ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΟΥ ΠΙΝΑΚΩΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΡΟΠΩΝ Νότα Σεβαστιανή - Α.Ε.Μ.: 658 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Δρ. Γεώργιος Α. Παπακώστας ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2014 ΚΑΒΑΛΑ

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή Δρ.Γεώργιο Παπακώστα για την πρόταση και ανάθεση αυτής της πτυχιακής σε μένα, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και την υπομονή που έκανε κατά τη διάρκεια υλοποίησής της. Κυρίως όμως για την πολύτιμη βοήθεια και καθοδήγηση του, στην επίλυση διάφορων θεμάτων. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την κατανόηση και υποστήριξη που έδειξαν κατά την περίοδο της συγγραφής. Σελίδα 1 από 81

3 Σελίδα 2 από 81

4 Περίληψη Η παρούσα πτυχιακή εργασία ασχολείται με την μελέτη των χαρακτηριστικών πέντε δημιουργών πινάκων ζωγραφικής και την ταυτοποίηση αυτών με την χρήση ορθογώνιων ροπών. Η ανάλυση που γίνεται επιδιώκει την στατιστική μελέτη των εξαγόμενων ορθογώνιων ροπών διαφόρων οικογενειών, ώστε να εντοπιστεί μία συγκεκριμένη συμπεριφορά για το ίδιο ζωγράφο. Γίνεται στατιστική ανάλυση των υπολογιζόμενων ροπών για το σύνολο των πινάκων του ίδιου δημιουργού καθώς και των ροπών πινάκων διαφορετικών ζωγράφων. Στο τελευταίο στάδιο η ταυτοποίηση βασίζεται στην ανάπτυξη ταξινομητήk-nn. Το λογισμικό υλοποιήθηκε με την χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Matlab. Σελίδα 3 από 81

5 Σελίδα 4 από 81

6 Abstract This thesis deals with the study of the characteristics of five artists paintings and identify, those with the use of orthogonal moments. The analysis is the statistical study seeks exported various families of orthogonal moments to identify a specific behavior for the same artist.made statistical analysis of the calculated moments for all tables of the same author and torque tables of different painters. In the last step the identification based on growth classifier k-nn. The program was developed with the use of the programming language Matlab. Σελίδα 5 από 81

7 Σελίδα 6 από 81

8 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1.Εισαγωγή στην τεχνητή όραση Ιστορικά Μεθοδολογία Τρόποι απεικόνισης δεδομένων Επεξεργασία εικόνας Αποτελέσματα Αναγνώριση Κεφάλαιο 2.Το πρόβλημα της ταυτοποίησης καλλιτέχνη Γενικά Ποιοτική Ανάλυση Εικόνων Μέθοδος επίλυσης Κεφάλαιο 3.Μέθοδοι ανάκτησης περιεχομένου από οπτικά δεδομένα Γενικά Ιστορικά Η τεχνική εξέλιξη Τεχνικές στα πλαίσια της μεθόδου CBIR Σχετική Ανατροφοδότηση με Ανθρώπινη Αλληλεπίδραση Σύγκριση Περιεχομένου μέσω μέτρησης απόστασης εικόνων Χρώμα Υφή Σχήμα Αλγόριθμοι Ανίχνευση ακμών Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Κυματιδίων (Wavelet Transform) Κεφάλαιο 4.Ροπές εικόνων Σελίδα 7 από 81

9 4.1. Ιστορικό Γενική Υπολογιστική Μορφή Γεωμετρικές Ροπές ( Geometric Moments - GMs ) Ροπές Legendre (LMS) Ροπές Zernike (ΖΜ) Ροπές ψευδο-zernike(pzms) Ροπές Tchebichef (ΤΜ) Ροπές Dual Hahn (DHMs) Κεφάλαιο 5.Κανονικοποιημένες Ροπές Εικόνας Γενικά Κανονικοποιημένες γεωμετρικές ροπές (GMIS) Κανονικοποιημένες ροπές Legendre (LMIS) Κανονικοποιημένες ροπές Zernike (ZMIs) Κανονικοποιημένες ροπές ψευδο-zernike (PZMIs) Κανονικοποιημένες ροπές Tchebichef (TMIs) Κανονικοποιημένες ροπές Krawtchouk (KMIs) Κανονικοποιημένες ροπές Dual Hahn Κεφάλαιο 6. Ταξινόμηση Ο αλγόριθμος k-nn Κεφάλαιο 7. Εκτέλεση Πειραμάτων Στατιστική Ανάλυση Συσχέτιση καλλιτεχνών Προετοιμασία δεδομένων Εκπαίδευση αλγόριθμου και δοκιμή μοντέλου Συμπεράσματα Βιβλιογραφικές Αναφορές Σελίδα 8 από 81

10 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 7.1: Μέσοι ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 16 (σελ.62) Πίνακας7.2: Μέσοι ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 25 (σελ.63) Πίνακας 7.3: Τυπική απόκλιση ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 16 (σελ.64) Πίνακας 7.4: Τυπική απόκλιση ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 25(σελ.65) Πίνακας 7.5: Μέση τιμή και τυπική απόκλιση ανά εικόνα για τάξη = 16 (σελ.66) Πίνακας 7.6: Μέση τιμή και τυπική απόκλιση ανά εικόνα για τάξη = 25 (σελ.67) Πίνακας 7.7: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο Τύπος = Pearson, Οικογένεια = Pseudo-Zernike, Τάξη = 16 (σελ.70) Πίνακας 7.8: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο Τύπος = Kendall, Οικογένεια = Legendre, Τάξη = 16 (σελ 71) Πίνακας 7.9: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο Τύπος = Pearson, Οικογένεια = Tchebichef, Τάξη = 25 (σελ 72) Πίνακας 7.10: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο Τύπος = Spearman, Οικογένεια = Krawtchouk, Τάξη = 25 (σελ 73) Σελίδα 9 από 81

11 Κεφάλαιο 1 - Εισαγωγή στην τεχνητή όραση Ως μηχανική όραση, υπολογιστική όραση ή τεχνητή όραση (Computer Vision CV) ορίζεται εκείνο το επιστημονικό πεδίο της τεχνητής νοημοσύνης το οποίο επιχειρεί να αναπαράγει αλγοριθμικά την αίσθηση της όρασης, συνήθως σε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ρομπότ. Η μηχανική όραση σχετίζεται με τη θεωρία και την τεχνολογία που εμπλέκονται στη σχεδίαση και κατασκευή συστημάτων που λαμβάνουν και αναλύουν δεδομένα από ψηφιακές εικόνες. Τα εν λόγω δεδομένα μπορούν να είναι φωτογραφίες, βίντεο, όψεις από πολλαπλές κάμερες, πολυδιάστατες εικόνες από ιατρικό σαρωτή κλπ. Η μηχανική όραση επιδιώκει να εφαρμόσει θεωρίες και μοντέλα στην κατασκευή μηχανικών συστημάτων με δυνατότητα όρασης. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα εφαρμογών τέτοιων συστημάτων στην σύγχρονη παραγωγική και ερευνητική διαδικασία όπως ο έλεγχος διαδικασιών, η ανίχνευση συμβάντων (π.χ. οπτική επιτήρηση), η Οργάνωση πληροφοριών (π.χ. ευρετηριοποίηση βάσεων δεδομένων και ακολουθιών εικόνων), η εξομοίωση αντικειμένων και περιβαλλόντων (π.χ. ιατρική ανάλυση εικόνας ή τοπογραφική εξομοίωση), η αλληλεπίδραση χρηστών με υπολογιστικά συστήματα (π.χ. διαδικασία εισόδου σε ένα σύστημα επικοινωνίας ανθρώπου / μηχανής). Η μηχανική όραση μπορεί επίσης να περιγραφεί ως συμπλήρωμα (αλλά όχι απαραιτήτως αντίθετο) της βιολογικής όρασης. Στην τελευταία, μελετώνται η οπτική αντίληψη στους ανθρώπους και τα ζώα με αποτέλεσμα μοντέλα για το πώς αυτά τα συστήματα λειτουργούν υπό το πρίσμα των φυσιολογικών διαδικασιών. Επίσης, μελετά και περιγράφει το τεχνητά συστήματα όρασης που εφαρμόζονται σε λογισμικό ή/και σε υλικό υπολογιστών. Η διεπιστημονική ανταλλαγή μεταξύ της βιολογικής και υπολογιστικής όρασης αποδεικνύεται όλο και περισσότερο καρποφόρα και για τους δύο τομείς [1]. Σελίδα 10 από 81

12 1.1. Ιστορικά H μηχανική όραση αναδύθηκε μετά το 1980, ως αποτέλεσμα επέκτασης του πεδίου της πληροφορικής το οποίο καλείται ψηφιακή επεξεργασία εικόνας σε αλγορίθμους ανάλυσης και κατανόησης εικόνων. Είχαν προηγηθεί η μαθηματική μοντελοποίηση της φυσικής όρασης, έστω σε ένα βασικό επίπεδο, και οι πρώτες προσπάθειες για αναπαραγωγή της αίσθησης της όρασης σε αυτόνομα ρομπότ. Ως τότε ο όρος μηχανική όραση σχετιζόταν με την ηλεκτρολογία και τη ρομποτική, συνήθως σε βιομηχανικό πλαίσιο. Κατά τη δεκαετία του 1980, μετά την εμφάνιση της υπολογιστικής όρασης, οι δύο όροι σταδιακά συνέκλιναν και συγχωνεύθηκαν ως επιστημονικά πεδία, σαν διακριτός τομέας της τεχνητής νοημοσύνης με εφαρμογές όχι μόνο στη ρομποτική αλλά και σε δεκάδες ακόμα κλάδους. Από τη δεκαετία του 1990 κι έπειτα η μηχανική όραση έχει γνωρίσει αλματώδη ανάπτυξη, έχει συνδεθεί με το γνωστικό πεδίο της μηχανικής μάθησης και έχει δώσει σημαντικά απτά αποτελέσματα, με αλγορίθμους όρασης πραγματικού χρόνου να υλοποιούνται ακόμα και σε φτηνά κινητά τηλέφωνα εξοπλισμένα με κάμερα. Στο εν λόγω πλαίσιο, η μηχανική όραση έχει διαδραματίσει θεμελιώδη ρόλο στην εξέλιξη της ενισχυμένης πραγματικότητας. Μετά την ευρύτατη διάδοση του Kinect, ενός καινοτόμου περιφερειακού διασύνδεσης μεταξύ χρηστών και υπολογιστικών συστημάτων, και τη σχετική άνθιση του τριδιάστατου (στερεοσκοπικού) οπτικού περιεχομένου ύστερα από τη μεγάλη επιτυχία της κινηματογραφικής ταινίας Άβαταρ το 2009, η μηχανική όραση έχει αρχίσει να εξετάζει πιο ενδελεχώς και την αξιοποίηση δεδομένων βάθους (π.χ. από στερεοσκοπική κάμερα ή ξεχωριστούς αισθητήρες βάθους) για την επίτευξη των στόχων της [2]. Σελίδα 11 από 81

13 1.2. Μεθοδολογία Οι μέθοδοι της μηχανικής όρασης αφορούν τόσο τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος, όσο και την τεχνική διαδικασία που εξελίσεται κατά τη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος αυτού. Από το 2006 και έπειτα, οι διαδικασίες εντός του πεδίου της CV έχουν σε μεγάλο βαθμό τυποποιηθεί τόσο στο πλαίσιο της διασύνδεσης μεταξύ διαφορετικών συστημάτων όσο και στο είδος της πληροφορίας που ανταλλάσεται μεταξύ αυτών. Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση, ως πρώτο βήμα μιας τέτοιας διαδικασίας παραμένει η ανάκτηση οπτικών δεδομένων, στην πλειοψηφία των περιπτώσεων μιας εικόνας. Συνήθως αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση κατάλληλων φωτογραφικών μηχανών, φακών, και συνθηκών φωτισμού που έχει σχεδιαστεί ειδικά ώστε να αναδείξουν από φυσικής πλευράς, τα στοιχεία της εικόνας που κρίνονται πιο απαραίτητα στην μετέπειτα επεξεργασία. Στη συνέχεια ειδικές εφαρμογές λογισμικού, χρησιμοποιώντας μια πληθώρα τεχνικών ψηφιακής επεξεργασίας, εξάγουν από την εικόνα τις απαιτούμενες πληροφορίες, ενώ αρκετά συχνά παίζουν και αποφασιστικό ρόλο, απορρίπτοντας ή επιβεβαιώνοντας τα δεδομένα, βάσει της εξαγόμενης πληροφορίας Τρόποι απεικόνισης δεδομένων Αν και η συμβατική, δισδιάστατη (2D), απεικόνιση δεδομένων είναι η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη στο πεδίο της μηχανικής όρασης, ενίοτε επιλέγονται και εναλλακτικές μέθοδοι όπως απεικόνιση μέσω υπέρυθρων ζωνών, τρισδιάστατη (3D), απεικόνιση μέσων ακτίνων Χ. Τα βασικότερα κριτήρια διαφοροποίησης του τρόπου εφαρμογής των παραπάνω μεθόδων είναι το χρώμα (μονοχρωματικό αντί RGB χρωματισμού), το μέγεθος της ανάλυσης, και κατά πόσον ή όχι η διαδικασία της απεικόνισης εφαρμόζεται ταυτόχρονα σε ολόκληρη την εικόνα ή τμηματικά, ιδιαίτερα χρήσιμη σε περιπτώσεις που το οπτικό δεδομένο περιλαμβάνει κίνηση Σελίδα 12 από 81

14 αντικειμένων. Η συσκευή απεικόνισης της εικόνας (π.χ. φωτογραφική μηχανή) μπορεί είτε να είναι ξεχωριστή από το υπόλοιπο σύστημα επεξεργασίας επεξεργασίας εικόνας ή μέρος του, και ο συνδυασμός γενικά ονομάζεται έξυπνη κάμερα (smart camera) ή έξυπνος αισθητήρας (smart sensor). Όταν είναι ξεχωριστά, η σύνδεση μεταξύ αυτών γίνεται μέσω ενός εξειδικευμένου ενδιάμεσου υλικού που έχει την ικανότητα να αποσπά πλαίσια εικόνας (frame grabber), χρησιμοποιώντας είτε ένα τυποποιημένο (π.χ. Camera Link, CoaXPress ) ή ένα προσαρμοσμένο περιβάλλον εργασίας. Σε πολλές περιπτώσεις εφαρμογών μηχανικής όρασης έχουν επίσης χρησιμοποιηθεί ψηφιακές φωτογραφικές μηχανές ικανές για άμεση σύνδεση (χωρίς ενδιάμεσο υλικό) με υπολογιστή μέσω FireWire, USB ή τεχνολογία Gigabit Ethernet [3] Επεξεργασία εικόνας Το επόμενο βήμα μετά την ανάκτηση μιας εικόνας, είναι η επεξεργασία της. Τα στάδια επεξεργασίας μιας εικόνας μπορούν να περιλαμβάνουν: - Δέσιμο (Stitching)/συνδυασμό γειτονικών 2D ή 3D εικόνων - Φιλτράρισμα (filtering) (π.χ. φίλτρα αφαίρεσης χρώματος) - Κατωφλίωση(Thresholding: Συνιστά τον καθορισμό ή προσδιορισμό μιας γκρι τιμής, απαραίτητης σε ακόλουθα βήματα. Η τιμή αυτή χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να διαχωρίσει τα τμήματα της εικόνας, και μερικές φορές να τα μετατρέψουν σε μαύρα και άσπρα, ανάλογα με το αν η χρωματική ένταση των τμημάτων αυτά ξεπερνάει ή όχι το καθορισμένο όριο. - Μέτρηση pixels: μετρά τον αριθμό των φωτεινών ή σκοτεινών pixels - Τμηματοποίηση: Διαμέριση μια ψηφιακής εικόνας σε πολλαπλά τμήματα για την απλοποίηση ή και την αλλαγή της αναπαράστασης της εικόνας σε μορφή που είναι πιο χρήσιμη και εύκολη να αναλυθεί Σελίδα 13 από 81

15 - Ανίχνευση ακμών της εικόνας - Ανάλυση χρώματος: Εντοπισμός τμημάτων, παραγώγων και αντικειμένων βάσει του χρώματος ή της ποιότητας του, και απομόνωση χαρακτηριστικών - Ανακάλυψη και διαχείριση θολών σημείων (blobs): επιθεώρηση της εικόνας για θολές περιοχές συνδεδεμένων εικονοστοιχείων (π.χ. μια μαύρη τρύπα σε ένα γκρίζο αντικείμενο) ως ορόσημα - Επεξεργασία μέσω νευρωνικού δικτύου: δημιουργία και εκπαίδευση μοντέλου για λήψη πολυπαραγοντικών αποφάσεων - Αναγνώριση προτύπων: Εύρεση, ταίριασμα, και / ή μέτρηση συγκεκριμένων μοτίβων. Αυτό μπορεί να περιλαμβάνει την εύρεση της τοπολογίας ενός αντικειμένου που μπορεί να περιστρέφεται, να επικαλύπτεται από ένα άλλο αντικείμενο, ή μεταβάλλεται το μέγεθος του - Ανάγνωση μορφών Barcode - Οπτική αναγνώριση χαρακτήρων: αυτοματοποιημένη ανάγνωση του κειμένου, όπως σειριακούς αριθμούς - Μέτρηση των διαστάσεων αντικειμένου (π.χ. σε pixels, ίντσες ή χιλιοστά) 1.5. Αποτελέσματα Ένα σύνηθες αποτέλεσμα των συστημάτων μηχανικής όρασης είναι οι αποφάσεις απόρριψης/αποδοχής. Οι αποφάσεις αυτές μπορούν να ενεργοποιούν μηχανισμούς που απορρίπτουν αντικείμενα ή θέτουν σε λειτουργία ένα συναγερμό. Άλλα αποτελέσματα μπορούν να περιλαμβάνουν τη θέση ενός αντικειμένου ή πληροφορίες προσανατολισμού καθοδήγησης ενός ρομπότ. Επίσης, τέτοια αποτελέσματα συχνά περιλαμβάνουν αριθμητικά δεδομένα μέτρησης, δεδομένα που διαβάζονται από κωδικούς και χαρακτήρες, αποθηκευμένες εικόνες, συναγερμοί από αυτοματοποιημένα συστήματα παρακολούθησης, καθώς και τα σήματα ελέγχου μιας διαδικασίας που εξελίσσεται. Σελίδα 14 από 81

16 Πέρα από τα αποτελέσματα που μπορούν να παράγουν τα συστήματα μηχανικής όρασης, έχουν τη δυνατότητα να εκτελέσουν ένα σύνολο βασικών εργασιών που σχετίζονται με τα οπτικά δεδομένα. Μερικά παραδείγματα περιγράφονται στην παρακάτω παράγραφο Αναγνώριση Ένα βασικό προς επίλυση πρόβλημα της μηχανικής όρασης είναι η διαπίστωση (αναγνώριση) του κατά πόσον ή όχι τα δεδομένα μιας εικόνας περιέχουν κάποιο συγκεκριμένο αντικείμενο, χαρακτηριστικό, ή δραστηριότητα. Παρόλο που αυτό το ζήτημα μπορεί κανονικά να αντιμετωπιστεί επιτυχώς και χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια από το ανθρώπινο μάτι, ωστόσο δεν έχει ακόμη επιλυθεί ικανοποιητικά στα πλαίσια της υπολογιστικής όρασης στη γενική του περίπτωση δηλαδή, τυχαία αντικείμενα σε τυχαίες καταστάσεις. Οι υπάρχουσες μέθοδοι για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος μπορούν στην καλύτερη περίπτωση να προσφέρουν λύση μόνο για συγκεκριμένα αντικείμενα, όπως απλά γεωμετρικά σχήματα (π.χ., πολύεδρα), ανθρώπινα πρόσωπα, τυπωμένοι ή χειρόγραφοι χαρακτήρες, οχήματα, και συνήθως σε καλά καθορισμένες συνθήκες φωτισμού, φόντου, και τοποθέτησης του αντικειμένου σε σχέση με την κάμερα [4]. Οι βασικότερες υποκατηγορίες του προβλήματος αναγνώρισης είναι οι εξής: Αναγνώριση αντικειμένων - ένα ή περισσότερα, προκαθορισμένα ή μη, αντικείμενα ή κλάσεις αντικειμένων μπορούν να αναγνωρίζονται, συνήθως μαζί με τη θέση τους στον δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο. Η εφαρμογή Google Goggles για παράδειγμα παρέχει ένα αυτόνομο πρόγραμμα υλοποίησης αυτής της λειτουργίας. Ταυτοποίηση αντικειμένου - Παραδείγματα περιλαμβάνουν την αναγνώριση του προσώπου ή των δακτυλικών αποτυπωμάτων, αναγνώριση χειρόγραφων ψηφίων, ή τον εντοπισμό ενός συγκεκριμένου οχήματος. Σελίδα 15 από 81

17 Ανίχνευση - τα δεδομένα εικόνας σαρώνονται για την αναζήτηση μιας συγκεκριμένης κατάστασης. Παραδείγματα περιλαμβάνουν την ανίχνευση των πιθανών μη φυσιολογικών κυττάρων ή ιστών σε ιατρικές εικόνες ή ανίχνευση ενός οχήματος σε ένα αυτόματο σύστημα διοδίων. Πιο εξειδικευμένες εργασίες που βασίζονται στην αναγνώριση, είναι οι παρακάτω: Αυτόματη Ανάκτηση Εικόνων η εύρεση όλων των εικόνων με ένα συγκεκριμένο περιεχόμενο από ένα μεγαλύτερο σύνολο. Το περιεχόμενο μπορεί να καθοριστεί με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα όσον αφορά την ομοιότητα σε σχέση με ένα πρότυπο ή με βάση τα κριτήρια αναζήτησης υψηλού επιπέδου που δίνονται ως είσοδος. Εκτίμηση θέσης - εκτίμηση της θέσης ή του προσανατολισμού ενός συγκεκριμένου αντικειμένου σε σχέση με την κάμερα. Οπτική αναγνώριση χαρακτήρων (OCR) - αναγνώριση χαρακτήρων σε εικόνες εκτυπωμένου ή χειρόγραφου κειμένου, συνήθως με σκοπό την κωδικοποίησή τους σε μια μορφή πιο δεκτική στην επεξεργασία ή την ευρετηρίαση (π.χ. ASCII). Ανάγνωση δισδιάστατων δεδομένων - ανάγνωση δεδομένων 2D, όπως πίνακες δεδομένων και QR κωδικοποίηση. Σελίδα 16 από 81

18 Κεφάλαιο 2 - Το πρόβλημα της ταυτοποίησης καλλιτέχνη 2.1. Γενικά Στο πλαίσιο του πεδίου της μηχανικής όρασης, η ταυτοποίηση ενός καλλιτέχνη από το έργο του αποτελεί μια σύνθετη διαδικασία που συμπεριλαμβάνει δυο βασικές ενέργειες: την εξαγωγή χαρακτηριστικών γνωρισμάτων από τις υπό επεξεργασία εικόνες (πίνακες ζωγραφικής) και την κατηγοριοποίηση τους σε συγκεκριμένες κλάσεις καλλιτεχνών. Ενώ η αποτελεσματικότητα της δεύτερης διαδικασίας ξαρτάται από την επιλογή του μοντέλου ταξινόμησης, η βέλτιστη υλοποίηση της πρώτης συνδέεται σημαντικά με τον τρόπο εξαγωγής των χαρακτηριστικών. Η βασική ιδέα της ταυτοποίησης βασίζεται στη δυνατότητα εξαγωγής μοναδικών χαρακτηριστικών από οπτικά δεδομένα τα οποία αναπαριστούν παραδείγματα έργων των καλλιτεχνών προς ταυτοποίηση (π.χ. πίνακές τους σε ψηφιακή μορφή), στην κατηγοριοποίηση αυτών και στη διαμόρφωση μοτίβων (προτύπων) σύμφωνα με τα οποία μπορεί να συγκριθούν περισσότερα οπτικά δεδομένα στο μέλλον. Κάθε μοτίβο ή πρότυπο πίνακα θα πρέπει να ορίζεται μοναδικά από ένα σύνολο χαρακτηριστικών ή στατιστικών τιμών και θα αντιστοιχεί σε έναν συγκεκριμένο καλλιτέχνη. Η μελλοντική εξέταση ενός νέου πίνακα ή εικόνας θα εκτελείται βάσει της σύγκρισης της εικόνας αυτής με τα πρότυπα τα οποία θα έχουν ήδη διαμορφωθεί από την προηγούμενη διαδικασία επεξεργασίας και θα αντιστοιχεί στον καλλιτέχνη με τον οποίο συνδέεται το πρότυπο Ποιοτική Ανάλυση Εικόνων Σε αντίθεση με την διαδικασία αναγνώρισης αντικειμένων σε εικόνες ή την ταυτοποίηση απλών σχημάτων, η ταυτοποίηση πινάκων με τον καλλιτέχνη τους αποτελεί μια πιο σύνθετη διαδικασία, δεδομένου της πολυπλοκότητας του συνδυασμού σχημάτων και χρωμάτων πάνω στην επιφάνεια των οπτικών δεδομένων. Η ιδιαιτερότητά τους αυτή καθιστά αναγκαία μια διαδικασία Σελίδα 17 από 81

19 επεξεργασίας που θα εντοπίζει και θα αξιοποιεί πολύ περισσότερο την ποιοτική διαφορά των χαρακτηριστικών των εικόνων, προκειμένου να αποφευχθεί κάποια απώλεια πληροφορίας και διακριτότητας μεταξύ των μοτίβων που αντιστοιχούν σε κάθε εικόνα. Μια επιπλέον δυσκολία η οποία εντοπίζεται στο πρόβλημα της ταυτοποίησης του καλλιτέχνη είναι το γεγονός ότι διαχρονικά παρατηρείται ένας βαθμός αλληλεπίδρασης του ενός καλλιτέχνη από τον άλλον. Ειδικότερα στην περίπτωση όπου οι καλλιτέχνες των πινάκων υπό επεξεργασία τοποθετούνται σε διαφορετικές ιστορικές περιόδους, είναι ακόμα μεγαλύτερη η πιθανότητα κάποιος μεταγενέστερος καλλιτέχνης να επηρεάστηκε ως προς την ζωγραφική του από κάποιον παλαιότερο. Μια τέτοια είδους αλληλεπίδραση μπορεί να εντοπιστεί μέσα από μια αποτελεσματική στατιστική ανάλυση των μοτίβων που θα δημιουργηθούν μέσα από την εξαγωγή χαρακτηριστικών κάθε πίνακα για εντοπισμό έλλειψης στατιστικής ανεξαρτησίας ή αυτοσυσχέτισης Μέθοδος επίλυσης Γενικότερα το πρόβλημα ταυτοποίησης καλλιτέχνη μπορεί να οριστεί ως μια ειδική περίπτωση που συνδυάζει δυο βασικές κατηγορίες προβλημάτων του πεδίου της μηχανικής όρασης: αυτό της ταυτοποίησης εικόνας και αυτό της κατηγοριοποίησης των αποτελεσμάτων. Πιο συγκεκριμένα για το δεύτερο, το ζητούμενο είναι όχι τόσο η αυτοματοποίηση της διαδικασίας ανάκτησης όσο η εξαγωγή συγκεκριμένων χαρακτηριστικών και η διευκόλυνση της κατηγοριοποίησης της εικόνας σε καλλιτέχνες, μέσω της σύγκρισης με κάποιο αρχικό μοτίβο που θα έχει κατασκευαστεί από τα αρχικά δεδομένα εκπαίδευσης του μοντέλου ταξινόμησης. Σελίδα 18 από 81

20 Ως εκ τούτου η μεθοδολογία επίλυσης του προβλήματος που εξετάζουμε, εμπεριέχει, τουλάχιστον σε μια γενική μορφή, όλα εκείνα τα στάδια που απαιτούνται σε μια διαδικασία μηχανικής όρασης, με όλες τις αντίστοιχες εξειδικεύσεις. Βήμα 1ο - Ανάκτηση δεδομένων Στα πλαίσια αυτού του βήματος είναι απαραίτητη η ανάκτηση των οπτικών δεδομένων που θα τεθούν υπό επεξεργασία. Το πλήθος των δεδομένων πρέπει να είναι ικανοποιητικός ώστε τόσο η εκπαίδευση του μοντέλου ταξινόμησης, όσο και συνολικά η διαδικασία ταυτοποίησης να διαθέτουν μια στατιστική αξιοπιστία όσον αφορά τη λειτουργία τους και τα αποτελέσματα που θα παραχθούν. Ταυτόχρονα, είναι σημαντική η βέλτιστη κατανομή των αρχικών δεδομένων στις κλάσεις κατηγοριοποίησης (δηλαδή τους καλλιτέχνες), για την καλύτερη δυνατή λειτουργία της διαδικασίας (για παράδειγμα είναι επιθυμητό να ανακτηθεί ο ίδιος αριθμός πινάκων από κάθε καλλιτέχνη). Η διαδικασία ανάκτησης απαιτείται να γίνει μέσω εργαλείων τα οποία θα επιτύχουν την ελάχιστη απώλεια πληροφορίας και λεπτομέρειας κατά την ψηφιοποίηση των εικόνων των πινάκων και τη μεταφορά τους σε κάποιο υπολογιστικό σύστημα όπου θα συνεχιστούν τα επόμενα βήματα. Η χρήση ψηφιακής κάμερας με δυνατότητα υψηλής ανάλυσης μπορεί να αποτυπώσει τους πίνακες από την πραγματική τους μορφή σε μια αντίστοιχη ψηφιακή υψηλής ανάλυσης. Είναι σημαντικό να παρατηρηθεί ότι η βέλτιστη αποτύπωση των χαρακτηριστικών κάθε πίνακα είναι απαραίτητη, ανεξαρτήτως της μετέπειτα ψηφιακής επεξεργασίας που πιθανόν να υποστούν τα δεδομένα, προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί ο όγκος και η πολυπλοκότητα για τη βελτιστοποίηση της απόδοσης της διαδικασίας στα επόμενα στάδια (π.χ. αφαίρεση χρώματος, μείωση ανάλυσης). Σελίδα 19 από 81

21 Αυτό ισχύει επειδή η ίδια η αποτελεσματικότητα τέτοιων μεθόδων επεξεργασίας εικόνων εξαρτάται από το βαθμό λεπτομέρειας της αρχικής εικόνας. Βήμα 2ο Τρόπος απεικόνισης δεδομένων Σε αυτό το βήμα επιλέγεται η δισδιάστατη απεικόνιση των δεδομένων. Παρά το γεγονός ότι τα δεδομένα επεξεργασίας βασίζονται σε πίνακες ζωγραφικής, οι οποίοι εμπεριέχουν την τρισδιάστατη αίσθηση της απεικόνισης, ωστόσο η εξασφάλιση υψηλής ανάλυσης κατά την ψηφιοποίησή τους δίνει τη δυνατότητα για τη μεταφορά όλης της πληροφορίας και τη λεπτομέρεια σημαντικών χαρακτηριστικών μιας εικόνας ζωγραφικής (χρώμα, βάθος, υφή, προοπτική) σε εικόνες δισδιάστατης μορφής. Για την επίτευξη του παραπάνω στόχου υπάρχουν μέθοδοι στο πεδίο της ανάκτησης περιεχομένου από εικόνες που μπορούν να εξασφαλίσουν το επιθυμητό αποτέλεσμα. Ένα βασικό πλεονέκτημα της ικανοποιητικής μεταφοράς των πινάκων σε δισδιάστατες εικόνες, είναι η βέλτιστη μεταφορά των ψηφιακών δεδομένων σε αποθηκευτικές δομές που χρησιμοποιεί το λογισμικό επεξεργασίας και διευκολύνουν τα επόμενα βήματα επεξεργασίας (π.χ. δισδιάστατοι πίνακες αντί για τρισδιάστατοι στο MATLAB). Επιπλέον διαδικασίες μπορούν να υλοποιηθούν για την επίτευξη αυτού του στόχου κατά την προεπεξεργασία των δεδομένων. Βήμα 3ο Επεξεργασία εικόνας Όπως έχει ήδη αναφερθεί και προηγουμένως, το στάδιο της επεξεργασίας εικόνας εμπεριέχει ένα σύνολο μεθόδων και διαδικασιών, οι οποίες αφορούν τόσο ένα πρότερο στάδιο επεξεργασίας, όσο και το κύριο μέρος αυτής. Οι μέθοδοι αυτοί εφαρμόζονται πάνω στα οπτικά δεδομένα με σκοπό τόσο τη βελτιστοποίηση των συνθηκών πριν από τη βασική λειτουργία (συμπίεση όγκου, απλοποίηση Σελίδα 20 από 81

22 πολυπλοκότητας, αφαίρεση μη σημαντικών δεδομένων, αλλαγή χρωματισμού) όσο και την αύξηση της απόδοσης της συνολικής ενέργειας (εξαγωγή χαρακτηριστικών, δημιουργία μοντέλου κατηγοριοποίησης, υπολογισμός στατιστικών μετρικών). Προεπεξεργασία Στο υποστάδιο της προεπεξεργασίας, επιδιώκεται η επεξεργασία των εικόνων με τρόπο τέτοιο ώστε να μεταφερθεί όσο το δυνατό λιγότερη από πλευράς όγκου και πολυπλοκότητας δεδομένων στο επόμενο στάδιο, δίχως όμως την απώλεια πληροφορίας που θα αλλοιώσει τα αποτελέσματα της ταυτοποίησης. Σε αυτό το επίπεδο διαδικασίες φιλτραρίσματος, μείωσης ανάλυσης, αφαίρεση θορύβου, αποχρωματοποίησης, συμπίεσης μπορούν να συμβάλλουν στον επιθυμητό σκοπό. Επίσης χρειάζεται να διερευνηθεί η δυνατότητα εξαγωγής της απαραίτητης πληροφορίας από τμήματα της κάθε εικόνας αντί για το σύνολό της. Κύρια επεξεργασία Στο βασικό στάδιο ο κύριος σκοπός είναι η εξαγωγή εκείνων των χαρακτηριστικών (συνήθως αριθμητικών ή στατιστικών ποσοτήτων) τα οποία θα μπορέσουν να συγκροτήσουν κάποιο μοναδικό μοτίβο ανά εικόνα ώστε στο επόμενο στάδιο να είναι δυνατό ένας νέος πίνακας να αντιστοιχηθεί με επιτυχία στον σωστό καλλιτέχνη. Η διαδικασία αυτή περιλαμβάνει τόσο την επιλογή μιας αποτελεσματικής μεθόδου εξαγωγής των χαρακτηριστικών της εικόνας όσο και την κατασκευή ενός μοντέλου που θα εκτελεί την κατηγοριοποίηση ή ταξινόμηση σε επόμενο στάδιο. Για το πρώτο σκέλος αυτού του βήματος μια πληθώρα από στατιστικές μεθόδους χρησιμοποιούνται ευρέως στα πλαίσια της μηχανικής όρασης, ενώ για το δεύτερο συνήθως χρησιμοποιούνται μέθοδοι και τεχνικές από το πεδίο της τεχνητής Σελίδα 21 από 81

23 νοημοσύνης και της τεχνικής μάθησης, ώστε να μπορεί το μοντέλο να εκπαιδευτεί από τα αρχικά δεδομένα και να δημιουργήσει ένα αποτελεσματικό σύστημα ταξινόμησης. Πιο συγκεκριμένα, λόγω του γεγονότος ότι η τελική διαδικασία αφορά κατηγοριοποίηση σε γνωστές κλάσεις καλλιτέχνες, η μέθοδος που επιλέγεται προέρχεται από την υποκατηγορία της μηχανικής μάθησης με επίβλεψη. Βήμα 4ο Αποτελέσματα Σε αυτό το στάδιο, νέα δεδομένα υπό εξέταση, συγκρίνονται μέσω του μοντέλου ταξινόμησης με τα μοτίβα που κατασκευάστηκαν σε προηγούμενο βήμα και αντιστοιχούν σε ξεχωριστούς καλλιτέχνες και στη συνέχεια οι πίνακες ταυτοποιούνται με τον καλλιτέχνη τους. Σκοπός είναι να μπορεί να υλοποιηθεί η διαδικασία της ταξινόμησης με υψηλό ποσοστό επιτυχίας, για πίνακες για τους οποίους δεν παρέχεται καμία απολύτως πληροφορία, εκτός από το περιεχόμενό τους, βάσει του οποίου θα εξαχθούν τα δικά τους αντίστοιχα μοναδικά χαρακτηριστικά τα οποία θα τεθούν υπό εξέταση και σύγκριση. Ο βαθμός επιτυχίας αυτού του βήματος εξαρτάται σε πολύ μεγάλο βαθμό από την μοναδικότητα και τη διακριτότητα των μοτίβων που αντιστοιχεί σε κάθε καλλιτέχνη και την διαδικασία εκπαίδευσης του μοντέλου ταξινόμησης από τα αρχικά δεδομένα. Γι' αυτό ένας ικανοποιητικός αριθμός πειραματικών δοκιμών με διαφορετικές παραμέτρους είναι απαραίτητος προκειμένου να εντοπιστούν οι βέλτιστες μέθοδοι και τεχνικές για την επίλυση του προβλήματος. Σελίδα 22 από 81

24 Κεφάλαιο 3 - Μέθοδοι ανάκτησης περιεχομένου από οπτικά 3.1. Γενικά δεδομένα Στα πλαίσια του πεδίου της μηχανικής όρασης το πρόβλημα της ταυτοποίησης ενός καλλιτέχνη μπορεί να οριστεί ως εξειδικευμένη υποκατηγορία του ευρύτερου ζητήματος της Βασισμένης στο Περιεχόμενο Ανάκτησης Εικόνων (CBIR), επίσης γνωστής ως Ερώτημα Προς το Περιεχόμενο Εικόνας (QBIC) ή Ανάκτηση Βάσει Περιεχομένου Οπτικών Πληροφοριών (CBVIR). Το CBIR αποτελεί την εφαρμογή των μεθόδων της μηχανικής όρασης στο πρόβλημα της ανάκτησης εικόνων, δηλαδή, το πρόβλημα της αναζήτησης για ψηφιακών εικόνων σε μεγάλες βάσεις δεδομένων. Ο όρος "Βασισμένης στο Περιεχόμενο" σημαίνει ότι η αναζήτηση αναλύει τα ίδια τα περιεχόμενα της εικόνας και όχι τα μετα-δεδομένα (metadata), όπως λέξεις-κλειδιά, ετικέτες, ή περιγραφές που συνδέονται με την εικόνα. Ο όρος "περιεχόμενο" σε αυτό το πλαίσιο θα μπορούσε να αναφέρεται σε χρώματα, σχήματα, υφές, ή οποιαδήποτε άλλη πληροφορία που μπορεί να προέρχεται από την ίδια την εικόνα. Η CBIR είναι ιδιαίτερα δημοφιλής επειδή εναλλακτικές μέθοδοι αναζήτησης που βασίζονται αποκλειστικά σε metadata εξαρτώνται υπερβολικά από την ποιότητα και την πληρότητα της εικόνας. Ο σχολιασμός μιας εικόνας με την εισαγωγή λέξεων-κλειδιά ή μεταδεδομένων σε μια μεγάλη βάση μπορεί να είναι χρονοβόρα διαδικασία και ίσως αναποτελεσματική στην εύρεση των απαραίτητων λέξεων. Επίσης η αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας της αναζήτησης εικόνων μέσω λέξεωνκλειδιών είναι υποκειμενική και ακαθόριστη σε ένα βαθμό [5] Ιστορικά Ο όρος "Αυτόματη Ανάκτηση Εικόνων φαίνεται να έχει τις ρίζες του στο 1992, όταν χρησιμοποιήθηκε από τον T.Kato [31] για την περιγραφή πειραμάτων σε αυτόματη Σελίδα 23 από 81

25 ανάκτηση των εικόνων από μια βάση δεδομένων, με βάση τα χρώματα και τα σχήματα του παρόντος. Από τότε, ο όρος χρησιμοποιείται για την περιγραφή της διαδικασίας ανάκτησης επιθυμητών εικόνων από μια μεγάλη συλλογή επί τη βάσει των συντακτικών χαρακτηριστικών εικόνας. Οι τεχνικές, τα εργαλεία και οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται προέρχονται από τομείς όπως η στατιστική, η αναγνώριση προτύπων, η επεξεργασία σήματος, και η υπολογιστική όραση. Η πρώτη εμπορική εκμετάλλευση του συστήματος CBIR αναπτύχθηκε από την IBM με την ονομασία QBIC [6] Η τεχνική εξέλιξη Γενικότερα, το ενδιαφέρον για τη CBIR έχει αυξηθεί λόγω των περιορισμών που συνδέονται με τα συστήματα που βασίζονται στα metadata, καθώς και το μεγάλο εύρος των πιθανών χρήσεων της αποτελεσματικής ανάκτησης εικόνας. Αν και αναλυτικές πληροφορίες σχετικά με τις εικόνες μπορούν εύκολα να αναζητηθούν με την υπάρχουσα τεχνολογία, ωστόσο κάτι τέτοιο απαιτεί ανθρώπινη εργασία για την εισαγωγή της περιγραφής κάθε εικόνας σε μια βάση δεδομένων. Μια τέτοια διαδικασία μπορεί να είναι πολύ ασύμφορη στην περίπτωση πολύ μεγάλων βάσεων δεδομένων ή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα, π.χ. εκείνων που προέρχονται από τις κάμερες παρακολούθησης. Είναι επίσης δυνατή η λανθασμένη κατηγοριοποίηση εικόνων που χρησιμοποιούν διαφορετικά συνώνυμα στις περιγραφές τους. Αν και πολλά πρότυπα έχουν αναπτυχθεί για τη βελτιστοποίηση της κατηγοριοποίησης των εικόνων, ωστόσο όλα εξακολουθούν να αντιμετωπίζουν προβλήματα σε θέματα αλλαγής κλίμακας των εικόνων κατηγοριοποίησης. ή λανθασμένης Τα αρχικά συστήματα CBIR αναπτύχθηκαν με σκοπό την εκτέλεση αναζήτησης σε βάσεις δεδομένων βασισμένη στο χρώμα (color), την υφή (texture), και ιδιότητες όπως το σχήμα (shape) του περιεχομένου της εικόνας. Μετά από την ανάπτυξη αυτών ων συστημάτων εμφανίστηκε η ανάγκη για τη δημιουργία Σελίδα 24 από 81

26 διασυνδέσεων πιο φιλικών προς τον χρήστη. Ως εκ τούτου, οι προσπάθειες στο πεδίο των CBIR ξεκίνησε να περιλαμβάνουν πιο ανθρωποκεντρικό σχεδιασμό και προσπάθησαν να καλύψουν τις ανάγκες του χρήστη που θα εκτελούσε την αναζήτηση. Αυτό τις περισσότερες φορές σήμαινε συμπερίληψη ερωτημάτων (queries) που επέτρεπαν την περιγραφική διατύπωση αιτημάτων, ερωτημάτων που μπορούσαν να συμπεριλάβουν τα σχόλια των χρηστών, συστημάτων τα οποία μπορούσαν να συμπεριλάβουν μηχανική μάθηση, καθώς και συστήματα που μπορούν να καταλάβουν τα επίπεδα ικανοποίησης των χρηστών [7] Τεχνικές στα πλαίσια της μεθόδου CBIR Συνολικά, διαφορετικές υλοποιήσεις των CBIR κάνουν χρήση διαφορετικών τύπων των ερωτημάτων του χρήστη. Η αναζήτηση με βάση το παράδειγμα είναι μια τεχνική ανάπτυξης ερωτημάτων που περιλαμβάνει την ενημέρωση ενός συστήματος CBIR με ένα παράδειγμα εικόνας, πάνω στην οποία θα βασιστεί η αναζήτηση. Οι αλγόριθμοι αναζήτησης μπορεί να ποικίλλουν ανάλογα με την εφαρμογή, αλλά τα αποτελέσματα θα πρέπει όλα να έχουν κοινά στοιχεία με την εικόνα του παραδείγματος. Η εικόνα του παραδείγματος μπορεί να παρέχεται από το χρήστη ή να επιλέγεται τυχαία από ένα σύνολο εικόνων. Αυτή η τεχνική απομακρύνει τις δυσκολίες που μπορεί να προκύψουν στην περιγραφή εικόνων μέσω λέξεων [8] Σχετική Ανατροφοδότηση με Ανθρώπινη Αλληλεπίδραση Ο συνδυασμός CBIR τεχνικών αναζήτησης που είναι διαθέσιμες με το ευρύ φάσμα των δυνητικών χρηστών και τις επιθυμίες του μπορεί να είναι ένα δύσκολο έργο. Σελίδα 25 από 81

27 Γι'αυτό μια βασική πιθανότητα βελτιστοποίησης της αποτελεσματικότητας ενός CBIR συστήματος βασίζεται εξ ολοκλήρου στην ικανότητα του να κατανοήσει πλήρως την πρόθεση του χρήστη. Σε αυτή την περίπτωση τα CBIR συστήματα μπορούν να κάνουν χρήση της ανθρώπινης ανατροφοδότησης, όπου ο χρήστης βελτιώνει σταδιακά τα αποτελέσματα της αναζήτησης χαρακτηρίζοντας τις εικόνες των αποτελεσμάτων ως "σχετικές", "μη σχετικές ", ή" ουδέτερες" και επαναλαμβάνοντας συνεχώς την αναζήτηση με τις νέες πληροφορίες [9] Σύγκριση Περιεχομένου μέσω μέτρησης απόστασης εικόνων Η πιο κοινή μέθοδος για τη σύγκριση δύο εικόνων στη μέθοδο CBIR (τυπικά μεταξύ μιας εικόνας παραδείγματος και μιας εικόνας από τη βάση δεδομένων), βασίζεται στη χρήση μιας μετρικής της απόστασης μεταξύ τους. Μια μετρική απόστασης εικόνων συγκρίνει την ομοιότητα τους σε διάφορες διαστάσεις, όπως το χρώμα, την υφή, το σχήμα, και άλλα. Για παράδειγμα, η απόσταση 0 σημαίνει μια ακριβή αντιστοιχία των δυο εικόνων, σε σχέση με τις διαστάσεις που εξετάστηκαν. Αντίστοιχα, μια τιμή μεγαλύτερη από το 0 δείχνει διάφορους βαθμούς ομοιότητες μεταξύ των εικόνων. Οι εικόνες αποτελέσματα της αναζήτησης μπορούν να ταξινομηθούν με βάση την απόστασή τους από την εικόνα παράδειγμα [10] Χρώμα Οι μετρικές απόστασης που βασίζονται στην ομοιότητα χρώματος υπολογίζονται βάσει ενός ιστογράμματος χρώματος για κάθε εικόνα που προσδιορίζει το ποσοστό των pixels που κατέχουν ειδικές τιμές. Η εξέταση των εικόνων με βάση τα χρώματα που περιέχουν είναι μία από τις πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες τεχνικές διότι μπορεί να ολοκληρωθεί χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το μέγεθος της εικόνας ή η ανάλυσή της. Σελίδα 26 από 81

28 3.8. Υφή Οι μετρικές που βασίζονται στην υφή αναζητούν οπτικά πρότυπα μέσα στις εικόνες. Οι κατηγορίες υφής αντιπροσωπεύονται από texels τα οποία στη συνέχεια τοποθετούνται σε έναν αριθμό συνόλων, ανάλογα με το πόσα τμήματα διαφορετικής υφής ανιχνεύονται στην εικόνα. Αυτά τα σύνολα δεν καθορίζουν μόνο την υφή, αλλά επίσης και τη θέση της υφής μέσα στην εικόνα. Σε γενικές γραμμές η υφή είναι μια δύσκολη έννοια για να οριστεί. Ο προσδιορισμός των τμημάτων υφής σε μια εικόνα επιτυγχάνεται κατά κύριο λόγο με την μοντελοποίηση της υφής ως ένα δισδιάστατο γκρι επίπεδο. Η σχετική φωτεινότητα των ζευγαριών των pixels υπολογίζεται έτσι ώστε να μπορεί να εκτιμηθεί ο βαθμός της αντίθεσης μεταξύ τους και να προσδιοριστεί το είδος της υφής. Το πρόβλημα έγκειται στην αναγνώριση του είδους της μεταβολής μεταξύ συνδεδεμένων pixels και της απόδοσής της σε συγκεκριμένες κατηγορίες υφών όπως μεταξένια, ή τραχιά Σχήμα Με την έννοια σχήμα δεν αναφερόμαστε στο σχήμα της εικόνας, αλλά το σχήμα μιας συγκεκριμένης περιοχής αυτής. Τα σχήματα συχνά καθορίζονται αρχικά με την εφαρμογή κάποιας μεθόδου κατάτμησης ή ανίχνευσης ακμών στην εικόνα. Άλλες μέθοδοι χρησιμοποιούν φίλτρα για να προσδιορίσουν τα δεδομένα σχήματα της εικόνας. Οι περιγραφείς (descriptors) των σχημάτων μπορούν επίσης να είναι αμετάβλητοι σε διαδικασίες όπως η περιστροφή ή η κλιμάκωση της εικόνας. Μερικές μορφές περιγραφής σχήματος είναι οι μετασχηματισμοί τύπου Fourier ή οι κανονικοποιημένες ροπές. Σελίδα 27 από 81

29 3.10. Αλγόριθμοι εξαγωγής χαρακτηριστικών Πέρα από τη χρήση ορθογώνιων και κανονικοποιημένων ροπών, η οποία εξετάζεται λεπτομερώς στη συνέχεια της παρούσας εργασίας, παρακάτω αναφέρονται συνοπτικά οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι αλγόριθμοι για την εξαγωγή χαρακτηριστικών από οπτικά δεδομένα Ανίχνευση ακμών Ως ανίχνευση ακμών (edge detection) ορίζεται το σύνολο των μαθηματικών μεθόδων που αποσκοπούν στον εντοπισμό σημείων σε μια ψηφιακή εικόνα στην οποία η φωτεινότητα των pixels αλλάζει απότομα ή, πιο επίσημα, παρουσιάζει ασυνέχειες. Τα σημεία αυτά συνήθως ομαδοποιούνται σε μια σειρά από καμπύλα τμήματα γραμμής που ονομάζονται ακμές. Προβλήματα παρόμοιο με αυτό που επιλύει η ανίχνευση ακμών μπορούν να θεωρηθούν το πρόβλημα της εύρεσης ασυνέχειες στα μονοδιάστατα σήματα που είναι γνωστό ως το στάδιο ανίχνευσης και το πρόβλημα της εύρεσης ασυνεχειών στα σήματα χρονικών συναρτήσεων που είναι γνωστό ως ανίχνευση αλλαγής. Ο σκοπός της ανίχνευσης απότομων αλλαγών στη φωτεινότητα της εικόνας είναι η σύλληψη συμβάντων και ιδιοτήτων στα πλαίσια του φυσικού κόσμου. Γενικά, ασυνέχειες στη φωτεινότητα της εικόνας είναι πιθανό να αντιστοιχούν σε ασυνέχειες στο βάθος, στον προσανατολισμό, μεταβολές στις ιδιότητες του υλικού και διακυμάνσεις φωτισμού σκηνής. Στην ιδανική περίπτωση, το αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός ανιχνευτή ακμών σε μια εικόνα μπορεί να οδηγήσει σε μια σειρά από συνδεδεμένες καμπύλες που αναδεικνύουν τα όρια των αντικειμένων μέσα στην εικόνα, τα όρια διαφόρων σημάνσεων στην επιφάνεια καθώς και καμπύλες που αντιστοιχούν σε ασυνέχειες στον συνολικό προσανατολισμό. Ως εκ τούτου, η εφαρμογή ενός αλγόριθμου ανίχνευσης ακμών σε μια εικόνα μπορεί να μειώσει σημαντικά την ποσότητα των Σελίδα 28 από 81

30 δεδομένων που χρειάζεται να υποβάλλονται σε επεξεργασία και ταυτόχρονα να φιλτράρει τις πληροφορίες που μπορούν να θεωρηθούν ως λιγότερο σημαντικές, διατηρώντας παράλληλα αναλλοίωτες τις σημαντικές δομικές ιδιότητες της εικόνας. Εφόσον η διαδικασία είναι επιτυχής, η μετέπειτα ερμηνεία των πληροφοριών στην αρχική εικόνα μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά. Ωστόσο, δεν είναι πάντα δυνατόν να ανιχνευθούν τόσο ιδανικές ακμές από εικόνες του πραγματικού κόσμου. Οι ακμές που προέρχονται από πραγματικές εικόνες συχνά χαρακτηρίζονται από κατακερματισμό, που σημαίνει ότι οι καμπύλες δεν συνδέονται, λείπουν ολόκληρα τμήματα και ακμές που εντοπίζονται δεν αντιστοιχούν σε ενδιαφέροντα φαινόμενα στην εικόνα, περιπλέκοντας έτσι την μετέπειτα ερμηνεία των δεδομένων εικόνας [13] Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier, είναι ένας μαθηματικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή μιας μαθηματικής συνάρτηση του χρόνου, f(t), σε μια νέα συνάρτηση,που μερικές φορές συμβολίζεται με ^f ή F, της οποίας η μονάδα μέτρησής τους είναι η συχνότητα με την οποία εμφανίζονται μονάδες κύκλου / δευτερόλεπτο ( Hertz ) ή ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Η νέα συνάρτηση ονομάζεται ως μετασχηματισμός Fourier ή και ως φάσμα συχνοτήτων της συνάρτησης f. Οι f και ^f είναι, επίσης, αντίστοιχα, γνωστές ως πεδίο του χρόνου και της συχνότητας, αναπαραστάσεις του ίδιου «γεγονότος».τις περισσότερες φορές, η f είναι μια πραγματική συνάρτηση, και η ^f είναι μια μιγαδική συνάρτηση, όπου ένας μιγαδικός αριθμός περιγράφει τόσο το πλάτος όσο και τη φάση της αντίστοιχης συνιστώσας συχνότητας. Σε γενικές γραμμές, η f είναι επίσης σύνθετη, όπως η αναλυτική αναπαράσταση μιας πραγματικής συνάρτησης. Σελίδα 29 από 81

31 Στην επεξεργασία εικόνας, ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να εφαρμοστεί στη συνάρτησης έντασης μιας εικόνας παράγοντας ένα αποτέλεσμα το οποίο θα χαρακτηρίζει μοναδικά την εικόνα, αναδεικνύοντας τα χαρακτηριστικά της και προσφέροντας ως κατάλληλα δεδομένα για περαιτέρω επεξεργασία όπως γρήγορη αναζήτηση, ταξινόμηση ή κατηγοριοποίηση [12] Μετασχηματισμός Κυματιδίων (Wavelet Transform) Στα μαθηματικά, μια σειρά κυματιδίων είναι η αναπαράσταση μιας (πραγματικής ή μιγαδικής) τετραγωνικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης από μια συγκεκριμένη σειρά ορθοκανονικών διανυσμάτων που παράγονται από ένα κυματίδιο (wavelet). Σήμερα, ο μετασχηματισμός κυματιδίων θεωρείται ως μία από τις πιο δημοφιλείς μεθόδους μετασχηματισμού σε χρονοσειρές ή συναρτήσεις που μεταβάλλονται στο χρόνο. Η βασική ιδέα του μετασχηματισμού είναι ότι επιτρέπει μόνο μεταβολές στην χρονική συχνότητα, αλλά όχι στο σχήμα της συνάρτησης. Αυτό επιτυγχάνεται με την επιλογή των κατάλληλων συναρτήσεων βάσης (mother wavelet) που επιτρέπουν αυτή τη συνθήκη. Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, οι αλλαγές που συντελούνται στην εξέλιξη του χρόνου είναι ανάλογες με την αντίστοιχη ανάλυση συχνότητας της συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός κυματιδίων στην επεξεργασία εικόνας εφαρμόζεται, όπως και οι υπόλοιπες μέθοδοι, στη συνάρτηση έντασης της εικόνας, παράγοντας αποτελέσματα που τη χαρακτηρίζουν μοναδικά. Το βασικό του πλεονέκτημα είναι η διατήρηση του σχήματος της συνάρτησης, προσφέροντας σταθερότητα σε διάφορες ενέργειες επεξεργασίες εικόνας όπως περιστροφή, κλιμάκωση. Αρχικά, υλοποιείται ένας μετασχηματισμός κυματιδίων ο οποίος παράγει πολλαπλούς συντελεστές, έναν για κάθε pixel της εικόνας. Οι συντελεστές αυτοί μπορούν στη συνέχεια να συμπιεστούν ευκολότερα, καθώς όλη η πληροφορία της Σελίδα 30 από 81

32 εικόνας στατιστικά συγκεντρώνονται. Η αρχή αυτή ονομάζεται κωδικοποίηση μετασχηματισμού. Στο επόμενο βήμα οι συντελεστές μεταφράζονται με όρους κβαντισμένων τιμών οι οποίες υπόκεινται σε μια διαδικασία κωδικοποίησης εντροπίας, προκειμένου να επιτευχθεί η μέγιστη δυνατή συμπίεση δεδομένων δίχως απώλεια πληροφορίας. Το τελικό αποτέλεσμα αντιπροσωπεύει τα εξαγώμενα χαρακτηριστικά της υπό επεξεργασία εικόνας [11]. Σελίδα 31 από 81

33 Κεφάλαιο 4 - Ροπές εικόνων Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η ταυτοποίηση εικόνων με τον αντίστοιχο καλλιτέχνη αποτελεί μια υποκατηγορία της γενικευμένης διαδικασίας της αναγνώρισης προτύπων. Ως βασική διαδικασία στα πλαίσια της μηχανικής όρασης, η αναγνώριση προτύπων (pattern recognition) περιλαμβάνει όλα τα βασικά στάδια επεξεργασίας, όπως ανάκτηση εικόνας, προεπεξεργασία, εξαγωγή χαρακτηριστικών από τα δεδομένα και ταξινόμηση. Από τα παραπάνω στάδια η εξαγωγή χαρακτηριστικών θεωρείται το πιο πολύπλοκο στάδιο και με τις μεγαλύτερες απαιτήσεις από υπολογιστικής πλευράς. Γενικά οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στο συγκεκριμένο βήμα επιλέγονται με κριτήριο τόσο την αποτελεσματικότητά τους όσο και την ταχύτητα παραγωγής των αποτελεσμάτων. Ως προς το βαθμό επιτυχίας, μια Μέθοδος Εξαγωγής Χαρακτηριστικών (Feature Extraction Method - FEM) μπορεί να χαρακτηριστεί επιτυχής, αν τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που θα εξαχθούν (descriptors) περιγράφουν μοναδικά τα προς επεξεργασία δεδομένα. O βαθμός επιτυχίας της FEM συμβάλλει αποφασιστικά στη βέλτιστη εκτέλεση του επόμενου σταδίου της διαδικασίας, αυτό της ταξινόμησης [14]. Η ιδιαιτερότητα των οπτικών δεδομένων, ως ψηφιακές εικόνες πινάκων ζωγραφικής, λόγω της ιδιαίτερης πολυπλοκότητας τους, καθιστά αναγκαία την επιλογή μιας FEM με αυξημένες δυνατότητες στην εξαγωγή στατιστικών αριθμητικών δεδομένων που θα τις περιγράφουν ικανοποιητικά και ταυτόχρονα θα εντοπίζουν τις όποιες διαφοροποιήσεις εντοπίζονται από καλλιτέχνη σε καλλιτέχνη. Οι ροπές εικόνας (image moments) αποτελούν μια σημαντική FEM, η οποία παράγει ιδιαίτερα ισχυρά γνωρίσματα, ικανά να συλλάβουν τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της υπό-επεξεργασία εικόνας που τη διακρίνουν από άλλες παρόμοιες ή και εντελώς διαφορετικές εικόνες. Από μαθηματικής πλευράς κάθε οικογένεια ροπών βασίζεται σε μια αντίστοιχη οικογένεια πολυωνύμων, η τιμή των οποίων αντιστοιχεί κάθε φορά στον ζυγισμένο μέσο όρο της συνάρτησης έντασης Σελίδα 32 από 81

34 (intensity function) των pixels της υπό επεξεργασίας εικόνας. Η μορφή των πολυωνύμων καθορίζει κάθε φορά τη μοναδικότητα με την οποία μπορεί να περιγραφεί μια εικόνα, ώστε βάσει της τιμής τους να επιτυγχάνεται το μέγιστο ορθό αποτέλεσμα κατά την διαδικασία της ταξινόμησης Ιστορικό Η χρήση των ροπών εικόνας πρωτοεμφανίζεται στη δεκαετία του 60 και η πρώτη οικογένεια ροπών που χρησιμοποιήθηκε στην επεξεργασία εικόνας και την αναγνώριση προτύπων ήταν οι γεωμετρικές ροπές με τον Hu ( Hu,1962 ) να είναι ο πρωτοπόρος στη χρήση τους. Αν και η χρήση τους αποτέλεσε πρωτοπόρα μέθοδο, σύντομα διαπιστώθηκε ότι οι γεωμετρικές ροπές προκαλούσαν υπερβολικό θόρυβο στο αποτέλεσμα, καθώς λόγω του γεγονότος ότι βασίζονταν σε μηορθογώνια πολυώνυμα, περιέγραφαν αχρείαστα τα ίδια τμήματα της εικόνας. Η αναποτελεσματικότητα των γεωμετρικών ροπών οδήγησε στη προσπάθεια χρήσης ορθογώνιων ροπών (orthogonal moments), οι οποίες δεν εμφάνιζαν τα παραπάνω μειονεκτήματα, λόγω του γεγονότος ότι ο υπολογισμός τους βασίζεται σε πυρήνες ορθογώνιων πολυωνύμων. Αυτή η ιδιότητα της ορθογωνικότητας έδινε στις αντίστοιχες ροπές την ικανότητα ακριβέστερης περιγραφής χωρίς την πρόκληση επιπλέον θορύβου, με την έννοια ότι διαφορετικών τάξεων ροπές περιέγραφαν διαφορετικά τμήματα της εικόνας. Η πρώτη εισαγωγή των ορθογώνιων ροπών στην ανάλυση εικόνας έγινε από τον Teague τη δεκαετία του '80, ο οποίος έκανε χρήση των ροπών Legendre και Zernike (η ονομασία προέρχεται από τις αντίστοιχες οικογένειες ορθογώνιων πολυωνύμων) στην επεξεργασία εικόνας. Άλλες οικογένειες ορθογωνίων ροπών χρησιμοποιήθηκαν μεταγενέστερα, όπως οι Pseudo-Zernike και Fourier - Mellin για καλύτερη περιγραφή της υπό επεξεργασία εικόνας και διασφάλιση της αξιοπιστίας απέναντι στην ύπαρξη θορύβου. Ωστόσο, οι παραπάνω οικογένειες ροπών, Σελίδα 33 από 81

35 παρουσίαζαν ορισμένα σφάλματα προσέγγισης κατά τον υπολογισμό τους, επηρεάζοντας ανάλογα τα τελικά αποτελέσματα, λόγω του γεγονότος ότι τα πολυώνυμα στα οποία βασίζονταν, ορίζονται στο συνεχές διάστημα τιμών, σε αντίθεση με τη συνάρτηση έντασης της εικόνας. Ως προσπάθεια αντιμετώπισης των παραπάνω προβλημάτων, νέες οικογένειες ροπών, βασισμένες σε πυρήνες πολυωνύμων ορισμένων σε διακριτά διαστήματα τιμών, άρχισαν να χρησιμοποιούνται. Μερικές από αυτές είναι οι Tchebichef, Krawtchouk, Hahn και Racah, οι οποίες παρουσιάζουν σημαντικές ιδιότητες στη διαδικασία περιγραφής μιας εικόνας [15] Γενική Υπολογιστική Μορφή Η γενική υπολογιστική μορφή μιας ροπής βαθμού (n+m) μιας εικόνας διαστάσεων ανάλυσης ΜxN που έχει συνάρτηση έντασης f(x,y), ορίζεται ως εξής [21]: nm M 1 N 1 x= 0 y= 0 nm (, ) (, ) M = NF Kernel x y f x y (1) όπου Kernel nm είναι ο πυρήνας της ροπής που αποτελείται από ειδικά πολυώνυμα βαθμού n και m, τα οποία συνιστούν ορθογώνια βάση (με εξαίρεση την περίπτωση των γεωμετρικών ροπών όπου ο πυρήνας έχει την μορφή ενός μονώνυμου) και NF είναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης. Από το όνομα της κατηγορίας των πολυώνυμων του Kernel προκύπτει και το όνομα της οικογένειας των ροπών Γεωμετρικές Ροπές ( Geometric Moments - GMs ) Οι γεωμετρικές ροπές είναι ο απλούστερος τύπος ροπών και ιστορικά χρησιμοποιήθηκαν πρώτες στην επεξεργασία εικόνας. Μια γεωμετρική ροπή Σελίδα 34 από 81

36 βαθμού (n+m) μιας συνεχούς συνάρτησης έντασης f(x,y) ορίζεται ως: n m GM nm x y f( x, y) dxdy = (2) όπου n,m = 0,1,2,... Η παραπάνω εξίσωση ορίζεται στο συνεχές διάστημα [, + ], και γι' αυτό προκειμένου να αποφευχθούν τα προσεγγιστικά λάθη, η γεωμετρική ροπή μιας MxN εικόνας f(x,y), μπορεί επίσης να οριστεί ως τμηματικά συνεχής με τον παρακάτω τύπο: M 1 N 1 n m GM nm x y f x y x= 0 y= 0 (, ) = όπου n,m = 0,1,2,... (3) Επιπλέον, οι γεωμετρικές ροπές δεν μπορούν να αποτελέσουν αποτελεσματικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα εικόνων στις εφαρμογές αναγνώρισης προτύπων, δεδομένου ότι οι τιμές που παράγουν μεταβάλλονται σημαντικά από την αλλαγή των συντεταγμένων x,y σε διαδικασίες μετασχηματισμού των εικόνων, όπως μετατόπιση (translation), περιστροφή (rotation) και κλιμάκωση (scaling) Ροπές Legendre (LMs) Μια ροπή Legendre (n+m) βαθμού μιας εικόνας με συνάρτηση έντασης f(x,y), υπολογίζεται με τον τύπο: ( 2n+ 1)( 2m+ 1) 1 1 nm n m ( ) ( ) (, ) LM = P x P y f x y dxdy (4) όπου P n (x) είναι το πολυώνυμο Legendre n βαθμού και ορίζεται ως εξής: Σελίδα 35 από 81

37 n k 1 d 2 n Pn ( x) = ak, nx = ( x 1 n ) k= 0 2 n! dx (5) n όπου x [ -1, 1 ]. Τα παραπάνω πολυώνυμα Legendre έχουν την ακόλουθες ιδιότητες: 1) P 0 (x) = 1, 2) P 1 (x) = x, 3) P n (x) = [(2n 1)xP n-1 ( x ) - (n 1) P n-2 ( x )] / n, Η αναδρομική εξίσωση της τρίτης ιδιότητας, επιτρέπει τον γρήγορο υπολογισμό των πολυωνύμων Legendre χρησιμοποιώντας πολυώνυμα μικρότερων βαθμών. Όπως και στην περίπτωση των γεωμετρικών ροπών, η συνάρτηση υπολογισμού των ροπών Legendre είναι συνεχής με αποτέλεσμα την αδυναμία υπολογισμού της για εικόνες ανάλυσης MxN λόγω της τμηματικής συνέχειας της συνάρτησης έντασης f(x,y). Αντίστοιχα ο υπολογισμός των ροπών ώστε αυτές να ορίζονται σε διακριτά τμήματα τιμών προκύπτει από τον τύπο ( 2n+ 1)( 2m+ 1) ( M 1)( N 1) M 1 N 1 nm n m x= 0 y= 0 ( ) ( ) (, ) LM = P x P y f x y (6) Ωστόσο, λόγω των σφαλμάτων προσέγγισης που παράγονται κατά την παραπάνω μετατροπή, οι υπολογιζόμενες ροπές δεν φέρουν τις θεωρητικές τους τιμές με αποτέλεσμα να επηρεάζεται η ικανότητά τους να περιγράψουν την επεξεργασμένη εικόνα Ροπές Zernike (ΖΜs) Οι ροπές Zernike είναι η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη οικογένεια ορθογώνιων ροπών κυρίως λόγω της εγγενής τους ιδιότητας να παράγουν σταθερές τιμές σε Σελίδα 36 από 81

38 πιθανές μεταβολές των συντεταγμένων σε περίπτωση περιστροφής της υπό επεξεργασία εικόνας. Η εισαγωγή των ΖΜs στην ανάλυση εικόνας έγινε από τον Teague [22], χρησιμοποιώντας ένα σύνολο πολυωνύμων τα οποία σχηματίζουν ένα πλήρες ορθογώνιο σύνολο πάνω από το εσωτερικό ενός κύκλου με εξίσωση x 2 + y 2 = 1. Αυτά τα πολυώνυμα είναι της μορφής nm (, θ ) = ( ) exp( θ ) V r R r jm nm (7) όπου n είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος, m είναι ένας μη μηδενικός ακέραιος που υπόκεινται στον περιορισμό n- m = 0, r το μήκος και θ η γωνία με τον άξονα x του ακτινικού διανύσματος R nm (r) που δείχνει στο pixel (x,y) και ορίζεται από τον τύπο n m ( ) ( 1) ( n s)! R r = r nm 2 s n 2s (8) s= 0 n + m n m s! s! s! 2 2 Ισχύει ότι R n,-m (r) = R nm (r). Τα πολυώνυμα Zernike ικανοποιούν την αρχή της ορθογωνικότητας V π 1 ( x, y) V pq( x, y) dxdy = δ npδ mq nm 2 2 n + x + y 1 (9) όπου δ είναι το σύμβολο Kronecker και ισχύει δ αβ = 1 για α = β και δ αβ = 0 διαφορετικά. Η ροπή Zernike βαθμού n με επαναληπτικότητα m για μια συνεχή συνάρτηση εικόνας f(x,y) που επεκτείνεται έξω από τον κύκλο είναι n+ 1 ZM nm= f( x, y) V (, ) 2 2 nm r θ dxdy π (10) x + y 1 Για μια ψηφιακή εικόνα, όπου τα διαστήματα τιμών είναι διακριτά, τα Σελίδα 37 από 81

39 ολοκληρώματα αντικαθίστανται από αθροίσματα όπως παρακάτω M 1 N 1 n+ 1 ZMnm= f x y V r x+ y π 2 2 (, ) nm(, θ), 1 (11) x= 0 y= 0 Ένα σημαντικό μειονέκτημα των ZMs είναι ότι απαιτούνται πολλές παραγοντικές πράξεις για την υλοποίηση τους με αποτέλεσμα την αύξηση του υπολογιστικού χρόνου. Για το λόγο αυτό, έχουν αναπτυχθεί αναδρομικοί αλγόριθμοι για τον υπολογισμό των ακτινικών πολυωνύμων [23] Ροπές ψευδο-zernike(pzms) Οι ροπές Pseudo-Zernike χρησιμοποιούνται στην αναγνώριση προτύπων και εφαρμογές επεξεργασίας εικόνας ως εναλλακτική λύση στις παραδοσιακές ΖΜ. Έχει αποδειχθεί ότι έχουν καλύτερες δυνατότητες ανάδειξης χαρακτηριστικών γνωρισμάτων των εικόνων υπό επεξεργασία και είναι πιο ανθεκτικές στο θόρυβο. Ο πυρήνας αυτών των ροπών είναι το ορθογώνιο σύνολο των αντίστοιχων πολυωνύμων που ορίζονται στο εσωτερικό ενός μοναδιαίου κύκλου. Προκύπτουν από την ίδια εξίσωση ορισμού με αυτή των ZMs με τη διαφορά ότι τα ακτινικά πολυώνυμα Zernike αντικαθίστανται από τα ακτινικά πολυώνυμα ψευδο-zernike με μορφή s= 0 ( n + s) n m s 2 1! n s Snm( r) = ( 1) r (12) s! n m 1 s! n m s! ( + + ) ( ) Όπου ισχύει 0 m n και ν = 0,1,2,,+ Οι αντίστοιχες PZMs για συναρτήσεις οριζόμενες στον μοναδιαίο κύκλο και για ψηφιακές εικόνες υπολογίζονται επίσης από τους ίδιους τύπους εξίσωσης όπως και στην περίπτωση των ΖΜs, με μόνη διαφορά τη μορφή του πολυωνύμου που χρησιμοποιείται. Σελίδα 38 από 81

40 Λόγω της συνθήκης 0 m n τα πολυώνυμα Pseudo-Zernike βαθμού n, περιέχουν (n+1) 2 γραμμικά ανεξάρτητα πολυώνυμα βαθμού n ενώ το σύνολο των παραδοσιακών πολυωνύμων Zernike περιέχουνν μόνο (n+1)(n+2)/2, λόγω της συνθήκης ότι το n - m = 0. Συμπερασματικά, οι PZMs προσφέρουν περισσότερα διανύσματα χαρακτηριστικών από τις Zernike ροπές του ίδιου βαθμού. Ωστόσο ο υπολογισμός τους επίσης περιλαμβάνει παραγοντικούς όρους, αυξάνοντας τις υπολογιστικές απαιτήσεις. Κατά συνέπεια, παραμένει η ανάγκη για την ανάπτυξη γρήγορων και αριθμητικά ισχυρών αλγορίθμων που θα είναι σε θέση να υπολογίσουν ακριβείς ροπές σε σύντομο χρονικό διάστημα[24] Ροπές Tchebichef (ΤΜs) Οι ροπές Tchebichef ήταν ο πρώτος τύπος διακριτών ορθογώνιων ροπών που χρησιμοποιήθηκαν στην αναγνώριση προτύπων εικόνας από τον Mukundan [25]. Αυτές οι ροπές χρησιμοποιούν ως πυρήνα τα ορθογώνια πολυώνυμα Tchebichef, που ορίζονται στο διακριτό διάστημα στην ακόλουθη μορφή: n t x (1 N) F n, x,1 n;1,1 N;1 1 n n k ( ) = n 3 2( + ) = ( ) (13) k= 0 N 1 k n + k x n k n k όπου 3 F 2, είναι η γενικευμένη υπεργεωμετρική συνάρτηση F ( a, a, a, a ; b, b, b ; z) ( 1) ( 2) ( 3) ( ) ( ) k a a a k k k z = (14) b b k! k= 0 1 k 2 k όπου n, x = 0,1,2,...,Ν-1 και Ν το μέγεθος της εικόνας. Για να επιτευχθεί μεγαλύτερη αριθμητική σταθερότητα και περιορισμό του εύρους τιμών των ροπών, υπάρχουν και τα κανονικοποιημένα πολυώνυμα Tchebichef που ορίζονται ως ακολούθως [25]: Σελίδα 39 από 81

41 t% n ( x) = β t n( x) ( n, N) (15) όπου β(n,ν) είναι μια κατάλληλη σταθερά ανεξάρτητη από το x που χρησιμεύει ως παράγοντας κλιμάκωσης, όπως το Ν n. Αντίστοιχα η κανονικοποιημένη ροπή Tchebichef (n+m) βαθμού μιας MxN εικόνας που έχει συνάρτηση έντασης f(x,y), έχει την ακόλουθη μορφή: M 1 N 1 1 TM = t % x t % y f x y % % ( n, M) ρ( m, N) nm n m ρ x= 0 y= 0 ( ) ( ) (, ) (16) όπου ~ ρ (n,ν) είναι ο κανόνας κανονικοποίησης των πολυωνύμων ρ(n,n) και ορίζεται: ρ N + n n, N = 2 n!, n = 0,1,..., N 1 2n + 1 ( ) ( ) (17) Οι ροπές Tchebichef αποδεικνύονται πιο αποτελεσματικές από τις Zernike και Legendre στην περιγραφή αντικειμένων, ενώ η ανθεκτικότητα τους σε υψηλά επίπεδα θορύβου τις καθιστά κατάλληλες για ταξινόμηση προτύπων σε πραγματικό χρόνο και εφαρμογές (computer vision). Μερικές πολύ ελπιδοφόρες απόπειρες να αυξηθούν οι υπολογιστικές ταχύτητες των ροπών Tchebichef παρουσιάστηκαν από τον Wang το Ροπές Krawtchouk (KMs) Οι ροπές Krawtchouk (KMs) είναι ο δεύτερος τύπος ροπών ορισμένων σε διακριτά διαστήματα τιμών που χρησιμοποιήθηκαν στην επεξεργασία πλαισίων εικόνας από τον Yap το Έχουν ως πυρήνα τα πολυώνυμα Krawtchouk, και έχουν την ακόλουθη μορφή: Σελίδα 40 από 81

42 N 1 k Kn( x; p, N) = 2 F1 n, x; N; = ak, n, px (18) p k= 0 Όπως και στα πολυώνυμα Tchebichef, ο υπολογισμός των πολυωνύμων Krawtchouk παρουσιάζει αριθμητικές διακυμάνσεις. Για αυτό το λόγο έχουν υπολογιστεί τα σταθμισμένα πολυώνυμα Krawtchouk που ορίζονται ως ( ;, ) ( n; p, N) w x p N Kn( x; p, N) = Kn( x; p, N) (19) ρ όπου ρ(n;p,ν) είναι ο κανόνας κανονικοποίησης των πολυώνυμων Krawtchouk n 1 p n! ρ( n; p, N) = ( 1 ), n = 1,..., N p ( N) n n (20) και w(x;p,ν) είναι η συνάρτηση βάρους N w x p N p p x x ( ;, ) = ( 1 ) N x (21) Το σύμβολο ( ) n που εμφανίζεται στη συνάρτηση του κανόνα κανονικοποίησης είναι το σύμβολο Pochhammer, το οποίο ορίζεται ως (α) k = α(α+1)...(α+k+1). Η ροπή Krawtchouk βαθμού (n + m ), μιας εικόνας ανάλυσης MxN και συνάρτησης έντασης f(x,y) ορίζεται ως εξής: M 1 N 1 ( ; 1, 1 ) ( ; 2, 1 ) (, ) (22) K = K x p M K y p N f x y nm n m x= 0 y= 0 Συνήθως ο υπολογισμός των σταθμισμένων πολυωνύμων Krawtchouk εφαρμόζεται με τη χρήση αναδρομικών αλγορίθμων για μείωση του υπολογιστικού χρόνου. Οι ροπές Krawtchouk αποδεικνύονται αποτελεσματικοί στην εξαγωγή επιμέρους χαρακτηριστικών γνωρισμάτων, σε αντίθεση με άλλες οικογένειες Σελίδα 41 από 81

43 ροπών, οι οποίες αναδεικνύουν μόνο τα συνολικά χαρακτηριστικά των αντικειμένων που περιγράφουν. Αυτή η δυνατότητα προσφέρεται με κατάλληλη ρύθμιση των παραμέτρων p1, p2 (περιγράφοντας την εικόνα από το κέντρο της η τιμή είναι αρχικά 0.5 και για τις δύο παραμέτρους) της εξίσωσης ορισμού των ροπών Ροπές Dual Hahn (DHMs) Ένα πολυώνυμο ροπής Dual Hahn [26], ορίζεται ως εξής: ( ) ( ) ( a b+ 1) ( a+ c+ 1) ( ) c n n Wn s, a, b = 3 F2 n, a s, a+ s+ 1; a b+ 1, a+ c+ 1;1 (23) n! για n = 0,1,...,Ν-1, s = α, α + 1,..., b 1, όπου 3 F 2 είναι η γενικευμένη υπεργεωμετρική συνάρτηση. Για λόγους αριθμητικής σταθερότητας, όπως και στις προηγούμενες οικογένειες ροπών, τα σταθμισμένα πολυώνυμα dual Hahn ορίζονται ως εξής: ( s) ˆ ( c ) ( c ( ) ) ρ 1 Wn s, a, b = Wn ( s, a, b) x s 2 d n 2 (24) όπου ρ(s) είναι η συνάρτηση στάθμισης βάρους. Μια ροπή Dual Hahn βαθμού n+m μιας εικόνας ανάλυσης MxN με συνάρτηση έντασης f(x,y) έχει την ακόλουθη μορφή b 1 b 1 ( c ) ( ) ( c ) ( ) ( ) W = W x, a, b W y, a, b f x, y, n= 0,1,..., M 1, m= 0,1,..., N 1 nm n m x= a y= a (25) Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι οι εξισώσεις υπολογισμού των πολυώνυμων dual Hahn είναι μια χρονοβόρα διαδικασία, ώστε να χρειάζονται πιο αποτελεσματικοί αναδρομικοί αλγόριθμοι [26]. Σελίδα 42 από 81

44 Κεφάλαιο 5 - Αμετάβλητες Ροπές Εικόνας 5.1. Γενικά Προκειμένου να βελτιωθεί η αποτελεσματικότητα των ροπών, είναι σημαντικό να διατηρούν υψηλά ποσοστά επιτυχημένης κατηγοριοποίησης σε πιθανές μεταβολές των χαρακτηριστικών της εικόνας λόγω διαδικασιών επεξεργασίας του πρωτότυπου αρχείου όπως κλιμάκωση (μεγέθυνση ή σμίκρυνση), αποκοπή, περιστροφή, ή ακόμα και εξαγωγή κειμένου. Η ικανοποίηση αυτής της προϋπόθεσης αποτελεί μια σημαντική λειτουργία κάθε σύγχρονης μεθόδου αναγνώρισης προτύπων και απαιτεί την ύπαρξη σταθερότητας στο σύνολο τιμών των ροπών που χρησιμοποιούνται. Μια βασική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εξασφάλιση σταθερότητας κατά τη διάρκεια τέτοιων βασικών γεωμετρικών μετασχηματισμών είναι η κανονικοποίηση των ροπών μέσω της περιγραφή τους σε όρους γεωμετρικών ροπών [16] Κανονικοποιημένες γεωμετρικές ροπές (GMIs) Μέσω της κανονικοποίησης των συντεταγμένων εικόνας [27] οι γεωμετρικές ροπές μετασχηματίζονται σε αμετάβλητες ποσότητες με την ακόλουθη μορφή: M 1 N 1 γ 00 x= 0 y= 0 n ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ GMI = GM x x cos + y y sin y y cos x x sin f ( x, y) nm m (26) με: Σελίδα 43 από 81

45 n + m γ = GM10 x = GM GM y = GM θ 00 1 tan µ 1 11 = 2 µ 20 µ 02 όπου (x,y) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους της εικόνας, GM nm είναι οι γεωμετρικές ροπές και μ nm είναι οι κεντρικές ροπές που ορίζονται ως: µ nm N 1 N 1 n m ( x x) ( y y) f ( x, y) (27) = x= 0 y= 0 που είναι αμετάβλητες στην μετατόπιση. Η γωνία θ κυμαίνεται μεταξύ -45 θ 45 και προκειμένου να υπάρξει επέκταση του εύρους 0 θ 360 χρειάζονται επιπλέον τροποποιήσεις [28] Κανονικοποιημένες ροπές Legendre (LMIs) Οι LMIs μπορεί να κατασκευαστούν περιγράφοντας τις LMs σε όρους γεωμετρικών ροπών και αντικαθιστώντας τις GMs με τη σταθεροποιημένη τους μορφή. Υποθέτοντας ότι τα πολυώνυμα Legendre έχουν την ακόλουθη μορφή: n i P ( x) = a x (28) n i= 0 n, i Οι LMs μπορούν να εκφραστούν με όρους GMs, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: ( n+ )( m+ ) n m LM = a a GM (29) nm n, i m, j ij NM i= 0 j= 0 Σελίδα 44 από 81

46 όπου : a a = 1, a = p+ 1,0 ( ) p a p 1,0 =, p 1 p + 1 ( ) ( 2 + 1) p a p 1, n p a p, n 1 a p+ 1, n = +, p 1 and 1 n p + 1 p + 1 p + 1 Με την αντικατάσταση των GMs με τις GMIs η υπολογιστική μορφή των LMIs προκύπτει ως εξής : ( n+ )( m+ ) n m LMI = a a GMI (30) nm n, i m, j ij NM i= 0 j= 0 Αυτή η εξίσωση παράγει ποσότητες σταθεροποιημένων ροπών, αναλλοίωτες στη μετατόπιση, την περιστροφή και την κλιμάκωση εικόνας, ικανές να περιγράψουν με μοναδικά τρόπο διαφορετικά πρότυπα Αμετάβλητες ροπές Zernike (ZMIs) Οι ZMIs έχουν χρησιμοποιηθεί με επιτυχία σε εφαρμογές αναγνώρισης προτύπων [29], ως εναλλακτική λύση στις σταθερές των γεωμετρικών ροπών και των ροπών Hu. Κύριο χαρακτηριστικό τους είναι ότι παραμένουν αμετάβλητες όταν εφαρμόζεται περιστροφή στην εικόνα. Προκειμένου να επιτευχθεί σταθερότητα και κατά τις διαδικασίες της μετατόπισης και της κλιμάκωσης, οι ZMs μπορούν να περιγραφούν σε όρους γεωμετρικών ροπών, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο [30]: + s m ZM B w GM n 1 n s m i nm = nmk k 2 i j,2i+ j π k= m i= 0 j= 0 i j (31) όπου το n είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος και το m είναι ένας μη Σελίδα 45 από 81

47 μηδενικός ακέραιος που υπόκεινται στους περιορισμούς n- m και m n και: i, m > 0 w = + i, m 0 with i = 1 1 s = ( k m) 2 ( 1 ) ( n k ) n + k 2! 2 Bnmk = n k k + m k m!!! (32) Με την αντικατάσταση των GMs από τις GMIs η υπολογιστική μορφή των ZMIs προκύπτει, ως εξής: + s m ZMI B w GMI n 1 n s m i nm = nmk k 2 i j,2i+ j π k= m i= 0 j= 0 i j (33) 5.5. Αμετάβλητες ροπές ψευδο-zernike (PZMIs) Δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση, οι PZMIs παίρνουν τη μορφή: n m s m n + 1 s m b PZMInm = Dnmk ( j) GMI2s+ m 2 a b,2a+ b + π ( n m k ) even, k= 0 a= 0 b= 0 a b n + 1 π d m b D ( j) RMI n m d m nmk 2s+ m 2 a b,2a+ b ( n m k ) odd, k= 0 a= 0 b= 0 a b (34) όπου: s= ( n m k) / 2 d= ( n m k 1) / 2 και: Σελίδα 46 από 81

48 D nmk ( n + k) k 2 1! = ( 1) k! n m 1 k! n m k! ( + + ) ( ) Το RMI nm αντιστοιχεί στην ακτινωτή σταθερά γεωμετρικής ροπής βαθμού (n+m) (35) RMI nm = M 1 N 1 x= 0 y= n m (( x x) + ( y y) )( x x) ( y y) f( x, y) GM ( n+ m+ ) 00 2 / 2 (36) όπου (x,y) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους της εικόνας Αμετάβλητες ροπές Tchebichef (TMIs) Οι TMIs κατασκευάζονται με παρόμοιο τρόπο με τις προηγούμενες οικογένειες ροπών, [26], σύμφωνα με τον τύπο: n m k l 1 TM B B s( k, i) s( l, j) GM β β = = = = = (37) nm n, k m, l ij ( n, M ) ( m, N) k 0 l 0 i 0 j 0 όπου ( n + k)! Bn, k = n M 2 ( n k)! ( k!) n k με: k a = ( 1) ( a) = a( a 1)( a 2)...( a k + 1), k 1 and a = 1 k k 0 και (α) k είναι το σύμβολο Pochhammer που δίνεται από : ( a) = a( a + 1)...( a + k 1), k 1 and ( a) = 1 k 0 Επιπλέον : Σελίδα 47 από 81

49 β ( n, N) = ρ( n, N) N + n ρ( n, N) = (2 n)! 2 n + 1 είναι ο παράγοντας κανονικοποίησης που μειώνει το εύρος των εξαγόμενων σταθερών ροπών και τη νόρμα των πολυωνύμων Tchebichef αντίστοιχα. Τέλος, s(i,j) είναι οι αριθμοί Stirling του πρώτου είδος που ικανοποιεί τον παρακάτω αναδρομικό τύπο: s ( 0,0) = 1 (,0) = ( 0, ) = 0,, 1 ( ) ( ) ( ) s k s i k i s k, i = s k 1, i 1 ( k 1) s k 1, i, k, i 1 Αντικαθιστώντας τις GMs με τις αντίστοιχες GMIs της ίδιας τάξης προκύπτει ο υπολογιστικός τύπος: n m k l 1 TMI B B s( k, i) s( l, j) GMI β β = = = = = (38) nm n, k m, l ij ( n, M ) ( m, N) k 0 l 0 i 0 j 0 Οι δυνατότητες διαχωρισμού και κατηγοριοποίησης των TMIs είναι σημαντικά καλύτερες από τις προηγούμενες οικογένειες ροπών, λόγω της απουσίας οποιουδήποτε λάθους προσέγγισης και ως εκ τούτου, οι θεμελιώδης μαθηματικές τους ιδιότητες σχετικά με την ορθογωνικότητα του πολυώνυμου βάσης παραμένουν αμετάβλητες Αμετάβλητες ροπές Krawtchouk (KMIs) Οι KMIs κατασκευάζονται αρχικά την περιγραφή των KMs σε όρους GMs σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: 1 n m ( ) ( ) 2 nm = ρ ρ αi, n, p α 1 j, m, p2 ij i= 0 j= 0 KM n m GM (39) Σελίδα 48 από 81

50 όπου ρ( ) είναι η νόρμα των πολυωνύμων Krawtchouk. n 1 p n! ρ( n; p, N) = ( 1 ), n = 1,..., N p ( N) n n Το σύμβολο ( ) n αντιστοιχεί στο σύμβολο Pochhammer και α k,n,p είναι οι σχετικοί συντελεστές σε σχέση με τον ορισμό του πολυώνυμου Krawtchouk. Οι συντελεστές αυτοί μπορεί να αξιολογηθούν με τη χρήση των ακόλουθων εξισώσεων: a k,0, p = 1 ( ) k 1 n a = 1 B s( i + 1, n), n 1 k, n, p k, i+ 1, p i= n 1 όπου B k, n, p ( k) n = n ( N ) p n! n και s(i,j) είναι οι αριθμοί Stirling. Με την αντικατάσταση των GMs από τις αντίστοιχες GMIs, σχηματίζονται οι σταθερές ροπών Krawtchouk (KMIs). Ωστόσο, λόγω του ότι οι GMIs πρέπει να συμπίπτουν μέσα στο πεδίο του [0,Μ-1] [0,N-1], τροποποιούνται ανάλογα σύμφωνα με τον παρακάτω τύπο: v nm p+ q 1 n p m q n m + n m N M 2 N M GMI pq p= 0 q= 0 p q (40) = Με βάση την παραπάνω τροποποίηση τα KMIs μπορούν να οριστούν σωστά στο σύστημα συντεταγμένων της εικόνας μέσω των GMIs, όπως : 1 n m 2 nm = ρ( ) ρ( ) αi, n, p α 1 j, m, p2 ij i= 0 j= 0 KMI n m v (41) Σελίδα 49 από 81

51 Ισχύει ότι οι KMs και ως εκ τούτου oι KMIs έχουν αποδειχθεί αποτελεσματικές στην περιγραφή τμημάτων της εικόνας (Παπακώστας et al, 2010e), σε αντίθεση με άλλες οικογένειες που περιορίζονται στο να εντοπίζουν τα γενικά χαρακτηριστικά των αντικειμένων που περιγράφουν Αμετάβλητες ροπές Dual Hahn (DHMls) Αντίστοιχα όπως και στην περίπτωση των σταθερών ροπών Krawtchouk, οι σταθερές ροπών Dual Hahn (DHMIs) προέρχεται από τον παρακάτω τύπο R ( a, b, c) R ( a, b, c) DHIM B a b c C B a b c C m n 2k m 2t n m nm nk (,, ) k, r1 mt (,, ) t, r2 r1, r2 dnd m k= 0 r1= 0 t= 0 r2= 0 = (42) Όπου Γ ( a + c + n + 1) dn =, n = 0,1,..., N 1 n!( b a n 1)! Γ( b c n) ( a b+ 1) n( a+ c+ 1) Rn ( a, b, c) = n! n B nk < n > k ( a, b, c) = ( a b + 1) ( a + c + 1) k! k k a= ( r + r ) / 2 alpha b= a+ N beta c= ( r r ) / 2 beta alpha όπου r alpha και r beta είναι μερικές ανεξάρτητες παράμετροι [26] Επιπλέον, οι παράμετροι C k,r ορίζονται ως : Σελίδα 50 από 81

52 C C 0,0 k,0 = 1 = 0 C = A a + A, a = 2 a + k, r = 1, 2,..., 2 k, k 1 k, r k, r k k, r 1 k όπου:, A A A 0,0 k,0 k,2k = 1 = 0 = 0 r A = s( k, t) L, r = 1, 2,..., k k, r k 1, k + r t 1 t= 1 k A = s( k, t) L, r = k + 1, k + 2,..., 2k 1 k, r k 1, k + r t 1 t= r k+ 1 L m,0 = 1 m n+ 1 L = D a, n= 1,2,..., m m, n z, n 1 z+ n 1 z= 1 και D z,1 = z t= 1 z a t D = D a, n> 1 z, n t, n 1 t+ n 1 t= 1 Συνοπτικά οι ροπές εικόνων παρέχουν, μέσω των σταθμισμένων μέσων που παράγουν, εκείνα τα αριθμητικά δεδομένα που αξιοποιούνται από κάποιον αποτελεσματικό αλγόριθμο ταξινόμησης προκειμένου να αντιστοιχίσουν την κάθε εικόνα στον κατάλληλο καλλιτέχνη. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων εξαρτάται σε πρώτο βαθμό από την οικογένεια των ροπών που θα επιλεγεί, ταυτόχρονα όμως είναι ανάλογη και του βαθμού μέχρι τον οποίο θα υπολογιστούν τα πολυώνυμα. Ωστόσο, λόγω του γεγονότος ότι η αύξηση του βαθμού αυξάνει και το υπολογιστικό κόστος της διαδικασίας υπολογισμού των ροπών, η επιλογή μεγάλης τάξης δεν Σελίδα 51 από 81

53 ενδείκνυται πάντα ως η καταλληλότερη. Η εύρεση λοιπόν ισορροπημένης λύσης μεταξύ απόδοσης των υπολογισμών και υπολογιστικής ταχύτητας αποτελεί βασικό στόχο της επίλυσης του υπό επεξεργασία προβλήματος [17]. Σελίδα 52 από 81

54 Κεφάλαιο 6 - Ταξινόμηση Γενικότερα στη μηχανική μάθηση ως ταξινόμηση ορίζεται η διαδικασία του προσδιορισμού της κατηγορίας στην οποία ανήκει το υπό επεξεργασία αντικείμενο, με βάση ένα σύνολο δεδομένων εκπαίδευσης των οποίων η κατηγορία είναι ήδη γνωστή. Η ανάθεση μιας συγκεκριμένης διάγνωσης σε έναν δεδομένο ασθενή, βάσει παρατηρούμενων χαρακτηριστικών του ασθενούς (φύλο, πίεση του αίματος, παρουσία ή απουσία ορισμένων συμπτωμάτων κλπ) είναι ένα παράδειγμα ταξινόμησης. Συνήθως οι επιμέρους παρατηρήσεις αναλύονται σε μια σειρά από ποσοτικές ιδιότητες, που ονομάζονται επεξηγηματικές μεταβλητές ή χαρακτηριστικά. Αυτές οι ιδιότητες μπορεί να είναι κατηγορηματικές (π.χ. "Α", "Β", "ΑΒ" ή "Ο", για τον τύπο του αίματος ), ακέραιοι (π.χ. ο αριθμός των εμφανίσεων μιας λέξης σε ένα μήνυμα ηλεκτρονικού ταχυδρομείου) ή πραγματικοί αριθμοί (π.χ. μέτρηση της πίεσης του αίματος). Μια γνωστή υποκατηγορία της ταξινόμησης είναι η πιθανολογική ταξινόμηση. Σε αυτή τη διαδικασία οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούν στατιστική μεθοδολογία για να εντοπιστεί η καταλληλότερη κλάση για μια δεδομένη περίσταση. Σε αντίθεση με τη βασική ταξινόμηση, που η έξοδος είναι απλά η βέλτιστη κλάση, σε αυτή την περίπτωση η έξοδος αποτελείται από το σύνολο των πιθανοτήτων του ενδεχόμενου το υπό εξέταση παράδειγμα να ανήκει σε κάθε πιθανή κλάση. Ως βέλτιστη κλάση επιλέγεται στη συνέχεια αυτή με την υψηλότερη πιθανότητα Ο αλγόριθμος k-nn Ο αλγόριθμος k-nearest Neighbors (ή k-nn για συντομία), που χρησιμοποιείται στην εν λόγω εργασία, είναι μια μη-παραμετρική μέθοδος μηχανικής επιβλεπόμενης μάθησης (machine supervised learning) που χρησιμοποιείται στις διαδικασίες ταξινόμησης και ανάλυσης παλινδρόμησης. Σε Σελίδα 53 από 81

55 αμφότερες τις περιπτώσεις, η είσοδος της μεθόδου αποτελείται από τα k πλησιέστερα παραδείγματα δεδομένων εκπαίδευσης του αλγόριθμου, ενώ η έξοδος εξαρτάται από το αν ο k-nn χρησιμοποιείται για ταξινόμηση ή παλινδρόμηση. Στην πρώτη περίπτωση, η έξοδος είναι μια κλάση ή κατηγορία. Το αντικείμενο χαρακτηρίζεται από την πλειοψηφία των γειτόνων του μέσω της αντιστοίχησης του με την κλάση που εντοπίζεται συχνότερα μεταξύ των k πλησιέστερων γειτόνων του (k είναι ένας θετικός ακέραιος, συνήθως μικρός). Αν k = 1, τότε στο αντικείμενο απλώς αποδίδεται η κατηγορία του πλησιέστερου γείτονα [18]. Στη δεύτερη περίπτωση, η έξοδος είναι η αξία του αντικειμένου. Η τιμή αυτή αποτελεί τον μέσο όρο των τιμών των k πλησιέστερων γειτόνων. Ο αλγόριθμος k-nn υπάγεται στην ειδικότερη κατηγορία αλγορίθμων μάθησης βασισμένης στο στιγμιότυπο ή στη μνήμη (instance-based or memorybased learning), ή τεμπέλικης μάθησης (lazy learning). Σε αντίθεση με τη βασική διαδικασία εκπαίδευσης όπου ο αλγόριθμος κατασκευάζει ένα γενικευμένο μοντέλο ταξινόμησης και κατηγοριοποιεί τα προς επεξεργασία δεδομένα βάσει αυτού, στην περίπτωση αυτή τα αρχικά δεδομένα εκπαίδευσης αποθηκεύονται στη μνήμη και το μοντέλο απλά συγκρίνει ένα νέο δεδομένο με τα αρχικά που έχουν κρατηθεί. Η συγκεκριμένη μέθοδος ενδύκνειται σε περιπτώσεις μεγάλων συνόλων δεδομένων που έχουν όμως λίγες ιδιότητες και καθιστά τον k-nn εκ ων απλούστερων αλγόριθμων μηχανικής μάθησης. Αντίθετα το βασικό μειονέκτημα του αλγορίθμου k-nn είναι ότι η απόδοσή του εξαρτάται υπερβολικά από την τοπολογία των δεδομένων [19]. Τα δεδομένα εκπαίδευσης είναι διανύσματα σε έναν πολυδιάστατο χώρο χαρακτηριστικών, το καθένα με μια κατηγορία (ή τιμή). Όπως ήδη αναφέρθηκε, η φάση εκπαίδευσης αποτελείται μόνο από την αποθήκευση των διανυσμάτων αυτών και τις αντίστοιχες κατηγορίες στη μνήμη [20]. Σελίδα 54 από 81

56 Στη φάση της ταξινόμησης, η σταθερά k καθορίζεται από τον χρήστη, και σε ένα μη ταξινομημένο διάνυσμα (ένα ερώτημα ή σημείο δοκιμής) ανατίθεται η κατηγορία η οποία εμφανίζεται συχνότερα μεταξύ των k πλησιέστερων δειγμάτων εκπαίδευσης ως προς αυτό το διάνυσμα. Η συνηθέστερη μετρική απόσταση (metric distance) για τις συνεχείς μεταβλητές είναι η Ευκλείδεια απόσταση. Για διακριτές μεταβλητές, όπως στην περίπτωση της ταξινόμησης κειμένου, καταλληλότερη. η απόσταση Hamming θεωρείται Ένα μειονέκτημα αυτού του τρόπου ταξινόμησης εμφανίζεται όταν η κατανομή των γειτόνων είναι ασύμμετρη, δηλαδή, τα παραδείγματα της συχνότερης κατηγορίας κυριαρχούν στη διαδικασία απόδοσης κλάσης στο υπό εξέταση αντικείμενο, επειδή λόγω του μεγάλου αριθμού τους μεταξύ των κοντινότερων γειτόνων. Ένας τρόπος για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα είναι η στάθμιση της ταξινόμησης με βάση την απόσταση μεταξύ του αντικειμένου και καθενός από τα γειτονικά παραδείγματα. Για παράδειγμα, ένα κοινό σύστημα στάθμισης συνίσταται στην ανάθεση σε κάθε γείτονα ενός συντελεστή 1/d, όπου d είναι η απόσταση από το αντικείμενο, με αποτέλεσμα η τάξη (ή τιμή, σε προβλήματα παλινδρόμησης) καθενός από τα k πλησιέστερα σημεία να πολλαπλασιάζεται με ένα βάρος ανάλογο με το αντίστροφο της απόστασης από το σημείο αυτό προς το σημείο δοκιμής. Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης είναι η εφαρμογή ενός αντιπροσωπευτικού τρόπου αναπαράστασης δεδομένων όπου κάθε παράδειγμα μπορεί να είναι ένα αντιπροσωπευτικό κέντρο από ένα σύμπλεγμα παρόμοιων σημείων, ανεξάρτητα από την πυκνότητα τους στα αρχικά δεδομένα εκπαίδευσης Αναγνώριση προτύπων με το MATLAB Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η συνολική διαδικασία αναγνώρισης προτύπων αποτελείται από ένα σύνολο βημάτων με απαραίτητες λειτουργίες που Σελίδα 55 από 81

57 σχετίζονται με τα πεδία της επεξεργασίας εικόνων, των στατιστικών μαθηματικών υπολογισμών και της κατασκευής μοντέλων βασισμένων σε αλγόριθμους μηχανικής μάθησης. Ταυτόχρονα το πλήθος των δεδομένων τα οποία υπόκεινται σε επεξεργασία κατά τη διάρκεια της διαδικασίας προκαλούν μια αύξηση του υπολογιστικού κόστους, καθιστώντας έτσι απαραίτητη τη χρήση ενός ισχυρού προγραμματιστικού εργαλείου για την υλοποίησή της. Το προγραμματιστικό περιβάλλον MATLAB επιλέχθηκε για την εργασία αυτή επειδή προσφέρει μεγάλες δυνατότητες σε κάθε ένα από τα επιστημονικά πεδία που εμπλέκονται στη συνολική εφαρμογή καθώς διαθέτει ολόκληρα περιβάλλονταεργαλειοθήκες (toolboxs) τα οποία μέσω της πληθώρας των συναρτήσεων και των διαδικασιών που διαθέτουν αυτοματοποιούν σε μεγάλο βαθμό τις παραπάνω λειτουργίες. Ταυτόχρονα το ΜATLAB επιτρέπει την εύκολη σχεδίαση γραφικών παραστάσεων προκειμένου να είναι εύκολη η εξαγωγή συμπερασμάτων από τα αριθμητικά αποτελέσματα της διαδικασίας με έναν φιλικό, οπτικό τρόπο, κατανοητό προς τον μη-εξειδικευμένο χρήστη. Σελίδα 56 από 81

58 Κεφάλαιο 7 - Εκτέλεση Πειραμάτων Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η δημιουργία ενός μοντέλου ταξινόμησης που θα μπορεί να κατηγοριοποιεί αρχεία πινάκων ζωγραφικής ανά καλλιτέχνη, χρησιμοποιώντας ως κριτήριο ταξινόμησης τις ορθογώνιες ροπές κάθε πίνακα. Ένα μέρος των αρχείων των πινάκων θα χρησιμοποιηθεί ως δεδομένα εκπαίδευσης του μοντέλου και το υπόλοιπο ως δεδομένα ελέγχου. Παράλληλα, μέσα από την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων του μοντέλου θα εξαχθούν συμπεράσματα τόσο για τη μεθοδολογία που ακολουθήθηκε (είδη ροπών, επιλογή τάξης μεγέθους, παράμετροι μοντέλου) όσο και για τα ίδια τα δεδομένα (εμφάνιση εξάρτησης μεταξύ των καλλιτεχνών, συσχέτιση των πινάκων μεταξύ τους). Ως δεδομένα επεξεργασίας συλλέχθηκαν συνολικά 500 έγχρωμες εικόνες διαφόρων διαστάσεων σε μορφή αρχείων jpg που αντιστοιχούν ανά 100 σε 5 γνωστούς καλλιτέχνες ζωγράφους: Cizanne, Dali, El Greco, Picasso και Van Gogh. Φάση 1η Προεπεξεργασία Δεδομένων Στην πρώτη φάση της εργασίας τα δεδομένα υπόκεινται σε προεπεξεργασία προκειμένου να αποτελέσουν κατάλληλη είσοδο για τις συναρτήσεις υπολογισμού των ορθογώνιων ροπών κάθε εικόνας. Πιο συγκεκριμένα, επιδιώκουμε την μετατροπή κάθε πίνακα σε ασπρόμαυρη εικόνα διαστάσεων 128x128 pixels. Για την επίτευξη αυτής της μετατροπής δίχως σημαντική απώλεια της πληροφορίας και αλλοίωσης των δεδομένων χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συναρτήσεις της εργαλειοθήκης Image Processing Toolbox του MATLAB για τη γρήγορη ολοκλήρωση της διαδικασίας. Σελίδα 57 από 81

59 Όνομα Συνάρτησης imread imwrite imresize rgb2gray Λειτουργία Είσοδος Έξοδος Διαβάζει ένα αρχείο Ένα αρχείο εικόνας Ένας πίνακας εικόνας.jpg,.bmp κλπ διαστάσεων mxn που περιέχει τις πληροφορίες της εικόνας Γράφει σε ένα αρχείο Ένας πίνακας Ένα αρχείο εικόνας εικόνας διαστάσεων mxn που.jpg,.bmp κλπ περιέχει τις πληροφορίες της εικόνας Αλλάζει τις διαστάσεις Ένας πίνακας Ένας πίνακας νέων μιας εικόνας διαστάσεων mxn που διαστάσεων που περιέχει τις περιέχει τις πληροφορίες της πληροφορίες της εικόνας εικόνας Μετατρέπει την Ένας τρισδιάστατος Ένας δισδιάστατος έγχρωμη εικόνα σε πίνακας έγχρωμης πίνακας ασπρόμαυρη εικόνας ασπρόμαυρης εικόνας Παράδειγμα: cizanne(1).jpeg cizanne001.jpeg => Σελίδα 58 από 81

60 Κώδικας: for j=1:numofimages image = imread(['paintings/' SubFolders(i).name '/' Images(j+2).name]); newimage = rgb2gray(imresize(image,[ ])); index = num2str(j,'%03d'); index '.jpg']); imwrite(newimage,[pwd '\grey paintings\' SubFolders(i).name '\' strjoin(string,' ') '' end Φάση 2η Υπολογισμός ροπών και Στατιστική Ανάλυση Υπολογισμός ροπών Έπειτα από την προεπεξεργασία των δεδομένων, υπολογίζονται οι ορθογώνιες ροπές και οι αντίστοιχες στατιστικές μετρικές. Προκειμένου να παραχθούν περισσότερα αποτελέσματα προς σύγκριση της αποτελεσματικότητας και προς εξαγωγή συμπερασμάτων, για κάθε εικόνα mxn υπολογίστηκαν οι ροπές 6 οικογενειών (Zernike, Pseudo-Zernike, Legendre, Tchebichef, Krawtchouk, Dual Hahn) για τάξη μεγέθους (order) 16 και 25. Επίσης για τις ροπές Krawtchouk ισχύει p1 = p2 = 0.5 και για τις ροπές Dual Hahn ισχύει a = 10, b = a + m και c = a. Συνολικά θα υπολογιστούν (5 καλλιτέχνες)*(100 πίνακες)*(6 οικογένειες ροπών) = δικά και δικά διανύσματα. Τα δεδομένα αυτά θα αποθηκευτούν με δυο διαφορετικούς τρόπους προκειμένου να χρησιμοποιηθούν ευκολότερα στα επόμενα βήματα της διαδικασίας. Η πρώτη μορφή είναι ανά καλλιτέχνη και θα χρησιμοποιηθεί ένας πίνακας cell διαστάσεων 5x100 όπου κάθε κελί (ένα για κάθε εικόνα) θα περιέχει έναν Σελίδα 59 από 81

61 πίνακα double, διαστάσεων 6x16 (ή 6x25 αντίστοιχα για το δεύτερο order), όπου κάθε γραμμή θα αντιστοιχεί σε μια οικογένεια ροπών. Η δεύτερη μορφή είναι ανά οικογένεια ροπών και θα χρησιμοποιηθεί ένα διάνυσμα cell διαστάσεων 6x1 όπου κάθε κελί (ένα για κάθε οικογένεια ροπών) θα περιέχει ένα πίνακα double διαστάσεων 16x500 (ή 25x500 αντίστοιχα για το δεύτερο order), όπου κάθε κελί θα αντιστοιχεί σε μια εικόνα. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις τα τελικά δεδομένα αποθηκεύονται σε.mat αρχεία. Στατιστική Ανάλυση Προκειμένου να αξιολογηθεί καλύτερα η αξιοπιστία των ροπών που θα υπολογιστούν για κάθε εικόνα, θα αξιοποιηθούν οι στατιστικές μετρικές της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης. Για αυτή την περίπτωση το περιβάλλον MATLAB παρέχει τις συναρτήσεις mean2 και std2 που υπολογίζουν την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση σε ολόκληρο πίνακα, ιδιότητα ιδιαίτερη χρήσιμη σε οπτικά δεδομένα λόγω της μορφής των πινάκων με την οποία αποθηκεύονται τα αρχεία εικόνας. Σε αυτό το βήμα της στατιστικής ανάλυσης, επειδή είναι επιθυμητό να υπολογιστούν στατιστικοί δείκτες ανά πίνακα καλλιτέχνη για όλες τις οικογένειες ροπών, στις συναρτήσεις θα εισαχθούν ως είσοδοι τα δεδομένα που αποθηκεύτηκαν με την πρώτη μορφή. Μέσω αυτής της διαδικασίας θα υπολογιστεί ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση για κάθε καλλιτέχνη για κάθε εικόνα και για όλες τις ροπές που υπολογίστηκαν, δηλαδή συνολικά 500 μέσοι και 500 τυπικές αποκλίσεις. Στη συνέχεια τα αποτελέσματα θα εμφανιστούν σε γραφικές παραστάσεις προς εξαγωγή συμπερασμάτων. Παρατίθεται παρακάτω ο κώδικας: Σελίδα 60 από 81

62 for i=1:m means_order_16(i).artist = names{i}; means_order_25(i).artist = names{i}; stds_order_16(i).artist = names{i}; stds_order_25(i).artist = names{i}; for j=1:n means_order_16(i).values(j) = mean2(all_moments_order_16_ph_1{i,j}); means_order_25(i).values(j) = mean2(all_moments_order_25_ph_1{i,j}); stds_order_16(i).values(j) = std2(all_moments_order_16_ph_1{i,j}); stds_order_25(i).values(j) = std2(all_moments_order_25_ph_1{i,j}); end end Τα δεδομένα θα αποθηκευτούν σε δομές τύπου struct με πεδίο το όνομα του καλλιτέχνη, ώστε ο χρήστης να μπορεί να εντοπίσει ευκολότερα την πληροφορία αυτή. Τα δεδομένα, με κριτήριο τη γραφική αναπαράστασή τους, χωρίζονται σε 2 κατηγορίες. Στην πρώτη εμφανίζονται οι μέσοι και οι τυπικές αποκλίσεις στον άξονα y και οι εικόνες στον άξονα x, με τις εικόνες κάθε καλλιτέχνη να εμφανίζονται σε διαφορετική καμπύλη, για κάθε ξεχωριστό order (συνολικά 4 διαγράμματα). Στη δεύτερη εμφανίζονται οι μέσοι στον άξονα y με τις τυπικές αποκλίσεις στον άξονα x για κάθε εικόνα, ανά διαφορετικό order (2 διαγράμματα). Σελίδα 61 από 81

63 Πίνακας 7.1: Μέσοι ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 16. Σελίδα 62 από 81

64 Πίνακας 7.2: Μέσοι ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 25. Σελίδα 63 από 81

65 Πίνακας 7.3: Τυπική απόκλιση ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 16. Σελίδα 64 από 81

66 Πίνακας 7.4: Τυπική απόκλιση ανά εικόνα για κάθε καλλιτέχνη ξεχωριστά, για τάξη = 25. Σελίδα 65 από 81

67 Πίνακας 7.5 Μέση τιμή και τυπική απόκλιση ανά εικόνα, για τάξη = 16. Σελίδα 66 από 81

68 Πίνακας 7.6 Μέση τιμή και τυπική απόκλιση ανά εικόνα, για τάξη = 25. Από τα παρακάτω διαγράμματα, και πιο συγκεκριμένα αυτά που συγκρίνουν τους μέσους με τις τυπικές αποκλίσεις, μία πρώτη παρατήρηση είναι ότι για όλους τους καλλιτέχνες και για όλες τις εικόνες, οι παρατηρήσεις εντοπίζονται κοντά στον άξονα x = y, δηλαδή υπάρχει μικρή διαφοροποίηση μέσου και τυπικής απόκλισης για κάθε εικόνα. Από αυτό μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η ένταση των pixels στο σύνολο κάθε εικόνας κατανέμεται αρκετά συμμετρικά γύρω από τη μέση τιμή, κάτι το οποίο οφείλεται κυρίως στη μετατροπή των πινάκων από έγχρωμους σε ασπρόμαυρους. Επίσης η αύξηση του order από 16 σε 25, δείχνει να εντείνει ακόμα περισσότερο αυτή την τάση. Ακόμα, μοναδική διαφοροποίηση στην παραπάνω παρατήρηση σε σχέση με τους υπόλοιπους ζωγράφους δείχνουν οι πίνακες του Dali, που εμφανίζουν και τους μεγαλύτερους μέσους και τυπικές αποκλίσεις, σύμφωνα με τα πρώτα διαγράμματα. Σελίδα 67 από 81

69 Συσχέτιση καλλιτεχνών Ο υπολογισμός των ροπών των εικόνων προσφέρει επίσης τη δυνατότητα να εντοπιστεί η πιθανότητα συσχέτισης μεταξύ των πινάκων διαφορετικών καλλιτεχνών. Μέσω αυτής της διαδικασίας μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα τόσο για την καταλληλότητα κάθε οικογένειας ροπών (επιδιώκεται η μεγαλύτερη δυνατή στατιστική ανεξαρτησία μεταξύ των δεδομένων) όσο και την επιρροή από καλλιτέχνη σε καλλιτέχνη στο επίπεδο της ζωγραφικής. Για τον υπολογισμό των συντελεστών αυτοσυσχέτισης χρησιμοποιείται η συνάρτηση corr () του MATLAB που επιστρέφει ένα πίνακα συσχέτισης μεταξύ των στηλών δύο πινάκων, με δυνατότητα επιλογής του τύπου υπολογισμού (Pearson, Kendall, Spearman). Επειδή το βασικό ζητούμενο είναι η εύρεση συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων για ίδιες οικογένειες ροπών, ως δεδομένα είσοδου στη συνάρτηση θα χρησιμοποιηθεί η δεύτερη μορφή αποθήκευσης των ροπών. Πιο συγκεκριμένα για κάθε οικογένεια ροπών θα υπολογιστεί ένας πίνακας αυτοσυσχέτισης για όλες τις εικόνες με όλες τις εικόνες, διαστάσεων 500x500, για κάθε τύπο και για κάθε order δλδ 6x3x2 = 36 πίνακες 500x500 συνολικά. Παρακάτω ο κώδικας: for w=1:length(names) meansline = []; correls(z).types(i).moments(j).means(w).artist_x = names(w); for k=1:length(names) correls(z).types(i).moments(j).means(w).corr_to(k).artist_y = names(k); correls(z).types(i).moments(j).means(w).corr_to(k).means_corr = mean2(correls(z).types(i).moments(j).corr_data(100*(k-1)+1:100*k,100*(w- 1)+1:100*w)); Σελίδα 68 από 81

70 meansline = [meansline correls(z).types(i).moments(j).means(w).corr_to(k).means_corr]; end meansline = [meansline 0]; means = horzcat(means,meansline); end Ταυτόχρονα, μέσα στο τελευταίο βρόγχο for, από κάθε πίνακα αυτοσυσχέτισης υπολογίζουμε τη μέση τιμή συντελεστών αυτοσυσχέτισης κάθε καλλιτέχνη με τους υπολοίπους και με τον εαυτό του (συνολικά 25 μέσοι όροι). Μέσα από τη σύγκριση αυτών των τιμών μπορούμε να συμπεραίνουμε το βαθμό αλληλεπίδρασης μεταξύ των καλλιτεχνών αλλά και την ανεξαρτησία των δεδομένων που εξετάζουμε. Παρακάτω παρατίθενται μερικά από τα διαγράμματα σύγκρισης των μέσων όρων αυτοσυσχέτισης Σελίδα 69 από 81

71 Πίνακας 7.7: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο Τύπος = Pearson, Οικογένεια = Pseudo-Zernike, Τάξη = 16. Σελίδα 70 από 81

72 Πίνακας 7.8: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο (Τύπος = Kendall, Οικογένεια = Legendre, Τάξη = 16). Σελίδα 71 από 81

73 Πίνακας 7.9: Μέσοι συσχέτισης μεταξύ των ζωγράφων άνα δύο (Τύπος = Pearson, Οικογένεια = Tchebichef, Τάξη = 25). Σελίδα 72 από 81