Χρήστος ΖΕΡΗΣ 1, ηµήτριος Μ. ΚΩΤΣΟΒΟΣ 2

Transcript

1 Επιρροή της ταχύτητας επιβολής φορτίου στη συµπεριφορά δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος The effect of loading-rate on the strctral response of reinforced concrete beams Χρήστος ΖΕΡΗΣ 1, ηµήτριος Μ. ΚΩΤΣΟΒΟΣ 2 Λέξεις κλειδιά: οκός, Οπλισµένο Σκυρόδεµα, υναµική Απόκριση, Ταχύτητα Φόρτισης, Μη Γραµµική Ανάλυση, Σχεδιασµός ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Μεγάλος αριθµός πειραµατικών δεδοµένων καταδεικνύουν πως η απόκριση δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος (ΟΣ) υπό την δράση εγκάρσιου συγκεντρωµένου φορτίου µε µεγάλη ταχύτητα επιβολής (π.χ. κρουστικού φορτίου) διαφοροποιείται σηµαντικά σε σχέση µε την απόκριση του ίδιου φορέα υπό την δράση του αντίστοιχου στατικού φορτίου. Η διαφοροποίηση αυτή αυξάνεται όσο µεγαλώνει η ταχύτητα επιβολής του φορτίου και εκφράζεται κυρίως µε αύξηση της φέρουσα ικανότητας του φορέα και ταυτόχρονη µείωση του τµήµατος του φορέα που αποκρίνεται στην επιβαλλόµενη δράση και περιορίζεται σε µία περιοχή γύρω από το σηµείο επιβολής του φορτίου. Στην παρούσα εργασία διερευνάται η εγκυρότητα των προβλέψεων µίας αναλυτικής µεθόδου που προβλέπει την συµπεριφορά δοκών ΟΣ υπό τη δράση συγκεντρωµένων φορτίων µε µεγάλη ταχύτητα επιβολής και τον τρόπο που αυτή αλλάζει µε την ταχύτητα επιβολής του φορτίου. Σε αντίθεση µε την κρατούσα αντίληψη που υποστηρίζει πως η παραπάνω αλλαγή της συµπεριφοράς των δοκών οφείλεται σε µεγάλο βαθµό στο γεγονός ότι τα µηχανικά χαρακτηριστικά τόσο του χάλυβα όσο και του σκυροδέµατος σε επίπεδο υλικού επηρεάζονται σηµαντικά από τον ρυθµό παραµόρφωσης τους, η παρούσα µέθοδος αποδίδει την παραπάνω µεταβολή στην αλλαγή της µηχανικής συµπεριφοράς του φορέα που αποδίδεται, µε την σειρά της, αποκλειστικά στις αδρανειακές δυνάµεις που αναπτύσσονται. Η απόδειξη της εγκυρότητας της προτεινόµενης µεθόδου βασίζεται στη σύγκριση των προβλέψεων της µε δηµοσιευµένα πειραµατικά αποτελέσµατα καθώς και µε αριθµητικές προβλέψεις που προκύπτουν από την χρήση λογισµικών πεπερασµένων στοιχείων µε δυνατότητα εκτέλεσης µη γραµµικής στατικής και δυναµικής ανάλυσης. 1 Επίκουρος Καθηγητής, Εργαστήριο Οπλισµένου Σκυροδέµατος, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Ζωγράφου zeris@central.nta.gr 2 Πολιτικός Μηχανικός, Concept Engineering Consltants, 8 Warple Mews, Warple Way, London W3 RF, UK, dkotsovos76@yahoo.co.k 1

2 ABSTRACT: The present article sets ot to investigate the validity of the predictions of a method for evalating the load-carrying capacity of reinforced concrete beams when sbjected to impact loading at mid-span. The method links the experimentally observed enhancement of load-carrying capacity with the shortening of the portion of the beam which has been fond both experimentally and nmerically to respond to the applied load, nder increasing loading rates. The validation of the predictions obtained from the proposed method is carried ot throgh a comparative stdy of its predictions with pblished experimental data, as well as nmerical reslts obtained by means of three dimensional dynamic nonlinear finite-element analyses. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επιβολή κρουστικού φορτίου σε έναν φορέα ΟΣ έχει ως αποτέλεσµα την δηµιουργία κυµάτων τα οποία, καθώς διαδίδονται µέσα στον φορέα, προκαλούν τοπικά την ανάπτυξη υψηλών συγκεντρώσεων τάσης οι οποίες σε συνδυασµό µε την ετερογένεια που χαρακτηρίζει την δοµή του σκυροδέµατος και την ρηγµάτωση που αναπτύσσεται στο υλικό αυτό έχουν ως αποτέλεσµα, την ανάπτυξη ενός τριαξονικού εντατικού πεδίου. Η πολυπλοκότητα του συγκεκριµένου πεδίου αυξάνει αν ληφθούν υπόψη ενδεχόµενα φαινόµενα ανάκλασης των κυµάτων κυρίως στα σύνορα και, τοπικά, στην ελεύθερη επιφάνεια του φορέα. Με βάση τα παραπάνω συµπεραίνεται πως το πρόβληµα επιβολής κρουστικών φορτίων σε φορείς ΟΣ είναι εξαιρετικά σύνθετο και αντιµετωπίζεται πληρέστερα ως ένα τρισδιάστατο µη-γραµµικό δυναµικό πρόβληµα και, συγκεκριµένα, ως ένα πρόβληµα διάδοσης κύµατος µέσα σε ένα ασυνεχές µέσο. Πέρα από τις ιδιαιτερότητες υλοποίησης και το κόστος, µια από τις σηµαντικότερες δυσκολίες που παρουσιάζει η πειραµατική διερεύνηση του παραπάνω προβλήµατος είναι η εκτέλεση έγκυρων µετρήσεων. Η µικρή διάρκειά των πειραµάτων (της τάξης των µερικών msec) αλλά και το ενδεχόµενο τα όργανα µέτρησης να υποστούν ζηµιές κατά την εκτέλεση του πειράµατος υπονοµεύει την εγκυρότητα των αποτελεσµάτων και ταυτόχρονα συµβάλει στη µεγάλη διασπορά που τα χαρακτηρίζει. Ως εκ τούτου, η χρήση λογισµικών πεπερασµένων στοιχείων (ΠΣ), µε δυνατότητα εκτέλεσης δυναµικής µη γραµµικής ανάλυσης, αποτελεί έναν ασφαλέστερο και οικονοµικότερο τρόπο διερεύνησης της συµπεριφοράς φορέων ΟΣ υπό κρουστικά φορτία. Η µέθοδος αυτή επιτρέπει αφενός µεν την διερεύνηση της συµπεριφοράς πιο σύνθετων φορέων ΟΣ αφετέρου δε την πιο λεπτοµερή καταγραφή της εντατικής 2

3 κατάστασης που αναπτύσσεται στον φορέα καθώς και της απόκρισης του. Παρατηρείται ωστόσο ότι τα προσοµοιώµατα που αναπτύσσονται για την αριθµητική διερεύνηση του εξεταζόµενου προβλήµατος εξαρτώνται από ένα µεγάλο αριθµό παραµέτρων οι οποίες εξαρτώνται, µε την σειρά τους, από τα χαρακτηριστικά του εκάστοτε προβλήµατος (Cotsovos et al 29). Έτσι, η εφαρµογή του συγκεκριµένου προσοµοιώµατος σε κάποιο άλλο πρόβληµα χωρίς προηγουµένως τον επαναπροσδιορισµό των επιµέρους παραµέτρων µπορεί να οδήγηση σε εσφαλµένες προβλέψεις (Cotsovos et al 29). Με δεδοµένες τις παραπάνω παρατηρήσεις, το παρόν άρθρο διερευνά την εγκυρότητα των προβλέψεων µιας απλής µεθόδου στο να περιγράφει τη συµπεριφορά αµφιέριστων δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος (ΟΣ) υπό τη δράση συγκεντρωµένου φορτίου µε µεγάλη ταχύτητα επιβολής στο µέσο του ανοίγµατος τους. Η απόδειξη της εγκυρότητας των προβλέψεων της προτεινόµενης µεθόδου βασίζεται στην σύγκριση των προβλέψεων αυτών µε πειραµατικά αποτελέσµατα και αριθµητικές προβλέψεις που προκύπτουν για την περίπτωση µιας σειράς αµφιέριστων δοκών ΟΣ η συµπεριφορά των οποίων έχει διερευνηθεί πειραµατικά στο παρελθόν [Hghes and Speirs (1982)]. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Μέχρι σήµερα έχει εκτελεστεί ένας ικανός αριθµός πειραµάτων που διερευνούν την επίδραση της ταχύτητας φόρτισης στην απόκριση αµφιέριστων και αµφιαρθρωτών δοκών ΟΣ υπό τη δράση κεντρικού συγκεντρωµένου φορτίου (Hghes and Speirs 1982, Miyamoto et al 1989, 1991, Kishi et al 21, 22). Το κρουστικό φορτίο συνήθως ασκείται µέσω µεταλλικής µάζας η όποια αφήνεται να πέσει από προκαθορισµένο ύψος ώστε να προσκρούσει µε συγκεκριµένη ταχύτητα στο δοκίµιο. Κατά την διάρκεια τέτοιων πειραµάτων καταγράφονται: η παραµόρφωση, η µετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ορισµένων προεπιλεγµένων σηµείων του φορέα καθώς και οι αντιδράσεις που αναπτύσσονται στις περιοχές στήριξης. Ταυτόχρονα, καταγράφεται η εξέλιξη της ρηγµάτωσης και οι µηχανισµοί αστοχίας που αναπτύσσονται. Στόχος των πειραµάτων είναι τα αποτελέσµατα που καταγράφονται να δίνουν µια όσο το δυνατό πληρέστερη εικόνα για την δυναµική απόκριση των φορέων αυτών. Στην παρούσα εργασία η προσοχή επικεντρώνεται στην διερεύνηση της συµπεριφοράς µιας σειράς αµφιέριστων δοκών ΟΣ των οποίων η συµπεριφορά έχει µελετηθεί πειραµατικά από τους Hghes and Speirs (1982). Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά καθώς και οι λεπτοµέρειες οπλισµού των υπό εξέταση δοκών 3

4 παρουσιάζονται στο Σχήµα 1 και στον Πίνακα 1, αντιστοίχως. Το µέτρο ελαστικότητας (ES), η τάση διαρροής (fy) και η τάση αστοχίας (f) του χάλυβα είναι 26GPa, 46MPa και 56MPa, αντιστοίχως. Τέλος, η αντοχή του σκυροδέµατος σε µοναξονική θλίψη και εφελκυσµό µετρήθηκαν 45MPa και 3MPa αντιστοίχως. Κατά την επιβολή συγκεντρωµένου στατικού φορτίου στο µέσο του ανοίγµατος τους όλα τα δοκίµια (Α έως Ε) χαρακτηρίζονται από πλάστιµη συµπεριφορά, ενώ τα διαγράµµατα φορτίου-µετατόπισης για κάθε δοκίµιο, όπως καταγράφηκαν, παρουσιάζονται στο Σχήµα 2. Σχήµα 1. Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και λεπτοµέρειες όπλισης των δοκών (Hghes and Speirs, 1982). Σχήµα 2. ιαγράµµατα φορτίου-µετατόπισης στο µέσο του ανοίγµατος των δοκών (Hghes and Speirs, 1982). οκίµιο Εφελκυόµενος οπλισµός A st (mm 2 ) Θλιβόµενος οπλισµός A sc (mm 2 ) L (m) ρ (%) ρ v (%) P (kn) A Β C D E Πίνακας 1. Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και λεπτοµέρειες όπλισης των δοκών (Hghes and Speirs, 1982). Από την πειραµατική διερεύνηση προκύπτει ότι η απόκριση των δοκών επηρεάζεται σηµαντικά από την ταχύτητα επιβολής του φορτίου και διαφέρει ουσιαστικά από την αντίστοιχη στατική. Από τα πειραµατικά αποτελέσµατα (Σχήµατα 3 και 4) διαπιστώνεται πως όσο αυξάνεται η ταχύτητα επιβολής του φορτίου, τόσο περισσότερο διαφοροποιείται η απόκριση των δοκών 4

5 χαρακτηριζόµενη από σηµαντική αύξηση τόσο της φέρουσας ικανότητας όσο και της δυσκαµψίας τους σε σχέση µε τις αντίστοιχες τιµές υπό στατική φόρτιση Impact loading - Experiment Static loading - Experiment Σχήµα 3. Αύξηση της φέρουσας ικανότητας συναρτήσει της ταχύτητας επιβολής του φορτίου (Hghes and Speirs, 1982). displacement (mm) Σχήµα 4. Καµπύλες επιβαλλόµενου φορτίου- µετατόπισης για διαφορετικές ταχύτητες φόρτισης (Miyamoto et al 1989) 1 2 (α) 1 2 (β) Σχήµα 5. Ρηγµάτωση του δοκιµίου υπό (α) στατικό και (β) δύο διαφορετικού ρυθµού κρουστικά φορτία (Hghes and Speirs, 1982). Σχήµα 6. Παραµόρφωση των δοκιµίων για διαφορετικές ταχύτητες επιβαλλόµενου φορτίου (Miyamoto et al., 1989). Στα Σχήµατα 5α και 5β απεικονίζεται η ρηγµάτωση που αναπτύσσεται σε µια δοκό ΟΣ υπό στατικό και κρουστικό φορτίο, αντίστοιχα, όπου και διαπιστώνεται πως η εξέλιξη της ρηγµάτωσης εξαρτάται άµεσα από την ταχύτητα επιβολής του εξωτερικού φορτίου. Κατά την επιβολή του στατικού φορτίου, οι ρωγµές εµφανίζονται αρχικά στην κάτω παρειά, στο µέσο του ανοίγµατος της δοκού, όπου η ροπή λαµβάνει την µέγιστη τιµή της. Στη συνέχεια, µε την αύξηση του επιβαλλόµενου φορτίου, η ρηγµάτωση επεκτείνεται σταδιακά σε ολόκληρο το µήκος του φορέα. Αντίθετα, κατά την επιβολή κρουστικού φορτίου παρατηρείται πως περιορίζεται η περιοχή του φορέα στην οποία εκδηλώνονται ρωγµές. 5

6 Συγκεκριµένα παρατηρείται πως η ρηγµάτωση εµφανίζεται περισσότερο συγκεντρωµένη σε δύο περιοχές του φορέα: (1) στο µέσο του ανοίγµατός του (θέση 1 Σχήµα 5β) και (2) σε µία συγκεκριµένη απόσταση από την µεσαία διατοµή (θέση 2 Σχήµα 5β). Οι ρωγµές που αναπτύσσονται στο µέσο του ανοίγµατος της δοκού (θέση 1) εµφανίζονται στην κάτω παρειά όπως και κατά την επιβολή στατικού φορτίου µε την διαφορά ότι η ανάπτυξή τους περιορίζεται σε µία µικρή σχετικά περιοχή γύρω από το σηµείο επιβολής του φορτίου. Οι ρωγµές που αναπτύσσονται σε συγκεκριµένη απόσταση από τη µεσαία διατοµή (θέση 2 Σχήµα 5β), ξεκινούν από την άνω παρειά της δοκού και επεκτείνονται προς τα κάτω, δεν συµβαδίζουν δε µε την παραµόρφωση του φορέα υπό στατική φόρτιση. Συγκρίνοντας την πειραµατικά καταγεγραµµένη κατανοµή των παραµορφώσεων µιας δοκού υπό στατικό και κρουστικό φορτίο (Miyamoto et al., 1989), παρατηρείται πως στη δεύτερη περίπτωση παρουσιάζεται µία απότοµή αλλαγή στην κλίση του καµπτικού βέλους, γεγονός που όπως θα αποδειχθεί πιο κάτω, συνδέεται άµεσα µε την κατανοµή της ρηγµάτωσης υπό κρουστικό φορτίο. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Λόγω της σηµαντικής διασποράς που χαρακτηρίζει τα πειραµατικά αποτελέσµατα αυτά παρέχουν µια ποιοτική περιγραφή της συµπεριφοράς της δοκού υπό κρουστικό φορτίο αδυνατώντας να ποσοτικοποιήσουν µε ακρίβεια την αλλαγή που παρατηρείται στην συµπεριφορά τους µε την αύξηση ταχύτητας φόρτισης. Για τον λόγο αυτό διερευνήθηκε αριθµητικά το παραπάνω πρόβληµα, µε την χρήση δύο λογισµικών ΠΣ: (α) του ANSYS και (β) του RC-FINEL. Tο ANSYS είναι ένα λογισµικό ΠΣ ευρείας χρήσης για την επίλυση σύνθετων µη γραµµικών στατικών και δυναµικών προβληµάτων. Το RC-FINEL είναι ένα εξειδικευµένο λογισµικό ΠΣ στην ανάλυση κατασκευών ΟΣ υπό στατική και δυναµική δράση. Τόσο η µη γραµµική συµπεριφορά του σκυρόδεµατος όσο και του χάλυβα περιγράφονται από καταστατικά προσοµοιωµάτων τα οποία είναι ενσωµατωµένα στο παραπάνω λογισµικά. Στο ANSYS η µη γραµµική συµπεριφορά του σκυροδέµατος περιγράφεται από µία καµπύλη τάσης-παραµόρφωσης που περιλαµβάνει έναν ανοδικό κλάδο που εκφράζει τη µη γραµµική συµπεριφορά του σκυροδέµατος µέχρι το µέγιστο φορτίο, και ένα καθοδικό (φθιτό) κλάδο που εκφράζει την συµπεριφορά του σκυροδέµατος κατά τη διάρκεια της προοδευτικής απώλειας της φέρουσας ικανότητας του υλικού (Cotsovos et al 28, 29). Σε αντίθεση µε το ANSYS, to RC-FINEL προσοµοιάζει το σκυρόδεµα σαν ένα ψαθυρό υλικό αγνοώντας παντελώς τον φθιτό κλάδο (Kotsovos and Pavlovic 6

7 1995). Σε κάθε περίπτωση, η προσοµοίωση της ρηγµάτωσης γίνεται µε τη µέθοδο της διανεµηµένης ρωγµής (smeared crack approach). (α) Σχήµα 7. (β) ιακριτοποιηση της δοκού µε ΠΣ (α) ANSYS και (β) RC-FINEL. Λόγω της µη γραµµικότητας που χαρακτηρίζει τη συµπεριφορά του σκυροδέµατος και του χάλυβα, η εξίσωση κίνησης επιλύεται αριθµητικά µε χρήση της µεθόδου αριθµητικής ολοκλήρωσης Newmark, η οποία βασίζεται σε µια επαναληπτική έµµεση (implicit) διαδικασία. Το κυριότερο χαρακτηριστικό της παρούσας αριθµητικής διερεύνησης είναι η θεώρηση πως τα µηχανικά χαρακτηριστικά τόσο του σκυροδέµατος όσο και του χάλυβα είναι ανεξάρτητα από την ταχύτητα επιβολής του εξωτερικού φορτίου και τον ρυθµό παραµόρφωσης που υφίσταται ο υπό διερεύνηση φορέας, µε αποτέλεσµα η όποια αλλαγή παρατηρείται στη συµπεριφορά του φορέα λόγω της ταχύτητας επιβολής του εξωτερικού φορτίου να αποδίδεται αποκλειστικά στις αδρανειακές δυνάµεις που αναπτύσσονται µέσα στη µάζα του φορέα (Cotsovos et al 28). Η διακριτοποίηση του φορέα µε ΠΣ απεικονίζεται στο Σχήµα 7. Η προσοµοίωση του σκυροδέµατος στο ANSYS βασίζεται στα εξαεδρικά στοιχεία 8 κόµβων, η διάσταση των οποίων δεν ξεπερνά τα 2cm µε 3cm, ενώ στο RC-FINEL µε οκταεδρικά στοιχεία 27 κόµβων (Cotsovos et al 28, Cotsovos 29). Σε αντίθεση µε το σκυρόδεµα, ο οπλισµός διακριτοποιείται µε στοιχεία δικτυώµατος. Λόγω της διπλής συµµετρίας που χαρακτηρίζει τον φορέα και για λόγους οικονοµίας το δίκτυο των πεπερασµένων στοιχείων αναπαριστά τον φορέα µόνο κατά το ένα τέταρτο (Σχήµα 7α). Το φορτίο επιβάλλεται ως σηµειακό (συγκεντρωµένο) φορτίο στο µέσο του ανοίγµατος της δοκού, µε την τιµή του να αυξάνεται σταθερά µε ρυθµούς επιβολής από 2kN/msec έως 2kN/msec, µέχρι την αστοχία του δοκιµίου. Στα Σχήµατα 8 έως παρουσιάζονται ενδεικτικά οι αριθµητικές προβλέψεις για την παραµόρφωση αλλά και την ρηγµάτωση που υφίσταται η δοκός C. Οι αριθµητικές προβλέψεις επιβεβαιώνουν τα πειραµατικά αποτελέσµατα αναφορικά µε την παραµόρφωση άλλα και την ρηγµάτωση που υφίσταται µία δοκός υπό την δράση συγκεντρωµένου φορτίου στο µέσο του ανοίγµατος της. 7

8 Στατική φόρτιση 2 kn/msec 2 kn/msec 2 kn/msec Σχήµα 8. Πρόβλεψη κατά ANSYS της παραµόρφωσης της δοκού C, για (α) στατική φόρτιση, και κρούσεις (β) 2kN/msec, (γ) 2kN/msec and (δ) 2kN/msec. L eff L eff / 2/ 2L eff / 2 2 kn/msec 2 kn/msec 2 kn/msec 2% 22% 26% 45% 75% % 61% % Σχήµα 9. Πρόβλεψη κατά ANSYS της εξέλιξης της ρηγµάτωσης της δοκού C, υπό την δράση συγκεντρωµένου φορτίου στο µέσο του ανοίγµατός της για: (α) στατική φόρτιση, και κρούσεις (β) 2kN/msec, (γ) 2kN/msec and (δ) 2kN/msec ( = φορτίο αστοχίας). 32% 58% 71% % 49% 49% L eff L eff / 2/ 2 P & = 2.4 kn/msec % % P & = 24 kn/msec 36% 32% 7% 66% L eff / 2L eff / 2 % % P & = 12 kn/msec P & = 24 kn/msec Σχήµα. Πρόβλεψη κατά RC-FINEL της ρηγµάτωσης και παραµόρφωσης της δοκού C, υπό την δράση συγκεντρωµένου φορτίου στο µέσο του ανοίγµατός της για: (α) στατική φόρτιση, και κρούσεις (β) 2kN/msec, (γ) 2kN/msec and (δ) 2kN/msec (όπου P & ο ρυθµός επιβολής του φορτίου στο µέσον του ανοίγµατος και το φορτίο αστοχίας.). 8

9 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Με βάση τα παραπάνω πειραµατικά και αριθµητικά αποτελέσµατα προτάθηκε µία µέθοδος η οποία περιγράφει της δυναµικής απόκρισης πλάστιµων αµφιέριστων δοκών ΟΣ υπό την δράση συγκεντρωµένου φορτίου στο µέσο του ανοίγµατος (Cotsovos et al 28). Η µέθοδος αποδίδει την αλλαγή που παρατηρείται κατά την απόκριση δοκών ΟΣ λόγω αύξησης της ταχύτητας φόρτισης, στη µείωση του µήκους της δοκού (ενεργό µήκος L eff, Σχήµα 11) που επηρεάζεται από τη επιβολή του δυναµικού φορτίου και περιλαµβάνει το τµήµα της δοκού στην οποία αναπτύσσεται άνω ρηγµάτωση. Με βάση την προτεινόµενη µέθοδο, υποθέτουµε πως για υψηλούς ρυθµούς επιβολής φόρτισης το τµήµα της δοκού, µε ενεργό µήκος L eff που αποκρίνεται, συµπεριφέρεται προσεγγιστικά σαν µία αµφίπακτη δοκός (Σχήµα 11) µε τον υπόλοιπο φορέα να µένει πρακτικά απαραµόρφωτος. L L eff Σχήµα 11. Mcr (α) ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ M M ιαγράµµατα καµπτικής αντοχής που αναπτύσσονται στη δοκό για την περίπτωση επιβολής συγκεντρωµένου (α) στατικού και (β) δυναµικούκρουστικού φορτίου στο µέσο του ανοίγµατός του. M (β) Για τον υπολογισµό των τιµών τόσο του L eff όσο και της αντοχής P d της δοκού, αρχικά είναι απαραίτητος ο υπολογισµός του συντελεστή α, που ισούται µε τον λόγο της ροπής ρηγµάτωσης M cr προς τη ροπή αντοχής Μ της δοκού (α=m cr / Μ ) και του συντελεστή β, που είναι ο λόγος της αρνητικής ροπής αντοχής Μ προς την αντίστοιχη θετική Μ (β=μ /Μ ) (θετική ροπή θεωρείται αυτή που εφελκύει την κάτω ίνα). Για την περίπτωση της αµφίπακτης δοκού µήκους L eff, η ροπή που αναπτύσσεται στο µέσον του ανοίγµατός δίδεται από την σχέση: P d L eff M =,για την περίπτωση γραµµικής συµπεριφοράς, και (1α) 8 Pd Leff M = M (1β) 4 9

10 στην αστοχία, κατά την οποία σχηµατίζονται πλαστικές αρθρώσεις τόσο στο µέσο του ανοίγµατος της δοκού όσο και στα άκρα του L eff, όπου M είναι η θετική ροπή που αναπτύσσεται στο µέσο του L eff, M = β M η αρνητική ροπή που αναπτύσσεται στα άκρα του L eff και P d το συγκεντρωµένο φορτίο που επιβάλλεται στο µέσο του ανοίγµατος, η τιµή του οποίου προκύπτει από το γινόµενο της ταχύτητας επιβολής του φορτίου P & και της διάρκειας της φόρτισης t (P d = Ρ & t ). Θεωρώντας ότι το L eff συσχετίζεται µε την έναρξη ανάπτυξης καµπτικών ρωγµών στο άνω µέρος της δοκού µεταξύ των άκρων και εκατέρωθεν του µέσου του ανοίγµατός της, υποθέτοντας δε ότι το τµήµα της δοκού µε µήκος L eff συµπεριφέρεται σαν αµφίπακτη δοκός, οι ρωγµές στα άκρα της δοκού θα αναπτυχθούν σε καµπτική ροπή ίση προς M = a M = α β Μ. Ορίζοντας L eff = 2& w t c (όπου & w = (G/ρ) και λύνοντας την σχέση (1α) ως προς t c προκύπτει ο χρόνος που απαιτείται προκειµένου να ξεκινήσει η ανάπτυξη ρωγµών στα άκρα του L eff : 4 a β M tc = (2) P& & w Ωστόσο το L eff δεν µπορεί να πάρει τιµές µεγαλύτερες του καθαρού µήκους της δοκού. Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω είναι δυνατό να υπολογιστεί από τη σχέση (1β) το µέγιστο φορτίο που θα οδηγήσει στην ανάπτυξη τριών πλαστικών αρθρώσεων, µίας στο µέσον και δύο στα άκρα του τµήµατος L eff : ( M + M ) Pd = 4 4 ( 1+ β) M =, όπου M = β M (3) L L eff eff Επισηµαίνεται πως όταν η ταχύτητα φόρτισης είναι µικρή, όλο το µήκος της δοκού επηρεάζεται από το επιβαλλόµενο φορτίο οπότε η πιο πάνω µέθοδος δεν ισχύει: άρα, για χαµηλές ταχύτητες φόρτισης η δοκός θεωρείται πως συµπεριφέρεται σαν αµφιέρειστη δοκός κατά την πρώτη ιδιοµορφή της. Ωστόσο, καθώς η ταχύτητα φόρτισης αυξάνεται, η συµπεριφορά της δοκού σταδιακά αλλάζει από αµφιέρειστη σε αµφίπακτη (όταν L eff L) ενώ περαιτέρω αύξηση οδηγεί σε µείωση του L eff (οπότε και L eff < L). Προκειµένου να προσδιοριστεί το όριο κατά το οποίο η συµπεριφορά της δοκού αλλάζει από αµφιέριστη σε αµφίπακτη γίνεται χρήση της σχέσης (4) η οποία προσδιορίζει αναλυτικά την πρώτη ιδιοπερίοδο της δοκού T 1 που αντιστοιχεί στην κύρια ιδιοµορφή της. Όταν ο χρόνος επιβολής του φορτίου είναι µικρότερος απο Τ 1 τότε η δοκός θεωρείται πως συµπεριφέρεται σαν αµφιέριστη ένω όταν ο παραπάνω χρόνος έχει σαν αποτέλεσµα L eff = L τότε η δοκός θεωρείται πως συµπεριφέρεται ως αµφίπακτη.

11 2 2 π π E I T 1 = (όπου ω ω 1 = ) (4) 1 L ρ A Στο Σχήµα 12 γίνεται µια σύγκριση µεταξύ των πειραµατικών αποτελεσµάτων αντοχής και των προβλέψεων της παρούσης, όπου καθίσταται φανερό ότι οι τελευταίες αποτελούν το κάτω όριο των πρώτων. Επί πλέον, στα Σχήµατα 13α-ε συγκρίνονται τα πειραµατικά αποτελέσµατα µε τις αναλυτικές προβλέψεις της προτεινόµενης µεθόδου καθώς και τις αριθµητικές προβλέψεις των δύο λογισµικών ΠΣ, ANSYS και RC-FINEL, που περιγράφηκαν προηγουµένως test proposed method 1 Loading rate (kn/msec) Spec: A, ρ =.28% 1 Ρυθµός Επιβολής Φορτίου (kn/msec) Σχήµα 12. Σύγκριση των πειραµατικών αποτελεσµάτων µε τις αναλυτικές προβλέψεις της προτεινόµενης µεθόδου. Αποτελέσµατα ANSYS Αποτελέσµατα RC-FINEL Πειραµατικά αποτελέσµατα Προβλέψεις Μεθόδου Spec: B, ρ =.5% 1 Ρυθµός Επιβολής Φορτίου (kn/msec) Spec: C, ρ = 1.13% 1 Ρυθµός Επιβολής Φορτίου (kn/msec) Spec: D, ρ = 2.% Ρυθµός Επιβολής Φορτίου (kn/msec) 11

12 14 12 Spec: D, ρ = 2.% Σχήµα 13. Σύγκριση των προβλέψεων αντοχής σε κρούση της προτεινόµενης µεθόδου µε τις αριθµητικές προβλέψεις των ANSYS και RC-FINEL, δοκίµια A έως D. Ρυθµός Επιβολής Φορτίου (kn/msec) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Περιγράφονται αριθµητικές και αναλυτικές προβλέψεις της αύξησης της αντοχής δοκών υπό κρουστική φόρτιση. Οι προβλέψεις της προτεινόµενης µεθόδου αποτελούν το κάτω όριο τόσο των αριθµητικών προβλέψεων µη γραµµικών αναλύσεων ΠΣ όσο και των πειραµατικών αποτελεσµάτων της βιβλιογραφίας. Τόσο η µορφή της αστοχίας, όσο και η ρηγµάτωση αλλά και οι αναλυτικές προβλέψεις των πειραµάτων αποδεικνύουν ότι η συµπεριφορά των δοκών λόγω αύξησης της ταχύτητας επιβολής του φορτίου οφείλεται κυρίως στην αδρανειακή απόκριση του φορέα και όχι στην επιρροή του ρυθµού παραµόρφωσης του φορέα στα χαρακτηριστικά των υλικών. Το γεγονός αυτό αντιβαίνει µε την κρατούσα αντίληψη σχεδιασµού σε κρούση, η οποία σχετίζει την συµπεριφορά φορέων ΟΣ υπό την δράση φορτίων µε µµεγάλη ταχύτητα επιβολής στην αύξηση των µηχανικών ιδιοτήτων του υλικού λόγω της ταχύτητας παραµόρφωσης του υλικού. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. ANSYS Inc. (24) ANSYS Release 9, Docmentation. 2. Cotsovos D.M., Stathopolos N.D. and Zeris C. (28), Fndamental behavior of RC beams sbjected to high rates of concentrated loading, Jornal of Strct. Eng., ASCE, 134, Cotsovos D.M., Zeris Ch.και Abbas A.A. (29), Finite Element Modeling of Strctral Concrete, COMPDYN 29, ECCOMAS Thematic Conf. on Comptational Methods in Str. Dynamics and Earthq. Eng., Rhodes, Greece. 4. Hghes G. and Spiers D.M. (1982) An investigation on the beam impact problem. Cement and Concrete Association, Technical Report Kishi, N., Mikami, H. and Ando, T. (21) An applicability of the FE impact analysis on shear-failre-type RC beams with shear rebars. 4th Asia-Pacific Conference on Shock and Impact Loads on Strctres

13 6. Kishi, N., Mikami, H., Matsoka K. G. and Ando, T. (22) Impact behavior of shear- failre-type RC beams withot shear rebar. Int. J. Impact Eng., 27, Kotsovos, M. D. and Pavlović, M. N. (1995) Strctral Concrete: Finiteelement analysis and design, London, Thomas Telford. 8. Miyamoto A., King M. W. and Fjii M. (1989) Non-linear dynamic analysis and design concepts for RC beams nder implsive loads. Blletin of the New Zealand National Society for Earthqake Engineering, 22,