ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

Transcript

1 ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί ζην ηεηξάγσλν καο δίλεη ηνλ. Ηδηόηεηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο:, 0, Οξηζκόο λ-νζηήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε λ-νζηή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή λ-νζηή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί ζηε λ-νζηή δύλακε καο δίλεη ηνλ. Ηδηόηεηεο λ-νζηήο ξίδαο:, 0 Αλ 0, θαη Αλ,,,,, 0, Οξηζκόο δύλακεο κε ξεηό εθζέηε: Αλ, κ αθέξαηνο θαη λ ζεηηθόο αθέξαηνο, ηόηε νξίδνπκε: Δπηπιένλ αλ κ,λ ζεηηθνί αθέξαηνη, ηόηε νξίδνπκε: 0 0.

2 ΔΦΑΡΜΟΓΔ-ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΗΑ ΑΚΖΔΩΝ. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ γηα ηηο νπνίεο νξίδνληαη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο: i. ii. Γηα λα βξνύκε ηηο ηηκέο κηαο παξακέηξνπ γηα ηηο νπνίεο νξίδεηαη (ππάξρεη) κηα παξάζηαζε κε ξίδεο ζα απαηηνύκε όιεο νη ππόξηδεο πνζόηεηεο λα είλαη κε αξλεηηθνί αξηζκνί θαη ζα ζπλαιεζεύνπκε ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο. Λύζε: i. Πξέπεη 0 0 πνπ ηζρύεη γηα θάζε ii. Πξέπεη 0 0. Να απνδείμεηε όηη: Γηα λα ππνινγίζνπκε κηα παξάζηαζε πνπ πεξηέρεη ξίδεο ζπγθεθξηκέλσλ αξηζκώλ έρνπκε δύν ηξόπνπο: νο ηξόπνο: Αλαιύνπκε ηνπο αξηζκνύο ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ θαη ζηε ζπλέρεηα ρξεζηκνπνηνύκε ηελ ηδηόηεηα. Άξα 6,, νο ηξόπνο: Αλαιύνπκε ηνπο αξηζκνύο ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ θαη ζηε ζπλέρεηα ρξεζηκνπνηνύκε ηελ ηδηόηεηα. Έρνπκε ινηπόλ:, 6, Άξα

3 . Να απνδείμεηε όηη: 9 Γηα λα απινπνηήζνπκε κηα παξάζηαζε κε πνιιαπιά ξηδηθά δηαθνξεηηθήο ηάμεο ζα κεηαηξέπνπκε θάζε ξίδα ζε δύλακε κε ξεηό εθζέηε κε βάζε ηελ ηδηόηεηα: Λύζε: Να απινπνηεζνύλ νη παξαθάησ παξαζηάζεηο:, y y,, y 0 Γηα λα απινπνηήζνπκε κηα ξίδα κεηαηξέπνπκε ηελ ππόξξηδν παξάζηαζε ζε ηαπηνηεηα. Δρνπκε ινηπόλ: y y y y y y. Να ηξαπνύλ ηα παξαθάησ θιάζκαηα ζε ηζνδύλακα κε ξεην παξνλνκαζηή: 6 β) Λύζε: Όηαλ ν παξνλνκαζηήο είλαη ην ζα πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηνπο δύν όξνπο ηνπ θιάζκαηνο κε ην. Έρνπκε ινηπόλ: β) Όηαλ ν παξνλνκαζηήο είλαη ην ζα πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηνπο δύν όξνπο ηνπ θιάζκαηνο κε ην. Έρνπκε ινηπόλ:

4 Όηαλ ν παξνλνκαζηήο είλαη ην ή ην ζα πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηνπο δύν όξνπο ηνπ θιάζκαηνο κε ην ή ην αληίζηνηρα γηα λα δεκηνπξγήζνπκε ηελ ηαπηόηεηα δηαθνξάο ηεηξαγώλσλ. Έρνπκε ινηπόλ: Όηαλ ν παξνλνκαζηήο είλαη ην ή ην πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηνπο δύν όξνπο ηνπ θιάζκαηνο κε ην ή ην αληίζηνηρα γηα λα δεκηνπξγήζνπκε ηηο ηαπηόηεηεο δηαθνξάο ε αζξνίζκαηνο θύβσλ. Έρνπκε ινηπόλ: 6. Να απνδείμεηε όηη β) 8 0 Γηα λα απνδείμνπκε κηα αληζόηεηα ξηδώλ, πςώλνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο ζρέζεο ζηε δύλακε κ, όπνπ ην κ είλαη ην Δ.Κ.Π. ησλ βαζκώλ ησλ ξηδώλ θαη πξνζπαζνύκε λα θαηαιήμνπκε ζε θάηη πνπ ηζρύεη. Λύζε: Τν Δ.Κ.Π. ηνπ θαη ηνπ είλαη ην, άξα πςώλνπκε θαη ηα δύν κέιε εηο ηε ε δύλακε θαη έρνπκε: πνπ ηζρύεη. β) Δπεηδή νη ξίδεο είλαη όιεο δεπηέξνπ βαζκνύ πςώλνπκε ζην ηεηξάγσλν θαη έρνπκε: πνπ ηζρύεη.

5 7. Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο θαη. Γηα λα ζπγθξίλνπκε δύν παξαζηάζεηο Α θαη Β κε ξίδεο, ππνζέηνπκε νηη θαη πςώλνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο ζρέζεο ζηε δύλακε κ, όπνπ ην κ είλαη ην Δ.Κ.Π. ησλ βαζκώλ ησλ ξηδώλ. Αλ θαηαιεμνπκε ζε αιεζή ζρέζε, ηόηε είλαη όλησο, αλ θαηαιήμνπκε ζε ςεπδή ζρέζε, ηζρύεη ε αληίζεηε θνξά ηεο αλίζσζεο, δειαδε Λύζε: Έζησ ινηπόλ όηη: ην Δ.Κ.Π. ηνπ θαη ηνπ είλαη ην, άξα πςώλνπκε θαη ηα δύν κέιε εηο ηε ε δύλακε θαη έρνπκε: 7 Άξα πνπ είλαη άηνπν ΑΚΖΔΗ. Να ραξαθηεξίζεηε θάζε κία απν ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο σο ζσζηή ε ιάζνο: 6 β) 6 ε) Αλ, ηόηε ηζρύεη: ζη) Αλ, 0 ηόηε ηζρύεη: Αλ 0, 0, ηζρύεη: ε) Αλ 0 ηζρύεη: ζ) Αλ, ζεηηθνί αθέξαηνη θαη 0 ηόηε η) Αλ 0 ν αληίζηξνθνο ηνπ είλαη ν (Σ) (Λ)

6 . Να βξείηε γηα πνηέο ηηκέο ηνπ νξίδνληαη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο: β) 7 ε) ζη) 7 ε). Να απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο: αλ, αλ. Να απνδείμεηε όηη: 7 7 β). Να απνδείμεηε όηη: β) Να ππνινγηζηνύλ ηα παξαθάησ αζξνίζκαηα: 6 8 0,

7 6 7. Με ηελ πξνππόζεζε όηη νξίδνληαη νη παξαζηάζεηο, λα γξάςεηε απηέο κε ηε κνξθή κίαο ξίδαο. β) 8 8 y y ε) ζη) Να κεηαηξέςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ζε ηζνδύλακεο κε ξεηό παξνλνκαζηή. β) ε) 7 9 ζη) 9. Να κεηαηξέςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ζε ηζνδύλακεο κε ξεηό παξνλνκαζηή. 7 β) 6 0. Να απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο: β) Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο: θαη 7 β) θαη 7. Να απνδείμεηε όηη: 0 θαη β)

8 7 6 ε) 7 ζη) 7 8