ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
|
|
|
- Στέφανος Κακριδής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Η ΑΝΑΦΟΡΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΡΘΡΟ ΕΙΝΑΙ: Νικολουδάκης Εμμ., Δημάκος, Γ. (2009). «Βελτίωση της αποδεικτικής ικανότητας των μαθητών σε προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Μία πρόταση για τη διδασκαλία της απόδειξης σε μαθητές της Α τάξης του Λυκείου». Πρακτικά 3 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Ένωσης Ερευνητών Διδακτικής Μαθηματικών Ρόδος, Οκτωβρίου 2009 σ.σ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δ/ντής 7 ου ΓΕΛ Περιστερίου enikolou@otenet.gr Γεώργιος Δημάκος Αναπληρωτής Καθηγητής Π. Τ. Δ. Ε. Πανεπιστήμιο Αθήνας gdimakos@primedu.uoa.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο άρθρο αυτό παρουσιάζουμε το θεωρητικό πλαίσιο μιας εν εξελίξει έρευνας, που αφορά την εισαγωγή μη έμπειρων μαθητών στην αποδεικτική διαδικασία. Γι αυτό χρειάστηκε να αναλύσουμε την απόδειξη μιας γεωμετρικής πρότασης στα «δομικά» της στοιχεία, τα οποία μας οδήγησαν να προτείνουμε ένα διαβαθμισμένο τρόπο διδασκαλίας της απόδειξης για μαθητές της Α τάξεως του Λυκείου, δηλ. μαθητές που αντιμετωπίζουν για πρώτη φορά την Ευκλείδεια Γεωμετρία σε θεωρητικό επίπεδο. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Απόδειξη, Ευκλείδεια Γεωμετρία, διαβαθμισμένη διδασκαλία της απόδειξης, van Hiele 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν και η απόδειξη αποτελεί το πιο ενδιαφέρον εργαλείο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, θεωρείται κεντρική για την επιστήμη γενικά των μαθηματικών και έχει καθοριστική σημασία για τη μαθηματική δραστηριότητα (Davis & Hersh, 1981) η αποτυχία της διδασκαλίας της απόδειξης εμφανίζεται να αποτελεί σχεδόν διεθνές φαινόμενο (Balacheff, 1988). Στην Ελλάδα ιδιαίτερη δυσκολία στην απόδειξη παρουσιάζουν οι μαθητές της Α τάξεως του Λυκείου (Θωμαίδης & Πούλος, 2000), οι οποίοι εισάγονται για πρώτη φορά στην παραγωγική γεωμετρία, χωρίς το πραγματικό τους υπόβαθρο να περιλαμβάνει καν την χρήση βασικών ιδιοτήτων των σχημάτων (Kynigos, 1993). Οι δε δυσκολίες αυτές, τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό (Senk, 1985 Usiskin, 1982 Γαγάτσης1993 Ζαράνης, 1997) εντείνονται
2 ακόμη περισσότερο λόγω των συνθηκών που επικρατούν στην παραδοσιακή διδασκαλία. Επομένως, οι μαθητές θα πρέπει να εισάγονται στην αποδεικτική διαδικασία με ένα «καλό» τρόπο. Ο προβληματισμός μας αυτός μάς οδήγησε στο να αναλύσουμε την απόδειξη μιας γεωμετρικής πρότασης και να ταξινομήσουμε τα προϊόντα της σε αυτά που καλέσαμε δομικά στοιχεία της απόδειξης και σε μερικές αποδείξεις. Η ανάλυση αυτή μας υπέδειξε δύο σημεία. Πρώτον ένα τρόπο «διαβαθμισμένης» διδασκαλίας της απόδειξης και δεύτερον την ανάπτυξη στρατηγικών, ώστε οι αρχάριοι μαθητές της Α τάξης του Λυκείου να λειτουργούν ως ερευνητές (Καλαβάσης & Μεϊμάρης, 2000) στο σχήμα. Αυτά αναπτύσσουμε στη παρούσα εργασία, τα οποία αποτελούν και το θεωρητικό πλαίσιο μιας εν εξελίξει έρευνας, που πραγματοποιείται από το Π. Τ. Δ. Ε. του Πανεπιστημίου της Αθήνας, σε ένα δείγμα μαθητών της Α Λυκείου του 7 ου Γενικού Ενιαίου Λυκείου Περιστερίου και αφορά μια «διαβαθμισμένη» διδασκαλία της απόδειξης, που θα αναπτύξουμε παρακάτω. 2. ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Σύμφωνα με τους Dimakos και Nikoloudakis (2008) μια απόδειξη αποτελείται και αναλύεται σε απλές αιτιολογήσεις. Θα αναπτύξουμε εν τάχει αυτήν την άποψη, γιατί κρίνουμε ότι είναι αναγκαία για το παρόν άρθρο. Θεωρούμε ότι κάθε γεωμετρική πρόταση αποτελεί ένα ισχυρισμό και κάθε απόδειξη αποτελείται από δύο μέρη, ένα ισχυρισμό (που απαιτεί μία αιτιολόγηση) και την αιτιολόγηση (του εν λόγω ισχυρισμού). Για παράδειγμα θεωρείστε τις προτάσεις: Πρόταση (Π-1): Τρεις ευθείες τέμνονται στα σημεία Α, Β και Γ. Οι αποστάσεις ΑΒ και ΑΓ είναι ίσες. Δείξτε ότι το τρίγωνο Σχήμα - 1 ABΓ είναι ισοσκελές (σχήμα-1). Πρόταση (Π-2): Αν Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου (ε) ενός ευθ. τμήματος ΒΓ, τότε οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΓΒ (ε) είναι ίσες (σχήμα-2). Για την πρόταση Π-1 (σχήμα-1) ο ισχυρισμός είναι: το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές. Σημειώνουμε ακόμη ότι τα μέρη της απόδειξης του ισχυρισμού της πρότασης Π-1 είναι: Σχήμα - 2
3 (i) Ισχυρισμός: το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές (ii) Αιτιολόγηση: διότι ΑΒ = ΑΓ Έτσι, λέγοντας ότι: το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, διότι ΑΒ = ΑΓ έχουμε αιτιολογήσει πλήρως τον ισχυρισμό: το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές για την πρόταση Π-1 κι επομένως έχουμε αποδείξει την πρόταση Π-1. Για την πρόταση Π-2 (σχήμα-2) ο ισχυρισμός είναι: οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΓΒ είναι ίσες, δηλ. ΑΒΓ = ΑΓΒ και τα μέρη της απόδειξης του ισχυρισμού είναι: (i) ισχυρισμός: ΑΒΓ= ΑΓΒ (ii) αιτιολόγηση : διότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές Λέγοντας, όμως, ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές δεν έχουμε αποδείξει πλήρως τον ισχυρισμό ότι ΑΒΓ= ΑΓΒ, διότι (ισχυριζόμαστε, αλλά) δεν έχουμε αποδείξει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Πρέπει δηλ. να αιτιολογήσουμε και γιατί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές για να ισχύει ο ισχυρισμός (i). Επομένως η αιτιολόγηση (ii): το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές καθίσταται ο ισχυρισμός μίας νέας πρότασης, που πρέπει να αποδειχθεί και που η απόδειξή της θα αποτελείται από ένα νέο ισχυρισμό και από την αιτιολόγηση του εν λόγω ισχυρισμού, συγκεκριμένα: Πρόταση (Π-2.1): Αν Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου (ε) ενός ευθ. τμήματος ΒΓ, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Τα μέρη της απόδειξης του ισχυρισμού είναι: (iii) ισχυρισμός: το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (iv) αιτιολόγηση : διότι ΑΒ = ΑΓ και ομοίως η αιτιολόγηση (iv): ΑΒ = ΑΓ καθίσταται ο ισχυρισμός μίας νέας πρότασης: Πρόταση (Π-2.2): Αν Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου (ε) ενός ευθ. τμήματος ΒΓ, τότε ΑΒ = ΑΓ. Τα μέρη της απόδειξης του ισχυρισμού είναι: (v) ισχυρισμός: ΑΒ =ΑΓ (vi) αιτιολόγηση : γιατί το Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθ. τμήματος ΒΓ, και ομοίως η αιτιολόγηση (vi): το Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθ. τμήματος ΒΓ καθίσταται ο ισχυρισμός μίας νέας πρότασης: Πρόταση (Π-2.3): Αν Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου (ε) ενός ευθ. τμήματος ΒΓ, τότε το Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθ. τμήματος ΒΓ. Τα μέρη της απόδειξης του ισχυρισμού είναι:
4 (vii) ισχυρισμός: Αν Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου (ε) ενός ευθ. τμήματος ΒΓ (viii) αιτιολόγηση : γιατί το Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου (ε) του ευθ. τμήματος ΒΓ και η απόδειξη κατέστη προφανής. Κάνουμε την ακόλουθη παρατήρηση: η αιτιολόγηση (ii) του ισχυρισμού (i) στην πρόταση Π-1 δεν απαιτεί και άλλη αιτιολόγηση προκειμένου να ισχύει ο ισχυρισμός (i) και η απόδειξη της Π-1 έχει ολοκληρωθεί από τα στοιχεία (i)-(ii). Δεν ισχύει όμως το ίδιο στην πρόταση Π-2 για τις αιτιολογήσεις (ii), (iv) και (vi) της εν λόγω πρότασης, δηλαδή για να ισχύει ο ισχυρισμός (i) πρέπει να ισχύει η αιτιολόγηση (ii), που για να ισχύει η αιτιολόγηση (ii) πρέπει να ισχύει (iv) κ.ο.κ. επομένως δεν ολοκληρώνεται η απόδειξη της Π-2 μόνον με τα στοιχεία (i)-(ii). Όταν η αιτιολόγηση ενός ισχυρισμού, όπως στην πρόταση Π-1 δεν απαιτεί και άλλη αιτιολόγηση για να ισχύει ο ΑΠΛΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ισχυρισμός, η αιτιολόγηση θα λέμε ότι είναι μια απλή αιτιολόγηση. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Συγκεκριμένα: Ορισμός: θα λέμε ότι μια ΜΕΡΙΚΗ αιτιολόγηση είναι απλή αιτιολόγηση, ΑΠΟ ΕΙΞΗ όταν δεν απαιτείται άλλη αιτιολόγηση για να υποστηριχθεί η Σχήμα 3 αλήθεια της. Την απλή αιτιολόγηση θα τη λέμε και (απλή) απόδειξη. Ορισμός: Η αιτιολόγηση ενός ισχυρισμού θα λέμε ότι μια είναι σύνθετη αιτιολόγηση ή μερική απόδειξη, όταν η αλήθεια της στηρίζεται σε μια ακόμη άλλη αιτιολόγηση. Οι αποδείξεις (i)-(ii), (iii)-(iv), (v)-(vi) της απόδειξης της Π-2 είναι σύνθετες αιτιολογήσεις, ενώ το τελευταίο μέρος της απόδειξης της Π-2, δηλ. η απόδειξη (vii)- (viii) είναι μία απλή αιτιολόγηση. Άρα, τελικά, η απόδειξη της Π-2 αποτελείται από τις μερικές αποδείξεις: (i)-(ii), (iii)-(iv), (v)-(vi) και την απλή αιτιολόγηση (vii)- (viii). Γενικεύοντας, μπορούμε να πούμε ότι η απόδειξη μιας πρότασης συνίσταται από απλές αιτιολογήσεις και μερικές αποδείξεις (σχήμα-3). Όμως, κάθε μερική απόδειξη αποτελεί από μόνη της μία απόδειξη και άρα αναλύεται σε απλές αιτιολογήσεις και μερικές αποδείξεις κ.ο.κ. Άρα τελικά μία απόδειξη αναλύεται σε απλές αιτιολογήσεις. (σχήμα-4). Τις απλές αιτιολογήσεις καλούμε δομικά στοιχεία της απόδειξης.
5 3. ΠΡΟ-ΑΠΛΗ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Ορισμός. Θα λέμε ότι μία πρόταση είναι απλή, όταν η απόδειξή της είναι μία απλή αιτιολόγηση (Πίνακας-1). Ορισμός. Θα λέμε ότι μία πρόταση είναι σύνθετη ή μερική, όταν η απόδειξή της είναι μία μερική απόδειξη. Ακόμα ορίζουμε ως προ-αιτιολόγηση μία ολιστική (gestalt) αναγνώριση του σχήματος και ως προ-απλές, τις προτάσεις αυτές που αντιστοιχούν σε μια προαιτιολόγηση ΑΠΛΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΑΠΛΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΡΙΚΗ ΑΠΌ ΕΙΞΗ ΑΠΛΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΡΙΚΗ ΑΠΌ ΕΙΞΗ ΜΕΡΙΚΗ ΑΠΌ ΕΙΞΗ ΑΠΛΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ Σχήμα -4 Ανάλυση απόδειξης σε απλές αιτιολογήσεις 4. ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΕΩΝ 1. Προ - αιτιολόγηση Το βασικό χαρακτηριστικό των προ-αιτιολογήσεων είναι ότι δεν απαιτούν αιτιολόγηση, αλλά μία ολιστική αναγνώριση (gestalt) του σχήματος. Αυτό σημαίνει: (i) Η σκέψη του μαθητή απευθύνεται ολιστικά σε ένα και μόνον συγκεκριμένο σχήμα. (ii) Ο μαθητής δεν αναλύει το σχήμα στις ιδιότητές του κι επομένως γι αυτό αρκεί να λειτουργεί στο 1 ο επίπεδο van Hiele. (iii) Ο μαθητής διαπραγματεύεται προ-απλές προτάσεις. 2. Απλή αιτιολόγηση
6 Το βασικό χαρακτηριστικό των απλών αιτιολογήσεων (δομικών στοιχείων της απόδειξης) είναι ακριβώς ότι η αιτιολόγηση ενός ισχυρισμού δεν απαιτεί και άλλη αιτιολόγηση για να ισχύει ο ισχυρισμός. Αυτό σημαίνει: (i) Η σκέψη του μαθητή απευθύνεται σε ένα και μόνον συγκεκριμένο σχήμα, από το οποίο καλείται να εξαγάγει ένα συμπέρασμα. (ii) Ο μαθητής αναλύει το σχήμα στις ιδιότητές του κι επομένως γι αυτό απαιτείται να λειτουργεί τουλάχιστον στο 2 ο επίπεδο van Hiele. (iii) Ο μαθητής διαπραγματεύεται απλές προτάσεις. Πίνακας1: Δομικά στοιχεία της απόδειξης ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Απλή πρόταση Σχήμα Απλή απόδειξη Τα τμήματα ΑΒ και Α Απόδειξη ΑΓ είναι ίσα. Δείξτε Ισχυρισμός: το τρίγωνο ABΓ ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. είναι ισοσκελές Αιτιολόγηση: διότι ΑΒ = ΑΓ Β Γ Οι γωνίες ωκαιφστο σχήμα είναι ίσες φ ω Απόδειξη Ισχυρισμός: ω=φ Αιτιολόγηση: διότι είναι κατακορυφήν Τα ευθ. τμήματα ΟΒ και ΟΓ στο σχήμα είναι ίσα Γ Ο Β Απόδειξη Ισχυρισμός: ΟΒ = ΟΓ Αιτιολόγηση: διότι είναι ακτίνες του ίδιου κύκλου Η ΑΜ είναι το μισό της ΒΓ A B Μ Γ Απόδειξη ΒΓ Ισχυρισμός: ΑΜ = 2 Αιτιολόγηση: γιατί Η ΑΜ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ
7 Δίνεται ότι ε 1 // ε 2 στο σχήμα. Δείξτε ότι οι γωνίες ωκαιφ είναι ίσες ε 2 ε 1 φ ω ζ Απόδειξη Ισχυρισμός: ω=φ Αιτιολόγηση: διότι είναι εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ε 1 και ε 2 που τέμνονται από την ευθεία ζ 3. Μερική απόδειξη Το βασικό χαρακτηριστικό των μερικών αποδείξεων είναι ότι η αιτιολόγηση ενός ισχυρισμού απαιτεί και άλλη αιτιολόγηση για να ισχύει ο ισχυρισμός. Αυτό σημαίνει: (i) Για μια μερική απόδειξη απαιτούνται δύο τουλάχιστον αιτιολογήσεις, που σημαίνει διπλή τουλάχιστον θεώρηση και ανάλυση του ενός σχήματος ή θεώρηση και ανάλυση δύο τουλάχιστον διαφορετικών σχημάτων με συσχετισμό των ιδιοτήτων τους. Επομένως ο μαθητής απευθύνεται σε περισσότερα του ενός σχήματα. (ii) Ο μαθητής αναλύει και συσχετίζει ιδιότητες περισσοτέρων του ενός σχημάτων μέσα από ένα δίκτυο σχέσεων που πρέπει να έχει στη διάθεσή του (van Hiele, 1986) και επομένως πρέπει να λειτουργεί τουλάχιστον στο τρίτο επίπεδο της θεωρίας van Hiele. (iii) Ο μαθητής διαπραγματεύεται σύνθετες προτάσεις. 5. ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Τα χαρακτηριστικά των αιτιολογήσεων επιβάλλουν μια διαβαθμισμένη διδασκαλία της απόδειξης, και αυτό προτείνουμε με αυτήν την εργασία, δηλ. τη διδασκαλία προ-αιτιολογήσεων, αιτιολογήσεων και μερικών αποδείξεων, πριν ο δάσκαλος διδάξει τις τυπικές αποδείξεις. Οι προτάσεις που θα χρησιμοποιήσει είναι συνάρτηση της διαβαθμισμένης διδασκαλίας, δηλ. προ-απλές, απλές, σύνθετες και τυπικές. Ακόμη ορίζουμε ως επίπεδο αποδεικτικής ικανότητας του μαθητή την ικανότητά του να αποδεικνύει προ-απλές, απλές, σύνθετες και τυπικές προτάσεις (Πίνακας -2) και λέμε αντίστοιχα ότι είναι αποδεικτικής ικανότητας: 1, 2, 3 και 4. Πίνακας 2: Πίνακας επιπέδου πρότασης, επιπέδου απόδειξης και αποδεικτικής ικανότητας του μαθητή
8 Επίπεδο van Hiele Σχήμα Αιτιολογήσεις Επίπεδο Πρότασης Αποδεικτική Ικανότητα του Μαθητή 1 ο Ολότητες Gestalt Καμία Προαπλή Προαναγνώριση Αιτιολόγηση 1 Αιτιολογήσεις 2 ο Ανάλυση Ανάλυση Ιδιότητες Ακριβώς μία Απλή Αιτιολογήσεις ενός σχήματος Αιτιολόγηση 2 3 ο Ταξινόμηση Ορισμοί. Ιδιότητες Ακριβώς 2 Σύνθετη Μερικές συσχετισμός Αιτιολογήσεις Αποδείξεις Δύο τουλάχιστον 3 σχήματα. 4 ο Ακρίβεια Σύνθετα Σχήματα Πάνω από 2 Τυπική Τυπικές Δίκτυο. Αιτιολογήσεις 4 Αποδείξεις Επιπλέον, προκειμένου να βοηθήσουμε τους μαθητές στη διαδικασία της απόδειξης, τους εφοδιάσαμε με στρατηγικές, που αναπτύσσουμε αμέσως πιο κάτω. 6. ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Προτείναμε στρατηγικές δύο ειδών. Πρώτον στρατηγικές διερεύνησης σχήματος, δηλ. του τύπου: Τι είναι αυτό; Τι μου θυμίζει; Τι ρόλο παίζουν τα άκρα του; (για ευθ. τμήματα) κ.λπ., συσχετισμένες με στις δεξιότητες του Hoffer (1981) και να βοηθούν το μαθητή να ανακαλύψει τις απλές προτάσεις που «κρύβονται» στο σχήμα (πίνακας- 3) και στρατηγικές αιτιολόγησης μέσω των οποίων οι μαθητές θέτουν στόχους προς Πίνακας 3: Πίνακας στρατηγικών διερεύνησης σχήματος Στρατηγικές Κατασκευάζω το σχήμα Διατυπώνω την πρόταση με τη βοήθεια του σχήματος Τι είναι αυτό; Τι μου θυμίζει; Τι ρόλο παίζουν τα άκρα του; (για ευθ. τμήματα) Τι ξέρω από τη θεωρία για αυτό; Σχεδιαστική Λεκτική Οπτική Δεξιότητες του Hoffer Οπτική - Αναγνώριση Οπτική - Εφαρμογής Οπτική - Λογική Λογική διαπραγμάτευση. Οι στρατηγικές αιτιολόγησης προέκυψαν από την ανάλυση της απόδειξης (πίνακας-4), δηλ. για να δείξω τον ισχυρισμό αρκεί να δείξω την αιτιολόγηση του ισχυρισμού. Πίνακας 4: Πίνακας στρατηγικών αιτιολόγησης Ανάλυση της απόδειξης της Π-2 Ανάπτυξη στρατηγικής για την Π-2 Ισχυρισμός Αιτιολόγηση Για να δείξω Αρκεί να δείξω
9 ΑΒΓ = ΑΓΒ διότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ΑΒΓ = ΑΓΒ ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές διότι ΑΒ = ΑΓ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ότι ΑΒ = ΑΓ ΑΒ = ΑΓ διότι το Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθ. τμήματος ΒΓ ΑΒ = ΑΓ ότι το Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθ. τμήματος ΒΓ Έτσι αναπτύξαμε στρατηγικές όπως: «Για να δείξω ότι Αρκεί να δείξω ότι». «Τι ξέρω από τη θεωρία για αυτό;». κ.λπ. Τα πιο πάνω υλοποιήθηκαν με τη βοήθεια ενός επαναχρησιμοποιήσιμου πρότυπου πίνακα (βλ. παράρτημα) με συγκεκριμένη δομή και σύνταξη που βοηθά το μαθητή στην παραγωγή της σκέψης και τον οποίο καλέσαμε Πίνακα Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας - ΠΕΣΑΔ (Dimakos, et al., 2007). Η δομή του συνίσταται από στήλες, από γραμμές και πλαίσια που αποτελούν τα έξι μέρη του, που τα καλούμε τμήματα (Nikoloudakis, accepted for publication). Λόγω χώρου θα αρκεστούμε να αναφέρουμε μόνον ότι στο τμήμα 5, της ανάπτυξης συλλογισμών (βλ. παράρτημα), ο μαθητής θέτει στόχους και σκέπτεται πώς θα τους πετύχει εφαρμόζοντας την προαναφερθείσα στον πίνακα 4 στρατηγική: Για να δείξω ότι Αρκεί να δείξω ότι. Αναφορές Balacheff, N. (1988). A study of pupil's proving processes at the junior high school level. Paper presented at the 66th Annual Meeting of the National Council of Teachers of Mathematics, U.S.A. Davis, P., Hersh, R. (1981). Η Μαθηματική Εμπειρία, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα. Dimakos, G., Nikoloudakis, E., (2008). Teaching Euclidean Geometry using a synthesis by two well known theories: van Hiele s theory and Cognitive Apprenticeship. Far East Journal of Mathematical Education Volume 2, Issue 2, Pages Dimakos, G., Nikoloudakis E., Ferentinos, S., Choustoulakis, E., (2007). Developing a Proof- Writing Tool for Novice Lyceum Geometry Students. The Teaching Of Mathematics Vol. X, 2, pp Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof, Mathematics Teacher, 74, Kynigos, C. (1993). Children's Inductive Thinking during Intrinsic and Euclidean Geometrical Activities in a Computer Programming Environment. Educational Studies in Mathematics, 24,
10 Nikoloudakis, E. A Proposed Model to Teach Geometry to First-Year Senior High School Students, HMS International Journal for Mathematics in Education (accepted for publication). Senk, S. L. (1985). How well do students write geometry proofs? Mathematics Teacher, 78, Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry, Columbus, OH, ERIC. Van Hiele, P. (1986). Structure and insight. Orlando, FL: Academic. Γαγάτσης, Α., (1993) Θέματα Διδακτικής των Μαθηματικών Εκδόσεις Κυριακίδη Θεσσαλονίκη Ζαράνης, Ν. (1997). Ανάπτυξη και υλοποίηση των επιπέδων van Hiele στην γεωμετρία με τη βοήθεια υπολογιστή, Πρακτικά 14 ου Πανελλήνιου Συνέδριου Μαθηματικής Παιδείας, ΕΜΕ, Θωμαΐδης,Γ., Πούλος, Α. (2000) Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη Καλαβάσης, Φ., & Μεϊμάρης, Μ. (2000). Διεπιστημονική Προσέγγιση των Μαθηματικών και της Διδασκαλίας τους. Αθήνα: Gutenberg.
11 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall
Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ)
Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών enikolou@otenet.gr Περίληψη Η απόδειξη θεωρείται κεντρική στην επιστήμη των
Να φύγει ο Ευκλείδης;
Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω
II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που
Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)
Η διδασκαλία του Θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου με τη βοήθεια του συνδυασμού της θεωρίας van Hiele και της Γνωστικής Μαθητείας στα πλαίσια των ΤΠΕ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ
236 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ζαράνης Νικόλας Λέκτορας Π.Τ.Π.Ε. Πανεπιστημίου Κρήτης nzaranis@edc.uoc.gr
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην Εκπαίδευση και στην Κοινωνία Εμμανουήλ Νικολουδάκης Σχολικός Σύμβουλος των Μαθηματικών Γ ΔΔΕ Αθήνας
Ερμηνεία της δυσκολίας των μαθητών του γυμνασίου στην αποδεικτική διαδικασία προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας βασισμένη στα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης του van Hiele. Μια πρόταση υπέρβασης των δυσκολιών.
ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ HOFFER ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΤΕΙΑΣ
ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ HOFFER ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΤΕΙΑΣ Εμμανουήλ Νικολουδάκης (M.Ed & M.Sc.) Υποψήφιος Διδάκτορας
Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ
VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Γεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ;
ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ; Γιώργου Τσαπακίδη Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι τα συμμετρικά σχήματα έχουν πολύ περισσότερες ιδιότητες από τα μη συμμετρικά σχήματα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που έχει άξονα
ΘΕΜΑ Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη)
Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Ισότητα Τριγώνων Κυριακή 8 Νοεμβρίου 2015 Τα θέματα και οι απαντήσεις τους ΘΕΜΑ Α Α 1. Α 2. Α 3. Πως ορίζεται η μεσοκάθετος ευθύγραμμου σχήματος; Να αναφέρετε την ιδιότητα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών.
4ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1 Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών. Εμμανουήλ Νικολουδάκης (M.Ed) Υποψήφιος
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα
Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία
Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Β - Κεφάλαιο 2, Β. 2.2. Άξονα συμμετρία σχήματο ονομάζεται η ευθεία που χωρίζει
ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Ονοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»
ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό
Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή
Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Περίληψη Με προφανή σκοπό τη δημιουργία ευνοϊκότερων
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 41. Ύλη: Τρίγωνα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 41 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Τρίγωνα 01-11-15 Θέμα 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε γεωμετρικό τόπο; Να αναφέρετε τρεις βασικούς γεωμετρικούς τόπους τους οποίους γνωρίζετε. (7 μον.) Β. Να
ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ
Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Δημιουργία Σκαλωσιάς με τη βοήθεια των ΤΠΕ σε ένα Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας
Presented in the workshop of 14th Panhellenic Conference on Informatics (PCI 2010) at Tripoli, Greece, September, 10 12, 2010. Δημιουργία Σκαλωσιάς με τη βοήθεια των ΤΠΕ σε ένα Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας
Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1
ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012
ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ
Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)
Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,
Μία έρευνα σε μαθητές της Α Λυκείου
Η αναφορά για το πιο κάτω άρθρο είναι η ακόλουθη: Δημάκος, Γ., Νικολουδάκης, Εμμ. (2008). Η Διδασκαλία της Γεωμετρίας στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση με χρήση της Θεωρίας των Επίπεδων Γεωμετρικής Σκέψης του
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Η. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Η. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Εκπαίδευση Aριστούχος Διδάκτωρ (Ph.D.) στη Διδακτική των Μαθηματικών. Κάτοχος MEd στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών Κάτοχος MSc στη Διδακτική της
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση
1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A
1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,
2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ
Προαγωγικές εξετάσεις στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 214-215 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο Α. ΘΕΩΡΙΑ Α. Να γράψετε με πιο σύντομο τρόπο τις επόμενες
Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Α ΤΑΞΗ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2016-2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)
Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ
6 Γεωμετρικές κατασκευές
6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 31. Ύλη: Τρίγωνα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 31 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Τρίγωνα 02-12-12 Θέμα 1 ο : Α. Να αποδείξετε ότι δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. (7 μον.) Β. Να αποδείξετε
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης
Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση
Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 5: Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Η θεωρία των van Hiele. Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία
Αναπτύγματα των Στερεών Σωμάτων Μια Διδακτική προσέγγιση για μαθητές της Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης με τη συμβολή του Διαδικτύου
Το άρθρο αυτό δημοσιεύτηκε στο 12 o τεύχος του Αστρολάβου. Η αναφορά για αυτό το άρθρο είναι: Νικολουδάκης Ε., (2009). Αναπτύγματα των Στερεών Σωμάτων. Μια Διδακτική προσέγγιση για μαθητές της Πρωτοβάθμιας
Αν ο θετικός ακέραιος a ικανοποιεί τις συνθήκες:
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Του Δημητρίου Α. Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τα θέματα που παρουσιάζονται εδώ είναι εντελώς ενδεικτικά και δεν συνιστούν μια συλλογή αντιπροσωπευτικών θεμάτων. Απλά,
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων
Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα
Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.
Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος
Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013
ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
ΑΓ=ΑΔ(υπόθεση) ΒΔ = ΓΕ υποθεση
ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ Άσκηση 1.Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και. 2 1 =(υπόθεση) = (υπόθεση) = 2 1 κατακορυφήν γωνίες πό το κριτήριο Π--Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και = Άσκηση 2 Χαράζουμε τις και επειδή τα, είναι σημεία
3.12 Τριγωνική ανισότητα (ΛΥΣΕΙΣ) version
3.12 Τριγωνική ανισότητα (ΛΥΣΕΙΣ) version 30-11-2016 Θεώρημα Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. β γ < α < β + γ, β γ ή β γ < α < β +
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50
Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας
Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 17 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A Α α Σωστό β Σωστό γ Σωστό δ Σωστό ε Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Αα Είναι ΑΓΒ 8 ο 5 ο 5 ο και ΑΒΓ 9 ο Άρα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και
Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691
ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,
ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version )
6.-6.4 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version 9-9-05) Σχόλιο ( 6.) Τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών είναι ίσα και αντίστροφα αν δύο τόξα που περιέχονται μεταξύ μή τεμνόμενων χορδών είναι ίσα, τότε οι χορδές
«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης
ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1 ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1. Αναγνωρίζουν
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κάθε αναφορά απόψεις που προέρχεται από εξωτερικές πηγές -βιβλία, περιοδικά, ηλεκτρονικά αρχεία, πρέπει να επισημαίνεται, τόσο μέσα στο κείμενο όσο και στη βιβλιογραφία,
Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ
Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα
Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή
Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και
Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου
Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με
Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΕ ΕΝΑ ΔΟΜΗΜΕΝΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μία περίπτωση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία
Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΕ ΕΝΑ ΔΟΜΗΜΕΝΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μία περίπτωση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεώργιος Δημάκος Αναπληρωτής Καθηγητής Π. Τ. Δ. Ε. Πανεπιστήμιο Αθήνας E-mail: gdimakos@primedu.uoa.gr Εμμανουήλ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα Πλευρές ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Γωνίες ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των
Van Hiele suggested a developmental model of student s geometrical thinking consisted
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΟΦΟΙΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΤΑ VAN HIELE Παναγιώτης Καλαϊτζίδης Αθηνά Παππά Χαράλαμπος Σακονίδης Εκπαιδευτικός, M.Ed.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να