FDC. Finite Differences Consolidation. Εγχειρίδιο Χρήσης. Στερεοποίηση με τη μέθοδο Πεπερασμένων Διαφορών. v.1.1. Άγγελος Γάκης

Transcript

1 FDC Finite Differences Consolidation Στερεοποίηση με τη μέθοδο Πεπερασμένων Διαφορών Εγχειρίδιο Χρήσης v.1.1 Άγγελος Γάκης 2009

2 Πίνακας Περιεχομένων ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ... 4 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ... 5 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ... 8 ΦΟΡΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 8 ΦΟΡΜΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ZEDGRAPH

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το πρόγραμμα FDC δημιουργήθηκε στα πλαίσια των «ΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ» του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών για λογαριασμό του τομέα Γεωτεχνικής Μηχανικής υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Στ. Τσότσου. Ο κώδικας έχει συγγραφεί σε γλώσσα Visual Basic 2008 (VB.NET) με τη χρήση της πρόσθετης βιβλιοθήκης zedgraph (με άδεια ανοικτού λογισμικού) για την κατασκευή των διαγραμμάτων (zedgraph.org). 3

4 ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Στόχος του προγράμματος FDC είναι να δώσει στον φοιτητή τη δυνατότητα να κατανοήσει την διαδικασία της μονοδιάστατης στερεοποίησης, μέσα από τον πειραματισμό με τις διάφορες παραμέτρους. Το πρόγραμμα αποτελείται από δύο μέρη: στο πρώτο, ο χρήστης εισάγει τις εδαφικές παραμέτρους (συντελεστή διαπερατότητας και στερεοποίησης, πάχος της εδαφικής στρώσης), τις συνοριακές συνθήκες (διαπερατότητα πυθμένα) καθώς και την κατανομή των αρχικών πιέσεων πόρων με το βάθος, καθώς και την μεταβολή των ολικών τάσεων με το βάθος (αίτιο που προκαλεί τη στερεοποίηση), ενώ στο δεύτερο μπορεί μέσα από πλήθος διαφορετικών επιλογών να επιβλέψει τα αντίστοιχα αποτελέσματα υπό μορφή διαγραμμάτων. Το FDC παρουσιάζει σε πολύ απλή μορφή τις βασικές αρχές της διαδικασίας της στερεοποίησης σε μία εδαφική στρώση, με τους υπολογισμούς να γίνονται με χρήση της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών. Η συγγραφή του κώδικα, έχει γίνει με τρόπο τέτοιο ώστε να επιδέχεται αρκετές προσθήκες σε μελλοντικές εκδόσεις (π.χ. προσθήκη περισσοτέρων της μίας εδαφικών στρώσεων, περισσότερες επιλογές αιτίων στερεοποίσησης πέραν της μεταβολής των ολικών τάσεων, όπως μεταβολές της στάθμης του υδροφόρου ορίζοντα). 4

5 ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ Πριν την επεξήγηση του τρόπου λειτουργίας του προγράμματος, θεωρείται απαραίτητο να δοθούν περιεκτικά οι βασικές αρχές υπολογισμού της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών, όπως αυτή εφαρμόζεται στο δεδομένο πρόβλημα. Η κεντρική ιδέα είναι ότι η λύση αναζητείται σε έναν αριθμό διακεκριμένων σημείων. Καθώς η λύση του προβλήματος της στερεοποίησης είναι συνάρτηση του χρόνου και του χώρου, το πεδίο της λύσης ορίζεται με αντίστοιχους άξονες (Zdravkovic 2003). Θεωρώντας μία εδαφική στρώση πάχους H που βρίσκεται υπό στερεοποίηση, για να οδηγηθούμε στη λύση εφαρμόζουμε την παρακάτω διακριτοποίηση. Σχήμα 1: Τυπική διακριτοποίηση για την εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών. 5

6 Η εξίσωση της μονοδιάστατης στερεοποίησης της οποίας τη λύση διερευνούμε είναι η εξής:, όπου Cv ο συντελεστής στερεοποίησης και u η πρόσθετη πίεση πόρων λόγω της στερεοποίησης. Έτσι στο σημείο 0, ο πρώτος όρος της εξίσωσης με βάση το σχήμα Σχήμα 1γίνεται : ( 1) ( 2) και (3) οπότε, 2 (4) Αντίστοιχα, ο δεύτερος όρος της εξίσωσης γίνεται: (5) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (4) και (5), η εξίσωση (1) παίρνει την παρακάτω μορφή: 2 (6) Συνεπώς για να υπολογιστεί η πρόσθετη πίεση πόρων στο σημείο 1 (με βάση σημεία 0, 2, 3 και 4) η εξίσωση (6) επιλύεται ως προς το u1: u1 λ[u2 u4-2uo] όπου λ=cv. Δt/(Δz) 2 (7) Η παράμετρος λ, λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 0.5 και την ακρίβεια της λύσης να αυξάνεται όσο η τιμή της μειώνεται. 6

7 Στην παραπάνω λύση, αν θέσουμε Z=z/H και T=Cv. t/h 2 (παράμετρος χρόνου), όπου Η το πάχος της στρώσης και αντί για την u, θέσουμε την παράμετρο W=u/Δσv0, όπου Δσv0 η μεταβολή της ολικής τάσης λόγω εξωτερικής φόρτισης, μπορούμε αντί της εξίσωσης (7) να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω εξίσωση: W1 λ [W2 W4-2Wo] όπου λ=cv. Δt/(Δz) 2 =ΔΤ/(ΔΖ) 2 (8) Συνεπώς με τη χρήση της εξίσωσης (8) και θέτοντας τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες (διαπερατότητα πυθμένα) οδηγούμαστε στη λύση της εξίσωσης της μονοδιάστατης στερεοποίησης. 7

8 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΟΣ ΦΟΡΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μετά την αρχική οθόνη εισαγωγής, ο χρήστης μεταφέρεται στη φόρμα εισαγωγής δεδομένων (κύρια φόρμα ελέγχου) σχήμα Σχήμα 2. Σχήμα 2: Κύρια φόρμα ελέγχου για την εισαγωγή δεδομένων. Όπως φαίνεται και στο σχήμα Σχήμα 2, η φόρμα εισαγωγής δεομένων αποτελείται από 3 κύρια μέρη: το πλαίσιο εισαγωγής εδαφικών παραμέτ- 8

9 ρων, το πλαίσιο υπολογισμού των αρχικών πιέσεων πόρων και το πλάισιο υπολογισμού της μεταβολής των ολικών τάσεων. Παράλληλα υπάρχει και το πλήκτρο Παράμετροι F.D. με το οποίο ο χρήστης μπορεί να μεταβάλει τις παραμέτρους της υπολογιστικής διαδικασίας με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Αρχικά ο χρήστης πρέπει να εισάγει τις εδαφικές παραμέτρους και το πάχος της στρώσης. Οι παράμετροι k (συντελεστής διαπερατότητας) και Cv (συντελεστής στερεοποίησης) συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση: (9),όπου γw το φαινόμενο ειδικό βάρος του νερού (= 9.81 kn/m 3 ) και mv ο συντελεστής μεταβολής όγκου. Έτσι, εισάγοντας τις k και Cv, το πρόγραμμα υπολογίζει απευθείας την mv. Ακολουθεί ο υπολογισμός των αρχικών πιέσεων πόρων. Δίνεται η δυνατότητα απευθείας ελέγχου των τιμών που εισάγονται στα κελιά UiTop και UiBtm (πίεση πόρων στην οροφή και τον πυθμένα της εδαφικής στρώσης) με τη χρήση του πλήκτρου υπολογισμού με το οποίο σχεδιάζεται το αντίστοιχο διάγραμμα (σχήμα Σχήμα 3). Εφόσον εισαχθεί η τιμή του UiTop, το πρόγραμμα συμπληρώνει αυτόματα την τιμή του UiBtm υπολογίζοντας υδροστατικά την πίεση στον πυθμένα, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν μπορεί να αλλάξει από το χρήστη. Σημαντικό είναι ότι δίνεται επίσης η δυνατότητα η UiTop να λαμβάνει αρνητικές τιμές ή τιμές μεγαλύτερες της μονάδας (π.χ. εφόσον η στρώση μας παρεμβάλλεται ανάμεσα σε δύο άλλες στρώσεις). 9

10 Σχήμα 3: Σχεδίαση διαγράμματος αρχικών πιέσεων πόρων. Σχήμα 4: Τυπικά διαγράμματα πίεσης των πόρων με το βάθος. 10

11 Έτσι δίνεται επιπλέον η δυνατότητα είτε ο υδροφόρος ορίζοντας να βρίσκεται εντός της στρώσης και η ανάντι ζώνη να είναι είτε κορεσμένη ή ακόρεστη (σχήμα Σχήμα 4, πρώτη και δεύτερη περίπτωση αντίστοιχα), είτε να βρίσκεται ψηλότερα (σχήμα Σχήμα 4, τρίτη περίπτωση). Συνεπώς με τη χρήση της επιλογής συνυπολογισμού της μύζησης καλύπτονται όλες οι περιπτώσεις γραμμικής κατανομής της πίεσης των πόρων σε μία εδαφική στρώση. Κατόπιν, προχωράμε στον υπολογισμό του αιτίου που προκαλεί τη στερεοποίηση της υπό εξέταση στρώσης, συμπληρώνοντας την μεταβολή των ολικών τάσεων στην οροφή (ΔσvTop) και στον πυθμένα (ΔσvBtm) της στρώσης (Σχήμα 5). 11

12 Σχήμα 5: Σχεδίαση διαγράμματος μεταβολής των ολικών τάσεων με το βάθος. Και σε αυτό το στάδιο, πρέπει να πιέσουμε το πλήκτρο υπολογισμού προκειμένου να γίνει ο σχεδιασμός του διαγράμματος. Οι δυνατότητες επιλογής της εξωτερικής φόρτισης είναι οι εξής: (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 6 α-δ: Πιθανές περιπτώσεις μεταβολής των ολικών τάσεων που μπορούν να εισαχθούν στο FDC. 12

13 Για το παράδειγμα εφαρμογής θα δεχθούμε την εισαγωγή των δεδομένων όπως φαίνονται στο Σχήμα 7. Σχήμα 7: Δεδομένα που εισάγονται στο παράδειγμα εφαρμογής. Το τελευταίο στοιχείο που πρέπει να προσέξουμε στην οθόνη εισαγωγής, είναι το πλήκτρο Παράμετροι F.D. με το οποίο ο δίνεται η δυνατότητα μεταβολής των παραμέτρων ΔZ και ΔΤ (και εμμέσως της λ) στις οποίες βασίζεται η μέθοδος επίλυσης (εξ. 8). Με την ενεργοποίηση του πλήκτρου εμφανίζεται το παράθυρο του σχήματος Σχήμα 8. 13

14 Σχήμα 8: Φόρμα μεταβολής των παραμέτρων της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών. Έχοντας συμπληρώσει τα δεδομένα σύμφωνα με το σχήμα Σχήμα 7, πατώντας το πλήκτρο Διαγράμματα μεταφερόμαστε στο παράθυρο αποτελεσμάτων. 14

15 ΦΟΡΜΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Η αρχική οθόνη της φόρμας αποτελεσμάτων είναι αυτή του σχήματος Σχήμα 9. Σχήμα 9: Αρχική οθόνη φόρμας αποτελεσμάτων. Δίνεται έτσι η δυνατότητα επιλογής ανάμεσα σε 4 διαφορετικά διαγράμματα: 1. uexcess Διάγραμμα κατανομής των πρόσθετων πιέσεων πόρων με το βάθος. 15

16 2. utotal Διάγραμμα κατανομής των ολικών πιέσεων πόρων με το βάθος. 3. Uav Μέσος βαθμός στερεοποίησης με το χρόνο. 4. S Συνολική καθίζηση της στρώσης με το χρόνο ή με το μέσο βαθμό στερεοποίησης. Για τα δύο πρώτα διαγράμματα, πρέπει να επιλεγούν οι σειρές δεδομένων που θα περιληφθούν. Διαλέγοντας αρχικά αν οι σειρές δεδομένων θα ορίζονται με βάση το μέσο βαθμό στερεοποίησης (U %) ή με μονάδες χρόνου (Time secs, mins, hrs, days, mnths, yrs), ο χρήστης μπορεί να επιλέξει έως και 14 σειρές δεδομένων. Σχήμα 10: Διάγραμμα πρόσθετων πιέσεων των πόρων με το βάθος για διάφορες τιμές του μέσου βαθμού στερεοποίησης. 16

17 Σε περίπτωση που επιλεγεί ώστε οι σειρές δεδομένων να ορίζονται με βάση μονάδες χρόνου, στο υπόμνημα του διαγράμματος εμφανίζεται εντός παρενθέσεων και ο μέσος βαθμός στερεοποίησης σε εκείνο το χρονικό σημείο. Τέλος, με τη χρήση του πλήκτρου Εξαγωγή σε TextFile, το πρόγραμμα δημιουργεί ένα αρχείο κειμένου (*.txt) στο οποίο περιέχονται τα δεδομένα εισαγωγής καθώς και τα αποτελέσματα. ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ZEDGRAPH Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, για το σχεδιασμό των διαγραμμάτων χρησιμοποιήθηκε η πρόσθετη βιβλιοθήκη με άδεια ανοικτού λογισμικού, zedgraph (zedgraph.org). Σε κάθε διάγραμμα, δίνονται διάφορες δυνατότητες με τη χρήση του δεξιού κλικ του ποντικιού. Όπως φαίνεται στο σχήμα Σχήμα 11, το μενού από το μενού που ανοίγει, ο χρήστης μπορεί να επιλέξει αντιγραφή (copy) του γραφήματος ως εικόνα, αποθήκευση (save Image as) με διάφορες μορφές αρχείου καθώς και εκτύπωση (Page Setup και Print). Πολύ σημαντική είναι η χρήση της επιλογής Show Point Values με την οποία σε κάθε σημείο δεδομένων στην επιφάνεια του γραφήματος, όταν πλησιάζει το βέλος του ποντικιού εμφανίζει τις ακριβείς τιμές. Σχήμα 11: Επιλογές διαγραμμάτων. 17

18 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Zdravkovic, L. (2003). Διδακτική ύλη μαθήματος Στερεοποίηση και Διήθηση, Imperial College, London. Τσότσος, Στ. (1991). Εδαφομηχανική: Θεωρία Μέθοδοι Εφαρμογές, Α- ριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. 18