ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΕΚΚΑΘΑΡΙΣΗΣ ΠΡΟ-ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΑΓΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙAΣ ΜΕ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ EUTERPE ΚΑΙ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ VAN VYVE ΠΑΠΑΓΕΡΑΣΙΜΟΥ ΗΛΙΑΣ ΣΟΥΚΙΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΕΜ:6825 ΑΕΜ:7256 ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: ΜΠΙΣΚΑΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Π.Θ ΧΑΤΖΗΓΙΑΝΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΜΕΤΑΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΗΣ Α.Π.Θ 1 Θεσσαλονίκη 2017

2 2

3 Ευχαριστίες Ευχαριστούμε θερμά τον αναθέτη και επιβλέποντα της διπλωματικής μας εργασίας κ. Παντελή Μπίσκα, Επίκουρο Καθηγητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ για την καθοδήγηση και τη βοήθειά του καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας. Επίσης, ευχαριστούμε τον μεταδιδάκτορα ερευνητή κ. Δημήτρη Χατζηγιάννη για την πολύτιμη βοήθεια του στην υλοποίηση του προγραμματιστικού μέρους της εργασίας και για τις πολλές ώρες που αφιέρωσε στην επίλυση των αποριών μας. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2017 Παπαγερασίμου Ηλίας Σούκιας Νικόλαος 3

4 4

5 Περίληψη Πρόσφατα σε κοινή ανακοίνωση τους το Χρηματιστήριο Αθηνών και ο Λειτουργός Αγοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΛΑΓΗΕ) υπέγραψαν μνημόνιο συνεργασίας για τη δημιουργία του Ελληνικού χρηματιστηρίου ηλεκτρικής ενέργειας που θα βασίζεται στο ευρωπαϊκό μοντέλο ενοποίησης των αγορών (target model) που σταδιακά μέχρι και σήμερα ενοποιεί όλες τις ευρωπαϊκές αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας. Το νέο αυτό χρηματιστήριο προβλέπεται ότι θα ξεκινήσει τη λειτουργία του στα μέσα του Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η επίλυση της ευρωπαϊκής προ-ημερήσιας αγοράς (day-ahead) ηλεκτρικής ενέργειας με το λογισμικό EUTERPE, που αναπτύχθηκε από την ερευνητική ομάδα του εργαστηρίου Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας του ΑΠΘ και με τη μέθοδο VAN VYVE. Και τα δυο μοντέλα επιλύονται ως προβλήματα μικτού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού (MILP) σε προγραμματιστικό περιβάλλον GAMS. Γίνεται σύγκριση της αποτελεσματικότητας των δυο μοντέλων στην διαχείριση των παραδόξως αποδεκτών προσφορών (PAOs). Για την σύγκριση αυτή χρησιμοποιούμε ως δεδομένα εισόδου, προσφορές από τα χρηματιστήρια της κεντρικής Ευρώπης. Στο 1 ο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στα μοντέλα οργάνωσης των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας στην Ευρώπη καθώς και στην ενοποίηση αυτών των αγορών. Στο 2 ο κεφάλαιο επεξηγούνται οι τύποι των προσφορών που χρησιμοποιούνται στις Ευρωπαϊκές αγορές, τους τρόπους υπολογισμού της μεταφορικής ικανότητας των διασυνδέσεων καθώς και τους τύπους των προσφορών που χρησιμοποιούμε εμείς ως δεδομένα εισόδου στην επίλυση των δυο μοντέλων. Στο 3 ο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση των εξισώσεων, των παραμέτρων και μεταβλητών για κάθε ένα από τα μοντέλα που συγκρίνονται. Παρουσιάζεται η μαθηματική μοντελοποίηση εκάστοτε. Στο 4 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την επίλυση των δυο μοντέλων καθώς και τα συμπεράσματα που προκύπτουν. Στο Παράρτημα Α γίνεται βιβλιογραφική ανασκόπηση στον μικτό και ακέραιο προγραμματισμό, καθώς και στης θεωρίας της δυϊκότητας. 5

6 6

7 Abstract Comparison of the day-ahead clearing models of the electricity market using EUTERPE software and VAN VYVE method. Athens Stock Exchange along with the Electricity Market Operator have recently announced their official cooperation for the establishment of the Greek s Electricity Stock Exchange Market. This decision is mainly based on the European Model of market s integration that over the past decades gradually integrates all Electricity European markets. This new Stock Exchange is forecasted to begin its operations during The main objective of this research study is the selement of the European dayahead purchase of electricity under the EUTERPE software and the Van Vyve method. It is important to state that EUTERPE software has been invented and performed by the research team of Aristotle s University module of Electrical Systems. Both models are solved as Mixed Integer linear Programming (MILP) problems in GAMS environment. During this research, we perform a comparison of the above models effectiveness on the management of Paradoxically Accepted Orders (PAOs). For this comparison, we use as entry data, orders from Europe s Stock Exchanges. In Chapter 1 we make an introductory analysis both on the various European models of electricity markets and also on the integration of those markets. In Chapter 2 we explain a) the formulas used in the European Markets, b) how we calculated the transfer ability of the lines and c) the formulas that we use as entry data in the solution of both models. In Chapter 3 we deeply analyze the formulas, parameters and variables for each model and present the mathematical models for both EUTERPE and Van Vyve. In Chapter 4 we present the final outcomes and findings of our research and sum up the main conclusions. In annex A we make a literature review in the mixed integer programming (MIP) and the duality theory. 7

8 8

9 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Μοντέλα οργάνωσης των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας Κοινοπραξία Ισχύος(ΚΙ) Χρηματιστήριο Ενέργειας(ΧΕ) Ενοποίηση Ευρωπαϊκών αγορών Προσφορές και μηχανισμοί διαχείρισης των διασυνδέσεων Υποβολή και είδη Προσφορών στα Ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια Ενέργειας Απλές ωριαίες προσφορές Σύνθετες προσφορές Μπλοκ Προσφορές Μοντέλα υπολογισμού μεταφορικής ικανότητας στις διασυνδέσεις Διμερής υπολογισμός μεταφορικής ικανότητας(atc) Βασιζόμενο στη ροή(flow Based) Δεδομένα εισόδου Ανάλυση των δυο συγκρινόμενων μοντέλων Μαθηματική διατύπωση του μοντέλου EUTERPE - Μοντελοποίηση Επαναληπτικός αλγόριθμος EUTERPE Παραδόξως Αποδεκτές Προσφορές Έλεγχος Παραδόξως Αποδεκτών Προσφορών Μαθηματική διατύπωση του μοντέλου VAN VYVE - Μοντελοποίηση Αποτελέσματα και Συμπεράσματα Υπολογιστικά θέματα - Επίλυση με GAMS Αποτελέσματα Τιμές εκκαθάρισης αγοράς Απλες ωριαιες προσφορες ζητησης Απλες ωριαιες προσφορες παραγωγής Μπλοκ προσφορές και παραδόξως προσφορα Ευέλικτες προσφορές Συμπεράσματα

10 5 Παραρτήματα Παράρτημα Α Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός Θεωρία της δυϊκότητας Παραρτημα Β Ακρωνύμια Λίστες Λίστα Εικόνων Λίστα Πινάκων Βιβλιογραφία

11 1 Εισαγωγή 1.1 Μοντέλα οργάνωσης των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας Τα δύο βασικά μοντέλα κεντρικής οργάνωσης των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας, όπου το σύνολο των ευρωπαϊκών αγορών μπορεί να ταξινομηθεί σε αυτά είναι οι Κοινοπραξίες Ισχύος (ΚΙ) και τα Χρηματιστήρια Ενέργειας (ΧΕ). Στα μοντέλα οργάνωσης της απελευθερωμένης αγοράς, η ηλεκτρική ενέργεια είναι προϊόν διαπραγμάτευσης σε διάφορα χρονικά επίπεδα. Συγκεκριμένα: Μεσο-μακροπρόθεσμες Προθεσμιακές Αγορές (Forward markets), Προ-ημερήσιες αγορές (Day-ahead markets), Ενδο-ημερήσιες αγορές (Intraday markets), Αγορές Εφεδρειών (Reserve markets), Αγορές Εξισορρόπησης ή Πραγματικού Χρόνου (Balancίng ή real-time markets), Μηχανισμοί Εκκαθάρισης Αποκλίσεων Παραγωγής-Ζήτησης (Imbalance selement mechanίsms). Η παρακάτω εικόνα παρουσιάζει την χρονική αλληλουχία των προαναφερθεισών αγορών. Εικόνα 1- Χρονική αλληλουχία ευρωπαϊκών αγορών ηλεκτρικής ενέργειας Η προ-ημερήσια αγορά ηλεκτρικής ενέργειας είναι μια από τις βασικότερες και η επίλυση της οποίας γίνεται κεντρικά από ένα Λειτουργό της Αγοράς, οποίος εκκαθαρίζει την αγορά επιλύοντας ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης του συνολικού κοινωνικού ωφέλους ή την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους για την εξυπηρέτηση του φορτίου αφού παραγωγοί και προμηθευτές υποβάλλουν προσφορές ενέργειας - τιμής με την ποσότητα ενέργειας που είναι διατεθειμένοι να πουλήσουν ή να αγοράσουν αντίστοιχα, για κάθε περίοδο κατανομής της επόμενης ημέρας. 11

12 1.1.1 Κοινοπραξία Ισχύος(ΚΙ) Στις αγορές Κοινοπραξίας Ισχύος οι μονάδες παραγωγής υποβάλλουν προσφορές έγχυσης στον Λειτουργό της Αγοράς, οι οποίες είναι ζεύγη με την επιθυμητή ποσότητα και τιμής πώλησης σε κάθε περίοδο κατανομής της επόμενης. Η προσφορές αυτές αντιστοιχούμε στο πραγματικό κόστος (cost based pool). Οι παραγωγοί είναι ελεύθεροι να προσφέρουν οποιαδήποτε τιμή επιθυμούν (price-based pool) μέσα στα όρια που θέτουν οι κανόνες της κάθε αγοράς. Στη συνέχεια οι προσφορές έγχυσης ταξινομούνται σε αύξουσα σειρά και έτσι διαμορφώνεται η καμπύλη συνολικής προσφοράς. Εικόνα 2 - Κοινοπραξία Ισχύος Παράλληλα για την κατανάλωση ο Λειτουργός της Αγοράς προβλέπει την ημερήσια ζήτηση φορτίου, ενώ σε πιο σύνθετες μορφές ΚΙ υποβάλλονται και δηλώσεις φορτίου. Οι δηλώσεις φορτίου και οι προβλέψεις συνολικά ταξινομούνται σε φθίνουσα σειρά. Έτσι διαμορφώνεται η καμπύλη συνολικής ζήτησης. Από τις δύο καμπύλες προκύπτει μία ενιαία τιμή στην οποία αποζημιώνονται οι παραγωγοί και χρεώνονται οι προμηθευτές. Ο Λειτουργός της Αγοράς προσδιορίζει της αποδεκτές ποσότητες έγχυσης και απορρόφησης ενέργειας, με σκοπό τη μεγιστοποίηση του κοινωνικού ωφέλους. Προτεραιότητα έχουν οι φθηνότερες μονάδες και σε περίπτωση που δεν η λύση που προέκυψε δεν είναι επιτεύξιμη, κάποιες «αντι-οικονομικές» (out-of merit) μονάδες παραγωγής ενεργοποιούνται προκειμένου να αντικαταστήσουν τις οικονομικές (in - merit) μονάδες παραγωγής. Το επιπλέον αυτό κόστος λαμβάνεται υπόψη στην τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας. Εικόνα 3 - Καμπύλη ζήτησης - προσφοράς Χρηματιστήριο Ενέργειας(XE) Στις περισσότερες ευρωπαϊκές χώρες εφαρμόζεται το εναλλακτικό μοντέλο αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας, αυτό της Αγοράς Διμερών Συμβολαίων με την ταυτόχρονη λειτουργία ενός εθελοντικού Χρηματιστηρίου Ενέργειας (ΧΕ). 12

13 Η Αγορά Διμερών Συμβολαίων βασίζεται στη σύναψη διμερών συμβολαίων μεταξύ παραγωγών, προμηθευτών και μεγάλων καταναλωτών για την παράδοση προκαθορισμένων ποσοτήτων ενέργειας, σε προκαθορισμένες τιμές και προκαθορισμένη περίοδο στο μέλλον. Χαρακτηριστικά των Αγορών Διμερών Συμβολαίων είναι: η ευελιξία στους όρους διαπραγμάτευσης των συμβολαίων, το αυξημένο κόστος συναλλαγών, ο κίνδυνος αφερεγγυότητας των συμβαλλομένων, η μη δημοσιοποίηση των συμφωνηθεισών τιμών. Το αυξημένο κόστος συναλλαγών της Αγοράς Διμερών Συμβολαίων και το πρόβλημα της ανωνυμίας οδήγησαν στην δημιουργία Χρηματιστηρίων Ενέργειας (ΧΕ) Τα Χρηματιστήρια Ενέργειας (ΧΕ) συνιστούν κεντρικά οργανωμένες πλατφόρμες που εξυπηρετούν ανώνυμες συναλλαγές ηλεκτρικής ενέργειας σε προ-ημερήσιο επίπεδο, με εθελοντική συμμετοχή παραγωγών, προμηθευτών και μεγάλων καταναλωτών. Τα ΧΕ παράγουν μία ενιαία Οριακή τιμή εκκαθάρισης (Market Clearing Εικόνα 4 - Χρηματιστήρια Ενέργειας(ΧΕ) Price - MCP) για κάθε περίοδο κατανομής της επόμενης ημέρας. Η τιμή αυτή καθορίζεται βάσει προσφορών έγχυσης και δηλώσεων φορτίου που υποβάλλονται από τους συμμετέχοντες, μέχρι την ώρα λήξης υποβολής των προσφορών, την προηγούμενη ημέρα της ημέρας κατανομής. Οι προσφορές μπορούν να είναι απλοί ωριαίοι συνδυασμοί τιμής και ποσότητας ηλεκτρικής ενέργειας, ή υποβάλλονται σε προκαθορισμένα ή μη μπλοκ διαφόρων ωρών της ημέρας κατανομής, τα οποία είτε γίνονται αποδεκτά για όλες τις ώρες ή απορρίπτονται στο σύνολό τους. Στα ΧΕ εντοπίζεται μεγάλος όγκος συναλλαγών. Βασικό χαρακτηριστικό των ΧΕ στις ευρωπαϊκές χώρες είναι αυτό του «αυτόπρογραμματισμού» των παραγωγών. Ο παραγωγός έχει τη δυνατότητα να αποφασίσει ελεύθερα για την παραγωγή κάθε μονάδας του και στη συνέχεια να υποβάλει στο Χρηματιστήριο Ενέργειας το σύνολο της παραγωγής του, όπου οι τεχνικοί περιορισμοί των μονάδων πρέπει να ληφθούν υπ όψιν από τον ίδιο τον παραγωγό. 13

14 1.1.3 Ενοποίηση Ευρωπαϊκών αγορών Ακολουθώντας πρόσφατες ευρωπαϊκές οδηγίες, η Ευρωπαϊκή ένωση προώθησε κατά τα τελευταία χρόνια την ενοποίηση των εθνικών αγορών ηλεκτρικής ενέργειας σε μια ενιαία αγορά πολλαπλών περιοχών, επιτρέποντας έτσι τη βέλτιστη εκμετάλλευση της περιορισμένης μεταφορικής ικανότητας των διασυνδέσεων. Τα Ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια Ενέργειας συγκροτούν αγορές στις οποίες οι προσφορές έγχυσης και οι δηλώσεις φορτίου εκκαθαρίζονται και χρεοπιστώνονται βάσει μιας ενιαίας οριακής τιμής ανά περιοχή προσφορών υπό την επίδραση περιορισμών συμφόρησης κρίσιμων γραμμών μεταφοράς. Σταδιακά έγιναν βήματα ενοποίησης των περισσοτέρων ευρωπαϊκών αγορών ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτή η πρωτοβουλία ονομάστηκε σύζευξη τιμών των περιοχών ( Price Coupling of Regions ή PCR) και ξεκίνησε από επτά Ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια και στόχευε στην ενοποίηση με τις αγορές της κέντρο-ανατολικής Ευρώπης, της Μεγάλης Βρετανίας και αυτές της Ιταλικής και της Ιβηρικής χερσονήσου. Αυτή η εξέλιξη οδήγησε στην συντονισμένη εκκαθάριση των περισσοτέρων προ-ημερησίων Ευρωπαϊκών αγορών ( day-ahead electricity markets) με τη χρήση ενός ενιαίου επιλυτή που ονομάζεται EUPHEMIA. Πάνω σ αυτόν τον επιλυτή βασίζονται και οι δυο μέθοδοι εκκαθάρισης που χρησιμοποιούνται σ αυτήν την διπλωματική εργασία, τον επιλυτή EUTERPE της ερευνητικής ομάδας του εργαστηρίου ΣΗΕ του ΑΠΘ και τον επιλυτή του ερευνητή Vav Vyve. 14

15 2 Προσφορές και μηχανισμοί διαχείρισης των διασυνδέσεων 2.1 Υποβολή και είδη Προσφορών στα Ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια Ενέργειας Στα ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια Ενέργειας (ΧΕ) υπάρχουν δύο τρόποι υποβολής προσφορών για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας: μέσω προσφορών για κάθε μονάδα παραγωγής ξεχωριστά (π.χ. στην Ιταλία), μέσω προσφορών χαρτοφυλακίου (π.χ. Γαλλία). Το δεύτερο είδος προσφοράς επιτρέπει στον κάθε συμμετέχοντα της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας (παραγωγός, εκπρόσωπος φορτίου, έμπορος ηλεκτρικής ενέργειας) να υποβάλλει μία ωριαία καμπύλη προσφοράς χαρτοφυλακίου για παραγωγή ή/και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας, εσωτερικεύοντας με αυτό τον τρόπο όλα τα τεχνικά και οικονομικά στοιχεία των εγκαταστάσεων του (για παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας), τα προθεσμιακά συμβόλαια (για κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας από τελικούς καταναλωτές), και τα εμπορικά συμβόλαιά του για εισαγωγές/εξαγωγές. Έτσι, η προ-ημερήσια αγορά ενός ΧΕ εκκαθαρίζεται βάσει όλων των υποβαλλόμενων καμπυλών χαρτοφυλακίου για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας. Εκτός από τα δύο ανωτέρω είδη προσφορών τα περισσότερα ευρωπαϊκά ΧΕ επιτρέπουν στους συμμετέχοντες να υποβάλουν «μπλοκ» προσφορές, οι οποίες εισάγουν διαχρονικούς περιορισμούς και μιμούνται κάποιους από τους τεχνικούς περιορισμούς (π.χ. το τεχνικό ελάχιστο), τους λειτουργικούς περιορισμούς (π.χ. τη διαθεσιμότητα καυσίμου, ιδιαίτερα για τις υδροηλεκτρικές μονάδες) και/ή τις δομές κόστους πολλών περιόδων (π.χ. το κόστος εκκίνησης, το κόστος σβέσης, το κόστος μηδενικού φορτίου και το κόστος ελάχιστου φορτίου) των μονάδων παραγωγής. Η διαφορά με το μοντέλο της ΚΙ είναι προφανής, καθώς στο τελευταίο, όπως προαναφέρθηκε, οι ανωτέρω τεχνικοί περιορισμοί υποβάλλονται άμεσα στις προσφορές (multi - part bids) των μονάδων παραγωγής Απλές ωριαίες προσφορές Ο πιο συνηθισμένος τύπος προσφορών είναι οι απλές ωριαίες προσφορές παράγωγης και ζήτησης. Οι προσφορές αυτές δημιουργούν τις συγκεντρωτικές καμπύλες παραγωγής και ζήτησης για κάθε περίοδο κατανομής της ημέρας κατανομής. Στην καμπύλη ζήτησης οι προσφορές ταξινομούνται από την υψηλότερη 15

16 προς τη χαμηλότερη τιμή, ενώ το αντίστροφο συμβαίνει στην καμπύλη έγχυσης (παραγωγής). Οι συγκεντρωτικές καμπύλες μπορεί να είναι δύο τύπων: Γραμμικές βηματικές καμπύλες - δύο διαδοχικά σημεία δε μπορούν να έχουν την ίδια τιμή. Εικόνα 5 - Γραμμικές βηματικές καμπύλες Βηματικές καμπύλες δύο διαδοχικά σημεία μπορούν να έχουν είτε την ίδια τιμή, είτε την ίδια ποσότητα. Εικόνα 6 - Βηματικές καμπύλες Υβριδικές καμπύλες, οι οποίες αποτελούν συνδυασμό των δύο προηγούμενων περιπτώσεων. Οι προσφορές γίνονται πλήρως αποδεκτές, αν η τιμή τους είναι μικρότερη (μεγαλύτερη) από την τιμή της αγοράς για προσφορές έγχυσης (δηλώσεις φορτίου), ή πλήρως απορριπτέες στην αντίθετη περίπτωση. Στην περίπτωση που η τιμή της προσφοράς ταυτίζεται με την τιμή εκκαθάρισης, η προσφορά αυτή μπορεί να εκκαθαρίζεται πλήρως ή μερικώς Σύνθετες προσφορές Είναι ένα σύνολο από απλές ωριαίες βηματικές προσφορές (αναφέρονται συχνά ως ωριαίες «υπό-προσφορές»), οι οποίες ανήκουν σε ένα μόνο συμμετέχοντα, 16

17 εκτείνονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους και υπόκεινται σε μία «σύνθετη» συνθήκη που επηρεάζει το σύνολο των ωριαίων υπό-προσφορών Μπλοκ Προσφορές Απλές μπλοκ προσφορές για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας Ο συγκεκριμένος τύπος προσφοράς για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας αποτελείται από μία τιμή (για πώληση ή αγορά ενέργειας, αντίστοιχα) και από μία ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας, ενώ αφορά ένα σύνολο περιόδων κατανομής (ωρών). Οι χρονικές περίοδοι στις οποίες μπορούν οι συμμετέχοντες στην αγορά να καταθέσουν τις προσφορές τους (αρχή και τέλος περιόδων κατανομής) είναι προκαθορισμένες από το ΧΕ και σταθερές. Οι μπλοκ προσφορές ονομάζονται και «fill-or-kill» εντολές, διότι γίνονται αποδεκτές ή απορρίπτονται στο σύνολό τους. Η συνθήκη εκκαθάρισης των μπλοκ προσφορών βασίζεται είτε: 1. στη μέση ωριαία Τιμή Εκκαθάρισης της αγοράς (ΤΕ), εφόσον τα μπλοκ έχουν την ίδια ποσότητα ενέργειας για όλες τις περιόδους κατανομής που αφορούν, είτε 2. από τη σταθμισμένη (βάσει των προσφερόμενων ποσοτήτων) μέση ωριαία ΤΕ κατά το χρονικό διάστημα που αφορά η μπλοκ προσφορά, εφόσον η μπλοκ προσφορά εμπεριέχει διαφορετική ποσότητα ενέργειας ανά ώρα. Αυτό σημαίνει ότι αν το μπλοκ είναι μπλοκ προσφοράς έγχυσης ενέργειας τότε: Αν η μέση τιμή (σταθμισμένη ή μη) των ωρών που εκτείνεται το μπλοκ είναι μεγαλύτερη από την προσφερόμενη τιμή του μπλοκ τότε το μπλοκ εκκαθαρίζεται. Αν η μέση τιμή (σταθμισμένη ή μη) των ωρών που εκτείνεται το μπλοκ είναι μικρότερη από την προσφερόμενη τιμή του μπλοκ τότε το μπλοκ απορρίπτεται. Υπάρχουν περιπτώσεις που θα αναλυθούν σε επόμενα κεφάλαια όπου αν η τιμή του μπλοκ είναι κοντά στη μέση τιμή των ωρών που αυτό εκτείνεται, τότε μπορεί αυτό να είναι Παραδόξως Εκκαθαριζόμενο ή Παραδόξως Μη Εκκαθαριζόμενο. Τα αντίθετα από τα παραπάνω ισχύουν αν το μπλοκ είναι μπλοκ δήλωσης φορτίου. 17

18 Προφίλ μπλοκ προσφορές (Profile block orders): Οι προφίλ μπλοκ προσφορές συνιστούν μία γενίκευση των ήδη χρησιμοποιούμενων από τα Ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια Ενέργειας απλών μπλοκ προσφορών, όπου η ποσότητα μπορεί να διαφοροποιείται μεταξύ των χρονικών περιόδων κατά τις οποίες υποβάλλεται η μπλοκ προσφορά, ενώ οι περίοδοι της προσφοράς δύνανται να μην είναι διαδοχικές. Επιπλέον, το Ελάχιστο Ποσοστό Εκκαθάρισης (minimum acceptance ratio) μίας προφίλ μπλοκ προσφοράς μπορεί να είναι μικρότερος από 1, επιτρέποντας έτσι τη μερική αποδοχή της αντίστοιχης προσφοράς Συνδεδεμένες μπλοκ προσφορές για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας Κάθε συνδεδεμένη μπλοκ προσφορά σχετίζεται με μία «γονική μπλοκ προσφορά». Η εκκαθάριση των συνδεδεμένων μπλοκ προσφορών γίνεται εφόσον: εκκαθαρισθεί η «γονική μπλοκ προσφορά», και ισχύει η συνθήκη εκκαθάρισης της συνδεδεμένης μπλοκ. Υπάρχουν δύο τρόποι για να συνδεθεί η συγκεκριμένη κατηγορία μπλοκ προσφορών με τα αντίστοιχα «γονικά μπλοκ»: μέσω μίας γονικής σχέσης τύπου "πύργου" όπου κάθε μπλοκ γονέα μπορεί να έχει μέχρι μία συνδεδεμένη μπλοκ προσφορά, ή με πολλές παράλληλες γονικές σχέσεις σε κάθε επίπεδο ιεράρχησης Εικόνα 7- Γονικά μπλοκ 18

19 Ευέλικτες ωριαίες προσφορές για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας(flexible hourly orders) Οι συγκεκριμένες σύνθετες προσφορές εμπεριέχουν μία ποσότητα ενέργειας (σε MWh) και μία τιμή προσφοράς (σε /MWh). Οι εντολές αυτές είναι τύπου «fill-orkill» και γίνονται αποδεκτές μόνο σε μία περίοδο κατανομής της ημέρας. Η συνθήκη εκκαθάρισης μίας ευέλικτης ωριαίας προσφοράς παραγωγής είναι η τιμή εκκαθάρισης της ώρας να είναι μεγαλύτερη από την τιμή προσφοράς, και αντιστρόφως για μία ευέλικτη ωριαία προσφορά κατανάλωσης. Σε περίπτωση που περισσότερες από μία ώρες της ημέρας έχουν μεγαλύτερη τιμή εκκαθάρισης από την τιμή προσφοράς, οι ευέλικτες ωριαίες προσφορές εκκαθαρίζονται κατά την ώρα που δημιουργούν το υψηλότερο κοινωνικό πλεόνασμα στην αγορά, κι όχι κατ ανάγκη την ώρα με την υψηλότερη τιμή εκκαθάρισης Αποκλειστικές ομάδες μπλοκ προσφορών για παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας (Block Orders in an Exclusive Group) Μια αποκλειστική ομάδα αποτελεί ένα σύνολο μπλοκ προσφορών, διαφορετικών τιμών-ποσοτήτων, τα οποία αναπαριστούν διαφορετικά μοτίβα λειτουργίας μίας μονάδας παραγωγής. Το συνδυαστικό ποσοστό εκκαθάρισης του συνόλου των μπλοκ προσφορών, δεν ξεπερνάει το 100%. Σε περίπτωση που ο ελάχιστος λόγος αποδοχής των μπλοκ είναι 1, αυτό σημαίνει ότι το πολύ ένα μπλοκ της ομάδας μπορεί να εκκαθαριστεί. Η διαδικασία εκκαθάρισης των μπλοκ προσφορών από την εκάστοτε ομάδα γίνεται με βάση τη μεγιστοποίηση του συνολικού κοινωνικού ωφέλους. Η δυνατότητα κατάθεσης μπλοκ προσφορών από τους συμμετέχοντες σε ένα ΧΕ περιπλέκει τη διαδικασία εκκαθάρισης της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Εκτός από τις συνεχείς μεταβλητές που απαιτούνται για τη μοντελοποίηση των ωριαίων προσφορών για παραγωγή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας, είναι αναγκαία η εισαγωγή δυαδικών μεταβλητών στο πρόβλημα εκκαθάρισης της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας, προκειμένου να μοντελοποιηθούν οι περιορισμοί αδιαιρετότητας «fill-orkill» των μπλοκ προσφορών. Η παραπάνω ιδιότητα οδηγεί στη διαμόρφωση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης Μικτού Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού (ΜΑΓΠ). 19

20 2.2 Μοντέλα υπολογισμού μεταφορικής ικανότητας στις διασυνδέσεις Διμερής υπολογισμός μεταφορικής ικανότητας(atc) Το σημείο έναρξης κάθε πρωτοβουλίας ενοποίησης αγορών, είναι η συμφωνία όλων των εμπλεκόμενων μερών σε κοινούς και αποδοτικούς μηχανισμούς υπολογισμού της μεταφορικής ικανότητας στις διασυνδέσεις που είναι διαθέσιμη για συναλλαγές ηλεκτρικής ενέργειας. Η αρχική μέθοδος που προηγήθηκε του επονομαζόμενου Μοντέλου Στόχου (Target Model) στην Ευρώπη, προδιάγραφε κάθε περιοχή ελέγχου να υπολογίζει διμερώς την Καθαρή Μεταφορική Ικανότητα (ΚΜΙ ή Net Transfer Capacity ή NTC) προς κάθε μία από τις γειτονικές περιοχές ελέγχου, και προς τις δύο κατευθύνσεις. Με τον τρόπο αυτό, για κάθε διασύνδεση και εμπορική κατεύθυνση, δύο τιμές ΚΜΙ υπολογίζονται από τους διαχειριστές των αντίστοιχων συστημάτων. Η χαμηλότερη από τις δύο τιμές γινόταν αποδεκτή, ως διαθέσιμη στην αγορά, μέσω των Άμεσων Δημοπρασιών. Ένα βασικό χαρακτηριστικό αυτής της μεθόδου υπολογισμού της μεταφορικής ικανότητας είναι ο ψευδής (τεχνητός) προκαθορισμός των διαθέσιμων μεταφορικών ικανοτήτων σύνορο με σύνορο. Και αυτό γιατί, σε ένα βροχοειδές δίκτυο (meshed network) οι ροές ηλεκτρικής ενέργειας δεν ακολουθούν μία προγραμματισμένη πορεία, αλλά κατανέμονται με βάση τους νόμους της φυσικής (Νόμοι Kirchoff) σε όλες τις δυνατές διαδρομές μεταξύ δύο κόμβων. Έτσι, το μέγεθος της πραγματικής μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ δύο κόμβων του δικτύου έχει επίπτωση στο μέγεθος της διαθέσιμης μεταφορικής ικανότητας μεταξύ δύο οποιονδήποτε άλλων κόμβων αυτού. Για να προσπελαστεί μερικώς αυτός ο περιορισμός, μπορούν να υπολογιστούν τιμές ΚΜΙ με πιο σύνθετα τεχνικά προφίλ. Αυτές παρέχουν περισσότερη ελευθερία στην αγορά, για να καθορίσει και να χρησιμοποιήσει τις προτιμώμενες κατευθύνσεις για συναλλαγές. Ας υποθέσουμε ότι κατά τη διάρκεια των προαναφερθέντων διμερών ΚΜΙ υπολογισμών, οι διαχειριστές των συστημάτων καθόρισαν τις ΚΜΙ τριών περιοχών ελέγχου Α, Β, Γ ως εξής: Α Β και Γ Β στα 500 MW η καθεμία. Αυτά είναι απλά τεχνικά προφίλ, που ενσωματώνουν περιορισμούς συναλλαγών, σε ένα σύνορο κάθε φορά. Ένα πιο σύνθετο τεχνικό προφίλ, θα μπορούσε να ενσωματώνει ένα συνδυαστικό περιορισμό εισαγωγών 1000 MW στην περιοχή Β, αλλά να χαλαρώνει τους περιορισμούς των ξεχωριστών διασυνδέσεων, σε π.χ. 700 MW τον καθένα. Με τον τρόπο αυτό, αν η κατεύθυνση Α Β είναι τελικά προτιμότερη από την αγορά, τότε οι διασυνοριακές ανταλλαγές ενέργειας σε αυτή τη διασύνδεση μπορούν να ξεπεράσουν το όριο των 500 MW. Σε αυτή την περίπτωση παρ όλα αυτά οι ανταλλαγές στην κατεύθυνση Γ Β θα πρέπει να περιοριστούν κάτω από τα 500 MW κατά το ίδιο ποσοστό για να διατηρηθεί η ασφάλεια του συστήματος μεταφοράς. 20

21 Τα πλήρη πλεονεκτήματα της τελευταίας μεθόδου φαίνονται μόνο όταν η κατανομή διενεργείται ταυτόχρονα σε όλα τα σύνορα. Με τη μέθοδο αυτή, οι προσδοκίες των συμμετεχόντων αναφορικά με την αξία των διασυνοριακών συναλλαγών μπορούν να επηρεάσουν την κατασκευή των ΚΜΙ και συνεπώς κάνουν την κατανομή της μεταφορικής ικανότητας περισσότερο αποδοτική, χωρίς να επιδρούν στην ασφάλεια του συστήματος Βασιζόμενο στη ροή(flow Based) Ο καθορισμός των τιμών ΚΜΙ ακόμη και με σύνθετα τεχνικά προφίλ διενεργείται παρ όλα αυτά χώρα με χώρα. Κάτι τέτοιο συνιστά μεν μερική θεώρηση της αλληλεπίδρασης μεταξύ διαφορετικών διασυνδέσεων της ίδιας χώρας, δε λαμβάνει παρ όλα αυτά πλήρως υπόψη την αλληλεπίδραση όλων των διασυνδέσεων εντός μίας βροχοειδούς περιφέρειας, όπως η ηπειρωτική Ευρώπη. Ο υπολογισμός της μεταφορικής ικανότητας «Βασιζόμενος στη Ροή» («Flow Based») κάνει ένα ακόμη βήμα προς αυτή την κατεύθυνση. Σημείο έναρξης αποτελεί ένα απλοποιημένο διασυνδεδεμένο σύστημα μεταφοράς και μία βασική αναφορά ροών ισχύος, χωρίς να λαμβάνουν χώρα διασυνοριακές ανταλλαγές ενέργειας. Οι μεταφορικές ικανότητες που απομένουν για διασυνοριακές συναλλαγές υπολογίζονται ακολούθως για κάθε στοιχείο αυτού του μοντέλου «κοινού δικτύου». Κατά την κατανομή της μεταφορικής ικανότητας, κάθε προσφορά από μία ζώνη τιμής προς μία άλλη - όχι κατ ανάγκην γειτονική - αξιολογείται αναφορικά με τον τρόπο που οι φυσικές ροές που προκύπτουν από τις συναλλαγές ηλεκτρικής ενέργειας επηρεάζουν τους περιορισμούς μεταφορικής ικανότητας των γραμμών του συστήματος. Η αντιστοίχιση των προσφορών από ζώνη σε ζώνη σε φυσικές ροές του συστήματος μεταφοράς γίνεται μέσω των επονομαζόμενων πινάκων Συντελεστών Κατανομής Μεταφοράς Ισχύος (Power Transfer Distribution Factors ή PTDFs). Οι ΣΚΜΙ υπολογίζονται από τους Διαχειριστές του Συστήματος βάσει του μοντέλου «κοινού δικτύου», λαμβάνοντας υπ όψιν τους νόμους της φυσικής στις ροές ισχύος και την πιθανότητα μεταφοράς ενός επιπλέον MW εντός της ζώνης τιμής. Το κύριο πλεονέκτημα του «Βασιζόμενου στη Ροή» υπολογισμού της μεταφορικής ικανότητας είναι ότι επιτρέπει τη χαλάρωση αυστηρών περιορισμών στις διασυνοριακές συναλλαγές και συνεπώς την πιο αποδοτική χρήση του συστήματος μεταφοράς. Τέτοια είναι μάλιστα η περίπτωση του βροχοειδούς συστήματος μεταφοράς της ηπειρωτικής Ευρώπης, όπου διμερείς υπολογισμοί της ΚΜΙ θα έπρεπε να υπολογίζονται αρκετά χαμηλά ώστε το δίκτυο να αντέχει το χειρότερο σενάριο συμφόρησης σε όλες τις κατευθύνσεις ανταλλαγών. 21

22 Με τέτοιες μεθόδους, η εκτίμηση της ασφάλειας και η κατανομή της μεταφορικής ικανότητας ουσιαστικά ενοποιούνται, επιτρέποντας στους διαχειριστές του συστήματος να προσαρμόζουν τους ελέγχους ασφάλειας στις ανάγκες συναλλαγών της αγοράς, παρά στην περίπτωση του χειρότερου σεναρίου. Θεωρητικά λοιπόν, ένας «Βασιζόμενος στη Ροή» μηχανισμός θα πρέπει να επιτρέπει περισσότερες συναλλαγές και ιδιαίτερα σε κατευθύνσεις που αποτιμώνται περισσότερο από τους συμμετέχοντες της αγοράς, αυξάνοντας το συνολικό κοινωνικό πλεόνασμα. Το Μοντέλο Στόχου, όπως αυτό περιγράφεται στον Κώδικα Δικτύου (CACM NC) για τις προ-ημερήσιες και ενδο-ημερήσιες αγορές που συνέταξε ο ENTSO-E, απαιτεί τη δημιουργία ενός μοντέλου «κοινού δικτύου» τουλάχιστον για τη σύγχρονη ηπειρωτική Ευρώπη (αλλά κατά προτίμηση για ολόκληρη την Ευρώπη) και προτείνει την εφαρμογή του «Βασιζόμενου στη Ροή» υπολογισμού και κατανομής της μεταφορικής ικανότητας για τη διαχείριση των ευρωπαϊκών διασυνδέσεων. 2.3 Δεδομένα εισόδου Στην διπλωματικής μας εργασία χρησιμοποιούμε ως δεδομένα εισόδου για τα δυο μοντέλα μας απλές ωριαίες προσφορές με βηματικές κυματομορφές, μπλοκ προσφορές (απλές και προφίλ) και ευέλικτες προσφορές που κατατίθενται στην κεντρική Ευρώπη (Γερμανία, Βέλγιο, Ολλανδία, Γαλλία). Επιπλέον, το δίκτυο προσομοιώνεται υβριδικά, με μοντέλο ATC και flow based. Οι απλές ωριαίες προσφορές παραγωγής είναι συνολικά 290 και οι προσφορές ζήτησης είναι 4 όσα και τα κράτη που συμμετέχουν. Οι μπλοκ προσφορές (απλές και προφίλ) είναι Οι ευέλικτες ωριαίες προσφορές είναι 8, 4 ζήτησης και 4 παραγωγής. Παρακάτω βλέπουμε χαρακτηριστικά τους πίνακες με μερικά από τα δεδομένα εισόδου που χρησιμοποιήσαμε: Πίνακας ποσοτήτων απλών ωριαίων προσφορών για 24 ώρες. Όπως παρατηρείτε παρακάτω για την προσφορά S271 για κάθε ώρα της ημέρας δημιουργείται μια βηματική συνάρτηση δέκα βημάτων. 22

23 Υποβαλλόμενες ποσότητες απλών ωριαίων προσφορών Προσφορά Ώρες sb1 sb2 sb3 sb4 sb5 sb6 sb7 sb8 sb9 sb10 S ,32 38,22 19,11 19,11 9,55 9,55 9,55 9,55 9,55 9,55 S ,99 36,66 18,33 18,33 9,17 9,17 9,17 9,17 9,17 9,17 S ,31 36,2 18,1 18,1 9,05 9,05 9,05 9,05 9,05 9,05 S ,77 36,51 18,26 18,26 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 9,13 S ,23 37,48 18,74 18,74 9,37 9,37 9,37 9,37 9,37 9,37 S ,05 40,03 20,02 20,02 10,01 10,01 10,01 10,01 10,01 10,01 S ,2 47,47 23,73 23,73 11,87 11,87 11,87 11,87 11,87 11,87 S ,91 53,27 26,64 26,64 13,32 13,32 13,32 13,32 13,32 13,32 S ,33 54,22 27,11 27,11 13,55 13,55 13,55 13,55 13,55 13,55 S ,82 53,88 26,94 26,94 13,47 13,47 13,47 13,47 13,47 13,47 S ,45 54,96 27,48 27,48 13,74 13,74 13,74 13,74 13,74 13,74 S ,47 54,98 27,49 27,49 13,75 13,75 13,75 13,75 13,75 13,75 S ,74 55,16 27,58 27,58 13,79 13,79 13,79 13,79 13,79 13,79 S ,56 55,04 27,52 27,52 13,76 13,76 13,76 13,76 13,76 13,76 S ,2 54,8 27,4 27,4 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 S ,63 54,42 27,21 27,21 13,61 13,61 13,61 13,61 13,61 13,61 S ,03 56,02 28,01 28,01 14,01 14,01 14,01 14,01 14,01 14,01 S ,75 58,5 29,25 29,25 14,63 14,63 14,63 14,63 14,63 14,63 S ,36 58,24 29,12 29,12 14,56 14,56 14,56 14,56 14,56 14,56 S ,29 56,86 28,43 28,43 14,21 14,21 14,21 14,21 14,21 14,21 S ,43 52,95 26,48 26,48 13,24 13,24 13,24 13,24 13,24 13,24 S ,22 50,15 25,07 25,07 12,54 12,54 12,54 12,54 12,54 12,54 S ,45 47,63 23,82 23,82 11,91 11,91 11,91 11,91 11,91 11,91 S ,32 44,21 22,11 22,11 11,05 11,05 11,05 11,05 11,05 11,05 Πίνακας 2-1 Πίνακας ποσοτήτων απλών ωριαίων προσφορών Όπου sb1-10 : τα βήματα της βηματικής συνάρτησης παραγωγής. Πίνακας τιμών απλών ωριαίων προσφορών για 24 ώρες. Όπως παρατηρείτε παρακάτω για την προσφορά S271 για κάθε ώρα της ημέρας δημιουργείται μια βηματική συνάρτηση δέκα βημάτων. 23

24 Υποβαλλόμενες τιμές απλών ωριαίων προσφορών Προσφορά Ώρες sb1 sb2 sb3 sb4 sb5 sb6 sb7 sb8 sb9 sb10 S ,07 6,1 9,5 10,17 10,85 12,21 13,57 14,24 15,6 16,96 S ,06 6,08 9,46 10,14 10,81 12,17 13,52 14,19 15,55 16,9 S ,06 6,09 9,48 10,15 10,83 12,18 13,54 14,21 15,57 16,92 S ,72 5,58 8,68 9,3 9,92 11,16 12,4 13,02 14,26 15,5 S ,49 5,24 8,15 8,74 9,32 10,48 11,65 12,23 13,39 14,56 S ,4 8,1 12,6 13,5 14,4 16, ,9 20,7 22,5 S ,86 16,29 25,34 27,15 28,96 32,58 36,2 38,01 41,64 45,26 S ,1 21,16 32,91 35,26 37,61 42,31 47,02 49,37 54,07 58,77 S ,53 21,8 33,91 36,34 38,76 43,6 48,45 50,87 55,72 60,56 S ,95 20,93 32,56 34,88 37,21 41,86 46,51 48,84 53,49 58,14 S ,96 20,93 32,57 34,89 37,22 41,87 46,52 48,85 53,5 58,15 S ,34 21,51 33,46 35,85 38,24 43,02 47,8 50,19 54,97 59,75 S ,82 20,73 32,25 34,56 36,86 41,47 46,07 48,38 52,99 57,59 S ,96 20,95 32,58 34,91 37,24 41,89 46,55 48,88 53,53 58,19 S ,24 21,35 33,22 35,59 37,96 42,71 47,45 49,83 54,57 59,32 S ,4 21,61 33,61 36,01 38,41 43,21 48,01 50,41 55,21 60,02 S ,68 22,02 34,25 36,7 39,15 44,04 48,93 51,38 56,27 61,17 S ,15 25,72 40,01 42,86 45,72 51,44 57,15 60,01 65,72 71,44 S ,05 27,08 42,12 45,13 48,14 54,16 60,17 63,18 69,2 75,22 S ,65 23,47 36,52 39,12 41,73 46,95 52,16 54,77 59,99 65,21 S ,27 21,4 33,3 35,67 38,05 42,81 47,57 49,94 54,7 59,46 S ,69 19,04 29,62 31,73 33,85 38,08 42,31 44,43 48,66 52,89 S ,57 14,36 22,33 23,93 25,52 28,71 31,9 33,5 36,69 39,88 S ,78 13,16 20,48 21,94 23,4 26,33 29,25 30,71 33,64 36,56 Πίνακας 2-2 Πίνακας τιμών απλών ωριαίων προσφορών Όπου sb1-10 : τα βήματα της βηματικής συνάρτησης παραγωγής. Πίνακας ποσοτήτων απλών ωριαίων προσφορών ζήτησης για 24 ώρες. Όπως παρατηρείτε παρακάτω για την προσφορά D1 για κάθε ώρα της ημέρας δημιουργείται μια βηματική συνάρτηση δέκα βημάτων. 24

25 Υποβαλλόμενες ποσότητες απλών ωριαίων προσφορών ζήτησης Προσφορά Ώρες db1 db2 db3 db4 db5 db6 db7 db8 db9 db10 D ,5 2227, , ,25 655, ,4 2358, ,2 786,15 655,13 D ,3 2136, , ,97 628, , , ,58 754,18 628,49 D ,9 2110, , ,31 620, ,1 2234,36 993,05 744,79 620,66 D ,2 2128, , ,78 625, , ,2 1001,42 751,07 625,89 D ,3 2184, , ,17 642, , , ,14 771,1 642,59 D ,3 2333,2 2058,7 1372,47 686, , , ,98 823,48 686,24 D ,9 2766,6 2441, ,41 813,7 2603, , ,93 976,45 813,7 D ,5 3105, , ,55 913, , , , ,93 913,28 D ,5 3160, , ,95 929, , , , ,37 929,48 D ,5 3140, , ,25 923, ,6 3325, ,8 1108,35 923,63 D ,9 3203, , ,51 942, , , , ,71 942,26 D ,6 3204, , ,14 942, , , , ,08 942,57 D ,6 3214, , ,14 945, , , , ,68 945,57 D ,7 3207, , ,03 943, , , , ,22 943,51 D ,7 3194, ,4 1878,93 939, , , , ,36 939,47 D ,9 3172, , ,91 932, , , , ,55 932,95 D ,1 3265, , ,69 960, ,1 3457, , ,41 960,34 D , ,7 2005,8 1002,9 3209, , , , ,9 D ,6 3394, , ,74 998, , , , ,04 998,37 D , ,1 1949,4 974,7 3119, , , ,64 974,7 D ,3 3086, , ,57 907, , , , ,34 907,79 D , , ,3 859, , , , ,58 859,65 D ,5 2776, , ,05 816, , , ,44 979,83 816,53 D ,9 2576, , ,81 757,9 2425,3 2728, ,65 909,49 757,9 Πίνακας 2-3 Ποσοτήτων απλών ωριαίων προσφορών ζήτησης Όπου db1-10 : τα βήματα της βηματικής συνάρτησης ζήτησης Πίνακας τιμών απλών ωριαίων προσφορών ζήτησης για 24 ώρες. Όπως παρατηρείτε παρακάτω για την προσφορά D1 για κάθε ώρα της ημέρας δημιουργείται μια βηματική συνάρτηση δέκα βημάτων. Υποβαλλόμενες τιμές απλών ωριαίων προσφορών ζήτησης 25

26 Προσφορά Ώρες db1 db2 db3 db4 db5 db6 db7 db8 db9 db10 D ,85 16,42 14,99 14,28 12,85 11,42 10, ,28 D ,79 16,36 14,94 14,23 12,81 11,38 10,67 9,96 9,25 D ,81 16,39 14,96 14,25 12,83 11,4 10,69 9,97 9,26 D ,31 15,01 13,7 13,05 11,75 10,44 9,79 9,13 8,48 D ,32 14,1 12,87 12,26 11,03 9,81 9,2 8,58 7,97 D ,69 21,79 19,9 18,95 17,06 15,16 14,21 13,26 12,32 D ,64 43,83 40,02 38,11 34,3 30,49 28,58 26,68 24,77 D ,86 56,91 51,96 49,49 44,54 39,59 37,12 34,64 32,17 D ,75 58,65 53, ,9 40,8 38,25 35,7 33,15 D ,2 56,3 51,41 48,96 44,06 39,17 36,72 34,27 31,82 D ,21 56,32 51,42 48,97 44,07 39,18 36,73 34,28 31,83 D ,9 57,87 52,84 50,32 45,29 40,26 37,74 35,22 32,71 D ,63 55,77 50,93 48,5 43,65 38,8 36,38 33,95 31,53 D ,25 56,35 51, ,1 39,2 36,75 34,3 31,85 D ,44 57,44 52,45 49,95 44,96 39,96 37,46 34,96 32,47 D ,17 58,12 53,07 50,54 45,49 40,43 37,91 35,38 32,85 D ,39 59,24 54,09 51,51 46,36 41,21 38,63 36,06 33,48 D ,2 69,18 63,17 60,16 54,14 48,13 45,12 42,11 39,1 D ,18 72,84 66,51 63,34 57,01 50,67 47,51 44,34 41,17 D ,64 63,15 57,66 54,91 49,42 43,93 41,18 38,44 35,69 D ,59 57,58 52,57 50,07 45,06 40,06 37,55 35,05 32,55 D ,67 51,22 46,77 44,54 40,09 35,63 33,41 31,18 28,95 D ,97 38,62 35,26 33,58 30,22 26,86 25,18 23,51 21,83 D ,49 35,41 32,33 30,79 27,71 24,63 23,09 21,55 20,01 Πίνακας 2-4 Τιμών απλών ωριαίων προσφορών ζήτησης Όπου db1-10 : τα βήματα της βηματικής συνάρτησης ζήτησης Πίνακας των μπλοκ προσφορών (απλών και προφίλ) με τις αντίστοιχες τιμές και ποσότητες τους για 24 ώρες. 26

27 Block ID S/D Χώρα Linked Linked BO Τιμή[ /MWh] Ποσότητα[MWh] BO637 1 Γερμανία , ,99 BO638 1 Γερμανία , ,59 BO639 1 Γερμανία , ,99 BO640 1 Γερμανία , ,59 BO641 1 Γερμανία , ,99 BO642 1 Γερμανία , ,59 BO643 1 Γερμανία , ,01 BO644 1 Γερμανία , ,01 BO645 1 Γερμανία , ,01 BO646 1 Γερμανία , ,06 Πίνακας 2-5Α Μπλοκ προσφορών 27

28 BO BO BO BO BO BO BO BO BO BO Πίνακας 5Β Μπλοκ προσφορών 28

29 Πίνακας ευέλικτων ωριαίων προσφορών παραγωγής και ζήτησης. Προσφορά S/D Ποσότητα[MWh] Τιμή[ /MWh] Περιοχή FHO ,34 Γερμανία FHO ,34 Ολλανδία FHO ,34 Βέλγιο FHO ,34 Γαλλία FHO ,26 Γερμανία FHO ,34 Ολλανδία FHO ,34 Βέλγιο FHO ,26 Γαλλία Πίνακας 2-6 Ευέλικτων ωριαίων προσφορών παραγωγής και ζήτησης S(1): Ευέλικτη ωριαία προσφορά παραγωγής D(2): Ευέλικτη ωριαία προσφορά ζήτησης Πίνακες διαθέσιμης μεταφερόμενης χωρητικότητας (ATC) εναλλασσόμενων γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας. Γερμανία Ολλανδία Βέλγιο Γαλλία Γερμανία Ολλανδία Βέλγιο Γαλλία Πίνακας 2-7 Διαθέσιμης μεταφερόμενης χωρητικότητάς 29

30 Πίνακας συντελεστών Μεταφοράς ισχύος (PTDF) μαζί με την αντίστοιχη μέγιστη ισχύ αντοχής των γραμμών (RAM) για Τ1. Πίνακας συντελεστών Μεταφοράς ισχύος Ώρες Γραμμές NP_BE NP_DE NP_FR NP_NL RAM 1 l_79-0,1371 0, , , l_88-0, , , , l_122-0, , ,0856 0, l_196-0, , , , l_227 0, ,0035-0, , l_229 0,0263 0, , , l_237 0, , , , l_ l_335-0,1122-0, , , l_371 0,2819-0, , , l_436-0, ,0062-0, , l_451-0, ,0035 0, , l_ l_467 0, , , , l_ l_508 0, , , , l_510 0, , , , l_532 0, , , , l_ l_594-0, , , , l_ Πίνακας 2-8 Συντελεστών Μεταφοράς ισχύος και αντοχής των γραμμών 3 Ανάλυση των δυο συγκρινόμενων μοντέλων 3.1 Μαθηματική διατύπωση του μοντέλου EUTERPE - Μοντελοποίηση Οι συμβολισμοί που θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω για τη μαθηματική διατύπωση των αγορών περιγράφονται ομαδοποιημένα σε κατηγορίες (σύνολα, παράμετροι, μεταβλητές, συναρτήσεις). 30

31 Σύνολα και Δείκτες a A t T b B d D s S bo BO Σύνολο των περιοχών προσφορών. Σύνολο των περιόδων συναλλαγών εντός μίας ημέρας συναλλαγών (τυπικά, η περίοδος είναι μία ώρα). Σύνολο των βημάτων των προσφορών έγχυσης και των δηλώσεων φορτίου. Σύνολο των δηλώσεων φορτίου που υποβάλλονται στην περιοχή προσφορών. Σύνολο των προσφορών έγχυσης που υποβάλλονται στην περιοχή προσφορών α. Σύνολο των προφίλ ή απλών μπλοκ προσφορών (block orders) που υποβάλλονται στην περιοχή προσφορών α. fho FHO Σύνολο των ευέλικτων ωριαίων προσφορών παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. sd SD bd BD l L Σύνολο διακριτών βημάτων των προσφορών παραγωγής ενέργειας, της ποσότητας ενέργειας και της τιμής της. Σύνολο διακριτών βημάτων των προσφορών έγχυσης ενέργειας, της ποσότητας ενέργειας και της τιμής της. Σύνολο των διασυνδέσεων. Παράμετροι t P sb t Q sb t t P db Q db t P bo Q bo P fho Q fho Ζευγάρι τιμής-ποσότητας του βήματος b της ωριαίας τιμολογούμενης προσφοράς έγχυσης s κατά την περίοδο συναλλαγής t, σε /MWh και MWh, αντίστοιχα. Ζευγάρι τιμής-ποσότητας του βήματος b της ωριαίας τιμολογούμενης δήλωσης φορτίου d κατά την περίοδο συναλλαγών t, σε /MWh και MWh, αντίστοιχα. Ζευγάρι τιμής-ποσότητας της μπλοκ προσφοράς bo, σε /MWh και MWh, αντίστοιχα. Ζευγάρι τιμής-ποσότητας της ευέλικτης ωριαίας προσφοράς fhο, σε /MWh και MWh, αντίστοιχα 31

32 F lt max min R bo Μέγιστη διαθέσιμη μεταφορική ισχύς της διασύνδεσης l κατά την περίοδο συναλλαγών t, σε MW. Ελάχιστο Ποσοστό Εκκαθάρισης της μπλοκ προσφοράς bo, σε p.u. lt PTDF a,aa Συντελεστής Κατανομής Μεταφοράς Ισχύος της διασύνδεσης Εναλλασσόμενου Ρεύματος l για τη μεταφορά ενέργειας μεταξύ των περιοχών προσφορών α και α' κατά την περίοδο συναλλαγών t, σε p.u. A d a A s a a A bo a A fho Παράμετρος που δηλώνει αν η προσφορά d ανήκει στην περιοχή α Παράμετρος που δηλώνει αν η προσφορά s ανήκει στην περιοχή α Παράμετρος που δηλώνει αν η μπλοκ προσφορά bo ανήκει στην περιοχή Παράμετρος που δηλώνει αν η ευέλικτη ωριαία προσφορά fho ανήκει στην περιοχή α t ATC a,aa Πίνακας διαθέσιμης μεταφερόμενης χωρητικότητας Θετικές μεταβλητές t e a,aa Διμερής ανταλλαγή μεταξύ της περιοχής προσφορών α και της περιοχής προσφορών α', κατά την περίοδο συναλλαγών t, σε MWh. t x db t x sb x bo Ποσοστό εκκαθάρισης του βήματος b της τιμολογούμενης δήλωσης φορτίου d κατά την περίοδο συναλλαγών t. Ποσοστό εκκαθάρισης του βήματος b της τιμολογούμενης προσφοράς έγχυσης s) κατά την περίοδο συναλλαγών t. Ποσοστό εκκαθάρισης της μπλοκ προσφοράς bo. Συνεχείς μεταβλητές p at Καθαρή θέση της περιοχής προσφορών α κατά την περίοδο συναλλαγών, σε MWh. 32

33 Δυαδικές Μεταβλητές u bo t u fho Κατάσταση εκκαθάρισης της μπλοκ προσφοράς bo. Κατάσταση εκκαθάρισης της ωριαίας ευέλικτης προσφοράς fho κατά την περίοδο συναλλαγών t. Διαμόρφωση προβλήματος Το συνολικό πρόβλημα μεγιστοποίησης του ημερήσιου κοινωνικού ωφέλους διατυπώνεται ως εξής: Αντικειμενική συνάρτηση MMMMMM [PP dddd dd bb QQ dddd [QQ bbbb PP bbbb xx bbbb ] bbbb xx dddd ] [PP ssss QQ ssss xx ssss ] ss bb PP ffhoo QQ ffhoo uu ffhoo ffhoo (3.1) όπου η εξίσωση (3.1) είναι η αντικειμενική συνάρτηση που στοχεύει στη μεγιστοποίηση του συνολικού κοινωνικού ωφέλους. Σύμφωνα και με την παραπάνω εξίσωση, το συνολικό κοινωνικό πλεόνασμα ισούται με το πλεόνασμα των προμηθευτών φορτίου μείον το συνολικό κόστος προσφοράς όλων των απλών ωριαίων, μπλοκ και ευέλικτων ωριαίων προσφορών έγχυσης. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης υπόκειται στους παρακάτω περιορισμούς (3.2) έως (3.10) που αναπαριστούν τους κανόνες εκκαθάρισης. Περιορισμοί αγοράς xx ssss 1 ss SS, bb BB, TT (3.2) xx dddd 1 dd DD, bb BB, TT (3.3) 33

34 οι περιορισμοί (3.2) και (3.3) δηλώνουν τα άνω όρια για την εκκαθάριση των απλών ωριαίων προσφορών έγχυσης και δηλώσεων φορτίου. mmmmmm RR bbbb uu bbbb xx bbbb bbbb BBBB (3.4) xx bbbb uu bbbb bbbb BBBB (3.5) Οι περιορισμοί (3.4) και (3.5) επιβάλλουν πως η κατάσταση εκκαθάρισης μίας προφίλ μπλοκ προσφοράς θα είναι πάντα ίση με μηδέν ή μεταξύ του ελάχιστου και του μέγιστου ποσοστού εκκαθάρισής της. Στην περίπτωση της απλής μπλοκ mmmmmm προσφοράς ισχύει RR bbbb =1. uu ffhoo 1 TT ffhoo FFFFFF (3.6) Ο περιορισμός (3.6) παρουσιάζει τη συνθήκη εκκαθάρισης των ευέλικτων ωριαίων προσφορών. Περιορισμοί ισοζυγίου ισχύος pp aaaa = [AA aa ss QQ ssss ss bb aa + AA ffhoo ffhoo xx ssss ] QQ ffhoo uu ffhoo + [AA aa bbbb bbbb QQ bbbb xx bbbb ] [AA aa dd QQ dddd dd bb xx dddd ] aa AA, TT (3.7) pp aaaa = aaaa ee aa,aaaa ee aaaa,aa aa AA, TT (3.8) Η εξίσωση (3.7) δίνει την καθαρή θέση της περιοχής προσφορών α κατά την περίοδο συναλλαγών t. Η εξίσωση (3.8) εκφράζει την ωριαία εξίσωση ισοζυγίου ισχύος για κάθε περιοχή προσφορών α. Η καθαρή Θέση της περιοχής α είναι ίση με τις διμερείς ανταλλαγές ενέργειας μεταξύ αυτής της περιοχής και όλων των γειτονικών περιοχών της. Αν οι περιοχές προσφορών α και α' δεν συνδέονται με διασύνδεση τότε ee aa,aaaa = 0. 34

35 Περιορισμοί ροής ισχύος llll PPPPPPPP aa,aaaa aa aaaa ee aa,aaaa FF llll mmmmmm ll LL, TT (3.9) ee αα,αααα AATTTT aa,aaaa aa AA, aaaa AA, TT (3.10) Η εξίσωση (3.9) χρησιμοποιείται για την μοντελοποίηση των ροών ισχύος εναλλασσόμενου ρεύματος με τους συντελεστές PTDF και η εξίσωση (3.10) εκφράζει τον περιορισμό του δικτύου από το μοντέλο ATC Επαναληπτικός αλγόριθμος EUTERPE Ο προτεινόμενος αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος επίλυσης της πανευρωπαϊκής ημερήσιας αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιεί μία επαναληπτική διαδικασία, ως εξής: Αρχικά επιλύεται το συνολικό πρόβλημα Μικτού Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού και λαμβάνονται οι βέλτιστα εκκαθαριζόμενες ποσότητες όλων των προσφορών. Υπολογίζονται οι ΤΕA για κάθε περιοχή προσφορών και κάθε περίοδο συναλλαγών μέσω της εξίσωσης. Ο αλγόριθμος πραγματοποιεί έλεγχο για τον προσδιορισμό της ύπαρξης Παραδόξως Αποδεκτών Προσφορών (ΠΑΠ). Σε περίπτωση που o παραπάνω έλεγχος δεν ικανοποιείται, τότε λαμβάνονται διορθωτικές δράσεις και ο αλγόριθμος συνεχίζει με το πρώτο βήμα. Διαφορετικά, ο αλγόριθμος τερματίζει. Παρακάτω βλέπουμε το διάγραμμα ροής του αλγορίθμου. 35

36 Εικόνα 8 - Διάγραμμα ροής αλγορίθμου Παραδόξως Αποδεκτές Προσφορές Η παρουσία Παραδόξως Αποδεκτών Προσφορών (ΠΑΠ) ή Paradoxically Accepted Orders (PAOs) στις ημερήσιες δημοπρασίες των Ευρωπαϊκών αγορών ηλεκτρικής ενέργειας έχει εντοπιστεί από όλα τα Χρηματιστήρια Ενέργειας που επιτρέπουν την υποβολή μπλοκ προϊόντων. Η εμφάνισή τους αποδίδεται στη συμπερίληψη αδιαίρετων μπλοκ και ευέλικτων ωριαίων προσφορών, η άμεση μοντελοποίηση των οποίων απαιτεί την χρησιμοποίηση δυαδικών ακέραιων μεταβλητών στο συνολικό πρόβλημα βελτιστοποίησης. Με αυτόν τον τρόπο, το πρόβλημα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως ένα μη-κυρτό πρόβλημα Μικτού Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού (non-convex Mixed Integer Linear Program). Ως αποτέλεσμα, γενικά δε μπορούν να οριστούν ΤΕΑ που υποστηρίζουν το ισοζύγιο της αγοράς και 36

37 παρουσιάζονται "άλματα τιμών" στην τελική λύση, όπου μία προσφορά μπορεί να γίνει αποδεκτή ή να απορριφθεί σε αντίθεση με τα σήματα της αγοράς. Το πρόβλημα της τιμολόγησης με μη-κυρτότητα έχει αναλυθεί εκτεταμένα στη βιβλιογραφία, ενώ οι προαναφερθείσες προσφορές χαρακτηρίζονται ως Παραδόξως Αποδεκτές / Απορριπτόμενες Προσφορές και είναι ανεπιθύμητες τόσο για τα Χρηματιστήρια Ενέργειας όσο και για τους συμμετέχοντες σε αυτά. Παρότι και οι δύο τύποι προσφορών δείχνουν να είναι προβληματικοί, τα Ευρωπαϊκά Χρηματιστήρια Ενέργειας αποκλείουν μόνο τις Παραδόξως Αποδεκτές Προσφορές (ΠΑΠ) από τη λύση εκκαθάρισης της αγοράς, καθώς αυτές οι συναλλαγές συνεπάγονται αρνητικό πλεόνασμα για τους συμμετέχοντες που τις υποβάλλουν. Από την άλλη πλευρά, μία Παραδόξως Απορριπτόμενη Προσφορά συνιστά μία χαμένη ευκαιρία για τον αντίστοιχο συμμετέχοντα της αγοράς σε θεωρητικό επίπεδο, εφόσον το πρόβλημα Μικτού Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού δεν μπόρεσε να παράξει μία «οικονομικά συμβατή» ΤΕΑ. Για την αποδοτική διαχείριση του παραπάνω προβλήματος, τα περισσότερα Χρηματιστήρια Ενέργειας ιστορικά έχουν υιοθετήσει επαναληπτικές επιλύσεις, στοχεύοντας στην εξεύρεση μίας λύσης κατά την οποία οι τελικές υπολογιζόμενες ΤΕΑ δεν οδηγούν σε ΠΑΠ. Επιπλέον, διάφοροι ερευνητές έχουν προτείνει μεθοδολογίες που βασίζονται στη Λαγκρατζιανή χαλάρωση (Lagrangian relaxation), στο διζωνικό προγραμματισμό (bi-level programming), σε επαναληπτικές διαδικασίες ή σε άμεση μοντελοποίηση των ΤΕA ως μεταβλητών στο πρόβλημα βελτιστοποίησης, για την αποδοτική διαχείριση των ΠΑΠ. Σε όλες τις περιπτώσεις, η τελική επίλυση εκκαθάρισης της αγοράς δεν συμπεριλαμβάνει καμία εκκαθαρισμένη μπλοκ προσφορά η οποία να επιφέρει ζημία στον αντίστοιχο συμμετέχοντα Έλεγχος Παραδόξως Αποδεκτών Προσφορών Ο χειρισμός των Παραδόξως Αποδεκτών Προσφορών (ΠΑΠ) πραγματοποιείται μέσω μίας επαναληπτικής μεθοδολογίας. Σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου πραγματοποιείται ένας εκ των υστέρων υπολογισμός, κατά τον οποίο υπολογίζεται το συνολικό πλεόνασμα των μπλοκ και των ωριαίων ευέλικτων προσφορών (με βάση τις ΤΕΑ που έχουν προκύψει), ως ακολούθως: WW bbbb = (AA αα bbbb ππ aaaa ) PP bbbb TT aa AA QQ bbbb xx bbbb bbbb BBBB WW ffhoo = AA αα ffhoo ππ aaaa PP ffhoo TT aa AA QQ ffhoo uu ffhoo ffhoo FFFFFF 37

38 όπου xx bbbb και uu ffhoo είναι οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών xx bbbb και uu ffhoo, όπως αυτές προκύπτουν από την επίλυση του προβλήματος σε κάθε τρέχουσα επανάληψη του αλγορίθμου. Εάν το υπολογιζόμενο πλεόνασμα είναι αρνητικό, υποδηλώνοντας ότι η αντίστοιχη προσφορά εκκαθαρίστηκε παρότι η τελική μέση ΤΕΑ ήταν μικρότερη από την τιμή της υποβληθείσας προσφοράς (στην περίπτωση μίας προσφοράς έγχυσης), τότε αυτή η προσφορά χαρακτηρίζεται ως "Παραδόξως Αποδεκτή" (bbbb BBBB pppp και ffhoo FHO pa ) και προστίθενται στο πρόβλημα βελτιστοποίησης οι ακόλουθοι περιορισμοί: uu bbbb 0 bbbb BBBB pppp uu ffhoo 0 ffhoo FFFFFF pppp, TT Με αυτόν τον τρόπο, όλες οι Παραδόξως Αποδεκτές και Ευέλικτες Ωριαίες Προσφορές ουσιαστικά απομακρύνονται από το Βιβλίο Προσφορών. 3.2 Μαθηματική διατύπωση του μοντέλου VAN VYVE - Μοντελοποίηση Όπως παραπάνω μοντελοποιήσαμε το πρόβλημα μικτού ακεραίου προγραμματισμού (MIP) με τον επιλυτή EUTERPE, σε αυτό το σημείο θα μοντελοποιήσουμε το ίδιο πρόβλημα με την μέθοδο VAN VYVE. Αυτή η μέθοδος επιλύει το πρόβλημα όπως το EUTERPE, με την διαφορά ότι αφαιρεί τις παραδόξως αποδεκτές προσφορές (PAOs) από το βιβλίο προσφορών χωρίς την επαναληπτική διαδικασία ελέγχου με την οποία λειτουργεί ο επιλυτής EUTERPE. Αυτό επιτυγχάνεται με την προσθήκη στο πρωτεύον πρόβλημα (primal problem) κάποιον επιπλέον περιορισμών που μας επιτρέπουν να γίνει αυτό. Αυτοί οι περιορισμοί βασίζονται στην χαλάρωση των μεταβλητών του πρωτεύοντος προβλήματος, όπως επίσης και στην θεωρεία της δυϊκότητας Οι επιπλέον συμβολισμοί που θα χρησιμοποιηθούν στο δυϊκό πρόβλημα για τη μαθηματική διατύπωση του μοντέλου VAN VYVE περιγράφονται παρακάτω. Αντικειμενική συνάρτηση MMMMMM [PP dddd dd bb QQ dddd [QQ bbbb PP bbbb xx bbbb ] bbbb xx dddd ] [PP ssss QQ ssss xx ssss ] ss bb PP ffhoo QQ ffhoo uu ffhoo ffhoo 38