Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή"

Transcript

1 Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Περίληψη Με προφανή σκοπό τη δημιουργία ευνοϊκότερων συνθηκών για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο, επιχειρήθηκε το 2007 μια αναβάθμιση της Γεωμετρίας στο Γυμνάσιο (θεσμοθετήθηκε η διακριτή διδασκαλία του μαθήματος και δόθηκε μεγαλύτερη έμφαση στην αποδεικτική διαδικασία). Εμπειρικές έρευνες που δημοσιεύτηκαν όμως τα τελευταία χρόνια δείχνουν ότι εξακολουθούν να υπάρχουν μεγάλα προβλήματα μάθησης, ένα από οποία αφορά την ικανότητα των αποφοίτων του Γυμνασίου να ανταποκριθούν στο επίπεδο που απαιτεί η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο. Στην εισήγηση παρουσιάζονται ερευνητικά αποτελέσματα και σχολιάζονται ορισμένες ατυχείς επιλογές στα διδακτικά βιβλία οι οποίες, αντί να διευκολύνουν την ομαλή μετάβαση από τη Γεωμετρία του Γυμνασίου σε αυτήν του Λυκείου, καθιστούν ακόμη πιο δυσχερή την είσοδο των μαθητών στο ανώτερο επίπεδο μαθηματικής σκέψης που χαρακτηρίζει την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Εισαγωγή Η σημερινή εισήγηση στο στρογγυλό τραπέζι της 5 ης Ημερίδας Μαθηματικών των εκπαιδευτηρίων Καλαμαρί αποτελεί ουσιαστικά επέκταση της αντίστοιχης περσινής, που είχε τίτλο «Ορισμένες βασικές προϋποθέσεις για τη διδακτική αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας» (Θωμαΐδης 2014). Ανέφερα τότε και ανέλυσα με συντομία μια σειρά προβλημάτων που συνδέονται με την πανθομολογούμενη υποβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο, η επίλυση των οποίων αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για τη διδακτική και μαθησιακή αναβάθμιση του μαθήματος. Τα προβλήματα αυτά είναι τα εξής: Η ασυνέχεια ανάμεσα στη διδασκαλία της Γεωμετρίας στο Γυμνάσιο και το Λύκειο. Ο μονομερής θεωρητικός προσανατολισμός της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο. Η έλλειψη διαύλων επικοινωνίας ανάμεσα σε Ευκλείδεια Γεωμετρία και Άλγεβρα που διδάσκονται ως χωριστοί κλάδοι στην Α και Β Λυκείου.

2 Η ασυμβατότητα της ύλης και των στόχων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με την ουσιαστική χρήση των ΤΠΕ στη διδασκαλία της. Η ασυμβατότητα διδακτέας ύλης και διαθέσιμου διδακτικού χρόνου. Η εξαιρετική ιδέα των οργανωτών της φετινής Ημερίδας, να θέσουν ως κεντρικό θέμα τις συνέχειες και τις ασυνέχειες στη διδασκαλία των Μαθηματικών κατά τη μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο και από το Γυμνάσιο στο Λύκειο, δίνει την ευκαιρία να αναπτύξω σε μεγαλύτερη έκταση το πρώτο από τα πέντε προβλήματα της προηγούμενης λίστας και να διατυπώσω ορισμένες προτάσεις που μπορούν να συμβάλουν στην αντιμετώπισή του. Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στο Γυμνάσιο Στο πλαίσιο της υποχρεωτικής εκπαίδευσης που ολοκληρώνεται στο Γυμνάσιο, η διδασκαλία της Γεωμετρίας είχε πάντοτε ως κύριο στόχο τη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων με οδηγό την εποπτεία, τη χρήση των γεωμετρικών οργάνων, τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς. Στα σχολικά βιβλία Μαθηματικών η μελέτη αυτή δεν είχε διακριτό χαρακτήρα, αλλά τα κεφάλαια της Γεωμετρίας διαχέονταν μέσα στην υπόλοιπη ύλη και εναλλάσσονταν με αυτά της Αριθμητικής και της Άλγεβρας Η διαπραγμάτευση θεωρητικών ζητημάτων, όπως η ακρίβεια στη διατύπωση των ορισμών και οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των σχημάτων ήταν αποσπασματική και περιθωριακή, χωρίς να στοχεύει στη δημιουργία κάποιου ουσιαστικού υπόβαθρου για τη διδασκαλία της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο. Θα μπορούσα να αναφέρω πολλά παραδείγματα που δείχνουν τις αρνητικές συνέπειες αυτής της κατάστασης, αλλά αρκεί κατά τη γνώμη μου το ακόλουθο χαρακτηριστικό παράδειγμα. Στο προηγούμενο σχολικό βιβλίο Μαθηματικών της Α Γυμνασίου υπήρχε ο εξής ορισμός του τραπεζίου και του παραλληλογράμμου (Αλιμπινίσης κ.α. 2006, σ.281): Ένα τετράπλευρο του οποίου δύο πλευρές είναι παράλληλες, λέγεται τραπέζιο. Το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο και είναι ειδική περίπτωση τραπεζίου. Στο χρονικό διάστημα της 20ετιας που το συγκεκριμένο βιβλίο Μαθηματικών ήταν εν χρήσει ( ), χρησιμοποιήθηκαν στο Λύκειο τέσσερα διαφορετικά βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που έδιναν τον ακόλουθο ορισμό του τραπεζίου: Το τετράπλευρο που έχει δύο μόνο απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται τραπέζιο (Παπαμιχαήλ & Σκιαδάς 1989, σ.104)

3 Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο το οποίο έχει μόνο δύο απέναντι πλευρές παράλληλες (Αλιμπινίσης κ.α. 1998, σ.84) Κάθε τετράπλευρο που έχει δύο μόνο απέναντι πλευρές παράλληλες το ονομάζουμε τραπέζιο (Θωμαΐδης κ.α. 2000, σ.130) Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες (Αργυρόπουλος κ.α. 2006, σ.112) Είναι φανερό ότι η χρήση της λέξης «μόνο» δημιουργεί μια διαφορετική ταξινόμηση των τετραπλεύρων, στην οποία τα παραλληλόγραμμα δεν αποτελούν υποσύνολο των τραπεζίων (σε αντίθεση με τα αναφερόμενα στο βιβλίο της Α Γυμνασίου). Αυτή η έλλειψη στοιχειώδους συντονισμού μεταξύ γυμνασιακής και λυκειακής Γεωμετρίας έχει δύο άμεσες, αρνητικές συνέπειες. Η μία, διδακτικής φύσεως, συνδέεται με τη δημιουργία ισχυρών πρωτογενών αντιλήψεων για τα γεωμετρικά σχήματα από τους μαθητές, που συνιστούν ισχυρά εμπόδια σε κάθε μεταγενέστερη απόπειρα επέκτασης ή γενίκευσης. 1 Η άλλη συνέπεια, που είναι και περισσότερο εμφανής, συνδέεται άμεσα με τη διδακτική πράξη. Επειδή ζητήματα αυτού του είδους έχουν μεγάλη σημασία για τη θεωρητική ανάπτυξη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, η διδασκαλία της τελευταίας στην Α Λυκείου παρακάμπτει τις γεωμετρικές γνώσεις των μαθητών από το Γυμνάσιο και αρχίζει από μηδενική βάση, με αποτέλεσμα να βρίσκεται μονίμως αντιμέτωπη με το πρόβλημα της ανεπάρκειας του διδακτικού χρόνου, την αδυναμία ολοκλήρωσης της ύλης και την ουσιαστική κατάργηση σημαντικών κεφαλαίων (όπως οι γεωμετρικοί τόποι και κατασκευές ή και ολόκληρων κλάδων όπως η Στερεομετρία). Επί 25 περίπου χρόνια οι ιθύνοντες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου επιχειρούσουν να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα με αναπροσαρμογές των αναλυτικών προγραμμάτων και αλλεπάλληλες αλλαγές των διδακτικών βιβλίων Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο, χωρίς όμως ουσιαστικό αποτέλεσμα. 2 Έτσι την περίοδο , με την ευκαιρία της δημιουργίας νέων αναλυτικών προγραμμάτων και διδακτικών βιβλίων για την υποχρεωτική εκπαίδευση, επιχειρήθηκε μια διαφορετική οργάνωση της διδασκαλίας της Γεωμετρίας στο Γυμνάσιο, περισσότερο συμβατή με εκείνην της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Λύκειο. Στο πλαίσιο αυτό καθιερώθηκε η διακριτή 1 Μια άλλη αιτία μαθησιακών προβλημάτων ήταν π.χ. η παράλειψη του συγκεκριμένου βιβλίου Μαθηματικών της Α Γυμνασίου να κάνει αναφορά στη θεμελιώδη διάκριση μεταξύ κυρτής και μη κυρτής γωνίας. Η άγνοια των μαθητών για αυτή τη διάκριση δημιουργεί μονομερείς αντιλήψεις που δυσχεραίνουν την ορθή κατανόηση εννοιών όπως «αμβλεία γωνία», «κατακορυφήν γωνίες» κ.ο.κ. 2 Είναι χαρακτηριστικό ότι την περίοδο αυτή χρησιμοποιήθηκαν στο Λύκειο 9 διαφορετικά βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Για μια ανάλυση των αιτίων που οδήγησαν στην υποβάθμιση του μαθήματος καθώς και του διδακτικού αδιεξόδου που έχει διαμορφωθεί, βλ. (Θωμαΐδης ).

4 διδασκαλία του μαθήματος σε όλες τις γυμνασιακές τάξεις, ομογενοποιήθηκαν οι γεωμετρικοί ορισμοί, ενώ στην Γ Γυμνασίου εντάχθηκε η συστηματική διδασκαλία τω κριτηρίων ισότητας και ομοιότητας των τριγώνων ώστε να μυηθούν οι μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία. Όλες αυτές οι παρεμβάσεις έγιναν προφανώς με στόχο να προσεγγίσουν οι μαθητές το γνωστικό επίπεδο που είναι αναγκαίο για την κατανόηση των βασικών αρχών της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να επιτευχθούν έτσι ταχύτεροι ρυθμοί διδασκαλίας στο Λύκειο. Οι σχετικές ρυθμίσεις αποτυπώθηκαν με σαφείς αναφορές στα προγράμματα σπουδών και τις οδηγίες διδασκαλίας. Στο Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης αναφέρονται μεταξύ των ειδικών σκοπών της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο και οι εξής (Τόμος Α 2002, σ.335): Η σταδιακή κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών της δομής των Μαθηματικών. Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής συλλογισμών και την αποδεικτική διαδικασία. Στην ενότητα Ισότητα τριγώνων της Γ Γυμνασίου, οι ειδικότεροι στόχοι της διδασκαλίας και οι διδακτικές δραστηριότητες περιγράφονται στο πρόγραμμα σπουδών ως εξής (ο.π., σ.364): Να γνωρίζουν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να χρησιμοποιούν τα κατάλληλα κριτήρια ισότητας στη σύγκριση τριγώνων. Επεξήγηση της σημασίας των κριτηρίων ισότητας τριγώνων, με δραστηριότητες που αναφέρονται σε παραλληλόγραμμα και κύκλο. Τέλος, οι Οδηγίες διδασκαλίας Μαθηματικών του Γυμνασίου αναφέρουν για τη συγκεκριμένη ενότητα τα εξής (ΥΠΑΙΘ, /Γ2/ , σ.42): Η ενότητα προσφέρεται για επαφή των μαθητών με πτυχές της μαθηματικής αποδεικτικής διαδικασίας (ευθεία απόδειξη, αναλυτική μέθοδος, αντιπαραδείγματα, απαγωγή σε άτοπο). Προτείνεται στο εισαγωγικό κομμάτι της ενότητας, πριν από την έννοια της ισότητας των τριγώνων, να γίνει επανάληψη των απαραίτητων γνώσεων που θα χρειαστούν (π.χ. οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες, οι παρά τη βάση γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες κτλ.) Τα προηγούμενα αποκαλύπτουν, τουλάχιστον, μία αντίληψη του μεγέθους του προβλήματος και πρόθεση για την αντιμετώπισή του μέσω θεσμικών παρεμβάσεων στο επίπεδο σχεδιασμού και καθοδήγησης της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Ερευνητικά δεδομένα για τη μάθηση της Γεωμετρίας Σήμερα, ύστερα από επτά χρόνια εφαρμογής των νέων προγραμμάτων σπουδών του Γυμνασίου και χρήσης των αντίστοιχων διδακτικών βιβλίων, δύσκολα θα μπορούσε να υποστηρίξει κανείς ότι οι ρυθμίσεις αυτές είχαν κάποια ουσιαστική συμβολή στην

5 αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Όλες οι υπάρχουσες ενδείξεις από τη διδακτική πράξη, αλλά και τα αποτελέσματα δημοσιευμένων εμπειρικών ερευνών, είναι αρνητικές ως προς τις δυνατότητες της μεγάλης πλειοψηφίας των αποφοίτων του Γυμνασίου να ανταποκριθούν στις απαιτήσεις της διδασκαλίας του μαθήματος στην Α Λυκείου. Ιδιαίτερα αρνητικά είναι τα συμπεράσματα των ερευνών στις οποίες οι ερευνητές χρησιμοποιούν τη θεωρία των επιπέδων van Hiele, που είναι το πιο διαδεδομένο διεθνώς θεωρητικό μοντέλο για τη διδασκαλία και μάθηση της Γεωμετρίας. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης εξελίσσεται ιεραρχικά σε πέντε επίπεδα (Crowley 1987 Θωμαΐδης & Πούλος 2006, σ.15): Επίπεδο 1: Τα γεωμετρικά σχήματα αναγνωρίζονται και σχεδιάζονται ως ολότητες επειδή μοιάζουν με ορισμένα εμπειρικά οπτικά πρότυπα (π.χ. το σχήμα μιας πόρτας λειτουργεί ως πρότυπο για την αναγνώριση και διάκριση των ορθογωνίων από ένα σύνολο γεωμετρικών σχημάτων). Δεν προσδιορίζονται ιδιότητες των σχημάτων ούτε αναγνωρίζεται η αναγκαιότητα ορισμών. Επίπεδο 2: Προσδιορίζονται ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και γίνεται κατάταξή τους σε αντίστοιχες κατηγορίες (π.χ. ο ρόμβος ανήκει στην κατηγορία των σχημάτων που έχουν τέσσερις ίσες πλευρές). Δεν προσδιορίζονται όμως σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικές κατηγορίες σχημάτων (π.χ. ότι το τετράγωνο είναι ένας ρόμβος που έχει μια ορθή γωνία), ούτε κατανοείται η σημασία των γενικών ορισμών. Επίπεδο 3: Είναι δυνατή η διατύπωση γενικών ορισμών με χρήση ιδιοτήτων που χαρακτηρίζουν ένα γεωμετρικό σχήμα (π.χ. ρόμβος ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες). Με απλά λογικά επιχειρήματα γίνεται συσχέτιση ιδιοτήτων μεμονωμένων σχημάτων (π.χ. αν ένα τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες, τότε έχει τις απέναντι γωνίες ίσες) ή διαφορετικών σχημάτων (κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος επειδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες), καθώς και ιεραρχική κατάταξη των σχημάτων σε υποκατηγορίες. Δεν κατανοείται η οργάνωση της γεωμετρικής θεωρίας στη μορφή ενός παραγωγικού συστήματος. Επίπεδο 4: Είναι δυνατή η κατανόηση και δημιουργία αποδεικτικών συλλογισμών που οδηγούν στην επαλήθευση γεωμετρικών προτάσεων με αφετηρία αρχικούς όρους, αξιώματα, ορισμούς και προτάσεις που έχουν ήδη αποδειχθεί. Κατανοείται η δυνατότητα διαφορετικών αποδείξεων της ίδιας πρότασης, η σημασία της

6 αντίστροφης πρότασης, της ικανής και αναγκαίας συνθήκης και γενικά η θεωρητική ανάπτυξη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Επίπεδο 5: Αναγνωρίζεται η δυνατότητα δημιουργίας διαφορετικών παραγωγικών συστημάτων με αφετηρία παραλλαγές των αξιωμάτων, οι οποίες οδηγούν σε διαφορετικές ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων. Ειδικότερα αναγνωρίζεται ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι παρά ένας από τους πολλούς δυνατούς τρόπους περιγραφής ενός αφηρημένου μαθηματικού σύμπαντος. Αν εξαιρέσουμε το τελευταίο επίπεδο, που είναι γενικά απρόσιτο στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, όλα τα προηγούμενα αποτελούν όπως έχουν δείξει αλλεπάλληλες έρευνες σε διάφορες χώρες ένα αξιόπιστο θεωρητικό μοντέλο για την ερμηνεία των προβλημάτων που αντιμετωπίζει η διδασκαλία και μάθηση της Γεωμετρίας. Από μια απλή ανάγνωση και σύγκριση των επιπέδων, γίνεται φανερό οι στόχοι της διδασκαλίας της θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α Λυκείου ανήκουν στο επίπεδο 4 και άρα για την επίτευξή τους θα πρέπει οι μαθητές να κατέχουν σε μεγάλο βαθμό τις δεξιότητες που περιλαμβάνονται στο επίπεδο 3. Αυτό το συμπέρασμα εξηγεί, με όρους της Διδακτικής των Μαθηματικών, ποιος πρέπει να είναι ο ουσιαστικός στόχος της διδασκαλίας της Γεωμετρίας στο Γυμνάσιο και ιδιαίτερα στην Γ τάξη για τη μεγάλη πλειοψηφία των μαθητών που συνεχίζουν στο Λύκειο. Το 3 ο επίπεδο van Hiele περιλαμβάνει όλα εκείνα τα προαπαιτούμενα για την ανάπτυξη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη μορφή ενός θεωρητικού συστήματος, όπως είναι για παράδειγμα η ικανότητα ακριβούς διατύπωσης του ορισμού και των ιδιοτήτων ενός γεωμετρικού σχήματος και η συσχέτιση των ιδιοτήτων διαφορετικών σχημάτων που επιτρέπουν τις ιεραρχικές ταξινομήσεις τους. Τα αποτελέσματα όμως μιας σειράς εμπειρικών ερευνών και μελετών που έχουν δημοσιευτεί τα τελευταία χρόνια, δείχνουν ότι πολύ μικρό ποσοστό μαθητών της Α, ακόμη και τις Β Λυκείου, διαθέτει αυτές τις ικανότητες. (Ζάχος 2000α, 2000β Τζίφας 2005 Δημάκος & Νικολουδάκης 2008 Μιχελαράκης 2012 Ιγγλέζου 2014). Μια κριτική των διδακτικών επιλογών στα βιβλία του Γυμνασίου Για να διακρίνουμε ορισμένες τουλάχιστον από τις πραγματικές αιτίες της αποτυχίας των παρεμβάσεων που έγιναν το 2007 στο Γυμνάσιο, θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα τον τρόπο με τον οποίο επιχειρήθηκε η διδασκαλία βασικών στοιχείων της αποδεικτικής διαδικασίας στη Γεωμετρία της Γ Γυμνασίου.

7 Όπως είδαμε παραπάνω, τόσο στο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών όσο και στις Οδηγίες Διδασκαλίας υπάρχουν ορισμένες λιτές αναφορές για τους στόχους και τους τρόπους με τους οποίους θα υλοποιηθεί η μύηση των μαθητών της Γ Γυμνασίου στην αποδεικτική διαδικασία. Είναι όμως γνωστό ότι πρωταρχικό ρόλο για την οργάνωση και διεξαγωγή της διδασκαλίας των Μαθηματικών από τους διδάσκοντες παίζει το εκπαιδευτικό υλικό που περιέχεται στα αντίστοιχα διδακτικά βιβλία, όπως είναι π.χ. οι δραστηριότητες, η παρουσίαση της θεωρίας, οι εφαρμογές και οι ασκήσεις. Εξετάζοντας αυτά τα στοιχεία στο βιβλίο Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου (Αργυράκης, κ.α., Μέρος Β, Κεφάλαιο 1 ο ), παρατηρούμε αρχικά ότι απουσιάζει κάποιο εισαγωγικό κείμενο που να εξηγεί στους μαθητές τη σημασία και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της αποδεικτικής διαδικασίας στα Μαθηματικά. Αν ο διδάσκων δεν αναλάβει κάποια σχετική πρωτοβουλία, οι μαθητές θα αντιληφθούν (;) περί τίνος πρόκειται όταν φθάσουν στην παράγραφο Παραδείγματα Εφαρμογές της ενότητας 1.1, όπου παρουσιάζονται 4 γεωμετρικές προτάσεις με τα αντίστοιχα σχήματα και τις αποδείξεις. Αν ο διδάσκων καταφύγει στο αντίστοιχο βιβλίο του εκπαιδευτικού, θα βρει διδακτικές οδηγίες, προτεινόμενο σχεδιασμό της διδασκαλίας καθώς και πρόσθετο υλικό ματαίως όμως θα αναζητήσει κάποιο κείμενο που συνοψίζει τα αποτελέσματα των ερευνών της Διδακτικής για τη διδασκαλία και μάθηση της απόδειξης και υποδεικνύει τρόπους διδακτικής αξιοποίησής τους. Ένα τέτοιο κείμενο θα μπορούσε π.χ. να τονίζει με έμφαση ορισμένα κρίσιμα στοιχεία της αποδεικτικής διαδικασίας στη Γεωμετρία, τα οποία όχι μόνο έχουν επαληθευτεί και διασταυρωθεί από αλλεπάλληλες έρευνες, αλλά αποτελούν βασικά συμπεράσματα πολύχρονης διδακτικής εμπειρίας. Για να κατακτήσουν το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης που αντιστοιχεί στην απόδειξη μιας πρότασης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, οι μαθητές θα πρέπει πρώτα να έχουν ασχοληθεί διεξοδικά με ζητήματα που αφορούν την: Κατανόηση κειμένου (εκφώνηση της πρότασης) Διάκριση των δεδομένων από τα ζητούμενα σε μια υποθετική πρόταση Κατασκευή σχήματος με χρήση παραδοσιακών ή ψηφιακών μέσων Συσχέτιση των δεδομένων με τα ζητούμενα Διατύπωση αποδεικτικών συλλογισμών Αυτές οι ικανότητες θα αποκτηθούν με κατάλληλες συνεργατικές δραστηριότητες που κινητοποιούν το ενδιαφέρον και τη συμμετοχή των μαθητών αλλά και με ατομική, συστηματική εξάσκηση μέσω προσεκτικά επιλεγμένων ασκήσεων που εξυπηρετούν τους αντίστοιχους στόχους. Όλη η προηγούμενη προβληματική

8 απουσιάζει από το διδακτικό βιβλίο Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου, όπως μπορεί να διαπιστωθεί ακόμη και από μια απλή εξέταση των προτεινόμενων ασκήσεων της ενότητας Ισότητα Τριγώνων : Οι ασκήσεις αυτές δεν έχουν καμία ουσιαστική διαφορά από τις αντίστοιχες του βιβλίου Ευκλείδειας Γεωμετρίας της Α Λυκείου. Επιπλέον όμως συνοδεύονται όλες από έτοιμα σχήματα και το μοναδικό ζητούμενο από τους μαθητές της Γ Γυμνασίου, που ασκούνται για πρώτη φορά στην αποδεικτική διαδικασία, είναι να διατυπώσουν μια απόδειξη ανακαλύπτοντας τους δεσμούς ανάμεσα στα δεδομένα και ζητούμενα κάθε άσκησης. Η ίδια κατάσταση συνεχίζεται στις επόμενες ασκήσεις

9 Στην ενότητα «Όμοια Τρίγωνα» η κατάσταση χειροτερεύει, επειδή σε αρκετές ασκήσεις δεν υπάρχει καμία εκφώνηση και οι μαθητές πρέπει να εικάσουν τα δεδομένα στοιχεία της άσκησης από ένα σχήμα:

10 Στην περίπτωση (α) της προηγούμενης άσκησης έχει αναφερθεί από διδάσκοντα η πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση ενός μαθητή ο οποίος αρνήθηκε να τη λύσει με το επιχείρημα ότι από πουθενά δεν προκύπτει ότι οι πλευρές ΑΔ και ΑΕ του τριγώνου ΑΔΕ είναι προεκτάσεις αντίστοιχα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Εδώ μπορούμε να παρατηρήσουμε μια εντυπωσιακή επίδειξη κριτικής σκέψης εκ μέρους του μαθητή, η οποία προφανώς δεν οφείλεται στη διδασκαλία των Μαθηματικών! Ασκήσεις Γεωμετρίας στις οποίες τα σχήματα δίνονται έτοιμα είτε δεν συνοδεύονται από εκφώνηση, αφαιρούν από τη δραστηριότητα των μαθητών τα πλέον δημιουργικά στοιχεία που στηρίζουν την αποδεικτική διαδικασία. Δηλαδή την κατανόηση του κειμένου που θα οδηγήσει στον εντοπισμό των εμπλεκόμενων εννοιών, την ενεργοποίηση των αντίστοιχων ορισμών για την κατασκευή του σχήματος και τη διάκριση των υποθέσεων (δεδομένων) από τα συμπεράσματα (ζητούμενα). Η αποτυχία της μεγάλης πλειοψηφίας των μαθητών να κατανοήσουν την αποδεικτική διαδικασία συνδέεται στενά με το γεγονός ότι η ικανότητα αναζήτησης αυτών των στοιχείων θεωρείται περίπου ως αυτονόητη (ή έμφυτη!) και η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αρχίζει με τη διερεύνηση των λογικών σχέσεων ανάμεσα σε υποθέσεις και συμπεράσματα, δηλαδή την επίκληση προηγούμενων προτάσεων, βοηθητικών γραμμών κ.ο.κ. Συμπεράσματα και προτάσεις Σε θεωρητικό επίπεδο, η προηγούμενη ανάλυση της εισαγωγής των μαθητών της Γ Γυμνασίου στην έννοια της απόδειξης σύμφωνα με το υλικό του διδακτικού βιβλίου, φανερώνει απόλυτη άγνοια των προϋποθέσεων που θέτει το μοντέλο van Hiele. Σε πιο πρακτικό επίπεδο δείχνει ότι οι διάφορες απόπειρες αναβάθμισης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας μέσω αναδιατάξεων της ύλης και μεταφοράς κεφαλαίων από τάξη σε τάξη είναι καταδικασμένη σε αποτυχία. Τα στοιχεία που έχουμε επισημάνει παραπάνω υποδεικνύουν την πορεία που πρέπει να ακολουθήσει μια νέα προσπάθεια ώστε να έχει κάποιες πιθανότητες επιτυχίας. Απαιτείται η δημιουργία κατάλληλου εκπαιδευτικού υλικού και αντίστοιχων δραστηριοτήτων που θα καλλιεργούν την ικανότητα των μαθητών να αναζητούν και να εντοπίζουν τα προαπαιτούμενα στοιχεία της αποδεικτικής διαδικασίας στη Γεωμετρία, όπως αυτά περιγράφηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Έχοντας ως βάση τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α και Β Γυμνασίου, που δίνει έμφαση στους ορισμούς, τη σχεδίαση και τις ταξινομήσεις των σχημάτων μέσω των ιδιοτήτων τους,

11 θα πρέπει η διδασκαλία στην Γ Γυμνασίου να προχωρήσει σε μια ανασυγκρότηση και εμβάθυνση όλου αυτού του υλικού. Με δραστηριότητες στην τάξη και ασκήσεις, οι μαθητές θα ασχοληθούν συστηματικά με την ανάλυση των εννοιών «μαθηματικός ορισμός» και «μαθηματική απόδειξη» χρησιμοποιώντας παραδείγματα και αντιπαραδείγματα, τη σχεδίαση απλών και πολύπλοκων γεωμετρικών σχημάτων χρησιμοποιώντας παραδοσιακά και ψηφιακά εργαλεία, ακόμη και την ανάγνωση και ανάλυση της δομής σύνθετων γεωμετρικών προτάσεων. Όλα αυτά βέβαια προϋποθέτουν την εγκατάλειψη του δόγματος «ολοκλήρωση της διδακτέας ύλης» και την αντικατάστασή του με ένα φιλόδοξο και απαιτητικό εγχείρημα «εμβάθυνσης σε θεμελιώδεις έννοιες». Στο εγχείρημα αυτό χρειάζεται μια νέα αντίληψη για το ρόλο και το περιεχόμενο των διδακτικών βιβλίων και φυσικά για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών σε κρίσιμα ζητήματα της διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών. Βιβλιογραφικές αναφορές Αλιμπινίσης, Α., Δημάκος, Γ., Εξαρχάκος, Θ., Κοντογιάννης, Δ. & Τασσόπουλος, Γ. (1998): Θεωρητική Γεωμετρία Α Ενιαίου Λυκείου. Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα. Αλιμπινίσης, Α. Αντύπας, Ζ., Ευσταθόπουλος, Ε. Κλαουδάτος, Ν. & Παπασταυρίδης, Σ. (2006): Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα. Αργυράκης, Δ. Βουργάνας, Π., Μεντής, Κ., Τσικοπούλου, Σ. & Χρυσοβέργης, Μ. (2007): Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα. Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης, Γ., Μαρκάτης, Σ. & Σίδερης, Π. (2006): Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Γενικού Λυκείου. Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα. Crowley, Μ. (1987): The van Hiele Model for the Development of Geometric Thought. In M. Lindquist & A. Shulte [eds.] Learning and Teaching Geometry, K 12, National Council of Teachers of Mathematics, Reston, Virginia. Δημάκος, Γ. & Νικολουδάκης, Ε. (2008): Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση με χρήση της θεωρίας των επιπέδων γεωμετρικής σκέψης του van Hiele και τη βοήθεια των Τ.Π.Ε. στα πλαίσια της συνεργατικής μάθησης. Μια έρευνα σε μαθητές της Α Λυκείου. Στο Μ. Κούρκουλος & Κ. Τζανάκης [επιμ.] Πρακτικά 5 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πανεπιστημίου Κρήτης, Ρέθυμνο. Ζάχος, Ι (2000α): Αξιολόγηση του επιπέδου γεωμετρικής σκέψης van Hiele των μαθητών της Β τάξης του Λυκείου. Στο Φ. Καλαβάσης & Μ. Μεϊμάρης [επιμ.]

12 Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών IV: Αξιολόγηση και Διδασκαλία των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου Gutenberg, Αθήνα. Ζάχος, Ι. (2000β): Στρατηγική σκέψη και επίπεδο γεωμετρικής σκέψης van Hiele. Στο Φ. Καλαβάσης & Μ. Μεϊμάρης [επιμ.] Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών V: Διεπιστημονική προσέγγιση των Μαθηματικών και της διδασκαλία τους, Πανεπιστήμιο Αιγαίου Gutenberg, Αθήνα. Θωμαΐδης, Γ. (1996): Η διδασκαλία της θεωρητικής Γεωμετρίας στην Ελλάδα και το νέο αναλυτικό πρόγραμμα από τη σκοπιά της Διδακτικής των Μαθηματικών. Ερευνητική Διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών τεύχος 1, Θωμαΐδης, Γ. (2014): Ορισμένες βασικές προϋποθέσεις για τη διδακτική αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Εισήγηση Στρογγυλού Τραπεζιού με θέμα: «Το πρόβλημα διδασκαλίας και μάθησης της Γεωμετρίας: Υπάρχει λύση;» 4 η Ημερίδα Μαθηματικών Εκπαιδευτηρίων Καλαμαρί. 15 Μαρτίου 2015, Θεσσαλονίκη. Διαθέσιμο στη διαδικτυακή διεύθυνση: wn/thomaidis.pdf Θωμαΐδης Γ. & Πούλος Α. (2006): Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Θωμαΐδης, Γ., Ξένος, Θ., Παντελίδης, Γ., Πούλος, Α. & Στάμου, Γ. (2000): Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου. Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα. Ιγγλέζου, Α. (2014): Επιστημολογική και Διδακτική Ανάλυση του μαθήματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Ελλάδα. Διπλωματική Εργασία. στο Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών, Αθήνα. Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής. Οδηγίες διδασκαλίας Μαθηματικών του Γυμνασίου. Εγκύκλιος ΥΠΑΙΘ, /Γ2/ , Αθήνα. Μιχελαράκης, Ι. (2012): Κατανόηση γεωμετρικού σχήματος από μαθητές Β Λυκείου. Διπλωματική Εργασία. στο Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών, Αθήνα. Παπαμιχαήλ Δ. & Σκιαδάς Α. (1989): Θεωρητική Γεωμετρία Α Λυκείου. Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα.

13 Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. (2002): Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης. Τόμος Α. Αθήνα. Τζίφας, Ν. (2005): Η αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης: Επίπεδα Van Hiele και διδακτικές προσεγγίσεις με χρήση λογισμικού. Διπλωματική Εργασία. στο Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών, Αθήνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Ομιλία στο Παράρτημα Κέρκυρας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012

ΟΔΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012 ΟΔΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012 Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 Ν.Δωδεκανήσου 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Νομικό Πλαίσιο...3 2. Δομή των θεμάτων...3 3. Ενδεικτικά Παραδείγματα...5

Διαβάστε περισσότερα

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4 Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ Γνωστικό αντικείμενο Επίπεδο ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείου Ταυτότητα Στόχος Περιγραφή Προτεινόμενο ή υλοποιημένο Λογισμικό Λέξεις κλειδιά Δημιουργοί α) Γνώσεις για τον κόσμο: Οι δυνάμεις εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ - ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΑΞΗ - Αρ.Πρωτ /Γ2/ /ΥΠΑΙΘ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ - ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΑΞΗ - Αρ.Πρωτ /Γ2/ /ΥΠΑΙΘ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ - ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΑΞΗ - Αρ.Πρωτ.141290/Γ2/08-09-2014/ΥΠΑΙΘ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας

ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας Ομιλία με θέμα: ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Εκδήλωση αριστούχων μαθητών: Οι μαθητές συναντούν τη Φυσική και η Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες βασικές προϋποθέσεις για τη διδακτική αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Ορισμένες βασικές προϋποθέσεις για τη διδακτική αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ορισμένες βασικές προϋποθέσεις για τη διδακτική αναβάθμιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Εισήγηση στη συζήτηση Στρογγυλού Τραπεζιού με θέμα: Το

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών MA in Education (Education Sciences) ΑΣΠΑΙΤΕ-Roehampton ΠΜΣ MA in Education (Education Sciences) Το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στην Εκπαίδευση (Επιστήμες της Αγωγής),

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης

Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης Δρ. Χαράλαμπος Μουζάκης Διδάσκων Π.Δ.407/80 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Στόχοι ενότητας Το λογισμικό

Διαβάστε περισσότερα

2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου

2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου 2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Τοποθέτησε μια χελώνα στην επιφάνεια εργασίας. 2. Με ποια εντολή γράφει η χελώνα μας;.. 3. Γράψε την εντολή για να πάει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 2. Εκπαιδευτικό Λογισμικό για τα Μαθηματικά 2.1 Κύρια χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για την Διδακτική των Μαθηματικών 2.2 Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα «Η διδασκαλία και η αξιολόγηση των Μαθηματικών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις νέοι δρόμοι και αλλαγή φιλοσοφίας»

Θέμα «Η διδασκαλία και η αξιολόγηση των Μαθηματικών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις νέοι δρόμοι και αλλαγή φιλοσοφίας» Ημερίδα για Μαθηματικά Σάββατο 28/01/2017 Εκπαιδευτήρια "Ροδίων Παιδεία" Θέμα «Η διδασκαλία και η αξιολόγηση των Μαθηματικών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις νέοι δρόμοι και αλλαγή φιλοσοφίας» «Μια αποτύπωση

Διαβάστε περισσότερα

/νσεων /θµιας Εκπ/σης) ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.:

/νσεων /θµιας Εκπ/σης) ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ1.1 Περιγράφουν και κατασκευάζουν διάφορα είδη γραμμών (ανοιχτές, κλειστές, ευθείες, καμπύλες) και δισδιάστατα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός εγγραμματισμός στις Φυσικές Επιστήμες

Σχολικός εγγραμματισμός στις Φυσικές Επιστήμες Σχολικός εγγραμματισμός στις Φυσικές Επιστήμες Εισηγητές: Απόστολος Κ. Σωτηρίου Γεώργιος Β. Παπαβασιλείου 20ο Δημοτικό Σχολείο Τρικάλων 17&18 Μαρτίου 2009 Αλφαβητισμός Γραμματισμός Literacy Εγγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΕ LOGO

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΕ LOGO ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΕ LOGO ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΑΝΟΥΣΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΚΟΡΙΝΘΟΣ 06/04/18 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Η πρακτική

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ- ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ- ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ- ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ- ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΜΠΕΙΡΙΑΣ ΕΦΑΜΟΓΗΣ ΤΟΥ MASCIL ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ- ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ- ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ MasciL και Σχολική πραγματικότητα Καλλιόπη Σιώπη, Μαθηματικός Πρότυπο ΓΕΛ Ευαγγελικής

Διαβάστε περισσότερα

Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση

Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση Πρόγραμμα Eξ Aποστάσεως Eκπαίδευσης (E learning) Eκπαίδευση Εκπαιδευτών Ενηλίκων & Δία Βίου Μάθηση Οδηγός Σπουδών Το πρόγραμμα εξ αποστάσεως εκπαίδευσης ( e-learning ) του Πανεπιστημίου Πειραιά του Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Μαθησιακών Αποτελεσμάτων

Πίνακας Μαθησιακών Αποτελεσμάτων Πίνακας Μαθησιακών Αποτελεσμάτων Τα Μαθησιακά Αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα έχουν σχηματιστεί με βάση τα συμπεράσματα στη Διεθνική Αναφορά Έρευνας Ο1 που περιέχει τα ευρήματα της έρευνας που διεξήχθη

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Η Πληροφορική στην Ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση - Γυμνάσιο Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κάθε αναφορά απόψεις που προέρχεται από εξωτερικές πηγές -βιβλία, περιοδικά, ηλεκτρονικά αρχεία, πρέπει να επισημαίνεται, τόσο μέσα στο κείμενο όσο και στη βιβλιογραφία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Η ΑΝΑΦΟΡΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΡΘΡΟ ΕΙΝΑΙ: Νικολουδάκης Εμμ., Δημάκος, Γ. (2009). «Βελτίωση της αποδεικτικής ικανότητας των μαθητών σε προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Μία πρόταση για τη διδασκαλία της απόδειξης

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ)

Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών enikolou@otenet.gr Περίληψη Η απόδειξη θεωρείται κεντρική στην επιστήμη των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ Οι Δ/τές ως προωθητές αλλαγών με κέντρο τη μάθηση Χαράσσουν τις κατευθύνσεις Σχεδιάσουν την εφαρμογή στη σχολική πραγματικότητα Αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Στο τομέα της εκπαίδευσης η αξιολόγηση μπορεί να αναφέρεται στην επίδοση των μαθητών, στην αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας ή της μαθησιακής διαδικασίας, στο αναλυτικό πρόγραμμα, στα διδακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Εισαγωγή Το νέο πρόγραμμα σπουδών που ισχύει πλέον πλήρως, ξεκίνησε να εφαρμόζεται σταδιακά ανά έτος από το ακαδημαϊκό έτος 2011-12 και είναι αποτέλεσμα αναμόρφωσης και

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Ειρήνη Περυσινάκη peririni@hotmail.com Δρ. Πανεπιστημίου UCL Επιμορφώτρια Β Επιπέδου Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Λυμπεροπούλου. Σχολική Συμβουλος Μαθηματικών Γ Αθήνας

Ελένη Λυμπεροπούλου. Σχολική Συμβουλος Μαθηματικών Γ Αθήνας Ελένη Λυμπεροπούλου Σχολική Συμβουλος Μαθηματικών Γ Αθήνας Curriculum ή Αναλυτικό πρόγραμμα; Philippe Perrenoud In Houssaye, J. (dir.) La pédagogie : une encyclopédie pour aujourd hui, Paris, ESF, 1993,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Το ανοργάνωτο Parking

Το ανοργάνωτο Parking Δημοτικό Υπαίθριο Parking Περίληψη: Σε κάθε πόλη είναι σημαντικό η δημιουργία όσο το δυνατόν περισσότερων θέσεων parking, ειδικά στο κέντρο της, ώστε να διευκολύνονται οι πολίτες και η εμπορική αγορά.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ) Η διδασκαλία του Θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου με τη βοήθεια του συνδυασμού της θεωρίας van Hiele και της Γνωστικής Μαθητείας στα πλαίσια των ΤΠΕ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 9: Ενιαίο Πλαίσιο Σπουδών και νέα Αναλυτικά Προγράμματα Πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Η παρατήρηση της τάξης των μαθηματικών και ο αναστοχασμός ως εργαλεία επαγγελματικής μάθησης και ανάπτυξης

Η παρατήρηση της τάξης των μαθηματικών και ο αναστοχασμός ως εργαλεία επαγγελματικής μάθησης και ανάπτυξης ΔΠΘ/ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργαστήρια Διδακτικής των Μαθηματικών (Ε εξάμηνο, 2017-18) Η παρατήρηση της τάξης των μαθηματικών και ο αναστοχασμός ως εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Εισαγωγή : Λόγοι που επιβάλλουν τη διδασκαλία της ομοιοθεσίας

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Εισαγωγή : Λόγοι που επιβάλλουν τη διδασκαλία της ομοιοθεσίας ΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κοντογιάννης Δημήτριος, Σύμβουλος του Π.Ι. & Αργυράκης Δ., Βουργάνας Π., Μεντής Κ., Τσικοπούλου Σ. & Χρυσοβέργης Μ. (Συγγραφική Ομάδα) ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΝΟΤΗΤΑ: Ομοιοθεσία ισαγωγή : Λόγοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΞΗ: «ΜΟ.ΔΙ.Π» (Μονάδα Διασφάλισης Ποιότητας) του Πανεπιστημίου Μακεδονίας» Κωδικός MIS ΥΠΟΕΡΓΟ:

ΠΡΑΞΗ: «ΜΟ.ΔΙ.Π» (Μονάδα Διασφάλισης Ποιότητας) του Πανεπιστημίου Μακεδονίας» Κωδικός MIS ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΑΞΗ: «ΜΟ.ΔΙ.Π» (Μονάδα Διασφάλισης Ποιότητας) του Πανεπιστημίου Μακεδονίας» Κωδικός MIS 299516 ΥΠΟΕΡΓΟ: «ΜΟΔΙΠ του ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ» και α/α «01» ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Εκπαίδευση και Δια

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Άρθρα - Υλικό Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Χειραπτικά εργαλεία Υλικά/εργαλεία στο νέο Πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ. Ανδρέας Πούλος Σχολικός Σύμβουλος Ανατολικής Θεσσαλονίκης, μέλος του ΕΠΕΣ του Π.Π.Σ.Π.Θ. 1. Η διατύπωση του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Βαθμός Ασφαλείας: Να

Διαβάστε περισσότερα