ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ομαλή Σχετική Μεταφορική Κίνηση Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ομαλή Σχετική Μεταφορική Κίνηση Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Μετασχηματισμός Loenz Πείραμα Mihelson Moley Αξιώματα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Ταυτόχρονα Γεγονότα Διαστολή Χρόνου & Συστολή Μήκους Μετασχηματισμός Ταχυτήτων Ορμή και Ενέργεια Sahis STILIARIS, UoA 06-07

2 ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ALONSO FINN GIANCOLI HALLIDAY RESNICK WALKER 6., 6., , , 6.7, 6.8.3,.4,.6 YOUNG FREEDMAN. έως έως έως 37.9 Sahis STILIARIS, UoA 06-07

3 ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ z A A A y B BA B B A BA B Τα σώματα Α και Β με διανύσματα θέσης A και B έχουν ταχύτητες A και B αντίστοιχα. A BA d d A B, B A d d B BA d d BA d d ( B A ) d d B d d A B A Η σχετική ταχύτητα δύο σωμάτων βρίσκεται από τη διαφορά των σχετικών ταχυτήτων τους ως προς τον παρατηρητή. Sahis STILIARIS, UoA

4 ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ z A A A y B BA B B A BA B Τα σώματα Α και Β με διανύσματα θέσης A και B έχουν ταχύτητες A και B αντίστοιχα. A BA B da, B d BA B A d d A B Η σχετική ταχύτητα του Β ως προς το Α ( BA ) είναι αντίθετη με την σχετική ταχύτητα του Α ως προς το Β ( AΒ ) Επιτάχυνση d d BA d d ( BA AB B A ) d d B d d Sahis STILIARIS, UoA A a B a A

5 ΟΜΑΛΗ ΣΧΕΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ z z Το σύστημα O ( y z ) κινείται ομαλά ως προς το O(yz) με σταθερή ταχύτητα. A OO ', OA, ' O'A y y ' OO' ' O O, Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου ' y' y z' z ' ' y y' z z' ' Sahis STILIARIS, UoA

6 ΟΜΑΛΗ ΣΧΕΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ z z Εάντοκινητόέχειταχύτηταu στο σύστημα Ο και ταχύτητα u στο Ο, τότε y A y OO', u d, d u' u u' d' d O O, u u y u z u a a Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου u u y z u u u a y z u u y u a z Sahis STILIARIS, UoA

7 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ Παρόλο που οι Γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί δεν είχαν πρόβλημα με την Νευτώνεια Μηχανική, οι εξισώσεις Mawell στον ηλεκτρομαγνητισμό δεν παρέμεναν αναλλοίωτες για διαφορετικούς αδρανειακούς παρατηρητές. Οι δυνατές εναλλακτικές που παρουσιάζονταν ήταν οι εξής:. Διατήρηση της γενικευμένης ισχύος των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών στη Νευτώνεια Μηχανική αλλά όχι στην Ηλεκτροδυναμική. Εάν η εναλλακτική αυτή ήταν σωστή, θα έπρεπε να βρεθεί κάποιο προτιμούμενο αδρανειακό σύστημα για τη δεύτερη περίπτωση (αιθέρας).. Η ορθότητα των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών είναι δοσμένη, αλλά οι εξισώσεις Mawell είναι λανθασμένες. 3. Γενικευμένη ισχύς των φυσικών νόμων για όλα τα αδρανειακά συστήματα με ταυτόχρονη αναθεώρηση των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών. Για την εξήγηση των νόμων της ηλεκτροδυναμικής κινουμένων σωμάτων, ο Ολλανδός Φυσικός H. Loenz αναγκάστηκε να εισάγει το 895 καινούργιους χωροχρονικούς μετασχηματισμούς, οι οποίοι διατηρούν την ισχύ των εξισώσεων Mawell στα διάφορα αδρανειακά συστήματα. Sahis STILIARIS, UoA

8 ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MORLEY Συμβολόμετρο του Mihelson Πρώτα πειράματα το 88 (Posdam) Σε συνεργασία με τον Moley o 887 (Cleeland) R.S. Shankland: Mihelson Moley Epeimen, Am. J. Phys. 3 (963) 6 35 Αναζήτηση ύπαρξης αιθέρα Αλλαγή της παρατηρούμενης εικόνας συμβολής εξ αιτίας της σχετικής κίνησης της Γης μέσα στο περιβάλλον του αιθέρα. Αρχή του συμβολόμετρου Mihelson Παρατηρούμενοι κροσσοί συμβολής Sahis STILIARIS, UoA

9 ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MORLEY Ανάλυση του Πειράματος Mihelson Moley L Οι κάθετοι βραχίονες του συμβολόμετρου έχουν μήκη L και L. Η συσκευή είναι τοποθετημένη έτσι ώστε να κινείται μέσα στον υποθετικό αιθέρα κατά μήκος του οριζόντιου βραχίονα (L ) με ταχύτητα. L L Υπολογισμός του χρόνου Λόγωτηςσχετικήςκίνησηςτουοριζόντιουβραχίοναμεταχύτητα ωςπροςτον αιθέρα, όπου το φως κινείται με ταχύτητα, ο συνολικός χρόνος που χρειάζεται το φώς για να διανύσει την απόσταση L προς και από το ανακλαστικό κάτοπτρο είναι: L L [( ) ( ) ] ( )( ) L L β, L Sahis STILIARIS, UoA β

10 ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MORLEY Ανάλυση του Πειράματος Mihelson Moley Υπολογισμός του χρόνου d L Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός κατά την κατακόρυφη κατεύθυνση δεν επηρεάζεται από την ταχύτητα και παραμένει σταθερή. Εξ αιτίας της οριζόντιας κίνησης όμως της συσκευής με ταχύτητα, η διαδρομή δεν είναι ηl αλλά η d, υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες την L και /. Ο χρόνος υπολογίζεται λοιπόν: ( ) d 4 4 L 4 L 4L L L L β Sahis STILIARIS, UoA

11 ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MORLEY Ανάλυση του Πειράματος Mihelson Moley Η διαφορά χρόνου διάδοσης του φωτός στους δύο βραχίονες του συμβολόμετρου είναι αυτή που καθορίζει τη διαφορά φάσης συμβολής των κυμάτων και κατά συνέπεια τον παρατηρούμενο σχηματισμό των κροσσών συμβολής. Στην περίπτωση αυτή η διαφορά χρόνου Δ υπολογίζεται: Δ L β L β Εάν η συσκευή περιστραφεί κατά 90 ο, ο ρόλος των διαδρομών εναλλάσσεται, οπότε η νέα διαφορά χρόνου Δ που θα προκύψει από τη διάδοση του φωτός στους δύο βραχίονες του συμβολόμετρου είναι: Δ' ' ' L β L β Κατά συνέπεια, η μεταβολή φάσης που θα προκύψει από την περιστροφή της συσκευής κατά 90 ο θα είναι: Δ' - Δ ( L L ) β β Sahis STILIARIS, UoA 06-07

12 ΠΕΙΡΑΜΑ ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MICHELSON MORLEY MORLEY Ανάλυση Ανάλυση του του Πειράματος Πειράματος Mihelson Mihelson Moley Moley ( ) ( ) L L 4 / 4 β 8 3 β β β β β β β Κάνοντας χρήση των αναπτυγμάτων σε δυναμοσειρά του β των δύο όρων που υπεισέρχονται στη σχέση: και κρατώντας το ανάπτυγμα με όρους μέχρι δευτέρας τάξεως, καταλήγουμε στη σχέση: Αυτή η χρονική διαφορά είναι υπεύθυνη για την αλλαγή των παρατηρούμενων κροσσών συμβολής στο συμβολόμετρο του πειράματος Mihelson Moley. ( ) ( ) β β L L β β L L - Δ Δ' L L - Δ Δ' β Sahis STILIARIS, UoA 06-07

13 ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MORLEY Ανάλυση του Πειράματος Mihelson Moley Η μεταβολή στον αριθμό των παρατηρούμενων κροσσών συμβολής ΔN εξαιτίας της χρονικής διαφοράς πριν και μετά την περιστροφή της συσκευής υπολογίζεται από την περίοδο T της φωτεινής ακτίνας (με μήκος κύματος λ): ΔN Δ' Δ T L L T β L L λ β ΔN L L λ β Στο πείραμα του Mihelson Moley (887), το συνολικό μήκος της διαδρομής ήταν L L m. Για ταχύτητα της Γης 30km/s γύρω από τον Ήλιο (εξαρτάται από την εποχή), η αναμενόμενη μεταβολή στον αριθμό των κροσσών συμβολής είναι: L m λ 550 nm L ΔN L L λ β 4 ( 0 ) 0.4 β Η παρατηρήσιμη αυτή διαφορά στους κροσσούς συμβολής ΟΥΔΕΠΟΤΕ μετρήθηκε, ακόμη και σε μεταγενέστερα πειράματα μεγαλύτερης ακρίβειας. Sahis STILIARIS, UoA

14 ΠΕΙΡΑΜΑ MICHELSON MORLEY Συμβολόμετρο Mihelson Αποτελέσματα μετρήσεων Η ύπαρξη αιθέρα θα έπρεπε να δίνει την προβλεπόμενη μετατόπιση των κροσσών συμβολής του σχήματος σε διαφορετικούς προσανατολισμούς της συσκευής: Αναμενόμενο αποτέλεσμα: Διακεκομμένη γραμμή 8 Παρατηρούμενο αποτέλεσμα: Συνεχής γραμμή Sahis STILIARIS, UoA

15 Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, όπως διατυπώθηκε από τον Einsein το 905, στηρίχθηκε στα εξής δύο αξιώματα: ο Αξίωμα: Οι νόμοι της Φυσικής είναι οι ίδιοι για όλους τους παρατηρητές σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Κανένα σύστημα αναφοράς δεν είναι προτιμητέο σε σχέση με κάποιο άλλο. Διεύρυνση του Γαλιλαϊκού νόμου περί ισχύος του των νόμων της Μηχανικής σε αδρανειακά συστήματα ώστε να περιλαμβάνονται όλοι οι νόμοι της Φυσικής, ιδιαίτερα αυτοί του Ηλεκτρομαγνητισμού και της Οπτικής. ο Αξίωμα: Η ταχύτητα του φωτός στο κενό έχει την ίδια τιμή σε όλες τις διευθύνσεις και σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Στη Φυσική υπάρχει μια απόλυτη ταχύτητα με την οποία ταξιδεύει το φως, ίδια προς όλες τις διευθύνσεις και σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Κανένα αντικείμενο που μεταφέρει ενέργεια ή πληροφορία δεν μπορεί να ξεπεράσει το όριο αυτό. Sahis STILIARIS, UoA

16 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ Έστω οι χωροχρονικές συντεταγμένες ενός γεγονότος στο αδρανειακό σύστημα Οείναι Ο: (, y, z, ) ενώ σε ένα άλλο αδρανειακό σύστημα Ο κινούμενο με ταχύτητα σχετικά με το πρώτο είναι Ο : (, y, z, ) Με βάση το ο αξίωμα της Ειδικής Θεωρίας της σχετικότητας, ότι η ταχύτητα του φωτός παραμένει σταθερή και ίση με σε κάθε αδρανειακό σύστημα, θα ισχύει: ' ' y z ' y' z' ' Εάν δεχθούμε γραμμική εξάρτηση του στον αντίστοιχο Γαλιλαϊκό μετασχηματισμό (σταθερά k) και εξάρτηση του και από τη θέση του γεγονότος (σταθερές a και b), τότε οι μετασχηματισμοί μπορούν να γραφούν: ' k( ) ' a( b) Sahis STILIARIS, UoA

17 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ LORENTZ z y b) a( ' ) k( ' ' z' y' ' ' ' ) / k (a z y ) ba (k ) a b (k ) b b ( a z y ) ( k b a k / k a 0 ba k a b k Sahis STILIARIS, UoA

18 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ LORENTZ z y b) a( ' ) k( ' ' z' y' ' ' ' b) a( ' z z' y y' ) k( ' Sahis STILIARIS, UoA

19 Η Σχετικότητα του Ταυτόχρονου (γ) (β) Παρατηρητές που βρίσκονται σε σχετική κίνηση, γενικά δεν συμφωνούν εάν δύο γεγονότα είναι ταυτόχρονα. Sahis STILIARIS, UoA

20 Η Σχετικότητα του Χρόνου Sally Sam Sally : Δ 0 D Ταξιδεύει με το τραίνο Sam : Δ L Στέκεται στο σταθμό Sahis STILIARIS, UoA

21 ΕΙΔΙΚΗ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Η Σχετικότητα Σχετικότητα του του Χρόνου Χρόνου D Δ 0 Sally : Sally : L Δ Sam : Sam : D L Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 0 ( /) Δ Δ Sahis STILIARIS, UoA 06-07

22 Δ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Δ 0 ( /) Διαστολή του Χρόνου Δ γδ 0 γ Παράμετρος της ταχύτητας β Συντελεστής Loenz ( /) β Ιδιοχρονικό Διάστημα ή Ιδιόχρονος Δ 0 : Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο συμβάντα αδρανειακού συστήματος τα οποία βρίσκονται στην ίδια θέση. Οι τιμές αυτού του χρονικού διαστήματος σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα είναι πάντα μεγαλύτερες. Sahis STILIARIS, UoA 06-07

23 Διαστολή του Χρόνου Τα μιόνια (μ) παράγονται στα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας από την αλληλεπίδραση της κοσμικής ακτινοβολίας με τα πρώτα ατμοσφαιρικά μόρια. Παρά το γεγονός πωςημέσοςχρόνος ζωής των μιονίων είναι μόνο Δ 0.μs στο (ακίνητο) σύστημα του εργαστηρίου, καταφέρνουν να διασχίσουν με ταχύτητα όλο το πάχος της ατμόσφαιρας και να φτάσουν στην επιφάνεια της γης. Πώς συμβαίνει αυτό; Απόσταση σε χρόνο Δ 0 6 Δ 0 (. 0 s) (3 0 m/s) 660m 8 ΟχρόνοςΔ 0 αποτελεί τον ιδιοχρόνο ζωής του μιονίου στο σταθερό σύστημα αναφοράς του. Αντίθετα, για ένα γήινο παρατηρητή, ο χρόνος αυτός θα είναι διασταλμένοςκατάτον παράγοντα Loenz: γ 8.87 Δ γδ μs 63.5μs ( /) (0.9994) Απόσταση σε χρόνο Δ Δ ( s) (3 0 8 m/s) 9050m Sahis STILIARIS, UoA

24 Η Σχετικότητα του Μήκους Sally Sam L 0 Sam : L 0 Δ Sally : L Δ 0 Στέκεται στο σταθμό L Δ Δ L 0 0 γ Ταξιδεύει με το τραίνο L L γ 0 L0 ( / ) Sahis STILIARIS, UoA

25 Συστολή του Μήκους L L γ 0 L0 ( / ) Μήκος Ηρεμίας ή Ιδιομήκος L 0 Το μήκος ενός αντικειμένου που μετριέται στο σύστημα ηρεμίας του αντικειμένου. Μετρήσεις μήκους σε άλλα συστήματα αναφοράς που βρίσκονται σε σχετική κίνηση, παράλληλη με το μήκος αυτό, δίνουν πάντα μικρότερα αποτελέσματα. Sahis STILIARIS, UoA

26 Οι Εξισώσεις Μετασχηματισμού του Loenz Παράμετρος της ταχύτητας Συντελεστής Loenz β γ ( /) β ' γ( ) γ(' ') y' y y y' z' z z z' ' γ( / ) γ(' '/ ) Sahis STILIARIS, UoA

27 Οι Εξισώσεις Μετασχηματισμού του Loenz για Ζευγάρια Γεγονότων Παράμετρος της ταχύτητας Συντελεστής Loenz β γ ( /) β Δ' Δ' γ( Δ Δ) γ( Δ Δ / ) Δ γ( Δ' Δ') Δ γ( Δ' Δ'/ ) Οι εξισώσεις αυτές επιτρέπουν την μετατροπή χωρικών και χρονικών διαστημάτων από ένα αδρανειακό σύστημα σε ένα άλλο. Sahis STILIARIS, UoA

28 Σύστημα αναφοράς S κινείται με ταχύτητα 0.90 ως προς άλλο σύστημα αναφοράς S. Παρατηρητής στο S μετράει δύο γεγονότα, τα οποία συμβαίνουν στις παρακάτω χωροχρονικές συντεταγμένες: Το ΚΙΤΡΙΝΟ γεγονός στις (5.0m, 0ns) και το ΠΡΑΣΙΝΟ γεγονός στις (.0m, 45ns). Ποιες οι χωροχρονικές συντεταγμένες για τον παρατηρητή στο σύστημα S; Πόσο το χρονικόδιάστηματωνδύογεγονότωνπουμετράειοκαθένας; Οι μετασχηματισμοί Loenz για το σύστημα S δίνονται από τις σχέσεις όπου ο συντελεστής γ υπολογίζεται: γ ( /) γ(' ') y y' z z' γ(' '/ ) Οι χωροχρονικές συντεταγμένες στο S για m/ns είναι λοιπόν: ΚΙΤΡΙΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ (S) Y.3(5.00.7*0)3.9m Y.3(00.7*5.0/0.30 )80.5ns ΠΡΑΣΙΝΟ ΓΕΓΟΝΟΣ (S) G.3(.00.7*45)3.3m G.3(450.7*(.0)/0.30 )89.7ns Δ(S) G Y ns Δ (S ) ) G Y ns Sahis STILIARIS, UoA

29 ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ LORENTZ Εάν ένα γεγονός S:(, y, z, ) μετασχηματίζεται στο S :(, y, z, ) μέσω του μετασχηματισμού Loenz L S, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός L S επαναφέρει το γεγονός στις αρχικές συντεταγμένες, δηλαδή L S (L S ). ' ' L S' γ ( ) γ ( / ) γ (' ') L S γ (' ' / ) Απόδειξη γ ( ' ' ) γ γ( ) γ - γ γ ( β ) γ ' ( ) ' γ γ γ γ γ ( β ) Sahis STILIARIS, UoA

30 Η Σχετικότητα των Ταχυτήτων Το σύστημα Ο κινείται με ομαλή ταχύτητα σε σχέση με το Ο. Δ' Δ' γ( Δ Δ) γ( Δ Δ / ) Δ' Δ' γ( Δ Δ) γ( Δ Δ / ) Δ' Δ' Δ Δ Δ Δ / Δ / Δ ( Δ / Δ) Δ /Δ u : Η ταχύτητα του σώματος όπως μετράται από το Ο Δ/ /Δu : Η ταχύτητα του σώματος όπως μετράται από το Ο u ' u u Sahis STILIARIS, UoA /

31 Η Σχετικότητα των Ταχυτήτων Δ /Δ u : Η ταχύτητα του σώματος όπως μετράται από το Ο Δ/ /Δu : Η ταχύτητα του σώματος όπως μετράται από το Ο Ισοδύναμα, μπορεί να θεωρηθεί το σύστημα Ο «ακίνητο», οπότε το σύστημα Ο κινείται με ταχύτητα. u u ( ) u ( ) / u u / u u u / Sahis STILIARIS, UoA

32 Παρατήρηση ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Η Σχετικότητα των Ταχυτήτων u ' u << u / u ' u Παρατήρηση Ο μετασχηματισμός ταχυτήτων μπορεί να υπολογισθεί επίσης ως ακολούθως: d' d' d u ' d' d d' d' d d [ γ( )] γ( ) γ(u ) d d d d' d d u [ γ( )] γ( ) γ( ) d d d d' d' / d d γ(u γ ( u ) ' u / ) u ' u u Sahis STILIARIS, UoA /

33 Η Σχετικότητα των Ταχυτήτων Παρατήρηση 3 Ο μετασχηματισμός ταχυτήτων για τις άλλες συνιστώσες υπολογίζεται: dy' dy' d u ' y d' d d' dy' d' / d d d' d y' y ' uy u uy γ ( ) ( u / ) γ dz' dz' d u ' z d' d d' dz' d' / d d d' d z' z ' uz u uz γ ( ) γ ( u / ) Sahis STILIARIS, UoA

34 Η Σχετικότητα των Ταχυτήτων Παρατήρηση 4 Εάν σε κάποιο από τα δύο αδρανειακά συστήματα η ταχύτητα είναι ίση με την ταχύτητα του φωτός, για παράδειγμα u, τότε αυτή μετασχηματίζεται: u ' u u u / ' u / Δηλαδή και στο άλλο αδρανειακό σύστημα η ταχύτητα έχει μέτρο ίσο με την ταχύτητα του φωτός, όπως ακριβώς απαιτεί το δεύτερο αξίωμα του Einsein, ασχέτως με το μέτροτης ταχύτητας. Σε αντίθεση με τα παραπάνω, ένας Γαλιλαϊκός μετασχηματισμός δεν διατηρεί την ταχύτητα του φωτός σταθερή στα διάφορα αδρανειακά συστήματα. Sahis STILIARIS, UoA

35 Μια πηγή εκπέμπει δύο ηλεκτρόνια κινούμενα σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητα 0.80 το καθένα σε σχέση με την πηγή. Ο Γαλιλαϊκός μετασχηματισμός υπολογίζει σαν σχετική ταχύτητα του ενός ηλεκτρονίου σε σχέση με το άλλο την εσφαλμένη τιμή Πώς θα υπολογισθεί με βάση την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας η σχετική αυτή ταχύτητα; O ΠΗΓΗ u 0.80 ΠΗΓΗ O 0.80 Θεωρούμε το ηλεκτρόνιο ακίνητο (Σύστημα Ο) Θεωρούμε την πηγή ακίνητη σε κινούμενο (ως προς το Ο) Σύστημα Ο Η ταχύτητα του Ο σε σχέση με το Ο πρέπει να είναι 0.80 Στο σύστημα Ο το ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα u 0.80 Η ζητούμενη σχετική ταχύτητα του ηλεκτρονίου σε σχέση με το είναι η u, πώς δηλαδή μετασχηματίζεται η ταχύτητα u στο σύστημα Ο: u u / u u Sahis STILIARIS, UoA

36 Σχετικιστική έκφραση Ορμής Κλασσική Μηχανική Δ p m Δ ΤοσώμαδιανύειαπόστασηΔ σε χρόνο Δ Δ 0 είναι ο χρόνος του παρατηρητή που κινείται με το σωματίδιο (ιδιοχρόνος) Σχετικιστική Έκφραση Δ p m Δ 0 p m Δ Δ Δ p m Δ Δ Δ Δ p m 0 0 Δ γ p γm Η εξίσωση αυτή διαφέρει από τον κλασσικό ορισμό μόνο κατά τον συντελεστή Loenz. Sahis STILIARIS, UoA

37 Σχετικιστική έκφραση Ενέργειας Ενέργεια Ηρεμίας K: Κινητική Ενέργεια Ολική Ενέργεια E 0 m E γm E E0 K m K E 0 γm E K γm K γm E γm 0 m K ( γ )m Sahis STILIARIS, UoA

38 Σχετικιστική έκφραση Ενέργειας Ενέργεια Ηρεμίας K: Κινητική Ενέργεια Ολική Ενέργεια E 0 m K ( γ )m E E0 K m K Διαφορά της κινητικής ενέργειας ηλεκτρονίου με τον κλασσικό και τον σχετικιστικό ορισμό. Τα πειραματικά σημεία (X) επιβεβαιώνουν την σχετικιστική συμπεριφορά του ηλεκτρονίου. Sahis STILIARIS, UoA

39 Σχετικιστική έκφραση Ενέργειας Ενέργεια Ηρεμίας K: Κινητική Ενέργεια Ολική Ενέργεια E 0 m K ( γ )m E E0 K m K Παράδειγμα Εάν σε ένα σωματίδιο είναι ΚΕ 0 τότε: K E E E0 K E0 E0 E 3E0 γ 0 3 γ β 3 β γ γ 8 3 β Sahis STILIARIS, UoA

40 Ορμή και Κινητική Ενέργεια Απαλοιφή της ταχύτητας από τους σχετικιστικούς τύπους της Ενέργειας και της Ορμής δίνει: E (p) (m Πυθαγόρειο Θεώρημα για Ορμή, Ενέργεια Ηρεμίας και Ολική Ενέργεια! ) Απόδειξη E γm p γm E p γ γ 4 m m E p γ 4 m γ m m m γ γ ( ( m m ) ) 4 Sahis STILIARIS, UoA

41 E (p) Ορμή και Κινητική Ενέργεια Πυθαγόρειο Θεώρημα για Ορμή, Ενέργεια Ηρεμίας και Ολική Ενέργεια! (m ) sinθ β osθ /γ Απόδειξη p γm sinθ E γm sinθ β m m osθ E γm osθ γ Sahis STILIARIS, UoA

42 Κώνος Φωτός Χωροχρονικό διάγραμμα ενός δισδιάστατου κόσμου με τα όρια του κώνου φωτός. ΜΕΛΛΟΝ ΠΑΡΟΝ ΠΑΡΕΛΘΟΝ Sahis STILIARIS, UoA