ΟΡΤΚΣΟΛΟΓΙΑ ΣΟΜΕΑ ΓΕΨΛΟΓΙΚΨΝ ΕΠΙΣΗΜΨΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΜΕΣΑΛΛΕΙΨΝ - ΜΕΣΑΛΛΟΤΡΓΨΝ

Transcript

1 ΟΡΤΚΣΟΛΟΓΙΑ ΣΟΜΕΑ ΓΕΨΛΟΓΙΚΨΝ ΕΠΙΣΗΜΨΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΜΕΣΑΛΛΕΙΨΝ - ΜΕΣΑΛΛΟΤΡΓΨΝ ΜΑΘΗΜΑ 7. ΕΙΑΓΨΓΗ ΣΗΝ ΚΡΤΣΑΛΛΟΓΡΑΥΙΑ υμμετρία και Κρυσταλλικά υστήματα Ηλίασ Χατηθκεοδωρίδθσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ

2 ΑΔΕΙΑ ΦΡΗΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άδεια χριςθσ άλλου τφπου, αυτι πρζπει να αναφζρεται ρθτϊσ.

3 3 υμμετρία και τύποι συμμετρίας

4 ΕΨΣΕΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΣΨΝ ΚΡΤΣΑΛΛΨΝ 4 Όπωσ είπε ο Haüy, υπάρχει μια εςωτερικι δομι ςτουσ κρυςτάλλουσ Σιμερα τθν δομι αυτι τθν καταλαβαίνουμε από τθν περιοδικι επανάλθψθ ςτον χϊρο μονάδων υλικοφ (π.χ. άτομα) που τισ ονομάηουμε κυψελίδεσ Η επανάλθψθ των κυψελίδων ςτον χϊρο καταλιγει ςτο εξωτερικό ςχιμα των κρυςτάλλων που βλζπουμε Οι επαναλαμβανόμενεσ μονάδεσ μπορεί να είναι: Εικόνα 1 Μόρια, όπωσ π.χ. το μόριο του νεροφ H2O ςτον πάγο Ανιόντα, όπωσ (CO3) 2-, (SiO4) 4-, (PO4) 3- Κατιόντα ι απλά άτομα, όπωσ Ca 2+, Mg 2+, Fe 2+, Fe 3+ Εικόνα 2

5 ΣΙ ΕΙΝΑΙ ΤΜΜΕΣΡΙΑ; 5 Η ςυςτθματικι αναπαραγωγι όμοιων χαρακτθριςτικϊν ςτθ μία, ςτισ δφο ι ςτισ τρεισ διαςτάςεισ λζγεται πωσ ζχει ςυμμετρία. Παράδειγμα Συμμετρία ςτισ δφο διαςτάςεισ με περιοδικι τοποκζτθςθ όμοιων αντικειμζνων (ςφαιρϊν) ςε ίςεσ αποςτάςεισ μεταξφ τουσ.

6 ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΟ ΣΨΝ ΠΡΑΞΕΨΝ ΤΜΜΕΣΡΙΑ 6 Στθν άλγεβρα ζχουμε 1=1 ιςότθτα ι ταυτότθτα 1+2 = 2+1 αντιμετάκεςθ όρων Επίςθσ με τισ πράξεισ τθσ άλγεβρασ μποροφμε να παράγουμε οποιονδιποτε αρικμό Με τθν πρόςκεςθ με ςφμβολο το + 1+1=2, ι 1+1+1=3, ι 1+2=3 Με τον πολλαπλαςιαςμό με ςφμβολο το 1 0=0, ι 1 1=1, ι ακόμθ 2 2=4 κτλ. Υπάρχει επίςθσ και θ πράξθ τθσ ιςότθτασ που ςυμβολίηεται με το ίςον = Κάτι ανάλογο περιμζνουμε και ςτθν κρυςταλλογραφία αλλά με άλλεσ πράξεισ που ζχουν γεωμετρικι ζννοια, κυρίωσ ςτον χϊρο

7 ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΣΗΝ ΣΕΦΝΗ 7 Εικόνα 3 M.C. Escher ( ) Εικόνα 4

8 ΕΚΥΡΑΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΣΗΝ ΣΕΦΝΗ 8 Εικόνα 5 M.C. Escher

9 ΕΜΒΑΘΤΝΗ ΣΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΣΗΝ ΣΕΦΝΗ 9 Εικόνα 7 M.C. Escher Εικόνα 8 Εικόνα 6

10 ΠΕΡΙΟΣΕΡΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΣΗΝ ΣΕΦΝΗ 10 Εικόνα 9 M.C. Escher Εικόνα 10 Εικόνα 11 Εικόνα 12

11 Η ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΣΟΤ ΦΑΟΤ 11 Εικόνα 13 Εικόνα 14 Εικόνα 15 Εικόνα 16 Εικόνα 17 Εικόνα 18

12 ΠΕΡΙΟΣΕΡΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΜΕΑ ΣΟ ΦΑΟ 12 Εικόνα 19 Εικόνα 20 Εικόνα 21 Εικόνα 22

13 ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ ΣΨΝ ΚΡΤΣΑΛΛΨΝ 13 Από το εξωτερικό τουσ ςχιμα Από τθν εςωτερικι τουσ ςυμμετρία Εξωτερικό ςχιμα κρυςτάλλων 7 Συςτιματα Κρυςτάλλωςθσ με βάςθ το ςφςτθμα ςυντεταγμζνων 32 μοναδιαίοι ςυνδυαςμοί: Σθμειο-ομάδεσ (point groups) ι Κρυςταλλικζσ τάξεισ με βάςθ τα ςτοιχεία ςυμμετρίασ (άξονεσ, ςθμεία, επίπεδα) και τουσ ςυνδυαςμοφσ αυτϊν (πράξεισ) με μοναδιαίο αποτζλεςμα.

14 ΣΑ ΕΠΣΑ (7) ΤΣΗΜΑΣΑ ΚΡΤΣΑΛΛΨΗ 14 Με βάςθ το ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Τρικλινζσ ςφςτθμα Μονοκλινζσ ςφςτθμα Ορκορομβικό ςφςτθμα Τετραγωνικό ςφςτθμα Εξαγωνικό ςφςτθμα Τριγωνικό ςφςτθμα } Ιςομερζσ κυβικό ςφςτθμα Κατά τθν αμερικάνικθ ταξινόμθςθ τα δφο ςυςτιματα κατατάςςονται ςαν υποςυςτιματα του εξαγωνικοφ 7 κρυςταλλικά ςυςτιματα 32 point groups

15 ΣΡΙΚΛΙΝΕ ΤΣΗΜΑ 15 a b c α β γ 90 +c β -a α -b 1 = Καμμία ςυμμετρία 1-= Α 1 - +a γ +b -c

16 ΜΟΝΟΚΛΙΝΕ ΤΣΗΜΑ 16 a b c +c α = γ = 90 β 90 β c 0 -a α -b b 0 a 0 2 = 1Α 2 m=m 2/m = I, 1A 2, m +a -c γ +b

17 ΟΡΘΟΡΟΜΒΙΚΟ ΤΣΗΜΑ 17 a b c α = β= γ = 90 +c c 0 β=90 -b -a b 0 α=90 a = 3A 2 mm2 = 1A 2, 2m 2/m 2/m 2/m = I, 3A 2, 3m +a -c γ=90 +b

18 ΣΕΣΡΑΓΨΝΙΚΟ ΤΣΗΜΑ 18 a b c α = β= γ = 90 +c β=90 -a α=90 4 = 1A4 4- = 1A-4 4/m = I, 1A4, m 422 = 1A4, 4A2 4mm = 1A4, 4m 4-2m = 1A-4, 2A2, 2m 4/m 2/m 2/m = I, 1A4, 4A2, 5m -b +a -c γ=90 +b

19 ΣΡΙΓΨΝΙΚΟ (ΡΟΜΒΟΕΔΡΙΚΟ) ΤΣΗΜΑ 19 a 1 = a 2 = a 3 = c γ 1 =γ 2 =γ 3 =120 β = α = 90 +c +a 3 β=90 a 3 c 0 +b α=90 3 = 1A3 3- = 1A-3 (i+1a3) 32 = 1A3, 3A2 3m = 1A3, 3m 3-2/m = 1A-3 (=i+1a3), 3A2, 3m +a 1 a 1 γ=120 -c a 2 +a 2

20 ΕΞΑΓΨΝΙΚΟ ΤΣΗΜΑ 20 a 1 = (a 2 b)=a 3 c 0 γ 1 =γ 2 =γ 3 =120 β = α = 90 6 = 1A6 6- = 1A-6 (=1A3 + m) 6/m = I, 1A6, m 622 = 1A6, 6A2 6mm = 1A6, 6m 6-m2 = 1A-6 (=1A3+m), 3A2, 3m 6/m 2/m 2/m = I, 1A6, 6A2, 7m +a 3 +a 1 β=90 a 3 a 1 +c c 0 +b γ=120 α=90 b a 2 +a 2 -c

21 ΚΤΒΙΚΟ (ΙΟΜΕΣΡΙΚΟ) ΤΣΗΜΑ 21 a = b = c α = β= γ = 90 +c β=90 -a α=90 -b 6/m2/m2/m = i, 1A 6, 6A 2, 7m 23 = _ 3A 2, 4A 3 _ 2/m3 = 3A 2, 3m, 4A 3 _ 432 = 3A 4 _, 4A 3, 6A 2 4 3m = 3A 4, 4A 3, 6m _ 4/m32/m = 3A 4, 4A 3, 6A 2, 9m +a -c γ=90 +b

22 22 τοιχεία συμμετρίας και πραξεις συμμετρίας

23 ΣΟΙΦΕΙΑ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙ ΤΜΜΕΣΡΙΑ 23 Βαςικοί τφποι ςτοιχείων ςυμμετρίασ Συμμετρία ςε ςχζςθ με ζνα ςθμείο Συμμετρία ςε ςχζςθ με ευκεία γραμμι χ 90 χ Συμμετρία ςε ςχζςθ με ζνα επίπεδο

24 ΤΜΜΕΣΡΙΑ Ε ΦΕΗ ΜΕ ΗΜΕΙΟ 24 Ένα ςθμείο είναι ζνα κζντρο ςυμμετρίασ όταν όλα τα ςθμεία που βρίςκονται ςε ίςεσ αποςτάςεισ από αυτό, αλλά ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ, είναι ιςοδφναμα. Το κζντρο ςυμμετρίασ ςυμβολίηεται με το λατινικό γράμμα i. i

25 ΤΜΜΕΣΡΙΑ Ε ΦΕΗ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΟ 25 Εάν από ζνα ςθμείο φζρουμε κάκετο ςε ζνα επίπεδο και ςε ίςθ απόςταςθ από τθν άλλθ μεριά του επιπζδου ςυναντιςουμε ιςότιμο ςθμείο, τότε λζμε πωσ το επίπεδο αυτό είναι ζνα επίπεδο ςυμμετρίασ. Το επίπεδο ςυμμετρίασ ςυμβολιηεται με το λατινικό γράμμα m. Επίςθσ, το επίπεδο ςυμμετρίασ λζγεται και κατοπτρικό επίπεδο.

26 ΤΜΜΕΣΡΙΑ Ε ΦΕΗ ΜΕ ΕΤΘΕΙΑ 26 Η ευκεία λζγεται και άξονασ ςυμμετρίασ και ςυμβολίηεται με τον αντίςτοιχο αρικμό ι ςφμβολο όπωσ αυτό φαίνεται ςτο παρακάτω ςχιμα. χ 90 χ Οι τζςςερεισ τφποι αξόνων ςυμμετρίασ Διπλόσ (2) Τριπλόσ (3) Τετραπλόσ (4) Εξαπλόσ (6) Άξονασ ςυμμετρίασ 360, δεν υφίςταται, αλλά απλά ςθμαίνει ανυπαρξία ςυμμετρίασ.

27 ΑΞΟΝΕ ΤΜΜΕΣΡΙΑ 27 (ςυμμετρία με βάςθ τθν ευκεία) Η γεωμετρικι κίνθςθ που απαιτείται για να φζρει ζνα ςθμείο ϊςτε να ταυτιςτεί με άλλο ςθμείο ίδιου είδουσ, ονομάηεται πράξθ ςυμμετρίασ Πράξεισ ςυμμετρίασ πρϊτου είδουσ ονομάηονται αυτζσ που δεν αλλάηουν τον ςχετικό προςανατολιςμό του αντικειμζνου. Αυτοί οι άξονεσ λζγονται και κανονικοί. Πράξεισ ςυμμετρίασ δεφτερου είδουσ ονομάηονται αυτζσ που αλλάηουν τον ςχετικό προςανατολιςμό του αντικειμζνου. Αυτοί οι άξονεσ λζγονται και μθ-κανονικοί. i 4 m Αυτοί οι άξονεσ ταυτίηονται με πράξεισ όπωσ το ςθμείο ι το επίπεδο

28 ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΑΞΟΝΕ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ας ης ης

29 ΜΗ - ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΑΞΟΝΕ ΤΜΜΕΣΡΙΑ 29 Είναι όλοι οι κανονικοί (1, 2, 3, 4, 6) αλλά με μία επιπλζον αναςτροφι του αντικειμζνου κατά ςθμείο που ανικει ςτον άξονα. 1 Συμβολίηονται με 1, 2, 3, 4 και 6. _ 1 _ 2 _ 2 ιςότιμο με ιςότιμο με i m Σθμείο ςυμμετρίασ Επίπεδο ςυμμετρίασ

30 ΔΕΝ ΤΠΑΡΦΕΙ ΑΞΟΝΑ 5 ης, ΚΑΙ ΑΠΟ 7 ης ΚΑΙ ΠΑΝΨ ΣΗΝ ΥΤΗ 30 Υπάρχει όμωσ 5 θσ ςε τεχνθτοφσ κρυςτάλλουσ! Κράμα Al-Pd-Re ςχθματίηει κρυςτάλλουσ με άξονα 5 θσ τάξθσ Εικόνα 23

31 ΠΛΑΚΙΔΙΑ ΣΟΤ ROGER PENROSE Πλιρθσ κάλυψθ επιφάνειασ με ζνα μθ-περιοδικό τρόπο (1984) 2 5 Εικόνα 24 1

32 ΤΝΔΤΑΜΟΙ (ΠΡΑΞΕΙ) ΣΟΙΦΕΙΨΝ ΤΜΜΕΣΡΙΑ 32 _ Τα βαςικά ςτοιχεία ςυμμετρίασ είναι δζκα: 6, 4, 3, 2, 1, 6, 4, 3, 2 = m, 1 = i Συνδυαςμοί των παραπάνω δίνουν τα κρυςταλλικά ςυςτιματα που παρατθροφνται ςτα κρυςταλλικά υλικά. Όλοι οι κρφςταλλοι ζχουν μερικά από τα παραπάνω 10 βαςικά ςτοιχεία ςυμμετρίασ, αλλά απεριόριςτο αρικμό του ςτοιχείου ςυμμετρίασ 1. Η εξωτερικι ςυμμετρία κάκε κρυςτάλλου πρζπει να αντιςτοιχεί ςε: Ζναν από τουσ πζντε κανονικοφσ άξονεσ (1, 2, 3, 4 και 6) Ζναν από τουσ πζντε μθ-κανονικοφσ άξονεσ (1, 2, 3, 4 και 6) Ζναν από τουσ ςυνδυαςμοφσ των παραπάνω, αυτοφσ που δεν οδθγοφν ςε απεριόριςτο αρικμό επαναλιψεων αλλά ςε 32 μοναδιαίουσ ςυνδυαςμοφσ, τισ 32 κρυςταλλικζσ τάξεισ.

33 33 ΟΙ 32 ΚΡΤΣΑΛΛΙΚΕ ΣΑΞΕΙ (ημειο-ομάδες)

34 ΟΙ 32 ΚΡΤΣΑΛΛΙΚΕ ΣΑΞΕΙ (ΗΜΕΙΟ ΟΜΑΔΕ) 34 Οι 32 κρυςταλλικοί ςυνδυαςμοί ςθμείου Οι ςυνδυαςμοί ςτοιχείων ςυμμετρίασ που περνάνε από ζνα ςθμείο λζγονται «point groups» (ςθμειο-ομάδεσ) Point = ςθμείο, τουλάχιςτον ζνα ςθμείο μζνει ακίνθτο Groups = ομάδα, με τθν μακθματικι ζννοια (Θεωρία Ομάδων) Μόνο 32 τζτοιοι ςυνδυαςμοί είναι δυνατοί

35 ΟΙ 32 ΗΜΕΙΟ ΟΜΑΔΕ (ΚΡΤΣΑΛΛΙΚΕ ΣΑΞΕΙ ) 35

36 ΑΛΛΟΙ ΤΜΒΟΛΙΜΟΙ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΣΟΛΟΓΙΕ 36 Κπςσταλλικό Σύστημα Κπςσταλλική Κλάση Ππάξειρ σςμμετπίαρ Κπςσταλλικό Σύστημα Κπςσταλλική Κλάση Ππάξειρ σςμμετπίαρ Τπικλινέρ Εξαγωνικό Μονοκλινέρ Οπθοπομβικό Τετπαγωνικό Κςβικό (Ισομετπικό)

37 ΟΙ ΤΜΒΟΛΙΜΟΙ ΦΗΜΑΣΙΚΑ (1) 37 Από το Ορκορομβικό: 222 ι 3Α 2 (τρεισ άξονεσ δευτζρασ τάξεισ) 2 2 2

38 ΟΙ ΤΜΒΟΛΙΜΟΙ ΦΗΜΑΣΙΚΑ (2) 38 Από το Ορκορομβικό: 2/m2/m2/m ι i, 3Α 2, 3m (τρεισ άξονεσ δευτζρασ τάξεισ, κάκετοι ο κακζνασ ςε ζνα επίπεδο) m 2 m 2 m 2

39 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ ΚΡΤΣΑΛΛΙΚΨΝ ΤΣΗΜΑΣΨΝ (5 ΑΠΟ ΣΑ 32) 39

40 ΦΡΗΗ ΣΨΝ ΣΟΙΦΕΙΨΝ ΤΜΜΕΣΡΙΑ 40

41 ΠΡΑΚΣΙΚΗ ΕΞΑΚΗΗ ΜΕ ΞΤΛΙΝΑ ΜΟΝΣΕΛΑ ΚΡΤΣΑΛΛΨΝ 41

42 ΕΨΣΕΡΙΚΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΡΤΣΑΛΛΨΝ 42 Πλζγματα Bravais Βαςικά πλζγματα που ο ςυνδυαςμόσ τουσ ςυνκζτει πολυπλοκότερεσ καταςκευζσ. Χωρο-ομάδεσ (space groups) με βάςθ άλλα ςτοιχεία ςυμμετρίασ, όπωσ ολίςκθςθ ςε άξονα ι ςε επίπεδο, μεταφορά ι περιςτροφι ςε άξονα (και ςυνδυαςμοφσ)

43 ΠΛΕΓΜΑΣΑ BRAVAIS 43 Μοναδιαίεσ, βαςικζσ κυψελίδεσ (primitive cells), με τα άτομά τουσ (μαφρεσ ςφαίρεσ), αντιγράφονται και μετατοπίηονται ςτον τριςδιάςτατο χϊρο (κατά το κίτρινο διάνυςμα). Ζτςι ςχθματίηεται ο κρφςταλλοσ.

44 ΠΛΕΓΜΑ BRAVAIS: ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΠΕΡΙΠΣΨΗ 44 Στθν παρακάτω περίπτωςθ κάκε κυψελίδα από μόνθ τθσ ζχει οκτϊ άτομα (ζνα ςτθν κάκε μία από τισ 8 κορυφζσ). Ωςτόςο, ςτο κρφςταλλο κάκε κυψελίδα περιζχει 8 1/8 = 1 άτομο, γιατί τα άλλα άτομα τα παρζχουν οι γειτονικζσ κυψελίδεσ. Εδϊ, δεν ζχουμε δφο άτομα μαηί αλλά μόνο ζνα

45 ΠΛΕΓΜΑΣΑ BRAVAIS: ΜΟΝΑΔΙΑΙΕ ΚΤΧΕΛΙΔΕ ΣΟΤ ΚΤΒΙΚΟΤ 45 Τρία από τα 14 πλζγματα: τα πλζγματα του κυβικοφ. P: απλό πλζγμα, με άτομα μόνο ςτισ κορυφζσ F: εδροκεντρωμζνο πλζγμα, με άτομα και ςτο κζντρο κάκε ζδρασ επιπλζον των κορυφϊν Ι: χωροκεντρωμζνο πλζγμα, με άτομα ςτο μζςο του κφβου, επιπλζον των κορυφϊν

46 ΣΑ ΤΠΟΛΟΙΠΑ 11 ΠΛΕΓΜΑΣΑ BRAVAIS 46

47 HRTEM ΚΟΡΔΙΕΡΙΣΗ 47

48 ΦΨΡΟ ΟΜΑΔΕ (SPACE GROUPS) 48 Συνδυάηοντασ τισ 32 ςθμειο-ομάδεσ (point groups) με τα 14 πλζγματα Bravais δθμιουργοφμε 230 μοναδιαίουσ γεωμετρικοφσ ςυνδυαςμοφσ που τουσ ονομάηουμε χωρο-ομάδεσ (space groups). Ο παραπάνω ςυνδυαςμόσ περιλαμβάνει κινιςεισ (ολιςκιςεισ) πάνω ςε: ευκείεσ γραμμζσ: ολίςκθςθ ανά ςυγκεκριμζνθ απόςταςθ ςε επίπεδα: δθμιουργία ειδϊλου με κακρζπτθ και ολίςκθςθ αυτοφ ςε άξονεσ περιςτροφισ: περιςτροφι και ολίςκθςθ

49 230 ΦΨΡΟ ΟΜΑΔΕ 49 Για κάκε μία από τισ 32 κρυςταλλικζσ τάξεισ (crystal class) αντιςτοιχεί ζνα ςφνολο διακριτϊν χωρο-ομάδων (space group), ςτο ςφνολό τουσ 230.

50 50 ΝΟΜΟΙ ΣΗ ΚΡΤΣΑΛΛΟΓΡΑΥΙΑ Οι νόμοι τθσ κρυςταλλογραφίασ ζχουν ςαν αποτζλεςμα να μποροφμε να εκφράηουμε τισ μακροςκοπικζσ ςχζςεισ μεταξφ των εδρϊν ενόσ κρυςτάλλου.

51 1 ος ΝΟΜΟ ΣΗ ΚΡΤΣΑΛΛΟΓΡΑΥΙΑ (Νόμος του Haüy) c Οι κρυςταλλικζσ ζδρεσ τζμνουν τουσ κρυςταλλογραφικοφσ άξονεσ ςε ακζραιεσ μονάδεσ μικουσ +1 s +1 p b +2 +a

52 2 ος ΝΟΜΟ ΣΗ ΚΡΤΣΑΛΛΟΓΡΑΥΙΑ (Νόμος του Bravais) 52 A Συχνότερθ εμφάνιςθ (και κατ επζκταςθ μεγαλφτερο εμβαδόν) ζχουν οι κρυςταλλικζσ ζδρεσ που είναι παράλλθλεσ ςε κρυςταλλικά επίπεδα με μεγάλθ πυκνότθτα ςε άτομα Α A C A B C B A Α

53 ΝΟΜΟ ΣΑΘΕΡΟΣΗΣΑ ΣΨΝ ΓΨΝΙΨΝ 53 Οι ςχετικζσ γωνίεσ μεταξφ όμοιων ηευγαριϊν εδρϊν ςε ζνα κρφςταλλο είναι πάντα ςτακερζσ και ίςεσ με αυτζσ ενόσ τζλειου, ιδεατοφ κρυςτάλλου (Nicolaus Steno, 1669). Εάν από το κζντρο ενόσ οποιοδιποτε κρυςτάλλου φζρουμε κάκετεσ ευκείεσ προσ τισ ζδρεσ του, θ γωνίεσ που ςχθματίηουν αυτζσ οι ευκείεσ είναι και οι ηθτοφμενεσ. Αυτζσ οι γωνίεσ πρζπει να είναι ςτακερζσ για ίδιουσ κρυςτάλλουσ και μεταξφ ομοειδϊν ηευγαριϊν εδρϊν. Τζλοσ, αυτζσ οι γωνίεσ μετρϊνται με τα γωνιόμετρα (όργανα που βαςίηονται ςτθν ανάκλαςθ μιασ δζςμθσ φωτόσ ςτθν επιφάνεια των εδρϊν).

54 ΦΡΗΗ ΓΨΝΙΟΜΕΣΡΟΤ 54 Περιςτρζφουμε τον κρφςταλλο κατά τον άξονά του (ι το οπτικό ςφςτθμα του γωνιομζτρου) και μετράμε τθν γωνία μεταξφ δφο κζςεων με μζγιςτθ ανάκλαςθ Φωτόσ Για μεγάλουσ κρυςτάλλουσ, κακϊσ και για τα μοντζλλα του εργαςτθρίου, μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε ζνα απλό γωνιόμετρο όπωσ αυτό ςτα αριςτερά.

55 55 ΚΡΤΣΑΛΛΟΙ ΣΗ ΥΤΗ. ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΚΡΤΣΑΛΛΨΝ.

56 ΓΙΑΣΙ ΤΠΑΡΦΟΤΝ ΚΡΤΣΑΛΛΟΙ 56 Τα άτομα ζχουν τθν ιδιότθτα εάν βρεκοφν κοντά να αναηθτοφν κζςεισ ςτισ οποίεσ θ ενζργεια του ςυςτιματοσ μειϊνεται για τισ δεδομζνεσ ςυνκικεσ. Σε αυτζσ τισ κζςεισ ςτακεροποιοφνται ςχετικά και θ κινθτικότθτά τουσ μειϊνεται. Οι κζςεισ αυτζσ είναι γεωμετρικά κατανεμθμζνεσ ζτςι ϊςτε εάν ξεκινϊντασ από ζνα άτομο και προσ κάποια διεφκυνςθ βροφμε μετά από ςυγκεκριμζνθ απόςταςθ ζνα άλλο άτομο, τοτε επεκτείνοντασ τθν ευκεία αυτι προσ τθν ίδια διεφκυνςθ και ςταματϊντασ ςτθν ίδια απόςταςθ κα δοφμε και πάλι άλλο ζνα ίδιο άτομο. Στισ τρείσ διαςτάςεισ, θ περιοδικότθτα αυτι των ατόμων ςχθματίηει τον κρφςταλλο. Ο κρφςταλλοσ τελικά είναι ενα φυςικό ςϊμα, που ζχει φλθ/άτομα που είναι περιοδικά ταξινομθμζνα ςτο χϊρο. Αυτι θ περιοδικι ταξινόμθςθ δίνει πολλζσ ιδιότθτεσ ςτο υλικό ςϊμα που τελικά ςχθματίηεται (φυςικζσ, χθμικζσ, μθχανικζσ κτλ).

57 ΚΡΤΣΑΛΛΟΙ ΣΗ ΥΤΗ 57 Τα κρυςταλλικά υλικά ζχουν τθν ίδια χθμικι ςφςταςθ ςε όλθ τθν μάηα τουσ. Οςτόςο, οι γεωμετρικζσ μορφζσ που παρουςιάηονται ςτθν φφςθ διαφζρουν ανάλογα με τον βακμό κρυςτάλλωςισ τουσ: Ανεδρικοί κρφςταλλοι Υποεδρικοί κρφςταλλοι Ολοεδρικοί κρφςταλλοι Αν-, υπο-, ολο- ςθμαίνουν αντίςτοιχα: χωρίσ, μερικϊσ και πλιρωσ εμφανιηόμενεσ ζδρεσ (επίπεδεσ κρυςταλλικζσ επιφάνειεσ)

58 ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΣΨΝ ΚΡΤΣΑΛΛΨΝ 58 Σε τζλεια ανεπτυγμζνουσ κρυςτάλλουσ, που πλθςιάηουν τισ ιδεατζσ γεωμετρικζσ καταςκευζσ τουσ, όμοιεσ ζδρεσ ι όμοια ςτοιχεία ςυμμετρίασ πρζπει να βρίςκονται ςτθν ίδια απόςταςθ από το κζντρο του κρυςτάλλου. Αυτό δεν ςυμβαίνει γιατί ςυνικωσ θ ροι χθμικοφ υλικοφ είναι από μία κατεφκυνςθ και οι ζδρεσ που βρίςκονται προσ αυτι τθν κατεφκυνςθ δζχονται περιςςότερο υλικό για να αναπτυχκοφν. Ο όγκοσ του κρυςτάλλου μεγαλϊνει γρθγορότερα από αυτι τθν πλευρά και οι αντίςτοιχεσ ζδρεσ αναπτφςςονται πιο γριγορα. Γεωμετρικά αυτό ςθμαίνει ότι θ απόςταςθ αυτισ τθσ ζδρασ από το κζντρο του κρυςτάλλου μεγαλϊνει ενϊ το εμβαδό τθσ μικραίνει. Παράλλθλα, το εμβαδόν των γειτονικϊν τθσ εδρϊν μεγαλϊνει. Αυτό ςυμβαίνει γιατί όλοι οι κρφςταλλοι είναι κλειςτά γεωμετρικά ςχιματα και μία ζδρα περιβάλλεται από άλλεσ ζδρεσ που ςχθματίηουν γωνίεσ μικρότερεσ των 180 και οι οποίεσ περιορίηουν γεωμετρικά τθν ανάπτυξθ τθσ περιεχόμενθσ ζδρασ ϊςτε αυτι να μειϊνεται ςε εμβαδόν.

59 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΚΡΤΣΑΛΛΟΤ 59 Ομοιόμορφθ τροφοδοςία υλικοφ Ανομοιόμορφθ τροφοδοςία υλικοφ u u u max Η τροφοδοςία υλικοφ είναι θ ίδια από όλεσ τισ Η τροφοδοςία υλικοφ είναι μεγαλφτερθ από τθν κατευκφνςεισ, ζτςι, όλεσ οι όμοιεσ ζδρεσ είναι: κατεφκυνςθ του μεγάλου κόκκινου βζλουσ, ζτςι: ίςεσ μεταξφ τουσ, και θ αντίςτοιχθ ζδρα απομακρφνεται γρθγορότερα ςε ίςεσ αποςτάςεισ από το κζντρο από το κζντρο του κρυςτάλλου του κρυςτάλλου θ ίδια ζδρα μειϊνεται ςε εμβαδό οι γειτονικζσ τθσ ζδρεσ μεγαλϊνουν ςε εμβαδό Ωςτόςο, ςε όλεσ τισ περιπτϊςεισ, οι ςχετικζσ γωνίεσ των εδρϊν παραμζνουν ςτακερζσ.

60 ΑΝΑΥΟΡΕ ΕΙΚΟΝΨΝ 60 Στην παροφςα διάλεξη τα περιςςότερα ςχήματα ζχουν ςχεδιαςτεί από τον ςυγγραφζα. Οι φωτογραφίεσ είναι από το internet και κάποια αςπρόμαυρα ςχζδια ή πίνακεσ από το βιβλίο του C. Klein, Mineral Science, 22 nd Edition, Wiley. Εικόνα 1. Υλικό με μθ προςδιοριςμζνθ προζλευςθ. Σε περίπτωςθ που είςτε ο κάτοχοσ του κφριου δικαιϊματοσ επικοινωνιςτε μαηί μασ. Εικόνα 2. Σιδθροπυρίτθσ (πενταγωνικό δωδεκάεδρο). Εικόνα 3. M.C. Escher. Self-Portrait Lithograph. Εικόνα 4. Stars. Artist: M.C. Escher. Completion Date: Style: Surrealism. Εικόνα 5. Drawing Hands Lithograph. Εικόνα 6. Procession in Crypt Woodcut. Εικόνα 7. Sky and Water I Woodcut. Εικόνα 8. Development II Woodcut in brown, grey-green and black, printed from 3 blocks. Εικόνα 9. Metamorphosis II 1940 woodcut in black, green and brown, printed from 20 blocks on 3 combined sheets.

61 ΑΝΑΥΟΡΕ ΕΙΚΟΝΨΝ 61 Εικόνα 10. Fish and Frogs Wood engraving. Εικόνα 11. Encounter Lithograph. Εικόνα 12. Tetrahedral Planetoide Woodcut in green and black, printed from 2 blocks. Εικόνα 13. Fractal Art. Copyright Doug Harrington. All rights reserved. Εικόνα 14. Law of Attraction. Εικόνα 15. Υλικό με μθ προςδιοριςμζνθ προζλευςθ. Σε περίπτωςθ που είςτε ο κάτοχοσ του κφριου δικαιϊματοσ επικοινωνιςτε μαηί μασ. Εικόνα 16. Dimmity. Copyright Doug Harrington. All rights reserved. Εικόνα 17. "Ode" aos Fractais. Εικόνα 18. Fractals in human artifacts. Εικόνα 19. Fractal Art. Copyright Doug Harrington. All rights reserved. Εικόνα 20. Fractal Art. Copyright Doug Harrington. All rights reserved.

62 ΑΝΑΥΟΡΕ ΕΙΚΟΝΨΝ 62 Εικόνα 21. Υλικό με μθ προςδιοριςμζνθ προζλευςθ. Σε περίπτωςθ που είςτε ο κάτοχοσ του κφριου δικαιϊματοσ επικοινωνιςτε μαηί μασ. Εικόνα 22. Υλικό με μθ προςδιοριςμζνθ προζλευςθ. Σε περίπτωςθ που είςτε ο κάτοχοσ του κφριου δικαιϊματοσ επικοινωνιςτε μαηί μασ. Εικόνα 23. A Ho-Mg-Zn icosahedral quasicrystal formed as a dodecahedron, the dual of the icosahedron. Εικόνα 24. Diffreaction Pattern.

63 ΦΡΗΜΑΣΟΔΟΣΗΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό ζχει αναπτυχκεί ςτα πλαίςια του εκπαιδευτικοφ ζργου του διδάςκοντα. Το ζργο «Ανοικτά Ακαδθμαϊκά Μακιματα Ε.Μ.Π.» ζχει χρθματοδοτιςει μόνο τθν αναδιαμόρφωςθ του εκπαιδευτικοφ υλικοφ. Το ζργο υλοποιείται ςτο πλαίςιο του Επιχειρθςιακοφ Προγράμματοσ «Εκπαίδευςθ και Δια Βίου Μάκθςθ» και ςυγχρθματοδοτείται από τθν Ευρωπαϊκι Ζνωςθ (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εκνικοφσ πόρουσ.