Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1

2 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό σημείο της περιοχής των εφικτών λύσεων οδηγούμαστε σε κάθε επανάληψη από ένα ακραίο σημείο (κορυφή) της περιοχής των εφικτών λύσεων σε ένα άλλο, γειτονικό με το προηγούμενο, το οποίο αντιστοιχεί σε καλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να εντοπισθεί η βέλτιστη λύση Ο αλγόριθμος Simplex μπορεί να περιγραφεί προγραμματιστικά είτε με μορφή ταμπλό είτε με μορφή πινάκων Ο αλγόριθμος Simplex έχει εκθετική πολυπλοκότητα στη χειρότερη περίπτωση αλλά μόνο πολυωνυμική πολυπλοκότητα στη μέση περίπτωση Εντοπισμός βέλτιστης λύσης Ταχύτατη εκτέλεση στις περισσότερες περιπτώσεις Παροχή επιπλέον πληροφοριών «οικονομικής φύσεως» σε σχέση με τη λύση 2

3 Μετατροπή του προβλήματος ΓΠ σε τυπική μορφή Οι υπολογισμοί της μεθόδου Simplex επιβάλλουν δύο απαιτήσεις στους περιορισμούς του μοντέλου ΓΠ: Όλοι οι περιορισμοί να είναι ισότητες με μη αρνητικό δεξί μέλος Όλες οι μεταβλητές να είναι μη αρνητικές Για να μετατραπεί ένα πρόβλημα ΓΠ σε τυπική μορφή (standard form) χρησιμοποιούνται χαλαρές (slack) και πλεονασματικές (surplus) μεταβλητές έτσι ώστε οι ανισότητες των περιορισμών να μετατραπούν σε ισότητες και το πρόβλημα να λάβει την ακόλουθη μορφή: max z = C T X s. t. AX = B X 0 Προκειμένου να μετατραπεί μια ανισότητα σε εξίσωση θα πρέπει να προστεθεί μια χαλαρή μεταβλητή στο αριστερό μέλος του περιορισμού (π.χ.) 3x1 + 2x2 10 3x1 + 2x2 + s1 = 10 Αντίστοιχα για να μετατραπεί μια ανισότητα σε εξίσωση θα πρέπει να αφαιρεθεί μια μεταβλητή πλεονασμού από το αριστερό μέλος του περιορισμού (π.χ.) 2x1 + 5x2 + 2x3 11 2x1 + 5x2 + 2x3 s1 = 11 Αν το αριστερό μέλος μιας εξίσωσης είναι μη αρνητικό τότε μπορεί να μετατραπεί σε θετικό πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το -1 (π.χ.) 2x1 3x2 + s1 = 3 2x1 + 3x2 s1 = 3 3

4 Σημασία των χαλαρών και των πλεονασματικών μεταβλητών Οι χαλαρές μεταβλητές (ή μεταβλητές περιθωρίου) αφορούν περιορισμούς τύπου και αναπαριστούν την ποσότητα κατά την οποία το αριστερό μέλος ενός περιορισμού υπολείπεται του μέγιστου ορίου του περιορισμού Οι πλεονασματικές μεταβλητές αφορούν περιορισμούς τύπου και αναπαριστούν την ποσότητα κατά την οποία το αριστερό μέλος ενός περιορισμού ξεπερνά το ελάχιστο όριο του περιορισμού Τόσο για τις χαλαρές όσο και για τις πλεονασματικές μεταβλητές ισχύει ότι: αντιπροσωπεύουν την ποσότητα ενός πόρου που δεν χρησιμοποιείται μπορούν να συμπεριληφθούν στην αντικειμενική συνάρτηση με μηδενικούς συντελεστές 4

5 Μη περιορισμένες (ελεύθερες) μεταβλητές Μια μη υποκείμενη σε περιορισμούς μεταβλητή x μπορεί να αναπαρασταθεί με χρήση δύο μη αρνητικών μεταβλητών ως εξής: x = x + x, x + 0, x 0 Η θεωρία του ΓΠ αποδεικνύει ότι δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα θετικές και οι δύο μεταβλητές x + και x 5

6 Αριθμός πιθανών λύσεων Σε ένα σύστημα εξισώσεων με m εξισώσεις και n μη αρνητικές μεταβλητές για το οποίο m < n, οι βασικές λύσεις αντιστοιχούν σε κορυφές του χώρου της γραφικής λύσης Αν θέσουμε τις n m από τις μεταβλητές ίσες με μηδέν τότε προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων m m που μπορεί να έχει μια λύση (εφόσον η λύση είναι μοναδική) Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε n m μεταβλητές από n μεταβλητές είναι: n choose(n, n m) = n m = n! n m! m! Άρα το μέγιστο πλήθος των γωνιακών σημείων που μπορούν να είναι υποψήφια για βέλτιστη λύση είναι n! n m!m! Για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα με m = 2 εξισώσεις και 4! n = 4 μη αρνητικές μεταβλητές υπάρχουν = 4! = 6 4 2!2! 2!2! γωνιακά σημεία Ο αριθμός των γωνιακών σημείων αυξάνεται δραματικά καθώς αυξάνεται ο αριθμός των μεταβλητών και των περιορισμών (π.χ. για m=10 και n=20 τα γωνιακά σημεία είναι ) Η απαρίθμηση όλων των γωνιακών σημείων είναι υπολογιστικά ασύμφορη, αλλά η μέθοδος Simplex εντοπίζει τη βέλτιστη λύση εξετάζοντας ένα μικρό υποσύνολο από το σύνολο όλων των σημείων 6

7 Βασικές και μη βασικές μεταβλητές Βασικές (BV= Basic Variables) λέγονται οι μεταβλητές που λαμβάνουν μη μηδενικές τιμές και μη βασικές (NBV=Non Basic Variables) λέγονται οι μεταβλητές που λαμβάνουν μηδενικές τιμές στην τρέχουσα λύση του προβλήματος ΓΠ Το σύνολο των βασικών μεταβλητών καλείται βάση (basis) της λύσης που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο πίνακα Ο αριθμός των βασικών μεταβλητών ισούται με το πλήθος των περιορισμών του προβλήματος Ο αριθμός των μη βασικών μεταβλητών ισούται με το πλήθος των μεταβλητών του προβλήματος 7

8 Η επαναληπτική διαδικασία Simplex 1. Έλεγχος κριτηρίου βελτιστοποίησης 2. Επιλογή από τις μη βασικές μεταβλητές της μεταβλητής που θα γίνει βασική Αντί να απαριθμεί όλες τις βασικές λύσεις, ο αλγόριθμος Simplex διερευνά έναν ελάχιστο αριθμό επιλεγμένων λύσεων 3. Επιλογή της βασικής μεταβλητής που θα αντικατασταθεί 4. Υπολογισμός νέων τιμών στο ταμπλό με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς και επιστροφή στο βήμα 1 8

9 Εφαρμογή της Simplex σε πρόβλημα ΓΠ (παράδειγμα 1) Πρόβλημα μεγιστοποίησης 9

10 Αναπαράσταση ταμπλό συντελεστές κόστους για όλες τις μεταβλητές μοναδιαίος πίνακας συντελεστές κόστους για τις βασικές μεταβλητές Cj C j Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s s s s Wj Cj-Wj υπολογίζεται όταν επιλεγεί η μη βασική μεταβλητή που θα μπει στη βάση τιμές των βασικών μεταβλητών δυϊκές τιμές υπολειμματικό κόστος κόστος της λύσης 10

11 Ταμπλό 1 στοιχείο οδηγός στήλη οδηγός γραμμή οδηγός Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s /6=4 0 s /1=6 0 s s Wj Cj-Wj Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x1) {s1,s2,s3,s4}={24/6=4, 6/1=6, -, -} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s1 11

12 Μετασχηματισμοί γραμμών Gauss-Jordan Στη γραμμή οδηγό Αντικατάσταση της εξερχόμενης μεταβλητής στη στήλη με τις βασικές μεταβλητές με την εισερχόμενη μεταβλητή Διαίρεση των στοιχείων της γραμμής οδηγού με το στοιχείο οδηγό προκειμένου να προκύψει η νέα γραμμή οδηγού Στις γραμμές των υπόλοιπων βασικών μεταβλητών Νέα γραμμή = τρέχουσα γραμμή συντελεστής στήλης οδηγού στη τρέχουσα γραμμή * νέα γραμμή οδηγού Η στήλη της εισερχόμενης μεταβλητής x1 θα πρέπει να έχει 1 στη γραμμή οδηγό και 0 σε όλα τα στοιχεία της στήλης οδηγού που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες βασικές μεταβλητές R1 R2 R3 R4 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s /6=4 0 s /1=6 0 s s Wj Cj-Wj R1 R1/6, R2 R2-R1, R3 R3+R1, R4 R4 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 4/6 1/ /6 0 s /6 0-1/ /6 0 s /6 0+1/ /6 0 s Wj Cj-Wj

13 Ταμπλό 1 Ταμπλό 2 R1 R1/6 R2 R2-R1 R3 R3+R1 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 0 s s s s Wj Cj-Wj Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 1 είναι: x1=0, x2=0, z=0 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 2/3 1/ /(2/3)=6 0 s2 0 4/3-1/ /(4/3)=1.5 0 s3 0 5/3 1/ /(5/3)=3 0 s /1=2 Wj 5 10/3 5/ Cj-Wj 0 2/3-5/ Μεταβλητή που θα γίνει βασική x2 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {x1,s2,s3,s4}={6, 1.5, 3, 2} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x2 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s2 13

14 Ταμπλό 2 Ταμπλό 3 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x1 1 2/3 1/ s2 0 4/3-1/ s3 0 5/3 1/ s Wj 5 10/3 5/ Cj-Wj 0 2/3-5/ R2 R2/(4/3) R1 R1-(2/3)*R2 R3 R3-(5/3)*R2 R4 R4-R2 Cj C j Basis x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS Ratio 5 x x s s Wj Cj-Wj Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=4, x2=2, z=20 Η βέλτιστη λύση είναι: x1 = 3 x2=1.5 z=21 Όλες οι τιμές είναι μη θετικές, άρα καθώς το πρόβλημα είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση 14

15 Επίλυση με το LiPS Αντιστοιχήσεις ονομάτων μαθηματικού μοντέλου και LiPS x1 x1 x2 x2 s1 s3 s2 s4 s3 s5 s4 s6 15

16 Σύνοψη της μεθόδου Simplex Συνθήκη βελτιστότητας: Η εισερχόμενη μεταβλητή σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης είναι η μη βασική μεταβλητή με την πιο θετική τιμή στη γραμμή υπολειμματικού κόστους του πίνακα Simplex (οι ισοπαλίες επιλύονται αυθαίρετα). Η βέλτιστη τιμή έχει επιτευχθεί όταν όλοι οι τιμές στη γραμμή υπολειμματικού κόστους είναι αρνητικοί ή μηδέν Συνθήκη εφικτότητας: Τόσο για τα προβλήματα μεγιστοποίησης όσο και για τα προβλήματα ελαχιστοποίησης, η εξερχόμενη μεταβλητή είναι η βασική μεταβλητή που έχει τον μικρότερο μη αρνητικό λόγο με αυστηρά θετικό παρονομαστή (οι ισοπαλίες επιλύονται αυθαίρετα) Μετασχηματισμοί γραμμών Gauss-Jordan Στη γραμμή οδηγό (pivot) Αντικατάσταση της εξερχόμενης μεταβλητής στην στήλη Basis με την εισερχόμενη μεταβλητή (νέα γραμμή οδηγός) = (τρέχουσα γραμμή οδηγός) / (στοιχείο οδηγό) Στις υπόλοιπες γραμμές (νέα γραμμή) = (τρέχουσα γραμμή) (συντελεστής τρέχουσας γραμμής στη στήλη οδηγό)*(νέα γραμμή οδηγός) 16

17 Παράδειγμα 2 (ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ) Το σύστημα εξισώσεων έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις, άρα έχει άπειρες λύσεις Θέτοντας x1 = 0 και x2 = 0 προκύπτει ως λύση: s1 = 960, s2 = 400, s3 = 420 που θα αποτελέσει και την αρχική λύση της Simplex 17

18 Ταμπλό 1 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s /8 0 s /4 0 s /4 Wj Cj-Wj Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x1) {s1,s2,s3}={120,100,105} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s2 Για να αυξηθεί η τιμή της x1 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθούν οι τιμές των s1, s2, s3 κατά 8,4,4 μονάδες αντίστοιχα Η γραμμή Wj υποδηλώνει το κατά πόσο θα μειωθεί το συνολικό κέρδος αν η αντίστοιχη μεταβλητή αυξηθεί κατά μια μονάδα (μόνο μείωση, δεν εξετάζεται η πιθανή αύξηση) Η γραμμή Cj Wj υποδηλώνει την καθαρή επίπτωση στο συνολικό κέρδος (αύξηση κέρδους ή μείωση κέρδους) που θα σημειωθεί αν η αντίστοιχη μεταβλητή αυξηθεί κατά μια μονάδα 18

19 Ταμπλό 1 Ταμπλό 2 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s s s Wj Cj-Wj Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 1 είναι: x1=0, x2=0, z=0 R2 R2/4 R1 R1 8*R2 R3 R3 4*R2 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s /4 140 x1 1 1/2 0 1/ /(1/2) 0 s /1 Wj Cj-Wj Μεταβλητή που θα γίνει βασική x2 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {s1,x1,s3}={40,200,20} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x2 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s3 19

20 Ταμπλό 2 Ταμπλό 3 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s x1 1 1/2 0 1/ s Wj Cj-Wj Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=100, x2=0, z=14000 Η γραμμή R3 μένει ως έχει διότι έχει ήδη συντελεστή στη στήλη x2 που είναι 1 R1 R1 4*R3 R2 R2 (1/2)*R3 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 s3 RHS Ratio 0 s x /4-1/ x Wj Cj-Wj Όλες οι τιμές της γραμμής Cj-Wj είναι αρνητικές ή μηδέν, άρα ο αλγόριθμος Simplex τερματίζει Η λύση που περιγράφει το τελικό ταμπλό (ταμπλό 3) είναι x1=90, x2=20, z=

21 Επίλυση με το LiPS 21

22 Προβλήματα ελαχιστοποίησης Στα προβλήματα ελαχιστοποίησης η μέθοδος Simplex τροποποιείται στα ακόλουθα σημεία σε σχέση με τη μέθοδο Simplex για τα προβλήματα μεγιστοποίησης: Κριτήριο εισερχόμενης μεταβλητής: επιλέγεται από τη γραμμή υπολειμματικού κόστους η μεταβλητή με την πλέον αρνητική τιμή Κριτήριο βελτιστότητας: η μέθοδος σταματά όταν δεν υπάρχουν πλέον αρνητικές τιμές στη γραμμή υπολειμματικού κόστους Εναλλακτικά μπορεί να πολλαπλασιαστεί η συνάρτηση κόστους με το 1 έτσι ώστε το πρόβλημα να γίνει μεγιστοποίησης Τα προβλήματα πρέπει να έχουν μόνο περιορισμούς με μη αρνητικά δεξιά μέλη αλλιώς θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν επιπλέον τεχνικές έτσι ώστε να επιτευχθεί η εκκίνηση του αλγορίθμου Simplex 22

23 Εφαρμογή της Simplex σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης 23

24 Ταμπλό 1 Το κριτήριο τερματισμού της Simplex σε προβλήματα ελαχιστοποίησης είναι ότι θα πρέπει όλα τα στοιχεία της γραμμής Cj-Wj να είναι θετικά ή μηδέν Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s /5=1 0 s /5=2 Wj Cj-Wj Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x1) {s1,s2}={1, 2} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s1 24

25 Ταμπλό 1 Ταμπλό 2 R1 R1/5 R2 R2-5*R1 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s s Wj Cj-Wj Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=0, x2=0, z=0 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio -4 x /0.2=5 0 s /2=2.5 Wj Cj-Wj Μεταβλητή που θα γίνει βασική x2 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {x1,s2}={5, 2.5} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x2 και να εξέλθει από τη βάση η μεταβλητή s2 25

26 Ταμπλό 2 Ταμπλό 3 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio -4 x /0.2=5 0 s /2=2.5 Wj Cj-Wj Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio -4 x x Wj Cj-Wj Η λύση που περιγράφει το ταμπλό 2 είναι: x1=1, x2=0, z=-4 Όλες οι τιμές είναι μη αρνητικές άρα έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση (καθώς πρόκειται για πρόβλημα ελαχιστοποίησης) Η λύση είναι: x1 = 0.5 x2 = 2.5 z = -7 26

27 Εναλλακτική προσέγγιση στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης μετατροπή σε πρόβλημα μεγιστοποίησης 27

28 Τεχνητές μεταβλητές Αν το μοντέλο ΓΠ περιέχει περιορισμούς με ισότητες ή με ανισότητες τύπου τότε θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν τεχνητές μεταβλητές (artificial variables) που θα «παίξουν» το ρόλο των χαλαρών μεταβλητών στις πρώτες επαναλήψεις της μεθόδου Simplex Στις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου Simplex οι τεχνητές μεταβλητές καταργούνται Οι μέθοδοι που μπορούν να χειριστούν τέτοιου είδους προβλήματα είναι η μέθοδος του μεγάλου M και η μέθοδος των δύο φάσεων 28

29 Η μέθοδος Big-M Στη μέθοδο του μεγάλου Μ αν μια εξίσωση δεν έχει χαλαρή μεταβλητή τότε προστίθεται μια τεχνητή μεταβλητή A έτσι ώστε να δημιουργηθεί μια αρχική λύση στην οποία να συμμετέχουν όλες οι χαλαρές μεταβλητές Για να εξαναγκαστούν οι τεχνητές μεταβλητές να έχουν μηδενικές τιμές όταν θα βρεθεί η βέλτιστη λύση, επιβάλλεται ποινή για αυτές τις μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση Ο συντελεστής των μεταβλητών στη συνάρτηση κόστους είναι μια μεγάλη θετική τιμή Μ και το πρόσημό του εξαρτάται από το εάν το πρόβλημα είναι μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης Κανόνες εφαρμογής της μεθόδου του μεγάλου Μ Αν ένας περιορισμός έχει μορφή ισότητας τότε προστίθεται μια τεχνητή μεταβλητή στον περιορισμό Αν ένας περιορισμός είναι της μορφής τότε αφαιρείται μια πλεονασματική μεταβλητή και προστίθεται μια τεχνητή μεταβλητή στον περιορισμό Σε προβλήματα μεγιστοποίησης κάθε τεχνητή μεταβλητή προστίθεται στη συνάρτηση κόστους με συντελεστή το -Μ Σε προβλήματα ελαχιστοποίησης κάθε τεχνητή μεταβλητή προστίθεται στη συνάρτηση κόστους με συντελεστή το +Μ Αν στην τελευταία επανάληψη της μεθόδου υπάρχει τουλάχιστον μια τεχνητή μεταβλητή με θετική τιμή τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση 29

30 Παράδειγμα της μεθόδου Μ Η 3 η εξίσωση έχει τη δική της χαλαρή μεταβλητή, αλλά η 1 η και η 2 η δεν έχουν Προσθέτουμε την τεχνητή μεταβλητή A1 στη 1 η εξίσωση Προσθέτουμε την τεχνητή μεταβλητή A2 στη 2 η εξίσωση Προσθέτουμε τις τεχνητές μεταβλητές με τον όρο M*A1+M*A2 στην αντικειμενική συνάρτηση (καθώς το πρόβλημα είναι ελαχιστοποίησης) Η αρχική βάση είναι οι μεταβλητές Α1,Α2,s2 με τιμές 3,6,4 αντίστοιχα 30

31 Αρχικό ταμπλό μέθοδος μεγάλου Μ Cj M M Cj Basis x1 x2 s1 s2 A1 A2 RHS Ratio M Α /3=1 M Α /4=1.5 0 s /1=4 Wj 7M 4M -M 0 M M 0 Cj-Wj 4-7M 1-4M M Μεταβλητή που θα γίνει βασική x1 Λόγοι: RHS/(συντελεστής στήλης x2) {A1,A2,s2}={1,1.5,4} Άρα επιλέγεται να εισέλθει στη βάση η μεταβλητή x1 και να εξέλθει από τη βάση η τεχνητή μεταβλητή Α1 31

32 Η μέθοδος των δύο φάσεων Στη μέθοδο Μ, η χρήση του μεγάλου αριθμού Μ μπορεί να δημιουργήσει σφάλματα στρογγυλοποίησης κατά την εκτέλεση σε Η/Υ Η μέθοδος των δύο φάσεων εξαλείφει εξ ολοκλήρου τη χρήση της σταθεράς Μ Η μέθοδος των δύο φάσεων είναι αυτή η οποία χρησιμοποιείται στην πράξη Σύνοψη της μεθόδου των δύο φάσεων Φάση Ι: Το πρόβλημα διατυπώνεται με τη μορφή εξισώσεων και προστίθενται (όπως στη μέθοδο του μεγάλου Μ) στις εξισώσεις των περιορισμών οι τεχνητές μεταβλητές όπου απαιτούνται. Στη συνέχεια βρίσκεται μια βασική λύση οι οποία ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τεχνητών μεταβλητών. Αν η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι θετική τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση, αλλιώς η μέθοδος συνεχίζεται στη φάση ΙΙ Φάση ΙΙ: Χρήση της εφικτής λύσης που εντοπίστηκε στη φάση Ι ως βασικής εφικτής λύσης για το αρχικό πρόβλημα 32

33 Παράδειγμα με τη μέθοδο δύο φάσεων Phase I η ολοκλήρωση της φάσης Ι θα δώσει z = 0 x1 = 0.6 x2 = 1.2 s2 = 1 Phase II η ολοκλήρωση της φάσης ΙΙ θα δώσει z = 3.4 x1 = 0.4 x2 =

34 Επίλυση με το LiPS (μέθοδος δύο φάσεων) Αντιστοιχήσεις ονομάτων μαθηματικού μοντέλου και LiPS x1 x1 x2 x2 A1 s5 s1 s3 A2 s6 s2 s4 Στο τέλος της φάσης ΙΙ αποχωρούν οι μεταβλητές s5 και S6 34

35 Εκφυλισμός Όταν μια βασική μεταβλητή λάβει την τιμή μηδέν τότε η λύση λέγεται εκφυλισμένη (degenerate) Η βασική μεταβλητή λαμβάνει την τιμή μηδέν όταν στην προηγούμενη επανάληψη της Simplex έχει προκύψει ισοπαλία για το ελάχιστο πηλίκο και έχει επιλεγεί μια από τις βασικές μεταβλητές για εξαγωγή από τη βάση Ο εκφυλισμός μπορεί, θεωρητικά, να προκαλέσει τις επαναλήψεις της Simplex να εισέλθουν σε άπειρο βρόχο με αποτέλεσμα ο αλγόριθμος να μην τερματίζει ποτέ Η κατάσταση αυτή είναι μια ένδειξη ότι το μοντέλο διαθέτει τουλάχιστον ένα πλεονάζοντα περιορισμό 35

36 Παράδειγμα εκφυλισμού Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 0 s /4=2 0 s /2=2 Wj Cj-Wj Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 9 x2 1/4 1 1/ s2 1/2 0-1/ Wj 9/4 9 9/ Cj-Wj 3/4 0-9/4 0 Cj Cj Basis x1 x2 s1 s2 RHS Ratio 9 x /2-1/ x Wj 3 9 3/2 3/2 18 Cj-Wj 0 0-3/2-3/2 η x2 εισέρχεται στη βάση και η s1 επιλέγεται αυθαίρετα ανάμεσα στις s1 και s2 και αποχωρεί από τη βάση η x1 εισέρχεται στη βάση και η s2 αποχωρεί από τη βάση η λύση είναι βέλτιστη με z=18, x1=0, x2=2 36

37 Πλεονασμός περιορισμών Προκύπτει ότι x2 0 από τους περιορισμούς: x3 0 x2 + x3 0 x2 x3 37

38 Μη πλεονασμός περιορισμών Η μοναδική εφικτή λύση είναι το σημείο: x = 1, y = 1 Αν αφαιρεθεί οποιοσδήποτε περιορισμός τότε ο χώρος των εφικτών λύσεων γίνεται μια περιοχή 38

39 Εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Σε ένα πρόβλημα ΓΠ μπορεί να υπάρχουν άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις Αυτό συμβαίνει όταν η αντικειμενική συνάρτηση είναι παράλληλη προς κάποιο μη πλεονάζοντα δεσμευτικό περιορισμό Δεσμευτικοί περιορισμοί είναι οι περιορισμοί οι οποίοι ικανοποιούνται ως εξισώσεις στη βέλτιστη λύση 39

40 Μη φραγμένες λύσεις Σε ένα πρόβλημα ΓΠ μπορεί ο χώρος των λύσεων να μην είναι φραγμένος για μια τουλάχιστον μεταβλητή και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να μπορεί να αυξάνεται απεριόριστα (σε πρόβλημα μεγιστοποίησης) χωρίς να παραβιάζεται κάποιος περιορισμός Ένας μη φραγμένος χώρος είναι μια ένδειξη ότι το μοντέλο είναι ανεπαρκώς διατυπωμένο (αυτό μπορεί να έχει συμβεί διότι κάποιοι περιορισμοί δεν έχουν ληφθεί υπόψη) 40

41 Μη εφικτές λύσεις Αν οι περιορισμοί σε ένα πρόβλημα ΓΠ είναι ανακόλουθοι μεταξύ τους τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση Ένα πρόβλημα χωρίς εφικτές λύσεις υποδεικνύει ότι το πρόβλημα πιθανότατα δεν είναι ορθά διατυπωμένο Αν μια τουλάχιστον τεχνητή μεταβλητή είναι θετική όταν έχει εντοπιστεί η βέλτιστη λύση τότε αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση 41

42 Συμπεριφορά της Simplex σε ειδικές περιπτώσεις Περίπτωση Εκφυλισμένες λύσεις Άπειρες λύσεις Μη φραγμένο πρόβλημα Μη εφικτές λύσεις Ταμπλό Simplex Μια βασική μεταβλητή λαμβάνει τιμή μηδέν (υποδηλώνει ύπαρξη πλεονασματικού περιορισμού) Μια μη βασική μεταβλητή με μη μηδενικό συντελεστή στη συνάρτηση κόστους έχει τιμή 0 στη γραμμή Cj-Wj (υπολειμματικό κόστος) Για τη μη βασική μεταβλητή που πρόκειται να εισαχθεί στη βάση δεν υπάρχει βασική μεταβλητή με θετικό λόγο που θα μπορούσε να εξέλθει Μια τεχνητή μεταβλητή είναι βασική μεταβλητή στο τελικό ταμπλό Simplex 42

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π.

Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π. Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1 Γραφική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. n j = j = 1, 2,, n

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. n j = j = 1, 2,, n KΕΦΑΛΑΙΟ 6 Γραµµικός Προγραµµατισµός 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γραµµικός προγραµµατισµός (Γ.Π.) είναι µια µέθοδος βελτιστοποίησης που εφαρµόζεται για την επίλυση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 69 2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να λαμβάνει υπόψη το δυναμικό περιβάλλον των συνεχών αλλαγών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΔΙΚΤΥΩΤΗΣ SIMPLEX NETWORK SIMPLEX ΑΓΟΥΡΙΔΗ ΓΕΩΡΓΙΑ Α.Μ. 286

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Γεωμετρία

Υπολογιστική Γεωμετρία Υπολογιστική Γεωμετρία 1ο Μέρος: Κυρτότητα(γ) Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εαρ.2015 Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 1) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει και να υπογραμμίσει τη σημασία της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα