ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1"

Transcript

1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος Για χρήση των ϕοιτητών του Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστηµίου Αθηνών Να µην αναπαραχθεί από τρίτους για εµπορικούς λόγους

2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης ενότητας Φορµαλισµός Dirac Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Χρονική εξέλιξη πλατών Καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας Ανάλυση στις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας - Χρονική εξέλιξη των αντιστοίχων πλατών Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan )

3 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 3/ 39 Φορµαλισµός Dirac Quantum Mechanics reloaded

4 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 39 Φορµαλισµός Dirac Η έννοια της κατάστασης Κάθε ϕυσική κατάσταση περιγράφεται από ένα ανυσµα ( ket ) σε ένα χώρο Hilbert που ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger i Ψ(t) t = Ĥ Ψ(t)

5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 39 Φορµαλισµός Dirac Η έννοια της κατάστασης Κάθε ϕυσική κατάσταση περιγράφεται από ένα ανυσµα ( ket ) σε ένα χώρο Hilbert που ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger i Ψ(t) t = Ĥ Ψ(t) Τα ανύσµατα του χώρου Hilbert συµβολίζονται µε a, ( κατά Dirac ) Το εσωτερικό γινόµενο δύο ανυσµάτων a, b ( a, b ) a b

6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 39 Φορµαλισµός Dirac Η έννοια της κατάστασης Κάθε ϕυσική κατάσταση περιγράφεται από ένα ανυσµα ( ket ) σε ένα χώρο Hilbert που ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger i Ψ(t) t = Ĥ Ψ(t) Τα ανύσµατα του χώρου Hilbert συµβολίζονται µε a, ( κατά Dirac ) Το εσωτερικό γινόµενο δύο ανυσµάτων a, b ( a, b ) a b a a 0, ίσο µε µηδέν a = 0 a b = b a χ = λ 1 φ 1 + λ 2 φ 2 a χ = λ 1 a φ 1 + λ 2 a φ 2

7 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 39 Φορµαλισµός Dirac Η Norm Φ ενός ket Φ ορίζεται ως Φ 2 Φ Φ και το Φ είναι κανονικοποιηµένο όταν Φ = 1.

8 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 39 Φορµαλισµός Dirac Η Norm Φ ενός ket Φ ορίζεται ως Φ 2 Φ Φ και το Φ είναι κανονικοποιηµένο όταν Φ = 1. Τελεστές στον χώρο Hilbert Ενάς τελεστής ˆQˆQˆQ δρα σε ενα ket και δίνει ένα άλλο ket, ˆQ Φ = Φ Ο συζυγής ˆQ τελεστή ˆQˆQˆQ ορίζεται από την σχέση a ˆQ b b ˆQ a Ενάς τελεστής ˆQˆQˆQ είναι αυτοσυζυγής όταν ˆQ = ˆQ

9 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 39 Φορµαλισµός Dirac Ολα τα µετρήσιµα µεγέθη ( πιθανότητες, µέσες τιµές,... ) παράγονται από εσωτερικά γινόµενα! Κάθε παρατηρήσιµο ( observable ) µέγεθος A αντιπροσωπεύεται από έναν αυτοσυζυγή τελεστή ÂÂÂ και η µέση τιµή A του ϕυσικού µεγέθους A σε µια ( κανονικοποιηµένη ) κατάσταση Ψ είναι A Ψ Â Ψ Ιδιοτιµές / Ιδιοανύσµατα τελεστή Â φ = λ φ µɛ φ 0 = φ = Ιδιοάνυσµα, λ = Ιδιοτιµή

10 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 39 Φορµαλισµός Dirac Ολα τα µετρήσιµα µεγέθη ( πιθανότητες, µέσες τιµές,... ) παράγονται από εσωτερικά γινόµενα! Κάθε παρατηρήσιµο ( observable ) µέγεθος A αντιπροσωπεύεται από έναν αυτοσυζυγή τελεστή ÂÂÂ και η µέση τιµή A του ϕυσικού µεγέθους A σε µια ( κανονικοποιηµένη ) κατάσταση Ψ είναι A Ψ Â Ψ Ιδιοτιµές / Ιδιοανύσµατα τελεστή Â φ = λ φ µɛ φ 0 = φ = Ιδιοάνυσµα, λ = Ιδιοτιµή

11 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 7/ 39 Φορµαλισµός Dirac Φάσµα ιδιοσυναρτήσεων και αντιστοίχων ιδιοτιµών : Â φ i = λ i φ i Φάσµα διακριτό ( i = διακριτός δείκτης ) η συνεχές ( i = συνεχής δείκτης ) Οι ιδιοτιµές αυτοσυζυγούς τελεστή είναι πραγµατικές λ i = πραγµατικες και τα ιδιοανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα φ k φ j = 0, k j Τα ιδιοανύσµατα φ i αυτοσυζυγούς τελεστή αποτελούν ϐάση. Κάθε Ψ µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός Ψ = c k φ k Φασµατικό Θεώρηµα, ( Spectral Theorem ).

12 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 39 Φορµαλισµός Dirac Τα ιδιοανύσµατα φ i µπορουν να κανονικοποιηθούν στην µονάδα οπότε αποτελούν ορθοκανονική ϐάση! φ k φ j = δ k j Ψ = c k φ k c k = φ k Ψ Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση του Parseval Ψ 2 = c k 2 και επίσης A Ψ Â Ψ = c k 2 λ k

13 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 39 Φορµαλισµός Dirac Τα ιδιοανύσµατα φ i µπορουν να κανονικοποιηθούν στην µονάδα οπότε αποτελούν ορθοκανονική ϐάση! φ k φ j = δ k j Ψ = c k φ k c k = φ k Ψ Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση του Parseval Ψ 2 = c k 2 και επίσης A Ψ Â Ψ = c k 2 λ k

14 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 39 Φορµαλισµός Dirac Τα ιδιοανύσµατα φ i µπορουν να κανονικοποιηθούν στην µονάδα οπότε αποτελούν ορθοκανονική ϐάση! φ k φ j = δ k j Ψ = c k φ k c k = φ k Ψ Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση του Parseval Ψ 2 = c k 2 και επίσης A Ψ Â Ψ = c k 2 λ k

15 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Αν η Ψ(t) είναι κανονικοποιηµένη στην µονάδα από την σχέση του Parseval προκύπτει c k (t) 2 = 1 και η µέση τιµή του µεγέθους A είναι A = c k (t) 2 λ k Οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν πλάτη πιθανότητας : c k (t) 2 = πιθανότητα σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A, την χρονική στιγµή t, να µετρηθεί τιµή λ k!

16 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Αν η Ψ(t) είναι κανονικοποιηµένη στην µονάδα από την σχέση του Parseval προκύπτει c k (t) 2 = 1 και η µέση τιµή του µεγέθους A είναι A = c k (t) 2 λ k Οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν πλάτη πιθανότητας : c k (t) 2 = πιθανότητα σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A, την χρονική στιγµή t, να µετρηθεί τιµή λ k!

17 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Αν η Ψ(t) είναι κανονικοποιηµένη στην µονάδα από την σχέση του Parseval προκύπτει c k (t) 2 = 1 και η µέση τιµή του µεγέθους A είναι A = c k (t) 2 λ k Οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν πλάτη πιθανότητας : c k (t) 2 = πιθανότητα σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A, την χρονική στιγµή t, να µετρηθεί τιµή λ k!

18 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Οι ιδιοτιµές του τελεστή ÂÂÂ είναι οι µόνες δυνατές που προκύπτουν σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A και η πιθανότητα εύρεσης µιάς από αυτές προκύπτει από τους συντελεστές c k (t)! Ο συντελεστής c k (t) είναι το πλάτος πιθανότητας να µετρηθει τιµή λ k, για το φυσικό µέγεθος A, την χρονική στιγµή t! λ k Ισοδύναµα οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν το πλάτος πιθανότητας η κατάσταση Ψ(t) να βρεθεί στην φ k, την χρονική στιγµή t! Αν σε µιά µέτρηση την χρονική στιγµή t προέκυψε τιµή λ k αµέσως µετά την µέτρηση το φυσικό σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση φ k Ψ(t + ) = φ k λ k

19 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Οι ιδιοτιµές του τελεστή ÂÂÂ είναι οι µόνες δυνατές που προκύπτουν σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A και η πιθανότητα εύρεσης µιάς από αυτές προκύπτει από τους συντελεστές c k (t)! Ο συντελεστής c k (t) είναι το πλάτος πιθανότητας να µετρηθει τιµή λ k, για το φυσικό µέγεθος A, την χρονική στιγµή t! λ k Ισοδύναµα οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν το πλάτος πιθανότητας η κατάσταση Ψ(t) να βρεθεί στην φ k, την χρονική στιγµή t! Αν σε µιά µέτρηση την χρονική στιγµή t προέκυψε τιµή λ k αµέσως µετά την µέτρηση το φυσικό σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση φ k Ψ(t + ) = φ k λ k

20 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Οι ιδιοτιµές του τελεστή ÂÂÂ είναι οι µόνες δυνατές που προκύπτουν σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A και η πιθανότητα εύρεσης µιάς από αυτές προκύπτει από τους συντελεστές c k (t)! Ο συντελεστής c k (t) είναι το πλάτος πιθανότητας να µετρηθει τιµή λ k, για το φυσικό µέγεθος A, την χρονική στιγµή t! λ k Ισοδύναµα οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν το πλάτος πιθανότητας η κατάσταση Ψ(t) να βρεθεί στην φ k, την χρονική στιγµή t! Αν σε µιά µέτρηση την χρονική στιγµή t προέκυψε τιµή λ k αµέσως µετά την µέτρηση το φυσικό σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση φ k Ψ(t + ) = φ k λ k

21 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Πλάτη πιθανοτήτων Οι ιδιοτιµές του τελεστή ÂÂÂ είναι οι µόνες δυνατές που προκύπτουν σε διαδικασία µέτρησης του µεγέθους A και η πιθανότητα εύρεσης µιάς από αυτές προκύπτει από τους συντελεστές c k (t)! Ο συντελεστής c k (t) είναι το πλάτος πιθανότητας να µετρηθει τιµή λ k, για το φυσικό µέγεθος A, την χρονική στιγµή t! λ k Ισοδύναµα οι συντελεστές c k (t) εκφράζουν το πλάτος πιθανότητας η κατάσταση Ψ(t) να βρεθεί στην φ k, την χρονική στιγµή t! Αν σε µιά µέτρηση την χρονική στιγµή t προέκυψε τιµή λ k αµέσως µετά την µέτρηση το φυσικό σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση φ k Ψ(t + ) = φ k λ k

22 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 11/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Ενας κοµψός και εύχρηστος τρόπος να γραφεται το ανάπτυγµα της ϕυσικής κατάστασης Ψ(t) στην ορθοκανονική ϐάση φ k είναι Ψ = φ k φ k Ψ Το εσωτερικό γινόµενο φ k Ψ δίνει το πλάτος πιθανότητας την χρονική στιγµή t, το σύστηµα, να ϐρεθεί στην κατάσταση φ k. Το ανάπτυγµα της ίδιας κατάστασης σε µία άλλη ϐάση s j ϑα γραφόταν εποµένως ως Ψ = s j s j Ψ µε το εσωτερικό γινόµενο s k Ψ να δίνει το πλάτος πιθανότητας την χρονική στιγµή t, το σύστηµα, να ϐρεθεί στην κατάσταση s k. Πως συνδέονται τα δύο πλάτη ;

23 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 12/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Αν στο πλάτος s k Ψ η Ψ γραφεί ως ανάπτυγµα στην ϐάση φ k προκύπτει άµεσα η σχέση των πλατών µετάβασης s j Ψ = k s j φ k φ k Ψ Τα πλάτη στην ϐάση s j συνδέονται µε τα πλάτη της ανάπτυξης στην ϐάση φ k µέσω των εσωτερικών γινοµένων s j φ k! Συγκρίνετε µε το τί συµβαίνει όταν ένα άνυσµα στον συνήθη τριδιάστατο χώρο αναλύεται σε δύο διαφορετικές ορθοκανονικές βάσεις. Οι συντελεστές, η αλλοιώς συνιστώσες, των δύο αναπτυγµάτων σε αυτή την περίπτωση συνδέονται µεταξύ τους µε τα εσωτερικά γινόµενα των ανυσµάτων των δύο βάσεων µε έναν ακριβώς αντίστοιχο τρόπο!

24 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 13/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Παράδειγµα 1 ίνεται ότι το ηλεκτρόνιο µπορεί να ϐρεθεί σε δύο ανεξάρτητες καταστάσεις, που είναι ιδιοκαταστάσεις της προβολής του σπιν σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, µε ιδιοτιµές + /2 και /2 αντίστοιχα. Αν επιλέξουµε ως κατεύθυνση τον άξονα z, τις ορθοκανονικές αυτές καταστάσεις αυτές καταστάσεις ϑα τις συµβολίσουµε µε z, +, z, Η γενική κατασταση του ηλεκτρονίου µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός αυτών Ψ = z, + z, + Ψ + z, z, Ψ z, + Ψ είναι το πλάτος πιθανότητας το ηλεκτρόνιο να ϐρεθεί στην z, + η το ίδιο να µετρήσουµε σπιν + /2 στην κατεύθυνση z z, Ψ είναι το πλάτος πιθανότητας το ηλεκτρόνιο να ϐρεθεί στην z, η το ίδιο να µετρήσουµε σπιν /2 στην κατεύθυνση z Πως συνδέονται αυτά τα πλάτη µε τα αντίστοιχα πλάτη πιθανοτήτων να µετρηθεί σπίν ± /2 στην x κατεύθυνση ;

25 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 14/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Στην κατεύθυνση του άξονα των x, τις ορθοκανονικές καταστάσεις µε τιµές της προβολής του σπιν ± /2 καταστάσεις ϑα τις συµβολίσουµε µε x, +, x, και η κατασταση του ηλεκτρονίου µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός αυτών Ψ = x, + x, + Ψ + x, x, Ψ x, + Ψ είναι το πλάτος πιθανότητας το ηλεκτρόνιο να ϐρεθεί στην x, + η το ίδιο να µετρήσουµε σπιν + /2 στην κατεύθυνση x x, Ψ είναι το πλάτος πιθανότητας το ηλεκτρόνιο να ϐρεθεί στην x, η το ίδιο να µετρήσουµε σπιν /2 στην κατεύθυνση x Η σχέση µεταξύ των πλατών θα είναι x, + Ψ = x, + z, + z, + Ψ + x, + z, z, Ψ x, Ψ = x, z, + z, + Ψ + x, z, z, Ψ

26 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 15/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες Παράδειγµα 2 Ενα σωµατίδιο κινείται κατά µήκος του άξονα x. Τις ορθοκανονικές ιδιοκαταστάσεις του τελεστή της ϑέσης ˆxˆxˆx µε ιδιοτιµή x ϑα τις συµβολίσουµε µε x Τις ορθοκανονικές ιδιοκαταστάσεις του τελεστή της αντίστοιχης ορµής ˆp x συµβολίσουµε µε p Εποµένως µε ιδιοτιµή p ϑα τις ˆx x = x x, ˆp x p = p p Αν η κατάσταση του σωµατιδίου Ψ(t) γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των x Ψ(t) = x x x Ψ(t) x Ψ(t) είναι το πλάτος πιθανότητας το σωµατίδιο να ϐρεθεί στην ϑέση x την χρονική στιγµή t άρα είναι η κυµατική συνάρτηση που πραγµατι έχει αυτή την ϕυσική ερµηνεία!

27 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 16/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες ψ(x, t) = x Ψ(t) Αν η κατάσταση του σωµατιδίου Ψ(t) γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των p Ψ(t) = p p p Ψ(t) p Ψ(t) είναι το πλάτος πιθανότητας το σωµατίδιο να ϐρεθεί µε ορµή p την χρονική στιγµή t άρα είναι η κυµατική συνάρτηση για την ορµή που πραγµατι έχει αυτή την ϕυσική ερµηνεία! ψ(p, t) = p Ψ(t) Πως συνδέεται η ψ(p, t) µε την ψ(x, t) ;

28 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 17/ 39 Πλάτη πιθανοτήτων - Πιθανότητες x Ψ(t) = p x p p Ψ(t) Αν γνωρίζαµε το εσωτερικό γινόµενο x p ϑα γνωρίζαµε και την σχέση µεταξύ των κυµατικών συναρτήσεων ψ(x, t) και ψ(p, t). Επισηµάνσεις : Τα φάσµατα των ιδιοτιµών της θέσης και ορµής είναι συνεχή µε τιµές στο διάστηµα (, + ), άρα τα προηγούµενα αθροίσµατα είναι ολοκληρώµατα! Αποδεικνύεται ότι ( βλέπε ασκήσεις ) x p = 1 i p x/ e 2π Με ϐάση αυτά η σχέση µεταξύ των ψ(x, t), ψ(p, t) γράφεται 1 + ψ(x, t) = e i p x/ ψ(p, t) d p 2π

29 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 18/ 39 Χρονική εξέλιξη πλατών Χρονική εξέλιξη των πλατών πιθανότητας Τα πλάτη µεταβάλλονται µε τον χρόνο ως i d c k d t και αναπτύσοντας το Ψ(t) ( i d c k = φ k Ĥ d t = φ k i d d t Ψ(t) = φ k Ĥ Ψ(t) j c j φ j ) = j φ k Ĥ φ j c j i d c k d t = j H k j c j ɛξ. Schrödinger όπου H k j φ k Ĥ φ j

30 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 19/ 39 Καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας Ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας - Στάσιµες καταστάσεις Υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης Schrödinger που χαρακτηρίζονται από δεδοµένη ενέργεια. Αυτές είναι ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτωνιανής και εποµένως η διασπορά στην ενέργεια είναι µηδενική! Αυτές ονοµάζονται και στάσιµες διότι οι µέσες τιµές των παρατηρησίµων µεγεθών, όταν το σύστηµα περιγράφεται από µία τέτοια κατάσταση, δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε επιλύσει το πρόβληµα ιδιοτιµών-ιδιοανυσµάτων της ενέργειας για Χαµιλτωνιανή ĤĤĤ που δεν έχει εξάρτηση από τον χρόνο Ĥ E k = E k E k Ο δείκτης k χαρακτηρίζει τις ιδιοτιµές E k και τις αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις E k και µπορεί να είναι συνεχής η διακριτός ( Γενικά για δέσµιες καταστάσεις ο δείκτης είναι διακριτός αλλά για το µέρος του ϕάσµατος που περιγράφει καταστάσεις που δεν είναι δέσµιες είναι συνεχής ) Είναι προφανές ότι οι καταστάσεις Ψ k(t) = e i E k t/ E k ικανοποιούν αυτοµάτως την εξίσωση Schrödinger και εποµένως περιγράφουν ϕυσικές καταστάσεις και µάλιστα µε καθορισµένη ενέργεια γιατί είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας.

31 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 19/ 39 Καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας Ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας - Στάσιµες καταστάσεις Υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης Schrödinger που χαρακτηρίζονται από δεδοµένη ενέργεια. Αυτές είναι ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτωνιανής και εποµένως η διασπορά στην ενέργεια είναι µηδενική! Αυτές ονοµάζονται και στάσιµες διότι οι µέσες τιµές των παρατηρησίµων µεγεθών, όταν το σύστηµα περιγράφεται από µία τέτοια κατάσταση, δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε επιλύσει το πρόβληµα ιδιοτιµών-ιδιοανυσµάτων της ενέργειας για Χαµιλτωνιανή ĤĤĤ που δεν έχει εξάρτηση από τον χρόνο Ĥ E k = E k E k Ο δείκτης k χαρακτηρίζει τις ιδιοτιµές E k και τις αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις E k και µπορεί να είναι συνεχής η διακριτός ( Γενικά για δέσµιες καταστάσεις ο δείκτης είναι διακριτός αλλά για το µέρος του ϕάσµατος που περιγράφει καταστάσεις που δεν είναι δέσµιες είναι συνεχής ) Είναι προφανές ότι οι καταστάσεις Ψ k(t) = e i E k t/ E k ικανοποιούν αυτοµάτως την εξίσωση Schrödinger και εποµένως περιγράφουν ϕυσικές καταστάσεις και µάλιστα µε καθορισµένη ενέργεια γιατί είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας.

32 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 20/ 39 Ανάλυση στις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας - Χρονική εξέλιξη των αντιστοίχων πλατών Οποιαδήποτε κατάσταση Ψ µπορεί να αναλυθεί ως Ψ(t) = c k(t) E k Για κανονικοποιηµένες στην µονάδα ιδιοκαταστάσεις E k, οι συντελεστές c k(t) ικανοποιούν το σύστηµα της σελίδας 20. Τα στοιχεία H k j που καθοριζουν την χρονική εξέλιξη τους είναι µηδενικά όταν οι δείκτες k, j αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές ενώ όταν αντιστοιχούν σε ίδιες ιδιοτιµές E k Ĥ E k = E k Σε αυτήν την περίπτωση το σύστηµα της σελίδας 20 δεν εµπλέκει συντελεστές µε διαφορετικούς δείκτες ( είναι διαγώνιο! ) και επιλύεται άµεσα µε λύσεις c k(t) = e i E k t/ c k(0) Η λύση αυτή ισχύει µόνο για την ανάλυση σε ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας!

33 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 21/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων " Two - state systems " Υπάρχουν κβαντικά συστήµατα τα οποία έχουν δύο ενεργειακές καταστάσεις αλλα οι καταστάσεις που τα περιγράφουν δεν είναι καµµία από αυτές τις καταστάσεις αλλα ανάµειξη αυτών Μεταξύ αυτών των συστηµάτων είναι : Σωµατίδια µε σπιν που έχει δύο βαθµούς ελευθερίας, όπως το ηλεκτρόνιο, πρωτόνιο κ.α., ευρισκόµενα σε µαγνητικό πεδίο µε δεδοµένο προσανατολισµό σπιν που δεν είναι αυτός της κατεύθυνσης του µαγνητικού πεδίου Τα µεσόνια K 0, K0 τα οποία ως κβαντικές καταστάσεις είναι αναµείξεις άλλων βαθµών ελευθερίας, των σωµατιδίων K L, K S Τα νετρίνα τα οποία ως βαθµοί ελευθερίας που παράγονται σε ασθενείς διασπάσεις άλλων σωµατιδίων είναι υπέρθεση άλλων καταστάσεων δεδοµένης µάζας... ΕΡΩΤΗΜΑ : Οι καταστάσεις 1, 2 είναι ορθοκανονικές ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας κάποιου συστήµατος µε ιδιοτιµές E 1, E 2 αντίστοιχα. Οι καταστάσεις A, B είναι επίσης ορθοκανονικές και γραµµικοί συνδυασµοί των 1, 2 που δίνονται ως A = cos θ 1 + sin θ 2, B = sin θ 1 + cos θ 2 όπου θ δεδοµένη γωνία. Την µηδενική χρονική στιγµή στο εργαστήριο παράγεται µία κατάσταση A. Ποιά η πιθανότητα να ϐρεθεί το σύστηµα στην κατάσταση B την στιγµή t ;

34 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 21/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων " Two - state systems " Υπάρχουν κβαντικά συστήµατα τα οποία έχουν δύο ενεργειακές καταστάσεις αλλα οι καταστάσεις που τα περιγράφουν δεν είναι καµµία από αυτές τις καταστάσεις αλλα ανάµειξη αυτών Μεταξύ αυτών των συστηµάτων είναι : Σωµατίδια µε σπιν που έχει δύο βαθµούς ελευθερίας, όπως το ηλεκτρόνιο, πρωτόνιο κ.α., ευρισκόµενα σε µαγνητικό πεδίο µε δεδοµένο προσανατολισµό σπιν που δεν είναι αυτός της κατεύθυνσης του µαγνητικού πεδίου Τα µεσόνια K 0, K0 τα οποία ως κβαντικές καταστάσεις είναι αναµείξεις άλλων βαθµών ελευθερίας, των σωµατιδίων K L, K S Τα νετρίνα τα οποία ως βαθµοί ελευθερίας που παράγονται σε ασθενείς διασπάσεις άλλων σωµατιδίων είναι υπέρθεση άλλων καταστάσεων δεδοµένης µάζας... ΕΡΩΤΗΜΑ : Οι καταστάσεις 1, 2 είναι ορθοκανονικές ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας κάποιου συστήµατος µε ιδιοτιµές E 1, E 2 αντίστοιχα. Οι καταστάσεις A, B είναι επίσης ορθοκανονικές και γραµµικοί συνδυασµοί των 1, 2 που δίνονται ως A = cos θ 1 + sin θ 2, B = sin θ 1 + cos θ 2 όπου θ δεδοµένη γωνία. Την µηδενική χρονική στιγµή στο εργαστήριο παράγεται µία κατάσταση A. Ποιά η πιθανότητα να ϐρεθεί το σύστηµα στην κατάσταση B την στιγµή t ;

35 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 22/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Η κατάσταση Ψ(t) εξελίσσεται χρονικά σύµφωνα µε την εξ. Schrödinger και µπορεί να γραφεί ως υπέρθεση των 1 και 2 Ψ(t) = c 1(t) 1 + c 2(t) 2 Επειδή οι 1, 2 είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας οι συντελεστές c 1, c 2 εξελίσσονται ως c 1(t) = c 1(0) e i E 1 t/, c 2(t) = c 2(0) e i E 2 t/ Την µηδενική χρονική στιγµή Ψ(0) = A οπότε c 1(0) = cos θ και c 2(0) = sin θ και η κατάσταση γράφεται ως Ψ(t) = c e i E 1 t/ 1 + s e i E 2 t/ 2 η οποία αν εκφρασθεί συναρτήσει των A, B είναι Ψ(t) = ( c 2 e i E 1 t/ + s 2 e i E 2t/ ) A + c s ( e i E 1t/ + e i E 2t/ ) B

36 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 22/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Η κατάσταση Ψ(t) εξελίσσεται χρονικά σύµφωνα µε την εξ. Schrödinger και µπορεί να γραφεί ως υπέρθεση των 1 και 2 Ψ(t) = c 1(t) 1 + c 2(t) 2 Επειδή οι 1, 2 είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας οι συντελεστές c 1, c 2 εξελίσσονται ως c 1(t) = c 1(0) e i E 1 t/, c 2(t) = c 2(0) e i E 2 t/ Την µηδενική χρονική στιγµή Ψ(0) = A οπότε c 1(0) = cos θ και c 2(0) = sin θ και η κατάσταση γράφεται ως Ψ(t) = c e i E 1 t/ 1 + s e i E 2 t/ 2 η οποία αν εκφρασθεί συναρτήσει των A, B είναι Ψ(t) = ( c 2 e i E 1 t/ + s 2 e i E 2t/ ) A + c s ( e i E 1t/ + e i E 2t/ ) B

37 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 23/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Το πλάτος µετάβασης στην κατάσταση B είναι B Ψ(t) = c s ( e i E 1t/ + e i E 2t/ ) και η πιθανότητα P(A B) για την µετάβαση ( ταλάντωση ) στην κατάσταση B P(A B) = B Ψ(t) 2 = sin 2 2 (E 1 E 2) t ( 2θ ) sin 2 Η πιθανότητα P(A B) είναι µικρότερη από την µονάδα όταν sin 2θ < 1. Αν η γωνία θ είναι τέτοια ώστε sin 2θ = 1 τότε υπάρχουν χρονικές στιγµές για τις οποίες η πιθανότητα να βρεθεί το σύστηµα στην κατάσταση B είναι µονάδα! Τα συµπεράσµατα αυτά είναι άµεσα εφαρµόσιµα στις ταλαντώσεις των νετρίνων =

38 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 24/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Ταλαντώσεις νετρίνων Στην Φύση είναι γνωστές η ηλεκτρονικη, ν e, και µιονική κατάσταση, ν µ, νετρίνων που παράγονται σε συγκεκριµένες Ασθενείς διαδικασίες. Οι καταστάσεις αυτές δεν ειναι µονοσωµατιδιακές καταστάσεις συγκεκριµένης ενέργειας-µάζας. Οι ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτωνιανής συγκεκριµένης µάζας µε ορµή p και ενέργεια E 1 = c 2 p 2 + m1 2 c 4 και E 2 = c 2 p 2 + m 2 2 c 4 αντίστοιχα είναι ν 1 και ν 2. Οι µάζες m 1, m 2 των καταστάσεων ν 1, 2 είναι πολύ µικρές σε σύγκριση µε την ορµή p. Οι καταστάσεις ν e, ν µ είναι υπερθέσεις των ν 1,2 ν e = c ν 1 + s ν 2 ν µ = s ν 1 + c ν 2 µε c cos θ και s sin θ και θ δεδοµένη γωνία. Αν την χρονική στιγµή t = 0 παραχθεί µιά κατάσταση ν e ποιά η πιθανότητα την στιγµή t > 0 η κατάσταση αυτή να µεταβεί στην ν µ ;

39 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 25/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Το πλάτος µετάβασης στην µιονική κατάσταση είναι ν µ Ψ(t) = s c e i E 1 t/ + s c e i E 2 t/ και η πιθανότητα P(ν e ν µ) για την µετάβαση ( ταλάντωση ) P(ν e ν µ) = ν µ Ψ(t) 2 = sin 2 2 (E 1 E 2) t ( 2θ ) sin 2 Για πολύ µικρές µάζες E 1,2 = E + m 1,2 2 c 4 /2E όπου E p c και P(ν e ν µ) = sin 2 ( 2θ ) sin 2 π r L r = c t Απόσταση που διανύθηκε σε χρόνο t από τα νετρίνα L = 4 E π /c 3 m 2 ορίζει το Μήκος ταλάντωσης όπου m 2 η διαφορά m 1 2 m 2 2

40 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 25/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Το πλάτος µετάβασης στην µιονική κατάσταση είναι ν µ Ψ(t) = s c e i E 1 t/ + s c e i E 2 t/ και η πιθανότητα P(ν e ν µ) για την µετάβαση ( ταλάντωση ) P(ν e ν µ) = ν µ Ψ(t) 2 = sin 2 2 (E 1 E 2) t ( 2θ ) sin 2 Για πολύ µικρές µάζες E 1,2 = E + m 1,2 2 c 4 /2E όπου E p c και P(ν e ν µ) = sin 2 ( 2θ ) sin 2 π r L r = c t Απόσταση που διανύθηκε σε χρόνο t από τα νετρίνα L = 4 E π /c 3 m 2 ορίζει το Μήκος ταλάντωσης όπου m 2 η διαφορά m 1 2 m 2 2

41 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 26/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Το µήκος ταλάντωσης συνήθως γράφεται ως L = 2.48 E m 2 c meters 4 όπου η ενέργεια E δίνεται σε MeV και η διαφορά m σε ev/c 2. Για E = 1 MeV και m = 1 ev/c 2 το µήκος ταλάντωσης είναι περίπου L 2, 5 µέτρα. Για την ίδια ενέργεια και για m = 10 2 ev/c 2 είναι περίπου L 25 χιλιόµετρα! Οι µάζες των νετρίνων είναι πολύ µικρές, της τάξης των ev, η και ακόµα µικρότερες, µε τα αυστηρότερα άνω όρια να προέρχονται από αστροφυσικές παρατηρήσεις και κυρίως από το γεγονός ότι δεν µπορούν να ερµηνεύσουν την περίσσεια της Σκοτεινής Υλης του Σύµπαντος!

42 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 27/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων

43 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 28/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων

44 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 39 Παραδείγµατα χρονικής εξέλιξης καταστάσεων - Συστήµατα δύο καταστάσεων Ηλιακά νετρίνα - Μόνο το 1/3 φθάνει στη Γή!

45 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 30/ 39 Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική BRA c KET Ο χώρος H των ϕυσικών καταστάσεων είναι ο χώρος των ket που τα συµβολίζουµε µε a Μπορούµε να ορίσουµε έναν δυικό χώρο H, τον λεγόµενο χώρο των bra, που ϑα τα συµβολίζουµε µε a αντιστοιχώντας σε κάθε ket ένα bra! a H a H Η αντιστοιχία ορίζεται έτσι ώστε για κάθε bra, b και κάθε ket, a να αντιστοιχούµε έναν µιγαδικό αριθµό που είναι το εσωτερικό γινόµενο του b µε το a δηλαδή b H και a H = b a Παρατηρήστε ότι το εσωτερικό γινόµενο b a µπορεί να το πάρει κανείς ϐάζοντας το b δίπλα στο a πλάτη µε πλάτη που αποδεικνύεται ένα εξαιρετικά εύχρηστο εργαλείο!

46 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 30/ 39 Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική BRA c KET Ο χώρος H των ϕυσικών καταστάσεων είναι ο χώρος των ket που τα συµβολίζουµε µε a Μπορούµε να ορίσουµε έναν δυικό χώρο H, τον λεγόµενο χώρο των bra, που ϑα τα συµβολίζουµε µε a αντιστοιχώντας σε κάθε ket ένα bra! a H a H Η αντιστοιχία ορίζεται έτσι ώστε για κάθε bra, b και κάθε ket, a να αντιστοιχούµε έναν µιγαδικό αριθµό που είναι το εσωτερικό γινόµενο του b µε το a δηλαδή b H και a H = b a Παρατηρήστε ότι το εσωτερικό γινόµενο b a µπορεί να το πάρει κανείς ϐάζοντας το b δίπλα στο a πλάτη µε πλάτη που αποδεικνύεται ένα εξαιρετικά εύχρηστο εργαλείο!

47 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 31/ 39 Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική Με ϐάση τα προηγούµενα πολύ εύκολα µπορούν να δειχθούν οι ακόλουθες ιδιότητες Φ = λ1 λ λ2 λ λ 1 Φ 1 + λ 2 Φ 2 Φ = λ 1 Φ 1 + λ 2 Φ 2 Φ = Â χ Φ = χ Â Είναι σύνηθες στην Κβαντική Μηχανική να συναντάµε τελεστές µε την ακόλουθη µορφή ˆQ a b Η δράση αυτού του τελεστή σε κάποιο ket ψ είναι εξ ορισµού ˆQ ψ a b ψ Το αποτέλεσµα αυτό προκύπτει ϐάζοντας το ket ψ στα δεξιά του ˆQ a b! Βάζοντας ένα bra φ στα αριστερά του ˆQˆQˆQ προκύπτει το bra φ ˆQ φ a b. Ετσι ορίζεται η δράση του ˆQˆQˆQ στον χώρο των bra!

48 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 32/ 39 Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική Ο συζυγής του ˆQˆQˆQ που ορίσθηκε προηγουµένως εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι ˆQ = b a Είναι προφανές ότι µπορούµε να ορίσουµε και αθροίσµατα τέτοιων τελεστών όπως για παράδειγµα ˆR c 1 a 1 b 1 + c 2 a 2 b 2 + του οποίου ϐέβαια ο συζυγής είναι ˆR = c c 1 b 1 a 1 + c 2 b 2 a 2 + Αν ϑέλουµε να ϐρούµε γινόµενα τέτοιων τελεστών δεν έχουµε παρά να τους ϐάλουµε στην σειρά και µετά να ϐάλουµε πλάτη µε πλάτη τα bra µε τα ket. Για παράδειγµα αν έχουµε τους τελεστές ˆQ = a b και Ŝ = A B τότε Ŝ ˆQ = A B a b = c A b όπου στην τελευταία ισότητα απλά συµβολίσαµε µε c = B a.

49 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 33/ 39 Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική Μιά ειδική κατηγορία τέτοιων τελεστών είναι ˆP = a a µɛ a a = 1 Αυτοί οι τελεστές έχουν την ιδιότητα ˆP 2 = ˆP και ˆP = ˆP Τελεστές µε αυτές τις ιδιότητες ονοµάζονται γενικά προβολικοί. Μπορούµε να έχουµε και αθροίσµατα τέτοιων τελεστών ˆP = j a j a j µɛ a k a m = δ k m που είναι επίσης προβολικοί!

50 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 34/ 39 Η έννοια των bra και ket στην Κβαντική Μηχανική Στην περίπτωση που το σύνολο των a j είναι επιπρόσθετα και πλήρες ο τελεστές ˆPˆPˆP είναι ο ταυτοτικός τελεστής ˆ1ˆ1ˆ1, οπότε ˆ1 = a j a j ιδιoτητα πληρoτηταs j Για να δειχθεί αυτό : Η δράση του δεξιού µέλους σε ένα τυχαίο Ψ δίνει a j a j Ψ j που είναι ακριβώς το ίδιο το Ψ όταν αυτό αναπτυχθεί ως προς την ϐάση a j ( δες τις σχετικές εκφράσεις στην σελίδα 13 ). Επειδή αυτό ισχύει για το οποιοδήποτε Ψ ο τελεστής αυτός είναι ο ταυτοτικός που η δράση του σε κάθε άνυσµα του χώρου δίνει το ίδιο το άνυσµα! Είναι προφανές ότι η ιδιότητα της πληρότητας, όπως εκφράζεται πιο πάνω, ισχύει για τα ιδιοανύσµατα ενός αυτοσυζυγούς και γραµµικού τελεστή όταν αυτά κανονικοποιηθούν κατάλληλα στην µονάδα.

51 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 35/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Αναπαράσταση µε πίνακες - Matrix Mechanics Σε οποιαδήποτε πλήρη ορθοκανονική ϐάση ανυσµάτων e n κάθε ket µπορεί να αναπτυχθεί ως Ψ = n c n e n όπου οι συντελεστές e n δίνονται από την c n = e n Ψ. Αν Ψ(t) είναι ϕυσική κατάσταση τότε έχει χρονική εξάρτηση και οι συντελεστές c n(t) εξαρτώνται από τον χρόνο Ψ(t) = n c n(t) e n Τα e n µπορούν να είναι π.χ. τα κανονικοποιηµένα στην µονάδα ιδιοανύσµατα κάποιου Ερµιτιανού τελεστή!

52 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Το εσωτερικό γινόµενο δύο ket Ψ, Φ µε συντελεστές c n, d n : Ψ Φ = n c n d n Η µέση τιµή φυσικού µεγέθους A µε τελεστή Â είναι : A = n,m c n A n m c m όπου τα στοιχεία A n m ορίζονται ως A n m = e n  e m Από την εξίσωση Schrödinger έχουµε : i d c k d t = j H k j c j όπου H k j e k Ĥ e j

53 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Το εσωτερικό γινόµενο δύο ket Ψ, Φ µε συντελεστές c n, d n : Ψ Φ = n c n d n Η µέση τιµή φυσικού µεγέθους A µε τελεστή Â είναι : A = n,m c n A n m c m όπου τα στοιχεία A n m ορίζονται ως A n m = e n  e m Από την εξίσωση Schrödinger έχουµε : i d c k d t = j H k j c j όπου H k j e k Ĥ e j

54 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Το εσωτερικό γινόµενο δύο ket Ψ, Φ µε συντελεστές c n, d n : Ψ Φ = n c n d n Η µέση τιµή φυσικού µεγέθους A µε τελεστή Â είναι : A = n,m c n A n m c m όπου τα στοιχεία A n m ορίζονται ως A n m = e n  e m Από την εξίσωση Schrödinger έχουµε : i d c k d t = j H k j c j όπου H k j e k Ĥ e j

55 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Με ϐαση αυτά µπορούµε να αναπαραστήσουµε : Τα ket και τα bra Κάθε ket µε µονόστηλο πίνακα: c 1 c 2 Ψ = c c 3... c N Το αντίστοιχο bra µε τον πίνακα: Ψ = c c ( c 1, c 2, c N ) Οποιονδήποτε τελεστή µε N N πίνακα: A 11 A A 1N Â = A A 21 A A 2N A N A NN

56 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Με ϐαση αυτά µπορούµε να αναπαραστήσουµε : Τα ket και τα bra Κάθε ket µε µονόστηλο πίνακα: c 1 c 2 Ψ = c c 3... c N Το αντίστοιχο bra µε τον πίνακα: Ψ = c c ( c 1, c 2, c N ) Οποιονδήποτε τελεστή µε N N πίνακα: A 11 A A 1N Â = A A 21 A A 2N A N A NN

57 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Με ϐαση αυτά µπορούµε να αναπαραστήσουµε : Τα ket και τα bra Κάθε ket µε µονόστηλο πίνακα: c 1 c 2 Ψ = c c 3... c N Το αντίστοιχο bra µε τον πίνακα: Ψ = c c ( c 1, c 2, c N ) Οποιονδήποτε τελεστή µε N N πίνακα: A 11 A A 1N Â = A A 21 A A 2N A N A NN

58 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Με ϐαση αυτά µπορούµε να αναπαραστήσουµε : Τα ket και τα bra Κάθε ket µε µονόστηλο πίνακα: c 1 c 2 Ψ = c c 3... c N Το αντίστοιχο bra µε τον πίνακα: Ψ = c c ( c 1, c 2, c N ) Οποιονδήποτε τελεστή µε N N πίνακα: A 11 A A 1N Â = A A 21 A A 2N A N A NN

59 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 38/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Εσωτερικό γινόµενο : Ψ Φ = c d Μέση τιµή : A = c A c Εξίσωση Schrödinger : ι d c = H c d t

60 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 38/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Εσωτερικό γινόµενο : Ψ Φ = c d Μέση τιµή : A = c A c Εξίσωση Schrödinger : ι d c = H c d t

61 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 38/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Εσωτερικό γινόµενο : Ψ Φ = c d Μέση τιµή : A = c A c Εξίσωση Schrödinger : ι d c = H c d t

62 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 38/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Εσωτερικό γινόµενο : Ψ Φ = c d Μέση τιµή : A = c A c Εξίσωση Schrödinger : ι d c = H c d t

63 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 39/ 39 Κβαντική Μηχανική ως Μηχανική Πινάκων - ( Heisenberg, Jordan ) Οι αυτοσυζυγείς τελεστές στην αναπαράσταση πινάκων είναι αυτοσυζυγείς πίνακες. Αυτό σηµαίνει ότι τα στοιχεία πίνακα είναι τέτοια ώστε A k j = A j k Τα ϕυσικά µεγέθη αντιπροσωπεύονται από αυτοσυζυγείς τελεστές και εποµένως τα στοιχεία πίνακα έχουν πράγµατι αυτήν την ιδιότητα. Στην αναπαράσταση πινάκων οι ιδιοτιµές λ κάποιου τελεστή Â προκύπτουν ως οι ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου det ( A λ 1 ) = 0 Μετά την εύρεση των ιδιοτιµών µπορούµε στην αναπαράσταση αυτή να ϐρούµε και τα αντίστοιχα ιδιανύσµατα Η αναπαράσταση των καταστάσεων και των τελεστών από πίνακες είναι από τα σηµαντικά ϑέµατα της Κβαντικής Μηχανικής. Η γλώσσα της Κυµατικής Μηχανικής µέσω της εξίσωσης Schrödinger δεν είναι παρά η λεγοµένη αναπαράσταση θέσης όπου η ϐάση των e n έχει επιλεγεί να είναι τα ( συνεχή ) ιδιοανύσµατα του τελεστή της ϑέσης x. Σε αυτήν τη περίπτωση η κατάσταση Ψ(t) αναλύεται σε αυτά τα ιδιοανύσµατα και οι συντελεστές c n = e n Ψ(t) γίνονται x Ψ(t) που είναι το πλάτος πιθανότητας το σύστηµα να ϐρεθεί στην ϑέση x άρα είναι η κυµατική συνάρτηση! ( ες και σελίδες )

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 12 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 25 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Οι ασκήσεις που ακολουθούν είναι προς επίλυση από

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +)

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 25 Περιεχόµενα 6ης ενότητας Φαινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ] ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 27/3/2014

Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 27/3/2014 Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 27/3/2014 Ισοσπίν 27/3/2014 Τι θα συζητήσουµε σήµερα 1. Η ιδέα και ο ορισµός του Ισοτοπικού σπιν («Ισοσπίν») Η αρχική ιδέα του Heisenberg για πρωτόνιο και νετρόνιο 2. Φορµαλισµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι

Διαβάστε περισσότερα

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4. Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες. ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει μια εφαρμογή για να γίνει πιο κατανοητός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή

Διαβάστε περισσότερα

Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 30/3/2017

Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 30/3/2017 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 3/3/217 Ισοσπίν 3/3/217 Τι θα συζητήσουµε σήµερα Ισοσπίν 3/3/217 2 1. Η ιδέα και ο ορισµός του Ισοτοπικού σπιν («Ισοσπίν») Η

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΣ ΙΑΚΩΒΙ ΗΣ

Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΣ ΙΑΚΩΒΙ ΗΣ Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΣ ΙΑΚΩΒΙ ΗΣ Περιεχόµενα Καθαρές (pure) και Μεικτές (mixed) καταστάσεις συστήµατος 3. Καθαρές καταστάσεις σε σύστηµα µε σπιν........... 3. Μεικτές καταστάσεις σε σύστηµα µε σπιν...........

Διαβάστε περισσότερα

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ (Υποχρεωτικό 4 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 5 : Η εξίσωση Schrödinger και η επίλυσή της σε απλά κβαντικά συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που

PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα

Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα Μάθηµα 7 ο, 8 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) Άσκηση Bonus[+05 στον τελικό βαθμό] Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από τρεις καταστάσεις με ενέργεια Ε, Ε και Ε3 και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017 Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής . Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα