Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ

Transcript

1 Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης

2 αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ (π.χ. 2 ςτο δεκαδικό, ΙΙ ςτο ρωμαϊκό, 10 ςτο δυαδικό κ.λ.π.). Η αξία παραμζνει θ ίδια, εκείνο που αλλάηει κάκε φορά είναι το ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Η μζκοδοσ παράςταςθσ των αρικμθτικϊν ποςοτιτων, ονομάηεται αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ ( Number System). 2

3 ςυςτηματα αριθμηςησ Ονομάηουμε ςφςτημα αρίθμηςησ τθ μζκοδο παράςταςθσ των αξιϊν που επιδζχονται μζτρθςθ, ζτςι ϊςτε ςε κάκε μια από αυτζσ να αντιςτοιχεί μία και μοναδικι "εικόνα", τθν οποία ονομάηουμε παράςταςθ τθσ αρικμθτικισ αξίασ ςτο ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Σα ςυςτιματα αρίκμθςθσ διακρίνονται ςε θεςιακά και μη θεςιακά. 3

4 κεςιακά και μθ κεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ τα κεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ (Positional Number Systems) μια αρικμθτικι αξία παριςτάνεται ςαν μια αλυςίδα από ψθφία ζτςι ϊςτε θ κζςθ κάκε ψθφίου μζςα ςτθν αλυςίδα να ζχει το δικό τθσ αρικμθτικό βάροσ. τα μθ κεςιακά ςυςτιματα δεν ιςχφει θ παραπάνω ιδιότθτα και θ τοποκζτθςθ των ψθφίων μζςα ςτθν παράςταςθ γίνεται με εμπειρικό τρόπο. Παράδειγμα μθ κεςιακοφ ςυςτιματοσ είναι το ρωμαϊκό. 4

5 Παράςταςθ αξίασ Ζςτω R ζνασ ακζραιοσ αρικμόσ ίςοσ ι μεγαλφτεροσ από το 2. ε ζνα κεςιακό ςφςτθμα αρίκμθςθσ κάκε αρικμθτικι αξία Χ μπορεί να παραςτακεί ςαν μια αλυςίδα από ψθφία τα οποία ανικουν ςτο ςφνολο S των ψθφίων του ςυςτιματοσ. Αν το R είναι μικρότερο από το 10, τότε ςφνολο των ψθφίων, είναι το S = *0,1,2,...,R-1]. Αν το R είναι μεγαλφτερο από το 10 τότε ςαν ψθφία επιλζγουμε πρϊτα τα ψθφία του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ και μετά γράμματα του λατινικοφ αλφαβιτου και μζχρι το ςφνολο αποκτιςει R διαφορετικά ςτοιχεία. 5

6 κεμελίωςθ Χ R = X N-1 X N-2... X 0. X -1 X X -M όπου Χ i είναι ψθφίο του ςυςτιματοσ για i = Ν-1, Ν-2,... -1, 0, 1,... Μ και εκφράηεται από τθ ςχζςθ : X R 0 N 1 X i R i M 1 X i R i 6

7 X R 0 N 1 X i R i M 1 X i R i Σο πρϊτο μζροσ του ακροίςματοσ αποτελεί το ακζραιο μζροσ τθσ αρικμθτικισ ποςότθτασ και το δεφτερο το κλαςματικό μζροσ. To R ονομάηεται βάςη του ςυςτήματοσ αρίθμηςησ. Σο ςθμείο. μεταξφ τισ ακζραιασ παράςταςθσ και τθσ κλαςματικισ ονομάηεται "βαςικό" ςθμείο. το Χ Ν-1 ονομάηεται το πρϊτο (MSD Most Significant digit)) ςημαντικό ψηφίο το X -Μ το τελευταίο (LSD Last Significant Digit ) ςημαντικό ψηφίο τθσ παράςταςθσ του αρικμοφ Χ, θ οποία αποτελείται από Ν+Μ ςθμαντικά ψθφία 7

8 δεκαδικό ςφςτθμα το δεκαδικό ςφςτθμα είναι R=10 και οι αρικμθτικζσ ποςότθτεσ ςτο ςφςτθμα αυτό παριςτάνονται ςαν αλυςίδεσ ψθφίων τα οποία ανικουν ςτο ςφνολο S = [0,1,2,3,...,9]. το ςφςτθμα αυτό, το βαςικό ςθμείο ονομάηεται δεκαδικό. Eνασ τετραψιφιοσ αρικμόσ Χ 3 Χ 2 Χ 1 Χ 0 εκφράηεται από τθ ςχζςθ: Χ 3 Χ 2 Χ 1 Χ 0 = Χ X X X Κάκε ψθφίο Χ i ζχει βάροσ 10 ι, όπου (ι) θ κζςθ του ψθφίου 8

9 A ΗΤ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι αi10 i 0 i α {0,9} Σπληειεζηέο βάξνπο Θέζε Πηζαλνί ζπληειεζηέο βάξνπο είλαη νη δέθα αξηζκνί

10 Αν μια αρικμθτικι ποςότθτα Χ ζχει τθν παράςταςθ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα, τότε: =3x x x x x x10-3 = /10 + 3/ /1000 παρατθροφμε ότι το ψθφίο 3 ζχει διαφορετικό βάροσ (πολλαπλαςιάηεται με διαφορετικό ςυντελεςτι που είναι ςυνάρτθςθ τθσ κζςθσ του) ςτισ κζςεισ 2, 1 και -2 10

11 αρικμθτικι ενόσ ςυςτιματοσ τισ τζςςερισ αρικμθτικζσ πράξεισ μεταξφ των παραςτάςεων του ςυςτιματοσ Ζνα ςφςτθμα αρίκμθςθσ με βάςθ R=2 ονομάηεται δυαδικό, με R=8 οκταδικό και με R=16 δεκαεξαδικό 11

12 Δυαδικό Σο δυαδικό ςφςτθμα ζχει βάςθ R=2 και κάκε αρικμόσ ςε αυτό μπορεί να παραςτακεί ςαν μια αλυςίδα από ψθφία τα οποία ανικουν ςτο ςφνολο [0,1]. Η παράςταςθ είναι θ παράςταςθ ενόσ αρικμοφ ςτο δυαδικό ςφςτθμα. Οι παραςτάςεισ και , ζχουν τθν ίδια εικόνα-παράςταςθ, όμωσ παριςτάνουν εντελϊσ διαφορετικζσ αξίεσ 12

13 A ΗΤ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι α 2 i 0 i i α {0,1}

14 Οκταδικό - δεκαεξαδικό Σο οκταδικό ςφςτθμα ζχει ςαν βάςθ το 8 και τα ψθφία του ανικουν ςτο ςφνολο *0,1,2,3,4,5,6,7+, το δεκαεξαδικό ζχει βάςθ το 16 και τα ψθφία του ανικουν ςτο ςφνολο *0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Α,Β,C,D,Ε,F+. Η παράςταςθ είναι θ παράςταςθ ενόσ αρικμοφ ςτο οκταδικό ςφςτθμα ενϊ θ 6ΑF3.6AB 16 είναι θ παράςταςθ ενόσ αρικμοφ ςτο δεκαεξαδικό 14

15 0 A 1 α 16 i 0 i 5 Α i α {0,F} 0 A

16 δυνάμεισ του δφο Σο δυαδικό χρθςιμοποιείται για τθν άμεςθ παράςταςθ των αρικμϊν μζςα ςτον υπολογιςτι. Σο οκταδικό και δεκαεξαδικό χρθςιμοποιοφνται για τθ ςυνοπτικι παράςταςθ των δυαδικϊν ποςοτιτων εκτόσ του υπολογιςτι. Και τα τρια ζχουν βάςεισ που είναι δυνάμεισ του δφο. Αυτι θ ιδιότθτα διευκολφνει τθν μετατροπι τθσ παράςταςθσ ενόσ αρικμοφ από το ζνα ςφςτθμα ςτο άλλο 16

17 Aντιςτοιχίεσ ςυςτημάτων Δεκαδικό Δυαδικό Οκταδικό Δεκαεξαδικό 3 Bits 4 Bits A B C D E F Τα ςεθία ηνπ oθηαδηθνύ ζπζηήκαηνο ρξεηάδνληαη 3 bit γηα λα παξαζηαζνύλ ζην δπαδηθό ζύζηεκα ελώ ηα ςεθία ηνπ δεθαεμαδηθνύ ρξεηάδνληαη 4. Οη δύν ηειεπηαίεο ζηήιεο καο δείρλνπλ ηε δπλαηόηεηα παξάζηαζεο αξηζκώλ ζηα 3 θαη 4 bits αληίζηνηρα. Παξαηεξήζηε όηη ην 8 δελ κπνξεί λα παξαζηαζεί ζηα 3 bits. 17

18 Μετατροπεσ παραςταςεων Τπάρχουν δφο μζκοδοι μετατροπισ Οι αρικμθτικζσ πραγματοποιοφνται με τθ βοικεια αρικμθτικϊν πράξεων και εφαρμόηονται ς' όλεσ τισ περιπτϊςεισ οι μθ αρικμθτικζσ εφαρμόηονται ςε ειδικζσ περιπτϊςεισ και βαςίηονται ςε κάποιουσ ευριςτικοφσ κανόνεσ. 18

19 Αριθμητικζσ μζθοδοι μετατροπήσ Αν Q είναι θ βάςθ του ςυςτιματοσ μετάβαςθσ και R θ βάςθ του ςυςτιματοσ αναχϊρθςθσ ιςχφει θ ςχζςθ: ( X R ) Q 0 N 1 X i R i M 1 X i R i όπου οι πράξεισ ςτο δεφτερο μζλοσ γίνονται ςτο ςφςτθμα μετάβαςθσ Q, αφοφ προθγουμζνωσ τα Χ i και το R ζχουν μεταφερκεί από το ςφςτθμα R ςτο Q. 19

20 Q = 10, R = 2 ΗΤ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι Παραδείγματα ( ) 10 = 1 x x x x x x 2-3 = Q = 10, R = 8 ( ) 10 = 3 x x x x 8 0 = Q = 10, R = 6 ( ) 10 = 5 x x x x 6-3 =

21 Παραδείγματα Q = 10, R = 16 (3ΑΒ8.C 16 ) 10 = 3 x Α x Β x x C x16-1 = = 3 x x x x x 16-1 = = = Στο δεφτερο βιμα τθσ μετατροπισ μετατρζψαμε τα ψθφία του δεκαεξαδικοφ αρικμοφ ςτο ςφςτθμα μετάβαςθσ, δθλαδι ςτο δεκαδικό. 21

22 Παραδείγματα Q = 2, R = 10 (31 10 ) 2 = 3 10 x x 10 0 = (ανάπτυγμα τφπου 2) = (11 2 ) x ( ) x 1 2 =(μετατροπι τθσ βάςθσ 10 ςτο δυαδικό) = = (πρόςκεςθ ςτο δυαδικό) οι πράξεισ ζγιναν ςτο ςφςτθμα μετάβαςθσ, δθλαδι ςτο δυαδικό. Επίςθσ τα ψθφία 3 και 1 του δεκαδικοφ αρικμοφ μεταφζρκθκαν ςτο δυαδικό ςφςτθμα. 22

23 Σι γίνεται όταν το ςφςτθμα μετάβαςθσ ζχει άγνωςτθ ςε μασ αρικμθτικι μποροφμε να μεταβαίνουμε από ζνα ςφςτθμα με γνωςτι αρικμθτικι ς' ζνα ςφςτθμα με άγνωςτθ αρικμθτικι χρθςιμοποιϊντασ τθν αρικμθτικι του ςυςτιματοσ αναχϊρθςθσ. δφο υπομεκόδουσ. μετατροπι του ακεραίου μζρουσ τθσ παράςταςθσ του αρικμοφ μετατροπι του κλαςματικοφ μζρουσ. 23

24 μζκοδοσ διαδοχικϊν διαιρζςεων Η μζκοδοσ μετατροπήσ του ακεραίου μζρουσ τθσ παράςταςθσ ενόσ αρικμοφ από το ςφςτθμα με βάςθ R ςε ςφςτθμα με βάςθ Q είναι γνωςτι ςαν μζκοδοσ διαδοχικϊν διαιρζςεων του αρικμοφ με τθ βάςθ Q του ςυςτιματοσ μετάβαςθσ και με αρικμθτικι του ςυςτιματοσ αναχϊρθςθσ R 24

25 Αλγόριθμοσ διαδοχικϊν διαιρζςεων B0: Αρχικόσ διαιρετζοσ = Παράςταςθ ςτο ςφςτθμα με βάςθ R Β1: Διαιροφμε (διαίρεςθ ςτο R) τον διαιρετζο με τθν παράςταςθ τθσ βάςθσ Q ςτο ςφςτθμα R. Β2: Μετατρζπουμε το υπόλοιπο από το ςφςτθμα R ςτο Q και το ςθμειϊνουμε. Β3: ΑΝ το πθλίκο είναι μθδζν ΣΟΣΕ πθγαίνουμε ςτο βιμα Β4 ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ τοποκετοφμε το πθλίκο ςτθ κζςθ του διαιρετζου και πθγαίνουμε ςτο βιμα Β1. Β4: χθματίηoυμε τθ νζα παράςταςθ ςτο Q, με LSD το πρϊτο από τα υπόλοιπα των διαδοχικϊν διαιρζςεων που ςθμειϊςαμε και ΜSD το τελευταίο. 25

26 Παράδειγμα: Μετατροπι δεκαδικοφ ςε δυαδικό Δεκαδικός 67 Δυαδικός Αλάπνδε ζεηξά

27 Μετατροπι του ςτο δυαδικό ςφςτθμα Διαίρεςθ πθλίκο υπόλοιπο : : : : : : MSB LSB 27

28 Μετατροπι του ςτο δυαδικό Διαίρεςθ πθλίκο υπόλοιπο : : : : : : : : : MSB LSB 28

29 Mετατροπι του ςτο οκταδικό Διαίρεςθ πθλίκο Τπόλοιπο : : : : MSD LSD 29

30 Mετατροπι του ςτο δεκαεξαδικό Διαίρεςθ πθλίκο Τπόλοιπο10 Τπόλοιπο : : : A 16 MSD Α07 16 LSD 30

31 Μεηαηξνπή ζε δπαδηθν ) 346/2 = 173 κε ππόινηπν 0 2) 173/2 = 86 κε ππόινηπν 1 3) 86/2 = 43 κε ππόινηπν 0 4) 43/2 = 21 κε ππόινηπν 1 5) 21/2 = 10 κε ππόινηπν 1 6) 10/2 = 5 κε ππόινηπν 0 7) 5/2 = 2 κε ππόινηπν 1 8) 2/2 = 1 κε ππόινηπν 0 1 [ x0 x1 x x0 x1 x1 x x0 01 ] 0 [ x x x x x x x 1 0 ] [ x x x x x x ] [ x x x x x ] [ x x x x ] [ x x x ] [ x x ] [ x ] 9) 1/2 = 0 κε ππόινηπν 1

32 Μεηαηξνπή ζε δεθαεμαδηθό ) 346/16 = 21 κε ππόινηπν 10 = Α 2) 21/16 = 1 κε ππόινηπν 5 0x15Α [ Α ] [ 5 Α ] 3) 1/16 = 0 κε ππόινηπν 1

33 Αζθεζε: Μεηαηξνπή δεθαδηθνύ ζε δεθαεμαδηθό 135, 139,

34 C 7 11 B 4 (87) 16 =(135) 10 (8B) 16 =(139) 10 (C4) 16 =(139) 10

35 Ερωτιςεισ - ςυηιτθςθ