Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ)"

Transcript

1 Ο Πίνακας Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Περίληψη Η απόδειξη θεωρείται κεντρική στην επιστήμη των Μαθηματικών, εισήχθη από τον Θαλή πριν δυόμιση χιλιάδες χρόνια περίπου και αποτελεί το πιο σημαντικό, ίσως, εργαλείο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ωστόσο, η αποδεικτική διαδικασία αποτελεί ένα από τα πιο δύσκολα σημεία στη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας κι έχει απασχολήσει πολλούς ερευνητές και δασκάλους. Στο παρόν άρθρο αναλύουμε την απόδειξη γεωμετρικών προτάσεων και βασιζόμενοι σε αυτή την ανάλυση αναπτύσσουμε ένα εργαλείο, τον Πίνακα Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ), προκειμένου να εισάγουμε νέους και μη έμπειρους μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Van Hiele, 1986 Senk, 1985 Ζαράνης, 1997), αλλά και των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών (Δημάκος, 2005) καθώς και η έννοια της απόδειξης έχει απασχολήσει πολλούς ερευνητές και δασκάλους και παρουσιάζει δυσκολίες τόσο από τη μεριά των δασκάλων για το πώς πρέπει να διδαχθεί όσο και από τη μεριά των μαθητών σε θέματα κατανόησης με έμφαση στην αποδεικτική διαδικασία. Στη χώρα μας, στο Γυμνάσιο διδάσκεται η διαισθητική αιτιολόγηση και κάποιες απλές αποδείξεις, ενώ το βάρος της διδασκαλίας της τυπικής απόδειξης πέφτει κυρίως στη Γεωμετρία του Λυκείου (Δημητριάδου, 2007). Συγκεκριμένα η αποδεικτική διαδικασία στους στόχους του Αναλυτικού Προγράμματος, «επίσημα», λαμβάνει χώρα στην Α τάξη του Λυκείου. Όμως, σύμφωνα με τον Kynigos (1993), οι μαθητές όταν εισάγονται για πρώτη φορά στο Λύκειο, στην παραγωγική γεωμετρία, το πραγματικό τους υπόβαθρο δεν περιλαμβάνει καθόλου τη χρήση βασικών ιδιοτήτων των σχημάτων. Ειδικότερα παρατηρείται οι μαθητές να μην αντιλαμβάνονται τις διαδικασίες στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, να παρουσιάζουν σοβαρές δυσκολίες τόσο στις αποδείξεις θεωρημάτων και εφαρμογών που

2 περιέχονται στο σχολικό τους εγχειρίδιο, όσο και στην απόδειξη άγνωστων απλών προτάσεων της Γεωμετρίας. Η κατάσταση αυτή μάλιστα εμφανίζεται όχι μόνον στην Ελλάδα αλλά σε διεθνές επίπεδο (Senk 1985 Weber, 2003 Θωμαίδης & Πούλος 2000). Παράγοντες αποτυχίας στην απόδειξη Όπως προκύπτει από την παρατήρηση των βιβλίων του ΟΕΔΒ των μαθητών της γυμνασιακής περιόδου, δηλαδή μαθητών ηλικίας περίπου από ετών, προκύπτει ότι η έννοια της απόδειξης, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, με την τυπική της μορφή και χωρίς ακρότητες ως προς το βαθμό δυσκολίας, εμφανίζεται σε κάποια σημεία στο βιβλίο των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου (Αργυράκης κ.α., 2009). Στο βιβλίο των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου (Βλάμος κ.α., 2009), αν και πολλές φορές, χρησιμοποιείται ευθέως η έκφραση να «αποδείξετε ότι» και ενώ λαμβάνει χώρα μία απόδειξη, η λέξη απόδειξη έχει αντικατασταθεί από τις λέξεις: «λύση» (βλ. σελίδα 122, εφαρμογή 4), «επαλήθευση» (βλ. σελίδα 128, εφαρμογή 1), ή «διαπίστωση» (βλ. σελίδα 218, στην παράγραφο με τίτλο όγκο πυραμίδας) κ.λπ. Στο βιβλίο των Μαθηματικών της Α Γυμνασίου (Βανδουλάκης κ.α., 2009), αν και για την τάξη αυτή από το Αναλυτικό Πρόγραμμα δεν προβλέπεται η διδασκαλία της τυπικής απόδειξης τελικά εκτός από τις εκφράσεις «προσπάθησε να δείξεις» στη σελίδα 203, «Να δικαιολογηθεί με λογικά επιχειρήματα» στη σελίδα 222, συναντάμε και αποδείξεις (βλέπε σελίδα 222). Αν λάβουμε υπόψη μας ότι: 1. σύμφωνα με τη θεωρία επιπέδων γεωμετρικής σκέψης του van Hiele, που ο Hoffer(1981) τα ονόμασε κατά σειρά: Αναγνώριση, Ανάλυση, Ταξινόμηση, Επαγωγή και Αυστηρότητα, η απόδειξη τοποθετείται αρκετά υψηλά στην ιεραρχία των επιπέδων, δηλ. στο τέταρτο επίπεδο «την Επαγωγή». 2. οι μαθητές, περνούν διαδοχικά από καθένα από τα επίπεδα αυτά, χωρίς να παραλείπουν κανένα, ότι το νόημα των λέξεων διαφέρει από επίπεδο σε επίπεδο, ότι άτομα που ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα δεν μπορούν να καταλάβουν το ένα το άλλο και ότι απομνημόνευση δεν είναι χαρακτηριστικό κανενός επιπέδου (Fuys et al., 1988 Senk, 1985 Hershkowitz, 1996) 3. οι προτεινόμενες από Hoffer(1981) δεξιότητες στο άρθρο του Geometry is more than proof διαβαθμίζονται στα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης, που σημαίνει διαφορετική χρήση της ίδιας δεξιότητας επί του ίδιου γεωμετρικού θέματος ανάλογα με το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης και 4. όσα αναφέραμε σχετικά με την ύπαρξη τυπικών αποδείξεων στα βιβλία του Γυμνασίου

3 φαίνεται να υπάρχει μία αντίφαση στην πρακτική της διδασκαλίας της απόδειξης αλλά και εν γένει της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο Γυμνάσιο. Η αντίφαση αυτή αποτελεί ένα σοβαρό λόγο, τον πρώτο ίσως λόγο αποτυχίας των μαθητών στην απόδειξη. Επιπλέον, αυτό που φαίνεται να προκύπτει από την αντιμετώπιση του θέματος της απόδειξης είναι ότι στα βιβλία του Γυμνασίου και του Λυκείου η απόδειξη αποτελεί ένα «φυσικό επόμενο» και όχι μια διαδικασία που θα πρέπει να αντιμετωπιστεί με ιδιαίτερη προσοχή. Δηλαδή, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της απόδειξης και στην αποδεικτική διαδικασία, ενώ πουθενά δεν εξηγείται τι είναι, γιατί πρέπει να γίνεται και τι ρόλο παίζει στη Γεωμετρία και στη ζωή. Έτσι, προβλήματα διατυπωμένα με τη συνήθη έκφραση «Να αποδείξετε ότι.» αντί να ωθούν, σύμφωνα με τους Boero et al, (1996), σε ορισμένες περιπτώσεις φρενάρουν την ικανότητα των μαθητών για απόδειξη. Αυτό αποτελεί ένα δεύτερο παράγοντα αποτυχίας των μαθητών στην απόδειξη. Σύμφωνα με τον Usiskin (1982) παράγοντα-κλειδί για την αποτυχία πολλών μαθητών στην απόδειξη αποτελεί η αρκετά φτωχή γνώση των μαθητών και το γεγονός ότι οι μαθητές δεν διαθέτουν επαρκές υπόβαθρο γνώσεων Γεωμετρίας από το Γυμνάσιο, ο ίδιος ο Usiskin (1982) μάλιστα υποστηρίζει ότι πολλοί μαθητές καλά - καλά δεν γνωρίζουν ούτε τη γεωμετρική ορολογία. Αυτό αποτελεί. ένα τρίτο παράγοντα αποτυχίας των μαθητών στην απόδειξη. Επιπλέον, αν στα παραπάνω συμπεριλάβουμε, αφ ενός το γεγονός ότι στην παραδοσιακή διδασκαλία παρουσιάζεται στο μαθητή μόνο το τελικό προϊόν της μαθηματικής ανακάλυψης και όχι ολόκληρη η διαδικασία, που σημαίνει ανάπτυξη εικασίας, έλεγχος της εικασίας, αποδοχή, απόρριψη ή αλλαγή στα δεδομένα της εικασίας και επανεξέταση δηλ. το περιεχόμενο που σχετίζεται με την επαγωγική σκέψη (Skemp 1971 Freudental 1971 Schoenfeld 1986 Usiskin,1980), και αφ ετέρου κάποιες αιτίες που εμποδίζουν την επικοινωνία στην παραδοσιακή σχολική τάξη (Νικολουδάκης, 2004), όπως (α) την ασυμμετρία επικοινωνίας στην αίθουσα διδασκαλίας, (β) το γεγονός ότι οι νοητικές εικόνες είναι κατασκευές επηρεαζόμενες άμεσα με την «οικεία» κουλτούρα, (γ) ότι οι μαθηματικές γνώσεις του εκπαιδευτικού και οι μαθηματικές γνώσεις του μαθητή δεν ταυτίζονται, (δ) τα «κρυμμένα» μαθηματικά, και (ε) τη γλώσσα, τότε γίνεται αντιληπτό γιατί οι μαθητές δεν καταλαβαίνουν ούτε τις αποδείξεις αλλά ούτε και γιατί πρέπει να κάνουν μία απόδειξη. Αυτό αποτελεί ένα τέταρτο παράγοντα αποτυχίας των μαθητών στην απόδειξη.

4 Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη μας ότι οι μαθηματικές γνώσεις των μαθητών είναι πολύ χαμηλές (Τζεκάκη, 2002) και ειδικότερα το γεγονός ότι οι μαθητές, όταν εισάγονται για πρώτη φορά στο Λύκειο, στην παραγωγική γεωμετρία, το πραγματικό τους υπόβαθρο είναι επίσης πολύ χαμηλό (Kynigos, 1993) προκύπτει ότι, εάν θέλουμε οι μαθητές μας να έχουν περισσότερες γνώσεις Γεωμετρίας και ικανότητα στο να μπορούν να αποδεικνύουν γεωμετρικές προτάσεις, πρέπει να συμφωνήσουμε με την άποψη του Usiskin (1982), δηλ. ότι πρέπει να τους υποστηρίξουμε με συστηματική διδασκαλία της Γεωμετρίας πριν το Λύκειο ή κατά την άποψή μας και στις αρχές της διδασκαλίας της Θεωρητικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας, δηλ. στην Α τάξη του Λυκείου. Άλλωστε στη βαθμίδα πλέον αυτή η διδασκαλία της απόδειξης υποβαθμίζεται λόγω της πίεσης του μεγάλου όγκου της διδακτέας ύλης και των επικείμενων εξετάσεων για την εισαγωγή στα Πανεπιστήμια (Δημητριάδου, 2007). Αυτή η κατάσταση μας οδήγησε να σκεφτούμε πώς μπορούμε να εισάγουμε μη έμπειρους μαθητές, δηλ. μαθητές του Γυμνασίου ή μαθητές της Α τάξης του Λυκείου στην αποδεικτική διαδικασία με ένα τρόπο που θα τους βοηθά να μάθουν να κάνουν, αποδείξεις. Προκειμένου, λοιπόν, να πετύχουμε κάτι τέτοιο χρειάστηκε να κινηθούμε προς δύο κατευθύνσεις: (α) προς τη μεριά του διδάσκοντα, εκεί χρειάστηκε να αναλύσουμε μία μερίδα αποδείξεων και (β) προς τη μεριά του μαθητή, που εκεί επινοήσαμε ένα εργαλείο που βοηθά το μη έμπειρο μαθητή να κάνει αποδείξεις και το οποίο καλέσαμε Πίνακα Ελέγχου του Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ). Ανάλυση αποδείξεων Για την ανάλυση μιας απόδειξης θεωρήσαμε ότι κάθε πρόταση περιέχει ένα τουλάχιστον ισχυρισμό και ότι κάθε απόδειξη αποτελείται από δύο μέρη: ένα ισχυρισμό, που απαιτεί μία αιτιολόγηση και την αιτιολόγησή του. Αρχίσαμε δε την ανάλυση μιας Σχήμα 1 απόδειξης με την αιτιολόγηση του ισχυρισμού της πρότασης (σχήμα 1). Στη συνέχεια ορίσαμε την έννοια

5 της απλής και της όχι απλής αιτιολόγησης. Για παράδειγμα, αν σε ένα σχήμα έχω δεδομένη την ισότητα ΑΒ = ΑΓ, όπου τα Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά ούτε ταυτίζονται, τότε μπορώ να αιτιολογήσω πλήρως ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές λέγοντας μόνον ότι: το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, διότι ΑΒ = ΑΓ. Αν όμως, θέλω να αιτιολογήσω πλήρως ότι οι εξωτερικές γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες, η αιτιολόγηση: είναι ίσες διότι είναι παραπληρώματα ίσων γωνιών (των γωνιών της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου) δεν αρκεί, αφού στη συνέχεια πρέπει να αιτιολογήσω τόσο ότι «είναι παραπληρώματα» όσο και ότι οι γωνίες που ισχυρίζομαι ότι είναι ίσες, είναι πράγματι ίσες. Με άλλα λόγια η αρχική αιτιολόγηση: παραπληρώματα ίσων γωνιών απαιτώντας και αυτή αιτιολόγηση καθίσταται ένας νέος ισχυρισμός, που απαιτεί μία νέα αιτιολόγηση. Την πρώτη περίπτωση, που η αλήθεια της αιτιολόγησης δεν απαιτεί μία επιπλέον αιτιολόγηση καλέσαμε απλή αιτιολόγηση ή απλή απόδειξη (ΑΑ) και τη Η Μ Ι - Α Π Ο Ε Ι Ξ Η δεύτερη, που η αλήθεια της στηρίζεται σε μία τουλάχιστον επιπλέον αιτιολόγηση καλέσαμε όχι απλή αιτιολόγηση (ο-αα). Ακόμη μία απόδειξη, που εκτός της πρώτης όχι απλής αιτιολόγησης περιέχει μία ακριβώς όχι απλή αιτιολόγηση την καλέσαμε ημιαπόδειξη (βλ. σχήμα 2) και μία απόδειξη που εκτός της πρώτης όχι απλής Σχήμα 2 αιτιολόγησης περιέχει δύο ακριβώς όχι απλές αιτιολογήσεις την καλέσαμε προ-απόδειξη (σχήμα 3). Τέλος, καλέσαμε προ-απλή απόδειξη μία ολική (gestalt) αναγνώριση του σχήματος.

6 Στο σχήμα 3 περιγράφεται μία προ-απόδειξη, που για τους διδάσκοντες αποτελεί ένα από τα πιο απλά παραδείγματα αποδείξεων. Περιέχει όμως δύο ο-αα. Το «μήκος» της ανάλυσης θα πρέπει να προβληματίσει τον διδάσκοντα ως προς τη δυσκολία της πρότασης, ως προς το τι συμβαίνει στο μυαλό του μαθητή κατά την αποδεικτική διαδικασία και να τον κατευθύνει στη διδασκαλία του. Έτσι, αυτό που προτείνουμε στο διδάσκοντα είναι μία διαβαθμισμένη διδασκαλία των αποδείξεων, δηλ. κατά σειράν τη διδασκαλία της προ-απλής απόδειξης, δηλ. ο μαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση να αναγνωρίζει τα σχήματα, κατόπιν της απλής απόδειξης, που αντιστοιχεί σε απλές αιτιολογήσεις (ΑΑ), που στηρίζονται σε υποθέσεις, ορισμούς και άμεσες εφαρμογές θεωρημάτων, και αυξάνοντας την πολυπλοκότητας της αποδεικτικής διαδικασίας στη συνέχεια να διδάξει την ημι-απόδειξη, την προ-απόδειξη και τέλος τη διδασκαλία των αποδείξεων. Π Ρ Ο - Α Π Ο Ε Ι Ξ Η A Γ Ο B Σχήμα 3

7 Ο Πίνακας Ελέγχου και Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας (ΠΕΣΑΔ) Ο ΠΕΣΑΔ (βλ. παράρτημα) είναι ένα επαναχρησιμοποιήσιμο πρότυπο πίνακα με συγκεκριμένη δομή και σύνταξη, που βοηθά το μαθητή στην παραγωγή της σκέψης. Δομείται από στήλες, γραμμές και πλαίσια, τα οποία και συνιστούν τα έξι μέρη του, που θα καλούμε τμήματα. Η σύνταξή του ΠΕΣΑΔ γίνεται με συγκεκριμένο τρόπο, ώστε να βοηθά το μαθητή στην παραγωγή σκέψης. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ο ΠΕΣΑΔ περιέχει στρατηγικές που προέκυψαν ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία από την ανάλυση της απόδειξης που προηγήθηκε. Τα τμήματα του ΠΕΣΑΔ Στο τμήμα 1 (βλ. παράρτημα), περιέχεται η διατύπωση του προβλήματος, Εδώ ο μαθητής μπορεί να διαβάσει την πλήρη περιγραφή του προβλήματος (π.χ. μιας πρότασης) και να επανέλθει σε αυτήν, αν χρειαστεί, σε κάθε βήμα που θα κάνει κατά την αποδεικτική διαδικασία. Στο τμήμα 2 (βλ. παράρτημα), αποτελείται από δύο σειρές και δύο στήλες, όπου σημειώνονται οι υποθέσεις, και τα συμπεράσματα του προβλήματος και στη συνέχεια, στη θέση Ανάλυση, μεταφράζονται σε σχέσεις. (βλέπε και Θεωρητική Γεωμετρία Α της Λυκείου Αλμπινίσης, κ.α., 1995). Στο τμήμα 3 (βλ. παράρτημα), ο μαθητής καλείται να σχεδιάσει το σχήμα βασιζόμενος στην περιγραφή του προβλήματος από το τμήμα 1. Ο μαθητής προτού προσπαθήσει να κάνει την απόδειξη θα χρησιμοποιήσει την εν λόγω αναπαράσταση προκειμένου να περιγράψει δεδομένα και ζητούμενα, χωρίς να βλέπει την εκφώνηση από το τμήμα 1. Στο τμήμα 4 (βλ. παράρτημα), ο δάσκαλος μπορεί να προσφέρει βοήθεια στο μαθητή. Εδώ, ο δάσκαλος μπορεί να παρέχει, ανάλογα με τη δυσκολία της προς απόδειξη πρότασης, έναν κατάλογο υπαινιγμών. Στο τμήμα 5 (βλ. παράρτημα), που αποτελεί ίσως και το σπουδαιότερο μέρος του ΠΕΣΑΔ, ο μαθητής θέτει στόχους και σκέπτεται πώς θα τους πετύχει. Το τμήμα αυτό αποτελείται από δύο στήλες και ένα αριθμό γραμμών που εκτείνονται και στις δύο στήλες. Την πρώτη στήλη (αριστερά) την καλούμε στήλη εκκίνησης και τη δεύτερη (δεξιά) στήλη άφιξης. O μαθητής στο τμήμα αυτό καλείται να παράγει συλλογισμούς, μεταξύ των στοιχείων του σχήματος, το οποίο σχεδιάστηκε στο τμήμα 3. Εδώ οι μαθητές (σχήμα 4) καλούνται να συμπληρώσουν κάθε γραμμή ξεκινώντας από την στήλη εκκίνησης συμπληρώνοντας τη φράση: Για να δείξω ότι (Γ // ) θέτοντας έτσι ένα στόχο. Κατόπιν συνεχίζουν στη

8 δεύτερη στήλη της ίδιας γραμμής, και πρέπει να συμπληρώσουν την φράση: Αρκεί να δείξω ότι ( Α // ). Για να συμπληρώσει ο μαθητής τη φράση: Αρκεί να δείξω ότι. καλείται να σκεφτεί το τι πρέπει να δείξει προκειμένου να πετύχει τον στόχο που έθεσε στη στήλη εκκίνησης, της ίδιας γραμμής. Με άλλα λόγια ο μαθητής καλείται να θέσει το στόχο στην στήλη εκκίνησης και να σκεφτεί το τι πρέπει να κάνει προκειμένου να τον πετύχει. Το συμπλήρωμα κάθε γραμμής απαιτεί παραγωγή Σχήμα 4 σκέψεων και το καλούμε οριζόντια μεταφορά. Όταν ολοκληρωθεί μία οριζόντια μεταφορά, λέμε ότι ο μαθητής έκανε ένα βήμα σκέψης, και ο συλλογισμός του μαθητή, που γράφτηκε στη στήλη άφιξη μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή στη στήλη εκκίνησης. Αυτό το καλούμε μετάθεση. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται σε κάθε γραμμή του ΠΕΣΑΔ, μέχρις ότου ο μαθητής οδηγηθεί στο να κάνει την απόδειξη. Επομένως η σύνταξη του ΠΕΣΑΔ χαρακτηρίζεται από: (α) την οριζόντια μεταφορά από τη στήλη εκκίνησης στη στήλη της άφιξης (σχήμα 6), δηλ από την αφόρμηση «Για να δείξω ότι» στη στήλη στόχος «Αρκεί να δείξω ότι». (β) τη μετάθεση της παραχθείσας σκέψης κατά την οριζόντια μεταφορά, από τη στήλη άφιξης στην στήλη εκκίνησης της επόμενης γραμμής κ.ο.κ. Σημειώνουμε ότι η στήλη άφιξης δεν είναι εν γένει μονοσήμαντα ορισμένη, αλλά περιέχει περισσότερες της μιας προτάσεις Π i, i=1,2,.. (σχήμ-5), από τις οποίες ο μαθητής πρέπει να επιλέξει ως στόχο την «καταλληλότερη». Αυτή η «δυσκολία» επιλογής δίνει στο μαθητή ή στην ομάδα την ευκαιρία ανάπτυξης εικασιών, δοκιμών, πειραματισμού και φυσικά απόκτησης εμπειριών. Σημειώνουμε, επίσης, ότι σε κάθε βήμα σκέψης υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί, συγκεκριμένα απαιτείται να μην συμπεριλαμβάνεται το συμπέρασμα στη στήλη άφιξης.

9 έλεγχος των Π i της στήλης άφιξη (π.χ. μήπως κάποια Π i είναι στα δεδομένα οπότε με την επιλογή της σταματάει και η διαδικασία). συσχετισμός των Π i με τα δεδομένα για την επιλογή της καταλληλότερης Π i μετάθεση της καταλληλότερης επιλογής. Αυτό επιτρέπει στο μαθητή να αναπτύσσει εικασίες και κατόπιν να προβαίνει στον έλεγχό τους. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται μία ακολουθία βημάτων σκέψης, που καταλήγει στο τελευταίο τμήμα, το τμήμα 6. Στο τμήμα 6 (βλ. παράρτημα), ο μαθητής καλείται να γράψει την Σχήμα 5 απόδειξη. Στην ουσία καλείται ο μαθητής να συνθέσει τις σκέψεις του βοηθούμενος από το τμήμα 5 του ΠΕΣΑΔ, ώστε να καταφέρει να γράψει την απόδειξη της πρότασης. Αναφορές Αλμπινίσης, Α., Δημάκος, Γ., Εξαρχάκος, Θ., Κοντογιάννης, Δ., Τασσόπουλος, Γ. (1995). Θεωρητική Γεωμετρία Α της Λυκείου ΟΕΔΒ Αθήνα Αργυράκης, Δ., Βουργάνας, Π., Μεντής, Κ., Τσινοπούλου, Σ., Χρυσοβέργης, Μ. (2009) Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, Αθήνα. Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης, Γ., Μαρκάτης,Σ., Σιδέρης, Π. (2009) Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, Αθήνα Βλάμος, Π., Δρούτσας, Π., Πρέσβης, Γ., Ρεκούμης, Κ. (2009). Μαθηματικά Β' Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, Αθήνα Βανδουλάκης, Ι., Κολλιγάς, Χ., Μαρκάκης, Ν., Φερεντίνος, Σ., (2009) Μαθηματικά Α' Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, Αθήνα Boero, P., Garuti, R. and Marriotti, M.(1996). Some dynamical mental processes underlying processing and proving conjectures. Proceedings of

10 the 20th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematical Education. Valencia, Spain, vol.2, Δημάκος, Γ. (2005). Οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, Ηώς, τ. 1, σελ , Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ. Δημητριάδου Ελένη (2007). Απόψεις Μαθηματικών Λυκείου για τη σημασία και το ρόλο της απόδειξης στη διδασκαλία των Μαθηματικών Πρακτικά 2ου Εκπαιδευτικού Συνέδριου Γλώσσα, Σκέψη και Πράξη στην Εκπαίδευση Ιωάννινα Ζαράνης, Ν. (1997). Ανάπτυξη και υλοποίηση των επιπέδων van Hiele στην γεωμετρία με τη βοήθεια υπολογιστή, Πρακτικά 14 ου Πανελλήνιου Συνέδριου Μαθηματικής Παιδείας, ΕΜΕ, Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education: Monograph Number 3. Fischbein,E.(1982), Intuition and proof, For the Learning of mathematics 3 (2), Nov., pp Freudental, H. (1971). Geometry between the devil and the deep sea. Educational Studies in Mathematics Vol.3, Hershkowitz, R., (1996). Ψυχολογικές όψεις της μάθησης της Γεωμετρίας. Ερευνητική Διάσταση, τεύχος 1, μετάφραση Α. Πούλος και Γ. Θωμαϊδης, σ Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof, Mathematics Teacher, 74, Θωμαΐδης, Γ., Πούλος Α., (2000) Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Ζήτη Θεσσαλονίκη Kynigos, C. (1993). Children's Inductive Thinking during Intrinsic and Euclidean Geometrical Activities in a Computer Programming Environment. Educational Studies in Mathematics, 24, Νικολουδάκης Εμμ., Χουστουλάκης Εμμ., (2004) Αιτίες που δυσχεραίνουν την επικοινωνία μεταξύ δασκάλου και μαθητών στη διδασκαλία των Μαθηματικών της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Μία προτεινόμενη λύση. Πρακτικά του 21ου Συνεδρίου της Ε.Μ.Ε. σσ Αθήνα. Senk, S. L. (1985). How well do students write geometry proofs? Mathematics Teacher, 78, Schoenfeld, A.H., (1986). On having and using geometric knowledge. In Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics, J. Hierbert, Hillsdale, NJ: Erlbaum (eds.), Skemp R. (1971). The Psychology of Learning Mathematics. Penguin Books Ltd., England.

11 Τζεκάκη, Μ. (2002). Ελληνική Μαθηματική Εκπαίδευση: Ένα Πρόβλημα Αναζητεί Λύση. Themes in Education, 3 (1), Usiskin, Ζ. (1980). What should not be in the Algebra and Geometry curricula of average collegebound students? Mathematics Teacher, Vol.73(6), Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry, Columbus, OH, ERIC. Van Hiele, P. (1986). Structure and insight. Orlando, FL: Academic. Παράρτημα

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Η ΑΝΑΦΟΡΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΑΡΘΡΟ ΕΙΝΑΙ: Νικολουδάκης Εμμ., Δημάκος, Γ. (2009). «Βελτίωση της αποδεικτικής ικανότητας των μαθητών σε προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Μία πρόταση για τη διδασκαλία της απόδειξης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην Εκπαίδευση και στην Κοινωνία Εμμανουήλ Νικολουδάκης Σχολικός Σύμβουλος των Μαθηματικών Γ ΔΔΕ Αθήνας

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην Εκπαίδευση και στην Κοινωνία Εμμανουήλ Νικολουδάκης Σχολικός Σύμβουλος των Μαθηματικών Γ ΔΔΕ Αθήνας Ερμηνεία της δυσκολίας των μαθητών του γυμνασίου στην αποδεικτική διαδικασία προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας βασισμένη στα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης του van Hiele. Μια πρόταση υπέρβασης των δυσκολιών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή

Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Περίληψη Εισαγωγή Συνέχειες και ασυνέχειες κατά τη μετάβαση από το Γυμνάσιο στο Λύκειο: Η περίπτωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Περίληψη Με προφανή σκοπό τη δημιουργία ευνοϊκότερων

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ) Η διδασκαλία του Θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου με τη βοήθεια του συνδυασμού της θεωρίας van Hiele και της Γνωστικής Μαθητείας στα πλαίσια των ΤΠΕ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 236 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ζαράνης Νικόλας Λέκτορας Π.Τ.Π.Ε. Πανεπιστημίου Κρήτης nzaranis@edc.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012

ΟΔΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012 ΟΔΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012 Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 Ν.Δωδεκανήσου 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Νομικό Πλαίσιο...3 2. Δομή των θεμάτων...3 3. Ενδεικτικά Παραδείγματα...5

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου για το σχολικό έτος

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου

Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1 ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και

Διαβάστε περισσότερα

Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος

Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος Μητροσούδης Απόστολος ΑΜ 945 Παπαϊωάννου Ιωάννα ΑΜ 927 Παπλωματά Χρυσούλα ΑΜ 930 Τσάκου Ελένη ΑΜ 942 Χατζησάββα Ελένη ΑΜ 938 Οπτικοποίηση (Visualization)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016)

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016) Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Β Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια:Τάξη: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017

Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017 Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017 Διδακτική Ευκλείδειας Γεωμετρίας Διδασκαλία με χρήση Geogebra Δραστηριότητες Κώστας Μαλλιάκας, Μαθηματικός 1 ο Γενικό Λύκειο Ρόδου Βενετόκλειο kmath1967@gmail.com Διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

Διδασκαλία των ιδιοτήτων του ορθικού τριγώνου με χρήση λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας

Διδασκαλία των ιδιοτήτων του ορθικού τριγώνου με χρήση λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας Έρκυνα, Επιθεώρηση Εκπαιδευτικών Επιστημονικών Θεμάτων, Τεύχος 3ο, 20-30, 2014 Διδασκαλία των ιδιοτήτων του ορθικού τριγώνου με χρήση λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας Ανδρέας Κουλούρης akoulouris13@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012

ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΪΟΣ 2012 ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Στο Γυμνάσιο οι ανακεφαλαιωτικές, προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις διεξάγονται σύμφωνα με : Το Π.Δ. 409/1994 και

Διαβάστε περισσότερα

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών.

Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών. 4ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1 Διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με χρήση διαδικτυακών τεχνολογιών. Εμμανουήλ Νικολουδάκης (M.Ed) Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1 ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1. Αναγνωρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ HOFFER ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΤΕΙΑΣ

ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ HOFFER ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΤΕΙΑΣ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ HOFFER ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ VAN HIELE ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΤΕΙΑΣ Εμμανουήλ Νικολουδάκης (M.Ed & M.Sc.) Υποψήφιος Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Τοποθέτησε μια χελώνα στην επιφάνεια εργασίας. 2. Με ποια εντολή γράφει η χελώνα μας;.. 3. Γράψε την εντολή για να πάει

Διαβάστε περισσότερα

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4

Σε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4 Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ

Εξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ Εξισώσεις α βαθμού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση Το παρόν έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες. Γεωμετρικά σχήματα και σώματα

Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες. Γεωμετρικά σχήματα και σώματα Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες Γεωμετρικά σχήματα και σώματα Αφόρμιση Σχεδιάστε 5 τρίγωνα, κάθε ένα από τα οποία διαφέρει από τα άλλα Εξηγείστε ως προς τι διαφέρουν τα τρίγωνά σας Σε τι διαφέρουν;

Διαβάστε περισσότερα

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης (έννοιες, αντιλήψεις, αναπαραστάσεις) οργάνωση περιεχομένου μαθηματικών, εννοιολογικές αντιλήψεις στα μαθηματικά και στους μαθητές Μαρία Καλδρυμίδου θέματα οργάνωση περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Τίτλος : Δύο δραστηριότητες σε ευθεία-κύκλο. α) Η «χρυσή ευθεία» β) οι γεωμετρικοί τόποι μιας οικογένειας κύκλων. Τάξη: Δίωρο μάθημα σε μαθητές Β λυκείου σε αίθουσα

Διαβάστε περισσότερα

Van Hiele suggested a developmental model of student s geometrical thinking consisted

Van Hiele suggested a developmental model of student s geometrical thinking consisted ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΟΦΟΙΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΤΑ VAN HIELE Παναγιώτης Καλαϊτζίδης Αθηνά Παππά Χαράλαμπος Σακονίδης Εκπαιδευτικός, M.Ed.

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ;

ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ; ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ; Γιώργου Τσαπακίδη Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι τα συμμετρικά σχήματα έχουν πολύ περισσότερες ιδιότητες από τα μη συμμετρικά σχήματα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που έχει άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. Χριστίνα Μισαηλίδου

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. Χριστίνα Μισαηλίδου ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ C ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Χριστίνα Μισαηλίδου Χριστίνα Μισαηλίδου C.Misailidou@primedu.uoa.gr Γραφείο: Ιπποκράτους 20, 3 ος όροφος Ώρες Γραφείου: Τρίτη 13.00-15.30 Παρασκευή 10.00-12.00 Πρακτική Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία

Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία Αναλύοντας κείμενα και εικόνες για την έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία Βασιλική Σπηλιωτοπούλου Παιδαγωγικό Τμήμα ΑΣΠΑΙΤΕ Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια: Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Οι άνθρωποι από πολύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Π.Δ 409 του 1994 Για τις προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου Ιουνίου ισχύει το Π.Δ. 508/77 και η Εγκύκλιος ΥΠΕΠΘ Γ2/2764/6-5-96) (ΕΙΔΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών. (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου)

Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών. (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου) Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου) αντιλήψεις παιδιών (κι όχι µόνο) τι είναι γεωµετρία; Όταν αντιμετωπίζω προβλήματα γεωμετρίας νιώθω σαν να κάνω ένα είδος μεταγνωστικής

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά Θεωρητικό πλαίσιο Μαθηµατικά Β Γιώργος Αλβανόπουλος Σχολικός 1 Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Ομιλία στο Παράρτημα Κέρκυρας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές μάθησης. learning trajectories. Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών. επ. Κωνσταντίνος Π.

Τροχιές μάθησης. learning trajectories. Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών. επ. Κωνσταντίνος Π. Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Τροχιές μάθησης learning trajectories Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου τι είναι η τροχιά μάθησης Η μάθηση των μαθηματικών ακολουθεί μία τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

Απόψεις Μαθηματικών Λυκείου για τη σημασία και το ρόλο της απόδειξης στη διδασκαλία των Μαθηματικών

Απόψεις Μαθηματικών Λυκείου για τη σημασία και το ρόλο της απόδειξης στη διδασκαλία των Μαθηματικών Απόψεις Μαθηματικών Λυκείου για τη σημασία και το ρόλο της απόδειξης στη διδασκαλία των Μαθηματικών Δημητριάδου Ελένη, Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών, Σχολική Σύμβουλος Β/θμιας Εκπαίδευσης 1. Ο ιστορικός ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα