Μελέτη καναλιού ΜΙΜΟ με την χρήση της θεωρίας γραφημάτων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Διπλωματική Εργασία Μελέτη καναλιού ΜΙΜΟ με την χρήση της θεωρίας γραφημάτων Γιακουμή Αθανασία Επιβλέπων καθηγητής: Τραϊανός Β. Γιούλτσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2015

2

3 Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτέλεσε την κύρια ενασχόλησή μου κατά το τελευταίο έτος των σπουδών μου στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πραγματεύεται τη μελέτη της επίδρασης της χρήσης κεραιών πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων στις επιδόσεις ασύρματων συστημάτων επικοινωνιών με την βοήθεια της θεωρίας γραφημάτων. Στο πρώτο κεφάλαιο περιγράφονται οι βασικές έννοιες που αφορούν στα ασύρματα συστήματα επικοινωνιών και σε εκείνα τα χαρακτηριστικά τους που θα µας απασχολήσουν στη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση των συστημάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων (ΜΙΜΟ Systems), η περιγραφή της συμπεριφοράς αυτών, όταν χρησιμοποιούνται στοχεύοντας στην βελτίωση της χωρητικότητας του καναλιού επικοινωνίας, καθώς και η περιγραφή της μοντελοποίησης τους κάνοντας χρήση της θεωρίας γραφημάτων. Αντικείμενο του τρίτου κεφαλαίου είναι η παρουσίαση της γεωμετρίας μιας MIMO διάταξης, όπως και των σχέσεων που την διέπουν και η ηλεκτρομαγνητική ανάλυση αυτής. Το τέταρτο κεφάλαιο περιλαμβάνει τις προσομοιώσεις του παραπάνω MIMO συστήματος. Αυτές αφορούν στην εξαγωγή καμπυλών που δείχνουν την μεταβολή της χωρητικότητας των ασύρματων καναλιών για διάφορες παραμέτρους του συστήματος. Στο πέμπτο κεφάλαιο συνοψίζονται τα συμπεράσματα που βγήκαν από την μελέτη των καμπυλών που παρουσιάστηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο. Πριν προχωρήσουμε όμως στο κύριο μέρος της εργασίας, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Τραϊανό Γιούλτση, για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με αυτό το ενδιαφέρον θέμα και την συνεχή και ουσιώδη καθοδήγησή του, όπως και τον Χριστόπουλο Θωμά για τις χρήσιμες παρατηρήσεις, που σκοπό είχαν την καλύτερη παρουσίαση και πιο εύκολη κατανόηση της εργασίας. Τέλος, δεν θα μπορούσα να μην ευχαριστήσω την οικογένειά μου, όπως και όλους τους δικούς μου ανθρώπους για την αδιάκοπη και ουσιώδη στήριξή τους καθ όλη την διάρκεια των σπουδών μου. Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 2015 Αθανασία Γιακουμή

4

5 Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή Ιστορική Ανασκόπηση Στοιχεία ενός Συστήματος Ηλεκτρικής Επικοινωνίας Ασύρματα Κανάλια Επικοινωνίας Φαινόμενα Ηλεκτρομαγνητικής Διάδοσης Χωρητικότητα Καναλιού Συστήματα MIMO Τεχνικές Κωδικοποίησης Τεχνικές Διαφορισμού Ορισμός Συστήματος Πολλαπλών Κεραιών Μοντέλο Συστήματος MIMO Μοντέλο MIMO μέσω Θεωρίας Γραφημάτων Υπολογισμός Πίνακα Σύνδεσης με Βάρη Υπολογισμός Πίνακα Καναλιού μέσω Γραφημάτων Χωρητικότητα MIMO Συστήματος Επικοινωνίας Γενική Έκφραση της Χωρητικότητας Υπολογισμός της Χωρητικότητας Ισοκατανομή Ισχύος/ Απουσία Γνώσης του Καναλιού Υπολογισμός της Χωρητικότητας Τεχνική Water-filling Αλγόριθμος Τεχνικής Water-filling Κανονικοποίηση Καναλιού Διάδοσης Υπολογισμός της Χωρητικότητας Συμπεριλαμβανομένης της Αμοιβαίας Σύζευξης... 26

6 3. Ανάλυση MIMO Συστημάτων μέσω Θεωρίας Γραφημάτων Ηλεκτρομαγνητική Ανάλυση Στοιχειοκεραίας MIMO Μοντέλο Σκεδαστή Ανάλυση Κυκλώματος Κεραίας Λήψης Τελικές Εκφράσεις Πινάκων Θεωρίας Γραφημάτων Προσομοίωση Καναλιού Επικοινωνίας με Φαινόμενα Πολλαπλών Διαδρομών Προσομοίωση Ασύρματου Καναλιού Επικοινωνίας με Πολλούς Τυχαίους Σκεδαστές Μεταβολή Χωρητικότητας για Ισοκατανομή Ισχύος στον Εκπομπό Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Λόγο Σήματος προς Θόρυβο Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Απόσταση μεταξύ Διπόλων Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Μήκος Διπόλου Μεταβολή Χωρητικότητας με την Χρήση της Τεχνικής Water-filling Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Λόγο Σήματος προς Θόρυβο Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Απόσταση μεταξύ Διπόλων Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Μήκος Διπόλου Σύγκριση Αποτελεσμάτων για Ισοκατανομή Ισχύος και Τεχνική Water-filling Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Λόγο Σήματος προς Θόρυβο Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Απόσταση μεταξύ Διπόλων Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Μήκος Διπόλου Σύνοψη Αποτελεσμάτων - Συμπεράσματα Βιβλιογραφία... 69

7

8 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Τις τελευταίες δεκαετίες η ανάγκη των ανθρώπων για ολοένα και καλύτερη επικοινωνία έδωσε μεγάλη ώθηση στον τομέα των ασύρματων επικοινωνιών, γεγονός εμφανές στην πρόοδο της κινητής τηλεφωνίας, των δορυφορικών επικοινωνιών, καθώς και των ασύρματων τοπικών δικτύων. Παράλληλα όμως με την ανάπτυξη των παραπάνω τεχνολογιών και προκειμένου να βελτιωθούν οι υπάρχουσες, αλλά και να δημιουργηθούν νέες, αυξάνονται και οι απαιτήσεις στην ποιότητα επικοινωνίας, δηλαδή είναι πλέον αναγκαία η υψηλή και ταυτόχρονα αξιόπιστη ταχύτητα μετάδοσης δεδομένων, η αδιάλειπτη επικοινωνία, η ταυτόχρονη μετάδοση διαφόρων τύπων δεδομένων κτλ. Είναι έκδηλη λοιπόν η ανάγκη να επιτευχθούν τα προαναφερθέντα με την χρήση νέων μεθόδων, που κύριο στόχο έχουν την βελτιστοποίηση της χωρητικότητας του ασύρματου καναλιού, μιας και αυτό το μέγεθος είναι που συμβάλλει δραστικά στην επίδοσή του. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, προς αυτή την κατεύθυνση, παρουσιάζει η πρόταση για χρήση διατάξεων πολλαπλών κεραιών στο ένα ή και στα δύο άκρα της τηλεπικοινωνιακής ζεύξης. Έχει δειχθεί, στις σχετικές έρευνες, ότι οι διατάξεις αυτές (Multiple Input Multiple Output, MIMO) προσφέρουν σημαντική βελτίωση του ρυθμού μετάδοσης δεδομένων και της ισχύος του λαμβανόμενου σήματος, σε σχέση µε τα παραδοσιακά τηλεπικοινωνιακά συστήματα μίας εισόδου μίας εξόδου (Single Input Single Output, SISO Systems). Προτού προχωρήσουμε όμως στην ανάλυση των συστημάτων MIMO (κεφ.2), θα παρουσιάσουμε μια γενική εικόνα των συστημάτων επικοινωνίας, με ειδική μνεία να γίνεται στα ασύρματα δίκτυα επικοινωνίας, όπως και στις ιδιαιτερότητές τους και στο μέγεθος της χωρητικότητας ενός ασύρματου καναλιού. Σκοπός του πρώτου κεφαλαίου, επομένως, είναι η εξοικείωση με τις παραπάνω έννοιες, για τις οποίες θα γίνει κατά κόρον λόγος στα επόμενα κεφάλαια. 1

9 1.1 Ιστορική Ανασκόπηση Τα πρώτα συστήματα επικοινωνιών είχαν τη βάση τους στα αναλογικά συστήματα. Έτσι, στην ιστορία των σύγχρονων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων διακρίνονται τα εξής στάδια [1]: Τηλεγραφία και Τηλεφωνία: Μια από τις πρωταρχικές εφευρέσεις μεγίστης σημασίας για τις επικοινωνίες υπήρξε η εφεύρεση του ηλεκτρικού στοιχείου από τον Alessandro Volta το Η εφεύρεση αυτή επέτρεψε στον Samuel Morse να αναπτύξει τον ηλεκτρικό τηλέγραφο το 1837, που αποτέλεσε και το πρώτο ψηφιακό σύστημα επικοινωνιών. Σημαντικό ορόσημο για την τηλεγραφία υπήρξε η εγκατάσταση του πρώτου υπερατλαντικού καλωδίου το 1858, που συνέδεε τις ΗΠΑ με την Ευρώπη. Αργότερα, η εφεύρεση του τηλεφώνου και κατοχύρωση της ευρεσιτεχνίας του από τον Graham Bell το 1876 άνοιξε τον δρόμο για ακόμα πιο άμεσους τρόπους επικοινωνίας. Το 1906 η εφεύρεση της τριόδου λυχνίας κενού από τον Lee De Forest κατέστησε δυνατή την μετάδοση τηλεφωνικού σήματος ακόμα και σε μεγάλες αποστάσεις, καθώς η παραπάνω εφεύρεση έδωσε την δυνατότητα εισαγωγής ενισχυτικών σημάτων στα τηλεφωνικά συστήματα. Άλλη μία σημαντική πρόοδος στην ανάπτυξη της τηλεφωνίας αποτέλεσε και η αυτόματη μεταγωγή, που κατέστη δυνατή και εφαρμόστηκε μετά την εφεύρεση του πρώτου αυτόματου μεταγωγέα από τον Strowger, το Ασύρματες Επικοινωνίες: Η ανάπτυξη των ασύρματων επικοινωνιών έχει τις ρίζες της στις εργασίες των Oersted, Faraday, Gauss, Maxwell και Hertz. Το 1820 ο Oersted έδειξε ότι ένα ηλεκτρικό ρεύμα παράγει μαγνητικό πεδίο, ενώ το 1831 ο Michael Faraday απέδειξε ότι ένας κινούμενος μαγνήτης κοντά σε κάποιον αγωγό επάγει σ αυτόν ηλεκτρικό ρεύμα. Η πρόβλεψη για την ύπαρξη της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας έγινε από τον James C. Maxwell, ο οποίος το 1864 διατύπωσε τη βασική ηλεκτρομαγνητική θεωρία του, η οποία επαληθεύτηκε πειραματικά από τον Hertz το 1887 και χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Το 1894, μια ευαίσθητη διάταξη που μπορούσε να λαμβάνει ραδιοσήματα και ονομαζόταν coherer χρησιμοποιήθηκε από τον Oliver Lodge, προκειμένου να επιτευχθεί ασύρματη επικοινωνία σε απόσταση 140m, στην Οξφόρδη του Ηνωμένου Βασιλείου. Μόλις έναν χρόνο αργότερα ο Marconi επέδειξε την δυνατότητα ασύρματης επικοινωνίας σε απόσταση 2 χιλιομέτρων, ενώ το 1901 κατάφερε να κάνει λήψη ραδιοσήματος από απόσταση μιλίων! Η ραδιοφωνία διαμόρφωσης πλάτους (ΑΜ) εγκαινιάστηκε το 1920, ενώ το πρώτο σύστημα ραδιοφωνίας διαμόρφωσης συχνότητας (FM) κατασκευάστηκε το Ο V. K. Zworykin κατασκεύασε το πρώτο σύστημα τηλεόρασης το 1929, στις ΗΠΑ, ενώ η πρώτη εμπορική εκπομπή τηλεόρασης έγινε στο Λονδίνο το 1936 από το BBC (British Broadcasting Corporation). 2

10 Η πρόοδος των τηλεπικοινωνιακών υπηρεσιών τις τελευταίες δεκαετίες ήταν εκπληκτική. Η εφεύρεση του transistor το 1947 από τους Walter Brattain, John Bardeen και William Schokley, του ολοκληρωμένου κυκλώματος το 1958 από τους Jack Kily και Robert Noyce και του laser από τους Townes και Schawloew την ίδια χρονιά άνοιξαν τον δρόμο για την ανάπτυξη των συστημάτων δορυφορικών επικοινωνιών, των συστημάτων µικροκυµατικών ραδιοζεύξεων ευρείας ζώνης, των οπτικών επικοινωνιών αλλά και για την εξέλιξη της κινητής τηλεφωνίας. 1.2 Στοιχεία ενός Συστήματος Ηλεκτρικής Επικοινωνίας Ένα σύστημα επικοινωνίας μπορεί να παρασταθεί με λειτουργικές βαθμίδες, όπως στο Σχήμα 1.1. Σχήμα 1.1 Τυπικό Σύστημα Επικοινωνίας Τα συστήματα ηλεκτρικών επικοινωνιών σχεδιάζονται µε σκοπό την αποστολή μηνυμάτων ή πληροφορίας από µία πηγή σε έναν ή περισσότερους προορισμούς. Η πηγή παράγει πληροφορία υπό την μορφή ενός κειμένου, μιας εικόνας ή ενός ήχου, ενώ συνήθως στην έξοδό της υπάρχει κατάλληλος μετατροπέας που μετατρέπει την πληροφορία σε ηλεκτρικό σήμα. Στη συνέχεια, ο πομπός μετατρέπει το ηλεκτρικό αυτό σήμα σε κατάλληλη μορφή για μετάδοση μέσα από το φυσικό κανάλι ή το μέσο διάδοσης. Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό μέσο που χρησιμεύει για την αποστολή του σήματος από τον πομπό στον δέκτη, όπου το λαμβανόμενο σήμα μετατρέπεται καταλλήλως ώστε να ανακτηθεί η αρχικά μεταδιδόμενη πληροφορία. 1.3 Ασύρματα Κανάλια Επικοινωνίας Στην περίπτωση των ασύρματων καναλιών επικοινωνίας το φυσικό μέσο διάδοσης των σημάτων είναι ο ατμοσφαιρικός αέρας. Κάποιες από τις επιθυμητές ιδιότητες ενός συστήματος ασύρματης επικοινωνίας είναι η υψηλή χωρητικότητα και ποιότητα υπηρεσιών, ο υψηλός ρυθμός μετάδοσης σε συνδυασμό µε χαμηλό ρυθμό σφαλμάτων (BER, Bit Error Rate), το μεγάλο εύρος ζώνης και το χαμηλό κόστος λειτουργίας [2]. Οι παραπάνω απαιτήσεις σε πολλές περιπτώσεις πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα, σε ολόκληρη την έκταση του ασύρματου καναλιού, το 3

11 οποίο εκ φύσεως είναι ιδιαίτερα αφιλόξενο, ιδιαίτερα σε περιπτώσεις μετάδοσης όπου δεν υπάρχει οπτική επαφή (NLOS propagation scenario, Non Line of Sight). Τις τελευταίες δεκαετίες η μετάδοση µη οπτικής επαφής (NLOS) αποτελεί συνηθισμένη περίπτωση, εξαιτίας της ραγδαίας ανάπτυξης των ασύρματων επικοινωνιών σε αστικό περιβάλλον. Αυτό έχει εγείρει την αναγκαιότητα της ανάπτυξης νέων αρχιτεκτονικών ασύρματων επικοινωνιών, που λειτουργούν αποδοτικά τόσο σε περιπτώσεις οπτικής επαφής (LOS), όσο και σε περιπτώσεις μη οπτικής επαφής (NLOS). Σχήμα 1.2 Πολλαπλές διαδρομές που ακολουθεί ένα μεταδιδόμενο σήμα σε περιβάλλον με τυχαία τοποθετημένα σώματα ανάμεσα στον πομπό και τον δέκτη Εκτός από τους τυπικούς μηχανισμούς υποβάθμισης ενός μεταδιδόμενου σήματος στις περιπτώσεις οπτικής επαφής, που είναι ο θερμικός θόρυβος (thermal noise), οι παρεμβολές από άλλα σήματα (co-channel interference), οι απώλειες διαδρομής (path losses), το μη επαρκές διαθέσιμο εύρος ζώνης (scarce available bandwidth) κτλ., στις περιπτώσεις μη οπτικής επαφής υπάρχει και μια επιπρόσθετη μορφή υποβάθμισης του μεταδιδόμενου σήματος, οι διαλείψεις. Εξαιτίας των πολλαπλών διαδρομών (multipath propagation) τις οποίες ακολουθεί το σήμα μέχρι να φτάσει στον δέκτη (Σχήμα 1.2), υπόκειται σε παραμορφώσεις. Οι παραμορφώσεις αυτές εκδηλώνονται ως χρονικές διακυμάνσεις της έντασης του σήματος και καλούνται διαλείψεις. Τα φαινόμενα multipath δημιουργούνται όταν πολλαπλά αντίγραφα του αρχικά μεταδιδόμενου σήματος φθάνουν στον δέκτη αφού έχουν υποστεί τις επιδράσεις των διαφόρων σωμάτων που βρίσκονται στο περιβάλλον της διάδοσης. Τα διαφορετικά αυτά σήματα μπορεί να συμβάλλουν αφαιρετικά στον δέκτη, προκαλώντας απότομες μεταβολές της ισχύος (Σχήμα 1.3), µε αποτέλεσμα την υποβάθμιση της ποιότητας της τηλεπικοινωνιακής ζεύξης (signal fading). 4

12 Σχήμα 1.3 Χρονική απόκριση λαμβανόμενου σήματος σε κανάλι με πολλαπλές διαδρομές 1.4 Φαινόμενα Ηλεκτρομαγνητικής Διάδοσης Προκειμένου να γίνει κατανοητό πώς γίνεται να εμφανίζονται στον δέκτη πολλαπλά αντίγραφα του εκπεμπόμενου σήματος, θα περιγράψουμε τα βασικά φαινόμενα ηλεκτρομαγνητικής διάδοσης. Σχήμα 1.4 Τρισδιάστατη απεικόνιση των φαινομένων ηλεκτρομαγνητικής διάδοσης 5

13 Ανάκλαση (Reflection): Η αλλαγή της κατεύθυνσης του κύματος κατά την πρόσπτωσή του στη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων, µε τέτοιο τρόπο ώστε το κύμα να επιστρέφει στο μέσο όπου και παρήχθη. Διάθλαση (Refraction): Η αλλαγή της κατεύθυνσης του κύματος εξαιτίας της μεταβολής στην ταχύτητα διάδοσής του, καθώς περνά από ένα μέσο σε κάποιο άλλο. Περίθλαση (Diffraction): Σχετίζεται µε διάφορα φαινόμενα στα οποία υπόκειται το μεταδιδόμενο κύμα, όταν προσπίπτει σε κάποιο αιχμηρό αντικείμενο ή άνοιγμα. Σκέδαση (Scattering): Μια φυσική διαδικασία στην οποία εξαναγκάζονται τα κύματα όταν αλληλεπιδρούν µε αντικείμενα μεγέθους συγκρίσιμου ως προς το μήκος κύματός τους, και κατά την οποία το αρχικό κύμα διαχέεται προς διάφορες κατευθύνσεις μετά την επίδραση µε το αντικείμενο. Στο Σχήμα 1.4 φαίνεται μια τρισδιάστατη απεικόνιση της διάδοσης µέσω πολλαπλών διαδρομών, όπου διακρίνονται τόσο οι διαφορετικές διαδρομές που ακολουθά το κύμα όσο και οι επιδράσεις των διαφόρων μηχανισμών διάδοσης. 1.5 Χωρητικότητα Καναλιού Βάσει του θεωρήματος Shannon, ως χωρητικότητα καναλιού ορίζεται το μέτρο του μεγίστου ρυθμού μετάδοσης δεδομένων για αξιόπιστη επικοινωνία αξιόπιστη υπό την έννοια της μετάδοσης δεδομένων σε τέτοια ταχύτητα, ώστε να διατηρείται η πιθανότητα σφάλματος μικρή. Με άλλα λόγια, αυτό που απορρέει από το θεώρημα Shannon είναι πως ο κύριος περιορισμός που θέτει ο θόρυβος σε ένα κανάλι επικοινωνίας δεν είναι στην ίδια την ποιότητα της επικοινωνίας, παρά στην ταχύτητα με την οποία αυτή επιτυγχάνεται. Επομένως, το θεώρημα τελικά μας παρέχει ένα άνω όριο λειτουργίας της λειτουργίας του τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Η χωρητικότητα ενός συγκεκριμένου ασύρματου τηλεπικοινωνιακού συστήματος εξαρτάται από διαφόρους παράγοντες, όπως ο θόρυβος, ο αριθμός των κεραιών που χρησιμοποιούνται για την εκπομπή και την λήψη, η επίδραση των πολλαπλών διαδρομών που ακολουθεί το εκπεμπόμενο σήμα μέσα στο κανάλι μέχρι να φτάσει στον δέκτη. Μερικές από τις παραπάνω παραμέτρους είναι καθορισμένες, ενώ άλλες μπορούν να επιλεχθούν με τέτοιο τρόπο, ώστε να βελτιστοποιήσουν την επίδοση του συστήματος. Ας θεωρήσουμε αρχικά την απλή περίπτωση στην οποία έχουμε μία κεραία τόσο στον πομπό όσο και στον δέκτη - ονομαζόμενο και Σύστημα μιας Εισόδου μιας Εξόδου (Single Input Single Output System, SISO system). Αν υποθέσουμε πως το σήμα υπόκειται σε λευκό, προσθετικό, Gaussian θόρυβο (additive white Gaussian noise, AWGN), τότε η σχέση εισόδου εξόδου του καναλιού μπορεί να εκφραστεί ως yy = xx + nn, (1.5.1) 6

14 όπου xx το σήμα εισόδου στο κανάλι, yy το σήμα εξόδου και nn το σήμα που περιγράφει τον AWGN. Ο AWGN μοντελοποιείται ως μια μιγαδική τυχαία μεταβλητή, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της οποίας ακολουθούν Gaussian κατανομή µε μέση τιμή μηδέν και διακύμανση σσ nn 2 = PP nn 2, όπου PP nn η ισχύς του θορύβου με PP nn = NN 0 BBBB και BBBB το εύρος ζώνης. Αν EE nn είναι η ισχύς των συμβόλων εισόδου, ο λόγος ισχύος σήματος προς θόρυβο στον δέκτη είναι SSSSSS = EE nn NN 0 BBBB. (1.5.2) Επομένως, η χωρητικότητα του καναλιού δίνεται από την παρακάτω σχέση CC = BBBB log aa (1 + SSSSSS). (1.5.3) Αν όμως θεωρήσουμε ότι τα μεταδιδόμενα σύμβολα είναι δυαδικά, η κανονικοποιημένη ως προς το εύρος ζώνης χωρητικότητα παίρνει την εξής μορφή CC = log 2 (1 + SSSSSS) (1.5.4) και μετριέται σε bits/sec/hz. Για πολλά χρόνια, τα συστήματα ασύρματων επικοινωνιών βασίζονταν σε διατάξεις SISO και συνθήκες οπτικής επαφής (LOS). Στην προσπάθεια βελτίωσης αυτών των συστημάτων χρησιμοποιήθηκαν τεχνικές καταπολέμησης των φαινομένων multipath, όπως ο διαφορισµός χρόνου ή η χρήση κατευθυντικών κεραιών. Η κατάλληλη χρήση κατευθυντικών κεραιών αυξάνει τον λόγο σήματος προς θόρυβο (SNR) σ ένα σύστημα SISO και κατ επέκταση βελτιώνει την χωρητικότητά του. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας της ικανότητας των κατευθυντικών κεραιών να συγκεντρώνουν την ακτινοβολούμενη ισχύ προς µία συγκεκριμένη κατεύθυνση. Υποθέτοντας ότι GG TT και GG RR είναι τα κέρδη των κεραιών εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και θεωρώντας ότι οι διευθύνσεις μεγίστης ακτινοβολίας των δύο κεραιών συμπίπτουν, ο λόγος του σήματος προς τον θόρυβο προκύπτει SSSSSS GG = GG TT SSSSSS GG RR. (1.5.5) Μία άλλη σημαντική παράμετρος για την βελτίωση της χωρητικότητας ενός ασύρματου καναλιού, όταν το πρόβλημα προσεγγίζεται από τη σκοπιά του σχεδιασμού της κατάλληλης κεραίας, είναι η θερμοκρασία θορύβου κεραίας TT AA. Αν η κατανομή TT AA (θθ, φφ) της θερμοκρασίας θορύβου μιας κεραίας δεν είναι ομοιόμορφη, τότε έχει δειχθεί ότι η χρήση κατευθυντικών κεραιών μπορεί να ελαττώσει την ισχύ του θορύβου, εξαιτίας της χρήσης στενότερης δέσμης ακτινοβολίας. Η χωρητικότητα ενός καναλιού που χρησιμοποιεί κατευθυντικές κεραίες τόσο για την εκπομπή όσο και την λήψη του μεταδιδόμενου σήματος, δίνεται από την εξής σχέση 7

15 CC = log 2 (1 + SSSSSS GG ) = log 2 (1 + GG TT SSSSSS GG RR ). (1.5.6) Προφανώς η αύξηση της κατευθυντικότητας της κεραίας συνεπάγεται την μείωση της κάλυψης στις περιοχές όπου η τελευταία δεν εστιάζει την ενέργεια που εκπέμπει. Παραδοσιακά κατευθυντικές κεραίες χρησιμοποιούνται στις ραδιοζεύξεις, όπου ο πομπός γνωρίζει ακριβώς πού βρίσκεται οι δέκτες. Παρόλα αυτά, τα τελευταία χρόνια ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η χρήση διατάξεων με πολλές κεραίες στην εκπομπή ή/και στην λήψη. Συστήματα τέτοιων διατάξεων ονομάζονται MIMO (Multiple Input Multiple Output) και θα μελετηθούν εκτενέστερα στο κεφάλαιο που ακολουθεί. 8

16 Κεφάλαιο 2 Συστήματα MIMO Η ολοένα αυξανόμενη ζήτηση για ποιότητα, αξιοπιστία, καθώς και υψηλό ρυθμό ταχύτητας υπηρεσιών, σε συνδυασμό με το περιορισμένο διαθέσιμο εύρος ζώνης αλλά και την περιορισμένη ισχύ, έχουν ωθήσει στην έρευνα για ανάπτυξη νέων τεχνικών στον τομέα των ασυρμάτων δικτύων, που εκμεταλλεύονται πλέον τόσο την συχνότητα και τον χρόνο όσο και την χωρική διάσταση των κεραιών. Έτσι, σημαντική εξέλιξη προς αυτή την κατεύθυνση αποτέλεσε η χρήση συστημάτων πολλαπλών εισόδων ή/και εξόδων, γνωστά ως MIMO. Ένα τέτοιο σύστημα ορίζεται ως εξής: Σε ένα τυχαίο ασύρματο σύστημα θεωρούμε μια ζεύξη που πραγματοποιείται με πομπό και δέκτη να είναι εφοδιασμένοι με πολλαπλές κεραίες. Η βασική αρχή στην οποία στηρίζεται είναι ότι τα σήματα που φεύγουν από τους δέκτες και φτάνουν στους πομπούς συνδυάζονται κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να επιτυγχάνεται βελτίωση της ποιότητας της ζεύξης και του ρυθμού μετάδοσης δεδομένων, κατά συνέπεια και της χωρητικότητας του συστήματος. Η χρήση πολλαπλών κεραιών στην εκπομπή και την λήψη έχει οδηγήσει στην διαμόρφωση τεχνικών ΜΙΜΟ, όπου γίνεται εκμετάλλευση και της διάστασης του χώρου, βελτιώνοντας έτσι σημαντικά την συνολική επίδοση του συστήματος. Σκοπός του Κεφαλαίου 2 είναι η παρουσίαση της μοντελοποίησης ενός MIMO συστήματος επικοινωνίας γενικά, καθώς και μέσω της χρήσης της θεωρίας γραφημάτων, η περιγραφή του υπολογισμού της χωρητικότητάς του και η βελτιστοποίησή της. 9

17 2.1 Τεχνικές Κωδικοποίησης σε MIMO συστήματα Σε αντίθεση με τα συστήματα μιας εισόδου μιας εξόδου (SISO), τα MIMO συστήματα δίνουν την δυνατότητα της καταπολέμησης των παραγόντων που εξασθενούν το εκπεμπόμενο σήμα (Παράγραφοι 1.3 και 1.4), κυρίως του μηχανισμού πολλαπλών οδεύσεων, μέσω μιας σειράς τεχνικών κωδικοποίησης του μεταδιδόμενου σήματος, που χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: Τεχνικές Διαφορισμού (Diversity Techniques): Αναφέρονται και ως Space Time Coding Techniques και χρησιμοποιούνται για να αυξήσουν την ισχύ των μεταδιδόμενων συμβόλων και κατά συνέπεια για να βελτιώσουν το SSSSSS. Στηρίζονται στην αρχή της εκπομπής πλεονάζοντων συμβόλων μέσω του καναλιού, αλλά από διαφορετικές κεραίες. Στην επόμενη παράγραφο θα γίνει ειδική αναφορά στις τεχνικές αυτές. Χωρική πολυπλεξία (Spatial Multiplexing): Οι τεχνικές αυτές χρησιμοποιούνται για να αυξήσουν τον ρυθμό μετάδοσης του συστήματος επικοινωνίας. Βασίζονται στην ταυτόχρονη εκπομπή διαφορετικών συμβόλων στην ίδια συχνότητα, αλλά από διαφορετικές κεραίες. Τεχνικές Beam - Forming: Χρησιμοποιούνται τόσο για την αύξηση του ρυθμού μετάδοσης όσο και της ισχύος των μεταδιδόμενων συμβόλων. Για τις τεχνικές αυτές είναι απαραίτητη η γνώση του καναλιού διάδοσης στον πομπό και στον δέκτη. 2.2 Τεχνικές Διαφορισμού Σε μια προσπάθεια καταπολέμησης κυρίως του μηχανισμού multipath αναπτύχθηκε η τεχνική διαφορικής εκπομπής λήψης, βασική αρχή της οποίας είναι η λήψη από τον δέκτη του συστήματος πολλών αντιγράφων του αρχικά εκπεμπόμενου σήματος. Αν αυτά τα αντίγραφα υπόκεινται σε διαφορετικές, ανεξάρτητες διαλείψεις είναι λιγότερο πιθανό να υποστούν ταυτόχρονα καταστροφική πτώση της ισχύος τους. Τα πολλαπλά αντίγραφα του εκπεμπόμενου σήματος μπορούν να σταλούν στον δέκτη με διαφόρους τρόπους, ο καθένας από τους οποίους παρουσιάζει προφανώς τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματά του. Οι κυριότεροι τρόποι είναι οι εξής: Διαφορισμός Χώρου ή Κεραίας (Special or Antenna Diversity): διακρίνεται σε διαφορισµό εκπομπής (transmit antenna diversity) και διαφορισµό λήψης (receive antenna diversity). Η τελευταία μπορεί να εφαρμοστεί µε τη χρήση LL κεραιών λήψης, οι οποίες βρίσκονται σε αρκετή απόσταση μεταξύ τους, ώστε οι διαφορετικές εκδοχές του σήματος που φθάνουν σε κάθε μια να υπόκεινται σε διαφορετικές διαλείψεις. Η απόσταση αυτή πρέπει γενικά να είναι αρκετά μεγαλύτερη του μήκους κύματος λλ. 10

18 Διαφορισµός χρόνου (time diversity): μπορεί να εφαρμοστεί μεταδίδοντας την ίδια πληροφορία σε LL διαφορετικές χρονοθυρίδες, οι οποίες απέχουν αρκετά μεταξύ τους. Διαφορισµός συχνότητας (frequency diversity): μπορεί να εφαρμοστεί μεταδίδοντας την ίδια πληροφορία σε LL διαφορετικές συχνότητες οι οποίες απέχουν επαρκώς μεταξύ τους. Για να εξασφαλιστεί η στατιστική ανεξαρτησία μεταξύ των αντιγράφων του μεταδιδόμενου σήματος πρέπει οι συχνότητες αυτές να απέχουν διάστημα μεγαλύτερο του εύρους ζώνης συμφωνίας του καναλιού. Διαφορισµός πόλωσης και διαφορισµός γωνίας (polarization and angular diversity): τοποθετούνται στην ίδια κατηγορία γιατί αποτελούν μια εκδοχή του διαφορισµού χώρου χωρίς να απαιτούν περισσότερο χώρο από μία κεραία. Στο διαφορισµό γωνίας τα αντίγραφα του μεταδιδόμενου σήματος λαμβάνονται σε διαφορετικές γωνίες, ενώ στο διαφορισµό πόλωσης το μήνυμα εκπέμπεται σε δύο κύματα µε ορθογωνική πόλωση. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό πως οι διαφορισµοί συχνότητας και χρόνου απαιτούν μεγαλύτερο εύρος ζώνης και μεγαλύτερο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων κατά LL, αφού στέλνουν LL αντίγραφα του ίδιου μηνύματος, ενώ ο διαφορισµός χώρου απαιτεί περισσότερο χώρο. Στόχος των προαναφερθέντων τεχνικών διαφορισµού είναι η ελαχιστοποίηση της πιθανότητας σφάλματος που οφείλεται στις διαλείψεις. Ωστόσο, η τοποθέτηση πολλών κεραιών τόσο στον εκπομπό όσο και στον δέκτη και μάλιστα σε μεγάλη απόσταση μεταξύ τους αυξάνει τον συνολικό όγκο της διάταξης, κάτι που είναι αθέμιτο την σημερινή εποχή. Έτσι, λύση στο πρόβλημα αυτό ήρθαν να δώσουν τα συστήματα ΜΙΜΟ, των οποίων η διάταξη αναλύεται παρακάτω. 2.3 Ορισμός Συστήματος Πολλαπλών Κεραιών Ο όρος του συστήματος πολλαπλών κεραιών (Multiantenna System) αναφέρεται σε οποιοδήποτε σύστημα κεραιών με πολλές θύρες (Multiport Antenna System, MPA), όπου κάθε θύρα μπορεί να συσχετηθεί με διακριτές και φυσικά διαχωρισμένες κεραίες, με διαφορετική πόλωση, διαφορετικά διαγράμματα ακτινοβολίας, ή και οποιοδήποτε συνδυασμό των παραπάνω. Επομένως, μπορούμε να διακρίνουμε 3 κύριες κατηγορίες MPA συστημάτων: Κεραίες πολλαπλών στοιχείων (Multielement Antennas, MEA) Κεραίες πολλαπλής πόλωσης (Multipolarized Antennas, MPOA) Κεραίες με πολλαπλά διαγράμματα ακτινοβολίας (Multimode Antennas, MMA) 11

19 Στο Σχήμα 2.1.(α) φαίνεται ένα πολύθυρο σύστημα κεραιών αποτελούμενο από ένα μόνο στοιχείο ακτινοβολίας, ενώ στο Σχήμα 2.1.(β) ένα πολύθυρο σύστημα κεραιών αποτελούμενο από πολλά στοιχεία ακτινοβολίας. Παρόλα αυτά, οποιοσδήποτε συνδυασμός των παραπάνω κατηγοριών MPA είναι επίσης εφικτός. Σχήμα 2.1 (α) MPA αποτελούμενο από ένα στοιχείο ακτινοβολίας, όπως στις περιπτώσεις κεραιών MPOA και MMA (β) MPA αποτελούμενο από πολλά στοιχεία ακτινοβολίας, όπως στην περίπτωση MEA. 2.4 Μοντέλο Συστήματος ΜΙΜΟ Ας θεωρήσουμε ένα ασύρματο δίκτυο επικοινωνίας MIMO με ΜΜ θύρες στον πομπό και ΝΝ θύρες στον δέκτη. Ένα τέτοιο σύστημα θα το συμβολίζουμε από εδώ και στο εξής σαν ΜΜ ΝΝ και περιγράφεται από την παρακάτω σχέση εισόδου εξόδου yy = HHHH + nn, (2.4.1) με HH να παριστάνει έναν πίνακα διαστάσεων ΝΝ ΜΜ, τα στοιχεία του οποίου περιέχουν πληροφορίες για το πλάτος και την φάση των κυμάτων, για όλες τις δυνατές διαδρομές μεταξύ των ΜΜ κεραιών εκπομπής και των ΝΝ κεραιών λήψης. Ο πίνακας αυτός ονομάζεται πίνακας καναλιού (channel matrix). Επιπλέον, όπως είναι αντιληπτό και από το Σχήμα 2.2, το διάνυσμα xx C MM 1 αντιπροσωπεύει τα εκπεμπόμενα σύμβολα, το διάνυσμα yy C NN 1 τα λαμβανόμενα σύμβολα, ενώ το διάνυσμα nn C NN 1 τις συνιστώσες του θορύβου (AWGN). Σχήμα 2.2 Σχέση εισόδου εξόδου ΜΙΜΟ συστήματος 12

20 Ο πίνακας του καναλιού είναι τελικά ο HH 11 HH 1,MM HH =, HH NN,1 HH NN,MM (2.4.2) όπου τα στοιχεία HH iiii περιγράφουν τους συντελεστές του καναλιού, μεταξύ της jj κεραίας εκπομπής και της ii κεραίας λήψης (Σχήμα 2.3). Παρατηρείστε στο σχήμα πως ο εν λόγω πίνακας περιλαμβάνει τόσο τα απευθείας κανάλια ανάμεσα στον πομπό και τον δέκτη όσο και τα κανάλια που δημιουργούνται εξαιτίας της παρουσίας φυσικών εμποδίων στον χώρο διάδοσης. Τα στοιχεία του πίνακα του καναλιού, HH, μπορούν να ορισθούν επίσης σαν οι λόγοι των τάσεων των λαμβανόμενων κυμάτων προς τις τάσεις των κυμάτων που μεταδίδονται από τις κεραίες εκπομπής. Σχήμα 2.3 Αναπαράσταση των συντελεστών του καναλιού διάδοσης Μοντέλο ΜΙΜΟ μέσω Θεωρίας Γραφημάτων Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μέσω των οποίων μπορεί κανείς να μοντελοποιήσει ένα περιβάλλον με multipath και να υπολογίσει τον προαναφερθέντα πίνακα σαν απόρροια των χαρακτηριστικών των ίδιων των κεραιών, καθώς και παραγόντων που επηρεάζουν την διάδοση. Στην παρούσα εργασία τα στοιχεία του πίνακα του καναλιού προκύπτουν από την εφαρμογή της θεωρίας των γραφημάτων (graph theory) [3], σύμφωνα με την οποία το περιβάλλον διάδοσης μοντελοποιείται σαν ένα προσανατολισμένο γράφημα (directed graph), GG {Ɛ, VV}, όπου οι κορυφές (vertices), VV, αναπαριστούν τις κεραίες εκπομπής, τις κεραίες λήψης και τους σκεδαστές, ενώ οι ακμές (edges), Ɛ, τις ασύρματες ακτίνες διάδοσης (wireless rays) που εκπέμπονται από μία κορυφή και 13

21 λαμβάνονται από κάποια άλλη, επομένως αντιπροσωπεύουν τις συνθήκες διάδοσης μεταξύ τους. Στο γράφημα αυτό λαμβάνονται υπόψιν όλες οι πιθανές διαδρομές μεταξύ των κορυφών, με αποτέλεσμα το λαμβανόμενο από τον δέκτη σήμα ενδεχομένως να έχει υποστεί οποιαδήποτε αλληλεπίδραση με τους σκεδαστές. Αυτός ο τρόπος προσέγγισης της μοντελοποίησης του ΜΜ ΝΝ συστήματος επιτρέπει την έκφραση της συνάρτησης μεταφοράς του καναλιού σε κλειστή μορφή για απεριόριστο αριθμό αλληλεπιδράσεων. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε μια ακμή ee Ɛ, με αρχική κορυφή την init(ee) και τελική κορυφή την term(ee), η οποία κατευθύνεται από την init(ee) στην term(ee). Επιπλέον, θεωρούμε πως δεν μπορούν να υπάρξουν παράλληλες ακμές, δηλαδή δεν μπορεί να υπάρξει ζευγάρι ακμών ee και ee τέτοιο, ώστε init(ee) = init(ee ) και term(ee) = term(ee ). Επομένως, μια ακμή ee μπορεί να χαρακτηριστεί από το σύστημα κορυφών ee = init(ee), term(ee) Ɛ VV VV. Εντούτοις, μπορούν να υπάρξουν «αντιπαράλληλες» ακμές, για τις οποίες ισχύει ee = (vv, vv ) και ee = (vv, vv). Παράλληλα, θεωρούμε πως δεν μπορούν να υπάρξουν επαναλήψεις (loops) μες στο γράφημα διάδοσης, αφού οι σκεδαστές δεν μπορούν να «δουν» τον εαυτό τους, ενώ μπορούν να υπάρξουν κύκλοι (cycles), δηλαδή αλληλεπίδραση μεταξύ σκεδαστών. To σύνολο των κορυφών VV ενός γραφήματος διάδοσης (propagation graph) είναι, λοιπόν, η ένωση 3 διαφορετικών συνόλων: VV = VV tt VV rr VV ss, όπου VV tt = {T x1,, T xm } το σύνολο των κορυφών των ΜΜ κεραιών εκπομπής, VV rr = {R x1,, R xn } το σύνολο των κορυφών των ΝΝ κεραιών λήψης και VV ss = {S 1,, S K } το σύνολο των κορυφών των ΚΚ σκεδαστών. Οι κορυφές των κεραιών εκπομπής θεωρούνται όλες πηγές, υπό την έννοια πως από αυτές εξέρχονται μόνο ακμές. Από την άλλη, οι κορυφές των κεραιών λήψης θεωρούνται όλες καταβόθρες, υπό την έννοια πως σε αυτές εισέρχονται μόνο ακμές. Αντίστοιχα, το σύνολο των ακμών Ɛ ενός γραφήματος διάδοσης αποτελείται από 4 διαφορετικά σύνολα: Ɛ = Ɛ dd Ɛ tt Ɛ rr Ɛ ss όπου Ɛ dd = Ɛ (VV tt VV rr ) οι ακμές που συνδέουν απευθείας τις κορυφές των κεραιών εκπομπής με αυτές των κεραιών λήψης, Ɛ tt = Ɛ (VV tt VV ss ) οι ακμές που συνδέουν τις κορυφές των κεραιών εκπομπής με αυτές των σκεδαστών, Ɛ rr = Ɛ (VV ss VV rr ) οι ακμές που συνδέουν τις κορυφές των σκεδαστών με αυτές των κεραιών λήψης και Ɛ ss = Ɛ (VV ss VV ss ) οι ακμές που συνδέουν τις κορυφές των σκεδαστών μεταξύ τους. Για να γίνει καλύτερα κατανοητή η θεωρία γραφημάτων, στο Σχήμα 2.4 δίνεται ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα με 4 κεραίες εκπομπής, 3 κεραίες λήψης, 6 σκεδαστές και την μεταξύ τους αλληλεπίδραση. 14

22 Σχήμα 2.4 Παράδειγμα γραφήματος διάδοσης Στην περίπτωση του παραπάνω γραφήματος όλες οι κορυφές των κεραιών εκπομπής βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους, αλλά ταυτόχρονα μακριά από τις κορυφές των κεραιών λήψης. Το ίδιο ισχύει και για τις κορυφές των κεραιών λήψης και συμβαίνει, γιατί τόσο η εκπομπή όσο και η λήψη γίνεται με την χρήση στοιχειοκεραιών. Τα σήματα στο γράφημα διαδίδονται κατά τον ακόλουθο τρόπο. Κάθε κεραία εκπομπής μεταδίδει ένα σήμα, το οποίο διαδίδεται μέσω των εξερχόμενων από την κορυφή της κεραίας ακμών. Το σήμα που παρατηρείται από μία κορυφή κεραίας λήψης είναι το άθροισμα των σημάτων που φτάνουν σε αυτήν μέσω των εισερχόμενων ακμών. Ένας σκεδαστής αθροίζει όλα τα σήματα που φτάνουν σε αυτόν μέσω των εισερχόμενων ακμών και αναμεταδίδει το άθροισμα αυτών μέσω των εξερχόμενων ακμών του. Όπως μεταδίδεται το σήμα κατά μήκος μιας ακμής ή αλληλεπιδρά με έναν σκεδαστή, υπόκειται σε καθυστέρηση και διασπορά στον χρόνο. Ο χρόνος καθυστέρησής του εξαρτάται από τα φαινόμενα διάδοσης που συνάντησε, καθώς και το μήκος των ακμών που ακολούθησε. Θεωρώντας πως αυτοί οι μηχανισμοί διάδοσης είναι γραμμικοί και ανεξάρτητοι του χρόνου, η χρονική διασπορά του σήματος μπορεί να εκφραστεί σαν μια συνέλιξη με κρουστική απόκριση στο πεδίο του χρόνου ή σαν πολλαπλασιασμός με μια συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο της συχνότητας. Συνεπώς, το σήμα που φτάνει στην κορυφή vv nn μέσω της ακμής ee = (vv nn, vv nn ) μπορεί να γραφτεί ως AA ee (ff)cc nn (ff), όπου CC nn (ff) το μεταδιδόμενο από την κορυφή vv nn σήμα και AA ee (ff) η συνάρτηση μεταφοράς που σχετίζεται με την ακμή ee. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση μεταφοράς AA ee (ff) εκφράζει την αλληλεπίδραση στην αρχική κορυφή vv nn, την καθυστέρηση διάδοσης από την vv nn στην vv nn,την εξασθένιση του σήματος από την μία κορυφή στην άλλη και τον παράγοντα σκέδασης στην αρχική ακμή. 15

23 2.4.2 Υπολογισμός Πίνακα Σύνδεσης με Βάρη Όπως αναφέραμε και στην προηγούμενη ενότητα, η διάδοση κατά μήκος των ακμών περιγράφεται μέσω ενός πίνακα μεταφοράς, AA(ff), ο οποίος μπορεί να ιδωθεί σαν ένας πίνακας σύνδεσης με βάρη (weighted adjacency matrix), όπου το κάθε στοιχείο του συμπίπτει με την συνάρτηση μεταφοράς ακμής (edge transfer function) της αντίστοιχης ακμής. Έτσι, ο πίνακας σύνδεσης με βάρη, AA(ff) C (MM+NN+KK) (MM+NN+KK), του γραφήματος GG ορίζεται ως AA(ff) nnnn = AA (vv nn,vv nn )(ff), (vv nn, vv nn ) Ɛ, 0, αλλού (2.4.3) όπου το στοιχείο nnnn του AA(ff) είναι η συνάρτηση μεταφοράς από την κορυφή vv nn στην κορυφή vv nn του GG. Χρησιμοποιώντας το εξής ευρετήριο για τις κορυφές του γραφήματος VV tt, vv nn VV rr, VV ss, nn = 1,, MM nn = MM + 1,, MM + NN, nn = MM + NN + 1,, MM + NN + SS (2.4.4) ο πίνακας σύνδεσης με βάρη παίρνει την μορφή [4] AA(ff) = DD(ff) 00 RR(ff), TT(ff) 00 BB(ff) (2.4.5) όπου τα 00 αντιπροσωπεύουν μηδενικούς πίνακες κατάλληλων διαστάσεων και DD(ff) C ΝΝ ΜΜ ο πίνακας που συνδέει τις κορυφές VV tt με τις VV rr, δηλαδή τις κεραίες εκπομπής με τις κεραίες λήψης, RR(ff) C ΝΝ ΚΚ ο πίνακας που συνδέει τις κορυφές VV ss με τις VV rr, δηλαδή τους σκεδαστές με τις κεραίες λήψης, TT(ff) C ΚΚ ΜΜ ο πίνακας που συνδέει τις κορυφές VV tt με τις VV ss, δηλαδή τις κεραίες εκπομπής με τους σκεδαστές και BB(ff) C ΚΚ ΚΚ ο πίνακας που συνδέει μεταξύ τους τις κορυφές VV ss, δηλαδή τους σκεδαστές μεταξύ τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αναπαράστασης των επιμέρους πινάκων που αναφέρθηκαν παραπάνω δίνεται στο Σχήμα

24 Σχήμα 2.5 Γραφική αναπαράσταση των υποπινάκων του AA(ff) Η ειδική δομή του AA(ff) αντικατοπτρίζει την δομή του γραφήματος διάδοσης. Έτσι, οι πρώτες ΜΜ γραμμές είναι μηδέν, επειδή δεν δεχόμαστε εισερχόμενες ακμές στις κορυφές των κεραιών εκπομπής. Αντίστοιχα, οι ΜΜ + 1, ΜΜ + ΝΝ στήλες είναι όλες μηδενικές, επειδή για τις κορυφές των κεραιών λήψης δεν δεχόμαστε να υπάρχουν εξερχόμενες ακμές. Τέλος, επειδή στο γράφημα αυτό δεν υπάρχουν καθόλου επαναλήψεις, τα στοιχεία της διαγωνίου του AA(ff) είναι όλα μηδέν, με αποτέλεσμα και τα στοιχεία της διαγωνίου του BB(ff) να είναι με την σειρά τους και αυτά όλα μηδέν Υπολογισμός Πίνακα Καναλιού μέσω Γραφημάτων Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε την σχέση εισόδου εξόδου σε ένα γράφημα διάδοσης. Από τον ορισμό του γραφήματος διάδοσης, δεν υπάρχουν άλλες πηγές σήματος πέραν των κορυφών VV tt. Επομένως, θεωρώντας ότι οι μηχανισμοί διάδοσης είναι γραμμικοί και ανεξάρτητοι του χρόνου, η σχέση εισόδου εξόδου για το ΜΜ ΝΝ σύστημα στο πεδίο της συχνότητας είναι [5] YY(ff) = HH(ff)XX(ff), (2.4.6) όπου HH(ff) C ΝΝ ΜΜ είναι ο πίνακας μεταφοράς του γραφήματος διάδοσης. Παράλληλα, ο ΜΜ-διάστατος πίνακας του σήματος εισόδου, XX(ff), ορίζεται ως XX(ff) = [XX 1 (ff) XX MM (ff)] ΤΤ, (2.4.7) 17

25 με XX mm (ff) να παριστάνεται ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος που εκπέμπεται από την κεραία εκπομπής T xm και [ ] ΤΤ να αποτελεί τον τελεστή αναστροφής του πίνακα. Αντίστοιχα, ο ΝΝ-διάστατος πίνακας του σήματος εξόδου, YY(ff), ορίζεται ως YY(ff) = [YY 1 (ff) YY NN (ff)] ΤΤ, (2.4.8) όπου με YY mm (ff) συμβολίζεται ο μετασχηματισμός κατά Fourier του σήματος που λαμβάνεται από την κεραία λήψης R xm. Όμοια με τους πίνακες XX(ff) και YY(ff), ο πίνακας ΖΖ(ff) περιέχει τα σήματα που παρατηρούνται στους σκεδαστές και έχει την μορφή ZZ(ff) = [ZZ 1 (ff) ZZ KK (ff)] ΤΤ, (2.4.9) όπου το στοιχείο ZZ nn (ff) αντιπροσωπεύει τον μετασχηματισμό κατά Fourier του σήματος που παρατηρείται από τον σκεδαστή SS nn. Σχηματίζουμε το διάνυσμα κατάστασης CC(ff) C MM+NN+KK κατά τον εξής τρόπο CC(ff) = [CC 1 (ff) CC MM+NN+KK (ff)] ΤΤ, (2.4.10) με CC nn (ff) να συμβολίζει την μεταβλητή κατάστασης της κορυφής vv nn. Κάνοντας χρήση των σχέσεων (2.4.4), το παραπάνω διάνυσμα κατάστασης (state vector) παίρνει την μορφή CC(ff) = [XX(ff) ΤΤ YY(ff) ΤΤ ZZ(ff) ΤΤ ] ΤΤ. (2.4.11) Οι παραπάνω πίνακες παριστάνονται συνολικά στο παρακάτω σχήμα, όπου οι κορυφές του διανυσματικού διαγράμματος ροής αντιπροσωπεύουν τα τρία σύνολα VV tt, VV rr, VV ss με τα σχετιζόμενα σήματα XX(ff), YY(ff) και ZZ(ff) και οι συναρτήσεις μεταφοράς ακμής είναι οι υποπίνακες του AA(ff). 18

26 Σχήμα 2.6 Διανυσματικό διάγραμμα ροής ενός γραφήματος διάδοσης. Οι κορυφές συμβολίζουν τα αντίστοιχα διανύσματα σήματος, ενώ οι ακμές την μετάδοση των σημάτων και τους αντίστοιχους πίνακες μεταφοράς. Το διάνυσμα κατάστασης μπορεί να εκφραστεί και ως εξής CC(ff) = CC kk (ff), (2.4.12) kk=0 όπου το CC kk (ff) = [XX kk (ff) ΤΤ YY kk (ff) ΤΤ ZZ kk (ff) ΤΤ ] ΤΤ αναπαριστά την συνεισφορά του σήματος που έχει εκπεμφθεί κατά μήκος kk ακμών. Το σήμα που έχει μεταδοθεί από τις κεραίες εκπομπής δεν έχει διαδοθεί ακόμα κατά μήκος κάποιων ακμών και έτσι το ονομάζουμε XX 0 (ff) = XX(ff). Έτσι, για kk = 0 έχουμε CC 0 (ff) = [XX(ff) ΤΤ 00 ΤΤ 00 ΤΤ ] ΤΤ, (2.4.13) ενώ για kk 1, προκύπτει η αναδρομική σχέση CC kk+1 (ff) = AA(ff)CC kk (ff). (2.4.14) Ως απόρροια της (2.4.12), το διάνυσμα του σήματος εξόδου μπορεί να γραφεί σαν YY(ff) = YY kk (ff), (2.4.15) kk=1 όπου με YY kk (ff) συμβολίζεται το τμήμα του σήματος εξόδου που έχει διαδοθεί κατά kk ακμές από τον πομπό στον δέκτη. Κατά συνέπεια, το YY 1 (ff) είναι το τμήμα που προέρχεται από την απευθείας διάδοση μεταξύ των κεραιών εκπομπής και λήψης. Κάνοντας χρήση των σχέσεων (2.4.13) και (2.4.14), παρατηρούμε πως 19

27 00 CC 1 (ff) = AA(ff)CC 0 (ff) = DD(ff)XX(ff). (2.4.16) TT(ff)XX(ff) Από την τελευταία σχέση είναι εμφανές πως YY 1 (ff) = DD(ff)XX(ff). (2.4.17) Μετά από παρατήρηση των AA 2 (ff), AA 3 (ff), καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι AA kk (ff) = RR(ff)BB (ff)tt(ff) 00 RR(ff)BB kk 1 (ff), kk 2. BB kk 1 (ff)tt(ff) 00 BB kk (ff) (2.4.18) Εισάγοντας τις σχέσεις (2.4.17) και (2.4.18) στην (2.4.15) και κάνοντας χρήση της (2.4.14), προκύπτει YY(ff) = YY 1 (ff) + YY kk (ff) kk=2 = DD(ff)XX(ff) + RR(ff)BB kk 2 (ff)tt(ff) XX(ff) kk=2 = DD(ff) + RR(ff)BB kk (ff)tt(ff) XX(ff) kk =0 = DD(ff) + RR(ff) II BB(ff) 1 TT(ff) XX(ff), ΗΗ (2.4.19) όπου η σχέση (2.4.19) προκύπτει από την αμέσως προηγούμενη κάνοντας χρήση των γεωμετρικών σειρών σε πίνακες, υπό την συνθήκη όμως πως τα μέτρα όλων των ιδιοτιμών του πίνακα ΒΒ να είναι μικρότερα της μονάδας. Από την σχέση (2.4.19) προκύπτει επίσης πως ο πίνακας καναλιού, HH, μπορεί να γραφτεί και με την μορφή HH(ff) = DD(ff) + RR(ff) II BB(ff) 1 TT(ff), (2.4.20) όπου διακρίνουμε δύο τμήματα: το DD(ff), που συμβολίζει την απευθείας ζεύξη μεταξύ κεραιών εκπομπής και κεραιών λήψης, άρα αναφέρεται σε συνθήκες οπτικής επαφής και το RR(ff) II BB(ff) 1 TT(ff), που περιγράφει την μη απευθείας διάδοση κύματος, άρα αναφέρεται σε συνθήκες μη οπτικής επαφής. 20

28 2.5 Χωρητικότητα ΜΙΜΟ Συστήματος Επικοινωνίας Το 1998 οι Foschini και Gans προσπαθώντας να υπολογίσουν τα όρια της χωρητικότητας, εξέτασαν τη πιθανότητα χρήσης συστημάτων πολλαπλών κεραιών (MPA) προκειμένου να βελτιώσουν τον ρυθμό μετάδοσης πληροφορίας σε συγκεκριμένες εφαρμογές υπό συνθήκες µη οπτικής επαφής. Από τα ΜΙΜΟ συστήματα που μελετήθηκαν, αποδείχθηκε ότι μπορούν να εκμεταλλευτούν τις συνιστώσες πολλαπλών διαδρομών προς όφελος της επίδοσής τους (Σχήμα 2.7). Κάτι τέτοιο καθίσταται δυνατό εξαιτίας της ικανότητας των MPA συστημάτων να διαχωρίζουν τις συνιστώσες multipath, δίνοντας τη δυνατότητα αύξησης της ποσότητας των μεταδιδόμενων δεδομένων. Εξίσου σημαντικό ρόλο στην συνολική επίδοση ενός MIMO συστήματος παίζουν και οι ίδιες οι ιδιότητες των κεραιών κρίνεται, επομένως, απαραίτητο να γίνει περιγραφή αυτών αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο. Σχήμα 2.7 Τυπικό περιβάλλον πολλαπλών οδεύσεων Γενική Έκφραση της Χωρητικότητας Σύμφωνα με τους Foschini και Gans, η χωρητικότητα ενός MIMO ασύρματου δικτύου με ΜΜ κεραίες εκπομπής και ΝΝ κεραίες λήψης δίνεται από την ακόλουθη σχέση CC = max RR xx :T r (RR xx ) PP SS,aaaa log 2 det(hhrr xx HH HH + RR nn ), det (RR nn ) (2.5.1) όπου ο πίνακας RR xx = EE{xxxx HH } C MM MM εκφράζει την συμμεταβλητότητα των μεταδιδόμενων συμβόλων (xx), ο πίνακας RR nn = EE{nnnn HH } C NN NN την 21

29 συμμεταβλητότητα του θορύβου (nn), η ποσότητα PP SS,aaaa την μέση εκπεμπόμενη ισχύ, ο τελεστής T r (RR xx ) το ίχνος του πίνακα RR xx, ο τελεστής det ( ) την ορίζουσα ενός πίνακα και ο τελεστής max( ) την μέγιστη τιμή. Αν υποθέσουμε πως ο θόρυβος είναι AWGN, τα στοιχεία του πίνακα (nn) θα είναι ανεξάρτητες, ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές (independent identically distributed, iid) με διακύμανση Ν0, με την έκφραση της χωρητικότητας να παίρνει την μορφή CC = max log RR xx :T r (RR xx ) PP SS,aaaa 2 det II + HHRR xxhh HH, NN 0 (2.5.2) όπου ΙΙ ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης ΝΝ ΝΝ. Μια άλλη έκφραση για την σχέση (2.5.2) δίνεται παρακάτω CC = max RR xx :T r (RR xx ) PP SS,aaaa min(mm,nn) ii log Λ iiii, (2.5.3) NN 0 όπου ΛΛ iiii είναι η ii-οστη ιδιοτιμή του πίνακα HHRR xx HH HH = ξξξξξξ ΗΗ που προκύπτει από την μέθοδο Eigenvector Decomposition (EVD) και ξξ είναι ο πίνακας που περιέχει όλα τα ιδιοδιανύσματα του HHRR xx HH HH. Ο πίνακας HHRR xx HH HH εκφράζει την συμμεταβλητότητα του λαμβανόμενου σήματος απουσία θορύβου, ενώ η ιδιοτιμή Λ iiii την στάθμη της ισχύος του λαμβανόμενου σήματος στο ii -οστο υποκανάλι (eigenchannel). Ως υποκανάλι ή ιδιορρυθμό θεωρούμε ένα ισοδύναμο, μη συζευγμένο SISO κανάλι μεταξύ των κεραιών της εκπομπής και λήψης. Επομένως, η μέθοδος EVD στον πίνακα HHRR xx HH HH μας παρέχει μια καλή εικόνα για την ισχύ και τον αριθμό των ανεξάρτητων, μη συζευγμένων SISO καναλιών που μπορούμε τελικά να εκμεταλλευτούμε Υπολογισμός της Χωρητικότητας Ισοκατανομή Ισχύος/ Απουσία Γνώσης του Καναλιού Στην ειδική περίπτωση όπου ο πομπός δεν γνωρίζει τα στοιχεία του καναλιού, δηλαδή τον πίνακα HH, η εκπεμπόμενη ισχύς κατανέμεται εξίσου σε όλες τις κεραίες εκπομπής, οπότε προκύπτει: RR xx = PPSS,aaaa II. Επομένως, στην περίπτωση αυτή η MM χωρητικότητα του καναλιού εκφράζεται από την παρακάτω σχέση CC = log 2 det II + SSSSSS MM HHHHHH, (2.5.4) 22

30 όπου SSSSSS = PPSS,aaaa είναι ο μέσος λόγος σήματος προς θόρυβο στον πομπό. Να NN 0 σημειώσουμε εδώ πως η παραπάνω σχέση αποτελεί μια γενική έκφραση της χωρητικότητας και δεν επιβάλλει κάποιον περιορισμό στον γραμμικό συνδυασμό των εξόδων των κεραιών, με αποτέλεσμα να συμβαδίζει με συγκεκριμένες σύγχρονες τεχνικές κωδικοποίησης Υπολογισμός της Χωρητικότητας Τεχνική Water-filling Στην περίπτωση όπου κάποια πληροφορία ανάδρασης είναι διαθέσιμη στον πομπό, έτσι ώστε τόσο ο πομπός όσο και ο δέκτης να γνωρίζουν τον πίνακα του καναλιού HH, η χωρητικότητα μπορεί να βελτιωθεί χρησιμοποιώντας τεχνικές beam-forming και ανακατανέμοντας την ισχύ στις κεραίες εκπομπής κατά τέτοιον τρόπο, ώστε η περισσότερη ισχύς να κατανέμεται στα κανάλια που συμβάλλουν περισσότερο στην συνολική τιμή της χωρητικότητας. Η βέλτιστη μέθοδος εύρεσης της ζητούμενης κατανομής ισχύος ονομάζεται Water-filling. Ας θεωρήσουμε xx το μη κωδικοποιημένο διάνυσμα των εκπεμπόμενων συμβόλων. Από την ανάλυση ιδιαζουσών τιμών (Singular Value Decomposition, SVD) του πίνακα καναλιού HH, προκύπτει η σχέση HH = UUUUVV HH, (2.5.5) όπου UU και VV είναι το δεξί και αριστερό ιδιάζον διάνυσμα, αντίστοιχα, όπως προκύπτουν από την ανάλυση SVD του ΗΗ και SS ένας διαγώνιος πίνακας που περιέχει τις ιδιάζουσες τιμές του ΗΗ, που δίνεται από την σχέση SS = UU HH HHHH. (2.5.6) Στην συνέχεια κωδικοποιούμε το εκπεμπόμενο σήμα ως xx = VVxx και έτσι κάθε στοιχείο του xx πολλαπλασιάζει μια στήλη του VV. Ο δέκτης εκτελεί τον μετασχηματισμό yy = UU HH yy και επειδή οι πίνακες UU και VV είναι μοναδιαίοι, η σχέση εισόδου εξόδου του συστήματος (2.4.1) παίρνει την εξής μορφή και αναπαρίσταται στο Σχήμα 2.8 yy = UU HH yy = SSxx + nn, (2.5.7) με nn = UU HH nn. 23

31 Σχήμα 2.8 Σχέση εισόδου εξόδου ΜΙΜΟ συστήματος με την χρήση Water-filling χωρίς την επίδραση του θορύβου Με την εφαρμογή της τεχνικής Water-filling δημιουργούνται τελικά ανεξάρτητα, παράλληλα SISO υποκανάλια επικοινωνίας σε περιβάλλον multipath. Σε αυτή την περίπτωση, η χωρητικότητα δίνεται από την σχέση CC = max RR xx :T r RR xx PP SS,aaaa min(mm,nn) ii log RR 2 xx iiii SS iiii, (2.5.8) NN 0 όπου RR xx = EE{xx (xx ) HH } = VV HH RR xx VV. Με την χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange και λαμβάνοντας υπόψιν τον περιορισμό min(mm,nn) ii v ii NN 00 SS iiii 22 + = PP SS,aaaa, η (2.5.8) λαμβάνει την μέγιστη τιμή της για RR xxiiii = v ii NN SS, (2.5.9) iiii με ( ) + = max(,0), v ii να είναι το κατώφλι (water level) που θα πρέπει να υπολογιστεί μέσω του αλγορίθμου water-filling για μέγιστη δυνατή χωρητικότητα και RR xxiiii να αναπαριστά το ποσοστό της συνολικής εκπεμπόμενης ισχύος που πρέπει να χρησιμοποιηθεί από το κάθε υποκανάλι. Για καλύτερη κατανόηση της μεθόδου παρατίθεται στην επόμενη παράγραφο ο αλγόριθμος που ακολουθήθηκε για την υλοποίησή της Αλγόριθμος Τεχνικής Water-filling Αρχικά ορίζουμε το κατώφλι v ii για κάθε ii = 1,2,, min (MM, NN) ως εξής PPSS,aaaa v ii = min(nn kk ) + min(mm, NN), (2.5.10) 24

32 όπου nn kk το διάνυσμα θορύβου, που ισούται με nn kk = NN SS iiii nn kk = PPSS,aaaa NN 00 = PPSS,aaaa 2 SSSSSS SS. iiii (2.5.11) SSSSSS min (MM,NN) Στην συνέχεια υπολογίζουμε το άθροισμα PP = kk=1 (v ii nn kk ) +, το οποίο αντιπροσωπεύει το άθροισμα όλων των ισχύων των υποκαναλιών και θα πρέπει να συγκλίνει στην συνολική εκπεμπόμενη ισχύ PP SS,aaaa. Στην περίπτωση που δεν συγκλίνει, επαναϋπολογίζεται το κατώφλι v ii σύμφωνα με την σχέση v ii,nnnnnn = v ii,oooooo + PPSS,aavv PP min(mm, NN), (2.5.12) καθώς και το άθροισμα PP, με την τιμή v ii,nnnnnn αντί για το αρχικό v ii. Το παραπάνω βήμα επαναλαμβάνεται μέχρις ότου η τιμή του PP να συγκλίνει αρκετά στην τιμή του PP SS,aaaa, δηλαδή να ισχύει PP SS,aaaa PP < εε, όπου το εε αναπαριστά έναν δείκτη ανεκτικότητας, που ορίζουμε εμείς να είναι 10 5 για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας. Στην συνέχεια, υπολογίζεται το RR xxiiii με βάση την σχέση (2.5.9) και η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται για min(mm, NN) υποκανάλια. Τέλος, η χωρητικότητα υπολογίζεται μέσω της σχέσης (2.5.8) Κανονικοποίηση Καναλιού Διάδοσης Όλες οι παραπάνω σχέσεις εξέφραζαν την χωρητικότητα του συστήματος συναρτήσει της PP SS,aaaa. Η εξασθένιση στην οποία υπόκειται ένα μεταδιδόμενο σήμα, το οποίο επηρεάζεται από τις κεραίες και τα διάφορα φαινόμενα διάδοσης του καναλιού, λαμβάνεται υπόψιν στον πίνακα του καναλιού, ΗΗ. Πολλές φορές όμως θέλουμε το κανάλι μας να είναι ανεξάρτητο από τις απώλειες αυτές και κρίνεται αναγκαία η κανονικοποίηση του εν λόγω πίνακά του. Η χωρητικότητά του τότε δίνεται από την σχέση CC = log 2 det II + SSSSSS MM HH 0HH 0 HH. (2.5.13) Για QQ διαφορετικές υλοποιήσεις του καναλιού διάδοσης, που αναπαριστώνται με τους πίνακες HH qq όπου qq = 1,2, QQ, έχουμε τους εξής κανονικοποιημένους πίνακες 25

33 HH qq 0 = HH qq NNNNNN QQ, HH qq 2 (2.5.14) FF qq=1 όπου το FF αναπαριστά το Frobenius μέτρο και ορίζεται ως min(mm,nn) HH qq FF = 2 σσ ii, ii=1 (2.5.15) όπου με σσ ii σημειώνονται οι ιδιοτιμές του πίνακα (HH qq ) HH HH qq. Όταν QQ = 1, τότε λαμβάνουμε σαν SSSSSS το SSSSSS της μίας και μοναδικής υλοποίησης του καναλιού. Όταν QQ > 1, τότε λαμβάνουμε σαν SSSSSS τον μέσο όρο των SSSSSS των QQ διαφορετικών υλοποιήσεων του καναλιού. Στην παρούσα εργασία, το QQ λαμβάνεται σαν ίσο με 1. Μετά την παραπάνω κανονικοποίηση οι συντελεστές του HH 0 είναι συσχετισμένες Gaussian τυχαίες μεταβλητές Υπολογισμός της Χωρητικότητας Συμπεριλαμβανόμενης της Αμοιβαίας Σύζευξης Όταν δύο κεραίες βρίσκονται κοντά η μία στην άλλη και είτε η μία είτε και οι δύο εκπέμπουν ή λαμβάνουν, κάποιο ποσό της ενέργειας που εκπέμπεται από την κάθε μία, θα λαμβάνεται από την άλλη. Το ποσό της ενέργειας αυτής εξαρτάται άμεσα από τα χαρακτηριστικά ακτινοβολίας της κάθε μίας, την απόσταση μεταξύ τους, καθώς και την πόλωση κάθε μίας [6]. Υπάρχουν πολλοί μηχανισμοί μέσω των οποίων γίνεται αυτή η ανταλλαγή ενέργειας. Για παράδειγμα, όταν και οι δύο κεραίες εκπέμπουν, τότε ένα μέρος της ενέργειας της μίας λαμβάνεται από την άλλη εξαιτίας των μη ιδανικών χαρακτηριστικών ακτινοβολίας τους. Έτσι, ένα μέρος της ενέργειας που προσπίπτει στις κεραίες επανασκεδάζεται σε διάφορες κατευθύνσεις, με αποτέλεσμα οι κεραίες να συμπεριφέρονται σαν δευτερεύοντες πομποί. Αυτή η ανταλλαγή ενέργειας ονομάζεται αμοιβαία σύζευξη (mutual coupling) και σε πολλές περιπτώσεις περιπλέκει την ανάλυση και τον σχεδιασμό μιας κεραίας. Επιπλέον, για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές είναι δύσκολο να προβλεφθεί επακριβώς, αλλά πάντα πρέπει να λαμβάνεται υπόψιν λόγω της σημαντικής της επίδρασης. 26

34 Προκειμένου να κατανοήσουμε την έννοια της αμοιβαίας σύνθετης αντίστασης, θεωρούμε το τυχαίο δίθυρο που απεικονίζεται στο Σχήμα 2.9. Σχήμα 2.9 Δίθυρο σύστημα Για αυτό ισχύουν VV 1 = ZZ 11 II 1 + ZZ 12 II 2 VV 2 = ZZ 21 II 1 + ZZ 22 II 2, από όπου προκύπτει πως η αμοιβαία σύνθετη αντίσταση ισούται με ZZ 12 = VV 1. II 2 II 1 =0 (2.5.16) Επομένως, είναι ο λόγος της τάσης του διπόλου (1) προς το ρεύμα του διπόλου (2), όταν το ρεύμα του διπόλου (1) είναι μηδέν, ενώ ισούται με την αντίσταση ZZ 21, όταν το σύστημα είναι αμοιβαίο. Στην συνέχεια παρατίθενται οι θεωρητικές εκφράσεις των σύνθετων αμοιβαίων αντιστάσεων κεραιών συναρτήσει ημιτονικών και συνημιτονικών ολοκληρωμάτων για τρεις κλασικές διατάξεις ζευγαριών κεραιών. Σχήμα 2.10 Κλασικές διατάξεις ζευγαριών ομοιών κεραιών, πιο συγκεκριμένα (α) παράλληλη (β) συγγραμική (γ) παράλληλη κλιμακοειδής 27

35 Παράλληλη Διάταξη: R 21mm = ηη 4ππ [2CCCC(uu 0) CCCC(uu 1 ) CCCC(uu 2 )] ( α) X 21mm = ηη 4ππ [2SSSS(uu 0) SSSS(uu 1 ) SSSS(uu 2 )] ( β) όπου uu 0 = kkkk, uu 1 = kk dd 2 + ll 2 + ll και uu 2 = kk dd 2 + ll 2 ll. Οι διακυμάνσεις των μέτρων του πραγματικού και φανταστικού μέρους της αμοιβαίας σύνθετης αντίστασης για την παράλληλη διάταξη αναπαριστώνται στο Σχήμα Συγγραμική Διάταξη: R 21mm = ηη 8ππ cos(vv 0) [ 2CCCC(2vv 0 ) + CCCC(vv 1 ) + CCCC(vv 2 ) ln(vv 3 )] + ηη 8ππ sin(vv 0) [2SSSS(2vv 0 ) SSSS(vv 1 ) SSii(vv 2 )] ( α) X 21mm = ηη 8ππ cos(vv 0) [2SSSS(2vv 0 ) SSSS(vv 1 ) SSSS(vv 2 )] + ηη 8ππ sin(vv 0) [2CCCC(2vv 0 ) CCCC(vv 1 ) CCCC(vv 2 ) ln(vv 3 )] ( β) όπου vv 0 = kkh, vv 1 = 2kk(h + ll), vv 2 = 2kk(h ll) και vv 3 = (h 2 ll 2 ) h 2. Παράλληλη Κλιμακοειδής Διάταξη: R 21mm = ηη 8ππ cos(ww 0)[ 2CCCC(ww 1 ) 2CCCC(ww 1 ) + CCCC(ww 2 ) + CCCC(ww 2 ) + CCCC(ww 3 ) + CCCC(ww 3 )] + ηη 8ππ sin(ww 0)[2SSSS(ww 1 ) 2SSSS(ww 1 ) SSSS(ww 2 ) + SSSS(ww 2 ) SSSS(ww 3 ) + SSSS(ww 3 )] ( α) X 21mm = ηη 8ππ cos(ww 0)[2SSSS(ww 1 ) + 2SSSS(ww 1 ) SSSS(ww 2 ) SSSS(ww 2 ) SSSS(ww 3 ) SSSS(ww 3 )] + ηη 8ππ sin(ww 0)[2CCCC(ww 1 ) 2CCCC(ww 1 ) CCCC(ww 2 ) + CCCC(ww 2 ) CCCC(ww 3 ) + CCCC(ww 3 )] ( β) όπου ww 0 = kkh, ww 1 = kk dd 2 + h 2 + h, ww 1 = kk dd 2 + h 2 h, ww 2 = kk dd 2 + (h ll) 2 + (h ll), ww 2 = kk dd 2 + (h ll) 2 (h ll), 28

36 ww 3 = kk dd 2 + (h + ll) 2 + (h + ll) και ww 3 = kk dd 2 + (h + ll) 2 (h + ll). Προφανώς για όλες τις παραπάνω σχέσεις ισχύουν τα εξής: kk = 2ππ λλ, dd η οριζόντια απόσταση μεταξύ των διπόλων, ll το μήκος του κάθε διπόλου, h η διαφορά ύψους των διπόλων στην περίπτωση της παράλληλης κλιμακοειδούς διάταξης, SSSS( ) το ημιτονικό ολοκλήρωμα και CCCC( ) το συνημιτονικό ολοκλήρωμα. Σχήμα 2.11 Αμοιβαία σύνθετη αντίσταση για παράλληλη διάταξη, όπως υπολογίζεται τόσο μέσω της κυκλωματικής μεθόδου (EMF) όσο και μέσω της μεθόδου των ροπών (MoM) Στην περίπτωση που για τον υπολογισμό της χωρητικότητας λάβουμε υπόψιν μας και την αμοιβαία σύζευξη, ο πίνακας του καναλιού, HH, θα πρέπει να τροποποιηθεί καταλλήλως. Έτσι, ορίζουμε έναν πίνακα αμοιβαίας σύνθεσης αντίστασης στον πομπό, ΖΖ tt C MM MM και έναν στον δέκτη, ΖΖ rr C NN NN. Οι πίνακες αυτοί έχουν την εξής μορφή ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt ZZ tt = ZZ MM1,tt ZZ MMMM,tt ( α) και ZZ 11,rr ZZ 1NN,rr ZZ rr =, ZZ NN1,rr ZZ NNNN,rr ( β) 29

37 όπου οι αμοιβαίες σύνθετες αντιστάσεις ZZ 11,tt,, ZZ MMMM,tt και ZZ 11,rr,, ZZ NNNN,rr ονομάζονται σύνθετες ιδιοαντιστάσεις και ισούνται με ii ΩΩ, που είναι η σύνθετη αντίσταση ενός διπόλου λλ 2, ενώ οι υπόλοιπες αμοιβαίες σύνθετες αντιστάσεις υπολογίζονται στην παρούσα εργασία από τις σχέσεις (2.5.17), αφού η διάταξη κεραιών που αναλύσαμε περιείχε αποκλειστικά δίπολα παράλληλα μεταξύ τους. Προκειμένου να μελετήσουμε την αμοιβαία σύζευξη των κεραιών στην εκπομπή και την λήψη, πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας τις πηγές που τροφοδοτούν τις κεραίες εκπομπής και τα φορτία με τα οποία είναι συνδεδεμένες οι κεραίες λήψης. Στο Σχήμα 2.12 παρουσιάζονται οι διαδρομές σύζευξης στις δύο αυτές περιπτώσεις, για δύο κεραίες που ονομάζουμε mm και nn. Στην περίπτωση που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.12.α η παραγόμενη από την πηγή ενέργεια, που ταξιδεύει προς την nn κεραία και σημειώνεται με (0), εκπέμπεται προς τον χώρο (ετικέτα (1) ) και προς την mm κεραία (ετικέτα (2) ). Η ενέργεια που προσπίπτει στην mm κεραία δημιουργεί ρεύμα, το οποίο έχει την τάση να σκεδάζει ξανά μέρος της ενέργειας προς τον χώρο (ετικέτα (3) ) και να επιτρέπει στην υπόλοιπη να ταξιδέψει στην πηγή της mm κεραίας (ετικέτα (4)). Ενώ, μέρος της ξανα - σκεδαζόμενης ενέργειας (3) μπορεί να επιστρέψει πίσω στην κεραία nn (ετικέτα (5)). Αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί επ αόριστον και θα μπορούσε να λαμβάνει χώρα κατά τον ίδιο τρόπο αν διεγείρονταν αρχικά η mm κεραία. Αν διεγερθούν και οι δύο κεραίες ταυτόχρονα, τότε τα εκπεμπόμενα και τα σκεδαζόμενα πεδία από κάθε κεραία θα έπρεπε να προστεθούν διανυσματικά, προκειμένου να λάβει κανείς το συνολικό πεδίο σε ένα τυχαίο σημείο παρατήρησης. Έτσι, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η συνολική συνεισφορά στο μακρινό πεδίο του κάθε στοιχείου της κεραίας εξαρτάται τόσο από τον τρόπο διέγερσης του ίδιου του στοιχείου από την πηγή του όσο και από την παρασιτική διέγερσή του, που είναι ανάλογη της αμοιβαίας σύζευξης και του τρόπου διέγερσης των υπόλοιπων στοιχείων. Από την άλλη, στο Σχήμα 2.12.β παρουσιάζονται οι διαδρομές σύζευξης στην λήψη. Έστω ότι έχουμε δύο κεραίες, τις nn και mm. Στην nn κεραία προσπίπτει επίπεδο κύμα (ετικέτα (0) ) και προκαλεί την δημιουργία ρεύματος εντός της. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, τμήμα του προσπίπτοντος κύματος να σκεδαστεί ξανά στον χώρο (ετικέτα (2)) και ένα μέρος του να σκεδαστεί στην mm κεραία (ετικέτα (3)), όπου θα προστεθεί διανυσματικά με το αρχικό προσπίπτον κύμα (0), ενώ άλλο τμήμα της ενέργειας να γυρίσει πίσω στο φορτίο της nn κεραίας (ετικέτα (1)). Είναι, λοιπόν, εμφανές πως το ποσοστό της ενέργειας που λαμβάνεται από το κάθε στοιχείο μιας στοιχειοκεραίας είναι το διανυσματικό άθροισμα των απευθείας κυμάτων και αυτών που είναι συζευγμένα με τα παρασιτικά στοιχεία της κεραίας. Επιπλέον, το ποσοστό της ενέργειας που απορροφάται και επανασκεδάζεται από το κάθε στοιχείο της κεραίας εξαρτάται από την δική του αντίσταση φορτίου, καθώς και αυτές των υπόλοιπων στοιχείων της κεραίας. 30

38 Σχήμα 2.12 Διαδρομές σύζευξης (α) στην εκπομπή (β) στην λήψη Οι πίνακες που περιέχουν τις αντιστάσεις πηγών και φορτίων στον πομπό και τον δέκτη ορίζονται ως ΖΖ ss C MM MM και ΖΖ ll C NN NN, αντίστοιχα, και επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να υπάρχουν συνθήκες συζυγούς προσαρμογής. Στην συνέχεια παρουσιάζεται ο υπολογισμός του πίνακα που εκφράζει την αμοιβαία σύζευξη μεταξύ ΜΜ κεραιών εκπομπής, όπως προκύπτει από την ανάλυση του αντίστοιχου συστήματος. Κατά όμοιο τρόπο προκύπτει και ο πίνακας που εκφράζει την αμοιβαία σύζευξη μεταξύ ΝΝ κεραιών λήψης. Θεωρούμε ee 1, ee 2 τις τάσεις των πηγών και VV 1, VV 2 τις τάσεις εισόδου των κεραιών. Έτσι ισχύουν VV 1 = ZZ 11,tt II 1 + ZZ 12,tt II ZZ 1MM,tt II MM VV MM = ZZ MM1,tt II 1 + ZZ MM2,tt II ZZ MMMM,tt II MM VV 1 ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt II 1 = VV MM ZZ MM1,tt ZZ MMMM,tt II MM (2.5.21) και ee 1 = ZZ ss1 II 1 + ZZ 11,tt II ZZ 1MM,tt II MM ee MM = ZZ MM1,tt II ZZ ssss II MM + ZZ MMMM,tt II MM 31

39 ee 1 ZZ ss1 + ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt II 1 = ee MM ZZ MM1,tt ZZ ssss + ZZ MMMM,tt II MM 1 1 ZZ ss1 + ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt 1 II = ee. II MM ZZ MM1,tt ZZ ssss + ZZ MMMM,tt ee MM (2.5.22) Αντικαθιστώντας την σχέση (2.5.22) στην σχέση (2.5.21) προκύπτει το σύστημα εξισώσεων VV 1 ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt ZZ ss1 + ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt = VV MM ZZ MM1,tt ZZ MMMM,tt ZZ MM1,tt ZZ ssss + ZZ MMMM,tt 1 ee 1 ee MM (2.5.23) Επομένως, ο πίνακας αμοιβαίας σύζευξης για τις ΜΜ κεραίες εκπομπής είναι ο tt CC mmmmmm 1 ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt ZZ ss1 + ZZ 11,tt ZZ 1MM,tt =. ZZ MM1,tt ZZ MMMM,tt ZZ MM1,tt ZZ ssss + ZZ MMMM,tt (2.5.24) Με εντελώς παρόμοιο τρόπο προκύπτει και ο πίνακας αμοιβαίας σύζευξης για τις ΝΝ κεραίες λήψης να είναι ο rr CC mmmmmm 1 ZZ ll1 0 ZZ ll1 + ZZ 11,rr ZZ 1NN,rr =, 0 ZZ llll ZZ NN1,rr ZZ llll + ZZ NNNN,rr (2.5.25) όπου τα στοιχεία των πινάκων ΖΖ tt και ΖΖ rr υπενθυμίζουμε πως δίνονται από τις σχέσεις (2.5.20). Στην ιδανική περίπτωση που δεν υπάρχει καθόλου αμοιβαία σύζευξη, οι πίνακες tt rr CC mmmmmm και CC mmmmmm θα εκφυλιστούν σε διαγώνιους, αλλά όχι μοναδιαίους. Για να το αποφύγουμε αυτό, ορίζουμε τις ποσότητες CC tt και CC rr σαν παράγοντες κανονικοποίησης για τους πίνακες αμοιβαίας σύζευξης στον πομπό και στον δέκτη, tt αντίστοιχα, ώστε σε περίπτωση έλλειψης αμοιβαίας σύζευξης, οι πίνακες CC mmmmmm και rr να γίνουν μοναδιαίοι. CC mmmmmm Οι προαναφερθέντες παράγοντες κανονικοποίησης ορίζονται ως εξής [7] CC tt = ZZ tt (1,1) ZZ tt (1,1) + ZZ tt (1,1) (2.5.26) 32

40 και CC rr = ZZ rr (1,1) ZZ rr (1,1) + ZZ rr (1,1). (2.5.27) Τελικά, ο μη κανονικοποιημένος ως προς την αμοιβαία σύζευξη πίνακας του καναλιού, HH 0, όπως αυτός δίνεται από την σχέση (2.5.14), θα λάβει την κανονικοποιημένη μορφή HH mmmmmm = CC rr tt mmmmmmhh 0 CC mmmmmm CC rr CC tt (2.5.28) Προφανώς, στην ιδανική περίπτωση όπου αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών εκπομπής και λήψης δεν υφίσταται, ο HH mmmmmm εκφυλίζεται στον HH 0. Παρατηρούμε, λοιπόν, πως η έκφραση της χωρητικότητας του καναλιού ως προς τα στοιχεία που προκύπτουν από την ανάλυση του πίνακα ΗΗ μπορεί να μας δώσει μια καλή εικόνα για την μεταβολή της χωρητικότητας ενός MIMO συστήματος σε διαφορετικές συνθήκες όσον αφορά τόσο το μέσο διάδοσης όσο και τα χαρακτηριστικά των ίδιων των κεραιών. 33

41 Κεφάλαιο 3 Ανάλυση MIMO Συστημάτων μέσω Θεωρίας Γραφημάτων Τα συστήματα ΜΙΜΟ χρησιμοποιούν πολλαπλές κεραίες σε κάθε άκρο της τηλεπικοινωνιακής ζεύξης. Στόχος της χρήσης διατάξεων πολλαπλών κεραιών είναι η δημιουργία επιμέρους ορθογώνιων υπο-καναλιών μετάδοσης (χωρικά διακριτών), την ίδια χρονική στιγμή και σε κοινό εύρος ζώνης συχνοτήτων. Η παραπάνω τεχνική διαφορισµού χώρου συντελεί στην αντιμετώπιση των επιπτώσεων των διαλείψεων στις οποίες υπόκεινται τα μεταδιδόμενα σήματα, όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο. Έχει δειχθεί ότι η χωρητικότητα ενός καναλιού, η οποία εκφράζει τον μέγιστο εφικτό ρυθμό μετάδοσης δεδομένων για αξιόπιστη επικοινωνία, αυξάνεται γραμμικά καθώς αυξάνεται το πλήθος των κεραιών εκπομπής ή λήψης, για κανάλια που υπόκεινται σε φαινόμενα διαλείψεων. Κανάλια τέτοιου είδους μπορούν να προκύψουν σε περιπτώσεις μετάδοσης σημάτων µέσω πολλαπλών διαδρομών, όπως εσωτερικοί χώροι κτιρίων, ή διάδοσης κάτω από συνθήκες µη οπτικής επαφής. Έτσι, όταν η σχεδίαση ενός ασύρματου τηλεπικοινωνιακού συστήματος στοχεύει στη βελτίωση της χωρητικότητας του καναλιού, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η χρήση κεραιών ΜΙΜΟ τόσο στην εκπομπή όσο και στη λήψη. Επίσης, εξαιτίας της ολοένα και αυξανόμενης ανάγκης για μείωση του όγκου των διαφόρων συσκευών (compactness), καθίσταται αναγκαία η πρόβλεψη για εξοικονόμηση χώρου και στον σχεδιασμό των ΜΙΜΟ κεραιών. Στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να περιγράψει τη διάταξη μιας στοιχειοκεραίας MIMO, να υπεισέλθει σε λεπτομέρειες σχετικά με την ηλεκτρομαγνητική της ανάλυση, να καταδείξει την συνεισφορά των σκεδαστών στο ΜΜ ΝΝ σύστημα και να παρουσιάσει την τελική μορφή των υποπινάκων που συνθέτουν τον πίνακα σύνδεσης με βάρη, AA(ff). 34

42 3.1 Ηλεκτρομαγνητική Ανάλυση Στοιχειοκεραίας MIMO Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η διάταξη της στοιχειοκεραίας MIMO που χρησιμοποιήθηκε στα πλαίσια της παρούσας εργασίας τόσο στον πομπό όσο και στον δέκτη. Σχήμα 3.1 Γεωμετρική διάταξη στοιχειοκεραίας Όπως είναι φανερό και από το Σχήμα 3.1, η στοιχειοκεραία που χρησιμοποιήθηκε αποτελείται από 8 ηλεκτρικά δίπολα μήκους ll = λλ 2 το καθένα, τοποθετημένα παράλληλα με τον άξονα OOzz, κατά μήκος του άξονα OOOO, τα οποία μεταξύ τους βρίσκονται σε απόσταση dd = λλ 2. Σε ορισμένα σημεία της εργασίας, βέβαια, τόσο το μήκος του κάθε διπόλου όσο και η απόσταση μεταξύ τους μεταβάλλεται για λόγους σύγκρισης αποτελεσμάτων, αλλά σε κάθε περίπτωση αυτό θα αναφέρεται ρητά. Επειδή χρησιμοποιήσαμε το δίπολο σαν στοιχείο της διάταξης MIMO κεραιών, κρίνεται σκόπιμη η ανάλυση της ηλεκτρομαγνητικής συμπεριφοράς αυτού. Για µία γραμμική διπολική κεραία μήκους ll, η οποία διαρρέεται από ρεύµα µε µέγιστη τιµή II και βρίσκεται τοποθετηµένη επάνω στον άξονα OOzz ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, όπως στο Σχήμα 3.2, είναι γνωστό ότι σε απόσταση rr από το κέντρο του συστήματος OO, το ηλεκτρικό πεδίο ακτινοβολίας θα έχει συνιστώσα µόνο κατά EE θθ, το μέτρο της οποίας θα δίνεται από τη σχέση ΕΕ θθ = jj ηη 0kkkk 4ππrr ee jjjjjj 2 kk jj 60II kkkk cos rr ee jjjjjj 2 kkkk cos 2 cos θθ cos kkkk 2 = sin θθ cos θθ cos kkkk 2. sin θθ (3.1.1) 35

43 όπου ηη 0 = 120ππ και kk = 2ππ λλ ο κυματικός αριθμός στον ελεύθερο χώρο. Σχήμα 3.2 Πεδίο σε τυχαίο σημείο PP(xx, yy, zz) Θεωρώντας, τώρα, πως το κέντρο του πρώτου διπόλου της στοιχειοκεραίας στο Σχήμα 3.1 συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων, θα υπολογίσουμε το συνολικό πεδίο που δημιουργεί η στοιχειοκεραία, σαν άθροισμα των πεδίων που δημιουργούνται από τα επιμέρους στοιχεία της. Ο υπολογισμός του πεδίου που δημιουργεί κάθε μία από τις κεραίες δίπολα που αποτελούν την δοσμένη στοιχειοκεραία σε ένα τυχαίο σημείο PP(xx, yy, zz) του χώρου γίνεται με την βοήθεια της σχέσης (3.1.1) ΕΕ ii (rr ii, θθ ii, φφ ii ) = jj 60II ii rr ii ee jjjjrr ii kkkk cos 2 cos θθ ii cos kkkk 2 θθ sin θθ ii, ii (3.1.2) όπου ii = 1,2,, ΜΜ για την εκπομπή και ii = 1,2,, NN για την λήψη, rr ii = (xx xx ii ) 2 + (yy yy ii ) 2 + (zz zz ii ) 2, θθ ii θθ = cos θθ cos φφxx + cos θθ sin φφyy sin θθ zz στο μακρινό πεδίο, θθ = cos 1 zz, φφ = tan 1 yy και θθ rr ii xx ii = cos 1 zz zz ii, ενώ για όλα rr ii τα δίπολα θεωρήθηκε πως διαρρέονται με την ίδια μέγιστη τιμή ρεύματος, II ii = ΙΙ. Το συνολικό πεδίο στο τυχαίο σημείο PP(xx, yy, zz) προκύπτει σαν διανυσματικό άθροισμα των πεδίων των επί μέρους διπόλων, δηλαδή με την χρήση της σχέσης (3.1.2) για αντίστοιχο αριθμό κεραιών στον πομπό και στον δέκτη. 36

44 3.2 Μοντέλο Σκεδαστή Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο κύμα kk ii προερχόμενο από την κεραία εκπομπής του συστήματός μας, το οποίο προσπίπτει σε έναν σκεδαστή με διατομή σκέδασης (scattering cross-section) σσ gg κατά τον τρόπο που φαίνεται στο Σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3 Προσπίπτον επίπεδο κύμα σε σκεδαστή και η σκέδαση αυτού στους υπόλοιπους σκεδαστές και τον γύρω χώρο Το σκεδαζόμενο κύμα που προκύπτει χαρακτηρίζεται από την σχέση ee EE ss = ff kk ıı, kk EE jjjjrr ss ss ii ee RR ss, ss (3.2.1) όπου EE ii είναι το πλάτος του προσπίπτοντος κύματος και ff kk ıı, kk ss το πλάτος σκέδασης (scattering amplitude), για το οποίο θα δώσουμε περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω. Για την συνολική διατομή σκέδασης, σσ ss, γνωρίζουμε πως ορίζεται ως σσ ss kk ıı, kk ss = WW ss, PP ii (3.2.2) 37

45 όπου WW ss η συνολική σκεδαζόμενη ισχύς και PP ii = EE ii 2 ηη 0 η ισχύς του προσπίπτοντος κύματος. Παράλληλα, για την σκεδαζόμενη ισχύ σε μια στερεά γωνία ddωω ss γνωρίζουμε πως ισχύει ddww ss PP ii = ff kk ıı, kk 2 ss dωω ss. (3.2.3) Ολοκληρώνοντας την (3.2.3) σε όλες τις στερεές γωνίες, προκύπτει η συνολική σκεδαζόμενη ισχύς προς όλες τις διευθύνσεις WW ss = PP ii ff kk ıı, kk 2 ss dωω ss. (3.2.4) Αν συγκρίνουμε την παραπάνω σχέση με την (3.2.2), καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η συνολική διατομή σκέδασης, σσ ss, μπορεί να πάρει την μορφή σσ ss = ff kk ıı, kk 2 ss dωω ss, (3.2.5) όπου dωω ss = sin θθ dθθdφφ = dss RR ss 2 η στερεά γωνία που σχηματίζεται. Από την θεωρία σκέδασης γνωρίζουμε πως για σκεδαστές με διάμετρο συγκρίσιμη με το μήκος κύματος, λλ, όπως ισχύει στην παρούσα εργασία, θα πρέπει σσ ss < 1 ff kk σσ ıı, kk 2 ss dωω ss < σσ gg0, gg0 (3.2.6) όπου σσ gg0 είναι η διατομή σκέδασης του αρχικού σκεδαστή, στον οποίο προσπίπτει το κύμα και αναπαρίσταται στο Σχήμα 3.3 με το 0 στο κέντρο του. Στις ακόλουθες περιπτώσεις, όμως, η παραπάνω σχέση δεν ισχύει αντ αυτού, γνωρίζουμε πως για διάμετρο σκεδαστή DD λλ, η σχέση μεταξύ της συνολικής διατομής σκέδασης και της γεωμετρικής διατομής ενός σκεδαστή όπως την βλέπει το προσπίπτον κύμα είναι σσ ss σσ gg0 DD λλ 4 1, (3.2.7) ενώ για διάμετρο σκεδαστή DD λλ, η σχέση μεταξύ της συνολικής διατομής σκέδασης και της γεωμετρικής διατομής ενός σκεδαστή όπως την βλέπει το προσπίπτον κύμα δίνεται με την βοήθεια της γεωμετρικής οπτικής και είναι σσ ss σσ gg0 1. (3.2.8) 38

46 Συνεχίζοντας την σχέση (3.2.6) για ΚΚ σκεδαστές, με διατομή σκέδασης σσ ggii ο καθένας τους, στους οποίους σκεδάζεται το αρχικό επίπεδο κύμα αφότου προσπέσει στον σκεδαστή με διατομή σσ gg0, προκύπτει ff kk ıı, kk 2 ss dωω ss < σσ gg0 ff kk ıı, kk 2 ss dωω ss + ff ii kk ıı, kk 2 σσ ggii ss KK ii=1 RR2 ssii < σσ gg0, (3.2.9) όπου το πρώτο σκέλος της σχέσης (3.2.9) αντιπροσωπεύει το τμήμα του κύματος που δεν θα προσπέσει σε κανένα άλλο σκεδαστή πέραν αυτού με διατομή σσ gg0 και άρα θα σκεδαστεί στον αέρα, ενώ ισούται με εεσσ gg0, με εε το ποσοστό του αρχικού κύματος που δεν φτάνει σε κανέναν άλλο σκεδαστή. Στην παρούσα εργασία ισχύει: εε = 0.7. Αντικαθιστώντας την σχέση εεσσ gg0 στην (3.2.9), καταλήγουμε στην KK ff ii kk ıı, kk 2 σσ ggii ss ii=1 RR2 ssii < σσ gg0 (1 εε). (3.2.10) Θεωρώντας προσεγγιστικά πως ff ii kk ıı, kk ss ff kk ıı, kk ss και σσ ggii σσ gg0 σσ gg και υπολογίζοντας την μέση τιμή του τετραγώνου της απόστασης του κάθε σκεδαστή διατομής σσ ggii από τον αρχικό σκεδαστή διατομής σσ gg0, η (3.2.10) γίνεται ΚΚ ff kk ıı, kk 2 σσ gg ss RR ss2 < σσ gg(1 εε) ff kk ıı, kk 2 ss < (1 εε) RR ss 2 KK ff kk ıı, kk ss < (1 εε) RR ss 2. (3.2.11) KK Από την σχέση (3.2.11) προκύπτει η συνθήκη που πρέπει να πληροί το πλάτος σκέδασης κάθε σκεδαστή. 3.3 Ανάλυση Κυκλώματος Κεραίας Λήψης Το ενεργό μήκος (effective length) μιας κεραίας συνδέει την ένταση του προσπίπτοντος πεδίου με την παραγόμενη τάση στα άκρα της κατά τον τρόπο που δίνεται παρακάτω [8] VV oooo = EE iiiiii ll eeeeee ll, (3.3.1) 39

47 όπου EE iiiiii είναι το προσπίπτον κύμα και VV oooo η τάση που φαίνεται στο ισοδύναμο κύκλωμα της κεραίας λήψης, στο Σχήμα 3.4. Σχήμα 3.4 Ισοδύναμο κύκλωμα στην λήψη Από την άλλη, με βάση το θεώρημα αμοιβαιότητας αποδεικνύεται πως αν η ίδια κεραία jj λειτουργούσε σαν κεραία εκπομπής, το πεδίο σε ένα τυχαίο σημείο PP(xx, yy, zz) του χώρου, θα δινόταν από την σχέση ΕΕ (rr ) = jj ηηηηii 4ππrr ee jjjjjj ll eeffff θθ. (3.3.2) Από την σύγκριση των (3.1.1) και (3.3.2) προκύπτει πως το διανυσματικό ενεργό μήκος μιας κεραίας (γραμμικού διπόλου μήκους ll) είναι ίσο με ll eeeeee = 2 cos kkll RR 2 cos θθ RR jj cos kkll RR 2 kk RR θθ. 0 sin θθ jj (3.3.3) Τέλος, από το ισοδύναμο κύκλωμα του σχήματος 3.4 γίνεται αντιληπτό πως η τάση στα άκρα της αντίστασης φορτίου, ZZ LL, της jj κεραίας του συστήματος ΜΜ ΝΝ είναι VV LL,jj = VV OOOO,jj ZZ LL ZZ iiii,jj + ZZ LL = EE iiiiii ll 2 RR cos kkll RR 2 cos θθ RR jj cos kkll RR 2 ZZ LL kk RR, 0 sin θθ jj ZZ iiii,jj + ZZ LL (3.3.4) όπου ZZ iiii,jj η σύνθετη αντίσταση εισόδου της κεραίας λήψης και πρέπει να πληροί την συνθήκη ZZ iiii,jj = ZZ LL = ZZ 0 = 50 ΩΩ, προκειμένου να υπάρχει προσαρμογή. 40

48 3.4 Τελικές Εκφράσεις Πινάκων Θεωρίας Γραφημάτων Στο Σχήμα 3.5 φαίνεται το μοντέλο ενός συστήματος MIMO ΜΜ ΝΝ, αποτελούμενο από μια στοιχειοκεραία εκπομπής με ΜΜ δίπολα μήκους ll, με μεταξύ τους απόσταση dd, που βρίσκεται τοποθετημένη σε απόσταση dd iiiiiiiiiiiiii από τον άξονα OOOO, μια στοιχειοκεραία λήψης με ΝΝ δίπολα με ακριβώς αντίστοιχα χαρακτηριστικά με αυτά της κεραίας εκπομπής, τοποθετημένη επίσης σε απόσταση dd iiiiiiiiiiiiii από τον άξονα OOxx και dd 1 από τον άξονα OOOO και ΚΚ σκεδαστές τοποθετημένους τυχαία στον ενδιάμεσο χώρο. Σχήμα 3.5 Σύστημα MIMO MM NN με KK σκεδαστές Με βάση όσα ειπώθηκαν στην παράγραφο 3.1 για την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση της στοιχειοκεραίας MIMO, καθώς και όσα αναφέρθηκαν στις ενότητες και για την εφαρμογή της θεωρίας γραφημάτων στα συστήματα MIMO, μπορούμε να καταλήξουμε στις τελικές μορφές των πινάκων που απαρτίζουν τον πίνακα σύνδεσης με βάρη, AA(ff), οι οποίες και δίνονται παρακάτω. Έτσι, το στοιχείο του πίνακα DD, που συνδέει την ii -οστή κεραία εκπομπής, με συντεταγμένες (xx ii TT, yy ii TT, zz ii TT ), με την jj -οστή κεραία λήψης, με συντεταγμένες xx jj RR, yy jj RR, zz jj RR, είναι 1 ZZ LL 60II cos kkll TT D jjjj = jj ZZ ss + ZZ iiii,ii ZZ LL + ZZ TT iiii,jj rr ee jjjjrr TT ii 2 cos θθ ii TT cos kkll TT 2 TT ll ii sin θθ eeeeee θθ TT ll, ii (3.4.1) όπου ZZ iiii,ii η σύνθετη αντίσταση εισόδου κεραίας εκπομπής, που πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη ZZ iiii,ii = ZZ SS = ZZ 0 = 50 ΩΩ, για να έχουμε προσαρμογή, rr ii TT = xx jj RR xx ii TT 2 + yy jj RR yy ii TT 2 + zz jj RR zz ii TT 2 η απόσταση μεταξύ των κεραιών ii και jj, θθ TT ii = cos 1 zz jj RR TT zz ii η μεταξύ τους γωνία, θθ TT ll = θθ TT zz = sin θθ ΤΤ, γιατί όλα τα rr ii TT 41

49 δίπολα είναι παράλληλα στον OOOO άξονα, θθ TT = cos 1 zz jj RR rrtt η γωνία θθ του σχήματος ii 3.2 για κάθε ii-οστο δίπολο και ll eeeeee δίνεται από την σχέση (3.3.3). Επίσης, το στοιχείο του πίνακα RR που συνδέει τον kk -οστό σκεδαστή, με συντεταγμένες (xx kk SS, yy kk SS, zz kk SS ), με την jj -οστή κεραία λήψης, με συντεταγμένες xx jj RR, yy jj RR, zz jj RR, είναι R jjjj = ZZ LL 1 ll ZZ LL + ZZ iiii,jj rr eeeeee ee jjjjrr kkkk, kkkk (3.4.2) όπου rr kkkk = xx RR jj xx SS kk 2 + yy RR jj yy SS kk 2 + zz RR jj zz SS kk 2 και θθ RR jj = cos 1 zz jj RR SS zz kk. Επιπλέον, το στοιχείο του πίνακα TT που συνδέει την ii-οστή κεραία εκπομπής, με συντεταγμένες (xx ii TT, yy ii TT, zz ii TT ), με τον kk-οστό σκεδαστή, με συντεταγμένες (xx kk SS, yy kk SS, zz kk SS ), παίρνει την μορφή rr kkkk kkll 1 60II cos TT T kkkk = jj ee jjjjrr iiii 2 cos θθ ii TT cos kkll TT 2 ZZ ss + ZZ iiii,ii rr TT, iiii sin θθ ii (3.4.3) όπου rr iiii = (xx SS kk xx TT ii ) 2 + (yy SS kk yy TT ii ) 2 + (zz SS kk zz TT ii ) 2 και θθ TT ii = cos 1 zz kk SS TT zz ii. Τέλος, το στοιχείο του πίνακα BB που συνδέει τον kk-οστό σκεδαστή, με συντεταγμένες (xx kk SS, yy kk SS, zz kk SS ), με τον ll -οστό σκεδαστή, με συντεταγμένες (xx ll SS, yy ll SS, zz ll SS ) παίρνει την μορφή rr iiii B llll = CC llll ee jjjjrr kkkk rr kkkk, (3.4.4) όπου rr iiii = (xx ll SS xx kk SS ) 2 + (yy ll SS yy kk SS ) 2 + (zz ll SS zz kk SS ) 2 και CC llll = CC llll ee jjφφ llll, όπου CC llll είναι τυχαία μεταβλητή Rayleigh κατανομής, με μέση τιμή μμ = σσ ππ = ff mmmmmm, 2 2 όπου το ff mmmmmm δίνεται από την σχέση (3.2.11) και υπολογίστηκε από την θεωρία που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 3.2, ενώ η φάση είναι τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφης κατανομής στο διάστημα [0,2ππ]. 42

50 43

51 Κεφάλαιο 4 Προσομοίωση Καναλιού Επικοινωνίας με Φαινόμενα Πολλαπλών Διαδρομών Έχοντας περιγράψει στα προηγούμενα κεφάλαια την επίδραση στις επιδόσεις ενός ΜΙΜΟ ασύρματου συστήματος επικοινωνίας, τόσο του καναλιού μετάδοσης όσο και των χαρακτηριστικών ακτινοβολίας των χρησιμοποιούμενων κεραιών, μπορούμε να προχωρήσουμε στην προσομοίωση ενός τέτοιου συστήματος. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται μια προσομοίωση για την περίπτωση στην οποία το κανάλι επικοινωνίας εισάγει φαινόμενα πολλαπλών διαδρομών. Ως κεραίες ΜΙΜΟ στην εκπομπή και στη λήψη χρησιμοποιούνται οι διατάξεις που παρουσιάστηκαν στην παράγραφο 3.4. Τα χαρακτηριστικά των κεραιών αυτών έχουν περιγραφεί στο 3ο Κεφάλαιο, ενώ η επίδραση της παρουσίας μηχανισμών εξασθένισης του ασύρματου καναλιού αναλύθηκε στο 2ο Κεφάλαιο. Έτσι, συνδυάζοντας τα όσα ήδη έχουν αναλυθεί, θα επιχειρήσουμε, αρχικά, να περιγράψουμε το μοντέλο ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος ΜΙΜΟ που λειτουργεί σε περιβάλλον µε έντονη παρουσία φαινομένων multipath και να συγκρίνουμε την επίδοσή του σε σχέση µε το αντίστοιχο SISO σύστημα. Στην συνέχεια, θα διερευνηθεί η συμπεριφορά του συστήματος συναρτήσει της απόστασης μεταξύ των διπόλων που αποτελούν την κάθε στοιχειοκεραία ΜΙΜΟ, όπως και συναρτήσει του μήκους του κάθε διπόλου, για διάφορες τιμές του SSSSSS. Επιπλέον, θα διερευνηθεί η επίδραση της αμοιβαίας σύζευξης στην συνολική χωρητικότητα του συστήματος, ενώ όλα τα παραπάνω μοντέλα θα παρουσιαστούν για 2 περιπτώσεις κατανομής της αρχικής ισχύος: την ισοκατανομή στις κεραίες που εκπέμπουν και την κατανομή της σύμφωνα με την τεχνική water-filling. 44

52 4.1 Προσομοίωση Ασύρματου Καναλιού Επικοινωνίας με Πολλούς Τυχαίους Σκεδαστές Σχήμα 4.1 Μοντέλο του συστήματος MIMO που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία Όπως αναφέραμε και στην παράγραφο 3.4 και όπως αναπαρίσταται στο Σχήμα 4.1, στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε σύστημα MIMO 8 8, αποτελούμενο από μια στοιχειοκεραία εκπομπής με ΜΜ = 8 δίπολα μήκους ll = λλ 2, με μεταξύ τους απόσταση dd = λλ 2, που βρίσκεται τοποθετημένη σε απόσταση dd iiiiiiiiiiiiii = 5λλ από τον άξονα OOOO, μια στοιχειοκεραία λήψης με ΝΝ = 8 δίπολα με ακριβώς αντίστοιχα χαρακτηριστικά με αυτά της κεραίας εκπομπής, τοποθετημένη σε απόσταση dd tttttttttt = 35λλ από τον άξονα OOOO και 5λλ από το τέλος του υπολογιστικού παραθύρου και 200 σκεδαστές τοποθετημένους τυχαία στον ενδιάμεσο χώρο, υπό τον περιορισμό να βρίσκονται μέσα σε ένα κουτί με μήκος 40λλ, πλάτος 10λλ και ύψος 10λλ. Στο Σχήμα 4.2 φαίνεται μια απεικόνιση αυτών των σκεδαστών μες στον χώρο με την βοήθεια του προγράμματος MATLAB. Σε κάποια σημεία της εργασίας, για λόγους σύγκρισης τα παραπάνω δεδομένα αλλάζουν, όμως αυτό αναφέρεται ρητά όπου γίνεται. Επίσης, σε όλη την έκταση της εργασίας θεωρήθηκε συχνότητα λειτουργίας των κεραιών η ff = 3 GGGGGG, με το αντίστοιχο μήκος κύματος να είναι λλ = cc ff = 0.1mm, ενώ ως μέγιστη τιμή ρεύματος για όλα τα δίπολα επιλέγεται ΙΙ = 1ΑΑ. 45

53 Σχήμα σκεδαστές τυχαία τοποθετημένοι ανάμεσα στις κεραίες εκπομπής και λήψης, μέσα σε ένα κουτί διαστάσεων 10λλ 40λλ 10λλ = 1mm 4mm 1mm Κατόπιν συνδυασμού των παραδοχών που παρουσιάστηκαν παραπάνω με την θεωρία που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2 και εισαγωγής τους στο πρόγραμμα MATLAB, δημιουργήθηκε ο πίνακας σύνδεσης με βάρη για το συγκεκριμένο γράφημα διάδοσης, AA(ff), καθώς και ο πίνακας του καναλιού, HH, αφότου λήφθηκε υπόψιν η κανονικοποίησή του και η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών. Έτσι, o αριθμός 200 επιλέχθηκε μετά από παραμετρική ανάλυση, με γνώμονα την επίτευξη της μέγιστης δυνατής χωρητικότητας του συστήματος, κρατώντας παράλληλα την πολυπλοκότητα στο ελάχιστο δυνατό επίπεδο. Το αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης φαίνεται στο Σχήμα 4.3, όπου το SSSSSS θεωρήθηκε ίσο με 20 dddd. Σχήμα 4.3 Μεταβολή χωρητικότητας συναρτήσει αριθμού σκεδαστών για SSSSSS = 20 dddd 46

54 4.2 Μεταβολή Χωρητικότητας για Ισοκατανομή Ισχύος στον Εκπομπό Η χωρητικότητα του καναλιού HH για ισοκατανομή ισχύος σε όλες τις κεραίες εκπομπής βρίσκεται με την βοήθεια της σχέσης (2.5.4) CC = log 2 det II + SSSSSS MM HHHHHH, στην περίπτωση που ο πομπός δεν γνωρίζει τα στοιχεία του καναλιού. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε την επίδραση της ισοκατανομής ισχύος στην χωρητικότητα συναρτήσει της σηματοθορυβικής σχέσης, της απόστασης μεταξύ των διπόλων και του μήκους του κάθε διπόλου Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Λόγο Σήματος προς Θόρυβο Στο Σχήμα 4.4 απεικονίζεται η μεταβολή της χωρητικότητας συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο και η σύγκρισή της με την αντίστοιχη μεταβολή της χωρητικότητας Shannon ενός SISO συστήματος, που δίνεται από την σχέση (1.5.4) CC = log 2 (1 + SSSSSS). Σχήμα 4.4 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση ενός SISO συστήματος 47

55 Από το Σχήμα 4.5 διαπιστώνουμε πως η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των διπόλων υποβαθμίζει την χωρητικότητα του καναλιού, αλλά όχι σε πολύ σημαντικό βαθμό. Αυτό είναι άλλωστε και το αναμενόμενο, αφού το σήμα που λαμβάνεται από ένα δίπολο και προέρχεται από γειτονικό του δίπολο αποτελεί ουσιαστικά θόρυβο, που υποβαθμίζει ελαφρώς την επικοινωνία. Σχήμα 4.5 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση ενός SISO συστήματος και την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών Επίσης, και από το Σχήμα 4.6, όπου δίνεται η μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει και της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων, παρατηρούμε πως η υποβάθμιση λόγω αμοιβαίας σύζευξης παραμένει ακόμα και όταν οι κεραίες είναι σχετικά μακριά μεταξύ τους, κάτι που ενισχύει την παραπάνω πρόταση. Επιπλέον, διαπιστώνουμε πως για ίδιες τιμές του SSSSSS, όσο μεγαλύτερη είναι η μεταξύ τους απόσταση τόσο βελτιώνεται η χωρητικότητα, ενώ από ένα σημείο και έπειτα η αύξηση αυτής δεν παίζει απολύτως κανέναν ρόλο, άρα κρίνεται μη απαραίτητη για λόγους compactness της κεραίας. 48

56 Σχήμα 4.6 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών, για διάφορες τιμές της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων Για τις ανάγκες του σχήματος 4.7 ο πίνακας του καναλιού, HH, υπολογίστηκε κατά τον τρόπο που δόθηκε μέσω της σχέσης (2.4.20), που υπενθυμίζεται εδώ HH(ff) = DD(ff) + RR(ff) II BB(ff) 1 TT(ff), αλλά και μέσω single hop, double hop και triple hop προσέγγισης. Αναλυτικότερα, ας θεωρήσουμε την ακολουθία {SS nn },με nn 0, που παράγεται από τον τετραγωνικό πίνακα BB και ονομάζεται γεωμετρική σειρά του BB [9] SS nn = ΙΙ + ΒΒ + + ΒΒ nn 1, (4.2.1) με SS 0 = II. Η γεωμετρική σειρά θα συγκλίνει, αν συγκλίνει η ακολουθία πράγμα που συμβαίνει αν και μόνο αν λλ ii < 1 για κάθε ιδιοτιμή του ΒΒ. Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας II BB είναι αντιστρέψιμος και έτσι η σειρά συγκλίνει σε SS nn = BB kk = (II BB) 1. kk=0 (4.2.2) Άρα ο πίνακας (II BB) 1 μπορεί να πάρει την μορφή (II BB) 1 = ΙΙ + ΒΒ + ΒΒ 22 + ΒΒ 33 +, (4.2.3) 49

57 όπου ΙΙ + ΒΒ αποτελεί την single hop προσέγγιση, ΙΙ + ΒΒ + ΒΒ 22 την double hop προσέγγιση, ΙΙ + ΒΒ + ΒΒ 22 + ΒΒ 33 την triple hop προσέγγιση του (II BB) 1 κοκ. Από το Σχήμα 4.7 είναι φανερό, όμως, πως δεν παίζει σημαντικό ρόλο η προσέγγιση που θα ακολουθήσει κανείς στον υπολογισμό του πίνακα του καναλιού, μιας και αυτή αντικατοπτρίζει ελάχιστη διαφορά στην χωρητικότητα. Σχήμα 4.7 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο για τις περιπτώσεις όπου αυτή υπολογίζεται κανονικά, μέσω single hop, μέσω double hop και μέσω triple hop προσέγγισης Τέλος, από όλα τα παραπάνω σχήματα είναι εμφανές ότι η χωρητικότητα του καναλιού αυξάνεται ραγδαία όσο βελτιώνεται η σηματοθορυβική σχέση, ενώ είναι σε όλες τις περιπτώσεις καλύτερη από την αντίστοιχη χωρητικότητα ενός συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου. Συγκριμένα, είναι μέχρι και 6 φορές καλύτερη, αφού ανοίγουν 6 υποκανάλια από τα 8 που θα μπορούσαν να ανοίξουν (mmmmmm(mm, NN)). Έτσι, επαληθεύεται σε πρώτο στάδιο η αρχική μας υπόθεση πως με την χρήση κεραιών MIMO βελτιώνεται ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων σε ένα κανάλι με multipath. 50

58 4.2.2 Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Απόσταση μεταξύ Διπόλων Στο Σχήμα 4.8 παρουσιάζεται η μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού για δύο τιμές του SSSSSS και σε σύγκριση με την απόσταση μεταξύ των διπόλων. Προφανώς, όσο μεγαλύτερη η απόσταση αυτή, τόσο μεγαλύτερη χωρητικότητα έχουμε. Παρόλα αυτά, από μια τιμή της και έπειτα δεν παρατηρούμε εμφανή διαφορά στην χωρητικότητα, γεγονός που αποδείχθηκε και μέσω του σχήματος 4.6. Επιπλέον, παρατηρούμε πως όσο καλύτερο το SSSSSS τόσο μεγαλύτερη χωρητικότητα επιτυγχάνεται, σαν ευθεία απόρροια της σχέσης (1.5.4), ενώ τόσο μεγαλύτερη είναι και η επίδραση της αμοιβαίας σύζευξης. Σχήμα 4.8 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd Στο Σχήμα 4.9 δίνεται η απεικόνιση της μεταβολής της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει της απόστασης μεταξύ των διπόλων, όπου και πάλι διαπιστώνεται πως όσο μεγαλύτερο το SSSSSS, τόσο μεγαλύτερη και η τιμή της χωρητικότητας. Ταυτοχρόνως, οι προσεγγίσεις single hop, double hop, triple hop ελάχιστη διαφορά παρουσιάζουν, παρά μόνο για μεγάλες τιμές της απόστασης dd και χωρίς κάποια να αποδεικνύεται πάντα καλύτερη. 51

59 Σχήμα 4.9 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων για τις περιπτώσεις όπου αυτή υπολογίζεται κανονικά, μέσω single hop, μέσω double hop και μέσω triple hop προσέγγισης για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Μήκος Διπόλου Σχήμα 4.10 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του μήκους του διπόλου ll σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd 52

60 Από το Σχήμα 4.10, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή της χωρητικότητας συναρτήσει του μήκους του διπόλου, διαπιστώνεται πως η επιρροή της αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των διπόλων αυξάνεται όσο αυξάνεται και η σηματοθορυβική σχέση, ενώ αυτό συμβαίνει και στην χωρητικότητα. Παράλληλα, η αμοιβαία σύζευξη δεν φαίνεται να επηρεάζεται από το μήκος του διπόλου και παραμένει σταθερή για μια τιμή του SSSSSS. Σχήμα 4.11 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του μήκους του διπόλου ll για τις περιπτώσεις όπου αυτή υπολογίζεται κανονικά, μέσω single hop, μέσω double hop και μέσω triple hop προσέγγισης για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd Ακολούθως, στο Σχήμα 4.11 παριστάνεται η χωρητικότητα για single hop, double hop και triple hop προσέγγιση. Και σε αυτή την περίπτωση διαπιστώνουμε πως καμία σημασία δεν έχει ποια προσέγγιση γεωμετρικής σειράς θα ακολουθήσει κανείς για να υπολογίσει την συνολική χωρητικότητα καναλιού. Παράλληλα, από τα σχήματα όλης της παραπάνω ενότητας γίνεται αντιληπτό πως το μήκος διπόλου δεν φαίνεται να επιδρά καθόλου στην χωρητικότητα, διότι ενώ πράγματι για μικρά δίπολα η απόδοση ακτινοβολίας δεν είναι τόσο καλή, ούτε λ.χ. ο συντελεστής ανάκλασης, θεωρούμε ότι εφόσον κανονικοποιούμε τον πίνακα καναλιού με το Frobenius μέτρο, όπως φαίνεται και στην σχέση (2.5.14), δεν λαμβάνεται υπόψιν η κακή προσαρμογή των εσωτερικών αντιστάσεων. Δηλαδή, ουσιαστικά θεωρούμε ότι εφόσον γίνεται αυτή η κανονικοποίηση, τα χαρακτηριστικά των διπόλων βελτιώνονται μέσω καταλλήλου συστήματος προσαρμογής. Επίσης, το διάγραμμα ακτινοβολίας δεν μεταβάλλεται σημαντικά από μικρό δίπολο μέχρι σε λ/2 και από κει και πέρα αν και ο λοβός στο διάγραμμα ακτινοβολίας γίνεται στενότερος και άρα πιο κατευθυντικός, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4.12 [10], από τη στιγμή που υπάρχουν σκεδαστές παντού μες στο κανάλι, αυτό δεν είναι τόσο σημαντικό. 53

61 Σχήμα 4.12 Διάγραμμα ακτινοβολίας για δίπολο α) λλ 16 β) λλ 8 γ) λλ 4 δ) λλ 2 ε) 3λλ 4 στ) λλ 4.3 Μεταβολή Χωρητικότητας με την Χρήση της Τεχνικής Water-filling Όπως αναφέρθηκε και στο Κεφάλαιο 2, η καλύτερη μέθοδος για την κατανομή της ισχύος στις κεραίες εκπομπής ενός MIMO συστήματος, ώστε να επιτευχθεί η μέγιστη δυνατή χωρητικότητα, είναι η τεχνική water-filling. Η εφαρμογή της τεχνικής αυτής όμως προϋποθέτει γνώση του πίνακα καναλιού, ΗΗ. Παραπάνω πληροφορίες δόθηκαν για αυτήν στην ενότητα 2.5.3, ενώ το αποτέλεσμα της βελτιστοποίησης μας έδωσε την σχέση (2.5.8) για την χωρητικότητα του καναλιού, που επαναλαμβάνουμε εδώ CC = max RR xx :T r RR xx PP SS,aaaa min(mm,nn) ii log RR 2 xx iiii SS iiii, NN 0 όπου SS iiii είναι το στοιχείο στη θέση ii του πίνακα SS, που προκύπτει από την SVD ανάλυση του HH και περιέχει τις ιδιάζουσες τιμές του, ενώ το RR xxiiii αναπαριστά το ποσοστό της συνολικής εκπεμπόμενης ισχύος που πρέπει να χρησιμοποιηθεί από το κάθε υποκανάλι RR xxiiii = v ii NN SS, iiii 54

62 με ( ) + = max(,0) και v ii το κατώφλι για μέγιστη δυνατή χωρητικότητα, που πρέπει να υπακούει στον περιορισμό εκπεμπόμενη ισχύς. min(mm,nn) ii v ii NN 00 SS iiii 22 + = PP SS,aaaa, όπου PP SS,aaaa η μέση Θα εφαρμόσουμε, λοιπόν, την τεχνική water-filling στο κανάλι επικοινωνίας που περιγράφηκε στην παράγραφο 4.1 και θα παρουσιάσουμε την επίδραση της τεχνικής αυτής στην χωρητικότητα συναρτήσει της σηματοθορυβικής σχέσης, της απόστασης μεταξύ των διπόλων και του μήκους του κάθε διπόλου Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Λόγο Σήματος προς Θόρυβο Στο Σχήμα 4.13 φαίνεται η απεικόνιση της μεταβολής της χωρητικότητας συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο και η σύγκρισή της με την αντίστοιχη μεταβολή της χωρητικότητας Shannon ενός SISO συστήματος, που δίνεται από την σχέση (1.5.4). Σχήμα 4.13 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση ενός SISO συστήματος 55

63 Από την άλλη, στο Σχήμα 4.14 φαίνεται και η επίδραση της αμοιβαίας σύζευξης, η οποία αυξάνεται όσο αυξάνεται και ο λόγος σήματος προς θόρυβο. Σχήμα 4.14 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση ενός SISO συστήματος και την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών Σχήμα 4.15 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών, για διάφορες τιμές της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων 56

64 Από το Σχήμα 4.15 γίνεται αντιληπτό πως για ίδιες τιμές του SSSSSS όσο μικρότερη είναι η απόσταση μεταξύ των διπόλων τόσο υποβαθμίζεται η χωρητικότητα, ενώ από ένα σημείο και έπειτα η αύξηση αυτής δεν παίζει απολύτως κανέναν ρόλο, άρα κρίνεται μη απαραίτητη για λόγους compactness της κεραίας. Επιπλέον, από το Σχήμα 4.16 διαπιστώνουμε για ακόμα μια φορά ότι η προσέγγιση που ακολουθούμε για τον υπολογισμό της χωρητικότητας είναι ήσσονος σημασίας. Σχήμα 4.16 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο για τις περιπτώσεις όπου αυτή υπολογίζεται κανονικά, μέσω single hop, μέσω double hop και μέσω triple hop προσέγγισης Τέλος, από όλα τα παραπάνω σχήματα είναι εμφανές ότι η χωρητικότητα του καναλιού αυξάνεται ραγδαία όσο βελτιώνεται η σηματοθορυβική σχέση, ενώ είναι σε όλες τις περιπτώσεις καλύτερη από την αντίστοιχη χωρητικότητα ενός συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου. 57

65 4.3.2 Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Απόσταση μεταξύ Διπόλων Στο Σχήμα 4.17 φαίνεται η επίδραση της απόστασης μεταξύ των διπόλων στην χωρητικότητα του καναλιού. Διαπιστώνει κανείς εύκολα πως όσο μεγαλύτερη η απόσταση τόσο μικρότερη η διαφορά της περίπτωσης όπου λαμβάνεται η αμοιβαία σύζευξη υπόψιν με αυτήν όπου δεν λαμβάνεται. Σχήμα 4.17 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd Σχήμα 4.18 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει της απόστασης dd μεταξύ των διπόλων για τις περιπτώσεις όπου αυτή υπολογίζεται κανονικά, μέσω single hop, μέσω double hop και μέσω triple hop προσέγγισης για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd 58

66 Στο Σχήμα 4.18 παρουσιάζεται η επίδραση της εκάστοτε προσέγγισης γεωμετρικής σειράς στην χωρητικότητα. Δεν εμφανίζεται καμία ουσιαστική διαφορά μεταξύ των προσεγγίσεων παρά μόνο σε τιμές της απόστασης dd από 0.6λλ μέχρι λλ και κυρίως στα χαμηλά SSSSSS Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Μήκος Διπόλου Σχήμα 4.19 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του μήκους του διπόλου ll σε σύγκριση με την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd Στο Σχήμα 4.19 παρουσιάζεται η μεταβολή της χωρητικότητας συναρτήσει του μήκους του διπόλου, όπου φαίνεται πως η επίδραση της αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των διπόλων αυξάνεται όσο αυξάνεται και η σηματοθορυβική σχέση, ενώ αυτό συμβαίνει και στην χωρητικότητα. Ταυτόχρονα, η αμοιβαία σύζευξη δεν φαίνεται να επηρεάζεται από το μήκος του διπόλου και παραμένει σταθερή για μια τιμή του SSSSSS. Επιπλέον, από το Σχήμα 4.20 καταλήγουμε πως και η προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε για τον υπολογισμό του πίνακα του καναλιού δεν έχει σημασία. 59

67 Σχήμα 4.20 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του μήκους του διπόλου ll για τις περιπτώσεις όπου αυτή υπολογίζεται κανονικά, μέσω single hop, μέσω double hop και μέσω triple hop προσέγγισης για α) SSSSSS = 10 dddd β) SSSSSS = 20 dddd Τέλος, από τα Σχήματα 4.19 και 4.20 βγάζεις κανείς το συμπέρασμα πως και με την χρήση της τεχνικής water-filling η επίδραση του μήκους διπόλου στην χωρητικότητα, καθώς και στην τιμή της αμοιβαίας σύζευξης μεταξύ των διπόλων είναι μηδαμινή. 4.4 Σύγκριση Αποτελεσμάτων για Ισοκατανομή Ισχύος και Τεχνική Water-filling Στην παράγραφο αυτή θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της τεχνικής water-filling με τα αντίστοιχα της περίπτωσης όπου έχουμε ισοκατανομή ισχύος στον εκπομπό και θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το ποια τεχνική φαίνεται να έχει καλύτερο αποτέλεσμα Συγκριτικά Αποτελέσματα ως προς Λόγο Σήματος προς Θόρυβο Στο Σχήμα 4.21 φαίνεται πως η τεχνική water-filling υπερτερεί αυτής με την ισοκατανομή ισχύος στον εκπομπό, κυρίως όμως για μικρότερες τιμές του SSSSSS. 60

68 Ταυτόχρονα, όπως και αναμέναμε, η αμοιβαία σύζευξη υποβαθμίζει την χωρητικότητα, αλλά όχι σε σημαντικό βαθμό. Σχήμα 4.21 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση ενός SISO συστήματος και την περίπτωση που δεν λαμβάνεται υπόψιν η αμοιβαία σύζευξη μεταξύ των κεραιών, για ισοκατανομή ισχύος και χρήση της τεχνικής water-filling Στο Σχήμα 4.22 παρουσιάζεται η επιρροή της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σκεδαστών στην χωρητικότητα του καναλιού. Η περίπτωση όπου BB = 0 αναπαριστά την ύπαρξη σκεδαστών στον χώρο μεν, αλλά την μηδενική αλληλεπίδραση μεταξύ τους. Είναι έκδηλο πως για μικρές τιμές του SSSSSS αυτή δεν φαίνεται να παίζει κανέναν απολύτως ρόλο, καθώς οι καμπύλες ταυτίζονται, ενώ σε μεγαλύτερες τιμές του SSSSSS επιδρά κατά έναν μικρό βαθμό στην χωρητικότητα. Σαν απόρροια όσων ειπώθηκαν παραπάνω, είναι σημαντικό να τονίσουμε πως αν κάποιος ήθελε να λάβει γρήγορα, αλλά όχι ακριβή, αποτελέσματα για την μεταβολή της χωρητικότητας σε σχέση με τον λόγο σήματος προς θόρυβο, θα μπορούσε να παραλείψει τον υπολογισμό του πίνακα BB, αφού κύριο ρόλο παίζει η πρώτη ανάκλαση του κύματος, που γίνεται από την κεραία εκπομπής στους σκεδαστές. 61

69 Σχήμα 4.22 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο σε σύγκριση με την περίπτωση ενός SISO συστήματος και την περίπτωση που δεν υπάρχει καμία αλληλεπίδραση μεταξύ των σκεδαστών, για ισοκατανομή ισχύος και χρήση της τεχνικής water-filling Σχήμα 4.23 Μεταβολή της χωρητικότητας καναλιού συναρτήσει του λόγου σήματος προς θόρυβο για ισοκατανομή ισχύος και χρήση της τεχνικής water-filling, με την απόσταση dd μεταξύ των διπόλων να κυμαίνεται από λλ 8 ως 4λλ 62