5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών."

Transcript

1 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε U(0,1). Αν και η οµοιόµορφη κατανοµή είναι η απλούστερη συνεχής κατανοµή, είναι σηµαντικό να µπορέσουµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από αυτήν, αφού στη συνέχεια έχουµε τη δυνατότητα να πάρουµε τυχαίες τιµές από όλες τις άλλες κατανοµές (εκθετική, κανονική, γάµµα, δυωνυµική κ.α.), καθώς και υλοποιήσεις διαφόρων στοχαστικών διαδικασιών (π.χ. διαδικασία Poisson), εφαρµόζοντας ένα µετασχηµατισµό στους τυχαίους αριθµούς της οµοιόµορφης κατανοµής. Το είδος του µετασχηµατισµού εξαρτάται από την κατανοµή ή τη διαδικασία από την οποία θέλουµε να πάρουµε τυχαίες τιµές. Στο επόµενο Κεφάλαιο θα ασχοληθούµε µε τη δηµιουργία τυχαίων τιµών από οποιαδήποτε κατανοµή ή διαδικασία. Οι µέθοδοι δηµιουργίας τυχαίων αριθµών που θα δούµε στη συνέχεια (όπως και όλες οι γεννήτριες τυχαίων αριθµών που έχουν υλοποιηθεί σε υπολογιστές), είναι αριθµητικές και εντελώς ντετερµινιστικές, αφού κάθε νέος τυχαίος αριθµός καθορίζεται από έναν ή περισσότερους από τους προηγούµενους αριθµούς σύµφωνα µε µια σταθερή µαθηµατική φόρµουλα. Το γεγονός αυτό µας οδηγεί στην παρατήρηση ότι ουσιαστικά δεν έχουµε τυχαίους αριθµούς, αλλά ψευδο-τυχαίους, όπως εξάλλου πολλές φορές ονοµάζονται. Παρ όλα αυτά, µία σωστά σχεδιασµένη γεννήτρια ψευδο-τυχαίων αριθµών, µπορεί να παράγει ακολουθίες αριθµών µε τυχαία στατιστικά χαρακτηριστικά, όπως µπορεί να αποδειχθεί αν οι ακολουθίες περάσουν µε επιτυχία µια σειρά από στατιστικά τεστ, όπως το χ 2 τεστ, το τεστ συσχέτισης, τεστ εκτελέσεων, το τεστ φάσµατος κ.α. Για το λόγο αυτό θα συνεχίσουµε να χρησιµοποιούµε τον όρο τυχαίοι αριθµοί. Μία καλή γεννήτρια τυχαίων αριθµών πρέπει να έχει ορισµένες ιδιότητες: Πάνω απ όλα, οι παραγόµενοι αριθµοί πρέπει να φαίνονται οµοιόµορφα κατανεµηµένοι στο διάστηµα [0,1] και δεν θα πρέπει να εµφανίζουν καµµιά συσχέτιση µεταξύ τους. Η γεννήτρια θα πρέπει να είναι γρήγορη και να µην απαιτεί πολύ χώρο αποθήκευσης στον υπολογιστή. Είναι επιθυµητό να µπορούµε να ξαναπάρουµε µια δεδοµένη ακολουθία τυχαίων αριθµών, µε την ίδια ακριβώς µορφή. Οι λόγοι είναι δύο: Πρώτον, µε τη χρήση ίδιας ακολουθίας, µπορεί να γίνει ευκολότερη η επιβεβαίωση και η διόρθωση λαθών του προσοµοιωτή. εύτερον, µπορεί να γίνει καλύτερη σύγκριση της προσοµοίωσης διαφορετικών συστηµάτων. Η γεννήτρια θα πρέπει να µπορεί να δηµιουργεί αρκετά διαφορετικά ρεύµατα τυχαίων αριθµών. Μπορούµε να θεωρήσουµε τα διαφορετικά ρεύµατα ως ξεχωριστές και ανεξάρτητες γεννήτριες, οι οποίες τροφοδοτούν µε τυχαίους αριθµούς διαφορετικές πηγές τυχαιότητας του προσοµοιωτή, όπως οι χρόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων και οι χρόνοι εξυπηρέτησης στο παράδειγµα που µελετήσαµε στο Κεφάλαιο 3.

2 5.2. Γραµµικές Αναλογικές Γεννήτριες. Η µεγάλη πλειονότητα των γεννητριών τυχαίων αριθµών που χρησιµοποιούνται σήµερα, είναι Γραµµικές Αναλογικές Γεννήτριες - Linear Congruential Generators (LCG). Στις γεννήτριες αυτές, ορίζεται µία ακολουθία ακεραίων Z1, Z2,K από την αναδροµική σχέση: Zi = ( azi 1 + c)( mod m) (6) όπου m (ο διαιρέτης), a (ο πολλαπλασιαστής), c (η αύξηση) και Z 0 (ο σπόρος ή αρχική τιµή), είναι όλα µη-αρνητικοί ακέραιοι. ηλαδή, η (6) ορίζει ότι για να πάρουµε το Z i, διαιρούµε το azi 1 + c µε m και κρατάµε το υπόλοιπο της διαίρεσης. Συνεπώς, 0 Zi m 1 και για να πάρουµε τους τυχαίους αριθµούς (για i = 12,,K) στο διάστηµα [0,1], θέτουµε: Zi U i = m Θα επικεντρώσουµε την προσοχή µας κυρίως στα Z i, αν και έχει σηµασία η φύση της διαίρεσης των Z i µε το m, λόγω του τρόπου χειρισµού της από τους διάφορους υπολογιστές και γλώσσες προγραµµατισµού. Για τους ακέραιους m, a, c και Z 0, εκτός από τη µη-αρνητικότητα, πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: 0 < m, a < m, c < m και Z0 < m. Με µια πρώτη µατιά, µπορούν να εγερθούν δύο ενστάσεις εναντίον των LCG. Η πρώτη είναι κοινή για όλες τις γεννήτριες (ψευδο) τυχαίων αριθµών: τα Z i όπως ορίζονται ατην (6), δεν είναι αληθινοί τυχαίοι αριθµοί. Στην πραγµα-τικότητα, µπορεί να αποδειχθεί µε επαγωγή, ότι για i = 12,,K, i i ca ( 1) Zi = a Zo + m a (mod ) 1 έτσι ώστε κάθε Z i είναι απολύτως ορισµένο από τα m, a, c και Z 0. Πάντως, µε προσεκτική επιλογή των τεσσάρων αυτών παραµέτρων, προσπαθούµε να έχουµε τέτοια Z i, ώστε τα αντίστοιχα να φαίνονται ότι είναι ανεξάρτητες, όµοια κατανεµηµένες U(0,1) τυχαίες µεταβλητές, όταν υποβληθούν στα κατάλληλα τεστ. Η δεύτερη ένσταση είναι ότι τα µπορούν να πάρουν µόνο τις τιµές 0, 1/m, 2/m,..., (m-1)/m. Πράγµατι, τα µπορούν να πάρουν µόνο ένα τµήµα από τις τιµές αυτές, το οποίο εξαρτάται από τον ορισµό των σταθερών m, a, c και Z 0 και από τη φύση της διαίρεσης µε m. ηλαδή, δεν υπάρχει δυνατότητα να πάρουµε τιµή για τα µεταξύ, ας πούµε, 0.1/m και 0.9/m, παρότι αυτό θα έπρεπε να εµφανίζεται µε πιθανότητα 0.8/m>0. Αυτό που γίνεται, είναι να επιλέγουµε συνήθως το m πολύ µεγάλο, π.χ και µεγαλύτερο, έτσι ώστε τα σηµεία του [0,1] στα οποία µπορεί να πέσουν τα να είναι πάρα πολλά. Για m 10 9, υπάρχουν τουλάχιστον ένα δισεκατοµµύριο πιθανές τιµές. Στο Σχήµα 29 φαίνονται οι τιµές των Z i και µίας LCG µε m = 16, a = 5, c = 3 και Z 0 =7, για i = 12,, K, 19. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι Z17 = Z1 = 6, Z = Z = κ.ο.κ. ηλαδή, για i = 17 ως 32, θα παίρνουµε ακριβώς τις ίδιες τιµές

3 των Z i (και συνεπώς των ), που έχουµε πάρει για i = 1 µέχρι 16 και µε ακριβώς την ίδια σειρά. Φυσικά δεν θα χρησιµοποιήσουµε ποτέ µια γεννήτρια µε τόσο µικρό m, αλλά µπορούµε να δούµε εδώ τον τρόπο λειτουργίας µιας LCG ΣΧΗΜΑ 29. Η Γραµµική Αναλογική Γεννήτρια Z = ( 5Z + 3)( 16) Z 0 = 7. i i 1 mod, µε Η επαναληπτική αυτή συµπεριφορά της γεννήτριας, είναι φυσικά αναπόφευκτη, λόγω της µορφής της (6), σύµφωνα µε την οποία όποτε το Z i παίρνει µια τιµή που είχε πάρει και προηγουµένως, δηµιουργείται στη συνέχεια η ίδια ακριβώς ακολουθία τιµών. Ο κύκλος αυτός επαναλαµβάνεται συνεχώς. Το µήκος του κύκλου ονοµάζεται περίοδος της γεννήτριας. Στις LCG, το Z i εξαρτάται µόνο από την αµέσως προηγούµενη τιµή Z i 1 και όχι από παλιότερες τιµές. Αφού, λοιπόν, 0 Zi m 1, είναι σαφές ότι η µέγιστη τιµή της περιόδου είναι m. Αν µάλιστα, είναι ίση µε m, τότε λέµε ότι η LCG έχει πλήρη περίοδο, όπως η γεννήτρια του Σχήµατος 29. Αν µία γεννήτρια έχει πλήρη περίοδο, οποιαδήποτε επιλογή αρχικής τιµής Z 0 από το σύνολο των ακεραίων { 01,, K, m 1} θα παράγει τον πλήρη κύκλο µε κάποια σειρά. Αν όµως µία γεννήτρια έχει περίοδο µικρότερη της πλήρους, το µήκος της θα εξαρτάται από τη συγκεκριµένη τιµή του Z 0 που έχει επιλεγεί, οπότε ουσιαστικά θα µιλάµε για την περίοδο της αρχικής τιµής της γεννήτριας αυτής. Μία προσοµοίωση µπορεί να χρειασθεί εκατοντάδες χιλιάδων τυχαίους αριθµούς και κατά συνέπεια είναι επιθυµητό να έχουµε LCGs µε µεγάλες περιόδους. Επίσης, είναι βολικό να έχουµε LCGs µε πλήρη περίοδο, διότι έτσι είµαστε σίγουροι ότι κάθε ακέραιος µεταξύ 0 και m 1 θα εµφανισθεί ακριβώς µία φορά σε κάθε κύκλο, γεγονός που βοηθάει στην οµοιοµορφία της κατανοµής των. Το παρακάτω Θεώρηµα 1 µας δίνει τους περιορισµούς που πρέπει να ισχύουν στην επιλογή των m, a και c, έτσι ώστε η LCG που προσδιορίζουν, να έχει πλήρη περίοδο: Θεώρηµα 1. Η Γραµµική Αναλογική Γεννήτρια της Σχέσης (6), έχει πλήρη περίοδο αν και µόνο αν ισχύουν οι παρακάτω τρεις συνθήκες: Ο µόνος θετικός ακέραιος που διαιρεί ακριβώς και το m και το c, είναι το 1. Αν το q είναι ένας πρώτος αριθµός που διαιρεί ακριβώς το m, τότε το q διαιρεί ακριβώς και το a 1. Αν το 4 διαιρεί ακριβώς το m, τότε το 4 διαιρεί ακριβώς και το a 1. Η ύπαρξη πλήρους ή τουλάχιστον µεγάλης περιόδου, είναι µόνο µία από τις επιθυµητές ιδιότητες µιας καλής LCG. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούµενη Παράγραφο, θέλουµε η γεννήτρια να έχει και καλές στατιστικές ιδιότητες, υπολογιστική και αποθηκευτική αποδοτικότητα, δυνατότητα αναπαραγωγής της ίδιας ακολουθίας και επίσης ξεχωριστών ρευµάτων τυχαίων αριθµών. Η αναπαραγωγή της

4 ίδιας ακολουθίας είναι εύκολη, αφού χρειάζεται να θυµόµαστε µόνο την αρχική τιµή Z 0 και να ξαναρχίσουµε τη γεννήτρια µε την τιµή αυτή, οπότε θα πάρουµε την ίδια ακολουθία τυχαίων αριθµών. Επίσης, µπορούµε εύκολα να επανέλθουµε στη δηµιουργία των Z i σε οποιοδήποτε σηµείο της ακολουθίας, αποθηκεύοντας το τελευταίο Z i που δηµιουργήθηκε και χρησιµοποιώντας ως τη νέα αρχική τιµή. Έτσι έχουµε έναν εύκολο τρόπο για να πάρουµε µη-επικαλυπτόµενες, ανεξάρτητες ακολουθίες τυχαίων αριθµών. Τα διαφορετικά ρεύµατα σε µια LCG, ορίζονται συνήθως µε τον καθορισµό της αρχικής τιµής για κάθε ρεύµα. Για παράδειγµα, αν θέλουµε ρεύµατα µήκους 100,000 το καθένα, θα δώσουµε κάποια τιµή στο Z 0 για το πρώτο ρεύµα, µετά θα χρησιµοποιήσουµε το Z 100, 000 ως αρχική τιµή για το δεύτερο ρεύµα, το Z 200, 000 ως αρχική τιµή για το τρίτο ρεύµα κ.ο.κ. Παρατηρούµε ότι έτσι, τα ρεύµατα είναι ουσιαστικά µη-επικαλυπτόµενες, γειτονικές, υπο-ακολουθίες µιας απλής ακολουθίας τυχαίων αριθµών. Αν, πάντως, χρειασθούν περισσότεροι από 100,000 τυχαίοι αριθµοί σε κάποιο ρεύµα, θα χρησιµοποιηθούν αριθµοί από την αρχή του εποµένου ρεύµατος, που µπορεί να έχουν ήδη χρησιµοποιηθεί αλλού, έτσι ώστε να καταλήξουµε σε απαράδεκτη συσχέτιση των ρευµάτων µεταξύ τους. Λόγω της συνθήκης (a) του Θεωρήµατος 1, οι LCGs τείνουν να συµπεριφέρονται διαφορετικά για c > 0 (οπότε ονοµάζονται µικτές LCGs) και διαφορετικά για c = 0 (οπότε ονοµάζονται πολλαπλασιαστικές LCGs). Στις επόµενες δύο παραγράφους θα εξετάσουµε σε συντοµία την επιλογή καταλλήλων παραµέτρων, ώστε να έχουµε καλές LCGs, για τις δύο αυτές κατηγορίες γεννητριών Μικτές Γραµµικές Αναλογικές Γεννήτριες. Για c > 0, η συνθήκη (a) του Θεωρήµατος 1, είναι πιθανόν να ικανοποιείται, οπότε έχουµε τη δυνατότητα να πάρουµε την πλήρη περίοδο m. Κατ αρχήν, όσον αφορά το m. Για να έχουµε µεγάλη περίοδο και υψηλή πυκνότητα των στο [0,1], το m πρέπει να είναι µεγάλο. Ακόµα, η διαίρεση µε m για να πάρουµε το υπόλοιπο από τη Σχέση (6), είναι µια σχετικά αργή αριθµητική λειτουργία στον υπολογιστή, οπότε θα ήταν επιθυµητό να αποφεύγαµε την πλήρη εκτέλεσή της. Μία επιλογή του m που ικανοποιεί τις παραπάνω προϋποθέσεις, είναι το m = 2, όπου είναι ο αριθµός των its της λέξης που χρησιµοποιεί το σύστηµα στο οποίο θα υλοποιηθεί η προσοµοίωση. Π.χ. για 32-it υπολογιστή ή γλώσσα προγραµµατισµού, όπου το πιο αριστερό it χρησιµοποιείται για το πρόσηµο, θα πάρουµε = 31. Αν το είναι αρκετά µεγάλο, ας πούµε 31, τότε 31 9 m 2 > Επίσης, η επιλογή m = 2, µας επιτρέπει να αποφύγουµε την πλήρη διαίρεση µε m στους περισσότερους υπολογιστές, εκµεταλλευόµενοι την υπερχείλιση ακεραίου. Ο µεγαλύτερος ακέραιος που µπορεί να αναπαρασταθεί είναι ο 2 1 και κάθε απόπειρα να αποθηκευθεί ένας µεγαλύτερος ακέραιος W (µε, έστω, h > δυαδικά ψηφία), θα έχει σαν αποτέλεσµα την απώλεια των h αριστερών (πιο σηµαντικών) its του ακεραίου. Τα υπόλοιπα its, θα έχουν τιµή ακριβώς W (mod 2 ).

5 Συνεπώς, το m = 2 φαίνεται να είναι µια καλή επιλογή για το m. Με την επιλογή αυτή, το Θεώρηµα 1 δηλώνει ότι θα πάρουµε πλήρη περίοδο αν το c είναι περιττός και το a 1 διαιρείται ακριβώς από το 4. Στην περίπτωση αυτή, το Z 0 µπορεί να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος µεταξύ 0 και m 1, χωρίς να υπάρχει επίπτωση στην περίοδο της γεννήτριας. Σε σχέση τώρα µε την επιλογή του πολλαπλασιαστή a. Υπήρχε παλιότερα η εκτίµηση, ότι είναι αποδοτικό να επηρεάζουµε τον πολλαπλασιασµό του Z i 1 µε το a. l Η εκτίµηση αυτή οδήγησε σε πολλαπλασιαστές της µορφής a = 2 + 1, για κάποιο l θετικό ακέραιο l. Τότε, azi 1 = 2 Zi 1 + Zi 1, έτσι ώστε το az i 1 µπορεί να δηµιουργηθεί µε τη µετατόπιση της δυαδικής αναπαράστασης του Z i 1 κατά l its αριστερά και προσθέτοντας Z i 1. Συνεπώς, ο πολλαπλασιασµός µπορεί να αντικατασταθεί από λειτουργίες µετατόπισης και πρόσθεσης. Όµως πιο πρόσφατες ερευνητικές εργασίες έχουν δείξει ότι πρέπει να αποφεύγονται πολλαπλασιαστές της παραπάνω µορφής, διότι δίνουν γεννήτριες µε φτωχά στατιστικά χαρακτηριστικά. Τότε, πώς θα έπρεπε να επιλεγούν τα a και c, όταν m = 2, ώστε να πάρουµε µία καλή µικτή LCG; Η πραγµατική απάντηση είναι ότι πρέπει µάλλον να προτιµήσουµε µία πολλαπλασιαστική γεννήτρια (βλέπε επόµενη Παράγραφο), η οποία είναι απλούστερη, πιο κατανοητή, συµπεριφέρεται γενικά τόσο καλά όσο και µία µικτή LCG και για τους λόγους αυτούς χρησιµοποιείται πιο πολύ στην πράξη. Πάντως, δύο µικτές LCGs µε m = 2, που έχει αποδειχθεί ότι συµπεριφέρονται καλά, είναι οι παρακάτω: Για = 35, παίρνουµε a = 5 15 και c = 1. Για = 31, παίρνουµε a = 314, 159, 269 και c = 453, 806, Πολλαπλασιαστικές Γραµµικές Αναλογικές Γεννήτριες. Οι πολλαπλασιαστικές LCGs έχουν το πλεονέκτηµα ότι δεν χρειάζεται η πρόσθεση του c, αλλά όµως δεν µπορούν να έχουν πλήρη περίοδο, αφού δεν είναι δυνατόν να ικανοποιηθεί η συνθήκη (a) του Θεωρήµατος 1. Όµως, µπορούµε να πάρουµε περίοδο ίση µε m 1, αν τα m και a επιλεγούν µε προσοχή. Όπως και στις µικτές γεννήτριες, είναι υπολογιστικά αποδοτικό να επιλέξουµε m = 2. Στην περίπτωση αυτή, έχει αποδειχθεί ότι η περίοδος είναι το πολύ 2 2, δηλαδή µπορούν να δηµιουργηθούν µόνο το 1/4 των ακεραίων από 0 έως m 1, ως τιµές των Z i. (Στην πραγµατικότητα, η περίοδος είναι 2 2, αν το Z 0 είναι περιττός και το a είναι της µορφής 8k + 3 ή 8k + 5, για κάποιο k = 01,,K). Ακόµα, δεν θα µπορούµε γενικά να ξέρουµε πού θα πέσουν αυτοί οι m 4 ακέραιοι. ηλαδή, µπορεί να υπάρχουν απαράδεκτα µεγάλα κενά στις τιµές των Z i. Επίσης, αν επιλέξουµε a της µορφής 2 l + j (έτσι ώστε ο πολλαπλασιασµός του Z i 1 µε το a να αντικαθίσταται από µια µετατόπιση και j προσθέσεις), θα έχουµε φτωχές στατιστικές ιδιότητες της γεννήτριας. Η γεννήτρια που είναι γνωστή µε το όνοµα RANDU και είναι αυτής της µορφής ( m= 2, a = = 65, 539, c = 0 ), έχει αποδειχθεί ότι

6 έχει ανεπιθύµητες στατιστικές ιδιότητες και κατά συνέπεια πρέπει να αποφεύγεται η χρήση της. Λόγω των δυσκολιών αυτών που σχετίζονται µε την επιλογή m = 2 στις πολλαπλασιαστικές LCGs, έχει γίνει προσπάθεια να βρεθούν άλλοι τρόποι προσδιορισµού του m. Μία τέτοια µέθοδος προτείνει το m να είναι ο µεγαλύτερος πρώτος αριθµός που είναι µικρότερος από 2. Για παράδειγµα, στην περίπτωση = 31, ο µεγαλύτερος πρώτος αριθµός µικρότερος από 2 31 είναι ο = 2, 147, 483, 647. Όταν το m είναι πρώτος, µπορεί να αποδειχθεί ότι η περίοδος είναι m 1 αν το a είναι primitive element modulo m. ηλαδή, ο µικρότερος ακέραιος l για τον οποίο το a l 1 διαιρείται ακριβώς από το m, είναι ο l = m 1. Με τα m και a επιλεγµένα µε τον τρόπο αυτό, θα πάρουµε τους ακεραίους 12,, K, m 1ακριβώς µία φορά σε κάθε κύκλο, έτσι ώστε το Z 0 µπορεί να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος από 1 έως m 1, ενώ θα έχουµε πάντα περίοδο ίση µε m 1. Οι γεννήτριες αυτές ονοµάζονται Prime Modulus Multiplicative LCGs (PMMLCGs). ύο θέµατα που αφορούν τις PMMLCGs είναι τα εξής: (1) Πώς µπορούµε να βρούµε ένα primitive element modulo m; Η διαδικασία αυτή είναι πολύπλοκη υπολογιστικά και δεν θα ασχοληθούµε µαζί της. Θα ξεπεράσουµε το σηµείο αυτό, χρησιµοποιώντας µερικές PMMLCGs που έχουν δοκιµασθεί και έχει αποδειχθεί ότι συµπεριφέρονται καλά. Τις παρουσιάζουµε στο τέλος της παραγράφου. (2) Από τη στιγµή που δεν έχουµε επιλέξει m = 2, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απευθείας το µηχανισµό υπερχείλισης για να επηρεάσουµε τη διαίρεση µε το m. Μία τεχνική που έχει αναπτυχθεί για την αποφυγή της εξαντλητικής διαίρεσης στην περίπτωση αυτή, η οποία χρησιµοποιεί µία µορφή υπερχείλισης, ονοµάζεται προσοµοιωµένη διαίρεση. Η γεννήτρια της οποίας παρουσιάζουµε τον κώδικα στο Κεφάλαιο αυτό, χρησιµοποιεί την τεχνική της προσοµοιωµένης διαίρεσης. Ολοκληρώνουµε την παράγραφο αυτή, µε παραδείγµατα δοκιµασµένων PMMLCGs, οι οποίες έχουν διαιρέτη m ίσο µε m 31 = 2 1 και πολλαπλασιαστές a οι οποίοι είναι primitive element modulo m και γνωρίζουµε ότι συµπεριφέρονται καλά. Η περίοδος των γεννητριών αυτών είναι m 31 1= 2 2 και είναι αρκετά µεγάλη ώστε µε ένα ρυθµό δηµιουργίας 1,000 τυχαίων αριθµών ανά δευτερόλεπτο, να χρειάζεται χρόνος περισσότερος από 3 εβδοµάδες για να ολοκληρωθεί ένας κύκλος. ύο συγκεκριµένες τιµές του πολλαπλασιαστή a που χρησιµοποιούνται ευρέως µε το διαιρέτη m 5, είναι οι a 1 = 7 = 16, 807 και a 2 = 630, 360, 016. Και οι δύο είναι primitive element modulo m. Έχει αποδειχθεί ότι το a 2 συµπεριφέρεται πολύ καλύτερα στατιστικά από το a 1 και κατά συνέπεια χρησιµοποιείται περισσότερο. Η PMMLCG που παρουσιάζεται στη συνέχεια του Κεφαλαίου, έχει 31 m= m = 2 1 και a = a2 = 630, 360, 016 και είναι µια γεννήτρια τυχαίων αριθµών που µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε µεγάλα πειράµατα προσοµοίωσης.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ Μία από τις πιο σηµαντικές υπηρεσίες που προσφέρει το διαδίκτυο στην επιστηµονική κοινότητα είναι η αποµακρυσµένη πρόσβαση των χρηστών σε ηλεκτρονικές βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

του και από αυτόν επιλέγουµε το φάκελο εµφανίζεται ένα παράθυρο παρόµοιο µε το ακόλουθο:

του και από αυτόν επιλέγουµε το φάκελο εµφανίζεται ένα παράθυρο παρόµοιο µε το ακόλουθο: διαχείριση αρχείων Οι περισσότερες εφαρµογές των Windows είναι προγραµµατισµένες, από τον κατασκευαστή τους, να προτείνουν ως περιοχή αποθήκευσης των εργασιών το φάκελο «Τα έγγραφά µου», που δηµιουργείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΤΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ. Του ρα Κώστα Γ. Κονή *

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΤΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ. Του ρα Κώστα Γ. Κονή * ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΤΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ Του ρα Κώστα Γ. Κονή * Παρακολουθώντας τους ρυθµούς πολλών συνανθρώπων µας σε διάφορα επαγγέλµατα, ιδιαίτερα εκείνων που έχουν τις δικές τους δουλειές, µου κάνει τεράστια εντύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εισαγωγή στην Τεχνολογία

Πανεπιστήµιο Κύπρου. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εισαγωγή στην Τεχνολογία Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Εργαστήριο: Εισαγωγή στην Μέτρηση Βασικών Σηµάτων Συνοπτική Περιγραφή Εξοπλισµού και Στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

η σύνθεση ενός υπολογιστή

η σύνθεση ενός υπολογιστή ιδακτικό υλικό µαθητή η σύνθεση ενός υπολογιστή Αν παρατηρήσουµε έναν υπολογιστή βλέπουµε ότι αποτελείται από τα ακόλουθα µέρη: Οθόνη Μονάδα συστήµατος Ποντίκι Πληκτρολόγιο τη µονάδα συστήµατος, όπου βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο Εισαγωγή στις Μετρήσεις Σηµάτων και Επίδραση Οργάνου στις Μετρήσεις Λευκωσία, 04

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατικές καταστάσεις - Φόρτιση πυκνωτή

Μεταβατικές καταστάσεις - Φόρτιση πυκνωτή H5 Μεταβατικές καταστάσεις - Φόρτιση πυκνωτή 1. Σκοπός Σε µια µεγάλη ποικιλία φυσικών φαινοµένων, που εξελίσσονται ήπια, ο στιγµιαίος ρυθµός µετάβασης από τη την αρχική κατάσταση προς την τελική εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Θα συµπληρώσετε τα απαραίτητα στοιχεία που βρίσκονται µε έντονα γράµµατα για να δηµιουργήσετε την νέα εταιρεία.

Θα συµπληρώσετε τα απαραίτητα στοιχεία που βρίσκονται µε έντονα γράµµατα για να δηµιουργήσετε την νέα εταιρεία. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Γενική Λογιστική. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων.

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

«Πρόβλεψη» «Forecasting»

«Πρόβλεψη» «Forecasting» «Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1 I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού.

7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού. 7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού. ΗΜ01-Θ1Γ Δίνονται οι παρακάτω έννοιες: 1. Λογικός τύπος δεδοµένων 2. Επιλύσιµο 3. Ακέραιος τύπος δεδοµένων 4. Περατότητα 5. Μεταβλητή 6. Ηµιδοµηµένο 7. Πραγµατικός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Λογισµικό µε γλώσσα προγραµµατισµού. Logo. Εισαγωγή στη Γεωµετρία της Χελώνας ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ

Λογισµικό µε γλώσσα προγραµµατισµού. Logo. Εισαγωγή στη Γεωµετρία της Χελώνας ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ Λογισµικό µε γλώσσα προγραµµατισµού Logo Εισαγωγή στη Γεωµετρία της Χελώνας ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ «Μαθαίνουµε καλύτερα κάνοντας... αλλά µαθαίνουµεακόµακαλύτερααν συνδυάσουµετηδράσηµετηνοµιλία και το στοχασµόπάνωσ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου ιδακτικό υλικό µαθητή παράθυρα Κατά τη διάρκεια της µελέτης µας γράφουµε και διαβάζουµε, απλώνοντας πάνω στο γραφείο τετράδια και βιβλία. Ξεκινώντας ανοίγουµε αυτά που µας ενδιαφέρουν πρώτα και συνεχίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα