ.5.39) των χρονοσειρών ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας για τους αισθητήρες 6 και 7 αντίστοιχα. Στα διαγράμματα διακρίνεται η δημιουργία υψηλότερων αρμονικών καθώς και κάποιες σημαντικότερες αποκλίσεις από τα δύο μοντέλα. Το ζήτημα της τριβής πυθμένα αντιμετωπίστηκε συντηρητικά θεωρώντας μια σχετικά μικρή τιμή της για όλες τις εφαρμογές. Στην εργασία των Beji & Battjes (1994) δεν αναφέρουν κάτι για την τραχύτητα του καναλιού που εκτελέστηκαν τα πειράματα τους. Από το γεγονός αυτό συμπεραίνεται ότι αυτή ήταν πολύ μικρή και πιθανόν, κατά τους συγγραφείς, να επηρέασε σε μικρό βαθμό τα αποτελέσματα. Η εφαρμογή της πάντως σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις, με εξαίρεση τον αισθητήρα 7, προσδίδει καλύτερη σύγκλιση μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και των μαθηματικών αποτελεσμάτων. Συμπεραίνεται ότι το εμπορικό ομοίωμα ΜΙΚΕ21 BW όσο και το μαθηματικό ομοίωμα Karambas & Memos μπορούν να περιγράψουν αρκετά ικανοποιητικά τη διάδοση κυματισμών πάνω από ύφαλο εμπόδιο. Οι σημαντικότερες αποκλίσεις από τις πειραματικές μετρήσεις εντοπίζονται στην περιοχή μετάβασης από σχετικά ρηχά σε βαθύτερα νερά (αισθητήρας 7 σχήματα 5.38 και 5.39 ) δηλαδή στην κατωφέρεια 195

210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW του ύφαλου εμποδίου. Στην περιοχή αυτή εμφανίζεται αποσύνθεση του κυματισμού οπότε και αρμονικές καμπύλες ανώτερης της δευτέρας τάξεως απελευθερώνονται και διαδίδονται ελεύθερα στα βαθύτερα νερά. 196

211 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW 5.4 Πείραμα Beji & Battjes (1992) Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων του μοντέλου Karambas & Memos (2009) και του ΜΙΚΕ21 BW με τις πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των S. Beji και J.A. Battjes που δημοσιεύτηκε το 1992 στο Coastal Engineering υπό τον τίτλο Experimental investigation of wave propagation over a bar []. Οι πειραματικές μετρήσεις που παρουσιάζονται στην εργασία αυτή αφορούν την ίδια πειραματική διάταξη με αυτή του κεφαλαίου 5.3 με την μόνη διαφορά ότι οι κυματισμοί είναι θραυόμενοι, παρέχοντας έτσι την ευκαιρία για την προσθήκη και αξιολόγηση και του κριτηρίου θραύσης των Madsen et al το οποίο ενσωματώθηκε στην εξίσωση ορμής του μοντέλου Karambas & Memos (2009) Περιγραφή πειραματικής διάταξης. Η εργασία των Beji & Battjes (1992) είχε ως σκοπό την διερεύνηση της ενίσχυσης των αρμονικών ενός κυματισμού κατά τη διαδικασία της ρήχωσης στην ανωφέρεια του αναβαθμού και την απελευθέρωση τους κατά την μετάβαση σε βαθύτερα νερά μετά τη στέψη του αναβαθμού. Η πειραματική διάταξη είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 5. Είναι παρόμοια με αυτή που περιγράφεται στην παράγραφό 5.4.1, με τη μόνη διαφορά ότι προσετέθη ένας επιπλέον αισθητήρας στην στέψη και άλλαξαν ελαφρά οι αποστάσεις μεταξύ των υπολοίπων. Οι κυματισμοί που ελέγχθηκαν διακρίνονται σε μακρείς και βραχείς : Βραχείς κυματισμοί με f=1.0hz και αρχικά ύψη κύματος H=4.1cm, τύπου κυλίσεως (spilling) H=5.9cm, τύπου κυλίσεως (spilling) H=6.9cm, τύπου εκτινάξεως (plunging) 197

212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Μακρείς κυματισμοί με f=0.4hz και αρχικά ύψη κύματος H=2.9cm, τύπου κυλίσεως (spilling) H=4.4cm, τύπου κυλίσεως (spilling) H=5.4cm, τύπου εκτινάξεως (plunging) Στην παρούσα εργασία, για την σύγκριση χρησιμοποιήθηκαν οι βραχείς κυματισμοί με Η=5.9 cm H=6.9 cm και από τους μακρούς αυτοί με H=4.4 cm. Τα δεδομένα από τις πειραματικές μετρήσεις εξήχθησαν από τα διαγράμματα της εργασία των Beji & Battjes (1992 ) και παρουσιάζονται παρακάτω( Σχ ) Σ.Η. 1: : m 1: m 6.0 m 12.0 m 14.0m 17.0 m m 37.70m Σχ Kατά μήκος τομή του καναλιού του πειράματος Beji & Battjes (1992). 198

213 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Πειραματικά δεδομένα από την εργασία Beji & Battjes (1992) που αφορούν κυματισμούς Η=0,059 m και Τ=1 sec. Σχ Πειραματικά δεδομένα από την εργασία Beji & Battjes (1992) που αφορούν κυματισμούς Η=0,069 m και Τ=1 sec. 199

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ Πειραματικά δεδομένα από την εργασία Beji & Battjes (1992) που αφορούν κυματισμούς Η=0,044 m και Τ=2.5 sec. 200

215 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Εφαρμογή ομοιώματος Karambas & Memos (2009). Η διαδικασία εφαρμογής του ομοιώματος Karambas & Memos (2009) είναι αντίστοιχη με αυτήν που εφαρμόστηκε και στα προηγούμενα δύο πειράματα ( κεφάλαια 5.2 και 5.3). Στην περίπτωση αυτή επιλέχθηκε χωρικό βήμα Δx=0.025 m και χρονικό Δt= φροντίζοντας ο αριθμός Courant να παραμένει μικρότερος της μονάδας. Η γεννήτρια κυματισμών τοποθετήθηκε και πάλι στην θέση x=400 Δx μέσα στο πεδίο και για τις απορροφητικές στοιβάδες χρησιμοποιήθηκε και σε αυτή την περίπτωση x s =5 Δx (σχέσεις ). Οι εφαρμογές εκτελέστηκαν αυτή τη φορά την με την προσθήκη του κριτηρίου της θραύσης του επιφανειακού κυλίνδρου, όπως αυτό περιγράφεται στην παράγραφο καθώς και του κριτηρίου της τριβής πυθμένα ( 3.7.2). Συνεπώς οι εξισώσεις συνέχειας και διατήρησης της ορμής γίνονται αντίστοιχα: (( d ζ) U) ζ + + = 0 t x (5.15) U U ζ g πξ τ + U + g = ζ x-ξ,t ζ x,t ln tanh dξ + R (5.16) b ( ) ( ) bx t x x πd(x) x 4d h Όσον αφορά την γεωμετρικό προσδιορισμό των επιφανειακών κυλίνδρων οι Schäffer et al. (1993) και οι Madsen et al. (1997) προτείνουν τις κρίσιμες γωνιές έναρξης της θραύσης φ Β μεταξύ των τιμών 20 ο και 14 ο. Για λόγους σύγκρισης χρησιμοποιήθηκε και η γωνία φ Β =18 ο. Η μεταβολή της κρίσιμής γωνίας για κάθε χρονικό βήμα, μετά την επίτευξη της γωνίας φ Β, γίνεται σύμφωνα με την σχέση: t-t B ( ) tan φ = tanφ0 + tanφβ tanφ0 exp -ln2 t 12. (5.17) Ως τιμές φ Ο προτείνονται οι 10 ο (όταν φ Β =20 ο ) και 7 ο όταν (όταν φ Β =14 ο ). Για την γωνία φ Β =18 ο επιλέχθηκε η τιμή φ ο =9 ο. Ο όρος t 1/2 ρυθμίζει τη χρονική κλίμακα για την ανάπτυξη του κυλίνδρου και επιλέχθηκε η τιμή t 1/2 =0.2 Τ για όλες τις εφαρμογές. Η τιμή αυτή προτείνεται από τους Schäffer et al. (1993) και Madsen et al. (1997). 201

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Ο συντελεστής σχήματος f δ,που προσδίδει μια πιο φυσική μορφή στο σχήμα των επιφανειακών κυλίνδρων, επιλέχθηκε ίσος με 1.5 για περιπτώσεις με θραύση κυλίσεως (spilling) και 2.0 για θραύση τύπου εκτινάξεως (plunging). Οι ενώ ο όρος της τριβής πυθμένα ήταν και σε αυτή την περίπτωση απενεργοποιημένος στο αρχικό σετ των εφαρμογών. Στη συνέχεια ενεργοποιήθηκε για εποπτικούς λόγους για σχετικά μικρές τιμές χαρακτηριστικού κόκκου πυθμένα d 50 =0.001m (1mm). Πρέπει να σημειωθεί ότι εμφανίζονται προβλήματα αστάθειας, κυρίως όσον αφορά τους «μακρείς» κυματισμούς, κυρίως λόγω της αυξημένης ανάλυσης που απαιτείται για την καλύτερη περιγραφή του γεωμετρικού σχήματος του επιφανειακού κυλίνδρου. Στις περιπτώσεις αυτές αντί του ρητού σχήματος που περιγράφηκε στα προηγούμενα ( 5.2.2) χρησιμοποιήθηκε το σχήμα πρόβλεψης-διόρθωσης (predictor-corrector) Adams Bashforth -Moulton. Το στάδιο πρόβλεψης είναι 3 ης τάξης (predictor, Adams Bashforth scheme) και δίνεται από τους τύπους: Δt ζ = ζ + 23 E 16 E + 5 E 12 n+ 1 n n n 1 n 2 i i i i i Δt U = U + 23 F 16 F + 5 F + 2 F 3 F + F 12 n+ 1 n n n 1 n 2 n n 1 n 2 i i i i i i i i Για το στάδιο διόρθωσης 4 ης σχέσεις: Δt ζ = ζ + 9 E + 19 E 5 E + E 24 n+ 1 n n+ 1 n n 1 n 2 i i i i i i Δt U = U + 9 F + 19 F 5 F + F + F F 24 (5.18) (5.19) τάξης (corrector, Adams-Moulton scheme) έχουμε τις n+ 1 n n+ 1 n n 1 n 2 n+ 1 n i i i i i i i i όπου οι συντελεστές : x x (5.20) (5.21) E(ζ,d,U) = (d+ ζ) U (d+ ζ) U (5.22) ( ) b F(d,ζ,U) = g ζ U U + I+ R - (5.23) h x x b x τ και ο δείκτης με κάποια μεταβλητή φανερώνει παραγώγηση ως προς την συγκεκριμένη μεταβλητή. 202

217 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Εφαρμογή MIKE21 BW. Για την προσομοίωση του πειράματος σε ΜΙΚΕ21 BW ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία με τις προηγούμενες περιπτώσεις. Το χωρικό και χρονικό βήμα επιλέχθηκαν Δx=0.025 m και Δt= αντίστοιχα με αποτέλεσμα ο αριθμός Courant να είναι μικρότερος από 0.5. Σε σχέση με την περίπτωση που περιγράφεται στο κεφάλαιο η βυθομετρία και οι απορροφητικές στοιβάδες παραμένουν οι ίδιες. Η κυματική διαταραχή (κυματογεννήτρια) δημιουργείται για τις 3 περιπτώσεις κυματισμού μέσω του MIKE21 TOOLS Regular Wave Generation. Επιλέγεται και σε αυτήν την περίπτωση θεωρία κυματισμών Stokes 1ης τάξης και κυματισμοί με χαρακτηριστικά (Η=0.044m, Τ=2.5 sec), (Η=0.059m, Τ=1.0 sec), (Η=0.069m, Τ=1.0 sec) ενώ το βάθος νερού d=0.4m ( και στις 3 περιπτώσεις) στο οποίο θα βρίσκεται η γεννήτρια κυματισμών. Σχ.5.44 Δημιουργία απλών κυματισμών (regular wave generation). Στο MIKE21 BW, οι ρυθμίσεις παραμένουν οι ίδιες με αυτές που περιγράφονται στην Το χρονικό βήμα διακριτοποίησης επιλέγεται σε όλες τις περιπτώσεις 203

218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Δt=0.0025sec και ο αριθμός των χρονικών βημάτων Ν=30000 ούτως ώστε να έχουμε επαρκή διάρκεια προσομοίωσης (Ν Δt=75 sec).οι εφαρμογές διαφοροποιούνται στην προσθήκη της επίδρασης της θραύσης και η προσθήκη φίλτρου. Όπως αναλύθηκε στο κεφάλαιο 4 το MIKE21 BW χρησιμοποιεί και αυτό το κριτήριο του επιφανειακού κυλίνδρου των Schäffer et al. (1993) και Madsen et al. (1997). Οπότε χρησιμοποιήθηκαν οι ίδιες παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν και στο μοντέλο Karambas & Memos (2009). Αναλυτικότερα: Σχ.5.45 Εφαρμογή της θραύσης. Επιλέγεται συντελεστής fδ (roller form factor) 1.5 για θραύση τύπου κυλίσεως και 2.0 για τύπου εκτινάξεως. Τύπος ταχύτητας κυλίνδρου (type of roller celerity): τύπος 3 που ανταποκρίνεται σε κυματισμούς σταθερής διεύθυνσης με συντελεστή ταχύτητας κυλίνδρου (roller celerity factor)

219 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Τα ζεύγη των γωνιών έναρξης και λήξης της θραύσης (φ Β, φ ο ) επιλέγονται ίδια με αυτά του μοντέλου Karambas & Memos (2009),ήτοι (20 ο, 10 ο ), (18 ο, 9 ο ) και (14 ο, 7 ο ). Ο συντελεστής t1/2 επιλέγεται και εδώ ίσος με 0.2 Τ. Η δεύτερη διαφορά αφορά στο μαθηματικό φίλτρο που τοποθετείται ακολουθώντας τις οδηγίες του προγράμματος ΜΙΚΕ21 BW, για την αντιμετώπιση υψίσυχνων ασταθειών που μπορούν να προκύψουν σε πολύ ρηχά νερά όπου δεν μπορεί να προσομοιωθεί ο επιφανειακός κύλινδρος. Ενδεικτικό του τρόπου λειτουργίας του φίλτρου είναι το σχήμα που ακολουθεί. Σχ.5.46 Ενδεικτική εφαρμογή φίλτρου σε ζώνη πολύ ρηχών νερών. Το αρχείο που απαιτείται και περιέχει το δεδομένα του φίλτρου φαίνεται στο σχήμα: 205

220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ BOUSSINESQ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ MIKE21-BW Σχ.5.47Αρχείο φίλτρου. Οι συντεταγμένες των σταθμών 8 (σημείο 1112), 9 (σημείο 1212) και 10 (σημείο 1312) παραμένουν ίδιες. Σχ.5.48 Επιλογή δημιουργία αρχείων εξόδου για τους 3 αισθητήρες Για την καλύτερη σύγκριση των αποτελεσμάτων εκτελέστηκαν σε κάθε περίπτωση κυματισμού εφαρμογές με απενεργοποιημένο το όρο της τριβής πυθμένα και κατόπιν με ενεργοποιημένο. Σε κάθε περίπτωση επιλέχθηκε σχετικά χαμηλή τιμή του 206