Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής"

Transcript

1 Σωτήρης Ζωιτσάκος Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Περίληψη Στο άρθρο περιγράφονται οι ιδιαιτερότητες της Γεωμετρίας ως διδακτικό αντικείμενο και αναφέρονται διεθνείς και εγχώριες έρευνες σχετικά με τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των μαθητών. Στόχος είναι να παρουσιαστούν και να ερμηνευθούν οι βασικοί λόγοι της υποβάθμισης της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας σε διεθνές επίπεδο και να αναζητηθούν τεκμηριωμένες προσεγγίσεις που θα αναδείξουν εκείνα τα χαρακτηριστικά της, τα οποία μπορούν να συμβάλλουν στην ουσιαστική ανάπτυξη συγκεκριμένων πτυχών του γνωστικού υπόβαθρου των μαθητών. Έτσι το άρθρο εντάσσεται στη θεματική του συνεδρίου που σχετίζεται με τη διδασκαλία της Γεωμετρίας. Λέξεις κλειδιά: Ευκλείδεια Γεωμετρία, γεωμετρικό σχήμα, επίπεδα van Hiele, αξιωματικό σύστημα. 1 Εισαγωγή Στο πλαίσιο του σεμιναρίου του Royaumont το 1959 που διοργανώθηκε από τον Οργανισμό Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης (Ο.Ο.Σ.Α) για τη μεταρρύθμιση της διδασκαλίας των μαθηματικών ο Γάλλος μαθηματικός Dieudonné αναφωνεί: «Να φύγει ο Ευκλείδης» εκφράζοντας με ακραίο τρόπο την εκτόπιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, από τα αναλυτικά προγράμματα σπουδών των μαθηματικών, στη μεταρρύθμιση των «Νέων Μαθηματικών» της εποχής. Μισό αιώνα μετά, βασικές επιλογές της μεταρρύθμισης των νέων μαθηματικών έχουν αποτύχει (έμφαση στη συνολοθεωρητική και δομική διδακτική προσέγγιση των μαθηματικών). Παρόλα αυτά η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απουσιάζει από τα αναλυτικά προγράμματα σπουδών των μαθηματικών των περισσοτέρων χωρών του κόσμου. Όμως η κατάσταση για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας διεθνώς περιγράφεται αρκετά καλά από την παρακάτω φράση του Άγγλου μαθηματικού και παιδαγωγού Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω του επικρατεί χάος» (Θωμαΐδης & Πούλος [1]). Παρόλα αυτά η Γεωμετρία είναι ένας από τους κλάδους των μαθηματικών που χρησιμοποιείται στα αναλυτικά προγράμματα σπουδών σχεδόν σε όλο τον κόσμο. Η διδασκαλία όμως της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση έχει γίνει πεδίο έντονης αντιπαράθεσης με

2 ένθερμους πολέμιους και υποστηρικτές. Ενώ όπως αναφέραμε σε διεθνές επίπεδο η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας περιορίστηκε σημαντικά, στην Ελλάδα παραμένει ως βασικός άξονας του προγράμματος σπουδών των μαθηματικών χωρίς να είναι ανεπηρέαστη από μια τάση υποβάθμισης τόσο σε θεσμικό επίπεδο όσο και σε επίπεδο διδακτικής πράξης. Στην παρούσα εργασία επιδιώκουμε να αναζητήσουμε τους λόγους για τους οποίους υποβαθμίστηκε η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως τυπικό αξιωματικό σύστημα και να διερευνήσουμε κάποιες εναλλακτικές διδακτικές προσεγγίσεις οι οποίες μπορούν να συμβάλλουν στη γνωστική εξέλιξη συγκεκριμένων πτυχών της σκέψης των μαθητών. Για το σκοπό αυτό περιγράφονται οι ιδιαιτερότητες της Γεωμετρίας ως διδακτικό αντικείμενο κάνοντας ειδική αναφορά στο ρόλο του σχήματος εξηγώντας τους βασικούς λόγους για τους οποίους έχει ενταχθεί στο πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Επίσης, περιγράφονται έρευνες σχετικές με την ταξινόμηση της Γεωμετρικής κατανόησης των μαθητών, σύμφωνα με τα επίπεδα Van Hiele, τόσο σε διεθνές όσο και σε εθνικό επίπεδο. Να σημειωθεί ότι η χαμηλή επίδοση των μαθητών στα ανώτερα επίπεδα γεωμετρικής κατανόησης έχει χρησιμοποιηθεί ως βασικός λόγος απόρριψης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας από τα αναλυτικά προγράμματα σπουδών σε διεθνές επίπεδο. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται από τη μια οι απόψεις υποστηρικτών της διδασκαλίας της Γεωμετρίας ως αξιωματικό σύστημα και από την άλλη, απόψεις όσων αντιτίθενται σε μια τέτοια προσέγγιση κατ αποκλειστικότητα και θεωρούν ότι η διδασκαλία της Γεωμετρίας μπορεί να προσφέρει ιδιαίτερες εναλλακτικές γνωστικές ικανότητες στους μαθητές. Συγκεκριμένα επισημαίνονται κάποιες αλλαγές που έχουν γίνει στο ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας της Α Λυκείου, οι οποίες έχουν λάβει υπόψη τους τις έρευνες στη Διδακτική των Μαθηματικών, τις διεθνείς τάσεις αλλά και την ελληνική πραγματικότητα, οι οποίες μπορούν να συμβάλλουν στην ανάπτυξη συγκεκριμένων γνωστικών ικανοτήτων των μαθητών. 2 Η ιδιαιτερότητα της Γεωμετρίας Σύμφωνα με τους Tall, Thomas, Davis, Gary & Simpson. [2], η φύση των εννοιών της Άλγεβρας ή της Ανάλυσης διαφέρει ουσιαστικά από τη φύση των εννοιών της Γεωμετρίας. Έτσι η γνωστική εξέλιξη στη Γεωμετρία διαφέρει ουσιαστικά από εκείνη στους άλλους κλάδους των μαθηματικών. Ενώ σε κάθε περίπτωση αφετηριακό σημείο είναι ο πραγματικός κόσμος, κατά τα πρώτα στάδια της επαφής του παιδιού με τη Γεωμετρία η αντίληψή του διαμορφώνεται από τα αντικείμενα του περιβάλλοντος, ενώ κατά την επαφή του με την Αριθμητική, η αντίληψή του διαμορφώνεται από ενέργειες πάνω στα αντικείμενα του περιβάλλοντος. 2 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

3 Ο Tall [3] θεωρεί ότι η Γεωμετρία ξεκινά σαν μια θεωρία που στηρίζεται σε αντικείμενα, σε αντίθεση με την Αριθμητική και την Άλγεβρα που στηρίζεται σε διεργασίες πάνω σε αντικείμενα. Επισημαίνει βέβαια ότι υπάρχουν διεργασίες και στη Γεωμετρία (σχεδιασμός, μέτρηση, κατασκευή κ.λπ.) αλλά αυτές δεν αφορούν τον νοητικό σχηματισμό των εννοιών όπως στην Αριθμητική και την Άλγεβρα αλλά την απόκτηση γνώσης για τα ίδια τα αντικείμενα. Με βάση ερευνητικά δεδομένα, που αφορούν στη διαφορά της αντίληψης για την έννοια του «τριγώνου» από την έννοια του αριθμού «πέντε», οι Davis, Tall & Thomas [4], διακρίνουν το αντιληπτό αντικείμενο (perceived object) από το κατανοηθέν αντικείμενο (conceived object). Το πρώτο δημιουργείται με βάση αντιληπτικές πληροφορίες και ενέργειες (βλέπω ένα τρίγωνο, κόβω ένα τρίγωνο, μετράω τις πλευρές του, αγγίζω τις κορυφές του) Το δεύτερο προκύπτει όταν το άτομο αναστοχάζεται πάνω σε αντιληπτικά δεδομένα και ενέργειες (Davis, Tall & Thomas [4], σ.135). H διάκριση μεταξύ αντιληπτού αντικειμένου και κατανοηθέντος αντικείμενου είναι μια διάκριση που είχε γίνει ήδη από τον Piaget [5], σε αναφορές του για τη γνώση που προκύπτει από την εμπειρική αφαίρεση (empirical abstraction)- δηλαδή από αντικείμενα του πραγματικού κόσμου-, και για γνώση που προκύπτει από ψευδο-εμπειρική αφαίρεση (pseudo-empirical abstraction), δηλαδή από διαδικασίες που εκτελούνται πάνω σε αντικείμενα. Έτσι η γεωμετρική γνώση προκύπτει από την εμπειρική αφαίρεση σε αντίθεση με τη συμβολική γνώση (αριθμητική ή αλγεβρική γνώση) που προκύπτει από την ψευδο-εμπειρική αφαίρεση. Η διαφορά αυτή μεταξύ γεωμετρικής και συμβολικής γνώσης, επισημαίνεται και κατά την ιστορική εξέλιξη των εννοιών: Οι γεωμετρικές ιδέες γίνονται αντιληπτές δομικά πριν κατανοηθούν οι εναλλακτικές διαδικαστικές περιγραφές τους (ενώ) η ιστορική ανάλυση των άλλων (μη γεωμετρικών εννοιών) δείχνει ότι στα συμβολικά Μαθηματικά η πλειοψηφία των ιδεών δημιουργήθηκε μέσα από επεξεργασίες (processes). Μια εμπεριστατωμένη μελέτη (γνωστικής) εξέλιξης εννοιών όπως ο αριθμός ή η συνάρτηση δείχνει ότι κατανοήθηκαν λειτουργικά πολύ πριν επινοηθούν οι δομικοί τους ορισμοί (Sfard [6], σ. 11). Δηλαδή ενώ στην περίπτωση των συμβολικών εννοιών η δομική αντίληψη είναι το τελικό στάδιο μιας γνωστικής διαδικασίας με ενδιάμεσα στάδια τα οποία συμβάλλουν στη λειτουργική αντίληψη της έννοιας, στην περίπτωση των γεωμετρικών εννοιών η δομική αντίληψη είναι το πρώτο στάδιο μιας διεργασίας που μέσα από τη σύνθετη φάση της οπτικοποίησης καταλήγει στη λειτουργική αντίληψη της έννοιας. Ο ρόλος του σχήματος Ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών (Laborde [7], Battista [8]) διακρίνουν δυο τύπους γεωμετρικών αντικειμένων. Τα σχέδια (drawings) που αναφέρονται σε υλικές οντότητες και στα σχήματα (figures) που αναφέρονται σε θεωρητικά αντικείμενα. Συχνά στη διδασκαλία γίνεται Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

4 σύγχυση μεταξύ των σχεδίων και των γεωμετρικών αντικειμένων. Οι δυσκολίες των μαθητών στη γεωμετρία πολλές φορές ξεκινούν επειδή αυτοί σκέφτονται για υλικά σχέδια ενώ αναμένεται να σκεφτούν για τα θεωρητικά γεωμετρικά αντικείμενα. Αντίστοιχα ο Fischbein [9] αναφέρεται επίσης στη διπλή φύση του γεωμετρικού σχήματος, επισημαίνοντας ότι «έχει μια ιδιότητα που δεν έχουν οι άλλες μαθηματικές έννοιες, συγκεκριμένα περιέχει τη νοητική αναπαράσταση των ιδιοτήτων του χώρου» (σ. 141). Δηλαδή έχει συγχρόνως εννοιολογικές (με την έννοια ότι ελέγχονται από μια θεωρία) και σχηματικές ιδιότητες (σε επίπεδο οπτικής αντίληψης). Γι αυτό το λόγο αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα ως σχηματικές έννοιες (figural concepts). Κατ επέκταση, η γεωμετρική σκέψη χαρακτηρίζεται από μια αλληλεπίδραση μεταξύ γεωμετρικού σχήματος (με την έννοια της γεωμετρικής φιγούρας-figure) και της αντίστοιχης γεωμετρικής έννοιας. Το γεωμετρικό σχήμα σε πρώτη φάση γίνεται αντιληπτό ως ολότητα, ως οπτικό αντικείμενο (visual object). Αναγνωρίζονται βασικές κατηγορίες γεωμετρικών σχημάτων τα οποία συγκρίνονται με πρότυπες νοητικές εικόνες και στη συνέχεια γίνεται επεξεργασία τους. Σε δεύτερη φάση το γεωμετρικό σχήμα θεωρείται ως ένα σύνολο ιδιοτήτων, καθορισμένο αντικείμενο (object defined) και μπορεί να αναλυθεί σε επιμέρους στοιχεία εφόσον αναπτυχθεί κατάλληλος γλωσσικός κώδικας επικοινωνίας. Στο τελευταίο στάδιο το γεωμετρικό σχήμα μετατρέπεται σε ορισμένο αντικείμενο (defined object) και αποτελεί νοητικό αντικείμενο που περιγράφεται από ένα μαθηματικό ορισμό (Tall [10]). Τα τρία αυτά διαδοχικά στάδια εξέλιξης της γεωμετρικής σκέψης, αντιστοιχούν στα επίπεδα της Ανάλυσης, Αφαίρεσης και Επαγωγής της Θεωρίας Επιπέδων Γεωμετρικής Σκέψης van Hiele [11]. Οι van Hiele θεωρούσαν εξαιρετικά σημαντική την ανάπτυξη της ενόρασης (insight) στους μαθητές. Συγκεκριμένα θεωρούν ότι ένα άτομο δείχνει ενόραση όταν (α) είναι ικανό να λειτουργήσει σε μια κατάσταση στην οποία δεν είναι εξοικειωμένο, (β) εκτελεί ικανοποιητικά τις ενέργειες που απαιτεί η κατάσταση αυτή και (γ) εκτελεί συνειδητές ενέργειες που επιλύουν το πρόβλημα. 3 Ταξινόμηση της γεωμετρικής κατανόησης σύμφωνα με τα επίπεδα Van Hiele Θεωρητικό πλαίσιο Η θεωρία των επιπέδων van Hiele, αναπτύχθηκε από τον Pierre Marie van Hiele και τη σύζυγό του Dina van Hiele Geldof τη δεκαετία του Eίναι μια θεωρία ακριβούς περιγραφής της ανάπτυξης της γεωμετρικής σκέψης από τους μαθητές. Σύμφωνα με τον Usiskin [12] υπάρχουν τρεις πτυχές στη θεωρία: η ύπαρξη επιπέδων κατανόησης στη Γεωμετρία, οι ιδιότητες αυτών των επιπέδων, και φάσεις οι οποίες 4 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

5 μπορούν να θεωρηθούν ως αρχές μετάβασης από ένα επίπεδο στο επόµενο. Τα παρακάτω πέντε επίπεδα όπως αναπτύσσονται στους Usiskin [12], Θωμαΐδης & Πούλος [1] σημειώνεται ότι είναι διαδοχικά και ιεραρχικά. Επίπεδο 1 (Οπτικό/αναγνωριστικό-visual/recognition): Οι µαθητές αναγνωρίζουν τα γεωμετρικά σχήµατα ως μια ολότητα (Gestalt) με βάση την εμπειρία και την εποπττεία δημιουργώντας σχετικά πρότυπα. Σ αυτό το επίπεδο οι ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων δεν γίνονται αντιληπτές και οι αποφάσεις λαμβάνονται με βάση την αντίληψη και όχι το συλλογισμό. Για παράδειγμα ένας μαθητής σ αυτό το επίπεδο, αναγνωρίζει ένα ορθογώνιο επειδή μοιάζει με πόρτα. Επίπεδο 2 (Περιγραφικό/Αναλυτικό-Descriptive/analysis): Οι µαθητές αναγνωρίζουν και χαρακτηρίζουν τα σχήματα μέσω των ιδιοτήτων τους. Για παράδειγμα ένας μαθητής αναγνωρίζει ότι ένα σχήμα είναι ρόμβος επειδή έχει τέσσερις πλευρές ίσες αλλά δεν μπορεί να αναγνωρίσει το τετράγωνο σαν ρόμβο. Δηλαδή αντιμετωπίζει δυσκολία στην αναγνώριση σχέσεων μεταξύ των κλάσεων των σχημάτων. Επίπεδο 3 (Αφηρημένο/Σχεσιακό-abstract/relational): Οι μαθητές αντιλαμβάνονται τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων και μεταξύ των σχηµάτων, μπορούν να κατανοήσουν και να διατυπώσουν αφηρημένους ορισμούς και να χρησιμοποιήσουν στοιχειώδη λογικά επιχειρήματα. Οι λογικές επιπτώσεις και η συµπερίληψη κλάσης, όπως ότι τα τετράγωνα είναι ένας τύπος ορθογωνίου, γίνονται κατανοητές. Ο ρόλος και η σηµασία της αφαίρεσης, εντούτοις, δεν γίνονται κατανοητές. Για παράδειγμα μπορούν να συμπεράνουν ότι κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος επειδή έχει ίσες πλευρές. Επίπεδο 4 (Τυπικό/παραγωγικό-Formal/deduction): Οι µαθητές µπορούν να διακρίνουν τους όρους ενός αξιωματικού συστήματος (ορισμός, αξίωμα, θεώρημα) και να παράγουν αποδείξεις θεωρημάτων. Επίπεδο 5 (αυστηρότητα/μεταμαθηματικό-rigor/metamathimatic): Οι µαθητές καταλαβαίνουν σε αυτό το επίπεδο τη διαδικασία οικοδόμησης ενός αξιωματικού συστήματος και τις σχέσεις μεταξύ των αξιωματικών συστημάτων. Στο στάδιο αυτό η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι ένας από τους δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού κόσμου. Οι ιδιότητες των επιπέδων ( van Hiele) µε τις ονοµασίες του Usiskin [12] είναι: 1. Σταθερή αλληλουχία: Ένας μαθητής δεν μπορεί να βρίσκεται σε κάποιο επίπεδο van Hiele χωρίς να έχει διέλθει από το προηγούμενο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι τα επίπεδα van Hiele αποτελούν μια ιεραρχία. 2. ιαδοχικότητα: Σε κάθε επίπεδο συλλογισμού εκείνο που ήταν σε λανθάνουσα κατάσταση στο προηγούμενο επίπεδο δηλώνεται στο επόμενο επίπεδο. 3. ιάκριση: Κάθε επίπεδο έχει τα δικά του γλωσσικά σύµβολα και το Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

6 δικό του δίκτυο σχέσεων που συνδέουν τα σύµβολα αυτά. 4. ιαχωρισµός: ύο άτοµα που εκτελούν συλλογισµούς σε διαφορετικά επίπεδα δεν µπορούν να αλληλοκατανοηθούν. O van Hiele [11, σ.176] αναφέρει ότι «Αν θεωρήσουμε τη μαθησιακή διαδικασία που οδηγεί από το ένα επίπεδο στο άλλο, μια περίοδο, τότε βρίσκουμε σε μια περίοδο τις ακόλουθες φάσεις: πληροφόρηση (information), περιορισμένο προσανατολισµό (bound orientation), επεξήγηση (explanation), ελεύθερο προσανατολισµό (free orientation), ολοκλήρωση (integration)». Έτσι οι φάσεις αυτές μπορούν να θεωρηθούν ως αρχές μετάβασης από ένα επίπεδο στο επόμενο. Οι φάσεις αυτές σε αντίθεση με τα επίπεδα δεν αποτελούν απαραίτητα ιεραρχία όπως τεκμηριώνεται από τον Hoffer [13]. Κατά τη πληροφόρηση προσδιορίζονται τα αντικείμενα της μελέτης, οι υπάρχουσες γνώσεις για το θέμα, γίνονται παρατηρήσεις, διευκρινιστικές ερωτήσεις και εισάγεται το λεξιλόγιο. Κατά τον περιορισμένο προσανατολισμό εξερευνώνται τα αντικείμενα της διδασκαλίας με προσεκτικά διατυπωμένους μικρούς στόχους και διατυπωμένες ενέργειες όπως η μέτρηση, η δίπλωση η κατασκευή κ.ά. Κατά την ερμηνεία υπάρχουν σαφείς διατυπώσεις για τα αποτελέσματα της εργασίας με τη χρήση της κατάλληλης γλώσσας και ορολογίας. Στον ελεύθερο προσανατολισμό υπάρχουν πιο ανοικτοί και σύνθετοι στόχοι με πολλά βήματα και εναλλακτικές προσεγγίσεις. Οι μαθητές χρησιμοποιούν τις δημιουργικές τους δυνατότητες αποφασίζοντας οι ίδιοι γι αυτές. Στην ολοκλήρωση γίνεται ανασυγκρότηση των προηγούμενων γνώσεων αναπτύσσοντας ένα νέο δίκτυο αντικειμένων και σχέσεων. Η πρόοδος από ένα επίπεδο στο επόµενο εξαρτάται από την εµπειρία, από την ηλικία ή την γνωστική ωρίµανση. Η εµπειρία ή η έλλειψή της µπορεί να διευκολύνει (ή να εµποδίσει) την πρόοδο µέσα σε ένα επίπεδο ή την μετάβαση σ ένα πιο υψηλό επίπεδο. Έρευνες Αρκετές έρευνες έχουν μελετήσει την ταξινόμηση της γεωμετρικής σκέψης με βάση τα επίπεδα van Hiele (Usikin [12], Mayberry [14], Senk [15] Fuys, Geddes & Tischler [16]). Οι Fuys, Geddes & Tischler [16] συμπέραναν ότι το κάθε επίπεδο van Hiele έχει τα δικά του γλωσσικά σύμβολα και το δικό του δίκτυο σχέσεων που συνδέει τα σύμβολα αυτά. Επίσης, επισημαίνουν ότι η γλωσσική δομή είναι βασικός παράγοντας στην πρόοδο μέσω των επιπέδων Van Hiele και αποδίδουν πολλές αποτυχίες της διδασκαλίας της Γεωμετρίας στα γλωσσικά εμπόδια. Επιπλέον υποστηρίζουν ότι η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης με βάση τα επίπεδα van Hiele εξαρτάται περισσότερο από τη διδασκαλία και λιγότερο από τη βιολογική ωρίμανση 6 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

7 του μαθητή. Να φύγει ο Ευκλείδης; Η Senk [15] μελέτησε ταλαντούχους μαθητές στα μαθηματικά σχετικά με το επίπεδο van Hiele στο οποίο βρίσκονταν και την ικανότητά τους να αποδίδουν γραπτά τυπικές γεωμετρικές αποδείξεις μετά από μια σειρά μαθημάτων γεωμετρίας. Η έρευνά της επιβεβαίωσε την ιεραρχικότητα των επιπέδων van Hiele και στους ταλαντούχους μαθητές και επεσήμανε την αναγκαιότητα σχετικά υψηλού επιπέδου van Hiele για την αποτελεσματικότητα στην απόδοση γραπτών γεωμετρικών αποδείξεων. Η Mayberry [14] επιβεβαιώνει ότι η πλειονότητα των μαθητών του γυμνασίου βρίσκεται στα πρώτα επίπεδα van Hiele και επισημαίνει ότι οι μαθητές της έρευνας της δεν ήταν στο κατάλληλο επίπεδο για να κατανοήσουν τη θεωρητική Γεωμετρία. Επίσης, η διδασκαλία που είχαν δεχθεί δεν τους έφερε στο επίπεδο 4. Η έρευνα του Usiskin [12] περιελάμβανε δείγμα από περίπου 2700 µαθητές που φοιτούσαν σε 13 επιλεγµένα γυµνάσια των ΗΠΑ. Στους µαθητές αυτούς δόθηκαν τεστ αξιολόγησης γεωµετρικών γνώσεων βάσει των επιπέδων van Hiele, στην έναρξη και στο πέρας του σχολικού έτους. Η επίδοση ενός µεγάλου µέρους του δείγµατος στην απόδειξη αξιολογήθηκε επίσης στο τέλος του σχολικού έτους. Το τεστ που χρησιµοποιήθηκε για την εξακρίβωση των επιπέδων Van Hiele αποτελούνταν από 25 ερωτήµατα πολλαπλής επιλογής (5 ερωτήµατα για καθένα από τα πέντε επίπεδα). Κάποια από τα συμπεράσματα της έρευνας είναι αποκαλυπτικά. Για πολλούς μαθητές η σπουδή τους σε ένα ετήσιο μάθημα γεωμετρίας δεν τους είχε προσφέρει ούτε στοιχειώδεις γνώσεις ορολογίας της γεωμετρίας και της μέτρησης. Στις τάξεις γεωμετρίας που έχουν µελετήσει την απόδειξη, τα επίπεδα van Hiele των περισσότερων µαθητών προς το τέλος του σχολικού έτους είναι υπερβολικά χαµηλά ώστε να επιτρέψουν κάποια πιθανότητα επιτυχίας στη γεωµετρική απόδειξη. Οι μισοί από τους μαθητές που παρακολουθούν ένα μάθημα γεωμετρίας προσανατολισμένο στην απόδειξη αντιμετωπίζουν μικρή ή καθόλου επιτυχία στην απόδειξη. Ο κυριότερος λόγος φαίνεται να είναι η έλλειψη γνώσης στην αρχή του έτους. Στην Ελλάδα επίσης έχουν διεξαχθεί αντίστοιχες έρευνες για τη μέτρηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών (Τζίφας [17], Δημάκος & Νικολουδάκης [18], Ζάχος[19]). Ο Ζάχος [19] σε έρευνά του σε δείγμα 458 μαθητών λυκείου χρησιμοποιώντας το ερωτηματολόγιο του Usiskin επιβεβαιώνει την ιεραρχικότητα των επιπεέδων van Hiele και στην Ελλάδα και βρίσκει ότι το 75% των μαθητών του δείγματος βρίσκεται σε επίπεδο van Hiele μικρότερο του 4. Ο Τζίφας [17] χρησιμοποιεί και αυτός το τεστ van Hiele, του Usiskin [12] για τα τέσσερα πρώτα επίπεδα van Hiele, σε δείγµα 1838 µαθητών που φοιτούσαν στις τάξεις Γ Γυµνασίου, Α και, Β Λυκείου 45 Γυµνασίων και Λυκείων της Ελλάδας κατά το χρονικό διάστηµα από µέχρι του αντίστοιχου σχολικού έτους. Χρησιμοποιήθηκαν δυο κριτήρια ταξινόμησης των μαθητών στα Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

8 αντίστοιχα επίπεδα van Hiele. Σύμφωνα με το αυστηρό κριτήριο ο μαθητής κατατασσόταν σε κάποιο επίπεδο van Hiele αν απαντούσε σωστά στις 4 από τις 5 ερωτήσεις του αντίστοιχου επιπέδου. Σύμφωνα με το ελαστικό κριτήριο ένας μαθητής κατατασσόταν σε κάποιο επίπεδο van Hiele αν απαντούσε σωστά στις 3 από τις 5 ερωτήσεις του αντίστοιχου επιπέδου. Από την έρευνά αυτή προέκυψε ότι: το 60,6% των µαθητών, βρίσκονται στα επίπεδα 1 και 2 µε το αυστηρό κριτήριο και το 48,6% µε το ελαστικό κριτήριο. Επιβεβαιώνονται έτσι τα αποτελέσματα των ερευνών του Usiskin [12] που είχαν ισχυριστεί ότι «Η πλειονότητα των µαθητών της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης βρίσκονται στο πρώτο και δεύτερο επίπεδο van Hiele. (Usiskin[12], σ. 32). Σημειώνεται εδώ ότι τα αποτελέσματα δεν επηρεάστηκαν σημαντικά από το γεγονός ότι στην Ελλάδα διδάσκεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία με οργανωμένο τρόπο και υποχρεωτικά εδώ και πάρα πολλά χρόνια σε αντίθεση με τις ΗΠΑ όπου σε πολλές περιπτώσεις είναι μάθημα επιλογής. Αυτός ο παράγοντας δεν φαίνεται να επηρέασε σημαντικά τα αποτελέσματα. Κάποια χαρακτηριστικά αποτελέσματα της έρευνας αυτής τα οποία βρίσκονται σε συμφωνία με τα αντίστοιχα της έρευνας του Usiskin [12] είναι ότι: α) υπάρχει ένα ποσοστό των μαθητών (11,6%) που θεωρεί, ότι ένα ορθογώνιο είναι και τετράγωνο, β) το ένα τρίτο των μαθητών δεν γνωρίζει ότι τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, γ) στις ερωτήσεις που αφορούν συλλογισµούς που οδηγούν σε κάποιο συµπέρασµα (λογικής) το ποσοστό των µαθητών που δεν απάντησε σωστά είναι πάνω από 50%, δ) ένα σημαντικό ποσοστό των µαθητών (21,2%) θεωρεί ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο δεν µπορεί να είναι ισοσκελές. Οι Δημάκος και Νικολουδάκης [18] σε έρευνά τους που έγινε σε δείγμα 250 μαθητών της Α Λυκείου που φοιτούσαν σε έξι Λύκεια της Αθήνας, με το τεστ van Hiele του Usiskin για τη μέτρηση του επιπέδου της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της Α Λυκείου αναφέρουν στα συμπεράσματά τους για την ταξινόμηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών ότι: «από τους 250 μαθητές του δείγματος, οι 215 μαθητές (86% του δείγματος) από αυτούς εντάχθηκαν σε κάποιο επίπεδο με βάση το χαλαρό κριτήριο και συγκεκριμένα οι 54 από αυτούς (21,6%) ανήκαν στο επίπεδο 1. Επίσης, η πλειοψηφία των μαθητών, δηλαδή 117 μαθητές (46,8%) ανήκε στο επίπεδο 2. Ακόμη 42 μαθητές (16,8%) ανήκαν στο επίπεδο 3 και μόλις 2 μαθητές (0,8%) ανήκαν στο επίπεδο 4. Αν το δούμε αθροιστικά, μπορούμε να πούμε ότι το 79,5% των μαθητών του δείγματος ανήκαν στα επίπεδα 1 και 2.» (σ. 190) Τα αποτελέσματα αυτά εξηγούν σε σημαντικό βαθμό τις δυσκολίες των μαθητών στην κατανόηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο, για την οποία απαιτείται επίπεδο 4 ενώ οι περισσότεροι μαθητές βρίσκονται στα πρώτα δυο επίπεδα. 4 Η αξιωματική απαγωγική προσέγγιση στη 8 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

9 διδασκαλία Κατά την αξιωματική απαγωγική προσέγγιση στη διδασκαλία εισάγονται στους φοιτητές ή και στους μαθητές κάποιοι ορισμοί και αξιώματα ενός πεδίου το οποίο μπορεί να μην είναι οικείο σ αυτούς και λογικά απορρέουν άλλες προτάσεις (θεωρήματα) και ιδιότητες από αυτά. O Lakatos [20] αναφέρεται σ αυτή την προσέγγιση ως «απαγωγικό στυλ». Αυτή η προσέγγιση δεν είναι δημοφιλής μόνο στα εγχειρίδια των ανώτερων μαθηματικών αλλά διεισδύει και στη δομή των σχολικών βιβλίων. Κάποιοι από τους λόγους για τους οποίους υιοθετείται μια τέτοια διδακτική προσέγγιση, όπως σταχυολογούνται από τον de Villiers [21] είναι οι εξής: α) είναι ένας αποδεκτός τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί παρουσιάζουν τα ερευνητικά τους αποτελέσματα, β) είναι μια πολύ οικονομική παρουσίαση ειδικά όταν ένας μεγάλος όγκος εργασίας πρέπει να καλυφθεί σε μικρό διάστημα (Davis & Hersh [22]), γ) δείχνει με σαφήνεια τις λογικές απαγωγικές σχέσεις μεταξύ των αξιωμάτων, των ορισμών και των θεωρημάτων (Dieudonné [23]), δ) όταν ένα θέμα παρουσιάζεται σε αξιωματική μορφή η δυνατότητα κυκλικών επιχειρημάτων και αντιφάσεων αποφεύγεται, έτσι κάθε περίεργη ερώτηση από κάποιο μαθητή αναμένεται και αποφεύγεται (Bourbaki [24], Dieudonné [23]), ε) ικανοποιεί την προσδοκία πολλών μαθητών που απαιτούν από τον καθηγητή να διδάξει το υλικό με ένα ξεκάθαρο, καλά οργανωμένο τρόπο, έτσι ώστε να είναι εύκολα κατανοητό και απομνημονεύσιμο, από το να δίνει έμφαση σε ακατάστατες μαθηματικές διεργασίες όπως η επίλυση προβλήματος, η γενίκευση και η διατύπωση εικασιών (Hativa [25]), στ) προστατεύει από τη μαθηματική ανικανότητα, την άγνοια, την έλλειψη προετοιμασίας και αυτοπεποίθησης των καθηγητών όταν πρόκειται να αποφύγουν τους στενούς περιορισμούς ενός αξιωματικού συστήματος (Dieudonné [23], Davis & Hersh [22]), ζ) ταιριάζει με τη φορμαλιστική άποψη και φιλοσοφία των μαθηματικών που θεωρούν τα μαθηματικά μόνο ως τυπικά παράγωγα προσεκτικά διατυπωμένων αξιωμάτων (Lakatos [20], Hersh [20]), η) λόγω της έλλειψης εμπειρίας και μαθηματικής δημιουργικότητας κάποιοι καθηγητές μπερδεύουν την πραγματική δημιουργικότητα στα μαθηματικά με τα τελικά αποτελέσματά τους (de Villiers [21]). Ευρεία κριτική έχει δεχθεί η αξιωματική-απαγωγική προσέγγιση των μαθηματικών στη διδασκαλία. Κάποια σημεία αυτής της κριτικής είναι τα εξής: α) Ο Hersh [26] σημειώνει ότι: «δεν μπορούμε να αφήσουμε αδιαμφισβήτητο το δόγμα ότι τα πραγματικά μαθηματικά είναι ακριβή τυπικά παράγωγα των δηλωμένων τυπικών αξιωμάτων». Έτσι ο de Villiers Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

10 [21] επισημαίνει ότι με τον τρόπο αυτό είμαστε ανέντιμοι απέναντι στους μαθητές μας αν τους δίνουμε τη λανθασμένη εντύπωση ότι τα πάντα σε σχέση με τα μαθηματικά είναι λογικά συμπεράσματα που εξάγονται από ένα έτοιμο αξιωματικό σύστημα. β) Αυτή η προσέγγιση είναι εκπαιδευτικά επισφαλής δεδομένου ότι οι μαθητές δεν συμμετέχουν στην επιλογή και την ανακατασκευή των αξιωμάτων αφού δεν γνωρίζουν από πού προέρχονται ούτε γιατί είναι ουσιαστικά, ούτε μπορούν να κατανοήσουν γιατί κεντρικές προτάσεις λέγονται αξιώματα ενώ άλλες εξίσου προφανείς ή αυταπόδεικτες προτάσεις λέγονται θεωρήματα (Kline [27]). γ) Ο Kline [27] αναφέρει ότι «η απαγωγική παρουσίαση των μαθηματικών είναι ψυχολογικά καταστροφική επειδή οδηγεί τους μαθητές να πιστέψουν ότι τα μαθηματικά δημιουργούνται από ιδιοφυΐες που ξεκινούν από αξιώματα και σκέφτονται αμέσως και άψογα τα θεωρήματα. Έτσι ο μαθητής αισθάνεται ταπεινωμένος για τις ικανότητές του ειδικά όταν ο καθηγητής παρουσιάζει το υλικό σαν να έχει απέναντί του ιδιοφυΐες σε δράση» (σ. 177). δ) Οι Davis & Hersh [22] σημειώνουν ότι οι αξιωματικές απαγωγικές προσεγγίσεις συντείνουν στον δογματισμό και τον απολυταρχισμό. Ο Lakatos ([20], σ. 142) επισημαίνει τον ίδιο κίνδυνο όταν αναφέρει ότι τα μαθηματικά παρουσιάζονται σαν ένα σύνολο από αιώνιες απόλυτες αλήθειες. Αντιπαραδείγματα, ανασκευές και κριτική δεν επιτρέπεται να εισαχθεί. Ένα απολυταρχικό πέπλο εξασφαλίζει κάθε θέμα από την αρχή με ένα πλέγμα-τέρας από αποδείξεις, γενικευμένους ορισμούς πλήρως ολοκληρωμένων θεωρημάτων καταστέλλοντας την πρωτογενή εικασία, τις ανασκευές και την κριτική της απόδειξης. ε) Οι πιο σημαντικές αξιωματικές δομές και απαγωγικές αποδείξεις ανήκουν μετά το τρίτο επίπεδο van Hiele ενώ οι περισσότεροι μαθητές στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση βρίσκονται στα δυο πρώτα επίπεδα van Hiele ερμηνεύοντας έτσι το υλικό που τους παρουσιάζεται σαν άνευ νοήματος. Δεν προβλέπεται μάλιστα κάποια βοήθεια για την εξέλιξη των μαθητών στα απαιτούμενα επίπεδα. στ) Η άμεση αξιωματική απαγωγική προσέγγιση αποτελεί σε σημαντικό βαθμό προσβολή των μαθητών και υποτίμηση των ικανοτήτων τους από τη στιγμή που δεν τους δίνεται ο απαιτούμενος χρόνος, τα κίνητρα, η ευκαιρία η ενθάρρυνση και η βοήθεια για το απαιτούμενο επίπεδο van Hiele, ώστε οι ίδιοι να εμπλακούν σε δραστηριότητες συστηματικοποίησης και αξιωματικοποίησης των μαθηματικών (de Villiers [21]). 5 Μια διαφορετική προσέγγιση O Hoffer [28] θεωρεί ότι η γεωμετρία είναι κάτι παραπάνω από αποδείξεις και ότι υπάρχουν και άλλες ικανότητες γεωμετρικής φύσης ιδιαίτερα σημαντικές για τους μαθητές. Πρότεινε μάλιστα πέντε τέτοιες 10 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

11 κατηγορίες ικανοτήτων που στα πλαίσια της διδασκαλίας της Γεωμετρίας θα μπορούσαν να αναπτύξουν οι μαθητές, οι οποίες είναι: οπτικές, λεκτικές, σχεδιαστικές, λογικές και ικανότητες εφαρμογής. Οι Ντζιαχρήστος & Κοντογιάννης [29] έχουν αναπτύξει τις βασικές ικανότητες ανά επίπεδο τις οποίες παρουσιάζουμε παρακάτω. Οπτικές Επίπεδο 1: Αναγνώριση των γεωμετρικών σχημάτων από την εικόνα τους. Επίπεδο 2: Διάκριση ιδιοτήτων ενός σχήματος. Εντοπισμός σχήματος ως μέρος ενός πιο σύνθετου. Επίπεδο 3: Αναγνώριση σχέσεων μεταξύ των διαφόρων ειδών σχημάτων. Επίπεδο 4: Χρήση σχηματικών πληροφοριών για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Επίπεδο 5: Αναγνώριση εσφαλμένων σχηματικών παραδοχών σε πρόβλημα. Λεκτικές Επίπεδο 1: Συσχέτιση σχήματος και ονομασίας. Επίπεδο 2: Περιγραφή ιδιοτήτων σχήματος. Επίπεδο 3: Διατυπώσεις ορισμών και σχέσεων σχημάτων. Επίπεδο 4: Διάκριση ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων. Διάκριση υπόθεσης συμπεράσματος. Επίπεδο 5: Διατυπώσεις προεκτάσεων αποτελεσμάτων. Περιγραφή συστημάτων. Σχεδίασης Επίπεδο 1: Σχεδιασμός βασικών σχημάτων από εικόνα. Επίπεδο 2: Σχεδιασμός σχημάτων από λεκτική περιγραφή και χρήση των ιδιοτήτων. Επίπεδο 3: Σχεδιασμός σχημάτων σχετικά με άλλα. Επίπεδο 4: Σχεδιασμός σχημάτων με βάση δεδομένες πληροφορίες. Χρήση βοηθητικών στοιχείων στα σχήματα. Επίπεδο 5: Αντίληψη των ορίων και των δυνατοτήτων των σχεδιαστικών οργάνων. Σχεδιαστική αναπαράσταση αξιωματικών συστημάτων. Λογικές Επίπεδο 1: Αναγνώριση των διαφορών των σχημάτων και της διατήρησης τους με την αλλαγή της θέσης. Επίπεδο 2: Κατανόηση της ταξινόμησης των σχημάτων με βάση τις ιδιότητές τους. Επίπεδο 3: Κατανόηση των χαρακτηριστικών του καλού ορισμού. Με βάση τις ιδιότητες ταξινόμηση των κατηγοριών των σχημάτων. Επίπεδο 4: Χρήση λογικών κανόνων για την κατασκευή και διατύπωση αποδείξεων. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

12 Επίπεδο 5: Αντίληψη των ορίων και των δυνατοτήτων αξιωμάτων και προτάσεων. Αναγνώριση της ανεξαρτησίας των συστημάτων. Εφαρμογής Επίπεδο 1: Αναγνώριση των γεωμετρικών σχημάτων σε πραγματικά αντικείμενα. Επίπεδο 2: Αναγνώριση γεωμετρικών ιδιοτήτων φυσικών αντικειμένων. Ρεαλιστική αναπαράσταση. Επίπεδο 3: Κατανόηση της έννοιας του μαθηματικού μοντέλου και αναπαράσταση των σχέσεων των αντικειμένων του χώρου. Επίπεδο 4: Συμπεράσματα για ιδιότητες αντικειμένων από γνωστά στοιχεία τους και επίλυση προβλημάτων σχέσεων αντικειμένων. Επίπεδο 5: Χρησιμοποίηση μαθηματικών μοντέλων για την αναπαράσταση αφηρημένων συστημάτων. Ανάπτυξη μοντέλων για φυσικά και κοινωνικά φαινόμενα. Αντίστοιχες κατευθύνσεις επιδιώκονται και στο τρέχον Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών για την Α Λυκείου [30]. Συγκεκριμένα τονίζεται η επιδίωξη για ενεργητική εμπλοκή των μαθητών στη διερεύνηση προβλημάτων, τη διατύπωση και τον έλεγχο εικασιών, την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων και πολλαπλών αποδεικτικών προσεγγίσεων. Επισημαίνεται η απαίτηση για κατανόηση και ορθή χρήση της μαθηματικής γλώσσας, των συμβόλων και των αναπαραστάσεων των μαθηματικών αντικειμένων καθώς και η ανάπτυξη της μαθηματικής επικοινωνίας. Επίσης επιδιώκεται η επισήμανση των εννοιολογικών συνδέσεων των μαθηματικών και άλλων γνωστικών περιοχών καθώς και οι συσχετίσεις διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών. Στόχος επίσης της διδασκαλίας των μαθηματικών αποτελεί η χρήση των μαθηματικών ως εργαλείο κατανόησης της φυσικής και κοινωνικής πραγματικότητας σε μια προσπάθεια κατανόησης των μαθηματικών ως πολιτισμικό, ιστορικά εξελισσόμενο ανθρώπινο δημιούργημα. Ιδιαίτερα η Γεωμετρία είναι το πεδίο στο οποίο οι μαθητές μπορούν να προσεγγίσουν την ενιαία δομή και συνοχή των μαθηματικών. Επίσης η χρήση λογισμικών Δυναμικής Γεωμετρίας θεωρείται ότι μπορεί να συμβάλει τόσο στην διατύπωση και τον έλεγχο εικασιών για την επίλυση προβλημάτων όσο και στην ανάπτυξη αποδεικτικών στρατηγικών. 6 Συζήτηση-Συμπεράσματα Στο άρθρο παρουσιάστηκαν οι ιδιαίτερες νοητικές λειτουργίες που αναπτύσσονται με την ενεργητική εμπλοκή των μαθητών με τη Γεωμετρία τεκμηριώνοντας έτσι τους λόγους για τους οποίους η Γεωμετρία αποτελεί αναγκαίο άξονα του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Παρόλα αυτά η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως τυπικό αξιωματικό σύστημα εμφανίζεται ελάχιστα στα αναλυτικά προγράμματα μαθηματικών διεθνώς. Έτσι αναπτύχθηκε 12 Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

13 έντονος σκεπτικισμός για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Ο σκεπτικισμός είναι βάσιμος γιατί οι έρευνες για την ταξινόμηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών δείχνουν ότι οι μαθητές που διδάσκονται τη Γεωμετρία ως τυπικό αξιωματικό σύστημα ουσιαστικά επωφελούνται ελάχιστα από τη διδασκαλία αυτή, με βασική αιτία ότι βρίσκονται σε κατώτερο επίπεδο από αυτό που θα έπρεπε ώστε να μπορέσουν να ανταποκριθούν στις υψηλές απαιτήσεις μια τέτοιας προσέγγισης. Για το λόγο αυτό στα σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα σπουδών, προκρίνονται διδακτικές προσεγγίσεις της Γεωμετρίας οι οποίες αναδεικνύουν την ενεργητική εμπλοκή των μαθητών σε συγκεκριμένες δραστηριότητες από μικρή ηλικία, έτσι ώστε αυτοί να εμπλουτίσουν εννοιολογικά το διαισθητικό τους υπόβαθρο με σκοπό τη διευκόλυνση της ανάπτυξης παραγωγικών αποδείξεων. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

14 7 Βιβλιογραφία [1] Γιάννης Θωμαΐδης, Ανδρέας Πούλος, Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, Εκδ. Ζήτη, Θεσσαλονίκη, [2] David Tall, Michael Thomas, Gary Davis, Eddie Gary, Adrian Sim p- son, What is the object of the encapsulation of a process? Journal of Mathematical Behavior, (2000), 182, [3] David Tall, Reflections on APOS theory in Elementary and Advanced Mathematical Thinking, Proceedings of the 23 rd Conference of PME, Haifa, Israel, (1999), 1, [4] Gary Davis, David Tall, Michael Thomas, What is the object of the encapsulation of a process? In F. Biddulph & K. Carr (Eds.), People in Mathematics Education, MERGA 20, Aotearoa, (1997), , MERGA Inc. [5] Jean Piaget, Genetic Epistemology, W. W. Norton, New York, [6] Anna Sfard, On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on process and objects as different sides of the same coin, Educational Studies in Mathematics, (1991), 22(1), 1-36 [7] Colette Laborde, The computer as part of the learning environments: The case of geometry. In. C. Keitel & K. Ruthen (Eds.), Learning from computers: Mathematics education and technology (Vol. 121, 48-67). Grenoble Cedex, France: NATO ASI Series, Computer and Systems Sciences, [8] Michael Battista, The development of geometric and spatial thin k- ing, In Lester, F. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). NCTM. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, [9] Efraim Fischbein, The Theory of Figural Concepts, Educational Studies in Mathematics, (1993), 24 (2), [10] David Tall, A Versatile Theory of Visualisation and Symbolisation in Mathematics, Plenary Presentation, CIEAM Toulouse, France, [11] Pierre M. van Hiele P. Structure and Insight, Orlando:Academic Press, [12] Zalman Usiskin Van Hieles levels and achivement in secondary school geometry (Final report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago: University of Chicago, Department of Education. (ERIC Document Reproduction Servise No. ED , [13] Hoffer, A. Geometry and visual thinking. In T.R.Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8: Research based methods (p ). Newton, MA: Allyn and Bacon, Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

15 [14] Joanne Mayberry, The van Hiele levels of geometric thought in undergraduate preservice teachers, Journals for Research in Mathematics Education, (1983), 14(1), [15] Sharon Senk, Van Hiele levels and achievement in writing geometry proofs, Journal for Research in Mathematics Education, (1989), 20(3), [16] Fuys, D., Geddes D., Tischler R., The Van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents, Journal for Research in Mathematics Education, Monograph Number 3, [17] Νικόλαος Τζίφας, Ειδικά θέματα Διδακτικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Τα επίπεδα van Hiele στην ελληνική σχολική πραγματικότητα. Η αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Τα επίπεδα Van Hiele και διδακτικές προσεγγίσεις με χρήση λογισμικού. Διπλωματική εργασία για το μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Διδακτική και Μεθοδολογία των μαθηματικών», [18] Γεώργιος Δημάκος, Εμμανουήλ Νικολουδάκης, Η Διδασκαλία της Γεωμετρίας στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση με χρήση της Θεωρίας των Επιπέδων Γεωμετρικής σκέψης του van Hiele και τη βοήθεια των Τ.Π.Ε στα πλαίσια της Συνεργατικής Μάθησης. Πρακτικά 5 ης Διεθνούς Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών τ.ι, σσ , επιμέλεια έκδοσης Μ. Κούρκουλος, Κ.,Τζανάκης, Ρέθυμνο, [19] Ιωάννης Ζάχος, Αξιολόγηση του επιπέδου Γεωμετρικής σκέψης van Hiele των μαθητών της Β τάξης του Λυκείου. Στο Φ. Καλαβάσης & Μ. Μεϊμάρης [επιμ.], Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών IV: Αξιολόγηση και Διδασκαλία των Μαθηματικών, σελ , Πανεπιστήμιο Αγαίου & Gutenberg, Αθήνα, [20] Imre Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge University Press, Great Britan, [21] Michael de Villiers, The role of Axiomatisation in Mathematics and Mathematics Teaching, Research Unit for Mathematics Education (RUMEUS), University of Stellenbosch, South Africa, [22] Philip Davis, Reuben Hersh, The mathematical experience, Pelican Books, Great Britain, [23] Jean Dieudonné, Should we teach Modern mathematics? American Scientist, (1973), Jan/Feb, [24] Nicholas Bourbaki, The Architecture of Mathematics, American Mathematical Monthly, (1950), Vol. 57, No. 4, pp [25] Nira Hativa, Good teaching of mathematics as perceived by unde r- graduate students, International Journal for Mathematical Education in Science & Technology, (1984), Vol. 15, no. 5, [26] Reuben Hersh, Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics, Advances in Mathematics, (1979), 31, Jan. no. 1. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

16 [27] Morris Kline, Why the professor can t teach, St. Martin spress, [28] Alan Hoffer, Geometry is more than proof. The mathematics teacher 74, (1981), [29] Βασίλης Ντζιαχρήστος, Δημήτρης Κοντογιάννης, Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας, 4 η έκδοση Αθήνα, (2003), σ [30] Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών Α τάξης Γενικού Λυκείου, ΦΕΚ 59614/Γ2/ Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 5: Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Η θεωρία των van Hiele. Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Η ΑΝΑΦΟΡΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΡΘΡΟ ΕΙΝΑΙ: Νικολουδάκης Εμμ., Δημάκος, Γ. (2009). «Βελτίωση της αποδεικτικής ικανότητας των μαθητών σε προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Μία πρόταση για τη διδασκαλία της απόδειξης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 236 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ζαράνης Νικόλας Λέκτορας Π.Τ.Π.Ε. Πανεπιστημίου Κρήτης nzaranis@edc.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή

Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Περίληψη Με προφανή σκοπό τη δημιουργία ευνοϊκότερων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017

Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017 Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017 Διδακτική Ευκλείδειας Γεωμετρίας Διδασκαλία με χρήση Geogebra Δραστηριότητες Κώστας Μαλλιάκας, Μαθηματικός 1 ο Γενικό Λύκειο Ρόδου Βενετόκλειο kmath1967@gmail.com Διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ)

Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών enikolou@otenet.gr Περίληψη Η απόδειξη θεωρείται κεντρική στην επιστήμη των

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κάθε αναφορά απόψεις που προέρχεται από εξωτερικές πηγές -βιβλία, περιοδικά, ηλεκτρονικά αρχεία, πρέπει να επισημαίνεται, τόσο μέσα στο κείμενο όσο και στη βιβλιογραφία,

Διαβάστε περισσότερα

Van Hiele suggested a developmental model of student s geometrical thinking consisted

Van Hiele suggested a developmental model of student s geometrical thinking consisted ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΟΦΟΙΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΤΑ VAN HIELE Παναγιώτης Καλαϊτζίδης Αθηνά Παππά Χαράλαμπος Σακονίδης Εκπαιδευτικός, M.Ed.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Διαδικασία η γνώση ως ανάπτυξη υψηλών νοητικών λειτουργιών (

Διαβάστε περισσότερα

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία 1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία Ο διδακτικός σχεδιασμός (instructional design) εμφανίσθηκε στην εκπαιδευτική διαδικασία και στην κατάρτιση την περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία

Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία Βασιλική Σπηλιωτοπούλου Παιδαγωγικό Τμήμα ΑΣΠΑΙΤΕ Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια: Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Οι άνθρωποι από πολύ

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Κ Υ Κ Λ Ο Υ Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Κ Α Ι Υ Π Η Ρ Ε Σ Ι Ω Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Στο τομέα της εκπαίδευσης η αξιολόγηση μπορεί να αναφέρεται στην επίδοση των μαθητών, στην αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας ή της μαθησιακής διαδικασίας, στο αναλυτικό πρόγραμμα, στα διδακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες με την υποστήριξη των ΤΠΕ. Καθηγητής T. A. Μικρόπουλος Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες με την υποστήριξη των ΤΠΕ. Καθηγητής T. A. Μικρόπουλος Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες με την υποστήριξη των ΤΠΕ Καθηγητής T. A. Μικρόπουλος Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 1. Οι ψηφιακές τεχνολογίες ως γνωστικά εργαλεία στην υποστήριξη της διδασκαλίας και της μάθηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική και Τεχνολογίες Πληροφορίας & Επικοινωνιών: Συνύπαρξη και παιδαγωγική πρακτική. Τάσος Μικρόπουλος Ιωάννα Μπέλλου Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Πληροφορική και Τεχνολογίες Πληροφορίας & Επικοινωνιών: Συνύπαρξη και παιδαγωγική πρακτική. Τάσος Μικρόπουλος Ιωάννα Μπέλλου Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πληροφορική και Τεχνολογίες Πληροφορίας & Επικοινωνιών: Συνύπαρξη και παιδαγωγική πρακτική Τάσος Μικρόπουλος Ιωάννα Μπέλλου Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πληροφορική και ΤΠΕ Η Πληροφορική και οι Τεχνολογίες της

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση)

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Γ. Γρηγορίου, Γ. Πλευρίτης Περίληψη Η έρευνα μας βρίσκεται στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της. Αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση

Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση Πρόγραμμα Eξ Aποστάσεως Eκπαίδευσης (E learning) Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση Οδηγός Σπουδών Το πρόγραμμα εξ αποστάσεως εκπαίδευσης ( e-learning ) του Πανεπιστημίου Πειραιά του Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη 24 και Τετάρτη 25 Οκτωβρίου 2017

Τρίτη 24 και Τετάρτη 25 Οκτωβρίου 2017 Τρίτη 24 και Τετάρτη 25 Οκτωβρίου 2017 Παιδαγωγικές προσεγγίσεις και διδακτικές πρακτικές - η σχέση τους με τις θεωρίες μάθησης Παρατηρώντας τη μαθησιακή διαδικασία Τι είδους δραστηριότητες παρατηρήσατε

Διαβάστε περισσότερα

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης (έννοιες, αντιλήψεις, αναπαραστάσεις) οργάνωση περιεχομένου μαθηματικών, εννοιολογικές αντιλήψεις στα μαθηματικά και στους μαθητές Μαρία Καλδρυμίδου θέματα οργάνωση περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ) Η διδασκαλία του Θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου με τη βοήθεια του συνδυασμού της θεωρίας van Hiele και της Γνωστικής Μαθητείας στα πλαίσια των ΤΠΕ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΩ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 1 ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ 1. Τι αλλαγές επιχειρούν τα νέα ΠΣ; 2 2. Γιατί το πέρασμα στην πράξη (θα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή Κατευθυντήριες γραμμές σχεδίασης μαθησιακών δραστηριοτήτων Διδάσκων: Καθηγητής Αναστάσιος Α. Μικρόπουλος Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής Διδακτική της Πληροφορικής ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ανδρέας Σ. Ανδρέου (Αναπλ. Καθηγητής ΤΕΠΑΚ - Συντονιστής) Μάριος Μιλτιάδου, Μιχάλης Τορτούρης (ΕΜΕ Πληροφορικής) Νίκος Ζάγκουλος, Σωκράτης Μυλωνάς (Σύμβουλοι Πληροφορικής)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ 2016-2017 Μάθημα 1 ο Εισαγωγή στις βασικές έννοιες Προτεινόμενη Βιβλιογραφία Elliot, S. N., Kratochwill, T. R., Cook, J. L., & Travers, J. F. (2008). Εκπαιδευτική Ψυχολογία: Αποτελεσματική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Διδασκαλία III

Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαριάννα Τζεκάκη Απαραίτητα στον εκπαιδευτικό Μαθηματικό περιεχόμενο γνώση Ζητήματα των στόχων της διδασκαλίας των μαθηματικών μάθησης και του σχετικού μαθηματικού περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Λεωνίδας Κυριακίδης Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου

Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Λεωνίδας Κυριακίδης Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Λεωνίδας Κυριακίδης Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το Δυναμικό Μοντέλο Εκπαιδευτικής Αποτελεσματικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Μάθημα 1 ο Εισαγωγή στις βασικές έννοιες Προτεινόμενη Βιβλιογραφία Elliot, S. N., Kratochwill, T. R., Cook, J. L., & Travers, J. F. (2008). Εκπαιδευτική Ψυχολογία: Αποτελεσματική

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Η διερευνητική διδακτική προσέγγιση στην ανάπτυξη και την αξιολόγηση της κριτικής σκέψης των μαθητών Σταύρος Τσεχερίδης Εισαγωγή Παρά την ευρεία αποδοχή της άποψης ότι η καλλιέργεια της κριτικής σκέψης

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση του Προγράμματος Ταχύρρυθμης Εκμάθησης της Ελληνικής στη Μέση Εκπαίδευση (Ιούνιος 2010)

Αξιολόγηση του Προγράμματος Ταχύρρυθμης Εκμάθησης της Ελληνικής στη Μέση Εκπαίδευση (Ιούνιος 2010) Αξιολόγηση του Προγράμματος Ταχύρρυθμης Εκμάθησης της Ελληνικής στη Μέση Εκπαίδευση (Ιούνιος 2010) 1. Ταυτότητα της Έρευνας Με απόφαση του Υπουργικού Συμβουλίου της 29 ης Ιουλίου, 2008, τέθηκε σε εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση & Εξερεύνηση στο περιβάλλον του Μουσείου

Μάθηση & Εξερεύνηση στο περιβάλλον του Μουσείου Βασίλειος Κωτούλας vaskotoulas@sch.gr h=p://dipe.kar.sch.gr/grss Αρχαιολογικό Μουσείο Καρδίτσας Μάθηση & Εξερεύνηση στο περιβάλλον του Μουσείου Η Δομή της εισήγησης 1 2 3 Δυο λόγια για Στόχοι των Ερευνητική

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές διερευνούν τη χωρητικότητα κουτιών σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που προκύπτουν από ένα χαρτόνι συγκεκριμένων διαστάσεων. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 3 η Θεματική ενότητα: Ανάλυση μεθοδολογίας ερευνητικής εργασίας Σχεδιασμός έρευνας: Θεωρητικό πλαίσιο και ανάλυση μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις.

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. ΠΙΤΣΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4 ο ΓΕΛ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αθήνα 2017 ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΛΛΑΖΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 2. Εκπαιδευτικό Λογισμικό για τα Μαθηματικά 2.1 Κύρια χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για την Διδακτική των Μαθηματικών 2.2 Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας;

Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας; Για τους γονείς και όχι μόνο από το Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας; Ακουστικός, οπτικός ή μήπως σφαιρικός; Ανακαλύψτε ποιος είναι ο μαθησιακός τύπος του παιδιού σας, δηλαδή με ποιο τρόπο μαθαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εικονική πραγματικότητα και εκπαίδευση: Εκπαιδευτικά εικονικά περιβάλλοντα και κόσμοι

Εικονική πραγματικότητα και εκπαίδευση: Εκπαιδευτικά εικονικά περιβάλλοντα και κόσμοι Εικονική πραγματικότητα και εκπαίδευση: Εκπαιδευτικά εικονικά περιβάλλοντα και κόσμοι Αναστάσιος Μικρόπουλος Εργαστήριο Εφαρμογών Εικονικής Πραγματικότητας στην Εκπαίδευση Πανεπιστήμιο Τεχνολογίες μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ

Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Σωτήρης. Χασάπης Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σµύρνης 9η Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Τετάρτη 15 Ιουνίου 2016 Περιεχόµενα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη Συνάντηση ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΟΜΑΔΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Κάππας Σπυρίδων

Δεύτερη Συνάντηση ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΟΜΑΔΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Κάππας Σπυρίδων Δεύτερη Συνάντηση ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΟΜΑΔΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Κάππας Σπυρίδων ΟΜΑΔΑ είναι μια συνάθροιση ατόμων στην οποία το καθένα έχει συνείδηση της παρουσίας των άλλων, ενώ ταυτόχρονα βιώνει κάποια μορφή εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εξ αποστάσεως υποστήριξη του έργου των Εκπαιδευτικών μέσω των δικτύων και εργαλείων της Πληροφορικής

Εξ αποστάσεως υποστήριξη του έργου των Εκπαιδευτικών μέσω των δικτύων και εργαλείων της Πληροφορικής Εξ αποστάσεως υποστήριξη του έργου των Εκπαιδευτικών μέσω των δικτύων και εργαλείων της Πληροφορικής Ε. Κολέζα, Γ. Βρέταρος, θ. Δρίγκας, Κ. Σκορδούλης Εισαγωγή Ο εκπαιδευτικός κατά τη διάρκεια της σχολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. Γεώργιος Ν. Πριµεράκης Σχ. Σύµβουλος ΠΕ03

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. Γεώργιος Ν. Πριµεράκης Σχ. Σύµβουλος ΠΕ03 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Γεώργιος Ν. Πριµεράκης Σχ. Σύµβουλος ΠΕ03 1 Η αξιολόγηση (µπορεί να) αναφέρεται στον εκπαιδευτικό, στο µαθητή, στο Αναλυτικό Πρόγραµµα, στα διδακτικά υλικά στη σχολική µονάδα ή (και) στο θεσµό

Διαβάστε περισσότερα

International Conference Quality and Equity in Education: Theories, Applications and Potentials

International Conference Quality and Equity in Education: Theories, Applications and Potentials International Conference Quality and Equity in Education: Theories, Applications and Potentials Εργαστήρι 3 Ο συμβουλευτικός ρόλος της ομάδας στήριξης σχολείων που εφαρμόζουν τη δυναμική προσέγγιση σχολικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών.

Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών. 4ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1 Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών. Εμμανουήλ Νικολουδάκης (M.Ed) Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Φύλο και διδασκαλία των Φυσικών Επιστημών

Φύλο και διδασκαλία των Φυσικών Επιστημών Πηγή: Δημάκη, Α. Χαϊτοπούλου, Ι. Παπαπάνου, Ι. Ραβάνης, Κ. Φύλο και διδασκαλία των Φυσικών Επιστημών: μια ποιοτική προσέγγιση αντιλήψεων μελλοντικών νηπιαγωγών. Στο Π. Κουμαράς & Φ. Σέρογλου (επιμ.). (2008).

Διαβάστε περισσότερα

Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο διδασκόμενος αναμένεται να είναι σε θέση να:

Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο διδασκόμενος αναμένεται να είναι σε θέση να: Τίτλος Μαθήματος: ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ Κωδικός Μαθήματος: MUS 652 Κατηγορία Μαθήματος: (Υποχρεωτικό/Επιλεγόμενο) Υποχρεωτικό Επίπεδο Μαθήματος: (πρώτου, δεύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική»

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» ΕΠΕΔΙΜ, 9 Οκτωβρίου 2015 πηγές: Αναλυτικά προγράμματα «προηγμένων εκπαιδευτικά»

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Διδάσκουσες:

Διαβάστε περισσότερα

Οι Διαστάσεις του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού στην Κύπρο

Οι Διαστάσεις του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού στην Κύπρο Οι Διαστάσεις του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού στην Κύπρο 1. Ταυτότητα της Έρευνας Η έρευνα του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού έγινε πλέον θεσμός στα πλαίσια του εκπαιδευτικού συστήματος της Κύπρου, αφού διεξάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. Χριστίνα Μισαηλίδου

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. Χριστίνα Μισαηλίδου ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ C ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Χριστίνα Μισαηλίδου Χριστίνα Μισαηλίδου C.Misailidou@primedu.uoa.gr Γραφείο: Ιπποκράτους 20, 3 ος όροφος Ώρες Γραφείου: Τρίτη 13.00-15.30 Παρασκευή 10.00-12.00 Πρακτική Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ. Ανδρέας Πούλος Σχολικός Σύμβουλος Ανατολικής Θεσσαλονίκης, μέλος του ΕΠΕΣ του Π.Π.Σ.Π.Θ. 1. Η διατύπωση του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Παρουσίαση μαθήματος. Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής

Ενότητα 1: Παρουσίαση μαθήματος. Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής Διδακτική της Πληροφορικής: Ερευνητικές προσεγγίσεις στη μάθηση και τη διδασκαλία Μάθημα επιλογής B εξάμηνο, Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΑΛΛΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΑΛ 102 Προφορικός λόγος 6 ΓΑΛ 103 Γραπτός λόγος I 6 ΓΑΛ 170 e-french 6 ΓΑΛ 100-299 Μάθημα περιορισμένης επιλογής 6

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΑΛΛΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΑΛ 102 Προφορικός λόγος 6 ΓΑΛ 103 Γραπτός λόγος I 6 ΓΑΛ 170 e-french 6 ΓΑΛ 100-299 Μάθημα περιορισμένης επιλογής 6 πρώτο δεύτερο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΑΛΛΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΑΛ 102 Προφορικός λόγος ΓΑΛ 103 Γραπτός λόγος I ΓΑΛ 170 e-french ΓΑΛ 100-299 Μάθημα περιορισμένης επιλογής ΓΑΛ 104 Γραπτός λόγος II ΓΑΛ 111 Φωνητική ΓΑΛ 1 Από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών MA in Education (Education Sciences) ΑΣΠΑΙΤΕ-Roehampton ΠΜΣ MA in Education (Education Sciences) Το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στην Εκπαίδευση (Επιστήμες της Αγωγής),

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad

Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad Σ.Πατσιομίτου Εκπ/κός Δ/θμιας Εκπ/σης, Med Διδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Υπ. Διδάκτωρ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Οι απόψεις των εκπαιδευτικών των Τ.Ε. των Δημοτικών σχολείων για το εξειδικευμένο πρόγραμμα των μαθητών με νοητική ανεπάρκεια

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Οι απόψεις των εκπαιδευτικών των Τ.Ε. των Δημοτικών σχολείων για το εξειδικευμένο πρόγραμμα των μαθητών με νοητική ανεπάρκεια ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ Οι απόψεις των εκπαιδευτικών των Τ.Ε. των Δημοτικών σχολείων για το εξειδικευμένο πρόγραμμα των μαθητών με νοητική ανεπάρκεια Ερευνητική προσέγγιση ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στην παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ενότητα: Το Παραπρόγραμμα ή κρυφό Αναλυτικό Πρόγραμμα Διδάσκων: Κατσαρού Ελένη ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικής Εκπαίδευσης; Χρυσάνθη Σκουμπουρδή, Πανεπιστήμιο Αιγαίου,

Μαθηματικής Εκπαίδευσης; Χρυσάνθη Σκουμπουρδή, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Το Εκπαιδευτικό Υλικό 1 στη σχέση Διδακτικής Μαθηματικών και Μαθηματικής Εκπαίδευσης Χρυσάνθη Σκουμπουρδή, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, kara@aegean.gr Η προσπάθεια περιγραφής και αξιολόγησης της σχέσης της Διδακτικής

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα