ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ΕΠΑΓΟΜΕΝΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ΕΠΑΓΟΜΕΝΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ Α. ΚΟΛΟΚΥΘΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΠΑΤΡΑ 2013

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή, με τίτλο "Αριθμητική προσομοίωση τυρβώδους ροής και μεταφοράς ιζήματος πυθμένα επαγόμενων από τη διάδοση και θραύση παράκτιων κυματισμών", εκπονήθηκε από τον υποψήφιο διδάκτορα Γεράσιμο Α. Κολοκυθά, κατά τα ακαδημαϊκά έτη , με διακοπή ενός έτους για την εκπλήρωση των στρατιωτικών υποχρεώσεών του. Η διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, υπό την επίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών κ. Αθανάσιου Δήμα. Αισθάνομαι υποχρεωμένος να εκφράσω θερμές ευχαριστίες προς όλους όσους συνέβαλαν στην ολοκλήρωσή της: τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Αθανάσιο Δήμα, για την ιδέα της διδακτορικής διατριβής, την εμπιστοσύνη προς το πρόσωπό μου, τη συνεχή καθοδήγηση και την αμέριστη συμπαράστασή του μέχρι τη στιγμή της ολοκλήρωσής της, την Επιτροπή Ερευνών (ΕΛΚΕ) του Πανεπιστημίου Πατρών, και ειδικότερα το Πρόγραμμα "Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ", για την υπό μορφή υποτροφίας, χρηματική υποστήριξη στα πλαίσια του έργου "Εξέλιξη μορφολογίας παρακτίου πυθμένα λόγω μεταφοράς ιζήματος κλίνης και σε αιώρηση κατά τη θραύση κυμάτων μέσω αριθμητικής προσομοίωσης" με επιστημονικό υπεύθυνο τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Αθανάσιο Δήμα, τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής, τον Καθηγητή κ. Αλέξανδρο Δημητρακόπουλο και τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Γεώργιο Χορς, για την επιστημονική αρωγή τους, το διδάκτορα του Πανεπιστημίου Πατρών, Άγγελο Σ. Δημακόπουλο, για τη σημαντική συνεισφορά του στην εκπόνηση της διατριβής, την αμέριστη συμπαράστασή του και την καλή παρέα του, το Λέκτορα του Πανεπιστημίου Κύπρου, κ. Δημοκράτη Γρηγοριάδη, για τη συνεισφορά του στην εκπόνηση της διατριβής και την παροχή πολύτιμων συμβουλών. ii

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διατριβή διερευνάται η επίδραση παράκτιων μη-θραυόμενων κυματισμών στη μορφολογική ισορροπία αμμώδους πυθμένα με πτυχώσεις, η θραύση εκχείλισης κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης, καθώς και τα συνεπαγόμενα κυματογενή ρεύματα στη ζώνη απόσβεσης. Για το σκοπό αυτό αναπτύσσονται μοντέλα αριθμητικής προσομοίωσης, τα οποία πραγματοποιούν επίλυση των δισδιάστατων και τρισδιάστατων εξισώσεων ασυμπίεστης, συνεκτικής ροής με ελεύθερη επιφάνεια. Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων ροής, Navier-Stokes, επιτυγχάνεται με τη χρήση κλασματικής μεθόδου για τη χρονική ολοκλήρωση, ενώ η χωρική διακριτοποίηση πραγματοποιείται μέσω ενός υβριδικού σχήματος πεπερασμένων διαφορών και ψευδοφασματικών μεθόδων προσέγγισης. Στις προσομοιώσεις της θραύσης εκχείλισης κύματος γίνεται χρήση της μεθόδου προσομοίωσης μεγάλων κυμάτων LWS, σύμφωνα με την οποία επιλύονται μόνο οι μεγάλες χωρικές διακυμάνσεις της ταχύτητας και της ελεύθερης επιφάνειας, ενώ η επίδραση των μικρότερων διακυμάνσεων περιγράφεται μέσω ενός μοντέλου διατμητικών τάσεων υποκλίμακας (SGS), ανάλογα με ότι ισχύει στη μέθοδο προσομοίωσης μεγάλων δινών, LES. Ένα ανεξάρτητο μοντέλο για την προσομοίωση της μεταβολής μορφολογίας πυθμένα, μέσω μεταφοράς φορτίου πυθμένα, αναπτύσσεται και χρησιμοποιείται σε σύζευξη με τα μοντέλα προσομοίωσης δισδιάστατης ροής. H παροχή του φορτίου πυθμένα υπολογίζεται μέσω τροποποίησης γνωστών εμπειρικών σχέσεων, σε συνδυασμό με τη στιγμιαία διατμητική τάση πυθμένα από τη μονάδα προσομοίωσης της ροής. Από τις προσομοιώσεις ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις, προκύπτει ότι η παρουσία των πτυχώσεων επηρεάζει σημαντικά το κυματογενές οριακό στρώμα, ενώ οι μορφολογικές προσομοιώσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι, η μακροπρόθεσμη ισορροπία των πτυχώσεων επέρχεται για συγκεκριμένη τιμή της γωνίας/συντελεστή δυναμικής τριβής, η οποία συσχετίζεται με τις διαστάσεις των πτυχώσεων και τα χαρακτηριστικά του κύματος. Για τη θραύση εκχείλισης εξετάζονται οι περιπτώσεις κάθετης αλλά και υπό γωνία, ως προς την ακτογραμμή, διάδοσης κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης 1/35. Τα αποτελέσματα για τα χαρακτηριστικά της κάθετης θραύσης (ύψος και βάθος θραύσης, Η b και d b, αντίστοιχα) και του συνεπαγόμενου υποβρύχιου ρεύματος, συγκρίνονται με δημοσιευμένες πειραματικές μετρήσεις και η συμφωνία είναι ικανοποιητική. Το μοντέλο είναι σε θέση να προσομοιώσει την ανάπτυξη του επιφανειακού στροβίλου στο μέτωπο του θραυόμενου κύματος, η οποία συνοδεύεται από iii

4 αύξηση της ισχύος των SGS τάσεων (μέχρι βάθους d/d b 0.75) και διαδοχική μείωσή τους, μέχρι μηδενισμού, στα ρηχά της ζώνης απόσβεσης. Από τα αποτελέσματα για το πεδίο στροβιλότητας και τις SGS τάσεις, κατά την προσομοίωση της υπό γωνία θραύσης, παρατηρείται η σταδιακή θραύση του κύματος κατά μήκος της κορυφογραμμής, ενώ προκύπτει ότι οι τελευταίες παραμένουν ενεργές για περίπου δύο μήκη κύματος. Επίσης, η μέση ταχύτητα του παράλληλου ρεύματος προκύπτει πιο ενισχυμένη σε ρηχά βάθη στη ζώνη απόσβεσης (d/d b < 0.5), ενώ η κατακόρυφη κατανομή του παρουσιάζεται σαφώς επηρεασμένη από την παρουσία του υποβρύχιου ρεύματος κοντά στον πυθμένα. iv

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ... iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... viii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xiv 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ ΑΜΜΩΔΟΥΣ ΠΥΘΜΕΝΑ Διαστασιολόγηση πτυχώσεων στροβίλου Παράμετροι που καθορίζουν τη μορφολογική ισορροπία πτυχώσεων ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Αριθμητική προσομοίωση διάδοσης παράκτιων κυμάτων Κυματογενή ρεύματα στη ζώνη απόσβεσης ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΡΟΗΣ - ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ (LWS) ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ EΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ (LWS) Μοντέλο υποπλεγματικών (SGS) τάσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ v

6 3.3 ΧΩΡΙΚΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ Διακριτοποίηση εξίσωσης ύψους πίεσης Διακριτοποίηση εξίσωσης πεδίου ταχύτητας Συνθήκες στα όρια εισόδου, εξόδου και πλευρικών ορίων ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΨΟΥΣ ΠΙΕΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΔΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Παραλληλοποίηση αριθμητικού κώδικα ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ Εξισώσεις ροής και αριθμητική μέθοδος Επαλήθευση μεθόδου αριθμητικής επίλυσης Αποτελέσματα προσομοιώσεων ροής ελεύθερης επιφάνειας πάνω από πτυχώσεις ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΤΥΧΩΣΕΩΝ Εξισώσεις μεταφοράς ιζήματος και μεταβολής μορφολογίας πυθμένα Διαδικασία εκτέλεσης μορφολογικών προσομοιώσεων Αποτελέσματα προσομοιώσεων μεταβολής μορφολογίας πυθμένα ΘΡΑΥΣΗ ΚΑΘΕΤΩΝ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΑΚΤΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Εξισώσεις ροής, αριθμητική μέθοδος και επαλήθευση μοντέλου LWS Αποτελέσματα προσομοιώσεων ροής ελεύθερης επιφάνειας πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑΣ ΠΥΘΜΕΝΑ Εξισώσεις και διαδικασία εκτέλεσης μορφολογικής προσομοίωσης Αποτελέσματα μορφολογικών προσομοιώσεων vi

7 6. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΑΚΤΟΓΡΑΜΜΗ Μεταβολή παραμέτρων εισερχόμενου κύματος κατά τη διάδοση, θραύση και απόσβεση Πεδίο στροβιλότητας και SGS τάσεων στη ζώνη απόσβεσης κύματος Ένταση τύρβης στη ζώνη απόσβεσης κύματος Κυματογενή ρεύματα στη ζώνη απόσβεσης Πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ vii

8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 2.1 Θετική προσήμανση αξόνων και φορών περιστροφής για δισδιάστατο (αριστερά) και τρισδιάστατο (δεξιά) σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων Σχήμα 2.2 Τυπικό σκαρίφημα τρισδιάστατου πεδίου ροής Σχήμα 2.3 Διαχωρισμός των κλιμάκων ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά τη διάρκεια θραύσης εκχείλισης Σχήμα 3.1 Τυπικό σκαρίφημα τρισδιάστατου υπολογιστικού πλέγματος Σχήμα 3.2 Γενική δομή πινάκων περιορισμένου εύρους Α. Με συνεχείς γραμμές σημειώνονται οι περιοχές μη-μηδενικών στοιχείων. Για τον καθορισμό των στοιχείων της διαγωνίου του πίνακα Α 1 όπου q = 0, ενώ για τον πίνακα Α 2 όπου q = Σχήμα 3.3 (α) Μεταβολή επιτάχυνσης παραλληλοποίησης, S p, ως προς τον αριθμό των επεξεργαστών n cpu. Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στην ιδανική επιτάχυνση. (β) Απόδοση παραλληλοποίησης α p = S p /n cpu Σχήμα 4.1 Υπολογιστικό πεδίο σε στρεβλή κλίμακα για την περίπτωση παλλόμενης ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις (h r /L r = 0.15). Στο πάνω όριο (x 3 /L r = 0) επιβάλλεται η ταχύτητα εξωτερικής ροής, ενώ στα πλευρικά όρια περιοδικές συνθήκες Σχήμα 4.2 Ισοϋψείς πεδίου στροβιλότητας παλλόμενης ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις (h r /L r = 0.15) για Re = 1,250 τη χρονική στιγμή (α) t/τ= 0.5 και (β) t/τ = 1. Οι συνεχείς ισοϋψείς αντιστοιχούν σε θετικές τιμές της στροβιλότητας (αριστερόστροφη) και οι διακεκομμένες σε αρνητική στροβιλότητα (δεξιόστροφη) ανά διαστήματα των 0.15 από -1.2 έως Σχήμα 4.3 Τυπική γεωμετρία πτύχωσης παραβολικής μορφής, ύψους h r και μήκους L r Σχήμα 4.4 Τυπικό σχηματικό διάγραμμα δισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου ροής για τη διάδοση κυμάτων πάνω από πτυχώσεις. Η περιοχή εισόδου είναι μήκους L I = λ, το πτυχωτό τμήμα είναι L R = 0.5λ, η περιοχή εξόδου έχει μήκος L E = 5λ, και εντός αυτής βρίσκεται η ζώνη απόσβεσης κύματος με μήκος L A = 4λ Σχήμα 4.5 Στιγμιότυπα ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας [(α), (β) ανάντη και κατάντη της κορυφής κύματος, αντίστοιχα και (γ), (δ) ανάντη και κατάντη της κοιλίας κύματος, αντίστοιχα] και του πεδίου ταχύτητας πάνω από και στην περιοχή μεταξύ δύο πτυχώσεων πυθμένα με L r /α ο = 2.08 και h r /α ο = (Περίπτωση 1F), ανά ίσα χρονικά διαστήματα Δt = T/ viii

9 Σχήμα 4.6 Στιγμιότυπα του πεδίου στροβιλότητας στην περιοχή μεταξύ δύο πτυχώσεων πυθμένα με L r /α ο = 2.08 και h r /α ο = (Περίπτωση 1F), για τις ίδιες χρονικές στιγμές με αυτές του Σχήματος Σχήμα 4.7 Κατανομή χρονικά μέσης οριζόντιας ταχύτητας κατά το βάθος, σε τέσσερις διατομές κατά μήκος μιας πτύχωσης (α) με h r /L r = (Περίπτωση 1Ε), (β) με h r /L r = 0.2 (Περίπτωση 1F) Σχήμα 4.8 Κατανομή της χρονικά και χωρικά μέσης οριζόντιας ταχύτητας κατά το βάθος, για μερικές από τις 12 πτυχώσεις του πυθμένα με h r /L r = και 0.2 (Περιπτώσεις 1Ε και 1F). Ο χωρικός μέσος όρος έχει υπολογιστεί οριζοντίως, για το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών πτύχωσης Σχήμα 4.9 Κατανομή του συντελεστή τριβής πυθμένα, f b, σε δύο φάσεις της περιόδου κύματος, για ύψη πτύχωσης (α) h r /a o = (Περίπτωση 1E) και (β) h r /a o = (Περίπτωση 1F) Σχήμα 4.10 Χωρο-χρονική κατανομή του συντελεστή τριβής, f b, κατά μήκος μίας πτύχωσης πυθμένα (κορυφές στα x 1 /L r = 0 και 0.25) κατά τη διάρκεια της 14 ης περιόδου κύματος (Περίπτωση 1F). Οι χρονικές στιγμές t/t = 13, 13.25, 13.5 και αντιστοιχούν στα στιγμιότυπα (α), (β), (γ) και (δ) του Σχήματος Σχήμα 4.11 Τρισδιάστατο υπολογιστικό πεδίο για την περίπτωση παλλόμενης ροής πάνω από πυθμένα δύο πτυχώσεων (Grigoriadis et al., 2012) Σχήμα 4.12 Τυπικά προφίλ πυθμένα σε ισορροπία μετά από 1,000 περιόδους κύματος, Τ, για πτυχώσεις της (α) Περίπτωσης 1D και της (β) Περίπτωσης 2C Σχήμα 4.13 Κατανομή της παροχής ιζήματος, Φ Β, υπολογισμένης από την εξίσωση (4.7), στην περιοχή μεταξύ δύο διαδοχικών πτυχώσεων (Περίπτωση 1F, a o /D g = 100), σε στιγμιότυπα που ταυτίζονται με αυτά του Σχήματος Σχήμα 4.14 Τυπικά προφίλ πυθμένα σε ισορροπία μετά από 1,000 περιόδους κύματος, Τ, για δύο τιμές του μ d, μίας μεγαλύτερης και μίας μικρότερης από την τιμή ισορροπίας μ d = 0.43 (Περίπτωση 1D) Σχήμα 4.15 Συσχέτιση του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d, ισορροπίας με το λόγο του μήκους πτύχωσης προς το ημι-εύρος ροής κοντά στον πυθμένα, L r /a o, και το λόγο του ύψους πτύχωσης προς το ημι-εύρος ροής, h r /a o Σχήμα 5.1 Τυπικό σκαρίφημα δισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου ροής για τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα κλίσης tanβ = 1/35. Η περιοχή εισόδου είναι μήκους L I = 15 και βάθους d I =1, η περιοχή εξόδου έχει μήκος L E = και βάθος d Ε =0.03, ενώ κατά μήκος αυτής βρίσκεται η ζώνη απόσβεσης κύματος με μήκος L A = L E ix

10 Σχήμα 5.2 Τυπικά προφίλ στιγμιαίας οριζόντιας ταχύτητας, u 1, για την ίδια χρονική στιγμή, σε τρείς θέσεις κατά μήκος της διεύθυνσης x 1 για την περίπτωση διάδοσης κυμάτων πάνω από πυθμένα κλίσης tanβ = 1/35. Η πράσινη καμπύλη αντιστοιχεί σε θέση που βρίσκεται στο οριζόντιο τμήμα πυθμένα που προηγείται του κεκλιμένου τμήματος Σχήμα 5.3 Στιγμιότυπα της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Τα σύμβολα αντιστοιχούν στις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994) για την υψηλότερη και τη χαμηλότερη θέση της ελεύθερης επιφάνειας. Οι κόκκινες γραμμές αντιστοιχούν στις περιβάλλουσες της μέγιστης και ελάχιστης ανύψωσης της προσομοίωσης χωρίς το μοντέλο LWS Σχήμα 5.4 Μεταβολή του ύψους κύματος κατά τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Τα σύμβολα αντιστοιχούν στις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994) Σχήμα 5.5 Στιγμιότυπα ισοϋψών του πεδίου στροβιλότητας εντός της ζώνης απόσβεσης: (α) τη στιγμή έναρξης της θραύσης, (β) σε χρονικό διάστημα Δt = 0.5T μετά τη θραύση και (γ) σε χρονικό διάστημα Δt 0.8T μετά τη θραύση Σχήμα 5.6 Ισοϋψείς των SGS τάσεων κύματος (α) τ η 13, (β) τ η 33, εντός της ζώνης απόσβεσης. Κάθε ζεύγος στιγμιότυπων αντιστοιχεί στα (α) και (β) του Σχήματος 5.5, ενώ το πρώτο στιγμιότυπο περιλαμβάνει δύο κορυφές (θέσεις x 1 40 και 44.5). Οι διακεκομμένες ισοϋψείς αντιστοιχούν σε αρνητικές τιμές, ενώ σχεδιάζονται ανά διαστήματα των ξεκινώντας από την τιμή ± Σχήμα 5.7 Ισοϋψείς των SGS τάσεων δίνης (α) τ 11, (β) τ 13, (γ) τ 33, εντός της ζώνης απόσβεσης. Κάθε ζεύγος στιγμιότυπων αντιστοιχεί στα (α) και (β) του Σχήματος 5.5, ενώ το πρώτο στιγμιότυπο περιλαμβάνει δύο κορυφές (θέσεις x 1 40 και 44.5). Οι διακεκομμένες ισοϋψείς αντιστοιχούν σε αρνητικές τιμές, ενώ σχεδιάζονται ανά διαστήματα των ξεκινώντας από την τιμή ± Σχήμα 5.8 Περιβάλλουσες κανονικοποιημένων SGS τάσεων, [τ', τ' η ] = [τ, τ η ]/(ρgd b tanβ), κατά τη ρήχωση, θραύση και απόσβεση κύματος πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/ Σχήμα 5.9 Κατανομή της μέσης ταχύτητας στη ζώνη θραύσης και σε τμήμα της ζώνης απόσβεσης Σχήμα 5.10 Κατακόρυφη κατανομή της μέσης οριζόντιας ταχύτητας σε τέσσερις θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης. Τα σύμβολα αντιστοιχούν στα πειραματικά δεδομένα του σχήματος 5(c)-(f) των Ting & Kirby (1994), οι μπλε συνεχείς γραμμές αντιστοιχούν σε Re d = 250,000 και Ν = 128, οι κόκκινες διακεκομμένες x

11 σε Re d = 500,000 και Ν = 128, ενώ οι πράσινες διακεκομμένες γραμμές σε Re d = 250,000 και Ν = Σχήμα 5.11 Στιγμιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας, η, και της κατανομής της διατμητικής τάσης πυθμένα, τ b. Οι σκούρες γραμμές αντιστοιχούν σε Re d = 250,000, ενώ οι κόκκινες γραμμές σε Re d = 500,000. Οι μαύρες έντονες γραμμές αντιστοιχούν σε κοινή χρονική στιγμή, ενώ στη θέση x 1 = 15 ξεκινά η κλίση του πυθμένα Σχήμα 5.12 Μεταβολή μορφολογίας πυθμένα και κατανομή μέσης (για την τελευταία περίοδο κύματος) (α) αδιάστατης παροχής φορτίου πυθμένα, Φ B, και (β) της, επίσης αδιάστατης παροχής q B, για συντελεστή δυναμικής τριβής μ d = 0.28 και διάφορες τιμές του λόγου α οb /D g, μετά την πάροδο χρόνου 500 περιόδων κύματος, Τ Σχήμα 5.13 Χρονική εξέλιξη της μορφολογίας πυθμένα εντός της ζώνης απόσβεσης, για την περίπτωση με α οb /D g = 500 και συντελεστή δυναμικής τριβής μ d = Σχήμα 6.1 Τυπικό σκαρίφημα τρισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου ροής για τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα κλίσης tanβ = 1/35. Η περιοχή εισόδου είναι μήκους L I = 15 και βάθους d I =1, η περιοχή εξόδου (αναρρίχησης) έχει μήκος L E = και βάθος d Ε =0.03, ενώ κατά μήκος αυτής βρίσκεται η ζώνη απόσβεσης κύματος με μήκος L A = L E. Το πεδίο έχει συνολικό μήκος l = Σχήμα 6.2 Τυπικά στιγμιότυπα ισοϋψών της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά την κάθετη ως προς την ακτογραμμή διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/ Σχήμα 6.3 Στιγμιότυπο διάδοσης δισδιάστατου κύματος, με γωνία διάδοσης φ, πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης. Για τις συνιστώσες του μήκους κύματος λ σε τυχαίο βάθος ισχύει λ 1 = λ/cosφ και λ 2 = λ/sinφ Σχήμα 6.4 Τυπικό στιγμιότυπο ισοϋψών της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά την υπό γωνία (φ Ι = 30 ) διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T Σχήμα 6.5 Περιβάλλουσα των μεγίστων (μπλε γραμμή) και των ελαχίστων (κόκκινη γραμμή) της ελεύθερης επιφάνειας κατά την υπό γωνία (φ Ι = 30 ) διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/ Σχήμα 6.6 Μεταβολή του ύψους κύματος κατά την υπό γωνία (φ Ι = 30 ) διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί στην πρόβλεψη της γραμμικής θεωρίας ρήχωσης-διάθλασης xi

12 Σχήμα 6.7 Μεταβολή της γωνίας διάδοσης κύματος κατά τη διάρκεια ρήχωσηςδιάθλασης και εντός της ζώνης απόσβεσης κύματος, σύμφωνα με τις προβλέψεις του αριθμητικού μοντέλου και του νόμου του Snell, για φ Ι = 30 και tanβ = 1/ Σχήμα 6.8 Στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της διαμήκους στροβιλότητας ω 1, και (β) της εγκάρσιας στροβιλότητας ω 2, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Οι κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου, απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση Δx 2 = l F / Σχήμα 6.9 Στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της SGS τάσης κύματος τ η 13, και (β) της SGS τάσης κύματος τ η 23, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Οι κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου, απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση Δx 2 = l F / Σχήμα 6.10 Στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της SGS τάσης δίνης τ 13, (β) της SGS τάσης δίνης τ 23, και (γ) της SGS τάσης δίνης τ 12, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Οι κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου, απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση Δx 2 = l F / Σχήμα 6.11 Επιλεγμένες φάσεις κύματος, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, για την εξαγωγή στατιστικών αποτελεσμάτων τύρβης σε τρία διαφορετικά βάθη του κεκλιμένου πυθμένα Σχήμα 6.12 Τυρβώδης ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, η rms, ανά φάση του κύματος, σε τρία διαφορετικά βάθη του κεκλιμένου πυθμένα Σχήμα 6.13 Κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, για λόγο d/d b = 1 (θέση έναρξης θραύσης). Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στη u 1_rms, η κόκκινη στη u 2_rms, και η πράσινη στη u 3_rms Σχήμα 6.14 Κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, για λόγο d/d b = Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στη u 1_rms, η κόκκινη στη u 2_rms, και η πράσινη στη u 3_rms Σχήμα 6.15 Κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, για λόγο d/d b = Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στη u 1_rms, η κόκκινη στη u 2_rms, και η πράσινη στη u 3_rms Σχήμα 6.16 Κατακόρυφη κατανομή (από τον πυθμένα ως την κοιλία κύματος) των τρισδιάστατων διανυσμάτων της μέσης ταχύτητας, U, σε έξι θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης. Οι θέσεις x 1 = 43 ως 48 αντιστοιχούν, κατά σειρά, σε λόγους d/d b = 0.78, 0.67, 0.55, 0.44, 0.33 και Σχήμα 6.17 Κατακόρυφη κατανομή της μέσης διαμήκους ταχύτητας, U 1 (μπλε γραμμή), και της μέσης εγκάρσιας ταχύτητας, U 2 (κόκκινη γραμμή), σε τέσσερις θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης (α) x 1 = 44 (β) x 1 = 45, (γ) x 1 = 47, (δ) x 1 = xii

13 Σχήμα 6.18 Τυπικό στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας (β) της διαμήκους συνιστώσας της διατμητικής τάσης πυθμένα τ b1, και (γ) της εγκάρσιας συνιστώσας τ b2, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T xiii

14 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 4.1 Παράμετροι ροής για τις εξεταζόμενες περιπτώσεις διάδοσης κυμάτων πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις Πίνακας 4.2 Περιπτώσεις πτυχώσεων που εξετάζονται σε συνδυασμό με τις περιπτώσεις ροής του Πίνακα 4.1. Για τη ροή Περίπτωσης 3 εξετάζονται οι πτυχώσεις των Περιπτώσεων A ως D (όπως συμβαίνει και για την Περίπτωση 2) Πίνακας 4.3 Παράμετροι ροής για την περίπτωση παλλόμενης ροής (Grigoriadis et al., 2012) πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις Πίνακας 4.4 Περιπτώσεις πτυχώσεων που εξετάζονται σε συνδυασμό με τη ροή Περίπτωσης 4 του Πίνακα Πίνακας 4.5 Τιμές της παραμέτρου κινητικότητας, ψ, και του κρίσιμου αριθμού Shields, θ cο, για όλες τις εξεταζόμενες περιπτώσεις ροής και μεγεθών κόκκου ιζήματος Πίνακας 4.6 Τιμές του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d, που οδηγούν σε ισορροπία έξι περιπτώσεις γεωμετρίας πτυχώσεων και διάφορες τιμές του λόγου α ο /D g. (Τύποι: EF = Engelund & Fredsøe; MP = Meyer-Peter & Müller; R = Ribberink) Πίνακας 5.1 Διαστάσεις υπολογιστικών κελιών πλέγματος μετρημένες σε ιξώδεις κλίμακες μήκους για τις προσομοιώσεις με 64 και 128 κόμβους Chebyshev, με Re d = 250,000 και 500, xiv

15 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα θαλάσσια κύματα στην παράκτια ζώνη βρίσκονται σε διαρκή αλληλεπίδραση με τον πυθμένα, με αποτέλεσμα την εμφάνιση μιας σειράς σημαντικών διεργασιών, όπως η θραύση των κυμάτων, η δημιουργία κυματογενών ρευμάτων και η μεταφορά ιζήματος. Ο τελευταίος μηχανισμός είναι υπεύθυνος για τις μεταβολές στη μορφολογία του πυθμένα αλλά και κατά μήκος της ακτογραμμής, οι οποίες, σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά το παράκτιο περιβάλλον. Η παρούσα εργασία πραγματεύεται την ανάπτυξη μοντέλων αριθμητικής προσομοίωσης (α) της ροής, η οποία επάγεται από τη διάδοση μη-θραυόμενων κυμάτων πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις, και (β) της ροής πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης, η οποία δημιουργείται από τη διάδοση και θραύση παράκτιων κυμάτων. Ένα ανεξάρτητο μοντέλο για την προσομοίωση της μεταβολής μορφολογίας πυθμένα, μέσω της μεταφοράς ιζήματος πυθμένα (φορτίου πυθμένα), αναπτύσσεται και χρησιμοποιείται σε σύζευξη με τα προαναφερθέντα μοντέλα προσομοίωσης ροής. 1.1 ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ ΑΜΜΩΔΟΥΣ ΠΥΘΜΕΝΑ Συνήθης επίπτωση της παράκτιας μεταφοράς ιζήματος, προερχόμενης από τη διάδοση κυματισμών, είναι η δημιουργία μικρής κλίμακας πτυχώσεων στην επιφάνεια οριζόντιου (ή πολύ μικρής κλίσης), αμμώδους πυθμένα, οι οποίες είναι γνωστές και ως αμμοκυμάτια (Εικόνα 1.1). Το μήκος της κάθε πτύχωσης κυμαίνεται σε μερικές δεκάδες εκατοστά του μέτρου, ενώ το ύψος της δεν ξεπερνά τα μερικά εκατοστά. Όταν ο λόγος του ύψους προς το μήκος πτύχωσης (κυρτότητα) είναι μικρός - περίπου για h r /L r < τότε συνήθως, το οριακό στρώμα της κυματικής ροής παραμένει προσκολλημένο στον πυθμένα, ενώ αντίθετα για μεγαλύτερους λόγους h r /L r λαμβάνει χώρα αποκόλληση του οριακού στρώματος και δημιουργία περιοχών ανακυκλοφορίας της ροής (στροβίλων) εκατέρωθεν της κορυφής πτύχωσης (Sleath, 1984). Οι πτυχώσεις μικρής κυρτότητας είναι γνωστές και ως πτυχώσεις κυλιόμενων κόκκων (rolling-grain ripples), και δημιουργούνται υπό συνθήκες ήπιας ροής (κοντά στον πυθμένα), ενώ οι πτυχώσεις του δεύτερου τύπου καλούνται και πτυχώσεις στροβίλου (vortex ripples), και εμφανίζονται όταν οι συνθήκες ροής προκαλούν ισχυρό πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα (Bagnold, 1946). Οι πτυχώσεις κυλιόμενων κόκκων μπορεί να έχουν μόνιμη υπόσταση και συνεπώς να εμφανίζονται ως

16 2 μια κατάσταση μορφολογικής ισορροπίας του πυθμένα, ή διαφορετικά να έχουν παροδικό χαρακτήρα, αποτελώντας ένα ενδιάμεσο στάδιο το οποίο προηγείται της πλήρους ανάπτυξης των πτυχώσεων στροβίλου. Οι τελευταίοι σταματούν να εξελίσσονται και θεωρούνται πλήρως ανεπτυγμένοι από τη στιγμή που επέρχεται ισορροπία μεταξύ μεταφοράς ιζήματος πυθμένα, της κυρτότητας h r /L r και της δυναμικής γωνίας τριβής της άμμου. Εικόνα 1.1 Τυπικές πτυχώσεις σε αμμώδη πυθμένα πειραματικής εγκατάστασης (Πηγή: Διαστασιολόγηση πτυχώσεων στροβίλου Οι πτυχώσεις στροβίλου με τις οποίες ασχολείται αποκλειστικά η παρούσα εργασία, εμφανίζονται συνήθως με αιχμηρές κορυφές και στρογγυλεμένες κοιλίες (Εικόνα 1.1), συνεπώς η μορφή τους θεωρείται, προσεγγιστικά, ως παραβολική. Οι διαστάσεις των πτυχώσεων αυτών, σχετίζονται με τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν την παλλόμενη ροή, η οποία γενικά κρίνεται ως επαρκές μοντέλο περιγραφής τη ροής κοντά στον πυθμένα από τη διάδοση κυμάτων στην ελεύθερη επιφάνεια. Η ταχύτητα κατά τη διεύθυνση της ροής ορίζεται ως u = U t (1.1) o o sin ( ω ) όπου U o είναι το εύρος της ταχύτητας παλλόμενης ροής, ω = 2π/Τ η κυκλική συχνότητα κύματος, T είναι η περίοδος κύματος και t ο χρόνος, ενώ οι υπόλοιπες συνιστώσες της ταχύτητας θεωρούνται μηδενικές. Για την περίπτωση των πτυχώσεων στροβίλου, στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι το μήκος πτύχωσης, L r, και το ύψος πτύχωσης, h r, εξαρτώνται από το ημι-εύρος της παλλόμενης κίνησης κοντά στον πυθμένα, α ο = U o /ω.

17 3 Σύμφωνα με τους Clifton & Dingler (1984), οι πτυχώσεις μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις κατηγορίες: τις τροχιακές (orbital), τις υπο-τροχιακές (suborbital) και τις μητροχιακές (anorbital) πτυχώσεις. Οι τροχιακές πτυχώσεις εμφανίζονται για μικρές τιμές του λόγου a o /D g (< 500), όπου D g είναι η μέση διάμετρος κόκκου του ιζήματος, και το μήκος τους είναι ανάλογο του ημι-εύρους a o. Οι μη-τροχιακές πτυχώσεις αναπτύσσονται για υψηλές τιμές του λόγου a o /D g (> 2,500), και το μήκος τους είναι ανάλογο της διαμέτρου κόκκου D g, ενώ οι υπο-τροχιακές πτυχώσεις αποτελούν το μεταβατικό στάδιο μεταξύ τροχιακών και μη-τροχιακών καταστάσεων. Σύμφωνα με τους Clifton & Dingler (1984), οι πτυχώσεις στροβίλου κατατάσσονται είτε στις τροχιακές, είτε στις υποτροχιακές πτυχώσεις. Βασική αδιάστατη παράμετρο της ροής πάνω από πτυχώσεις, αποτελεί και ο αριθμός Reynolds ο οποίος βασίζεται στις κύριες παραμέτρους τις παλλόμενης ροής U oα Re = ο (1.2) v όπου ν είναι το κινηματικό ιξώδες. Από τη γραμμική θεωρία κυμάτων Stokes μπορεί να υπολογιστεί το ημι-εύρος της παλλόμενης κίνησης a o = (H/2)/sinh(kd), όπου k = 2π/λ είναι ο αριθμός κύματος, λ είναι το μήκος κύματος, H είναι το ύψος κύματος και d το βάθος πυθμένα. Η αδιάστατη παράμετρος, η οποία περιγράφει την αναλογία μεταξύ των δυνάμεων που τείνουν να θέσουν σε κίνηση (προερχόμενων από την κυματική ροή) και της σταθεροποιητικής δύναμης της βαρύτητας, ασκούμενων σε ένα σωματίδιο του ιζήματος πυθμένα, καλείται παράμετρος κινητικότητας και ορίζεται ως εξής ψ = U 2 o ( S 1) gd g (1.3) όπου S = ρ s /ρ είναι η σχετική πυκνότητα του ιζήματος, ρ s είναι η πυκνότητα του ιζήματος, ρ είναι πυκνότητα του νερού και g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Για τη συσχέτιση των διαστάσεων πτύχωσης - σχετικό μήκος L r /a o και ύψος h r /a o - με την παράμετρο κινητικότητας, ψ, έχουν προταθεί εμπειρικές σχέσεις, οι οποίες βασίζονται σε εργαστηριακές μετρήσεις και μετρήσεις πεδίου για περιπτώσεις μονοχρωματικών και πραγματικών κυμάτων, αντίστοιχα (Nielsen, 1981). Για την κυρτότητα πτύχωσης, h r /L r, ο Nielsen (1981) πρότεινε εμπειρικές σχέσεις βασισμένες, επίσης, σε μετρήσεις

18 4 μονοχρωματικών και πραγματικών (φασματικών) κυμάτων, οι οποίες τη συσχετίζουν με τον αριθμό Shields τ b θ = ρ( S 1) gd g (1.4) όπου τ b είναι η διατμητική τάση πυθμένα. Η μέγιστη παρατηρούμενη τιμή της κυρτότητας πτύχωσης είναι ίση με 0.2, υπό συνθήκες ήπιας ροής (0.05 < θ < 0.2), ενώ για θ > 0.2, η κυρτότητα ελαττώνεται καθώς η τιμή του αριθμού Shields αυξάνει, και τείνει να μηδενιστεί κάτω από συνθήκες ισχυρής ροής (θ > 0.8). Μια μέθοδος ικανή να προβλέπει τον τύπο και τη γεωμετρία πτυχώσεων, η οποία στηρίχθηκε σε μια σειρά από μετρήσεις πεδίου και εργαστηριακές μετρήσεις, προτάθηκε από τους Wiberg & Harris (1994). Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγουν είναι ότι η μέθοδός τους αποφεύγει το διαχωρισμό μεταξύ πτυχώσεων πεδίου και εργαστηρίου, ο οποίος συμβαίνει στην εργασία του Nielsen (1981), ενώ παρέχει καλύτερες προβλέψεις για το ύψος και το μήκος πτυχώσεων της μητροχιακής περιοχής σε σύγκριση με άλλα μοντέλα, π.χ. από το μοντέλο των Grant & Madsen (1982). Πιο πρόσφατα, οι Faraci & Foti (2002) μελέτησαν πειραματικά πτυχώσεις προερχόμενες από μονοχρωματικούς και πραγματικούς κυματισμούς, και πρότειναν νέες εμπειρικές σχέσεις για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών ισορροπίας των πτυχώσεων. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ των πτυχώσεων από μονοχρωματικά και πραγματικά κύματα από άποψη τελικής μορφής και μετακίνησης στην κατάσταση ισορροπίας Παράμετροι που καθορίζουν τη μορφολογική ισορροπία πτυχώσεων Η έναρξη της κίνησης των σωματιδίων ιζήματος πυθμένα, η οποία προκαλείται από τη διάδοση κυμάτων, είτε σε περιπτώσεις δημιουργίας πτυχώσεων σε αρχικά επίπεδο πυθμένα, είτε κατά τη μορφολογική εξέλιξη ήδη υπαρχουσών, λαμβάνει χώρα οποτεδήποτε η διατμητική τάση πυθμένα υπερβαίνει μια κρίσιμη τιμή. Κάνοντας χρήση αδιάστατων παραμέτρων, ως κατώφλι εκκίνησης των σωματιδίων πυθμένα ορίζεται η κρίσιμη τιμή του αριθμού Shields, θ c, την οποία θα πρέπει να υπερβαίνουν οι στιγμιαίες τιμές του θ. Η κρίσιμη τιμή θ c δεν είναι σταθερή, και εξαρτάται από την τοπική κλίση του πυθμένα, tanγ, τη διάμετρο κόκκου του ιζήματος, D g, και τη γωνία στατικής ή δυναμικής τριβής, φ s ή φ d, των σωματιδίων του πυθμένα, αλλά και από τη δυναμικότητα της ροής

19 5 (λεπτομέρειες στο Κεφάλαιο 4). Στην περίπτωση οριζόντιου αμμώδους πυθμένα, συνήθως γίνεται η χονδρική εκτίμηση σταθερής τιμής θ c 0.05 (Fredsøe & Deigaard, 1992). Η εξάρτηση του θ c, από τη γωνία στατικής ή δυναμικής τριβής, οι οποίες συνδέονται με τους αντίστοιχους συντελεστές τριβής, μ s = tanφ s και μ d = tanφ d, αποτελεί θέμα το οποίο δεν είναι πλήρως διευκρινισμένο στη βιβλιογραφία. Για ένα σωματίδιο που ισορροπεί σε ένα κεκλιμένο επίπεδο, η γωνία στατικής τριβής, φ s, ταυτίζεται με τη γωνία απόθεσης, δηλαδή τη μέγιστη γωνία για την οποία ένα κεκλιμένο επίπεδο εξακολουθεί να παραμένει σταθερό λίγο πριν αρχίσει η ολίσθησή των σωματιδίων που το απαρτίζουν. Για ένα σωματίδιο που βρίσκεται σε κίνηση, ο συντελεστής δυναμικής τριβής, μ d, ορίζεται από το λόγο της οριακής διατμητικής τάσης για τη διατήρηση της κίνησης προς την ορθή τάση που ασκείται σε αυτό. Η τιμή του μ d αναμένεται να μη διαφέρει πολύ αλλά είναι σίγουρα είναι μικρότερη του μ s, όπως αναφέρεται και από τον Nielsen (1992). Οι παράγοντες οι οποίοι καθορίζουν την τιμή της γωνίας φ s, είναι το πορώδες του ιζήματος, καθώς και το σχήμα και μέγεθος των κόκκων του ιζήματος. Υψηλές τιμές της γωνίας φ s, εμφανίζονται σε περιπτώσεις ιζήματος του οποίου οι κόκκοι είναι πυκνά τοποθετημένοι μεταξύ τους (μικρό πορώδες), έχουν γωνιώδες σχήμα και μεγάλο μέγεθος. Οι καμπύλες που παρουσιάζονται στην εργασία των Simons & Albertson (1960) προσδιορίζουν το πεδίο τιμών της φ s, μεταξύ 29 και 34 για στρογγυλεμένους και γωνιώδεις κόκκους ιζήματος μέσης διαμέτρου D g, από 0.2 ως 2 mm. Από εργαστηριακά πειράματα του Allen (1970) με ομοιόμορφα σφαιρίδια διαμέτρου D g, από 0.08 ως 3 mm, προέκυψε γωνία φ s 33, ενώ ο Cornforth (1973) αναφέρει εύρος τιμών φ s από 28 και 36 (για τη μέγιστη τιμή του πορώδους) για φυσικά ιζήματα. Ο Nielsen (1992) αναφέρει ότι η γωνία φ s στην περίπτωση της άμμου παίρνει τιμές μεταξύ 26 και 34 και παραθέτει την τυπική τιμή φ s = 31 (για την τυπική παράκτια άμμο), όπως αναφέρεται και στην εργασία των Hanes & Inman (1985). Τέλος, σε πειράματα καθορισμού της γωνίας απόθεσης κοκκωδών υλικών, συμπεριλαμβανομένου και της άμμου, οι Sperry & Peirce (1995) χρησιμοποίησαν πρότυπη άμμο ASTM (American Society of Testing Materials) με διάμετρο D g από 0.3 ως 2 mm και κατέληξαν στο ότι η τιμή της γωνίας απόθεσης παρέμενε σταθερή και ίση με Όσον αφορά τον καθορισμό κατάλληλων τιμών της γωνίας δυναμικής τριβής, φ d, και κατ' επέκταση του συντελεστή μ d, ο οποίος χρησιμοποιείται στα μοντέλα μεταφοράς φορτίου πυθμένα (ή ιζήματος κλίνης), υπάρχει ασάφεια στη βιβλιογραφία. Οι Fredsøe & Deigaard (1992) σημειώνουν ότι η τιμή του μ d που θα πρέπει να χρησιμοποιείται στις

20 6 σχέσεις υπολογισμού μεταφοράς και συγκέντρωσης ιζήματος πυθμένα για την επίτευξη αποτελεσμάτων σε συμφωνία με πειραματικά δεδομένα, είναι αμφιλεγόμενη, ενώ χρησιμοποιούν τιμές μ d μεταξύ 0.5 και 1. Στις εργασίες του, ο Bagnold (1954, 1956) θεώρησε την ύπαρξη δύο διαφορετικών καταστάσεων ροής, της συνεκτικής ροής (macroviscous), στην οποία κυριαρχεί η αλληλεπίδραση σωματιδίων-ροής υποκινούμενη από τις δυνάμεις συνεκτικότητας, και της αδρανειακής ροής (inertial), η οποία χαρακτηρίζεται από συγκρούσεις μεταξύ των κόκκων του ιζήματος. Η πρώτη κατάσταση ροής χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη μικρών, αβαρών σωματιδίων και ρευστό υψηλής συνεκτικότητας, ενώ τη δεύτερη συνθέτουν μεγαλύτερης διαμέτρου σωματίδια και υψηλοί ρυθμοί διάτμησης (ρευστό μικρού ιξώδους). Σύμφωνα με αποτελέσματα που παρουσίασε ο Bagnold (1954, 1956), o Nielsen (1992) αναφέρει ότι η κατάλληλη τιμή του μ d για συνθήκες στρωματώδους ροής ιζήματος (sheet flow) προερχόμενης από τη δράση κυμάτων (και γενικότερα για συνεκτικές καταστάσεις) είναι ίση με 0.75, ενώ για τις περιπτώσεις αδρανειακών καταστάσεων ροής ισχύει ότι μ d = Στην εργασία των Engelund & Fredsøe (1976) περιλαμβάνεται ο υπολογισμός της κρίσιμης τιμής θ c θεωρώντας φ d = 27. Κατά τον καθορισμό του κατωφλίου εκκίνησης σωματιδίων, οι Fernandez Luque & van Beek (1976), αναφέρουν ότι η κρίσιμη γωνία οπισθέλκουσας (drag angle), η οποία πιθανότατα ταυτίζεται με τη γωνία φ d, βρέθηκε ίση με 24 για τα σωματίδια της εξώτερης στρώσης κοκκώδους πυθμένα, σύμφωνα με πειράματα που εκτελέστηκαν από τον Chepil (1959). Έχοντας ως στόχο τη δημιουργία ενός μοντέλου μεταφοράς φορτίου πυθμένα, οι Soulsby et al. (2005) θεώρησαν τιμή μ d = 0.5tanφ s (όπου φ s = 32 ), με το συντελεστή 0.5 να προέρχεται από τα ευρήματα του Madsen (1991). Στη διδακτορική διατριβή του Andersen (1999), εκτελέστηκαν αριθμητικές προσομοιώσεις παλλόμενης ροής πάνω από πτύχωση, με επίλυση των εξισώσεων RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes), για τον υπολογισμό της μεταβολής μορφολογίας της πτύχωσης. Κατά τον υπολογισμό της μεταφοράς ιζήματος δε γίνεται καμία διάκριση μεταξύ της γωνίας απόθεσης και της γωνίας δυναμικής τριβής, που σημαίνει ότι θεωρήθηκε ταυτόχρονα, μ d = 0.65 και φ s = 33. Πάντως, ο Andersen (1999), προκειμένου να δικαιολογήσει την απόκλιση αριθμητικών αποτελεσμάτων του και πειραματικών μετρήσεων, επικαλέστηκε ευρήματα της εργασίας των Stegner & Wesfreid (1999), οι οποίοι ανέφεραν ότι η γωνία δυναμικής τριβής πτυχώσεων είναι 15-27% μικρότερη της φ s. Συγκεκριμένα, στα πειράματά τους, οι Stegner & Wesfreid (1999) χρησιμοποίησαν γυάλινα σφαιρικά σωματίδια με D g = 0.19 mm και S = 2.49 (όμοια χαρακτηριστικά με την άμμο) και βρήκαν ότι η μέγιστη παρατηρούμενη κλίση

21 7 πτυχώσεων στροβίλου (vortex ripples), κατά τη διάδοση κυμάτων, αντιστοιχούσε σε γωνία 20 ±2, ενώ υπό συνθήκες ηρεμίας του νερού προέκυψε ότι φ s = 25 ± ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Η θραύση των παράκτιων κυμάτων λαμβάνει χώρα όταν το ύψος ή/και η παραμόρφωση του κύματος υπερβούν κάποιες κρίσιμες τιμές, καθώς το βάθος του νερού μειώνεται. Οι βασικές κατηγορίες θραύσης είναι τρεις: η θραύση εκχείλισης (spilling), εκτίναξης (plunging) και εφόρμησης (surging). Η ταξινόμηση τους γίνεται με βάση τον αριθμό Irribaren, ο οποίος εξαρτάται από την κλίση του πυθμένα και την κυρτότητα του κύματος. Πρακτικά, η θραύση εκχείλισης απαντάται σε πυθμένες ήπιας κλίσης, η θραύση εκτίναξης σε μέτριας και απότομης κλίσης, ενώ η θραύση εφόρμησης σε περιπτώσεις πολύ απότομων κλίσεων. Όσον αφορά τη θραύση εκχείλισης, αυτή χαρακτηρίζεται από τη δημιουργία του αποκαλούμενου επιφανειακού στροβίλου (surface roller) στο μέτωπο του θραυόμενου κύματος, αμέσως μετά την έναρξη του φαινομένου. Η θραύση του κύματος είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την εμφάνιση κυματογενών ρευμάτων, ενός ρεύματος κατά μήκος της ακτογραμμής (longshore current), το οποίο εμφανίζεται όταν η κατεύθυνση διάδοσης του θραυόμενου κύματος είναι μη-κάθετη στην ακτογραμμή, και ενός εγκάρσιου στην ακτογραμμή, το οποίο είναι γνωστό ως υποβρύχιο κυματογενές ρεύμα (undertow current). Τα ρεύματα αυτά αναπτύσσονται εντός της ζώνης απόσβεσης (surf zone), δηλαδή της περιοχής στην οποία αποσβένεται η ενέργεια του θραυόμενου κύματος, στην περίπτωση ομοιόμορφου, κατά μήκος της ακτογραμμής, πυθμένα. Το υποβρύχιο ρεύμα οφείλει την ύπαρξη του στο πεδίο διατμητικής τάσης που αναπτύσσεται στη ζώνη απόσβεσης, προκειμένου να ισορροπήσει τη μεταβολή του πεδίου πίεσης, λόγω της κυματογενούς ανύψωσης και της μείωσης του ύψους κύματος, και τη μεταβολή της παροχής ορμής, λόγω της θραύσης και της απόσβεσης του κύματος. Η κατεύθυνσή του ρεύματος κοντά στον πυθμένα είναι προς τα βαθιά, ενώ κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια είναι προς την ακτή, εξασφαλίζοντας ότι η συνολική παροχή ρευστού, κατά την εγκάρσια στην ακτογραμμή διεύθυνση, θα είναι μηδενική (στην περίπτωση διάδοσης κάθετων στην ακτογραμμή κυμάτων πάνω από ομοιόμορφο πυθμένα). Ο μηχανισμός δημιουργίας του ρεύματος κατά μήκος της ακτογραμμής, είναι ανάλογος με του υποβρύχιου ρεύματος, με τη διαφορά ότι στην εξίσωση ισορροπίας ορμής, προστίθεται και η συνιστώσα κατά την παράλληλη στην ακτογραμμή διεύθυνση.

22 Αριθμητική προσομοίωση διάδοσης παράκτιων κυμάτων Η χρήση αριθμητικών μοντέλων για την προσομοίωση της ροής ελεύθερης επιφάνειας, η οποία προκαλείται από τη διάδοση, το μετασχηματισμό και τη θραύση παράκτιων κυματισμών, έχει μεγάλη απήχηση τις τελευταίες δεκαετίες, κυρίως λόγω της αλματώδους ανάπτυξης της τεχνολογίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η συνεισφορά τους στην κατανόηση των φαινομένων που συνδέονται με την παράκτια διάδοση κυμάτων είναι σημαντική, ενώ παράλληλα παρέχουν ικανοποιητικές ποσοτικές προβλέψεις, βασιζόμενα στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων ροής, οι οποίες διέπονται από τις κατάλληλες οριακές συνθήκες του υπολογιστικού πεδίου στο οποίο εφαρμόζονται. Τα αριθμητικά μοντέλα μπορούν να ταξινομηθούν, ανάλογα με τις εξισώσεις ροής τις οποίες επιλύουν (συμπεριλαμβανομένων των οριακών συνθηκών) και την αριθμητική μέθοδο επίλυσης αυτών. Ουσιαστικά, οι χρησιμοποιούμενες εξισώσεις αποτελούν διαφορετικές εκφράσεις της αρχής διατήρησης της μάζας και της ορμής, ενώ βασικό παράγοντα για την επιλογή της μεθόδου επίλυσης αποτελεί η διαθεσιμότητα υπολογιστικών πόρων. Περισσότερο διαδεδομένη είναι η χρήση των αριθμητικών μοντέλων επίλυσης των ολοκληρωμένων, ως προς το βάθος, εξισώσεων ροής, όπως οι εξισώσεις ήπιας κλίσης (Berkhoff, 1972) και οι εξισώσεις Boussinesq (Peregrine, 1967). Το κυριότερο πλεονέκτημα τους είναι η δυνατότητα προσομοίωσης τρισδιάστατης ροής μέσω της επίλυσης των δισδιάστατων εξισώσεων, με αποτέλεσμα την περιορισμένη απαίτηση σε υπολογιστικούς πόρους, γεγονός που τις καθιστά ελκυστικές για πρακτικές εφαρμογές μεγάλης κλίμακας. Βασικό μειονέκτημά τους αποτελεί, προφανώς, η περιορισμένη ικανότητα πρόβλεψης των χαρακτηριστικών της ροής, ως προς το βάθος, όπως π.χ. η κατανομή των κυματογενών ρευμάτων και της τύρβης. Τα μοντέλα εξισώσεων ήπιας κλίσης που έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς βασίζονται σε τροποποιημένες μορφές των αρχικών εξισώσεων, ώστε π.χ. να αντιμετωπίζεται ο περιορισμός της ήπιας κλίσης (Athanassoulis & Bellibassakis, 1999) και να υπολογίζεται η απόσβεση θραυόμενων κυματισμών (π.χ. Dingemans, Lan et al., 2012). Επίσης, έχει αναπτυχθεί μεγάλος αριθμός αριθμητικών μοντέλων που βασίζονται στις τροποποιημένες εξισώσεις Boussinesq, στα οποία, η προσθήκη κατάλληλων όρων, καθίστα εφικτή την προσομοίωση της θραύσης και απόσβεσης παράκτιων κυμάτων (π.χ. Briganti et al., Karambas & Koutitas, Madsen et al, Nwogu, Schaffer et al., Sørensen et al., 1998, Veeramony & Svendsen, 2000). Σε σχέση με τις εξισώσεις ήπιας κλίσης, οι

23 9 εξισώσεις Boussinesq είναι αποτελεσματικότερες στον υπολογισμό των κυματικών χαρακτηριστικών στη ζώνη απόσβεσης. Μια δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τα μοντέλα που βασίζονται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes, οι οποίες περιγράφουν πλήρως την κίνηση ενός πραγματικού ασυμπίεστου ρευστού σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης των εξισώσεων Navier-Stokes αποτελεί η δυνατότητα προσομοίωσης της τύρβης. Η πιο προφανής προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση τυρβωδών ροών είναι η άμεση αριθμητική προσομοίωση (Direct Numerical Simulation - DNS), κατά την οποία οι εξισώσεις Navier-Stokes διακριτοποιούνται χρονικά και χωρικά, έτσι ώστε να προσομοιώνονται οι ελάχιστες κλίμακες της τύρβης (κλίμακες Kolmogorov). Το γεγονός αυτό συνεπάγεται τη χρήση πυκνού υπολογιστικού πλέγματος και μεγάλο αριθμό χρονικών βημάτων, με αποτέλεσμα το υπολογιστικό κόστος να καθίσταται απαγορευτικό, ειδικά για την περίπτωση της τυρβώδους ροής θραυόμενων κυμάτων. Ένας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος αυξημένου κόστους της άμεσης αριθμητικής προσομοίωσης, είναι η χρήση των εξισώσεων Reynolds-Averaged Navier- Stokes - RANS (Bernard & Wallace, 2002), με τις οποίες περιγράφονται οι μέσες τιμές των μεταβλητών της ροής. Η επίλυση των εξισώσεων RANS επιβάλλει τη χρήση κάποιου εκ των μοντέλων προσομοίωσης της τύρβης, ώστε να δοθεί λύση στο γνωστό πρόβλημα κλεισίματος της τύρβης. Ένας δεύτερος, αρκετά διαδεδομένος τα τελευταία χρόνια, τρόπος προσομοίωσης τυρβώδους ροής είναι η μέθοδος προσομοίωσης μεγάλων δινών, Large Eddy Simulation - LES (Lesieur & Metais, 1996). Κατά τη μέθοδο LES, διακριτοποιούνται και επιλύονται μόνο οι μεγάλες χωρικές διακυμάνσεις της ροής (μεγάλες κλίμακες τύρβης), ενώ η επίδραση των μικρότερων διακυμάνσεων, περιγράφεται μέσω ενός πεδίου διατμητικών τάσεων υποκλίμακας (SubGrid Scale - SGS), οι οποίες υπολογίζονται με τη χρήση μοντέλων. Όταν πρόκειται για ροές ελεύθερης επιφάνειας, και οι δύο προαναφερόμενες μέθοδοι προσέγγισης τυρβωδών ροών θα πρέπει να συνδυάζονται με κάποια μέθοδο προσδιορισμού της στιγμιαίας θέσης της ελεύθερης επιφάνειας. Εφαρμογές του μοντέλου εξισώσεων RANS, για την περίπτωση δισδιάστατης ροής κατά τη διάρκεια θραύσης εκχείλισης, έχουν παρουσιαστεί από αρκετούς ερευνητές (π.χ. Bradford, Lin & Liu, Torres-Freyermuth et al., 2007), όπου ο προσδιορισμός της θέσης της ελεύθερης επιφάνειας πραγματοποιήθηκε μέσω της μεθόδου Volume of Fluid - VOF (Hirt & Nikols, 1981). Ανεξάρτητα από το χρησιμοποιούμενο μοντέλο τύρβης, τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται υποεκτιμούν το ύψος θραύσης εκχείλισης

24 10 και υπερεκτιμούν το ρυθμό απόσβεσης κύματος σε σχέση με αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις. Η εφαρμογή της μεθόδου LES απαιτεί περισσότερους υπολογιστικούς πόρους σε σύγκριση με τα μοντέλα RANS, αλλά επιτυγχάνει καλύτερες προβλέψεις κατά την προσομοίωση της θραύσης παράκτιων κυμάτων, εξαιτίας της άμεσης προσομοίωσης των μεγάλων δινών της ροής. Η δομή των δινών είναι τρισδιάστατη, ωστόσο σε ορισμένες εργασίες επιχειρείται η προσομοίωση δισδιάστατης ροής με μοντέλο LES (Hieu et al., Zhao et al., Lubin et al., 2006). Για την προσομοίωση της κυματικής ροής στη ζώνη απόσβεσης πάνω από πυθμένες σταθερής κλίσης (1/13.5 και 1/20), οι Cristensen & Deigaard (2001) χρησιμοποίησαν ένα τρισδιάστατο μοντέλο LES, συζευγμένο με ένα μοντέλο Smagorinsky για τις SGS τάσεις, ενώ η στιγμιαία θέση της ελεύθερης επιφάνειας υπολογιζόταν με χρήση της μεθόδου Marker and Cell - MAC (Harlow & Welch, 1965). Οι προσομοιώσεις τους, οι οποίες αφορούσαν περιπτώσεις θραύσης εκχείλισης και εκτίναξης, έδειξαν τη δημιουργία πλάγιων τρισδιάστατων στροβίλων, όπισθεν του δισδιάστατου επιφανειακού στροβίλου θραύσης, οι οποίοι σε ορισμένες περιπτώσεις κατέρχονται ως τον πυθμένα. Για την περίπτωση θραύσης εκχείλισης, κάτω από τον επιφανειακό στρόβιλο θραύσης, παρατηρείται η ύπαρξη διατμητικού στρώματος της ροής, το οποίο αποτελεί εστία γένεσης τυρβωδών δινών. Οι Watanabe et al. (2005) εξέτασαν την τρισδιάστατη δομή της ροής από τη θραύση εκχείλισης και εκτίναξης κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης 1/20, κάνοντας χρήση του μοντέλου LES, της μεθόδου VOF και ενός μοντέλου SGS τάσεων βασισμένο στη θεωρία RNG (Renormalization Group). Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεών τους επιβεβαιώνουν τη δημιουργία των πλάγιων τρισδιάστατων στροβίλων, όπισθεν του θραυόμενου κύματος, οι οποίες εκκινούν ως δισδιάστατες εγκάρσιες δομές του κύριου επιφανειακού στροβίλου. Ο Cristensen (2006), εξέτασε περιπτώσεις θραύσης εκχείλισης και εκτίναξης κύματος πάνω από πυθμένα κλίσης 1/35 και στη συνέχεια συνέκρινε τα αποτελέσματα του για τα χαρακτηριστικά της θραύσης, την ένταση της τύρβης και το επαγόμενο υποβρύχιο ρεύμα με τις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994, 1996). Το μοντέλο LES που χρησιμοποίησαν περιελάμβανε δύο μεθόδους προσέγγισης των SGS τάσεων, το κλασσικό μοντέλο Smagorinsky και το μοντέλο SGS κινητικής ενέργειας, και τη μέθοδο VOF για την ελεύθερη επιφάνεια. Τα αποτελέσματα τους, υπερεκτιμούν το ύψος θραύσης, την απόσβεση της ενέργειας κύματος και την ένταση της τύρβης, γεγονός που θα πρέπει να αποδοθεί στο σχετικά αδρό πλέγμα διακριτοποίησης που χρησιμοποίησαν. Οι Lakehal &

25 11 Liovic (2011) εκτέλεσαν τρισδιάστατες LES προσομοιώσεις για τη θραύση κύματος πάνω από πυθμένα απότομης κλίσης. Χρησιμοποίησαν, επίσης, τη μέθοδο VOF και μια βελτιωμένη έκδοση του Smagorinsky SGS μοντέλου, η οποία προβλέπει απόσβεση τύρβης στο μέτωπο θραύσης πολύ παραμορφωμένων κυματομορφών. Στα κυριότερα αποτελέσματα περιλαμβάνεται η ανάλυση της μεταφοράς ενέργειας από τη μέση ροή στις αρμονικές συνιστώσες του κύματος, και η σύνδεση του ισοζυγίου παραγωγής και ανάλωσης τυρβώδους κινητικής ενέργειας με την τοπική εμφάνιση δομών τύρβης Κυματογενή ρεύματα στη ζώνη απόσβεσης Τα κύρια κυματογενή ρεύματα, τη δομή των οποίων μελετά η παρούσα εργασία, είναι το υποβρύχιο κυματογενές ρεύμα, το οποίο αναπτύσσεται εγκάρσια στην ακτογραμμή και το ρεύμα κατά μήκος της ακτογραμμής, το οποίο αναπτύσσεται κατά την υπό γωνία θραύση του κύματος. Η μελέτη των κυματογενών ρευμάτων στη ζώνη απόσβεσης παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, εξαιτίας της επίδρασης που ασκούν στη μεταφορά ιζήματος του πυθμένα και κατά συνέπεια στη μεταβολή της μορφολογίας του. (α) (β) Εικόνα 1.2 Τυπικά σκαριφήματα διάδοσης παράκτιων κυμάτων, στα οποία φαίνεται (α) η κατεύθυνση του εγκάρσιου ρεύματος και (β) το ρεύμα κατά μήκος της ακτογραμμής (Πηγή:

26 12 Το υποβρύχιο ρεύμα παρατηρήθηκε στις πειραματικές μετρήσεις του Bagnold (1940), ενώ αρκετά αργότερα ακολούθησε ποιοτική περιγραφή του φαινομένου από τους Dyhr-Nielsen & Sørensen (1970). Στις δεκαετίες που ακολούθησαν, αναπτύχθηκαν αρκετά θεωρητικά και εργαστηριακά μοντέλα, ενώ πιο πρόσφατα πραγματοποιήθηκαν αριθμητικές προσομοιώσεις. Ο Svendsen (1984) ανέπτυξε ένα θεωρητικό μοντέλο υπολογισμού της κατακόρυφής κατανομής του υποβρύχιου ρεύματος, το οποίο προκύπτει από την απλοποιημένη, μέση ως προς το χρόνο, εξίσωση μεταβολής της ορμής, και συνέκρινε τα αποτελέσματά του με τις πειραματικές μετρήσεις των Steve & Wind (1982). Σε μεταγενέστερη εργασία, οι Svendsen & Hansen (1988) μελέτησαν επίσης θεωρητικά, την επίδραση του παλλόμενου οριακού στρώματος του πυθμένα, και συγκεκριμένα του ασθενούς ρεύματος προς την ακτογραμμή (streaming), στη διαμόρφωση της κατανομής του υποβρύχιου ρεύματος. Τα αποτελέσματά τους συγκρίθηκαν επιτυχώς με προγενέστερες πειραματικές μετρήσεις τους (Hansen & Svendsen, 1984). Οι Cox & Kobayashi (1997) περιγράφουν ένα κινηματικό μοντέλο για το προφίλ του υποβρύχιου ρεύματος, με το οποίο συνδέονται η μέση ταχύτητα, η διατμητική τάση πυθμένα και το πάχος του οριακού στρώματος. Ένα απλό θεωρητικό μοντέλο για το υποβρύχιο ρεύμα, το οποίο προκύπτει από ένα μοντέλο για την τυρβώδη συνεκτικότητα, v τ, προτάθηκε από τους Rattanapitikon & Shibiyama (2000), και βαθμονομήθηκε ύστερα από σύγκριση με αρκετές εργαστηριακές μετρήσεις μικρής κλίμακας (Hansen & Svendsen, Nadaoka et al., Okayasu et al., Cox et al., 1994) και μεγάλης κλίμακας (Kajima et al., Kraus & Smith, 1994). Οι Tajima & Madsen (2006) ανέπτυξαν ένα θεωρητικό μοντέλο που αποτελείται από τρεις υπομονάδες υπολογισμού της κυματικής ροής, του επιφανειακού στροβίλου και των κυματογενών ρευμάτων. Χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές λύσεις των ολοκληρωμένων ως προς το βάθος εξισώσεων ορμής και ένα απλό μοντέλο τυρβώδους συνεκτικότητας, καταλήγουν στον καθορισμό του προφίλ του υποβρύχιου ρεύματος. Ένα ψευδο-τρισδιάστατο αριθμητικό μοντέλο για την προσομοίωση της μεταφοράς ιζήματος στην παράκτια ζώνη, αναπτύχθηκε από τους Li et al. (2007). Για την προσομοίωση της ροής στις οριζόντιες διευθύνσεις, πραγματοποιήθηκε η επίλυση των υπερβολικών εξισώσεων κύματος σε συνδυασμό με τον υπολογισμό των μέσων ρευμάτων από τις ολοκληρωμένες, ως προς το βάθος και το χρόνο, εξισώσεις συνέχειας και ορμής. Για τον προσδιορισμό του πεδίου ροής κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, επιλύονται οι αντίστοιχες εξισώσεις ορμής σε συνδυασμό με το μοντέλο k μιας εξίσωσης, για το

27 13 κλείσιμο της τύρβης. Το προφίλ του υποβρύχιου ρεύματος σε διάφορες θέσεις στη ζώνη απόσβεσης συγκρίνεται επιτυχώς με τις μετρήσεις των Okayasu et al. (1988). Στην εργασία του Cristensen (2006), για την οποία έγινε λόγος στην προηγούμενη ενότητα, παρουσιάζονται αποτελέσματα για το προφίλ του υποβρύχιου ρεύματος στις περιπτώσεις θραύσης εκχείλισης και εκτίναξης κύματος, τα οποία συγκρίνονται με τις πειραματικές των Ting & Kirby (1994, 1996). Προκύπτει ότι, οι προβλέψεις που αφορούν την περίπτωση της θραύσης εκχείλισης συμφωνούν περισσότερο με τις πειραματικές σε σχέση με αυτές της θραύσης εκτίναξης. Οι περισσότερες πληροφορίες για την κατακόρυφη δομή του ρεύματος κατά μήκος της ακτογραμμής αντλούνται από τα εργαστηριακά μοντέλα μεγάλης κλίμακας (π.χ. Hamilton & Ebersole, Visser 1984, Wang et al., Zhang & Zou, 2012). Ένα μέρος των εργαστηριακών πειραμάτων, που αφορούν θραύση εκχείλισης πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης, καταλήγουν στο ότι δεν υπάρχει ουσιαστική κατακόρυφη μεταβολή του προφίλ του παράλληλου ρεύματος, ενώ άλλες πειραματικές μετρήσεις καταλήγουν σε λογαριθμικής μορφής κατανομή του παράλληλου ρεύματος. Η πλειοψηφία των θεωρητικών μοντέλων υπολογισμού του ρεύματος κατά μήκος της ακτογραμμής, στηρίζεται στην προσέγγιση του Longuet-Higgins (1970) για τη μεταφορά της τάσης ακτινοβολίας πλαγίως θραυόμενου κύματος, σε πεδίο μέσης ταχύτητας. Το πρόβλημα που ανακύπτει από τη χρήση αυτών των μοντέλων είναι ότι δε λαμβάνεται υπόψη το κατακόρυφο προφίλ του παράλληλου ρεύματος, αφού στηρίζονται σε ολοκληρωμένες ως προς το βάθος εξισώσεις. Ένα θεωρητικό μοντέλο υπολογισμού της κατακόρυφης κατανομής του παράλληλου ρεύματος, το οποίο δε λαμβάνει υπόψη την αλληλεπίδραση μεταξύ του παράλληλου και του υποβρύχιου ρεύματος, παρουσιάστηκε από τους Svendsen & Lorenz (1989), οι οποίοι χρησιμοποίησαν τη θεωρία διαταραχών για την αναλυτική επίλυση των απλοποιημένων εξισώσεων RANS. Κατέληξαν ότι το προφίλ που προκύπτει βρίσκεται σε ποιοτική συμφωνία με τις πειραματικές μετρήσεις του Visser (1984), ο οποίος εξέτασε κυρίως περιπτώσεις θραύσης εκτίναξης πάνω από πυθμένες κλίσεων 1/10 και 1/20. Για την επαλήθευση της τάξης μεγέθους των αποτελεσμάτων τους, οι Svendsen & Lorenz (1989) χρησιμοποίησαν τη θεωρητική τιμή της μέσης, ως προς το βάθος, ταχύτητας του Longuet-Higgins (1970). Ελάχιστα είναι τα αριθμητικά μοντέλα που έχουν αναπτυχθεί για τον υπολογισμό της κατακόρυφης δομής του παράλληλου ρεύματος, εξαιτίας των υψηλών υπολογιστικών απαιτήσεων της τρισδιάστατης ροής από την υπό γωνία διάδοση και θραύση του κύματος.

28 14 Για την παράκαμψη του προβλήματος του υπολογιστικού κόστους, συνήθως επιλέγεται η επίλυση των μέσων, ως προς το χρόνο, εξισώσεων ορμής (RANS), οι οποίες, συνήθως, υπόκεινται σε επιπρόσθετες απλοποιητικές παραδοχές. Οι Dong & Anastasiou (1991), παρουσίασαν ένα αριθμητικό μοντέλο επίλυσης των μέσων, ως προς το χρόνο, γραμμικοποιημένων εξισώσεων ορμής, θεωρώντας μη-συνεκτική ροή. Για τις τυρβώδεις τάσεις, χρησιμοποίησαν ένα απλό μοντέλο τυρβώδους συνεκτικότητας (Longuet-Higgins, 1970), για την οποία θεωρήθηκε μόνο οριζόντια μεταβολή. Τα αποτελέσματά τους δείχνουν ότι δεν υπάρχει ουσιαστική κατακόρυφη μεταβολή του προφίλ του παράλληλου ρεύματος, ενώ παράλληλα βρίσκονται σε συμφωνία με τις πειραματικές μετρήσεις του Visser (1984). Ένα τρισδιάστατο αριθμητικό μοντέλο προσομοίωσης των παράκτιων ρευμάτων αναπτύχθηκε από τον Xie (2011), το οποίο στηρίζεται στην επίλυση των εξισώσεων RANS, υπό τη θεώρηση υδροστατικής κατακόρυφης κατανομής της πίεσης, με τη χρήση του σ-μετασχηματισμού. Το μοντέλο τους συνδυάζει τις υπομονάδες υπολογισμού της κατακόρυφης κατανομής της τάσης ακτινοβολίας του κύματος, του επιφανειακού στροβίλου και της διάχυσης της τύρβης. Οι αριθμητικές προβλέψεις τους συγκρίνονται με πειραματικές μετρήσεις υποβρύχιου (Scott et al., Ting & Kirby, 1994) και παράλληλου ρεύματος (Visser, 1991) και βρίσκονται σε ικανοποιητική συμφωνία. 1.3 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Σκοπός της παρούσας εργασίας, είναι η ανάπτυξη ενός νέου μοντέλου για την αριθμητική προσομοίωση τυρβώδους, συνεκτικής ροής ελεύθερης επιφάνειας και μεταβολής μορφολογίας πυθμένα, ώστε να μελετηθούν ενδελεχώς (α) οι παράγοντες που επηρεάζουν της μορφολογική ισορροπία πτυχώσεων αμμώδους πυθμένα, και (β) τα φαινόμενα που συνδέονται με τη θραύση κυμάτων στην παράκτια ζώνη. Η μονάδα προσομοίωσης της ροής βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes, ενώ για την περίπτωση προσομοίωσης τυρβώδους ροής και θραύσης (εκχείλισης) κύματος γίνεται χρήση της μεθόδου προσομοίωσης μεγάλων κυμάτων, Large Wave Simulation - LWS, (Dimas & Fialkowski, 2000). Η μέθοδος LWS έχει ήδη εφαρμοστεί με επιτυχία σε σύζευξη με αριθμητικό μοντέλο επίλυσης των τρισδιάστατων εξισώσεων μη-συνεκτικής ροής (Euler) (Δημακόπουλος, 2009). Το πλεονέκτημα της μεθόδου LWS είναι ότι συνδυάζει τα χαρακτηριστικά της μεθόδου LES,

29 15 με την εισαγωγή των τυρβωδών διακυμάνσεων της ελεύθερης επιφάνειας στις εξισώσεις ροής, μέσω μοντέλου προσομοίωσης αντίστοιχου με αυτό που χρησιμοποιείται για τις τυρβώδεις διακυμάνσεις του πεδίου ταχύτητας. Στα επιθυμητά χαρακτηριστικά του μοντέλου προσομοίωσης της ροής περιλαμβάνονται τα εξής: (α) προσομοίωση του φαινομένου της θραύσης, χωρίς την εφαρμογή εμπειρικών κριτηρίων των κλασσικών μοντέλων θραύσης (π.χ. επιφανειακού στροβίλου), και τον εκ των προτέρων καθορισμό της διεύθυνσης του θραυόμενου κύματος (β) προσδιορισμό των τυρβωδών διακυμάνσεων της ελεύθερης επιφάνειας μέσω των εξισώσεων ροής και μη χρησιμοποίηση μεθόδου υπολογισμού της θέσης της ελεύθερης επιφάνειας (π.χ. VOF) (γ) ικανοποιητική απόδοση της δομής της τρισδιάστατης τυρβώδους ροής στη ζώνη απόσβεσης (δ) προσομοίωση της αλληλεπίδρασης των κυματογενών ρευμάτων, του παράλληλου και του υποβρύχιου, στη ζώνη απόσβεσης, η οποία, μέχρι σήμερα, έχει διερευνηθεί ελάχιστα. Επίσης, επιθυμητή είναι η δυναμική σύζευξη της μονάδας προσομοίωσης της ροής με τη μονάδα προσομοίωσης της μεταβολής μορφολογίας πυθμένα, μέσω της επαναλαμβανόμενης διαδικασίας ανανέωσης μορφολογίας πυθμένα και (εκ νέου) υπολογισμού της ροής. Οι υπολογισμοί της μονάδας μεταβολής μορφολογίας πυθμένα, λόγω μεταφοράς φορτίου πυθμένα, βασίζονται στη χρήση των αποτελεσμάτων της στιγμιαίας διατμητικής τάσης πυθμένα από τη μονάδα προσομοίωσης ροής. Με βάση τη μακροπρόθεσμη μορφολογική ισορροπία των πτυχώσεων του πυθμένα, υπολογίζεται ο συντελεστής δυναμικής τριβής, μ d, και προσδιορίζεται η συσχέτιση του με τις παραμέτρους κύματος, τις διαστάσεις των πτυχώσεων και τα χαρακτηριστικά της άμμου. Σημειώνεται ότι, μέχρι σήμερα, ο συντελεστής μ d χρησιμοποιείται σε μεγάλο αριθμό εμπειρικών μοντέλων μεταφοράς φορτίου πυθμένα, χωρίς να εξετάζεται ιδιαίτερα η επίδρασή του στα αποτελέσματα της παροχής ιζήματος. Στο Κεφάλαιο 2 της διατριβής, αρχικά παρουσιάζονται οι εξισώσεις τρισδιάστατης, ασυμπίεστης συνεκτικής ροής με ελεύθερη επιφάνεια. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η μέθοδος προσομοίωσης μεγάλων κυμάτων (LWS), καθώς και το μοντέλο προσομοίωσης των υποπλεγματικών (SGS) τάσεων για το κλείσιμο της τύρβης. Στο Κεφάλαιο 3 αναπτύσσεται η αριθμητική μέθοδος και τα εργαλεία επίλυσης των εξισώσεων τυρβώδους ροής. Στο Κεφάλαιο 4 μελετάται η επίδραση της διάδοσης μη-θραύομενων κυμάτων στη μορφολογική ισορροπία πυθμένα με πτυχώσεις. Αρχικά, παρουσιάζονται αποτελέσματα

30 16 της ροής που αναπτύσσεται πάνω από τις πτυχώσεις, ενώ στη συνέχεια, αφού γίνει περιγραφή των εξισώσεων και της διαδικασίας εκτέλεσης των μορφολογικών προσομοιώσεων, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για τη μορφολογική ισορροπία. Στο Κεφάλαιο 5, παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις της διάδοσης και θραύσης κάθετων στην ακτογραμμή κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης, ενώ τα αποτελέσματα που αφορούν τα χαρακτηριστικά της έναρξης της θραύσης (ύψος και βάθος θραύσης) και το υποβρύχιο κυματογενές ρεύμα συγκρίνονται με πειραματικές μετρήσεις (Ting & Kirby, 1994). Επίσης, παρουσιάζονται αποτελέσματα της προσομοίωσης της μεταβολής μορφολογίας του κεκλιμένου πυθμένα, υπό την επίδραση των θραυόμενων κυματισμών. Στο Κεφάλαιο 6 περιλαμβάνονται οι προσομοιώσεις της, υπό γωνία, διάδοσης και θραύσης κύματος και, μεταξύ άλλων, παρουσιάζονται αποτελέσματα για την δομή της τυρβώδους ροής και τη δημιουργία των κυματογενών ρευμάτων στη ζώνη απόσβεσης. Στο Κεφάλαιο 7 συνοψίζονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τις αριθμητικές προσομοιώσεις που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια.

31 17 2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΡΟΗΣ - ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ (LWS) Στην παρούσα εργασία εκτελούνται προσομοιώσεις δισδιάστατης και τρισδιάστατης ροής. Στο Σχήμα 2.1 παρουσιάζεται η χρησιμοποιούμενη θετική προσήμανση των αξόνων του δισδιάστατου και του τρισδιάστατου συστήματος συντεταγμένων, καθώς επίσης και η θετική φορά περιστροφής γύρω από αυτούς. Οι θετικές φορές των τάσεων που ασκούνται σε σημείο του ρευστού ταυτίζονται με τις θετικές φορές των αξόνων. x 3 x 3 x 2 x 1 x 1 Σχήμα 2.1 Θετική προσήμανση αξόνων και φορών περιστροφής για δισδιάστατο (αριστερά) και τρισδιάστατο (δεξιά) σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων. 2.1 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ EΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Η τρισδιάστατη ροή ελεύθερης επιφάνειας για ασυμπίεστο ρευστό σταθερής συνεκτικότητας, η οποία προκύπτει από τη διάδοση και το μετασχηματισμό παράκτιων κυμάτων βαρύτητας, διέπεται από την εξίσωση συνέχειας u u u x x x = (2.1) και τις εξισώσεις Navier-Stokes (ορμής)

32 u1 u1 u1 u1 p 1 u1 u1 u 1 + u1 + u2 + u3 = t x1 x2 x3 x1 Red x1 x2 x3 u u u u p 1 u u u t x x x x x x x u1 + u2 + u3 = Red (2.2) u u u u p 1 u t x x x x u u u1 + u2 + u3 = Red x1 x2 x3 όπου t είναι ο χρόνος, x 1, x 2 οι οριζόντιες συντεταγμένες, x 3 η κατακόρυφη συντεταγμένη στο Καρτεσιανό σύστημα, u 1, u 2, u 3 οι συνιστώσες της ταχύτητας, p η δυναμική πίεση και Re d ο αριθμός Reynolds. Οι εξισώσεις (2.1) και (2.2) εκφράζονται σε αδιάστατη μορφή με παραμέτρους αδιαστατοποίησης το βάθος εισόδου στο υπολογιστικό πεδίο ροής d I, την επιτάχυνση της βαρύτητας g και την πυκνότητα του ρευστού ρ, επομένως οι χαρακτηριστικές κλίμακες του χρόνου, της ταχύτητας και της πίεσης (και των τάσεων γενικότερα) ορίζονται από τις παραμέτρους (d I /g) 1/2, (gd I ) 1/2 και ρgd I, αντίστοιχα, ενώ ο αντίστοιχος αριθμός Reynolds είναι Re d = (gd I ) 1/2 d I /ν, όπου ν είναι το κινηματικό ιξώδες του ρευστού. Εφεξής ως ρευστό θεωρείται το νερό, ενώ όλες οι μεταβλητές θεωρούνται πλέον αδιάστατες. Τυπικό σκαρίφημα του φυσικού πεδίου ροής στην παράκτια ζώνη, με πυθμένα τυχαίας μορφολογίας, φαίνεται στο Σχήμα 2.1. επίπεδο αδιατάρακτης στάθμης νερού x 3 x 2 η x 1 d I d Σχήμα 2.2 Τυπικό σκαρίφημα τρισδιάστατου πεδίου ροής.

33 19 Οι εξισώσεις ορμής υπόκεινται στις μη-γραμμικές οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας, την κινηματική και τη δυναμική συνθήκη. Με την επιβολή της κινηματικής συνθήκης στη θέση x 3 = η(x 1,x 2,t), εξασφαλίζεται ότι τα μόρια νερού της ελεύθερης επιφάνειας θα κινούνται συνεχώς στο όριο αυτό, προκαλώντας τη χρονική μεταβολή της θέσης του, και ορίζεται ως dη η η η u = = + u + u dt t x1 x2 (2.3) όπου η είναι η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας. H δυναμική οριακή συνθήκη εξασφαλίζει την ισορροπία ατμοσφαιρικής πίεσης, p atm, και ορθής τάσης και συγχρόνως το μηδενισμό των διατμητικών τάσεων στην ελεύθερη επιφάνειας του νερού, υπό την προϋπόθεση απουσίας ανέμου. Η μαθηματική διατύπωση των προηγούμενων συνθηκών, κάνοντας χρήση των δεικτών i, j = 1,2,3 και της σύμβασης Einstein, είναι, αντίστοιχα, η εξής niσ ijnj = patm = 0 (2.4) t n = t n = (2.5) i1σ ij j i2σ ij j 0 όπου n i είναι το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα ( η ) ( η ) ni = / dx1 n3, / dx2 n3, n3 ( η ) ( η ) 2 2 n = 1/ 1 + / x + / x (2.6) t i1, t i2 είναι τα εφαπτομενικά μοναδιαία διανύσματα στην ελεύθερη επιφάνεια κατά τις διευθύνσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, τα οποία ορίζονται ως

34 20 1 η / x 1 i1 =, 0, ( η / x1) 1 + ( η / x1) t 1 η / x 2 i2 = 0,, ( η / x2) 1 + ( η / x2) t (2.7) και σ ij είναι ο αδιάστατος τανυστής των τάσεων για ασυμπίεστο ρευστό x3 1 u u i j σij = pi δ 2 ij + + Fr Re d x j x i (2.8) όπου δ ij είναι το δέλτα του Kronecker, Fr = U c /(gd I ) 1/2 είναι ο αριθμός Froude και U c είναι η χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής, η οποία σύμφωνα με τις χρησιμοποιούμενες παραμέτρους αδιαστατοποίησης ισούται με (gd I ) 1/2, επομένως προκύπτει ότι Fr = 1. Σημειώνεται ότι στη δυναμική συνθήκη (2.4) έχει αγνοηθεί η επίδραση της επιφανειακής τάσης, εξαιτίας της σχετικά μεγάλης κλίμακας των εξεταζόμενων κυματισμών, ενώ η ατμοσφαιρική πίεση θεωρείται μηδενική. Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2.6) και (2.8) στην εξίσωση (2.4) και λαμβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις (2.5) και (2.7), προκύπτει η τελική διατύπωση της δυναμικής συνθήκης ορθής τάσης στην ελεύθερη επιφάνεια η 1 u3 η u1 u 3 η u2 u 3 p = Fr Re d x3 x1 x3 x1 x2 x3 x2 (2.9) Η δυναμική οριακή συνθήκη μηδενισμού των διατμητικών τάσεων στην ελεύθερη επιφάνεια προκύπτει από αντικατάσταση των εξισώσεων (2.7) και (2.8) στις εξισώσεις (2.5), και εκφράζεται για καθεμία από τις οριζόντιες διευθύνσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, ως εξής η u1 u 3 η u1 u 2 η η u2 u x1 x1 x3 x2 x2 x1 x1 x2 x3 x2 2 η u1 u3 1 + = 0 x1 x3 x 1 (2.10)

35 21 η u2 u 3 η u1 u 2 η η u1 u x2 x2 x3 x1 x2 x1 x1 x2 x3 x1 2 η u2 u3 1 + = 0 x2 x3 x 2 (2.11) Επιπρόσθετα, οι εξισώσεις ορμής υπόκεινται στις οριακές συνθήκες πυθμένα, ο οποίος θεωρείται σταθερός και αδιαπέρατος. Αυτές είναι η συνθήκη αδιαπέρατου ορίου, με την οποία επιβάλλεται ο μηδενισμός της κάθετης, στον πυθμένα, συνιστώσας της ταχύτητας για x 3 = -d(x 1,x 2 ) d d un = 0 u + u + u = 0 i i x1 x2 (2.12) όπου d είναι το βάθος πυθμένα μετρημένο από την αδιατάρακτη στάθμη της ελεύθερης επιφάνειας, ενώ το n i ορίζεται από την εξίσωση (2.6) αντικαθιστώντας το η με το -d. H συνθήκη μη-ολίσθησης με την οποία επιβάλλεται ο μηδενισμός των εφαπτομενικών, στον πυθμένα, συνιστωσών της ταχύτητας κατά τις οριζόντιες διευθύνσεις x 1 και x 2, εκφράζεται, αντίστοιχα, από τις ακόλουθες σχέσεις d ut i i1 = 0 u1 u3 = 0 x 1 (2.13) d ut i i2 = 0 u2 u3 = 0 x 2 (2.14) όπου τα t i ορίζονται από τις εξίσωση (2.7) αντικαθιστώντας το η με το -d. Η θέση της ελεύθερης επιφάνειας είναι άγνωστη μεταβλητή του χρόνου, γεγονός που καθιστά το υπολογιστικό πεδίο μεταβλητή συνάρτηση του χρόνου. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με τη χρήση κατάλληλου μετασχηματισμού της συντεταγμένης x 3, στο διάστημα [-d,η],

36 22 s s s = x = x 2x3 + d η = d + η (2.15) όπου η μεταβλητή s 3, πλέον παίρνει τιμές στο διάστημα σταθερών ορίων [-1,+1], επομένως στο μετασχηματισμένο πεδίο η ελεύθερη επιφάνεια αντιστοιχεί σε s 3 = 1 και ο πυθμένας σε s 3 = -1. Στις μερικές παράγωγους των μεταβλητών της ροής, οι οποίες εμφανίζονται στις εξισώσεις συνέχειας και ορμής, εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων μέσω του κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης και προκύπτουν οι εξής εκφράσεις για τις πρώτες παραγώγους ui ui ui η 1+ s3 = t t s t d + η 3 (2.16) ( p, u ) ( p, u ) 2 ( p, u ) = r x s d + s i i i k k k η 3 ( p, u ) 2 ( p, u ) i = x d + η s 3 3 i (2.17) (2.18) και για τις παραγώγους δεύτερης τάξης u u 4 u i i 2 i = + r k 2 xk sk s3 ( d + η ) u r r u + d s s d s d s s u 2 4 i 2 k 4 k i rk rk + η k 3 + η k + η i i = x3 s3 ( d + η ) u (2.19) (2.20) όπου, εφεξής, k = 1,2 και

37 23 1+ s3 η 1 s3 d rk = 2 s 2 s r 1+ s η 1 s d s s s 2 2 k 3 3 = 2 2 k 2 k 2 k rk 1 η d = + s3 2 sk sk k k (2.21) Ο όρος r k εξυπηρετεί στην ενσωμάτωση των επιφανειακών κλίσεων του φυσικού πεδίου ροής στο υπολογιστικό πεδίο, μέσω των εξισώσεων ροής, ενώ ο όρος 2/(d+η) αποτελεί το συντελεστή μετασχηματισμού των μηκών της κατακόρυφης διεύθυνσης από το φυσικό στο υπολογιστικό πεδίο. Λεπτομερής περιγραφή της φυσικής σημασίας των όρων r k και 2/(d+η) γίνεται στη διδακτορική διατριβή Δημακόπουλος (2009, σελ. 16). Με εφαρμογή των εξισώσεων (2.16) - (2.20) στις εξισώσεις (2.1) και (2.2), προκύπτουν οι μετασχηματισμένες εξισώσεις συνέχειας και ορμής, αντίστοιχα, uk 2 u u r sk d + s s 3 k + k = η (2.22) u 1+ s η u u 2 u 1 u t d + t s s d + s s s 2 i 3 i i i i + uk + ( u3 ru k k) = Pi + η 3 k η 3 Red k k ( ) ( d η ) rr k k+ 1 u 2 i u i rk 4 r k u i + 2r 2 2 k + rk + s3 d + η sk s3 sk d + η s3 s3 (2.23) όπου P i είναι όρος πιέσεων, ο οποίος αναλύεται στον όρο P k, για τις οριζόντιες συνιστώσες, και τον P 3 για την κατακόρυφη συνιστώσα των εξισώσεων ορμής p 2 p Pk = + rk s d + η s 2 p P3 = d + η s k 3 3 (2.24) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, οι οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας (2.3), (2.9) - (2.11), και πυθμένα (2.12) - (2.14), μετατρέπονται, αντίστοιχα, στις εξής

38 24 η η η u = + u + u 3 s = 1 t s1 s2 s3 = 1 (2.25) p s3 = η 1 2 η η u = Fr Red d + η s s s η 2 u u η 2 u u s1 d η s3 s1 s2 d η s3 s2 3 s3 = 1 (2.26) u 3 η u η u u u η η η s1 s1 s2 s2 s1 d + η s3 s1 s3 s1 s 2 2 η u η η u + = s s s s s s3 = 1 (2.27) u 3 η u η u u u η η η s2 s2 s1 s2 s1 d + η s3 s2 s3 s1 s 2 2 η u η η u + = s s s s s s3 = 1 (2.28) d d u + u + u = s 1 s 2 s3 = 1 (2.29) d u1 u3 = 0 s 1 s3 = 1 (2.30) u d u = s 2 s3 = 1 (2.31) 2.2 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ (LWS) Όπως έχει αναφερθεί στην Εισαγωγή, με τη μέθοδο προσομοίωσης μεγάλων κυμάτων (LWS) επιτυγχάνεται ο διαχωρισμός των κλιμάκων της ροής σε "μεγάλες" ή επιλυόμενες και "μικρές" ή μη-επιλυόμενες, ο οποίος στηρίζεται στην εφαρμογή ενός

39 25 χωρικού φίλτρου στις ταχύτητες, στην πίεση και στην ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας. Η διαδικασία διαχωρισμού των κλιμάκων είναι όμοια με αυτή της μεθοδολογίας μεγάλων δινών (LES), σύμφωνα με την οποία, για κάθε μεταβλητή της ροής, f, η "μεγάλη" ή επιλυόμενη κλίμακα της ροής, f, ορίζεται από την ακόλουθη σχέση f xt f rt G x rdr (, ) = (, ) ( ) Δ (2.32) όπου x και r είναι διανύσματα θέσης, και G Δ είναι η συνάρτηση φίλτρου, εξαρτώμενη από το χωρικό βήμα διακριτοποίησης. Μετά την εφαρμογή του φίλτρου, κάθε μεταβλητή της ροής μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα του επιλυόμενου, f, και του υποπλεγματικού (subgrid) τμήματος της, f', όπως π.χ. φαίνεται στο Σχήμα 2.3, κατά το διαχωρισμό της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Το φιλτράρισμα της ανύψωσης, η, αποτελεί και το σημείο διαφοροποίησης, αλλά και της πρωτοτυπίας, της μεθόδου LWS σε σχέση με τη μέθοδο LES. η = η ' + η κατεύθυνση διάδοσης κύματος Σχήμα 2.3 Διαχωρισμός των κλιμάκων ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά τη διάρκεια θραύσης εκχείλισης. Οι εξισώσεις συνέχειας και Navier-Stokes για τις επιλυόμενες κλίμακες της ροής, προκύπτουν από την εφαρμογή του φίλτρου διαχωρισμού κλιμάκων (2.32) στις μεταβλητές της ροής των εξισώσεων (2.22) και (2.23). Κατά την εφαρμογή του φίλτρου γίνονται κάποιες απλοποιητικές παραδοχές, οι οποίες, συνοπτικά, είναι οι εξής: (i) 2/ ( d + η ) 2/ ( d + η ), επομένως 2 f /( d + η ) = 2 f /( d + η ) και 4 f /( d + η ) 2 ( ) 2 = 4 f / d + η, διότι μπορεί να θεωρηθεί ότι οι τιμές της διακύμανσης η' είναι πολύ μικρότερες από το στιγμιαίο βάθος ροής, d + η (κατ' απόλυτη τιμή). Η παραδοχή αυτή δεν ισχύει για πολύ ρηχά κύματα.

40 26 (ii) s f = s f και s f = s f, επειδή κατά την κατακόρυφη διεύθυνση s 3, όπου χρησιμοποιείται πλέγμα σημείων Chebyshev (βλ. 3.3), εφαρμόζεται φασματικό φίλτρο αποκοπής. (iii) u ( η s ) u ( η s ) / / 0, όπως προκύπτει από τη σύγκριση αποτελεσμάτων i k i k άμεσων αριθμητικών προσομοιώσεων (DNS) με τα αντίστοιχα προσομοιώσεων LWS, που παρουσιάζονται στην εργασία των Dimas & Fialkowski (2000). Οι εξισώσεις ροής για τις επιλυόμενες κλίμακες, με βάση τις προηγούμενες θεωρήσεις, είναι οι ακόλουθες uk 2 u u r sk d + s s 3 k + k = η (2.33) u 1+ s η u u 2 u 1 u t d + t s s d + s s s 2 i 3 i i i i + uk + ( u3 ru k k) = Pi + η 3 k η 3 Red k k ( ) ( d η ) rr k k+ 1 ui 2 u i rk 4 r k ui 2r 2 2 k rk Ti s3 d + η sk s3 sk d + η s3 s3 (2.34) όπου 1+ s η 1 s d p 2 p 2 p r =, P = + r, P = s s s d + s d + s 3 3 k k k 2 k 2 k k η 3 3 η 3 (2.35) και T i η η τ 2 τ 1+ s τ 4 τ 1 s τ d = + + s d + s d + s s d + s s 1 2 ik i3 3 i3 i3 3 ik 2 k η 3 η 3 3 η 3 ( d + η ) k (2.36) είναι όρος ο οποίος περιλαμβάνει όλους τους όρους των υποπλεγματικών (SGS) τάσεων, η δηλαδή τις τάσεις δίνης (τ ij ), και τις τάσεις κύματος (τ 1 η i3, τ 2 i3 ), οι οποίες προέκυψαν από το διαχωρισμό των κλιμάκων, και ορίζονται, αντίστοιχα, ως εξής τ = uu uu (2.37) ij i j i j

41 27 η η η η η η η 1 τ = uu uu + u u + p p i3 i k i k i i sk sk t t si si 1 Re ui η ui η s s s s d k k k k (2.38) ( 1 ) 2 η + s 2 3 ui η η ui η η i3 = Red s3 sk sk s3 sk sk τ (2.39) Μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας του φιλτραρίσματος των εξισώσεων ροής και την εμφάνιση των υποπλεγματικών τάσεων, θεωρείται επιπλέον ότι η SGS τάση η κύματος τ 2 η i3 είναι αμελητέα συγκρινόμενη με την τ 1 i3. Για την τεκμηρίωση αυτής της παραδοχής, πραγματοποιήθηκε μια απλή ανάλυση με χαρακτηριστικές κλίμακες, από όπου η προέκυψε ότι η τάξη μεγέθους της SGS τάσης τ 1 i3 ταυτίζεται με την τάξη μεγέθους της τυρβώδους συνεκτικότητας (ή ιξώδους), ν τ, και είναι αρκετά μεγαλύτερη από την η αντίστοιχη της τ 2 η i3, η οποία ισούται με ν (ως γνωστόν ν τ >> ν). Συνεπώς η τάση τ 2 i3, μπορεί να αγνοηθεί με αποτέλεσμα η εξίσωση (2.36) να γράφεται, πλέον, ως εξής T i η τik 2 τi3 1+ s3 τi3 1 s3 τik d = + + s d + η s d + η s d + η s s k k (2.40) όπου εφεξής τ η η i3 = τ 1 i3. Οι SGS τάσεις δίνης εμφανίζονται ακριβώς όπως και στη μεθοδολογία LES, και εκφράζουν την ανταλλαγή ορμής μεταξύ των επιλυόμενων και των υποπλεγματικών κλιμάκων της ταχύτητας. Αντίθετα, οι SGS τάσεις κύματος εμφανίζονται αποκλειστικά στη μεθοδολογία LWS, εκφράζοντας την ανταλλαγή ορμής μεταξύ των κλιμάκων της ταχύτητας, η οποία, όμως, προέρχεται από την ύπαρξη των μη-επιλυόμενων διακυμάνσεων στην ελεύθερη επιφάνεια. Οι τάσεις αυτές είναι μη-μηδενικές για j = 3, που σημαίνει ότι ενεργούν μόνο στο επίπεδο s 1 -s 2, επομένως η ανταλλαγή ορμής, εξαιτίας των τάσεων η κύματος, τ 1 η i3 και τ 2 i3, συμβαίνει μόνο μεταξύ επιφανειών κάθετων στην κατακόρυφη διεύθυνση s 3. Σημειώνεται ότι όροι πίεσης της εξίσωσης (2.38) εμφανίζονται μόνο για i = 1,2. Οι οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και πυθμένα, γράφονται για τις επιλυόμενες κλίμακες της ροής, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η επίδραση των

42 28 υποπλεγματικών κλιμάκων που προκύπτουν από την εφαρμογή του φίλτρου (2.32). Αντίστοιχα με τις εξισώσεις (2.25) - (2.31), αυτές είναι οι κάτωθι η η η u = + u + u 3 s = 1 t s1 s2 s3 = 1 (2.41) p s3 = η 1 2 η η u = Fr Red d + η s s s η 2 u u η 2 u u s1 d η s3 s1 s2 d η s3 s2 3 s3 = 1 (2.42) u 3 η u η u u u η η η s1 s1 s2 s2 s1 d + η s3 s1 s3 s1 s 2 2 η u η η u + = s s s s s s3 = 1 (2.43) u 3 η u η u u u η η η s2 s2 s1 s2 s1 d + η s3 s2 s3 s1 s 2 2 η u η η u + = s s s s s s3 = 1 (2.44) d d u + u + u = s1 s 2 s3 = 1 (2.45) d u1 u3 = 0 s 1 s3 = 1 (2.46) u d u = s 2 s3 = 1 (2.47)

43 Μοντέλο υποπλεγματικών (SGS) τάσεων Οι υποπλεγματικές (SGS) τάσεις δίνης και κύματος, οι οποίες εμφανίζονται στις εξισώσεις ορμής, μέσω της εξίσωσης (2.40), εξαρτώνται από τις μη-επιλυόμενες κλίμακες της ροής, και αποτελούν εμπόδιο στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων ροής. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με προσομοίωση των SGS τάσεων δίνης και κύματος, μέσω μοντέλων τυρβώδους συνεκτικότητας (Rogallo & Moin, 1984), τα οποία συνδέουν τις SGS τάσεις με τις επιλυόμενες κλίμακες, και αποτελούν και την πλειοψηφία για τη μέθοδο LES στις εφαρμογές μηχανικής των ρευστών. Στην παρούσα εργασία, η προσομοίωση των τάσεων δίνης πραγματοποιείται με βάση την υπόθεση Boussinesq, κάνοντας χρήση του πιο γνωστού και ευρέως χρησιμοποιούμενου μοντέλου τυρβώδους συνεκτικότητας Smagorinsky (1963). Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, το ανισότροπο τμήμα του τανυστή των SGS τάσεων δίνης, μπορεί να εκφραστεί ως εξής τij τllδij = ν τ Sij = CsΔ S Sij (2.48) /3 2 2( ) 2 όπου C s είναι σταθερή παράμετρος του μοντέλου, Δ = (Δ 1 Δ 2 Δ 3 ) 1/3 είναι η κλίμακα του φίλτρου αποκοπής, ταυτιζόμενη με το μέγεθος της μικρότερης επιλυόμενης κλίμακας με βάση τις διαστάσεις των κελιών του πλέγματος Δ i, και S ij είναι ο τανυστής του ρυθμού παραμόρφωσης για τις επιλυόμενες κλίμακες S ij 1 u u i j = + 2 sj s i (2.49) όπου ( ) 1/2 S = 2S ij S ij είναι το μέτρο του. Το μοντέλο των SGS τάσεων κύματος ορίζεται εντελώς ανάλογα με την εξίσωση (2.48), βασιζόμενο σε αυτό που χρησιμοποιήθηκε από τους Dimas & Fialkowski (2000), ως εξής τ = ν τ S = C η Δ S S (2.50) 2 2( ) 2 η η η η η ij ij ij

44 30 όπου C η είναι παράμετρος του μοντέλου και S η ij είναι ο τροποποιημένος τανυστής του ρυθμού παραμόρφωσης για τις επιλυόμενες κλίμακες, ο οποίος εκφράζεται ως S = δ S η ij 3 j ik η s k (2.51) η η η και όπου S ( S S ) 1/2 = 2 ij ij. H σταθερά C s, η οποία καλείται σταθερά Smagorinsky, αρχικά υπολογίστηκε θεωρητικά περίπου ίση με 0.18 (Lilly, 1967). Στη συνέχεια, όμως, από αρκετές εφαρμογές ροής σε ανοικτούς αγωγούς και διατμητικών ροών (π.χ. Deardorff, Moin & Kim, Menevau, 1994), βρέθηκε ότι το μοντέλο Smagorinsky ανταποκρίνεται καλύτερα σε μια τιμή της σταθεράς C s κοντά στο 0.1. Από αριθμητικά πειράματα των Dimas & Fialkowski (2000) για περιπτώσεις ροής ελεύθερης επιφάνειας, προέκυψε ένα εύρος τιμών για τη σταθερά C η των SGS τάσεων, μεταξύ (για διαφορετικές τιμές της σταθεράς C s ). Βασιζόμενοι σε αυτά, οι Dimakopoulos & Dimas (2011), για τη βαθμονόμηση της C η, εξέτασαν την περίπτωση μη-συνεκτικής ροής ελεύθερης επιφάνειας που δημιουργείται από τη θραύση κύματος πάνω από επίπεδο πυθμένα σταθερής κλίσης, και σύγκριναν τα αποτελέσματά τους με αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994, 1996). Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι με την επιλογή σταθεράς C η = 0.4, σε συνδυασμό με C s = 0.1, επιτυγχάνεται η πλέον ισορροπημένη συμπεριφορά του μοντέλου LWS. Το ζεύγος τιμών C s = 0.1 και C η = 0.4 επιλέγεται τελικά και για τις προσομοιώσεις της παρούσας εργασίας. Ένα θέμα που προκύπτει από τη χρησιμοποίηση των μοντέλων τυρβώδους συνεκτικότητας για τις SGS τάσεις, είναι η συμπεριφορά του τυρβώδους ιξώδους, v τ και ν η τ, κοντά στον πυθμένα (ή σε τοίχωμα γενικότερα), η οποία δημιουργεί αστάθειες στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων ροής. Για το λόγο αυτό επιβάλλεται η χρήση κατάλληλης συνάρτησης απόσβεσης, με την οποία πολλαπλασιάζεται το τυρβώδες ιξώδες, ώστε να αποκτήσει, με ομαλό τρόπο, μηδενική τιμή στο τοίχωμα. Η συνάρτηση που επιλέγεται, προτείνεται από τους Piomelli & Balaras (2002), και είναι της μορφής D τ 3 + s 3 = 1 exp + A (2.52)

45 31 όπου s + / 3 = s u v 3 *, είναι η κατακόρυφη συντεταγμένη μετρούμενη σε ιξώδεις κλίμακες 1/2 μήκους (wall-coordinates), u* = τ w max είναι η αδιάστατη διατμητική ταχύτητα, τ wmax είναι η μέγιστη διατμητική τάση πυθμένα και Α + = 25.

46 32 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ Το σύνολο των διενεργούμενων προσομοιώσεων ροής της παρούσας εργασίας, βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των μετασχηματισμένων εξισώσεων Navier-Stokes για τις επιλυόμενες κλίμακες της ροής, οι οποίες αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο, καθώς και των οριακών συνθηκών στις οποίες υπόκεινται. Η αριθμητική επίλυση διευκολύνεται από την εισαγωγή ενός μετασχηματισμένου πεδίου ταχύτητας στις εξισώσεις ροής και επιτυγχάνεται με χρήση κλασματικής μεθόδου ολοκλήρωσης σταθερού βήματος, όσον αφορά τη χρονική διακριτοποίηση και ενός υβριδικού σχήματος για τη χωρική διακριτοποίηση. Το υβριδικό σχήμα περιλαμβάνει διακριτοποίηση των εξισώσεων με χρήση πεπερασμένων διαφορών και ψευδο-φασματικών μεθόδων προσέγγισης. 3.1 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Ο μετασχηματισμός του επιλυόμενου πεδίου ταχύτητας που εισάγεται στις εξισώσεις ροής και τις οριακές συνθήκες τους, αποσκοπεί στην απλοποίηση της διατύπωσης τους και την αποτελεσματική επίλυσή τους, μέσω της κλασματικής μεθόδου χρονικής ολοκλήρωσης. Καθεμία από τις συνιστώσες της ταχύτητας, εκφράζεται από τις ακόλουθες σχέσεις, v v = u 1 1 = u 2 2 v = u ru ru (3.1) οι οποίες εισάγονται στις εξισώσεις (2.33) και (2.34) για να προκύψουν, αντίστοιχα, οι μετασχηματισμένες εξισώσεις συνέχειας και ορμής T 2 rk jvj + vk = 0 d + η s 3 (3.2) vi t T 1 (2) T = εijmvjζm + Ai i Π+ ( vi + Vi ) + Ti Re d (3.3)

47 33 όπου, εφεξής, k = 1,2 (όπως στο Κεφάλαιο 2), i, j, m = 1,2,3 και ε ijm = (i - j)(j - m)(m - i)/2 είναι το σύμβολο μετάθεσης (γνωστό ως σύμβολο Levi-Civita), το οποίο παίρνει μία από τις τιμές +1 και -1, ανάλογα με τη θέση των δεικτών i, j, m και μηδενίζεται όταν κάποιος από τους δείκτες επαναλαμβάνεται. Επίσης, ζ = ε v είναι η μετασχηματισμένη T m ijm j m στροβιλότητα, Π= p+ 0.5 vjvj είναι το μετασχηματισμένο ύψος πίεσης, T είναι ο όρος των SGS τάσεων, όπως δίνονται από την εξίσωση (2.40), 2 T T T T j = 1, 2, 3 =,, s1 s2 d + η s ( 2) T ( 2) T ( 2) T ( 2) T 2 = 1, 2, 3,, = s1 s2 d + η s3 (3.4) είναι οι μετασχηματισμένοι τελεστές πρώτης και δεύτερης παραγώγισης, αντίστοιχα. Ο όρος A περιλαμβάνει τους μη-γραμμικούς (μεταγωγικούς) όρους, 1+ s3 η T T Ak = 3vk + rk 3 p 2 t 1+ s3 η T ( rv k k) T A3 = 3u3 v rv 2 t t ( ) j j k k (3.5) ενώ ο όρος V περιλαμβάνει ένα μέρος των συνεκτικών όρων, προερχόμενων από τους μετασχηματισμούς των εξισώσεων ροής ( 2) ( ) ( ) V = r r v 2r v r 2 r r v, l = 1, 2 T T T T T T l k k 3 l k 3 k l k k k 3 k 3 l ( 2) ( 2) ( ) 2 ( ) ( 2 ) V = r r u + rv r u r r r u T T T T T T T 3 k k k k k 3 k 3 k k k 3 k 3 3 (3.6) Οι εξισώσεις (3.3) αποτελούν τη στροφική (rotational) μορφή των μετασχηματισμένων εξισώσεων Navier-Stokes, με την οποία εξασφαλίζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας και ταυτόχρονα απόλυτη ευστάθεια κατά την αριθμητική διακριτοποίησή τους με πεπερασμένες διαφορές και φασματικές μεθόδους (Dimas & Triantafyllou, 1994). Οι οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας (2.41) - (2.44) και πυθμένα (2.45) - (2.47) μετασχηματίζονται, αντίστοιχα, στις εξής

48 34 v 3 s3 = 1 η = t (3.7) 2 2 η η η u3 2 ( v1 v2 v3 ) 2 Fr 2 Red d + η s1 s2 s3 Π = s3 = 1 η 2 v u η 2 v u s1 d η s3 s1 s2 d η s3 s2 s3 = 1 (3.8) u 3 η v η v v v η η η s1 s1 s2 s2 s1 d + η s3 s1 s3 s1 s 2 2 η u η η u + = s s s s s s3 = 1 (3.9) u 3 η v η v v v η η η s2 s2 s1 s2 s1 d + η s3 s2 s3 s1 s 2 2 η u η η u + = s s s s s s3 = 1 (3.10) v = = (3.11) 3 0 s3 1 v = = (3.12) 1 0 s3 1 v = = (3.13) 2 0 s3 1 όπου οι πρώτες παράγωγοι της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας u 3, που εμφανίζονται στις εξισώσεις (3.8) - (3.10), ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις

49 35 u v v η η v η η s s s s s s s s s = + + v1 + + v s = 1 s3 = 1 u v v η η v η η s s s s s s s s s = + + v1 + + v2 2 2 s = 1 s3 = 1 u3 v3 v1 η v 1 η d v2 η v 2 η d = s3 s3 s3 s1 2 s1 s1 s3 s2 2 s3 = 1 s s s3 2 2 = 1 (3.14) 3.2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων (3.3) επιτυγχάνεται με χρήση κλασματικής μεθόδου ολοκλήρωσης σταθερού βήματος, όπου το κάθε βήμα της χρονικής διακριτοποίησης, Δt, μεταξύ των χρονικών στιγμών n Δt και (n+1) Δt, ολοκληρώνεται σε τρία στάδια (Κολοκυθάς, 2007). Στο πρώτο στάδιο διακριτοποίησης περιλαμβάνονται οι όροι της μετασχηματισμένης στροβιλότητας, ζ m, οι μη-γραμμικοί οροί, A i, οι συνεκτικοί όροι, V i, και οι όροι των SGS τάσεων, T i. Η διακριτοποίηση πραγματοποιείται με τη βοήθεια ενός ενδιάμεσου πεδίου ταχύτητας, v ˆi, και του ρητού σχήματος Euler: n n vˆ i vi Vi n V i = ε ˆ ijmvjζm + Ai + + Ti vi = vi +Δ t εijmvjζm + Ai + + Ti Δt Red Red (3.15) Κατά το δεύτερο στάδιο του χρονικού βήματος, διακριτοποιούνται οι όροι του ύψους πίεσης, Π, κάνοντας χρήση ενός ακόμη ενδιάμεσου πεδίου ταχύτητας, v ˆi, και του άρρητου σχήματος Euler: vˆ ˆ T n i vi = i Π Δt + 1 (3.16) Από το συνδυασμό της εξίσωσης (3.16) και της εξίσωσης συνέχειας (3.2), η οποία ικανοποιείται κατά τη χρονική στιγμή t = t n+1, προκύπτει η γενικευμένη εξίσωση Poisson για το ύψος πίεσης ( 2) T n+ 1 2 rk T n+ 1 1 T 2 r k Π + ˆ ˆ kπ = jvj + vk d + η s3 Δ t d + η s3 (3.17)

50 36 όπου το πεδίο της ενδιάμεσης ταχύτητας, v ˆi, υπολογίζεται στο πρώτο στάδιο από την εξίσωση (3.15). Από την επίλυση της εξίσωσης (3.17) προκύπτει το ύψος πίεσης σε κάθε χρονοβήμα, ενώ στη συνέχεια υπολογίζεται το πεδίο της ενδιάμεσης ταχύτητας, v ˆi, μέσω της εξίσωσης (3.16). Οι οριακές συνθήκες κατά τη διεύθυνση s 3, που χρησιμοποιούνται για την επίλυση της εξίσωσης (3.17), είναι η δυναμική συνθήκη πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια (3.8) και η σχέση που προκύπτει από το συνδυασμό της συνθήκης αδιαπέρατου πυθμένα (3.11) με την εξίσωση (3.16): Π T 3 n+ 1 s3 = 1 vˆ 3 = Δ t s3 = 1 (3.18) Στο τρίτο και τελευταίο στάδιο του χρονικού βήματος, πραγματοποιείται η διακριτοποίηση των συνεκτικών όρων της εξίσωσης (3.3) (εκτός των όρων V i ), με χρήση του άρρητου σχήματος Euler: ˆi 1 ( 2) T n+ 1 Δ ( 2) T n+ 1 n+ 1 ˆ n+ 1 vi v t = vi vi vi = vi Δt Re Re d d (3.19) Με την επίλυση των εξισώσεων (3.19) (τύπου Helmhotz), υπολογίζεται το πεδίο 1 ταχυτήτων v +, το οποίο χρησιμοποιείται και στη διόρθωση του ύψους πίεσης που έχει n i προκύψει από την επίλυση της (3.17). Οι οριακές συνθήκες κατά τη διεύθυνση s 3, που επιβάλλονται κατά την επίλυση των εξισώσεων (3.19), είναι η δυναμική συνθήκη για τις διατμητικές τάσεις στην ελεύθερη επιφάνεια [εξ. (3.9) και (3.10)], καθώς και οι συνθήκες αδιαπέρατου ορίου και μη ολίσθησης στον πυθμένα [εξ. (3.11) - (3.13)]. Ο πλήρης ορισμός του συγκεκριμένου προβλήματος οριακών τιμών απαιτεί την επιβολή μίας ακόμη οριακής συνθήκης στην ελεύθερη επιφάνεια, συνεπώς επιλέγεται η εξίσωση συνέχειας (3.2) για τον υπολογισμό της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας. Η στάθμη της ελεύθερης επιφάνειας υπολογίζεται στο τέλος κάθε χρονικού βήματος μέσω της κινηματικής οριακής συνθήκης (3.7), η οποία διακριτοποιείται με την εφαρμογή ρητού σχήματος Euler με βάση την ήδη υπολογισμένη τιμή της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας

51 37 η = η + v Δ t (3.20) n+ 1 n i i 3 s3 = 1 Εξαιτίας της χρήσης του ρητού σχήματος Euler κατά το πρώτο στάδιο της χρονικής διακριτοποίησης, η ευστάθεια της αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων Navier-Stokes δεν είναι εξασφαλισμένη εκ των προτέρων. Η επιλογή του χρονικού βήματος βασίζεται στην ικανοποίηση των αναγκαίων συνθήκων για την αριθμητική ευστάθεια της λύσης, δηλαδή της συνθήκης CFL (Courant-Friedrichs-Lewy), Δt CFL = max ui 1 Δxi (3.21) η οποία συνδέεται με τους όρους μεταγωγής, και της συνθήκης VSL (Viscous Stability Limit), Δt VSL = max ν 1 2 (3.22) Δxi η οποία αφορά τους όρους διάχυσης. Σημειώνεται ότι, οι προαναφερθείσες συνθήκες αφορούν το χρησιμοποιούμενο σχήμα Euler. Η τιμή της συνθήκης CFL λαμβάνεται από την εξίσωση (3.21), εισάγοντας τη μέγιστη τιμή της ταχύτητας (που προκύπτει από σάρωση ολόκληρου του υπολογιστικού πεδίου) και την ελαχίστη τιμή του Δx i, σε περίπτωση διακριτοποίησης με χρήση μεταβλητού χωρικού βήματος. Η τιμή της συνθήκης VSL, εξαρτάται από τον αριθμό Reynolds και την ελαχίστη τιμή του Δx i, και είναι καθοριστική σε περιπτώσεις ροής οριακού στρώματος λόγω της απαραίτητης πυκνής διακριτοποίησης κοντά στο τοίχωμα. Για τον υπολογισμό του ύψους πίεσης, στο δεύτερο στάδιο του χρονοβήματος, γίνεται εφαρμογή οριακής συνθήκης πυθμένα, η οποία δε λαμβάνει υπόψη τη συνεκτικότητα του νερού. Το γεγονός αυτό δεν επηρεάζει σημαντικά την ακρίβεια της μεθόδου όσον αφορά τις συνιστώσες της ταχύτητας σε όλο το πεδίο - τάξη σφάλματος Ο(Δt) - μεγαλύτερα όμως σφάλματα παρουσιάζονται στις παραγώγους της ταχύτητας και της πίεσης σε οριακό στρώμα πυθμένα πάχους Ο(vΔt) 1/2. Για την περίπτωση υψηλών τιμών αριθμού Reynolds τα σφάλματα αυτά ελαχιστοποιούνται, αφού το γινόμενο vδt γίνεται πολύ μικρό (Korczag & Patera, 1986).

52 ΧΩΡΙΚΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ Η χωρική διακριτοποίηση των εξισώσεων (3.15), (3.17) και (3.19), αλλά και των οριακών συνθηκών που τις συνοδεύουν, για τον υπολογισμό του ύψους πίεσης και του πεδίου ταχύτητας, γίνεται με τη χρήση ενός υβριδικού σχήματος. Το σχήμα αυτό περιλαμβάνει κεντρικές πεπερασμένες διαφορές κατά την οριζόντια διεύθυνση, s 1, κάθετα στην ακτογραμμή, ψευδο-φασματική προσέγγιση κατά Fourier στην οριζόντια διεύθυνση, s 2, παράλληλα στην ακτογραμμή και εφαρμογή ψευδο-φασματικής μεθόδου παρεμβολής με πολυώνυμα Chebyshev κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, s 3. Επειδή στην παράκτια ζώνη η κλίμακα της ροής στην κατακόρυφη διεύθυνση είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με αυτές των οριζόντιων διευθύνσεων, επιβάλλεται η χρήση πυκνότερου υπολογιστικού πλέγματος κατά το βάθος. Η χρήση πεπερασμένων διαφορών κατά την κατακόρυφη διεύθυνση θα επέβαλε την πυκνή διακριτοποίηση και στις οριζόντιες διευθύνσεις, προκειμένου να αποφευχθούν αστάθειες κατά την επίλυση, εξαιτίας των επιμηκών κελιών διακριτοποίησης. Το μεγάλο πλεονέκτημα της χρήσης φασματικών μεθόδων είναι η αποσύνδεση των διακριτοποιήσεων που εφαρμόζονται σε κάθε διεύθυνση και επομένως, η αποφυγή των περιορισμών που επιβάλει η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το θεωρητικό υπόβαθρο των φασματικών μεθόδων, ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία (π.χ. Gotlieb & Orszag, 1977). Η χωρική διακριτοποίηση μεταβλητής f της ροής σε τρισδιάστατο πλέγμα L διαστημάτων πεπερασμένων διαφορών, σταθερού βήματος Δs 1, Μ κόμβων Fourier και Ν+1 κόμβων Chebyshev, δίνεται από τη σχέση M/2 1 N ms f s s s f T s (3.23) 2 (,, ) = exp 2π i ( ) imn n 3 m= M/2 n= 0 lf όπου 0 s 1 l, 0 s 2 l F, -1 s 3 1, και l, l F είναι οι διαστάσεις του πεδίου κατά τη διεύθυνση s 1 και s 2, αντίστοιχα, i είναι η φανταστική μονάδα, i είναι κόμβος του πλέγματος κατά s 1, ενώ οι δείκτες m, n δηλώνουν την τάξη του συντελεστή f κατά Fourier και Chebyshev, αντίστοιχα. Τα σύμβολα ~ και αντιπροσωπεύουν το μετασχηματισμό Chebyshev και Fourier, αντίστοιχα, συνεπώς όπου f είναι ο συντελεστής του πολυωνύμου Chebyshev, T n, με μέγιστη τάξη Ν.

53 39 Οι υπολογιστικοί κόμβοι στην κατακόρυφη διεύθυνση ακολουθούν την ημιτονοειδή κατανομή και είναι γνωστοί ως Chebyshev-Gauss-Lobatto σημεία (Patera, 1984). n s3 = cos π 1, 0 n N N (3.24) Σημαντικό πλεονέκτημα της κατανομής Gauss-Lobatto έναντι των κλασσικών μεθόδων σταθερού χωρικού βήματος, είναι η πύκνωση των υπολογιστικών κόμβων στην περιοχή των ορίων (πυθμένας: s 3 = -1, ελεύθερη επιφάνεια: s 3 = 1), όπου συναντώνται και οι μεγαλύτερες κλίσεις του πεδίου ταχυτήτων και η απαίτηση πυκνής διακριτοποίησης είναι ούτως ή άλλως επιβεβλημένη. Κατά την παράλληλη στην ακτογραμμή οριζόντια διεύθυνση, όπου χρησιμοποιούνται υπολογιστικοί κόμβοι Fourier, το χωρικό βήμα Δs 2 είναι σταθερό και ίσο με l F /(M-1). Σκαρίφημα του υπολογιστικού πεδίου ροής παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.1. Εξάλλου, εξαιτίας της χρήσης της φασματικής μεθόδου προσέγγισης με πολυώνυμα Chebyshev, κατά τον υπολογισμό των κριτηρίων CFL και VSL [εξισώσεις (3.21) και (3.22), αντίστοιχα] για την κατακόρυφη διεύθυνση, αντί του ελάχιστου χωρικού βήματος, γίνεται χρήση του μέσου χωρικού βήματος Δx 3 = d/n. Σχήμα 3.1 Τυπικό σκαρίφημα τρισδιάστατου υπολογιστικού πλέγματος.

54 40 Εφαρμόζοντας το ανάπτυγμα (3.23) στην εξίσωση του ύψους πίεσης (3.17) και στις εξισώσεις των ταχυτήτων (3.19), σε συνδυασμό με τη χρήση κεντρικών πεπερασμένων διαφορών, προκύπτουν συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων για τους συντελεστές μετασχηματισμού Chebyshev-Fourier, f, των ζητούμενων μεταβλητών της ροής, f. Συνεπώς, ο υπολογισμός του ύψους πίεσης και των συνιστωσών της ταχύτητας πραγματοποιείται στο μετασχηματισμένο πεδίο Chebyshev-Fourier, αφού προηγηθεί διαδοχική εφαρμογή του μετασχηματισμού κατά Chebyshev και του διακριτού μετασχηματισμού Fourier στις μεταβλητές f του φυσικού πεδίου ροής. Μετά την επίλυση των συστημάτων εξισώσεων, ακολουθείται η διαδικασία αντίστροφου μετασχηματισμού των συντελεστών f, ώστε να προκύψουν οι μεταβλητές f, τηρώντας απαραίτητα την αντίστροφη σειρά εφαρμογής των μετασχηματισμών (πρώτα Fourier και μετά Chebyshev). Η διαδικασία του διαδοχικού μετασχηματισμού των μεταβλητών f, που αναφέρθηκε προηγουμένως, απαιτεί τη χρήση μιας αποτελεσματικής μεθόδου υπολογισμού των συντελεστών Chebyshev, αρχικά, και Chebyshev-Fourier στη συνέχεια. Το ίδιο ισχύει και για την αντίστροφη διαδικασία του υπολογισμού των μεταβλητών του φυσικού πεδίου από τους συντελεστές του μετασχηματισμένου πεδίου. Σημειώνεται ότι, ο μετασχηματισμός κατά Chebyshev μπορεί να πραγματοποιηθεί εμμέσως, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία του διακριτού μετασχηματισμού Fourier, για τον οποίο έχει αναπτυχθεί μεγάλος αριθμός υπολογιστικών εργαλείων. Αυτό οφείλεται στο ότι οι συντελεστές Chebyshev της συνάρτησης f ταυτίζονται με τους συντελεστές Fourier της περιοδικής συνάρτησης f(cosθ) + f(-cosθ) (Δημακόπουλος, σελ.27). Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται για τους μετασχηματισμούς Chebyshev και Fourier είναι ο Fast Fourier Transform (FFT). Το πλεονέκτημα της χρήσης αυτού του αλγορίθμου είναι ότι, με την προϋπόθεση ότι το πλήθος των σημείων του πλέγματος, K, είναι ακέραια δύναμη του δύο, το πλήθος των υπολογισμών που απαιτούνται ελαττώνεται από O(K 2 ) σε O(K log 2 K). Η διαφορά μεταξύ των δύο μεγεθών είναι τεράστια και έτσι επιτυγχάνεται ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού κόστους (Press et al., 1992). Η χρήση ψευδο-φασματικών μεθόδων προσέγγισης προκαλεί ανεπιθύμητη συσσώρευση ενέργειας στους όρους υψηλής τάξης, με αποτέλεσμα να προκαλείται αστάθεια και τελικά, κατάρρευση της αριθμητικής λύσης (Myers et. al., 1981). Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με χρήση κατάλληλης συνάρτησης φίλτρου, με την οποία επιτυγχάνεται εξάλειψη της ενέργειας των όρων υψηλότερης τάξης, ενώ παράλληλα οι

55 41 όροι χαμηλότερης τάξης (που είναι οι σημαντικότεροι) παραμένουν αμετάβλητοι. Το φίλτρο δύο κατευθύνσεων που χρησιμοποιείται έχει την εξής μορφή, 4 4 2m n Φ= exp 8 exp 8 M N (3.25) και εφαρμόζεται στις μετασχηματισμένες συνιστώσες της ενδιάμεσης ταχύτητας, ˆv, σε κάθε χρονικό βήμα Διακριτοποίηση εξίσωσης ύψους πίεσης Η διακριτοποιημένη έκφραση της γενικευμένης εξίσωσης Poisson (3.17), αποτελεί ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους συντελεστές Chebyshev-Fourier του ύψους πίεσης στους κόμβους του υπολογιστικού πεδίου, Π 2Π +Π 1 (3.26) 2 i+ 1, m, n i, m, n i 1, m, n s2 +Π 2 imn,, + Cimn,, = bimn,, Δs1 Δt όπου ο συντελεστής b αντιστοιχεί στο μετασχηματισμένο, κατά Chebyshev-Fourier, δεξιό 2 s2 μέλος της εξίσωσης (3.17), ενώ οι συντελεστές Π imn,, από το μετασχηματισμό της 2 2 δεύτερης χωρικής παραγώγου Π/ s 2, ως προς s 2, ορίζονται ως 2 2 s 2π m 2 Π imn,, = Π imn,, (3.27) lf Η συνάρτηση C εμπεριέχει τους μη-γραμμικούς όρους της εξίσωσης (3.17), δηλαδή τα γινόμενα των εξαρτημένων, ως προς s 2, μεταβλητών Π, η και d, C Πimn,, imn,, = 2 dim, + η im, s3 ( dim, ηim, ) ( dim, ηim, ) 1 + Π Π + Π + + d + η s 2Δs s s i+ 1, m, n i 1, m, n i, m, n im, im, (3.28)

56 42 που σημαίνει ότι, από την εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier στους όρους της (3.28) δεν προκύπτουν όροι του Π με σταθερούς συντελεστές. Επομένως, εμφανίζεται πρόβλημα στη δημιουργία του γραμμικού συστήματος εξισώσεων, το οποίο είναι απαραίτητο για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης του ύψους πίεσης. Για το λόγο αυτό ακολουθείται η διαδικασία διαχωρισμού της συνάρτησης C σε δύο όρους, σύμφωνα με τη σχέση C Πimn,, imn,, = + c 2 imn,, di s3 (3.29) όπου c Πimn,, imn,, = 2 di + η i, m di s3 ( di ηi, m) ( di ηi, m) 1 + Π Π + Π + + di + η s 2Δs s s i+ 1, m, n i 1, m, n i, m, n i, m (3.30) ενώ παράλληλα γίνεται η θεώρηση ομοιόμορφου πυθμένα κατά τη διεύθυνση s 2, ώστε ο πρώτος όρος της εξίσωσης (3.29) να μπορεί να ενσωματωθεί σε γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Ο όρος c μεταφέρεται στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (3.26), η οποία παίρνει τη μορφή 2 Π 2 2 i+ 1, m, n 2Π i, m, n +Π i 1, m, n s s3 +Π 2 imn,, + Π imn,, = b imn,, c imn,, (3.31) Δs1 di Δt 2 s3 Οι συντελεστές Chebyshev-Fourier, Π 2 2 imn,,, της δεύτερης παραγώγου Π/ s 3, ως προς s 3, οι οποίοι εμφανίζονται στην εξίσωση (3.31), ορίζονται από την εξής σχέση (Fox & Parker, 1968) N 2 1 s n = 0 Π imn,, = p( p n ) Π imn,,, αn = (3.32) an p= n+ 2 1 n 1 όπου p + n είναι άρτιος. Αν οι συντελεστές Π imn,, εκφραστούν ως ένας πίνακας-διάνυσμα, Π im, = Π im,,0,... Π imn,,, με διάσταση Ν+1, τότε οι συντελεστές της δεύτερης παραγώγου,

57 s Π imn,,, προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με το μητρώο G, διαστάσεων (Ν+1) (Ν+1), σύμφωνα με την εξίσωση (3.32): 2 2 ( ) 2 2 και άρτιος s p p n n+ p N n+ p 3 Π im, = G Π im,, Gnp, = (3.33) 0 n+ 2 p ή n+ p περιττός Τελικά, η διακριτοποιημένη έκφραση της εξίσωσης για το ύψος πίεσης, προκύπτει εισάγοντας στην εξίσωση (3.26), τις εξισώσεις (3.27), (3.29) και (3.33) 2 2 2Δs 1 2π mδs Π i+ 1, m+ G 2 Π im, + Π i 1, m=δs1 b imn,, c imn,, (3.34) di lf Δt Η εξίσωση (3.32) που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των συντελεστών, 2 s3 Π imn,, δεν προβλέπει τον καθορισμό των δύο υψηλότερης τάξης συντελεστών (για n = N-1, Ν). Το γεγονός αυτό οφείλεται στο ότι κατά τη διπλή παραγώγιση μιας σειράς πολυωνύμων Chebyshev μέγιστης τάξης Ν, η νέα σειρά που προκύπτει παρουσιάζει μέγιστη τάξη Ν-2. Οι δύο επιπλέον εξισώσεις που απαιτούνται, παρέχονται από τη δυναμική οριακή συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια (3.8) και την οριακή συνθήκη στον πυθμένα (3.18). Η διατύπωση των εξισώσεων για τις προαναφερθείσες οριακές συνθήκες γίνεται με χρήση της μεθόδου 'tau' για φασματική ανάλυση (Gottlieb & Orszag, 1977). Σύμφωνα με τις ιδιότητες των πολυωνύμων Chebyshev, η τιμή ενός πολυώνυμου n τάξης στα σημεία ±1, όπως επίσης και των παραγώγων αυτού, στα ίδια σημεία, δίνονται αντίστοιχα, από τις εξής σχέσεις T n ( ± 1) = ( ± 1) n q q 1 d q T n s n p p ds3 s 0 3 =± 1 p= n+ q 2 2 ( 3 ) = ( ± 1) ( ) ( 2 + 1) (3.35) όπου q είναι η τάξη της παραγώγου. Από την εισαγωγή των σχέσεων (3.35) στις οριακές συνθήκες (3.8) και (3.18) προκύπτουν οι εξισώσεις,

58 44 η 1 Π = Π = Π = (3.36) s3 = 1 ( ) N N im, imn,, Tn(1) imn,, v 2 1 im, v2 im, v3 im, Rim, n= 0 n= 0 Fr 2 s31 = ( 1) ( d + η ) Π T vˆ (3.37) s s Δt N N n n+ 1 2 i i, m 3, im = Π imn,, = ( 1) n Π imn,, = s3 = 1 n= n= s3 = 1 οι οποίες ενσωματώνονται στο σύστημα (3.34), αφού προηγουμένως εφαρμοστεί μετασχηματισμός Fourier στα δεξιά τους μέλη, ώστε να αντιστοιχούν σε συντελεστές Chebyshev-Fourier του ύψους πίεσης. Εξάλλου, ο όρος R αντιπροσωπεύει τον τελευταίο όρο της οριακής συνθήκης (3.8) Διακριτοποίηση εξίσωσης πεδίου ταχύτητας Η χωρική διακριτοποίηση της εξίσωσης (3.19) για τον υπολογισμό του πεδίου ταχύτητας πραγματοποιείται ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία με αυτήν που χρησιμοποιήθηκε για τη διακριτοποίηση της εξίσωσης (3.17) του ύψους πίεσης. Στο μετασχηματισμένο υπολογιστικό πεδίο το σύστημα εξισώσεων με άγνωστους τους συντελεστές Chebyshev-Fourier των συνιστωσών της ταχύτητας, εκφράζεται ως εξής 2 v 2 2 i+ 1, m, n 2v i, m, n + v i 1, m, n s 2 Re Re 2 s3 d d + v 2,,,,,, ( ˆ imn+ v imn v imn = F vimn,,) w imn,,(3.38) Δs1 di Δt Δt όπου ο τελεστής F υποδηλώνει μετασχηματισμό Chebyshev-Fourier, και οι συντελεστές 2 s2 v 2 s3 imn,, και v imn,,, ορίζονται από τις εξισώσεις (3.27) και (3.33), αντίστοιχα, εντελώς ανάλογα με τους συντελεστές των παραγώγων του ύψους πίεσης. Επίσης, λόγω της 2 2 ύπαρξης του μη-γραμμικού, ως προς s 2, όρου [ο όρος της δεύτερης παραγώγου v / s3 της εξίσωσης (3.19)], έχει ήδη εφαρμοστεί διαχωρισμός αυτού σε δύο όρους, προϊόν του οποίου είναι όρος w w 2 2 imn v,, imn,, = 2 di + η i, m di s3 (3.39) Υπό τη θεώρηση ομοιόμορφου πυθμένα ως προς s 2, η σχέση (3.38) εκφράζει πλέον γραμμικό σύστημα εξισώσεων, το οποίο μπορεί να γράφει ως

59 45 v v v 2 Re d = Δ s1 F ( vˆ imn,, ) + w imn,, Δt Δs 1 2π mδs 1 Red Δs1 i+ 1, m + G 2 i, m + i 1, m di lf Δt (3.40) όπου v im, = v im,,0,... v imn,, είναι ο πίνακας στήλη των συντελεστών μετασχηματισμού του πεδίου ταχύτητας, ενώ ο πίνακας G ορίζεται από την εξίσωση (3.33). Η επίλυση του συστήματος εξισώσεων (3.40) για καθεμία από τις συνιστώσες της ταχύτητας επιτυγχάνεται ενσωματώνοντας σε αυτό την 'tau' μορφή των οριακών συνθηκών (3.9), (3.10) καθώς και της εξίσωσης συνέχειας (3.2) στην ελεύθερη επιφάνεια, και των οριακών συνθηκών πυθμένα (3.11) - (3.13). Αντίστοιχα, αυτές είναι οι εξής v d + η η v η v v s s s s s s N = nv 1, imn, = s = 1 n= 1 + / s s s s s s s s s η u3 η η u 3 η η η u ims,, 3 = 1 (3.41) v d + η η v η v v s s s s s s N = nv 2, imn, = s = 1 n= 1 + / s s s s s s s s s η u3 η η u 3 η η η u ims,, 3 = 1 (3.42) v d + η v v 1 r r (3.43) s s s s s N = nv3, imn, = + + v1 + v s = 1 n= ims,, 3 = 1 v N n ( 1) v imn 0 (3.44) = = 3 s 3,, 3 = 1 n= 0 v N n ( 1) v imn 0 (3.45) = = 1 s 1,, 3 = 1 n= 0 v N n ( 1) v imn 0 (3.46) = = 2 s 2,, 3 = 1 n= 0

60 46 Οι προηγούμενες εξισώσεις έχουν προκύψει λαμβάνοντας υπόψη και τις σχέσεις (3.35) και είναι προφανές ότι χρησιμοποιούνται ανά ζεύγη στο σύστημα εξισώσεων της καθεμίας συνιστώσας της ταχύτητας. Συγκεκριμένα, οι εξισώσεις (3.41) και (3.45) ενσωματώνονται στο σύστημα των v 1, οι (3.42) και (3.46) σε αυτό των v 2, ενώ το ζεύγος (3.43), (3.44) 'κλείνουν' το σύστημα εξισώσεων των συντελεστών v 3. Όπως συμβαίνει και κατά τον υπολογισμό του ύψους πίεσης, στα δεξιά μέλη των 'tau' οριακών συνθηκών εφαρμόζεται μετασχηματισμός Fourier πριν την εισαγωγή τους στα αντίστοιχα συστήματα εξισώσεων Συνθήκες στα όρια εισόδου, εξόδου και πλευρικών ορίων Ο πλήρης ορισμός του προβλήματος απαιτεί τον καθορισμό των οριακών συνθηκών στην είσοδο και στην έξοδο του υπολογιστικού πεδίου, καθώς και στα πλευρικά όρια. Κατά τη διεύθυνση s 2, οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται από την περιοδικότητα, η οποία επιβάλλεται στις μεταβλητές τις ροής εκ των πραγμάτων, ως εγγενής ιδιότητα της φασματικής προσέγγισης κατά Fourier. Στο όριο εισόδου, η κατανομή των μεταβλητών της ροής (ταχύτητα και πίεση) καθορίζεται από τη θεωρία κυμάτων Stokes 2 ης τάξης (Κολοκυθάς, 2007). Στην περιοχή πριν το όριο εξόδου, διαμορφώνεται τεχνητή ζώνη απορρόφησης κυμάτων και επιβράδυνσης της ροής, ώστε να περιοριστούν δραστικά οι ανακλώμενοι κυματισμοί και ταυτόχρονα να αποτραπεί η απώλεια μάζας νερού από το όριο εξόδου. Η απορρόφηση των κυμάτων επιτυγχάνεται με την επιβολή πρόσθετης δυναμικής πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια μέσω της αντίστοιχης οριακής συνθήκης (Grilli & Horillo, Δημακόπουλος, Κολοκυθάς, 2007). Έχει προκύψει ότι, αποτελεσματική απόσβεση της ενέργειας των κυμάτων επιτυγχάνεται από ζώνη απορρόφησης μήκους ίσου ή μεγαλύτερου από τέσσερα μήκη τοπικού κύματος (Δημακόπουλος, 2005). Η επιβράδυνση της ροής επιτυγχάνεται με την επιβολή μειωμένης τιμής του Re d στις εξισώσεις ροής, και μόνο στην περιοχή εξόδου, η οποία αντιστοιχεί σε αυξημένη τιμή του κινηματικού ιξώδους. Τα ακριβή χαρακτηριστικά της ζώνης απορρόφησης και επιβράδυνσης (μήκος και συντελεστές απόσβεσης) καθορίζονται κάθε φορά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της εξεταζόμενης περίπτωσης. Η χρήση της σύνθετης τεχνητής ζώνης απόσβεσης επιτρέπει τη θεώρηση αδιαπέρατου ορίου στην έξοδο, επομένως η κάθετη προς αυτό συνιστώσα της ταχύτητας καθώς και οι κλίσεις των υπολοίπων συνιστωσών της ταχύτητας και του ύψους πίεσης μηδενίζονται.

61 ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΥΨΟΥΣ ΠΙΕΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΔΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Οι εξισώσεις για το ύψος πίεσης (3.34) και το πεδίο ταχυτήτων (3.40) (τρεις συνιστώσες), μαζί με τις αντίστοιχες οριακές συνθήκες τους, συνθέτουν τέσσερα συστήματα Ν c Μ εξισώσεων, όπου Ν c = (L+1) (Ν+1). Η χρήση της μεθόδου Fourier για τη διακριτοποίηση κατά τη διεύθυνση s 2, συνεπάγεται την μη αλληλεξάρτηση μεταξύ των συντελεστών f im, 1, n και f im, 2, n όταν m1 m2 [ M /2, M /2 1]. Επομένως, καθένα από τα συστήματα για τους συντελεστές f imn,,, δύναται να διαιρεθεί σε Μ υποσυστήματα εξισώσεων, ένα για κάθε κόμβο Fourier κατά τη διεύθυνση s 2, ή αλλιώς για καθεμία από τις αρμονικές συνιστώσες της σειράς Fourier. Το γεγονός αυτό προσφέρει τη δυνατότητα παράλληλης επίλυσης των δισδιάστατων συστημάτων για το ύψος πίεσης και το πεδίο ταχύτητας, σε κάθε κόμβο Fourier. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές f imn,, είναι μιγαδικοί αριθμοί, ενώ οι αντίστοιχες ζητούμενες μεταβλητές της ροής ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι κατά την εφαρμογή του διακριτού μετασχηματισμού Fourier, το μιγαδικό μέρος του συνολικού αθροίσματος των f imn,, θα πρέπει να ισούται με μηδέν, και αυτό συνεπάγεται ότι οι συντελεστές f i, m, n και f imn,, είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Το γεγονός αυτό δίνει τη δυνατότητα επίλυσης Μ/2 δισδιάστατων συστημάτων, αντί για Μ, ενώ η (χρονοβόρα) επίλυση των υπόλοιπων συστημάτων αντικαθίσταται από την απλή διαδικασία προσδιορισμού των συζυγών λύσεων. Οι όροι c και w, οι οποίοι εμφανίζονται στα δεξιά μέλη των εξισώσεων (3.34) και (3.40), αντίστοιχα, εμπεριέχουν τους άγνωστους συντελεστές των μεταβλητών της ροής, επομένως η απευθείας επίλυση κάθε δισδιάστατου συστήματος καθίσταται αδύνατη. Για το λόγο αυτό, πραγματοποιείται επαναληπτική επίλυση των συστημάτων για το ύψος πίεσης και το πεδίο ταχύτητας, σε κάθε κόμβο Fourier, m, τα οποία με τη χρήση πινάκων διαμορφώνονται, αντίστοιχα, ως εξής j j m m s Α =Δ 1 Π 1 b m c m Δt (3.47) j 1 2 Red j 1 ( ˆ m m s F m) + Α = Δ + 2 v v w m Δt (3.48)

62 48 όπου Α 1 και Α 2 είναι οι πίνακες περιορισμένου εύρους των συντελεστών των άγνωστων μεταβλητών, με διαστάσεις Ν c Ν c και ημιεύρος Ν b = N+1, η δομή των οποίων απεικονίζεται στο Σχήμα 3.2, ενώ j είναι ο αριθμός των επαναλήψεων. i = 0 Συνθήκη εισόδου i = 1 i i = L-1 2 2π mδs d 1 Re Δs lf Δt Tau οριακές συνθήκες... i-1 i i q Όροι πεπερασμένων διαφορών Δs 1 G d i = L Συνθήκη εξόδου Σχήμα 3.2 Γενική δομή πινάκων περιορισμένου εύρους Α. Με συνεχείς γραμμές σημειώνονται οι περιοχές μη-μηδενικών στοιχείων. Για τον καθορισμό των στοιχείων της διαγωνίου του πίνακα Α 1 όπου q = 0, ενώ για τον πίνακα Α 2 όπου q = 1. Η διαδικασία της αριθμητικής επίλυσης καθενός από τα Μ/2 δισδιάστατα συστήματα ξεκινά με τη διάσπαση των πινάκων Α 1 και Α 2, σε άνω και κάτω τριγωνικούς πίνακες (LU decomposition), με χρήση της βελτιστοποιημένης εκδοχής της για πίνακες περιορισμένου εύρους (Press et al., 1992). Η συγκεκριμένη μέθοδος ολοκληρώνεται με Ο(Ν 2 b N c ) πράξεις κινητής υποδιαστολής (FLOP), έναντι Ο(Ν 3 c ) που απαιτεί η κλασική διάσπαση LU. Η διάσπαση των πινάκων Α πραγματοποιείται άπαξ, πριν από την έναρξη της διαδικασίας της χρονικής ολοκλήρωσης, αφού τα στοιχεία τους είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Οι άνω και κάτω τριγωνικοί πίνακες αποθηκεύονται και χρησιμοποιούνται κατά τη διαδικασία της όπισθεν αντικατάστασης, η οποία εκτελείται σε κάθε χρονοβήμα με Ο(Ν b N c ) FLOP, με την

63 49 οποία ολοκληρώνεται η διαδικασία επίλυσης κατά την πρώτη επανάληψη. Η επαναληπτική διαδικασία περιλαμβάνει τον υπολογισμό της διαφοράς των συντελεστών j 1 j της τρέχουσας και της προηγούμενης επανάληψης, f + f, και στη συνέχεια έλεγχο της σύγκλισης της διαδικασίας μέσω του κριτηρίου f j+ 1 f f j+ 1 j < 10 3 (3.49) όπου f είναι η Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος f. Συνεπώς, ο συνολικός αριθμός FLOP που εκτελούνται σε κάθε χρονικό βήμα για την όπισθεν αντικατάσταση, είναι Ο(j tot ΜΝ b N c ), όπου j tot είναι ο συνολικός αριθμός επαναλήψεων για την ικανοποίηση του κριτηρίου σύγκλισης. Σε μια τυπική περίπτωση προσομοίωσης, το κριτήριο σύγκλισης ικανοποιείται σε 2-3 επαναλήψεις για την επίλυση του συστήματος του ύψους πίεσης και σε 1-2 επαναλήψεις για τα συστήματα του πεδίου ταχύτητας Παραλληλοποίηση αριθμητικού κώδικα Λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα, μια τυπική τρισδιάστατη προσομοίωση απαιτεί την εκτέλεση Ο(10 8 ) με Ο(10 9 ) πράξεων κινητής υποδιαστολής για την επίλυση καθενός από τα συστήματα εξισώσεων σε κάθε χρονικό βήμα. Επίσης, ο μετασχηματισμός των μεταβλητών ροής, και των παραγώγων τους, από το φυσικό πεδίο στο μετασχηματισμένο και αντίστροφα, επιβάλλει την πολλαπλή εφαρμογή του αλγορίθμου FFT κατά τη διάρκεια κάθε χρονοβήματος. Επομένως προκύπτει ότι, το μεγαλύτερο μέρος του υπολογιστικού χρόνου αναλώνεται στις υπορουτίνες της όπισθεν αντικατάστασης και του μετασχηματισμού Fourier (FFT), οι οποίες είναι γραμμένες σε σειριακή μορφή. Άρα, γίνεται αντιληπτό ότι η παραλληλοποίηση των συγκεκριμένων τμημάτων του κώδικα θα συνεισφέρει σημαντικά στη μείωση του υπολογιστικού κόστους. Με την παραλληλοποίηση ενός σειριακού αριθμητικού κώδικα επιτυγχάνεται η ταυτόχρονη εκτέλεση τμημάτων του προγράμματος από πολλούς επεξεργαστές, με αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση του υπολογιστικού χρόνου των προσομοιώσεων. Η πλατφόρμα παράλληλου προγραμματισμού που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία είναι η Open Multi-Processing (OpenMP) (Hermanns, 2002), η οποία συνδυάζεται με τη

64 50 γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN, και είναι κατάλληλη για υπολογιστικά συστήματα όπου οι επεξεργαστές έχουν πρόσβαση σε κοινή μνήμη. Η πλατφόρμα OpenMP, με τον τρόπο που αυτή χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία, ουσιαστικά αντιπροσωπεύει ένα σύνολο ειδικών οδηγιών προς το μεταγλωττιστή της FORTRAN (compiler directives), οι οποίες εισάγονται στα τμήματα του πηγαίου κώδικα που παρουσιάζουν τη δυνατότητα παραλληλοποίησης (π.χ. σε DO loops), και ενεργοποιούν την παράλληλη εκτέλεση του συγκεκριμένου τμήματος. Σημειώνεται ότι, η δομή του αριθμητικού κώδικα που έχει αναπτυχθεί επιτρέπει την παραλληλοποίησή του, σχεδόν στο σύνολό του. Όσον αφορά την όπισθεν αντικατάσταση, η παραλληλοποίηση επιτυγχάνεται με την ταυτόχρονη επίλυση των Μ/2 δισδιάστατων συστημάτων (κάθε επεξεργαστής αναλαμβάνει την επίλυσης ενός δισδιάστατου συστήματος), ενώ για την περίπτωση του μετασχηματισμού Fourier, η παραλληλοποίηση γίνεται, κατά περίπτωση, στις δύο διευθύνσεις που δεν εμπλέκονται στο μετασχηματισμό. Ως κριτήρια αξιολόγησης της παραλληλοποίησης επιλέγονται η επιτάχυνση (speedup), S p, η οποία ορίζεται από το λόγο του μετρημένου χρόνου εκτέλεσης της σειριακής έκδοσης προς το χρόνο εκτέλεσης της παράλληλης έκδοσης του προγράμματος, και η απόδοση της παραλληλοποίησης, α p = S p /n cpu, όπου n cpu ο αριθμός των επεξεργαστών. Για την ανάλυση των επιδόσεων της παραλληλοποίησης του κώδικα που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία, πραγματοποιήθηκαν δύο δοκιμαστικές προσομοίωσεις διάδοσης κύματος πάνω από οριζόντιο πυθμένα, σε τρισδιάστατο πεδίο ροής. Στη μία περίπτωση το πεδίο ροής ήταν ενός μήκους κύματος, με περιοδικές συνθήκες εισόδου-εξόδου, και το υπολογιστικό πλέγμα είχε διαστάσεις L = 64, Ν = 64 και Μ = 64. Στην άλλη περίπτωση θεωρήθηκε πεδίο με διαστάσεις ανάλογες των πεδίων ροής των προσομοιώσεων που θα εξεταστούν στα επόμενα κεφάλαια, επομένως χρησιμοποιήθηκε υπολογιστικό πλέγμα με διαστάσεις L = 1500, Ν = 128 και Μ = 64, ενώ το χρονικό βήμα, Δt, επιλέχθηκε ίσο με και για τις δύο περιπτώσεις. Στο Σχήμα 3.3 παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις της επιτάχυνσης, S p, και της απόδοσης, α p, ως προς των αριθμό των επεξεργαστών n cpu, και για τις δύο εξεταζόμενες περιπτώσεις. Στην περίπτωση του πλέγματος των 64 3 κόμβων, η απόδοση της παραλληλοποίησης παρουσιάζεται αισθητά μειωμένη, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των επεξεργαστών n cpu, και ειδικά όταν χρησιμοποιούνται πάνω από τέσσερις επεξεργαστές [Σχήμα 3.3(β)], ενώ η επιτάχυνση S p αυξάνεται ελάχιστα για n cpu > 16 [Σχήμα 3.3(β)]. Για την περίπτωση του δεύτερου πλέγματος ( ), στο Σχήμα 3.3 φαίνεται ότι η

65 51 αύξηση των υπολογιστικών κόμβων κατά s 1 και s 2, συνοδεύεται από αύξηση της απόδοσης σε σχέση με την περίπτωση του πλέγματος των 64 3 κόμβων, όταν n cpu 8. Σχήμα 3.3 (α) Μεταβολή επιτάχυνσης παραλληλοποίησης, S p, ως προς τον αριθμό των επεξεργαστών n cpu. Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στην ιδανική επιτάχυνση. (β) Απόδοση παραλληλοποίησης α p = S p /n cpu. Η εξήγηση της μειωμένης απόδοσης παραλληλοποίησης μπορεί να δοθεί μέσω του νόμου του Amdahl (1967) για τη θεωρητική επιτάχυνση κατά την εκτέλεση παράλληλου προγράμματος, S pt = [(1-r p )+(r p /n cpu )] -1, όπου r p είναι το ποσοστό του κώδικα που εκτελείται παράλληλα. Με βάση το νόμο αυτό, η μέγιστη επιτάχυνση ενός παράλληλου προγράμματος, σε σχέση με τη σειριακή έκδοση του ίδιου προγράμματος, δε μπορεί να υπερβαίνει την τιμή S pmax = (1-r p ) -1. Το ποσοστό r p μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση του Amdahl, χρησιμοποιώντας τη μετρημένη επιτάχυνση S p (αντί της θεωρητικής S pt ) για συγκεκριμένο αριθμό επεξεργαστών. Συνδυάζοντας τη σχέση του Amdahl και τις μετρημένες επιταχύνσεις των δύο παράλληλων εκδόσεων των δοκιμαστικών προσομοιώσεων προκύπτει ότι το ποσοστό r p κυμαίνεται από 90% έως 94%, με αποτέλεσμα η παράλληλη έκδοση του κώδικα να μην μπορεί, θεωρητικά, να γίνει πάνω από δέκα έως δεκαοκτώ φορές ταχύτερη του σειριακού κώδικα, ανεξάρτητα από την αύξηση του n cpu. Όπως προαναφέρθηκε, το κυρίως πρόβλημα εντοπίζεται αφενός στο κομμάτι της όπισθεν αντικατάστασης, κατά την επίλυση των γραμμικών συστημάτων, και συγκεκριμένα στο γεγονός της χρήσης σειριακού επιλυτή για τα δισδιάστατα συστήματα των ζητούμενων μεταβλητών της ροής και αφετέρου στο μεγάλο αριθμό κλήσεων των υπορουτινών μετασχηματισμού FFT. Η παράλληλη επίλυση

66 52 των Μ/2 συστημάτων θα παρουσίαζε μεγάλη απόδοση στην περίπτωση που ο αριθμός των κόμβων Fourier, Μ, ήταν πολύ μεγαλύτερος του αριθμού των επεξεργαστών, ενώ η παράλληλη εκτέλεση των υπορουτινών FFT γίνεται αποδοτικότερη με αύξηση των υπολογιστικών κόμβων σε όλες τις διευθύνσεις. Οι προσομοιώσεις ροής, οι οποίες θα παρουσιαστούν στα επόμενα κεφάλαια, πραγματοποιήθηκαν σε έναν προσωπικό υπολογιστή (desktop) με επεξεργαστή τεσσάρων πυρήνων, Intel (R) Core (TM) i5 και 8 GB μνήμης RAM, έναν εξυπηρετητή (Dell (TM) PowerEdge (TM) server) με δύο επεξεργαστές δύο πυρήνων Intel (R) Xeon (TM) και 48 GB μνήμης RAM και έναν εξυπηρετητή (Dell (TM) PowerEdge (TM) R815 - rack server) με τέσσερις επεξεργαστές οκτώ πυρήνων AMD Opteron (TM) και 512 GB μνήμης RAM. H ανάπτυξη και η εκτέλεση του κώδικα πραγματοποιήθηκε με χρήση του λογισμικού Intel (R) Visual Fortran Composer XE για λειτουργικό σύστημα Windows και της πλατφόρμας Intel (R) Parallel Studio XE για Linux. Επίσης, χρησιμοποιήθηκαν οι υπορουτίνες της βιβλιοθήκης Intel (R) Math Kernel Library (IMKL), η οποία συνοδεύει και τα δύο προαναφερθέντα πακέτα λογισμικού, για το μετασχηματισμό Fourier (FFT) και την επίλυση γραμμικών συστημάτων περιορισμένου εύρους. Τέλος, για τον εντοπισμό των χρονοβόρων τμημάτων της σειριακής και της παράλληλης έκδοσης του κώδικα, χρησιμοποιήθηκε η εφαρμογή ανάλυσης επιδόσεων Intel (R) VTune (TM) Amplifier XE που περιλαμβάνεται στην πλατφόρμα Intel (R) Parallel Studio XE.

67 53 4. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ Το παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε δύο μεγάλες ενότητες. Η πρώτη από αυτές αναφέρεται σε μια σειρά αριθμητικών προσομοιώσεων της δισδιάστατης ροής ελεύθερης επιφάνειας, η οποία προκύπτει από τη διάδοση μη-θραυόμενων κυματισμών πάνω από σταθερής μορφολογίας πυθμένα με πτυχώσεις, γνωστές και ως αμμοκυμμάτια. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων της ροής χρησιμοποιούνται ως δεδομένα για την αριθμητική, επίσης, προσομοίωση της μεταβολής της μορφολογίας του πτυχωτού πυθμένα υπό την επίδραση της μεταφοράς ιζήματος κλίνης, η οποία αποτελεί συνάρτηση της διατμητικής τάσης πυθμένα. Τα αποτελέσματα των μορφολογικών προσομοιώσεων παρουσιάζονται στη δεύτερη ενότητα του κεφαλαίου. Το ζητούμενο είναι η εύρεση του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d, που οδηγεί στη μορφολογική ισορροπία των πτυχώσεων. 4.1 ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΠΤΥΧΩΣΕΙΣ Εξισώσεις ροής και αριθμητική μέθοδος Οι εξισώσεις που διέπουν τη δισδιάστατη ροή πάνω από πτυχωτό πυθμένα, καθώς και οι οριακές συνθήκες που επιβάλλονται σε αυτές, προκύπτουν από τις αντίστοιχες τρισδιάστατες εξισώσεις, οι οποίες παρουσιάστηκαν στα Κεφάλαια 2 και 3, εξαλείφοντας τους όρους που εμπεριέχουν μεταβλητές της οριζόντιας διάστασης x 2 στο φυσικό πεδίο και s 2 στο υπολογιστικό πεδίο ροής. Τονίζεται ότι η σύζευξη της μεθόδου μεγάλων κυμάτων (LWS) με τις εξισώσεις ροής δεν πραγματοποιείται για τις προσομοιώσεις του παρόντος κεφαλαίου, διότι εξετάζονται αποκλειστικά περιπτώσεις διάδοσης μη-θραυόμενων κυμάτων. Επομένως, από τις εξισώσεις ροής εξαλείφονται και οι όροι T i των υποπλεγματικών (SGS) τάσεων, και επίσης, αφού δε γίνεται διαχωρισμός των κλιμάκων για τις μεταβλητές της ροής, ισχύει ότι f = f. Σημειώνεται ότι η αρχιτεκτονική του κώδικα επιτρέπει την εύκολη ενεργοποίηση ή απενεργοποίηση του μοντέλου LWS. Όσον αφορά την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι, εφόσον η χωρική διακριτοποίησή τους πραγματοποιείται μόνο στις διευθύνσεις s 1 και s 3, γίνεται χρήση μόνο της ψευδο-φασματικής προσέγγισης με πολυώνυμα Chebyshev. Συνεπώς, οι συντελεστές των μεταβλητών ροής, οι οποίοι εμφανίζονται στα προς επίλυση συστήματα, έχουν μετασχηματιστεί αποκλειστικά κατά Chebyshev, ενώ έχει παραληφθεί η

68 54 εκτέλεση του μετασχηματισμού Fourier. Για τους μετασχηματισμένους συντελεστές χρησιμοποιείται πλέον, ο συμβολισμός f αντί του f. Επίσης, κατά τη χρονική ολοκλήρωση, και συγκεκριμένα στο τρίτο στάδιο κάθε χρονικού βήματος (βλ. 3.2), απαιτείται η επίλυση δύο συστημάτων εξισώσεων αντί τριών, ένα για καθεμία από τις συνιστώσες της ταχύτητας. Το φίλτρο το οποίο εφαρμόζεται στις μετασχηματισμένες συνιστώσες της ενδιάμεσης ταχύτητας, ˆv, [εξίσωση (3.25)] τροποποιείται κατάλληλα 4 exp 8 n Φ= N (4.1) αφού πλέον απαιτείται η εξάλειψη της ενέργειας των όρων υψηλότερης τάξης, μόνο από τη χρήση της ψευδο-φασματικής μεθόδου Chebyshev Επαλήθευση μεθόδου αριθμητικής επίλυσης Η ακρίβεια της μεθόδου αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων ροής, επαληθεύεται με την αριθμητική προσομοίωση της παλλόμενης, συνεκτικής ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις, η οποία ταυτίζεται με την περίπτωση που ερευνήθηκε από τους Blondeaux & Vittori (1991), επίσης, μέσω αριθμητικής προσομοίωσης. Η τιμή του αριθμού Reynolds της προσομοιωμένης ροής, Re = U o α o /ν, ισούται με 1,250, η οποία αντιστοιχεί σε Re δ = U o δ s /ν = 50 και δ s /α ο = 0.04, όπου δ s = (2ν/ω) 1/2 είναι το μήκος Stokes, η γνωστή χαρακτηριστική κλίμακα για το πάχος του οριακού στρώματος. Οι πτυχώσεις έχουν στρογγυλεμένες κορυφές, ενώ οι διαστάσεις τους σε σχέση με τις παραμέτρους της γενεσιουργού παλλόμενης ροής, καθορίζονται από τους λόγους L r /α ο = και h r /L r = Το μήκος του υπολογιστικού πεδίου κατά την οριζόντια διεύθυνση x 1 ισούται με 6L r, ενώ το μήκος του κατά την κατακόρυφη διεύθυνση x 3 θεωρείται ίσο με (2/3)L r, αρκετά μεγαλύτερο από το πάχος του οριακού στρώματος 5δ s (Σχήμα 4.1). Ο πυθμένας θεωρείται οριζόντιος για 0 x 1 /L r 1 και 5 x 1 /L r 6, ενώ τέσσερις πτυχώσεις παρεμβάλλονται στο διάστημα 1 x 1 /L r 5. Αποκλειστικά γι' αυτή την περίπτωση ροής (οριακού στρώματος), η αδιαστατοποίηση των μεταβλητών γίνεται με βάση τις παραμέτρους U o και δ s, το πάνω όριο κατά τη διεύθυνση x 3 θεωρείται άκαμπτο κάλυμμα με προκαθορισμένη ταχύτητα εξωτερικής ροής που ορίζεται από τη εξίσωση (1.1), ενώ, κατά τη διεύθυνση x 1,

69 55 θεωρούνται περιοδικές οριακές συνθήκες. Οι αριθμητικές παράμετροι της προσομοίωσης είναι Δs 1 = 0.833, N = 32 και Δt = 0.05 (σε μονάδες χρόνου δ s /U ο ). Με τη χρήση 32 υπολογιστικών κόμβων κατά x 3 εξασφαλίζεται η ακρίβεια της επίλυσης πολύ κοντά στον πυθμένα, αφού το πρώτο εσωτερικό Chebyshev-Gauss-Lobatto σημείο απέχει μόλις δ s από το όριο του πυθμένα. Κατά την εκκίνηση της προσομοίωσης της ροής θεωρούνται συνθήκες ηρεμίας του ρευστού. Στο Σχήμα 4.2 παρουσιάζονται δύο στιγμιότυπα του πεδίου στροβιλότητας, για t = 0.5T και t = T, στην περιοχή μεταξύ της δεύτερης και της τρίτης κορυφής πτύχωσης. Τα συγκεκριμένα αποτελέσματα βρίσκονται σε άριστη συμφωνία με τα αντίστοιχα των σχημάτων 6d και 6h που παρουσιάζονται στην εργασία των Blondeaux & Vittori (1991), όπου το υπολογιστικό πλέγμα είχε μήκος μίας πτύχωσης και 128 κόμβους σε κάθε διεύθυνση. Σχήμα 4.1 Υπολογιστικό πεδίο σε στρεβλή κλίμακα για την περίπτωση παλλόμενης ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις (h r /L r = 0.15). Στο πάνω όριο (x 3 /L r = 0) επιβάλλεται η ταχύτητα εξωτερικής ροής, ενώ στα πλευρικά όρια περιοδικές συνθήκες. Σχήμα 4.2 Ισοϋψείς πεδίου στροβιλότητας παλλόμενης ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις (h r /L r = 0.15) για Re = 1,250 τη χρονική στιγμή (α) t/τ= 0.5 και (β) t/τ = 1. Οι συνεχείς ισοϋψείς αντιστοιχούν σε θετικές τιμές της στροβιλότητας (αριστερόστροφη) και οι διακεκομμένες σε αρνητική στροβιλότητα (δεξιόστροφη) ανά διαστήματα των 0.15 από -1.2 έως 1.2.

70 Αποτελέσματα προσομοιώσεων ροής ελεύθερης επιφάνειας πάνω από πτυχώσεις Για το σύνολο των προσομοιώσεων διάδοσης κυμάτων πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις, η μορφή των πτυχώσεων θεωρείται παραβολική (Σχήμα 4.3), οριζόμενη από τη σχέση ( ) ( 2 / 1) 2 h x = h x L (4.2) r r r r όπου h είναι η τοπική στάθμη του πυθμένα και η τετμημένη x r παίρνει τιμές στο διάστημα [0, L r ]. Οι διαστάσεις των πτυχώσεων - το μήκος L r και το ύψος h r - επιλέγονται με βάση τα αποτελέσματα εργαστηριακών πειραμάτων και μετρήσεων πεδίου (Fredsøe & Deigaard Nielsen 1992), ώστε να κατατάσσονται στην τροχιακή περιοχή πτυχώσεων, όπου a o /D g < 500. L r h r x r Σχήμα 4.3 Τυπική γεωμετρία πτύχωσης παραβολικής μορφής, ύψους h r και μήκους L r. x 3 Στάθμη ηρεμίας ρευστού x 1 d L I L R L E Σχήμα 4.4 Τυπικό σχηματικό διάγραμμα δισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου ροής για τη διάδοση κυμάτων πάνω από πτυχώσεις. Η περιοχή εισόδου είναι μήκους L I = λ, το πτυχωτό τμήμα είναι L R = 0.5λ, η περιοχή εξόδου έχει μήκος L E = 5λ, και εντός αυτής βρίσκεται η ζώνη απόσβεσης κύματος με μήκος L A = 4λ.

71 57 Ένα τυπικό σχηματικό διάγραμμα του πεδίου ροής, με τις πτυχώσεις τοποθετημένες σε τμήμα οριζόντιου πυθμένα βάθους d, φαίνεται στο Σχήμα 4.4. Στην περιοχή εισόδου επιλέγεται οριζόντιος πυθμένας, ώστε να επιτυγχάνεται ομαλή ανάπτυξη των εισερχόμενων κυματισμών πριν τη διάδοσή τους πάνω από το πτυχωτό τμήμα του πυθμένα. Ο πυθμένας θεωρείται οριζόντιος και στην περιοχή εξόδου, οπού τοποθετείται η τεχνητή ζώνη απορρόφησης κυμάτων και επιβράδυνσης της ροής (βλ ), ώστε να ελαχιστοποιηθεί το φαινόμενο της ανάκλασης. Το μήκος της περιοχής εισόδου, L I, ισούται με ένα μήκος κύματος λ, ενώ η περιοχή εξόδου έχει μήκος L E = 5λ, το οποίο περιλαμβάνει και τη ζώνη απόσβεσης κύματος L A = 4λ, η οποία συνορεύει με το όριο εξόδου του υπολογιστικού πεδίου. Η επιβράδυνση της ροής επιτυγχάνεται με τη χρήση μειωμένης κατά 100 φορές τιμής του Re d για μήκος ίσο με 2λ πριν το όριο εξόδου. Το πτυχωτό τμήμα του πυθμένα έχει μήκος L R = 0.5λ, ενώ ο αριθμός των πτυχώσεων που το απαρτίζουν, ποικίλει ανάλογα με το εξεταζόμενο μήκος κύματος και το μήκος της πτύχωσης, L r. Οι αριθμητικές παράμετροι των προσομοιώσεων είναι Δs 1 = , N = 128 και Δt = Σημειώνεται ότι οι αριθμητικές παράμετροι, καθώς και όλες οι μεταβλητές της ροής αδιαστατοποιούνται κάνοντας χρήση των μεγεθών g, d και ρ, όπως έχει συμβεί και στις εξισώσεις ροής του Κεφαλαίου 2, ενώ παράλληλα θεωρείται ότι d = d I. Οι προσομοιώσεις εκτελέστηκαν για χρόνο ίσο με 15 περιόδους κύματος, Τ, ενώ χρειάστηκαν 12 περίπου ώρες υπολογιστικού χρόνου για την προσομοίωση καθεμίας περιόδου Τ στον υπολογιστή Dell (TM) PowerEdge (TM) Οι αριθμητικές προσομοιώσεις της διάδοσης μη-γραμμικών κυμάτων πάνω από τις παραβολικές πτυχώσεις, περιλαμβάνουν δύο περιπτώσεις εισερχόμενων κυματισμών Stokes 2 ης τάξης (Πίνακας 4.1), με αδιάστατα μήκη κύματος λ/d = 6 και 8 (kd = και 0.785, αντίστοιχα), περιόδους κύματος Τ(gd) 0.5 = 6.95 και 8.75, και το ίδιο ύψος κύματος Η/d = 0.3. Ο αριθμός Reynolds, Re d, θεωρείται ίσος με και στις δύο περιπτώσεις, ενώ εξετάζεται και μια τρίτη περίπτωση με κυματικές παραμέτρους που ταυτίζονται με τις αντίστοιχες της Περίπτωσης 1 και Re d = Για την Περίπτωση 1, εξετάζονται έξι περιπτώσεις (Α-F) πτυχώσεων παραβολικής μορφής με διαφορετικές διαστάσεις (Πίνακας 4.2), ενώ για τις Περιπτώσεις 2 και 3 θεωρούνται πτυχώσεις τεσσάρων διαφορετικών διαστάσεων (Περιπτώσεις Α-D), και κατά συνέπεια προκύπτουν 14 συνολικά εξεταζόμενες περιπτώσεις. Στη συνέχεια παρουσιάζονται αποτελέσματα που έχουν προκύψει από την προσομοίωση ροής της Περίπτωσης 1, τα οποία είναι ενδεικτικά των αντίστοιχων αποτελεσμάτων των Περιπτώσεων 2 και 3. Ο αριθμός των πτυχώσεων που

72 58 αντιστοιχεί σε μήκος L R = 3, μεταβάλλεται για τα διάφορα μήκη πτυχώσεων και είναι ίσος με 12, 15 και 20 για L r /α ο = 1.25, 1.67 και 2.08, αντίστοιχα. Πίνακας 4.1 Παράμετροι ροής για τις εξεταζόμενες περιπτώσεις διάδοσης κυμάτων πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις. Περίπτωση H/d λ/d Τ(g/d) 1/2 Re d kd α o /d Re , , ,517 Πίνακας 4.2 Περιπτώσεις πτυχώσεων που εξετάζονται σε συνδυασμό με τις περιπτώσεις ροής του Πίνακα 4.1. Για τη ροή Περίπτωσης 3 εξετάζονται οι πτυχώσεις των Περιπτώσεων A ως D (όπως συμβαίνει και για την Περίπτωση 2). Περίπτωση 1,3 2 L r /α ο h r /α ο h r /L r L r /α ο h r /α ο h r /L r A B C D E F Στο Σχήμα 4.5 παρουσιάζονται τυπικά στιγμιότυπα του πεδίου ταχύτητας στην περιοχή μεταξύ δύο διαδοχικών πτυχώσεων πυθμένα, για τέσσερις ισαπέχουσες χρονικές στιγμές κατά τη διάρκεια μιας περιόδου κύματος. Γενικά παρατηρείται περιοδική αποκόλληση της ροής και δημιουργία στροβίλων εκατέρωθεν της κάθε κορυφής πτύχωσης. Στα δύο πρώτα στιγμιότυπα, (α) και (β), παρατηρείται αποκόλληση της ροής και δημιουργία στροβίλων δεξιόστροφης φοράς στην κατωφέρεια των πτυχώσεων, όταν πάνω από αυτές βρίσκεται κορυφή κύματος. Αντίθετα, η αποκόλληση της ροής και η εμφάνιση αριστερόστροφων στροβίλων συμβαίνουν στην ανωφέρεια των πτυχώσεων, όταν πάνω από αυτές διαδίδεται κοιλία κύματος [Στιγμιότυπα (γ) και (δ)]. Η δημιουργία, η κυκλοφορία και τελικά η διάχυση των στροβίλων, αποτυπώνεται μέσω των στιγμιότυπων

73 Σχήμα 4.5 Στιγμιότυπα ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας [(α), (β) ανάντη και κατάντη της κορυφής κύματος, αντίστοιχα και (γ), (δ) ανάντη και κατάντη της κοιλίας κύματος, αντίστοιχα] και του πεδίου ταχύτητας πάνω από και στην περιοχή μεταξύ δύο πτυχώσεων πυθμένα με L r /α ο = 2.08 και h r /α ο = (Περίπτωση 1F), ανά ίσα χρονικά διαστήματα Δt = T/4. 59

74 60 Σχήμα 4.6 Στιγμιότυπα του πεδίου στροβιλότητας στην περιοχή μεταξύ δύο πτυχώσεων πυθμένα με L r /α ο = 2.08 και h r /α ο = (Περίπτωση 1F), για τις ίδιες χρονικές στιγμές με αυτές του Σχήματος 4.5. του Σχήματος 4.6, όπου παρουσιάζεται το πεδίο στροβιλότητας για την ίδια περιοχή και τις ίδιες χρονικές στιγμές της περίπτωσης του Σχήματος 4.5. Κατά την αποκόλληση και τη δημιουργία του δεξιόστροφου στροβίλου στην κατωφέρεια της πτύχωσης [Σχήμα 4.5(α)], η περιοχή της αριστερόστροφης ανακυκλοφορίας, που δημιουργηθήκε κατά τη διάρκεια του προηγούμενου μισού της περιόδου Τ στην απέναντι ανωφέρεια της πτύχωσης, εξασθενεί και διασπάται. Ένα μέρος αυτής ανυψώνεται, και συμπαρασυρόμενο από τη ροή προσκολλάται στον εξασθενημένο αριστερόστροφο στρόβιλο της κατάντη κορυφής [Σχήμα 4.5(β)], ο οποίος στη συνέχεια διαχέεται στο πεδίο. Αντίστοιχη διαδικασία διάσπασης, ανύψωσης και διάχυσης της δεξιόστροφης ανακυκλοφορίας συμβαίνει και

75 61 κατά τη διάρκεια της αποκόλλησης και δημιουργίας αριστερόστροφου στροβίλου στην ανωφέρεια της πτύχωσης [Σχήματα 4.5(γ)-(δ)]. Σε γενικές γραμμές η συμπεριφορά της στροβιλότητας είναι ανάλογη της περίπτωσης παλλόμενης ροής πάνω από πτυχώσεις (Σχήμα 4.2). Η κατανομή της μέσης οριζόντιας ταχύτητας, u m, κατά το βάθος, σε διάφορες θέσεις κατά μήκος μίας πτύχωσης των Περιπτώσεων 1Ε και 1F, παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.7. Οι επιλεγμένες πτυχώσεις βρίσκονται στη μέση του πτυχωτού τμήματος του πυθμένα (L R /2), ενώ τα προφίλ της u m προέκυψαν από τον υπολογισμό του μέσου όρου του πεδίου ταχύτητας για τις τρεις τελευταίες περιόδους κύματος κάθε προσομοίωσης (ανάλυση κατά Euler), θεωρώντας μηδενική ταχύτητα όταν δεν υπάρχει νερό πάνω από τη στάθμη της κοιλίας του κύματος. Η παροχή μάζας νερού μεταξύ κορυφής και κοιλίας κύματος προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος (Eulerian drift), θα πρέπει να ισορροπείται από μία αντίρροπη παροχή, η οποία εμφανίζεται σε βάθη μεγαλύτερα της στάθμης της κοιλίας. Το προφίλ της μέσης ταχύτητας κάτω από την κοιλία του κύματος αλλά αρκετά πάνω από τις πτυχώσεις, είναι αρνητικό εξαιτίας του ρεύματος επιστροφής, το οποίο εισάγεται μέσω της κατανομής της οριζόντιας ταχύτητας στο όριο εισόδου, και εξασφαλίζει την μηδενική μέση παροχή ρευστού κατά το βάθος. Στην περιοχή πάνω από τις κορυφές των πτυχώσεων, οι οποίες βρίσκονται στις θέσεις x 3 = και για τις συγκεκριμένες περιπτώσεις, αντίστοιχα, το ρεύμα επιστροφής αποδυναμώνεται αρκετά αφού πλέον δέχεται έντονη επιρροή από ένα ρεύμα θετικής φοράς, που συνδέεται με τη δημιουργία περιοχών ανακυκλοφορίας εξαιτίας της παρουσίας των πτυχώσεων. Για το συγκεκριμένο ρεύμα θα γίνει περισσότερος λόγος στην επόμενη παράγραφο. Η συμπεριφορά του προφίλ της μέσης ταχύτητας, u m, επιβεβαιώνεται και από τα εργαστηριακά πειράματα των Fredsøe et al. (1999). Η επίδραση των πτυχώσεων μικρότερου ύψους (Περίπτωση 1Ε) φθάνει σε βάθος περίπου ίσο με [Σχήμα 4.7(α)], ενώ η επίδραση από τις πιο απότομες πτυχώσεις (Περίπτωση 1F) είναι σαφώς πιο εκτενής (περίπου ως x 3 = -0.65) [Σχήμα 4.7(β)]. Συνεπώς, η παρουσία των πτυχώσεων είναι δυνατό να επηρεάσει το προφίλ της μέσης ταχύτητας ως και έξι φορές το ύψος πτύχωσης πάνω από τη στάθμη της κορυφής πτύχωσης. Σε βάθη μεγαλύτερα από τη στάθμη της κορυφής πτύχωσης, η μέση οριζόντια ταχύτητα καθορίζεται από τις διεργασίες που συνοδεύουν την αποκόλληση της ροής και από τις δημιουργούμενες περιοχές ανακυκλοφορίας, με τις πιο απότομες πτυχώσεις να εμφανίζουν μεγαλύτερα εύρη ταχυτήτων.

76 62 Στη συνέχεια πραγματοποιείται ο υπολογισμός του χωρικού μέσου όρου της μέσης ταχύτητας, u m, οριζοντίως και για το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών πτύχωσης, και προκύπτουν τα προφίλ της μέσης οριζόντιας ταχύτητας, U m, για όλες τις πτυχώσεις του πυθμένα, μερικά από τα οποία παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.8 (Περιπτώσεις 1Ε και 1F). Ο υπολογισμός γίνεται πάνω από τη στάθμη που ορίζουν οι κορυφές των πτυχώσεων, ενώ η χρήση της φασματικής μεθόδου με τα πολυώνυμα Chebyshev κατά x 3, προσφέρει τη δυνατότητα ακριβούς υπολογισμού του χωρικού μέσου όρου του πεδίου ταχύτητας. Εξαιτίας του πεπερασμένου μήκους του πτυχωτού τμήματος του πυθμένα, τα υπολογισμένα κατά Euler προφίλ της μέσης οριζόντιας ταχύτητας, U m, δεν είναι πλήρως ανεπτυγμένα μακριά από την περιοχή των πτυχώσεων (x 3 > -0.50), σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στην περιοχή κοντά στις πτυχώσεις, όπου η επίδραση των πτυχώσεων έχει αναπτυχθεί πλήρως και φθάνει ως και 6h r πάνω από τη στάθμη της κορυφής πτύχωσης (όπως συμβαίνει και με τα προφίλ της χρονικά μέσης ταχύτητας). Σε απόσταση περίπου ίση με 0.5h r πάνω από την κορυφή πτύχωσης, παρατηρείται ένα τοπικό μέγιστο του προφίλ της U m, σε συμφωνία με τα αποτελέσματα της θεωρητικής ανάλυσης των Davies & Villaret (1999) και των εργαστηριακών πειραμάτων των Fredsøe et al. (1999). Η προέλευση του συγκεκριμένου ρεύματος περιορισμένου εύρους αποδίδεται στην περιοδική διαδικασία ανάπτυξης στροβίλων στις παρειές των κορυφών πτύχωσης και διάχυσης αυτών σε μικρότερα βάθη (Davies & Villaret, 1999). Οι Fredsøe et al. (1999) αναφέρουν ως πρόσθετη πιθανή αιτία την παρουσία του κυματογενούς ρεύματος οριακού στρώματος (streaming), το οποίο παρουσιάζεται σαφώς ενισχυμένο, λόγω της ύπαρξης του πτυχωτού πυθμένα. Η τιμή της μέσης ταχύτητας U m στο άκρο του οριακού στρώματος πάνω από τις πτυχώσεις είναι αρνητική, U < 0, σε συμφωνία με τα αποτελέσματα του σχήματος 6 της εργασίας των Ridler & Sleath (2000), για kd = 1.05 και a o /L r = 0.48 (Περιπτώσεις 1Ε και 1F). Από την άλλη πλευρά, τα αποτελέσματα του Σχήματος 4.8 για την ταχύτητα U, έρχονται σε αντίθεση με το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει ο Marin (2004) για πτυχώσεις με κυρτότητες h r /L r = και 0.2, οι οποίες αντιστοιχούν σε λόγους a o /k s = 3 και 0.48, όπου k s είναι ο συντελεστής τραχύτητας κατά Nikuradse. Σύμφωνα με το αναλυτικό μοντέλο των Davies & Villaret (1999), η κανονικοποιημένη ταχύτητα U πάνω από τις πτυχώσεις δίνεται από τη σχέση U 3U 1 1 o 1 = 1+ 1 ε 2 2cos ϕ2 ε1cos ϕ1 Uo 4 C 2 sin ( kd) 2 ( ) ( ) (4.3)

77 63 όπου C είναι η ταχύτητα κύματος και ε 1, ε 2, φ 1, φ 2 είναι παράμετροι του μοντέλου. Οι παράμετροι φ i, εξαρτώνται από τις κυματικές συνθήκες και για τη ροή Περίπτωσης 1 (Πίνακας 4.1) είναι φ 1 = -80 και φ 2 = 200, σύμφωνα με την εξίσωση (54) των Davies & Villaret (1999). Η παράμετροι ε i εξαρτώνται από την τραχύτητα του πυθμένα, επομένως από το ύψος πτύχωσης, και οι προτεινόμενες τιμές τους είναι ε 1 = 1.3 ± 0.2 και ε 2 = 1.3. Για να προκύψουν αποτελέσματα που συμφωνούν με αυτά του Σχήματος 4.8, δηλαδή U /U o -0.1 και για τις Περιπτώσεις 1Ε και 1F, αντίστοιχα, οι τιμές τις παραμέτρου ε 1 που εισάγονται στη σχέση (4.3) θα πρέπει να είναι, αντίστοιχα, ίσες με 1.9 και 2.1. Στο Σχήμα 4.9 παρουσιάζεται η κατανομή του συντελεστή τριβής πυθμένα, f b = 2τ 2θ ρ = ψ (4.4) b 2 U ο σε δύο φάσεις της περιόδου Τ, για ύψη πτύχωσης h r /α ο = και (Περιπτώσεις 1Ε και 1F). Η αύξηση του εύρους μεταβολής του συντελεστή τριβής είναι σημαντική στο πτυχωτό τμήμα του πυθμένα, ιδιαίτερα κοντά στις κορυφές των πτυχώσεων, και ανάλογη της αύξησης του λόγου h r /α ο. Επίσης, ορίζεται ο συντελεστής τριβής f w (wave friction factor), ως η μέγιστη απόλυτη τιμή του συντελεστή f b. Προκύπτει ότι ο συντελεστής τριβής f w παίρνει τιμές 0.06 και 0.128, πολύ κοντά και εκατέρωθεν των κορυφών των πτυχώσεων, και τιμές και στις κοιλίες των πτυχώσεων, για τις Περιπτώσεις 1Ε και 1F, αντίστοιχα. Οι προαναφερθείσες τιμές του συντελεστή f w στις κοιλίες είναι ελαφρώς μικρότερες από την τιμή f w = στο οριζόντιο τμήμα του πυθμένα ανάντη των πτυχώσεων (Σχήμα 4.9), καθώς και από την τιμή f w = 0.035, η οποία προκύπτει από το σχήμα 11 της εργασίας των Jensen et al. (1989) για την περίπτωση παλλόμενης ροής πάνω από οριζόντιο πυθμένα και Re = 3,258, εξαιτίας της αποκόλλησης ροής κατά μήκος της πτύχωσης. Είναι προφανές ότι η επίδραση των πτυχώσεων στην τιμή του f w αποδυναμώνεται με τη μείωση του ύψους πτύχωσης. Επίσης, κάνοντας χρήση της μέγιστης τιμής f w = για τον υπολογισμό της μέγιστης απόστασης του πρώτου εσωτερικού σημείου Chebyshev-Gauss-Lobatto από τον πυθμένα, μετρούμενης σε ιξώδεις κλίμακες μήκους, προκύπτει ότι y + = yu * /ν < 1.05, όπου y = 0.05δ s και u * = U o (f w /2) 0.5. Προκύπτει ότι ο πρώτος εσωτερικός υπολογιστικός κόμβος, για τη δυσμενέστερη περίπτωση ύψους πτύχωσης h r /α ο (=0.416) από τις συνολικά εξεταζόμενες (Α-F, Πίνακας 4.2), βρίσκεται εντός του ιξώδους υποστρώματος (y + < 5), με αποτέλεσμα η επίλυση της

78 Σχήμα 4.7 Κατανομή χρονικά μέσης οριζόντιας ταχύτητας κατά το βάθος, σε τέσσερις διατομές κατά μήκος μιας πτύχωσης (α) με h r /L r = (Περίπτωση 1Ε), (β) με h r /L r = 0.2 (Περίπτωση 1F). 64

79 65 Σχήμα 4.8 Κατανομή της χρονικά και χωρικά μέσης οριζόντιας ταχύτητας κατά το βάθος, για μερικές από τις 12 πτυχώσεις του πυθμένα με h r /L r = και 0.2 (Περιπτώσεις 1Ε και 1F). Ο χωρικός μέσος όρος έχει υπολογιστεί οριζοντίως, για το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών πτύχωσης. ροής πολύ κοντά στον πυθμένα να είναι ακριβής. Από το συνδυασμό των περιπτώσεων ροής 2 και 3 του Πίνακα 4.1 με τη δυσμενή Περίπτωση F του Πίνακα 4.2, προκύπτουν, αντίστοιχα, οι τιμές y + max = 1.2 και 1.7, οι οποίες βρίσκονται επίσης εντός των ορίων του ιξώδους υποστρώματος. Στο Σχήμα 4.10 παρουσιάζονται τυπικές ισοϋψείς της χωροχρονικής μεταβολής του συντελεστή τριβής f b κατά μήκος μίας πτύχωσης και κατά τη διάρκεια μίας περιόδου κύματος. Φαίνεται ότι οι μέγιστες - θετικές και αρνητικές - τιμές του f b εμφανίζονται πολύ κοντά στην κορυφή της πτύχωσης κατά τη διάρκεια του πρώτου και του τρίτου τετάρτου της περιόδου κύματος, δηλαδή για t/t = και , αντίστοιχα. Κατά τη διάρκεια του δεύτερου και του τελευταίου τετάρτου της περιόδου, δηλαδή για t/t = και , φάσεις στις οποίες λαμβάνει χώρα η δημιουργία των περιοχών ανακυκλοφορίας (Σχήμα 4.6), τα τοπικά μέγιστα - αρνητικά και θετικά - του συντελεστή f b παρουσιάζονται στην κατωφέρεια και την ανωφέρεια της πτύχωσης, αντίστοιχα.

80 Σχήμα 4.9 Κατανομή του συντελεστή τριβής πυθμένα, f b, σε δύο φάσεις της περιόδου κύματος, για ύψη πτύχωσης (α) h r /a o = (Περίπτωση 1E) και (β) h r /a o = (Περίπτωση 1F). 66

81 67 Σχήμα 4.10 Χωρο-χρονική κατανομή του συντελεστή τριβής, f b, κατά μήκος μίας πτύχωσης πυθμένα (κορυφές στα x 1 /L r = 0 και 0.25) κατά τη διάρκεια της 14 ης περιόδου κύματος (Περίπτωση 1F). Οι χρονικές στιγμές t/t = 13, 13.25, 13.5 και αντιστοιχούν στα στιγμιότυπα (α), (β), (γ) και (δ) του Σχήματος 4.5. Στις 14 προαναφερθείσες περιπτώσεις (Πίνακες 4.1 και 4.2), οι οποίες χρησιμοποιούνται για την εκτέλεση των μορφολογικών προσομοιώσεων, προστίθενται ακόμα τρεις περιπτώσεις γεωμετρίας πτυχώσεων, συνδυαζόμενες με την περίπτωση παλλόμενης ροής με Re = 23,163 (Re d = ). Οι παράμετροι της ροής, οι οποίες αντιστοιχούν στην περίπτωση ροής από τη διάδοση κυμάτων της εργασίας των Fredsøe et al. (1999), καθώς και οι διαστάσεις των πτυχώσεων περιλαμβάνονται στους Πίνακες 4.3 και 4.4, αντίστοιχα. Οι προσομοιώσεις της συγκεκριμένης ροής πάνω από τις τρεις διαφορετικές γεωμετρίες, πραγματοποιήθηκαν από τους Grigoriadis et al. (2012) κάνοντας χρήση της μεθόδου LES και της μεθόδου εμβαπτισμένου ορίου (immersed boundary method), για την επιβολή των οριακών συνθηκών πυθμένα. Στο πάνω όριο έγινε η θεώρηση άκαμπτου καλύμματος, ενώ περιοδικές οριακές συνθήκες επιβάλλονται κατά τη διεύθυνση της ροής και στα κάθετα σε αυτή πλευρικά όρια. Το τρισδιάστατο πεδίο ροής (Σχήμα 4.11) περιελάμβανε δύο πτυχώσεις, ενώ αποτελούταν από υπολογιστικούς κόμβους που αντιστοιχούν σε κελία μήκους Δx 1 = 0.003, Δx 2 = και Δx (πύκνωση πλέγματος κοντά στο τοίχωμα), αντίστοιχα. Η αδιαστατοποίηση των μεταβλητών ροής πραγματοποιήθηκε με χρήση των μεγεθών α ο και U o. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων ροής δείχνουν ανάλογη ποιοτική συμπεριφορά

82 68 με τα αντίστοιχα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας (για την περιοχή κοντά στις πτυχώσεις), ενώ παρουσιάζονται λεπτομερώς στην εργασία των Grigoriadis et al. (2012). Πίνακας 4.3 Παράμετροι ροής για την περίπτωση παλλόμενης ροής (Grigoriadis et al., 2012) πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις. Περίπτωση 4 H/d λ/d Τ(g/d) 1/2 Re d kd α o /d Re ,163 Πίνακας 4.4 Περιπτώσεις πτυχώσεων που εξετάζονται σε συνδυασμό με τη ροή Περίπτωσης 4 του Πίνακα 4.3. Περίπτωση A B C L r /α ο h r /α ο h r /L r Σχήμα 4.11 Τρισδιάστατο υπολογιστικό πεδίο για την περίπτωση παλλόμενης ροής πάνω από πυθμένα δύο πτυχώσεων (Grigoriadis et al., 2012).

83 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΤΥΧΩΣΕΩΝ Εξισώσεις μεταφοράς ιζήματος και μεταβολής μορφολογίας πυθμένα Η μονοδιάστατη μεταβολή της μορφολογίας πυθμένα, λόγω δισδιάστατης ροής, περιγράφεται από την εξίσωση διατήρησης της μάζας του ιζήματος, η οποία εκφράζεται ως h 1 = t 1 n x q B 1 (4.5) όπου h είναι η στάθμη του πυθμένα, n είναι το πορώδες του ιζήματος πυθμένα και q B ο ρυθμός μεταφοράς ιζήματος κλίνης (ή φορτίου πυθμένα). Μια αδιάστατη έκφραση της παροχής του φορτίου πυθμένα, η οποία συναντάται στα περισσότερα μοντέλα που έχουν αναπτυχθεί για τη μεταφορά ιζήματος πυθμένα, είναι η εξής Φ = B q B ( S 1) gd 3 g (4.6) Στην παρούσα εργασία, η παροχή Φ B υπολογίζεται κάνοντας χρήση της ημι-εμπειρικής σχέσης ( c ) 10π p θ 0.7 θ for θ > θc Φ B = 6 0 for θ θc (4.7) όπου 4 1 πμ d p = θ θ c 14 (4.8) είναι το ποσοστό των σωματιδίων πυθμένα που βρίσκονται σε κίνηση και έχει προκύψει εμπειρικά με βάση τις πειραματικές μετρήσεις των Guy et al. (1966) και Fernandez Luque

84 70 (1974). Η εξίσωση (4.7) βασίζεται στη σχέση που προτάθηκε από τους Engelund & Fredsøe (1976), και έχει προκύψει από τη θεώρηση της ισορροπίας δυνάμεων που ασκούνται σε ένα κινούμενο σωματίδιο ιζήματος πυθμένα. Εδώ χρησιμοποιείται υπό τη θεώρηση παλλόμενης ροής, ως αποτέλεσμα της διάδοσης κυμάτων, εισάγοντας στιγμιαίες τιμές της αδιάστατης διατμητικής τάσης πυθμένα, δηλαδή του αριθμού Shields, θ. Επίσης, η πλέον διαδεδομένη εμπειρική σχέση των Meyer-Peter & Müller (1948), ελαφρώς παραλλαγμένη ώστε να καλύπτει την περίπτωση παλλόμενης ροής, 32 ( c ) ( ) 8 θ θ sgn θ for θ > θc Φ B = 0 for θ θc (4.9) και η ευρέως γνωστή εμπειρική σχέση που έχει προταθεί από τον Ribberink (1998), 1.65 ( c ) ( ) 11 θ θ sgn θ for θ > θc Φ B = 0 for θ θc (4.10) χρησιμοποιούνται, προκειμένου τα αποτελέσματά τους να συγκριθούν με τα αντίστοιχα της εξίσωσης (4.7), ενώ sgn(θ) = ±1, ανάλογα με το πρόσημο του θ. Η πρώτη [εξίσωση (4.9)] προέκυψε από εργαστηριακά πειράματα, τα οποία διενεργήθηκαν σε κανάλι οριζόντιου πυθμένα με χονδρή άμμο και χαλίκι (D g > 3 mm), για σταθερή ροή μιας κατεύθυνσης, η οποία χαρακτηριζόταν από σχετικά μικρές τιμές του αριθμού Shields (θ < 0.2). Η δεύτερη [εξίσωση (4.10)] έχει βασιστεί σε αποτελέσματα εργαστηριακών μετρήσεων για σταθερή ροή μιας κατεύθυνσης (σε κανάλι) και για παλλόμενη ροή (σε ειδική διάταξη τύπου τούνελ). Για τις εξεταζόμενες περιπτώσεις παλλόμενης ροής, θεωρήθηκαν περίοδοι κύματος μεγαλύτερες από 4 s, ίζημα με εύρος μέσης διαμέτρου κόκκου 0.2 < D g < 1.8 mm, και συνθήκες ροής που χαρακτηρίζονταν από τιμές του αριθμού Shields από 0.1 έως 2. Το κριτήριο έναρξης της κίνησης των σωματιδίων πυθμένα, ή αλλιώς η κρίσιμη τιμή του αριθμού Shields για πυθμένα τοπικής κλίσης tanγ, η οποία χρησιμοποιείται στις προσομοιώσεις της παρούσας εργασίας, ορίζεται ως tan γ θ co h x 1 θc = θcocosγ sgn ( θ) + = sgn ( θ) + μ 2 d 1+ μd ( h x ) 1 (4.11)

85 71 όπου θ co είναι η κρίσιμη τιμή του αριθμού Shields για οριζόντιο πυθμένα. Η εξίσωση (4.11) προέρχεται από τη θεώρηση ισορροπίας μεταξύ των δυνάμεων σταθεροποίησης και αποσταθεροποίησης που ασκούνται σε ένα σωματίδιο, το οποίο ισορροπεί σε σημείο κεκλιμένου πυθμένα, όπως περιγράφεται από τους Fredsøe & Deigaard (1992). Μια χονδρική εκτίμηση για την κρίσιμη τιμή θ co, μπορεί να γίνει με βάση το ευρέως γνωστό διάγραμμα του Shields (θ co 0.05, σχήμα Fredsøe & Deigaard, 1992), παρόλα αυτά, στην παρούσα εργασία η θ co λαμβάνεται ως συνάρτηση της αδιάστατης μέσης διαμέτρου κόκκου, D * = D g [(S-1)g/ν 2 ] 1/3, σύμφωνα με τη σχέση του van Rijn (1984), θ cο D* for 1< D* < D* for 4 < D* < = 0.04D* for 10 < D* < D* for 20 < D* < for D* > 150 (4.12) η οποία βασίζεται επίσης στο διάγραμμα Shields. Η μεταφορά ιζήματος κλίνης εκκινεί οποτεδήποτε, κατά τη διάρκεια της περιόδου κύματος, και οπουδήποτε στην επιφάνεια των πτυχώσεων, η διατμητική τάση πυθμένα, τ b, η οποία υπολογίζεται κατά την προσομοίωση της ροής, υπερβαίνει το κριτήριο έναρξης της κίνησης των σωματιδίων πυθμένα, ή με άλλα λόγια όταν θ > θ c. Αξίζει να σημειωθεί ότι για πολλά χρόνια έχει γίνει σημαντική προσπάθεια από πολλούς ερευνητές για τον καθορισμό των παραγόντων που επηρεάζουν την έναρξη της κίνησης των σωματιδίων πυθμένα, με αποτέλεσμα να έχουν προταθεί διάφορες εκδοχές για τον ορισμό του αντίστοιχου κριτηρίου. Οι Engelund & Fredsøe (1976) κάνοντας διάκριση μεταξύ σωματιδίων που απλά κείτονται στον πυθμένα και σωματιδίων που βρίσκονται τοποθετημένα εντός στρώματος, θεώρησαν ότι είναι σαφώς πιο εύκολη η εκκίνηση των πρώτων έναντη των δεύτερων και πρότειναν μειωμένη κρίσιμη τιμή ίση με 0.5θ co, λαμβάνοντας υπόψη και τις εργαστηριακές μετρήσεις των Fernandez Luque & van Beek (1976). O Sleath (1984), αναφερόμενος σε εργαστηριακά πειράματα του ιδίου (Sleath, 1978), ισχυρίζεται ότι από τη στιγμή που η εξωτερική ροή θέτει σε κίνηση το ίζημα του πυθμένα, μια μικρότερη τιμή της εξωτερικής ταχύτητας (ή αλλιώς της διατμητικής τάσης πυθμένα) είναι αρκετή για τη διατήρηση της κίνησης των σωματιδίων, προτείνοντας μείωση της τιμής θ co. Οι Fernandez Luque & van Beek (1976) σημειώνουν ότι, σε

86 72 περίπτωση κεκλιμένου, κατηφορικού ως προς διεύθυνση της ροής, πυθμένα (θ tanγ < 0) τότε το κριτήριο μπορεί να ορίζεται από τη σχέση θ c = θ co [sin(φ s -γ)/sinφ s ]. Οι Engelund & Fredsøe (1976), επικαλούμενοι τα πειράματα των Fernandez Luque & van Beek (1976), πρότειναν τη σχέση θ c = θ co [1+tanγ], όπου η γωνία γ θεωρείται θετική όταν τα σωματίδια κινούνται ανηφορικά. Επίσης, πειράματα μεταφοράς ιζήματος κλίνης σε κεκλιμένο πυθμένα πραγματοποιήθηκαν από τους Damgaard et al. (1997), η οποίοι διαπίστωσαν την επάρκεια της προαναφερόμενης σχέσης των Fernandez Luque & van Beek, και μόνο για τις μεγάλες αρνητικές τιμές της γωνίας γ πρότειναν μια τροποποιημένη εκδοχή της σχέσης Meyer-Peter & Müller (1948) ( θ θ ) 32 f ( θ θ) 0.2 ( θ θ ) 1.5 co Φ = 8 f, όπου = (4.13) B slope c slope co c co + θ θ Με ανάλογο τρόπο λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της κλίσης του πυθμένα στον υπολογισμό της παροχής φορτίου πυθμένα από τους Fredsøe (1974), Tjerry & Fredsøe (2005) και Niemann et al. (2011), οι οποίοι πρότειναν μια διαφορετική τροποποίηση της σχέσης Meyer-Peter & Müller Φ = 8 θ θ θ B co co tan γ μs 32 (4.14) Διαδικασία εκτέλεσης μορφολογικών προσομοιώσεων Όπως προαναφέρθηκε, η αριθμητική προσομοίωση της μεταβολής της μορφολογίας πυθμένα, στηρίζεται στα αποτελέσματα των προσομοιώσεων της ροής από τη διάδοση κυμάτων ( 4.1.3). Οι μορφολογικές μεταβολές, οι οποίες οφείλονται αποκλειστικά στη μεταφορά φορτίου πυθμένα, προσομοιώνονται για χρόνο ίσο με 1,000 περιόδους κύματος. Για κάθε περίπτωση που προκύπτει από το συνδυασμό των παραμέτρων κύματος και γεωμετρίας πτυχώσεων, εξετάζονται, επιπρόσθετα, περιπτώσεις σωματιδίων ιζήματος διαφορετικής μέσης διαμέτρου και τελικά εκτελούνται προσομοιώσεις για διάφορες τιμές του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d. Ο κυριότερος σκοπός των προσομοιώσεων είναι ο καθορισμός της τιμής του συντελεστή μ d για την οποία, ύστερα από χρόνο 1,000 περιόδων κύματος, η μορφή και οι διαστάσεις των πτυχώσεων παραμένουν αμετάβλητες και ίδιες με τις αρχικές, υποδηλώνοντας την ύπαρξη μιας ημι-μόνιμης (quasi-steady) ισορροπίας

87 73 μεταξύ της παλλόμενης ροής κοντά στον πυθμένα, της διατμητικής τάσης πυθμένα και της μεταφοράς ιζήματος κλίνης. Τελικά, επιχειρείται η συσχέτιση της τιμής ισορροπίας του μ d με τις παραμέτρους κύματος, πτύχωσης και σωματιδίων πυθμένα. Στη συνέχεια περιγράφεται συνοπτικά η διαδικασία που ακολουθείται σε μια τυπική μορφολογική προσομοίωση. Αρχικά πραγματοποιείται ο υπολογισμός του στιγμιαίου αριθμός Shields, καθώς και της κρίσιμης τιμής του, κάνοντας χρήση της προκύπτουσας χρονικής μεταβολής της διατμητικής τάσης πυθμένα, τ b = f b (ρu 2 o /2), η οποία, για τις ροές των Περιπτώσεων 1-3, υπολογίζεται από τον αριθμητικό κώδικα της ροής, με βάση τις εξισώσεις (2.7) και (2.8) λαμβάνοντας υπόψη το μετασχηματισμό των συντεταγμένων (2.15) από την εξής σχέση 2 τ b 1 2 u 1 d = 1 ρgd Red d + η s3 s 1 (4.15) Εικόνα της τυπικής χωρο-χρονικής μεταβολής της τ b, για μία περίοδο κύματος, κατά μήκος μιας πτύχωσης, μπορεί να σχηματιστεί μέσω του Σχήματος 4.9 για την αντίστοιχη μεταβολή του f b. Όπως προαναφέρθηκε, η χωρο-χρονική μεταβολή της τ b για την Περίπτωση 4 λαμβάνεται από την εργασία των Grigoriadis et al. (2012). Υπενθυμίζεται ότι οι προσομοιώσεις ροής έχουν εκτελεστεί για ικανό χρόνο περιόδων κύματος, ούτως ώστε το πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα να έχει αναπτυχθεί πλήρως. Στη συνέχεια, υπολογίζεται η αδιάστατη παροχή φορτίου πυθμένα, Φ B, κάνοντας χρήση των εξισώσεων (4.7), (4.9) και (4.10), η οποία εισάγεται στην εξίσωση της μεταβολής μορφολογίας πυθμένα [εξίσωση (4.5)]. Η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης (4.5) επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός ρητού σχήματος πεπερασμένων διαφορών FTCS (forward time, central space), όπου επιλέγεται βήμα χρονικής διακριτοποίησης δέκα φορές μεγαλύτερο του αντίστοιχου βήματος των προσομοιώσεων ροής (Δt m =0.02), ενώ το χωρικό βήμα παραμένει το ίδιο με αυτό των προσομοιώσεων ροής. Σημειώνεται ότι ο υπολογισμός της κρίσιμης τιμής θ c γίνεται σε κάθε χρονικό βήμα της προσομοίωσης λαμβάνοντας υπόψη, όχι μόνο την εκάστοτε τιμή του θ, αλλά και την ενημερωμένη τιμή της στάθμης του πυθμένα, h. Για το σύνολο των προσομοιώσεων, οι τιμές του πορώδους και της σχετικής πυκνότητας του ιζήματος πυθμένα θεωρούνται ίσες με n = 0.4 και S = 2.65, αντίστοιχα. Προκειμένου να αντιμετωπιστεί η υπερβολική (και ταυτόχρονα μη φυσιολογική) αύξηση του ύψους πτύχωσης, η οποία ενδέχεται να συμβεί σωρευτικά ύστερα από την

88 74 πάροδο αρκετών περιόδων κύματος, κρίνεται απαραίτητη η επιβολή μιας τεχνικής κατολισθήσεων των σωματιδίων του ιζήματος, η οποία επιτυγχάνεται με ειδική διαμόρφωση του αριθμητικού κώδικα. Η κατολίσθηση δύναται να λαμβάνει χώρα εκατέρωθεν της κορυφής πτύχωσης, οποτεδήποτε η απόλυτη τιμή της τοπικής κλίσης του πυθμένα γίνεται μεγαλύτερη του μ d και ταυτόχρονα η ροή ωθεί τα σωματίδια του πυθμένα να κινηθούν κατηφορικά στην παρειά της πτύχωσης. Στις περιπτώσεις ταυτόχρονης εκπλήρωσης των δύο συνθηκών κατολίσθησης, γεγονός που ισοδυναμεί με την ικανοποίηση του κριτηρίου sgn(θ) tanγ < -μ d, επιβάλλεται ισχυρή παροχή ιζήματος Φ Β (Andersen, 1999), θέτοντας θ = 5θ co στις σχέσεις υπολογισμού αυτής, ανεξάρτητα από τη στιγμιαία τιμή του θ από τη χρονοσειρά των προσομοιώσεων ροής. Η ειδική πρόβλεψη που προαναφέρθηκε επιτρέπει την αύξηση της γωνίας γ σε τιμές μεγαλύτερες της δυναμικής γωνίας τριβής φ d, τοπικά, μόνο όταν η ροή ωθεί τα σωματίδια του πυθμένα να κινηθούν ανηφορικά. Σε αυτή την περίπτωση η αύξηση του ύψους πτύχωσης περιορίζεται εξαιτίας της μεγάλης αύξησης του θ c [εξίσωση (4.11)], η οποία επιφέρει, προφανώς, τη μείωση του όγκου σωματιδίων που θα κινηθούν προς την κορυφή της πτύχωσης. Στο τέλος κάθε χρονικού βήματος της μορφολογικής προσομοίωσης εφαρμόζεται διαδικασία φιλτραρίσματος της στάθμης του πυθμένα, h, ώστε να αμβλυνθούν αριθμητικές αστάθειες με κλίμακα μήκους ίση με το χωρικό βήμα (Jensen et al. 1999). Οι συγκεκριμένες αστάθειες συναντώνται συχνά στις προσομοιώσεις μεταβολής μορφολογίας, όταν κατά τον υπολογισμό της μεταφοράς ιζήματος κλίνης, χρησιμοποιείται το στιγμιαίο πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα Αποτελέσματα προσομοιώσεων μεταβολής μορφολογίας πυθμένα Για τη μορφολογική προσομοίωση κάθε περίπτωσης συνδυασμού ροής και γεωμετρίας πτυχώσεων πυθμένα ( 4.1.3), επιλέγεται ένα εύρος τιμών της μέσης διαμέτρου κόκκου ιζήματος, 100 a o /D g 500 (Πίνακας 4.5), το οποίο καθορίζεται σύμφωνα με τα ευρήματα των Clifton & Dingler (1984) για την κατάταξη των πτυχώσεων στροβίλου. Στον ίδιο πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές της παραμέτρου κινητικότητας, ψ, καθώς και του κρίσιμου αριθμού Shields, θ cο, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση (4.12), για όλες τις εξεταζόμενες περιπτώσεις ροής. Τα πεδία τιμών της προκύπτουσας παραμέτρου κινητικότητας 3.8 < ψ < 29.8, και των διαστάσεων των πτυχώσεων, 1.16 < L r /a o < 2.2 και < h r /a o < 0.44, καλύπτουν ένα σημαντικό εύρος πτυχώσεων που εμφανίζονται (είτε

89 75 στο εργαστήριο, είτε στο πεδίο) εξαιτίας της διάδοσης παράκτιων κυματισμών σύμφωνα με τα όσα παρουσιάζονται από τον Nielsen (1981, 1992). Πίνακας 4.5 Τιμές της παραμέτρου κινητικότητας, ψ, και του κρίσιμου αριθμού Shields, θ cο, για όλες τις εξεταζόμενες περιπτώσεις ροής και μεγεθών κόκκου ιζήματος. Περιπτ a o /D g ψ θ co ψ θ co ψ θ co ψ θ co Όπως προαναφέρθηκε, ένας από τους κύριους σκοπούς της παρούσας εργασίας είναι ο καθορισμός της τιμής του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d, για την οποία η μορφή και οι διαστάσεις της πτύχωσης παραμένουν ίδιες (έστω και με στρογγυλεμένες, αντί αιχμηρών, κορυφές) με τις αρχικές (Σχήμα 4.12), υποδηλώνοντας την επίτευξη ημιμόνιμης ισορροπίας μεταξύ του προερχόμενου από τη ροή πεδίου διατμητικής τάσης πυθμένα και της μεταφοράς ιζήματος κλίνης. Ο προσδιορισμός του μ d ισορροπίας κάθε περίπτωσης επιτυγχάνεται μέσω της διαδικασίας πολλαπλών δοκιμών (trial and error), ενώ σημειώνεται ότι η ημι-μόνιμη ισορροπία επιτυγχάνεται αρκετά συντομότερα από το χρόνο που αντιστοιχεί σε 1,000 περιόδους κύματος. Ο όρος ημι-μόνιμη ισορροπία σημαίνει ότι η μορφολογία της πτύχωσης μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια μιας περιόδου κύματος, εξαιτίας της μη-μηδενικής στιγμιαίας παροχής ιζήματος (Σχήμα 4.13), όμως η πτύχωση επανακτά τις αρχικές τις διαστάσεις στο τέλος κάθε κυματικής περιόδου. Από τη συνδυαστική παρατήρηση των Σχημάτων 4.5, και 4.13 προκύπτει ότι, ισχυρή παροχή ιζήματος λαμβάνει χώρα στην περιοχή ανάντη της αρχικής αποκόλλησης της ροής και πολύ κοντά στην κορυφή πτύχωσης [γραμμές (α) και (γ) στο Σχήμα 4.13], ενώ παροχή ιζήματος μικρότερης σχετικά έντασης συμβαίνει στην περιοχή ανακυκλοφορίας του πλήρως ανεπτυγμένου στροβίλου [γραμμές (β) και (δ) στο Σχήμα 4.13]. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.14, η χρησιμοποίηση τιμής μ d μικρότερης ή μεγαλύτερης από την τιμή ισορροπίας, έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία πυθμένα με πτυχώσεις μικρότερου ή μεγαλύτερου ύψους, αντίστοιχα, σε σχέση με το αρχικό ύψος.

90 76 Τα αποτελέσματα για την τιμή ισορροπίας του συντελεστή μ d (Πίνακας 4.6), δείχνουν ότι υπάρχει μικρή εξάρτηση αυτού από το λόγο του ημι-εύρους ροής κοντά στον πυθμένα προς τη μέση διάμετρο κόκκου του ιζήματος, α ο /D g. Παρόλα αυτά, η μέση διάμετρος κόκκου έχει έμμεση επίδραση στον μ d, μέσω της σχέσης του van Rijn [εξίσωση (4.12)] με την οποία ορίζεται η κρίσιμη τιμή θ co και κατά συνέπεια η θ c. Στον Πίνακα 4.6, τα αποτελέσματα του μ d ισορροπίας, τα οποία έχουν ληφθεί από τις μορφολογικές προσομοιώσεις κάνοντας χρήση των εμπειρικών σχέσεων του Meyer-Peter & Müller (1948) και του Ribberink (1998) [εξισώσεις (4.9) και (4.10), αντίστοιχα], παρουσιάζονται στην ίδια στήλη, επειδή ταυτίζονται μέχρι και το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. Επίσης, φαίνεται ότι για την πλειοψηφία των εξεταζόμενων περιπτώσεων, οι προαναφερθείσες σχέσεις δίνουν αποτελέσματα τα οποία, είτε ταυτίζονται, είτε είναι πολύ κοντά σε αυτά που έχουν προκύψει από τη σχέση των Engelund & Fredsøe (1976) [εξίσωση (4.7)]. Τέλος, η συσχέτιση του μ d ισορροπίας με τη γεωμετρία της πτύχωσης και κάποια από τις παραμέτρους τις κυματικής ροής, πραγματοποιείται μέσω της ποσότητας (L r /a o )(h r /a o ), με την οποία φαίνεται να υπάρχει μια περίπου γραμμική εξάρτηση (Σχήμα 4.15). Πίνακας 4.6 Τιμές του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d, που οδηγούν σε ισορροπία έξι περιπτώσεις γεωμετρίας πτυχώσεων και διάφορες τιμές του λόγου α ο /D g. (Τύποι: EF = Engelund & Fredsøe; MP = Meyer-Peter & Müller; R = Ribberink) μ d ισορροπίας Περιπτ. a o /D g 1Α 1Β 1C 1D 1E 1F EF/MP-R EF/MP-R EF/MP-R EF/MP-R EF/MP-R EF/MP-R / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /0.46

91 77 Σχήμα 4.12 Τυπικά προφίλ πυθμένα σε ισορροπία μετά από 1,000 περιόδους κύματος, Τ, για πτυχώσεις της (α) Περίπτωσης 1D και της (β) Περίπτωσης 2C. Σχήμα 4.13 Κατανομή της παροχής ιζήματος, Φ Β, υπολογισμένης από την εξίσωση (4.7), στην περιοχή μεταξύ δύο διαδοχικών πτυχώσεων (Περίπτωση 1F, a o /D g = 100), σε στιγμιότυπα που ταυτίζονται με αυτά του Σχήματος 4.5.

92 78 Σχήμα 4.14 Τυπικά προφίλ πυθμένα σε ισορροπία μετά από 1,000 περιόδους κύματος, Τ, για δύο τιμές του μ d, μίας μεγαλύτερης και μίας μικρότερης από την τιμή ισορροπίας μ d = 0.43 (Περίπτωση 1D). Σχήμα 4.15 Συσχέτιση του συντελεστή δυναμικής τριβής, μ d, ισορροπίας με το λόγο του μήκους πτύχωσης προς το ημι-εύρος ροής κοντά στον πυθμένα, L r /a o, και το λόγο του ύψους πτύχωσης προς το ημι-εύρος ροής, h r /a o. Στην παρούσα εργασία έχει γίνει η θεώρηση ότι το φορτίο πυθμένα αποτελεί την κυρίαρχη συνιστώσα της συνολικής μεταφοράς ιζήματος, ενώ η συνεισφορά του φορτίου σε αιώρηση θεωρείται αμελητέα. Θα πρέπει να σημειωθεί όμως, ότι η υπόθεση αυτή δεν ισχύει σε κάθε περίπτωση ροής πάνω από πτυχώσεις, αφού οι συνθήκες που αναπτύσσονται (υψηλές τιμές διατμητικής τάσης πυθμένα - δημιουργία περιοχών

93 79 ανακυκλοφορίας) ενδέχεται να ενισχύσουν την πιθανότητα αιώρησης του ιζήματος πυθμένα. Από την άλλη πλευρά, η συνεισφορά του φορτίου σε αιώρηση στην καθαρή (net) μεταφορά ιζήματος, κατά τη διάρκεια μίας περιόδου κύματος, εμφανίζεται αισθητά μειωμένη στις περιπτώσεις πτυχώσεων μικρού ύψους και ροής χαμηλής δυναμικότητας, όπως αναφέρεται στις εργασίες των van der Werf (2006) και Ribberink et al. (2008). Επιπρόσθετα, η επίδραση του αιωρούμενου φορτίου θεωρείται αμελητέα για κόκκους ιζήματος με μέση διάμετρο μεγαλύτερη των 0.2 mm και περιόδους κύματος κατά πολύ μεγαλύτερες του χρόνου καθίζησης σωματιδίου (Ribberink 1998; Ribberink et al. 2008). Εξάλλου, τα μοντέλα μεταφοράς ιζήματος κλίνης (ή φορτίου πυθμένα), τα οποία εμφανίζονται στην παρούσα εργασία, χρησιμοποιούνται στις αριθμητικές προσομοιώσεις κατά μία ψευδο-μόνιμη (quasi-steady) έννοια, δηλαδή υπό τη θεώρηση ότι η μεταφορά του φορτίου πυθμένα συνδέεται άμεσα με τη στιγμιαία διατμητική τάση πυθμένα. Αυτό σημαίνει ότι ένα σωματίδιο το οποίο κείται στον πυθμένα, θα ανταποκριθεί άμεσα στη στιγμιαία διατμητική τάση που θα ασκηθεί σε αυτό, αρκεί η τελευταία να υπερβαίνει το κατώφλι έναρξης της κίνησης, δηλαδή την κρίσιμη τιμής του αριθμού Shields, θ c. Η προηγούμενη προσέγγιση είναι συμβατή με τη θεώρηση της αμελητέας συνεισφοράς του φορτίου σε αιώρηση στην καθαρή μεταφορά ιζήματος της παρούσας εργασίας. Από την άλλη πλευρά, στις περιπτώσεις κατά τις οποίες κάποια χρονικά εξαρτημένα φαινόμενα, όπως ο συμπαράσυρση και η καθίζηση του ιζήματος, έχουν έντονη παρουσία, τότε προκαλείται υστέρηση φάσης μεταξύ της διατμητικής τάσης πυθμένα και της συνολικής μεταφοράς ιζήματος, η οποία γίνεται μεγαλύτερη με την αύξηση του αιωρούμενου φορτίου (Ribberink 1998; Ribberink et al. 2008). Τα φαινόμενα αυτά οφείλονται κυρίως στη διαδικασία ανάπτυξης στροβίλων στις παρειές των πτυχώσεων. Σε τέτοιες περιπτώσεις επιβάλλεται η χρήση μοντέλου μεταφοράς ιζήματος το οποίο λαμβάνει υπόψη τις προαναφερθείσες μη-μόνιμες επιπτώσεις της κυματικής ροής πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις, όπως π.χ. το μερικώς μη-μόνιμο (semi-unsteady) μοντέλο που έχει προταθεί από τους Dibajna & Watanabe (1992).

94 80 5. ΘΡΑΥΣΗ ΚΑΘΕΤΩΝ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΑΚΤΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΠΥΘΜΕΝΑ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται αριθμητικές προσομοιώσεις της δισδιάστατης ροής με ελεύθερη επιφάνεια, η οποία προκύπτει από τη διάδοση και θραύση μηγραμμικών κυμάτων, εγκάρσια στην ακτογραμμή, πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης. Ένας από τους βασικούς στόχους είναι η ενδελεχής διερεύνηση των φαινομένων της θραύσης (εκχείλισης) και του συνεπαγόμενου υποβρυχίου κυματογενούς ρεύματος (undertow current). Παρουσιάζονται αποτελέσματα τα οποία έχουν προκύψει από την αριθμητική επίλυση των μετασχηματισμένων εξισώσεων Navier-Stokes είτε με την ενσωμάτωση των υποπλεγματικών (sub-grid) τάσεων δίνης και κύματος, μέσω της μεθοδολογίας μεγάλων κυμάτων (LWS), είτε χωρίς αυτή. Στη συνέχεια τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων ροής για το πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα, χρησιμοποιούνται ως δεδομένα για την αριθμητική, επίσης, προσομοίωση της μεταβολής της μορφολογίας του κεκλιμένου πυθμένα υπό την επίδραση της μεταφοράς ιζήματος κλίνης. 5.1 ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Εξισώσεις ροής, αριθμητική μέθοδος και επαλήθευση μοντέλου LWS Οι εξισώσεις που διέπουν τη δισδιάστατη κυματική ροή πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης, καθώς και οι οριακές συνθήκες που επιβάλλονται σε αυτές, προκύπτουν από τις αντίστοιχες τρισδιάστατες εξισώσεις, οι οποίες παρουσιάστηκαν στα Κεφάλαια 2 και 3, εξαλείφοντας τους όρους που εμπεριέχουν μεταβλητές της οριζόντιας διάστασης x 2 στο φυσικό πεδίο και s 2 στο υπολογιστικό πεδίο ροής. Για τις προσομοιώσεις θραυόμενων κυματισμών του παρόντος κεφαλαίου, οι εξισώσεις ροής επιλύονται με ενεργοποιημένο ή απενεργοποιημένο το μοντέλο μεγάλων κυμάτων (LWS), ώστε να διαπιστωθεί η συνεισφορά των υποπλεγματικών (SGS) τάσεων δίνης και κύματος στην ανάπτυξη του επιφανειακού στροβίλου στο μέτωπο του θραυόμενου κύματος την απόσβεση της ενέργειας αυτού στη συνέχεια. H απενεργοποίηση του μοντέλου LWS συνεπάγεται την εξάλειψη των όρων T i που αντιπροσωπεύουν τις SGS τάσεις από τις εξισώσεις ροής, και επίσης, αφού δε γίνεται διαχωρισμός των κλιμάκων για τις μεταβλητές της ροής, ισχύει ότι f = f.

95 81 Όσον αφορά την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων, γίνεται χρήση μόνο της ψευδο-φασματικής προσέγγισης με πολυώνυμα Chebyshev, επειδή η χωρική διακριτοποίησή τους πραγματοποιείται μόνο στις διευθύνσεις s 1 και s 3. Συνεπώς, οι συντελεστές των μεταβλητών ροής, οι οποίοι εμφανίζονται στα προς επίλυση συστήματα, έχουν μετασχηματιστεί αποκλειστικά κατά Chebyshev, ενώ έχει παραληφθεί η εκτέλεση του μετασχηματισμού Fourier. Για τους μετασχηματισμένους συντελεστές χρησιμοποιείται πλέον, ο συμβολισμός f αντί του f. Επίσης, το φίλτρο το οποίο εφαρμόζεται στις μετασχηματισμένες συνιστώσες της ενδιάμεσης ταχύτητας, ˆv, δίνεται από την εξίσωση (4.1) του προηγούμενου κεφαλαίου. Κατά τη χρονική ολοκλήρωση, και συγκεκριμένα στο τρίτο στάδιο κάθε χρονικού βήματος (βλ. 3.2), απαιτείται η επίλυση δύο συστημάτων εξισώσεων αντί τριών, ένα για καθεμία από τις συνιστώσες της ταχύτητας. Η επαλήθευση της μεθοδολογίας LWS, εφαρμοζόμενης σε σύζευξη με τις δισδιάστατες εξισώσεις Euler για την περίπτωση μη-συνεκτικής ροής θραυόμενων κυμάτων, από την οποία προέκυψε και η βαθμονόμηση της παραμέτρου, C η, του μοντέλου των SGS τάσεων κύματος (βλ ), παρουσιάζεται στη διδακτορική διατριβή του Δημακόπουλος (2009) και την εργασία Dimas & Dimakopoulos (2011). Σημειώνεται ότι η μεθοδολογία αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων Euler είναι ανάλογη της μεθοδολογίας για την επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 3 της παρούσας εργασίας. Το πεδίο ροής διακριτοποιήθηκε σε υπολογιστικό πλέγμα 1536 κελιών σταθερού βήματος κατά την οριζόντια διεύθυνση (Δs 1 =0.04), και 64 κόμβων Chebyshev κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, ενώ η χρονική ολοκλήρωση πραγματοποιήθηκε με χρονικό βήμα Δt =10-4. Η επαλήθευση και βαθμονόμηση του μοντέλου επιτεύχθηκε μέσω σύγκρισης των αριθμητικών αποτελεσμάτων τους με αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994, 1996) για την περίπτωση κάθετης, ως προς την ακτογραμμή, διάδοσης θραυόμενου κύματος πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης. Για την ακρίβεια εξετάστηκε ένα εύρος τιμών της παραμέτρου C η, από 0.3 ως 0.8, ενώ η τιμή της σταθεράς Smagorinsky, C s, παρέμενε σταθερή και ίση με 0.1. Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα σύγκρισης της ελεύθερης επιφάνειας με τα αντίστοιχα των Ting & Kirby (1994), προέκυψε ότι η τιμή της C η = 0.4 είναι αυτή που δίνει την πιο ισορροπημένη πρόβλεψη των χαρακτηριστικών παραμέτρων της θραύσης και υιοθετείται στις προσομοιώσεις της παρούσας εργασίας.

96 Αποτελέσματα προσομοιώσεων ροής ελεύθερης επιφάνειας πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης Η ακρίβεια και αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας LWS, η οποία πλέον συνδυάζεται με τις εξισώσεις Navier-Stokes, εξετάζεται μέσω αριθμητικής προσομοίωσης της κάθετης, ως προς την ακτογραμμή, διάδοσης, μετασχηματισμού και θραύσης εισερχόμενων κυμάτων Stokes 2 ης τάξης πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Όπως συμβαίνει και στην περίπτωση της επαλήθευσης της μη-συνεκτικής εκδοχής του μοντέλου LWS (Δημακόπουλος, 2009), οι παράμετροι της προσομοίωσης επιλέγονται ώστε να καθίσταται δυνατή η σύγκριση των αποτελεσμάτων των αριθμητικών προσομοιώσεων της παρούσας εργασίας με τις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994). Οι πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994) διενεργήθηκαν σε δεξαμενή κυμάτων μήκους 40 m, πλάτους 0.6 m και βάθους 1.0 m, και αφορούσαν τις περιπτώσεις θραύσης εκχείλισης και εκτίναξης. Οι παράμετροι ροής των πειραμάτων για την περίπτωση θραύσης εκχείλισης ελλειπτικών κυμάτων, συνοψίζονται στις εξής: βάθος εισόδου κυμάτων d I = 0.4 m, ύψος και περίοδος κύματος H I = m και Τ = 2 s, αντίστοιχα, οι οποίες αντιστοιχούν σε ύψος και μήκος κύματος μεγάλου βάθους H ο = m και λ ο = m, αντίστοιχα. Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η περίπτωση κυμάτων με τις προαναφερόμενες παραμέτρους μεγάλου βάθους, ενώ το βάθος εισόδου θεωρείται d I = 0.7 m, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η θεωρία κυμάτων Stokes για το εισερχόμενο, στο πεδίο ροής, κύμα. Στο συγκεκριμένο βάθος, το ύψος κύματος προκύπτει ίσο με H I = m. Οι αδιάστατες τιμές των παραμέτρων εισερχόμενου κύματος, H I = 0.168, Τ = και λ Ι = 6.605, προκύπτουν κάνοντας χρήση των μεγεθών g, d I, οι οποίες, μαζί με την πυκνότητα ρ, χρησιμοποιούνται για την αδιαστατοποίηση όλων των μεγεθών των συγκεκριμένων προσομοιώσεων. Για την προσομοίωση του κύματος με τα προηγούμενα χαρακτηριστικά, θεωρείται αριθμός Reynolds, Re d = 250,000, ο οποίος είναι περίπου επτά φορές μικρότερος, από την αντίστοιχη τιμή του Re d της ροής των Ting & Kirby (1994). Τέλος, ο αριθμός Irribaren είναι ξ ο = tanβ(λ ο /Η ο ) 0.5 = 0.2 και αντιστοιχεί σε θραύση εκχείλισης μέσης έντασης. Όπως φαίνεται στο σκαρίφημα του υπολογιστικού πεδίου (Σχήμα 5.1), πριν το κεκλιμένο τμήμα πυθμένα, θεωρείται ένα οριζόντιο τμήμα σταθερού βάθους d I, για την ομαλή εισροή των κυμάτων. Στην περιοχή εξόδου, η οποία ακολουθεί το τμήμα σταθερής

97 83 κλίσης, και αντιπροσωπεύει χονδροειδώς τη ζώνη κυματογενούς αναρρίχησης (swash zone), ο πυθμένας θεωρείται επίσης οριζόντιος με βάθος d E d I, ενώ κατά μήκος αυτής τοποθετείται η τεχνητή ζώνη απορρόφησης κυμάτων και επιβράδυνσης της ροής. Η θεώρηση d E d I, γίνεται εξαιτίας του χρησιμοποιούμενου μετασχηματισμού των εξισώσεων ροής, ο οποίος δεν επιτρέπει το μηδενισμό του βάθους ροής. Η επιβράδυνση της ροής επιτυγχάνεται με γραμμική μείωση της τιμής του Re d μέχρι το μέσο (κατά x 1 ) της περιοχής εξόδου, ώστε να γίνει 100 φορές μικρότερη της αντίστοιχης τιμής στην είσοδο της ζώνης απόσβεσης, ενώ στη συνέχεια η μειωμένη τιμή του Re d διατηρείται σταθερή ως το όριο εξόδου του υπολογιστικού πεδίου. Το συνολικό μήκος του υπολογιστικού πεδίου είναι l = 60, το οριζόντιο τμήμα του πυθμένα έχει μήκος L I = 15, ενώ η περιοχή εξόδου και η ζώνη απόσβεσης έχουν μήκος L Ε = L Α = και βάθος d E = x 3 x 0 d E L E, L A d I L I l Σχήμα 5.1 Τυπικό σκαρίφημα δισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου ροής για τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα κλίσης tanβ = 1/35. Η περιοχή εισόδου είναι μήκους L I = 15 και βάθους d I =1, η περιοχή εξόδου έχει μήκος L E = και βάθος d Ε =0.03, ενώ κατά μήκος αυτής βρίσκεται η ζώνη απόσβεσης κύματος με μήκος L A = L E. Οι αριθμητικές παράμετροι των προσομοιώσεων είναι Δs 1 = 0.04, N = 128 και Δt = Ο χρόνος μιας τυπικής προσομοίωσης είναι μεγαλύτερος των 20 περιόδων κύματος, Τ, ενώ για την εκτέλεση προσομοίωσης διάρκειας μιας περιόδου Τ, απαιτούνται περίπου 24 ώρες υπολογιστικού χρόνου στον προσωπικό υπολογιστή με επεξεργαστή Intel (R) Core (TM) i5. Κατά την εκκίνηση της προσομοίωσης της ροής θεωρούνται συνθήκες ηρεμίας του ρευστού. Με τη χρήση 128 υπολογιστικών κόμβων κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, εξασφαλίζεται η ακρίβεια της επίλυσης ακόμα και πολύ κοντά στον πυθμένα, λόγω της

98 84 πύκνωσης των κόμβων στην περιοχή των ορίων (Σχήμα 5.2), η οποία συνδέεται με τη σχετική ιδιότητα των πολυωνύμων Chebyshev. Τα τυπικά προφίλ της οριζόντιας στιγμιαίας ταχύτητας, για την ίδια χρονική στιγμή, σε τρείς θέσεις κατά μήκος του υπολογιστικού πεδίου, επιβεβαιώνουν την ύπαρξη ικανοποιητικού αριθμού σημείων Chebyshev-Gauss-Lobatto, για την επαρκή αποτύπωση ακόμα και των έντονων κλίσεων του προφίλ της οριζόντιας ταχύτητας, οι οποίες εμφανίζονται καθώς το βάθος πυθμένα μειώνεται. Σχήμα 5.2 Τυπικά προφίλ στιγμιαίας οριζόντιας ταχύτητας, u 1, για την ίδια χρονική στιγμή, σε τρείς θέσεις κατά μήκος της διεύθυνσης x 1 για την περίπτωση διάδοσης κυμάτων πάνω από πυθμένα κλίσης tanβ = 1/35. Η πράσινη καμπύλη αντιστοιχεί σε θέση που βρίσκεται στο οριζόντιο τμήμα πυθμένα που προηγείται του κεκλιμένου τμήματος. Παράλληλα με την αριθμητική προσομοίωση με ενσωματωμένο το μοντέλο LWS, πραγματοποιήθηκε προσομοίωση της ίδιας περίπτωσης ροής πάνω από κεκλιμένο πυθμένα με απενεργοποιημένο το μοντέλο LWS, κάνοντας χρήση των ίδιων αριθμητικών παραμέτρων (Δs 1 = 0.04, N = 128 και Δt = 10-4 ). Η συγκεκριμένη διαμόρφωση του μοντέλου οδήγησε σε αδυναμία προσομοίωσης της θραύσης του κύματος και κατάρρευσης της αριθμητικής λύσης, η οποία συνοδευόταν από την παρουσία αφύσικων διαταραχών (spikes) στο πεδίο ταχύτητας εντός του θραυόμενου μετώπου κύματος, πολύ κοντά στην

99 85 ελεύθερη επιφάνεια. Προφανώς, οι διαταραχές οφείλονται στην υπερβολική συσσώρευση ενέργειας που προκύπτει από τη θραύση, στα κελία του σχετικά αδρού (για την προσομοίωση ενός τόσο μη-γραμμικού φαινομένου) χρησιμοποιούμενου πλέγματος. Κατά συνέπεια, οι απαιτήσεις σε υπολογιστικούς κόμβους στην οριζόντια διεύθυνση, για την προσομοίωση της παραμόρφωσης και ταυτόχρονα της απόσβεσης της θραυόμενης κυματομορφής, είναι υψηλότερες από αυτές που προκύπτουν με τη χρήση του Δs 1 = Επειδή η μείωση του χωρικού βήματος, π.χ. κατά μια τάξη μεγέθους, θα επέφερε μεγάλη αύξηση του υπολογιστικού κόστους, αντ' αυτού πραγματοποιήθηκε η εφαρμογή μιας συνάρτησης φίλτρου, αντίστοιχης της εξίσωσης (4.1), στο μετασχηματισμένο κατά Fourier πεδίο ενδιάμεσων ταχυτήτων v ˆi. Ο μετασχηματισμός γίνεται στη διεύθυνση s 1, κατά τα γνωστά, με τη χρήση του αλγορίθμου FFT (Press et al., 1992). Με τη χρήση της συνάρτησης φίλτρου επιτυγχάνεται σταθερότητα της αριθμητικής επίλυσης, αλλά το μειονέκτημα της είναι η απορρόφηση της ενέργειας των μικρότερων διαταραχών, οι οποίες είναι σημαντικές για την προσομοίωση του φαινομένου της θραύσης (Σχήμα 5.3). Επομένως, η προσάρτηση ενός μοντέλου προσομοίωσης των τυρβωδών διακυμάνσεων στον επιλυτή των εξισώσεων Navier-Stokes, κρίνεται επιβεβλημένη. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στη συνέχεια προέρχονται αποκλειστικά από τις προσομοιώσεις με το αριθμητικό μοντέλο LWS. Στο Σχήμα 5.3 φαίνονται στιγμιότυπα της επιλυόμενης ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, μετά την πάροδο 20 περιόδων κύματος, Τ, τα οποία συγκρίνονται με τα αποτελέσματα των πειραματικών μετρήσεων των Ting & Kirby (1994) για τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, δηλαδή την κορυφή και την κοιλία κύματος, αντίστοιχα. Επίσης, ενδεικτικά σημειώνονται και οι περιβάλλουσες των μεγίστων και ελαχίστων τιμών της ελεύθερης επιφάνειας από την προσομοίωση χωρίς την προσάρτηση του μοντέλου LWS. Η μεταβολή του ύψους κύματος, κατά τη ρήχωση, τη θραύση και την απόσβεσή του, παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.4. Το αριθμητικό μοντέλο LWS προβλέπει άριστα το βάθος θραύσης του κύματος, d b = 0.28, το οποίο αντιστοιχεί στη θέση x 1 = 40.2, αλλά υποεκτιμά το ύψος θραύσης, όπως φαίνεται από την απόκλιση, περίπου κατά 10%, των τιμών του μοντέλου για την κορυφή στη θραύση ( η b = ) και το ύψος θραύσης (Η b =0.213) και των αντίστοιχων πειραματικών μετρήσεων ( η b = 0.196, Η b =0.236) (Σχήματα 5.3 και 5.4). Για τον υπολογισμό του ύψους θραύσης, το Coastal Engineering Manual (CEM) προτείνει την ημι-εμπειρική σχέση των Komar & Gaughan

100 86 (1973), η οποία σε συνδυασμό με την εμπειρική σχέση του Weggel (1972), προβλέπει Η b = (CEM 2002, σελ. ΙΙ-4-4). Επίσης, θα πρέπει να σημειωθεί ότι η πρόβλεψη του μοντέλου LWS για το ύψος θραύσης παραμένει καλύτερη από αυτές των Lin & Liu (1998), Bradford (2000) και Christensen (2006). Στα μεγαλύτερα βάθη της ζώνης απόσβεσης (x 1 < 44), το μοντέλο υποεκτιμά την απόσβεση του ύψους κύματος, αντίθετα με ότι συμβαίνει για το τμήμα της ζώνης απόσβεσης κοντά στην ακτογραμμή (x 1 > 44), όπου οι προβλέψεις του μοντέλου είναι πάρα πολύ καλές και για την κυματογενή ανύψωση της μέσης στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας (Σχήμα 5.3). Γενικά, τα αριθμητικά αποτελέσματα για την ελάχιστη στάθμη της ελεύθερης επιφάνειας βρίσκονται σε συμφωνία με την περιβάλλουσα των κοιλιών κύματος που σχηματίζεται από τα πειραματικά δεδομένα. Τα αριθμητικά αποτελέσματα για την περιοχή της ρήχωσης κύματος προσεγγίζουν ικανοποιητικά τις αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις, με τη διαφορά ότι το μοντέλο LWS προβλέπει μονοτονική αύξηση του ύψους κύματος (οι πειραματικές μετρήσεις παρουσιάζουν αυξομειώσεις της μέγιστης ανύψωσης για 31 < x 1 < 37. Σχήμα 5.3 Στιγμιότυπα της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Τα σύμβολα αντιστοιχούν στις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994) για την υψηλότερη και τη χαμηλότερη θέση της ελεύθερης επιφάνειας. Οι κόκκινες γραμμές αντιστοιχούν στις περιβάλλουσες της μέγιστης και ελάχιστης ανύψωσης της προσομοίωσης χωρίς το μοντέλο LWS.

101 87 Σχήμα 5.4 Μεταβολή του ύψους κύματος κατά τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Τα σύμβολα αντιστοιχούν στις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994). Τρία τυπικά στιγμιότυπα της κατανομής της αδιάστατης στροβιλότητας, στη ζώνη απόσβεσης, τη χρονική στιγμή της έναρξης του φαινομένου και σε χρονικά διαστήματα Δt = 0.5T και 0.8Τ μετά τη θραύση, παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.5. Με την έναρξη του φαινομένου, στην κορυφή του θραυόμενου κύματος εμφανίζεται στροβιλότητα αρνητικού πρόσημου, η οποία αντιστοιχεί σε δεξιόστροφη ανακυκλοφορία του ρευστού. Μετά τη θραύση ο επιφανειακός στρόβιλος γίνεται ακόμα πιο ισχυρός, ενώ ταυτόχρονα, συμπαρασυρόμενος από το κύμα στη ζώνη απόσβεσης, διαχέεται στον ολκό αυτού. Στο Σχήμα 5.5 φαίνεται, επίσης, η κατανομή της στροβιλότητας κοντά στον πυθμένα, η οποία οφείλεται στη διατμητική τάση που αναπτύσσεται στον πυθμένα, με μέγιστες τιμές μέχρι και 10 φορές μεγαλύτερες από αυτές της στροβιλότητας στη θραυόμενη κορυφή του κύματος.

102 88 Σχήμα 5.5 Στιγμιότυπα ισοϋψών του πεδίου στροβιλότητας εντός της ζώνης απόσβεσης: (α) τη στιγμή έναρξης της θραύσης, (β) σε χρονικό διάστημα Δt = 0.5T μετά τη θραύση και (γ) σε χρονικό διάστημα Δt 0.8T μετά τη θραύση. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία LWS, η θραύση και η απόσβεση του κύματος συνοδεύονται από την ανάπτυξη και τη συνδυασμένη δράση των SGS τάσεων δίνης και κύματος. Στο Σχήμα 5.6 παρουσιάζονται τυπικά στιγμιότυπα του πεδίου των τάσεων κύματος τ η 13 και τ η 33, εντός της ζώνης απόσβεσης, κατά την έναρξη της θραύσης και σε χρόνο 0.5Τ αργότερα, ενώ αντίστοιχα στιγμιότυπα για τις SGS τάσεις δίνης παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.7. Είναι προφανές ότι η δημιουργία του επιφανειακού στροβίλου (Σχήμα 5.5) συνοδεύεται από τη συνεχόμενη αύξηση του μεγέθους των τάσεων

103 89 κύματος και δίνης στο μέτωπο του θραυόμενου κύματος. Η μεγαλύτερη σε μέγεθος από τις SGS τάσεις και η σημαντικότερη από άποψη συνεισφοράς στην μοντελοποίηση της θραύσης, είναι η τάση κύματος τ η 13, η οποία είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από τις SGS τάσεις δίνης. Από την έναρξη του φαινομένου και κατά τη διαδικασία απόσβεσης της ενέργειας κύματος, η περιοχή έντονης δράσης των SGS τάσεων κύματος και δίνης παραμένει το μέτωπο του θραυόμενου κυματισμού. Οι περιβάλλουσες των μεγίστων και ελαχίστων τιμών των SGS τάσεων ως συνάρτηση του αδιάστατου βάθους d/d b, οι οποίες παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.8, επιβεβαιώνουν τη σημαντικότητα της τ η 13, και ταυτόχρονα αποτυπώνουν τη μεταβολή της ισχύος όλων των SGS τάσεων στην περιοχή της θραύσης και τη ζώνη απόσβεσης. Όσον αφορά τις τάσεις κύματος, η αύξηση του μεγέθους τους συμβαίνει για το διάστημα 1 d/d b 0.75, και κατά τη διάρκεια χρονικού διαστήματος Δt = 0.5Τ μετά την έναρξη της θραύσης, ενώ για d/d b < 0.75 και χρόνο μεγαλύτερο από 0.5Τ μετά τη θραύση, η δύναμή τους εξασθενεί μέχρι μηδενισμού τους. Σχήμα 5.6 Ισοϋψείς των SGS τάσεων κύματος (α) τ 13 η, (β) τ 33 η, εντός της ζώνης απόσβεσης. Κάθε ζεύγος στιγμιότυπων αντιστοιχεί στα (α) και (β) του Σχήματος 5.5, ενώ το πρώτο στιγμιότυπο περιλαμβάνει δύο κορυφές (θέσεις x 1 40 και 44.5). Οι διακεκομμένες ισοϋψείς αντιστοιχούν σε αρνητικές τιμές, ενώ σχεδιάζονται ανά διαστήματα των ξεκινώντας από την τιμή ±

104 Σχήμα 5.7 Ισοϋψείς των SGS τάσεων δίνης (α) τ 11, (β) τ 13, (γ) τ 33, εντός της ζώνης απόσβεσης. Κάθε ζεύγος στιγμιότυπων αντιστοιχεί στα (α) και (β) του Σχήματος 5.5, ενώ το πρώτο στιγμιότυπο περιλαμβάνει δύο κορυφές (θέσεις x 1 40 και 44.5). Οι διακεκομμένες ισοϋψείς αντιστοιχούν σε αρνητικές τιμές, ενώ σχεδιάζονται ανά διαστήματα των ξεκινώντας από την τιμή ±

105 91 Σχήμα 5.8 Περιβάλλουσες κανονικοποιημένων SGS τάσεων, [τ', τ' η ] = [τ, τ η ]/(ρgd b tanβ), κατά τη ρήχωση, θραύση και απόσβεση κύματος πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Όπως αναφέρθηκε στην Εισαγωγή, η δημιουργία του κυματογενούς υποβρύχιου ρεύματος, που συνοδεύει τη θραύση του κύματος, προέρχεται από τη συνθήκη μηδενισμού της μέσης παροχής ρευστού στη ζώνη απόσβεσης, κατά την εγκάρσια στην ακτογραμμή διεύθυνση. Στο Σχήμα 5.9 παρουσιάζεται μία τυπική κατανομή της χρονικά μέσης ταχύτητας, εγκάρσια στην ακτογραμμή (έχει προκύψει από τρεις περιόδους κύματος), ανάντη της γραμμής θραύσης και σε τμήμα της ζώνης απόσβεσης, και είναι προφανές ότι το μοντέλο είναι σε θέση να προσομοιώσει επαρκώς το εν λόγω φαινόμενο. Κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια, το πεδίο της μέσης ταχύτητας αποτυπώνει την ύπαρξη ενός ρεύματος με κατεύθυνση προς την ακτογραμμή, το οποίο οφείλεται στη συνδυασμένη δράση του επιφανειακού στροβίλου και της καθαρής παροχής νερού μεταξύ κορυφής και κοιλίας

106 92 κύματος (Eulerian drift). Σε βάθη μεγαλύτερα της ελάχιστης στάθμης κοιλίας κύματος και κοντά στον πυθμένα, εμφανίζεται το υποβρύχιο ρεύμα με κατεύθυνση προς την ανοιχτή θάλασσα, η ισχύς του οποίου αυξάνει καθώς κατευθυνόμαστε προς την ακτή. Πριν τη γραμμή θραύσης και σε τμήμα της ζώνης απόσβεσης κοντά σε αυτή, η μέση ταχύτητα πολύ κοντά στον πυθμένα, υποδεικνύει την ύπαρξη ενός ασθενούς ρεύματος προς την ακτή, το οποίο είναι γνωστό ως ρεύμα κυματογενούς οριακού στρώματος (wave boundary layer drift - streaming) και είναι βασικό χαρακτηριστικό των παλλόμενων οριακών στρωμάτων. Oι Fredsøe (1992) και Nielsen (1992) επικαλούμενοι ευρήματα από την εργασία του Longuet-Higgins (1957), αναφέρουν ότι το ρεύμα κυματογενούς οριακού στρώματος οφείλει την ύπαρξή του σε ένα μέσο πεδίο διατμητικής τάσης που αναπτύσσεται εντός του οριακού στρώματος, και προκαλείται από την εμφάνιση μιας μικρής κατακόρυφης ταχύτητας, λόγω του μεταβαλλόμενου πάχους του κυματογενούς οριακού στρώματος. Η εμφάνιση αυτής της ταχύτητας έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή της διαφοράς φάσης των 90 μεταξύ της στιγμιαίας οριζόντιας και της κατακόρυφης ταχύτητας των σωματιδίων νερού. Η παρουσία του κυματογενούς ρεύματος οριακού στρώματος στη ζώνη απόσβεσης (κοντά στη γραμμή θραύσης) επιβεβαιώνεται από πειραματικές μετρήσεις των Okayasu et al. (1988), για την περίπτωση θραύσης εκχείλισης κύματος πάνω από πυθμένες σταθερής κλίσης 1/20 και 1/30, ενώ δεν μπορεί να βγει αντίστοιχο συμπέρασμα από τα μετρημένα προφίλ ταχύτητας των Ting & Kirby (1994), τα οποία δε φτάνουν σε κοντινή απόσταση από τον πυθμένα. Σχήμα 5.9 Κατανομή της μέσης ταχύτητας στη ζώνη θραύσης και σε τμήμα της ζώνης απόσβεσης.

107 93 Προκειμένου να διερευνηθεί η επίδραση του αριθμού Reynolds στα αποτελέσματα των αριθμητικών προσομοιώσεων, και ειδικότερα σε αυτά που επηρεάζονται από την παρουσία σταθερού τοιχώματος (πυθμένας), πραγματοποιείται προσομοίωση με τις ίδιες παραμέτρους (ροής και αριθμητικές), με μοναδική διαφορά το διπλασιασμό του Re d, ο οποίος θεωρείται ίσος με 500,000. Σημειώνεται ότι πιθανή περαιτέρω αύξηση της τιμής του Re d σε υψηλότερες τιμές, θα συνοδευόταν με την απαίτηση χρήσης πυκνού υπολογιστικού πλέγματος κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, ιδιαίτερα κοντά στο τοίχωμα. Το υψηλό υπολογιστικό κόστος διπλασιασμού των κόμβων Chebyshev, ώστε ο αριθμός τους να παραμείνει ακέραια δύναμη του δύο, περιορίζει τις προσομοιώσεις στις δύο προαναφερόμενες περιπτώσεις αριθμών Reynolds. Τα αποτελέσματα για το ύψος και βάθος θραύσης, τη στροβιλότητα, και τις SGS τάσεις κύματος και δίνης διαφέρουν ελάχιστα από αυτά που έχουν παρουσιαστεί ήδη για την περίπτωση με Re d = 250,000, επομένως δεν παρουσιάζονται. Επίσης, η κατανομή της μέσης οριζόντιας ταχύτητας, για μία περίοδο κύματος, ποιοτικά είναι όμοια με αυτή του Σχήματος 5.9, για Re d = 250,000. Στο Σχήμα 5.10, οι προβλέψεις του αριθμητικού μοντέλου για την κατακόρυφη κατανομή του υποβρύχιου ρεύματος σε τέσσερις θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης για Re d = 250,000 και 500,000, συγκρίνονται με τα αντίστοιχα προφίλ που έχουν προκύψει από τις μετρήσεις των Ting & Kirby (1994). Η μέση οριζόντια ταχύτητα, U 1, και η κατακόρυφη συντεταγμένη, x 3, κανονικοποιούνται ως προς το βάθος θραύσης d b, και το τοπικό βάθος d της κάθε θέσης, αντίστοιχα. Γενικά, η διαφορά μεταξύ των προβλέψεων του μοντέλου LWS για τις δύο περιπτώσεις Re d είναι μικρή, ενώ παράλληλα φαίνεται ότι συμφωνούν με τις αντίστοιχες μετρήσεις, ως προς την τάξη μεγέθους του υποβρύχιου ρεύματος αλλά και την κλίση των προφίλ [ειδικά των (β), (γ) και (δ)], συνεπώς κρίνονται επαρκείς. Όπως παρατηρείται [κυρίως στα Σχήματα 5.10(γ)-(δ)], η θέση του ελαχίστου της καμπύλης της αριθμητικής προσομοίωσης βρίσκεται σε μικρότερο βάθος για την περίπτωση του Re d = 250,000 σε σχέση με την περίπτωση της υψηλότερης τιμής του, ενώ και οι δύο βρίσκονται πιο απομακρυσμένες από τον πυθμένα σε σχέση με την ελάχιστη μετρημένη τιμή. Το γεγονός αυτό θα πρέπει να αποδοθεί στη διαφορά των χρησιμοποιούμενων τιμών Re d του αριθμητικού μοντέλου και των μετρήσεων (οι τιμές των προσομοιώσεων είναι από τέσσερις ως επτά φορές μικρότερες της τιμής των πειραμάτων).

108 94 Σχήμα 5.10 Κατακόρυφη κατανομή της μέσης οριζόντιας ταχύτητας σε τέσσερις θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης. Τα σύμβολα αντιστοιχούν στα πειραματικά δεδομένα του σχήματος 5(c)-(f) των Ting & Kirby (1994), οι μπλε συνεχείς γραμμές αντιστοιχούν σε Re d = 250,000 και Ν = 128, οι κόκκινες διακεκομμένες σε Re d = 500,000 και Ν = 128, ενώ οι πράσινες διακεκομμένες γραμμές σε Re d = 250,000 και Ν = 64. Στο Σχήμα 5.11 παρουσιάζεται η κατανομή της διατμητικής τάσης πυθμένα, τ b, σε σχέση με την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, για διάφορες φάσεις της περιόδου Τ, και για τις δύο περιπτώσεις Re d = 250,000 και 500,000. Όπως αναμενόταν, το εύρος διακύμανσης της στιγμιαίας διατμητικής τάσης είναι μεγαλύτερο στην πρώτη περίπτωση σε σχέση με τη δεύτερη. Διαπιστώνεται σημαντική αύξηση του εύρους μεταβολής της τ b, με τη μέγιστη τιμή της, να γίνεται έως και έξι με επτά φορές μεγαλύτερη (στη θέση x 1 = 42.5) της αντίστοιχης τιμής της στην περιοχή του επίπεδου πυθμένα (x 1 15), και για τις

109 95 δύο εξεταζόμενες περιπτώσεις Re d. Το εύρος της διατμητικής τάσης μειώνεται στη ζώνη απόσβεσης, ακολουθώντας τη μείωση του ύψους κύματος. Επίσης, με τη βοήθεια του έντονου στιγμιότυπου της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, γίνεται αντιληπτή η μείωση του μήκους κύματος καθώς μειώνεται το βάθος του πυθμένα. Τέλος, η θέση εμφάνισης της μέγιστης τ b διαφέρει από τη θέση όπου εντοπίζεται η μέγιστη ανύψωση η max, και κατά συνέπεια η θραύση (x 1 40), ενώ παράλληλα, οι δυο τους, παρουσιάζουν διαφορά φάσης μισής περιόδου κύματος. Σχήμα 5.11 Στιγμιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας, η, και της κατανομής της διατμητικής τάσης πυθμένα, τ b. Οι σκούρες γραμμές αντιστοιχούν σε Re d = 250,000, ενώ οι κόκκινες γραμμές σε Re d = 500,000. Οι μαύρες έντονες γραμμές αντιστοιχούν σε κοινή χρονική στιγμή, ενώ στη θέση x 1 = 15 ξεκινά η κλίση του πυθμένα. Εκτός της επίδρασης του Re d στα αριθμητικά αποτελέσματα, διερευνήθηκε και η επίδραση του υποδιπλασιασμού των κόμβων Chebyshev κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, (από 128 σε 64), μόνο για την περίπτωση προσομοίωσης με Re d = 250,000, θεωρώντας αμετάβλητες τις υπόλοιπες αριθμητικές παραμέτρους. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης δε διαφέρουν ουσιαστικά από τα αντίστοιχα της προσομοίωσης με Ν = 128, εκτός από την περιοχή κοντά στον πυθμένα, αφού πλέον, η ανάλυση του υπολογιστικού πλέγματος δεν επιτρέπει την ακριβή προσομοίωση των διεργασιών εντός του οριακού στρώματος, με αποτέλεσμα να μη μπορεί να προσομοιωθεί η παρουσία του κυματογενούς ρεύματος οριακού στρώματος (streaming) (Σχήμα 5.10). Στον Πίνακα 5.1 παρουσιάζονται οι διαστάσεις των υπολογιστικών κελιών, Δx + 1 και Δx + 3, μετρημένες σε ιξώδεις κλίμακες μήκους, για τις προσομοιώσεις με Ν = 64 και 128,

110 96 με Re d = 250,000 και 500,000. Σημειώνεται ότι με τον υποδιπλασιασμό των κόμβων Chebyshev μειώνεται σημαντικά το υπολογιστικό κόστος, αφού, λόγω της δομής του πίνακα των μετασχηματισμένων συντελεστών των μεταβλητών της ροής (Σχήμα 3.2), υποτετραπλασιάζεται ο αριθμός των εξισώσεων για καθένα από τα συστήματα επίλυσης. Ειδικά στις τρισδιάστατες προσομοιώσεις, όπου απαιτείται η επίλυση των συστημάτων για κάθε εγκάρσιο κόμβο Fourier, η αραίωση του πλέγματος βοηθά σημαντικά στην εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου, όμως σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ακρίβεια της προσομοίωσης του οριακού στρώματος πυθμένα είναι περιορισμένη. Πίνακας 5.1 Διαστάσεις υπολογιστικών κελιών πλέγματος μετρημένες σε ιξώδεις κλίμακες μήκους για τις προσομοιώσεις με 64 και 128 κόμβους Chebyshev, με Re d = 250,000 και 500,000. Ν Re d Δx + 1 ~ Δx + 3 ~ , , , ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑΣ ΠΥΘΜΕΝΑ Εξισώσεις και διαδικασία εκτέλεσης μορφολογικής προσομοίωσης Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο ( 4.2), η μεταβολή της μορφολογίας πυθμένα προκύπτει από την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης διατήρησης της μάζας του ιζήματος [εξίσωση (4.5)], στην οποία εισάγεται η αδιάστατη παροχή φορτίου πυθμένα, Φ B, που δίνεται από τη σχέση (4.7) και βασίζεται στο μοντέλο των Engelund & Fredsøe (1976). Ως κριτήριο έναρξης της κίνησης των σωματιδίων πυθμένα μεταβαλλόμενης κλίσης, για την περίπτωση παλλόμενης ροής, ορίζεται η κρίσιμη τιμή του αριθμού Shields, θ c, που δίνεται από την εξίσωση (4.11). Για την αριθμητική προσομοίωση της μεταβολής της μορφολογίας πυθμένα, λαμβάνονται ως δεδομένα τα αποτελέσματα για τη μεταβολή της στιγμιαίας διατμητικής

111 97 τάσης πυθμένα, τ b, από τις προσομοιώσεις ροής (με Re d = 250,000) κατά τη διάδοση και θραύση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης ( 5.1.2). Επίσης, τα αποτελέσματα του συντελεστή δυναμικής γωνίας τριβής, μ d, για τη μορφολογική ισορροπία πτυχώσεων πυθμένα ( 4.2.3), χρησιμοποιούνται και στις προσομοιώσεις της παρούσας ενότητας για τον καθορισμό του κατάλληλου μ d που θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της παροχής φορτίου πυθμένα. Οι μορφολογικές μεταβολές, οι οποίες οφείλονται αποκλειστικά στη μεταφορά φορτίου πυθμένα, προσομοιώνονται για αρκετές περιπτώσεις σωματιδίων ιζήματος διαφορετικής μέσης διαμέτρου, ενώ ο χρόνος προσομοίωσης θα έπρεπε να εκτιμάται έτσι ώστε η δυνητική μεταβολή των χαρακτηριστικών του πεδίου ροής, λόγω της ανανεωμένης μορφολογίας του πυθμένα, να μη θεωρείται ιδιαίτερα σημαντική. Οι προσομοιώσεις της παρούσας εργασίας πραγματοποιούνται για χρόνο ίσο με 500 περιόδους κύματος, Τ. Ο κυριότερος σκοπός των προσομοιώσεων είναι να γίνει μία πρώτη εκτίμηση της επίδρασης της διάδοσης και θραύσης παράκτιων κυματισμών στη μορφολογία κεκλιμένου πυθμένα, και να διαπιστωθεί η ικανότητα του μοντέλου μορφολογίας, σε συνδυασμό με το αριθμητικό μοντέλο ροής, να προβλέψει τη δημιουργία αναβαθμού στον κεκλιμένο πυθμένα, όπως συνήθως συμβαίνει στην πραγματικότητα εντός της ζώνης απόσβεσης. Δύο βασικοί περιορισμοί τίθενται κατά την εκτέλεση των μορφολογικών προσομοιώσεων: (α) το μοντέλο μορφολογίας δεν προβλέπει τον υπολογισμό μεταφοράς αιωρούμενου φορτίου, η συνεισφορά του οποίου στη συνολική μεταφορά ιζήματος πυθμένα δε μπορεί να αγνοηθεί για την περίπτωση της θραύσης κύματος, λόγω της έντονης τύρβης της ροής, και (β) δεν πραγματοποιούνται προσομοίωσης ροής κάνοντας χρήση του ανανεωμένου προφίλ του πυθμένα, το οποίο έχει προκύψει από το στάδιο της μορφολογικής προσομοίωσης, δηλαδή η διαδικασία εφαρμογής των μοντέλων ροής και μορφολογίας πυθμένα δεν είναι κυκλική. Όσον αφορά τον πρώτο περιορισμό πάντως, ο Fredsøe (1992) αναφέρει ότι η δημιουργία του αναβαθμού σε κεκλιμένο πυθμένα, εξαιτίας της θραύσης παράκτιων κυματισμών οφείλεται κυρίως στη δράση του υποβρύχιου ρεύματος, ενώ η συνεισφορά της τύρβης που αναπτύσσεται εξαιτίας του επιφανειακού στροβίλου παίζει μικρότερο ρόλο, ειδικά όταν πρόκειται για περίπτωση θραύσης εκχείλισης. Η διαδικασία εκτέλεσης μιας τυπικής μορφολογικής προσομοίωσης περιγράφεται στην Το βήμα της χρονικής διακριτοποίησης είναι είκοσι φορές μεγαλύτερο του αντίστοιχου βήματος των προσομοιώσεων ροής (Δt m =0.02), ενώ το χωρικό βήμα είναι το

112 98 ίδιο με αυτό των προσομοιώσεων ροής, και οι τιμές του πορώδους και της σχετικής πυκνότητας του ιζήματος πυθμένα παραμένουν ίσες με n = 0.4 και S = 2.65, αντίστοιχα Αποτελέσματα μορφολογικών προσομοιώσεων Για την προσομοίωση της μεταβολής μορφολογίας του πυθμένα σταθερής κλίσης (tanβ = 1/35), εξαιτίας της ρήχωσης, θραύσης και απόσβεσης μη-γραμμικών κυμάτων (βλ ), επιλέγεται ένα εύρος τιμών της μέσης διαμέτρου κόκκου ιζήματος, 250 a ob /D g 1000, όπου α οb 0.14d I, είναι το ημι-εύρος της παλλόμενης κίνησης των μορίων του νερού κοντά στον πυθμένα, στη θέση της θραύσης. Το εύρος τιμών επιλέγεται έτσι, ώστε οι διαστατές τιμές της μέσης διαμέτρου του κόκκου ιζήματος να καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος του αντίστοιχου εύρους τιμών της άμμου (συγκεκριμένα το διάστημα 2 D g 0.5 mm), υπό τη θεώρηση ότι d b = 1 m. Η τιμή του συντελεστή δυναμικής τριβής μ d, η οποία χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της αδιάστατης παροχής ιζήματος, Φ Β, καθορίζεται από το διάγραμμα του Σχήματος 4.15, με τη βοήθεια της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων, η οποία χρησιμοποιείται ως η βέλτιστη προσέγγιση της μεταβολής των τιμών μ d σε σχέση με τις διαστάσεις των εξεταζόμενων πτυχώσεων. Λαμβάνοντας υπόψη την επίπεδη αρχική μορφή του πυθμένα της παρούσας ενότητας, επιλέγεται συντελεστής μ d = 0.28, τιμή η οποία αντιστοιχεί στο σημείο τομής της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων με τον κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από τo σημείο (L r /a o )(h r /a o ) = 0 (Σχήμα 4.15). Στο Σχήμα 5.12 παρουσιάζονται η μεταβολή της μορφολογίας του κεκλιμένου πυθμένα μετά την πάροδο χρόνου ίσου με 500 περιόδους κύματος, για τέσσερις τιμές του λόγου a ob /D g από 250 ως 1000, καθώς επίσης και οι χρονικά μέσες (ως προς την τελευταία περίοδο κύματος) αδιάστατες παροχές ιζήματος Φ B και q B. Υπενθυμίζεται ότι η παροχή q B αδιαστατοποιείται με χρήση των παραμέτρων g και d I, ενώ οι δύο παροχές συνδέονται μεταξύ τους μέσω της εξίσωσης (4.6). Θετικές κλίσεις των μέσων παροχών αντιστοιχούν σε διάβρωση του πυθμένα, ενώ αρνητικές κλίσεις αντιστοιχούν σε συσσώρευση ιζήματος. Για όλες τις περιπτώσεις a ob /D g, το αριθμητικό μοντέλο προβλέπει τη δημιουργία αναβαθμού εντός της ζώνης απόσβεσης, η κορυφή του οποίου βρίσκεται στη θέση x 1 = 44.7, όπου d/d b Παρατηρείται ότι η αύξηση της διαμέτρου του κόκκου ιζήματος συνοδεύεται από αύξηση του ύψους του αναβαθμού, και ταυτόχρονη μείωση του εύρους της μέσης αδιάστατης παροχής, Φ B. Η εξήγηση της αυξημένης συσσώρευσης ιζήματος

113 99 μεγαλύτερης διαμέτρου δίνεται από το Σχήμα 5.12(β), στο οποίο φαίνεται η κατανομή της μέσης παροχής q B, το εύρος της οποίας αυξάνει με την αύξηση της διαμέτρου D g. Η γενικότερη αίσθηση που έχει δημιουργηθεί σε βάθος αρκετών δεκαετιών είναι ότι η δημιουργία αναβαθμού σε παράκτιους αμμώδεις πυθμένες ανεξαρτήτου κλίσης, οφείλεται στη δράση του υποβρύχιου ρεύματος, και λαμβάνει χώρα στην περιοχή θραύσης του κύματος (π.χ. Dhyr-Nielsen & Sørensen, Dally & Dean, Dally, 1987). Σχήμα 5.12 Μεταβολή μορφολογίας πυθμένα και κατανομή μέσης (για την τελευταία περίοδο κύματος) (α) αδιάστατης παροχής φορτίου πυθμένα, Φ, και (β) της, επίσης αδιάστατης παροχής q B, για συντελεστή δυναμικής τριβής μ d = 0.28 και διάφορες τιμές του λόγου α οb /D g, μετά την πάροδο χρόνου 500 περιόδων κύματος, Τ. B

114 100 Σχήμα 5.13 Χρονική εξέλιξη της μορφολογίας πυθμένα εντός της ζώνης απόσβεσης, για την περίπτωση με α οb /D g = 500 και συντελεστή δυναμικής τριβής μ d = Αρκετοί ερευνητές ανέπτυξαν μορφολογικά μοντέλα, τα οποία προβλέπουν τη δημιουργία αναβαθμού στην περιοχή της θραύσης (ή κοντά σε αυτή), αλλά εμφανίζουν διαφορές στην πρόβλεψη της ακριβούς αρχικής θέσης του, αλλά και στον τρόπο μετακίνησής του μέχρι την τελική θέση ισορροπίας (π.χ. Dally & Dean, Hedegaard et al., Roelvink, 1989, 1991). Πάντως, οι Sallenger & Howd (1989) διενεργώντας μετρήσεις πεδίου διαπίστωσαν ότι η αρχική θέση εμφάνισης του αναβαθμού βρίσκεται εντός της ζώνης απόσβεσης, αρκετά μακριά από την περιοχή της θραύσης, ενώ με την πάροδο του χρόνου λαμβάνει χώρα μετακίνηση του αναβαθμού προς την ανοιχτή θάλασσα. Η χρονική κλίμακα της εξέλιξης ενός τέτοιου φαινομένου, είναι από μερικές ώρες μέχρι μερικές ημέρες. Στο Σχήμα 5.12 φαίνεται ότι τα αποτελέσματα των μορφολογικών προσομοιώσεων της παρούσας εργασίας, βρίσκονται σε συμφωνία με την διαπίστωση των Sallenger & Howd (1989), όσον αφορά την αρχική θέση δημιουργίας του αναβαθμού. Ο περιορισμός της μη-κυκλικής εφαρμογής των μοντέλων προσομοίωσης ροής και μορφολογίας δε δίνει τη δυνατότητα διαπίστωσης της πιθανής μετακίνησης του αναβαθμού προς τη γραμμή θραύσης. Πάντως, παρατηρώντας πιο προσεκτικά το Σχήμα 5.12, φαίνεται ότι στα ανάντη του αναβαθμού υπάρχει συσσώρευση ιζήματος (περίπου μέχρι τη γραμμή θραύσης), επομένως, λαμβάνοντας υπόψη ότι η μείωση του βάθους πυθμένα συνοδεύεται από τη μετακίνηση της θραύσης προς την ανοιχτή θάλασσα, ενισχύεται η θεώρηση της μετακίνησης του αναβαθμού προς τα ανοιχτά. Στο Σχήμα 5.13

115 101 φαίνονται στιγμιότυπα, ανά 100 περιόδους κύματος, της χρονικής εξέλιξης του αναβαθμού εντός της ζώνης απόσβεσης, για την περίπτωση α οb /D g = 500. Υπενθυμίζεται ότι, κατά τον υπολογισμό της παροχής ιζήματος, η αδιάστατη στιγμιαία διατμητική τάση ή αλλιώς ο αριθμός Shields, θ, δεν επηρεάζεται από τις μεταβολές του προφίλ του πυθμένα, σε αντίθεση με ότι συμβαίνει για την κρίσιμη τιμή θ c, η οποία επηρεάζεται από την αλλαγή της κλίσης του πυθμένα.

116 ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται αριθμητικές προσομοιώσεις της τρισδιάστατης ροής με ελεύθερη επιφάνεια, η οποία προκύπτει από τη διάδοση και θραύση μηγραμμικών κυμάτων, υπό γωνία ως προς την ακτογραμμή, και πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης. Για τις προσομοιώσεις χρησιμοποιείται η παράλληλη έκδοση του αριθμητικού επιλυτή των εξισώσεων Navier-Stokes σε συνδυασμό με το μοντέλο LWS. O βασικότερος στόχος των τρισδιάστατων προσομοιώσεων είναι ο υπολογισμός του υποβρύχιου και του παράλληλου κυματογενούς ρεύματος, τα οποία οφείλουν τη δημιουργία τους στη θραύση των κυμάτων, και αναπτύσσονται εντός της ζώνης απόσβεσης, χωρίς τις συνήθεις υποθέσεις περί μη-αλληλεπίδρασης μεταξύ τους. Στη διαμόρφωση του χρονικά μέσου πεδίου ταχύτητας, σημαντική είναι η συνεισφορά της διατμητικής τάσης πυθμένα. Παράλληλα, μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει και η τρισδιάστατη δομή της ροής εξαιτίας της έντονης ανάμιξης της ροής, η οποία λαμβάνει χώρα κατά τη θραύση και απόσβεση του κύματος. 6.1 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η ακρίβεια και αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας LWS, σε συνδυασμό με τις τρισδιάστατες εξισώσεις Navier-Stokes, εξετάζεται μέσω αριθμητικής προσομοίωσης της κάθετης, ως προς την ακτογραμμή, διάδοσης και θραύσης εισερχόμενων κυμάτων Stokes 2 ης τάξης πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35, όπως συνέβη και στην περίπτωση επαλήθευσης του δισδιάστατου μοντέλου LWS. Τα χαρακτηριστικά του εισερχόμενου κύματος περιγράφονται στην και καθιστούν δυνατή τη σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις των Ting & Kirby (1994), ενώ όσον αφορά το υπολογιστικό πεδίο, σκαρίφημα του οποίου φαίνεται στο Σχήμα 6.1, γίνεται η προσθήκη της (τρίτης) οριζόντιας διάστασης παράλληλα προς την ακτογραμμή, x 2. Ο αριθμός Reynolds της ροής είναι ίσος με τον αντίστοιχο της δισδιάστατης προσομοίωσης (Re d = 250,000). Οι αριθμητικές παράμετροι των προσομοιώσεων είναι Δs 1 = 0.04, N = 64, M = 32, Δs 2 = 0.1 και Δt = 10-3, συνεπώς το πλάτος του υπολογιστικού πεδίου είναι l F = 3.2, ενώ οι παράμετροι των υποπλεγματικών (SGS) τάσεων δίνης και κύματος παραμένουν ίσες με C s

117 103 x 3 x2 d E x 1 L E d I L I Περιοχή αναρρίχησης Περιοχή εισόδου Κεκλιμένος πυθμένας Σχήμα 6.1 Τυπικό σκαρίφημα τρισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου ροής για τη διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα κλίσης tanβ = 1/35. Η περιοχή εισόδου είναι μήκους L I = 15 και βάθους d I =1, η περιοχή εξόδου (αναρρίχησης) έχει μήκος L E = και βάθος d Ε =0.03, ενώ κατά μήκος αυτής βρίσκεται η ζώνη απόσβεσης κύματος με μήκος L A = L E. Το πεδίο έχει συνολικό μήκος l = 60. Σχήμα 6.2 Τυπικά στιγμιότυπα ισοϋψών της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά την κάθετη ως προς την ακτογραμμή διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. = 0.1 και C η = 0.4, αντίστοιχα. H προσομοίωση της τρισδιάστατης ροής πραγματοποιήθηκε με τη χρήση της έκδοσης παράλληλων υπολογισμών του αριθμητικού μοντέλου LWS, για χρονική διάρκεια μεγαλύτερη των 15 περιόδων κύματος, Τ. Για την εκτέλεση προσομοίωσης διάρκειας μιας περιόδου Τ, απαιτούνται περίπου 8 ώρες υπολογιστικού

118 104 χρόνου στον εξυπηρετητή Dell (TM) PowerEdge (TM) R815 (με τη χρήση του συνόλου των 32 επεξεργαστών). Κατά την εκκίνηση της προσομοίωσης της ροής θεωρούνται συνθήκες ηρεμίας του ρευστού. Τα αποτελέσματα της τρισδιάστατης προσομοίωσης της κάθετης (ως προς την ακτογραμμή) διάδοσης και θραύσης κυμάτων Stokes δε διαφέρουν ουσιαστικά από τα αντίστοιχα αποτελέσματα της δισδιάστατης προσομοίωσης, τα οποία παρουσιάστηκαν στην 5.1.2, επομένως, για την αποφυγή επαναλήψεων δεν παρουσιάζονται. Στο Σχήμα 6.2 παρουσιάζονται ενδεικτικά στιγμιότυπα των ισοϋψών της επιλυόμενης ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, ενώ παράλληλα φαίνεται και ο πυθμένας του υπολογιστικού πεδίου. 6.2 ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΑΚΤΟΓΡΑΜΜΗ Στην παρούσα ενότητα εξετάζεται η διάδοση και θραύση εισερχόμενων κυμάτων Stokes 2 ης τάξης, με γωνία διάδοσης φ Ι = 30 ως προς την οριζόντια διεύθυνση x 1, πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Οι εισερχόμενοι κυματισμοί χαρακτηρίζονται από τις εξής αδιάστατες παραμέτρους: μήκος και ύψος κύματος λ Ι = και H I = 0.168, αντίστοιχα, και περίοδος κύματος Τ = 7.487, ενώ σημειώνεται ότι οι συγκεκριμένες παράμετροι κύματος, καθώς και η κλίση του πυθμένα, ταυτίζονται με τις παραμέτρους της κάθετης διάδοσης κυματισμού και κατά συνέπεια με τις αντίστοιχες τιμές των πειραμάτων των Ting & Kirby (1994). Όπως και στην περίπτωση των δισδιάστατων προσομοιώσεων του Κεφαλαίου 5, για την αδιαστατοποίηση των παραμέτρων της παρούσας προσομοίωσης γίνεται χρήση των μεγεθών g, d I και ρ. Το μήκος των εισερχόμενων κυμάτων σε μεγάλο βάθος είναι λ ο = 8.921, ενώ για τον υπολογισμό του ύψους κύματος H ο = 0.196, και της γωνίας διάδοσης φ ο = 42.5, λαμβάνεται υπόψη η συνδυασμένη επίδραση των φαινομένων της ρήχωσης και της διάθλασης του κύματος. Ο αριθμός Irribaren είναι ξ ο = και αντιστοιχεί σε θραύση εκχείλισης μέσης έντασης, ενώ για την παρούσα προσομοίωση, θεωρείται αριθμός Reynolds, Re d = 250,000. Το υπολογιστικό πεδίο ροής (Σχήμα 6.1) περιλαμβάνει την περιοχή εισόδου με μήκος L I = 15 και βάθος d Ι = 1, το κεκλιμένο τμήμα (tanβ = 1/35), την περιοχή εξόδου με τη ζώνη απόσβεσης κύματος (ή περιοχή αναρρίχησης) με μήκος L Ε = L Α = και βάθος d E = 0.03, ενώ το συνολικό μήκος του πεδίου είναι l = 60. Εξαιτίας της περιοδικότητας που εισάγεται μέσω της φασματικής προσέγγισης κατά Fourier στην εγκάρσια διεύθυνση,

119 105 το μήκος του πεδίου κατά τη διεύθυνση x 2 (l F ), θα πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της εγκάρσιας συνιστώσας του μήκους κύματος στην είσοδο λ 2 = λ Ι /sinφ Ι (Σχήμα 6.3). Στη συγκεκριμένη προσομοίωση επιλέγεται μήκος l F = λ 2 = 13.21, διότι πιθανή θεώρηση μεγαλύτερου μήκους l F προϋποθέτει, τουλάχιστον, το διπλασιασμό των κόμβων Fourier και αυξάνει σημαντικά το υπολογιστικό κόστος. Οι αριθμητικές παράμετροι των προσομοιώσεων συνοψίζονται στις εξής: Δs 1 = 0.04, αριθμός κόμβων Chebyshev, N = 64, αριθμός κόμβων Fourier, M = 64 (αντιστοιχεί σε Δs 2 = 0.206) και Δt = , ενώ οι παράμετροι των υποπλεγματικών (SGS) τάσεων δίνης και κύματος θεωρούνται, κατά τα γνωστά, ίσες με C s =0.1 και C η =0.4, αντίστοιχα. H προσομοίωση της τρισδιάστατης ροής πραγματοποιήθηκε, επίσης, με τη χρήση της παραλληλοποιημένης έκδοσης του αριθμητικού μοντέλου LWS για χρονική διάρκεια μεγαλύτερη των 15 περιόδων κύματος, Τ. Για την εκτέλεση προσομοίωσης διάρκειας μιας περιόδου Τ, απαιτούνται περίπου 36 ώρες υπολογιστικού χρόνου στον εξυπηρετητή Dell (TM) PowerEdge (TM) R815 (με τη χρήση του συνόλου των 32 επεξεργαστών), ενώ κατά την εκκίνηση της προσομοίωσης της ροής θεωρούνται συνθήκες ηρεμίας του ρευστού. ακτογραμμή x 1 φ λ 1 λ λ 2 x 2 Σχήμα 6.3 Στιγμιότυπο διάδοσης δισδιάστατου κύματος, με γωνία διάδοσης φ, πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης. Για τις συνιστώσες του μήκους κύματος λ σε τυχαίο βάθος ισχύει λ 1 = λ/cosφ και λ 2 = λ/sinφ.

120 Μεταβολή παραμέτρων εισερχόμενου κύματος κατά τη διάδοση, θραύση και απόσβεση Κατά τη διάδοση των εισερχόμενων κυμάτων, υπό γωνία ως προς την ακτή, πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης, λαμβάνει χώρα ο μετασχηματισμός τους, υπό τη επίδραση των φαινομένων της ρήχωσης και της διάθλασης, η θραύση τους και τελικά η απόσβεση της ενέργειας τους. Στο Σχήμα 6.4 παρουσιάζεται ένα τυπικό στιγμιότυπο με τις ισοϋψείς της επιλυόμενης ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, μετά την πάροδο 15 περίπου περιόδων κύματος, Τ, όπου φαίνεται επίσης και ο πυθμένας του πεδίου. Προφανώς, το αριθμητικό μοντέλο είναι σε θέση να προσομοιώσει τη συνδυασμένη δράση της ρήχωσης και της διάθλασης, στην οποία οφείλεται ο μετασχηματισμός του εισερχόμενου κύματος, καθώς το βάθος του πυθμένα μειώνεται. Παρατηρώντας τις κορυφογραμμές του κύματος για x 1 > 40, φαίνεται, επίσης, η σταδιακή θραύση και απόσβεσή τους. Στο Σχήμα 6.5 φαίνονται οι περιβάλλουσες των μεγίστων και των ελαχίστων της ελεύθερης επιφάνειας μετά την πάροδο 15 περιόδων κύματος, οι οποίες προέκυψαν από τις στιγμιαίες θέσεις των κορυφών και των κοιλιών κύματος, αντίστοιχα. Προκύπτει ότι, η θέση εκκίνησης της θραύσης, η οποία υποδεικνύεται από το μέγιστο της περιβάλλουσας των κορυφών, είναι η x 1 = και αντιστοιχεί σε βάθος θραύσης d b = Η μεταβολή του ύψους κύματος, Η, που υπολογίζεται από το μοντέλο LWS, συγκρίνεται με την αντίστοιχη μεταβολή που προκύπτει από τη γραμμική θεωρία ρήχωσης-διάθλασης, η οποία εφαρμόζεται περίπου μέχρι τη θέση εκκίνησης της θραύσης του κύματος (Σχήμα 6.6). Παρατηρείται ότι το αριθμητικό ύψος Η, βρίσκεται πολύ κοντά στη θεωρητική πρόβλεψη, ιδιαίτερα για x 1 < 37-38, δηλαδή πριν την εμφάνιση μη-γραμμικών επιδράσεων που συνοδεύουν το φαινόμενο της θραύσης. Το αριθμητικά υπολογισμένο ύψος θραύσης, Η b = 0.17, υποεκτιμάται σε σχέση με την τιμή Η b = 0.21, η οποία προκύπτει από το συνδυασμό των σχέσεων των Komar & Gaughan (1973) και του Weggel (1972) (CEM 2002, σελ. ΙΙ-4-4). Όπως αναμενόταν, το ύψος H b για την περίπτωση της υπό γωνία θραύσης, είναι μικρότερο του αντίστοιχου H b (= 0.213) της κάθετης πρόσπτωσης κυματισμού (βλ ). Στο Σχήμα 6.7, παρουσιάζεται η σύγκριση της μεταβολής της γωνίας διάδοσης του κυματισμού, φ, που υπολογίζεται από το μοντέλο LWS, με την αντίστοιχη θεωρητική μεταβολή της φ που προκύπτει από το νόμο του Snell (sinφ/λ = σταθερά) σε συνδυασμό με την εξίσωση διασποράς. Ο νόμος του Snell ισχύει για κύματα Stokes 1 ης και 2 ης τάξης στην

121 107 Σχήμα 6.4 Τυπικό στιγμιότυπο ισοϋψών της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά την υπό γωνία (φ Ι = 30 ) διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Σχήμα 6.5 Περιβάλλουσα των μεγίστων (μπλε γραμμή) και των ελαχίστων (κόκκινη γραμμή) της ελεύθερης επιφάνειας κατά την υπό γωνία (φ Ι = 30 ) διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35.

122 108 Σχήμα 6.6 Μεταβολή του ύψους κύματος κατά την υπό γωνία (φ Ι = 30 ) διάδοση κυμάτων πάνω από πυθμένα σταθερής κλίσης tanβ = 1/35. Η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί στην πρόβλεψη της γραμμικής θεωρίας ρήχωσης-διάθλασης. Σχήμα 6.7 Μεταβολή της γωνίας διάδοσης κύματος κατά τη διάρκεια ρήχωσηςδιάθλασης και εντός της ζώνης απόσβεσης κύματος, σύμφωνα με τις προβλέψεις του αριθμητικού μοντέλου και του νόμου του Snell, για φ Ι = 30 και tanβ = 1/35. εξώτερη παράκτια ζώνη (ανάντη της ζώνης θραύσης). Η αριθμητική γωνία φ σε κάθε βάθος, υπολογίζεται από το μέσο όρο των γωνιών που σχηματίζουν ανά δύο στα σημεία μηδενισμού της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, ανάντη της κορυφογραμμής, με τον εγκάρσιο άξονα x 2. Προκύπτει ότι, η πρόβλεψη του μοντέλου για τη μεταβολή της γωνίας διάδοσης βρίσκεται σε συμφωνία με τη θεωρητικό υπολογισμό με βάση το νόμο του Snell, κατά τη διάρκεια της ρήχωσης και μέχρι βάθους d/d b 1.5, αλλά υπάρχει διαφορά μεταξύ

123 109 τους για μικρότερα βάθη. Η γωνία της θραυόμενης κορυφογραμμής είναι φ b = 17.5, ενώ ο νόμος του Snell δίνει φ b = Η απόκλιση αριθμητικής και θεωρητικής πρόβλεψης γίνεται ιδιαίτερα σημαντική εντός της ζώνης απόσβεσης, όπου δεν ισχύουν η εξίσωση διασποράς και ο νόμος του Snell Πεδίο στροβιλότητας και SGS τάσεων στη ζώνη απόσβεσης κύματος H θραύση εκχείλισης του κύματος χαρακτηρίζεται από την ανάπτυξη ενός επιφανειακού στροβίλου στην περιοχή του θραυόμενου μετώπου, αμέσως μετά την έναρξη του φαινομένου, γεγονός που αποτυπώνεται από το πεδίο στροβιλότητας. Ένα τυπικό στιγμιότυπο της κατανομής της αδιάστατης διαμήκους στροβιλότητας, ω 1, και ένα της εγκάρσιας στροβιλότητας, ω 2, στη ζώνη θραύσης και τη ζώνη απόσβεσης, παρουσιάζονται στο Σχήμα 6.8. Για την πιο εποπτική παρουσίαση των συγκεκριμένων αποτελεσμάτων επιλέγονται ισαπέχουσες κατακόρυφες τομές κατά μήκος του υπολογιστικού πεδίου. Η διαμήκης στροβιλότητα, ω 1, εμφανίζεται με την έναρξη του φαινομένου (για x 1 41) στην κορυφή του θραυόμενου κύματος με αρνητικό πρόσημο, και σύμφωνα με τον ορισμό του συστήματος συντεταγμένων (Σχήμα 2.1), αντιστοιχεί σε αριστερόστροφη ανακυκλοφορία του ρευστού. Λόγω της σταδιακής θραύσης, η ω 1 μεταβάλλεται κατά μήκος της κορυφογραμμής, και καθώς ο επιφανειακός στρόβιλος γίνεται πιο ισχυρός, η ω 1 αποκτά, προς στιγμή, τη μέγιστη τιμή της σε βάθος d/d b 0.5, ενώ παράλληλα διαχέεται στον ομόρρου του θραυόμενου κύματος. Σε λεπτή στρώση κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια στον ομόρρου της θραύσης, εμφανίζεται στροβιλότητα θετικού πρόσημου. Με την είσοδο του κύματος στο οριζόντιο τμήμα πολύ μικρού βάθους του πυθμένα (περιοχή εξόδου), ισχυρό πεδίο διαμήκους στροβιλότητας εισέρχεται στο μέτωπο του εξασθενημένου κύματος, προερχόμενο από τον ομόρρου θραύσης του προηγούμενου κύματος. Στην πρώτη από τις τομές του Σχήματος 6.8(α) φαίνεται, επίσης, η κατανομή της διαμήκους στροβιλότητας κοντά στον πυθμένα, η οποία παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές και οφείλεται στη διατμητική τάση που αναπτύσσεται στον πυθμένα, με μέγιστες τιμές περίπου τρεις φορές μεγαλύτερες (κατά απόλυτη τιμή) από αυτές της στροβιλότητας στη θραυόμενη κορυφή του κύματος. Η εγκάρσια στροβιλότητα, ω 2, εμφανίζεται, επίσης, με την έναρξη της θραύσης (για x 1 41) στην κορυφή του κύματος έχοντας θετικό πρόσημο, αντιστοιχώντας σε δεξιόστροφη ανακυκλοφορία του ρευστού. Στο Σχήμα 6.8(β) φαίνεται η μεταβολή της ω 2

124 Σχήμα 6.8 Στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της διαμήκους στροβιλότητας ω 1, και (β) της εγκάρσιας στροβιλότητας ω 2, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Οι κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου, απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση Δx 2 = l F /

125 111 κατά μήκος της κορυφογραμμής, εξαιτίας της σταδιακής θραύσης. Η ισχύς της εγκάρσιας στροβιλότητας αυξάνει συνεχώς, έως ότου ο επιφανειακός στρόβιλος καταλάβει ολόκληρη τη θραυόμενη κορυφή του κύματος, ενώ στη συνέχεια, κρατώντας υψηλές τιμές (ω 2 > 10) διαχέεται στον ομόρρου της θραύσης. Το μέγεθος της εγκάρσιας στροβιλότητας είναι σαφώς μεγαλύτερο από αυτό της ω 1 (μέχρι και πέντε φορές), όπως διαπιστώνεται από την κλίμακα των ισοϋψών, επομένως η ω 2 αποτελεί τη συνιστώσα του πεδίου στροβιλότητας με τη μεγαλύτερη σημασία. Στην πρώτη από τις τομές του Σχήματος 6.8(β) φαίνεται, επίσης, η κατανομή της εγκάρσιας στροβιλότητας κοντά στον πυθμένα, η οποία παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές. Οι μέγιστες θετικές τιμές της στροβιλότητας κοντά στον πυθμένα είναι περίπου τέσσερις φορές μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τιμές στη θραυόμενη κορυφή του κύματος. Η συνεισφορά της κατακόρυφης συνιστώσας, ω 3, της στροβιλότητας στη δομή του επιφανειακού στροβίλου είναι αμελητέα, λόγω της ασθενούς έντασής της ( ω 3 max < 0.5), επομένως, η κατανομή της δεν παρουσιάζεται. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία LWS, η δημιουργία του επιφανειακού στροβίλου θραύσης και η απόσβεση του κύματος μοντελοποιούνται από την ανάπτυξη και τη συνδυασμένη δράση των SGS τάσεων δίνης και κύματος. Σε σχέση με την περίπτωση κάθετης διάδοσης κυματισμού, εμφανίζονται επιπλέον όροι στον τανυστή των SGS τάσεων (τ 12, τ 22, τ 23, τ η 23 ), εξαιτίας της μεταβολής της ροής κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Οι πιο σημαντικές, εξαιτίας του μεγέθους τους, είναι οι SGS τάσεις κύματος τ η 13 και τ η 23, η κατανομή των οποίων παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.9, ενώ από τις SGS τάσεις δίνης παρουσιάζονται οι διατμητικές τάσεις τ 13, τ 23, και τ 12 (Σχήμα 6.10). Οι ορθές SGS τάσεις (τ 11, τ 22, τ 33, τ η 33 ), οι οποίες έχουν ασθενή επίδραση στο πεδίο δυναμικής πίεσης, δεν παρουσιάζονται. Λόγω της αλληλεξάρτησης του πεδίου των SGS τάσεων με το πεδίο στροβιλότητας, η κατανομή των πρώτων παρουσιάζεται στην ίδια περιοχή του υπολογιστικού πεδίου, για την ίδια χρονική στιγμή, και με τον ίδιο ακριβώς τρόπο (8 ισαπέχουσες κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου). Όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.9(α), η τάση κύματος τ η 13 εμφανίζεται με την έναρξη του φαινομένου (για x 1 41) στο μέτωπο του θραυόμενου κυματισμού, ενώ εξαιτίας της η σταδιακής θραύσης, η κατανομή της μεταβάλλεται κατά μήκος της κορυφογραμμής. Η τ 13 συνεισφέρει στην παραγωγή εγκάρσιας στροβιλότητας και υποβοηθά τη θραύση του κύματος κατά τη διεύθυνση x 1. Η αύξηση του μεγέθους της τ η 13 συμβαίνει για το διάστημα 1 d/d b 0.5, ενώ σε μικρότερα βάθη η έντασή τους εξασθενεί μέχρι μηδενισμού της. Στο Σχήμα 6.9(β) παρουσιάζεται η κατανομή της τάσης κύματος τ η 23, η οποία υποβοηθά την

126 Σχήμα 6.9 Στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της SGS τάσης κύματος τ 13 η, και (β) της SGS τάσης κύματος τ 23 η, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Οι κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου, απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση Δx 2 = l F /

127 Σχήμα 6.10 Βλέπε περιγραφή στην επόμενη σελίδα. 113

128 114 Σχήμα 6.10 Στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της SGS τάσης δίνης τ 13, (β) της SGS τάσης δίνης τ 23, και (γ) της SGS τάσης δίνης τ 12, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. Οι κατακόρυφες τομές κατά μήκος του πεδίου, απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση Δx 2 = l F / κατάρρευση του μετώπου του θραυόμενου κύματος κατά την εγκάρσια διεύθυνση και συνδέεται με την παραγωγή διαμήκους στροβιλότητας. Η κατανομή της δε διαφέρει ουσιαστικά από την κατανομή της τ η 13, ενώ το μέτρο της είναι περίπου 25% του μέτρου της τ η 13. Η περιοχή έντονης δράσης των SGS τάσεων κύματος, παραμένει το μέτωπο του θραυόμενου κυματισμού, από την έναρξη του φαινομένου και κατά τη διαδικασία απόσβεσης της ενέργειας κύματος, όπως συμβαίνει στην περίπτωση της κάθετης διάδοσης κύματος. Επίσης, το συνολικό μήκος για το οποίο είναι ενεργές οι SGS τάσεις κύματος είναι περίπου δύο μήκη κύματος λ 2. Στο Σχήμα 6.10 παρουσιάζεται η κατανομή των SGS διατμητικών τάσεων δίνης και φαίνεται ότι το μέτρο τους είναι περίπου μια τάξη μεγέθους μικρότερο από αυτό των αντίστοιχων SGS τάσεων κύματος. Η κατανομή της τ 13 δείχνει ότι η συγκεκριμένη τάση αναπτύσσεται εκατέρωθεν της κορυφής του θραυόμενου κύματος, αν και η κύρια εστία της παραμένει το μέτωπο του κύματος, και είναι σημαντικότερη της τ 23 (σε μέγεθος), με την ίδια αναλογία μέτρων που αναφέρθηκε για την περίπτωση των αντίστοιχων SGS τάσεων κύματος. Για όλες τις τάσεις δίνης, η αύξηση του μεγέθους τους συμβαίνει για το

129 115 διάστημα 1 d/d b 0.5, ενώ σε μικρότερα βάθη η δύναμή τους εξασθενεί μέχρι μηδενισμού αυτών Ένταση τύρβης στη ζώνη απόσβεσης κύματος Στην παρούσα ενότητα διερευνώνται κάποια από τα χαρακτηριστικά της τύρβης, η οποία παράγεται εξαιτίας της θραύσης (εκχείλισης) του κύματος, εντός της ζώνης απόσβεσης. Η παρουσία της τύρβης υποδηλώνεται από τις τυχαίες διακυμάνσεις των συνιστωσών της ταχύτητας αλλά και της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. Γενικά, στην περίπτωση τυρβώδους ροής, η στιγμιαία τιμή της καθεμίας από τις προαναφερθείσες μεταβλητές, f, μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα της μέσης, ως προς τη φάση (phaseaveraged), τιμής της, N p 1 N p n = 1 fi = fin (6.1) όπου Ν p είναι ο συνολικός αριθμός φάσεων, και της διακύμανσης f`σε κάθε φάση της περιόδου κύματος, δηλαδή f = f ι + f`. Η ένταση της τύρβης, μπορεί να εκφραστεί μέσω της τυπικής απόκλισης των διακυμάνσεων των μεταβλητών της ροής f = f ` 2 i_ rms i (6.2) Για ευκολία, η τυπική απόκλιση των διακυμάνσεων της ταχύτητας και της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, εφεξής θα καλούνται τυρβώδης ταχύτητα και ανύψωση, αντίστοιχα. Η εξαγωγή των στατιστικών αποτελεσμάτων τύρβης, γίνεται σε επιλεγμένα βάθη πυθμένα (d/d b = 1, 0.78, 0.55) από στιγμιαία δεδομένα σε 8 θέσεις κατά την εγκάρσια διεύθυνση x 2. Επειδή στη συγκεκριμένη προσομοίωση έχει επιλεγεί εγκάρσιο μήκος πεδίου ίσο με ένα μήκος κύματος λ 2, κάθε κατακόρυφη τομή κατά την εγκάρσια διεύθυνση εμπεριέχει όλες τις φάσεις της περιόδου ενός κύματος. Το γεγονός αυτό επιτρέπει την αντιστοίχιση κάθε θέσης (συγκεκριμένου βάθους) κατά τη διεύθυνση x 2, με μια από τις φάσεις του κύματος. Επομένως, κατά την παρέλευση χρόνου μιας περιόδου καθίσταται εφικτή η συλλογή 8 στιγμιαίων τιμών για κάθε φάση, η οποία περνά διαδοχικά από τις 8 επιλεγμένες θέσεις κατά την εγκάρσια διεύθυνση x 2, εφόσον η χρονική δειγματοληψία

130 116 γίνεται ανά σταθερά διαστήματα Δt = T/8. Η δειγματοληψία προέρχεται από τις τρεις τελευταίες περιόδους κύματος της προσομοίωσης, με αποτέλεσμα ο συνολικός αριθμός των συλλεγμένων στιγμιαίων τιμών κάθε φάσης της περιόδου να ισούται με 24. Στο Σχήμα 6.11 παρουσιάζονται οι φάσεις κύματος, στις οποίες γίνεται ο υπολογισμός της έντασης της τύρβης σε καθένα από τα επιλεγμένα βάθη πυθμένα, μέσω της μεταβολής της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας κατά τη διάρκεια μιας περιόδου Τ. Στο Σχήμα 6.12 παρουσιάζεται η τυρβώδης ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, η rms, ανά φάση του κύματος, για τους τρεις επιλεγμένους λόγους τοπικών βαθών προς το βάθος θραύσης, d/d b. Προκύπτει ότι η ένταση της τύρβης είναι αυξημένη κατά τις φάσεις που αντιστοιχούν στην περιοχή της κορυφής του κύματος, ανεξάρτητα από το τοπικό βάθος, σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στις υπόλοιπες φάσεις της περιόδου, όπου η ένταση κυμαίνεται σε χαμηλά επίπεδα. Οι υψηλότερες τιμές της η rms εμφανίζονται για d/d b = 0.78, με τη μέγιστη τιμή της (για ωt = 135 ), η οποία εμφανίζεται στο μέτωπο του θραυόμενου κύματος, να είναι περίπου ίση με το 10% της μέγιστης παρατηρούμενης τιμής της ανύψωσης η στο συγκεκριμένο βάθος. Στα Σχήματα παρουσιάζονται οι κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, ενώ κάθε σχήμα αντιστοιχεί σε έναν από τους τρεις λόγους d/d b. Η παρατήρηση της αυξημένης έντασης της τύρβης κατά τις φάσεις που αντιστοιχούν στην κορυφή του θραυόμενου κύματος, επιβεβαιώνεται και από τις κατανομές των ταχυτήτων, ανεξάρτητα από το λόγο d/d b στον οποίο αντιστοιχούν, ενώ παράλληλα, τα επίπεδα της τύρβης στις υπόλοιπες φάσεις της περιόδου είναι σαφώς χαμηλότερα. Στην περίπτωση των τυρβωδών ταχυτήτων, η αύξηση της μέγιστης τιμής των u 1_rms και u 2_rms, η οποία παρατηρείται κατά τις φάσεις ωt = 315, 135 και 315, (μέτωπο του θραυόμενου κύματος), για d/d b =1, 0.78 και 0.55, αντίστοιχα, είναι μονοτονική σε συνάρτηση με τη μείωση του βάθους. Αντίθετα, η μέγιστη τυρβώδης ταχύτητα u 3_rms, η οποία παρατηρείται κατά τις ίδιες φάσεις με τις υπόλοιπες συνιστώσες (με εξαίρεση τη θέση d/d b = 0.78, όπου παρατηρείται για ωt = 90 ), διατηρείται περίπου σταθερή ανεξάρτητα από τη μεταβολή του βάθους. Η συνεχής αύξηση των μεγίστων u 1_rms και u 2_rms εξηγείται από τη μονοτονική αύξηση των αντίστοιχων μέγιστων στιγμιαίων ταχυτήτων, ενώ η σταθερότητα του μέγιστου u 3_rms, συνδυάζεται με το ότι η στιγμιαία κατακόρυφη συνιστώσα δεν παρουσιάζει σημαντική διακύμανση στις συγκεκριμένες θέσεις. Η σημαντικότερη των τυρβωδών ταχυτήτων εντός της ζώνης απόσβεσης είναι η u 1_rms και το εύρος της είναι περίπου τρεις φορές μεγαλύτερο του αντίστοιχου της u 2_rms

131 117 Σχήμα 6.11 Επιλεγμένες φάσεις κύματος, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, για την εξαγωγή στατιστικών αποτελεσμάτων τύρβης σε τρία διαφορετικά βάθη του κεκλιμένου πυθμένα. Σχήμα 6.12 Τυρβώδης ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, η rms, ανά φάση του κύματος, σε τρία διαφορετικά βάθη του κεκλιμένου πυθμένα.

132 118 και επτά φορές μεγαλύτερο αυτού της u 3_rms. Το ποσοστό των u 1_rms και u 2_rms ως προς τις αντίστοιχες μέγιστες στιγμιαίες ταχύτητες, ξεκινά από περίπου 3% στη θέση της θραύσης και φθάνει ως και 13% στη θέση d/d b = 0.55, ενώ το ποσοστό u 3_rms παραμένει σταθερό περίπου στο 10% της αντίστοιχης μέγιστης στιγμιαίας τιμής. Στο Σχήμα 6.15 και συγκεκριμένα στα διαγράμματα των φάσεων ωt = 270 και 315, παρουσιάζονται οι πειραματικές μετρήσεις της u 1_rms (Ting & Kirby 1994, σχήμα 10), σε αντίστοιχες φάσεις και για περίπου ίδιο λόγο d/d b, για την περίπτωση εισερχόμενου κύματος με τα ίδια χαρακτηριστικά, αλλά για κάθετη διάδοση ως προς την ακτογραμμή. Προκύπτει ότι, ενώ το αριθμητικό μοντέλο είναι σε θέση να προβλέψει ικανοποιητικά την ένταση της τύρβης, η οποία παράγεται στο μέτωπο του θραύομενου κυματισμού (ωt = 315 ), υστερεί στην προσομοίωση της διάχυσής της στον ομόρρου της θραύσης (ωt = 270 ), πιθανότατα εξαιτίας του σχετικά αδρού (για προσομοιώσεις τύρβης) υπολογιστικού πλέγματος κατά τις οριζόντιες διευθύνσεις. Σημειώνεται ότι, οι οριζόντιες διαστάσεις των υπολογιστικών κελιών, μετρημένες σε ιξώδεις κλίμακες μήκους, είναι Δx + 1 ~ 200 και Δx + 2 ~ 1000, ενώ η κατακόρυφη διάστασή τους είναι μεταβλητή (λόγω του μεταβλητού βάθους σε συνδυασμό με τη χρήση της προσέγγισης με πολυώνυμα Chebyshev) με μέγιστη τιμή Δx + 3 ~ 1.2 για τον πρώτο εσωτερικό κόμβο του πεδίου.

133 Σχήμα 6.13 Κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, για λόγο d/d b = 1 (θέση έναρξης θραύσης). Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στη u 1_rms, η κόκκινη στη u 2_rms, και η πράσινη στη u 3_rms. 119

134 Σχήμα 6.14 Κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, για λόγο d/d b = Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στη u 1_rms, η κόκκινη στη u 2_rms, και η πράσινη στη u 3_rms. 120

135 121 Σχήμα 6.15 Κατανομές των τυρβωδών συνιστωσών της ταχύτητας, u i_rms, ανά φάση κύματος, για λόγο d/d b = Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στη u 1_rms, η κόκκινη στη u 2_rms, και η πράσινη στη u 3_rms Κυματογενή ρεύματα στη ζώνη απόσβεσης Η μη-κάθετη, ως προς την ακτογραμμή, διάδοση και θραύση κύματος πάνω από ομοιόμορφο πυθμένα σταθερής κλίσης, έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία δύο παράκτιων κυματογενών ρευμάτων εντός της ζώνης απόσβεσης, του ρεύματος κατά μήκος της ακτογραμμής (longshore current) ή απλά παράλληλου ρεύματος, και του εγκάρσιου στην ακτογραμμή, υποβρύχιου ρεύματος (undertow current). Η αλληλένδετη δράση των δύο ρευμάτων, αποτυπώνεται με τη βοήθεια του χρονικά μέσου πεδίου ταχύτητας που προκύπτει από τις τρεις τελευταίες περιόδους κύματος της τρισδιάστατης προσομοίωσης.

136 122 Επίσης, τα αποτελέσματα που θα παρουσιαστούν έχουν προκύψει από τη μέση, ως προς την εγκάρσια διεύθυνση x 2, τιμή του πεδίου ταχύτητας. Στο Σχήμα 6.16 παρουσιάζεται η κατακόρυφη κατανομή των τρισδιάστατων διανυσμάτων της μέσης ταχύτητας, U, για βάθη μεγαλύτερα από την ελάχιστη στάθμη της κοιλίας κύματος, σε έξι θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης. Προκύπτει ότι για το διάστημα 43 x 1 45 (ή 0.78 d/d b 0.55), το υποβρύχιο κυματογενές ρεύμα υπερισχύει του παράλληλου στην ακτογραμμή ρεύματος, αφού κατά το μεγαλύτερο τμήμα της κατακόρυφης κατανομής, τα διανύσματα έχουν διεύθυνση εγκάρσια στην ακτογραμμή και φορά προς την ανοιχτή θάλασσα, ενώ η ισχύς του αυξάνει καθώς κατευθυνόμαστε προς τα ρηχά. Για το συγκεκριμένο διάστημα, το παράλληλο ρεύμα, το οποίο έχει μικρότερες ταχύτητες σε σχέση με το υποβρύχιο, περιορίζεται σε μικρή απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια. Σε ρηχότερα βάθη, για d/d b < 0.55 (ή x 1 > 45), το παράλληλο κυματογενές ρεύμα εμφανίζεται ενισχυμένο τόσο από άποψη μεγέθους, όσο και από την πλευρά του εύρους που καταλαμβάνει στην κατακόρυφη στήλη των διανυσμάτων. Μάλιστα, στα πιο ρηχά βάθη (d/d b < 0.44), το μέτρο του παράλληλου ρεύματος ξεπερνά το αντίστοιχο του υποβρύχιου. Ξεκινώντας από τον πυθμένα με κατεύθυνση προς την ελεύθερη επιφάνεια, παρατηρείται η χαρακτηριστική σταδιακή στρέψη των διανυσμάτων της ταχύτητας U, από την εγκάρσια στην παράλληλη ως προς την ακτογραμμή διεύθυνση, η οποία φαίνεται καλύτερα στις κατανομές των θέσεων x 1 = 46, 47 και 48. Σχήμα 6.16 Κατακόρυφη κατανομή (από τον πυθμένα ως την κοιλία κύματος) των τρισδιάστατων διανυσμάτων της μέσης ταχύτητας, U, σε έξι θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης. Οι θέσεις x 1 = 43 ως 48 αντιστοιχούν, κατά σειρά, σε λόγους d/d b = 0.78, 0.67, 0.55, 0.44, 0.33 και 0.23.

137 123 Στο Σχήμα 6.17 παρουσιάζονται τα προφίλ των οριζόντιων συνιστωσών της μέσης ταχύτητας, U 1 και U 2, σε τέσσερις θέσεις της ζώνης απόσβεσης, όπως υπολογίστηκαν από το μοντέλο LWS. Οι μέσες οριζόντιες ταχύτητες και η κατακόρυφη συντεταγμένη, x 3, κανονικοποιούνται ως προς το βάθος θραύσης d b, και το τοπικό βάθος d της κάθε θέσης, αντίστοιχα. Όπως αναμενόταν, η κατανομή του υποβρύχιου ρεύματος (προφίλ της U 1 ), ποιοτικά, δεν παρουσιάζει μεταβολή σε σχέση με το αντίστοιχο προφίλ που προέκυψε από την κάθετη θραύση κύματος (Σχήμα 5.10), παρουσιάζοντας ισχύ ίδιας τάξης μεγέθους και ανάλογη κατεύθυνση προς την ανοιχτή θάλασσα κοντά στον πυθμένα και προς την ακτογραμμή κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια. Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ τους είναι ότι, για την περίπτωση της μη-κάθετης θραύσης, η ισχύς του υποβρύχιου ρεύματος γίνεται μέγιστη σε πιο ρηχά βάθη, γεγονός που συνδέεται με τη μετακίνηση της θέσης έναρξης της θραύσης πιο κοντά στην ακτογραμμή. Επίσης, από τις προβλέψεις του μοντέλου για το προφίλ της U 1 απουσιάζει το ασθενές ρεύμα οριακού στρώματος (με κατεύθυνση προς την ακτογραμμή), απόρροια της περιορισμένης ανάλυσης του πλέγματος πολύ κοντά στον πυθμένα. Η κατανομή του παράλληλου ρεύματος ως προς το βάθος (προφίλ της U 2 ), διαφέρει αρκετά από αυτή του υποβρύχιου ρεύματος μοιάζοντας περισσότερο με γραμμική (από τον πυθμένα ως τη στάθμη της κοιλίας του κύματος), σαφώς επηρεασμένη από την παρουσία του υποβρύχιου ρεύματος κοντά στον πυθμένα, ενώ σε ρηχά βάθη τείνει προς τη λογαριθμική κατανομή [Σχήμα 6.17(δ)]. Η ισχύς του αυξάνει, επίσης, καθώς κατευθυνόμαστε προς την ακτογραμμή, ενώ οι τιμές του προφίλ της είναι θετικές καθ' όλο το βάθος. Η μέγιστη τιμή των προφίλ της U 2 εμφανίζεται κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια, σε αντίθεση με τη μέγιστη (κατά απόλυτη) τιμή της U 1, η οποία εμφανίζεται κοντά στον πυθμένα. Για την ποσοτική επαλήθευση της προβλεπόμενης, από το αριθμητικό μοντέλο, ισχύος του παράλληλου ρεύματος (ως προς την τάξη μεγέθους), χρησιμοποιήθηκε η θεωρητική σχέση υπολογισμού της ολοκληρωμένης, ως προς το βάθος, ταχύτητας του παράλληλου ρεύματος του Longuet-Higgins (1970), όπως παρουσιάζεται στο CEM (2002, σελ. ΙΙ-4-23). Η μέγιστη τιμή της θεωρητικής πρόβλεψης κυμαίνεται από 0.13 ως 0.22, ανάλογα με την τιμή του συντελεστή τριβής πυθμένα, ενώ η θέση εμφάνισής της αντιστοιχεί σε d/d b 0.6. Το μοντέλο LWS προβλέπει μέγιστη, ολοκληρωμένη ως προς το βάθος, ταχύτητα U 2av_max = 0.055, η οποία εμφανίζεται σε ρηχότερα βάθη της ζώνης απόσβεσης. Η εμφάνιση της, μέσης ως προς το βάθος, αιχμής του παράλληλου ρεύματος σε κοντινή απόσταση από την ακτογραμμή (d/d b < 0.5) έχει παρατηρηθεί τόσο σε

138 124 εργαστηριακές μετρήσεις (Wang et al., Zhang & Zou, 2012), όσο και σε μετρήσεις πεδίου (Thornton & Guza, 1986). Σχήμα 6.17 Κατακόρυφη κατανομή της μέσης διαμήκους ταχύτητας, U 1 (μπλε γραμμή), και της μέσης εγκάρσιας ταχύτητας, U 2 (κόκκινη γραμμή), σε τέσσερις θέσεις εντός της ζώνης απόσβεσης (α) x 1 = 44 (β) x 1 = 45, (γ) x 1 = 47, (δ) x 1 = Πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα Το πεδίο διατμητικής τάσης πυθμένα που αναπτύσσεται στον κεκλιμένο πυθμένα έχει δύο οριζόντιες συνιστώσες, τις τ b1 και τ b2, κατά τη διαμήκη και εγκάρσια διεύθυνση, αντίστοιχα, και παρουσιάζεται με τη βοήθεια του τυπικού στιγμιότυπου των ισοϋψών καμπύλων του Σχήματος 6.18, όπου φαίνεται και η κάτοψη της επιλυόμενης ανύψωσης

139 125 Σχήμα 6.18 Τυπικό στιγμιότυπο ισοϋψών (α) της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας (β) της διαμήκους συνιστώσας της διατμητικής τάσης πυθμένα τ b1, και (γ) της εγκάρσιας συνιστώσας τ b2, μετά την πάροδο περίπου 15 περιόδων κύματος, T. της ελεύθερης επιφάνειας. Το εύρος των τ b1 και τ b2 παρουσιάζει σημαντική αύξηση στον κεκλιμένο πυθμένα (κυρίως το ημι-εύρος των θετικών τιμών), σε σχέση με το οριζόντιο τμήμα εισόδου, ειδικά στη ζώνη θραύσης και απόσβεσης του κύματος (για x 1 > 41.5). Προφανώς, η διαμήκης συνιστώσα της διατμητικής τάσης παρουσιάζει μεγαλύτερο εύρος διακύμανσης σε σχέση με την εγκάρσια συνιστώσα, με το μεταξύ τους λόγο να είναι (τ b2 /τ b1 ) amp 1/3, περίπου ίσος με tanφ b = Η μέγιστη τιμή του εύρους διακύμανσης των τ b1 και τ b2 εμφανίζεται στη θέση x 1 46 (d/d b = 0.44), ενώ σε πιο ρηχά βάθη μειώνεται, ακολουθώντας την απόσβεση του ύψους κύματος. Η μείωση του μήκους κύματος, η οποία