Έλεγχος αιτιότητας κατά Granger σε πολύ-μεταβλητές χρονοσειρές με εποχικότητα και εφαρμογή στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ MΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Έλεγχος αιτιότητας κατά Granger σε πολύ-μεταβλητές χρονοσειρές με εποχικότητα και εφαρμογή στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ευαγγελοπούλου Σταυρούλα Επιβλέποντες: Κουγιουμτζής Δημήτριος Μπίσκας Παντελής Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2012

2 2

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ MΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Έλεγχος αιτιότητας κατά Granger σε πολύ-μεταβλητές χρονοσειρές με εποχικότητα και εφαρμογή στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ευαγγελοπούλου Σταυρούλα Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 05/07/ 2012 Κουγιουμτζής Δημήτριος Αναπληρωτής Καθηγητής A.Π.Θ. Μπίσκας Παντελής Λέκτορας A.Π.Θ. Κολυβά-Μαχαίρα Φωτεινή Αναπληρώτρια Καθηγήτρια A.Π.Θ. 3

4 Ευαγγελοπούλου Σταυρούλα Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Η/Υ Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Copyrigh Ευαγγελοπούλου Σταυρούλα, 2012 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All righs reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς το συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν το συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ. 4

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος «Στατιστική και Μοντελοποίηση» του τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στους επιβλέποντες καθηγητές του Α.Π.Θ. κ. Κουγιουμτζή Δημήτριο και κ. Μπίσκα Παντελή για την εμπιστοσύνη που μου έδειξαν αναθέτοντας μου την εργασία αυτή, καθώς και για την καθοδήγηση,τις συμβουλές και τη βοήθεια που στη διάρκεια συγγραφής της διπλωματικής εργασίας μου παρείχαν. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους καθηγητές του μεταπτυχιακού τμήματος Στατιστικής και Μοντελοποίησης για την μεγάλη προσπάθεια που κατέβαλαν ώστε να στηρίξουν το τμήμα, και να το φέρουν σε υψηλό επίπεδο. Ευαγγελοπούλου Σταυρούλα Ιούνιος

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η αιτιότητα κατά Granger (Granger causaliy) X Y σε πολυ-μεταβλητές χρονοσειρές ορίζει κατά πόσο μια μεταβλητή Υ μπορεί να προβλεφθεί καλύτερα συμπεριλαμβάνοντας στο αυτοπαλινδρομικό μοντέλο και τη Χ. Η μείωση του σφάλματος προσαρμογής ποσοτικοποιείται με το δείκτη GCI X Y. Παίρνοντας υπόψη και άλλες μεταβλητές, έστω Ζ, στα δύο μοντέλα (χωρίς και με τη X), ορίζεται η δεσμευμένη αιτιότητα κατά Granger (condiional Granger causaliy) X Y Z, (δείκτης CGCI X Y ). Για διανυσματικά αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (VAR) έχει αναπτυχθεί στη βιβλιογραφία παραμετρικός έλεγχος σημαντικότητας του GCI X Y. Στην παρούσα εργασία μελετούμε την αιτιότητα κατά Granger σε πολυ-μεταβλητές χρονοσειρές με εποχικότητα. Παρατηρούμε πως ο παραμετρικός έλεγχος σε κάποιες περιπτώσεις δεν είναι ακριβής και η εποχικότητα μπορεί να δημιουργεί ψευδή αιτιότητα κατά Granger. Για αυτό προτείνουμε κατάλληλο έλεγχος τυχαιοποίησης. Ειδικότερα δημιουργούμε αναπληρωτικά (τυχαιοποιημένα) ζεύγη (X,Y) για το GCI X Y, ή τριάδες (X,Y,Ζ) για το CGCI X Y, όπου το Y (ή Y και Z) μένουν ως έχουν αλλά μεταθέτουμε κυκλικά τη χρονοσειρά του Χ κατά τυχαία χρονική μετατόπιση με τον περιορισμό η αρχική παρατήρηση να αντιστοιχεί στο ίδιο στοιχείο εποχικότητας. Με αυτόν τον τρόπο καταστρέφουμε τη χρονική αντιστοίχιση της Χ με τη Y (ή Y και Z) αλλά διατηρούμε την τυχόν αντιστοίχιση των στοιχείων της εποχικότητας, με αποτέλεσμα τυχόν διαφορές του αρχικού δείκτη αιτιότητας και των δεικτών των τυχαιοποιημένων χρονοσειρών να οφείλονται αποκλειστικά σε αιτιότητα. Δείχνουμε την καταλληλότητα του ελέγχου τυχαιοποίησης συγκρίνοντας τον με τον παραμετρικό έλεγχο σε προσομειώσεις Mone Carlo σε VARΜΑ συστήματα με εποχικότητα. Στη συνέχεια εφαρμόσθηκε η παραπάνω διαδικασία διερεύνησης αιτιότητας κατά Granger σε χρονοσειρές ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας διαφόρων ζωνών της Ιταλίας. Θεωρήσαμε τις ημερήσιες τιμές για τα δύο τελευταία έτη και ξεχωριστά για κάθε μια από τις 24 ώρες της ημέρας (εβδομαδιαία εποχικότητα). Ιδιαίτερα διερευνήσαμε την επίδραση στην τιμής της ζώνης Ιταλίας-Ελλάδας που μπορεί να έχουν η ζήτηση και τιμή σε γειτονικές και άλλες ζώνες καθώς και η τιμή του φυσικού αερίου. Τα αποτελέσματα έδειξαν σημαντικές διαφορές στις σχέσεις αιτιότητας ανάλογα με την ώρα της ημέρας. 6

7 Λέξεις Κλειδιά Granger causaliy, Condiional Granger causaliy, πολύ-μεταβλητές χρονοσειρές, εποχικότητα, VAR, VARMA, παραμετρικός έλεγχος, έλεγχος τυχαιοποίησης, αγορά ηλεκτρικής ενέργειας Ιταλίας. 7

8 ABSTRACT The Granger causaliy X Y in mulivariae ime series defines wheher a variable Y could be beer prediced including he variable X in he auoregressive model. The decrease of he fiing error gives he index GCI X Y. Taking ino accoun more variables, le i be Ζ, in boh models (wihou and wih variable X), he condiional Granger causaliy is defined X Y Z, (index CGCI X Y ). For he vecor auoregressive models (VAR), he parameric significance es of GCI X Y has been used. In his projec, we invesigae he Granger causaliy X Y in mulivariae ime series wih seasonaliy. I can be observed ha he parameric significance es has no he correc size and he seasonaliy can cause false Granger causaliy. For his reason we propose as more suiable he resampling es. Specifically, we creae alernaive couples (X,Y) for GCI X Y, or riads (X,Y,Ζ) for CGCI X Y, in which he variable Y (or Y and Z) is no modified bu we displace cyclically he ime series of X wih a random ime shif and requiring ha he iniial observaion corresponds o he same seasonal componen as for he original ime series. In his way, we change he enire ime maching beween Χ and Υ (or Y and Z) bu we preserve he ime maching of seasonal componens. Consequenly any differences in he iniial causaliy index and he respecive indices for he randomized ime series should be solely aribued o causaliy. We show he suiabiliy of he resampling es as compared o he parameric es in Mone Carlo simulaions on VARMA sysems wih seasonaliy. Then he procedure was applied o invesigae Granger causaliy in ime series of elecriciy demand and elecriciy price in differen areas of Ialy. We considered he daily daa of he las wo years, and analyzed hem independenly for each one of he 24 hours of day (weekly seasonaliy). Especially, we invesigaed he effec in price of he Ialy- Greece zone, caused by he demand and he price of neighboring zones as well as he price of gas. The resuls showed significan differences in he causal relaions a he differen hours of he day. Key Words Granger causaliy, Condiional Granger causaliy, Muli-variae ime series, seasonaliy, VAR, VARMA, parameric es, resampling es, Ialian elecriciy marke. 8

9 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 : Εισαγωγή 1.1 Εισαγωγή 12 Κεφάλαιο 2 : Μονο-μεταβλητές και Πολύ-μεταβλητές Χρονοσειρές 2.1 Ανάλυση Χρονοσειρών-Εισαγωγή Αυτοδιακύμανση Αυτοσυχέτιση Διασυσχέτιση Μονο-μεταβλητές χρονοσειρές Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου με Εποχικότητα Μοντέλα Πολύ-μεταβλητών Χρονοσειρών Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο με Εποχικότητα Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου με Εποχικότητα 29 Κεφάλαιο 3 : Αιτιότητα κατά Granger 3.1 Αιτιότητα Αιτιότητα κατά Granger Στιγμιαία αιτιότητα Υπό συνθήκη αιτιότητα κατά Granger Αιτιότητα κατά Granger σε χρονοσειρές με Τάση και Εποχικότητα 36 9

10 3.6 Παραμετρικός έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας του μέτρου αιτιότητας κατά Granger 39 Κεφάλαιο 4 : Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της αιτιότητας κατά Granger. 4.1 Εισαγωγή Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της αιτιότητας κατά Granger Causaliy X Y Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger X Y Z Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της αιτιότητας X Y και της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger X Y Z σε χρονοσειρές με Εποχικότητα. 46 Κεφάλαιο 5 : Αξιολόγηση Ελέγχων για τη Σημαντικότητα της αιτιότητας κατά Granger-Προσομοιώσεις 5.1 Εισαγωγή Προγράμματα προσαρμογής μοντέλων χρονοσειρών Προγράμματα ελέγχου σημαντικότητας Προγράμματα Δημιουργίας Χρονοσειρών η Προσομοίωση η Προσομοίωση η Προσομοίωση 72 Κεφάλαιο 6 : Εφαρμογή στην Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας της Ιταλίας 6.1 Εισαγωγή Οδηγία 96/92/ΕΚ- Οδηγία 2003/54/ΕΚ Η λειτουργία της ανοιχτής αγοράς /ΗΕ 86 10

11 6.4 Η λειτουργά της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας Ιστορική αναδρομή Δομή της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας Αγορά όψεως ΜΡΕ Προθεσμιακή Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας MTE Το πραγματικό πρόβλημα-συλλογή δεδομένων Προσομοίωση Πραγματικών χρονοσειρών Εφαρμογή των πραγματικών δεδομένων-αποτελέσματα Υπολογισμός της αιτιότητας κατά Granger για τις πραγματικές χρονοσειρές Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X1 X2 X Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X1 X2 X3, X Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X1 X2 X3, X4, X5, X Κεφάλαιο 7 : Συμπεράσματα 140 Βιβλιογραφία

12 Κεφάλαιο :1 Εισαγωγή 1.1) Εισαγωγή Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία πραγματοποιήθηκε αρχικά η μελέτη πολύ-μεταβλητών χρονοσειρών τύπου VAR και VARMA με εποχικότητα και χωρίς. Κύριο μέρος της εργασίας αποτελεί η μελέτη και η εφαρμογή του μέτρου της αιτιότητας κατά Granger (Granger causaliy) της X Y, όπου Χ και Υ είναι οι μεταβλητές του συστήματος οι οποίες παρουσιάζουν εποχικότητα. Πραγματοποιήθηκε ο έλεγχος του κατά πόσο μία μεταβλητή Χ του συστήματος επηρεάζει τη μελλοντική εξέλιξη μιας άλλης μεταβλητής Υ. Στο πλαίσιο αυτό, εξετάστηκε επιπλέον και το μέτρο της υπό συνθήκης αιτιότητας (condiioning causaliy), σύμφωνα με το οποίο ελέγχεται η επίδραση μίας μεταβλητής σε μία άλλη, δεδομένου όμως ότι η δεύτερη επηρεάζεται και από άλλες μεταβλητές. Στη συνέχεια, πραγματοποιήθηκε ο έλεγχος σημαντικότητας των παραπάνω μέτρων. Αυτό έγινε με δύο τρόπους, τον παραμετρικό έλεγχο σημαντικότητας και τον έλεγχο τυχαιοποίησης. Σύμφωνα με τον πρώτο, πραγματοποιήθηκε έλεγχος με το γνωστό στατιστικό κριτήριο βασισμένο στην κατανομή Fisher. Στον έλεγχο τυχαιοποίησης, δημιουργήθηκαν Μ νέες χρονοσειρές της Χ μεταβλητής από αναδειγματοληψία της αρχικής χρονοσειράς της μεταβλητής Χ η οποία προκαλεί επίδραση στη Υ. Για τα νέα Μ ζεύγη που δημιουργήθηκαν της χρονοσειράς Υ με κάθε μία από τις νέες χρονοσειρές υπολογίσθηκε ο δείκτης αιτιότητας κατά Granger. Τέλος βρήκαμε κατά πόσο διαφέρει ο αρχικός δείκτης αιτιότητας με τους αντίστοιχους δείκτες στα Μ νέα ζεύγη χρονοσειρών. Έτσι υπολογίσθηκε η p τιμή και τελικά μπορέσαμε να συμπεράνουμε εάν η αρχική μας υπόθεση απορρίπτεται ή όχι. Η διαδικασία δημιουργίας των νέων χρονοσειρών Χ *1 *Μ, Χ βασίστηκε στην επιλογή ενός τυχαίου στοιχείου της αρχικής Χ και στη συνέχεια αναδίπλωση αυτής. Η αναδίπλωση της αρχικής χρονοσειράς στη συγκεκριμένη εργασία πραγματοποιήθηκε με δύο τρόπους και έτσι προέκυψε ο έλεγχος τυχαιοποίσης (1) και ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2). 12

13 Στον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) η επιλογή του τυχαίου σημείου της αρχικής χρονοσειράς Χ, που έχει μήκος n, έγινε με την επιλογή από το δεύτερο έως το n-οστό στοιχείο της {2,.., n}. Αντίθετα, στον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) η επιλογή του τυχαίου στοιχείου πραγματοποιήθηκε μέσα από τα περιοδικά στοιχεία της αρχικής σειράς. Συγκεκριμένα, ορίζοντας με n το μήκος της χρονοσειράς και με s την περιοδικότητα της, υπολογίσαμε πόσοι εποχικοί κύκλοι εμφανίζονται σ αυτή με το L=n/s (πήραμε την ακέραια τιμή). Από το σύνολο των τιμών {2,..,L} έγινε η επιλογή μίας τυχαίας τιμής i και τελικά η αναδίπλωση της αρχικής σειράς ξεκινά από το σημείο i*s+1. Χαρακτηριστικό του ελέγχου τυχαιοποίησης (2) είναι ότι διατηρείται η περιοδικότητα και στις νέες χρονοσειρές που δημιουργούνται ενώ πραγματοποιείται και η αντιστοιχία των περιοδικών στοιχείων. Για όλες τις παραπάνω διαδικασίες και μέτρα πραγματοποιήθηκε προσομοίωση στο υπολογιστικό περιβάλλον του Malab. Αναπτύχθηκε κώδικας στο ίδιο πρόγραμμα με σκοπό τη δημιουργία πολύ-μεταβλητών χρονοσειρών, για τον έλεγχο της συμπεριφοράς του μέτρου causaliy και των ελέγχων σημαντικότητας. Σύμφωνα με τις παραπάνω προσομοιώσεις έγινε αντιληπτή η διαφορετική βαρύτητα των ελέγχων σημαντικότητας. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) έχει μεγαλύτερη ακρίβεια, ενώ λαμβάνει υπόψη του και την επίδραση της παραμέτρου της εποχικότητας την οποία δεν λαμβάνει ο παραμετρικός έλεγχος και ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2). Στη συνέχεια, πραγματοποιήθηκε η ανάλυση αιτιότητας σε πραγματικά δεδομένα και συγκεκριμένα έγινε η διερεύνηση της επίδρασης των μεταβλητών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας μίας συγκεκριμένης ζώνης της Ιταλίας, της εθνικής ζήτησης ενέργειας της Ιταλίας, της τιμής αερίου, της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας και της Ιταλίας στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας αυτής της ζώνης. Η ζώνη αυτή που εξετάζουμε είναι η ζώνη «Greece» όπου πραγματοποιείται η σύνδεση με υπόγειο καλώδιο με την Ελλάδα με σκοπό την αμφίδρομη εμπορία ηλεκτρικής ενέργειας όποτε αυτή είναι συμφέρουσα. Το πότε όμως είναι συμφέρουσα για τη χώρα μας εξαρτάται από την τιμή ηλεκτρικής ενέργειας στην ζώνη αυτή. Έτσι λοιπόν, ο υπολογισμός της αιτιότητας κατά Granger και της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger των προαναφερθέντων χρονοσειρών στη χρονοσειρά της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης, μπορεί να βοηθήσει στο να πραγματοποιηθεί με μεγαλύτερη 13

14 ακρίβεια η πρόβλεψη της χρονοσειράς της τελευταίας. Ωστόσο, η διαδικασία της πρόβλεψης της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας δεν θα πραγματοποιηθεί στη συγκεκριμένη εργασία. Συνοπτικά, στο δεύτερο κεφάλαιο θα αναφερθούμε στην ανάλυση των μονομεταβλητών και πολύ-μεταβλητών χρονοσειρών. Στη συνέχεια, στο κεφάλαιο 3 θα δοθεί ο ορισμός της αιτιότητας κατά Granger, της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger, θα αναλυθεί η συμπεριφορά του μέτρου της αιτιότητας κατά Granger σε χρονοσειρές που έχουν εποχικότητα και τέλος θα παρουσιασθεί ο παραμετρικός έλεγχος σημαντικότητας των παραπάνω μέτρων. Στο κεφάλαιο 4, θα αναλυθεί η λειτουργία του ελέγχου τυχαιοποίησης. Θα παρουσιασθούν δύο μορφές του ελέγχου αυτού, ο έλεγχος τυχαιοποίησης (1) και ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) για τις περιπτώσεις τόσο της απλής περίπτωσης αιτιότητας όσο και της υπό συνθήκη. Στο κεφάλαιο 5 θα παρουσιασθούν τα αποτελέσματα μίας σειράς προσομοιώσεων και θα αναλυθούν οι ιδιαιτερότητες των ελέγχων σημαντικότητας. Τέλος, στο κεφάλαιο 6 θα αναλυθεί η λειτουργία της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας και θα εξετασθεί ποιες μεταβλητές επιδρούν στη διαμόρφωση της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» και στο 7 ο κεφάλαιο θα παρουσιασθούν αναλυτικά τα συμπεράσματα της εργασίας. 14

15 Κεφάλαιο 2. Μονο-μεταβλητές και Πολύ-μεταβλητές Χρονοσειρές 2.1) Ανάλυση Χρονοσειρών-Εισαγωγή Με τον όρο Χρονοσειρά εννοούμε μία σειρά από παρατηρήσεις που συλλέγονται σε χρονικές στιγμές ή περιόδους που ισαπέχουν μεταξύ τους. Βασικό χαρακτηριστικό κάθε χρονοσειράς είναι η εξάρτηση μεταξύ των διαδοχικών τιμών της. Η φύση της αλληλεξάρτησης που υπάρχει μεταξύ των παρατηρήσεων μιας σειράς αποτελεί αντικείμενο μελέτης και ανάλυσης. Έχει αναπτυχθεί ένα μεγάλο εύρος μεθόδων για την ανάλυση των δεδομένων των χρονοσειρών προκειμένου να εξαχθούν χρήσιμα στατιστικά στοιχεία και άλλα χαρακτηριστικά των δεδομένων αυτών. Γενικά υπάρχουν μέθοδοι οι οποίες βασίζονται στη μελέτη συναρτήσεων που εξαρτώνται τόσο από το χρόνο όσο και από τη συχνότητα. Τρία βασικά στοιχεία της ανάλυσης χρονοσειρών είναι η περιγραφή, η επεξήγηση και η πρόβλεψη. Η περιγραφή επιτυγχάνεται με την βοήθεια διαφόρων γραφημάτων, η επεξήγηση χρησιμοποιώντας κάποιας μορφής μοντέλα για να διερευνηθεί ο μηχανισμός δημιουργίας της χρονοσειράς και τέλος η πρόβλεψη η οποία περιλαμβάνει τη χρησιμοποίηση ενός μοντέλου για να προβλεφθούν οι μελλοντικές τιμές της σειράς. Ο κύριος στόχος είναι συνήθως ο καθορισμός ενός μοντέλου που περιγράφει το πρότυπο κατασκευής της χρονοσειράς και που μπορεί να εξηγήσει πως το παρελθόν επηρεάζει το μέλλον ή πως δύο χρονοσειρές μπορούν να «επικοινωνούν». Απαραίτητα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν πριν γίνει ο καθορισμός του μοντέλου είναι : Η ύπαρξη ή όχι τάσης στη χρονοσειρά, Η ύπαρξη ή όχι περιοδικότητας, αν υπάρχει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Η εμφάνιση ακραίων τιμών στα δεδομένα της χρονοσειράς. Αν η διακύμανση της χρονοσειράς είναι σταθερή ή όχι. 15

16 Η ύπαρξη απότομων αλλαγών είτε στο επίπεδο τιμών της σειράς ή στης διακύμανσης. Οι απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά θα βοηθήσουν περισσότερο στις ενέργειες που θα πρέπει να γίνουν για την επεξεργασία της χρονοσειράς προτού ξεκινήσει η διαδικασία προσαρμογής του μοντέλου. Δύο βασικές κατηγορίες μοντέλων είναι τα γραμμικά και τα μη-γραμμικά μοντέλα. Τα γραμμικά μοντέλα είναι εκείνα τα οποία εφαρμόζονται ευκολότερα στην πράξη και παρουσιάζουν γραμμικές συσχετίσεις μεταξύ των παρατηρήσεων. Η ανάλυση τους βασίζεται στην πιθανοκρατική θεωρία κανονικών διαδικασιών που είναι πλήρως κατανοητή ενώ παράλληλα η στατιστική συμπερασματολογία για τα γραμμικά μοντέλα έχει αναπτυχθεί πλήρως. Τα μη-γραμμικά μοντέλα προσφέρονται για την περιγραφή χρονοσειρών με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά όπως έντονη ασυμμετρία ως προς την κατανομή των δεδομένων και έντονα «ξεσπάσματα» σε άτακτα χρονικά διαστήματα. Η ανάλυση τους βασίζεται στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων και του χάους καθώς και σε μηγραμμικές στοχαστικές διαδικασίες, ενώ έχει αποδειχθεί τα τελευταία χρόνια ότι αυτά τα μοντέλα μπορούν να πετύχουν καλύτερες προβλέψεις σε κάποιες περιπτώσεις όπως σε χρηματοοικονομικούς δείκτες. Παρακάτω γίνεται η ανάλυση ορισμένων γραμμικών μοντέλων αφού όμως πρώτα επισημάνουμε μερικά απαραίτητα εργαλεία περιγραφής των χρονοσειρών όπως αυτοδιακύμανση, αυτοσυχέτιση και διασυσχέτιση ) Αυτοδιακύμανση Η συνάρτηση αυτοδιακύμανσης (auocovariance) αποτελεί το βασικό εργαλείο για την περιγραφή της σειριακής εξάρτησης μίας χρονοσειράς και δίνεται από τον τύπο: γ ( k) = cov( x, x ) = E( x μ)( x μ), k = 0, ± 1, ± 2,... + k + k όπου k είναι η υστέρηση και μ η μέση τιμή της χρονοσειράς. Για k=0 έχουμε γ = σ που είναι η διακύμανση της χρονοσειράς. Η συνάρτηση 2 0 x αυτοδιακύμανσης μπορεί να εκτιμηθεί από n k 1 ˆ( γ k) = c = ( x x)( x x) (2.1) k + k n = 1 16

17 όπου n είναι το μήκος της χρονοσειράς ([3] σελ 158, [2] σελ 20). Ουσιαστικά μπορούμε να πούμε πως το μέγεθος αυτό δείχνει κατά πόσο κάθε τιμή της σειράς x μεταβάλλεται με τον ίδιο τρόπο με την τιμή x + k οι τιμές αυτές είναι άσχετες μεταξύ τους.. Αν η τιμή της αυτοδιακύμανσης είναι μηδενική τότε Αντίστοιχα, η ποσότητα της συνδιακύμανσης μπορεί να υπολογισθεί και για δύο ξεχωριστές χρονοσειρές, για παράδειγμα την ορίζεται ως: x και την y. Σε αυτήν την περίπτωση, γ ( k) = cov( x, y ) = E( x μ )( y μ ), k = 0, ± 1, ± 2,... xy + k x + k y ενώ μπορεί να εκτιμηθεί από τον τύπο: n k 1 ˆ γ ( k) = ( x x)( y y) (2.2) xy + k n = 1 Έτσι μπορούμε να διαπιστώσουμε κατά πόσο δύο διαφορετικές χρονοσειρές δεδομένων μεταβάλλονται ταυτόχρονα ([3] σελ 158, [2] σελ 20). Για περισσότερη ανάλυση κα ιδιότητες του μέτρου της αυτοδιακύμανσης και της συνδιακύμανσης δίνονται οι αναφορές ([4] σελ 35, [11] σελ 29,31,474) ) Αυτοσυχέτιση Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (auocorrelaion) μίας χρονοσειράς αποτελεί την κανονικοποιημένη μορφή της συνάρτησης αυτοδιακύμανσης και ορίζεται ως εξής : γ ( k) γ ( k) Ex ( μ)( x+ k μ) ρ( k) = = = k = 0, ± 1, ± 2,... γ(0) σ σ 2 2 x x Η εκτίμηση της μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των εκτιμητών της αυτοδιακύμανσης όπως παρακάτω([2] σελ 18, [3] σελ 158): ˆ( γ k) ck ˆ( ρ k) = rk = = = ˆ(0) γ c 0 n k = 1 ( x x)( x x) n = 1 + k ( x x) 2 (2.3) Για περισσότερη ανάλυση κα ιδιότητες του μέτρου της αυτοσυσχέτισης δίνονται οι αναφορές ([4] σελ 35, [11] σελ 29,31). 17

18 2.1.3) Διασυσχέτιση Αντίστοιχα, μπορεί να υπολογισθεί και η διασυσχέτιση (cross correlaion) ανάμεσα σε δύο χρονοσειρές. Ο υπολογισμός της συνάρτησης της διασυσχέτισης αποτελεί κανονικοποιημένη μορφή και αυτή αντίστοιχα της συνάρτησης της συνδιακύμανσης. Έτσι για παράδειγμα η συνάρτηση της διασυσχέτισης για τις χρονοσειρές x και y δίνεται από : γ xy ( k) ρxy ( k) = όπου σ x και σ y είναι τυπικές αποκλίσεις των x και y αντίστοιχα. σ σ x y Ο εκτιμητής της διασυσχέτισης είναι ([11] σελ 474): ˆ ρ ( k) = xy n k = 1 ( x x)( y y) + k n n 2 2 ( x x) ( y y) = 1 = 1 (2.4) 2.2) Μονο-μεταβλητές χρονοσειρές 2.2.1) Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο (auoregressive model AR) είναι ένα γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης, σύμφωνα με το οποίο η συνάρτηση του είναι γραμμική δηλαδή η εξαρτημένη μεταβλητή δίνεται ως ένας γραμμικός συνδυασμός των ανεξάρτητων μεταβλητών. Θεωρούμε ως εξαρτημένη μεταβλητή την τυχαία μεταβλητή της χρονοσειράς σε μία χρονική στιγμή, x, και ως ανεξάρτητες μεταβλητές θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή της χρονοσειράς σε προηγούμενους χρόνους, δηλαδή τις x,..., 1 x p όπου p είναι η τάξη του μοντέλου. Ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης p μίας μονομεταβλητής χρονοσειράς συμβολίζεται ως AR(p) και ορίζεται ως x = + x + + x + e (2.5) ϕ0 ϕ ϕp p όπου ϕ0, ϕ1,..., ϕ p είναι οι συντελεστές του μοντέλου και e ~ iid ο λευκός θόρυβος με 2 μέση τιμή 0 και διασπορά σ e. Άρα το AR μοντέλο είναι γνωστό αν γνωρίζουμε την τάξη, τους συντελεστές του μοντέλου και τη διασπορά του λευκού θορύβου. Στην πράξη, 18

19 η τάξη p του AR(p) μοντέλου, οι συντελεστές του, καθώς και η διασπορά του λευκού θορύβου (iid) εκτιμώνται από τη χρονοσειρά με διάφορες μεθόδους και οι εκτιμήσεις τους χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψη της χρονοσειράς τις επόμενες χρονικές στιγμές ([2] σελ 35). Πιο συγκεκριμένα, η τάξη p του AR(p) μοντέλου μπορεί να βρεθεί από τον υπολογισμό των μερικών αυτοσυσχετίσεων ([3] σελ 176, [4] σελ 43, [11] σελ 66, [5]). Ωστόσο, η τάξη του AR μοντέλου μπορεί να προσδιορισθεί και από διάφορα κριτήρια πληροφορίας που βασίζονται στην πιθανοφάνεια (likelihood) των δεδομένων με βάση αυτό το μοντέλο. Ως δείκτης πιθανοφάνειας μπορεί να θεωρηθεί η διασπορά δειγματικών υπολοίπων των 2 s e από την προσαρμογή του AR(p) μοντέλου. Το πιο γνωστό κριτήριο είναι το κριτήριο πληροφορίας του Akaike (Akaike informaion crierion, AIC) που ορίζεται ως: 2 2 p AIC( p) = ln( se ) + όπου n είναι το μήκος της χρονοσειράς. n Είναι φανερό ότι όσο μεγαλώνει η τάξη p του AR μοντέλου τα σφάλματα ή υπόλοιπα (residuals) της προσαρμογής 2 s e γίνονται μικρότερα και για πολύ μεγάλες τάξεις το AR μοντέλο προσαρμόζεται σε διακυμάνσεις που δεν αντανακλούν πραγματικές συσχετίσεις αλλά το λευκό θόρυβο. Για αυτό στη σχέση υπάρχει ο δεύτερος όρος, που λέγεται και συνάρτηση ποινής (penaly funcion), ο οποίος δρα αρνητικά και αυξάνει την τιμής της συνάρτησης AIC όταν η τάξη του μοντέλου αυξάνει. Υπολογίζοντας το κριτήριο AIC για ικανά μεγάλο αριθμό τάξεων μοντέλου επιλέγουμε εκείνη την τάξη p που δίνει την ελάχιστη τιμή του AIC ([3] σελ 187, [18]). Η εκτίμηση των συντελεστών του μοντέλου αφού πρώτα έχει εκτιμηθεί η τάξη του, μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. Δύο από τις πιο γνωστές είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (ordinary leas squares, OLS) και η μέθοδος ροπών, γνωστής και ως Yule-Walker [5], [6]. Τέλος, είναι σημαντικό να πραγματοποιηθεί ο διαγνωστικός έλεγχος της επάρκειας του μοντέλου. Αυτό γίνεται ελέγχοντας αν τα σφάλματα προσαρμογής, δηλαδή οι διαφορές πραγματικών και εκτιμώμενων τιμών, είναι iid και κυρίως ανεξάρτητα. Αν δεν ισχύει αυτό τότε σημαίνει ότι υπάρχουν συσχετίσεις στη χρονοσειρά που το μοντέλο δεν έχει συμπεριλάβει και επομένως είναι ανεπαρκές. 19

20 Είναι σημαντικό να τονισθεί ότι το ΑR(p) εκτός από γραμμικό είναι και στάσιμο μοντέλο. Στην πράξη, οι συντελεστές του μοντέλου θα πρέπει να εκτιμώνται από μία ήδη υπάρχουσα χρονοσειρά η οποία είναι στάσιμη. Γενικά, μία χρονοσειρά είναι στάσιμη αν η μέση τιμή και η διασπορά των παρατηρήσεων δεν αλλάζει με τον χρόνο και η συνδιασπορά ανάμεσα σε δύο όρους της χρονικής σειράς εξαρτάται μόνο από την απόλυτη τιμή της χρονικής τους διαφοράς (lag), ([2] σελ 28, [3] σελ 156): 1) Ex = μ και Var( x ) = σ για κάθε n όπου n το μέγεθος της χρονοσειράς. 2) cov( x, x + ) = γ για κάθε T. k k 2 x Πολλές φορές οι χρονοσειρές δεν είναι στάσιμες καθότι περιέχουν τάση ή και εποχικότητα. Η αυτοπαλινδρομούμενη στοχαστική διαδικασία AR(p) της (2.5) (όπου Ex ( ) = 0και άρα φ 0 =0), δίνεται σε μορφή πολυωνύμου ως: 2 p (1 ϕ1β ϕ2β... ϕpβ ) x = e Φ( Β ) x = e Για να είναι στάσιμη η AR(p) θα πρέπει οι ρίζες του πολυωνύμου 2 p Φ ( B) = 1 ϕ1b ϕ2b... ϕpb, B να βρίσκονται έξω από τον μοναδιαίο κύκλο, στο μιγαδικό επίπεδο ([3] σελ 170, [5]) ) Μοντέλο Κινούμενου Μέσου Η γενική μορφή ενός μοντέλου κινούμενου μέσου (moving average) τάξης q ΜΑ(q) μίας μονομεταβλητής χρονοσειράς είναι η εξής : x = μ + e + θ1e θqe q (2.6) όπου μ είναι η μέση τιμή της σειράς, θ,..., 1 θ q είναι οι παράμετροι του μοντέλου και e iid ο λευκός θόρυβος με μέση τιμή 0 και διασπορά υποθέτουμε ότι η χρονοσειρά 2 σ e. Στο μοντέλο αυτό x δημιουργείται από έναν σταθμισμένο μέσο τυχαίων σφαλμάτων των q προηγούμενων χρονικών βημάτων και ονομάζεται μοντέλο κινητών μέσων τάξεως q. Στην πράξη το ΜΑ μοντέλο μπορεί να γίνει γνωστό εάν προσδιορισθούν η τάξη του και οι συντελεστές θ i από μία πραγματική χρονοσειρά. 20

21 Πιο συγκεκριμένα, η τάξη του ΜΑ μοντέλου προσδιορίζεται από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Η τιμή του r q θεωρείται ο τελευταίος συντελεστής που βρίσκεται στο μοντέλο ΜΑ(q) και περιγράφει τη σημαντικότητα της e q. Αν είναι σημαντικά διάφορη του μηδενός τότε το μοντέλο τάξης q θα είναι προτιμότερο από αυτό της τάξης q-1. Στην αντίθετη περίπτωση, προτιμότερο θα είναι αυτό τάξης q-1. Εκτός απ αυτό βέβαια υπάρχει και το κριτήριο Akaike για την εύρεση της τάξης του μοντέλου. Οι παράμετροι του ΜΑ μπορούν να υπολογισθούν με διάφορες μεθόδους, με πιο γνωστές αυτές των ελαχίστων τετραγώνων και τη μέθοδο των ροπών ([3] σελ 179, [5]). Η διαδικασία κινούμενου μέσου ΜΑ(q) ης (2.6) (όπου Ex ( ) = 0και άρα θ 0 =0), δίνεται σε μορφή πολυωνύμου ως: x e x e 2 ( q = θ Β θ Β θqβ ) =Θ( Β ) Εδώ, δεν χρειάζονται περιορισμοί για τα θ i ώστε να εξασφαλίζεται η στασιμότητα της σειράς, χρειάζονται περιορισμοί για να εξασφαλισθεί η αντιστρεψιμότητά της (για την ανάλυση της έννοιας της αντιστρεψιμότητας δες [3] σελ 179. Οπότε θα πρέπει οι ρίζες του πολυωνύμου 2 q Θ ( B) = 1 θ1b θ2b... θqb, B να βρίσκονται έξω από τον μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο ([3] σελ180) ) Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου Τα μεικτά μοντέλα ARMA είναι μοντέλα τα οποία πιθανόν να περιλαμβάνουν αυτοπαλινδρομούμενους όρους αλλά και όρους κινούμενου μέσου. Στις περιπτώσεις αυτές στο μοντέλο ενσωματώνονται στοιχεία τόσο του μοντέλου AR όσο και του μοντέλου ΜΑ οπότε μπορεί να προκύψει το μεικτό μοντέλο ARMA. Η γενική μορφή ενός ARMA(p,q) είναι η εξής : x = ϕ + ϕ x ϕ x + e θ e... θ e (2.7) p p 1 1 q q Το αυτοπαλινδρομούμενο μέρος (ΑR) είναι τάξης p και το μέρος του κινούμενου μέσου (MA) είναι τάξης q. Πιο σύντομα μπορούμε να το παραστήσουμε ως εξής ([3] σελ 184, [6] σελ 11): Φ( Β ) x = ϕ +Θ( Β ) e 0 21

22 Όπου ΦΒ= Β Β Β και 2 ( ) (1 ϕ1 ϕ2... ϕ p p ) Θ Β = Β Β Β τα 2 ( ) (1 θ1 θ2... θ q q ) πολυώνυμα των τελεστών υστέρησης για το αυτοπαλινδρομούμενο και το κινούμενου μέσου μέρος αντίστοιχα. Για την εξασφάλιση της στασιμότητας και της αντιστρεψιμότητας της σειράς θα πρέπει να ισχύουν τα εξής ([3] σελ 184, [6] σελ 11): 1) Οι ρίζες του πολυωνύμου 2 p Φ ( ω) = 1 ϕω 1 ϕω 2... ϕpω να είναι έξω από τον μοναδιαίο κύκλο, έτσι ώστε η σειρά να είναι στάσιμη. 2) Οι ρίζες του πολυωνύμου 2 q Θ ( ω) = 1 θω 1 θω 2... θω q να είναι και αυτές έξω από τον μοναδιαίο κύκλο ώστε η σειρά να είναι αντιστρέψιμη. Αξίζει να σημειωθεί ότι πολλά από τα στατιστικά πακέτα αναφέρονται μόνο στα μοντέλα ARMA(p,q) επειδή το ΑR(p) μοντέλο είναι ARMA(p,0) και το MA(q) είναι ARMA(0,q), αποτελούν υποπεριπτώσεις του γενικού ΑRMA μοντέλου. Στην πράξη, υπάρχει πιθανότητα, οι χρονοσειρές να μην είναι στάσιμες αλλά να παρουσιάζουν τάση. Έτσι λοιπόν ορίζονται τα ARIMA μοντέλα σύμφωνα με τα οποία η χρονοσειρά μετασχηματίζεται σε στάσιμη της μορφής ARMA. Ο μετασχηματισμός σε στάσιμη χρονοσειρά γίνεται με την επανάληψη d φορές των πρώτων διαφορών μέχρι να επιτευχθεί η στασιμότητα της σειράς, το μοντέλο τότε θα συμβολίζεται με τη μορφή ARIMA(p,d,q). Μία σειρά που είναι ήδη στάσιμη θα συμβολίζεται ως ARIMA(p,0,q), πράγμα που σημαίνει ότι το μοντέλο μορφής ARMA είναι υποπερίπτωση του ARIMA για d=0. Το ARIMA(p,d,q) παριστάνεται ως ([6] σελ 15): d ΦΒ ( )(1 B) x =ΘΒ ( ) e (2.8) Ως παράδειγμα, οι χρονοσειρές της μορφής ARMA(3,2) και ARIMA(3,1,2) παρουσιάζονται στα παρακάτω διαγράμματα: 22

23 Σχήμα 2. 1 Χρονοσειρά της μορφής ARMA(3,2). Σχήμα 2. 2 Χρονοσειρά της μορφής ARIMA(3,1,2). Από τα δύο παραπάνω διαγράμματα μπορούμε να παρατηρήσουμε ξεκάθαρα τη διαφορά μίας στάσιμης (Σχήμα 2.1) και μίας χρονοσειράς που παρουσιάζει τάση (Σχήμα 2.2) ) Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου με Εποχικότητα Μία χρονοσειρά είναι δυνατόν να παρουσιάζει εποχικότητα s (seasonaliy), αν παρουσιάζει ομοιότητες σε κάθε s διαστήματα ή ισοδύναμα, η ίδια συμπεριφορά επαναλαμβάνεται σε κάθε s παρατηρήσεις. 23

24 Ένα μοντέλο το οποίο μπορεί να αναπαριστά τέτοιου είδους περιοδικότητες είναι το SARMA(p,q)(P,Q) μοντέλο όπου p,q,p,q οι τάξεις του. Είναι και αυτό ένα μονομεταβλητό μοντέλο και έχει την μορφή : s s ϕ ( B) Φ ( B ) x = θ ( B) Θ ( B ) e (2.9) p P q Q όπου e ~iid ο λευκός θόρυβος με μέση τιμή 0 και διασπορά 2 σ e. Ο τελεστής υστέρησης Β ορίζεται για την αναπαράσταση της εποχικότητας με τον εξής τρόπο (εποχικές διαφορές τάξης s), s B x =, όπου s είναι η εποχικότητα. Το μη εποχικό x s αυτοπαλινδρομούμενο πολυώνυμο είναι το ϕ Β = ϕβ ϕ Β ϕ Β τάξης p 2 p p( ) ( p ) ενώ το αντίστοιχο εποχικό πολυώνυμο είναι το Φ Β = ΦΒ Φ Β Φ Β τάξης P. Το μη-εποχικό πολυώνυμο s s 2s Ps P( ) ( P ) κινούμενου μέσου είναι το 2 q q( B) = 1 1B 2B... qb τάξης q και το αντίστοιχο θ θ θ θ εποχικό πολυώνυμο Θ B = B B B με τάξη Q ([3] σελ 207, [6] s s 2s Qs Q( ) 1 θ1 θ2... θq σελ 19). Γενικότερα, επειδή αναφερόμαστε σε χρονοσειρές που περιέχουν εποχικότητα, αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχει δυνατότητα εξάλειψης αυτής. Ο μετασχηματισμός της χρονοσειράς σε μη εποχική γίνεται με τη χρήση των εποχικών διαφορών. Οι εποχικές διαφορές μπορούν να πραγματοποιηθούν όσες φορές χρειασθεί προκειμένου να εξαφανισθεί η εποχικότητα ([3] σελ 208). 2.3) Μοντέλα Πολύ-μεταβλητών Χρονοσειρών Στην πράξη, συχνά παίρνονται παρατηρήσεις ταυτόχρονα σε δύο ή και παραπάνω μεταβλητές. Για παράδειγμα στη μετεωρολογία παρατηρούμε δεδομένα-μετρήσεις στην ίδια θέση, την ίδια χρονική στιγμή για την θερμοκρασία, την πίεση του αέρα, τη βροχόπτωση, την ηλιοφάνεια κ.τ.λ. Για την ανάλυση τους είναι χρήσιμο να παραχθούν πολύ-μεταβλητά μοντέλα που να μπορούν να περιγράψουν τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών αυτών. Η ανάλυση πολύ-μεταβλητών χρονοσειρών συχνά γίνεται με επέκταση μοντέλων μονο-μεταβλητών χρονοσειρών. Ένα από τα πιο γνωστά μοντέλα πολύ-μεταβλητών χρονοσειρών είναι το διανυσματικό αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο (vecor auoregressive VAR). 24

25 2.3.1) Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Το διανυσματικό αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο (vecor auoregressive VAR) αποτελεί γενίκευση του μονοδιάστατου αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου (AR) σε πολύμεταβλητή χρονοσειρά x = [ x1, x2,..., xk]' που αποτελεί ένα ( K 1) διάνυσμα για χρόνους = 1,..., n. Το μοντέλο ορίζεται ως εξής: x = v+ A1x Apx p + e (2.10) όπου K ο αριθμός των χρονοσειρών που «συμμετέχουν» στο πολύ-μεταβλητό μοντέλο, A i είναι πίνακες των συντελεστών του μοντέλου μεγέθους ( K K), v = ( v1,..., v K )' είναι ένα διάνυσμα ( K 1) σταθερών όρων. Τέλος, e = ( e1,..., ek)' είναι ένα ( K 1) διάνυσμα λευκού θορύβου για το οποίο ισχύουν τα εξής E( e ) = 0, E( e e ') =Σ και E ( ee ') = 0 για s, όπου Σ e ο πίνακας συνδιακύμανσης. e Ένα παράδειγμα ενός VAR(1) μοντέλου με K=3 μεταβλητές ορίζεται παρακάτω. Η γενική σχέση είναι η x = v+ A1x 1+ e η οποία αναλύεται και μας δίνει τις: x = v + ϕ x + ϕ x + ϕ x + e 1, , , , 1 1, x = v + ϕ x + ϕ x + ϕ x + e 2, , , , 1 2, x = v + ϕ x + ϕ x + ϕ x + e 3, , , , 1 3, Παρατηρούμε ότι κάθε μεταβλητή είναι μία γραμμική συνάρτηση όλων των μεταβλητών που υπάρχουν στο συγκεκριμένο σύστημα και μάλιστα με υστέρηση 1 διότι έχουμε μοντέλο τάξης ένα. Στην περίπτωση ενός VAR(2) μοντέλου με Κ=3 μεταβλητές, στο δεξί μέρος κάθε εξίσωσης θα υπάρχουν έξι όροι, οι τρείς με υστέρηση 1 και οι άλλοι τρείς με υστέρηση 2 ([1] σελ 13, [12] σελ 394). s Στασιμότητα Προκειμένου να εξασφαλισθεί η στασιμότητα του VAR μοντέλου, θα πρέπει το διάνυσμα των μεταβλητών x = [ x1, x2,..., xk]' να ικανοποιεί υποθέσεις περί στασιμότητας όπως αντίστοιχα είχαμε αναπτύξει για τη μονο-μεταβλητή περίπτωση. Δηλαδή, το διάνυσμα x να έχει σταθερό μέσο, σταθερή διακύμανση και οι πίνακες των 25

26 συνδιακυμάνσεων μεταξύ των x, x των τιμών και όχι από το χρόνο. + k να εξαρτώνται μόνο από την υστέρηση k μεταξύ Στην πράξη, οι υποθέσεις περί στασιμότητας υποδηλώνουν ότι οι μεταβλητές του VAR συστήματος δεν θα πρέπει να έχουν τάση, ούτε εποχικότητα αλλά και ούτε διακυμάνσεις που μεταβάλλονται διαχρονικά. Για να επιτευχθούν αυτά, συχνά απαιτούνται μετασχηματισμοί των στατιστικών δεδομένων. Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε VAR(1) μοντέλο, δηλαδή x = v+ A1x 1+ e η στασιμότητα της διαδικασίας διατηρείται εάν οι ιδιοτιμές του πίνακα A 1 έχουν μέτρο μικρότερο του ένα. Αλλιώς, ισοδύναμα για να είναι το VAR(1) στάσιμο θα πρέπει να ισχύει : de( IK A1 z ) 0 για z 1. Η εύρεση της εξίσωσης στασιμότητας μπορεί να επεκταθεί και για το γενικό VAR(p) μοντέλο με p>1. Αυτό μπορεί να γίνει διότι οποιαδήποτε VAR(p) διαδικασία μπορεί να γραφτεί με τη μορφή μίας VAR(1) διαδικασίας και πιο συγκεκριμένα έχουμε: όπου = 1... p+ 1 ' X = v + AX + E (2.11) 1 X x x x, v = [ v ]', = [ ] E e ' τα οποία είναι( Kp 1) διανύσματα και ο A1 A2 Ap 1 Ap IK = 0 I K I K 0 A είναι ένας ( Kp Kp). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι η X είναι στάσιμη αν ισχύει η de( I Az ) 0 για z 1 Kp ([1] σελ 15). Εκτίμηση της τάξης του μοντέλου Στην πράξη, η τάξη p του VAR μοντέλου x = v+ A1x A x + e είναι p p άγνωστη. Ως ορισμός, η τάξη του μοντέλου θα είναι η p εάν Ap 0 και A i = 0 για i > p. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για τον προσδιορισμό της τάξης του VAR μοντέλου. Ένα κριτήριο το οποίο αποτελεί τρόπο εύρεσης της τάξης του μοντέλου βάσει της ελαχιστοποίησης των σφαλμάτων πρόβλεψης (το σφάλμα πρόβλεψης ισούται με την 26

27 διαφορά μεταξύ της προβλεπόμενης και της πραγματικής τιμής της σειράς για μία δεδομένη περίοδο) είναι το κριτήριο τελικού σφάλματος πρόβλεψης (Final Predicion Error) FPE : n+ Kp+ 1 FPE( p) = de Σe( p) n Kp 1 K (2.12) όπου Ν το μέγεθος της χρονοσειράς, K ο αριθμός των χρονοσειρών που «συμμετέχουν» στο πολύ-μεταβλητό μοντέλο, Σ e ( p ) ο ML εκτιμητής του Σ e που βρίσκεται προσαρμόζοντας στη σειρά ένα VAR(p) μοντέλο. Αναλυτικότερα, η εύρεση των ML εκτιμητών παρουσιάζεται στην αναφορά ([1] σελ 87). Ο εκτιμητής της τάξης του μοντέλου επιλέγεται εκείνος που ελαχιστοποιεί την τιμή του FPE ([1] σελ 147). Ένα άλλο και πολύ γνωστό κριτήριο είναι αυτό του Akaike, όπως ονομάστηκε για τη μονο-μεταβλητή περίπτωση, που μάλιστα είναι παρόμοιο με το FPE και ορίζεται για το VAR(p) μοντέλο ως εξής: 2 2 pk AIC( p) = lnde Σ e( p) + (2.13) n Και σε αυτήν την περίπτωση ο εκτιμητής της τάξης του μοντέλου επιλέγεται εκείνος που ελαχιστοποιεί την τιμή του AIC. ([1] σελ 147) 2.3.2) Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου Στην ανάλυση χρονοσειρών τα διανυσματικά αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα κινούμενου μέσου VARMA σπανίως χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν μία πολύ-μεταβλητή χρονοσειρά. Τα VAR μοντέλα είναι περισσότερο διαδεδομένα επειδή οι συντελεστές τους μπορούν να εκτιμηθούν με ευκολότερους τρόπους. Αντίθετα, για την εκτίμηση των VARMA μοντέλων είναι απαραίτητη η χρήση μη-γραμμικών μεθόδων. Το VARMA(p,q) αντίστοιχα, αποτελεί τη γενίκευση του μονοδιάστατου ARMA μοντέλου σε πολύ-μεταβλητή χρονοσειρά x = [ x1, x2,..., xk]' που αποτελεί ένα ( K 1) διάνυσμα για χρόνους = 1,..., n. Το μοντέλο ορίζεται ως εξής: x = v+ Ax A x + e Ce C e... C e (2.14) 1 1 p p q q όπου K ο αριθμός των χρονοσειρών που «συμμετέχουν» στο πολύ-μεταβλητό μοντέλο, A είναι πίνακες των συντελεστών του μοντέλου μεγέθους ( K K) όπως αντίστοιχα και i 27

28 οι C j μεγέθους ( K K), v = ( v1,..., v K )' είναι ένα διάνυσμα ( K 1) σταθερών όρων. Τέλος, e = ( e1,..., ek)' είναι ένα ( K 1) διάνυσμα λευκού θορύβου για το οποίο ισχύουν τα εξής E( e ) = 0, E( ee ') =Σ και E ( ee ') = 0 για s μορφή : e s Σe ο πίνακας συνδιακύμανσης. Το παραπάνω πολύ-μεταβλητό μοντέλο μπορεί να γραφεί και με την παρακάτω AB ( ) x = CB ( ) e (2.15) p q Όπου A( B) = IK AB 1... ApB και C( B) = IK C1B... CqB τα πολυώνυμα του μοντέλου ενώ οι A, C είναι οι πίνακες των συντελεστών του μοντέλου και Β ο i j τελεστής υστέρησης για τον οποίο ισχύει B x = x 1 ([2] σελ 221, [11] σελ 578, [12] σελ 398). Εκτίμηση των τάξεων του μοντέλου Για την εκτίμηση των τάξεων ενός VARMA μοντέλου υπάρχουν πολλές μέθοδοι όπως οι FPE και AIC που αναφέρθηκαν παραπάνω. Μία άλλη μέθοδος είναι αυτή που προτείνει ο Dufour και ο Pelleier [7] σύμφωνα με την οποία, προκειμένου να εκτιμήσουμε τις τάξεις p και q του VARMA μοντέλου, αρχικά θεωρούμε δύο άνω όρια των τάξεων αυτών, το P και το Q αντίστοιχα. Σε δεύτερη φάση, υπολογίζουμε για όλες τις τιμές του p P και του q Q την παρακάτω τιμή: (log n) log de Σ e + ( p+ qk) n όπου δ > 0 και επιλέγουμε το ζεύγος (p,q) το οποίο ελαχιστοποιεί την παραπάνω ποσότητα. 1+δ 2.3.3) Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο με Εποχικότητα Πολλές από τις πολύ-μεταβλητές χρονοσειρές που έχουν μελετηθεί κατά καιρούς, παρουσιάζουν εποχική συμπεριφορά. Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί και τα εποχικά VAR και VARMA μοντέλα SVAR και SVARMA αντίστοιχα. Ένα πολύ-μεταβλητό VAR μοντέλο και συγκεκριμένα το VAR(p)x(P) s είναι τάξης p και εποχικής τάξης P ενώ ταυτόχρονα έχει περιοδικότητα s. Η χρονοσειρά 28

29 x = [ x, x,..., x ]' αποτελεί ένα ( K 1) διάνυσμα μεταβλητών που συμμετέχουν στο 1 2 K πολύ-μεταβλητό μοντέλο, για χρόνους = 1,..., n.το μοντέλο ορίζεται ως [8]: Όπου: A ( B) A ( B s ) x = e (2.16) p P p s s Ps Ap( B) = IK AB 1... ApB και A ( B ) = I A1, B... A, B αποτελούν τα πολυώνυμα του μοντέλου, και P K s P s A i είναι οι πίνακες των συντελεστών του μοντέλου μεγέθους ( K K). Ο συντελεστής Β είναι ο τελεστής υστέρησης για τον οποίο ισχύει s B x x s =.Τέλος, e = ( e1,..., ek)' είναι ένα ( K 1) διάνυσμα λευκού θορύβου για το οποίο ισχύουν τα εξής E( e ) = 0, E( ee ') =Σ και E ( ee ') = 0 για s συνδιακύμανσης. e s Σe ο πίνακας 2.3.4) Διανυσματικό Αυτοπαλινδρομούμενο Μοντέλο Κινούμενου Μέσου με Εποχικότητα Ένα πολύ-μεταβλητό VARMA μοντέλο τάξεων p,q και εποχικών τάξεων P,Q, με εποχικότητα s θα δίνεται από μία σχέση της μορφής [9], [10]: s s A ( B) A ( B ) x = C ( B) C ( B ) e (2.17) p P q Q p s s Ps Τα Ap( B) = IK AB 1... ApB, AP( B ) = IK A1, sb... AP, sb και q s Qs C ( B) = I C B... C B, CQ( B) = IK C1, sb... CQ, sb αποτελούν τα q K 1 q πολυώνυμα του παραπάνω μοντέλου όπου A, C οι πίνακες των συντελεστών του μοντέλου. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ως παράδειγμα, ένα SVARMA μοντέλο Κ=2 μεταβλητών και συγκεκριμένα VARMA(2,1)x(1,0) 7 του οποίου η αναλυτική μορφή είναι : i i 29

30 x x x x 1 7 = x x x x x x e x x e 2 1 Αξίζει να σημειωθεί ότι οι συγκεκριμένοι συντελεστές του μοντέλου δεν είναι αυθαίρετοι αλλά προέκυψαν από την προσαρμογή των πραγματικών χρονοσειρών της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας και της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας την ώρα 20:00 μίας «ενεργειακής» ζώνης της Ιταλίας. Έτσι λοιπόν, παρακάτω φαίνονται οι χρονοσειρές x 1 και x 2 που είναι προσομοιωμένες χρονοσειρές της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας και της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας αντίστοιχα και προκύπτουν από το παραπάνω μοντέλο. Σχήμα 2.3 Η χρονοσειρά x 1 προσομοίωση χρονοσειράς ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας με VARΜΑ(2,1)x(1,0) μοντέλο Κ=2 μεταβλητών. 30

31 Σχήμα Η χρονοσειρά x 2 προσομοίωση χρονοσειράς ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας με VARΜΑ(2,1)x(1,0) μοντέλο Κ=2 μεταβλητών. Από τα δύο παραπάνω διαγράμματα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η χρονοσειρά x 1 παρουσιάζει εντονότερη εποχικότητα κάθε επτά τιμές, ενώ η εποχικότητα της δεύτερης δεν είναι και τόσο ξεκάθαρη. Αυτό οφείλεται, όπως βλέπουμε και στην αναλυτική μορφή του μοντέλου, στο ότι οι συντελεστές της x 2 μπροστά από τα εποχικά στοιχεία της είναι πολύ μικρότεροι σε σχέση με αυτούς της x 1. Γενικότερα, στην πράξη η χρονοσειρά της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας παρουσιάζει πιο αυστηρή περιοδικότητα σε σχέση με την χρονοσειρά της τιμής. 31

32 Κεφάλαιο 3. Αιτιότητα κατά Granger 3.1) Αιτιότητα Ένα από τα βασικά ερωτήματα σε ένα πολύ-μεταβλητό σύστημα είναι ο προσδιορισμός του κατά πόσο η μία μεταβλητή επιδρά σε μία άλλη ή δέχεται επίδραση από αυτή ή είναι ανεξάρτητες. Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε δύο μεταβλητές, την Χ και την Υ και έστω ότι θέλουμε να εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο που μπορεί να υπάρχει. Η πιο γνωστή διαδικασία για να πραγματοποιήσουμε την εξέταση αυτή είναι να υπολογίσουμε τη συσχέτιση αυτών των δύο με τα υπάρχοντα στατιστικά εργαλεία και στη συνέχεια να εξετάσουμε τη στατιστική σημαντικότητα του αποτελέσματος. Για να μπορούμε να πούμε ότι τα αποτελέσματα της συσχέτισης είναι αληθή θα πρέπει οι χρονοσειρές αρχικά να έχουν υποβληθεί στη διαδικασία προλεύκανσης ([2] σελ 129). Οι δυσκολίες του καθορισμού μιας αληθινής σχέσης αιτιότητας μεταξύ δύο μεταβλητών οδήγησαν τον οικονομολόγο Clive Granger (4 Σεπτεμβρίου Μαίου 2009) το 1969 στην ανάπτυξη της έννοιας της αιτιότητας γνωστή ως «αιτιότητα κατά Granger»-«Granger Causaliy». Γενικότερα, σύμφωνα μ αυτή τη θεωρία, μπορούμε να πούμε ότι μία μεταβλητή Χ επιδρά κατά Granger σε μία άλλη Υ, αν η πληροφορία από τις προηγούμενες τιμές της μεταβλητής αυτής βοηθούν στην καλύτερη πρόβλεψη των τιμών της Υ. Εκτός από την αιτιότητα κατά Granger αναπτύχθηκαν και άλλα δύο είδη αιτιότητας η στιγμιαία αιτιότητα αλλά και η υπό συνθήκη αιτιότητα κατά Granger τα οποία θα αναλυθούν αμέσως πιο κάτω. 3.2) Αιτιότητα κατά Granger Έστω ότι έχουμε δύο χρονοσειρές X και Y οι οποίες είναι στάσιμες. Η Y ( h) είναι η προβλεπόμενη τιμή της χρονοσειράς Y για h βήματα μπροστά. Σκοπός είναι να γίνει η εξέταση του αν η X μπορεί να καθορίζει ή να επηρεάζει την τιμή της Y( h ). 32

33 Για να γίνει αυτό αρχικά εξετάζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των προβλέψεων της Y για h βήματα μπροστά. Το μοντέλο για τη Y χωρίς την επίδραση της X είναι της μορφής (Περιορισμένη Εξίσωση): = p p + Y a ay a Y a Y e Οπότε από τη σχέση Y+ 1 = a0 + ay 1 + a2y apy p+ 1+ e+ 1 (όπου έστω h=1), υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα MSEY( h / Ω \{ X s \ s }) όπου Ω ορίζεται το σύνολο πληροφορίας μέχρι τον χρόνο και για τις δύο μεταβλητές Χ και Υ. Έτσι ο όρος Ω \{ X \ s } αποτελεί το σύνολο πληροφορίας μέχρι τον χρόνο που δε s συμπεριλαμβάνει πληροφορία από τιμές της μεταβλητής Χ. Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα δίνεται από τον τύπο n MSE = e + 1 n όπου e το σφάλμα πρόβλεψης, το p = p οποίο ισούται με τη διαφορά μεταξύ της προβλεπόμενης τιμής Y (1) και της πραγματικής τιμής Y + της σειράς για μία δεδομένη περίοδο. 1 Στη συνέχεια υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των προβλέψεων της Y η οποία υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση και της X. Σε αυτήν την περίπτωση η Y δίνεται από ένα μοντέλο VAR της μορφής (Μη-Περιορισμένη Εξίσωση): Οπότε από τη σχέση: Y = a + ay + a Y a Y + b X + b X b X + e p p p p Y = a + ay + a Y a Y + b X + b X b X + e p + p p + p υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, το MSE ( h / Ω ) για h=1. Αν μετά τον υπολογισμό των μέσων τετραγωνικών σφαλμάτων ισχύει η παρακάτω ανισότητα: δηλαδή αν το σφάλμα μετά την επίδραση του Y MSE ( h / Ω ) < MSE ( h / Ω \{ X \ s }) (3.1) Y Y s τότε μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει αιτιότητα του υπολογίζεται ο δείκτης αιτιότητας ([16] σελ 4, [17] σελ 3) : X στην πρόβλεψη της Y είναι μικρότερο X στο Y. Στην πράξη, για ευκολία, 33

34 F X Y MSEY( h / Ω \{ X s \ s }) = log MSE ( h / Ω ) Y (3.2) Αν ισχύει FX Y = 0 τότε μπορούμε να πούμε ότι δεν υπάρχει αιτιότητα του X στο Y, αντίθετα αν F > 0 ότι υπάρχει. Μάλιστα όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του δείκτη X Y FX Y τόσο περισσότερο μπορούμε να πούμε ότι επιδρά το X στο Y. Στην πράξη, είναι δυνατόν ο δείκτης αιτιότητας FX Y να πάρει και τιμές μικρότερες του μηδενός. Αυτό είναι ένα γεγονός που παρατηρήθηκε σε προσομοιώσεις και στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger ([1] σελ 41). 3.3 Στιγμιαία αιτιότητα Όπως είδαμε παραπάνω ο ορισμός της αιτιότητας κατά Granger δεν αναφέρει τίποτα για πιθανή στιγμιαία συσχέτιση μεταξύ των X και Y. Σύμφωνα με τη στιγμιαία αιτιότητα (insananeous causaliy) γίνεται η εξέταση του αν η τιμή του Y επηρεάζεται από την τιμή της X την ίδια ακριβώς χρονική στιγμή. Με άλλα λόγια, για πρόβλεψη της Y ενός βήματος μπροστά Y (1) γίνεται ο έλεγχος του αν η X + 1 βοηθάει στο να βελτιστοποιηθεί αυτή η πρόβλεψη. Αν ισχύει αυτό, τότε θα ισχύει και το αντίστροφο. Για να εξετασθεί η στιγμιαία αιτιότητα θα πρέπει να υπολογισθεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα της πρόβλεψης της Y για ένα βήμα μπροστά (h=1) MSEY(1/ Ω ). Στην περίπτωση αυτή, η πληροφορία χρόνο και για τις δύο μεταβλητές την της μορφής (Περιορισμένη Εξίσωση) : Ω ορίζεται ως το σύνολο πληροφορίας μέχρι τον X και την Y. Η Y δίνεται από ένα μοντέλο VAR Y = a + ay + a Y a Y + b X + b X b X + e p p p p Οπότε ο υπολογισμός του μέσου τετραγωνικού σφάλματος για ένα βήμα μπροστά θα γίνει από την: Y = a + ay + a Y a Y + b X + b X b X + e p p p p Στη συνέχεια, υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα της πρόβλεψης της Y για ένα βήμα μπροστά (h=1), όμως σ αυτή την περίπτωση στην δεδομένη πληροφορία 34

35 που έχουμε για τον υπολογισμό αυτού προσθέτουμε την τιμή της X μίας χρονικής στιγμής μετά, δηλαδή MSEY(1 / Ω { X + 1}). Η Μη-Περιορισμένη Εξίσωση σ αυτή την περίπτωση για ένα βήμα μπροστά θα είναι: Y = a + ay+ ay ay + bx + bx + bx bx + e p p p p Μπορούμε να πούμε ότι έχουμε insananeous causaliy μεταξύ των Y και Y + 1 Y X εάν: MSE (1 / Ω { X }) < MSE (1 / Ω ) (3.3) Η έννοια της στιγμιαίας αιτιότητας είναι απολύτως συμμετρική, σε αντίθεση με την αιτιότητα κατά Granger, αυτό σημαίνει ότι εάν υπάρχει στιγμιαία αιτιότητα του X στο Y τότε θα υπάρχει επίσης στιγμιαία αιτιότητα του Y στο X. Έτσι, δε χρειάζεται να χρησιμοποιούμε τον όρο της στιγμιαίας αιτιότητας από τη μία μεταβλητή στην άλλη διότι ο ορισμός αυτός είναι αμφίδρομος ([1] σελ 42, 46). 3.4 Υπό συνθήκη αιτιότητα κατά Granger Σημαντική είναι η γενίκευση της αιτιότητας κατά Granger και στην πολυμεταβλητή περίπτωση ή αλλιώς υπό όρων περίπτωση (condiional case). Σύμφωνα με αυτήν εξετάζεται η Granger αιτιότητα της X στην Y στο πλαίσιο όμως της ύπαρξης πρόσθετων μεταβλητών όπως για παράδειγμα των Z = { Z 1, Z 2,..., Z v} οι οποίες επιδρούν και αυτές στη διαμόρφωση των τιμών της Y. Σε αυτήν την περίπτωση, εξετάζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των προβλέψεων της Y η οποία υπολογίζεται χωρίς την επίδραση της X, αλλά συμπεριλαμβάνοντας την επίδραση των υπολοίπων μεταβλητών Z = { Z, Z,..., Z }. Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των προβλέψεων για h 1 2 v βήματα μπροστά θα είναι MSEY( h / Ω \{ X s \ s }), όπου ο όρος Ω ορίζεται ως το σύνολο πληροφορίας μέχρι το χρόνο για όλες τις μεταβλητές, και υπολογίζεται από το παρακάτω μοντέλο: Y = a + ay + a Y a Y + bz b Z h h h 2 p + h p 1 1, + h 1 p 1, + h p + cz c Z + e 1 v, + h 1 p v, + h p + h Εμείς υπολογίζουμε το μέσο τετραγωνικό σφάλμα για h=1 βήματα μπροστά. 35

36 Στη συνέχεια απαραίτητη είναι η εξέταση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος των προβλέψεων της Y που όμως αυτή τη φορά λαμβάνεται υπόψη και η επίδραση της X. Δηλαδή, η Y για h βήματα μπροστά θα δίνεται από: Y = a + ay + a Y a Y + bz b Z h h h 2 p + h p 1 1, + h 1 p 1, + h p + cz c Z + dx d X + e 1 v, + h 1 p v, + h p 1 + h 1 p + h p + h Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση θα είναι το MSE ( h / Ω ). Κι εδώ ο υπολογισμός γίνεται για h=1 βήματα μπροστά. Όπως ακριβώς Y και στην απλή αιτιότητα κατά Granger εξετάζεται κατά πόσο ισχύει η παρακάτω ανισότητα ([17] σελ 3): Τότε μπορούμε να πούμε ότι η MSE ( h / Ω ) < MSE ( h / Ω \{ X \ s }) (3.4) Y Y s X όντως επιδρά στην Y, δεδομένου ότι οι τιμές της τελευταίας επηρεάζονται και από τις μεταβλητές Ζ. Στην πράξη, όπως και στην περίπτωση της απλής περίπτωσης, για ευκολία, υπολογίζεται ο δείκτης της υπό συνθήκης αιτιότητας: F X Y Z MSEY( h / Ω \{ X s \ s }) = log MSE ( h / Ω ) Y (3.5) Αν η τιμή του είναι F = 0 τότε μπορούμε να πούμε ότι δεν υπάρχει αιτιότητα του X Y Z X στο Y, ενώ ακριβώς το αντίθετο συμβαίνει όταν F > 0 ([17] σελ 3). X Y Z 3.5 Αιτιότητα κατά Granger σε χρονοσειρές με Τάση και Εποχικότητα Στην πράξη, οι χρονοσειρές X και Y για τις οποίες θέλουμε να εξετάσουμε την ύπαρξη αιτιότητας κατά Granger, είναι δυνατόν να παρουσιάζουν τάση ή εποχικότητα ή και τα δύο. Γενικότερα, στην ανάλυση των χρονοσειρών πραγματοποιείται αρχικά η απαλοιφή της τάσης και πολλές φορές, αλλά όχι πάντα, η απαλοιφή του εποχικού στοιχείου με την αποσύνθεση της χρονοσειράς σε εποχικό και μη-εποχικό στοιχείο και τέλος την εξέταση του μη-εποχικού τμήματος. Σχεδόν, το ίδιο συμβαίνει και στην περίπτωση υπολογισμού της αιτιότητας κατά Granger μεταξύ των χρονοσειρών X και παρουσιάζουν τάση και έτσι υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα: Y. Αρχικά, εξετάζεται αν οι χρονοσειρές 36

37 Αν οι χρονοσειρές είναι στάσιμες τότε πραγματοποιείται κατευθείαν η εξέταση της αιτιότητας κατά Granger όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, με τη χρήση ενός VAR ή VARMA μοντέλου. Αν οι χρονοσειρές δεν είναι στάσιμες τότε παίρνουμε d φορές τις πρώτες διαφορές των μεταβλητών προκειμένου να εξαλειφθεί η τάση. [19] Για την περίπτωση διερεύνησης της αιτιότητας κατά Granger μεταξύ χρονοσειρών που παρουσιάζουν εποχικότητα, έχουν μελετηθεί αρκετές αναφορές [20], [21], [22], [23], [24]. Η μελέτη επικεντρώθηκε κυρίως σε αναφορές που εξετάζουν είδη χρονοσειρών όπως οι τιμές ηλεκτρικής ενέργειας, κόστη καυσίμων, κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας, ΑΕΠ και οικονομικές χρονοσειρές. Όλες αυτές παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά με τις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας των οποίων η μεταξύ τους αιτιότητα θα εξετασθεί στη συνέχεια. Έχει παρατηρηθεί ότι στην περίπτωση εξέτασης χρονοσειρών με εποχικότητα κύριος στόχος είναι η απαλοιφή της [20], [21], [22], [23], [24]. Συγκεκριμένα στην αναφορά [22] η οποία εξετάζει την αιτιότητα μεταξύ της απασχόλησης στις ΗΠΑ και της κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας πραγματοποιείται απαλοιφή της εποχικότητας στις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας. Η απαλοιφή πραγματοποιείται παίρνοντας τις εποχικές διαφορές των χρονοσειρών. Αντίστοιχα, το ίδιο συμβαίνει και στην [21] η οποία εξετάζει τη σχέση αιτιότητας μεταξύ της ανάπτυξης και της κατανάλωσης ενέργειας, όπου τονίζεται ότι η εποχικότητα πρέπει να αποβάλλεται. Αφού έχει επιτευχθεί η στασιμότητα των χρονοσειρών X και Y με την απαλοιφή της τάσης και της εποχικότητας, στις αναφορές [20], [21], [22], [23], [24] εξετάζεται αν οι μεταβλητές X και Y για τις οποίες θέλουμε να μελετήσουμε την αιτιότητα, είναι συνολοκληρωμένες, ([4], σελ 213). Τότε χρησιμοποιείται το VEC μοντέλο το οποίο αναλύεται παρακάτω. Όταν δύο μεταβλητές X και Y είναι I(1) και ταυτόχρονα συνολοκληρωμένες, υπάρχει ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών με τη μορφή [19]: k Δ Y = a + β Δ Y + γ ΔΧ + e 1 1, j 1 1, j 1 1, j= 1 j= 1 k Δ X = a + β Δ X + γ Δ Y + e 2 2, j 1 2, j 1 2, j= 1 j= 1 k k 37

38 δηλαδή VAR(p) για τις πρώτες μεταβλητές των X και σταθερές και e 1,, e2, σειρές λευκού θορύβου. Εφόσον οι X και I(1), τότε οι πρώτες διαφορές τους ΔY και X a, a, β, β, γ, γ Y, όπου Y είναι μη στάσιμες με Δ θα είναι στάσιμες I(0). Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν τα Διανυσματικά Υποδείγματα Διόρθωσης Λαθών ή αλλιώς τo Vecor Error Correcion Model VECM. Αξίζει να σημειωθεί ότι στη βιβλιογραφία παρατηρήθηκε όταν είναι συνολοκληρωμένες οι χρονοσειρές στις παραπάνω σχέσεις μπορεί να ενσωματώνεται και μία ακόμη παράμετρος που είναι το σφάλμα συνολοκλήρωσης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Στη συγκεκριμένη εργασία όμως, δεν θα ασχοληθούμε με τη χρήση ενός τέτοιου μοντέλου για την εύρεση αιτιότητας. Σκοπός μας είναι να διατηρήσουμε την εποχικότητα των χρονοσειρών και να ερευνήσουμε αν επηρεάζει τις σχέσεις αιτιότητας. Ο Granger το 1979 έθεσε το ερώτημα του κατά πόσο είναι σωστό και εύκολο να αποβάλλεται η εποχικότητα από τις χρονοσειρές προκειμένου να πραγματοποιηθεί η ανάλυση τους [25]. Υποστήριξε ότι στην περίπτωση όπου είναι επιθυμητό να γίνει η πρόβλεψη τιμής μίας χρονοσειράς είναι δυνατό να απαλείψουμε την περιοδικότητα, να πραγματοποιήσουμε την πρόβλεψη και τέλος να γίνει η αναπροσαρμογή της τιμής προσθέτοντας πάλι το περιοδικό στοιχείο. Η διαδικασία απαλοιφής της εποχικότητας για την περίπτωση της πρόβλεψης σημειώνει ότι είναι ανώδυνη. Στην περίπτωση όμως όπου επιθυμούμε να εξετάσουμε τη σχέση αιτιότητας μεταξύ χρονοσειρών έχει μελετήθηκε [25] ότι η εξαφάνιση της εποχικότητας ίσως οδηγήσει σε ψευδείς σχέσεις αιτιότητας. Έτσι βλέπουμε ότι η εποχικότητα μίας χρονοσειράς είναι σημαντική διότι συμβάλλει σημαντικά στην συνολική διακύμανση και άλλων σειρών τις οποίες μπορεί να επηρεάζει. Στηριζόμενοι σ αυτό [25], αξίζει να σημειωθεί ότι στις χρονοσειρές X και για τις οποίες θέλουμε να υπολογίσουμε την αιτιότητα κατά Granger, στη συνέχεια στην εργασία μας, διατηρήσαμε το εποχικό στοιχείο. Για τον υπολογισμό του δείκτη της αιτιότητας μπορούν να χρησιμοποιηθούν VAR [26] ή VARMA μοντέλα καθώς και μοντέλα που περιέχουν εποχικότητα όπως για παράδειγμα ένα VAR μοντέλο με εποχικότητα VAR(p)x(P) s ή ένα VARMA μοντέλου με εποχικότητα VARΜΑ(p,q)x(P,Q) s. Με αυτόν τον τρόπο διατηρείται η εποχικότητα των χρονοσειρών Y 38

39 και με τον υπολογισμό των μέσων τετραγωνικών σφαλμάτων από την εφαρμογή των μοντέλων, πραγματοποιείται ο υπολογισμός του δείκτη αιτιότητας κατά Granger. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι έχει εξετασθεί η αιτιότητα κατά Granger, με τη διατήρηση της εποχικότητας στις χρονοσειρές που μελετώνται στην εργασία [26]. Οι χρονοσειρές που εξετάσθηκαν ήταν η τιμής της βενζίνης και του φυσικού αερίου σε σχέση με τη ζήτηση των προϊόντων αυτών. Μελετήθηκε ότι εξαιτίας της εποχικότητας που παρουσιάζουν, η εμφάνιση αιτιότητας της μίας χρονοσειράς στην άλλη μπορεί να πραγματοποιείται σε διαφορετικά χρονικά επίπεδα. Πράγματι, υπολογίσθηκε ότι η εποχική συμπεριφορά της ζήτησης των συγκεκριμένων ενεργειακών προϊόντων επιδρά στην εποχικότητα της τιμής αυτών όπως και είναι αναμενόμενο σε μακροπρόθεσμο επίπεδο. Ωστόσο έχει αποδειχθεί ότι μπορεί να συμβεί και η αντίστροφη επίδραση, σε βραχυπρόθεσμο επίπεδο, όπου η εποχική συμπεριφορά της τιμής επηρεάζει τη ζήτηση [26]. 3.6 Παραμετρικός έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας του μέτρου αιτιότητας κατά Granger Αφού έχουμε υπολογίσει το δείκτη αιτιότητας κατά Granger X F Y, είναι σημαντικό να βρούμε την στατιστική σημαντικότητα του. Στην πράξη, για την περίπτωση ενός VAR μοντέλου όπως για παράδειγμα: Y = a + ay + a Y a Y + b X + b X b X + e p p p p Μπορούμε να πούμε ότι η χρονοσειρά τους συντελεστές X επιδρά στην Y, αν και μόνο αν, κάποιος από b,..., 1 b p είναι στατιστικά σημαντικός δηλαδή, διαφέρει στατιστικά σημαντικά από το μηδέν. Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί με το γνωστό στατιστικό κριτήριο της κατανομής Fisher για την σημαντικότητα των παραμέτρων των χρονικών υστερήσεων των αντίστοιχων μεταβλητών. Έτσι για παράδειγμα, για να ελέγξουμε κατά πόσο η χρονοσειρά X επιδρά στην Y, προβαίνουμε στον έλεγχο της από κοινού μηδενικής υπόθεσης : = =... = = 0 ως προς την εναλλακτική ότι H1: b1 0 ή b ή b p 0. Ο H0 b1 b2 b p 39

40 έλεγχος αυτός γίνεται υπολογίζοντας τον παρακάτω τύπο του στατιστικού κριτηρίου F ([4] σελ 206, [13] σελ 47): Όπου F = R U ( ) / SSE SSE k SSE U / ndf U SSE είναι το άθροισμα των τετραγώνων των υπολοίπων που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση παλινδρόμησης. (Μη περιορισμένη εξίσωση-unresriced funcion) R SSE = Είναι το άθροισμα των τετραγώνων των υπολοίπων που προκύπτουν από ην εκτίμηση της παραπάνω εξίσωσης παλινδρόμησης υπό τον περιορισμό του H 0 ότι δηλαδή b1 = b2 =... = b p = 0. (Περιορισμένη εξίσωση- Resriced funcion) Η παράμετρος k δηλώνει τον αριθμό των περιορισμών στην περιορισμένη εξίσωση ανάλογα με την περίπτωση: Eάν το μοντέλο μας είναι VAR χωρίς περιοδικότητα τότε ο αριθμός των περιορισμών θα είναι k=p, δηλαδή όσοι και οι συντελεστές μεταβλητής. b i της Εάν έχουμε περιοδικότητα της μεταβλητής X, δηλαδή όταν έχουμε μοντέλο της μορφής SVAR, τότε ο αριθμός των περιορισμών θα είναι ίσος με τον αριθμό των συντελεστών της X. Αν p η τάξη των συντελεστών X b i του μη περιοδικού τμήματος και P η τάξη του περιοδικού, τότε οι περιορισμοί αυτής της περίπτωσης ή αλλιώς ο αριθμός των υστερήσεων που περιλαμβάνονται σε αυτό το μοντέλο θα ισούται με k = p+ p P. Η παράμετρος ndf ισούται με τους βαθμούς ελευθερίας της μη περιορισμένης εξίσωσης. Πιο συγκεκριμένα: ( εξισ σεις πλ θος συντελεστ ν μη περιορισμ νης εξ σωσης ) ndf = ώ ή ώ έ ί Ο αριθμός των εξισώσεων ισούται με το πλήθος n των δεδομένων της χρονοσειράς μείον τον αριθμό των συντελεστών είτε της μίας μεταβλητής Y είτε της άλλης X. Παίρνοντας 40

41 για παράδειγμα, την γενική περίπτωση όπου και οι δύο μου μεταβλητές είναι περιοδικές με περίοδο s, και p η τάξη του μη-περιοδικού τμήματος των συντελεστών και P του περιοδικού αντίστοιχα και των δύο χρονοσειρών Y και δίνεται από τη σχέση: εξισ ώσεις = n (P s+p-1). X, ο αριθμός των εξισώσεων θα Αφού σύμφωνα με τα παραπάνω έχει υπολογισθεί το στατιστικό κριτήριο F τότε πραγματοποιείται η απόφαση ελέγχου. Αν η τιμή του F που υπολογίστηκε είναι μεγαλύτερη από το όριο της F k, ndf για ένα επίπεδο σημαντικότητας a τότε η υπόθεση H 0 απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι υστερήσεις της μεταβλητής σημαντικά τη συμπεριφορά της X επηρεάζουν Y. Εναλλακτικά, υπολογίζουμε την τιμή p από την κατανομή Fisher, η οποία δηλώνει το μικρότερο επίπεδο σημαντικότητας για το οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την H 0. Στην περίπτωση που θελήσουμε να ελέγξουμε την αντίστοιχη υπόθεση για την αντίστροφη επίδραση, δηλαδή της διαδικασία. Y στην X, ακολουθούμε ακριβώς την ίδια Κατά τη χρήση του παραπάνω ελέγχου χρειάζεται να είμαστε προσεκτικοί ως προς τα συμπεράσματα μας. Τα αποτελέσματα της μεθόδου αυτής επηρεάζονται από τον αριθμό των υστερήσεων του μοντέλου μας δηλαδή από τις τάξεις του μοντέλου, αλλά και από το μήκος n της χρονοσειράς. Τα πράγματα γίνονται περισσότερο δύσκολα στην περίπτωση που οι χρονοσειρές μας έχουν περιοδικότητα. Σ αυτή την περίπτωση έχει αποδειχθεί στην πράξη όπως θα δούμε και σε επόμενα κεφάλαια ότι ο συγκεκριμένος έλεγχος δημιουργεί ψευδείς αιτιότητες κατά Granger. Την αδυναμία ωστόσο, αυτής της μεθόδου μπορεί να καλύψει ένας άλλος έλεγχος σημαντικότητας, ο έλεγχος τυχαιοποίησης ο οποίος θα αναλυθεί στο αμέσως επόμενο κεφάλαιο. 41

42 Κεφάλαιο 4. Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της αιτιότητας κατά Granger 4.1) Εισαγωγή Ο έλεγχος τυχαιοποίησης είναι και αυτός ένας έλεγχος σημαντικότητας του δείκτη αιτιότητας κατά Granger καθώς και του δείκτη της υπό συνθήκης αιτιότητας κατά Granger. Βασικό του χαρακτηριστικό που τον κάνει να διαφέρει σημαντικά από τον παραμετρικό έλεγχο είναι ότι τα αποτελέσματα του ελέγχου του δεν βασίζονται σε κάποια συγκεκριμένη κατανομή και ούτε επηρεάζονται από το μοντέλο που εφαρμόζουμε και από το μήκος της χρονοσειράς. Συγκεκριμένα, στηρίζεται στην επαναδειγματοληψία των χρονοσειρών και η λειτουργία του είναι απλή. Στις ενότητες του κεφαλαίου που ακολουθούν αναλύεται η διαδικασία του ελέγχου για διάφορες περιπτώσεις. 4.2) Έλεγχος Τυχαιοποίησης για τη σημαντικότητα της αιτιότητας κατά Granger X Y Στην περίπτωση όπου θέλουμε να ελέγξουμε την αιτιότητα κατά Granger X Y επεξεργαζόμαστε τη χρονοσειρά X, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα: Y Έλεγχος Τυχαιοποίησης (1) i ~ U{2,..., n } X *1 X (i=20) X *M (i=k) =1 Y 1 X 1 X 20 X k =2 Y 2 X 2 X 21 X k+1 : : : : : =i Y i X i X n : =i+1 Y i+1 X i+1 X 1 : : : : : : =n Y n X n X 19 X k-1 Πίνακας 4. 1 Ανάλυση λειτουργίας του Ελέγχου Τυχαιοποίησης (1) στην περίπτωση υπολογισμού της αιτιότητας κατά Granger. 42

43 Αρχικά, δημιουργούμε Μ τυχαίες χρονοσειρές επαναδειγματοληψίας, τις λεγόμενες υποκατάστατες χρονοσειρές, (surrogaes), για τη χρονοσειρά χρονοσειρές X. Οι νέες * X δημιουργούνται μετατοπίζοντας τις τιμές της αρχικής χρονοσειράς κατά ένα τυχαίο βήμα i κάθε φορά. Το τυχαίο βήμα στην συγκεκριμένη περίπτωση επιλέγεται τυχαία από το δεύτερο έως το n-οστό στοιχείο της αρχικής χρονοσειράς X X, i ~ U{2,..., n }. Στο σημείο του τυχαίου βήματος i πραγματοποιείται η αναδίπλωση της αρχικής χρονοσειράς X και τα πρώτα στοιχεία της τοποθετούνται στο τέλος. Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται Μ φορές και έτσι έχουμε τη δημιουργία των Μ νέων χρονοσειρών * X [14], [15]. Όπως παρατηρούμε και στον πίνακα (Πίνακας 4. 1) για τυχαίο βήμα i=20 πραγματοποιείται η αναδίπλωση της χρονοσειράς και έτσι στην νέα σειρά που δημιουργούμε, το πρώτο στοιχείο της είναι το εικοστό της αρχικής, ενώ τα 19 πρώτα στοιχεία της αρχικής τοποθετούνται μετά το τελευταίο στοιχείο X N. Τέλος, η χρονοσειρά Y μένει ως έχει δηλαδή δεν πραγματοποιείται καμία επεξεργασία αυτής. Αυτή τη μορφή του ελέγχου τυχαιοποίησης, θα την ονομάζουμε Έλεγχο Τυχαιοποίησης (1). Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός του ελέγχου τυχαιοποίησης, στη συνέχεια ορίζουμε την αρχική υπόθεση Η 0. Για ακόμη μία φορά, παίρνοντας ως παράδειγμα ένα VAR μοντέλο: Y = a + ay + a Y a Y + b X + b X b X + e p p p p προβαίνουμε στον έλεγχο της από κοινού μηδενικής υπόθεσης : = =... = = 0 ως προς την εναλλακτική ότι H1: b1 0 ή b2 0..., ή b p 0. Ο H0 b1 b2 b m έλεγχος αυτός στηρίζεται στην παρακάτω διαδικασία. Στη συνέχεια της διαδικασίας πραγματοποιείται ο στατιστικός έλεγχος. Υπολογίζεται ο δείκτης του Granger causaliy για τις αρχικές χρονοσειρές X και Y από τον τύπο της (3.1), έστω c 0, και στη συνέχεια υπολογίζεται ο ίδια δείκτης σε κάθε ένα από τα Μ ζεύγη της χρονοσειράς Y με κάθε νέα χρονοσειρά τιμές c,..., 1 c M. * X και έτσι προκύπτουν οι 43

44 Η απόφαση ελέγχου πραγματοποιείται ως εξής. Αν το c 0 βρίσκεται στην «ουρά» της εμπειρικής κατανομής των c,..., 1 c M τότε μπορούμε να απορρίψουμε την αρχική υπόθεση H 0. Ο υπολογισμός της p τιμής πραγματοποιείται από την εύρεση της θέσης i που κατέχει η τιμή c 0 στην λίστα που περιέχει σε αύξουσα σειρά όλες τις υπολογιζόμενες τιμές c0, c1,..., cm και δίνεται από τον τύπο [30]: i p = 1 M Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός Μ των επαναλήψεων της διαδικασίας τόσο περισσότερο είναι αντιπροσωπευτικό το αποτέλεσμα του υπολογισμού. Αν η p τιμή που υπολογίζουμε είναι μεγαλύτερη από την τιμή του επιπέδου σημαντικότητας a % που έχουμε ορίσει τότε η υπόθεση H 0 απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι υστερήσεις της μεταβλητής X επηρεάζουν σημαντικά τη συμπεριφορά της Y. 4.3) Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger X Y Z. Στην περίπτωση όπου θέλουμε να ελέγξουμε την αιτιότητα κατά Granger της Χ στη Υ στο πλαίσιο όμως της ύπαρξης επιπλέον μεταβλητών Ζ οι οποίες μπορεί να επιδρούν στην Υ, X Y Z, επεξεργαζόμαστε την χρονοσειρά X βάσει του παρακάτω πίνακα: 44

45 Έλεγχος Τυχαιοποίησης (1) i ~ U{2,..., n } Y Z X X *1 (i=20) X *M (i=k) =1 Y 1 Z 1 X 1 X 20 X k =2 Y 2 Z 2 X 2 X 21 X k+1 : : : : : : =i Y i Z i X i X n : =i+1 Y i+1 Z i+1 X i+1 X 1 : : : : : : : =n Y n Z n X n X 19 X k-1 Πίνακας 4. 2 Ανάλυση λειτουργίας του Ελέγχου Τυχαιοποίησης (1) στην περίπτωση υπολογισμού της υπό συνθήκης αιτιότητας κατά Granger Παρατηρούμε ότι η διαδικασία επεξεργασίας της χρονοσειράς X είναι ίδια όπως και στην περίπτωση του ελέγχου της απλής περίπτωσης αιτιότητας κατά Granger. Με την ίδια ακριβώς μέθοδο δημιουργούμε Μ τυχαίες χρονοσειρές επαναδειγματοληψίας για τη χρονοσειρά X. Οι νέες χρονοσειρές * X δημιουργούνται μετατοπίζοντας τις τιμές στης αρχικής χρονοσειράς X κατά ένα τυχαίο βήμα i κάθε φορά. Το τυχαίο αυτό βήμα είναι ίδιο με την προηγούμενη περίπτωση και συγκεκριμένα επιλέγεται από το δεύτερο έως το n-οστό στοιχείο της αρχικής χρονοσειράς X. Έτσι, δημιουργούνται οι νέες χρονοσειρές * X ενώ οι χρονοσειρές Y και Z μένουν ως έχουν. Η διαδικασία υπολογισμού του στατιστικού ελέγχου και η απόφαση ελέγχου είναι ακριβώς ίδια με πριν μόνο που για την εύρεση του στατιστικού ελέγχου υπολογίζεται κάθε φορά o δείκτης της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger. 45

46 4.4) Έλεγχος Τυχαιοποίησης για την σημαντικότητα της αιτιότητας X Y και της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger X Y Z σε χρονοσειρές με Eποχικότητα. Στην περίπτωση όπου θέλουμε να ελέγξουμε την αιτιότητα κατά Granger X Y για εποχικές χρονοσειρές με εποχικότητα s, επεξεργαζόμαστε τη χρονοσειρά X σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Στη συγκεκριμένη μορφή ελέγχου τυχαιοποίησης η επεξεργασία της χρονοσειράς X πραγματοποιείται με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε στις νέες χρονοσειρές που δημιουργούμε να διατηρείται η περιοδικότητα της αρχικής, καθώς και η αντιστοιχία των περιοδικών στοιχείων. Έλεγχος Τυχαιοποίησης (2) i ~ U{2,..., L}, L = [ n/ s] Y X X *1 (i=8) X *M (i=k) =1 Y 1 X 1 X 8*s+1 X k*s+1 =2 Y 2 X 2 X 8*s+2 X k*s+2 : : : : : =s Y s X s X 9*s X k*s+s =s+1 Y s+1 X s+1 X 9*s+1 X (k+1)*s+1 : : : : : =((L-i)+1)*s : : X L*s : : : : : : =n Y n X n X 8*s X k*s Πίνακας 4. 3 Ανάλυση λειτουργίας του Ελέγχου Τυχαιοποίησης (2) στην περίπτωση υπολογισμού της αιτιότητας κατά Granger Οι νέες χρονοσειρές * X δημιουργούνται μετατοπίζοντας τις τιμές της αρχικής χρονοσειράς X κατά ένα τυχαίο βήμα i* s κάθε φορά. Η τιμή i επιλέγεται τυχαία από ένα σύνολο τιμών i ~ U{2,..., L } όπου η τιμή L ισούται με το ακέραιο μέρος της διαίρεσης του μήκους της χρονοσσειρά προς την περιοδικότητα L= [ n/ s]. Το L στην 46

47 ουσία δείχνει τον αριθμό των εποχικών κύκλων που εμφανίζονται στη χρονοσειρά. Έτσι, κάθε φορά πραγματοποιείται η αναδίπλωση της χρονοσειράς δημιουργηθούν οι χρονοσειρές * X προκειμένου να X, στο σημείο i* s+ 1 και οι πρώτες τιμές της χρονοσειράς τοποθετούνται στο τέλος. Η διαδικασία αυτή πραγματοποιείται Μ φορές και έτσι έχουμε την δημιουργία των Μ νέων χρονοσειρών περιοδικότητα με την αρχική [14], [15]. * X οι οποίες έχουν την ίδια Όπως παρατηρούμε και στον Πίνακας 4. 3 για μία τυχαία επιλογή του i, i=8 πραγματοποιείται η αναδίπλωση της χρονοσειράς στο σημείο 8* s + 1 και έτσι στην νέα σειρά που δημιουργούμε ξεκινάει το πρώτο στοιχείο της να είναι το X 8* + 1, ενώ τα πρώτα στοιχεία της αρχικής τοποθετούνται στο τέλος του τελευταίου στοιχείου s X n. Τέλος, η χρονοσειρά Y μένει ως έχει δηλαδή δεν πραγματοποιείται καμία επεξεργασία αυτής. Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτόν τον έλεγχο τυχαιοποίησης όπου οι χρονοσειρές έχουν εποχικότητα, στα πλαίσια της συγκεκριμένης διπλωματικής ευκολία, θα τον ονομάζουμε Έλεγχο Τυχαιοποίησης (2). εργασίας κυρίως για O έλεγχος τυχαιοποίησης (2) ωστόσο, μπορούμε να πούμε ότι παρουσιάζει ένα μειονέκτημα όταν οι χρονοσειρές έχουν μικρό μήκος. Σ αυτή την περίπτωση δεν μπορούμε να έχουμε πολλές διαφορετικές επαναλήψεις κατά τη δημιουργία των νέων χρονοσειρών επαναδειγματοληψίας. Για παράδειγμα, αν οι τυχαίες επαναλήψεις είναι Μ=1000, το μήκος της χρονοσειράς n=360 η περίοδος s=7 τότε οι δυνατές διαφορετικές υποκατάστατες χρονοσειρές που μπορούν να δημιουργηθούν είναι L=51. Έτσι, εξαιτίας του μήκους των 360 τιμών και των L=51 μπορούμε να έχουμε πιθανή επανάληψη δημιουργίας της ίδιας της χρονοσειράς 20 φορές. Καλό θα ήταν, να χρησιμοποιείται ο συγκεκριμένος έλεγχος σε όσο δυνατόν μεγαλύτερους μήκους χρονοσειρές για να είναι τα αποτελέσματα του περισσότερο αξιόπιστα. Η διαδικασία υπολογισμού του στατιστικού ελέγχου και η απόφαση ελέγχου είναι ακριβώς ίδια με την περίπτωση του ελέγχου τυχαιοποίησης κατά Granger X Y χρονοσειρών χωρίς περιοδικότητα ή αλλιώς του Ελέγχου Τυχαιοποίησης (1). Στην περίπτωση όπου θέλουμε να ελέγξουμε την αιτιότητα κατά Granger της Χ στη Υ στο πλαίσιο όμως της ύπαρξης επιπλέον μεταβλητών Ζ οι οποίες επιδρούν στην Υ, X Y Ζ και όταν όλες οι χρονοσειρές έχουν περιοδικότητα s, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία 47

48 επιλογής τυχαίου βήματος με την X Y με σκοπό την διατήρησης της εποχικότητας στις νέες χρονοσειρές της Χ. Σε αυτήν την περίπτωση οι χρονοσειρές Υ και Ζ μένουν ως έχουν. 48

49 Κεφάλαιο 5: Αξιολόγηση Ελέγχων για τη Σημαντικότητα της αιτιότητας κατά Granger - Προσομοιώσεις 5.1) Εισαγωγή Προκειμένου να εξετασθούν στην πράξη τα μέτρα της αιτιότητας κατά Granger, της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger και των ελέγχων σημαντικότητας τους για πολύ-μεταβλητές γραμμικές χρονοσειρές αναπτύχθηκε μία σειρά προγραμμάτων στο υπολογιστικό περιβάλλον του Malab (R2010.a). Πιο συγκεκριμένα, δημιουργήθηκαν τα εξής είδη προγραμμάτων: Προγράμματα προσαρμογής μοντέλων χρονοσειρών. Προγράμματα ελέγχου σημαντικότητας. Προγράμματα δημιουργίας χρονοσειρών ) Προγράμματα προσαρμογής μοντέλων χρονοσειρών Για τον υπολογισμό είτε της αιτιότητας κατά Granger είτε της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger μεταξύ χρονοσειρών, απαραίτητη είναι πρώτα η προσαρμογή κάποιου μοντέλου στις χρονοσειρές έτσι ώστε να προκύψει και ο υπολογισμός του μέσου τετραγωνικού σφάλματος. Στο πλαίσιο αυτό δημιουργήθηκαν ορισμένα προγράμματα που κάνουν προσαρμογή μοντέλων είτε απλών είτε πολυμεταβλητών μοντέλων αφού έχουν δοθεί στην είσοδο τους οι τάξεις των μοντέλων. Μοντέλα τα οποία είναι δυνατόν να προσαρμοστούν είναι τύπου ARMA και VARMA, Κ μεταβλητών, με περιοδικότητα ή χωρίς. Σκοπός των προγραμμάτων αυτών είναι να γίνει η εφαρμογή των παραπάνω μοντέλων στις χρονοσειρές που θέλουμε να εξετάσουμε. Δίνοντας ένα εύρος τιμών τάξεων, μπορεί να πραγματοποιηθεί η εύρεση του βέλτιστου μοντέλου σύμφωνα με το κριτήριο του Akaike. Αφού έχουν προσαρμοσθεί τα παραπάνω μοντέλα στις χρονοσειρές, υπολογίζεται κάθε φορά το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Στη συνέχεια, υπολογίζεται ο δείκτης αιτιότητας και υπό συνθήκη αιτιότητας. 49

50 5.1.2) Προγράμματα ελέγχου σημαντικότητας Για τον έλεγχο σημαντικότητας του δείκτη αιτιότητας χρησιμοποιήθηκαν δύο διαδικασίες, ο παραμετρικός έλεγχος και ο έλεγχος τυχαιοποίησης. Μάλιστα για τον έλεγχο τυχαιοποίησης αναπτύχθηκαν δύο μορφές του ελέγχου αυτού μία για τον έλεγχο σημαντικότητας σε χρονοσειρές χωρίς περιοδικότητα (Έλεγχος τυχαιοποίησης (1)) και μία για τον έλεγχο σημαντικότητας σε χρονοσειρές που έχουν περιοδικότητα (Έλεγχος τυχαιοποίησης (2)). Όλοι οι έλεγχοι αναπτύχθηκαν ως συναρτήσεις στο υπολογιστικό περιβάλλον του Malab τόσο για τον έλεγχο της αιτιότητας κατά Granger όσο και της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι για κάθε περίπτωση από τις παραπάνω τρείς αναπτύχθηκε πρόγραμμα για τον έλεγχο σημαντικότητας τόσο για την περίπτωση του X Υ όσο και για την αμφίδρομη περίπτωση όπου το Υ Χ ) Προγράμματα Δημιουργίας Χρονοσειρών Προκειμένου να γίνει ο έλεγχος και να εξετασθεί η εγκυρότητα των παραπάνω προγραμμάτων, δημιουργήθηκαν κώδικες οι οποίοι παράγουν χρονοσειρές με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά με τη βοήθεια της προσομοίωσης Mone Carlo. Σκοπός μας είναι να δημιουργήσουμε χρονοσειρές οι οποίες να έχουν γνωστή μορφή αιτιότητας ώστε να μπορούμε να ελέγξουμε την εγκυρότητα των ελέγχων. Παρακάτω αναλύονται με τη σειρά οι προσομοιώσεις οι οποίες πραγματοποιήθηκαν κατά τη διάρκεια της διπλωματικής εργασίας με τη χρήση των παραπάνω προγραμμάτων. 50

51 5.2) 1η Προσομοίωση Στην πρώτη προσομοίωση δημιουργήθηκαν δύο χρονοσειρές η X και η Y βάσει του μοντέλου VARMA (4,2)x(2,2) s Κ=2 μεταβλητών και με περιοδικότητα s=7. Η γενική μορφή των εξισώσεων από τις οποίες προκύπτουν οι παραπάνω χρονοσειρές είναι: 4 y = a y + e + b x y, i i y, 1 i= x = a x c e + a x c e + e x, i i x, j x, j xks, i k s i xks, j x, k s j x, i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 j= 0 Όπως παρατηρούμε, η εξέλιξη της χρονοσειράς της ίδιας και από την πρώτη παρελθοντική τιμή της Y εξαρτάται από παρελθοντικές τιμές X με έναν συντελεστή b. Αλλάζοντας τις τιμές αυτού του συντελεστή μπορούμε να προσαρμόζουμε την σχέση αιτιότητας μεταξύ των μοντέλου για την χρονοσειρά X και Y. Επιπλέον, βλέπουμε ότι ορισμένοι συντελεστές του Y είναι μηδενικοί και ειδικότερα οι συντελεστές που πολλαπλασιάζονται με εποχικά στοιχεία της χρονοσειράς Y. Ο συντελεστής b έλαβε 11 διαφορετικές τιμές από 0 έως 0.1 με βήμα το Σε κάθε περίπτωση διαφορετικού συντελεστή b πραγματοποιήθηκε 100 φορές προσομοίωση Mone Carlo. Κάθε φορά γινόταν ο υπολογισμός του δείκτη αιτιότητας μεταξύ των χρονοσειρών X, Y, και των τριών ελέγχων σημαντικότητας δηλαδή του παραμετρικού ελέγχου, του ελέγχου τυχαιοποίησης (1) και του ελέγχου τυχαιοποίησης (2). Η προσομοίωση πραγματοποιήθηκε για τρία μήκη χρονοσειρών, για n=1000, n=360 και n=100. Σκοπός μας εκτός από τον έλεγχο της εγκυρότητας των προγραμμάτων που αναφέραμε παραπάνω είναι να εξετάσουμε τη λειτουργία των ελέγχων σημαντικότητας και κυρίως στην περίπτωση όπου έχουμε χρονοσειρές με εποχικότητα όπως εδώ. Για τα διαφορετικά μήκη χρονοσειρών παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα που δείχνουν τα ποσοστά απόρριψης για διαφορετικά επίπεδα σημαντικότητας α και για τους τρείς ελέγχους ξεχωριστά. Επιπλέον, παρουσιάζεται και ένα ακόμη διάγραμμα που 51

52 δείχνει για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 την πιθανότητα απόρριψης των τριών ελέγχων. Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=1000 Στα τρία πρώτα διαγράμματα φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας α για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 1, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 2 και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Σχήμα 5. 1 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

53 Σχήμα 5. 2 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=1000. Σχήμα 5. 3 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=1000. Οι 100 επαναλήψεις δίνουν για κάθε τιμή του b 100 p τιμές για κάθε έλεγχο ξεχωριστά. Με αυτόν τον τρόπο για κάθε επίπεδο σημαντικότητας α υπολογίσθηκε το 53

54 ποσοστό απόρριψης δηλαδή πόσες φορές η τιμή του p είναι μικρότερη ή ίση από κάθε επίπεδο σημαντικότητας α για συγκεκριμένη τιμή του b. Έτσι προκύπτουν οι καμπύλες των διαφορετικών χρωμάτων στα παραπάνω διαγράμματα, και κάθε χρώμα αντιστοιχεί σε διαφορετική τιμή του συντελεστή b. Από τα διαγράμματα στα Σχήμα 5. 1, Σχήμα 5. 2, 5.3, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και για τους τρεις ελέγχους τυχαιοποίησης όσο ο συντελεστής b αυξάνει σταδιακά τόσο αυξάνεται και το ποσοστό απορρίψεων των ελέγχων. Αυτό είναι λογικό, διότι αυξάνοντας τον συντελεστή αυτό, αυξάνει η επίδραση της μίας μεταβλητής στην άλλη, οπότε αναμένουμε η ισχύς και των τριών ελέγχων να είναι υψηλότερη. Στο διάγραμμα Σχήμα 5. 4 δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Συγκεκριμένα, για κάθε διαφορετικό συντελεστή b εξετάστηκε ο αριθμός των p που είναι μικρότεροι του 0.05 και για τους τρείς ελέγχους ξεχωριστά. Έτσι υπολογίσθηκαν και τα ποσοστά απόρριψης του διαγράμματος. Σχήμα 5. 4 Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=1000, 1 η Προσομοίωση. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για συντελεστή b=0 ο παραμετρικός έλεγχος (μπλε γραμμή) απορρίπτει την αρχική υπόθεση H 0 σε ποσοστό μικρότερο του 5%. Αντίστοιχα, ο έλεγχος τυχαιοποίησης (1) (κόκκινη γραμμή) για b=0 απορρίπτει σε ποσοστό ακριβώς 5% ενώ ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) (πράσινη γραμμή) λίγο 54

55 παραπάνω του 5%. Βλέπουμε λοιπόν ότι και οι τρείς έλεγχοι έχουν χαμηλά ποσοστά απόρριψης στην περίπτωση όπου δεν υπάρχει αιτιότητα μεταξύ των χρονοσειρών που εξετάζουμε και ακόμη παρατηρούμε ότι ο παραμετρικός έλεγχος στην συγκεκριμένη περίπτωση έχει το χαμηλότερο ποσοστό απόρριψης πράγμα που τον κάνει περισσότερο αξιόπιστο. Γενικότερα, για να μπορέσουμε να χαρακτηρίσουμε έναν έλεγχο τυχαιοποίησης ακριβή θα πρέπει να εξετάζουμε δύο πράγματα: 1. Την ισχύ του ελέγχου η οποία φαίνεται από το διάγραμμα των ποσοστών απορρίψεων συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας. Καθώς αυξάνεται σταδιακά η τιμή του συντελεστή b, προκειμένου να διατηρηθεί η ισχύς του ελέγχου, θα πρέπει να αυξάνεται και το ποσοστό των απορρίψεων. 2. Τη σημαντικότητα (significance) του ελέγχου, που μπορεί να εξετασθεί στο τελευταίο διάγραμμα όπου φαίνεται το ποσοστό απόρριψης του κάθε ελέγχου για διαφορετικούς συντελεστές b. Η σημαντικότητα του ελέγχου εξετάζεται στην περίπτωση όπου έχουμε b=0, και θα πρέπει ο έλεγχος να μην τείνει να απορρίπτει την H 0 σε ποσοστά μεγαλύτερα του δεδομένου επιπέδου σημαντικότητας α% για το συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=360 Στα τρία πρώτα διαγράμματα φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 5, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 6 και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα

56 Σχήμα 5. 5 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=360. Σχήμα 5. 6 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

57 Σχήμα 5. 7 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=360. Από τα διαγράμματα Σχήμα 5. 5, Σχήμα 5. 6, Σχήμα 5. 7, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και για τους τρεις ελέγχους τυχαιοποίησης όσο ο συντελεστής b αυξάνει σταδιακά τόσο αυξάνεται και το ποσοστό απορρίψεων των ελέγχων. Αυτό ωστόσο έχει παρατηρηθεί και στην περίπτωση όπου οι χρόνοσειρές έχουν μήκος 1000 τιμές. Η μόνη όμως και σημαντική διαφορά των χρονοσειρών μήκους 360 τιμών σε σχέση με των 1000 τιμών είναι ότι συγκριτικά με πριν τα ποσοστά απόρριψης των ελέγχων είναι μικρότερα. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι σε μικρότερες χρονοσειρές οι έλεγχοι χάνουν την ισχύ τους. Στο διάγραμμα Σχήμα 5. 8 δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για επίπεδο σημαντικότητας α=

58 Σχήμα 5. 8 Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=360, 1 η Προσομοίωση. Στον υπολογισμό του ποσοστού απόρριψης των ελέγχων βλέπουμε ότι για b=0 ο παραμετρικός έλεγχος και ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) σε ποσοστό μικρότερο του 5% απορρίπτουν την αρχική υπόθεση. Οριακά στο 5% απορρίπτει ο έλεγχος τυχαιοποίησης (1). Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=100 Στα τρία πρώτα διαγράμματα φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 9, έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 10, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα

59 Σχήμα 5. 9 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=100. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

60 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 1 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=360. Από τα παραπάνω διαγράμματα Σχήμα 5. 9, Σχήμα και Σχήμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και στους τρείς ελέγχους σημαντικότητας τα ποσοστά απόρριψης έχουν μειωθεί ακόμη περισσότερο από την περίπτωση χρονοσειρών με μήκος 360 τιμές. Με αυτόν τον τρόπο επιβεβαιώνεται ακόμη μία φορά η παρατήρηση που πραγματοποιήθηκε στην περίπτωση των 360 τιμών ότι με την μείωση του μήκους των χρονοσειρών οι έλεγχοι σημαντικότητας χάνουν την ισχύ τους. Ακόμη, βλέποντας πιο προσεκτικά την αντιστοιχία των χρωμάτων με τους συντελεστές b και στα τρία διαγράμματα μπορούμε να δούμε ότι δεν ισχύει απόλυτα σταδιακή αύξηση των αριθμών απορρίψεων με την αύξηση του συντελεστή b, όπως συνέβαινε στην περίπτωση των 1000 και 360 τιμών. 60

61 Στο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=100, 1 η Προσομοίωση. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι σε σχέση με την περίπτωση των 1000 και των 360 τιμών έχουμε αυξημένα ποσοστά απόρριψης και μάλιστα μεγαλύτερα του 5% και για τους τρεις ελέγχους στην περίπτωση όπου ο συντελεστής b=0. Ακόμη, για τους συντελεστές b=0.01, b=0.02, b=0.04 και b=0.07 έχουμε χαμηλότερα ποσοστά απόρριψης των ελέγχων σε σχέση με τις αμέσως προηγούμενες τιμές του συντελεστή b σε κάθε περίπτωση. Στα σημεία αυτά, και οι τρεις καμπύλες παρουσιάζουν ελάχιστα ενώ κανονικά θα έπρεπε να είναι αύξουσες όπως οι αντίστοιχες των 1000 τιμών και των 360 τιμών. Αυτό επισημάνθηκε και στα προηγούμενα τρία διαγράμματα, άρα μπορούμε να πούμε ότι το μήκος των χρονοσειρών παίζει καθοριστικό ρόλο στη σωστή λειτουργία των ελέγχων σημαντικότητας. 61

62 5.3) 2η Προσομοίωση Στην δεύτερη προσομοίωση κατασκευάσθηκαν δύο χρονοσειρές η X και η Y βάσει του μοντέλου VARMA (4,2)x(2,2) s Κ=2 μεταβλητών και με περιοδικότητα s=7. Η γενική μορφή των εξισώσεων από τις οποίες προκύπτουν οι παραπάνω χρονοσειρές είναι: y = a y c e + a y c e + e + b x y, i i y, j y, j yks, i k s i yks, j y, k s j y, 1 i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 j= x = a x c e + a x c e + e x, i i x, j x, j xks, i k s i xks, j x, k s j x, i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 j= 0 Όπως παρατηρούμε, η εξέλιξη της χρονοσειράς τιμές της ίδιας και από την πρώτη παρελθοντική τιμή της Y εξαρτάται από παρελθοντικές X με έναν συντελεστή b. Με την αλλαγή του συντελεστή b μας δίνεται η δυνατότητα προσαρμογής της σχέσης αιτιότητας μεταξύ των δύο χρονοσειρών. Σημαντική διαφοροποίηση σε σχέση με την 1 η προσομοίωση μπορούμε να παρατηρήσουμε στην εξίσωση της χρονοσειράς Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές του μοντέλου οι οποίοι στην 1 η προσομοίωση ήταν μηδενικοί τώρα δεν είναι. Οι συντελεστές αυτοί πολλαπλασιάζονται με εποχικά στοιχεία της χρονοσειράς Y οπότε μπορούμε να πούμε ότι η Y στη συγκεκριμένη προσομοίωση έχει πιο έντονο το στοιχείο της εποχικότητας σε σχέση με την 1 η προσομοίωση.αξίζει να σημειωθεί ότι πραγματοποιήθηκε 100 φορές προσομοίωση Mone Carlo όπως στην πρώτη προσομοίωση. Y. Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=1000 Στα τρία πρώτα διαγράμματα φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 13, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 14, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα

63 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=100. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

64 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=1000. Από τα διαγράμματα Σχήμα Σχήμα και Σχήμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και για τους τρεις ελέγχους τυχαιοποίησης όσο ο συντελεστής b αυξάνει σταδιακά τόσο αυξάνεται και το ποσοστό απορρίψεων των ελέγχων, οπότε μπορούμε να πούμε ότι η ισχύς και των τριών ελέγχων είναι καλή. Αντίστοιχα αποτελέσματα παρατηρήθηκαν και στην περίπτωση της 1 ης προσομοίωσης. Στο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=

65 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=1000, 2 η Προσομοίωση. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι στην περίπτωση όπου ο συντελεστής b=0, ο παραμετρικός έλεγχος (μπλε γραμμή) απορρίπτει την αρχική υπόθεση H 0 με ποσοστό απόρριψης 18%. Αντίθετα, οι άλλοι δύο έλεγχοι, ο έλεγχος τυχαιοποίησης (1) (κόκκινη γραμμή) και ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) (πράσινη γραμμή) διατηρούν το ποσοστό απόρριψης τους κάτω από το 5%. Το υψηλό ποσοστό απόρριψης του παραμετρικού ελέγχου στην περίπτωση όπου στην πραγματικότητα δεν υπάρχει αιτιότητα μεταξύ των χρονοσειρών, δείχνει ξεκάθαρα την αδυναμία του. Στη δεύτερη προσομοίωση όπου η χρονοσειρά Y εμφανίζεται να έχει εντονότερη περιοδικότητα, φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο παραμετρικός έλεγχος εμφανίζει ψευδείς αιτιότητες κατά Granger μεταξύ των δύο χρονοσειρών. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στην περίπτωση εξέτασης του δείκτη της αιτιότητας κατά Granger μεταξύ δύο χρονοσειρών οι οποίες έχουν περιοδικότητα οι έλεγχοι τυχαιοποίησης δίνουν ακριβέστερα αποτελέσματα. 65

66 Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=360 Η ίδια προσομοίωση πραγματοποιήθηκε και για μήκος χρονοσειρών n=360 και έτσι δημιουργήθηκαν τα παρακάτω διαγράμματα όπου φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 17, για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 18, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

67 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=360. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

68 Στα παραπάνω διαγράμματα παρατηρούμε ότι στη περίπτωση μικρότερου μήκους χρονοσειρών οι έλεγχοι σημαντικότητας χάνουν την ισχύ τους εξαιτίας χαμηλότερων ποσοστών απόρριψης σε σχέση με την περίπτωση των 1000 τιμών. Ωστόσο, παρατηρούμε όσο ο συντελεστής b αυξάνει σταδιακά τόσο αυξάνεται και το ποσοστό απόρριψης των ελέγχων. Στο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=360, 2 η Προσομοίωση. Παρατηρούμε ότι και εδώ ο παραμετρικός έλεγχος (μπλε γραμμή) για b=0 έχει μεγάλο ποσοστό απόρριψης της αρχική υπόθεσης H0 και μάλιστα 27%. Το ποσοστό αυτό στην περίπτωση μικρότερου μήκους χρονοσειρών είναι αυξημένο κατά 9% σε σχέση με την περίπτωση μήκους 1000 τιμών οπότε μπορούμε να πούμε ότι η αδυναμία του παραμετρικού ελέγχου για χρονοσειρές με περιοδικότητα είναι εντονότερη. Αντίθετα, οι άλλοι δύο έλεγχοι διατηρούν χαμηλά ποσοστά απόρριψης κοντά στο 5% για την περίπτωση του b=0. 68

69 Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=100 Στην περίπτωση εφαρμογής της δεύτερης προσομοίωσης για χρονοσειρές μήκους n=100 τιμών, δημιουργήθηκαν και εδώ τα παρακάτω διαγράμματα όπου φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 21, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 22, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

70 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=100. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 2 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

71 Από τα παραπάνω σχήματα Σχήμα 5. 21, Σχήμα και Σχήμα μπορούμε να δούμε ότι με την σταδιακή αύξηση της τιμής του συντελεστή b δεν ισχύει αντίστοιχα και η σταδιακή αύξηση του αριθμού των απορρίψεων όπως φυσιολογικά θα περιμέναμε. Επιπλέον, έχει παρατηρηθεί ότι και στους τρεις ελέγχους τα ποσοστά απόρριψης έχουν μειωθεί σημαντικά σε σχέση με την περίπτωση των χρονοσειρών με τις 360 τιμές και ακόμη περισσότερο φυσικά με των 1000 τιμών. Αντίστοιχα αποτελέσματα αξίζει να σημειωθεί ότι είχαν παρατηρηθεί και στην περίπτωση της πρώτης προσομοίωσης για χρονοσειρές μήκους 100 τιμών. Στο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=100, 2 η Προσομοίωση. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι σε σχέση με την περίπτωση των 1000 και των 360 τιμών έχουμε αυξημένα ποσοστά απόρριψης και για τους τρείς ελέγχους σημαντικότητας και μάλιστα μεγαλύτερα του 5% και για τους τρεις ελέγχους στην περίπτωση όπου ο συντελεστής b=0. Μάλιστα τα ποσοστά απόρριψης του παραμετρικού 71

72 ελέγχου είναι ακόμη περισσότερο αυξημένα σε σχέση με την προσομοίωση των 360 τιμών, πράγμα που σημαίνει ότι η αδυναμία του ελέγχου φαίνεται ακόμη εντονότερη σε μικρού μήκους χρονοσειρές. Ακόμη, παρατηρούμε ότι και οι τρείς καμπύλες δεν είναι αύξουσες όπως θα περιμέναμε απλά βλέπουμε ότι κινούνται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο γύρω από ένα μέσο όρο. Θα αναμέναμε με την αύξηση του συντελεστή b όσο δηλαδή μετακινούμασταν προς τα δεξιά στον οριζόντιο άξονα, οι τιμές των καμπυλών να αυξάνονται. Κάτι αντίστοιχο αλλά όχι τόσο έντονο παρατηρήθηκε και στην αντίστοιχη περίπτωση της πρώτης προσομοίωσης. Τελικά, μπορούμε να καταλήξουμε για άλλη μία φορά, στο συμπέρασμα ότι το μήκος των χρονοσειρών παίζει καθοριστικό ρόλο στη σωστή λειτουργία των ελέγχων σημαντικότητας. 5.4) 3η Προσομοίωση Στην τρίτη προσομοίωση κατασκευάσθηκαν δύο χρονοσειρές η X και η βάσει του μοντέλου VARMA (4,2)x(2,2) s Κ=2 μεταβλητών και με περιοδικότητα s=7. Η γενική μορφή των εξισώσεων από τις οποίες προκύπτουν οι παραπάνω χρονοσειρές είναι: y = a y c e + a y c e + e + b x x = ax, ix i cx, jex, j + axks, ix k s i cxks, jex, k s j + ex, i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 j= 0 y, i i y, j y, j yks, i k s i yks, j y, k s j y, s 7 i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 j= 0 Όπως παρατηρούμε, η εξέλιξη της χρονοσειράς τιμές της ίδιας και από την έβδομη παρελθοντική τιμή της Y Y εξαρτάται από παρελθοντικές X με έναν εποχικό συντελεστή b s. Συγκεκριμένα, η Y εξαρτάται από την τιμή X 7 πολλαπλασιασμένη με τον συντελεστή b s Με άλλα λόγια είναι σαν να εισάγουμε περιοδικότητα στην επίδραση της μεταβλητής συντελεστή b s. X στην Y και αυτό πραγματοποιείται με την τοποθέτηση του Σκοπός μας στη συγκεκριμένη προσομοίωση είναι να εξετάσουμε την απόκριση των ελέγχων σημαντικότητας που μελετήσαμε προηγουμένως αρκεί να αλλάζουμε τον εποχικό συντελεστή b s, συγκεκριμένα ο τελευταίος έλαβε 11 διαφορετικές τιμές από 0 72

73 έως 0.1 με βήμα το Ακόμη, όπως βλέπουμε στις παραπάνω εξισώσεις και συγκεκριμένα την εξίσωση της μεταβλητής επίδρασης της μεταβλητής Y, αν εξαιρέσουμε το κομμάτι της X μπορούμε να πούμε ότι το υπόλοιπο κομμάτι της εξίσωσης είναι ακριβώς ίδιο με το αντίστοιχο της δεύτερης προσομοίωσης. Αυτό σημαίνει ότι η χρονοσειρά Y έχει έντονη περιοδικότητα. Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=1000 Πραγματοποιώντας την παραπάνω προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους 1000 τιμών δημιουργήθηκαν τα παρακάτω διαγράμματα όπου φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 25, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 26,και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

74 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=1000. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

75 Από τα διαγράμματα στα Σχήμα 5. 25, 5.26 και 5.27 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και για τους τρεις ελέγχους τυχαιοποίησης όσο ο συντελεστής b s αυξάνει σταδιακά τόσο αυξάνεται και το ποσοστό απορρίψεων των ελέγχων, πράγμα αναμενόμενο. Από τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι η ισχύς και των τριών ελέγχων είναι ικανοποιητική. Στο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=1000, 3 η Προσομοίωση. Από το παραπάνω σχήμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για τιμή του συντελεστή b s =0 παρατηρούμε μεγάλο ποσοστό απόρριψης 11% της αρχικής υπόθεσης H 0 για τον παραμετρικό έλεγχο (μπλε γραμμή), ενώ για τους άλλους δύο ελέγχους οριακά ποσοστά απόρριψης στο 5%. Αυτή η περίπτωση (b s =0) είναι ίδια ακριβώς με την αντίστοιχη της δεύτερης προσομοίωσης μόνο που εκεί είχαμε ποσοστό απόρριψης 18%. Αυτή η μικρή απόκλιση στα ποσοστά μπορεί να συμβεί διότι προκύπτουν από προσομοιώσεις Mone Carlo.Τέλος, εδώ μπορούμε για άλλη μία φορά να διακρίνουμε 75

76 την αδυναμία του παραμετρικού ελέγχου να εμφανίζει ψευδείς αιτιότητες κατά Granger σε χρονοσειρές που περιέχουν έντονο εποχικό στοιχείο. Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=360 Στην περίπτωση εφαρμογής της τρίτης προσομοίωσης για χρονοσειρές μήκους n=36100 τιμών, δημιουργήθηκαν και εδώ τα παρακάτω διαγράμματα όπου φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 29, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 30, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

77 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=360. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

78 Από τα παραπάνω διαγράμματα παρατηρούμε ότι και για τους τρεις ελέγχους σημαντικότητας ισχύει σχετικά η αντιστοιχία της αύξησης της τιμής του συντελεστή b s με την αύξηση του ποσοστού απόρριψης των ελέγχων για χρονοσειρές 360 τιμών της τρίτης προσομοίωσης. Ωστόσο, τα ποσοστά απόρριψης για όλους τους ελέγχους είναι σε μεγάλο βαθμό πολύ μικρότερα σε σχέση με την περίπτωση των χρονοσειρών 1000 τιμών της ίδιας προσομοίωσης. Στο επόμενο διάγραμμα Σχήμα που ακολουθεί φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης των ελέγχων για διαφορετικούς συντελεστές b s. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=360, 3 η Προσομοίωση. Στο τελευταίο διάγραμμα Σχήμα 5.32 μπορούμε να διακρίνουμε ότι για τιμή του συντελεστή b s =0 έχουμε αυξημένα ποσοστά απόρριψης της αρχικής υπόθεσης H0 για τον παραμετρικό έλεγχο και συγκεκριμένα 19% που είναι πολύ υψηλότερο από την περίπτωση χρονοσειρών 1000 τιμών. Βλέπουμε και εδώ για άλλη μία φορά ότι φαίνεται ακόμη πιο έντονα η αδυναμία του παραμετρικού ελέγχου όπως και στην αντίστοιχη 78

79 περίπτωση της δεύτερης προσομοίωσης. Ακόμη οι έλεγχοι τυχαιοποίησης έχουν χαμηλότερα ποσοστά απόρριψης για την τιμή του συντελεστή b s =0 ωστόσο και αυτοί υψηλότερα σε σχέση με του μεγαλύτερου μήκους χρονοσειρές και μάλιστα λίγο παραπάνω του 5%. Δημιουργία χρονοσειρών με μήκος n=100 Τέλος, πραγματοποιώντας την παραπάνω προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους 100 τιμών δημιουργήθηκαν τα παρακάτω διαγράμματα όπου φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών επιπέδων σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 5. 33, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 5. 34, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

80 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=100. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην 3 η Προσομοίωση για χρονοσειρές μήκους n=

81 Από τα διαγράμματα στα Σχήμα 5. 33, 5.34 και 5.35 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και για τους τρεις ελέγχους τυχαιοποίησης με την σταδιακή αύξηση της τιμής του συντελεστή b s δεν ισχύει αντίστοιχα και η σταδιακή αύξηση του αριθμού των απορρίψεων όπως φυσιολογικά θα περιμέναμε. Επιπλέον, έχει παρατηρηθεί ότι και στους τρεις ελέγχους τα ποσοστά απόρριψης έχουν μειωθεί σε σχέση με την περίπτωση των χρονοσειρών με τις 360 τιμές και ακόμη περισσότερο φυσικά με των 1000 τιμών. Αντίστοιχα αποτελέσματα αξίζει να σημειωθεί ότι είχαν παρατηρηθεί στην περίπτωση και των δύο προηγούμενων προσομοιώσεων για χρονοσειρές μήκους 100 τιμών. Στο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Μήκος χρονοσειρών n=100, 3 η Προσομοίωση. Στο διάγραμμα αυτό παρατηρούμε ότι σε σχέση με την περίπτωση των 1000 και των 360 τιμών έχουμε ακόμη περισσότερο αυξημένο το χάσμα μεταξύ του παραμετρικού ελέγχου και των ελέγχων τυχαιοποίησης για την περίπτωση όπου ο συντελεστής b s =0. Βλέπουμε ότι το ποσοστό απόρριψης του παραμετρικού ελέγχου είναι ακόμη μεγαλύτερο από τους άλλους δύο ελέγχους και αυτό σημαίνει ότι η αδυναμία του ελέγχου φαίνεται 81

82 ακόμη εντονότερη σε μικρού μήκους χρονοσειρές. Τέλος, παρατηρούμε ότι και οι τρείς καμπύλες δεν είναι αύξουσες όπως θα περιμέναμε απλά βλέπουμε ότι κινούνται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο γύρω από έναν μέσο όρο. Θα αναμέναμε με την αύξηση του συντελεστή b s όσο δηλαδή μετακινούμαστε προς τα δεξιά στον οριζόντιο άξονα, οι τιμές των καμπυλών να αυξάνονται. Το γεγονός αυτό αποδεικνύει ότι ισχύς των ελέγχων και η αξιοπιστία τους μειώνεται σημαντικά στην περίπτωση μικρού μήκους χρονσειρών. Μέσα από την εφαρμογή των προσομοιώσεων μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι στον υπολογισμό του δείκτη αιτιότητας μεταξύ χρονοσειρών που έχουν εποχικότητα ο παραμετρικός έλεγχος οδηγεί στην εμφάνιση ψευδών αιτιοτήτων. Επιπλέον, σημαντικό ρόλο παίζει το μήκος των χρονοσειρών, όσο μεγαλύτερο είναι τόσο αυξάνεται η ισχύς των ελέγχων. 82

83 Κεφάλαιο 6: Εφαρμογή στην Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας της 6.1) Εισαγωγή Ιταλίας Ο ηλεκτρισμός εδώ και πάρα πολλά χρόνια αποτελεί αναγκαίο αγαθό της καθημερινής ζωής του ανθρώπου. Η ζήτηση της ηλεκτρικής ενέργειας γνωρίζει σταθερή αύξηση, ιδιαίτερα στον αναπτυγμένο κόσμο, στη διάρκεια των τελευταίων πενήντα ετών, αύξηση που έχει ως φυσική συνέπεια την εξάπλωση των δικτύων μεταφοράς και διανομής που καλύπτουν ολοένα και ευρύτερες εκτάσεις σε όλο τον πλανήτη. Στα τέλη του 19 ου αιώνα άρχισαν να εμφανίζονται σιγά σιγά οι πρώτες μονάδες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στην Ευρώπη. Αυτές ήταν ιδιωτικές και είχαν αναλάβει τη παραγωγή και την εκμετάλλευση ηλεκτρικής ισχύος. Στα μέσα σχεδόν του 20 ου αιώνα σε κάθε χώρα της Ευρώπης δημιουργείται η κρατική μονοπωλιακή δομή στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας (Ελλάδα 1950 ίδρυση της Δημόσιας Επιχείρησης Ηλεκτρισμού (ΔΕΗ)) και σταδιακά αρχίζει η εξαγορά των ιδιωτικών επιχειρήσεων ηλεκτρισμού με σκοπό την αύξηση της παραγωγής. Αυτές οι κρατικές ή κρατικά ελεγχόμενες υπηρεσίες, ήταν υπεύθυνες για την παραγωγή, μεταφορά και διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας στην εκάστοτε χώρα. Στα τέλη του 20 ου αιώνα, εξαιτίας μεγάλων πολιτικών και οικονομικών αλλαγών παγκοσμίως, το μοντέλο των μονοπωλιακών αγορών σε πολλές χώρες του κόσμου όπως και στις χώρες τις Ευρώπης αρχίζει να καταρρίπτεται. Τα αίτια αυτού του φαινομένου είναι πολλά και σύνθετα. Οι απαιτήσεις για σωστότερη διαχείριση, για βελτίωση της ποιότητας υπηρεσιών και για αύξηση της αποδοτικότητας, με στόχο τη βελτίωση της ανταγωνιστικότητας σε διεθνές επίπεδο άρχισαν να αυξάνονται. Παράλληλα ξεκίνησε η διεθνοποίηση των επιχειρήσεων ηλεκτρισμού με την επέκταση των δραστηριοτήτων τους έξω από τα γεωγραφικά όρια του κράτους προέλευσης καθώς και η διεθνής εκμετάλλευση των μεγάλων δικτύων και υπηρεσιών. Τέλος, μεγάλη ώθηση προς αυτή την κατεύθυνση της απελευθέρωσης έδωσαν οι τεχνολογικές εξελίξεις στον τομέα της ηλεκτροπαραγωγής που επιτρέπουν πλέον την εγκατάσταση από ιδιώτες σχετικά φθηνών σε κόστος επένδυσης μονάδων παραγωγής με υψηλή απόδοση, η πτώση της τιμής του 83

84 φυσικού αερίου και η προώθηση ανανεώσιμων πηγών ενέργειας που λειτουργούν με ήλιο, νερό και αέρα [28]. 6.2) Οδηγία 96/92/ΕΚ- Οδηγία 2003/54/ΕΚ Στις 30 Ιανουαρίου 1997 εκδίδεται στην επίσημη εφημερίδα του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου η Οδηγία 96/92/ΕΚ και ορίζεται το θεσμικό πλαίσιο βάσει του οποίου θα λειτουργήσει η νέα απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας. Έτσι λοιπόν δόθηκε για πρώτη φορά η δυνατότητα στους ιδιώτες παραγωγούς των κρατών μελών να κατασκευάσουν μικρές και αποδοτικές μονάδες έχοντας την ευκαιρία να πραγματοποιήσουν επενδύσεις στον ενεργειακό τομέα. Σύμφωνα μ αυτή την οδηγία ορίζονται γενικοί κανόνες οργάνωσης του τομέα όσον αφορά την παραγωγή, την εκμετάλλευση του δικτύου μεταφοράς και διανομής, την οργάνωση πρόσβασης στο δίκτυο και τέλος το διαχωρισμό και διαφάνεια των λογαριασμών. Συγκεκριμένα, όλα τα κράτη μέλη θα πρέπει να λειτουργούν βάσει της οδηγίας και να επιβάλουν στις εταιρείες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας κάποιες υποχρεώσεις παροχής υπηρεσιών κοινής ωφέλειας προς το γενικότερο οικονομικό συμφέρον. Οι υποχρεώσεις αυτές αφορούν την ασφάλεια, την ασφάλεια εφοδιασμού, την τακτική παροχή, την ποιότητα, τις τιμές καθώς και την προστασία του περιβάλλοντος. Επιπλέον, οι τιμές θα πρέπει να ορίζονται σαφώς, να είναι διαφανείς, αμερόληπτες και να είναι επαληθεύσιμες. Τέλος θα πρέπει να κοινοποιούνται, να δημοσιεύονται και να μην γίνονται διακρίσεις μεταξύ των επιχειρήσεων για την τήρησή τους. Όσον αφορά την κατασκευή νέων εγκαταστάσεων παραγωγής, τα κράτη μέλη έχουν την δυνατότητα να επιλέξουν μεταξύ διαδικασίας χορήγησης αδείας ή και την πρόσκληση υποβολής προσφορών. Όταν επιλεγεί η διαδικασία χορήγησης αδειών κάθε κράτος καθορίζει τα κριτήρια αυτής της διαδικασίας που αφορούν την ασφάλεια των δικτύων ηλεκτρικής ενέργειας και των εγκαταστάσεων, την προστασία του περιβάλλοντος, τη χωροθέτηση, τη χρήση δημοσίων εκτάσεων, την ενεργειακή απόδοση, τη φύση των πρωτογενών πηγών και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του αιτούντος όπως τεχνικές και οικονομικές δυνατότητες. Όταν επιλεγεί η διαδικασία της πρόσκλησης υποβολής προσφορών πρέπει να συντάσσεται ένας κατάλογος απογραφής των νέων 84

85 μέσων παραγωγής όπου λαμβάνονται υπόψη οι ανάγκες διασύνδεσης των δικτύων. Τότε η ανάθεση της κατασκευής γίνεται με την πρόσκληση υποβολής των προσφορών. Επιπλέον, κρίνεται αναγκαίο βάσει της οδηγίας κάθε κράτος να ορίσει έναν διαχειριστή δικτύου μεταφοράς και ένα διαχειριστή δικτύου διανομής. Ο διαχειριστής δικτύου μεταφοράς είναι υπεύθυνος για την ροή ενέργειας, για την ασφάλεια, αξιοπιστία και την αποδοτικότητα του δικτύου. Ακόμη, ασχολείται με την κατανομή των φορτίων στις εγκαταστάσεις παραγωγής που βρίσκονται στη ζώνη του και καθορίζει τη χρήση διασυνδέσεων με τα άλλα δίκτυα. Ο διαχειριστής δικτύου διανομής ορίζεται υπεύθυνος για την εκμετάλλευση, την εξασφάλιση συντήρησης, την ανάπτυξη αν χρειαστεί του δικτύου διανομής και τη διασύνδεσή του με άλλα δίκτυα. Τόσο ο διαχειριστής δικτύου όσο και ο μεταφοράς οφείλουν να απέχουν από κάθε διάκριση μεταξύ των χρηστών ή των κατηγοριών χρηστών του δικτύου, και ιδίως από διακρίσεις υπέρ των θυγατρικών επιχειρήσεων ή των μετόχων τους ενώ παράλληλα να σέβονται το περιβάλλον. Τέλος, το κράτος μέλος δικαιούται να επιβάλει στους παραπάνω διαχειριστές, κατά την κατανομή των φορτίων στις εγκαταστάσεις παραγωγής, να δίνουν προτεραιότητα στις εγκαταστάσεις παραγωγής που χρησιμοποιούν ανανεώσιμες πηγές ενέργειας ή που παράγουν συνδυασμένα ενέργεια και θερμότητα. Σύμφωνα με την κοινοτική οδηγία λαμβάνονται αναγκαία μέτρα και κριτήρια ώστε οι πελάτες οι λεγόμενοι επιλέγοντες πελάτες να μπορούν να διαπραγματεύονται την πρόσβασή τους στο δίκτυο. Σε αυτήν την κατηγορία συμπεριλαμβάνονται όσοι πελάτες καταναλώνουν περισσότερες από 100 GWh ετησίως, συμπεριλαμβανομένης της αυτοπαραγωγής και όσοι άλλοι καταναλωτές αναγνωρίζονται με ειδική ρύθμιση. Σε αυτούς δεν ανήκουν οι οικιακοί και οι άλλοι μικροί καταναλωτές όπως ο τριτογενής τομέας, η αγροτική κατανάλωση κλπ. Επιπλέον, οι επιχειρήσεις ηλεκτρισμού οφείλουν να δημοσιεύουν και να υποβάλλουν σε έλεγχο τους ετήσιους λογαριασμούς σύμφωνα με τους εθνικούς κανόνες. Θα πρέπει να έχουν ξεχωριστούς λογαριασμούς για δραστηριότητες παραγωγής, μεταφοράς και διανομής προκειμένου να αποφεύγονται διακρίσεις, διασταυρούμενες επιχορηγήσεις και στρεβλώσεις ανταγωνισμού. Τέλος, απαραίτητο είναι οι επιχειρήσεις να περιλαμβάνουν στο παράρτημα των λογαριασμών τους ισολογισμό και λογαριασμό αποτελεσμάτων χρήσεως για κάθε δραστηριότητα τους. 85

86 Στις 26 Ιουνίου του 2003 το Ευρωπαϊκό Κοινοβούλιο και το Συμβούλιο της, εκδίδει νέα οδηγία, Οδηγία 2003/54/ΕΚ, σχετικά με τους κοινούς κανόνες των κρατών μελών για την εσωτερική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας και καταργεί αυτόματα την Οδηγία 69/92/ΕΚ. Σκοπός της νέας οδηγίας είναι να διορθωθούν σημαντικές ελλείψεις και να γίνουν βελτιώσεις της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας έτσι ώστε να προκύψουν σημαντικά οφέλη όσον αφορά τα κέρδη σε απόδοση, τη μείωση τιμών, τα υψηλότερα επίπεδα υπηρεσιών και την αυξημένη ανταγωνιστικότητα. Όλα αυτά είναι δυνατόν να συμβούν μόνο στο πλαίσιο της εντελώς ανοικτής αγοράς, η οποία παρέχει σε όλους τους καταναλωτές τη δυνατότητα να επιλέγουν ελεύθερα τους προμηθευτές τους και παρέχει σε όλους τους προμηθευτές την ελευθερία να προμηθεύουν τους πελάτες τους. Στη συγκεκριμένη οδηγία λοιπόν, θεσπίζονται κοινοί κανόνες για όλες τις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης που αφορούν την παραγωγή, τη μεταφορά, τη διανομή και την προμήθεια ηλεκτρικής ενέργειας. Ορίζει τους κανόνες σχετικά με την οργάνωση και λειτουργία του τομέα της ηλεκτρικής ενέργειας, την πρόσβαση στην αγορά, τα κριτήρια και τις διαδικασίες που ισχύουν για τις προσκλήσεις προς υποβολή προσφορών και τη χορήγηση αδειών καθώς και για την εκμετάλλευση των δικτύων [28], [29]. 6.3) Η λειτουργία της ανοιχτής αγοράς /ΗΕ H απελευθέρωση της αγοράς της ηλεκτρικής ενέργειας σηματοδοτεί μια νέα περίοδο για τον ενεργειακό τομέα, αλλά και συνολικά για την οικονομική ανάπτυξη όλων των χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Μ αυτόν τον τρόπο δίνεται η δυνατότητα της κατασκευής εγκαταστάσεων παραγωγής και η παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας όπως επίσης και η προμήθεια της, σε όσους έχουν αποκτήσει την σχετική άδεια παραγωγής και προμήθειας αντίστοιχα. Η λειτουργία του συστήματος της απελευθερωμένης αγοράς είναι πολύ απλή. Οι παραγωγοί και οι εισαγωγείς πωλούν ηλεκτρική ενέργεια στο διαχειριστή του συστήματος. Αυτός με τη σειρά του πουλά την ενέργεια στους προμηθευτές και τέλος οι προμηθευτές πωλούν την ηλεκτρική ενέργεια στους πελάτες μικρούς και μεγάλους 86

87 καταναλωτές οι οποίοι έχουν την δυνατότητα επιλογής προμηθευτή μετά τις 01/07/2007 σύμφωνα με την Οδηγία 69/92/ΕΚ. Βασικό ρόλο στην λειτουργία της ανοιχτής αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας και στο σύστημα συναλλαγών της παίζει ο Ημερήσιος Ενεργειακός Προγραμματισμός. Σύμφωνα μ αυτόν γίνονται οι συναλλαγές για την συνολική ενέργεια που καταναλώνεται ανά ημέρα, η διαδικασία κατανομής αυτής και η εκκαθάριση αποκλίσεων παραγωγής και ζήτησης, δηλαδή η εκκαθάριση διαφορών για την εξισορρόπηση του συστήματος. Η διαδικασία του ημερήσιου προγραμματισμού περιλαμβάνει μια σειρά από στάδια, κατά τη διεκπεραίωση των οποίων ο Διαχειριστής λαμβάνει υπόψη του ένα σύνολο στοιχείων και πληροφοριών απαραίτητων για την αποπεράτωση του συνολικού προγραμματισμού. Αυτά τα στάδια είναι [28]: 1. Πρόβλεψη Φορτίου : Ο διαχειριστής ανακοινώνει την πρόβλεψη του φορτίου (ζήτηση ενέργειας και εξαγωγές) για κάθε περίοδο κατανομής της επόμενης ημέρας. 2. Δηλώσεις Παραγωγών : Βάσει της ημερήσιας πρόβλεψης του φορτίου, υποβάλλονται Προσφορές Έγχυσης (ημερήσιες προσφορές) από τους παραγωγούς όλων των ειδών μονάδων και από τους εισαγωγείς ηλεκτρικής ενέργειας στο σύστημα. Οι προσφορές αυτές αναφέρονται στην ποσότητα ενέργειας που προβλέπεται ότι πρόκειται να προσφέρουν στο σύστημα κάθε ένας παραγωγός. 3. Ο έλεγχος των στοιχείων των συντελεστών της ενεργειακής αγοράς. Για τη διασφάλιση της βέλτιστης λειτουργίας του ημερήσιου προγραμματισμού οι παραγωγοί που συμμετέχουν σ αυτόν υποχρεούνται να υποβάλλουν δηλώσεις των τεχνοοικονομικών στοιχείων τους. Ο διαχειριστής τους συστήματος είναι υπεύθυνος να ελέγξει τις υποβληθείσες ημερήσιες προσφορές των παραγωγών και τα στοιχεία τους και να τους ενημερώσει για την εγκυρότητα τους και τη συμμετοχή τους στην αγορά. 4. Δηλώσεις Φορτίου : Οι δηλώσεις φορτίου υποβάλλονται από τους προμηθευτές και από τους αυτοπρομηθευόμενους για την απορρόφηση ενέργειας προκειμένου να καλύπτονται οι ανάγκες λειτουργίας των αντλητικών μονάδων και των βοηθητικών φορτίων των μονάδων. 87

88 5. Καθορισμός Οριακής Τιμής Συστήματος : Η οριακή τιμή του συστήματος είναι η τιμή βάσει της οποίας εκκαθαρίζεται η χονδρεμπορική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας, δηλαδή η τιμή στην οποία αποζημιώνονται οι παραγωγοί και οι εισαγωγείς ηλεκτρικής ενέργειας και χρεώνονται οι εκπρόσωποι και οι εξαγωγείς της. Ο Διαχειριστής έχοντας μαζέψει όλες τις πληροφορίες για την ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας από τους προμηθευτές αλλά και τις προσφορές των παραγωγών, αθροίζει την ισχύ που μπορεί να προσφέρει κάθε μονάδα παραγωγής. Η πρώτη μονάδα που θα συμμετέχει στον ημερήσιο προγραμματισμό είναι αυτή με την χαμηλότερη προσφορά, στη συνέχεια προστίθεται η ισχύς της μονάδας με την αμέσως μεγαλύτερη προσφορά κ.ο.κ. μέχρι να καλυφθεί το προβλεπόμενο φορτίο. Η τιμή της τελευταίας μονάδας που εντάσσεται στο σύστημα είναι και η Οριακή Τιμή Συστήματος. 6. Κάλυψη Εφεδρείας : Η κάλυψη της εφεδρείας είναι μία πάρα πολύ σημαντική διαδικασία του ημερήσιου προγραμματισμού σύμφωνα με την οποία εξασφαλίζεται σε μεγάλο βαθμό η κάλυψη του απαιτούμενου φορτίου σε περιπτώσεις υπερβολικής ζήτησης ή έκτακτης ανάγκης. 6.4) Η λειτουργά της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας 6.4.1) Ιστορική αναδρομή Στα τέλη του 19ου αιώνα όπως και στις περισσότερες χώρες της Ευρώπης έτσι και στην Ιταλία κάνουν την εμφάνιση τους οι πρώτες ιδιωτικές μονάδες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. Μισό αιώνα μετά περίπου, το μοντέλο της αγοράς ηλεκτρισμού αλλάζει και μετατρέπεται σε μονοπωλιακό. Γίνεται αναγκαία, η ύπαρξη μιας κρατικής ή κρατικά ελεγχόμενης υπηρεσίας, υπεύθυνης για την παραγωγή, μεταφορά και διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας. Έτσι ιδρύεται το 1962 η ENEL (Ene Nazionale per l'energia Elerica-Εθνικός οργανισμός ηλεκτρικής ενέργειας) η οποία εξαγόρασε όλες τις ιδιωτικές μονάδες παραγωγής ενέργειας και ορίσθηκε αρμόδια για την παραγωγή, μεταφορά, διανομή, εισαγωγή, εξαγωγή και πώληση ενέργειας. 88

89 Το 1995 ιδρύεται η Ρυθμιστική Αρχή Ενέργειας της Ιταλίας η AEEG (Auoria per l energia elerica e il gas). Ο ρόλος της είναι ο γενικότερος έλεγχος της αγοράς ηλεκτρισμού έτσι ώστε να προστατεύονται τα συμφέροντα των καταναλωτών και να διασφαλίζεται η παροχή υπηρεσιών σε υψηλά επίπεδα ποιότητας. Συγκεκριμένα, έχει σκοπό να διευκολύνει τον ελεύθερο και υγιή ανταγωνισμό στην ενεργειακή αγορά με σκοπό να εξυπηρετηθούν καλύτερα και οικονομικότερα οι κατάναλωτές. Επιπλέον, προσπαθεί να διατηρήσει ένα διαφανές σύστημα τιμολόγησης, να διασφαλίσει επαρκή, αξιότιμη και ισότιμη τροφοδοσία των καταναλωτών, ασφάλεια τροφοδοσίας της χώρας, προστασία του περιβάλλοντος, αποτελεσματική χρήση και προμήθεια ενέργειας και εξασφάλιση επαρκούς υποδομής για την ενέργεια. Παρέχει επίσης συμβουλευτικές υπηρεσίες και την υποβολή εκθέσεων προς την κυβέρνηση και το κοινοβούλιο, και διατυπώνει τις παρατηρήσεις και συστάσεις σχετικά με τα θέματα στους ρυθμιζόμενους τομείς για τους οποίους ο νομοθέτης έχει άμεση αρμοδιότητα. Το 1999 η ιταλική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας απελευθερώθηκε σύμφωνα με τον νόμο Νο.79 ή αλλιώς νόμος Bersani, από τον τότε υπουργό βιομηχανίας Pier-Luigi Bersani. Ο νόμος αυτός ρυθμίζει τις λεπτομέρειες της εφαρμογής της Οδηγίας 96/92 της Ευρωπαϊκής Ένωσης για το ιταλικό ηλεκτρικό σύστημα και σύμφωνα μ αυτόν απελευθερώθηκαν πλήρως οι δραστηριότητες για την παραγωγή, εισαγωγή, εξαγωγή και πώληση ηλεκτρικής ενέργειας. Όσον αφορά την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, επιβλήθηκε όριο 50% της παραγωγής ενέργειας της Ιταλίας στην ΕNEL, η οποία μέχρι τότε αποτελούσε μονοπώλιο στην παραγωγή διαθέτοντας το 100% της ζητούμενης ενέργειας. Με αυτόν τον τρόπο δόθηκε η δυνατότητα σε νέους επενδυτές να εισέλθουν στην αγορά πραγματοποιώντας επενδύσεις στον τομέα παραγωγής. Επιπλέον, έγινε άμεσα σχεδόν η πώληση του παραγωγικού δυναμικού του πρώην μονοπωλίου ώστε να δημιουργηθούν νέες επιχειρήσεις ηλεκτρικής ενέργειας. Αρχικά, σημειώνεται ότι δημιουργήθηκαν τρεις νέες εταιρείες ηλεκτρικής ενέργειας η GenCo 1, η GenCo 2 και η GenCo 3 με συνολική χωρητικότητα πάνω από MW. Στη συνέχεια εκτός από την ENEL και από τους ιδιώτες, παρατηρήθηκε και η είσοδος στην αγορά δημοσίων υπηρεσιών κοινής ωφέλειας μεγάλων πόλεων της Ιταλίας όπως Μιλάνο, Ρώμη και Τορίνο, οι οποίες έχοντας το δικό 89

90 τους δυναμικό παραγωγής ξεκίνησαν να πωλούν ηλεκτρική ενέργεια ακριβώς όπως και οι άλλοι παραγωγοί. Σύμφωνα με τον Bersini όσον αφορά τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας διατηρήθηκε το μονοπώλιο. Το δίκτυο τόσο της μεταφοράς όσο και της διανομής ανήκε αρχικά στην ENEL. Η τελευταία, παραχώρησε το δίκτυο μεταφοράς σε μία νέα εταιρεία την TERNA SpA έχοντας όμως τον έλεγχο του δικτύου αφού κατείχε το 50% των μετοχών της νέας εταιρείας. Ταυτόχρονα, δημιουργήθηκε ο δημόσιος φορέας GRTN- Διαχειριστής του Εθνικού Συστήματος Μεταφοράς ο οποίος ορίστηκε υπεύθυνος για την λειτουργική διαχείριση της TERNA. Μετά από λίγα χρόνια, το 2004 το 50% του μετοχικού κεφαλαίου της TERNA πωλήθηκε σε επενδυτές και με τη σειρά της, λίγο αργότερα, η ΕΝΕL οδηγήθηκε στην πώληση επιπλέον 13,86% των μετοχών της TERNA. Έτσι η TERNA γίνεται ανεξάρτητη και αποτελεί μέχρι και σήμερα το μονοπώλιο στη μεταφορά και στη διαχείριση ροών ηλεκτρικής ενέργειας. Ωστόσο, η λειτουργία της και οι τιμές που χρεώνει για τη παροχή υπηρεσιών της καθορίζονται από αυστηρούς κανόνες της AEEG. O GRTN δεν έχει τώρα πια κανένα δικαίωμα διαχείρισης του δικτύου της TERNA γι αυτό άλλαξε λειτουργία και αποστολή και μετονομάστηκε σε GSE- Λειτουργός υπηρεσιών ηλεκτρισμού. Όσον αφορά τη διανομή ηλεκτρικής ενέργειας δόθηκε η δυνατότητα του τοπικού μονοπωλίου, δηλαδή για μία γεωγραφική περιοχή που ορίζεται από το έδαφος του δήμου όπου υπάρχει μόνο μία εταιρεία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας που εκτελεί την υπηρεσία αυτή. Οποιαδήποτε εταιρεία που πληροί τις απαιτούμενες προδιαγραφές μπορεί να λάβει τη σύμβαση παραχώρησης υπηρεσιών διανομής και τα ποσοστά κέρδους της καθορίζονται από τον νόμο [27] ) Δομή της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας Στην Ιταλία λειτουργεί το χρηματιστήριο ενέργειας που ονομάζεται IPEX (Ialian Power Exchange) που ιδρύθηκε με την νομοθεσία Bersani. Αποτελείται από την αγορά όψεως ηλεκτρικής ενέργειας MPE (Mercao del Giorno Prima), την προθεσμιακή αγορά ηλεκτρικής ενέργειας MTE (Mercao elerico a ermine) και την πλατφόρμα φυσικής παράδοσης των οικονομικών συμβολαίων CDE (Condegna Derivai Energia) τα οποία θα αναλυθούν παρακάτω. 90

91 Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας Ιταλίας Αγορά όψεως MPE Προθεσμιακή Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας MPE Αγορά Προηγούμενης ημέραςmgp Ενδοημερήσια Αγορά MI Αγορά επικουρικών υπηρεσιών MSD Σχήμα 6. 1 Συνοπτική δομή της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας. Όσον αφορά τη δομή του, το σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας είναι ζωνικό και αποτελείται από φυσικές και εικονικές ζώνες. Η διαμόρφωση των ζωνών αυτών εξαρτάται από το πώς η TERNA διαχειρίζεται τη ροή κατά μήκος της χερσονήσου. Οι ζώνες της Ιταλίας συνολικά είναι 18 και χωρίζονται ως εξής ( Σχήμα 6. 2): Σε 6 γεωγραφικές ζώνες, την κεντρική-βόρεια Ιταλία, τη βόρεια Ιταλία, την κεντρική-νότια Ιταλία, τη νότια Ιταλία, τη Σικελία και τη Σαρδηνία. Σε 6 εικονικές ζώνες γειτονικών χωρών με τις οποίες η χώρα έχει συναλλαγές ηλεκτρικής ενέργειας, τη Γαλλία, την Ελβετία, την Αυστρία, τη Σλοβενία την Κορσική και την Ελλάδα. Αυτές οι ζώνες θεσπίστηκαν για να αποδεικνύουν την εισαγωγή και εξαγωγή ενέργειας από και προς τα ιταλικά σύνορα. Σε 6 περιορισμένες ζώνες που ονομάζονται και εικονικές. Οι συγκεκριμένες ζώνες αποτελούνται μόνο από μονάδες παραγωγής των οποίων η δυναμικότητα διασύνδεσης με το δίκτυο είναι χαμηλότερη από την εγκατεστημένη ισχύ τους. Δηλαδή, αυτές οι ζώνες αποτελούνται από παραγωγικές μονάδες των οποίων η ισχύς διασύνδεσης με το δίκτυο είναι μικρότερη από την ισχύ που μπορούν να παράγουν. Αυτή την ομάδα αποτελούν οι εξής ζώνες το Ροσσάνο, το Μπρίντεζι, η Φότζια, το Μονφαλκόνε, η Κορσική AC και το Πριόλο. 91

92 Σχήμα 6. 2 Απεικόνιση των ζωνών στον χάρτη Σε κάθε μία από τις παραπάνω 18 ζώνες διαμορφώνεται καθημερινά μέσα από την χονδρική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας η νέα τιμή ενέργειας. Ωστόσο η ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας προκύπτει μόνο από τις 6 γεωγραφικές ζώνες της χώρας. Αξίζει να σημειωθεί ότι είναι δυνατή η πώληση και η αγορά ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ των ζωνών ανάλογα με τη ζήτηση, τη δυνατότητα κάλυψης των αναγκών στη ζώνη, τις τιμές ηλεκτρικής ενέργειας στις γειτονικές ζώνες καθώς και από κάποια επιτρεπόμενα όρια μετάδοσης μεταξύ των γειτονικών ζωνών [27] ) Αγορά όψεως ΜΡΕ Η αγορά όψεως αποτελείται από: Την αγορά της προηγούμενης ημέρας MGP (Mercao del Giorno Prima) Την ενδοημερήσια αγορά MI Την αγορά επικουρικών υπηρεσιών MSD Η αγορά της προηγούμενης ημέρας MGP είναι μία χονδρική αγορά ηλεκτρικής ενέργειας κατά την οποία γίνονται οι διαπραγματεύσεις της επόμενης ημέρας για τις τιμές ενέργειας και το μέγεθος συναλλαγών της. Καθημερινά πραγματοποιείται μία συνεδρίαση της MGP. Πριν από τη συνεδρίαση ο GME, ο οποίος είναι ο λειτουργός της 92

93 αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας παρέχει στους συμμετέχοντες στην αγορά πληροφορίες σχετικά με τις αναμενόμενες απαιτήσεις της ηλεκτρικής ενέργειας για κάθε ώρα και κάθε ζώνη και τα ανώτατα επιτρεπόμενα όρια μετάδοσης μεταξύ των γειτονικών περιοχών σε κάθε ώρα και κάθε ζευγάρι των ζωνών. Επιπλέον, κάνει πρόβλεψη για τις τιμές ενέργειας σε κάθε ζώνη, προσδιορίζει την τιμή που συμβατικά εφαρμόζεται ανεξάρτητου τιμής δηλώσεων φορτίου προκειμένου να αξιολογήσει την επάρκεια των δηλώσεων σε σχέση με το διαθέσιμο ποσό οικονομικών εγγυήσεων των συμμετεχόντων στην αγορά. Κατά τη διάρκεια της συνεδρίασης της MGP, οι συμμετέχοντες στην αγορά υποβάλλουν προσφορές έγχυσης (δηλώσεις παραγωγών) σύμφωνα με τις οποίες προσδιορίζουν το μέγεθος ηλεκτρικής ενέργειας που μπορούν να προσφέρουν και την τιμή με την οποία είναι διατεθειμένοι να την πουλήσουν. Οι συμμετέχοντες μπορούν να υποβάλλουν προσφορά μόνο σε σημεία έγχυσης ή σε μικτά σημεία (σημεία έγχυσης και ταυτόχρονα σημεία απορρόφησης ). Παράλληλα, υποβάλλονται και οι δηλώσεις φορτίου (δηλώσεις προμηθευτών) οι οποίες εκφράζουν την επιθυμία του συμμετέχοντα να αγοράσει μία συγκεκριμένη ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας με συγκεκριμένη τιμή που δεν υπερβαίνει εκείνη της προσφοράς τόσο σε τιμή όσο και σε ποσότητα. Οι συμμετέχοντες μπορούν να κάνουν δήλωση φορτίου μόνο σε σημεία απορρόφησης ή μικτά σημεία. Μετά το κλείσιμο της αγοράς εξετάζονται όλες οι προσφορές έγχυσης και οι δηλώσεις φορτίου και γίνονται αποδεκτές εκείνες που ακολουθούν το κριτήριο της οικονομικής αξίας και τα όρια μεταφοράς ενέργειας μεταξύ των ζωνών. Ο GME στη συνέχεια ενεργοποιεί τη διαδικασία επίλυσης της αγοράς. Η διαδικασία αυτή βασίζεται σε έναν αλγόριθμο ο οποίος έχει ως σκοπό την μεγιστοποίηση της αξίας των συναλλαγών προσπαθώντας οπωσδήποτε να πληροί τα ανώτατα όρια μετάδοσης μεταξύ των ζωνών. Ο αλγόριθμος αυτός πραγματοποιείται για κάθε ώρα της επόμενης ημέρας. Αρχικά, κατατάσσονται σε αύξουσα σειρά τιμών όλες οι προσφορές έγχυσης, δημιουργώντας έτσι μία συγκεντρωτική καμπύλη προσφοράς, ενώ όλες οι δηλώσεις φορτίου κατατάσσονται σε μία φθίνουσα σειρά δημιουργώντας την καμπύλη συνολικής ζήτησης. Το σημείο τομής αυτών των δύο καμπυλών δίνει την συνολική ενέργεια η οποία θα λάβει μέρος στις συναλλαγές καθώς και την τιμή εκκαθάρισης του συστήματος. Οι προσφορές έγχυσης και οι δηλώσεις φορτίου που βρίσκονται αριστερά του σημείου 93

94 τομής των δύο καμπυλών είναι αποδεκτές και οι οποίες θα συμμετέχουν στις συναλλαγές. Τέλος, γίνεται ο υπολογισμός των χρονοδιαγραμμάτων έγχυσης και απορρόφησης αθροίζοντας τις αποδεκτές προσφορές που αφορούν την ίδια ώρα και το ίδιο σημείο. Αν η ροή στο σύστημα μεταφοράς που προκύπτει από τα χρονοδιαγράμματα δεν παραβιάζει κανένα όριο μεταφοράς μεταξύ των ζωνών, τότε η τιμή εκκαθάρισης είναι ενιαία σε όλες τις ζώνες και είναι αυτή που προκύπτει από το σημείο τομής των καμπυλών προσφοράς και συνολικής ζήτησης. Ωστόσο, αν ένα τουλάχιστον όριο παραβιάζεται, τότε ο αλγόριθμος χωρίζει την αγορά σε δύο ζώνες: 1. Mία ζώνη εξαγωγής συμπεριλαμβανομένων όλων των ζωνών άνω του περιορισμού 2. Mία ζώνη εισαγωγής, συμπεριλαμβάνοντας όλες τις ζώνες κάτω του περιορισμού. Σε κάθε ζώνη της αγοράς ο αλγόριθμος επαναλαμβάνει την προαναφερθείσα διαδικασία διασταύρωσης και για κάθε ζώνη έχουμε νέες καμπύλες προσφοράς και ζήτησης. Αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας είναι ότι προκύπτει μία διζωνική τιμή εκκαθάρισης η οποία είναι διαφορετική σε κάθε ζώνη και είναι υψηλότερη στη ζώνη εισαγωγής και χαμηλότερη στη ζώνη εξαγωγής. Ρ εισαγωγής >Ρ εξαγωγής Στη συνέχεια γίνεται έλεγχος εάν τα αποτελέσματα αυτής της λύσης παραβιάζουν επιπρόσθετα όρια σε κάθε ζώνη της αγοράς. Σε περίπτωση που συμβαίνει κάτι τέτοιο η διάσπαση της αγοράς επαναλαμβάνεται μέχρις ότου το αποτέλεσμα να ικανοποιεί τους περιορισμούς του δικτύου. Όσον αφορά την τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας προς του καταναλωτές στην περίπτωση που διαφοροποιούνται οι τιμές ανά ζώνη, ο αλγόριθμος εφαρμόζει μία εθνική ενιαία τιμή την PUN η οποία είναι ίση με τον μέσο όρο των τιμών πώλησης των ζωνών σταθμισμένο για ζωνική κατανάλωση. Η ενιαία εθνική τιμή (PUN) εφαρμόζεται μόνο στα σημεία απορρόφησης ενέργειας που ανήκουν στις γεωγραφικές ζώνες, ενώ η τιμή για πώληση και αγορά εφαρμόζεται σε όλα τα σημεία έγχυσης, απορρόφησης και στα μεικτά σημεία που ανήκουν στις γειτονικές ζώνες άλλων χωρών. Ο αλγόριθμος καθορισμού της ζωνικής τιμής της αγοράς παρουσιάζεται σχηματικά στο παρακάτω 94

95 διάγραμμα.: Προσφορές Έγχυσης Και Δηλώσεις Φορτίου Όρια Συναλλαγών ΗΕ Μεταξύ των Ζωνών Ικανοποιήθηκαν οι Περιορισμοί Μετάδοσης (Όρια)? Ναι Ενιαία Τιμή Αγοράς Όχι Διαχωρισμός Αγοράς Σε Ζώνες Έλεγχος Διαγραμμάτων Σύμφωνα με τους Περιορισμούς Ενιαία Τιμή Αγοράς Δημιουργία Ζωνικών Τιμών Τιμή Εξαγωγής της Ζώνης < Τιμή Εισαγωγής της Ζώνης Σχήμα 6. 3 Αλγόριθμος καθορισμού ζωνικής τιμής της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας. 95

96 Ενδοημερήσια αγορά MI πραγματοποιείται σε τέσσερεις συνολικά συνεδρίες μέσω των οποίων οι συμμετέχοντες λαμβάνουν υπόψη νέα δεδομένα που ανακύπτουν σε σχέση με την παραγωγή και τη ζήτηση έτσι ώστε να μπορέσουν να βελτιστοποιήσουν τις προσφορές τους. Στην MI κύριος αντισυμβαλλόμενος είναι ο GME ο οποίος μετά το κλείσιμο κάθε συνεδρίας ενημερώνει την Terna για τις ροές ενέργειας και τα νέα προγράμματα έγχυσης και απορρόφησης ενέργειας. Γενικότερα κατά την ενδοημερήσια αγορά οι κανόνες θέσπισης τιμών είναι παρόμοιοι μ αυτούς της αγορά της προηγούμενης ημέρας με μόνη διαφορά ότι εδώ δεν υπολογίζεται εθνική ενιαία τιμή (PUN), αλλά όλες οι αγοραπωλησίες γίνονται στην τιμή της εκάστοτε ζώνης. Συγκεκριμένα στην MI ο GME, εφαρμόζει το πρόστιμο της αποφυγής αρμπιτράζ σε όλες τις αποδεκτές προσφορές έγχυσης και δηλώσεις φορτίου που αφορούν τέτοια σημεία. Για κάθε συναλλαγή αγοράς που έχει συναφθεί στην MI και αφορούσε ένα σημείο έγχυσης ενέργειας που ανήκει σε γεωγραφική ζώνη, αν το PUN στην προηγούμενη GMP ήταν υψηλότερο (χαμηλότερο) από τη σχετική τιμή ζώνης, ο συμμετέχων πρέπει να καταβάλει (λάβει) πρόστιμο για την αποφυγή αρμπιτράζ. Αυτό το πρόστιμο είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ PUN και την τιμή ζώνης, που εφαρμόζεται σε κάθε MWh που καλύπτεται από την συναλλαγή αγοράς. Αντίστροφα, για κάθε συναλλαγή πώλησης που έχει πραγματοποιηθεί στην MI και αφορούσε ένα σημείο απορρόφησης που ανήκει σε μία γεωγραφική ζώνη, αν το PUN κατά την προηγούμενη συνεδρία της MGP είναι χαμηλότερο (υψηλότερο) από τη σχετική τιμή ζώνης, ο συμμετέχων πρέπει να καταβάλει (λάβει) πρόστιμο για την αποφυγή αρμπιτράζ. Αυτό το πρόστιμο είναι ίσο με την διαφορά μεταξύ της τιμής ανά ζώνης και της PUN, που εφαρμόσθηκε σε κάθε MWh που καλύπτεται από την συναλλαγή πώλησης. Αγορά επικουρικών υπηρεσιών MSD. Σ αυτή την αγορά κύριος αντισυμβαλλόμενος είναι η Terna η οποία δέχεται προσφορές έγχυσης και δηλώσεις φορτίου με σκοπό να εξασφαλίσει εφεδρεία, να μειώσει τη συμφόρηση του δικτύου και να εξισορροπήσει την ενέργεια στο σύστημα μεταφοράς. Οι προσφορές έγχυσης και οι δηλώσεις φορτίου μπορούν να αναφέρονται μόνο σε εξουσιοδοτημένα σημεία προσφοράς και να υποβάλλονται μόνο από τα αντίστοιχα των χρηστών αποστολής. 96

97 Στην αγορά MSD, μία μονάδα υποβάλλει την προσφορά της για την αύξηση της παραγωγής με μία τιμή P up και την προσφορά για την μείωση της παραγωγής με μία τιμή P down. Αυτό σημαίνει, ότι σε περίπτωση που η μονάδα κληθεί από την Terna να αυξήσει την παραγωγή, θα πρέπει να πληρωθεί με την τιμή P up (pay-as-bid). Αλλά εάν η μονάδα καλείται να μειώσει την παραγωγή, θα πρέπει να καταβάλλει ποσό ίσο με την τιμή P down (pay-as-bid). H MSD πραγματοποιείται σε 2 στάδια: Το πρώτο στάδιο όπου έχουμε την εκ των υστέρων MSD η οποία αποτελείται από 4 συνεδρίες. Το δεύτερο στάδιο, όπου πραγματοποιείται η εξισορρόπηση της αγοράς σε πραγματικό χρόνο όπου η Terna στέλνει κατάλληλες εντολές στις μονάδες παραγωγής για να διατηρηθεί το σύστημα κάτω από τυχόν αλλαγές που προκύπτουν. Η τιμή της MSD δεν απεικονίζει μόνο την τιμή της ενέργειας αλλά και τη διαθεσιμότητα. Σε περίπτωση που μία μονάδα δεν παράγει την προγραμματισμένη από την αγορά MSD ποσότητα με δική της υπαιτιότητα δεν είναι ισορροπημένη και πληρώνει ένα πρόστιμο για την έλλειψη της ισορροπίας, το οποίο βασίζεται στην τιμή του MSD εκ των υστέρων. Ωστόσο, στην περίπτωση που ο διαχειριστής της μονάδας αλλάξει τη διαθεσιμότητα της μονάδας, τότε το πρόστιμο της μονάδας είναι μικρότερο [27] ) Προθεσμιακή Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας MTE Η προθεσμιακή αγορά MTE (Mercao Elerico a Termine ) είναι η αγορά όπου πραγματοποιούνται οι διαπραγματεύσεις των μακροπρόθεσμων συμβάσεων με υποχρέωση παράδοσης ή απορρόφησης ηλεκτρικής ενέργειας. Όλοι οι συμμετέχοντες στην αγορά γίνονται δεκτοί στην MTE, ενώ πραγματοποιούν και διαπραγματεύονται δύο τύπους συμβολαίων. Ως βασική ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας ορίζεται από τον GME το 1ΜW επί τη χρονική περίοδο που αφορά το συμβόλαιο. Οι δύο τύποι συμβολαίων είναι: 97

98 1. Τα συμβόλαια φορτίου βάσης για τα οποία απαραίτητη προϋπόθεση είναι η ενέργεια να παραδίδεται στις ισχύουσες περιόδους της ημέρας για τις μέρες που ανήκουν στην περίοδο παράδοσης. 2. Τα συμβόλαια φορτίου αιχμής για τα οποία προϋπόθεση είναι η ενέργεια να παραδίδεται σε όλες τις ισχύουσες προθεσμίες από την ένατη έως την εικοστή ημέρα από τις ημέρες που ανήκουν στην περίοδο παράδοσης πλην Σαββάτου και Κυριακής. Οι συμβάσεις αυτές είναι εμπορεύσιμες με μηνιαίες, τριμηνιαίες ή ετήσιες περιόδους παράδοσης. Οι συμμετέχοντες υποβάλλουν προσφορές έγχυσης και δηλώσεις φορτίου όπου προσδιορίζουν την περίοδο, τον τύπο και την παράδοση των συμβάσεων, των αριθμό των συμβάσεων και την τιμή κατά την οποία είναι πρόθυμοι να αγοράσουν ή να πουλήσουν. Ο GME διοργανώνει ένα βιβλίο παραγγελιών για κάθε τύπο σύμβασης και κάθε περίοδο παράδοσης. Σε αυτό το βιβλίο, οι προσφορές κατατάσσονται σύμφωνα με την τιμή: φθίνουσα σειρά για την υποβολή προσφορών της ζήτησης και κατά αύξουσα τιμή για προσφορές προμήθειας (προσφοράς) ηλεκτρικής ενέργειας. Αν η τιμή είναι ίση, οι προσφορές κατατάσσονται με χρονική προτεραιότητα σύμφωνα με τον χρόνο της εισόδου. Προσφορές χωρίς όριο τιμής έχουν τη μέγιστη προτεραιότητα τιμής. Οι συναλλαγές στην αγορά πραγματοποιούνται μέσω συνεχούς διαπραγμάτευσης, κατά τη διάρκεια της οποίας οι συμβάσεις που συνάπτονται μέσω αυτόματης αντιστοίχισης των προσφορών έγχυσης και δηλώσεων φορτίου με αντίθετο πρόσημο εγγράφονται στο βιβλίο παραγγελιών και κατατάσσονται σύμφωνα με ορισμένα κριτήρια προτεραιότητας [27]. 6.5) Το πραγματικό πρόβλημα - Συλλογή δεδομένων Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως στην ανάλυση της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας, η χώρα αυτή χωρίζεται σε ζώνες, σε κάθε μία από τις οποίες η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας διαμορφώνεται μέσω της αντίστοιχης χρηματιστηριακής αγοράς IPEX (Ialian Power Exchange). Η Ελλάδα συνδέεται ενεργειακά με την Ιταλία μέσω υποθαλασσίου καλωδίου με σκοπό την αμφίδρομη εμπορία ηλεκτρικής ενέργειας όποτε αυτή είναι συμφέρουσα. Το πότε όμως συμφέρει τη μία χώρα είτε την άλλη να 98

99 οδηγηθεί στην πώληση ή αγορά ηλεκτρικής ενέργειας, καθορίζεται από μία σειρά πολλών παραγόντων. Μερικοί απ αυτούς είναι η διαθεσιμότητα ηλεκτρικής ενέργειας, οι τιμές των καυσίμων για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας στο εσωτερικό της κάθε χώρας, η τιμή πώλησης ενέργειας των χωρών με τις οποίες συνδέεται η κάθε μία. Η Ελλάδα, όπως είπαμε και πιο πάνω, συνδέεται ενεργειακά με την ζώνη «Greece» της Ιταλίας. Προκειμένου να διευκολυνθεί και να γίνει πιο «σωστή» η ενεργειακή πολιτική της Ελλάδας καλό θα ήταν να καταφέρουμε να κάνουμε μία σωστή πρόβλεψη της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της συγκεκριμένης ζώνης. Για να γίνει όμως μία σωστή πρόβλεψη σε πρώτο στάδιο πρέπει να εξετάσουμε από ποιους παράγοντες και σε ποιο βαθμό εξαρτάται η χρονοσειρά της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας. Στόχος λοιπόν είναι να πραγματοποιηθεί η διερεύνηση της αιτιότητας κατά Granger και η εφαρμογή των ελέγχων σημαντικότητας μεταξύ ορισμένων χρονοσειρών που πιστεύουμε ότι επηρεάζουν την τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης αυτής. Οι παράμετροι που πιστεύουμε ότι επηρεάζουν στη διαμόρφωση της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» και επιδιώκουμε να εξετάσουμε, είναι η ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας στη γεωγραφική ζώνη «Souhern Ialy», η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας με την οποία γίνεται εμπορία ενέργειας, η τιμή του φυσικού αερίου το οποίο αποτελεί πρώτη ύλη για την παραγωγή ηλεκτρισμού στις μονάδες παραγωγής της Ιταλίας, η συνολική ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας και τέλος η εθνική ενιαία τιμή ενέργειας (PUN) της χώρας αυτής. Γι αυτές τις μεταβλητές εξετάσθηκε ο δείκτης της αιτιότητας κατά Granger, ο δείκτης της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger (Condiional Granger Caysaliy) καθώς και οι έλεγχοι σημαντικότητας που αναλύθηκαν σε προηγούμενο κεφάλαιο. Η συλλογή των δεδομένων της τιμής ενέργειας της ζώνης «Greece», της ενιαίας εθνικής τιμής (PUN), όπως και η ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας όλης της χώρας και της γεωγραφικής ζώνης «Souhern Ialy», πραγματοποιήθηκε για το έτος 2011 μέσω της σελίδας του διαχειριστή αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας: hp:// Αντίστοιχα η συλλογή της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας για το ίδιο έτος πραγματοποιήθηκε από την : hp:// 99

100 Και τέλος η τιμή του φυσικού αερίου σε πένες Αγγλίας /Mwh, από τη σελίδα : hp://markeinformaion.nagrid.co.uk/gas/daaiemexplorer.aspx Ουσιαστικά, λαμβάνονται οι τιμές από το χρηματιστήριο αγαθών της Αγγλίας για το φυσικό αέριο. Η Ιταλία δεν έχει κάτι αντίστοιχο οπότε θεωρήσαμε σωστό να λάβουμε του κοντινότερου χρηματιστηρίου αγαθών που υπάρχει. Η μετατροπή των οποίων σε Euro/Mwh έγινε βάσει της αντίστοιχης (ημερήσιας) ισοτιμίας του 2011 από την σελίδα: hp://fxop.com/en/hisoraes.php?c1=eur&c2=gbp&dd1=01&mm1=01&yyy Y1=2011&DD2=31&MM2=12&YYYY2=2011&MA=0&YA=0&LANG=en Στο πρόβλημα μας θεωρήσαμε τις ημερήσιες τιμές του έτους 2011 για τις παραπάνω μεταβλητές. Ωστόσο αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας δεν είναι μία για κάθε μέρα αλλά διαμορφώνεται κάθε ώρα, έχουμε δηλαδή ωριαίες τιμές ηλεκτρικής ενέργειας. Αντίστοιχα, ωριαίες τιμές έχουμε και για την ζήτηση όμως δεν συμβαίνει το ίδιο για το φυσικό αέριο. Οι τιμές του φυσικού αερίου που συλλέξαμε δεν αντιστοιχούσαν σε 24 ανά μέρα δηλαδή μία τιμή κάθε ώρα αλλά σε λιγότερες. Η τιμή του φυσικού αερίου δε διαμορφώνεται κάθε ώρα της ημέρας όπως συμβαίνει με τις υπόλοιπες μεταβλητές μας. Γι αυτό τον λόγο λοιπόν και εμείς για κάθε μέρα λάβαμε υπόψη μία τιμή ίδια για όλες τις ώρες που θα ισούται με τον μέσο όρο των τιμών της ημέρας που έχουμε στη διάθεσή μας. Έτσι διαθέτουμε μία χρονοσειρά αερίου για όλες τις ώρες προκειμένου να τη χρησιμοποιήσουμε στο πρόβλημά μας. Καθημερινά, όπως αναλύθηκε και πιο πάνω στο χρηματιστήριο ενέργειας, πραγματοποιείται ο καθορισμός και των 24 τιμών της ηλεκτρικής ενέργειας ταυτόχρονα. Για τη μελέτη του προβλήματος, αφού πραγματοποιήθηκε πρώτα η συλλογή των δεδομένων, εξετάσαμε ξεχωριστά για κάθε ώρα της ημέρας ως διαφορετική χρονοσειρά για τις τιμές όλου του έτους. Για κάθε μία από τις μεταβλητές μας, διαμορφώθηκαν 24 ετήσιες χρονοσειρές, μία για κάθε ώρα της ημέρας με μήκος n=365 τιμές η κάθε μία. Όπως παρατηρήθηκε, οι χρονοσειρές αυτές έχουν περιοδικότητα εβδομαδιαία s=7. Η μελέτη των πραγματικών δεδομένων χωρίστηκε σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο πραγματοποιήθηκε η προσομοίωση των πραγματικών χρονοσειρών για τη διερεύνηση της συμπεριφοράς τους με την μέθοδο Mone Carlo. Στο δεύτερο στάδιο πραγματοποιήθηκε η μελέτη της αιτιότητας κατά Granger των παραπάνω μεταβλητών με 100

101 σκοπό την εύρεση των παραγόντων καθώς και τις ώρες της ημέρας που επιδρούν στη διαμόρφωση της εξέλιξης της χρονοσειράς της τιμής ενέργειας. 6.6) Προσομοίωση Πραγματικών χρονοσειρών Σε πρώτη φάση επεξεργασίας των πραγματικών δεδομένων πραγματοποιήθηκε προσομοίωση αυτών με μεθοδολογία ίδια με αυτή του πέμπτου κεφαλαίου. Σκοπός αυτής της ενέργειας ήταν να διερευνηθεί η συμπεριφορά των δεδομένων και η απόκριση των ελέγχων σημαντικότητας σε δεδομένα τέτοιου είδους. Εξετάστηκαν αντιπροσωπευτικά οι χρονοσειρές ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Souhern Ialy» και της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις ώρες 8:00, 12:00 και 20:00. Παρατηρήθηκε ότι και οι δύο είναι σειρές τύπου SARMA με εποχικότητα και έτσι προκειμένου να πραγματοποιηθεί προσομοίωση όσο δυνατόν πιο κοντά στις πραγματικές χρονοσειρές προσαρμόσαμε μοντέλα τύπου SARMA σε κάθε μία από τις χρονοσειρές προκειμένου να υπολογισθούν οι συντελεστές του μοντέλου. Αυτή η διαδικασία δεν είχε πραγματοποιηθεί στην μεθοδολογία προσομοίωσης του πέμπτου κεφαλαίου, εκεί οι συντελεστές είχαν τοποθετηθεί σχεδόν αυθαίρετα με τέτοιο τρόπο ώστε οι χρονοσειρές που θα προέκυπταν να ήταν στάσιμες. Αξίζει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι σε κάθε ώρα της ημέρας πραγματοποιήθηκε η επιλογή και η εφαρμογή διαφορετικών μοντέλων τύπου SARMA. Αυτό προέκυψε από το γεγονός ότι εφαρμόζοντας το ίδιο μοντέλο SARMA στις χρονοσειρές της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας για τις ώρες 8:00, 12:00 και 20:00 παρατηρήθηκαν διαφοροποιήσεις στους συντελεστές των μοντέλων που υπολογίστηκαν. Συγκρίνοντας τους συντελεστές ίδιων υστερήσεων για τα τρία μοντέλα παρατηρήσαμε ότι απέκλιναν πάρα πολύ ο ένας με τον άλλον. Αντίστοιχα αποτελέσματα εντοπίστηκαν από την εφαρμογή ενός άλλου μοντέλου SARMA αυτή τη φορά για τις ίδιες ώρες αλλά για τις χρονοσειρές της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας. Έτσι, τα αποτελέσματα αυτά μας οδήγησαν στην εφαρμογή διαφορετικών μοντέλων για κάθε ώρα έτσι ώστε να πετύχουμε καλύτερη προσέγγιση των πραγματικών χρονοσειρών. 101

102 Αφού υπολογίσθηκαν οι συντελεστές των μοντέλων των χρονοσειρών δημιουργήσαμε προσομοιώσεις δύο χρονοσειρών κάθε φορά, της X που αποτελεί την ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και της Y η οποία αποτελεί την τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις ώρες 8:00, 12:00 και 20:00. Η προσομοίωση έγινε βάσει του μοντέλου VARMA(p,q)x(P,Q) s διαφορετικών τάξεων ανάλογα με την ώρα της ημέρας που εξετάζουμε κάθε φορά, Κ=2 μεταβλητών και με περιοδικότητα s=7. Η γενική μορφή των εξισώσεων από τις οποίες προκύπτουν οι παραπάνω χρονοσειρές είναι: p q P p Q q y = a y c e + a y c e + e + b x y, i i y, j y, j yks, i k s i yks, j y, k s j y, 1 i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 k= 1 j= 0 p q P p Q q x = ax, ix i cx, jex, j + axks, ix k s i cxks, jex, k s j + ex, i= 1 j= 1 k= 1 i= 0 k= 1 j= 0 Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις είναι ίδιες με αυτές της δεύτερης προσομοίωσης, η εξέλιξη της χρονοσειράς Y εξαρτάται από παρελθοντικές τιμές της ίδιας και από την πρώτη παρελθοντική τιμή της X με έναν συντελεστή b. Με άλλα λόγια διαμορφώσαμε τις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης με τέτοιο τρόπο ώστε η ζήτηση να επηρεάζει την τιμή μέσω ενός συντελεστή b ο οποίος κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης έλαβε 6 διαφορετικές τιμές από 0 έως 0.05 με σταθερό βήμα Σε κάθε περίπτωση διαφορετικού συντελεστή b πραγματοποιήθηκε 100 φορές προσομοίωση Mone Carlo και οι χρονοσειρές οι οποίες δημιουργούνταν είχαν μήκος 365 τιμές. Κάθε φορά γινόταν ο υπολογισμός του δείκτη causaliy μεταξύ των χρονοσειρών X, Y, και των τριών ελέγχων σημαντικότητας δηλαδή του παραμετρικού ελέγχου, του ελέγχου τυχαιοποίησης (1) και του ελέγχου τυχαιοποίησης (2). Έτσι για τις τρείς διαφορετικές ώρες της ημέρας που εξετάστηκαν προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα των προσομοιώσεων: 102

103 Προσομοίωση ζήτησης και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας για 8:00 Πραγματοποιώντας αρχικά μία εξέταση των χρονοσειρών για τις 8:00 και ύστερα από μία διερεύνηση που πραγματοποιήθηκε είδαμε ότι η μορφή του μοντέλου που προσεγγίζει καλύτερα στις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης για την ώρα 8:00 είναι το SARMA(1,2)x(2,0) 7. Εφαρμόζοντας το μοντέλο αυτό στις προηγούμενες χρονοσειρές υπολογίσθηκαν μέσω προγράμματος οι συντελεστές των μοντέλων των δύο χρονοσειρών. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα δημιουργίας χρονοσειρών με το μοντέλο VARMA(1,2)x(2,0) 7 και με γενική μορφή εξισώσεων αυτή που αναφέραμε πιο πάνω πραγματοποιήθηκε η προσομοίωση για την ώρα 8:00 και προέκυψαν τα ακόλουθα διαγράμματα: Σχήμα 6. 4 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 8:

104 Σχήμα 6. 5 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 8:00. Σχήμα 6. 6 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 8:

105 Στα τρία πρώτα διαγράμματα φαίνονται τα ποσοστά απόρριψης διαφορετικών δεικτών σημαντικότητας για τον παραμετρικό έλεγχο στο Σχήμα 6. 4, τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) στο Σχήμα 6. 5, και για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) στο Σχήμα Μπορούμε μάλιστα να παρατηρήσουμε ότι και στους τρεις ελέγχους σημαντικότητας υπάρχει αντιστοιχία στην αύξηση της τιμής του συντελεστή b με το ποσοστό απόρριψης του κάθε ελέγχου. Αυτό σημαίνει ότι η ισχύς και των τριών ελέγχων είναι ικανοποιηική. Στο διάγραμμα Σχήμα 6. 7 δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα 6. 7 Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 8:00. Από το σχήμα αυτό μας ενδιαφέρει κυρίως να παρατηρήσουμε τη συμπεριφορά των ελέγχων σημαντικότητας για συντελεστή b=0. Βλέπουμε ότι και οι τρείς έλεγχοι 105

106 σημαντικότητας απορρίπτουν την αρχική υπόθεση H 0 με ποσοστό απόρριψης γύρω στο 7% πολύ κοντά στο 5%. Αυτό σημαίνει ότι οι έλεγχοι αντιδρούν σχετικά ικανοποιητικά στη συγκεκριμένη περίπτωση. Προσομοίωση ζήτησης και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας για 12:00 Εξετάζοντας τις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης για τις 12:00 είδαμε ότι η μορφή του μοντέλου που προσεγγίζει καλύτερα στις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης για την ώρα αυτή είναι το SARMA(1,2)x(1,1) 7. Στη συνέχεια εφαρμόστηκε το μοντέλο αυτό στις προηγούμενες χρονοσειρές και έτσι υπολογίσθηκαν οι συντελεστές των μοντέλων των δύο χρονοσειρών. Τέλος, χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα δημιουργίας χρονοσειρών με το μοντέλο VARMA(1,2)x(1,1) 7 και με γενική μορφή εξισώσεων αυτή που αναφέραμε πιο πάνω πραγματοποιήθηκε η προσομοίωση για την ώρα 12:00 και με αυτόν τον τρόπο προέκυψαν τα ακόλουθα διαγράμματα: Σχήμα 6. 8 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 12:

107 Σχήμα 6. 9 Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 12:00. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 12:

108 Αντίστοιχα αποτελέσματα με αυτά της προσομοίωσης χρονοσειρών στις 8:00 παρατηρήθηκαν και στις 12:00. Διαφορά σε σχέση με πριν είναι τα αυξημένα ποσοστά απόρριψης και στους τρεις ελέγχους σημαντικότητας. Στο επόμενο διάγραμμα Σχήμα δίνεται η πιθανότητα απόρριψης των ελέγχων για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας α=0.05. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 12:00. Όπως βλέπουμε και σε αυτό το διάγραμμα σε σχέση με το ίδιο της προηγούμενης προσομοίωσης τα ποσοστά απόρριψης είναι αυξημένα. Παρατηρούμε μάλιστα ότι για συντελεστή b=0 το ποσοστό απόρριψης του παραμετρικού ελέγχου (μπλε γραμμή) φτάνει το 12% είναι υψηλότερο κατά πολύ σε σχέση με τα ποσοστά των ελέγχων τυχαιοποίησης που αγγίζουν το 10%. Βλέπουμε λοιπόν ότι σε αυτήν την προσομοίωση ότι η ισχύς των ελέγχων τυχαιοποίησης δεν είναι και τόσο ικανοποιητική όσο στην προηγούμενη στις 8:00 λόγω των υψηλών ποσοστών απόρριψης. 108

109 Προσομοίωση ζήτησης και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας για 20:00 Στην τελευταία προσομοίωση εξετάστηκαν οι χρονοσειρές τιμής και ζήτησης για την ώρα 20:00 και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι η μορφή του μοντέλου που προσεγγίζει καλύτερα στις χρονοσειρές τιμής και ζήτησης για την ώρα αυτή είναι το SARMA(2,1)x(1,0) 7.Το μοντέλο αυτό εφαρμόστηκε στις χρονοσειρές στις 20:00 και έτσι υπολογίσθηκαν οι συντελεστές των μοντέλων των δύο χρονοσειρών. Τέλος, χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα δημιουργίας χρονοσειρών με το μοντέλο VARMA(2,1)x(1,0) 7 και με τη χρήση των εξισώσεων αυτή που δόθηκα στην αρχή της ενότητας πραγματοποιήθηκε η προσομοίωση για την ώρα 20:00. Έτσι, προέκυψαν τα ακόλουθα διαγράμματα: Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον Παραμετρικό Έλεγχο στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 20:

110 Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 1 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 12:00. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης συναρτήσει των επιπέδων σημαντικότητας α για τον 2 ο Έλεγχο Τυχαιοποίησης στην προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 20:

111 Από τα τρία παραπάνω διαγράμματα, Σχήμα 6. 12, 6.13 και 6.14 παρατηρούμε ότι υπάρχει αντιστοιχία στην αύξησης του συντελεστή b με την αύξηση των ποσοστών απόρριψης των ελέγχων σημαντικότητας πράγμα που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η ισχύς των ελέγχων τυχαιοποίησης είναι καλή. Στο Σχήμα διάγραμμα παρουσιάζονται συγκεντρωτικά τα ποσοστά απόρριψης των τριών ελέγχων τυχαιοποίησης. Σχήμα Ποσοστά Απόρριψης των τριών Ελέγχων σημαντικότητας για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 συναρτήσει διαφορετικών συντελεστών b. Προσομοίωση των χρονοσειρών ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» και τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» για τις 20:00. Παρατηρούμε και εδώ ότι το ποσοστό απόρριψης για συντελεστή b=0 της αρχικής υπόθεσης H 0 του παραμετρικού ελέγχου σημαντικότητας (μπλε γραμμή) είναι περισσότερο αυξημένο, περίπου 13% ενώ χαμηλότερο ποσοστό απόρριψης 7% εμφανίζει να έχει ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2). Το χαμηλό ποσοστό απόρριψης αυτού το ελέγχου στην περίπτωση μη ύπαρξης αιτιότητας, τον καθιστά περισσότερο αξιόπιστο σε σχέση με τους άλλους δύο. 111

112 Συμπεράσματα της προσομοίωσης πραγματικών χρονοσειρών Μετά από τις παραπάνω προσομοιώσεις για τις ώρες 8:00, 12:00 και 20:00 μπορούμε να πούμε ότι σε γενικές γραμμές η συμπεριφορά των ελέγχων τυχαιοποίησης στα συγκεκριμένα δεδομένα ήταν ικανοποιητική οπότε μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε και στην παρακάτω εξέταση των πραγματικών χρονοσειρών με σκοπό την εύρεση αιτιότητας μεταξύ τους. Ωστόσο, μπορούμε να διακρίνουμε από τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων ότι ο έλεγχος τυχαιοποίησης έχει μεγαλύτερη ακρίβεια σε σχέση με τους άλλους δύο ελέγχους σημαντικότητας, αυτό οφείλεται και στο γεγονός φυσικά ότι οι χρονοσειρές μας είναι περιοδικές. 6.7) Εφαρμογή των πραγματικών δεδομένων-αποτελέσματα Στο δεύτερο στάδιο επεξεργασίας των πραγματικών δεδομένων πραγματοποιήθηκε η μελέτη της εύρεσης της αιτιότητας κατά Granger για όλες τις ώρες της ημέρας, μεταξύ των χρονοσειρών της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Greece» με την ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy», με την τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας, την τιμή φυσικού αερίου, την ενιαία εθνική τιμή ενέργειας και τέλος με την συνολική ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας όλης της χώρας. Σκοπός είναι με τη βοήθεια της χρήσης των ελέγχων σημαντικότητας της αιτιότητας κατά Granger να διερευνηθεί ποιες μεταβλητές και ποιες ώρες της ημέρας επιδρούν στη διαμόρφωση της εξέλιξης της χρονοσειράς της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης που εξετάζουμε. Για ευκολία στη διαδικασία της επεξεργασίας των δεδομένων ορίσαμε τις παρακάτω μεταβλητές για τις χρονοσειρές: Υ: Τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας X: Ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» της Ιταλίας Ζ 1 : Τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Ζ 2 : Τιμή φυσικού αερίου Ζ 3 : Ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας- Εθνική ζήτηση Ζ 4 : Εθνική ενιαία τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας (PUN) 112

113 Αρχικά, προτού πραγματοποιηθεί ο υπολογισμός της αιτιότητας και της εφαρμογής των ελέγχων σημαντικότητας εξετάσθηκαν οι αυτοσυσχετίσεις των χρονοσειρών. Στα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζονται οι αυτοσυσχετίσεις ενδεικτικά για τις ώρες 8:00,12:00 και 20:00. Χ Υ 8:00 12:00 20:00 Πίνακας 6. 1 Αυτοσυσχετίσεις χρονοσειρών Χ και Υ για τις ώρες 8:00, 12:00, 20:

114 Ζ 1 Ζ 2 8:00 12:00 20:00 Πίνακας 6. 2 Αυτοσυσχετίσεις χρονοσειρών Ζ 1 και Ζ 2 για τις ώρες 8:00, 12:00, 20:00. Από τους παραπάνω πίνακες μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι χρονοσειρές Χ, Υ και Ζ 1 έχουν έντονη περιοδικότητα κάθε 7 τιμές. Βλέπουμε μάλιστα ότι πιο έντονη και ξεκάθαρη είναι η περιοδικότητα στις 8:00 και για τις τρείς χρονοσειρές. Αντίθετα, από τις αυτοσυσχετίσεις της τελευταίας στήλης του Πίνακας 6. 2 φαίνεται ότι η χρονοσειρά Ζ 2 που αντιπροσωπεύει την τιμή του φυσικού αερίου δεν παρουσιάζει στοιχεία περιοδικότητας. Στη συνέχεια παρουσιαζονται οι αυτοσυσχετίσεις των χρονοσειρών Ζ 3 και Ζ

115 Ζ 3 Ζ 4 8:00 12:00 20:00 Πίνακας 6. 3 Αυτοσυσχετίσεις χρονοσειρών Ζ 3 και Ζ 4 για τις ώρες 8:00, 12:00, 20:00. Από τον Πίνακας 6. 3 βλέπουμε ότι η χρονοσειρά Ζ 3 παρουσιάζει έντονη περιοδικότητα κάθε 7 τιμές και για τις τρείς ώρες της ημέρας που ενδεικτικά εξετάζουμε. Αντίστοιχα, το ίδιο συμβαίνει και για την χρονοσειρά Ζ 4 για τις ώρες 8:00 και 12:00 όμως για τις 20:00 η περιοδικότητα δεν είναι τόσο ξεκάθαρη. Από τα αποτελέσματα των πινάκων και σύμφωνα με τα συμπεράσματα που προέκυψαν για τους ελέγχους σημαντικότητας στο πέμπτο κεφάλαιο μπορούμε να πούμε ότι περιμένουμε να εμφανίζονται πολλές απορρίψεις στον παραμετρικό έλεγχο εξαιτίας της εμφάνισης έντονης περιοδικότητας. Έτσι, η εξέταση της ύπαρξης ή όχι αιτιότητας θα στηρίζεται κυρίως στα αποτελέσματα των ελέγχων τυχαιοποίησης ) Υπολογισμός της αιτιότητας κατά Granger για τις πραγματικές χρονοσειρές Κατά τη διάρκεια της εξέτασης της ύπαρξης αιτιότητας κατά Granger εφαρμόσαμε δύο μοντέλα στις χρονοσειρές μας, αυτά ονομάστηκαν σε προηγούμενη 115

116 παράγραφο (Παράγραφος 3.2), περιορισμένη και μη περιορισμένη εξίσωση. Προτού γίνει αυτό πραγματοποιήθηκε εξέταση του αν οι χρονοσειρές είναι στάσιμες και στη συνέχεια απαλοιφή της τάσης. Όταν θελήσαμε για παράδειγμα να υπολογίσουμε την αιτιότητα κατά Granger της X1 X 2ορίσαμε την περιορισμένη εξίσωση: X 2, = ax 1 2, 1 + ax 2 2, 2 + e σύμφωνα με την οποία η τιμή της χρονοσειράς X 2 για παράδειγμα σήμερα θα εξαρτάται από την τιμή της προηγούμενης και της προπροηγούμενης ημέρας. Απ αυτή την εξίσωση υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα που θα μας οδηγήσει στον υπολογισμό του δείκτη αιτιότητας. Στη συνέχεια ορίσαμε τη μη-περιορισμένη εξίσωση όπου και σε αυτήν πραγματοποιήθηκε ο υπολογισμό του μέσου τετραγωνικού σφάλματος X = ax + ax + bx + bx + e 2, 1 2, 1 2 2, 2 1 1, 1 2 1, 2 Όπως βλέπουμε, στην εξίσωση αυτή, η σημερινή τιμή της μεταβλητής X 2 επηρεάζεται από την τιμή της προηγούμενης και της προ-προηγούμενης ημέρας καθώς και από τις ίδιες τιμές της δεύτερης μεταβλητής της X 1. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις για τον υπολογισμό του δείκτη αιτιότητας κατά Granger καθώς και των ελέγχων σημαντικότητας υπολογίσθηκε αρχικά η αιτιότητα των χρονοσειρών X Y, δηλαδή κατά πόσο επιδρά η ζήτηση στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας. Ενδεικτικά, για τις ώρες 8:00, 12:00 και 20:00 υπολογίσθηκαν και παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα οι τιμές του δείκτη αιτιότητας καθώς και οι p τιμές του παραμετρικού ελέγχου και των δύο ελέγχων τυχαιοποίησης. GCI Χ Υ Παραμετρικός Έλεγχος Έλεγχος τυχαιοποίησης (1) Έλεγχος τυχαιοποίησης (2) 8: e : e : Πίνακας 6. 4 Αποτελέσματα υπολογισμού της αιτιότητας κατά Granger και των ελέγχων σημαντικότητας για την περίπτωση X Y και για τις ώρες 8:00, 12:00, 20:

117 Από τον Πίνακας 6. 4παρατηρούμε ότι οι p τιμές του παραμετρικού ελέγχου για τις ώρες 8:00 και 12:00 είναι μικρότερες του 0.05 ενώ για τις 20:00 είναι οριακά μεγαλύτερες του Βλέπουμε λοιπόν όπως φυσικά και περιμέναμε, ο παραμετρικός έλεγχος να έχει την τάση να απορρίπτει την αρχική υπόθεση H0 λόγω της περιοδικότητας των χρονοσειρών, έτσι φαίνεται για άλλη μία φορά η αδυναμία του συγκεκριμένου ελέγχου. Αντίθετα, οι έλεγχοι τυχαιοποίησης δεν εμφανίζουν μία τέτοια συμπεριφορά ενώ παρατηρείται μία απόρριψη του έλεγχου τυχαιοποίησης (2) για τις 8:00. Αντίστοιχα, πραγματοποιήθηκε και ο υπολογισμός του δείκτη αιτιότητας κατά Granger στην αντίστροφη περίπτωση όπου Y X, εξετάζεται με άλλα λόγια κατά πόσο μπορεί να επιδρά η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης που μελετάμε την ζήτηση στη ζώνη αυτή. Ενδεικτικά για τις ίδιες ώρες της ημέρας που αναφέρθηκαν πιο πάνω έχουμε τον δείκτη αιτιότητας και τις τιμές των ελέγχων σημαντικότητας στον παρακάτω πίνακα. GCI Υ Χ Παραμετρικός Έλεγχος Έλεγχος τυχαιοποίησης (1) Έλεγχος τυχαιοποίησης (2) 8: e e : e : Πίνακας 6. 5 Αποτελέσματα υπολογισμού της αιτιότητας κατά Granger και των ελέγχων σημαντικότητας για την περίπτωση Y X και για τις ώρες 8:00, 12:00, 20:00. Όπως και στον Πίνακας 6. 4μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι πάλι ο παραμετρικός έλεγχος έχει την τάση να απορρίπτει. Αν παρατηρήσουμε και στους δύο πίνακες Πίνακας 6. 4 και Πίνακας 6. 5 τις τιμές του δείκτη αιτιότητας, την στήλη GCI, βλέπουμε ότι όταν έχουμε μεγάλες σχετικά τιμές του δείκτη GCI τότε ο παραμετρικός έλεγχος απορρίπτει. Στις 20:00 όπου η τιμή του GCI είναι μικρότερη από τις άλλες δύο ώρες της ημέρας που μελετούμε και η p τιμή του παραμετρικού ελέγχου είναι μεγάλη. Στον Πίνακας 6. 5 φαίνεται ότι και ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) απορρίπτει τις ίδιες ώρες με τον παραμετρικό ωστόσο, αυτό το γεγονός δεν μπορούμε να το θεωρήσουμε λάθος διότι από προηγούμενο κεφάλαιο όπου έγινε η εξέταση της εγκυρότητας των ελέγχων ο 117

118 έλεγχος τυχαιοποίης (2) αποδείχθηκε ακριβής για την εύρεση αιτιότητας σε χρονοσειρές με περιοδικότητα. Έτσι, μπορούμε με σιγουριά να πούμε ότι στις ώρες 8:00 και 12:00 η χρονοσειρα της τιμής επηρεάζει την εξέλιξη της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται πίνακες όπου φαίνονται για τις χρονοσειρές Χ, Ζ 1, Ζ 2, Ζ 3 και Ζ 4 οι σχέσεις αιτιότητας που έχουν με την Υ δηλαδή με την τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece», για όλες τι ώρες της ημέρας καθώς και οι αμφίδρομες σχέσεις της επίδρασης της Υ σ αυτές. Επειδή είναι δύσκολο να παρουσιασθούν για όλες τις σχέσεις που αναφέραμε και για όλες τις ώρες της ημέρας αναλυτικοί πίνακες με τις τιμές αιτιότητας και τιμές των αποτελεσμάτων των ελέγχων, δημιουργήσαμε τους παρακάτω πίνακες όπου με κυκλάκια παρουσιάζονται ποιοι έλεγχοι σε ποια ώρα απορρίπτουν κάθε φορά. Έτσι λοιπόν, η εμφάνιση του μπλε κύκλου θα σημαίνει ότι ο παραμετρικός έλεγχος απορρίπτει την αρχική υπόθεση, ενώ αντίστοιχα ο κόκκινος κύκλος για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1) και ο πράσινος για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2). Παραμετρικός έλεγχος Πρώτος Έλεγχος Τυχαιοποίησης Δεύτερος Έλεγχος Τυχαιοποίησης Στον επόμενο πίνακα φαίνονται τα αποτελέσματα των ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της αιτιότητας X Y καθώς και της αμφίδρομης Y X. 118

119 Πίνακας 6. 6 Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της αιτιότητας X Y και Y X για όλες τις ώρες της ημέρας. Μπορούμε να δούμε ότι ο παραμετρικός έλεγχος (μπλε κύκλοι) έχουν την τάση να απορρίπτουν συχνότερα τόσο στον ορθό υπολογισμό της αιτιότητας όσο και στην αμφίδρομη περίπτωση. Ωστόσο, δεν μπορούμε να τον εμπιστευτούμε διότι όπως έχουμε δει έχει την τάση να εμφανίζει ψευδείς τιμές αιτιότητας κατά Granger. Αντίθετα, μπορούμε να εμπιστευτούμε τα αποτελέσματα του δευτέρου ελέγχου τυχαιοποίησης (πράσινοι κύκλοι). Όπως φαίνεται οι πράσινοι κύκλοι εμφανίζονται ομαδοποιημένα σε διάφορες ώρες της ημέρας 3:00-5:00, 8:00-11:00 και 22:00-23:00 για την φορά X και 8:00-12:00, 22:00-23:00 για την αμφίδρομη φορά Y X. Y Σημαντικό επίσης είναι να τονιστεί ότι όσες φορές απορρίπτει την αρχική υπόθεση ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) (πράσινοι κύκλοι), απορρίπτει πάντα και ταυτόχρονα και ο παραμετρικός έλεγχος (μπλε κύκλοι). Αυτό θα παρατηρηθεί και παρακάτω σε όλους τους πίνακες που ακολουθούν. Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει αλλά όχι πάντα και με τον έλεγχος τυχαιοποίσησης (1) (κόκκινοι κύκλοι) του οποίου όμως η ακρίβεια και η συμπεριφορά του θα αναλυθεί παρακάτω σε άλλους πίνακες. Στη συγκεκριμένη περίπτωση πραγματοποιείται μία απόρριψη στην ορθή περίπτωση και δύο στην αντίστροφη, οπότε δεν μας δίνεται ξεκάθαρη εικόνα για την ακρίβεια του σε αυτόν τον πίνακα. Τέλος στην αμφίδρομη περίπτωση όπου Y X η τιμή επιδρά στη ζήτηση 119

120 έχουμε την εμφάνιση αρκετών απορρίψεων του ελέγχου τυχαιοποίησης (2), πράγμα που σημαίνει την εμφάνιση σχέσεων αιτιότητας για πολλές ώρες της ημέρας. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε ο υπολογισμός του δείκτη αιτιότητας και φυσικά των ελέγχων σημαντικότητας για την περίπτωση όπου η χρονοσειρά της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Z 1 επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ, Z1 Y καθώς και για την αντίστροφη περίπτωση όπου Y Z 1. Ο υπολογισμός έγινε για όλες τις ώρες της ημέρας και παρουσιάζεται στον επόμενο πίνακα. Πίνακας 6. 7 Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της αιτιότητας Z1 Y και Y Z1 για όλες τις ώρες της ημέρας. Όπως μπορούμε να δούμε συγκριτικά με την προηγούμενη περίπτωση της επίδρασης της ζήτησης Χ στην τιμή Υ (Πίνακας 6. 6), στον Πίνακας 6. 7 έχουμε λιγότερες απορρίψεις σε όλους τους ελέγχους σημαντικότητας. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδος Ζ 1 επιδρά σε μικρότερο ποσοστό σε σχέση με την ζήτηση Χ στην διαμόρφωση της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ. Στις δύο τελευταίες στήλες του πίνακα δηλαδή στην αμφίδρομη περίπτωση μπορούμε να δούμε ότι ο δεύτερος έλεγχος τυχαιοποίησης όπως και ο πρώτος εμφανίζει 120

121 αιτιότητα μόνο σε δύο ώρες της ημέρας, οπότε μπορούμε να πούμε ότι σε γενικές γραμμές η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας δεν επηρεάζεται από την τιμή της ενέργειας στη συγκεκριμένη ζώνη της Ιταλίας παρά μόνο δύο ώρες την ημέρα. Η ίδια διαδικασία υπολογισμού τον δείκτη αιτιότητας κατά Granger κα των ελέγχων τυχαιοποίησης πραγματοποιήθηκε και για την περίπτωση όπου η χρονοσειρά της τιμής του φυσικού αερίου Z 2 επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ, Z2 Y, όπως και για την αντίστροφη περίπτωση Y Z2. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών αυτών έδειξαν ότι δεν υπήρχε σε καμία ώρα της ημέρας σχέση αιτιότητας. Αυτό το αποτέλεσμα αξίζει να σημειωθεί ότι δεν ήταν αναμενόμενο διότι θα περιμέναμε να υπήρχε σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύο αυτών χρονοσειρών, έτσι οδηγηθήκαμε στο να εξετάσουμε και τις διασυσχετίσεις των δύο αυτών χρονοσειρών. Διασυσχετίσεις Διασυσχετίσεις 1:00 12:00 4:00 16:00 8:00 20:00 Πίνακας 6. 8 Διασυσχετίσεις μεταξύ των χρονοσειρών τιμής ηλεκτρικής ενέργειας Υ και τιμής φυσικού αερίου Ζ 2 για τις ώρες 1:00, 4:00, 8:00, 12:00, 16:00, 20:

122 Οι διασυσχετίσεις μεταξύ των χρονοσειρών r ( τ ) για διαφορετικές υστερήσεις τα για κάποιες ώρες της ημέρας δίνονται στον παραπάνω πίνακα. Στην περίπτωση όπου τ > 0 υποδηλώνεται σχέση της μορφής Z2 Y ενώ όταν τ < 0 της μορφής Y Z2. Οι κόκκινες οριζόντιες γραμμές στα παραπάνω διαγράμματα δείχνουν τα όρια σημαντικότητας των διασυσχετίσεων. Από τα διαγράμματα του Πίνακα 6.8 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι δεν υπάρχουν ιδιαίτερα έντονες διασυσχετίσεις μεταξύ των δύο αυτών χρονοσερών, μάλιστα στις 8:00 δεν έχουμε καμία σημαντική τιμή διασυσχέτισης. Στις ώρες 12:00, 16:00 και 20:00 παρατηρούνται να υπάρχουν κάποιες τιμές διασυσχέτισης οι οποίες ξεφεύγουν από τα όρια σημαντικότητας, ωστόσο αυτές οι τιμές δεν είναι και τόσο μεγάλες. Από όλα τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι χρονοσειρές της τιμής φυσικού αερίου και της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Greece» δεν παρουσιάζουν κάποια έντονη σχέση μεταξύ τους οπότε μπορούμε στο σημείο αυτό και να δικαιολογήσουμε την ανυπαρξία σχέσης αιτιότητας κατά Granger. Μία πιθανή εξήγηση για το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ότι οι τιμές του φυσικού αερίου προέκυψαν από το χρηματιστήριο αγαθών- προϊόντων της Αγγλίας. Γενικότερα, η τιμή του φυσικού αερίου παγκοσμίως καθορίζεται από τα χρηματιστήρια αγαθώνπροϊόντων τα οποία όμως υπάρχουν σε συγκεκριμένες χώρες του κόσμου όπως π.χ. Νέα Υόρκη, Λονδίνο κ.α.. Στην χώρα που εμείς εξετάζουμε, την Ιταλία, δεν υπάρχει τέτοιο χρηματιστήριο, οπότε την τιμή αερίου την λαμβάνουμε από το κοντινότερο χρηματιστήριο αγαθών που είναι του Λονδίνου. Αυτό ίσως να δικαιολογεί το ότι δεν εμφανίζεται σχέση αιτιότητας μεταξύ της χρονοσειράς της τιμής του φυσικού αερίου με την τιμή της ζώνης «Greece» της Ιταλίας. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε η εξέταση του δείκτη αιτιότητας στην περίπτωση όπου η χρονοσειρά της συνολικής ζήτησης της Ιταλίας Z 3, επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ, Z3 αντίστροφη περίπτωση Y Z3. ZY Y όπως και για την 122

123 Πίνακας 6. 9 Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της αιτιότητας Z3 Y και Y Z3 για όλες τις ώρες της ημέρας. Από τον παραπάνω πίνακα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι τόσο στην ορθή φορά υπολογισμού αιτιότητας Z3 Y τόσο και στην αντίθετη Y Z3, τα αποτελέσματα των ελέγχων μοιάζουν πάρα πολύ έχοντας όμως μικρές διαφοροποιήσεις σε ορισμένες ώρες της ημέρας με τα αποτελέσματα του Πίνακας 6. 6 όπου παρουσιάζονται οι περιπτώσεις X Y και Y X. Βλέπουμε λοιπόν, ότι οι χρονοσειρές Z3και Χ που αναφέρονται και οι δύο στη ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας, επιδρούν σχεδόν το ίδιο στην χρονοσειρά της τιμής της ζώνης «Greece» της Ιταλίας, Τέλος, εξετάσθηκε η επίδραση της εθνικής τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας, τιμή PUN, Z 4 στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ, Z4 Y όπως και η αντίστροφη περίπτωση Y Z4. Τα αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 123

124 Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της αιτιότητας Z4 Y και Y Z4 για όλες τις ώρες της ημέρας. Τα αποτελέσματα της επίδρασης της χρονοσειράς Z4 δεν μπορούμε να πούμε ότι μοιάζουν με κάποιας άλλης χρονοσειράς όπως έγινε στην περίπτωση της χρονοσειράς Z 3. Γενικότερα μπορούμε να παρατηρήσουμε για άλλη μία φορά ότι ο παραμετρικός έλεγχος έχει την τάση να παρουσιάζει σε πολλές ώρες της ημέρας αιτιότητες μεταξύ των δύο χρονοσειρών τόσο στην ορθή όσο και στην αντίστροφη περίπτωση. Ωστόσο, ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) για την ορθή περίπτωση εμφανίζει απορρίψεις μόνο για τις ώρες 2:00, 18:00-21:00 και για την αντίστροφη περίπτωση για τις ώρες 10:00-14:00. Βλέπουμε δηλαδή ότι έχουμε περισσότερες απορρίψεις του ελέγχου στην αντίστροφη περίπτωση πράγμα που μπορεί να συμβεί διότι η τιμή της ζώνης της Ιταλίας μπορεί να επηρεάσει την τιμή ολόκληρης της χώρας. Ο έλεγχος τυχαιοίησης (1) πάλι εμφανίζεται να έχει λιγότερες απορρίψεις από τον δεύτερο, όμως βλέπουμε ότι όταν απορρίπτει την αρχική υπόθεση αυτός τότε το ίδιο κάνουν και οι άλλοι δύο έλεγχοι. Γενικότερα, μπορούμε να πούμε ότι η μεταβλητή Z4 δεν επιδρά σε μεγάλο βαθμό στην Υ σε σχέση με άλλες μεταβλητές που εξετάσαμε νωρίτερα. 124

125 6.7.2) Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger Για την εξέταση της ύπαρξης της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X1 X2 X3 στους συνδυασμούς των χρονοσειρών που μελετάμε, χρησιμοποιήσαμε την περιορισμένη εξίσωση : X = ax + ax + cx + cx + e 2, 1 2, 1 2 2, 2 1 3, 1 2 3, 2 σύμφωνα με την οποία, η σημερινή τιμή της χρονοσειράς X 2 θα εξαρτάται από την τιμή της ίδιας της προηγούμενης και της προ-προηγούμενης ημέρας καθώς και από τις αντίστοιχες τιμές της X 3. Αντίστοιχα, η μη περιορισμένη εξίσωση θα είναι της μορφής : X = ax + ax + cx + cx + bx + bx + e 2, 1 2, 1 2 2, 2 1 3, 1 2 3, 2 1 1, 1 2 1, 2 όπου τώρα στην εξέλιξη της χρονοσειράς X 2 ενσωματώνεται και οι τιμές της X 1 της προηγούμενης και της προ-προηγούμενης ημέρας. Από τις παραπάνω δύο χρονοσειρές υπολογίζουμε το μέσο τετραγωνικό σφάλμα για να υπολογίσουμε τον δείκτη της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger. Στην περίπτωση όπου θέλουμε να εξετάσουμε και τον δείκτη της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X1 X2 X3, X4 ή της,,, με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζονται οι παραπάνω μορφής X1 X2 X3 X4 X5 X6 εξισώσεις ) Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X X X Κάνοντας χρήση των παραπάνω εξισώσεων για τον υπολογισμό του δείκτη της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger καθώς και των ελέγχων σημαντικότητας υπολογίσθηκε αρχικά η αιτιότητα των χρονοσειρών X Y Z1, X Y Z2, X Y Z3 και X Y Z4. Με άλλα λόγια υπολογίσαμε την επίδραση της ζήτησης της ζώνης «Souhern Ialy» Χ στην τιμή της ζώνης «Greece» Υ, δεδομένου της ταυτόχρονης επίδρασης στην Υ της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Z 1, της τιμής του φυσικού αερίου Z 2, της εθνικής ζήτησης Z 3 και της εθνικής ενιαίας τιμή ηλεκτρικής 125

126 ενέργειας Z4 αντίστοιχα. Τα αποτελέσματα του υπολογισμού των ελέγχων φαίνονται στους παρακάτω πίνακες: Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις X Y Z και X Y Z 1 2 για όλες τις ώρες της ημέρας. Από τον Πίνακας τα αποτελέσματα αυτά μπορούμε να πούμε, συγκρίνοντας βέβαια και με αυτά της απλής περίπτωσης όπου το X Y (Πίνακας 6. 6), ότι τα αποτελέσματα των απορρίψεων των ελέγχων είναι σχεδόν ίδια. Μάλιστα, τα αποτελέσματα στην περίπτωση X Y και στην X Y Z1 είναι ακριβώς ίδια και για τους τρείς ελέγχους, ενώ στην X Y Z2 έχουμε μία λιγότερη απόρριψη του παραμετρικού ελέγχου στην ώρα 21:00 και μεταφορά της απόρριψης του ελέγχου τυχαιοποίησης (1) από την ώρα 11:00 στην ώρα 12:00. Οι αλλαγές που προκύπτουν στην X Y Z είναι πολύ μικρές, γενικότερα για άλλη μία φορά φαίνεται η ισχυρή επίδραση 2 της ζήτησης στην εξέλιξη της χρονοσειράς της τιμής με την παράλληλη επίδρασης των επιπλέον μεταβλητών σ αυτή. 126

127 Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις X Y Z και X Y Z 3 4 για όλες τις ώρες της ημέρας. Από τα αποτελέσματα στον Πίνακα 6.12 παρατηρούμε ότι και οι τρείς έλεγχοι σημαντικότητας για την περίπτωση X Y Z4 παρουσιάζουν παρόμοιες απορρίψεις με τις περιπτώσεις X Y Z1 και X Y Z2. Αντίθετα, στην περίπτωση του X Y Z3 παρουσιάζονται κάποιες διαφορές. Βλέπουμε ότι οι απορρίψεις των ελέγχων στις πολύ πρωινές ώρες δεν υπάρχουν στη συγκεκριμένη περίπτωση, ενώ εμφανίζονται στις ώρες 8:00-12:00. Επιπλέον, εμφανίζονται δύο απορρίψεις του ελέγχου τυχαιοποίησης (2) στις 15:00-16:00 ενώ οι βραδινές απορρίψεις που υπήρχαν στις άλλες τρεις περιπτώσεις εμφανίζονται με διαφορά μίας ώρας. Ο έλεγχος τυχαιοποίησης (1) παρουσιάζει και αυτός επιπλέον απορρίψεις πράγμα που το περιμέναμε διότι οι Χ και Ζ 3 επιδρά στην Υ και μάλιστα ταυτόχρονα. Συγκεντρωτικά, μέχρι στιγμής μπορούμε να πούμε ότι ενώ το σύνολο των περιπτώσεων X Y Z1, X Y Z2, X Y Z4, X Y, Z3 Y εμφανίζουν σχεδόν ίδιες απορρίψεις των ελέγχων. Η X Y Z3 παρουσιάζει κάποιες διαφοροποιήσεις εξαιτίας του γεγονότος ότι επηρεάζουν την Υ οι Χ και Ζ 3 ταυτόχρονα. 127

128 Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε η διαδικασία υπολογισμού της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger του Condiional Granger Causaliy στις περιπτώσεις όπου η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Z 1 επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης της Ιταλίας Υ δεδομένου της επίδρασης της ζήτησης ενέργειας στη ζώνη αυτή Χ και της τιμής φυσικού αερίου Z 2 και παρουσιάστηκε ο παρακάτω πίνακας: Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z1 Y X και Z1 Y Z2για όλες τις ώρες της ημέρας. Συγκρίνοντας τον Πίνακας με τον Πίνακας 6. 7 στον οποίο φαίνονται η απλή επίδραση του Z 1 στο Υ χωρίς παρεμβολές και άλλων μεταβλητών, μπορούμε να παρατηρήσουμε την εμφάνιση επιπλέον απορρίψεων του ελέγχου τυχαιοποίησης (2) στην περίπτωση Z1 Y X για τις ώρες 16:00, 17:00 και 18:00. Στις δύο τελευταίες στήλες ωστόσο, δηλαδή στην περίπτωση όπου Z1 Y Z2ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) χάνει μερικές απορρίψεις σε σχέση με την απλή επίδραση του Z 1 στο Υ, όμως αυτό είναι κάτι που θα το περιμέναμε. Γενικότερα, αφού βγάλαμε πως η Z 2 δεν επιδρά καθόλου στην Υ,περιμένουμε λιγότερες ή και ίδιες απορρίψεις με την απλή περίπτωση της αιτιότητας κατά Granger Z1 Y. Αντίθετα, ο έλεγχος 128

129 τυχαιοποίησης (1) (κόκκινοι κύκλοι) αυξάνει τις απορρίψεις πράγμα το οποίο θεωρούμε λάθος διότι η Z 2 δεν επιδρά καθόλου στην Υ. Αυτό το αποτέλεσμα λοιπόν, ενισχύει ακόμ απερισσότερο το συμπέρασμα ότι ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) έχει μεγαλύτερη ακρίβεια και είναι καλύτερος από τον έλεγχο τυχαιοποίησης (1). Αντίστοιχα, για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις όπου η τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Z 1 επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης της Ιταλίας Υ δεδομένου της επίδρασης της ζήτησης ενέργειας στην Ιταλία -Z 3 συνολικά και της εθνικής τιμής ενέργειας της χώρας αυτής - Z 4 παρουσιάζεται ο παρακάτω πίνακας: Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z1 Y Z3και Z1 Y Z4για όλες τις ώρες της ημέρας. Παρατηρώντας τις δύο πρώτες στήλες των πινάκων 6.13 και 6.14Πίνακας 6. 1, μπορούμε να πούμε ότι εμφανίζονται κοινές, με μικρές όμως διαφορές, απορρίψεις για τις περιπτώσεις Z1 Y X και Z1 Y Z3. Αυτό μπορούμε να πούμε ότι είναι αναμενόμενο διότι οι μεταβλητές Χ και Z 3 επιδρούν ίδιες ώρες στην Υ όπως παρατηρήθηκε προηγουμένως. Από τις δύο τελευταίες στήλες του Πίνακας μπορούμε να δούμε λιγότερες απορρίψεις και στους τρείς ελέγχους σημαντικότητας και 129

130 συγκεκριμένα για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2) μόνο δύο στις ώρες 7:00 και 19:00 αυτό συμβαίνει διότι η μεταβλητή Z 4 δεν επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό στην εξέλιξη της Υ. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι στην περίπτωση της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger μπορεί να παίξει πολύ σημαντικό ρόλο στην εμφάνιση των σχέσεων αιτιότητας η μεταβλητή που βρίσκεται «υπό συνθήκη». Αυτό έγινε αντιληπτό κυρίως στην περίπτωση της υπό συνθήκης εξέτασης της επίδρασης του Z1 στην Υ και όχι του Χ στην Υ διότι η Χ έχει πιο ισχυρή επίδραση στην Υ σε σχέση με την Z 1 και φυσικά με τις υπόλοιπες μεταβλητές. Η Z1 ως μία μεταβλητή η οποία δεν επιδρά στην Υ έντονα, όταν στην εξίσωση υπολογισμού της αιτιότητας κατά Granger λάβουμε υπόψη τις μεταβλητές Χ ή Z 3 που επιδρούν ισχυρά στην Υ τότε έχουμε την εμφάνιση περισσότερων απορρίψεων. Το αντίθετο συμβαίνει όταν στην εξίσωση λάβουμε υπόψη τις Z 2 και Z 4 όπου βλέπουμε τον αριθμό των απορρίψεων των ελέγχων σημαντικότητας να μειώνεται. Η ίδια διαδικασία πραγματοποιήθηκε και για τις περιπτώσεις Z2 Y Z1και Z2 Y X δηλαδή για την επίδραση της τιμής του αερίου στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας δεδομένης της επίδρασης στην τελευταία και άλλων μεταβλητών. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών και σε αυτή την περίπτωση όπως και στον υπολογισμό της απλής αιτιότητας κατά Granger δεν έδειξαν καμία απόρριψη των ελέγχων. Αυτό επιβεβαιώνει για άλλη μία φορά το ότι η χρονοσειρά της τιμής του φυσικού αερίου δεν επιδρά καθόλου στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας την Υ. Αντίστοιχα, υπολογίσθηκαν οι περιπτώσεις της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger όπου η ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας συνολικά Z 3 επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ δεδομένου της επίδρασης της ζήτησης ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» Χ, Z3 Y X, της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Z 1, Z3 Y Z1, της τιμής φυσικού αερίου Z 2, Z3 Y Z2και τέλος της εθνικής ενιαίας τιμής ενέργειας της Ιταλίας Z 4, Z3 Y Z4. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στους δύο παρακάτω πίνακες 6.15 και 6.16: 130

131 Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z3 Y X και Z3 Y Z1για όλες τις ώρες της ημέρας. Από τις δύο πρώτες στήλες του Πίνακας μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι απορρίψεις των ελέγχων σημαντικότητας για την περίπτωση Z3 Y X εμφανίζονται κατά ομάδες στις ώρες της ημέρας με παρόμοιο τρόπο με την περίπτωση X Y Z3 του Πίνακας Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι Χ και Z3επιδρούν στις ίδιες ώρες στην εξέλιξη της μεταβλητής Υ. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι οι απορρίψεις των ελέγχων στην περίπτωση του Z3 Y X είναι λίγο λιγότερες σε αριθμό από την περίπτωση του X Y Z. 3 Στις δύο τελευταίες στήλες του Πίνακας παρουσιάζεται η επίδραση της Z 3 στην Υ δεδομένης της επίδρασης της Z 1. Βλέπουμε ότι οι απορρίψεις παρουσιάζονται ομαδοποιημένα μέσα στις ώρες της ημέρας όπως και στην απλή περίπτωση της επίδρασης της Z 3 στην Υ. Μοναδική διαφορά παρουσιάζεται στην εμφάνιση δύο επιπλέον απορρίψεων στις ώρες 15:00 και 16:00. Από αυτά τα αποτελέσματα μπορούμε 131

132 να πούμε ότι η Z 3 είναι μεταβλητή που επιδρά έντονα στην Υ και δεν επηρεάζεται η σχέση αιτιότητας σε μεγάλο βαθμό από την Z 1. Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z3 Y Z2και Z3 Y Z4για όλες τις ώρες της ημέρας. Z Y Z 3 2 Αντίστοιχα αποτελέσματα παρατηρούνται για την περίπτωση όπου όπου οι απορρίψεις των ελέγχων μοιάζουν πάρα πολύ με αυτές της απλής περίπτωσης της επίδρασης της Z 3 στην Υ, πράγμα που οφείλεται στο γεγονός ότι η μεταβλητή Z 2 δεν επιδρά καθόλου στην Υ. Τέλος, στην περίπτωση όπου Z Y Z εμφανίζονται σχεδόν ίδιες απορρίψεις με την περίπτωση του Z3 Y Z1 με 3 4 κάποιες ωστόσο μικρές διαφορές σε ορισμένες ώρες. Τέλος, πραγματοποιήθηκε ο υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger για τις περιπτώσεις όπου η εθνική ενιαία τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας Z4 επιδρά στην τιμή ηλεκτρικής ενέργειας της ζώνης «Greece» της Ιταλίας Υ, δεδομένου της επίδρασης της ζήτησης ενέργειας στη ζώνη «Souhern Ialy» «Greece» Χ, Z4 Y X, της τιμής ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδας Z 1, Z4 Y Z1, της τιμής φυσικού αερίου Z 2, Z4 Y Z2 και τέλος της ζήτησης ηλεκτρικής ενέργειας της Ιταλίας 132

133 συνολικά Z 3, Z4 Y Z3. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στους δύο παρακάτω πίνακες 6.17 και 6.18 : Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z4 Y X και Z4 Y Z1για όλες τις ώρες της ημέρας. 133

134 Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z4 Y Z2και Z4 Y Z3για όλες τις ώρες της ημέρας. Από τους πίνακες 6.17 και 6.18 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και στις τέσσερεις περιπτώσεις που εξετάζονται οι απορρίψεις δίνονται ομαδοποιημένα μέσα στην ημέρα όπως στην απλή περίπτωση όπου η μεταβλητή Z 4 επιδρά στην Υ. Μικρές διαφορές παρατηρούνται στις Z4 Y X και Z4 Y Z1 όπου για τις πολύ πρωινές ώρες δεν παρουσιάζεται καμία σχέση αιτιότητας αλλά είναι όλες μαζεμένες από τις 18:00 και μετά. Επιπλέον, στην περίπτωση όπου το Z4 Y Z3κάνουν την εμφάνιση του δύο επιπλέον απορρίψεις σε σχέση με την απλή περίπτωση του Z4 της Z4 Y Z2δεν παρουσιάζουν καμία διαφορά με της Z4 Y. Y, ενώ οι απορρίψεις 134

135 ) Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X X X, X Ο αριθμός των μεταβλητών που εξετάζουμε στην συγκεκριμένη εργασία για να βρούμε κατά πόσο επιδρούν στην μεταβλητή Υ που αποτελεί την τιμή ηλεκτρικής ενέργειας στη ζώνη «Greece» της Ιταλίας είναι πέντε και συγκεκριμένα οι Χ, Z 1, Z 2, Z 3 και Z 4. Επομένως στην περίπτωση υπολογισμού της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X1 X2 X3, X4 οι συνδυασμοί είναι πάρα πολλοί προκειμένου να παρουσιασθούν όλοι. Έτσι, ενδεικτικά επιλέχτηκαν οι περιπτώσεις X Y Z1, Z2, Z1 Y X, Z2και Z2 Y X, Z1. Τα αποτελέσματα των ελέγχων σημαντικότητας για τις περιπτώσεις αυτές φαίνονται στους παρακάτω πίνακες. Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη X Y Z, Z αιτιότητας κατά Granger στην περίπτωση 1 2για όλες τις ώρες της ημέρας. Από τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε για ακόμη μία φορά ίδια ακριβώς αποτελέσματα της επίδρασης της ζήτησης στην τιμή όπως και στην περίπτωση X Y Z2 και με ελάχιστες διαφορές με τις περιπτώσεις των X Y Z1 και X Y. 135

136 Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό στην περίπτωση Z Y X, Z για όλες τις ώρες της ημέρας. 1 2 Από τον Πίνακας παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα των απορρίψεων των ελέγχων είναι ίδια, με δύο μικρές αλλαγές του ελέγχου τυχαιοποίησης (2) στις 8:00 και του ελέγχου τυχαιοποίησης (1) στις 12:00, με την περίπτωση Z1 Y X. Τα αποτελέσματα αυτά είναι λογικό να ταυτίζονται σε μεγάλο βαθμό διότι η μεταβλητή Z2 όπως έχουμε πει και στην παραπάνω ανάλυσή μας, δεν επηρεάζει καθόλου την Υ. Τέλος πραγματοποιήθηκε και ο υπολογισμός του Z2 Y X, Z1δηλαδή της επίδρασης της τιμής του φυσικού αερίου στην τιμή της ζώνης «Greece», δεδομένης της ύπαρξης επιπλέον δύο μεταβλητών της Χ και της Z 1. Τα αποτελέσματα έδειξαν και πάλι ότι κανένας έλεγχος τυχαιοποίησης δεν πραγματοποιεί απόρριψη, οπότε για ακόμη μία φορά επιβεβαιώνεται ότι η Z2 δεν επηρεάζει την Υ. 136

137 ) Υπολογισμός της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger της μορφής X X X, X, X, X Στην τελευταία περίπτωση της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger θα ερευνήσουμε τη σχέση αιτιότητας μίας μεταβλητής σε μία άλλη δεδομένου ότι η τελευταία επηρεάζεται και από άλλες τέσσερεις. Έτσι για τις χρονοσειρές τις οποίες μελετούμε, οι δυνατοί συνδυασμοί που μπορούν να προκύψουν είναι οι X Y Z, Z, Z, Z , Z1 Y X Z2 Z3 Z4,,, και Z4 Y X Z1 Z2 Z3,,,, Z2 Y X, Z1, Z3, Z4, Z3 Y X, Z1, Z2, Z4. Για όλες αυτές τις περιπτώσεις εξετάστηκε η σχέση αιτιότητας καθώς και οι τρείς έλεγχοι σημαντικότητας, τα αποτελέσματα των οποίων παρουσιάζονται στους παρακάτω πίνακες: Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις X Y Z1, Z2, Z3, Z4και Z Y X, Z, Z, Z για όλες τις ώρες της ημέρας Στις δύο πρώτες στήλες όπου παρουσιάζεται η περίπτωση του X Y Z1, Z2, Z3, Z4 137

138 μπορούμε να δούμε ότι ο έλεγχος τυχαιοποίησης (2) εμφανίζει απορρίψεις σχεδόν τις ίδιες ώρες όπως και στην περίπτωση του X Y Z3 στον Πίνακας Δύο επιπλέον απορρίψεις εμφανίζονται στις ώρες 14:00 και 17:00 για τον έλεγχο τυχαιοποίησης (2). Για την περίπτωση του Z1 Y X, Z2, Z3, Z4 παρατηρούμε ότι και οι τρείς έλεγχοι απορρίπτουν ταυτόχρονα στις ώρες 16:00-19:00. Τις ώρες αυτές είδαμε ότι είχαμε την εμφάνιση απορρίψεων του ελέγχου τυχαιοποίησης (2) στις περιπτώσεις Z1 Y X (Πίνακας 6. 13) και Z1 Y Z3 (Πίνακας 6. 14), πράγμα που φαίνεται να επηρεάζει σημαντικά και αυτή εδώ την περίπτωση. Ωστόσο, δεν φαίνονται να εμφανίζονται σχέσεις αιτιότητας και για άλλες ώρες που ίσως θα περιμέναμε όπως για τις 7:00, 8:00 ή 9:00 που φαίνεται να ισχύουν στις δύο αυτές περιπτώσεις. Πίνακας Αποτελέσματα των τριών ελέγχων σημαντικότητας για τον υπολογισμό της υπό συνθήκη αιτιότητας κατά Granger στις περιπτώσεις Z3 Y X, Z1, Z2, Z4 και Z Y X, Z, Z, Z για όλες τις ώρες της ημέρας Αντίστοιχα, με την περίπτωση του X YZZZZ 1, 2, 3, 4 έτσι και στην Z3 YXZZZ, 1, 2, 4 συγκρίνοντας την με την Z3 Y X του Πίνακας μπορούμε να πούμε ότι τα αποτελέσματα των ελέγχων είναι παρόμοια. Αυτό δείχνει για άλλη μία φορά πόσο έντονη 138