που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T

Transcript

1 Mιά κυκλική σπείρα εύκαµπτης αλυσίδας βάρους w, είναι τοποθετηµένη πάνω σε λείο ορθό κώνο ύψους h, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R (σχ. 9). O κατακόρυφος άξονας του κώνου διέρ χεται από το κέντρο της αλυσίδας και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Nα βρεθεί η τάση της αλυσίδας. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα πολύ µικρό (στοιχειώδες) τµήµα της αλυσίδας, το οποίο φαίνεται εκ του κέντρου της K υπό γωνία Δφ (Δφ 0). Tο τµήµα αυτό της αλυσίδας ισορροπεί υπό την επίδρασή των εξής δυνάµεων. Tου βάρους του w, της δύναµης K που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T και T στις άκρες του, από το υπόλοιπο τµήµα της αλυσίδας, οι οποίες είναι εφαπτοµενικές της αλυσίδας και έχουν το ίδιο µέτρο, αφού το εξεταζόµενο τµήµα είναι στοιχειώδες. Λόγω της ισορροπίας του στοιχείου αυ Σχήµα 9 Σχήµα 0 τού, η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδέν, δη λαδή θα ισχύει η σχέση: K ψ - Δw = 0 Kηµθ = Δw Kηµθ = wδφ/π () διότι το βάρος w, αντιστοιχεί σε γωνία Δφ, ενώ το βάρος w της αλυσίδας αντιστοιχεί σε γωνία π. Όµως και η συνισταµένη των δυνάµεων, που δέχεται το στοιχείο αυτό της αλυσίδας κατά τον οριζόντιο άξονα Ox, ο οποίος διέρχεται από κέντρο O και από το στοιχειώδες τµήµα, θα είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή θα ισχύει: K x - Tx - T x = 0 Kσυνθ = T ηµ(δφ/) + T ηµ(δφ/) Kσυνθ = Tηµ(Δφ/) Kσυνθ» T(Δφ/) () όπου T το κοινό µέτρο των δυνάµεων T και T. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε:

2 Kµ" K#%" = w(" /') T((" /) "# = w T R h = w T T = wh R P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΟΑ είναι αβαρής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί το άκρο της Ο που έχει στερεωθεί στον αµετάθετο οριζόντιο άξονα περιστροφής µιας τροχαλίας, ακτίνας R. Όταν η γωνία φ της ράβδου µε την κατακόρυ φη διεύθυνση είναι µηδενική, τότε το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος, ενώ για φ=π/6 το σύστηµα ισορροπεί. i) Nα βρέθεί η σταθερά k του ελατηρίου. ii) Nα εξετασθεί το είδος της ισορροπίας του συστήµατος. Δίνεται η µάζα m του σώµατος Σ, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας είναι αβαρές, µη εκτατό και δεν µπορεί να ολισθαίνει. ΛΥΣΗ: i) Στην θέση ισορροπίας του συστήµατος τροχαλία-ραβδος-σώµα Σ η γωνία φ 0 της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση ικανοποιεί την συνθήκη µηδενισµού της συνισταµένης των ροπών των δυνάµεων που δέχεται το σύστη µα, περί το κέντρο Ο της τροχαλίας, δηλαδή ισχύει η σχέση: " (O) = 0 FR - mglµ" 0 = 0 FR = mglµ" 0 () Σχήµα Όµως το µέτρο της δύναµης F που δέχεται η τροχαλία από το νήµα που περι βάλλει το αυλάκι της είναι ίσο µε kδy, όπου Δy η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση, δηλαδή ισχύει:

3 F = ky = kr" 0 οπότε η () γράφεται: kr 0 = mgl"µ 0 kr / 6 = mgl"µ( / 6) k = 3mgL/R () ii) Ας δεχθούµε ότι το σύστηµα αποµακρύνεται από την θέση ισορροπίας του, ώστε η γωνία φ 0 να υποστεί µια πολύ µικρή αύξηση κατά dφ. Tότε το µέτρο της ροπής του βάρους m g του σώµατος Σ περί το Ο θα αυξηθεί κατά dτ και θα ισχύει: # d = d * % ( " =" d" ' 0 d" = d(mgl)µ") -, + d" / " =" 0 d" = mgl0" 0 d". d = mgl"#(% / 6)d = 3mgLd / (3) Η αντίστοιχη αύξηση του µέτρου της ροπής της δύναµης F, περί το Ο είναι: # d = d % ( " =" d" ' 0 d" = d(kr () ) "), +. " =" * d" 0 d" = kr d" - d = (3mgLR /"R )d# = 3mgLd#/" (4) Διαιρώντας κατά µέλη τις (3) και (4) παίρνουµε: d d = 3mgLd" / mgld" /# = 3# > d > d δήλαδή το σύστηµα αποµακρυνόµενο ελάχιστα από την θέση ισορροπίας του δέ χεται συνισταµένη ροπή που επιτείνει την αποµάκρυνσή του από την θέση ισορ ροπίας και αυτό σηµαίνει ότι η ισορροπία του είναι ασταθής. Β Τρόπος: Θεωρούµε ως επίπεδο µηδενικής βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του σώµατος Σ το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σώµα, όταν η ράβδος είναι κατακό ρυφη. Τότε η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος σώµα-τροχαλία-ελατήριο, όταν η ράβδος σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ είναι: U = -mgl( - "#) + ky / = -mgl( - "#) + kr / Παραγωγίζοντας την (5) ως προς την γωνία φ, παίρνουµε την σχέση: du / d = -mgl"µ + kr Όµως στην θέση ισορροπίας (φ=φ 0 ) η παράγωγος du/dφ είναι µηδενική, δηλαδή

4 ισχύει η σχέση: -mglµ" 0 + kr " 0 = 0 kr 0 = mgl"µ 0 kr / 6 = mgl"µ( / 6) k = 3mgL/R H δεύτερη παράγωγος της U ως προς φ είναι: d U d = -mgl"# + kr = -mgl"# + 3mgL R %R d U 3mgL = -mgl"# + d % = mgl -"# + 3 ) ( + ' %* " d U% # d ' = mgl " -()* + 3 % " = 0 0 # + ' = mgl - # % + ' < 0 (5) H σχέση (5) εγγυάται ότι η δυναµική ενέργεια του συστήµατος στην θέση ισορ ροπίας του παρουσιάζει τοπικό µέγιστο, που σηµαίνει ότι η ισορροπία αυτή εί ναι ασταθής. P.M. fysikos H οµογενής ράβδος OA του σχήµατος () έχει βάρος w και µήκος L, µπορεί δε να στρέφεται χωρίς τριβή περί την άρθρωση O παραµένοντας σε κατακόρυφο επίπεδο. H αµετάθετη µικ ρή τροχαλία Τ βρίσκεται σε τέτοια θέση, ώστε η απόσταση ΟΤ να είναι ίση µε L και η ΟΤ να σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση Οy γωνία θ=π/6. Eάν η σταθερά k του ελατηρίου ικανοποιεί την σχέση k=w/l να καθορίσετε την θέση και το είδος ισορροπίας του συστήµα τος. Δίνεται ότι, όταν το µήκος του νήµατος ΑΤ που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας είναι µηδενικό το ελατήριο βρίσκεται στην φυ σική του κατάσταση και ότι δεν υπάρχει τριβή µεταξύ του νήµατος και της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι το σύστηµα ισορροπεί, όταν η ράβδος ΟΑ σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση Οy γωνία φ (σχ. ). Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της w, η τάση F του νήµατος ΑΤ και η δύναµη από την άρθρωση, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου. Η ισορροπία της ράβδου επιβάλλει τον µηδενισµό της συνισταµένης ροπής των τριών αυτών δυνάµεων περί το Ο, δηλαδή ισχύει η σχέση: w L µ" - F(OM) = 0 w L µ" = F(OM) () Η ΟΜ ως ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΟΤ είναι και διχοτόµος αυτού, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΜ θα έχουµε:

5 (OM) = L"# + % ) ( + () ' * Eξάλλου για το µέτρο της δύναµης F έχουµε: F = k(ta) = w(ta) L (3) Σχήµα διότι η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση είναι ίση µε το µήκος ΤΑ του νήµατος. Όµως για το µήκος ΤΑ έχουµε: (TA) = (MA) = Lµ " + # ' ) (4) % ( Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: F = w L Lµ " + # ' ) = wµ " + # ' ) (5) % ( % ( H () λόγω των () και (5) γράφεται: w L " + #' µ" = wlµ ) *+, " + # ' ) % ( % ( µ" = µ " + # ' ) *+, " + # ' ) µ" = µ (" + #) % ( % ( µ" = µ"#% + #%"µ µ" - µ"#% = #%"µ µ"( - #%) = #%"µ µ" = #%"µ - #% "# = µ% - '(% = µ () / 6) - '(() / 6) = / - 3 /

6 "# = - 3 = + 3 (6) H σχέση (6) καθορίζει την θέση ισορροπίας του συστήµατος. Έστω τώρα ότι το σύστηµα αποµακρύνεται από την θέση ισορροπίας του, ώστε η γωνία φ να υπο στεί µια πολύ µικρή αύξηση κατά dφ. Tότε το µέτρο της ροπής του βάρους m g της ράβδου περί το Ο θα αυξηθεί κατά dτ και θα ισχύει: # d = d % ( d" = wl * d()µ") - wl d" ', + d" / d" = 0"d" (7). Η αντίστοιχη αύξηση του µέτρου της ροπής της δύναµης F, περί το Ο είναι: # d = d % ( d" = wl d" ' d)µ (" + *) d" d" = wl +,-(" + *) d" (8) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε: d d = "#% "#(% + ) > d > d δήλαδή το σύστηµα αποµακρυνόµενο ελάχιστα από την θέση ισορροπίας του δέ χεται συνισταµένη ροπή που επιτείνει την αποµάκρυνσή του από την θέση ισορ ροπίας και αυτό σηµαίνει ότι η ισορροπία του είναι ασταθής. Β Τρόπος: Θεωρώντας ως επίπεδο µηδενικής βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της ράβδου το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το άκρο της Ο, τότε η δυναµική ενέρ γεια U του συστήµατος ράβδος-ελατήριο, όταν η ράβδος σχηµατίζει µε την κατα κόρυφη διεύθυνση γωνία φ είναι: U = w L "# + k (AT) = w L "# + w - 4L L%µ ' / ). ( + * 0, + U = wl "# + wl [ - "#( + %)] (9) Στην θέση ισορροπίας του συστήµατος η παράγωγος du/dφ είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: [ ] = 0 -µ" + µ (" + #) = 0 du d = wl -"µ + "µ( + #) -µ" + µ"#% + #%"µ = 0 "#%µ = %µ( - "#)

7 µ" = #%"µ - #% Για θ=π/6 η (0) δίνει: "# = µ% - '(% (0) "# = µ (% / 6) - '((% / 6) = / - 3 / = + 3 H δεύτερη παράγωγος της U ως προς φ είναι: [ ] = wl (-"# + "#"#% - µµ%) d U d = wl -"# + "#( + %) d U d = wl"# d U d = wl"# d U d = wl"# d U d = wl"# (0) (-+ "#% - '(µ%) ' µ % * ) -+ "#% - ( - "#%, + ' ) ( ( ' -+ "#% + "#% - "# % - µ % - "#% -+ "#% - "#% *, + ) + =- wl"# < 0 () * H σχέση () εγγυάται ότι η δυναµική ενέργεια του συστήµατος στην θέση ισορ ροπίας του παρουσιάζει τοπικό µέγιστο, που σηµαίνει ότι η ισορροπία αυτή εί ναι ασταθής. P.M. fysikos Ένας πίθηκος µάζας m αναριχάται κατά µήκος αβαρούς σχοινιού, το οποίο διέρχεται από το αυλάκι µιας σταθερής τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R, η οποία µπορεί να στρέφεται περί τον οριζόντιο άξονά της. Στο ελεύθερο άκρο του νήµατος έχει στερεω θεί σώµα Σ µάζας m, το οποίο κινείται µε επιτάχυνση a ως προς το ακίνητο έδαφος, στην διάρκεια της αναρίχησης του πιθήκου. i) Εάν a είναι η επιτάχυνση του πιθήκου ως προς το ακίνητο έδαφος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να δείξετε την σχέση: (m + M/) a = (m - m ) g + m a ii) Εάν a " () είναι η σχετική επιτάχυνση του πιθήκου, ως προς το σχοι νί, να δείξετε την σχέση:

8 a () " = (m - m ) g m + M/ + (m + m + M/) m + M/ iii) Nα βρεθεί η αναγκαία συνθήκη, ώστε αν το σώµα κινείται µε επι τάχυνση - g / ο πίθηκος να επιταχύνεται ανερχόµενος ως προς το ακί νητο έδαφος. Πόση χηµική ενέργεια καταναλώνει στην περίπτωση αυτή ο πίθηκος, όταν το σώµα έχει µετατοπιστεί εκ της ηρεµίας κατά h; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=MR / της τροχαλίας ως προς τον άξο να περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι κάποια στιγµή το σώµα Σ έχει ως προς το ακίνητο έδαφος ταχύτητα v, ο πίθηκος ταχύτητα v και η τροχαλία γωνιακή ταχύτη τα. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή στο σύστηµα σώµα-πίθηκος-τροχαλία τον νόµο µεταβολής της στροφορµής περί το κέντρο Ο της τροχαλίας, παίρνουµε την σχέση: ( O " m g ) + O#" m g ( ) = d dt ( O " m g ) - O " m g ( ) = d dt a ( O " m v ) + O#" m v [ ( ) +MR /] ( O " m v ) - O " m v [ ( ) +MR # /] [ O " (m - m ) g ] = d ( O " m dt v ) - O " m v [ ( ) +MR # /] () Σχήµα Όµως, εάν k είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα περιστροφής της τροχαλί ας θα έχουµε τις σχέσεις: ( O " m v ) = Rm v k MR # / = MR # k / ( O " m v ) MR # / = m v MR # / = m M % ' ( ) (:) O " m v MR # / = Rm v k MR # k /

9 MR / = M O" # m Η () λόγω της () γράφεται: ( v ) / m MR / = M O" # ( v ) / () [ O " (m - m ) g ] = d O " m dt v [ ( ) -( O " m v ) +M( O " v )/] ( ) (m - m ) g = d dt m v - m v + M v / (m - m ) g = m a - m a + M a / (m - m ) g = (m + M/) a - m a (m + M/) a = (m - m ) g + m a (3) Παρατηρήσεις: Α Στην περίπτωση που η τροχαλία έχει πολύ µικρή µάζα (Μ 0) και η µάζα του πιθήκου είναι ίδια µε την µάζα του σώµατος Σ (m =m ), τότε η σχέση (3) δίνει a = a, δηλαδή το σώµα και ο αναριχόµενος πίθηκος έχουν ως προς το ακίνητο έδαφος την ίδια επιτάχυνση. Β Εάν ο πίθηκος δεν αναριχάται αλλά απλώς κρατά το σχοινί, τότε a = - και η σχέση (3) παίρνει την µορφή: (m + M/) a = (m - m ) g - m a (m + m + M/) a = (m - m ) g a = (m - m ) g m + m + M/ Aπό την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι αν m >m, τότε το µεν σώµα κατέρχε ται επιταχυνόµενο και ο πίθηκος ανέρχεται µε αντίθετη επιτάχυνση, ενώ συµ βαίνουν ακριβώς τα αντίθετα στην περίπτωση που m <m. ii) Το σχοινί κατά µήκος του οποίου αναριχάται ο πίθηκος έχει επιτάχυνση - οπότε η σχετική επιτάχυνση a () " του πιθήκου ως προς το σχοινί θα είναι: a () " = a - (- a )= a + a (3) a () " = a + (m - m ) g m + M/ + m a m + M/ a () " = (m + M/) a m + M/ + (m - m ) g m + M/ + m a m + M/ a a

10 a () " = (m - m ) g m + M/ + (m + m + M/) m + M/ a (4) iii) Αν οι µάζες m, m, M έχουν επιλεγεί ώστε το σώµα Σ να ανέρχεται µε επι τάχυνση - g /, τότε η σχέση (3) παίρνει την µορφή: Εάν -(m + M/) g / = (m - m ) g + m a -m g / - M g /4 - m g + m g = m a (-6m - M + 4m ) g /4 = m a a = 3m + M g # - # - (5) " m m % " % 3m m + M m > τότε η επιτάχυνση a είναι οµόρροπη του - g / και ο πίθηκος ανέρχεται επιτα χυνόµενος οµαλά ως προς το ακίνητο έδαφος. Στον χρόνο t που το σώµα ανέρ χεται εκ της ηρεµίας κατά h, ο πίθηκός ανέρχεται επίσης εκ της ηρεµίας κατά h π και ισχύει: (5) h = a t / " h = 3m + M % " g% - ' ' # m m # t = " 3m + M % - ' h (6) # m m Kατά τον χρόνο t η βαρυτική δυναµική ενέργεια του συστήµατος αυξάνεται κα τά: (6) U = U + U = m gh + m gh " " U = m gh + m gh 3m + M % - # m m ' = gh " M + 4m - m % # ' (7) Στον ίδιο χρόνο η κινητική ενέργεια του συστήµατος αυξάνεται κατά: K = K + K + K "#% = m v / + m v / + MR / 4 (5),(6) K = m (gh / )/ + m (a h " )/ + M(gh / )/ 4 K = h g " m + M % g ' + m # h " 3m + M % - ' # m m (8) H αύξηση της µηχανικής ενέργειας του συστήµατος σε χρόνο t είναι:

11 (7),(8) E µ"# = U + K E µ"# = gh M + 4m - m ' ) + % ( +h g m + M g # + m " % h 3m + M # - " m m % E µ"# = gh * 3M + 9m 3m - 4m + m + M ', - ) % m m ( +, - /. / H ζητούµενη χηµική ενέργεια W χηµ. που πρέπει να δαπανήσει ο πήθικος κατά τον χρόνο t, είναι ίση µε ΔΕ µηχ, δηλαδή ισχύει: W "µ = gh ) 3M + 9m # 3m - 4m + m + M + % - ( m m ' * +,. -. P.M. fysikos To σώµα Σ του σχήµατος (3) έχει µάζα Μ και ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή αφήνουµε στην κορυφή Α της κεκλιµένης επιφάνεια του σώµατος µια οµογενή σφαίρα µάζας m, η οποία αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. i) Να δείξετε ότι το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης του κέντρου της σφαίρας ως προς το σώµα Σ, δίνεται από την σχέση: a = 5(M + m)g"µ# 7(M + m) - 5m% # όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και φ η γωνία κλίσεως της κεκ λιµένης επιφάνειας του σώµατος ως προς το οριζόντιο έδαφος. ii) Eάν η απόσταση της κορυφής Α από το οριζόντιο έδαφος είναι H, να βρεθεί η τελική ταχύτητα του σώµατος Σ. Δίνεται η ροπή αδράνει ας Ι C =mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντ ρο µάζας της C. ΛΥΣΗ: i) Το σώµα Σ υπό την επίδραση της δύναµης επαφής που δέχεται από την σφαίρα τίθεται σε κίνηση πάνω στο λείο οριζόντιο έδαφος. Οι εξωτερικές δυ νάµεις που δέχεται το σύστηµα σφαίρα-σώµα Σ (βάρος της σφαίρας, βάρος σώµα τος, αντίδραση οριζόντιου εδάφους), είναι κατακόρυφες που σηµαίνει ότι η ορ µή του συστήµατος κατά την οριζόνια διεύθυνση δεν µεταβάλλεται στην διάρ κεια της κίνησής του. Έτσι, εάν V είναι η ταχύτητα του σώµατος Σ στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους κατά µια τυχαία στιγµή t και v x η οριζόντια συνι στώσα της αντίστοιχης ταχύτητας v του κέντρου µάζας C της σφαίρας, θα ισ χύει η σχέση:

12 M V + m v x = 0 v x = -M V /m () Eάν v είναι η σχετική ταχύτητα του κέντρου C ως προς το σώµα Σ και v,x η οριζόντια συνιστώσα της, θα έχουµε την σχέση: v x = v,x + V () - V (M+ m) = m v,x () Θεωρώντας τις αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων της σχέσεως () και θετική φορά στην οριζόντια διεύθυνση την φορά κίνησης του σώµατος Σ, παίρνουµε: -V(M+ m) = -mv,x V(M+ m) = mv "# (3) Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: (M+ m) dv dt = m"# dv dt (M+ m)a = ma " "#% a = ma " "#% / M+ m (4) Σχήµα 3 όπου a η επιτάχυνση του Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και a η σχετική επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας ως προς το σώµα Σ. Εξάλ λου η σφαίρα κινείται υπό την επίδραση του βάρους της w και της δύναµης επαφής από την κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος, η οποία αναλύεται στην τριβή T, που είναι στατική τριβή διότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση και στην κάθετη αντίδραση N. Η T παρουσιάζει ροπή περι το κέντρο της σφαίρας, που της προσδίδει γωνιακή επιτάχυνση ' για την οποία ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης, δηλαδή έχουµε την σχέση: TR = I C ' TR = mr '/5 T = mr'/5 Όµως λόγω της κύλισης ισχύει a ="'R, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφε ται: T = ma /5 (3) Eφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας της σφαίρας κατά την κάθετη προς την κεκλιµένη έδρα διεύθυνση, παίρνουµε την

13 σχέση: -N + mg"# = ma %' -N + mg"# = ma' % (4) διότι η επιτάχυνση a "# του κέντρου C κατά την θεωρούµενη διεύθυνση στο σύ στηµα αναφοράς του εδάφους συµπίπτει µε την αντίστοιχη επιτάχυνση a ' του σώµατος Σ. Όµως ισχύει a Σ =a Σ ηµφ, οπότε η (4) γράφεται: Σχήµα 4 -N + mg"# = ma % µ N = mg"# - ma % µ (5) Eστιάζοντας στο σώµα Σ παρατηρούµε ότι κατα την οριζόντια διεύθυνση x δέχε ται τις δυνάµεις T ' x και N ' x, που είναι οι αντίστοιχες συνιστώσες των αντιδ ράσεων T ' και N ' που οφείλονται στην επαφή του µε την σφαίρα (σχ. 4) οι οποίες αντιδράσεις είναι αντίθετες των T και N (αξίωµα δράσης-αντίδρασης). Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: (3),(5) N' x - T' x = Ma Nµ" - T#%" = Ma (mg"# - ma % µ)µ - (ma /5)"# = Ma % 5mg"#%µ - 5ma %µ - ma "# = 5Ma (4) 5mg"#%µ - ma "# = 5(M + m%µ )a 5mg"#%µ - ma "# = 5(M + m%µ )ma "# / M + m 5(M + m)gµ" - (M + m)a # = 5(M + mµ ")a # 5(M + m)gµ" = 5(M + mµ ")a # + (M + m)a # 5(M + m)gµ" = [7(M + m) - 5m#% "]a # a = 5(M + m)g"µ# 7(M + m) - 5m% # (6)

14 ii) Aπό την (6) προκύπτει ότι η σχετική επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας ως προς το σώµα είναι ανεξάρτητη του χρόνου που σηµαίνει ότι η σχετική του κίνηση ως προς το Σ είναι οµαλά επιταχυνόµενη. Αν εποµένως t * είναι ο χρό νος που η σφαίρα είναι σε επαφή µε το σώµα, θα ισχύει: AB = a t * / H/µ" = a # t * / t * = H/a "µ# (7) Όµως η σχέση (4) εγγυάται ότι και η κίνηση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι οµαλά επιταχυνόµενη, οπότε το µέτρο της τελικής του ταχύτητας V * την χρονική στιγµή t * που το εγκαταλείπει η σφαίρα δίνεται από την σχέση: (4),(7) V * = a t * V * = ma "# M+ m H a %µ = m"# M+ m Ha %µ (6) V * = m"# M+ m H ) ( + ' %µ* 5(M + m)g%µ 7(M + m) - 5m"# V * = m"# M+ m 0H(M + m)g 7(M + m) - 5m"# P.M. fysikos