ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

Transcript

1 ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή ην κήθνο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΟΑ, νλνκάδεηαη απόλςηη ηιμή ηνπ αξηζκνύ α θαη ηελ ζπκβνιίδεηαη κε. Η απόλςηη ηιμή θεηικού απιθμού είναι ο ίδιορ ο απιθμόρ., γηα θάζε Η απόλςηη ηιμή απνηηικού απιθμού είναι ο ανηίθεηόρ ηος., γηα θάζε Γενικα: Θδιόηηηερ απόλςηηρ ηιμήρ: y y v y y ή y και γηα θάζε γηα θάζε *

2 Απόζηαζη δύο απιθμών: Έζησ δύν ζεκεία Α θαη Β ζηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ. Τν κήθνο ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ ιέγεηαη απόζηαζη ησλ αξηζκώλ α θαη β θαη ζπκβνιίδεηαη κε d, θαη είλαη ίζε κε. Γειαδή d, Δίλαη πξνθαλέο όηη d, = d,. Όηαλ, τότε d, θαη ην νλνκάδεηαη κήθνο ηνπ δηαζηήκαηνο, Μέζο εςθύγπαμμος ημήμαηορ: Έζησ έλα δηάζηεκα, κε άθξα ηα ζεκεία. Αλ ην κέζν ηνπ ΑΒ ηόηε. θαη Ο αξηζκόο ιέγεηαη θέληξν ηνπ δηαζηήκαηνο,, ελώ ν αξηζκόο ιέγεηαη αθηίλα ηνπ, Έζησ ηώξα όηη ζέινπκε λα βξνύκε ηνπο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ε ζρέζε κε. Τόηε αλαδήηνπκε ηνπο αξηζκνύο ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε απν ην είλαη κηθξόηεξε απν.

3 Σην ζρήκα παξαηεξνύκε όηη νη δεηνύκελνη αξηζκνί είλαη ηα ζεκεία ηνπ δηαζηήκαηνο,, άξα: Γηα θάζε θαη ηζρύεη:, Δηδηθά γηα, έρνπκε Έζησ ηώξα όηη ζέινπκε λα βξνύκε ηνπο αξηζκνύο γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ε ζρέζε: κε. Τόηε αλαδήηνπκε ηνπο αξηζκνύο ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε απν ην είλαη κεγαιύηεξε απν. Σην ζρήκα παξαηεξνύκε όηη νη δεηνύκελνη αξηζκνί είλαη ηα ζεκεία εθηόο ηνπ δηαζηήκαηνο,, άξα: Γηα θάζε θαη ηζρύεη:,, ή Δηδηθά γηα, έρνπκε: ή ΕΦΑΡΜΟΓΕ. Να απαλλάξεηε ηην παπάζηαζη 3 απο ηα απόλςηα. Γηα λα ιύζνπκε κηα ηέηνηα κνξθή άζθεζεο ζα αθνινπζήζνπκε ηα εμήο βήκαηα: νλ. Θα βξίζθνπκε ηηο ξίδεο ησλ παξαζηάζεσλ κέζα ζηα απόιπηα (δειαδή πόηε είλαη ηζα κε ). Γειαδή: 3 3, νλ. Θα θαηαζθεπάδνπκε έλαλ πίλαθα ζηνλ νπνίν ζα ηνπνζεηνύκε ηηο ηηκέο ηνπ, ηηο παξαζηάζεηο κέζα ζηα απόιπηα θαη ηα ίδηα ηα απόιπηα. Σηηο ηηκέο ηνπ ζα ηνπνζεηνύληαη θαη νη ξίδεο πνπ βξεθακε θαη ζα θέξλνπκε θάζεηεο ζηα ζεκεία απηα. 3

4 Πάλσ ζε απηέο ηηο θάζεηεο ζα ηνπνζεηνύκε ην γηα λα δειώζνπκε όηη ηα ζεκεία απηά είλαη ξίδεο ησλ αληίζηνηρσλ παξαζηάζεσλ. 3 νλ. Γεμηά ηεο ξίδαο ζα βάδνπκε ην πξόζεκν ηνπ θαη αξηζηεξά ην αληίζεην πξόζεκν. Έηζη όπνπ έρεη είλαη 3 άξα 3 3, ελώ όπνπ ππάξρεη ην + είλαη 3 άξα 3 3 X Σηε ζπλέρεηα κε ηε βνήζεηα ηνπ πίλαθα ερνπκε: Αλ 3 ηόηε Αλ 3 ηόηε 3 3 Αλ ηόηε Άξα 5 3, 3 5,. Αν 3 και y να αποδείξεηε όηι: 3y 4

5 ορ ηπόπορ: Έρνπκε θαη y y 6 3y y 6 Πξνζζέηνληαο ηηο δύν ζρέζεηο θαηά κέιε έρνπκε: 3y 3y ορ ηπόπορ: Έρνπκε 3 6 θαη y 3 y 6 3y 6 άξα 3y Δίλαη: 3y 3y 3y 3y άξα 3y 3. Να αποδείξεηε όηι: για κάθε Έπεηδή θαη ηα δύν κέιε είλαη ζεηηθνί αξηζκνί κπνξνύκε λα ηα πςώζνπκε ζην ηεηξάγσλν. Άξα: πνπ ηζρύεη. 4. Αν y να αποδείξεηε όηι: y y Αθνύ y ηόηε y θαη y άξα κπνξώ λα πνιιαπιαζηάζσ θαη ηα δύν κέιε κε y ρσξίο λα αιιάμεη ε θνξά ηεο αλίζσζεο. Έρνπκε ινηπόλ: y y y y y y y πνπ ηζρύεη 5

6 ΑΚΗΕΘ. Να σαπακηηπίζεηε κάθε μία απο ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηή η λάθορ: α) 4 4 (Σ) (Λ) β) (Σ) (Λ) γ) 5 5 (Σ) (Λ) δ) (Σ) (Λ) ε) 3 3 (Σ) (Λ) ζη) (Σ) (Λ) δ) 3 (Σ) (Λ) ε) 3 3 (Σ) (Λ) ζ) Αλ ηόηε 3 3 (Σ) (Λ) η) (Σ) (Λ). Να απαλλαγούν απο ηιρ απόλςηερ ηιμέρ οι παπαζηάζειρ: α) 3 β) γ) 3 3 δ) ε) ζη) 3 3. Να απαλλαγούν απο ηιρ απόλςηερ ηιμέρ οι παπαζηάζειρ: α) 3 αλ β) 3 αλ γ) 3 αλ δ) 3 4 αλ 3 4. Αν να αποδείξεηε όηι: α) β) 6

7 5. Να απλοποιηθούν ηα κλάζμαηα: α) 5 5 β) γ) Αν 6 4 να αποδείξεηε όηι: 4 7. Αν και, να αποδείξεηε όηι: 8. Αν,, να αποδείξεηε όηι: 9. Αν, να αποδείξεηε όηι: α) β). Αν, να αποδείξεηε όηι:. Αν 4 και y, να αποδείξεηε όηι: α) y 5 β) 3y 9. Αν και y, να αποδείξεηε όηι: y 4 3. Αν, να αποδείξεηε όηι: 7