Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη"

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Ύλη 1 ης Εβδομάδας Γραμμική Παλινδρόμηση-Έννοια Παλινδρόμισης 1. Σχέση μεταξύ μεταβλητών 2. Παραδείγματα 3. Ανάλυση παλινδρόμησης 4. Απλή & πολλαπλή παλινδρόμιση 5. Παράδειγμα 6. Ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές Σχέσεις Μεταβλητών Σε διάφορα προβλήματα της Στατιστικής το ενδιαφέρον του ερευνητή εντοπίζεται στην ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να εντοπιστεί ο τρόπος με τον οποίο σχετίζονται οι μεταβλητές αυτές μεταξύ τους. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα 1. Ηηλικία(Χ) και η αρτηριακή πίεση αίματος (Υ) ενός ενήλικα έχουν κάποια σχέση εξάρτησης μεταξύ τους (όσο μεγαλύτερη η ηλικία τόσο υψηλότερη η αρτηριακή πίεση). Ηλικία (Χ) Πίεση αίματος (Υ) (εδώ (Χ 1,Υ 1 ) = (36, 118), (Χ 2,Υ 2 ) = (38, 115), κ.ο.κ.) 3 4 1

2 Παραδείγματασυνέχεια 2. Η συνολική παραγωγή ενός κτήματος εξαρτάται από το ύψος της θερμοκρασίας, την ποσότητα λιπάσματος, το ύψος της υγρασίας, το ύψος της βροχόπτωσης, το είδος λιπάσματος, κ.λ.π. Νερό (Χ) Σοδειά (Υ) Παραδείγματασυνέχεια 3. Η επίδοση ενός φοιτητή επηρεάζεται από το φύλο, τιςώρεςμελέτης, τις ώρες παρακολούθησης στο αμφιθέτρο, κ.λ.π. % Παρακ/σης (Χ),5,2,77,01,35,4,30,90 1,48 Βαθμός (Υ) 6 3 8,5 2 3,5 4 3,5 9,5 10 5,5 5 6 Σχέση Μεταξύ Μεταβλητών Σε διάφορα προβλήματα της Στατιστικής το ενδιαφέρον του αναλυτή εντοπίζεται στην ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών, ώστε να προσδιρίσει τον τρόπο με τον οποίο σχετίζονται μεταξύ τους. Ανάλυση Παλινδρόμισης Η διαδικασία που εξετάζει τη σχέση ανάμεσα σε δύο (Υ, Χ) ή περισσότερες μεταβλητές (Υ, Χ 1, Χ 2,..., Χ κ ) με στόχο την πρόβλεψη μιας από αυτές (Υ) μέσω των υπολοίπων λέγεται ανάλυση παλινδρόμησης (regression analysis)

3 Χρήση του όρου «Regression»:.έγινε το 1885 από τον Galton (Άγγλο ανθρωπολόγο). Το θέμα της μελέτης εκείνης είχε να κάνει με το ύψος των παιδιών σε σχέση με το ύψος τωνγονέωντους... Απλή Παλινδρόμηση Στην Απλή Παλινδρόμηση, χρησιμοποιούνται δύο μεταβλητές. Η Χ και η Υ. Η Υ μπορεί να προσεγγιστεί από μια συνάρτηση του Χ ( Y i 2 + 0,90Χ). Χ : ανεξάρτητη μεταβλητή (independent/input var.) Υ : εξαρτημένη μεταβλητή (dependent/response var.) 9 10 συνέχεια Απλή: Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η X (Ηλικία) τόσο αυξάνεται και η Υ (πίεση αίματος). Μάλιστα φαίνεται ότι τα σημεία (X i,y i ) συγκεντρώνται κοντά σε μία ευθεία, π.χ. την Υ i =β 0 +β 1 X i, i = 1, 2,, n, για κάποιες σταθερές β 0, β i. Οι αποκλίσεις (Υ i -(β 0 +β 1 X i )), i = 1, 2,,n των σημείων (X i,y i ) από την ευθεία αυτή φαίνονται τυχαίες. Αν ονομάσουμε ε i, i = 1, 2,,n τις διαφορές αυτές,τότε προκύπτει το γνωστό Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα Απλή & Πολλαπλή Παλινδρόμηση Παραδείγματα Απλή Παλινδρόμηση (το προαναφερόμενο παράδειγμα, σελ 4) Ηλικία (Χ) Πίεση αίματος (Υ) Ηλικία (Χ) Πίεση αίματος (Υ)

4 Συνέχεια από την Προηγούμενη Σελίδα Πολλαπλή Παλινδρόμηση Στην Πολλαπλή Παλινδρόμηση, χρησιμοποιούνται περισσότερες από δύο μεταβλητές. Η Υ και δύο ή περισσότερες Χ. Δηλαδή, Υ i =β 0 +β 1 Χ 1i +β 2i +ε i Παράδειγμα Πολλαπ. Παλινδ. Χ Χ 2 Α Γ Γ Α Γ Γ Υ Χ Χ 2 Γ Α Γ Α Γ Α Υ Χ 1 =ηλικία Χ 2 =φύλο Υ=πίεση Ανεξάρτητες & Εξαρτημένες Μεταβλητές Στις Κλινικές Μελέτες, ο ερευνητής προκαθορίζει τις δόσεις ενός φαρμάκου (ανεξάρτητη μεταβλητή) που παρέχει στους ασθενείς του και μετρά την αντίδρασή τους στο φάρμακο (εξαρτημένη μεταβλητή). Με την παλινδρόμηση προσδιορίζεται η σχέση δόσηςαντίδρασης, στην περίπτωση του συγκεκριμένου φαρμάκου. Δηλαδή, για δεδομένη δόση να προβλέπεται η αντίδραση! 15 Ποιά Μεταβλητή είναι Ανεξάρτητη & ποιά Εξαρτημένη; Έστω ότι ένας ερευνητής θέλει να μελετήσει τη σχέση μεταξύ ύψους και βάρους των εφήβων της Ελλάδας. (πρόβλημα) Πληθυσμός: το σύνολο των εφήβων της χώρας Ζητούμενο: προσδιορισμός της σχέσης μεταξύ του ύψους - βάρους Δείγμα: τυχαίο, μεγέθους n για τις μεταβλητές μας (ύψος και βάρος). Ποιό το Χ & ποιό το Υ; 16 4

5 συνέχεια Στατιστική Ανάλυση: βασίζεται στο δείγμα Ανάλυση Απλής Παλινδρόμησης Γενίκευση Αποτελεσμάτων (από το δείγμα στον πληθυσμό-συμπερασματολογία Συμπερασματολογία) Τι Παρατηρούμε στο Προηγούμενο Παράδειγμα (βλ.σελ.11); 1. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η X (ge) τόσο αυξάνεται και η Υ (Pressure). Μάλιστα φαίνεται ότι τα σημεία (X i,y i ) βρίσκονται «κοντά» σε μία ευθεία, π.χ. την b 0 + b 1 X i Y i (Xi,Yi) από την ευθεία αυτή φαίνονται τυχαίες. Αν ονομάσουμε εi, i = 1, 2,,n τις διαφορές αυτές τότε προκύπτει φυσιολογικά το γνωστό ως απλό γραμμικό υπόδειγμα που θα περιγράψουμε στη συνέχεια. 2., i = 1, 2,, n για κάποιες σταθερές β 0, β 1. Οι αποκλίσεις Υ i β 0 + β 1 X i, i = 1, 2,,n των σημείων ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 3 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής

6 Blood Presure Ύλη 2 ης Εβδομάδας (3 η Διάλεξη) Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα: 1. Διάγραμμα διασποράς 2. Απλό γραμμικό υπόδειγμα 3. Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές 4. Υ i, ε i -TιΣχέσηΈχουν; 5. Υπολογισμός των Ε(Υ i ) & V(Υ i ) Παράδειγμα Ηηλικία(Χ) και η αρτηριακή πίεση αίματος (Υ) ενός ενήλικα έχουν κάποια σχέση εξάρτησης μεταξύ τους (όσο μεγαλύτερη η ηλικία τόσο υψηλότερη η αρτηριακή πίεση). Ηλικία (Χ) Πίεση αίματος (Υ) Και τώρα τι; συνέχεια Για να επιλέξουμε το κατάλληλο υπόδειγμα για να περιγράψουμε τη σχέση ανάμεσα σε 2 μεταβλητές, είθιστε να ξεκινάμε από τη γραφική απεικόνισή τους, δηλαδή, απο το διάγραμμα διασποράς (scatter plot). Το διάγραμμα διασποράς μεταξύ της ηλικίας και της πίεσης αποκαλύπτει τη θετική σχέση μεταξύ των 2 αυτών μεταβλητών. Το πρώτο πράγμα που μπορούμε να κάνουμε είναι να δούμε με τη χρήση του SPSS τη «σχέση» των συγκεκριμένων μεταβλητών: Εκτελούμε Graphs/ Scatterplot / Simple/ Y xis: Pressure, X xis: ge λαμβάνοντας το ακόλουθο γράφημα Υ Χ ge

7 Τι Παρατηρούμε στο Προηγούμενο Παράδειγμα; Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η X (ge) τόσο αυξάνεται και η Υ (Pressure). Μάλιστα φαίνεται ότι τα σημεία (X i, Y i ) βρίσκονται «κοντά» σε μία ευθεία, π.χ. την Υ i β 0 + β 1 X i Όπου, i = 1, 2,, n για κάποιες σταθερές β 0, β 1. συνέχεια Οι αποκλίσεις Υ i (β 0 + β 1 X i ), i = 1, 2,,n των σημείων (X i, Y i ) από την ευθεία αυτή φαίνονται τυχαίες. Αν ονομάσουμε ε i, i = 1, 2,,n τις διαφορές αυτές τότε προκύπτει φυσιολογικά το γνωστό μας απλό γραμμικό υπόδειγμα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα Γενικά, θέλουμε να προσδιορίσουμε τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ, Υ. Το πιο απλό υπόδειγμα που θα μπορούσε να κάνει αυτό είναι το απλό γραμμικό υπόδειγμα. Σύμφωνα με το υπόδειγμα αυτό θεωρούμε ότι τα X i, Y i συνδέονται με τη σχέση Y i = β 0 + β 1 X i +ε i, i = 1, 2,, n Ανεξάρτητες Τυχαίες Μεταβλητές όπου β 0, β 1 είναι δύο άγνωστες σταθερές (και καλούνται τεταγμένη ή intercept και κλίση ή slope αντίστοιχα), ενώ οι ε 1, ε 2,,ε n είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν κανονική κατανομή Ν (0,σ 2 ) (σ 2 άγνωστο) και συνήθως καλούνται «σφάλματα» των μετρήσεων

8 Υ i, ε i -Tι Σχέση Έχουν; Υπολογισμός των Ε(Υ i ) & V(Υ i ) Μπορεί να θεωρηθεί ότι τα σφάλματα ε 1, ε 2,,ε n εμπεριέχουν όλους τους άλλους παράγοντες (εκτός της Χ) που επηρεάζουν την τιμή της μεταβλητής Υ. Υπογραμμίζεται και πάλι ότι οι τιμές Χ 1, Χ 2,, Χ n δεν είναι τυχαίες, αντίθετα με τις Υ 1, Υ 2,, Υ n οι οποίες προφανώς είναι τυχαίες και μάλιστα θα ακολουθούν κανονική κατανομή (αφού είναι γραμμικές συναρτήσεις των κανονικών τ.μ. ε i ) με παραμέτρους... Ε(Y i ), και V(Y i ) Ε(Υ i )=β 0 + β 1 X i V = σ συνέχεια Ύλη Επόμενης Εβδομάδας (4 η Διάλεξη) Δηλαδή, Y i ~ N(β 0 + β 1 X i, σ 2 ). Επίσης οι τ.μ. Υ 1, Y 2,, Y n είναι ανεξάρτητες αφού τα σφάλματα ε 1, ε 2,,ε n είναι ανεξάρτητα. Αρα, θα πρέπει με βάση τα (X i,y i ), i=1,2,,n, να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους β 0, β 1 και 1. Εκτίμηση των παραμέτρων β 0, β 1 και σ 2 2. Έλεγχοι υποθέσεων και Δ.Ε. για τις παραμέτρους του υποδείγματος σ

9 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 4 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής ( ανεβλήθει) η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Ύλη 5 ης Διάλεξης Διάγραμμα Διασποράς Μεταξύ Πωλήσεων & Πωλητών & Γραμμή Παλινδρόμησης 1. Διάγραμμα: Διασποράς & Γραμμής Παλινδρόμησης 2. Ιδιότητες Εκτιμητών 3. Συντελεστής Προσδιορισμού 4. Η εκτίμηση του Συντελεστή Προσδιορισμού 5. Έλεγχος του Συντελεστή Προσδιορισμού Π ω λ ή σ ε ι ς Y Πωλητές

10 Ιδιότητες Εκτιμητών Οι εκτιμητές 0 και 1 είναι Best Linear Unbiased Estimators (BLUE). Τι σημαίνουν τα αρχικά BLUE? 1. Εκτιμητής: Οι 0 1. είναι εκτιμητές της πραγματικής τιμής των 0 1 Ιδιότητες Εκτιμητώνσυνέχεια 2.Unbiased-Αμερόληπτος: Κατά μέσο όρο, οι τιμές των και 0 1 θα είναι ίσες με τις πραγματικές τιμές των 0 και 1. Δηλαδή, και Ιδιότητες Εκτιμητώνσυνέχεια 3. Best-Καλύτερος: σημαίνει ότι οι εκτιμητές της μεθόδου ΕΤ (ΟLS) έχουν την μικρότερη διακύμανση σε σχέση με όλους τους αμερόληπτους εκτιμητές (Αποτελεσματικός). Είδη Συσχέτισης

11 Είδη Συσχέτισης r=0 r=0 r=0 Υπάρχει Σχέση Μεταξύ Χ & Υ Ο πιο απλός τρόπος για να διαπιστώσουμε αν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών είναι η κατασκευή του διαγράμματος διασποράς (όπως έχουμε αναφέρει). Το διάγραμμα διασποράς μεταξύ πωλήσεων και διαφήμισης αποκαλύπτει τη θετική σχέση μεταξύ των 2 μεταβλητών. Το διάγραμμα διασποράς μεταξύ πωλητών και διαφήμισης αποκαλύπτει τη θετική σχέση μεταξύ των 2 μεταβλητών, η οποία δεν είναι τόσο έντονη όσο στη προηγούμενη περίπτωση Συντελεστής Συσχέτισης Η ποσοτική μέτρηση της γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών ονομάζεται συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) ο οποίος παίρνει τιμές μεταξύ του -1 και του 1. Η εκτίμηση του συντελεστή συσχέτισης, που συμβολίζεται με r προκύπτει ως: Συντελεστής Συσχέτισης Μετρά το βαθμό της γραμμικής συσχέτισης 2 τ.μ. Χ & Υ με διασπορά σ 2 Χ & σ 2 Υ αντίστοιχα & συνδιακύμανση, Cov.(X,Y) = E(X, Y)-E(X)E(Y)

12 Συντελεστής Συσχέτισης Η συσχέτιση μεταξύ (Y, X) μετράει τον βαθμό αλληλεξάρτησής τους. Αν υποτεθεί ότι Y και X συσχετίζονται, τότε: υπάρχουν ενδείξεις γραμμικής σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Οι μεταβολές των δύο μεταβλητών, κατά μέσο όρο, συνδέονται με το συντελεστή συσχέτισης. Συντελεστής Συσχέτισης Παράδειγμα Έτος Πωλήσεις Διαφήμιση Πωλητές Έτος Πωλήσεις Διαφήμιση Πωλητές Συντελεστής Συσχέτισης υπολογισμός Πωλήσεις & Διαφήμιση Πωλήσεις & Πωλητές Έλεγχος Στατιστικής Σημαντικότητας του r Αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο είναι εάν η γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ είναι στατιστικά σημαντική. Ο έλεγχος περιγράφεται ως:

13 Έλεγχος για το r συνέχεια Ο έλεγχος γίνεται με βάση την κατανομή t και η κριτική τιμή υπολογίζεται ως: Αν t n-2 > t n-2, 1-α/2 Η 0 Έλεγχος για το r συνέχεια t r 0,72 n r 10,72 n ,38 t, t, 2, ά... H n2 1 a/ 2 n2 0, Σχολιασμός του r Το πιο ουσιαστικό ερώτημα που θα πρέπει να απαντήσουμε πριν χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση παλινδρόμησης είναι: ποια είναι η προβλεπτική ικανότητα της εξίσωσης ή τι ποσοστό των μεταβολών της εξαρτημένης μεταβλητής Υ οφείλεται στις επιδράσεις της Χ. Σχολιασμός του r Όληηανάλυσηπουθαακολουθήσουμε βασίζεται στα κατάλοιπα (e i ). Όσο μεγαλύτερη είναι η επίδραση της Χ επί της Υ τόσο μικρότερα είναι τα κατάλοιπα και αντίστροφα. Πρώτη δουλειά μας είναι να εκτιμήσουμε τη συνολική διασπορά γύρω από τη γραμμή της παλινδρόμησης (δηλαδή τι?)

14 Σχολιασμός του r Σχολιασμός του r... το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των πραγματικών τιμών της Υ από τις αντίστοιχες τιμές της. Δηλαδή, θα υπολογίσουμε το n n e ( Y Y) 2 2 i i i i1 i1 που επίσης ονομάζεται και άθροισμα τωντετραγώνωντωνσφαλμάτων (sum of squared errors) και συμβολίζεται με SSE Άθροισμα Τετραγωνικών Σφαλμάτων ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 6 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής

15 Ύλη 6 ης Διάλεξης Δεδομένα & Υπολογισμοί 1. Παράδειγμα για: 1. Εκτιμήσεις παραμέτρων 2. Υπολογισμός των Y i 3. Υπολογισμός εκτιμημένων σφαλμάτων 4. Πρόβλεψη τιμών της Υ 2. Εκτίμηση Διακύμανσης του Σφάλματος Yi Xi Xi Yi XiYi n= Ζητούμενο Ζητούμενο συνέχεια 1. Eκτιμήσεις των παραμέτρων β 1 και β 2 : 1? 0? 2. Yπολογισμός του: =? Y X e Y Y i i i Y i 0 1 i (εκτιμημένα σφάλματα) i Yπολογισμός προβλέψεων των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Mε δεδομένη την τιμή της Χ μπορούμε να προβλέψουμε την τιμή της Υ. Αν Χ=10, πόσο είναι το Υ? 60 15

16 Συνολική Μεταβλητότητα του Υποδείγματος Απαντήσεις- Εκτιμήσεις Παραμέτρων Yi Xi Y Y (Y i - Y ) i (Yi - ) 2 i i , , , ,30896 Y -1560, ,051 i Y , , ,52424i , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,54 1. n YX Y X i i i i nx ( ( Xi )) i Y X 615, , ,85994 Y 4790,7621 i 5682, , , , , , ,0737 Ερμηνεία των παραπάνω αποτελεσμάτων , , , , , , , , , , Υπολογισμός Eκτιμημένων Σφαλμάτων (e i2 ) 2 Yi Xi Y i 2116, , , , , , , , , , , , , , , ,4243 (Yi- Y i ) -1066, , , , , , , , , , , , , , , ,5757 (Yi - Y ) 2 i , , , , , , , , , , , , , , , , ,91 n 2 SSE ( Y Y ) i1 63 i i Αποτελέσματα (e i2 ) Τα αποτελέσματα δίνονται στον προηγούμενο Πίνακα, στην 4η στήλη

17 Πρόβλεψη του Υ με δεδομένο Χ= Υ= 615, ,913*(100) = 5306,578 Εκτίμηση Διακύμανση του Σφάλματος (SSE) Η πληθυσμιακή διακύμανση του σφάλματος σ ε 2 είναι η παράμετρος που καθορίζει την ένταση της εξάρτησης της Υ από την Χ. Η εκτίμηση της θα βασισθεί στο άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων γύρω από τη γραμμή παλινδρόμησης, δηλαδή το SSE. Συμβολίζοντας την εκτίμηση του σ ε2 με s ε2, τότε Εκτίμηση Διακύμανση του Σφάλματος συνέχεια όπου είναι οι ΒΕ (df). Χάνουμε 2 βαθμούςελευθερίαςδιότιηεκτίμησήτου βασίζεται στην εκτίμηση 2 παραμέτρων.. Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων Η συνολική μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής Y ονομάζεται συνολικό άθροισμα τετραγώνων (Total Sum of Squares) καισυμβολίζεταιως: SSE: το μέρος της συνολικής μεταβλητικότητας της Υ που δεν εξηγείται από την παλινδ. (SST-SSE = SSR): το μέρος της διασποράς της SST που φείλεται στις επιδράσεις της Χ

18 Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων συνέχεια Δηλαδή, η συνολική μεταβλητότητα της Υ χωρίζεται σε 2 μέρη: 1. Σε εκείνη που εξηγείτε από την εξίσωση παλινδρόμησης SSR, και 2. Σε εκείνη που δεν εξηγείτε (ανεξήγητη), δηλαδή, εκείνη που οφείλεται στην επίδραση όλων των άλλων παραγόντων SSE εκτός της Χ. Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων συνέχεια H απόκλιση ( Y Y) διακρίνεται σε: i ( Y Y) ( Y Y) ( Y Y) i i i i n n n ( Yi Y) ( Yi Yi) ( Yi Y) i1 i1 i Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων συνέχεια n n n ( Yi Y) ( Yi Yi) ( Yi Y) i1 i1 i1 SST SSE SSR SST, SSR, SSE 1. SST: εκφράζει τη συνολική παρατηρούμενη μεταβλητότητα των Υ i 2. SSR: εκφράζει τη μεταβλητότητα των προσαρμοσμένων τιμών διότι: n n Y 1 Y 1 Y Y i n i1 n i1 n n 2 2 Y ( Y Y) ( Y Y ) i i i i1 i

19 SST, SSR, SSE συνέχεια 3. SSE εκφράζει τη μεταβλητότητα των Υ i σε σχέση με τις αντίστοιχες προσαρμοσμένες τιμές : Y i Η μεταβλητότητα αυτή οφείλεται στην διασπορά σ 2 των σφαλμάτων ε i τα οποία όπως είπαμε μπορεί να θεωρηθεί ότι «περιέχουν» όλους τους άλλους παράγοντες που πηρεάζουν την τιμή των Υ i (και δεν υπάρχουν στο υπόδειγμα). Συντελεστής Προσδιορισμού Άρα, η συνολική παρατηρούμενη μεταβλητότητα των Υ i (SST) μπορεί να χωριστεί στα δύο στην μεταβλητότητα : α) που ερμηνεύεται από το υπόδειγμα (SSR) β) που οφείλεται σε παράγοντες που δεν έχουν περιληφθεί στο υπόδειγμα. Άρα, το πηλίκο (συντελεστής προσδιορισμού) Συντελεστής Προσδιορισμού 2 SSR SST SSE R SST SST μπορεί. να θεωρηθεί ότι εκφράζει το ποσοστό της μεταβλητότητας των παρατηρήσεων που ερμηνεύεται από το υπόδειγμα. Συντελεστής Προσδιορισμού Παράδειγμα συνέχεια Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερο (πιο «κοντά» στην μονάδα) είναι το R 2 τόσο καλύτερο είναι το υπόδειγμα που έχουμε θεωρήσει διότι ερμηνεύει μεγαλύτερο μέρος της παρατηρούμενης μεταβλητότητας

20 Παράδειγμα συνέχεια R 2 =(SSR)/(SST) = 0,908 Γραμμικά Μοντέλα Ερμηνεία??? 10 η Παράδοση Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Εξέταση της ορθότητας του υποδείγματος Ό,τι έχουμε συζητήσει μέχρι τώρα στηρίζεται στις υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος: Yi 0 1 Xi i, i 1,2,..., n όπου τα σφάλματα ε 1, ε 2,,ε n είναι ανεξάρτητα και κατανέμονται Ν(0,σ 2 ). Πρέπει όμως να βεβαιωθούμε ότι οι υποθέσεις που έχουμε κάνει για να εφαρμόσουμε τη ΜΕΤ (που οδηγεί σε BLUE εκτιμητές) ικανοποιούνται! 79 συνέχεια Αν διαπιστώσουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει τότε τροποποιούμε κατάλληλα το υπόδειγμά μας. Αν δηλαδή, δεν ισχύουν οι παρακάτω υποθέσεις στις οποίες έχουμε αναφερθεί, θα πρέπει να μετασχηματίσουμε τα δεδομένα μας. Υποθέσεις 1. Γραμμικότητα (Linearity) 2. Ομοσκεδαστικότητα-(Homoscedasticity)- Var(ε i )=σ 2, i = 1,2,...n 3. Ανεξαρτησία (Independence)-Cov.(ε i, ε j )=0 για κάθε i j, i,j= 1,2,...n 4. Κανονικότητα (Normality)-ε i ~Ν(0,σ 2 )

21 Y Πώς διαπιστώνουμε ότι οι υποθέσεις ισχύουν; Η κατανομή της Υ έχει, για τα διάφορα επίπεδα X i, i = 1,2,...,n της Χ, μέση τιμή E(Y) = β 0 +β 1 Χ, όπου, β 0 και β 1 παράμετροι που εκτιμώνται από το δείγμα (Χ i, Υ i ), i = 1,2,...,n. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι οι μέσες τιμές της Υ, για τα διάφορα επίπεδα της Χ, είναι γραμμικές συναρτήσεις της Χ (ότι βρίσκονται δηλαδή σε ευθεία γραμμή). Σημειώνουμε ότι στο υπόδειγμα Y = β 0 +β 1 X+ε, τυχαίες μεταβλητές είναι μόνο οι Υ και ε. 81 Γραμμικότητα (1 η υπόθεση) Το πρώτο που μπορούμε να κάνουμε είναι να δούμε τη «σχέση» των συγκεκριμένων μεταβλητών, χρησιμοποιώντας το SPSS & εκτελώντας την εντολή: Graphs/ Scatterplot / Simple/ Y xis: Pressure, X xis: ge. παίρνοντας το παρακάτω διάγραμμα 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 X 82 e Y = β 0 + β 1 X + β 2 Χ 2 +ε e * Γραμμική σχέση 0 * * * * * 83 X 84 21

22 0,50000 Κανονικότητα (4 η υπόθεση) Unstandardized Residual 0, , , , , , ,00000 Unstandardized Predicted Value 85 Εξετάζουμε αν τα τυποποιημένα κατάλοιπα ακολουθούν πράγματι κανονική κατανομή, χρησιμοποιωτας ιστόγραμμα ή Q-Q plot ή P-P plot ή K-S τεστ ή χ 2 test. 86 Συνέχεια: SPSS Q-Q plot: nalyze/ Descriptive Statistics/ Q-Q plot. P-P plot: nalyze/ Regression/ Linear Regression Plot/ Standardized Residual plots/ P-P Normal Probability Plot Histogram: nalyze/ Regression/ Linear Regression Plot/ Standardized Residual/ Histogram. Kolmogorov-Smirnov Test. Μη παραμετρικός έλεγχος: Για να ελέγξουμε αν η κατανομή μιας μεταβλητής είναι συμβατή με την κανονική εφαρμόζουμε το test Kolmogorov-Smirnov. 87 συνέχεια H 0 : Ηυπόέλεγχοκατανομή, δε διαφέρει από την κανονική κατανομή. H 1 : Ηυπόέλεγχοκατανομή, διαφέρει από την κανονική κατανομή. SPSS: nalyze Nonparametric tests One sample K-S Test variable list: βάζουμε τη μεταβλητή που θέλουμε να ελέγξουμε την κανονικότητα της (τυποποιημένα κατάλοιπα = Res_1 = e i ), Test distribution: Normal Ok 88 22

23 89 90 N Normal Parameters a,b Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z symp. Sig. (2-tailed) One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Mean Std. Deviation bsolute Positive Negative a. Test distribution is Normal. Standardized Zscore(LI LIPSM Residual PSM) ,4000, , ,58618, ,000000,208,179,208,148,134,148 -,208 -,179 -,208,657,565,657,782,907,782 Δεδομένου ότι Sig = 0,907, ηη b. 0 δεν απορρίπτεται! Δηλαδή, τα Calculated from data. τυποποιημένα κατάλοιπα ακολουθούν πράγματι κανονική κατανομή και άρα ισχύει η υπόθεση της κανονικότητας συνέχεια Όταν διαπιστώνεται παραβίαση της κανονικότητας μπορούμε, σε αρκετές περιπτώσεις, να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταβλητές

24 Ανεξαρτησία (3 η υπόθεση) Εξαρτημένα ε i (& Υ i ) εμφανίζονται συνήθως σε περιπτώσεις που τα δεδομένα προκύπτουν: 1. από την ίδια πειραματική μονάδα σε διαφορετικές χρονικές στιγμές (π.χ. μετράμε την πίεση ή το βάρος του ιδίου ατόμου ανά εβδομάδα) 2. από μηχανές/όργανα που επηρεάζεται συν τω χρόνω η απόδοσή τους. συνέχεια Για τέτοιου είδους δεδομένα, σκόπιμο είναι να κάνουμε ένα διάγραμμα καταλοίπων ως προς το χρόνο (ακόμη και αν ο χρόνος δεν χρησιμοποιείται στο υπόδειγμα). Αν το διάγραμμα καταλοίπων (e i ) είναι: συνέχεια τότε είναι πιθανόν να υπάρχει στοχαστική εξάρτηση μεταξύ των σφαλμάτων. H υπόνοια αυτή ελέγχεται με τον έλεγχο Durbin- Watson. Αν διαπιστωθεί εξάρτηση των τιμών της Υ τότε για την προσαρμογή κατάλληλου υποδείγματος και την εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων πρέπει να χρησιμοποιηθούν ειδικές μέθοδοι. 95 Έλεγχος αυτοσυσχέτισης Η 0 : δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση ή ρ = 0 Η 1 : υπάρχει αυτοσυσχέτιση ή ρ 0 DW n t2 ( e e ) 2 t t1 n 2 et t1 a... r0dw2...( ό... έ ) a... r1dw 0...( έ... ή... / ) a... r1dw 4...( έ... ή... / )... r ή... έ 96 24

25 συνέχεια συνέχεια Μπορούμε επίσης να γράψουμε DW 2 (1-r) Όπου r είναι ο εκτιμημένος συντελεστής συσχέτισης. Αυτό σημαίνει ότι -1 r 1. Από τα παραπάνω έχουμε: 0 DW 4. Εάν r = 0, 0 DW = 2. 2 Έτσι, σε γενικές γραμμές, μην απορρίπτετε Γενικά: 0 < DW < d l θετική αυτοσυσχέτιση 4- d l <DW< 4 αρνητική αυτοσυσχέτιση την μηδενική υπόθεση εάν το DW είναι κοντά στο 2 δηλαδή δεν υπάρχουν στοιχεία για αυτοσυσχέτιση. Δυστυχώς, η DW έχει 2 κρίσιμες τιμές, μια ανώτερη κρίσιμη τιμή (d ) και μια χαμηλότερη κρίσιμη τιμή (d u l ), και υπάρχει επίσης μια ενδιάμεση περιοχή όπου δεν μπορούμε ούτε να απορρίψουμε ούτε να να μην απορρίψουμε την H. 0 d l < DW< d u ή 4- d u < DW < 4- d l Ομοσκεδαστικότητα Ένας πρώτος έλεγχος της σταθερότητας ή μη της διασποράς της Υ (ήτηςe) για τα διάφορα επίπεδα της Χ μπορεί να γίνει με το διάγραμμα διασποράς και τα διαγράμματα καταλοίπων. Αν για παράδειγμα, το διάγραμμα καταλοίπων έχει μορφή όπως το παρακάτω, η πιο πιθανή αιτία είναι η μη σταθερότητα της διασποράς των τυχαίων σφαλμάτων ε. Ετεροσκεδαστικότητα Ύπαρξη ετεροσκεδαστικό τητας, εφόσον τα σημεία (e, Y) περιλαμβάνονται ανάμεσα στις δύο τεμνόμενες ευθείες

26 Γενικά, ερευνούμε διαγραμματικά για την ύπαρξη της ετεροσκεδαστικότητας, με: Ιστόγραμμα με την κατανομή των καταλοίπων: αυτό που αναζητούμε, είναι η κατανομή να ακολουθεί (όσο είναι εφικτό) κανονική κατανομή. Η μη κανονική κατανομή των καταλοίπων μπορεί να αντανακλά πρόβλημα κακής εξειδίκευσης της παλινδρόμησης. Διάγραμμα πιθανής κανονικότητας των καταλοίπων Normal probability plot of residuals όσο η κατανομή των καταλοίπων ακολουθεί την ευθεία γραμμή τόσο πιο κανονική είναι η κατανομή. Διάγραμμα διασποράς (Scatterplot) μεταξύ των τυποποιημένων καταλοίπων ZRESID και των τυποποιημένων προβλεπόμενων τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής ZPRED. Διάγραμμα διασποράς (Scatterplot) μεταξύ των καταλοίπων RESID και των ερμηνευτικών μεταβλητών Scatterplot Linear Regression Dependent Variable: BROS Unstandardized Residual 5,00000 Regression Standardized Residual , , , ,00000 Unstandardized Residual = 0, ,00 * PRE_1 R-Square = 0,00 172, , , ,00000 Unstandardized Predicted Value Regression Standardized Predicted Value

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Εισαγωγή Το πρόβλημα - Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή (Wilcoxon test)

Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή (Wilcoxon test) Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή (Wilcoxon test) Σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτείται ο έλεγχος της ύπαρξης στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Πέτρος Ρούσσος Πρόγραμμα Ψυχολογίας, ΦΠΨ, ΕΚΠΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ορολογία Προβλεπτικές μεταβλητές ή παράγοντες (predictors) Μεταβλητή κριτήριο (criterion) Απλή και πολλαπλή παλινδρόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα:

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα: ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, 6-5-0 Άσκηση 8. Δίνονται οι παρακάτω 0 παρατηρήσεις (πίνακας Α) με βάση τις οποίες θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα γραμμικό μοντέλο για την πρόβλεψη της Υ μέσω των ανεξάρτητων μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΠΟΤΕ ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑ ΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολλαπλή Παλινδρόμηση Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗ : ΜΠΑΡΔΑΚΗ ΘΕΟΔΩΡΑ ΛΑΚΟΥΜΕΝΤΑ ΙΩΑΝΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Συχνά στην πράξη το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι ανεπαρκές για την περιγραφή της μεταβλητότητας που υπάρχει στην εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Γραμμική Παλινδρόμηση

Εισαγωγή στην Γραμμική Παλινδρόμηση ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 13-11-015 Εισαγωγή στην Γραμμική Παλινδρόμηση Γραμμική σχέση μεταξύ μεταβλητών Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Στόχος Πολύ συχνά, η Τ.Μ. που εξετάζουμε π.χ. η κατανάλωση των νοικοκυριών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3ο Κίβδηλες παλινδρομήσεις Μια από τις υποθέσεις που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Επιστηµονική Επιµέλεια ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας, Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Εισαγωγή Ανάλυση Παλινδρόµησης και Συσχέτιση Απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΑΡΞΗΣ Ή ΟΧΙ ΣΧΕΣΗΣ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ CROSSTABS ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Ο πίνακας συνάφειας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Οι παραβιάσεις των σημαντικότερων υποθέσεων των γραμμικών υποδειγμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί Έλεγχοι Διαπίστωσης της Αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι από τους διαγνωστικούς ελέγχους της αυτοσυσχέτισης αναφέρονται σε αυτοσυσχέτιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ,

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, -- Άσκηση. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα 5 7 8 9 5 X 8 5 5 5 9 7 Y. 5.. 7..7.7.9.. 5.... 8.. α) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς β) εξετάστε τα μοντέλα Υ = β + β Χ + ε, (linear),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΜ264: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε μελέτη της επίδρασης γεωργικών χημικών στην προσρόφηση ιζημάτων και εδάφους, δίνονται στον πιο κάτω πίνακα 13 δεδομένα για το δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΡΟΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ΤΡΟΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Γραφική παράσταση των υπολοίπων (ή των μαθητικοποιημένων υπολοίπων) ως προς την

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Στατιστική

Αναλυτική Στατιστική Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Το Γενικευμένο Γραμμικό Υπόδειγμα (Α) ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF THESSALY FACULTY OF ENGINEERING DEPARTMENT OF PLANNINGAND REGIONAL DEVELOPMENT MASTER «EUROPEAN REGIONAL DEVELOPMENT STUDIES»

UNIVERSITY OF THESSALY FACULTY OF ENGINEERING DEPARTMENT OF PLANNINGAND REGIONAL DEVELOPMENT MASTER «EUROPEAN REGIONAL DEVELOPMENT STUDIES» UNIVERSITY OF THESSALY FACULTY OF ENGINEERING DEPARTMENT OF PLANNINGAND REGIONAL DEVELOPMENT MASTER «EUROPEAN REGIONAL DEVELOPMENT STUDIES» METHODS OF SPATIAL ECONOMIC ANALYSIS LECTURE 11 Δρ. Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέμβριος 2017 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόμενα Ορισμός της Στατιστικής Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 6: Συσχέτιση και παλινδρόμηση εμπειρική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. Απλή Παλινδρόμηση. (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμησης +e ) Εκτίμηση Απλής Παλινδρόμησης. α= εκτίμηση της τεταγμένης για χ=0

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. Απλή Παλινδρόμηση. (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμησης +e ) Εκτίμηση Απλής Παλινδρόμησης. α= εκτίμηση της τεταγμένης για χ=0 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΧΕΣΗ Απλή Παλινδρόμηση Y = a + bx + e (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμισης +e ) Εκτίμηση Απλής Παλινδρόμησης Y = a + bx (Όγκος πωλήσεων = α +b έξοδα διαφήμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυσης στις Κοινωνικές Επιστήμες

Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυσης στις Κοινωνικές Επιστήμες ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυσης στις Κοινωνικές Επιστήμες Ενότητα 9 : Περιγραφή του ελέγχου Χ 2 Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6: ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6: ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6: ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Πληθυσμός (Χ i1 )

Άσκηση 1. Πληθυσμός (Χ i1 ) Άσκηση Μία αντιπροσωπεία πωλήσεως αυτοκινήτων διαθέτει καταστήματα σε 5 διαφορετικές πόλεις. Ο επόμενος πίνακας δίνει τις πωλήσεις Υ i του τελευταίου μήνα καθώς επίσης και τον πληθυσμό Χ i και το οικογενειακό

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής

Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής Συσχέτιση μεταξύ δυο μεταβλητών Η συσχέτιση (correlation) ή συνάφεια (association)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο ανεξάρτητων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου 2017 1/32 Ανάλυση Παλινδρόμησης: Γενικά. Με την ανάλυση παλινδρόμησης εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΧΡΗΣΗ SPSS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΧΡΗΣΗ SPSS Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας-Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Κυκλοφορίας, Μεταφορών και Διαχείρισης Εφοδιαστικής Αλυσίδας Αντικείμενα διάλεξης Σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ

Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑTΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ Έλενα Κριτσέλη, MPH PhD Επιστημονικός Συνεργάτης Επιδημιολόγος Χρόνιων Παθήσεων, Α Πανεπιστημιακή Παιδιατρική

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,..., Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ )

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,...,Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ ) S σ Τ ( Χ,Y)

Διαβάστε περισσότερα