ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ"

Transcript

1 (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου URL:

2 Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού τρόπου ικανοποίησης των απαιτήσεων n σημείων ζήτησης χρησιμοποιώντας τις δυναμικότητες m σημείων εφοδιασμού. Προσπαθώντας να βρεθεί ο καλύτερος τρόπος, πρέπει να ληφθεί υπόψη το μεταβλητό κόστος μεταφοράς του προϊόντος από ένα σημείο εφοδιασμού σε ένα σημείο ζήτησης ή κάποιος παρόμοιος περιορισμός.

3 Μοντέλο μεταφοράς Οι επιχειρήσεις παράγουν προϊόντα σε τοποθεσίες που λέγονται πηγές' και αποστέλλουν αυτά τα προϊόντα σε τοποθεσίες πελατών που λέγονται προορισμοί. Κάθε πηγή έχει περιορισμένο ποσότητα που μπορεί να αποστείλει και κάθε προορισμός (πελάτης) πρέπει να παραλάβει μία απαιτούμενη ποσότητα του προϊόντος. Τα μόνα πιθανά φορτία είναι εκείνα που μεταφέρονται απευθείας από μία πηγή σ έναν προορισμό. Τα προβλήματα με τα παραπάνω χαρακτηριστικά ονομάζονται «προβλήματα μεταφοράς». Αυτά τα προβλήματα περιλαμβάνουν την αποστολή ενός ομογενούς προϊόντος από ένα σύνολο σημείων παροχής σ ένα σύνολο σημείων ζήτησης. 3

4 Ένα τυπικό πρόβλημα μεταφοράς απαιτεί τρία σύνολα αριθμών: Δυναμικότητες (ή παροχές) Υποδηλώνουν το μέγιστο που μπορεί να αποστείλει κάθε θέση παραγωγής σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. Ζητήσεις (ή απαιτήσεις) Τυπικά εκτιμώνται από κάποιο τύπο μοντέλου πρόβλεψης. Συνήθως οι ζητήσεις βασίζονται σε ιστορικά δεδομένα της ζήτησης των πελατών. Μοναδιαίο κόστος αποστολής Προσδιορίζεται από ανάλυση του κόστους μεταφοράς. 4

5 Το πρόβλημα μεταφοράς ή αποστολής περιλαμβάνει τον καθορισμό της ποσότητας των αγαθών ή τεμαχίων που θα μεταφερθούν από ένα σύνολο πηγών σ ένα σύνολο προορισμών. Ο συνήθης αντικειμενικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς ή του συνόλου των αποστάσεων που πρέπει να διανυθούν. Τα προβλήματα μεταφοράς είναι μία ειδική περίπτωση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού. Για την επίλυσή τους έχει αναπτυχθεί ένας ειδικός αλγόριθμος. Το πρόβλημα: Δεδομένων των αναγκών στις τοποθεσίες ζήτησης, πώς θα έπρεπε να εκλάβουμε την περιορισμένη παροχή στις τοποθεσίες παροχής και να μετακινήσουμε τα αγαθά. Ο στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς. 5

6 Βασική ιδέα Στόχος: Η ελαχιστοποίηση του κόστους Μεταβλητές: Οι ποσότητες των προϊόντων που μεταφέρεται από κάθε σημείο παροχής σε κάθε σημείο ζήτησης. Περιορισμοί: - Μη αρνητικά φορτία - Διαθεσιμότητα φορτίων σε κάθε σημείο παροχής - Ανάγκη ζήτησης σε κάθε σημείο ζήτησης 6

7 Βασικά μεγέθη προβλημάτων μεταφοράς Συμβολισμός Μεταβλητή m n a i b j c ij x ij C Πηγές (θέσεις παραγωγής) Προορισμοί (θέσεις κατανάλωσης) Δυναμικότητα (ή ικανότητα παραγωγής) της πηγής i Ανάγκες (ζήτηση ή κατανάλωση) του προορισμού j Μοναδιαίο κόστος μεταφοράς από την πηγή i στον προορισμό j Ποσότητα μονάδων που αποστέλλεται από την πηγή i στον προορισμό j Συνολικό κόστος μεταφοράς 7

8 Μαθηματικό μοντέλο min C = c x + c x c n x n + c x + c x c n x n c m x m + c m x m c mn x mn με τους περιορισμούς δυναμικότητας: x + x x n = a x + x x n = a... x m + x m x mn = a m τους περιορισμούς αναγκών: x + x x m = b x + x x m = b... x n + x n x mn = b n καθώς και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας x ij 0, i,j 8

9 Το πρότυπο μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς min C = m i n j c ij x ij με τους περιορισμούς n j x ij = a i m i x ij = bj και x ij 0, όπου i =,,..., m και j =,,..., n 9

10 Το πρόβλημα αυτό έχει δυνατές λύσεις μόνο αν το σύνολο των δυναμικοτήτων των πηγών είναι ίσο προς το σύνολο των αναγκών των προορισμών, όταν δηλαδή: n j ai m n m = b i = x ij i j i 0

11 Παραδοχές Το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς είναι ανεξάρτητο από τη μεταφερόμενη ποσότητα Η παροχή και ζήτηση είναι γνωστές και ανεξάρτητες από την τιμή χρέωσης του προϊόντος Η διαθέσιμη χωρητικότητα των μεταφορικών μέσων για αποστολή σε οποιαδήποτε διαδρομή είναι απεριόριστη Μεταφέρεται ένα μόνο είδος εμπορεύματος

12 Τυποποιημένη μορφή πίνακα μεταφοράς j i () () (n) a i () x () x (m) c c... x m c m x c x c x m c m x n c n x n c n x mn c mn a a... a m b j b b b n Σa i = Σ b j

13 Παράδειγμα προβλήματος μεταφοράς Μία μεταλλευτική εταιρεία εξορύσσει το βασικό προϊόν που εμπορεύεται από τρία λατομεία, έστω Λ, Λ και Λ 3. Η εβδομαδιαία παραγωγή του κάθε λατομείου είναι 75, 50 και 75 τόνοι χαλικιού αντίστοιχα. Το προϊόν που εξορύσσεται πρέπει να μεταφερθεί σε πέντε κύριους καταναλωτές, έστω Κ, Κ, Κ 3, Κ 4 και Κ 5, οι οποίοι χρειάζονται για τις ανάγκες τους 00, 60, 40, 75 και 5 τόνους χαλικιού ανά εβδομάδα αντίστοιχα. Το πρόβλημα που απασχολεί τη διοίκηση της εταιρείας είναι η ελαχιστοποίηση του απαιτούμενου κόστους για τη μεταφορά της ποσότητας του προϊόντος στους καταναλωτές. Για το σκοπό αυτό έγινε αναλυτική κοστολόγηση, η οποία έδωσε τα αποτελέσματα του ακόλουθου πίνακα (τα αριθμητικά δεδομένα συμβολίζουν το κόστος μεταφοράς σε ανά τόνο χαλικιού). 3

14 Πίνακας κόστους μεταφοράς χαλικιού Καταναλωτές Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λατομεία Λ 4 4 Λ

15 Μέθοδοι εύρεσης αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Μέθοδος βορειοδυτικής γωνίας (Northwest corner method). Μέθοδος ελάχιστου κόστους (Minimum cost method) 3. Μέθοδος Vogel (Vogel method) 5

16 Μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας. Εκχωρείται στο βορειοδυτικό (επάνω αριστερό) κελί η μέγιστη δυνατή ποσότητα ανάλογα με την προσφορά και τη ζήτηση της αντίστοιχης γραμμής ή στήλης. Η προσφορά της γραμμής και η ζήτηση της στήλης προσαρμόζονται κατάλληλα.. Διαγράφεται είτε η γραμμή της οποίας η προσφορά έχει εξαντληθεί είτε η στήλη της οποίας η ζήτηση έχει ικανοποιηθεί. 3. Αν έχουν εξαντληθεί όλες οι προσφορές και έχουν ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις τότε ΤΕΛΟΣ, διαφορετικά: μεταφορά στο βήμα. 6

17 Πιο αναλυτικά: Ξεκινώντας από το κελί (, ) δίνεται στη μεταβλητή x ij η μέγιστη δυνατή τιμή, η οποία είτε ικανοποιεί τις ανάγκες του προορισμού j είτε εξαντλεί την υπόλοιπη δυναμικότητα της πηγής i, και συγκεκριμένα τη μικρότερη από τις δύο ποσότητες. Κατόπιν δίνεται τιμή στη μεταβλητή x ij+ στην πρώτη περίπτωση ή στη μεταβλητή x i+j στη δεύτερη περίπτωση. Προφανώς, λόγω των ιδιοτήτων του προβλήματος μεταφοράς, με την τιμή της τελευταίας μεταβλητής x mn ικανοποιούνται ταυτόχρονα η δυναμικότητα της πηγής m και οι ανάγκες του προορισμού n. Η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας είναι απλή στη χρήση της, ωστόσο δε χρησιμοποιεί καθόλου τις δαπάνες αποστολής. Μπορεί να δώσει εύκολα μια αρχική βασική δυνατή λύση, αλλά το αντίστοιχο συνολικό κόστος αποστολής μπορεί να είναι υψηλό. 7

18 Αρχική δυνατή λύση με τη μέθοδο της βορειοδυτικής γωνίας Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ K min = 765 8

19 Μέθοδος ελάχιστου κόστους Η μέθοδος του ελάχιστου κόστους χρησιμοποιεί τα κόστη αποστολής, έτσι ώστε να καταλήξει σε μία βασική δυνατή λύση που έχει χαμηλότερο κόστος. Για να ξεκινήσει η μέθοδος εντοπίζεται αρχικά η μεταβλητή x ij με το μικρότερο κόστος αποστολής. Κατανέμεται στη μεταβλητή x ij η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που είναι το ελάχιστο από τα αντίστοιχα a i και b j. Κατόπιν, όπως στη μέθοδο της βορειοδυτικής γωνίας, διαγράφεται η γραμμή i ή η στήλη j και ελαττώνεται η παροχή ή η ζήτηση της μη διαγραφείσας γραμμής ή στήλης κατά την ποσότητα x ij. Το επόμενο κελί με το ελάχιστο κόστος αποστολής επιλέγεται ανάμεσα από αυτά που δε βρίσκονται στη διαγραφείσα γραμμή ή στήλη. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου εξαντληθούν όλες οι δυναμικότητες και ικανοποιηθούν όλες οι ζητήσεις. 9

20 Αρχική δυνατή λύση με τη μέθοδο του ελάχιστου κόστους Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ K min = 70 0

21 Μέθοδος Vogel Βήματα μεθοδολογίας. Προσθήκη - κάτω και δεξιά του πίνακα μεταφοράς - μίας νέας γραμμής και μίας νέας στήλης με στοιχεία τη διαφορά των δύο μικρότερων στοιχείων κόστους κάθε γραμμής και κάθε στήλης αντίστοιχα.. Επιλογή του μεγαλύτερου στοιχείου των δύο νέων ευθειών που προστέθηκαν στον πίνακα μεταφοράς. 3. Εύρεση του μικρότερου στοιχείου της γραμμής i ή της στήλης j, στην οποία ανήκει το στοιχείο που προσδιορίσθηκε στο βήμα. 4. Κατανομή της τιμής x ij = min(a i, b j ) στο δρομολόγιο που αντιστοιχεί στη θέση του μικρότερου στοιχείου, προκειμένου να ικανοποιηθεί η δυναμικότητα μίας πηγής ή η ζήτηση ενός προορισμού.

22 5. Αν εξαντλείται η δυναμικότητα μίας πηγής, τότε η ζήτηση b j του αντίστοιχου προορισμού μειώνεται κατά την ποσότητα a i. Αντίθετα, εάν ικανοποιείται η ζήτηση ενός προορισμού, τότε η δυναμικότητα a i της αντίστοιχης πηγής μειώνεται κατά b j. Η πηγή (γραμμή) ή ο προορισμός (στήλη) που ικανοποιήθηκε διαγράφεται και δε λαμβάνεται υπόψη στη συνέχεια. Κάθε φορά που επαναλαμβάνεται η παραπάνω διαδικασία εξαντλείται η δυναμικότητα μίας πηγής ή ικανοποιούνται οι ανάγκες ενός προορισμού. Η εφαρμογή της μεθόδου τερματίζεται όταν ικανοποιηθούν ταυτόχρονα η δυναμικότητα της τελευταίας γραμμής και οι ανάγκες της τελευταίας στήλης. Η λύση που προκύπτει με τον τρόπο αυτό είναι δυνατή, διότι ικανοποιεί όλες τις δυναμικότητες και όλες τις ανάγκες.

23 Επαναληπτικά βήματα μεθόδου Vogel ος κύκλος Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Διαφορά Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ 75 Λ 4 4 Λ 50 Λ Λ Διαφορά ος κύκλος Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Διαφορά Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ 4 4 Λ 50 Λ 3 Λ Διαφορά

24 3 ος κύκλος Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Διαφορά Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ 4 4 Λ 50 Λ 3 Λ Διαφορά ος κύκλος Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Διαφορά Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ 3 4 Λ Λ 4 Λ 50 Λ 3 Λ Διαφορά ος κύκλος Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Διαφορά Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ 4 Λ Λ 3 Λ Διαφορά

25 6 ος κύκλος Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Διαφορά Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ 4 Λ Λ 3 Λ Διαφορά

26 Αρχική βασική δυνατή λύση (μέθοδος Vogel) Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ K min = 640 6

27 Εκφυλισμένη αρχική λύση Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ

28 Αρχική λύση που δεν είναι πλέον εκφυλισμένη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ 00 ε 00+ε Λ Λ ε

29 Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων μεταφοράς Αρχικό βήμα Δημιουργία μίας αρχικής βασικής δυνατής λύσης χρησιμοποιώντας μία από τις μεθόδους προσδιορισμού αρχικής λύσης. Μεταφορά στον κανόνα τερματισμού. Επαναληπτικό βήμα. Καθορισμός της μεταβλητής που θα εισέλθει στη βάση: Επιλογή της μη βασικής μεταβλητής x ij με τη μεγαλύτερη αρνητική διαφορά c ij - u i - v j. Καθορισμός της μεταβλητής που θα εξέλθει από τη βάση: Αναγνώριση του βρόχου που έχει ως κορυφές βασικές μόνο μεταβλητές. Κατανομή στην εισερχόμενη μεταβλητή της μεγαλύτερης δυνατής ποσότητας. Για τον προσδιορισμό της επιλέγεται μεταξύ των δρομολογίων-δοτών εκείνο που έχει τη μικρότερη τιμή. Η αντίστοιχη μεταβλητή εξέρχεται από τη βάση. 9

30 3. Προσδιορισμός της νέας βασικής δυνατής λύσης: Πρόσθεση της ποσότητας θ σε κάθε δρομολόγιο-λήπτη και αφαίρεσή της από κάθε δρομολόγιο-δότη, έτσι ώστε να μη παραβιάζονται οι περιορισμοί πηγών και προορισμών. Κανόνας τερματισμού Υπολογισμός των στοιχείων u i και v j. [Συνιστάται η επιλογή της ευθείας με το μεγαλύτερο πλήθος βασικών δρομολογίων, κατανομών, δίνοντας στο αντίστοιχο u i (v j ) την τιμή μηδέν και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων c ij = u ι + v j για κάθε βασικό δρομολόγιο (i,j)] Έλεγχος αριστότητας της λύσης: Αν για κάθε μη βασικό δρομολόγιο (i,j), ισχύει η σχέση u i + v j <= c ij τότε η λύση είναι άριστη Τέλος. Σε αντίθετη περίπτωση, μεταφορά στο επαναληπτικό βήμα. 30

31 Λ - Λ -0 Λ 3 - Διαδοχικά βήματα εύρεσης της άριστης λύσης η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j u i 75 * θ θ * θ * 50-θ

32 Η μεγαλύτερη ποσότητα που μπορεί να μετακινηθεί από το δρομολόγιο Λ - Κ (εξερχόμενη μεταβλητή) στο δρομολόγιο Λ3 - Κ (εισερχόμενη μεταβλητή επειδή c 3 = u 3 - v = -(-)-4 = - < 0) είναι η θ max = 5. 3

33 Λ Λ 3 - η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j 4 3 u i 75-θ * θ * Λ * θ 5 5-θ

34 Συνολικό κόστος μεταφοράς: 75 Εισερχόμενη μεταβλητή : x 5 (c 5 -u -v 5 = -) Εξερχόμενη μεταβλητή : x 35 Μεταφερόμενη ποσότητα : θ max = 5 34

35 Λ Λ 3-3η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j 4 3 u i 50-θ θ * Λ θ θ

36 Συνολικό κόστος μεταφοράς : 640 (ίσο με εκείνο της μεθόδου Vogel) Εισερχόμενη μεταβλητή : x 4 (c 4 -u -v 4 = -) Εξερχόμενη μεταβλητή : x 34 Μεταφερόμενη ποσότητα : θ max = 5 36

37 Λ Λ 3-4η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j 4 3 u i Λ

38 Η λύση αυτή είναι η άριστη, εφόσον για κάθε μη βασική μεταβλητή x ij ισχύει η συνθήκη αριστότητας u i + v j c ij. Το ελάχιστο συνολικό κόστος μεταφοράς είναι 65. Επομένως το καλύτερο πρόγραμμα μεταφοράς και διανομής των 300 τόνων του παραγόμενου χαλικιού είναι το ακόλουθο: 5 τόνοι στον καταναλωτή Κ από το λατομείο Λ 5 - " - Κ " - Κ 5 60 τόνοι στον καταναλωτή Κ από το λατομείο Λ 40 - " - Κ " - Κ 4 από το λατομείο Λ 3 75 τόνοι στον καταναλωτή Κ 38

39 Εκφυλισμένη λύση Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ 00 ε 00+ε Λ Λ 3 θ ε

40 Λ η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j 4 3 u i 00 ε-θ * θ* 00+ε Λ θ 40 5-θ * 5 4 Λ θ 5-θ ε Με αστερίσκο (*) σημειώνονται όλα τα μη βασικά δρομολόγια, για τα οποία η διαφορά c ij -u i -v j είναι αρνητική. 40

41 Συνολικό κόστος μεταφοράς : 740 Εισερχόμενη μεταβλητή : x 5 (c 5 -u -v 5 = -3) Εξερχόμενη μεταβλητή : x Μέγιστη μεταφερόμενη ποσότητα : θ max = ε 4

42 Λ Λ 0 Λ 3 - η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j u i 00-θ ε+θ 00+ε * 60+ε ε * θ* 50+ε 5-ε-θ ε

43 Συνολικό κόστος μεταφοράς : 740 Εισερχόμενη μεταβλητή : x 3 (c 3 -u 3 -v = -) Εξερχόμενη μεταβλητή : x 35 Μέγιστη μεταφερόμενη ποσότητα : θ max = 5-ε 43

44 Λ 3-3η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j 4 3 u i Λ 75-θ 3 3 θ* ε Λ ε 40 5-ε ε+θ ε-θ ε

45 Συνολικό κόστος μεταφοράς : 665 Εισερχόμενη μεταβλητή : x 4 (c 4 -u -v 4 = -) Εξερχόμενη μεταβλητή : x 34 Μέγιστη μεταφερόμενη ποσότητα : θ max = 50+ε 45

46 Λ 0 Λ 3-4η επανάληψη Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 v j 3 4 u i 5 50+ε 5 00+ε Λ ε 40 5-ε ε

47 Για όλα τα μη βασικά δρομολόγια του τελευταίου πίνακα ισχύει η συνθήκη ui + vj cij, επομένως η τρέχουσα λύση είναι άριστη. Προκειμένου να αναγνωρισθεί αυτή η λύση, αρκεί η απαλοιφή της βοηθητικής μεταβλητής ε, η συνεισφορά της οποίας έχει πλέον ολοκληρωθεί. Μπορεί πλέον να προσδιοριστεί το συνολικό κόστος μεταφοράς ( 65) και το αναλυτικό πρόγραμμα μεταφοράς και διανομής των 300 τόνων του χαλικιού. 47

48 Άριστη λύση Κ Κ Κ 3 Κ 4 Κ 5 Λ Λ Λ

49 Έλλειψη ισορροπίας. Πλεονάζουσα παραγωγή m x ij j n x ij i a i b i (όπου i =,,...,m) (όπου j =,,...,n) m j i n a i b j i i Δημιουργία φανταστικού προορισμού (θέσης κατανάλωσης) Οι τιμές των στοιχείων της πρόσθετης στήλης που δημιουργείται εξαρτώνται από την τύπο και τα χαρακτηριστικά του εκάστοτε προβλήματος. 49

50 . Ελλειμματική παραγωγή m x ij j i n x ij i i b a i i (όπου i =,,...,m) (όπου j =,,...,n) m j i n a i b j i i Δημιουργία φανταστικής πηγής (θέσης παραγωγής) 50

51 Όσον αφορά στα στοιχεία της πρόσθετης γραμμής που δημιουργείται: Αν το κόστος έλλειψης της ποσότητας που πρέπει να μεταφερθεί σε έναν προορισμό είναι μηδενικό, το αντίστοιχο στοιχείο κόστους τίθεται ίσο με μηδέν. Αν η αδυναμία ικανοποίησης της ζήτησης συνεπάγεται ορισμένες οικονομικές επιπτώσεις (ποινικές ρήτρες, εκπτώσεις, κόστος καλής φήμης κλπ), τότε το κόστος σε κάθε θέση της πρόσθετης γραμμής ισούται με το αντίστοιχο μοναδιαίο κόστος έλλειψης. 5

52 3. Υποχρέωση ικανοποίησης Σε τέτοιες περιπτώσεις ο πίνακας μεταφοράς πρέπει να διαμορφωθεί με τρόπο ώστε το αντίστοιχο πρόσθετο δρομολόγιο της φανταστικής πηγής ή προορισμού να έχει οπωσδήποτε μηδενική τιμή (δηλ. δε θα συμμετέχει) στην τελική λύση. Για το σκοπό αυτό δίνεται στο στοιχείο κόστους αυτού του δρομολογίου μία πολύ μεγάλη θετική τιμή (Μ). Έτσι εξασφαλίζεται ότι αυτό το δρομολόγιο δεν πρόκειται να συμμετάσχει σε καμία περίπτωση στην τελική λύση. 5

53 4. Πλεονάζουσα ή ελλειμματική παραγωγή Είναι πιθανό σε ορισμένα προβλήματα μεταφοράς να μην είναι γνωστό εκ των προτέρων κατά πόσον η παραγωγή θα είναι πλεονάζουσα ή ελλειμματική. Αυτό μπορεί να συμβεί αν τα στοιχεία c ij της αντικειμενικής συνάρτησης παριστάνουν οικονομικά αποτελέσματα (κέρδος, ζημία ή κάποιο άλλο μέτρο αποτελεσματικότητας) από την ικανοποίηση των θέσεων κατανάλωσης. Κάποια απ' αυτά τα στοιχεία μπορεί να είναι αρνητικά. Ως εκ τούτου είναι ίσως πιο συμφέρον να μην ικανοποιηθεί καθόλου κάποια ζήτηση παρά το αντίστοιχο οικονομικό αποτέλεσμα να οδηγήσει σε ζημία. Για την αντιμετώπιση μίας τέτοιας κατάστασης προστίθενται στον αρχικό πίνακα μεταφοράς μία φανταστική πηγή (γραμμή) και ένας φανταστικός προορισμός (στήλη). Η δυναμικότητα και η ζήτηση των δύο πρόσθετων ευθειών πρέπει να είναι τέτοιες, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα να μην είναι υποχρεωτική ούτε η ικανοποίηση όλων των αναγκών κατανάλωσης ούτε η χρησιμοποίηση όλων των δυναμικοτήτων. 53

54 Επίλυση προβλημάτων μεγιστοποίησης Σε μία τέτοια περίπτωση στόχος είναι η μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Η μεθοδολογία εύρεσης της άριστης λύσης ενός τέτοιου προβλήματος είναι πολύ παρόμοια με αυτή των προβλημάτων ελαχιστοποίησης. Τα απαιτούμενα βήματα μετά τον προσδιορισμό μιας αρχικής βασικής λύσης μένουν αμετάβλητα. Η μόνη διαφορά αφορά στον κανόνα τερματισμού κατά τον έλεγχο αριστότητας της λύσης: Η τρέχουσα λύση είναι άριστη αν για κάθε μη βασικό δρομολόγιο ισχύει η σχέση: u i + v j c ij 54

55 Διαφοροποιήσεις στην εφαρμογή των μεθόδων εύρεσης αρχικής λύσης Μέθοδος βορειοδυτικής γωνίας: Καμία διαφορά. Μέθοδος ελάχιστου κόστους: Ουσιαστικά μετονομάζεται σε μέθοδο του μέγιστου κέρδους, οπότε διατηρώντας την ίδια λογική κατανέμεται κατά προτεραιότητα η μέγιστη δυνατή ποσότητα στο δρομολόγιο με το μέγιστο μοναδιαίο κέρδος. Μέθοδος Vogel: Οι διαφορές λόγω της συνθετότητάς της είναι περισσότερες: - Βήμα : Η πρόσθετη στήλη και γραμμή έχουν στοιχεία τις διαφορές των δύο μεγαλύτερων στοιχείων κέρδους κάθε γραμμής και κάθε στήλης αντίστοιχα. - Βήμα 3: Μέσα στον πίνακα μεταφοράς αναζητείται το μεγαλύτερο στοιχείο της κατάλληλης στήλης ή γραμμής. 55

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους

Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους Η θεωρία Weber Προσέγγιση του ελάχιστου κόστους Ο θεμελιωτής της θεωρίας χωροθέτησης της βιομηχανίας ήταν ο Alfred Weber, την οποία αρχικά παρουσίασε ο μαθηματικός Laundhart (1885). Ο A. Weber (1868-1958)

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Δημήτρης Μπάλιος ΘΕΩΡΙΑ Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Η επιχείρηση παράγει πολλά τεμάχια ενός μοναδικού προϊόντος (τυποποιημένο προϊόν) για μεγάλο χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Συγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ

Συγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ Καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο.. Εισαγωγή Το τέταρτο και τελευταίο στάδιο στη διαδικασία του αστικού συγκοινωνιακού σχεδιασµού είναι ο καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο (λεωφόρους,

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επανάληψης Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επανάληψης Επανάληψη με αρίθμηση DO = ,

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand 3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 213 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Μια κατασκευαστική εταιρεία ετοιμάζει την ενεργειακή μελέτη ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου 2.87 Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Μέχρις_ότου Ημορφή της δομής επανάληψης Μέχρις_ότου είναι: Μέχρις_ότου Συνθήκη Η ομάδα εντολών στο εσωτερικό της επανάληψης, εκτελείται μέχρις ότου ισχύει η συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ 1. Στην περίπτωση των εξωτερικών επιβαρύνσεων στην παραγωγή, η επιβολή ενός φόρου ανά µονάδα προϊόντος ίσου µε το µέγεθος της οριακής εξωτερικής επιβάρυνσης µπορεί να οδηγήσει:

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο 3.07 Να γραφεί αλγόριθμος που θα δημιουργεί πίνακα 100 θέσεων στον οποίο τα περιττά στοιχεία του θα έχουν την τιμή 1 και τα άρτια την τιμή 0. ΛΥΣΗ Θα δημιουργήσω άσκηση βάση κάποιων κριτηρίων. Δηλ. δεν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή Ποιότητας και Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος

Επιλογή Ποιότητας και Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος Επιλογή Ποιότητας και Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος - Τα προϊόντα που παράγουν οι επιχειρήσεις μπορούν να διαφοροποιούνται ως προς ένα πλήθος χαρακτηριστικών. Παράδειγμα: Τα αυτοκίνητα διαφοροποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Ειδικά Μοντέλα Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Μοντέλο μη αυτόματου εφοδιασμού (Economic Lot size) Αλγόριθμος Wagner-Whitin

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix)

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Εισάγει στην αγορά για την επόµενη χειµερινή περίοδο έξι νέα είδη γυναικείων ενδυµάτων µε µεγάλες προοπτικές πωλήσεων Η ζήτηση για τα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 01-013 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα