Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 28 Μαρτίου /36

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 28 Μαρτίου /36"

Transcript

1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 28 Μαρτίου /36

2 Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Σε αρκετά προβλήματα η μεταβλητή απόκρισης Y μπορεί επηρεάζεται από περισσότερες από μια ερμηνευτικές μεταβλητές, έστω X 1, X 2,..., X p. Μπορούμε να γενικεύσουμε το απλό γραμμικό μοντέλο για να διερευνήσουμε την εξάρτηση της Y από τις X 1, X 2,..., X p με μία σχέση της μορφής Y i = β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + + β p X ip + ε i δεδομένου δείγματος μεγέθους n από την εξαρτημένη και τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι για την i οστή παρατήρηση έχουμε μετρήσεις (Y i, X i1, X i2,..., X ip ) που θεωρούνται γνωστοί αριθμοί. Τα σφάλματα ε i θεωρούνται ανεξάρτητες τ.μ. με ε i N(0, σ 2 ), i = 1,..., n Οπως και στο απλό γραμμικό μοντέλο οι X 1, X 2,..., X p δεν θεωρούνται τ.μ. Για ευκολία, το πολλαπλό γραμμικό μοντέλο γράφεται με τη βοήθεια πινάκων ως Y = Xβ + ε (1) 2/36

3 Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση. όπου Y 1 1 X X 1p β 1 ε 1 Y 2 1 X X 2p β 2 ε 2 Y =, X =., β =, ε =, Y n 1 X n1... X np β p ε n Ο πίνακας X καλείται και πίνακας σχεδιασμού, Στο πολλαπλό μοντέλο θεωρούμε ότι τα σημεία δεν βρίσκονται «κοντά» σε μια ευθεία αλλά «κοντά» σε ένα (υπερ)επίπεδο p διαστάσεων. Εφόσον το τ.δ. ε αποτελείται από n ανεξάρτητες N(0, σ 2 ) τ.μ., κατά συνέπεια η από κοινού κατανομή του ε είναι N(0, σ 2 I n ) όπου I n είναι ο n n μοναδιαίος πίνακας. Άρα, Y N(Xβ, σ 2 I n ) δηλαδή ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική κατανομή. 3/36

4 Πολυδιάστατη κανονική κατανομή. Παρατήρηση: Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή ορίζεται ως όπου f(x 1,..., x k ) = x 1 x 2 x =, µ =. x k µ 1 µ 2. µ k 1 (2π) k/2 Σ 1/2 e 1 2 (x µ)t Σ 1 (x µ), Σ = σ 11 σ σ 1k σ 21 σ σ 2k σ k1 σ k2... σ kk όπου A T συμβολίζει ανάστροφο πίνακα, ο Σ είναι k k πίνακας με x T Σx > 0 για κάθε x 0, Σ η ορίζουσα του. Αποδεικνύεται ότι αν Z = (Z 1, Z 2,..., Z k ) N(µ, Σ) τότε Cov(Z i, Z j ) = σ ij. Δηλαδή ο Σ είναι ο πίνακας διασπορών - συνδιασπορών του Z - γράφουμε V(Z) = Σ. Επίσης, Z i N(µ i, σ ii ) δηλ. στη διαγώνιο βρίσκονται οι διασπορές των Z i. Οταν Σ = σ 2 I k τότε οι τ.μ. Z 1, Z 2,..., Z k είναι ανεξάρτητες κανονικές τ.μ. με διασπορά σ 2.. 4/36

5 Πολλαπλή Παλινδρόμηση: Εκτίμηση παραμέτρων. Θεώρημα 1: Με δεδομένο ότι Rank(X) = p, οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των παραμέτρων β του μοντέλου (1) δίνονται από την ˆβ = (X T X) 1 X T Y Απόδειξη: Η συνάρτηση πιθανοφάνειας της Y δεδομένων n παρατηρήσεων y 1,..., y n είναι η n L(β, σ 2 1 (y i µ) 2 1 (y Xβ) T (y Xβ) ) = (2π) 1/2 σ e 2σ 2 = (2π) n/2 σ n e 2σ 2 (2) i=1 και μεγιστοποιείται ως προς β όταν ελαχιστοποιείται το n (Y Xβ) T (Y Xβ) = ε T ε = ε 2 i. Παραγωγίζοντας ως προς β ( d d β = ( β 1, β 2,..., β n )) έχουμε ότι d d β (Y Xβ)T (Y Xβ) = d d β (YT Y Y T Xβ + β T X T Xβ) = 2X T Y + 2X T Xβ Η παραπάνω παράγωγος (δηλ. το διάνυσμα των μερικών παραγώγων) είναι ίση με 0 όταν i=1 5/36

6 Πολλαπλή Παλινδρόμηση: Εκτίμηση παραμέτρων. X T Xβ = Y T Y. (κανονικές εξισώσεις) (3) Στην περίπτωση του μοντέλου (1) η (3) είναι ένα p p σύστημα που έχει μοναδική λύση όταν υπάρχει ο αντίστροφος του X T X. Για να υπάρχει ο (X T X) 1 θα πρέπει να ισχύει Rank(X T X) = min(n, p) = p το οποίο όμως ικανοποιείται γιατί από την υπόθεση του θεωρήματος, Rank(X) = p και ξέρουμε από τη γραμμική άλγεβρα ότι αυτό συνεπάγεται και ότι Rank(X T X) = p. Άρα ο αντίστροφος υπάρχει οπότε, λύνοντας την (3) ως προς β παίρνουμε ˆβ = (X T X) 1 X T Y το οποίο τελειώνει την απόδειξη. Σημείωση: Τέτοια μοντέλα λέγονται μοντέλα πλήρους βαθμίδας. Οταν ο (X T X) 1 δεν υπάρχει (δηλ. Rank(X T X) = min(n, p) = n (τι σημαίνει αυτό;) τότε το μοντέλο λέγεται μη πλήρους βαθμίδας και η έννοια της παλινδρόμησης δεν ισχύει. Τέτοια μοντέλα αντιστοιχούν σε μοντέλα ανάλυσης διακύμανσης. 6/36

7 Εκτίμηση των Y i και ορισμός υπολοίπων. Προβλέψεις των Y i ή προσαρμοσμένες τιμές (πάνω στο εκτιμημένο επίπεδο γραμμικής παλινδρόμησης) των Y i ονομάζουμε τις εκτιμήσεις της μέσης τιμής της Y i, έστω E(Y i ) = β 0 + β 1 X i1 + + β p X ip, από τις Συνοπτικά, γράφουμε Ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 X i1 + + ˆβ p X ip, i = 1,..., n. όπου θέσαμε P = X(X T X) 1 X T. Ŷ = Xˆβ = X(X T X) 1 X T Y = PY Οπως στο απλό γραμμικό μοντέλο έτσι και εδώ, οι διαφορές των προσαρμοσμένων Ŷ i από τις παρατηρούμενες Y i καλούνται υπόλοιπα ή εκτιμημένα σφάλματα και συμβολίζονται με Συνοπτικά, γράφουμε ε i = Y i Ŷ i, i = 1, 2,..., n. ε = Y Ŷ = Y Xˆβ = Y X(X T X) 1 X T Y = (I n P)Y. 7/36

8 Πολλαπλή Παλινδρόμηση: Εκτίμηση παραμέτρων. Θεώρημα 2: Στο μοντέλο (1) με ε N(0, σ 2 I n ) ο εκτιμητής ε.μ.π. του σ 2 είναι σ 2 = n 1 (Y Xˆβ) T (Y Xˆβ) Απόδειξη: Λογαριθμίζοντας και παραγωγίζοντας την (2) παίρνουμε L(β, σ 2 ) σ 2 = n 2σ σ 4 (Y Xˆβ) T (Y Xˆβ) από όπου εξισώνοντας την παραπάνω εξίσωση με 0 και λύνοντας ως προς σ 2 παίρνουμε το ζητούμενο. Παρατηρούμε ότι ισοδύναμα ο ε.μ.π. της σ 2 γράφεται σ 2 = 1 n (Y Xˆβ) T (Y Xˆβ) = 1 n n (Y i ˆβ 0 ˆβ 1 X i1 ˆβ p X ip ) 2 n 1 SSR. (4) i=1 Επίσης, βλέπουμε ότι E σ 2 σ 2 δηλ. ο σ 2 δεν είναι αμερόληπτος εκτιμητής του σ 2. 8/36

9 Πολλαπλή Παλινδρόμηση: Ιδιότητες εκτιμητών. Θεώρημα 3: Ενας αμερόληπτος εκτιμητής του σ 2 είναι ο ˆσ 2 = (n p) 1 SSR Απόδειξη: Γράφουμε ˆβ = (X T X) 1 X T Y οπότε Y Xˆβ = (I n P)Y. Οπότε (n p)ssr = Y T (I n P)(I n P)Y = Y T (I n P)Y όπου χρησιμοποιήσαμε ότι I n P = (I n P) T = (I n P) 2 δηλαδή ότι ο πίνακας είναι ταυτοδύναμος (ο πίνακας A είναι ταυτοδύναμος (idempodent) όταν A 2 = A). Ξέρουμε ότι για ταυτοδύναμους πίνακες ισχύει tr(a) = rank(a). Επίσης χρησιμοποιούμε το ότι για n n συμμετρικό πίνακα A και n 1 τυχαίο δ/μα x με Ex = µ και V(x) = Σ ισχύει E(x T Ax) = tr(aσ) + µ T Aµ. Κατά συνέπεια, (n p)e{ssr} = E { Y T (I n P)Y } = σ 2 tr(i n P) + β T X T (I n P)Xβ = σ 2 tr(i n P) = σ 2 (n p) από όπου προκύπτει αμέσως το ζητούμενο. 9/36

10 Πολλαπλή Παλινδρόμηση: Ιδιότητες εκτιμητών. Θεώρημα 4: Δεδομένου ότι για το μοντέλο (1) με ε N(0, σ 2 I n ) ισχύει Eˆβ = β και V(ˆβ) = σ 2 (X T X) 1 Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε ότι από την (1), EY = Xβ + Eε = Xβ οπότε, Eˆβ = E { (X T X) 1 X T Y } = (X T X) 1 X T EY = (X T X) 1 X T Xβ = β Σημείωση 1: Από την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε ότι για οποιαδήποτε διάνυσμα σταθερών τιμών λ, E{λˆβ} = λβ. Ακόμα, V(ˆβ) = V ( (X T X) 1 X T Y ) = (X T X) 1 X T X T V(Y)X(X T X) 1 = (X T X) 1 X T X T σ 2 I n X(X T X) 1 = σ 2 (X T X) 1 Σημείωση 2: Από την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε ότι για οποιαδήποτε διάνυσμα σταθερών τιμών λ, V{λˆβ} = σ 2 λ T (X T X) 1 λ. 10/36

11 Κατανομή των παραμέτρων του μοντέλου. Θεώρημα 4: Με δεδομένο ότι ε N n (0, σ 2 I n ), έχουμε ότι 1. ˆβ N p (β, σ 2 (X T X) 1 ), 2. σ 2 (n p)ˆσ 2 χ 2 n p όπου N p συμβολίζει πολυδιάστατη κανονική κατανομή, ενώ σ 2 (X T X) 1 είναι ο πίνακας διακύμανσης / συνδιακύμανσης της. Απόδειξη: Για το 1, πρώτα γράφουμε ˆβ = (X T X) 1 X T Y CY (5) } {{ } C όπου ο C είναι p n πίνακας με rank(c) =rank(x T ) =rank(x) = p. Οταν x N n (µ, Σ) τότε Cx N p (Cx µ, CΣC T ) Εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα στην (5) με βάση το Θεώρημα 4, από όπου µ = Eˆβ, V(ˆβ) = (X T X) 1 το 1 ακολουθεί αμέσως. 11/36

12 Κατανομή των παραμέτρων του μοντέλου. Συνέχεια της απόδειξης. Για το 2, πρώτα γράφουμε (n p)ˆσ 2 = Y T (I n P)Y = (Y Xˆβ) T (I n P)(Y Xˆβ) Ξέρουμε ότι = ε T (I n P)ε. (6) Οταν x N n (µ, σ 2 I n ) και K, n n συμμετρικός πίνακας με rank(k) = r τότε σ 2 (x µ) T K(x µ) χ 2 r ανν K 2 = K ( ) Η (6) θα προκύψει από την ( ) θέτοντας ε = x µ και K = I n P. 1. Ο I n P είναι n n συμμετρικός πίνακας. 2. Ο I n P είναι ταυτοδύναμος οπότε rank(i n P) = n p. 3. Επίσης ικανοποιεί και την (I n P) 2 = I n P. 4. Από την υπόθεση του θεωρήματος, ε N n (0, σ 2 I n ) Χρησιμοποιώντας τις 1 4 στην ( ) βλέπουμε ότι η (6) γίνεται ε T (I n P)ε = σ 2 (n p)ˆσ 2 χ 2 n p (7) που είναι αυτό που θέλουμε. 12/36

13 Ελεγχοι υποθέσεων για τις παραμέτρους του μοντέλου. Εστω c ii, i = 1,..., p τα διαγώνια στοιχεία του (X T X) 1. Τότε, ˆβ i N(β i, σ 2 c ii ), i = 1,..., p οπότε και πάλι, ˆβ i β i ˆσ c i+1i+1 t n p 1, i = 1, 2,..., p Ετσι, ένα δ/μα εμπιστοσύνης για το β i, i = 1,..., p είναι το (ˆβ i ˆσ c i+1i+1 t n p 1,α/2, ˆβ i + ˆσ c i+1i+1 t n p 1,α/2 ) (8) Η H 0 : β i = 0 έναντι της H 0 : β i 0 θα απορρίπτεται όταν ˆβ i ˆσ c i+1i+1 > t n p 1,α/2, i = 1, 2,..., p. Η απόρριψη της H 0 : β i = 0 για κάποιο i συνεπάγεται ότι η μεταβλητή Y εξαρτάται από την X i. 13/36

14 Ερμηνεύοντας τη συνολική μεταβλητότητα του μοντέλου. Οπως ακριβώς και στο απλό γραμμικό μοντέλο, η δειγματική διασπορά των παρατηρήσεων Y i αποδεικνύεται ότι χωρίζεται σε δύο αθροίσματα: n (Y i Ȳ) 2 = i=1 } {{ } SST n n (Y i Ŷ i ) 2 + (Ŷ i Ȳ) 2 i=1 } {{ } SSE i=1 } {{ } SSR Το SST εκφράζει τη συνολική παρατηρούμενη μεταβλητότητα των Y i, το SSR εκφράζει τη μεταβλητότητα των προσαρμοσμένων τιμών ενώ το SSE εκφράζει τη μεταβλητότητα των Y i σε σχέση με τις αντίστοιχες προσαρμοσμένες τιμές. Η μεταβλητότητα του SSR ερμηνεύεται από το μοντέλο ενώ του SSE όχι. Το πηλίκο (συντελεστής προσδιορισμού) R 2 = SSR SST = SST SSE SST είναι το ποσοστό της μεταβλητότητας των Y i που ερμηνεύεται από το μοντέλο. Από την (7) έχουμε ότι 14/36

15 Ερμηνεύοντας τη συνολική μεταβλητότητα του μοντέλου. SSE σ 2 = 1 σ 2 n (Y i Ŷ i ) 2 } {{ } i=1 =ε 2 i {N(0,σ2 )} 2 χ 2 1 χ 2 n p. Επίσης, αν β 1 = β 2 = = β p = 0 τότε SSR σ 2 Σε αυτήν την περίπτωση, χ 2 p 1, SST σ 2 χ 2 n. SSR/(p 1) σ SSR/(p 1) 2 = SSE/(n p) SSE/(n p) F p 1,n p. (9) σ 2 γιατί οι SSR και SSE είναι ανεξάρτητες. Η (9) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της H 0 : β 1 = β 2 = = β p = 0 δηλαδή ότι η Y δεν εξαρτάται από καμία από τις X 1, X 2,..., X p. Το στατιστικό αυτό προκύπτει γιατί υπό την H 0 : Ŷ i = Ȳ και Y i = Ȳ Συγκεκριμένα η H 0 θα απορρίπτεται όταν F = SSR/(p 1) SSE/(n p) > F p 1,n p,α. 15/36

16 Ατομική και μέση πρόβλεψη της Y. Είναι σημαντικό να διαχωρίσουμε εδώ τους εξής ελέγχους: 1. Ταυτόχρονος έλεγχος αν όλες οι παράμετροι του μοντέλου είναι ίσες με το 0 (F test) 2. Ελεγχος αν κάποιο β i (μόνο ένα) είναι ίσο με το 0 (t test) Είναι φανερό ότι η κατανομή του στατιστικού είναι διαφορετική στις περιπτώσεις 1 και 2. Από την (9) προκύπτει ένα δ.ε. για το διάνυσμα ˆβ: (β ˆβ) T X T SSR/(p 1) X(β ˆβ) (p + 1) SSE/(n p) F p 1,n p,α και πάλι, η διαφορά αυτού του διαστήματος σε σχέση με τα διαστήματα για τα μεμονωμένα β i είναι ότι εδώ έχουμε συνολική (ταυτόχρονη) εκτίμηση όλων των τιμών του διανύσματος των παραμέτρων. Εχοντας εκτιμήσει τους συντελεστές β 1, β 2,..., β p μπορούμε να κάνουμε πρόβλεψη της μεταβλητής Y για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X p = x p 16/36

17 Ατομική και μέση πρόβλεψη της Y. Η πρόβλεψη δίνεται από την Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x ˆβ p x p (10) Οπως και στο απλό γραμμικό μοντέλο μπορούμε να προβλέψουμε την EY και μέσω ενός διαστήματος. Εστω X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X p = x p. Ενα δ.ε. συντ. 1 α για την εκτίμηση της μέσης τιμής E(Y) είναι: [ x Tˆβ ˆσ x(x T X) 1 x T t n p 1,α/2, x Tˆβ ] + ˆσ x(x T X) 1 x T t n p 1,α/2 Αν πάρουμε έναν μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων με X 1 = x 1,..., X p = x p τότε η μέση τιμή της Y θα βρίσκεται μέσα στο διάστημα μέσης πρόβλεψης με σ.ε. 1 α. Το διάστημα ατομικής πρόβλεψης του Ŷ η οποία προκύπτει από αντικατάσταση στη (10) των X 1 = x 1,..., X p = x p, είναι το διάστημα με σ.ε. 1 α: [ x Tˆβ ] ± ˆσ 1 + x(x T X) 1 x T t n p 1, α (11) 2 17/36

18 Εξέταση της ορθότητας του μοντέλου. Οπως και στο απλό γραμμικό μοντέλο θα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι οι παρατηρήσεις μας προσαρμόζονται ικανοποιητικά στο πολλαπλό μοντέλο ώστε τα συμπεράσματα που προκύπτουν να θεωρούνται αξιόπιστα. 1. Ενας πρώτος έλεγχος για την ορθότητα του μοντέλου είναι το F test με το οποίο ελέγχουμε την καλή προσαρμογή του μοντέλου. 2. Μια δεύτερη ένδειξη είναι η τιμή του συντελεστή R 2 - όσο μεγαλύτερο τόσο μεγαλύτερο ποσοστό της μεταβλητότητας της Y εξηγείται από τις επεξηγηματικές μεταβλητές. 3. Επίσης είναι η τιμή του ˆσ - όσο μικρότερο, τόσο το καλύτερο. Ο έλεγχος της ορθότητας του πολλαπλού μοντέλου γίνεται και με τη βοήθεια των τυποποιημένων υπόλοιπων, ˆε i = ˆε i ˆσ 1 p ii, i = 1,..., n (12) όπου τα p ii είναι τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα P. Εφόσον θεωρούμε ότι το μοντέλο είναι σωστό, μπορούμε να προχωρήσουμε σε συμπεράσματα: Στο πολλαπλό μοντέλο, κάθε εκτιμητής β i εκφράζει την αυξηση στην Y i όταν το αντίστοιχο X i αυξάνεται κατά 1 δεδομένου ότι οι υπόλοιπες μεταβλητές μένουν σταθερές. 18/36

19 Σύγκριση μοντέλων. Αρκετές φορές συμβαίνει να έχουμε καταγράψει τις τιμές αρκετών ανεξάρτητων μεταβλητών X 1, X 2,..., X p και θέλουμε να εξετάσουμε ποιες από αυτές επηρεάζουν την μεταβλητή απόκρισης Y. Ενας τρόπος (που δεν είναι πάντα ο συντομότερος) είναι να εφαρμόσουμε όλα τα δυνατά μοντέλα και να επιλέξουμε αυτό που δίνει τα «καλύτερα» αποτελέσματα. Αν π.χ. έχουμε καταγράψει τρεις μεταβλητές X 1, X 2, X 3 τότε μπορούμε να εξετάσουμε τα μοντέλα: Y = β 0 + β 1 X 1 + ε, Y = β 0 + β 2 X 2 + ε, Y = β 0 + β 3 X 3 + ε Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ε, Y = β 0 + β 1 X 1 + β 3 X 3 + ε, Y = β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε, Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε και να θεωρήσουμε καλύτερο αυτό που δίνει το μεγαλύτερο συντελεστή προσδιορισμού R 2. Γρήγορα όμως διαπιστώνουμε ότι το μοντέλο με το μεγαλύτερο R 2 = 1 SSE/SST δεν είναι πάντοτε το καλύτερο. Αυτό συμβαίνει διότι όσο προσθέτουμε ανεξάρτητες μεταβλητές στο μοντέλο (όποιες και αν είναι αυτές) το R 2 αυξάνεται (ή παραμένει σταθερό). 19/36

20 Σύγκριση μοντέλων. Πράγματι, όταν προσθέτουμε ανεξάρτητες μεταβλητές το SSE μειώνεται ή μένει σταθερό αφού SSE = min β 0,...,β p n (Y i β 0 β 1 X i1 β p X ip ) 2 i=1 (ενώ το SST παραμένει πάντοτε σταθερό) και η παραπάνω ελαχιστοποίηση γίνεται σε μεγαλύτερο χώρο (περισσότερα β i ). Π.χ. έστω ότι η Y επηρεάζεται από τις X 1, X 2 ενώ δεν επηρεάζεται καθόλου από την X 3 οπότε καλύτερο μοντέλο θα έπρεπε να είναι το Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ε. Προσθέτοντας όμως την X 3 σε αυτό το μοντέλο προκύπτει το μοντέλο Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε, το οποίο, σύμφωνα με τα παραπάνω, θα έχει μεγαλύτερο ή ίσο R 2 από το Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ε. Επομένως το R 2 δεν δείχνει πάντοτε το «καλύτερο» μοντέλο. Αντί του R 2 προτείνεται η χρήση του «προσαρμοσμένου»r 2 (R 2 adjusted). 20/36

21 Σύγκριση μοντέλων. Ετσι, καλύτερο θα θεωρείται το μοντέλο με το μεγαλύτερο R 2 adj = 1 SSE(n p 1) SST(n 1) (13) Το προσαρμοσμένο R 2 «δείχνει» ως καλύτερο το μοντέλο που έχει το μικρότερο S 2 = SSE/(n p) (το SST είναι σταθερό σε όλα τα μοντέλα). Ο δείκτης αυτός δεν αυξάνεται πάντοτε όταν αυξάνονται οι ανεξάρτητες μεταβλητές. Αξίζει να αναφερθεί ότι για την εύρεση του καλύτερου μοντέλου έχουν προταθεί και άλλοι δείκτες (με διάφορες αιτιολογήσεις). 21/36

22 Πολυσυγγραμμικότητα. Στην πολλαπλή παλινδρόμηση είναι δυνατό κάποιες από τις ανεξάρτητες μεταβλητές X 1, X 2,..., X p να είναι γραμμικά εξαρτημένες με συνέπεια ο πίνακας πληροφορίας X T X να μην αντιστρέφεται (η ορίζουσα του είναι 0). Αυτό το πρόβλημα είναι γνωστό ως πρόβλημα πολυσυγγραμικότητας. Ενας απλός τρόπος αντιμετώπισης του είναι η αφαίρεση κάποιων ανεξάρτητων μεταβλητών από το μοντέλο (χάνοντας όμως «πληροφορία»). Ακόμη και όταν η ορίζουσα του X T X δεν είναι ακριβώς 0 αλλά «κοντά» στο 0 (ασθενής πολυσυγγραμικότητα) παρουσιάζεται πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να εμφανιστούν σφάλματα στρογγύλευσης κατά την αντιστροφή του X T X (με συνέπεια οι εκτιμήσεις που παίρνουμε να μην είναι αξιόπιστες). Αυτό συνήθως αντιμετωπίζεται ως ένα βαθμό με τυποποίηση όλων των μεταβλητών (π.χ. ώστε να παίρνουν τιμές στο ( 1, 1)) και κατά την εμφάνιση των αποτελεσμάτων τις επαναφέρει στην αρχική κλίμακα. 22/36

23 Πολυσυγγραμμικότητα. Η ορίζουσα του X T X είναι κοντά στο 0 όταν υπάρχει ισχυρή συσχέτιση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών. Μία ακόμη «παρενέργεια» της συγκεκριμένης κατάστασης είναι ότι μπορεί ορισμένες μεταβλητές να φαίνονται «σημαντικές» (με αντίστοιχο p-value στο t-τεστ κοντά στο 0) σε κάποιο μοντέλο, ενώ παύουν να είναι σημαντικές όταν στο μοντέλο προσθέσουμε και άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές. Για παράδειγμα μπορεί στο μοντέλο Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ε, η X 2 να είναι σημαντική (απορρίπτουμε ότι β 2 0) ενώ στο μεγαλύτερο μοντέλο Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε, να μην είναι πια σημαντική (ενώ η X 3 που προσθέσαμε να είναι). Χοντρικά, αυτό μπορεί να συμβαίνει διότι η X 3 είναι αυτή που επηρεάζει την Y αλλά όταν εφαρμόζουμε το πρώτο μοντέλο (στο οποίο απουσιάζει η X 3 ), η X 2 φαίνεται σημαντική διότι «μοιάζει» στην X 3. Οταν εντοπίσουμε ομάδα ή ομάδες από ισχυρά συσχετισμένες μεταβλητές (π.χ. από τον πίνακα συσχετίσεων των X i ) τότε θα πρέπει στο βέλτιστο μοντέλο να κρατήσουμε μία από κάθε ομάδα. Σε αρκετές περιπτώσεις αυτό δεν είναι εύκολο οπότε είναι ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε άλλες μεθόδους. 23/36

24 Πρακτική άσκηση 1. Πρακτική άσκηση 1 Η γεύση ενός τυριού εξαρτάται από τη χημική του σύνθεση η οποία μπορεί να αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Για να διερευνηθούν ποιες χημικές ουσίες καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό την γεύση ενός τυριού Cheddar ελήφθη δείγμα n = 30 τέτοιων τυριών (σε διάφορα στάδια ωρίμανσης). Σε καθένα από αυτά έγινε εκτίμηση της γεύσης (από ένα σύνολο δοκιμαστών) και μετρήθηκε η περιεκτικότητα σε τρεις χημικές ουσίες: 1. Acetic: Λογάριθμος της περιεκτικότητας σε οξεικό οξύ (acetic acid) 2. H2S: Λογάριθμος της περιεκτικότητας σε υδρόθειο (hydrogen sulfide) 3. Lactic: περιεκτικότητα σε γαλακτικό οξύ (lactic acid) Στην συγκεκριμένη περίπτωση επιθυμούμε να διερευνήσουμε την επιρροή της (εξαρτημένης) μεταβλητής taste (Y) από τις (ανεξάρτητες) μεταβλητές Acetic (X 1 ), H2S (X 2 ) και Lactic (X 3 ). 1. Να εφαρμόσετε το μοντέλο Y = β 0 + β 1 X 1 + ε. Από το μοντέλο αυτό, μπορούμε να πούμε ότι η περιεκτικότητα σε οξεικό οξύ επηρεάζει τη γεύση του τυριού; 24/36

25 Πρακτική άσκηση 1. Καταρχήν φορτώνουμε τα δεδομένα και εφαρμόζουμε το ζητούμενο μοντέλο: data.use<-read.csv("data.csv", header=t) lm.1<-lm(taste~acetic, data=data.use) summary.lm(lm.1) Call: lm(formula = taste ~ Acetic, data = data.use) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * Acetic ** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Το πρώτο που κοιτάμε είναι αν ο εκτιμώμενος συντέλεσής της μεταβλητής είναι στατιστικά σημαντικός. Residual standard error: on 28 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.302, Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 28 DF, p-value: Το p-value της μεταβλητής είναι άρα η H 0 : β 1 = 0 έναντι της H 1 : β 1 0 απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας 1% Αυτό που μας δείχνει επίσης το μοντέλο είναι ότι η μεταβλητή από μόνη της εξηγεί περίπου το 27% της μεταβλητότητας της γεύσης. 25/36

26 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. 2. Να κατασκευάσετε όλα τα (ανά δύο) γραφήματα διασποράς των μεταβλητών Y, X 1, X 2, X 3. Υπάρχει σχέση μεταξύ τους; 3. Να εφαρμόσετε το μοντέλο Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε. 4. Να εκτιμήσετε τα β i σημειακά και με δ.ε. συντελεστού 95%. 5. Ποιες ανεξάρτητες μεταβλητές επηρεάζουν την γεύση ενός τυριού; 6. Ελέγξτε την H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 μέσω του F-τεστ. Μπορούμε να κάνουμε το ζητούμενο γράφημα με μόλις μία εντολή pairs(~taste+acetic+h2s+lactic, data=data.use) taste Acetic H2S Lactic Παρατηρούμε ότι (ανά δύο) ό- λες οι μεταβλητές παρουσιάζουν κάποια θετική συσχέτιση μεταξύ τους. Ιδιαίτερα η Taste φαίνεται να εξαρτάται και από τις τρεις μεταβλητές (3 σχήματα 1ης γραμμής). Για την ερώτηση 3 εφαρμόζουμε την lm.al<-lm(taste~acetic+h2s+lactic, data=data.use) 26/36

27 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. Για την ερ. 4, καταρχήν οι σημειακές εκτιμήσεις δίνονται από την summary.lm(lm.al) Call: lm(formula = taste ~ Acetic + H2S + Lactic, data = data.use) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Acetic H2S ** Lactic * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Από τα p-value των παραμέτρων βλέπουμε ότι η Acetic δεν είναι σημαντική μεταβλητή, ενώ σε ε- πίπεδο σημαντικότητας 5% είναι τόσο η H2S όσο και η Lactic Residual standard error: on 26 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 26 DF, p-value: 3.81e-06 Ισοδύναμα, αν θέλουμε να απομονώσουμε μόνο τις τιμές των συντελεστών: > lm.al$coefficients (Intercept) Acetic H2S Lactic /36

28 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. Για τα ζητούμενα διαστήματα εμπιστοσύνης των εκτιμητών η (8) υπολογίζεται αυτόματα από την confint(lm.al) 2.5 % 97.5 % (Intercept) Acetic H2S Lactic Το δ/μα της Acetic περιλαμβάνει το 0, άρα δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την περίπτωση η παράμετρος αυτής της μεταβλητής να είναι 0. Μπορούμε να προσδιορίσουμε διαφορετικό επίπεδο εμπιστοσύνης για το ζητούμενο διάστημα ως εξής: confint(lm.al, level =0.90); confint(lm.al, level =0.99) Για την ερώτηση 5, σύμφωνα με το αποτέλεσμα της παλινδρόμησης μόνο οι H2S και Lactic φαίνεται να επηρεάζουν την γεύση του τυριού. Για την ερώτηση 6, κοιτάμε την τελευταία γραμμή από όπου φαίνεται ότι για τον έλεγχο της H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 το p-value είναι πολύ κοντά στο 0 οπότε απορρίπτουμε την υπόθεση οτι η γευση δεν εξαρτάται από κανέναν από τους τρεις παράγοντες. 28/36

29 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. 7. Ποια είναι η εκτίμηση της διασποράς των σφαλμάτων; 8. Τι % της μεταβλητότητας των Y i ερμηνεύεται από το μοντέλο; Η ερώτηση 7 βασικά ζητάει εκτίμηση του SSE/(n p) το οποίο υπολογίζεται από την anova(lm.al) Analysis of Variance Table Response: taste Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Acetic e-05 *** H2S *** SSE/(n p) = Lactic * Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Για την ερώτηση 8, οι R 2 και R 2 adj (ορισμός στη (13)) δίνονται από τη γραμμή Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: Στην πράξη χρησιμοποιούμε το R 2 adj άρα το μοντέλο ερμηνεύει περίπου το 61% της μεταβλητότητας της Y. 29/36

30 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. 9. Ποιο από τα δύο μοντέλα θεωρείτε «καλύτερο» Y = β 0 + β 1 X 2 + β 2 X 3 + ε, Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε Παρατηρείτε κάτι αντιφατικό σε σχέση με το ερώτημα 1; 10. Εφαρμόστε το μοντέλο Y = β 0 + β 1 X 2 + β 2 X 3 + ε: εκτιμήσετε τα β i σημειακά και με δ.ε. συντελεστού 95%. Πώς επηρεάζεται η γεύση όταν μεταβάλλονται το Γαλακτικό οξύ και το υδρόθειο; 11. Ποιας μεταβλητής η μεταβολή επηρεάζει περισσότερο την μεταβολή της γεύσης; Το μοντέλο που εφαρμόσαμε στο ερώτημα 1 βρήκαμε την μεταβλητή Acetic ήταν σημαντική. Στο πλήρες μοντέλο όμως βρήκαμε το αντίθετο αποτέλεσμα ότι δηλαδή δεν είναι σημαντική. Οταν έχουμε τέτοια αντίθεση, κοιτάμε αν υπάρχει πολυσυγραμμικότητα μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών Στο συγκεκριμένο παράδειγμα υπάρχει υψηλή συσχέτιση μεταξύ της Acetic και των H2S και Lactic(πως θα το διαπιστώσετε); Αυτό σημαίνει ότι ένα πιο αποδοτικό μοντέλο περιμένουμε να προκύψει αν βγάλουμε την Acetic. 30/36

31 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. lm.a2<-lm(taste~ H2S+Lactic, data=data.use) summary.lm(lm.a2) Call: lm(formula = taste ~ H2S + Lactic, data = data.use) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** H2S ** Lactic * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 27 DF, p-value: 6.551e-07 Βλέπουμε ότι τώρα που βγάλαμε τη μεταβλητή Acetic οι δείκτες του μοντέλου βελτιώθηκαν: Καλύτερο Adjusted R-squared Καλύτερο F test (p-value πιο κοντά στο 0) Οπότε όλες οι ενδείξεις δείχνουν ότι το Y = β 0 + β 1 X 2 + β 2 X 3 + ε είναι καλύτερο από το Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε. 31/36

32 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. Για να απαντήσουμε στην ερώτηση: Πώς επηρεάζεται η γεύση όταν μεταβάλλονται το Γαλακτικό οξύ και το υδρόθειο; Από τα αποτελέσματα του πίνακα της προηγούμενης σελίδας: Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η περιεκτικότητα σε υδρόθειο ή Γαλακτικό οξύ, βελτιώνεται και η γεύση του τυριού (τα αντίστοιχα β i είναι θετικά, άρα μοναδιαία αύξηση στην τιμή κάθε μεταβλητής συνεισφέρει θετικά στη γεύση). Επίσης βλέπουμε ότι η αύξηση της μεταβλητής H2S κατά μία μονάδα αυξάνει την μεταβλητή ταστε κατά 3.9 μονάδες περίπου (δεδομένου ότι η Lactic παραμένει σταθερή) ενώ αντίστοιχα η αύξηση της μεταβλητής Lactic κατά μία μονάδα αυξάνει την μεταβλητή ταστε κατά 19.9 μονάδες περίπου (δεδομένου ότι η H2S παραμένει σταθερή). Επομένως η μεταβολή της περιεκτικότητας σε γαλακτικό οξύ επηρεάζει περισσότερο την μεταβολή της γεύσης (Ερώτημα 11). Προσοχή, τα παραπάνω συμβαίνουν τουλάχιστον μέσα στο εύρος των τιμών που παίρνουν οι συγκεκριμένες μεταβλητές στο δείγμα (η H2S παίρνει τιμές μεταξύ του 3 και του 10.2 ενώ η Lactic μεταξύ του 0.86 έως του 2.01). Εξω από αυτά τα όρια μπορεί το μοντέλο να είναι διαφορετικό. 32/36

33 Index Index Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. 12. Να δοθούν οι προσαρμοσμένες τιμές των Y i (προβλέψεις των Y i ) και τα τυποποιημένα υπόλοιπα. Ερώτηση 12: Τα τυποποιημένα υπόλοιπα (12) όπως και τα κανονικά υπόλοιπα, μαζί με τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις μπορούν να παραχθούν με τις εντολές st.res<-rstandard(lm.a2) plot(st.res) plot(lm.a2$residuals) plot(st.res) lm.a2$residuals st.res Και οι 2 εκδόσεις των υπολοίπων δείχνουν την ίδια εικόνα (το περιμέναμε; Τα υπόλοιπα είναι τυχαία κατανεμημένα στο χώρο και διάσπαρτα γύρω από τον οριζόντιο άξονα - αυτό συνηγορεί στην αποδοχή του μοντέλου. Μπορούμε να πάρυμε τις προσαρμοσμένες τιμές των Y i με την lm.a2$fitted.values 33/36

34 Πρακτική άσκηση 1: συνέχεια. 13. Εάν ένα τυρί έχει περιεκτικότητα 3 και 2 σε (log) υδρόθειο και Γαλακτικό οξύ αντίστοιχα, δώστε μια πρόβλεψη του δείκτη της γεύσης του (δώστε σημειακή πρόβλεψη και κατάλληλο διάστημα πρόβλεψης). Η ερώτηση είναι εφαρμογή της (10) για ένα ζεύγος καινούργιων παρατηρήσεων. Η εισαγωγή των καινούργιων παρατηρήσεων, ο υπολογισμός της Ŷ i και το αντίστοιχο δ/μα εμπιστοσύνης (11) γίνεται με τις εντολές new <- data.frame(h2s=3, Lactic=2) predict.lm(lm.a2, new, interval = " confidence", level =0.95) fit lwr upr Παρατηρούμε ότι το δ.ε ουσιαστικά δεν προσφέρει κάποια πληροφορία διότι είναι πολύ ευρύ (σε σχέση με τις τιμές που παίρνει η taste). Αυτό συμβαίνει διότι το συγκεκριμένο μοντέλο ερμηνεύει μόνο το 65.2% της παρατηρούμενης μεταβλητότητας της taste. Είναι χρήσιμο σε αυτό το σημείο να υπογραμμίσουμε ότι γενικά δεν είναι ασφαλές να ζητάμε πρόβλεψη του Y για τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών εκτός των ορίων των τιμών τους στα δεδομένα. 34/36

35 Πρακτική άσκηση 1: έλεγχος ορθότητας του μοντέλου 14. Εξετάστε αν τα τυποποιημένα κατάλοιπα προέρχονται πράγματι από κανονική κατανομή (ιστόγραμμα, Q-Q ή P-P plots και K-S τεστ). Οι γραφικοί έλεγχοι (ιστόγραμμα, Q-Q plot ) μπορούν να παραχθούν με τις εντολές hist(st.res) qqnorm(st.res) qqline(st.res) Οι γραφικές παραστάσεις φαίνεται να συνιστούν κανονική κατανομή υπολοίπων. Frequency Histogram of st.res Sample Quantiles Normal Q Q Plot > ks.test(st.res, "pnorm") One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: st.res D = , p-value = alternative hypothesis: two-sided st.res Theoretical Quantiles Με βάση ότι p-value = δεν μπορούμε να απορρίψουμε ότι τα τυποποιημένα υπόλοιπα προέρχονται από την κανονική κατανομή. 35/36

36 H2S H2S taste Πρακτική άσκηση 1: έλεγχος ορθότητας του μοντέλου 15. Εξετάστε αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τυποποιημένων υπολοίπων και των μεταβλητών X 2, X 3, Y. Οι γραφικές παραστάσεις των τριών μεταβλητών με τα υπόλοιπα είναι par(mfrow=c(1,3)) plot(data.use[,4], st.res, xlab="h2s", ylab="st. resids") plot(data.use[,5], st.res, xlab="h2s", ylab="st. resids") plot(data.use[,2], st.res, xlab="taste", ylab="st. resids") st.resids st.resids st.resids Οι παρατηρήσεις φαίνεται ότι βρίσκονται τυχαία στο επίπεδο και στα τρία γραφήματα και επομένως δεν πρέπει να υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ των μεταβλητών αυτών και των υπολοίπων. 36/36

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΜ264: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε μελέτη της επίδρασης γεωργικών χημικών στην προσρόφηση ιζημάτων και εδάφους, δίνονται στον πιο κάτω πίνακα 13 δεδομένα για το δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου 2017 1/32 Ανάλυση Παλινδρόμησης: Γενικά. Με την ανάλυση παλινδρόμησης εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7ο μάθημα: Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: ageliki.papaa@gmail.com, agpapaa@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapaa

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Παλινδρόµηση

Γραµµική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 8 Γραµµική Παλινδρόµηση Η γραµµική παλινδρόµηση είναι ένα από τα πιο σηµαντικά ϑέµατα της Στατιστική ϑεωρείας. Στη συνέχεια αυτή η πολύ γνωστή µεθοδολογία ϑα αναπτυχθεί στην R µέσω των τύπων για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της ιακύµανσης

Ανάλυση της ιακύµανσης Κεφάλαιο 9 Ανάλυση της ιακύµανσης Η ανάλυση της διακύµανσης είναι µια από τις πλέον σηµαντικές µεθόδους για ανάλυση δεδοµένων. Η µέθοδος αυτή αναφέρετε στη διαµέριση του συνολικού αθροίσµατος τετραγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II . Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις)

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) 1. Έχοντας στη διάθεσή μας ένα δείγμα, προκύπτει ότι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα:

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα: ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, 6-5-0 Άσκηση 8. Δίνονται οι παρακάτω 0 παρατηρήσεις (πίνακας Α) με βάση τις οποίες θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα γραμμικό μοντέλο για την πρόβλεψη της Υ μέσω των ανεξάρτητων μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Συχνά στην πράξη το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι ανεπαρκές για την περιγραφή της μεταβλητότητας που υπάρχει στην εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Παλινδρόµηση

Λογιστική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 10 Λογιστική Παλινδρόµηση Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δούµε την µέθοδο της λογιστικής παλινδρόµησης η οποία χρησιµεύει στο να αναπτύξουµε σχέση µίας δίτιµης ανεξάρτητης τυχαίας µετα- ϐλητής και συνεχών

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Τα υποδείγματα του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης (simple linear regression

Διαβάστε περισσότερα

X = = 81 9 = 9

X = = 81 9 = 9 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n) ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (3 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

x y max(x))

x y max(x)) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 11 Μαρτίου /24

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 11 Μαρτίου /24 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 11 Μαρτίου 2017 1/24 Εισαγωγή. Εστω ότι X 1, X 2,..., X n είναι ένα τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Εφαρμογών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Το Γενικευμένο Γραμμικό Υπόδειγμα (Α) ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

8. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Ι

8. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Ι 8. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Ι Απλή γραμμική παλινδρόμηση είναι μία στατιστική μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη μελέτη της σχέσης μεταξύ δύο ποσοτικών μεταβλητών εκ των οποίων μία είναι η ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

(p 1) (p m) (m 1) (p 1)

(p 1) (p m) (m 1) (p 1) ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να περιγράψει την συνδιασπορά μεταξύ των μεταβλητών με την βοήθεια τυχαίων άγνωστων ποσοτήτων που ονομάζονται παράγοντες. Το μοντέλο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 6.1 Ετεροσκεδαστικότητα: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της σταθερής διακύμανσης των όρων σφάλματος,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3ο Κίβδηλες παλινδρομήσεις Μια από τις υποθέσεις που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:

Οι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο: Ένας Πληθυσμός, μεγάλο δείγμα, άγνωστη κατανομή Έλεγχος για την μέση τιμή, με άγνωστη διασπορά Δίνονται ομαδοποιημένες οι ημερήσιες καταναλώσεις ηλεκτρικής ενέργειας (σε 100-άδες κιλοβατώρες) μιας χημικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις:

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: X X X X Y 7 50 6 7 6 6 96 7 0 5 55 9 5 59 6 8 8 5 0 59 7 7 8 8 5 5 0 7 69 9 6 6 7 6 9 5 7 6 8 5 6 69 8 0 50 66 0 0 50 8 59 76 8 7 60 7 87 6 5 7 88 9 8 50 0 5

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη

Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Ύλη 1 ης Εβδομάδας Γραμμική Παλινδρόμηση-Έννοια Παλινδρόμισης 1. Σχέση μεταξύ μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 9: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Εκτιμητική

Στατιστική. Εκτιμητική Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα