Θεμέλια & Προεκτάσεις της Θεωρίας του Bohm

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεμέλια & Προεκτάσεις της Θεωρίας του Bohm Κωνσταντίνος Χ. Βουκύδης Επιβλέπων: Αριστείδης Αραγεώργης, Επίκουρος Καθηγητής Συνεπιβλέπων: Δημήτρης Φασουλιώτης, Αναπληρωτής Καθηγητής Αθήνα Μάιος

2 Abstract Since the birth of Quantum Mechanics in the 20 th century, controversies have been put forward by several physiscists with realist philosophical dispositions. Despite its dark points, the Copenhagen interpretation has prevailed since the decade of the 30s. Causality and reality in microcosm are the issues that belong to the centre of this endless philosophical discussion. In 1952 David Bohm, following the theory of Louis de Broglie, postulated an alternative quantum theory, which proposes hidden variables in order to restore causality and determinism at the microscopic level. Bohm s theory agrees with the empirical predictions of quantum mechanics, under the quantum equilibrium hypothesis, but it comes into conflict with Special Relativity and its consequences. The object of this thesis is to discuss the origins and foundations of Bohm s interpretation and its relation to the issues of causality, locality and reality. Before that, we expound the basic formalism of both the Copenhagen interpretation and that of Bohm s and expore the compatibility of the theory with certain demands of the quantum world. 2

3 Περίληψη Από τη γέννηση της Κβαντικής Μηχανικής στις αρχές του 20 ού αιώνα, τίθενται αμφισβητήσεις για από πολλούς φυσικούς με ρεαλιστικές φιλσοφικές προδιαθέσεις. Η ερμηνεία της Κοπεγχάγης επικρατεί από τη δεκαετία του 30 μέχρι και σήμερα, παρά τα μελανά σημεία της. Η αιτιότητα και η πραγματικότητα του μικρόκοσμου είναι τα θέματα που ανήκουν στο κέντρο αυτής της ατέρμονης συζήτησης. Το 1952 ο David Bohm, ακολουθώντας τις εργασίες του Louis de Broglie, αναπτύσσει μια εναλλακτική κβαντική θεωρία, η οποία βασίζεται σε κρυμμένες μεταβλητές μέσω των οποίων φαίνεται να αποκαθίσταται η αιτιοκρατία στο μικρόκοσμο. Η θεωρία του Bohm συμφωνεί με τις εμπειρικές προβλέψεις της κβαντικής μηχανικής (υπό την προϋπόθεση της κβαντικής ισορροπίας) αλλά αντιτίθεται στην Ειδική Σχετικότητα και τα συμπεράσματά της. Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να συζητηθούν τα θεμέλια της κβαντικής ερμηνείας του Bohm και η σχέση της με τα ζητήματα της αιτιότητας, τοπικότητας και πραγματικότητας. Πριν από τα τελικά συμπεράσματα αναπτύσσεται ο βασικός φορμαλισμός των ερμηνειών της Κοπεγχάγης, αλλά και της θεώρησης του Bohm, και διερευνάται η συνάφεια της εν λόγω θεωρίας με συγκεκριμένες απαιτήσεις του κβαντικού κόσμου. 3

4 Περιεχόμενα 1. Είναι η κβαντομηχανική θεωρία πλήρης ; Εισαγωγή Φορμαλισμός Κβαντικής Μηχανικής Η φύση των κβαντικών πιθανοτήτων Η αρχή της υπέρθεσης Η αρχή της απροσδιοριστίας Η κβαντική διεμπλοκή Το Πρόβλημα της Κβαντικής Μέτρησης Μαθηματική περιγραφή της μετρητικής διαδικασίας Η γάτα του Schrödinger Διαφορετικές ερμηνείες της κβαντικής μέτρησης Απαιτήσεις Θεωριών Κρυμμένων Μεταβλητών H ανίσωση του Bell Το θεώρημα Kochen-Specker Συμπεράσματα Η θεώρηση του David Bohm Για μια Οντολογική Ερμηνεία του Κβαντικού Κόσμου Η θεωρία της διπλής λύσης του L. de Broglie Από τη θεωρία της διπλής λύσης στη θεωρία του Bohm Φορμαλισμός Μπομιανής Κβαντικής Μηχανικής Τα πρώτα κείμενα του Bohm Η μπομιανή περιγραφή βάσει της «πιλοτικής» εξίσωσης Κβαντική Μέτρηση στη Θεωρία του Bohm Η Μπομιανή Ερμηνεία υπό το πρίσμα των Περιορισμών Μη τοπικότητα στη θεωρία Bohm

5 2.4.2 Πλαισιακότητα στη θεωρία Bohm Θεωρία Bohm και Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Συμπεράσματα Προεκτάσεις της Μπομιανής ερμηνείας Το Ζήτημα της ύπαρξης Απόλυτης Αιτιοκρατίας Η όψη ενός ντετερμινιστικού κόσμου Διαμορφώνοντας την πραγματικότητα εκ των έσω Ο ρόλος της πληροφορίας Συνύπαρξη αιτιότητας & τυχαιότητας Η έννοια του «απόλυτα τυχαίου» Συμπεράσματα για την ερμηνεία Bohm Βιβλιογραφία

6 Κεφάλαιο 1 ο 1. Είναι η κβαντομηχανική θεωρία πλήρης ; 1.1 Εισαγωγή «..τελικώς, θεωρούμε την κβαντομηχανική μια πλήρη θεωρία, της οποίας οι θεμελιώδεις φυσικές και μαθηματικές υποθέσεις, δεν τίθενται πλέον, προς τροποποίηση». 1 Με αυτά τα λόγια, το 1927, οι Werner Heisenberg και Max Born, παρουσιάζουν την καινούρια κβαντική μηχανική, στο πέμπτο συνέδριο του Solvay, με θέμα Φωτόνια και Ηλεκτρόνια. Μια θεωρία που ανεπτύχθη, ουσιαστικά, από τους ίδιους, καθώς και από το Δανό φυσικό, Niels Bohr. Η ανάγκη μιας διαφορετικής φυσικής προσέγγισης του μικρόκοσμου, από την επικρατούσα κλασική νευτώνεια θεώρηση, βασίζεται στο ότι η δεύτερη αδυνατεί να ερμηνεύσει τη διαπίστωση περί κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. 2 Στο συνέδριο, λοιπόν, παρουσιάζεται ο μαθηματικός φορμαλισμός της κβαντικής θεωρίας και δίνεται μια πρώτη φυσική ερμηνεία του μικρόκοσμου, η οποία λόγω του τόπου δημιουργίας της, ονομάζεται ερμηνεία της Κοπεγχάγης. Η πληρότητα της θεωρίας αμφισβητείται έντονα ήδη από την πρώτη στιγμή εμφάνισής της από διακεκριμένους φυσικούς της εποχής, όπως από τον επίσης συμμετέχοντα στο συνέδριο Albert Einstein, που δημοσιοποιεί την κριτική του πάνω στη διατυπωμένη κβαντική μηχανική, μη μπορώντας να αποδεχθεί βασικές θέσεις της θεωρίας. Η ερμηνεία της σχολής της Κοπεγχάγης χαρακτηρίζεται από βασικά χαρακτηριστικά και ένα κεντρικό αξίωμα: η καθαρή κατάσταση του κάθε συστήματος περιγράφεται πλήρως από το διάνυσμα κατάστασής του, το οποίο περίεχει όλες τις πληροφορίες για την κατάσταση αυτή. 1 «We regard quantum mechanics as a complete theory for which the fundamental physical and mathematical hypotheses are no longer susceptible of modification». Heisenberg W. and Born M. paper delivered to Solvay Congress of Αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού: όλα τα φυσικά σωματίδια έχουν και κυματική συμπεριφορά, εκτός από τη σωματιδιακή. Οι σχέσεις που επαληθέουν τη διττή συμπεριφορά των σωματιδίων, είναι οι ακόλουθες: f=e h, λ=h p, συνδέοντας τα σωματιδιακά χαρακτηριστικά E και p με τα κυματικά f και λ. (Bλ.θεωρία διπλής λύσης de Broglie κεφ 2.1.1). 6

7 Τα τέσσερα βασικά χαρακτηριστικά της θεωρίας, από τα οποία εκκινούν και οι διαφορετικές ερμηνείες της κβαντικής θεώρησης, συνοψίζονται παρακάτω: Ο πιθανοκρατικός χαρακτήρας της κβαντικής μηχανικής. Η αρχή της υπέρθεσης Η αρχή της απροσδιοριστίας, η ισχύς των ανισοτήτων του Heisenberg καθώς επίσης και η ύπαρξη ασύμβατων παρατηρήσιμων μεγεθών. Η κβαντική διεμπλοκή (quantum entanglement). Ήδη από τις δεκαετίες του 1920 και 1930 επικρατεί η ορθόδοξη ερμηνεία, μια ερμηνεία ουσιαστικά θετικιστική 3, σύμφωνα με την οποία η κβαντική μηχανική είναι πλήρης. Aπέναντι στο κυρίαρχο ρεύμα, αντιπαρατίθενται ερμηνείες και προσεγγίσεις που θεωρούν την κβαντική μηχανική μια μη πλήρη θεωρία, που επιδέχεται συμπλήρωση. Στο επίκεντρο αυτής της διαμάχης, μπαίνει αναπόφευκτα το ζήτημα της αιτιότητας καθώς και αυτό της τοπικότητας. Την εποχή γέννησης της θεωρίας (1927), ο Louis de Broglie αισθάνεται μια «αποστροφή» προς την, εν λόγω, προσέγγιση του μικρόκοσμου, έτσι θέτει το πρόβλημα της μη πληρότητας της κβαντικής μηχανικής, επινοώντας τη θεωρία της διπλής λύσης. Η θεωρία του, αποτελεί μια προσπάθεια ντετερμινιστικής ερμηνείας, που, όσον αφορά την αιτιότητα, έρχεται σε σύγκρουση με τη μη ρεαλιστική προσέγγιση της ορθόδοξης ερμηνείας, εξακολουθεί όμως να αποτελεί, και αυτή, μια μη τοπική θεωρία. Για τη θεωρία του, ο de Broglie, δέχεται έντονη κριτική (κυρίως από τον Pauli), και αποθαρρημένος αφήνει την εργασία του ανολοκλήρωτη. Το 1935, ο Albert Einstein και οι συνάδελφοί του, B. Podolsky και N. Rosen, διατυπώνουν, στη διάσημη δημοσίευσή τους (Einstein, et al., 1935), το παράδοξο EPR, σύμφωνα με το οποίο η κβαντική θεωρία είναι είτε μη πλήρης, είτε μη τοπική. Μεταγενέστερες εργασίες πάνω στο EPR τόσο θεωρητικές όσο και πειραματικές δίνουν το έναυσμα για αναθέρμανση των θεωριών κρυμμένων μεταβλητών. Γίνεται σαφές ότι πριν οδηγηθούμε στις θεωρίες κρυμμένων μεταβλητών και στους περιορισμούς αυτών, πρέπει να συζητηθεί το βασικό ερμηνευτικό πρόβλημα της κβαντικής φυσικής, που αφορά την κβαντική μέτρηση, αφού πρώτα αναλυθούν τα βασικά χαρακτηριστικά του κβαντομηχανικού φορμαλισμού. 3 Η σχολή της Κοπεγχάγης διαμορφώθηκε στο μεσοπόλεμο, σε περίοδο άνθισης της φιλοσοφίας του Θετικισμού. Βασική θέση του Θετικισμού για την επιστήμη είναι πως αυτή πρέπει να έχει ως αφετηρία της την εμπειρική παρατήρηση, η οποία και αποτελεί το μοναδικό κριτήριο του επιστημονικού λόγου. Για περισσότερα όσον αφορά το Θετικισμό, βλ. Geymonat (1998). 7

8 1.2 Φορμαλισμός Κβαντικής Μηχανικής Στο παρόν υποκεφάλαιο δίνεται μια εικόνα των τριών βασικών χαακτηριστικών της θεωρίας όπως αυτά ερμηνεύονται τόσο από την ορθόδοξη σχολή (Bohr, Heisenberg, Pauli, Jordan, κλπ.) όσο και από τη ρεαλιστική (Bohm, Einstein, Planck, de Broglie, κλπ.) Η φύση των κβαντικών πιθανοτήτων Γενικότερα, μπορούμε να ορίσουμε δύο ειδών τυχαιότητες, την υποκειμενική και την αντικειμενική. Ως υποκειμενική τυχαιότητα, θεωρείται η φαινομενική τυχαιότητα που δημιουργείται λόγω έλλειψης πληροφορίας σχετικά με τις ακριβείς αρχικές συνθήκες υπό τις οποίες πραγματοποιείται μια φυσική διεργασία. Ωστόσο, εδώ ξεκινάμε πάντα δεχόμενοι την απεριόριστη ισχύ της αιτιότητας, της επιτακτικής δηλαδή σχέσης μεταξύ αιτίου και αποτελέσματος. Αντίθετα, η αντικειμενική τυχαιότητα χαρακτηρίζει ένα απολύτως τυχαίο συμβάν, το οποίο δεν έχει κανένα αίτιο, ούτε καν κάποιο να διαφεύγει της γνώσης μας. Αυτό σημαίνει, ότι εδώ πραγματικά δεν υπάρχει πλέον καμία δεσμευτική σχέση ντετερμινιστικής ή αιτιοκρατικής αρχής. Επομένως, το αντικειμενικό τυχαίο βρίσκεται σε ευθεία αντίφαση με την αρχή της αιτιοκρατίας, διότι «αίτιο» και «αποτέλεσμα» δεν συνδέονται πλέον μονοσήμαντα. 4 Η ύπαρξη ή μη του αντικειμενικού τυχαίου αποτελεί και την κύρια διαμάχη μεταξύ ορθόδοξης και ρεαλιστικής σχολής. Στην κβαντομηχανική περιγραφή της ερμηνείας της Κοπεγχάγης, αποτελεί κεντρική δέσμευση η ύπαρξη μιας μη εξαλείψιμης πιθανοκρατίας στους νόμους των θεμελιωδών φυσικών φαινομένων. Όπως αναφέρει ο Heisenberg, «η αιτιότητα πάντα μπορεί να εξηγεί μεταγενέστερα φαινόμενα βάσει προγενέστερων, δε μπορεί όμως να εξηγήσει την αρχή». 5 Έτσι, κατά τη θεώρησή του, οι νόμοι της τύχης είναι αυτοί που ορίζουν την αρχή, και δημιουργούν στατιστικούς νόμους, που με τη σειρά τους, μας δίνουν την εικόνα της αιτιοκρατικής συμπεριφοράς των νόμων του μακρόκοσμου. 4 Βέβαια μπορεί κανείς να μιλήσει για πιθανοκρατική αιτιοκρατία. Αν η αιτιοκρατία επιβάλλει «ίδια αρχική κατάσταση, ίδια τελική κατάσταση», η πιθανοκρατική αιτιοκρατία προβλέπει «ίδια αρχική κατάσταση, ίδια πιθανότητα για κάθε δυνατή τελική κατάσταση». 5 Heisenberg ([1959]1978) σ. 56 8

9 Η αιτιότητα θεωρούνταν, λοιπόν, μια αρχή του κλασσικού κόσμου. 6 Η δε κλασική φυσική κατέχει περιορισμένο εύρος εφαρμογής. Εφόσον, λοιπόν, στον μικρόκοσμο είμαστε υποχρεωμένοι (το λόγο τον αναφέραμε) να χρησιμοποιήσουμε άλλη φυσική από την κλασική, απαλλαγόμαστε ακολούθως και από την αναγκαιότητα της αιτιότητας. Η έννοια της πιθανότητας, στην ορθόδοξη κβαντική περιγραφή, φαίνεται στη στατιστική ερμηνεία 7 του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σύμφωνα με αυτήν, η συνύπαρξη κυματικών και σωματιδιακών ιδιοτήτων είναι δυνατή μόνο με την ερμηνεία του κύματος ως κύμα πιθανότητας δηλαδή ως ένα αφηρημένο μαθηματικό κύμα που δεν αντιπροσωπεύει μια μετρήσιμη φυσική διαταραχή, αλλά την πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε μια περιοχή του χώρου. Η κυματική αυτή περιγραφή των σωματιδίων επιτυγχάνεται μέσω της εξίσωσης Schrödinger: iħ y t = ħ2 2m 2 y + V(x)y όπου (σε αντίθεση με την κλασική κυματική εξίσωση) επαληθεύεται αναγκαστικά από μιγαδικές λύσεις. Στην αντίπερα όχθη, η ρεαλιστική σχολή των Einstein, De Broglie, Bohm, έρχεται σε πλήρη αντίθεση με την ύπαρξη του αντικειμενικά τυχαίου. Η αρχή της αιτιότητας κατέχει θεμελιώδη θέση στη ρεαλιστική ερμηνεία και δεν αποδέχεται την τυχαιότητα, αλλά τη θεωρεί ως αποτέλεσμα ελλιπούς πληροφορίας των αρχικών συνθηκών. Οι απλώς αποδεχούμενες (από την ορθόδοξη σχολή) κβαντικές πιθανότητες, δεν είναι, απαραίτητα, μη περαιτέρω αναλύσιμες. Κατά τον Bohm συγκεκριμένα, η πιθανοκρατική μορφή της ορθόδοξης κβαντικής περιγραφής μπορεί να είναι το αποτέλεσμα μιας προσέγγισης κάποιου βαθύτερου συνόλου ντετερμινιστικών νόμων, εισάγοντας έτσι την έννοια του υποκβαντομηχανικού επιπέδου. Συμπερασματικά, η ορθόδοξη σχολή θεωρεί τους αιτιακούς νόμους ως στατιστικές προσεγγίσεις των νόμων της τύχης, οι οποίοι νόμοι της τύχης αποτελούν (1) 6 Ωστόσο σύγχρονες μελέτες στη φιλοσοφία της φυσικής δείχνουν ότι ούτε οι νόμοι της κλασικής φυσικής διασφαλίζουν την αιτιότητα και τον ντετερμινισμό. Για μια επισκόπηση του θέματος, βλ. Αραγεώργης (2010). 7 Η εν λόγω ερμηνεία δίνεται από τον Max Born το 1926, ως φυσική ερμηνεία στην έννοια της κυματοσυνάρτησης, κατά την οποία: η κυματοσυνάρτηση αντιπροσωπεύει ένα «κύμα πιθανότητας». Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης y(x) 2, είναι αυτό που έχει φυσικό νόημα και μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας να βρούμε ένα σωματίδιο σε μια περιοχή του χώρου. Για τη στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, απονεμήθηκε, στον Born, το Νόμπελ Φυσικής το

10 τη βάση της θεωρίας του μικρόκοσμου. Αντιθέτως, η ρεαλιστική σχολή θεωρεί πως οι αιτιακοί νόμοι βρίσκονται στη βάση ενός δεδομένου πλαισίου και οι στατιστικές προσεγγίσεις, ενός ευρύτερου πλαισίου, είναι αποτέλεσμα αυτών. Η αντιπαράθεση των δύο σχολών ανάγεται στο ερώτημα κατά πόσον η αιτιότητα αποτελεί θεμελιώδες χαρακτηριστικό του κόσμου μας Η αρχή της υπέρθεσης Στην κβαντική μηχανική, οι καθαρές καταστάσεις ενός συστήματος αναπαρίστανται από κανονικοποιημένα διανύσματα σε μιγαδικό χώρο Hilbert, όπου και ισχύει η αρχή της υπέρθεσης: αν y 1 και y 2 είναι κανονικοποιημένα διανύσματα που αναπαριστούν δυνατές φυσικές καταστάσεις ενός κβαντικού συστήματος, τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός τους, y = c 1 y 1 + c 2 y 2, όπου c 1 και c 2, μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε c c 2 2 = 1, επίσης αναπαριστά μια δυνατή κατάσταση του συστήματος. Θα διερωτηθεί κανείς γιατί η αρχή της υπέρθεσης θεωρείται καινοτομία της κβαντικής φυσικής. Παρόμοιες αρχές δεν ισχύουν για κάθε φαινόμενο της κλασικής φυσικής που διέπεται από γραμμικές εξισώσεις; Ναι, αλλά η ερμηνεία των υπερθέσεων στην κλασική φυσική δεν αποτελεί πρόβλημα. Παραδείγματος χάριν, αν u 1 και u 2 είναι λύσεις της εξίσωσης κύματος, τότε και η u = (u 1 + u 2 )/2 είναι λύση, της οποίας οι τιμές σε κάθε χωροχρονικό σημείο είναι ο μέσος όρος των τιμών των u 1 και u 2. Ανάλογα, αν +1 και 1 είναι ιδιοδιανύσματα ενός παρατηρήσιμου μεγέθους A, με δυνατές τιμές +1 και -1, τότε και η y = ( )/ 2 αναπαριστά καθαρή κατάσταση του συστήματος. Όμως η τιμή του Α στην κατάσταση y δεν είναι ούτε +1 ούτε -1. Κατά την ορθόδοξη κβαντική μηχανική, το Α στην κατάσταση y δεν έχει καθορισμένη τιμή Η αρχή της απροσδιοριστίας Στην κλασική φυσική τα διάφορα μεγέθη που χαρακτηρίζουν ένα σύστημα μπορούν να προσδιοριστούν με ακρίβεια και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Στο κβαντικό επίπεδο αυτή η ταυτόχρονη μέτρηση δύο μεγεθών έχει να κάνει με τη σχέση που έχουν τα μεγέθη μεταξύ τους, αν είναι συμβατά ή όχι. 10

11 Δύο κβαντομηχανικά μεγέθη Α και Β μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα και με απόλυτη ακρίβεια, μόνον αν οι αντίστοιχοι τελεστές τους Α και Β μετατίθενται. Αν ισχύει δηλαδή: [Α,Β ] ΑΒ ΒΑ = 0, τότε τα μεγέθη ονομάζονται συμβατά. Αντίθετα, αν ισχύει [Α,Β ] 0, αν δηλαδή οι τελεστές τους δε μετατίθενται, τα μεγέθη ονομάζονται ασύμβατα και είναι αδύνατον να μετρηθούν ταυτόχρονα και με απόλυτη ακρίβεια. Σε περίπτωση που τα Α, Β είναι ασύμβατα τότε για τις αντίστοιχες αβεβαιότητές τους θα ισχύει: ΔΑ ΔΒ 1 2 [Α,Β ]. Στην περίπτωση της θέσης και της ορμής (σε μία διάσταση),έχουμε Α = x και B = p, με [x,p ] = iħ, οπότε και: Δηλαδή: Δx Δp 1 2 [x,p ] = 1 2 iħ = ħ 2. Δx Δp ħ (2) 2 που είναι η γνωστή σχέση αβεβαιότητας του Heisenberg για τη θέση και την ορμή. Οποιαδήποτε κι αν είναι η y που περιγράφει την κατάσταση του συστήματος, το γινόμενο των αβεβαιοτήτων θέσης-ορμής δε μπορεί να γίνει μικρότερο από την ποσότητα ħ 2. Με άλλα λόγια αυτό που μας λέει είναι ότι αν επιθυμούμε να γνωρίζουμε με μεγάλη ακρίβεια τη θέση του σωματιδίου, πρέπει να ανεχθούμε μια μεγάλη απροσδιοριστία στη γνώση της ορμής του και αντίστροφα. Έτσι, η αρχή απροσδιοριστίας του Heisenberg, περιορίζει θεμελιωδώς τη γνώση μας σχετικά με τις τροχιές των κβαντικών αντικειμένων. Κατά τη στατιστική ερμηνεία, η αρχή της αβεβαιότητας, δε συνιστά μια ανεξάρτητη φυσική αρχή αλλά αποτελεί αναγκαστική συνέπεια της αρχής του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού και αποδεικνύονται με τα μαθηματικά των χώρων Hilbert. 8 Η ταυτόχρονη ακριβής γνώση της θέσης και ορμής ενός σωματιδίου, είναι θεμελιωδώς αδύνατη. Δεν οφείλεται σε ατέλεια των μετρητικών μας οργάνων αλλά αποτελεί «...ένα εγγενές χαρακτηριστικό των φυσικών νόμων», όπως πολύ κατηγορηματικά τονίζει ο Heisenberg (Heisenberg, 1930, σ. 3). Το γεγονός ότι κάθε διαδικασία μέτρησης υπόκειται στους ίδιους τελικούς περιορισμούς, οδήγησε τον Heisenberg να θεωρήσει τις σχέσεις του θεμελιώδεις και καθολικής ισχύος. Η αρχή της απροσδιοριστίας όμως, στην ατομική περιοχή, 8 Για απόδειξη των σχέσεων αβεβαιότητας βλ. Τραχανάς ([2005]2011) σ

12 συνεπάγεται την απόρριψη της αιτιότητας, γεγονός που προκαλεί τη ρεαλιστική σχολή σε μια διαφορετική ερμηνεία του φυσικού περιεχομένου των σχέσεων. Η ρεαλιστική ερμηνεία, για την ισχύ των σχέσεων αβεβαιότητας, είναι πως η ίδια η μέτρηση αποτελεί μια μη αντιστρεπτή διαδικασία σχηματισμού του κβαντικού συστήματος, η οποία προκαλείται από την αλληλεπίδραση του συστήματος με το όργανο παρατήρησης. Συγκεκριμένα ο Bohm θεωρεί πως κατά την παρατήρηση ενός ατομικού σωματιδίου (π.χ. ηλεκτρονίου), το φως που χρησιμοποιείται για να παρατηρηθεί αυτό, αναπόφευκτα διαταράσσει το ίδιο το σωματίδιο. Όπως αναφέρει χαρακτηριστικά: ανάμεσα στην εφικτή ακρίβεια καθορισμού της ορμής και της θέσης υπάρχει μια αντίστροφη σχέση. Όσο ακριβέστερα προσδιορίζεται η θέση, με τόση μικρότερη ακρίβεια προσδριορίζεται η ορμή και αντίστροφα. Αυτό συμβαίνει επειδή ο ακριβής προσδιορισμός της θέσης απαιτεί τη χρήση φωτός μικρού μήκους κύματος (οπότε στο ηλεκτρόνιο μεταβιβάζεται μεγάλη αλλά μη προβλέψιμη και μη ελεγχόμενη ορμή), ενώ ο ακριβής προσδιορισμός της ορμής απαιτεί κβάντα φωτός με πολύ μικρή ορμή (και επομένως μεγάλο μήκος κύματος), με συνέπεια η γωνία σκέδασης στο φακό να είναι μεγάλη και ο προσδιορισμός της θέσης ασαφής (Bohm, [1984]1996, σ. 131) Κατά τον Bohm η αρχή της απροσδιοριστίας είναι μια προσεγγιστική σχέση που ισχύει σε μεγάλο βαθμό, αλλά μόνο σε ορισμένη περιοχή. Η περιοχή αυτή όμως, είναι πιθανό να βρίσκεται σε ένα αιτιακό επίπεδο που να μη δεσμεύεται από τη συγκεκριμένη αρχή (βλ.υποκβαντικό επίπεδο) Η κβαντική διεμπλοκή Η κβαντική διεμπλοκή (quantum entanglement) είναι το φαινόμενο κατά το οποίο δύο σωματίδια που δημιουργούνται μαζί (για παράδειγμα, δύο ηλεκτρόνια) μένουν σε κατάσταση διεμπλοκής μεταξύ τους, ασχέτως του χώρου που μεσολαβεί ανάμεσά τους. Αν σταλεί το ένα από τα δύο στο άλλο άκρο του σύμπαντος και συμβεί κάτι σε οποιοδήποτε από τα δύο, το άλλο αντιδρά ακαριαία. Έτσι πρέπει να δεχθούμε, είτε πως η πληροφορία ταξιδεύει με άπειρη ταχύτητα, είτε πως τα δύο σωματίδια βρίσκονται σε κάποια σύνδεση μεταξύ τους, δηλαδή σε κατάσταση διεμπλοκής. Το πρώτο ενδεχόμενο αντιβαίνει πλήρως στη θεωρία της σχετικότητας που δε δέχεται ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα του φωτός, πόσο μάλλον απειρισμό αυτής. Το δεύτερο ενδεχόμενο, επιτάσσει μια κάποια μορφή αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων, που δεν εξηγείται από την κβαντική θεωρία και την καθιστά μη πλήρη, όπως αναφέρουν και οι Einstein, Podolsky, Rosen (Einstein, et al., 1935). To 1935, λοιπόν, και στην προσπάθειά τους 12

13 να καταδείξουν τη μη πληρότητα της θεωρίας, οι EPR διατυπώνουν από κοινού, ένα νοητικό πείραμα 9 : Έστω ένα σωματίδιο με σπιν μηδέν να διασπάται σε δύο σωματίδια. Τα δύο σωματίδια υποχρεωτικά και μετά τη διάσπαση θα έχουν συνολικό σπιν μηδέν και, λόγω των νόμων διατήρησης, θα πρέπει συνεχώς αυτό να έχει τιμή μηδέν. Έτσι αν το ένα σωματίδιο έχει σπιν ως προς μια τυχούσα κατεύθυνση, τότε υποχρεωτικά το σπιν του δεύτερου σωματιδίου θα είναι. Για την κβαντομηχανική, η ταυτόχρονη μέτρηση των προβολών των σπιν, για κάθε σωματίδιο, είναι απροσδιόριστη. Όμως όταν το σπιν του ενός σωματιδίου μετρηθεί και βρεθεί να έχει τη μία από τις δυνατές τιμές του, τότε το σπιν του άλλου σωματιδίου (που ενδεχομένως βρίσκεται έτη φωτός μακριά) αποκτά αμέσως την αντίθετη τιμή. Έτσι στη φυσική εμφανίζεται το φαινόμενο της δράσης από απόσταση (μη τοπικότητα). Ποιο είναι όμως το παράδοξο για τους EPR ; Αν στο σωματίδιο 1 μετρήσουμε την προβολή του σπιν κατά την κατεύθυνση x, τότε αυτομάτως υποχρεώνουμε και το σωματίδιο 2 να έχει επίσης καθορισμένη (και αντίθετου προσήμου) προβολή του σπιν, κατά τον ίδιο άξονα. Αν παράλληλα μετρήσουμε την προβολή του σπιν του σωματιδίου 2 κατά την κατεύθυνση y, τότε και το σωματίδιο 1 αποκτά ακαριαία τιμή (αντίθετου προσήμου) της προβολής του σπιν στον ίδιο άξονα. Αν δεχθούμε ότι μετά το πέρας της αρχικής αλληλεπίδρασης καμία δράση πάνω στο σωματίδιο 1 δε μπορεί να έχει επίδραση στο σωματίδιο 2 («τοπικότητα»), συνάγουμε ότι το σωματίδιο 2 έχει καθορισμένες προβολές σπιν σε δύο διαφορετικούς άξονες. Συνεπώς η αρχή της αβεβαιότητας έχει παραβιαστεί. 10 Σύμφωνα λοιπόν με τους EPR, για την αποκατάσταση της πληρότητας της κβαντικής θεωρίας, είναι αναγκαία η εισαγωγή κάποιων επιπλέον μεταβλητών που θα εξαφάνιζαν την απροσδιοριστία. Για αυτούς, η τοπικότητα ήταν απλώς δεδομένη. 9 Στην πραγματικότητα το πείραμα που παρατίθεται είναι όπως επαναδιατυπώθηκε το 1951 από τον Bohm. Είναι εννοιολογικά ισοδύναμο του αρχικού, αλλά ευκολότερο στη διατύπωσή του και πειραματικά ελέγξιμο. Κρίνεται λοιπόν σκόπιμο να παρουσιαστεί αυτή του η εκδοχή. 10 Στην αρχική εκδοχή του EPR (1935), η διάταξη αφορά δύο ηλεκτρόνια και, μέσω του νοητικού πειράματος, είναι δυνατόν να μετρηθεί ταυτόχρονα η ορμή και η θέση του σωματιδίου, χωρίς να διαταραχθεί το σύστημα, θέτοντας σε αμφισβήτηση την απροσδιοριστία θέσης-ορμής. 13

14 Για την απάντησή του πάνω στο παράδοξο, ο Bohr εισάγει την έννοια του μη διαχωρίσιμου. Κατά αυτήν, τα δύο σωματίδια, και το όργανο παρατήρησης, συνιστούν ένα ενιαίο και μη αναλύσιμο σύστημα (Bohr, 1935). Τη μη τοπικότητα δε, τη θεωρεί ως θεμελιώδες γνώρισμα της φυσικής πραγματικότητας, όμως τότε πρέπει να δεχθούμε κάποια λανθάνουσα αλληλεπίδραση ανάμεσα στα μέρη αυτής της ολότητας, όπως αναφέρουν οι Bohm και Aharonov (Bohm & Aharonov, 1957). 11 Στην πραγματικότητα, το παράδοξο EPR και το στοιχείο της μη τοπικότητας που ήρθε στην επιφάνεια ανάγονται πλήρως στο κεντρικό παράδοξο της κβαντομηχανικής που είναι αυτό της μέτρησης και της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης. 1.3 Το Πρόβλημα της Κβαντικής Μέτρησης Το σημαντικότερο ίσως παράδοξο της κβαντικής μηχανικής έχει να κάνει με τη μέτρηση, ενώ ταυτόχρονα αποτελεί και τη βάση της διαφωνίας των διαφόρων εννοιoλογικών ερμηνειών της. Η κλασική μέτρηση δε θέτει επιστημολογικά προβλήματα. Κι αυτό επειδή στα πλαίσια της κλασικής φυσικής, είναι θεμιτή η παραδοχή πως η διαταραχή που προκαλεί το όργανο παρατήρησης στο σύστημα, μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρή. Έτσι μπορούμε να πούμε, πως τα φυσικά μεγέθη έχουν ορισμένες τιμές ανεξάρτητα από τη διαδικασία της μέτρησης ή την ύπαρξη του οποιουδήποτε παρατηρητή. Στην κβαντική μηχανική, αντίθετα, το κβάντο δράσης της μετρητικής συσκευής είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το μετρούμενο μικροσύστημα. Έτσι η διαταραχή του μικροσυστήματος S είναι αναπόφευκτη, συνεπάγοντας το μετασχηματισμό του S, με τη δημιουργία νέων στοιχείων πραγματικότητας. Ενώ λοιπόν, όπως μας λέει η ορθόδοξη ερμηνεία, το διάνυσμα κατάστασης y, εμπεριέχει όλες τις πληροφορίες του συστήματος, δε δύναται να καθοριστεί επακριβώς το αποτέλεσμα που θα προκύψει έπειτα από την αλληλεπίδραση με τη μετρητική συσκευή, παρά μόνο να προβλεφθεί 11 Αξίζει να σημειωθεί ότι το φαινόμενο της κβαντικής διεμπλοκής υποβάλλει ένα είδος ολισμού φυσικών ιδιοτήτων. Στην κατάσταση singlet του σπιν δυο ηλεκτρονίων, το σύνθετο σύστημα έχει καθορισμένη τιμή ολικού σπιν 0, ενώ κανένα από τα δυο υποσυστήματα (ηλεκτρόνια) δεν έχει καθορισμένη τιμή σπιν. Έτσι υπάρχει μια ιδιότητα του «όλου» που δεν καθορίζεται από τις ιδιότητες των «μερών». Επιπλέον το σύνθετο σύστημα βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση, ενώ καθένα από τα υποσυστήματα σε μικτή κατάσταση. Έτσι, κατά τον ορθόδοξη κβαντική μηχανική, έχουμε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής του σύνθετου συστήματος, ενώ δεν έχουμε τέτοια περιγραφή για τα μέρη του. 14

15 η πιθανότητα εμφάνισης κάθε αποτελέσματος. Υπάρχει συνεπώς ένα «άλμα» για το πώς προκύπτουν εν τέλει τα αποτελέσματα. Εκεί ακριβώς έγκειται και το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης. H θέση της σχολής της Κοπεγχάγης για το ζήτημα της μέτρησης διαφαίνεται στην εξής πρόταση: οποιαδήποτε και αν ήταν η κατάσταση του κβαντικού συστήματος πριν από μια μέτρηση, η κατάστασή του, μετά τη μέτρηση, περιγράφεται από το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή που μετράται. Κατά την προσέγγιση αυτή, η διαδικασία της μέτρησης, επιλέγει «από όλες τις δυνατές διεργασίες» (ή αλλιώς από όλες τις καταστάσεις της υπέρθεσης) εκείνη ακριβώς που παρατηρείται. Το σύστημά μας, δηλαδή, μέχρι να διαταραχθεί, από την ίδια τη μέτρηση, βρίσκεται σε μια επαλληλία όλων των δυνατών καταστάσεων και όταν διαταράσσεται, εμπίπτει σε μία από αυτές. Μπορούμε ακολούθως να πούμε πως, αιτία της άρσης της επαλληλίας των καταστάσεων, αποτελεί η αλληλεπίδραση κβαντικού αντικειμένου (σωματιδίου) και μακροσκοπικού αντικειμένου (μετρητική συσκευή), κάνοντας έτσι την κυματοσυνάρτηση του συστήματος να καταρρεύσει σε μια ιδιοκατάσταση (collapse of the wave function); Όχι ακριβώς, όπως θα δούμε παρακάτω. Πάντως η πραγματικότητα, κατά τον Heisenberg, υφίσταται μόνο μετά τη μέτρηση, παρατηρώντας δηλαδή το σύστημα στην ιδιοκατάστασή του και όχι ρωτώντας για το τι συμβαίνει σε αυτό, όσο δεν το παρατηρούμε Μαθηματική περιγραφή της μετρητικής διαδικασίας 13 Έστω ένα σύστημα S και μια μετρητική συσκευή M που χρησιμοποιείται για να μετρηθεί ένα παρατηρήσιμο μέγεθος Α. Έστω ότι πριν τη μέτρηση (πριν δηλαδή ληφθεί υπόψιν ο παράγοντας M) το σύστημα S βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση y n του Α, με αντίστοιχη ιδιοτιμή α n δηλαδή: Α y n = α n y n (3) H μετρητική συσκευή, επίσης, βρίσκεται αρχικά σε μία κατάσταση Φ 0. Η αρχική λοιπόν ολική κατάσταση του συστήματος θα είναι η : y α = y n Φ 0 (4) 12 Δηλαδή το φεγγάρι μπορεί να μην είναι στη θέση του όσο δεν το κοιτάμε;. Διερωτάται ο Einstein σε επιστολή του προς τον Abraham Pais. (Pais, 2005) 13 Κατά von Neumann J. (1932). Για απλούστευση, υποθέτουμε ότι όλοι οι τελεστές έχουν αμιγώς διακριτό και μη εκφυλισμένο φάσμα. 15

16 Μετρώντας τώρα το μέγεθος Α συνεπάγεται η δράση του τελεστή Α (ή Α 1) στην αρχική κατάσταση: Α y α = Α y n Φ 0 Α y α = α n y n Φ 0 y t = y n Φ n (5) Όπου Φ n η νέα ιδιοκατάσταση της συσκευής 14 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή α n και y t η νέα κατάσταση του συστήματος.. Η αρχική και τελική κατάσταση του συστήματος y α y t θα πρέπει να συνδέονται με τον τελεστή χρονικής εξέλιξης Û έτσι ώστε y t = Û y α. Έτσι λοιπόν η y t δεν αποτελεί απλώς μία κατάσταση του συστήματος, αλλά τη χρονική εξέλιξη της y α. Έστω ότι, το σύστημά μας τώρα, πριν τη μέτρηση, δε βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση y n, αλλά σε μια τυχαία κατάσταση y. Οποιαδήποτε όμως τυχαία κατάσταση μπορεί να γραφεί σα γραμμικός συνδυασμός ιδιοκαταστάσεων (αρχή της υπέρθεσης), έτσι ώστε y = c n y n n. Τότε η αρχική κατάσταση θα γράφεται: και η τελική: y α = y Φ 0 = c n y n Φ 0 y t = Û y α = Û ( c n y n Φ 0 ) = c n y n Φ n n Στην τελική κατάσταση, συνεπώς, παρουσιάζεται μια επαλληλία των ιδιοκαταστάσεων Φ n της μετρητικής συσκευής και μόνο μετά την πειραματική παρατήρηση, άρεται η επαλληλία και προβάλλεται μία και καθορισμένη ένδειξη Η γάτα του Schrödinger n n (6) (7) Η προηγούμενη συνέπεια είναι που φέρει και τις διάφορες προσεγγίσεις στο ζήτημα της μέτρησης. Την ύπαρξη της επαλληλίας των καταστάσεων στο κβαντικό επίπεδο, αμφισβητεί ο Schrödinger, το 1935, με την περίφημη γάτα του. Εν συντομία 15, η γάτα βρίσκεται σε ένα κουτί μαζί με ένα ραδιενεργό άτομο. Το πείραμα είναι έτσι δομημένο ώστε το ραδιενεργό άτομο να διασπάται με πιθανότητα 50%. 14 Δημιουργία νέου στοιχείου πραγματικότητας. 15 Επί του παρόντος δε μας ενδιαφέρει να περιγράψουμε με λεπτομέρεια τη διάταξη στο νοητικό πείραμα του Schrödinger, αλλά το συμπέρασμα αυτού. 16

17 Όταν το ραδιενεργό άτομο διασπάται τότε η γάτα πεθαίνει, ενώ αν δε διασπαστεί, δεν παθαίνει τίποτα.έτσι, ως συνέχεια της συνέπειας της μέτρησης, μέχρι να ανοίξουμε το κουτί και να δούμε το αποτέλεσμα, η γάτα βρίσκεται σε μια υπέρθεση καταστάσεων ζωής και θανάτου! Η επαλληλία των καταστάσεων, που βρίσκεται η γάτα, όπως αυτή περιγράφεται στο παράδοξο. Το παραπάνω ενδεχόμενο είναι εξωφρενικό στα πλαίσια του κλασικού κόσμου, και πολύ εύκολα μπορεί να ελεγχθεί η κατάσταση της γάτας, απλώς ανοίγοντας το κουτί (χωρίς αυτό να επηρεάσει το αποτέλεσμα προφανώς). Μήπως δηλαδή η διαφαινόμενη υπέρθεση των καταστάσεων είναι αποτέλεσμα της άγνοιάς μας για το τι πραγματικά συμβαίνει. Στην ουσία αυτό που πετυχαίνει ο Schrödinger με το νοητικό του πείραμα είναι να μεταφέρει το πρόβλημα, από το μικροσκοπικό επίπεδο της απροσδιοριστίας (διάσπαση ή όχι ραδιενεργού ατόμου), στο μακρόκοσμο της αιτιοκρατίας (θάνατος ή όχι της γάτας). Και ακολούθως ερχόμαστε στη θέση να διερωτηθούμε: ποιο είναι το όριο μεταξύ μικρόκοσμου και μακρόκοσμου; Διαφορετικές ερμηνείες της κβαντικής μέτρησης Πάνω λοιπόν στο ζήτημα της μέτρησης, τίθενται αναπόφευκτα αμφιβολίες των βασικών αιτημάτων της. Όπως θα δούμε και στη συνέχεια, κάθε μία αμφισβήτηση, ενός εκ των αιτημάτων, συνεπάγεται και μια διαφορετική προσέγγιση της κβαντικής φυσικής πραγματικότητας. Τα τρία αυτά αιτήματα είναι: Η κυματοσυνάρτηση εξελίσσεται πάντοτε σύμφωνα με μια γραμμική δυναμική εξίσωση (εξίσωση Schrödinger). Οι μετρήσεις έχουν πάντα ένα και καθορισμένο αποτέλεσμα. Αυτό, δηλαδή, που εκλαμβάνει ως γεγονός ένας παρατηρητής μετά τη μέτρηση είναι φυσικό γεγονός. Ένα παρατηρήσιμο μέγεθος ενός κβαντικού συστήματος έχει καθορισμένη τιμή σε μια χρονική στιγμή, αν και μόνον αν, η κατάσταση του συστήματος εκείνη τη χρονική στιγμή, αναπαρίσταται από το ιδιοδιάνυσμα του 17

18 αντίστοιχου τελεστή, οπότε και η καθορισμένη τιμή ισούται με την ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα. Άρνηση του αιτήματος της γραμμικής δυναμικής εξέλιξης της κυματοσυνάρτησης, συνεπάγεται πως η εξέλιξη αυτής δεν είναι πάντοτε γραμμική. Χαρακτηριστικό μοντέλο τέτοιας θεωρίας αποτελεί η ερμηνεία της Κοπεγχάγης, με τη μη γραμμική εξέλιξη του συστήματος κατά τη μέτρηση (κατάρρευση κυματοσυνάρτησης). 16 Ανάλογη παραδοχή, δέχεται και η θεωρία στοχαστικής συρρίκνωσης της κυματοσυνάρτησης, των Ghirardi, Rimini, Weber, γνωστή και ως θεωρία GRW. 17 Με άρνηση του δεύτερου αιτήματος, την αμφισβήτηση δηλαδή ότι μετά τη μέτρηση παράγεται μόνο ένα αποτέλεσμα, ανοίγει ο δρόμος για θεωρίες πολλαπλών κόσμων, όπως αυτή του Everett. 18 Σύμφωνα με την οποία το σύμπαν μετά την κβαντική μέτρηση, «διακλαδίζεται» σε ένα άπειρο πλήθος παράλληλων και μη αλληλεπιδρώντων κόσμων, σε καθέναν από τους οποίους πραγματώνεται και ένα από τα δυνατά αποτελέσματα. Τέλος με την άρνηση του τρίτου αιτήματος, το σύνδεσμο ιδιοτιμήςιδιοκατάστασης, θεωρείται πως υπάρχουν στοιχεία της πραγματικότητας που δεν αντιπροσωπεύονται στο διάνυσμα κατάστασης. Από αυτή την αφετηρία εκκινούν και οι θεωρίες κρυμμένων μεταβλητών που αναζητούν τις συμπληρωματικές παραμέτρους της κβαντικής θεωρίας. Υποστηρίχθηκαν αρχικά από τον Einstein και de Broglie και περιγράφηκαν πληρέστερα από τον Bohm. Αυτές οι θεωρίες (theories of hidden variables), ωστόσο, πριν καν τεθούν, πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις. 1.4 Απαιτήσεις Θεωριών Κρυμμένων Μεταβλητών Σε αυτό το σημείο πρέπει να θυμηθούμε το νοητικό πείραμα EPR 19, το οποίο αναλύθηκε νωρίτερα και τα συμπεράσματά του όρισαν την απαρχή για θεωρίες κρυμμένων μεταβλητών (ΘΚΜ). Τo EPR ανέδειξε κάποιες έννοιες της ορθόδοξης θεωρίας, αυτές της πληρότητας (completeness) και τοπικότητας (locality). 16 Εκτός από την ερμηνεία κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης κατά von Neumann (όπως έχει παρουσιαστεί ως τώρα), ο Eugene Wigner καταλήγει στο συμπέρασμα πως αίτιο της κατάρρευσης δεν είναι η μετρητική συσκεύη, αλλά η ίδια η συνείδηση του παρατηρητή είναι αυτή που «αναπόφευκτα» και «αμετάκλητα» υπεισέρχεται στη θεωρία. (Wigner, 1961, σ.289) 17 Ghirardi, et al. (1986) 18 Everett (1957) 19 Βλ. κεφ Κβαντική διεμπλοκή. 18

19 Πιο συγκεκριμένα, το συμπέρασμα που προκύπτει από το πείραμα είναι είτε ότι η κβαντική θεωρία είναι μη πλήρης και υπάρχουν στοιχεία της πραγματικότητας που δεν περιγράφονται από αυτή (π.χ το σπιν των σωματιδίων να μην καθορίζεται τη στιγμή της μέτρησης, αλλά να είναι προκαθορισμένο από τότε που αυτά εκπέμφθηκαν), είτε ότι η κβαντική θεωρία είναι μη τοπική και μπορεί μια μέτρηση να έχει ακαριαία επίπτωση σε μια δεύτερη μέτρηση (κάποια μορφή αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων). Αυτό που απομένει, είναι να ελεγθεί πειραματικά, αν όντως μπορούν να υπάρξουν αυτές οι θεωρίες και τι σχέση πρέπει να έχουν με την έννοια της τοπικότητας H ανίσωση του Bell Ο Bell το 1964, εισάγει το θεώρημά του 20, θέλοντας να μελετήσει το κατά πόσον είναι δυνατή η συμβατότητα της κβαντικής θεωρίας με τοπικές θεωρίες κρυμμένων μεταβλητών. Σε γενικές γραμμές αυτό που προτείνει ο Bell είναι, να βρεθεί ένα κατάλληλο μέγεθος (έστω Ĉ) και να υπολογιστεί αυτό, τόσο μέσω της ορθόδοξης κβαντικής θεωρίας, όσο και μέσω μιας τυχαίας τοπικής ΘΚΜ. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων είναι αυτή που θα δώσει και τα συμπεράσματα. Το φυσικό σύστημα που θεωρείται κατάλληλο για τη διεξαγωγή του πειράματος, είναι το EPRB, κι αυτό γιατί στο σύστημα αυτό εκδηλώνεται, με τον πιο ακραίο τρόπο, η μη τοπικότητα. Το μέγεθος που μετράται είναι ο βαθμός συσχέτισης του προσανατολισμού των δύο σπιν C(θ) (συνάρτηση συσχέτισης). Παραβλέποντας τη μαθηματική απόδειξη του θεωρήματος, παρατίθενται οι δύο συναρτήσεις συσχέτισης όπως αυτές προκύπτουν. Για την ορθόδοξη κβαντομηχανική θεωρία, η συνάρτηση συσχέτισης είναι: C(θ) = cosθ (8) ενώ για μια τυχαία τοπική ΘΚΜ, για τη συνάρτηση συσχέτισης ισχύει: C(θ ) C(θ) C(θ θ ) 1. (9) Αποδεικνύεται ότι η (9) δεν επαληθεύει την (8). Δηλαδή, η ανισότητα του Bell, που αφορά μια τυχαία τοπική ΘΚΜ, παραβιάζεται από τη συνάρτηση συσχέτισης που εξάγεται από την ορθόδοξη θεωρία. Άρα η κβαντομηχανική θεωρία, δε μπορεί να 20 Bell (1964) 19

20 συμβιβαστεί με καμία τοπική θεωρία κρυμμένων μεταβλητών. 21 H σημασία του θεωρήματος Bell έγκειται ακριβώς εκεί, στην ανάδειξη, δηλαδή, της μη τοπικότητας ως κεντρικής δέσμευσης στην κβαντική θεωρία. Η εδραίωση των ανισοτήτων του Bell έρχεται το 1982 με το πείραμα του Alain Aspect, εξετάζοντας πεπλεγμένα ηλεκτρόνια. 22 Τα πειραματικά αποτελέσματα όχι μόνο επιβεβαιώνουν τον Bell, αλλά ακολουθούν ακριβώς τη γωνιακή εξάρτηση που προβλέπει η κβαντομηχανική [C(θ) = cosθ]. Μέχρι και σήμερα, έχει υπάρξει πληθώρα πειραματικών διατάξεων, που συνεχίζουν να εξετάζουν τη μη τοπικότητα και τη θεώρηση του Bell. Η πιο πρόσφατη (Handsteiner, et al., 2017) αφορά μια διάταξη συσχετισμένων φωτονίων που παράγονται στο εργαστήριο. Σε αυτά, μετρώνται οι ιδιότητές τους, με τη χρήση φωτός αστέρων, που βρίσκονται 600 έτη φωτός μακρυά, έτσι ώστε, οι ιδιότητες των φωτονίων αυτών (των αστέρων) «να έχουν αποφασιστεί» εκατοντάδες χρόνια πριν, αυξάνοντας την πιθανότητα να είναι ανεξάρτητες των φωτονίων που μετρώνται. Παρά τις ιδιόμορφες συνθήκες του πειράματος, η ανίσωση Bell για άλλη μια φορά παραβιάζεται, δείχνοντας πως αποτελεί κεντρική παραδοχή στη θεωρία. Εν ολίγοις, το πρώτο ουσιαστικό συμπέρασμα για τις ΘΚΜ είναι αυτό που τίθεται από τους EPR, ότι δηλαδή η κβαντική θεωρία είναι είτε μη πλήρης, είτε μη τοπική. Σε συνέχεια αυτού, ο Bell αποδεικνύει την ασυμβατότητα της κβαντικής θεωρίας με οποιαδήποτε τοπική ΘΚΜ, από όπου προκύπτει και η πρώτη απαίτηση: μια θεωρία κρυμμένων μεταβλητών για να αναπαραγάγει όλες τις στατιστικές προβλέψεις της ορθόδοξης κβαντικής μηχανικής (που επικυρώνονται από πειράματα) πρέπει να είναι μη τοπική Το θεώρημα Kochen-Specker Τρία χρόνια μετά τη δημοσίευση του Bell, άλλη μία δημοσίευση εμφανίζεται και θέτει τις ΘΚΜ υπό το πρίσμα μιας άλλης έννοιας, αυτή της πλαισιακότητας (contextuality). Η ιδέα της, αναφέρεται εν γένει, στην εξάρτηση των παρατηρήσιμων τιμών, από την αλληλεπίδραση με τη μετρητική συσκευή. Όπως λοιπόν, γίνεται αντιληπτό, τόσο η θεωρία του Bohr, όσο και αυτή του Bohm, είναι συνυφασμένες με 21 Αν δεν παραβιαζόταν η ανισότητα, δε θα σήμαινε απαραίτητα ότι οι δύο θεωρίες είναι συμβατές, αλλά ότι η συγκεκριμένη ανισότητα δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διακρίνει τη μία θεωρία από την άλλη. 22 Aspect, et al. (1982) 20

21 τη συγκεκριμένη ιδέα (αποτελούν, δηλαδή, πλαισιακές θεωρίες), υπό διαφορετικές όμως οπτικές. Η πλαισιακότητα του Bohr χαρακτηρίζεται περισσότερο οντολογική. Τα παρατηρήσιμα μεγέθη, για να έχουν καθορισμένη τιμή, πρέπει να έχουν μια πλασιακή σχέση μεταξύ τους (να είναι συμβατά), ή να αποτελούν μέρη ενός ορισμένου πλαισίου, όπως θέτει στην απάντησή του στο EPR με την αρχή της συμπληρωματικότητας. Αντίστοιχα η πλαισιακότητα των μεγεθών, όπως αυτή υπεισέρχεται στη θεωρία του Bohm είναι, κατά βάση, αιτιακή. Οι παρατηρούμενες τιμές είναι αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης με τη μετρητική συσκευή. Η μετρητική συσκευή, δηλαδή, καθίσταται το αίτιο και η μετρούμενη τιμή το αποτέλεσμα, εγκαταλείποντας την ιδέα της μέτρησης, ότι δηλαδή μετράται κάτι που υπάρχει προγενέστερα. Το 1967, οι Kochen και Specker εισάγουν το θεώρημά τους, βάσει του οποίου υπάρχει αντίφαση μεταξύ των παραδοχών που τίθενται στις ΘΚΜ: I. Οι κρυμμένες μεταβλητές έχουν καθορισμένη τιμή για κάθε χρονική στιγμή. II. Οι τιμές των κρυμμένων μεταβλητών είναι εγγενείς και ανεξάρτητες της μετρητικής διαδικασίας. III. Για κάθε παρατηρήσιμο μέγεθος Α και κάθε συνάρτηση f, val(f(a)) = f(val(a)), όπου val(a) παριστάνει την τιμή του A. Η αντίφαση προκαλείται από το γεγονός πως τα μεγέθη στην κβαντική μηχανική αντιστοιχούν σε τελεστές στο χώρο Hilbert, και για να είναι ταυτοχρόνως μετρήσιμα αυτά, πρέπει οι αντίστοιχοι τελεστές τους να μετατίθενται. Η συγκεκριμένη αλγεβρική δομή πρέπει να διατηρείται, εξίσου, και στις θεωρίες κρυμμένων μεταβλητών. Αποδεικνύεται όμως, πως αυτό καθίσταται αδύνατο για χώρο Hilbert διάστασης n Έτσι, κρίνεται απαραίτητη η αναίρεση ενός, εκ των παραπάνω ισχυρισμών. Θεωρώντας την πρώτη παραδοχή βασική πρόταση όλων των διαφορετικών ερμηνείων των ΘΚΜ, επιλέγεται να αναιρεθεί η δεύτερη παραδοχή, από όπου και προκύπτει και η δεύτερη απαίτηση για τις ΘΚΜ: Καμία μη πλαισιακή θεωρία κρυμμένων μεταβλητών δε μπορεί να αναπαράγει όλες τις προβλέψεις της 23 Για την απόδειξη του θεωρήματος, βλ. Kochen & Specker (1967). 21

22 κβαντικής μηχανικής, σε ένα χώρο Hilbert, που έχει διάσταση τουλάχιστον ίση με τρία Συμπεράσματα Η διαμάχη για την πληρότητα της κβαντικής θεωρίας διαρκεί από τη στιγμή της εμφάνισής της μέχρι και σήμερα. Οι ερωτήσεις σε βασικά σημεία της θεωρίας βρίσκουν απάντηση στην παράξενη πραγματικότητα του μικρόκοσμου, η οποία στα μάτια των ρεαλιστών, μοιάζει ασαφής και αυθαίρετη και χρίζει περαιτέρω διερεύνησης. Σε αυτήν την κατεύθυνση, τίθενται μια σειρά παραδόξων με χαρακτηριστικότερα, τη γάτα του Schrödinger και το EPR, τα οποία και προσπαθούν να αναδείξουν τις αντιφάσεις της θεωρίας. Καθοριστικό σημείο της όλης συζήτησης αποτελεί η κβαντική μέτρηση, μιας και οι διαφορετικές προσεγγίσεις του προβλήματος αποτελούν και τη βάση για μια νέα φυσική πραγματικότητα. Μία από αυτές τις προσεγγίσεις αποτελεί και η υπόθεση των ΘΚΜ. Μέσω αυτών, αμφισβητείται η πληρότητα της ορθόδοξης θεωρίας και αναζητούνται οι μεταβλητές εκείνες που θα συμπληρώσουν την πραγματικότητα και θα αποκαταστήσουν την αιτιότητα. Όπως δείχθηκε από τα θεωρήματα των Bell και Kochen-Specker, οι θεωρίες αυτές για να παραμένουν συνεπείς με τις προβλέψεις της κβαντικής μηχανικής πρέπει να καθίστανται, στη θεώρησή τους, μη τοπικές και πλαισιακές. Το 1952, και με οδηγό τη θεωρία της διπλής λύσης 25, o David Bohm παρουσιάζει τη θεωρία του για τον κβαντικό κόσμο και τη φυσική που τον διέπει. Η ερμηνεία του Bohm συνδυάζει την πιθανοκρατική προσέγγιση, με την παραδοχή της ύπαρξης χωροχρονικών τροχιών, εισάγοντας την έννοια του κβαντικού δυναμικού. Το δυναμικό αυτό, είναι μη κλασσικό και μη ελέγξιμο και σε αυτό αποδίδονται τα κβαντικά φαινόμενα των σωματιδίων. Στα πλαίσια της αποδοχής της, η θεωρία αναμετράται τόσο με τις έννοιες της τοπικότητας και πλασιακότητας, όσο και με την θεμελιώδη και «ξεχασμένη», από τη θετικιστική σχολή, έννοια της αιτιότητας. 24 Στην πραγματικότητα, και όπως θα δούμε στο 2 ο κεφάλαιο, ο Bohm δέχεται μερικώς την πρώτη παραδοχή, ότι μερικά από τα παρατηρήσιμα μεγέθη έχουν καθορισμένη τιμή (θέση σωματιδίου), όχι όλα. 25 de Broglie L. (1927). 22

23 Κεφάλαιο 2 ο 2. Η θεώρηση του David Bohm 2.1 Για μια Οντολογική Ερμηνεία του Κβαντικού Κόσμου Όπως γίνεται αντιληπτό από το προηγούμενο κεφάλαιο, η ορθόδοξη ερμηνεία, ακολουθώντας το θετικιστικό φιλοσοφικό ρεύμα, μελετά τα παρατηρήσιμα μεγέθη, δίνοντας, αποκλειστικά και μόνο σε αυτά, σημασία. Η διαδρομή που ακολουθεί η ορθόδοξη θεωρία, από την αρχή της εμφάνισής της ως και τη θεμελίωσή της, ξεκινά με τα πειραματικά αποτελέσματα να αποτελούν πρωταρχικό και μόνο δεδομένο και στη συνέχεια, καταλήγοντας στα θεμέλια της θεωρίας, όπου και εδράζονται οι νόμοι της τύχης. Θα μπορούσαμε, λοιπόν, να πούμε, πως αποτέλεσμα της αντίθετης πορείας της διαδρομής, είναι να αποφεύγονται συνειδητά, όλα τα ερωτήματα που «γεννάνε» τη θεωρία, και που πιθανόν να της πρόσδιδαν και έναν αιτιακό χαρακτήρα. Στα πλαίσια αυτά, ο Bohm κρίνει πως η άγνοια της οντολογίας της θεωρίας οδηγεί σε ανεπάρκεια κατανόησης της φυσικής πραγματικότητας. Έτσι, το 1952, θέλοντας να δώσει μια διαφορετική ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής, εκκινεί από άλλη αφετηρία. Ξεκινώντας, αυτή τη φορά, από τα εν γένει ερωτήματα της κβαντικής πραγματικότητας, καταλήγοντας, στη συνέχεια, στις εξισώσεις που διέπουν το μικρόκοσμο. Η θεωρία του Bohm, στην κατεύθυνση αυτή, κρίνεται μια οντολογική θεωρία, της οποίας οι προβλέψεις δε διαφέρουν από τις στατιστικές προβλέψεις που εξάγονται από την ορθόδοξη ερμηνεία. Η θεωρία του Bohm παρουσιάζει ουσιαστικές ομοιότητες με τη θεωρία διπλής λύσης του de Broglie (1927), μια θεωρία που είχε τότε λησμονηθεί και που ο ίδιος ο Bohm την αγνοούσε. Όπως αναφέρει ο de Broglie αρκετά χρόνια αργότερα: Ο καθηγητής D. Bohm, χρησιμοποίησε μερικές ιδέες του άρθρου μου, τις σχολίασε και τις διεύρυνε με τόσο ενδιαφέροντα τρόπο, ώστε κατάφερε να διατυπώσει σημαντικά επιχειρήματα υπέρ της αιτιακής επανερμηνείας της κβαντικής φυσικής (Bohm, [1984]1996, σ. 19, όπου και προλογίζει ο Louis de Broglie) 23

24 2.1.1 Η θεωρία της διπλής λύσης του L. de Broglie Το 1927, ο Louis de Broglie, παρουσιάζει τη θεωρία της διπλής λύσης, παραθέτοντας τη ριζοσπαστική άποψη πως, καθόσον τα κύματα φωτός έχουν και σωματιδιακό χαρακτήρα, ακολούθως και τα ατομικά σωματίδια μπορεί να έχουν κυματικό χαρακτήρα. Έτσι, ο de Broglie, αξιώνει την ύπαρξη ενός νέου είδους κύματος, άμεσα συνδεδεμένου με το σωματίδιο, που καθοδηγεί την κίνηση αυτού. Η ποιοτική θεωρία του de Broglie, ποσοτικοποιείται όταν και εξάγεται (από τη σχέση του Einstein, E = hν) η σχέση: p = h/λ, η οποία συνδέει το μήκος κύματος λ των κυμάτων, με την ορμή p των σωματιδίων. Γνωρίζουμε δε γενικότερα για τα κύματα 26, πως ο κυματικός τους χαρακτήρας εκδηλώνεται, ενόσω το κύμα συναντά εμπόδιο, αντίστοιχου μεγέθους του μήκους κύματός του. Έτσι σε μακροσκοπικό επίπεδο, τα κύματα de Broglie δε θα εκδηλώνονταν με σαφή τρόπο, δρώντας καθαρά ως κλασσικά σωματίδια. Στο ατομικό επίπεδο όμως, το κύμα, που συνδέεται με το σωματίδιο, θα το εξανάγκαζε σε κυματικά φαινόμενα, όπως και παρατηρείται. Το ουσιώδες στοιχείο της θεωρίας του de Broglie, είναι η «ενσωμάτωση» του σωματιδίου, στο κύμα. Η κβαντομηχανική, έτσι, θα πρέπει να δέχεται, δύο συζευγμένες λύσεις: μία να αντιπροσωπεύει τη σωματιδιακή φύση και μία δεύτερη, με συνεχώς μεταβαλλόμενο εύρος, να παρέχει τη στατιστική όψη της μετατόπισης του νέφους σωματιδίων. Τελικώς, σύμφωνα με τον de Broglie, υπάρχει ένα φυσικά πραγματικό κύμα, που υπακούει στην εξίσωση Schrödinger, και το οποίο «πιλοτάρει» το αντίστοιχο σωματίδιο. To σωματίδιο, έτσι, ακολουθεί μια καθορισμένη τροχιά, αυτή που του δείχνει το οδηγόν κύμα (pilot wave). Στην απεικόνιση διαφαίνεται η διττή φύση του φωτός, όπως τη φανταζόμαστε να συμβαίνει ταυτόχρονα. Κατά τον de Broglie, το κύμα είναι αυτό που καθοδηγεί την «άτακτη» κίνηση των σωματιδίων. (Πηγή εικόνας: 26 Αναφερόμαστε στο πείραμα των δύο οπών. 24

25 Για να γίνει περισσότερο κατανοητή η προσέγγιση του de Broglie, ας θεωρήσουμε το σωμάτιο σαν ένα είδος ρολογιού, το οποίο βρίσκεται σε φάση με το κύμα που το περιβάλλει, και καθοδηγείται από αυτό, όπως ανάλογα ένα πλοίο καθοδηγείται από τα κύματα ενός ραντάρ. Έτσι, κατά την άποψή του, η φάση του κύματος είναι αυτή που έχει βαθιά σημασία στην κίνηση του σωματιδίου, και όχι η ίδια η κυματοσυνάρτηση y, αυτή κάθε αυτή. Συγκεκριμένα, συνδέεται η ορμή του σωματιδίου με τη φάση του κύματος, μέσω της σχέσης: p = ħ Φ, όπου Φ η φάση της κυματοσυνάρτησης. Κατά τον de Broglie, λοιπόν, η τροχιά του σωματιδίου είναι τέτοια, όπου σε κάθε σημείο της κίνησής του, η ορμή του, είναι ανάλογη με το ανάδελτα της φάσης του κύματος. Έτσι, με την άμεση εξάρτηση της ορμής του σωματιδίου (άρα και της ταχύτητάς του) από τη φάση του κύματος, διατηρείται η «εποπτική στάση» του κύματος στο σωματίδιο, καθώς και ο ντετερμινισμός στην κίνησή του Από τη θεωρία της διπλής λύσης στη θεωρία του Bohm Δύο δεκαετίες, περίπου, αργότερα, ο Bohm δίνει μια πλήρη περιγραφή της θεωρίας του, με τη δημοσίευση ενός διπλού άρθρου του. 28 Ο ίδιος ο Bohm, αναγνωρίζει πως η θεωρία του βρίσκεται σε συνάφεια με τη θεωρία του de Broglie, παρά των βασικών διαφορών των δύο θεωριών. 29 Κατά τον Bohm, τα αφετηριακά ερεθίσματα της θεωρίας του, βρίσκονται στις δυσκολίες ερμηνείας της κβαντικής μηχανικής. Έτσι, κρίνεται απαραίτητο, για μια πλήρη θεωρία της κβαντομηχανικής, να εξηγείται ο ιδιόμορφος συνδυασμός σωματιδιακών και κυματικών ιδιοτήτων της ύλης, και κατ επέκταση, ο συνδυασμός ντετερμινιστικών και στατιστικών όψεων της πραγματικότητας. Στα πλαίσια αυτά, θέλοντας να εντάξει τα στατιστικά αποτελέσματα της ορθόδοξης θεωρίας, σε μια μηχανιστική θεώρηση, εισάγει κάποιες μεταβλητές, αναζητώντας τις αιτίες αυτής της στατιστικής διακύμανσης, που είναι, προς το παρόν, άγνωστες. 27 Για περαιτέρω ανάλυση της θεωρίας του de Broglie, προτείνεται: Bohm & Hiley (1982). 28 Bohm (1952) 29 Προφανώς οι δύο θεωρίες παρουσιάζουν διαφορές μεταξύ τους. Εξάλλου ο de Broglie εγκατέλειψε τη θεωρία του πολύ νωρίς, σε αντίθεση με τον Bohm που οδήγησε τις υποθέσεις του ως την τελική τους κατάληξη, απαντώντας έτσι μέσω της δικής του θεωρίας, στις αντιρρήσεις του Pauli. Οι διαφορές των δύο θεωριών παρουσιάζονται εκτενώς εδώ: Bohm & Hiley (1993). 25

26 2.2 Φορμαλισμός Μπομιανής Κβαντικής Μηχανικής Τα πρώτα κείμενα του Bohm Στο παρόν υποκεφάλαιο, παρουσιάζεται η θεωρία του Bohm, όπως αυτή προτάθηκε και περιγράφηκε, από τον ίδιο, το Η θεωρία του, όπως έχει ήδη επισημανθεί, οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα με την ορθόδοξη θεωρία, διατηρώντας την εξίσωση Schrödinger ως την εξίσωση που εξελίσσει, χωρικά και χρονικά, την κυματοσυνάρτηση y των σωματιδίων. Η κυματοσυνάρτηση όμως, κατά την ερμηνεία του Bohm, μας παρέχει μόνο ένα μέρος της περιγραφής του συστήματος. Η πλήρης περιγραφή αυτού επιτυγχάνεται και με τον καθορισμό της θέσης κάθε σωματιδίου, η οποία και μεταβάλλεται συνεχώς και ντετερμινιστικά. Παράγοντας, λοιπόν, την πλήρη εικόνα, του Bohm, για το μικρόκοσμο, βλέπουμε την εξίσωση Schrödinger να οδηγεί την κυματοσυνάρτηση και ακολούθως αυτή, να «παρασύρει» τις θέσεις των σωματιδίων, που αποτελούν και τις θεμελιώδεις (κρυμμένες) μεταβλητές του συστήματος. Στη λογική αυτή, τα σωματίδια είναι αυτά που θεωρούνται ως πρωταρχικά στοιχεία της θεωρίας και πάνω σε αυτά δομείται η μηχανική ανάλυση του Bohm, με την κυματοσυνάρτηση να έχει δευτερεύοντα ρόλο. Η μπομιανή μηχανική λοιπόν, περιγράφει τη συμπεριφορά των σωματιδίων, ενώ εξάγονται και εξισώσεις για τις θέσεις τους και την εξέλιξή τους, με την πάροδο του χρόνου. Τα σωματίδια, κατά βάση, αποτελούν τα μέρη της ολότητας ενός μεμονωμένου συστήματος και βρίσκονται σε μία ορισμένη κατάσταση, οδηγώντας και το ίδιο το σύστημα να βρίσκεται σε μία και ορισμένη κατάσταση, της οποίας η αλλαγή καθορίζεται από συγκεκριμένους νόμους. Έτσι οι πιθανότητες στην κβαντική μηχανική δε θεωρούνται, πια, εγγενείς. Ο μαθηματικός φορμαλισμός της θεωρίας που ακολουθεί, όπως παρατίθεται από τον Bohm, στα πρώτα κείμενά του, το 1952, μας βοηθά να καταλάβουμε πιο άμεσα την προσέγγισή του για το μικρόκοσμο Το σύστημα ενός σωματιδίου Για ένα σωματίδιο, η εξίσωση Schrödinger, είναι: iħ y t = ħ2 2m 2 y + V(x)y 26

27 Η κυματοσυνάρτηση y, γράφεται σε πολική μορφή: y = Re is/ħ (10) όπου οι R, S, πραγματικές συναρτήσεις που ικανοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις: και R t = 1 2m (R 2 S + 2 R S) (11) S t = ħ2 2 R [( S)2 + V(x) 2m 2m R ] (12) Εάν, τώρα, γραφεί η πυκνότητα πιθανότητας P(x), ως P(x) = R 2 (x), τότε θα ισχύει: και (11) P S + (P t m ) = 0 (13) (12) S t + ( S)2 ħ2 P + V(x) 2m 4m [ 2 P 1 ( P) 2 2 P 2 ] = 0 (14) Στο κλασσικό όριο (ħ 0), οι παραπάνω εξισώσεις υπόκεινται σε απλή ερμηνεία. Η συνάρτηση S(x) είναι η λύση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi. Αντικαθιστώντας, στη συνέχεια, στη σχέση (13), τη σχέση για την ταχύτητα κάθε σωματιδίου: προκύπτει η σχέση: v(x) = S(x) m (15) P t + (Pv) = 0 (16) Η εξίσωση (16), δεν είναι άλλη από την εξίσωση συνέχειας ( P + J = 0), η οποία και εκφράζει τη διατήρηση της πιθανότητας τοπικά σε κάθε σημείου του χώρου. Το γινόμενο δε, Pv, καλείται το ρεύμα πυκνότητας πιθανότητας J και μας δείχνει πώς «μεταφέρεται» η πιθανότητα από μια περιοχή του χώρου σε μια άλλη. Η ουσιαστική επέκταση που δίνεται στην ερμηνεία Bohm, γίνεται με την υπόθεση ότι σε κάθε σωματίδιο, δρά, εκτός του «κλασσικού» δυναμικού V(x), ένα κβαντομηχανικό δυναμικό, που δίνεται από τη σχέση: t Q(x) = ħ2 2 R 2m R (17) 27