Χρονοσειρές Μάθημα 2. Μη-στασιμότητα. Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Ασταθή διασπορά? Αυτοσυσχέτιση?

Transcript

1 AE index General Index of Comsumer Prices Χρονοσειρές Μάθημα General Index of Comsumer Prices, period Jan - Aug 5 5 Μη-στασιμότητα 5 Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Auroral Elecroje Index 8 6 Ασταθή διασπορά? ime [ min] Αυτοσυσχέτιση?

2 AE index AE index ime [ min] y, y,, yn Auroral Elecroje Index x, x,, xn ime [ min] Σταθεροποίηση διασποράς Logarihm ransform of Auroral Elecroje Index Μετασχηματισμός Χ =T(Υ ) που σταθεροποιεί τη διασπορά της Υ? Var[ X ] cons Απλή λύση: X log( Y)? Μετασχηματισμός δύναμης (Box-Cox): X Y λ Χ Var[y ] Υπόθεση: Var[Υ ] αλλάζει ως συνάρτηση της τάσης μ Y Y 4 c c c log( Y ).5 Y c Άλλος μετασχηματισμός??

3 AE index f Z (z) AE index f Y (y) AE index f X (x) 4 Auroral Elecroje Index 5 x y normal y, y,, yn ime [ min] Logarihm ransform of Auroral Elecroje Index x x=log(y) normal X log( Y) ime [ min] Gaussian ransform of Auroral Elecroje Index ime [ min] y x= - (F Y (y)) normal -4-4 z X F ( Y ) Y?

4 Απαλοιφή τάσης Y X. Καθοριστική τάση : γνωστή ή εκτιμώμενη συνάρτηση του χρόνου μ = f() Παράδειγμα: πολυώνυμο βαθμού p p f () a a a Πλαστική παραμόρφωση p μ : μέση τιμή ως συνάρτηση του (αργά μεταβαλλόμενο μέσο επίπεδο τιμών) X Y {X } στάσιμη Προσαρμογή με πολυώνυμο βαθμού Προσαρμογή με πολυώνυμο βαθμού 5

5 . Στοχαστική τάση Δείκτης συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (ΧΑΑ) ASE index, period orig orig local linear, breapoins polynomial,p= α. Εξομάλυνση με φίλτρο κινούμενου μέσου Απλό φίλτρο: Κινούμενος μέσος όρος orig MA() MA(5) ˆ ASE index, period ASE index, period q y q ˆ y y y q j jq "q " 4? Γενικό φίλτρο: Σταθμισμένος κινούμενος μέσος όρος q ˆ ay a j j jq q jq Απλός κινούμενος μέσος: a j, j q,, q q j

6 b. Απαλοιφή τάσης με χρήση διαφορών (differencing) Τελεστής διαφοράς πρώτης τάξης (one lag difference or firs difference) Y Y Y ( B) Y B: τελεστής υστέρησης (lag operaor) BY Y Τελεστής διαφοράς δεύτερης τάξης Y ( Y ) ( B)( B) Y ( B B ) Y Y Y Y Αν η τάση είναι τοπικά γραμμική, απαλείφεται με τις πρώτες διαφορές: Y Y Y X X aa a a a a ( ) a «σταθερή τάση»! Αν η τάση είναι τοπικά πολυώνυμο βαθμού p, απαλείφεται με χρήση του p Y p! c X p Y? [δείξτε ότι ] 4 ASE index: firs differences, period 7-4 ASE index: firs differences, period

7 Ποια μέθοδος απαλοιφής τάσης είναι καλύτερη? orig local linear, breapoins polynomial,p= ASE index, period 7-5 ASE index derended, period 7 - local linear, breapoins polynomial,p= orig MA() MA(5) ASE index, period 7-5 ASE index derended, period 7 - MA() MA(5) Εκτίμηση της τάσης 5 ASE index: firs differences, period 7 - Έλεγχος μοναδιαίας ρίζας: Dicey-Fuller και Phillips- Perron έλεγχοι

8 number of sunspos number of sunspos Απαλοιφή περιοδικότητας Y s X 5 5 Annual sunspos, period Περίοδος d και κατάλληλη συνάρτηση s? Ετήσιες ηλιακές κηλίδες. γνωστή ή εκτιμώμενη περιοδική συνάρτηση s = f() s : περιοδική συνάρτηση του με περίοδο d (περιλαμβάνει την εποχικότητα) Annual sunspos, period X Y s {X } στάσιμη a. Εκτίμηση της s i i=,,d από μέσους όρους των στοιχείων της Περίοδος d γνωστή n / d sˆ y i i jd j b. Απαλοιφή περιοδικότητας με χρήση διαφορών (d-differencing) Y Y Y ( B d ) Y d d

9 year cycle of GICP residual GICP GICP derended GICP Απαλοιφή τάσης και περιοδικότητας Y s X Y Y s X. Απαλοιφή τάσης Πρώτα απαλοιφή περιοδικότητας. Απαλοιφή περιοδικότητας X Y s Y s και μετά τάσης? {Χ }: χρονοσειρά υπολοίπων (residual) 5 General Index of Comsumer GICP: Linear Prices, fiperiod /-8/5 GICP: Residual of linear fi year GICP: Year cycle esimae GICP: derended and deseasoned year μη-στάσιμη y y y στάσιμη,,, n year x, x,, x Υπάρχει πληροφορία n στα υπόλοιπα?

10 r() Έλεγχος ανεξαρτησίας παρατηρούμενη στάσιμη χρονοσειρά χρονοσειρά υπολοίπων από απαλοιφή τάσης και/ή περιοδικότητας x, x,, xn Η :,,, n x, x,, xn Έλεγχος σημαντικότητας αυτοσυσχέτισης Υποθέσεις Είναι iid? Η Υπάρχουν συσχετίσεις? x x x είναι iid Η : είναι λευκός θόρυβος H : H : x, x,, xn r R r z / n z a n Aπορριπτική περιοχή: / Ζώνη μη-σημαντικής αυτοσυσχέτισης: /... GICP residual: auocorrelaion λευκός θόρυβος r Η για στάθμη σημαντικότητας για =.5 Έλεγχος σημαντικότητας για κάθε τ χωριστά n N(, ) n Σε επίπεδο σημαντικότητας =.5, απορρίπτεται η Η για τ= Υπάρχουν συσχετίσεις στη χρονοσειρά GICP?

11 r() Έλεγχος ανεξαρτησίας Pormaneau Q() Ένας έλεγχος για,,, H :,,, Στατιστικό ελέγχου Q: ~ Qn r ( ) / ( ) Box-Pierce Qn n r n j Q απορριπτική περιοχή R Q ; a Ljung-Box.. GICP residual: auocorrelaion 5 GICP residual: Pormaneau (Ljung-Box). -. Q 4.6 ; a H για τ= απορρίπτεται 5 5 5

12 x() r() x() r() random ime series. random ime series: auocorrelaion logisic ime series logisic ime series: auocorrelaion κατάλληλος έλεγχος ανεξαρτησίας? Ο έλεγχος ανεξαρτησίας BDS (Broc, Decher, Scheinman) 5 Έλεγχος ανεξαρτησίας και γεννήτρια τυχαίων αριθμών

13 r() Q() r() Q() r() Q() ASE index, period ASE index: firs differences, period 7 - Άσκηση: Υπάρχουν συσχετίσεις στις αποδόσεις του δείκτη ΧΑΑ (περίοδος 7-)? Κατάλληλη στάσιμη χρονοσειρά: πρώτες διαφορές ή αποδόσεις? Υπάρχουν συσχετίσεις? πρώτες διαφορές x y y ASE firs differences: auocorrelaion μη γραμμικές? 5 5 X X E ASE firs differences: Pormaneau (Ljung-Box) sample Q X (,) ASE index: reurns, period ASE index: square reurns, period αποδόσεις x ln y ln y τετράγωνο αποδόσεων x ln y ln y x ( x) ASE reurns: auocorrelaion ASE square reurns: auocorrelaion ASE reurns: Pormaneau (Ljung-Box) 5 5 sample Q X (,) ASE square reurns: Pormaneau (Ljung-Box) sample Q X (,) 4 6 8