ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Transcript

1 1 ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ.ΣΙΡΚΑ 8 και ΑΝΣΤΠΑ ΑΓΡΙΝΙΟ nakosk@sch.gr Σηλ κι

2 ΜΕΓΙΣΑ-ΕΛΑΧΙΣΑ ΧΩΡΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ

3 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σα Μακθματικά ωσ κακαρά κεωρθτικι επιςτιμθ δθμιουργικθκα και ααπτφχκθκα ςτθ αρχαία Ελλάδα. Οι αρχαίοι Ζλλθεσ, μαηί με τθ κεωρία τουσ, επιόθςα και τθ ορολογία τθσ επιςτιμθσ, προςδιόριςα τισ βαςικζσ ζοιεσ, άςκθςα το κριτικό λόγο, ειςιγαγα τθ αποδεικτικι διαδικαςία και οικοδόμθςα το παραγωγικό ςυλλογιςμό. τα ζργα τω αρχαίω Ελλιω κα βροφμε όλεσ ςχεδό τισ μεκόδουσ απόδειξθσ. Εξάλλου, θ αξιωματικι κεμελίωςθ είαι ζασ απλόσ τομζασ που ξεκίθςε από τθ αρχαία Ελλάδα, κλαςςικό παράδειγμα τθσ οποίασ είαι τα «τοιχεία του Ευκλείδθ» Ο Ευκλείδθσ κατζγραψε τισ αρχικζσ ζοιεσ τω γεωμετρικϊ ατικειμζω, τισ βαςικζσ ιδιότθτεσ και κακιζρωςε τουσ οριςμοφσ. Σα «τοιχεία» είαι ζα από τα ςθματικότερα μακθματικά ζργα όλω τω εποχϊ, αφοφ εδϊ και πλζο τω.300 χρόω χρθςιμεφει ωσ ςτακερό κείμεο για τθ διδαςκαλία τω βαςικϊ μακθματικϊ εοιϊ. Σο βιβλίο ΙΙ είαι το μικρότερο ςε ζκταςθ ςε ςχζςθ με τα άλλα. Σο κυριότερο χαρακτθριςτικό του είαι θ κεματικι ομοιογζεια και ςυμπάγεια. Οι πρϊτεσ δζκα προτάςεισ αποτελοφ αυτό που λζμε ςιμερα «Γεωμετρικι Άλγεβρα» τω αρχαίω Ελλιω, δθλαδι αλγεβρικζσ ςχζςεισ που αποδεικφοται με γεωμετρικζσ μεκόδουσ. Οι ιδζεσ του Ευκλείδθ επεκτάκθκα ςτα εϊτερα χρόια ςε βακιζσ μακθματικζσ κεωρίεσ (Αλγεβρικι Γεωμετρία, Γεωμετρία τω αρικμϊ, Γεωμετρικι Αάλυςθ..). Ασ δοφμε όμωσ μερικζσ τζτοιεσ εφαρμογζσ παραγωγο₂. με γεωμετρικζσ μεκόδουσ και χωρισ

4 4 (α+β) 4αβ α β Ε τετ =(α+β) β αβ Ε τετ =αβ+αβ+αβ+αβ+μ αβ Μ αβ α =4αβ+Μ β αβ Άρα (α+β) =4αβ+Μ 4αβ Δθλαδι (α+β) 4αβ ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΓΜ ΑΜ 1) x + y 4xy x+y xy xy x+y Δθλ ΓΜ ΑΜ ) Ζςτω x,y>0 με Ε=xy=α ςτακερό. Πότε το Π=x+y γίεται ελάχιςτο; Λφςθ i) x + y = x y + 4xy = (x y) + 4a

5 5 Αφοφ α ςτακερό, το (x + y) γίεται ελάχιςτο ότα το (x y) γίεται ελάχιςτο, δθλ. (x y) =0 άρα x=y. Λφςθii) Αφοφ ΓΜ ΑΜ xy x+y x + y xy x + y a Δθλαδι θ ελάχιςτθ τιμι του x+y είαι το a. Αυτό ςυεπάγεται ότα x = y = a ( x + y = a, xy = a ) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Γεωμετρικά, αυτό ςθμαίει ότι, από όλα τα ορκογϊια με ςτακερό εμβαδό, το τετράγωο ζχει τθ ελάχιςτθ περίμετρο. Ζςτω x, y > 0 με Π=x+y=α, ςτακερό. Πότε το Π=xy γίεται μζγιςτο; Λφςθ i) Είαι xy = x+y Σο xy x y γίεται μζγιςτο, όςο το ₂ a = x y Άρα x y x=y ₂ γίεται ελάχιςτο. Λφςθii) Αφοφ ΓΜ ΑΜ xy x+y xy a xy a 4 Δθλαδι θ μζγιςτθ τιμι του xy είαι α, 4 άρα x = y = a Λφςθiii) Εςτω κυκλοσ με ακτια R=(x+y)/

6 6 Πληκτρολογήστε τη εξίσωση εδώ. ₂ Είαι υ = xy υ = xy. Αλλά υ R (λόγω ορκογωίου τριγώου) Η μζγιςτθ τιμι του υ=r, που ςυμβαιει ότα x=y ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Γεωμετρικά αυτό ςυμαίει ότι, από όλα τα ορκογϊια με ςτακερι περίμετρο, το τετράγωο ζχει το μζγιςτο εμβαδό. Α x>0, τότε x + 1 x ΑΠΟΔΕΙΞΗ ι) χθματίηω ορκογώιο τρίγωο με κάκετεσ πλευρζσ, x 1 x και υπολογίηω με Π.Θ τθ υποτείουςα α. α = x 1 x + 4 = = x + 1 x a = x + 1 x = x + 1 x Και επειδι α x + 1 x ΑΠΟΔΕΙΞΗ ιι) Παρατθροφμε ότι x. 1 x = 1 ςτακερό Σο άκροιςμα x + 1 x γίεται ελάχιςτο ότα x = 1 x x = 1, (x > 0) H ελάχιςτθ τιμι είαι για x=1, θ : = άρα x + 1 x

7 7 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ιιι) Ε τετρ = x + 1 x = M Δθλαδι E= x + 1 x = 4 + Μ άρα x + 1 x 4 γιατί Μ>0 Σελικά x + 1 x ΑΠΟΔΕΙΞΗ ιv) x + 1 x 1 x x, x R Θεωρώ f x = 1, g x = x, x R x Παριςτάω γραφικά τισ f,g ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόω. Σα κοιά ςθμεία τουσ είαιοι λφςεισ τθσ εξίςωςθσ f(x) = g(x), x R δθλαδι, 1 x = x x = 1 Παρατθρώ ότι f x g x 1 x x x + 1 x

8 8 Ζςτω ορκογϊιο τρίγωο με κάκετεσ πλευρζσ και υποτείουςα c. α,b Σότε a + b c ΑΠΟΔΕΙΞΗ ορκογώια τρίγωα (1) και () άρα και οι υποτείουςεσ κα με c. Σα είαι ίςα, είαι ίςεσ Σο τρίγωο (3) είαι ορκογώιο λόγω τθσ ιςότθτασ τω (1) και () και τω ςχζςεω τω γωιώ τουσ. Άρα θ υποτείουςα του (3) είαι ( Π.Θ) c. Tο τρίγωο (4) είαι ορκογώιο με κάκετθ πλευρά του ορκογώιου παραλλθλόγραμμου α+b λόγω Άρα α + b c Σο άκροιςμα τω τετραγϊω δφο μεγεκϊ με ςτακερό άκροιςμα, γίεται ελάχιςτο ότα γίοται ίςα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ζςτω τ 1 =α+x,, τ =α-x, τ 1 +τ = α ςτακερό. Σότε τ = τ 1 + τ = α + x + a x = (a + x )

9 9 Επειδι α ςτακερό, το τ 1 + τ γίεται ελάχιςτο, ότα x=0. Άρα τ 1 =τ. Από όλα τα ορκογϊια τρίγωα με ςτακερό εμβαδό, ποιό ζχει τθ μικρότερθ υποτείουςα; Λφςθ E = xy = σταθ υμφωα με το Π.Θ a = x + y = x y + xy = x y + 4E Επειδι το Ε είαι ςτακερό, το α γίεται ελάχιςτο, ότα x y ελάχιςτο, δθλαδι x=y. Άρα το ιςοςκελζσ ορκογώιο τρίγωο.

10 10 Από όλα τα ορκογϊια τρίγωα, τα εγγεγραμμζα ςτο ίδιο κφκλο, ποιό ζχει το μζγιςτο εμβαδό; Λφςθ Επειδι το τρίγωο είαι ορκογώιο και εγγεγραμμζο, θ υποτείουςα κα είαι θ διάμετροσ R και Ε = XY xy = E Αλλά ςφμφωα με το Π.Θ x + y = 4R x y + xy = 4R x y + 4E = 4R 4E = 4R x y E = R x y To E γίεται μζγιςτο, όταv x y γίεται ελάχιςτο, δθλαδι x=y

11 11 Άρα είαι το ιςοςκελεσ ορκογώιο τρίγωο με : x + x = 4R x = 4R x = R και E = x = R = R Ζςτω α,β>0 και θ ευκεία ε: αx+βy=λ, λ R, σταθερό. Πότε το Ε=xy γίεται μζγιςτο; Λφςθ Αφοφ αx + βy = λ y = λ αx, β > 0 β E = xy λ ax E x = x β = α β x + λ β x Επειδι α β < 0 το Ε(x) παρουςιάηει μζγιςτο ςτο x = λ β α = λ α β Σο y = λ αx β = = λ β Άρα x = λ α, y= λ β x y = β α x b = y a δθλαδι ααλογία x b = y a

12 1 Ζςτω ορκογϊιο τρίγωο, με Π=α+β+γ=c (1 ) ςτακερό Ποτε το α γιεται ελαχιςτο; Λφςθ ημθ = β α β = α ημθ συθ = γ α γ = α συθ Αρα α+β+γ= α + α ημθ + α συθ = c a 1 + ημθ + συθ = c δθλ. a = c 1+ημθ +συθ σταθ. Για α γίει το α ελάχιςτο κα πρζπει το 1+θμκ+ςυκ α γίει μζγιςτο. Αλλά το 1 ςτακερό. Παρατθρώ ότι, ημθ + συθ = ημθ + ημ45 ημθ συ45 + ημ45 συθ συθ = = συ45 συ45 = ημ (θ+45) 1 = = ημ θ + 45 Η μζγιςτθ τιμι του θμ(κ+45) είαι 1 Άρα κ=45, δθλ. το α γιεται μεγιςτο ότα το ορκ. τρίγωο γιει ιςοςκελεσ τρίγωο.

13 13 ΑΝΙΟΣΗΣΑ Cauchy x 1 x x x 1+x + +x (ότα οι αρικμοι είαι κετικοι) (Απόδειξθ με επαγωγι αρχικα) Σο γιόμεο τω v το πλικοσ κετικϊ αρικμϊ, είαι μικρότερο ι ίςο από το γιόμεο που προκφπτει, α κάκε όροσ ατικαταςτακεί με το αρικμθτικό τουσ μζςο. ΑΠΟΔΕΙΞΗ (ΑΝΙΟΣΗΣΑ Cauchy) ιςχυει x 1 x x x 1+x + + x Ζςτω α= x 1 +x + +x =ΑΜ τοτε

14 14 x 1 x x v α x 1 x x v = α v x 1 x x v α.α.α α ΕΦΑΡΜΟΓΗ Από όλα τα τρίγωα με ςτακερι περίμετρο, ποιό ζχει το μεγαλφτερο εμβαδο; Λφςθ Ζςτω τυχαίο τρίγωο με Π=α+β+γ =τ ςτακερό Ε = τ(τ α)(τ β)(τ γ) (Σφποσ Ήρωα) Σο τ ςτακερό, το Ε γίεται μζγιςτο, ότα τ α τ β τ γ μζγιςτο, αλλά ειαι τ α + τ β + τ γ = 3τ τ = τ σταθερό (Α.Μ =τ/3 ) Άρα το τ α τ β τ γ γίεται μζγιςτο ότα τ α = τ 3 τ β = τ 3 α = β = γ = τ 3 Άρα ιςόπλευρο τρίγωο είαι το ηθτουμεο. τ γ = τ 3

15 15 Σο άκροιςμα v το πλικοσ κετικϊ αρικμϊ είαι μεγαλφτερο ι ίςο από το άκροιςμα που προκφπτει, α κάκει όροσ ατικαταςτακεί από το γεωμετρικό μζςο τουσ. Λφςθ ιςχυει x 1 x x x 1+x + + x Ζςτω x 1 x x = β = ΓΜ β x 1 + x + + x β x 1 + x + + x β + β + + β x 1 +x + + x ΕΦΑΡΜΟΓΗ Από όλα τα τρίγωα με ςτακερό εμβαδό, ποιό ζχει τθ μικρότερθ περίμετρο; Λφςθ Ζςτω Ε=ςτακερό, Π=α+β+γ=τ (Σφποσ Ήρωα) Ε = τ τ α τ β τ γ τ τ α τ β τ γ = Ε α + β + γ β + γ α α + γ β β + α γ = 8Ε = α + β + γ 3 β + γ α α + γ β β + α γ = 8 3 Ε, σταθερό

16 16 Άρα το ελάχιςτο του ακροίςματοσ ( α+β+γ ) + β + γ α + α + γ β + (β + α γ ) 3 γίεται ότα α+β+γ 3 =β+γ-α=α+γ-β=β+γ-α (=ΓΜ) Άρα το ςυςτθμα διει α=β=γ δθλ. το ιςοπλευρο τρίγωο.