των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12

Transcript

1 Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα ) Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο σε θέση όπου η ράβδος ΟΑ σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο, όποτε οι ράβδοι τίθενται σε κίνη ση σε κατακόρυφο επίπεδο Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβ δου ΟΑ την στιγµή που αυτή γίνεται κατακόρυφη Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας, η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 κάθε ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σ αυτήν και ότι δεν υπάρχουν τριβές στις αρθρώσεις Ο και Α ΛΥΣΗ: Όταν το σύστηµα αφεθεί ελευθερο η µεν ράβδος ΟΑ θα εκτελεί περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο, η δε ράβδος ΑΒ θα εκτελεί επίπεδη κίνηση στο κατακόρυφο επίπεδο που κινείται και η ΟΑ Η επίπεδη αυτή κίνηση ισοδυναµεί µε γνήσια περιστροφή της ΑΒ περι το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της ράβδου, το οποίο προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθειών στα διανύσµατα των ταχυτήτων των άκρων της Α και Β Είναι προφανές ότι την στιγµή που η ΟΑ γίνεται κατακόρυφη οι τα χύτητες v, v των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες σχ ) που σηµαί Σχήµα Σχήµα νει ότι το αντίστοιχο στιγµιαίο κέντρο τείνει στο άπειρο, δηλαδή την στιγµή αυτή η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ΑΒ τείνει στο µηδέν Επειδή κατά την κίνηση του συστήµατος δεν υπάρχουν τριβές η µηχανική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται, δηλαδή µπορουµε να γράψουµε την σχέση: U OA) + U AB) + K OA) + U AB) = ) Όµως για τις µεταβολές των βαρυτικών δυναµικών ενεργειών και των κινητι κών ενεργειών των δύο ράβδων έχουµε τις σχέσεις: U OA) = -mg L - L " ) + = -mg L * - " ) )

2 U AB) = -mg h - h " ) = -mg L µ - L µ " * = -mg L ) µ - µ " ) 3) K OA) = I O" - = ml " 6 4) K AB) = mv " - = mv = m L όπου η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ΟΑ την στιγµή που γίνε ται κατακόρυφη και θ, θ οι γωνίες κλίσεως της ράβδου ΑΒ ως προς το οριζόν τιο δάπεδο στην αρχική και τελική της θέση αντιστοίχως Συνδυάζοντας όλες τις παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: 5) -mg L - " ) - mg L µ - µ ) + ml 6 + ml = L 3 [ ) + µ - µ )] 6) = g - " Όµως από την Γεωµετρια του σχήµατος ) έχουµε τις σχέσεις: OM = L + Lµ " OM = L + Lµ ) * L + Lµ " = L + Lµ - " = µ - µ οπότε η 6) γράφεται: L 3 = g - ") L 3 = g"µ ) = 3g L "µ ) PM fysikos Δύο µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας έχουν στερε ωθεί στις άκρες αβαρούς και µη εκτατού νήµατος, το οποίο διέρχεται από τα αυλάκια δυο µικρών και σταθερών τροχαλιών, όπως φαίνεται στο σχήµα 3) Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε το νήµα που συγκρατεί το αριστερό σφαιρίδιο κατακόρυφο και το νήµα που συγκρατεί το δεξί σφαιρίδιο να παρουσιάζει κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση i) Aν κάποια στιγµή το σύστηµα αφεθεί ελευθερο, να βρείτε τις δια φορικές εξισώσεις που καθορίζουν την κίνησή του ii) Nα βρείτε τις λύσεις των εξισώσεων αυτών στην περίπτωση που η

3 γωνία φ είναι πολύ µικρή Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και το µήκος r του νήµατος που συγκρατεί το δεξί σφαιρίδιο την στιγ µή που αφήνεται ελεύθερο ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή που το κεκλιµένο νήµα έχει µήκος r και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ Το σφαιρίδιο που είναι στερεωµένο στο άκρο του νήµατος αυτού δεξί σφαιρίδιο) δέχεται την τάση T του νήµατος και το βάρος του w, που αναλύεται σε µια συνισώσα w r κατά την διεύθυνση του νήµατος και σε µια συνιστώσα w κάθετη σ αυτό Σχήµα 3 Εξάλλου την ίδια στιγµή το σφαιρίδιο που είναι στερεώµενο στο άκρο του κατα κόρυφου νήµατος αριστερό σφαιρίδιο) δέχεται το βάρος του w και την τάση T του νήµατος κατά µέτρο ίση µε την T, διότι οι τροχαλίες θεωρούνται µε αµελητέα µάζα και χωρίς τριβή µε τα νήµατα που διέρχονται από τα αυλάκια τους Εφαρµόζοντας για το δεξί σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση του νήµατος και κατά την καθετη προς αυτό διέυθυνση παίρνου µε τις σχέσεις: -T + mg" = ma r -mgµ = ma -T + mg" = ma r -mgµ = ma όπου a r η ακτινική επιτάχυνση και a η εγκάρσια επιτάχυνση του σφαιριδίου Όµως για τις αλγεβρικές τιµές των a r και a ισχύουν οι σχέσεις: ) a r = d r dt - r " d dt και a " = dr " d + r d dt dt dt οπότε οι σχέσεις ) παίρνουν την µορφή:

4 d r dt - r d " = - T, dt m + g)* - " dr " d + r d dt dt dt = -g+µ / ) Εφαρµόζοντας για το αριστερό σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχου µε: - T + mg = ma y a y = -T/m + g 3) όπου a y η επιτάχυνση του σφαιριδίου αυτού Όµως για την αλγεβρική τιµή της a y ισχύει η σχέση: a y = d y dt οπότε η 3) γράφεται: = d L - r) dt = - d r dt d r dt = -g + T m 4) όπου L το συνολικό µήκος του νήµατος Oι σχέσεις ) λόγω της 4) γράφονται: d r dt - r " d dt = -g - d r dt +g)* " dr " d + r d dt dt dt = -g+µ, - / d r dt = r d ", - g - )* ) dt - " dr " d + r d dt dt dt = -g+µ / 5) Oι παραπάνω σχέσεις αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις, που καθορίζουν την κίνηση του συστήµατος σε πολικές συντεταγµένες r, φ) ii) Eάν δέχθούµε την περίπτωση που η αρχική εκτροπή φ του δεξιού νήµατος είναι πολύ µικρή και το αντίστοιχο σφαιρίδιο αφήνεται από την ηρεµία, τότε µπορούµε να ισχύριστούµε ότι ηµφ φ, συνφ, το γινόµενο dr/dt)dφ/dt) είναι ασήµαντο τείνει στο µηδέν) το ίδιο δε και η ποσότητα dφ/dt) Έτσι οι σχέσεις 5) παίρνουν την προσεγγιστική µορφή: d r dt =- g r d dt = -g " d r dt +g 4 = " d dt + g r = 6)

5 Mπορούµε ακόµη, λόγω της πολύ µικρής διακύµανσης της µεταβλητής r να δέχθούµε στην δεύτερη εκ των εξισώσεων 6) ότι r r, οπότε αυτή γράφεται: d dt + g = d r dt + " = µε = g 7) r Η 7) δηλώνει ότι το δεξί σφαιρίδιο και το αντίστοιχο νήµα που το συγκρατεί αποτελούν απλό µαθηµατικό εκκρεµές, µε εξίσωση κίνησης της µορφής: = " g t r * 8) ) Στην περίπτωση που εξετάζουµε η πρώτη εκ των εξίσώσεων 6) γράφεται: d r dt +g g 4 " t r * = 9) ) Η λύση της 9) µας επιτρέπει να εκφράσουµε την µεταβλητή r σε συνάρτηση µε τον χρόνο PM fysikos Συµπαγές ηµισφαιρικό σώµα µάζας m και ακτίνας R συγκρατείται µε κατακόρυφο νήµα κατά τρόπο, ώστε να εφάπτεται λείου οριζόντιου δαπέδου η δε επίπεδη επιφάνειά του να σχηµατίζει γωνία φ µε αυτό Kάποια στιγµή κόβεται το νήµα και το ηµισφαίριο αρχίζει να κινείται επί του δαπέδου i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση της κίνησης του ηµισφαιρίου και µε βάση αυτήν να δείξετε ότι το ηµισφαίριο εκτελεί στροφική αρµο νική ταλάντωση στην περίπτωση που η γωνία φ είναι πολύ µικρή ii)nα βρείτε την µέγιστη ταχύτητα του γεωµετρικού κέντρου του ηµισ φαιρίου και την αντίστοιχη δύναµη επαφής που δέχεται από το δάπε δο Δίνεται ότι, το κέντρο µάζας του ηµισφαιρίου βρίσκεται στον άξο να συµµετρίας του σε απόσταση α=3r/8 από το γεωµετρικό του κέν τρο, η επιτάχυνση g της βαρύτητας η δε ροπή αδράνειας οµογενούς σφαιρικού σώµατος µάζας m και ακτίνας R ως προς άξονα διερχόµε νο από το κέντρο του είναι mr /5 ΛΥΣΗ: i) Κατά την κίνηση του ηµισφαιρικού σώµατος πάνω στο λείο οριζόν τιο δάπεδο επίπεδη κίνηση) αυτό δέχεται το βαρος του w και την δύναµη επα φής N από το δάπεδο Επειδή οι δύο αυτές δυνάµεις είναι κατακόρυφες το κέντρο µάζας του σώµατος δεν έχει οριζόντια κίνηση, δηλαδή κινείται επί της κατακόρυφης ευθείας y που διέρχεται από την αρχική του θέση στην οποία βρισκόταν την στιγµή που το σώµα αφέθηκε να κινηθεί εκ της ηρεµίας Εξετά ζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση που καθορίζεται από την γωνία φ που σχηµατίζει η επίπεδη επιφάνειά του µε τον ορίζοντα θα έχουµε, σύµφωνα µε

6 τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, την σχέση: " = I - N"µ = I ) Σχήµα 4 όπου " η γωνιακή του επιτάχυνση περί άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνησής του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας και Ι η ροπή αδράνειάς του περί τον άξονα αυτόν, ενώ το πρόσηµο -) τέθηκε διότι θεωρήθηκε ως θετική φορά στροφής η φορά κατα την οποία η γωνία φ αυξάνεται Εξάλλου, αν Ι Κ είναι η ροπή αδράνειας του ηµισφαιρικού σώµατος περί άξονα παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής του και διερχόµενο από το γεωµετρικό του κέντρο Κ, θα έχουµε σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner την σχέση: I K = I + m ) Όµως η Ι είναι ίση µε το µισό της ροπής αδράνειας οµογενούς σφαίρας µάζας m και ακτίνας R ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο της, δηλαδή ισχύει: I K = 4mR " 5 = mr 5 οπότε η ) γράφεται: mr 5 = I + m I = mr 5 - m 3R " 8 = 83mR 3 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) παίρνουµε: - N 3R " 8 µ = 83mR 3 *) " = - Nµ 83mR d dt = - 83 N"µ mr 4) Eφαρµόζοντας ακόµη για το κέντρο µάζας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: ma = N - mg m d y dt = N - mg N = m d y dt + mg 5)

7 Όµως η συντεταγµένη y του κέντρου µάζας είναι: y = R - " dy dt = "µ d dt d y = "µ d d * + dt ), dt dt+ οπότε η 5) γράφεται: - N = m "µ d d * / + ), dt dt+ / H 4) λόγω της 6) παίρνει την µορφή: + mg 6) d dt = "µ d d * / + " ), dt dt+ / + g µ R + 83 R "µ ) d dt + 83 R d "µ*+, ) dt = - 83 g"µ R µ " d " dt d" µ")*+" dt = - 83 gµ" R µ " d " dt d" µ")*+" dt = - 83 gµ" R µ " ) d " d" ) + 45µ"" + dt dt* = - gµ" R 7) H 7) αποτελεί την διαφορική εξίσωση της επίπεδης κίνησης του ηµισφαιρικού σώµατος Στην περίπτωση που η αρχική τιµή φ της γωνίας φ είναι πολύ µικρή τότε µπορούµε µε καλή προσεγγιση να δεχθούµε ότι ηµφ φ, 83+45ηµ φ 83, συνφ και ακόµη ότι η ποσότητα 45ηµφσυνφdφ/dt) µπορεί να παραληφθεί ως ασήµαντη, οπότε η 7) παίρνει την προσεγγιστική µορφή: 83 d dt + g R = d dt + " = µε = g 83R 8) Η διαφορική εξίσωση 8) εγγυάται ότι, η κίνηση του ηµισφαιρικού σώµατος είναι στροφική αρµονική ταλάντωση, κυκλικής συχνότητας ω ος Τρόπος: Κατά την κίνηση του σώµατος η µηχανική του ενέργεια διατηρεί ται σταθερή, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

8 mv + I + mgr - " ) = E 9) όπου Ε σταθερή ποσότητα, v η ταχύτητα του κέντρου µαζας, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής τoυ και Ι Κ η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως πρός άξο να κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της Όµως για το µέτ ρο της v ισχύει: ) v = dy dt = d R - " dt οπότε η 9) γράφεται: = µ d * ), ) dt+ m "µ d ) dt + I d ) dt + mgr - *+, ) = E m "µ + I d ) ) dt + mgr - *+,) = E ) Παραγωγίζοντας την ) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: m "µ d * ), dt+ 3 )) d + m "µ + I *, dt+ d d * + mr"µ ), = dt dt+ m "µ d * ), dt+ 9R 64 d" ) µ"" + dt* + m "µ + I ) d dt + mr"µ =, + 9R 64 µ " + 83mR / d " - 3 dt + Rµ" = η οποία µετά από µερικές πράξεις µεταπίπτει στην µορφή: µ " ) d " d" ) + 45µ"" + dt dt* = - gµ" R κλπ ii) Σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα έχουµε για την κίνηση του ηµισφαιρικού σώµατος από την αρχική του θέση φ στην τυχαία θέση φ την σχέση: ) = mv K " + U " = K + U + mg R - " + + I + mg R - " ) mg " - " ) = mv + I )

9 ) = m µ ) d mg " - " *, dt+ d * + I ), dt+ " d dt = mg )*+ - )*+ ) ) m,µ + I Για την ταχύτητα v έχουµε: v = dy d j = "µ dt dt ) j 3) Για την ταχύτητα v K του κέντρου Κ του ηµισφαιρικού σώµατος έχουµε: v K = v + " K Ακόµη έχουµε: " K) = ) 4) i j k -d /dt µ ) = d, ) + i - µ d, + j 5) * dt- * dt- όπου i, j, k τα µοναδιαια διανύσµατα των ορθογώνιων αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοίχως Η 4) λόγω των 3) και 5) δίνει: v K = "µ d d ) j + *+, ) i - "µ d d ) ) j = *+, ) i dt dt dt dt ) v K = " mg " - " 6) m µ + I Για φ= το µέτρο της v K γίνεται µέγιστο και ισχύει: ) v K max = mg - " = 4mgµ / ) I I v K max = "µ ) mg = 3R I 8 ) "µ ) mg 3R/8) 83mR / 3 v K max = µ " gr 7) Για να υπολογίσουµε την κάθετη αντίδραση του δαπέδου την στιγµή που η

10 ταχύτητα γίνεται µέγιστη εφαρµόζουµε την σχέση 7) για φ=, οπότε θα έχου µε: N = m d" ), + + mg dt * + - " = N = m g - " ) ) N = m g - " ) + mg I ) + mg = mg + 4m µ / * ), I ) I +, ) N = mg µ ", + * - PM fysikos Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R, στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σηµείο Ο της περιφέρειάς της Ένα µικρό δακτυλίδι διαπερνά την στεφάνη και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος αυτής Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του δακτυλιδιού, σε σταθερό σύστηµα αναφο ράς Οxy του επιπέδου κίνησης της στεφάνης Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το δακτυλίδι κάποια στιγµή που η επιβατική του ακτίνα ως προς το κέντρο Κ της στεφάνης σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση Οy γωνία φ, η δε αντίστοιχη γωνία της επιβατικής ακτίνας του Κ ως προς το σταθερό σηµείο Ο είναι θ σχ 5) Το δακτυλίδι δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής N από την στεφάνη που έχει ακτινική διεύθυνση και αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώσα N y και στην οριζόντια συνιστώσα N x Σχήµα 5 Εάν x, y είναι οι συντεταγµένες του δακτυλιδιού ως προς το σταθερό ορθο γώνιο σύστηµα αξόνων Οxy, θα έχουµε για το δακτυλίδι, σύµφωνα µε τον δεύ τερο νόµο του Νεύτωνα, τις σχέσεις:

11 m d x dt m d y dt = -N x " = mg - N y d x dt = - N m µ" d y dt = g - N m " ) ) Όµως για την συντεταγµένη x ισχύει: x = Rµ" + Rµ = R µ" + µ) η οποία µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο t δίνει: dx dt d = R " dt d ) + " + dt* d x - d" = R/ -µ" dt dt / d x d" = R -µ" dt dt / + )*+" d " d, - µ, dt dt + )*+" d " dt -, µ )*+, d, dt ) διότι dθ/dt=ω και d θ/dt = Eξάλλου για την συντεταγµένη y έχουµε: y = R" + R" = R " + ") η οποία µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο t δίνει: dy dt d" = R -µ" dt d - µ ) dt d y - d = R/ -" * dt dt) / - +µ d d, - ", * dt dt) - +µ, d, dt d y d = R -" * dt dt) / - +µ d dt -, "-3 3 3) H πρώτη εκ των ) λόγω της ) γράφεται: -µ" d" dt + )*+" d " dt -, µ- = - N µ" 4) mr H δεύτερη εκ των ) λόγω της 3) γράφεται:

12 R -" d * dt) / - +µ d dt -, "-3 3 = g - N m " -" d * dt) - +µ d dt -, "- - g R = - N " 5) mr Διαιρώντας κατά µέλη τις 4) και 5) παίρνουµε: -µ" d" dt -)*+" d" dt + )*+" d " dt -, µ- - µ" d " dt -, )*+- - g R = µ" )*+" -µ"" d" ) + dt* + " d " dt -, µ-" = = -µ"" d" ) + dt* - µ " d " dt -, -µ" - gµ" R d dt - " µ - µ ) - gµ R = d dt - " µ - ) - gµ R = 6) Aν ως αρχή των χρόνων θεωρηθεί η στιγµή που είναι θ=, τότε θα ισχύει θ=ωt και η 6) παίρνει την µορφή: d dt - " µ "t - ) - gµ R = 7) Η 7) είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και θεωρητικά τουλάχιστον µας επιτρέπει να καθορίσουµε την γωνία φ σε συνάρτηση µε τον χρόνο t και εποµένως και τις συντεταγµένες x, y του δακτυλιδιού στο σταθερό επίπεδο Οxy PM fysikos Δύο σφαιρίδια της ίδιας µάζας έχουν στερεωθεί στις άκρες ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και φυσικού µήκους L Tο σύστηµα κρατείται ακίνητο µε το ελατήριο κατακόρυφο και στο φυσικό του µήκος, ενώ το κάτω σφαιρίδιο εφάπτεται οριζόντιου δαπέδου Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το πάνω σφαιρίδιο δέχεται ώθηση βραχείας διάρκειας µε αποτέλεσµα

13 να αποκτά κατακόρυφη αρχική ταχύτητα v Να βρεθουν οι εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας ΛΥΣΗ: Η παρουσία του οµογενούς βαρυτικού πεδίου της Γης δεν επηρεάζει την σχετική κίνηση του ενός σφαιριδίου ως προς το άλλο, δηλαδή αφήνει αναλ λοίωτη την χαρακτηριστική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση αυτή, όταν απουσιάζει το βαρυτικό πεδίο Αρκεί εποµένως να µελετήσουµε την σχετική κίνηση του ένος σφαιριδίου ως προς το άλλο, λογουχάρη του Σ ως προς το Σ, αγνοώντας το βαρυτικό πεδίο Η κίνηση αυτή είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός ιδεατού σωµατιδίου µαζας ίσης προς την ανηγµένη µάζα µ=m/ των δύο σφαιριδίων, πάνω στο οποίο ενεργεί µόνο η αντίστοιχη δύναµη F από το ελα τήριο Εφαρµόζοντας για τo ιδεατό αυτό σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατα µια τυχαία χρονική στιγµή t που το διάνυσµα θέσεως του Σ ως πρός το Σ είναι r, παίρνουµε τη σχέση: µ d r dt = -F m d r dt = -k r - L ) d r dt + kr m = kl m d r dt + r = kl m ) Σχήµα 6 µε =k/m Η ) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται την µερική λύση r t)=l, ενώ η λύση της αντίστοιχης οµογενούς είναι r t)=aηµωt+φ), όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της σχετικής κίνησης του Σ ως προς το Σ Η γενική λύση της ) είναι: r t) = r t) + r t) = L + Aµ "t + ) ) Παραγωγίζοντας την ) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχετική ταχύτητα αλγεβρική τιµή) του Σ ως προς το Σ, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: v " = dr t) / dt = A t + ) 3) Για t= η ) και η 3) δίνουν:

14 L = L + Aµ" v = A" ) µ" = A = v /" ) = A = v /" 4) Με βάση τις 4) η σχέση 3) γράφεται: r t) = L + v /)"µt 5) Eξάλλου το κέντρο µάζας των δύο σφαιριδίων κινείται στο σύστηµα αναφο ράς του δαπέδου µε επιτάχυνση g, η αρχική του ταχύτητα είναι v / και η δε αρχική του θέση ως προς το δάπεδο καθορίζεται από το διάνυσµα L y /, όπου y το µοναδιαίο κατακόρυφο διάνυσµα Το διάνυσµα θέσεως y εποµένως του κέντρου µάζας ως προς το οριζόντιο δάπεδο την χρονική στιγµή t θα ικανο ποιεί την σχέση: y = L v y + t + g t Τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσως y, y των σφαιριδίων Σ, Σ είναι: 6) y = y - r t)/ = y - rt) y / y = y + r t)/ = y + rt) y " / 5),6) y = L y / + v t / + g t / - L y / - v µ"t y / " y = L y / + v t / + g t / + L y / + v µ"t y / " y = v t / + g t / - v µ"t y / " y = L y + v t / + g t / + v µ"t y / " Οι αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων y, y είναι: y = v t / - gt / - v µ"t / " y = L+ v t / - gt / + v µ"t / " µε = k m 7) Oι παραπάνω σχέσεις 7) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης των σφαιριδίων Σ και Σ στο σύστηµα αναφοράς του οριζόντιου δαπέδου Παρατηρηση: Για την πλήρη κατανόηση του θέµατος είναι χρήσιµο να συµβου λευτείτε την θεωρία που περιέχεται στην ανάρτηση: PM fysikos Δύο σφαιρικά αστρα της ίδιας µάζας m, κινούνται υπό την επίδραση των αµοιβαίων βαρυτικών τους έλξεων και κάποια

15 στιγµή που τα κέντρα τους βρίσκονται σε απόσταση α µεταξύ τους οι ταχύτητές τους είναι αντίθετες, µε τους φορείς τους κάθετους στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα τους, το δε κοινό τους µέτρο είναι v = Gm/8, όπου G η σταθερά της βαρύτητας Να βρείτε την µορφή των τροχιών των δύο άστρων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους ΛΥΣΗ: Επειδή οι βαρυτικές δυνάµεις αλληλεπίδρασης των δύο άστρων είναι αντίθετες, η επιτάχυνση του κέντρου µάζας τους είναι µηδενική θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας), δηλαδή η ταχύτητά του δεν µεταβάλλεται Όµως είναι δεδοµένο ότι την στιγµή που η απόσταση των δύο άστρων είναι α οι ταχύτητές τους είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή η ταχύτητα του κέντρου µάζας τους θα είναι µηδενική, οπότε αναγκαστικά θα είναι µηδενι κή και κάθε άλλη στιγµή, δηλαδή κατά την κίνηση των δύο άστρων το κέντρο µάζας τους παραµένει ακίνητο Εάν r, r είναι οι επιβατικές ακτίνες των άστ ρων Α, Α αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας τους, θα ισχύει λόγω της ισότητος των µαζών των δύο άστρων η σχέση: r = - r = r / ) όπου r το σχετικό διάνυσµα θέσεως του Α ως προς το Α Όµως η σχετική κίνηση του Α ως προς το Α είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός υποθετικού σώµατος µάζας ίσης προς την ανηγµένη µάζα µ=m/ των δύο άστρων αν στο σώµα αυτό ενεργούσε η βαρυτική έλξη που δέχεται το Α, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση της ανηγµένης µάζας θα ισχύει η σχέση: µ d r dt = F m d r dt = - Gm r r d r dt = - Gm r ) όπου r το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση από Α σε Α Επειδή η κίνη ση της ανηγµένης µάζας είναι κεντρική η µηχανική της ενέργεια διατηρείται σταθερή και ίση µε την τιµή που αντιστοιχεί όταν r=α, δηλαδή θα έχουµε: E µ" = µv + U) = mv 4 - Gm Σχήµα 7 Όµωςη ταχύτητα v της ανηγµένης µάζας όταν είναι r=α είναι λιση µε την αντίστοιχη σχετική ταχύτητα του άστρου Α ως προς το Α, δηλαδή ισχύει: v = v - - v ) = v v = v = Gm / 3)

16 οπότε η 3) γράφεται: E µ" = m 4 4Gm - Gm = - Gm < H αρνητική τιµή της Ε µηχ εγγυάται ότι η τροχιά της ανηγµένης µάζας είναι περιφέρεια κύκλου ή έλλειψη Αν η τροχιά ήταν κυκλική θά έπρεπε η Νευτώ νεια έλξη F να αποτελεί για την ανηγµένη µάζα κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή θα έπρεπε να ισχύει: µv " = Gm mv " = Gm v " = Gm r=" v = Gm v = Gm " Gm 8 που σηµαίνει ότι η τροχιά της ανηγµένης µάζας δεν είναι περιφέρεια κύκλου αλλά έλλειψη Εάν λάβουµε ως πολικό άξονα την ευθεία Α Α όταν r=α, τότε είναι γνωστό από την θεωρία των κεντρικών κινήσεων ότι οι πολικές συντε ταγµένες r, φ της ανηγµένης µάζας θα ικανοποιούν την σχέση: r = A" - ) + Gµ m 4) L όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα προσδιορισθούν από από τις συνθήκες κίνησης της ανηγµένης µάζας όταν είναι r=α, ενώ L είναι η σταθερή στροφορ µή της περί το Α Εξάλλου για το µέτρο της L έχουµε: L = µv = m v = m Gm 8 L = Gm3 8 οπότε η 4) γράφεται: r = A" - ) + 8Gm Gm 3 m Για r=α είναι φ= και τότε η 5) δίνει: 4 r = A" - ) + 5) = A" + A" = - 6) Aκόµη από την 5) έχουµε: r = ) + / dr A" - ) ) + / [ ] 7) d = A"µ - A - Όµως στην θέση r=α, φ= της ανηγµένης µάζας η παράγωγος dr/dφ µηδενίζε ται οπότε η 7) δίνει:

17 Aµ - " ) = = ή = " και η 6) δίνει Α=-/α µε αποτέλεσµα η 5) να παίρνει την µορφή: r = - " + r = - " = / - " / 8) Σχήµα 8 H 8) εγγυάται ότι η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς της ανηγµένης µάζας είναι e=/ ο δε µεγάλος ηµιαξονάς της έχει µήκος α/ Eπανερχόµενοι στις σχέσεις ) γίνεται αντιληπτό ότι τα δύο άστρα κινούνται πάνω στην ίδια ελλειπτική τροχιά και κάθε στιγµή οι θέσεις τους είναι συµµετρικές ως πτος το κέντρο µάζας τους σχ 8) Η εξίσωση της κοινής αυτής τροχιάς σε πολικές συν τεταγµένες έχει την µορφή: r = r = r 8) r = r = / 4 - " / Παρατηρηση: Για την πλήρη κατανόηση του θέµατος είναι χρήσιµο να συµβου λευτείτε την θεωρία που περιέχεται στις αναρτήσεις: PM fysikos