2.2 Παραδείγματα κυματικών εξισώσεων

Transcript

1 ΚΕΦ. 2 Εισαγωγή στ φυσικής τς κυματικής κίνσς Παραδείγματα κυματικών εξισώσεων Στο εδάφιο αυτό θα παρουσιάσουμε (με συνοπτικό σχολιασμό) διάφορα παραδείγματα κυματικών εξισώσεων, με σκοπό να δώσουμε μια ιδέα τς ευρύττας και τς ποικιλίας αυτών. Όπως θα δούμε, κατά κανόνα ένα συγκεκριμένο φυσικό κυματικό φαινόμενο μοντελοποιείται μαθματικά με περισσότερες από μία (διαφορετικές μεταξύ τους (1) ) εξισώσεις, οι οποίες αποδίδουν διαφορετικές όψεις του φαινομένου, όπως αυτές εκδλώνονται είτε σε διαφορετικές κλίμακες χώρου ή χρόνου, είτε λόγω διαφορετικών τιμών των παραμέτρων που χαρακτρίζουν το κυματικό φαινόμενο. Κατ' αρχήν θα περιορισθούμε σε εξισώσεις που περιγράφουν χωρικά μονοδιάστατ κυματική διάδοσ, τις οποίες θα παρουσιάσουμε ομαδοποιμένες ως προς το φυσικό φαινόμενο που περιγράφουν Ελαστικά κύματα -Εγκάρσια κύματα σε τεταμέν χορδή (string under tension) Υπό τν προϋπόθεσ ότι κλίσ (έστω θ ) τς χορδής παραμένει αρκετά μικρή (έτσι ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε sinθ θ ), διάδοσ εγκαρσίων κυμάτων σε χορδή διέπεται από τν εξίσωσ. T ( ρ ),xx = ή ( ) f x,t / ρ, (ΕΚ.1α) όπου Τ είναι τάσ (δύναμ οποία διατείνει τ χορδή), ρ είναι γραμμική πυκνόττα τς χορδής, και f ( x,t ) είναι εγκάρσια φόρτισ (δύναμ ανά μονάδα μήκους) τς χορδής. Η εξίσωσ (1α) είναι, προφανώς, ίδια με τν εξίσωσ (4) του εδαφίου 2.2.1, και παράγεται (όπως θα δούμε αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο) με τ βοήθεια των νόμων τς δυναμικής (νόμος Newton ή, ισοδυνάμως, αρχή του Hamilton). Η επι πλέον πλροφορία που περιέχεται στν (δυναμικά παραγόμεν) εξίσωσ (1α), σε σχέσ προς τν (κινματικά παραγόμεν) εξίσωσ (4) του εδαφίου 2.2.1, είναι ακριβής μορφή του συντελεστή τς,xx, εκ τς οποίας προκύπτει ότι ταχύττα διάδοσς του κύματος στ χορδή δίδεται από τ σχέσ c = T/ ρ. Εάν εγκάρσια κίνσ τς χορδής συναντά μια ελαστική αντίδρασ (π.χ., στν περίπτωσ ελαστικής έδρασς), τότε εξίσωσ των εγκαρσίων κυμάτων τς χορδής διαφοροποιείται ως εξής T k ( ),xx ( ) ρ ρ + = ή ( ) f x,t / ρ, (ΕΚ.1β) όπου k είναι ελαστική σταθερά τς εξωτερικής αντίδρασς, και όλες οι άλλες παράμετροι έχουν τν ίδια έννοια, όπως ανωτέρω. Περαιτέρω, εγκάρσια κίνσ τς χορδής μπορεί να συναντά μια αποσβεστική εξωτερική αντίδρασ, ανάλογ προς τν ταχύττά τς. Τότε εξίσωσ (1α) παίρνει τ μορφή (1) Σε μερικές περιπτώσεις, πολύ διαφορετικές μεταξύ τους.

2 ΚΕΦ. 2 Κυματικές εξισώσεις T b ( ) ( ) ρ ρ + = ή ( ),xx,t f x,t / ρ, (ΕΚ.1γ) όπου b είναι ο συντελεστής απόσβεσς τς εξωτερικής αντίδρασς. Βεβαίως, ελαστική και αποσβεστική εξωτερική αντίδρασ μπορεί να συνυπάρχουν. Τότε κυματική εξίσωσ διαμορφώνεται ως εξής: T b k ( ) ( ) ( ) ρ ρ ρ + + = ή ( ),xx,t -Διαμήκ κύματα σε λεπτή ελαστική ράβδο f x,t / ρ (ΕΚ.1δ) Η βασική εξίσωσ που διέπει τ διάδοσ διαμήκων κυμάτων μικρού εύρους σε λεπτή (πρακτικά μονοδιάστατ) ελαστική ράβδο είναι ( ρ ),xx = ή ( ) f x,t / ρ, (ΕΚ.2α) όπου Ε και ρ είναι το μέτρο ελαστικόττας και πυκνόττα του υλικού τς ράβδουκαι f ( x,t ) είναι διαμήκως κατανεμμέν φόρτισ. Η εξίσωσ (2α) είναι ακριβώς του ιδίου τύπου με τν (1α), αλλά με διαφορετικό συντελεστή τς,xx. Η μορφή αυτού του συντελεστή, οποία συνάγεται από τ δυναμική μελέτ του φαινομένου, οδγεί στο συμπέρασμα ότι τα διαμήκ κύματα σε λεπτή ράβδο διαδίδονται με ταχύττα c = / ρ. Εάν το μέτρο ελαστικόττας του υλικού μεταβάλλεται ως προς x, δλαδή εξίσωσ (2α) παίρνει τ μορφή ( ) = x, τότε 1 ( ( x) ) = ή ( ) ρ ή, ισοδυνάμως,,x,x x ( ) ( x) ( ρ ) ρ ( ) = ή ( ),xx,x f x,t / ρ (ΕΚ.2β) f x,t / ρ. (ΕΚ.2β') Μια ακόμ πιο σμαντική περίπτωσ έχουμε όταν μεταβάλλεται το εμβαδόν A τς διατομής τς ράβδου, δλαδή όταν A= A( x). Στν περίπτωσ αυτή κυματική εξίσωσ διαμορφώντεται ως εξής ή, ισοδυνάμως, ( ( )) A( x) ρ Ax ( ) = ή ( ),x,x A ( x) ( ) ρ ρ Ax ( ) f x,t / ρ, (ΕΚ.2γ) = ή f ( x,t ) / ρ. (ΕΚ.2γ'),xx,x Όλες οι ανωτέρω εξισώσεις προκύπτουν υπό τν προϋπόθεσ (μεταξύ πολλών άλλων προϋποθέσεων) ότι οι εγκάρσιες διατομές τς ράβδου παραμένουν αναλλοίωτες. Όμως, οι

3 ΚΕΦ. 2 Εισαγωγή στ φυσικής τς κυματικής κίνσς μεταβολές τς πυκνόττας ως προς x είναι εύλογο σε ένα ελαστικό στερεό να οδγούν και και σε μεταβολές τς εγκάρσιας διατομής του (διατήρσ μάζας). Αν λφθεί υπ' όψιν αυτό το φαινόμενο, τότε προκύπτει εξίσωσ ( ) ( vi ) 2 ρ = ή ( ),xx r,xxtt f x,t / ρ. (ΕΚ.2δ) όπου v είναι ο λόγος Poisson του υλικού, και ir πολική ακτίνα αδράνειας αυτού. Η εξίσωσ (2δ), οποία παράγεται με τ βοήθεια τς αρχής του Hamilton, αναφέρεται ως εξίσωσ Love. Στν εξίσωσ (2δ) βλέπουμε ότι εμφανίζεται και τέταρτ μικτή παράγωγος (ως προς x και t ) τς κυματικής διαταραχής. -Εγκάρσια κύματα σε δοκό (ή ράβδο, beam or rod) Η εγκάρσια ταλάντωσ ελαστικής ράβδου είναι πιο πολύπλοκο φαινόμενο από τ διαμήκ ταλάντωσ αυτής, διότι συνδέεται με καμπτικές παραμορφώσεις και τάσεις. Η απλή θεωρία του Bernoulli για τν κάμψ οδγεί στν ακόλουθ εξίσωσ για τα εγκάρσια κύματα σε δοκό I ( ),xxxx ρ A + = ή ή ( ) f x,t / ρ A. (ΕΚ.3α) όπου και ρ είναι το μέτρο ελαστικόττας και πυκνόττα του υλικού τς ράβδου, I και A είναι ροπή αδράνειας (ως προς τον ουδέτερο άξονα) και το εμβαδόν τς διατομής τς ράβδου, και f ( x,t ) είναι εγκάρσια φόρτισ τς ράβδου. Η συνάρτσ = ( x,t) εκφράζει τν εγκάρσια μετατόπισ τς διατομής τς δοκού. Αξίζει να σμειωθεί εδώ ότι στν εξίσωσ (3α) εμφανίζεται τέταρτ παράγωγος ως προς x τς διαταραχής. Εάν τα χαρακτριστικά και ρ του υλικού, και I και A τς διατομής τς ράβδου, μεταβάλλονται ως προς x, τότε εξίσωσ (3α) γενικεύεται ως εξής: + ( ( x) I( x) ) = ή ( ) 1 ρ ( xax ) ( ),xx,xx f x,t / ρ A, (ΕΚ.3β) οποία, αν αναπτύξουμε τν ως προς x παραγώγισ, παίρνει τ μορφή ( I ) 2( I ) I,xx,xxx,xxxx ρ + + = ή f ( x,t ) / ρ A. (ΕΚ.3β') Εάν δοκός είναι προεντεταμέν, δλαδή αν θλίβεται ή εφελκύεται από μια δύναμ T, οποία συνεχίζει να υπάρχει όταν διαδίδεται το εγκάρσιο κύμα, τότε εξίσωσ (3α) διαμορφώνεται ως εξής T I ρ A ρ A + =,xx,xxxx ή f ( x,t ) / ρ A. (ΕΚ.3γ) Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσς περίπτωσ δοκού οποία εδράζεται σε βισκοελαστικό υλικό. Στν περίπτωσ αυτή εξίσωσ (3γ) εμπλουτίζεται με δύο ακόμ όρους:

4 ΚΕΦ. 2 Κυματικές εξισώσεις k b T I,t,xx,xxxx + + = ή f ( x,t ) / ρ A. (ΕΚ.3δ) Θα κλείσουμε (χωρίς βέβαια να εξαντλήσουμε) τον κατάλογο των παραδειγμάτων κυματικών εξισώσεων που περιγράφουν τ διάδοσ εγκαρσίων κυμάτων σε δοκό, παρουσιάζοντας τν εξίσωσ Timosenko, οποία λαμβάνει υπ' όψιν τν επίδρασ των διατμτικών τάσεων και τς στροφικής αδράνειας των στοιχείων τς δοκού (τα οποία αγνοούνται στα πλαίσια τς θεωρίας Bernoulli). Η εξίσωσ Timosenko έχει τν ακόλουθ μορφή: I ( ) ρi tt 1 I,xxtt,xxxx GAκ A Gκ = ή f ( x,t ) / ρ A, (ΕΚ.3ε) όπου οι παράμετροι, ρ, I, A έχουν τν ίδια έννοια ως ανωτέρω, G είναι το μέτρο διάτμσς του υλικού και κ είναι συντελεστής ο οποίος περιγράφει τν επίδρασ των διατμτικών τάσεων και εξαρτάται από τ μορφή τς διατομής τς δοκού. Τα εγκάρσια κύματα σε δοκό αποτελούν ένα ενδιαφέρον παράδειγμα κυματικού φαινομένου, το οποίο, όπως είδαμε, μας δίδει μια πλούσια ποικιλία κυματικών εξισώσεων, παραγομένων βάσει τς δυναμικής του φαινομένου, σε συνδυασμό με διάφορες παραδοχές κινματικής γεωμετρικής και καταστατικής (2) φύσεως Ακουστικά κύματα Υδάτινα κύματα Τα υδάτινα κύματα (water waves) είναι ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον και περίπλοκο κυματικό φαινόμενο, το οποίο, εδώ και έναν και πλέον αιώνα, αποτελεί πγή μεγάλου αριθμού (και μεγάλς ποικιλίας) κυματικών εξισώσεων (model wave equations), οι οποίες περιγράφουν κατά προσέγγισ διάφορες επί μέρους όψεις του φαινομένου. Η παραγωγή των διαφόρων model equations (γραμμικών και μ-γραμμικών) από τις γενικές εξισώσεις τς Μχανικής των Ρευστών είναι συχνά μακροσκελής και περίπλοκ. Μια πλήρως παρουσίασ του θέματος, ακόμ και χωρίς ιδιαίτερ έμφασ στις μεθόδους λύσεως των εξισώσεων, θα απαιτούσε μια... πολύτομ μονογραφία(!). -Γραμμική εξίσωσ ρχού νερού ( gh) gh ( x), (ΥΚ.1α) = tt xx x όπου = ( x,t) είναι ανύψωσ τς επιφάνειας του νερού και ( ) h( x ) = h ( x) = h x είναι το τοπικό βάθος. Όταν σταθ., τότε, και εξίσωσ (1α), παίρνει τ μορφή τς εξίσωσς D' Alembert, δλαδή τς (κινματικά παραγόμενς) εξίσωσς (4) του εδαφίου Η τελευταία εξίσωσ, όπως γνωρίζουμε δεν παρουσιάζει διασπορά, δλαδή μια κυματομορφή (2) Καταστατικές υποθέσεις ή παραδοχές είναι αυτές που αφορούν το υλικό.

5 ΚΕΦ. 2 Εισαγωγή στ φυσικής τς κυματικής κίνσς διαδίδεται αναλλοίωτ με ταχύττα gh. Όμως, τα υδάτινα κύματα γενικώς εμφανίζουν διασπορά. Η παρακάτω εξίσωσ έχει αυτή τν ιδιόττα -Γραμμική εξίσωσ ρχού νερού με όρο διασποράς 1 2 gh,xx h,xxtt =. 3 Η εξίσωσ αυτή ισχύει για σταθερό βάθος νερού (h = σταθ.), και όταν το μήκος κύματος είναι πολύ μεγάλο ως προς το βάθος, ενώ, ταυτόχρονα, το πλάτος κύματος πολύ μικρό ως προς το βάθος του νερού. (Πολύ ειδική περίπτωσ, πράγματι!). Πιο "πλούσια" είναι, όμως, ακόλουθ εξίσωσ -(Μ-γραμμική) εξίσωσ Boussinesq gh,xx h,xxtt g ( ) =, 3 2,xx στν οποία περιλαμβάνεται (σε κάποιο βαθμό) τόσο το φαινόμενο τς διασποράς όσο και το φαινόμενο τς μ-γραμμικόττας. Όμως, προσοχή! Και εξίσωσ αυτή ισχύει μόνο για πολύ ρχό νερό, όταν δλαδή το μήκος κύματος είναι πολύ μεγάλο ως προς το βάθος του νερού. Οι ανωτέρω τρεις εξισώσεις παραμένουν αναλλοίωτες ως προς τον μετασχματισμό x x, και άρα στις λύσεις τους περιλαμβάνονται κύματα διαδιδόμενα και προς τις δύο κατευθύνσεις (αυξανόμενα x, και μειούμενα x ). Αν εισάγουμε a priori τν υπόθεσ ότι κυματική διαταραχή διαδίδεται προς μια κατεύθυνσ (αυξανόμενα x ), μπορούμε να καταλήξουμε στν ακόλουθ one-way equation, χαμλότερς τάξς. -Η εξίσωσ Korteweg-de Vries (KdV) 3 g 1 2,t + gh,x +,x + h gh,xxx =, 2 h 6 εκ τς οποίας, παραλείποντας το μ-γραμμικό όρο, βρίσκουμε τ γραμμική εξίσωσ 1 2,t + gh,x + h gh,xxx =. 6 Παραλλαγές των ανωτέρω εξισώσεων, με καλύτερ απόδοσ τς διασποράς, αποτελούν οι ακόλουθες δύο εξισώσεις -Η εξίσωσ Benjamin, Bona and Mahony (BBM) 3 g 1 2,t + gh,x +,x h,txx =, 2 h 6 και -Η συνδυασμέν εξίσωσ KdV-BBM

6 ΚΕΦ. 2 Κυματικές εξισώσεις g ,t + gh,x +,x + b h,txx bh gh,xxx =, 2 h οποία για b = 1/ 3 δίδει τν KdV, και για b = δίδει τν BBM. Βέλτιστ τιμή τς "ελεύθερς" σταθερής b, ώστε να αποδίδεται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (πάντως, όχι πλήρως) διασπορά, είναι τιμή 3/ Ηλεκτρομαγντικά κύματα