1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό."

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον τφπο με τον οποίο εκφράηεται το f(). Σε μια τζτοια περίπτωςθ κα κεωροφμε ότι το πεδίο οριςμοφ είναι το «ευρφτερο» υποςφνολο του ςτο οποίο το f() ζχει νόθμα αρικμοφ. Θα προςπακιςουμε εδϊ να κατατάξουμε τισ ςυναρτιςεισ ςε κατθγορίεσ και να δοφμε τον τρόπο με τον οποίο μποροφμε να βρίςκουμε το πεδίο οριςμοφ.. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε θ f() δίνει πραγματικό αρικμό. Οι ςυναρτιςεισ f ( ) , g( ) 8 3 ζχουν πεδίο οριςμοφ το.. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΡΗΣΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το με εξαίρεςθ εκείνεσ τισ τιμζσ που μθδενίηουν τον παρονομαςτι. f ( ) άρα πεδίο οριςμοφ το,. 3. Αν θ ςυνάρτθςθ ζχει τφπο f ( ) g( ) (, g( ) ακζραιο πολυώνυμο του ) Σότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διάςτθμα ι τα διαςτιματα για κάκε ςτοιχείο των οποίων g ( ) 0. f ( ) : 4 ( ) ,,,, 3, 6 ( ) 6 3 0, 4,,,, Από (α) και (β) Άρα πεδίο οριςμοφ *3,4+ 4. Μπορεί ο τφποσ μιασ ςυνάρτθςθσ να περιζχει δφο ι περιςςότερεσ από τισ προθγοφμενεσ μορφζσ. τθν περίπτωςθ αυτι εργαηόμαςτε χωριςτά για κάκε μορφι και βρίςκουμε τθν τομι των διαςτθμάτων. Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Σ Α. Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ: ΛΤΗ f( ) 0 ( ) Πρζπει - 0, 0, (β) 0 ( ) Από (α) και (β) ζχουμε, 0,. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ

2 . Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ: ΛΤΗ f( ) 3 Πρζπει --3>0, Δ=4+=6,, = 4,, Άρα πεδίο οριςμοφ, 3,. ΑΚΗΕΙ ΣΗΝ ΕΝΟΙΑ ΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Ερωτιςεισ τφπου «ςωςτό-λάκοσ». Μία ζσνάρηεζε f: A B, A R και B R λέγεηαι πραγμαηική ζσνάρηεζε πραγμαηικής μεηαβλεηής. Σ Λ. Το ζτήμα παριζηάνει ζσνάρηεζε. Σ Λ 3. Ο ηύπος f() 4 ορίδει ζσνάρηεζε Σ Λ 4. Το πεδίο οριζμού ηες f () είναι ηο R. Σ Λ 5. Αν f() 4 7 ηόηε f (3) 9 7. Σ Λ 6. Το ζύνολο ηιμών ηες f () 3, 3 3 είναι {-, }. Σ Λ Ερωτιςεισ ανάπτυξθσ, αν 0. Αν f (), αν0 4 3, αν 4 να βρεκοφν οι οι τιμζσ: f (3), f (0), f (-), f (5), f (-), f ( ), f ().. Αν f () = -, R να ςυμπλθρϊςετε τισ ιςότθτεσ: α) f (- 3) =...β) f (α) =..., α R γ) f (3) =... δ) f ( ) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ, f () 4, 3, Να ςυμπλθρϊςετε τισ ιςότθτεσ: α) f (-3) =... β) f (-) =... γ) f (0) =... δ) f () =... Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ

3 4. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f, 0 3, 0 i. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ f. ii. Να βρείτε τα α και β ϊςτε f(-)= και f()=3., 5. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f, Να βρείτε τα α και β ϊςτε f(0)=f()=4. 5, 6. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f, Να λυκεί θ εξίςωςθ λ-f(-4)=λf(0) 7. Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ των παρακάτω ςυναρτιςεων : 3 i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) ( ) ( ) v f vi f viii f. ( ) Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ Α των ςυναρτιςεων: 3 α) f () β) g () γ) h () δ) ε) f () 5 4 Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 3 f () ζη) f () δ) f () 5 ( )( 3) 9. Να βρείηε ηα πεδία οριζμού ηων ζσναρηήζεων: α. f β. f 4 γ. 3 f δ. f() ε. f() 3 0. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()= 3 -. Να λφςετε : α) Τθν εξίςωςθ f()=0. β) Τθν εξίςωςθ f(-)-f()= γ) Τθν ανίςωςθ f()-8f()<.. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()= -+5. α) Να εξετάςετε αν το - ανικει ςτο ςφνολο τιμϊν τθσ f. β)να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f.. Ζςτω f: μια ςυνάρτθςθ για τθν οποία ιςχφει f(+y)=f()+f(y), για κάκε, y. Να αποδείξετε ότι: α) f(0)=0 β) f()+f(-)=0, για κάκε. 3. Ζςτω f: μια ςυνάρτθςθ για τθν οποία ιςχφει f(y)=f()+f(y), για κάκε, y. Να αποδείξετε ότι: α) f()=0 β) f f() για κάκε Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f: για τθν οποία ιςχφει: f(+)=3f()-(-3) για κάκε.να βρείτε: α) Τθν τιμι f() β) Τον τφπο f() τθσ ςυνάρτθςθσ.

4 ΚΑΡΣΑΙΑΝΕ ΤΝΣΕΣΑΓΜΕΝΕ Ζνα ηεφγοσ δυο κάκετων αξόνων ϋ και ψϋψ, με κοινι αρχι Ο, το ονομάηουμε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων και το ςυμβολίηουμε Oy, ενϊ το επίπεδο ςτο οποίο ορίςτθκε αυτό το ςφςτθμα το ονομάηουμε καρτεςιανό επίπεδο. Στθν περίπτωςθ που οι μονάδεσ των αξόνων ϋ και yϋy ζχουν το ίδιο μικοσ το ςφςτθμα λζγεται ορκοκανονικό. Με τθν βοικεια ενόσ ςυςτιματοσ ςυντεταγμζνων μποροφμε να αντιςτοιχίςουμε ζνα διατεταγμζνο ηεφγοσ (α,β) πραγματικϊν αρικμϊν ςε ζνα ςθμείο Μ του επιπζδου και αντιςτρόφωσ. Το Μ ςυμβολίηεται με Μ(α,β). Οι αρικμοί α, β λζγονται ςυντεταγμζνεσ του Μ. Ειδικότερα το α ονομάηεται τετμθμζνθ και το β τεταγμζνθ. Ζνα ςθμείο Μ(α,0) δθλαδι με τεταγμζνθ μθδζν βρίςκεται ςτον άξονα ϋ. Ζνα ςθμείο Μ(0,β) δθλαδι με τετμθμζνθ μθδζν βρίςκεται ςτον άξονα yϋy. Οι άξονεσ χωρίηουν το επίπεδο ςε τζςςερα τεταρτθμόρια, όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα. Αν το Μ(α,β) είναι ςθμείο του: ου Τεταρτθμορίου α>0 και β>0 ου Τεταρτθμορίου α<0 και β>0 3 ου Τεταρτθμορίου α<0 και β<0 4 ου Τεταρτθμορίου α>0 και β<0 θμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τουσ άξονεσ. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋ(α,-β) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋϋ(-α,β) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα y y. Δφο ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα ζχουν ίδια τετμθμζνθ και αντίκετεσ τεταγμζνεσ. Δφο ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα y y ζχουν αντίκετεσ τετμθμζνεσ και ίδια τεταγμζνθ. θμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι των αξόνων. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋ(-α,-β) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι Ο(0,0) των αξόνων. Δφο ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι των αξόνων, ζχουν αντίκετεσ τετμθμζνεσ και τεταγμζνεσ. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 4

5 θμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. Τα ςθμεία Μ(α,β) και Μϋ(β,α) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. Δφο ςθμεία είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων όταν θ τετμθμζνθ του ενόσ είναι ίςθ με τθν τεταγμζνθ του άλλου. Απόςταςθ ςθμείων. ( ) ( ) (y y ) Εξίςωςθ κφκλου κζντρου Ο(0,0) και ακτίνασ ρ. Η εξίςωςθ +y =ρ λζγεται εξίςωςθ κφκλου με κζντρο Ο και ακτίνα ρ. Ο κφκλοσ με κζντρο Ο και ακτίνα ρ= ζχει εξίςωςθ +y = και λζγεται μοναδιαίοσ κφκλοσ. Ερωτιςεισ ανάπτυξθσ. Το ςθμείο Α(α-7, 3α-9) ανικει ςτον άξονα ϋ και το ςθμείο Β(β+4, 4-β) ανικει ςτον άξονα yϋy, όπου Α,Β. α) Να βρείτε τισ ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων Α και Β. β) Αν το ςθμείο Γ(γ, γ-5) ιςαπζχει από τα Α και Β, να βρείτε τθν τιμι του γ.. Για ποιεσ τιμζσ των κ, λ το τρίγωνο με κορυφζσ τα ςθμεία Α(-, ), Β(, -) και Γ(κ, λ) είναι ιςόπλευρο. 3. Δίνεται το ςθμείο Α(,7). Το ςθμείο Β είναι ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τον άξονα yϋy και το ςθμείο Γ είναι το ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. α) Να βρείτε τθν απόςταςθ (ΒΓ). β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ, όπυο Ο θ αρχι των αξόνων. 4. Τα ςθμεία Α(α +α, -α) και Β(α+6, α -α) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα ϋ. α) Να βρείτε τον αρικμό α. β) Να βρείτε το ςυμμετρικό του α ωσ προσ : i. Τον άξονα yϋy. ii. Τθν αρχι των αξόνων. iii.τθν διχοτόμο τθσ θσ και 3 θσ γωνίασ των αξόνων. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 5

6 5. Τα ςθμεία Α(-3,3) και Β(,λ) απζχουν απόςταςθ (ΑΒ)=5. Να βρείτε: α) Τον αρικμό λ. β) Σθμείο Γ του αρνθτικοφ θμιάξονα Οϋ, ϊςτε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ιςοςκελζσ με βάςθ ΑΓ. γ) Τθν περίμετρο του τριγϊνου ΑΒΓ. 6. Τα ςθμεία Α(λ -5, ) και Β(4-6λ, 5 ) είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθν αρχι των αξόνων. Να βρείτε: α) τουσ αρικμοφσ λ και μ. β) τθν απόςταςθ (ΑΒ). γ) ςθμείο Γ του αρνθτικοφ θμιάξονα Οyϋ, ϊςτε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορκογϊνιο με υποτείνουςα τθν ΑΒ. 7. Δίνονται τα ςθμεία Α(5, 4), Β(α, 4-α) και Γ(4, 6), με α, για τα οποία ιςχφει (ΑΒ)=(ΑΓ). α) Να βρείτε τον αρικμό α. β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΒΓ. γ) Ζςτω Δ ςθμείο του άξονα yϋy το οποίο ιςαπζχει από τα Α και Β. i. Να βρείτε τισ ςυντεταγμζνεσ του ςθμείου Δ. ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ. 8. Δίνεται ζνασ κφκλοσ C που ζχει κζντρο τθν αρχι των αξόνων Ο και διζρχεται από τα ςθμεία Α(α-,α) και Β(α-8, 6-α), όπου α. α) Να βρείτε τον πραγματικό αρικμό α και να γράψετε τθν εξίςωςθ του κφκλου C. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορκογϊνιο. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 6

7 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ. Γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f με πεδίο οριςμοφ το ςφνολο Α, λζμε το ςφνολο των ςθμείων Μ(, f()), για όλα τα Α.. Τθν εξίςωςθ y=f() τθ λζμε εξίςωςθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f. 3. Ζνα ςθμείο Μ(,y) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ αν οι ςυντεταγμζνεσ του επαλθκεφουν τθν εξίςωςθ y=f(). 4. Για να βροφμε ποφ θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ τζμνει τον άξονα ϋ βάηουμε ςτον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ όπου y=0. 5. Για να βροφμε ποφ θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ τζμνει τον άξονα yϋy βάηουμε ςτον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ όπου =0. 6. Για να είναι μια καμπφλθ γραφικι παράςταςθ ςυνάρτθςθσ κα πρζπει κάκε ευκεία παράλλθλθ ςτον άξονα yϋy να τθν τζμνει ςε ζνα μόνο ςθμείο. 7. Το πλικοσ των ριηϊν τθσ f()=0 είναι όςα τα κοινά ςθμεία τθσ C f με τον άξονα ϋ. 8. Η γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f βρίςκεται πάνω από τον άξονα ϋ ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()>0. 9. Η γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f βρίςκεται κάτω από τον άξονα ϋ ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()<0. 0. Ζςτω οι ςυναρτιςεισ f, g με πεδίο οριςμοφ το Α. Τα κοινά ςθμεία των C f και C g ζχουν τετμθμζνεσ τισ ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ f()=g(). H C f βρίςκεται πάνω από τθν C g ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()>g(). H C f βρίςκεται κάτω από τθν C g ςτα διαςτιματα του που είναι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ f()<g().. Εφρεςθ πεδίου οριςμοφ και ςυνόλου τιμϊν από τθν C f. Το πεδίο οριςμοφ τθσ f είναι το ςφνολο το οποίο ζχει ςτοιχεία τισ τετμθμζνεσ των ςθμείων τθσ C f. Δθλαδι θ προβολι τθσ C f πάνω ςτον άξονα ϋ. y A Το ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι το ςφνολο το οποίο ζχει ςτοιχεία τισ τεταγμζνεσ των ςθμείων τθσ C f. Δθλαδι θ προβολι τθσ C f πάνω ςτον άξονα yϋ y. f(a) y Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 7

8 Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 8

9 Ερωτιςεισ ανάπτυξθσ. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f()=α 3 -(α+) -β-. Αν θ C f διζρχεται από τα ςθμεία Α(, -) και Β(-,3), να βρείτε τα α, β και τθν f.. Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f()= -3- και g()=-7. Να βρείτε : i. Τα κοινά ςθμεία των C f και C g. ii. Τα διαςτιματα του που θ C f βρίςκαται: α. Πάνω από τθν C g. β. Κάτω από τθν C g. 3. Να βρείτε τα ςθμεία τομισ των γραφικϊν παραςτάςεων των ςυναρτιςεων f() = 3 - και g () = Στο δίπλα ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να βρείτε τα f(-), f(0), f(- 3 ), f(3) y Στο δίπλα ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμϊν τθσ f. 6. Στο δίπλα ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να βρείτε: i. τα f(0), f(-), f() ii. το πεδίο οριςμοφ τθσ f iii.το ςφνολο τιμϊν τθσ f iv.τισ ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ f()=0 v. τα διαςτιματα του που θ C f είναι : α. πάνω από τον άξονα ϋ β. κάτω από τον άξονα ϋ Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 9

10 7. Στο διπλανό ςχιμα είναι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Να λφςετε τθν i. εξίςωςθ f()=0 ii. ανίςωςθ f()>0 iii. ανίςωςθ f()<0 8. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f()= -α+α. Να βρείτε το α ϊςτε θ γραφικι παράςταςθ τθσ f να διζρχεται από το ςθμείο Α(-, 5). 9. Να βρεκοφν τα ςθμεία που θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f()= -5+6 τζμνει τουσ άξονεσ ϋ και yϋy. 0. Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f()= -3+λ και g()= 5 +μ. Το ςθμείο Κ(-, 6) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f. α) Να βρείτε τον αρικμό λ. β) Αν οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και g τζμνουν τον άξονα yϋy ςτο ίδιο ςθμείο, να βρείτε τον αρικμό μ. γ) Για τισ παραπάνω τιμζσ των λ και μ, να βρείτε τα διαςτιματα ςτα οποία: i. θ C f βρίςκεται κάτω από τον άξονα ϋ. ii. θ C g βρίςκεται πάνω από τον άξονα ϋ.. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f() 3 4. α) Να βρεκεί το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ f. β) Να βρεκεί το ςθμείο ςτο οποίο θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τον yϋy. γ) Να βρεκοφν τα ςθμεία που θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τον ϋ. δ) Να εξετάςετε αν θ γραφικι παράςταςθ τθσ f διάρχεται από τα ςθμεία Σ(,-) και Λ(-,3). ε) Να απλοποιθκεί ο τφποσ τθσ f. Κωνςταντίνοσ Σςιμάσ - Μακθματικόσ 0

Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.

Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α. ε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οxy δίνεται ευκεία ε. Σί ονομάηουμε : α) γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία ε με τον άξονα xϋx; β) ςυντελεςτι διευκφνςεωσ τθσ ευκείασ ε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Παρατιρθςθ β) Παρατιρθςθ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f. .. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία) ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.

Διαβάστε περισσότερα

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0) . Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα

Διαβάστε περισσότερα

Αν η ςυνάρτηςη ƒ είναι ςυνεχήσ ςτο να προςδιορίςετε το α.

Αν η ςυνάρτηςη ƒ είναι ςυνεχήσ ςτο να προςδιορίςετε το α. 1 AΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογιςθοφν τα παρακάτω όρια Ι. ΙΙ. ΙΙΙ. Ιν. ν. νι. νιι. νιιι. 2. Να βρεθοφν τα όρια Ι. ΙΙ. 3. Αν ƒ(χ)= α. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ Β. Να βρείτε τα όρια Ι. ΙΙ. 4. Δίνεται η ςυνάρτηςη

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ

Διαβάστε περισσότερα

Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ

Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ Πρόλογοσ το άρκρο αυτό κα δοφμε πωσ διαμορφϊνονται κάποιεσ ζννοιεσ όπωσ το εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων, οι ςυνκικεσ κακετότθτασ και παραλλθλίασ διανυςμάτων και ευκειϊν, ο ςυντελεςτισ διευκφνςεωσ διανφςματοσ

Διαβάστε περισσότερα

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων κεφάλαιο 7 Α ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων αςικζσ ζννοιεσ Γραμμικά, λζγονται τα ςυςτιματα εξιςϊςεων ςτα οποία οι άγνωςτοι εμφανίηονται ςτθν πρϊτθ δφναμθ. Σα γραμμικά ςυςτιματα με δφο εξιςϊςεισ και δφο

Διαβάστε περισσότερα

δ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ).

δ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ). ΡΑΡΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τισ ςυναρτιςεισ: β) f ( ) α) f ( ) γ) f ( ) δ) Αf=R-{ }=(-,-)U(-,)U(,+ ) ( 4) ( 4) ( 4) fϋ()= ( 4) f ( ) δ) f ( ) ε)

Διαβάστε περισσότερα

4. Πότε δφο ποςά ονομάηονται ανάλογα ; 5. Να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ παρακάτω προτάςεισ i) θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι

4. Πότε δφο ποςά ονομάηονται ανάλογα ; 5. Να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ παρακάτω προτάςεισ i) θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι επιςτροφι ΘΕΩΡΙΑ 1. Ποια γωνία λζγεται εγγεγραμμζνθ ; 2. Ποια είναι θ ςχζςθ μεταξφ μιασ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ και τθσ επίκεντρθσ που ζχουν το ίδιο αντίςτοιχο τόξο; 3. Να ςυμπλθρϊςετε τισ παρακάτω προτάςεισ

Διαβάστε περισσότερα

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: δ) 2 6

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: δ) 2 6 ΕΠΑΝΑΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΧΟΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 01-01 ΕΝΟΣΗΣΑ 1: Ιδιότητεσ Αναλογιών - Ποςοςτά 1. Να υπολογιςτεί το χ ςτισ πιο κάτω αναλογίεσ. 7 α) 6 4 β) 1 7 γ) δ) 6 4 4 7. Στθν αναλογία να βρείτε τα α και

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜΒΡΙΟ Ημερομηνία: 12/11/2016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00

ΝΟΕΜΒΡΙΟ Ημερομηνία: 12/11/2016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε

Διαβάστε περισσότερα

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ ςφμφωνα με το πρότυπο ΙΕΕΕ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ζχει χρθςιμοποιθκεί ευρζωσ ςε πραγματικοφσ υπολογιςτζσ. Το πρότυπο αυτό κακορίηει δφο βαςικζσ μορφζσ κινθτισ

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις δύο μεταβλητών - Συναρτήσεις

Σχέσεις δύο μεταβλητών - Συναρτήσεις Σέσεις δύο μεταβλητών - Συναρτήσεις. Από τι εξαρτάται; ΠΜΑ Βϋ Γυμναςίου Α. Αναγνωρίηουν ςυμμεταβαλλόμενα ποςά (μεταβλθτζσ) ςε ςυγκεκριμζνεσ καταςτάςεισ και διακρίνουν ποιο ποςό εξαρτάται από το άλλο. Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ 1. Από τυχαίο ςθμείο Γ θμικυκλίου διαμζτρου ΑΒ φζρω παράλλθλθ προσ τθν ΑΒ, που τζμνει το θμικφκλιο ςτο Δ. i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που ςχθματίηεται είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 13 η : Επαναλθπτικι Ενότθτα Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά;

Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά; ; Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά; 30/1/ 2 Η φυςικι τθσ ςθμαςία είναι ότι προςδιορίηει τθ ςτροφικι κίνθςθ ενόσ ςτερεοφ ωσ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 11 η : Μζγιςτα και Ελάχιςτα Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 1 ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι ςε κάκε ορκογϊνιο τρίγωνο, το άκροιςμα των τετραγϊνων των κάκετων πλευρϊν του είναι ίςο με το τετράγωνο τθσ υποτείνουςασ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ

ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ ΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο -, Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, Μαρτίου, Διάρκεια: ώρεσ ΟΝΟΜΑ: Αρ. Πολ. Σαυτ. Πρόβλημα. Θεωροφμε τα διανφςματα u =,,,, v =,,,4, w =,,,, (α) Υπολογίςτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ 1. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν όρια ςτο x πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι lim f( x) l 1 και lim g( x) l 2 με l 1, l 2 IR, τότε lim

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Π.Μ.. «Νέες Σεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Διαβάστε περισσότερα

Το Ρολφεδρο. Ζδρεσ: ΑΗΘΔ, ΗΘΚΕ, ΕΚΓΒ, ΔΓΚΘ, ΑΒΓΔ. Κορυφζσ: Α, Β, Γ, Δ, Ε,Η Θ, Κ. Διαγϊνιοσ: ΑΚ. Ακμζσ: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ,.

Το Ρολφεδρο. Ζδρεσ: ΑΗΘΔ, ΗΘΚΕ, ΕΚΓΒ, ΔΓΚΘ, ΑΒΓΔ. Κορυφζσ: Α, Β, Γ, Δ, Ε,Η Θ, Κ. Διαγϊνιοσ: ΑΚ. Ακμζσ: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ,. Το Ρολφεδρο Ζδρεσ: ΑΗΘΔ, ΗΘΚΕ, ΕΚΓΒ, ΔΓΚΘ, ΑΒΓΔ Κορυφζσ: Α, Β, Γ, Δ, Ε,Η Θ, Κ Διαγϊνιοσ: ΑΚ Ακμζσ: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ,. Θ Ρριςματικι - Ρρίςμα οσ Οριςμόσ οσ Οριςμόσ Δίδεται μια Θ κλειςτι κυρτι πολυγωνικι γραμμι,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου) ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Μια διάβαςθ πεηϊν ζχει άςπρεσ και μαφρεσ λωρίδεσ, πλάτουσ 50 cm. ε ζνα δρόμο θ διάβαςθ ξεκινά και τελειϊνει με άςπρεσ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Λουκάσ Βλάχοσ Τμιμα Φυςικισ Α.Π.Θ. Θεςςαλονίκθ, 2014 Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (Key Stage II) 9 Μαρτίου 2016 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ΩΡΕΣ Λύςεισ : Πρόβλημα 1 (α) Να βρείτε τθν τιμι του για να ιςχφει θ πιο κάτω ςχζςθ: (β) Ο Ανδρζασ τελειϊνει

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1 ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων)

Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1 ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων) 1)Πώσ ορύζεται η Στατιςτικό επιςτόμη; Στατιςτικι είναι ζνα ςφνολο αρχϊν και μεκοδολογιϊν για: το ςχεδιαςμό τθσ διαδικαςίασ ςυλλογισ δεδομζνων τθ ςυνοπτικι και αποτελεςματικι παρουςίαςι τουσ τθν ανάλυςθ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 1 ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ.ΣΙΡΚΑ 8 και ΑΝΣΤΠΑ 30100 ΑΓΡΙΝΙΟ Email: nakosk@sch.gr Σηλ 64105400 κι.69749695 ΜΕΓΙΣΑ-ΕΛΑΧΙΣΑ ΧΩΡΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 5 η : Μερικι Παράγωγοσ Ι Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που

ΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη: Β - Εισηγητές: ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2013

Τάξη: Β - Εισηγητές: ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Τάξη: Β - Εισηγητές: 03 / 06 / 013 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 013

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν

ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν 1 υναρτιςεισ Περιςςοτζρων Μεταβλθτϊν Παράδειγμα.(E.F. Dbois S =επιφάνεια ςϊματοσ W =βάροσ ςϊματοσ H =φψοσ ςϊματοσ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων:

Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 3: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Φάμπιο Αντωνίου τοιχεία Επικοινωνίασ: email: fantoniou@aueb.gr ; fabio@ucy.ac.cy Σθλ:893683 Προςωπικι Ιςτοςελίδα: fantoniou.wordpress.com

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) 19 Μαρτίου 2011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Στθν πιο κάτω εικόνα πρζπει να υπάρχει αρικμόσ ςε κάκε κουκκίδα ϊςτε το άκροιςμα των αρικμϊν ςτα άκρα κάκε ευκφγραμμου τμιματοσ

Διαβάστε περισσότερα

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1 Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α 1 ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να δθμιουργθκοφν ςωςτζσ εκφράςεισ αντιςτοιχίηοντασ κάκε ςτοιχείο τθσ ςτιλθσ Α με ζνα μόνο ςτοιχείο τθσ ςτιλθσ Β. τιλθ (Α) τιλθ (Β) Ο γεωμετρικόσ

Διαβάστε περισσότερα

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Για τθν ανάδειξθ του κζματοσ κα λφνουμε κάποια προβλιματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 4 η : Όρια και Συνζχεια Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λφσεις των θεμάτων ΣΕΣΑΡΣΘ 18 MAΪΟΤ 2016 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ)

Λφσεις των θεμάτων ΣΕΣΑΡΣΘ 18 MAΪΟΤ 2016 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ) ΑΠΟΛΤΣΗΡΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ) ΣΕΣΑΡΣΘ 8 MAΪΟΤ 6 Λφσεις των θεμάτων Ζκδοση η (8/5/6, 3:) Οι ααντιςεισ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ. Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ. Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΌ ΤΠΟΛΟΓΙΣΏΝ Κεφάλαιο 8 Η γλϊςςα Pascal Παράγραφοσ 8.2 Βαςικοί τφποι δεδομζνων Σα δεδομζνα ενόσ προγράμματοσ μπορεί να: είναι αποκθκευμζνα εςωτερικά ςτθν μνιμθ είναι αποκθκευμζνα εξωτερικά

Διαβάστε περισσότερα

Τ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ. Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ. Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α

Τ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ. Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ. Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α Τ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α Σ χ ο λ ι κ ό Ζ τ ο σ 2 0 1 5 2 0 1 6 Τςατςαρϊνησ Δημήτριοσ ΠΕ03 Μθηματικόσ Μονάδεσ μζτρηςησ

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Νίκοσ Αναςταςάκθσ 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Περιγραφή Σο είναι λογιςμικό προςομοιϊςεων που ςτθρίηει τθν λειτουργία του ςε μακθματικά μοντζλα. ε αντίκεςθ με άλλα λογιςμικά (π.χ. Interactive Physics, Crocodile

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ εςωτερικήσ του γωνίασ Â. Από την κορυφή Α διζρχεται ημιευθεία Ax // ΒΓ ςτο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ). Στην ημιευθεία Ax θεωροφμε ςημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium V Στατιςτική Συμπεραςματολογία Ι Σημειακζσ Εκτιμήςεισ Διαςτήματα Εμπιςτοςφνησ Στατιςτική Συμπεραςματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο τθσ Στατιςτικισ Συμπεραςματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Δ ςυνφ Α ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Β, 90 ο Α, Δ, 180 ο 360 ο Ν, 270 ο. Τριγωνομετρικός κύκλος. θμφ. , εφφ. ςφφ

Δ ςυνφ Α ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Β, 90 ο Α, Δ, 180 ο 360 ο Ν, 270 ο. Τριγωνομετρικός κύκλος. θμφ. , εφφ. ςφφ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β θμφ, εφφ ςφφ Μ Δ ςυνφ Α Ν Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 1 ο Τεταρτθμόριο : { Πλα κετικά. ο Τεταρτθμόριο : { Ημφ κετικό. 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Η γλώςςα προγραμματιςμού C

Η γλώςςα προγραμματιςμού C Η γλώςςα προγραμματιςμού C Οι εντολζσ επανάλθψθσ (while, do-while, for) Γενικά για τισ εντολζσ επανάλθψθσ Συχνά ςτο προγραμματιςμό είναι επικυμθτι θ πολλαπλι εκτζλεςθ μιασ ενότθτασ εντολϊν, είτε για ζνα

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α Λυκείου. Λεξιλόγιο Γεωμετρίας. Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Επιμζλεια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ

Γεωμετρία Α Λυκείου. Λεξιλόγιο Γεωμετρίας. Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Επιμζλεια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίας Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλθ 28 (μ Δθμθτριάδοσ) όλοσ τθλ. 2421302598 Επιμζλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίασ Λυκίου Ευκίσ Ευκφγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Στο ςχήμα 1 δίνεται το γράφημα μιασ ςυνάρτηςησ f. 1. Συμπληρώςτε τα κενά με προςεγγιςτικέσ τιμέσ των αριθμητικών δεδομένων όπου αυτό απαιτείται:

Στο ςχήμα 1 δίνεται το γράφημα μιασ ςυνάρτηςησ f. 1. Συμπληρώςτε τα κενά με προςεγγιςτικέσ τιμέσ των αριθμητικών δεδομένων όπου αυτό απαιτείται: 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Στο ςχήμα 1 δίνεται το γράφημα μιασ ςυνάρτηςησ f. 1. Συμπληρώςτε τα κενά με προςεγγιςτικέσ τιμέσ των αριθμητικών δεδομένων όπου αυτό απαιτείται: 1) f(1) = (Μονάδεσ 1) 2) f(2) =

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΨΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Η πποβολική τυή σηρ μεσπικήρ ςσιρ κλαςςικέρ γεωμεσπίερ. και διδακσικέρ πποεκσάςειρ ΚΨΣΑ ΓΕΨΡΓΙΟ

ΔΙΠΛΨΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Η πποβολική τυή σηρ μεσπικήρ ςσιρ κλαςςικέρ γεωμεσπίερ. και διδακσικέρ πποεκσάςειρ ΚΨΣΑ ΓΕΨΡΓΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΨΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΤΠΡΟΤ ΣΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΣΙΚΨΝ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΨΝ ΚΑΙ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ, ΙΣΟΡΙΑ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΨΝ ΑΓΨΓΗ ΚΑΙ ΘΕΨΡΙΑ ΣΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΣΜΗΜΑ ΥΙΛΟΟΥΙΑ ΠΑΙΔΑΓΨΓΙΚΗ & ΧΤΦΟΛΟΓΙΑ Διαπανεπιςτημιακό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 10 η : Εφαρμογζσ Διανυςματικών Συναρτιςεων Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δϋ Δθμοτικοφ 12 θ Κυπριακι Μακθματικι Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 2011

Δϋ Δθμοτικοφ 12 θ Κυπριακι Μακθματικι Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 2011 1. Αν τϊρα είναι Απρίλθσ, ποιοσ μινασ κα είναι μετά από 100 μινεσ; Α. Απρίλθσ Β. Αφγουςτοσ. Σεπτζμβρθσ Δ. Μάρτθσ Ε. Ιοφλθσ 2. Ποιο είναι το αποτζλεςμα των πιο κάτω πράξεων; ; Α. 135 Β. 27. 63 Δ. 21 Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Κάκε μεταβλθτι ςχετίηεται με μία κζςθ ςτθν κφρια μνιμθ του υπολογιςτι. Κάκε κζςθ ςτθ μνιμθ ζχει τθ δικι τθσ ξεχωριςτι διεφκυνςθ. Με άμεςθ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4.1

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4.1 ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ 4. Να γίνει πρόγραμμα το οποίο να επιλφει το Διαγώνιο Σφςτθμα: A ι το ςφςτθμα : ι ςε μορφι εξιςώςεων το ςφςτθμα : Αλγόρικμοσ m(). Διαβάηουμε τθν τιμι του ( θ διάςταςθ του Πίνακα Α )..

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις

Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ----- Βαθμόρ Αζθαλείαρ: Να διαηηπηθεί μέσπι: Βαθ. Πποηεπαιόηηηαρ:

ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ----- Βαθμόρ Αζθαλείαρ: Να διαηηπηθεί μέσπι: Βαθ. Πποηεπαιόηηηαρ: ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ----- ΔΝΙΑΙΟ ΓΙΟΙΚΗΣΙΚΟ ΣΟΜΔΑ Π/ΘΜΙΑ & Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η Γ/ΝΗ ΠΟΤΓΩΝ Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η ΣΜΗΜΑ Α ----- Σασ. Γ/νζη: Ανδπέα Παπανδπέος 37 Σ.Κ. Πόλη: 15180 Μαπούζι

Διαβάστε περισσότερα

ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ

ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ ΚΑΜΠΤΛΕ ΕΛΕΤΘΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Χριςιμεσ για τθν περιγραφι ομαλών και ελεφκερων ςχθμάτων Αμάξωμα αυτοκινιτου, πτερφγια αεροςκαφών, ςκελετόσ πλοίου χιματα χαρακτιρων κινουμζνων ςχεδίων Περιγραφι

Διαβάστε περισσότερα

HY437 Αλγόριθμοι CAD

HY437 Αλγόριθμοι CAD HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 Περιεχόμενα Σφνολα και Σχζςεισ Πράξεισ Συνόλων Κατθγορίεσ Σχζςεων Σχζςεισ Ιςοδυναμίασ, Διάταςθσ, Συμβατότθτασ Συναρτιςεισ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

ΗΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ Παράςταςη ςταθεροφ ςημείου Παράςταςη αριθμών κινητοφ ςημείου 2 Παράςταςη ςταθεροφ ςημείου Στθν παράςταςθ αρικμϊν ςτακεροφ ςθμείου (Fixed

Διαβάστε περισσότερα

Αςφάλεια και Προςταςία Δεδομζνων

Αςφάλεια και Προςταςία Δεδομζνων Αςφάλεια και Προςταςία Δεδομζνων Κρυπτογράφθςθ υμμετρικι και Αςφμμετρθ Κρυπτογραφία Αλγόρικμοι El Gamal Diffie - Hellman Σςιρόπουλοσ Γεώργιοσ ΣΙΡΟΠΟΤΛΟ ΓΕΩΡΓΙΟ 1 υμμετρικι Κρυπτογραφία υμμετρικι (Κλαςικι)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΙ ΤΠΟΣΡΟΦΙΩΝ 2014 [2 Ο ΦΤΛΛΑΔΙΟ]

ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΙ ΤΠΟΣΡΟΦΙΩΝ 2014 [2 Ο ΦΤΛΛΑΔΙΟ] ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΙ ΤΠΟΣΡΟΦΙΩΝ 2014 [2 Ο ΦΤΛΛΑΔΙΟ] ΘΕΜΑ 9ο Α. Να ςυγκρίνετε τουσ αρικμοφσ: i) και ii) και iii) 123,012 και 123,02 iv) 5 2 και 10 Β. Σο άκροιςμα των δφο διαδοχικϊν ακζραιων

Διαβάστε περισσότερα

Μθχανολογικό Σχζδιο, από τθ κεωρία ςτο πρακτζο Χριςτοσ Καμποφρθσ, Κων/νοσ Βαταβάλθσ

Μθχανολογικό Σχζδιο, από τθ κεωρία ςτο πρακτζο Χριςτοσ Καμποφρθσ, Κων/νοσ Βαταβάλθσ Λεπτζσ Αξονικζσ γραμμζσ χρθςιμοποιοφνται για να δθλϊςουν τθν φπαρξθ ςυμμετρίασ του αντικειμζνου. Υπενκυμίηουμε ότι οι άξονεσ ςυμμετρίασ χρθςιμοποιοφνται μόνον όταν το ίδιο το εξάρτθμα είναι πραγματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ MICRO WORLDS PRO

ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ MICRO WORLDS PRO ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ MICRO WORLDS PRO Το Micro Worlds Pro είναι ζνα ολοκλθρωμζνο περιβάλλον προγραμματιςμοφ. Χρθςιμοποιεί τθ γλϊςςα προγραμματιςμοφ Logo (εξελλθνιςμζνθ) Το Micro Worlds Pro περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ ΕΚΦΕ Α & Β ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΑΣΣΙΚΗ τόχοι Μετά το πζρασ τθσ εργαςτθριακισ άςκθςθσ, οι μακθτζσ κα πρζπει να είναι ςε κζςθ:

Διαβάστε περισσότερα

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ ΕΚΦΕ Αχαρνών Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 9_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ Εφαρμογζσ τθσ Αρχισ του Αρχιμιδθ & τθσ ςυνκικθσ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β 4 o ΔΙΓΩΝΙΜ ΠΡΙΛΙΟ 04: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΠΝΣΗΔΙ ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΔΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΔΝΔΔΙΚΤΙΚΔΣ ΠΝΤΗΣΔΙΣ ΘΔΜ. β. β 3. α 4. γ 5. α.σ β.σ γ.λ δ.σ ε.λ. ΘΔΜ Β Σωςτι είναι θ απάντθςθ γ. Έχουμε ελαςτικι

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυναμοςφνολα (Παράδειγμα )

1. Δυναμοςφνολα (Παράδειγμα ) 1. Δυναμοςφνολα (Παράδειγμα 1.6.12) Δίνεται το ςφνολο ( ) * ( ) +, όπου και P(S) το δυναμοςφνολο του S. Αν A={a,b} S={a,b,c,d,e} B={a,f} Δθλαδι ςτο P(S:A) ανικουν όλα τα υποςφνολα του S τα οποί α περιζχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό. Διάλεξθ 10

Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό. Διάλεξθ 10 Μετατροπι Αναλογικοφ Σιματοσ ςε Ψθφιακό Διάλεξθ 10 Γενικό Σχιμα Μετατροπζασ Αναλογικοφ ςε Ψθφιακό Ψθφιακό Τθλεπικοινωνιακό Κανάλι Μετατροπζασ Ψθφιακοφ ςε Αναλογικό Τα αναλογικά ςιματα μετατρζπονται ςε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Λφκειο Ακρόπολθσ 2015 Επιμζλεια Μάριοσ Πουργουρίδθσ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Η πιο κάτω μπάλα αφινεται να πζςει από το ςθμείο Α,κτυπά ςτο ζδαφοσ ςτο ςθμείο Ε και αναπθδά ςε μικρότερο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Λογικι πρόταςθ: Με τον όρο λογικι πρόταςθ (ι απλά πρόταςθ) ςτα μακθματικά, εννοοφμε μια ζκφραςθ με πλιρεσ νόθμα που δζχεται τον χαρακτθριςμό ι μόνο αλθκισ ι μόνο ψευδισ. Παραδείγματα:

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων

Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων Πανελλόνιεσ εξετϊςεισ Γ Τϊξησ 2011 Ανϊπτυξη Εφαρμογών ςε Προγραμματιςτικό Περιβϊλλον ΘΕΜΑ Α Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων Α1. Σ/Λ 1. Σωςτι 2. Σωςτι 3. Λάκοσ 4. Λάκοσ 5. Λάκοσ Α2. Σ/Λ 1. Σωςτι 2.

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του

Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Jaohar Osman Η πρόταςθ εργαςίασ που ζκανα είναι το παρακάτω κείμενο : - ξ Aibo αγαπάει πάρα πξλύ ρα κόκαλα και πάμρα ρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ XHMEIAΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΑ:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ XHMEIAΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ XHMEIAΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: 1-2-3-4-5 Ονοματεπϊνυμο:..... Ημ/νία:.. Σάξθ: Χρονικι Διάρκεια:... Βακμόσ: ΘΕΜΑ Α Για τισ προτάςεισ Α1 ζωσ Α5 να γράψετε ςτο τετράδιό ςασ τον αρικμό τθσ πρόταςθσ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων. Α Σάξη. Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1. 6 Ομαδοποίθςθ, Μοτίβα,

Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων. Α Σάξη. Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1. 6 Ομαδοποίθςθ, Μοτίβα, Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων Α Σάξη Α/ Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτεσ Επιτυχίασ Ώρεσ Α Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1 Αλ1.1 υγκρίνουν και ταξινομοφν αντικείμενα ςφμφωνα με κάποιο χαρακτθριςτικό/κριτιριο/ιδιότθτά Ομαδοποίθςθ,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων c AM (t) x(t) ΤΕΙ Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σειρά Β Ειςηγητήσ: Δρ Απόςτολοσ Γεωργιάδησ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων Θζμα 1 ο (1 μον.) Ζςτω περιοδικό ςιμα πλθροφορίασ με περίοδο.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Πίνακεσ Διζγερςησ των FF Όπωσ είδαμε κατά τθ μελζτθ των FF, οι χαρακτθριςτικοί πίνακεσ δίνουν τθν τιμι τθσ επόμενθσ κατάςταςθσ κάκε FF ωσ ςυνάρτθςθ τθσ παροφςασ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΣΤΞΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 3 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ Ν. ΜΤΡΝΘ- ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΤΡΙΔΑΚΘ Λ.

ΑΝΑΠΣΤΞΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 3 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ Ν. ΜΤΡΝΘ- ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΤΡΙΔΑΚΘ Λ. Ερωτήςεισ Προβλήματα Α. Σημειώςτε δεξιά από κάθε πρόταςη το γράμμα Σ αν η πρόταςη είναι ςωςτή και το γράμμα Λ αν είναι λάθοσ. 1. Θ περατότθτα ενόσ αλγορίκμου αναφζρεται ςτο γεγονόσ ότι καταλιγει ςτθ λφςθ

Διαβάστε περισσότερα

Δομθμζνοσ Προγραμματιςμόσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Εργαςτιριο 9

Δομθμζνοσ Προγραμματιςμόσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Εργαςτιριο 9 Δομθμζνοσ Προγραμματιςμόσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Εργαςτιριο 9 Συναρτιςεισ Αφαιρετικότθτα ςτισ διεργαςίεσ Συνάρτθςεισ Διλωςθ, Κλιςθ και Οριςμόσ Εμβζλεια Μεταβλθτών Μεταβίβαςθ παραμζτρων ςε ςυναρτιςεισ Συναρτιςεισ

Διαβάστε περισσότερα

17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ

17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ Προγραμματιςμόσ Μεκόδων Επίλυςθσ Προβλθμάτων 17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ Ιωάννθσ Κατάκθσ Πολυδιάςτατοι πίνακεσ o Μζχρι τϊρα μιλοφςαμε για μονοδιάςτατουσ πίνακεσ ι int age[5]= 31,28,31,30,31; o Για παράλλθλουσ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Ε.Ο.Κ. και Ε.Ο.Μ.Κ.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Ε.Ο.Κ. και Ε.Ο.Μ.Κ. Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Ε.Ο.Κ. και Ε.Ο.Μ.Κ. Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1) Nα βρείτε τα Σ.Κ. τθσ ςυνάρτθςθσ

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1) Nα βρείτε τα Σ.Κ. τθσ ςυνάρτθςθσ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ - 0 - Άρα A [-] - 0 - + - + KK KA KK KA ΣΚ ΣΚ ΣΚ Τα ςθμεία Α Β00 και Γ είναι ςθμεία καμπισ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ ϋϋ0 θμ0 κπ κη κπ κπ+π

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών

Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών Κάκε ςυνδυαςμόσ λειτουργίασ, περιοριςμϊν και ςτόχων, οδθγεί ςε ζνα μζτρο τθσ απόδοςθσ τθσ λειτουργίασ του εξαρτιματοσ και περιζχει μια ομάδα ιδιοτιτων των υλικϊν. Αυτι θ ομάδα των

Διαβάστε περισσότερα

Αςκήςεισ. Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ

Αςκήςεισ. Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ Αςκήςεισ Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ 1. Ζςτω το ςιμα τάςθσ V(t)=V dc +Asin(ωt) που βλζπουμε ςτο επόμενο ςχιμα. Να προςδιορίςετε το πλάτοσ Α και τθν dc ςυνιςτώςα κακώσ και να υπολογίςτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 3: Ακέραιοι Αριθμοί ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 3: Ακέραιοι Αριθμοί Συγγραφή:

Διαβάστε περισσότερα

Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου

Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου Υποκζςτε ότι κρατάτε ςτο χζρι ςασ ζναν μεταλλικό δακτφλιο διαμζτρου πχ 5 cm. Ζνασ φυςικόσ πικανότθτα κα προβλθματιςτεί: τι αυτεπαγωγι ζχει άραγε; Νομίηω κα ιταν μια καλι ιδζα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 5 6 (Ε - ΣΤ Δημοτικού)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 5 6 (Ε - ΣΤ Δημοτικού) ΕΠΙΠΕΔΟ 5 6 (Ε - ΣΤ Δημοτικού) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1. Ο Basil γράφει τθν λζξθ KANGAROO, ζνα γράμμα κάκε μζρα. Αρχίηει τθν Τετάρτθ. Ποια μζρα κα τελειϊςει; (A)Δευτέρα (B) Τρίτη (C)

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 7 η : Σφνκετεσ Συναρτιςεισ Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε) περιςτροφισ του δίςκου;

Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε) περιςτροφισ του δίςκου; ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΡΩΝΥMΟ: ΗΜΕΟΜΗΝΙΑ: 1/3/2015 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΕΕΟ ΣΩΜΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε)

Διαβάστε περισσότερα

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων 2010-2011 Μάθημα 1 ο 1 Ε. Σςαμούρα Σμήμα Πληροφορικήσ ΑΠΘ Σκοπόσ του 1 ου εργαςτθριακοφ μακιματοσ Σκοπόσ του πρϊτου εργαςτθριακοφ μακιματοσ είναι να μελετιςουμε ερωτιματα επιλογισ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Χημείας Γ Λυκείου στα Κεφάλαια 1-4

Διαγώνισμα Χημείας Γ Λυκείου στα Κεφάλαια 1-4 Διαγώνισμα Χημείας Γ Λυκείου στα Κεφάλαια 1-4 Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-5 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα

Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Τα ψθφιακά λογικά κυκλϊματα που μελετιςαμε μζχρι τϊρα ιταν ςυνδυαςτικά κυκλϊματα. Στα ςυνδυαςτικά κυκλϊματα οι ζξοδοι ςε κάκε χρονικι ςτιγμι εξαρτϊνται αποκλειςτικά και μόνο

Διαβάστε περισσότερα