ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ"

Ὀρέστης Αποστόλης Ταρσούλη
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

2 ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΒΙΛΗ ΡΟΗ Μία ροή αποκαλείται αστρόβιλη, όταν ισχύει η σχέση ro όπου e e e ro Η απόδειξη της παραπάνω σχέσης δεν αποτελεί αντικείμενο της εξέτασης Αποδείξαμε ότι μία ροή είναι ασυμπίεστη όταν ισχύει η σχέση div div όπου: 3 3 div ή

3 Ποιές από τις παρακάτω ροές είναι ασυμπίεστες και ποιες αστρόβιλες; (Οι μαθηματικές εκφράσεις είναι αδιάστατες) Α),, div Για να είναι το διάνυσμα ro ίσο με το μηδέν πρέπει η κάθε συνιστώσα του να είναι ίση με το μηδέν

4 Β) div Η ροή είναι μη ασυμπίεστη Η ροή είναι μη αστρόβιλη Υπολογισμός του τελεστή div ro Ο υπολογισμός του δίνεται παρακάτω

5 Γ) ) ( div Ο υπολογισμός του ro δίνεται παρακάτω Η ροή είναι μη ασυμπίεστη Η ροή είναι μη αστρόβιλη Υπολογισμός του τελεστή div

6 Εξετάζουμε τo πεδίο ταχυτήτων της ροής που εξετάζουμε δίνεται από τις σχέσεις: e e 3 Να βρεθούν: Οι τροχιές των σωματιδίων Οι γραμμές ροής Είναι η παραπάνω ροή μόνιμη ή μη μόνιμη; Λύση Προφανώς η ροή είναι δισδιάστατη ( 3 ) Οι μαθηματικές εξισώσεις για τις τροχιές (θέσεις των σωματιδίων στον χρόνο) είναι οι εξής: d ( ), d e d ed d ( ), d e d e d

7 d ed d e d Γνωρίζω ότι ένα σωματίδιο ήταν το χρονικό σημείο = στην θέση ξ, ξ θα είναι στο χρονικό σημείο = στην θέση,. Κατά συνέπεια: d e d d e d e e e e Απαλοίφοντας τον χρόνο e e c =σταθερά Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει μία υπερβολή

8 e e 3 Οι μαθηματικές εξισώσεις για τις γραμμές ροής είναι οι εξής: d d d d e e όμως e e d d d ln ln ln c c d ln( ) ln ln ln c όπου c είναι μία σταθερά ολοκλήρωσης Για μία συγκεκριμένη τιμή της σταθεράς έχω την εξίσωση μίας γραμμή ροής Η σταθερά είναι ελεύθερη παράμετρος και η παραπάνω εξίσωση περιγράφει μία οικογένεια από εξισώσεις (στην συγκεκριμένη περίπτωση υπερβολές) c

9 Οι γραμμές ροής και οι τροχιές των σωματιδίων περιγράφονται με μαθηματικές εξισώσεις του ίδιου τύπου (υπερβολές) Κατά συνέπεια ενδεχομένως η ροή να είναι μόνιμη Ξέρω ότι: e e e 3 e Εκφράζοντας το πεδίο ταχυτήτων σε χωρικές συντεταγμένες (Eler) : 3 Το πεδίο ταχυτήτων είναι ανεξάρτητο από τον χρόνο. Κατά συνέπεια η ροή είναι μόνιμη.

10 Εξετάζουμε τo πεδίο ταχυτήτων της ροής που δίνεται από τις σχέσεις: 3 Να βρεθούν: Οι τροχιές των σωματιδίων Οι γραμμές ροής Είναι η παραπάνω ροή μόνιμη ή μη μόνιμη; Λύση Προφανώς η ροή είναι δισδιάστατη ( 3 ) Οι μαθηματικές εξισώσεις για τις τροχιές (θέσεις των σωματιδίων στον χρόνο) είναι οι εξής: d d d d d d d d

11 d d d d Γνωρίζω ότι ένα σωματίδιο ήταν το χρονικό σημείο = στην θέση ξ, ξ θα είναι στο χρονικό σημείο = στην θέση,. Κατά συνέπεια: d d d d Απαλοίφοντας τον χρόνο ) ( Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει μία παραβολή ( Είναι της γενικής μορφής: a b c)

12 3 Οι μαθηματικές εξισώσεις για τις γραμμές ροής είναι οι εξής: d d d d d d c όπου c είναι σταθερά ολοκλήρωσης Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τη ροή για ένα δεδομένο χρονικό σημείο Για μία τιμή της σταθεράς έχω την εξίσωση μίας γραμμή ροής Η σταθερά είναι ελεύθερη παράμετρος και η παραπάνω εξίσωση περιγράφει μία οικογένεια από εξισώσεις (στην συγκεκριμένη περίπτωση ευθείες παράλληλες μεταξύ τους)

13 Επειδή η μαθηματική εξίσωση των τροχιών είναι παραβολή και η εξίσωση των γραμμών ροής είναι ευθεία, η ροή είναι μη μόνιμη.

14 Δίνεται το πεδίο ταχυτήτων: v Όπου σταθερά. Να βρεθούν οι γραμμές ροής.

15 Δίνεται το πεδίο ταχυτήτων: v Όπου σταθερά. Να βρεθούν οι γραμμές ροής. Λύση Το πεδίο ταχυτήτων ικανοποιεί την εξίσωση της συνέχειας: v Επίσης: ( )

16 Ολοκληρώνω ως προς : v (,, ) f, Ξέρω ότι: v Οπότε παραγωγίζοντας έχω: f v f, G( ) (,, ) G( )

17 Επιλέγοντας αυθαίρετα ψ= για = = συνεπάγεται: G()= (,, ) Οι εξισώσεις των γραμμών ροής είναι παραβολές

Σχετικά έγγραφα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της