ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΥΘΜΕΝΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Transcript

1 ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΥΘΜΕΝΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Α. Σ. µακόπουλος, Υποψήφιος ιδάκτορας Α. Α. ήµας, Επίκουρος Καθγτής Εργαστήριο Υδραυλικής Μχανικής, Τµήµα Πολιτικών Μχανικών Πανεπιστήµιο Πατρών, 65 Πάτρα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στν παρούσα εργασία παρουσιάζεται ένα µοντέλο τάσεων υποκλίµακας πλέγµατος (subgrid scale ή SGS) τς µεθόδου προσοµοίωσς µεγάλων κυµάτων (Large Wave Simulation ή LWS). Σύµφωνα µε τ µέθοδο LWS, το πεδίο ταχυτήτων και ελεύθερ επιφάνεια διαχωρίζονται σε µεγάλες χωρικές διακυµάνσεις (µεγάλες κλίµακες ροής), οι οποίες επιλύονται αριθµτικά, και σε µ επιλυόµενες µικρές χωρικές διακυµάνσεις (µ επιλυόµενες κλίµακες ροής). Η επίδρασ των µ επιλυόµενων κλιµάκων στις µεγάλες εκτιµάται µέσω ενός µοντέλου SGS τάσεων. Η µέθοδος LWS εφαρµόζεται στν διάδοσ δισδιάστατων µ γραµµικών κυµάτων πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσς. Η ροή θεωρείται µ συνεκτική και κίνσ του ρευστού περιγράφεται από τις εξισώσεις Euler, που υπόκεινται στις πλήρως µ γραµµικές συνθήκες ελεύθερς επιφάνειας. Οι SGS τάσεις δινών προσοµοιώνονται σύµφωνα µε τ µέθοδο των µεγάλων δινών (Large Eddy Simulation ή LES), ενώ επίδρασ των µ επιλυόµενων κλιµάκων τς ελεύθερς επιφάνειας υπολογίζεται µε τ χρήσ ενός µοντέλου SGS τάσεων κύµατος. Η αριθµτική επίλυσ των εξισώσεων επιτυγχάνεται µε τ χρήσ ενός κλασµατικού σχήµατος χρονικής ολοκλήρωσς, µε δύο στάδια σε κάθε χρονοβήµα. Ένα υβριδικό σχήµα κεντρικών διαφορών και ψευδό-φασµατικής µεθόδου χρσιµοποιείται για τ χωρική διακριτοποίσ. Η συνθήκ εισόδου είναι κυµατισµοί Stokes ς τάξς, ενώ στν περιοχή εξόδου τοποθετείται µια ζών αριθµτικής απόσβεσς, για τν ελαχιστοποίσ τς ανάκλασς από το όριο εξόδου. Η προσοµοίωσ πραγµατοποιείται για τν περίπτωσ διάδοσς και θραύσς κυµατισµών πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσς /35 και βαθµονόµσ του µοντέλου γίνεται κατόπιν σύγκρισς των αριθµτικών αποτελεσµάτων µε διαθέσιµες πειραµατικές µετρήσεις. Το µοντέλο προβλέπει τ δµιουργία στροβιλόττας κάτω από το θραυόµενο µέτωπο του κύµατος και τ διασπορά τς στον οµόρου του. 5

2 WAVE BREAKING OVER A CONSTANT SLOPE BEACH: LARGE WAVE SIMULATION Α.S. Dimakopoulos, Ph.D. Candidate A.A. Dimas, Assistant Professor Laboratory of Hydraulic Engineering, Department of Civil Engineering University of Patras, 65 Patras, Greece ABSTRACT A subgrid scale (SGS) stress model is presented for the large-wave simulation (LWS) of spilling breaking waves over constant slope beach. According to LWS formulation, velocity field and free surface elevation are decomposed into large scales, which are resolved, and subgrid scales, which are not resolved but their effect is accounted for by an SGS stress model. Fluid motion is described by the Euler equations for inviscid but rotational flow, subject to the fully non-linear free-surface boundary conditions. Eddy SGS stresses are modeled similarly to LES, while the effect of free-surface subgrid scales is modeled by wave SGS stresses. The resulting equations are solved numerically by a two-stage fractional time-step scheme. A hybrid scheme is used for the spatial discretization, consisting of central differences and a pseudo-spectral method. At the inflow boundary, a nd order Stokes wave is imposed, while an absorption zone is placed in the outflow region to minimize reflection by the outgoing waves. The simulation is carried out for the propagation and breaking of waves over a flat bed with constant slope /35 and the calibration of the wave SGS stress model is achieved by comparison of numerical results to available experimental data. The model predicts vorticity generation under the breaking face of the wave and vorticity dirspersion in the breaker wake. 6

3 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διάδοσ θαλασσίων κυµάτων στν παράκτια ζών χαρακτρίζεται από το µετασχµατισµό και τ θραύσ των κυµατισµών και τν ανάπτυξ τυρβώδους ροής. Τα µοντέλα που βασίζονται στις εξισώσεις συνέχειας και ορµής του ρευστού είναι επαρκή για τν περιγραφή των παραπάνω φαινοµένων, σε συνδυασµό µε µια µεθοδολογία προσοµοίωσς τς τύρβς. Με δεδοµένο ότι απευθείας αριθµτική προσοµοίωσ τς τύρβς απαιτεί υπερβολικούς υπολογιστικούς πόρους, οι µέθοδοι που χρσιµοποιούνται συνήθως είναι επίλυσ των εξισώσεων RANS (Reynold Averaged Navier-Stokes) και προσοµοίωσ µεγάλων δινών (LES). Οι εξισώσεις RANS (Lin and Liu, 998) απαιτούν λιγότερους υπολογιστικούς πόρους και είναι ακριβείς για τν περίπτωσ θραύσς εκτίναξς, ενώ υπερεκτιµούν τν απόσβεσ του κύµατος στ ζών θραύσς. Στν περίπτωσ τς θραύσς εκχείλισς, µέθοδος LES (Christensen,, Christensen, 6) αντιµετωπίζει πιο ολοκλρωµένα τ φυσική των τυρβωδών διεργασιών και είναι ακριβέστερ από τις εξισώσεις RANS, αλλά έχει µεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος. Στν παρούσα εργασία παρουσιάζεται µέθοδος LWS, οποία αρχικά αναπτύχθκε από τους Dimas and Fialkowski (). Σύµφωνα µε τ µέθοδο LWS, κίνσ τς ελεύθερς επιφάνειας διαχωρίζεται σε δύο κλίµακες: (α) τους κυµατισµούς µεγάλς κλίµακας, οι οποίοι υπολογίζονται αριθµτικά και (β) τους κυµατισµούς µικρής κλίµακας, οι οποίοι λαµβάνονται υπόψ µε τ χρήσ ενός µοντέλου τάσεων υποκλίµακας πλέγµατος (SGS τάσεων). Το µοντέλο εφαρµόζεται για τν προσοµοίωσ τς διάδοσς και τς θραύσς κυµατισµών σε επίπεδο πυθµένα σταθερής κλίσς /35 στν παράκτια ζών. Στις επόµενες ενόττες παρουσιάζονται οι εξισώσεις ροής, µεθοδολογία τς προσοµοίωσς µεγάλων κυµάτων, το µοντέλο των SGS τάσεων, αριθµτική µέθοδος επίλυσς καθώς και αποτελέσµατα τς προσοµοίωσς διάδοσς και θραύσς κυµάτων πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσς. ΜΕΘΟ ΟΣ LWS ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗ ΡΟΗ Οι εξισώσεις, που περιγράφουν τ δισδιάστατ, ασυµπίεστ και µ-συνεκτική ροή µε ελεύθερ επιφάνεια, είναι οι εξισώσεις Euler u x u + =, x () u u u p u u u p + u + u = και + u + u =, t x x x t x x x () όπου t ο χρόνος, x και x οριζόντια και κατακόρυφ συντεταγµέν, αντίστοιχα ( µεταβλτή x είναι θετική στν κατεύθυνσ αντίθετ τς βαρύττας και x = είναι θέσ τς ελεύθερς επιφάνειας σε ρεµία ρευστού), u και u οριζόντια και 7

4 κατακόρυφ συνιστώσα τς ταχύττας, αντίστοιχα, και p δυναµική πίεσ. Οι εξισώσεις διατυπώνονται σε αδιάστατ µορφή µε παραµέτρους αδιαστατοποίσς το βάθος εισόδου d o, τν επιτάχυνσ τς βαρύττας g και τν πυκνόττα του ρευστού ρ. Οι εξισώσεις Euler υπόκεινται στις µ γραµµικές οριακές συνθήκες για τν ελεύθερ ( ) επιφάνεια. x ( x t ) =. Η δυναµική και κινµατική οριακή συνθήκ αντίστοιχα, είναι:, p = = (3) Fr dt και d u όπου ανύψωσ τς ελεύθερς επιφάνειας και Fr = U / gd o = ο αριθµός Froude, ο οποίος ισούται µε ένα στν παρούσα διατύπωσ. Η συνθήκ αδιαπέρατου ορίου στον ( ) πυθµένα x d( x ) = είναι: d u = u + u = n x (4) όπου d = d( x ) είναι το βάθος του πυθµένα από τν αδιατάρακτ στάθµ τς ελεύθερς επιφάνειας. Η χρήσ τς µεθόδου LWS απαιτεί τν εµφάνισ τς ανύψωσς τς ελεύθερς επιφάνειας στις εξισώσεις ροής. Για το σκοπό αυτό, θεωρείται ο µετασχµατισµός: x + d s = x και s = d + (5) Σύµφωνα µε τον µετασχµατισµό (5), το όριο τς ελεύθερς επιφάνειας βρίσκεται στο s =, ενώ αυτό του πυθµένα βρίσκεται στο s =. Εποµένως, το υπολογιστικό πεδίο ροής έχει σταθερά όρια στον χώρο και στον χρόνο, διευκολύνοντας τν εφαρµογή του σχήµατος αριθµτικής επίλυσς. Οι µεταβλτές ροής (ταχύττα, δυναµική πίεσ, ανύψωσ ελεύθερς επιφάνειας) διαχωρίζονται σε επιλυόµενες και µ επιλυόµενες κλίµακες µε τν χρήσ ενός χωρικού φίλτρου G το οποίο εξαρτάται από το βήµα διακριτοποίσς: r r r r r f xt f xt G x dχ (, ) = (, ) ( ; χ; ) V όπου f µεταβλτή ροής, x r, r χ διανύσµατα συντεταγµένων και µικρότερ επιλυόµεν κλίµακα ροής, οποία θεωρείται ίσ µε το χαρακτριστικό βήµα χωρικής (6) 8

5 διακριτοποίσς, =, όπου, το οριζόντιο και κατακόρυφο βήµα διακριτοποίσς αντίστοιχα. Από τν εφαρµογή του φίλτρου προκύπτει f = f + f (7) όπου f και f επιλυόµεν και µ επιλυόµεν κλίµακα τς µεταβλτής, αντίστοιχα. Ειδικότερα στν περίπτωσ τς ελεύθερς επιφάνειας, ο διαχωρισµός (7) έχει τν ακόλουθ µορφή: = + (8) όπου συνιστώσα περιλαµβάνει τις µεγάλες κλίµακες τς κίνσς τς ελεύθερς επιφάνειας, οι οποίες κατά κανόνα εξαρτώνται από τν γεωµετρία του πεδίου ροής, ενώ συνιστώσα περιλαµβάνει τις τυρβώδεις διακυµάνσεις τις ελεύθερς επιφάνειας,. Μια γραφική αναπαράστασ τς εξίσωσς (8) παρουσιάζεται στο Σχ.. Λαµβάνοντας υπόψ το µετασχµατισµό (5) και τ διαδικασία διαχωρισµού (7) µέσω του φίλτρου (6), οι εξισώσεις ροής µετασχµατίζονται ως εξής: v u + s p Π = v ω + + r + T + T t d t s s s ( v r v ) v u + s + Π = vω T + + T tt t d t s s d s (9) () T v v + s + s d όπου ω =, Π= p+ ( v + v ), r =, s d + s s s ( rv) ( rv) ( rv) tt = + v + v και v, v είναι µετασχµατισµένες t s d + s ταχύττες ροής, οι οποίες προκύπτουν από τις επιλυόµενες ταχύττες ροής. v = u v = u r u () Οι όροι T και T περιέχουν τις SGS τάσεις, οι οποίες προκύπτουν από τν εφαρµογή του χωρικού φίλτρου (6), τ τ τ T = + s d + s d + s () 9

6 τ τ τ T = + s d + s d + s (3) όπου τ ij = uu i j uu i j είναι οι SGS τάσεις δινών. Οι SGS τάσεις κυµάτων τ ij προέρχονται από τ συσχέτισ µεταξύ των διακυµάνσεων υποκλίµακας ταχυτήτων και ελεύθερς επιφάνειας και έχουν τν παρακάτω µορφή. ( ) r r τi = uur i uur i + ui ui + δi pr pr t t (4) Αντίστοιχα, µετασχµατίζονται και οι οριακές συνθήκες του πεδίου ροής. 3. ΜΟΝΤΕΛΟ SGS ΤΑΣΕΩΝ Παρατρήσεις από πειραµατικές µετρήσεις (Duncan and Dimas, 996) αποδεικνύουν ότι το φάσµα τς ενέργειας των κυµατισµών υποκλίµακας ελαττώνεται λογαριθµικά. Εποµένως, προσοµοίωσ των SGS τάσεων κυµάτων τ ij επιτυγχάνεται µε ένα µοντέλο τάσεων υποκλίµακας, ανάλογο µε αυτό που χρσιµοποιείται στν LES για τις SGS τάσεις δινών, όπως διατυπώνονται ακολούθως: τ = ν S = C S S (5) ij T ij ij τ = ν S = C S S ij ij ij r s όπου C και C παράµετροι του µοντέλου, = είναι το χαρακτριστικό µέγεθος του πλέγµατος,, είναι το οριζόντιο και το κατακόρυφο βήµα διακριτοποίσς αντίστοιχα και r ( + s) ( s) d = + s s s. Τα µέτρα S και S αντιστοιχούν στους τανυστές (6) S ij u u i j = + s j s i (7) δ j u u i Sij = + si s (8) 3

7 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η αριθµτική µέθοδος επίλυσς των εξισώσεων ροής για τις επιλυόµενες κλίµακες επιτυγχάνεται µε τ χρήσ κλασµατικής µεθόδου µε σταθερό βήµα για τ χρονική διακριτοποίσ και ενός υβριδικού σχήµατος για τ χωρική διακριτοποίσ. Το υβριδικό σχήµα αποτελείται από τ µέθοδο κεντρικών πεπερασµένων διαφορών σταθερό βήµα s στν οριζόντια διεύθυνσ, ενώ στν κατακόρυφ διεύθυνσ χρσιµοποιείται φασµατική µέθοδος παρεµβολής µε πολυώνυµα Chebyshev, µε N αριθµό πολυωνύµων παρεµβολής. Στο πρώτο στάδιο του χρονοβήµατος χρσιµοποιείται ρτό σχήµα, στο οποίο υπεισέρχονται οι µ-γραµµικοί όροι και οι όροι των τάσεων υποκλίµακας των εξισώσεων (9) και (), ενώ στο δεύτερο στάδιο χρσιµοποιείται ένα άρρτο σχήµα Euler, στο οποίο υπεισέρχονται αντιστοίχως οι όροι πίεσς των εξισώσεων ροής. Από το συνδυασµό των εξισώσεων για τα δύο στάδια και µε τν προϋπόθεσ ικανοποίσς τς εξίσωσς συνέχειας, προκύπτει γενικευµέν εξίσωσ Poisson για το ύψος πίεσς. Η γενικευµέν εξίσωσ Poisson επιλύεται αριθµτικά σε κάθε χρονοβήµα, σε συνδυασµό µε τ δυναµική οριακή συνθήκ τς ελεύθερς επιφάνειας και τ συνθήκ µ-διαπερατού πυθµένα. Η συνθήκ εισόδου καθορίζει το πεδίο ταχυτήτων, τ δυναµική πίεσ και τν ανύψωσ τς ελεύθερς επιφάνειας σε κάθε χρονοβήµα, σύµφωνα µε τ θεωρία κυµάτων Stokes ς τάξς. Ως παράµετροι εισόδου λαµβάνονται περίοδος και το ύψος κύµατος. Στν περιοχή εξόδου προστίθεται µια ζών απορρόφσς σταθερού βάθους, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται ανάκλασ των εξερχόµενων κυµατισµών (Grilli and Horillo, 997). 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Παρουσιάζονται αποτελέσµατα διάδοσς κυµάτων για δύο περιπτώσεις: () διάδοσ µ θραυοµένων κυµάτων πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσς /5, () διάδοσ και θραύσ κυµάτων πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσς /35. Η γεωµετρία του υπολογιστικού πεδίου φαίνεται στο Σχ.. Τα δεδοµένα των περιπτώσεων προσοµοίωσς, που παρουσιάζονται, αναφέρονται στον Πίνακα. Το µήκος τς ζώνς εισόδου ισούται µε δύο µήκ κύµατος και το µήκος τς ζώνς απόσβεσς ισούται µε τέσσερα µήκ κύµατος εξόδου. Πίνακας. Υπολογιστικοί παράµετροι. Table. Computational parameters. α/α Κλίσ Πυθµένα ( tan β ) Περίοδος Κύµατος (T ) Ύψος Κύµατος ( H ) o x t N Παρά- µετρος LES C Παρά- µετρος LWS C Βάθος εξόδου d :5 5,55,,, 3 - -, :35 9,97,3,,5 3, C ( s ),5 e 3

8 Κατά τν πρώτ περίπτωσ, το βάθος εξόδου είναι µεγαλύτερο του βάθους θραύσς, εποµένως, το κύµα δεν θραύεται και το µοντέλο LWS δεν ενεργοποιείται. Η χρονική µεταβολή τς ελεύθερς επιφάνειας σε διάφορα βάθ παρουσιάζεται στο Σχήµα 3. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζονται και τα αποτελέσµατα των Grilli and Horillo (997), στο ίδιο πεδίο ροής. Η συµφωνία των δύο µοντέλων είναι άριστ. Στο Σχήµα 4 παρουσιάζονται οι περιβάλλουσες τς ελεύθερς επιφάνειας στ δεύτερ περίπτωσ, για τρεις συναρτήσεις τς παραµέτρου C : (α) C =, (β) C = / d και (γ) C = / d. Οι περιβάλλουσες συγκρίνονται µε τα πειραµατικά δεδοµένα των Ting and Kirby (994). Σε όλες τις περιπτώσεις, το βάθος θραύσς προβλέπεται σωστά, ενώ το ύψος κύµατος θραύσς υποεκτιµάται. Οι περιπτώσεις (β) και (γ) προβλέπουν ικανοποιτικά τν απόσβεσ τς ελεύθερς επιφάνειας στ ζών θραύσς. Στο Σχήµα 5 παρουσιάζεται στροβιλόττα που παράγεται κατά τ θραύσ (περίπτωσ β) σε δύο χρονικές στιγµές. Παρατρείται ότι στροβιλόττα αναπτύσσεται στν περιοχή του µετώπου του θραυόµενου κύµατος. Στ ζών θραύσς, στροβιλόττα αυξάνει και διαχέεται στον οµόρου του κύµατος. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στν παρούσα εργασία, εφαρµόζεται προσοµοίωσ µεγάλων κυµάτων (LWS) στ διάδοσ και θραύσ κυµάτων πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσς. Η µέθοδος προβλέπει ικανοποιτικά το βάθος θραύσς και τν απόσβεσ του κύµατος ενώ υποεκτιµά το ύψος θραύσς του κύµατος. Το µοντέλο δύναται να περιγράψει τν παραγωγή και τ διασπορά στροβιλόττας στ ζών θραύσς. 7. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία αποτελεί τµήµα του ερευντικού έργου 3Ε 67 του Προγράµµατος Ενίσχυσς Ερευντικού υναµικού (ΠΕΝΕ 3). Το έργο συγχρµατοδοτείται κατά: 75% τς µόσιας απάνς από τν Ευρωπαϊκή Ένωσ Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο, 5% τς µόσιας απάνς από το Ελλνικό µόσιο Υπουργείο Ανάπτυξς Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας, και από τον Ιδιωτικό Τοµέα Οργανισµός Λιµένος Πατρών Α.Ε., στο πλαίσιο του Μέτρου 8.3 του Ε.Π. Ανταγωνιστικόττα Γ Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξς. Σχήµα. Σχµατική αναπαράστασ του διαχωρισµού τς ελεύθερς επιφάνειας κατά τ µέθοδο LWS (Dimas and Fialkowski, ). Figure. A graphical representation of LWS decomposition (Dimas and Fialkowski, ). 3

9 Σχήµα. Πεδίο ροής κατά τν αριθµτική προσοµοίωσ. Figure. Flow field configuration. (α) t t (β) t 4. 8 t (γ) (δ) t Σχήµα 3. Μεταβολή τς ανύψωσς τς ελεύθερς επιφάνειας µε το χρόνο t για τν περίπτωσ σε βάθ: (α) d =,45, (β) d =,3, (γ) d =,, (δ) d =,5. Οι συνεχείς γραµµές αντιστοιχούν στο παρόν µοντέλο, και οι κουκκίδες σε δεδοµένα των Grilli and Horrillo (997). Figure 3. Free-surface elevation with respect to time t (Case ) at depth (α) d =,45, (β) d =,3, (γ) d =,, (δ) d =,5. Continuous lines correspond to present model and symbols to numerical data to Grilli and Horrillo (997). 33

10 x Σχήµα 4. Περιβάλλουσες τς ελεύθερς επιφάνειας για τις περιπτώσεις α ( ), β ( ) και γ ( ). Σύγκρισ µε µετρήσεις ( ) των Ting and Kirby (994). Figure 4. Free surface envelopes for cases α ( ), β ( ) and γ ( ). Comparison with measurements ( ) by Ting and Kirby (994).. x x Σχήµα 5. Ισοϋψείς στροβιλόττας σε χρόνο t και t +,3T. Οι συνεχείς γραµµές αντιπροσωπεύουν αρντική (δεξιόστροφ) στροβιλόττα. Figure 5. Two snapshots of vorticity contours for time t and t +,3T. Solid lines represent negative (clockwise) vorticity. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Christensen E.D. (6). Large eddy simulation of spilling and plunging breakers., Coast. Eng., 53(5-6), Christensen E.D. and R. Deigaard. (). Large eddy simulation of breaking waves, Coast. Eng., 4(), Dimas A.A. and L.T. Fialkowski. (). Large Wave Simulation (LWS) of Free-Surface Flows Developing Weak Spilling Breaking Waves, J. Comp. Phys., Duncan J.H and A.A Dimas. (996). Surface ripples due to steady breaking waves, J. Fluid Mech., 39, Grilli S.T. and J. Horrillo. (997). Numerical generation and absorption of fully nonlinear periodic waves, J. Eng. Mech., 3(), Lin P. and P.L.-F. Liu. (998). A numerical study of breaking waves in the surf zone, J. Fluid Mech., 359, Ting F.C.K. and J.T. Kirby (994). Observation of undertow and turbulence in a laboratory surf zone, Coast. Eng., 4(-),