ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑ ΟΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΒΑΘΟΥΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑ ΟΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΒΑΘΟΥΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Σ. ΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Επίκουρος Καθηγητής Α. Α. ΗΜΑΣ ΠΑΤΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΣ 005

2 Πρόλογος Η παρούσα διατριβή για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης εκπονήθηκε κατά τα ακαδηµαϊκά έτη από τον µεταπτυχιακό φοιτητή του τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών Άγγελο Σ. ηµακόπουλο, υπό την επίβλεψη του Επίκουρου Καθηγητή κ. Αθανάσιου Α. ήµα. Το θέµα της είναι «Αριθµητική προσοµοίωση δισδιάστατης µη συνεκτικής ροής ελεύθερης επιφάνειας κατά τη διάδοση µη γραµµικών κυµάτων πάνω από πυθµένα πεπερασµένου βάθους». Ο συγγραφέας αισθάνεται την υποχρέωση να εκφράσει τις πιο θερµές ευχαριστίες προς τον Επίκουρο Καθηγητή του τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών κ. Αθανάσιο ήµα τόσο για την ανάθεση της συγκεκριµένης εργασίας, όσο και για την επίβλεψη και την καθοδήγηση κατά τη διάρκεια της εκπόνησής της. Επίσης εκφράζονται ευχαριστίες στα µέλη ιδακτικού Επιστηµονικού Προσωπικού του Εργαστηρίου Υδραυλικής Μηχανικής του τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών για τη συνεισφορά τους στην ολοκλήρωση των µεταπτυχιακών σπουδών του συγγραφέα. Τέλος, εκφράζονται ευχαριστίες για τη χρηµατική υποστήριξη, υπό τη µορφή υποτροφίας, που παρείχε το πρόγραµµα «Κ. Καραθεοδωρής» του Πανεπιστηµίου Πατρών στα πλαίσια του έργου «Αριθµητική Προσοµοίωση Θραυόµενων Κυµάτων στην Παράκτια Ζώνη» µε επιστηµονικό υπεύθυνο τον Επίκουρο Καθηγητή Αθανάσιο Α. ήµα. Πάτρα, Ιούνιος 005 Άγγελος Σ. ηµακόπουλος ii

3 Περίληψη Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται µια µέθοδος για την αριθµητική προσοµοίωση δισδιάστατης, µη συνεκτικής ροής µε ελεύθερη επιφάνεια, που προκύπτει από τη διάδοση κυµάτων βαρύτητας πάνω από πυθµένα µε τυχαία µορφολογία. Η µέθοδος βασίζεται στην αριθµητική επίλυση των εξισώσεων Euler, που υπόκεινται σε πλήρως µη γραµµικές οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και κατάλληλες οριακές συνθήκες πυθµένα, εισόδου και εξόδου, χρησιµοποιώντας ένα υβριδικό σχήµα πεπερασµένων διαφορών και ψευδό-φασµατικής µεθόδου. Οι εξισώσεις ροής µετασχηµατίζονται έτσι ώστε τα όρια του υπολογιστικού πεδίου να είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Η επαλήθευση της µεθόδου επίλυσης γίνεται µε την εφαρµογή της στο πρόβληµα της κατανοµής θερµοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα, υπό σταθερές συνθήκες. Για την ελαχιστοποίηση της ανάκλασης χρησιµοποιείται ζώνη απορρόφησης στην περιοχή απορροής. Η αποτελεσµατικότητα της ζώνης απορρόφησης τεκµηριώνεται µε την παρουσίαση αποτελεσµάτων προσοµοίωσης διάδοσης γραµµικών κυµατισµών σε πυθµένα σταθερού βάθους. Προκύπτει ότι η ζώνη απορρόφησης που βασίζεται στην επιβολή εξωτερικής δυναµικής πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια εµφανίζει την ελάχιστη ανάκλαση. Αποτελέσµατα παρουσιάζονται για την προσοµοίωση ροής µε ελεύθερη επιφάνεια πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσης :0 και :50, για διαφορετικά µήκη και ύψη κυµάτων εισόδου. Ο µετασχηµατισµός των γραµµικών κυµάτων πάνω από την περιοχή σταθερής κλίσης συµφωνεί µε τη θεωρία γραµµικής διασποράς για ροή µε µικρά ύψη κύµατος. Για µη γραµµικούς κυµατισµούς, το µήκος κύµατος µειώνεται πάνω από την περιοχή σταθερής κλίσης, ενώ η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας αποκλίνει από την αρχική ηµιτονοειδή µορφή και το ύψος κύµατος αυξάνει λόγω της ρήχωσης. iii

4 Πίνακας Περιεχοµένων ΠΡΟΛΟΓΟΣ... II ΠΕΡΙΛΗΨΗ... III ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... IV ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ... V. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ POISSON ΖΩΝΗ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ ΙΑ ΟΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΠΥΘΜΕΝΑ ΙΑ ΟΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΠΥΘΜΕΝΑ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΛΙΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ iv

5 Κατάλογος Σχηµάτων και Πινάκων Σχήµα : Πεδίο ροής µε ελεύθερη επιφάνεια και πυθµένα Σχήµα : Πλέγµα υπολογιστικού πεδίου... 4 Σχήµα 3: Πλέγµα πραγµατικού πεδίου... 5 Σχήµα 4: Παράδειγµα συνάρτησης προσαρµοσµένης σε πλέγµα σηµείων Chebyshev. Με την προσθήκη της συµµετρικής εξασφαλίζεται η περιοδικότητα της Σχήµα 5: Συνάρτηση φίλτρου ψευδό-φασµατικής προσέγγισης... 7 Σχήµα 6: Μορφή του µητρώου υπολογισµού του ύψους πίεσης... 3 Σχήµα 7: Οριακές συνθήκες κατανοµής θερµοκρασίας σε ορθογώνια πλάκα Σχήµα 8: Αναλυτική λύση προβλήµατος κατανοµής θερµοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα Σχήµα 9 Αριθµητική λύση για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 64 ου βαθµού Σχήµα 0: Κατανοµή σφάλµατος για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 64 ου βαθµού. 30 Σχήµα : Αριθµητική λύση για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 8 ου βαθµού... 3 Σχήµα : Κατανοµή σφάλµατος για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 8 ου βαθµού.3 Σχήµα 3: Εξίσωση (83α) για β ο =, k= Σχήµα 4 Εξίσωση (83β) για β ο =, α= Σχήµα 5: Εξίσωση (83γ) για β ο = Σχήµα 6: Στιγµιότυπα κατά τη διάδοση κύµατος από αρχική συνθήκη ηρεµίας για χρόνο t=7,5 35,5 53, και Σχήµα 7: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=00 στη θέση x =30 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 για την περίπτωση Σχήµα 8: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 στη θέση x =6 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=35 έως t=40 για την περίπτωση Σχήµα 9: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 στη θέση x =6 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=35 έως t=40 για την περίπτωση Σχήµα 0: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 στη θέση x =30 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 για την περίπτωση Σχήµα : Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=0 για την περίπτωση Σχήµα Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=35 για την περίπτωση Σχήµα 3: Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=35,5 για την περίπτωση Σχήµα 4: Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=0 για την περίπτωση Σχήµα 5: Τυπική γεωµετρία πεδίου ροής µε πυθµένα σταθερής κλίσης Σχήµα 6: Στιγµιότυπα κατά τη διάδοση κύµατος από αρχική συνθήκη ηρεµίας για χρόνο t=0 0,5, και 35,5 για την περίπτωση Σχήµα 7: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας µε το χρόνο στις θέσεις x =3, και 45 για την περίπτωση Σχήµα 8 Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=35,5 για την περίπτωση Σχήµα 9: Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=05,5 για την περίπτωση Πίνακας : εδοµένα επίλυσης για 3 περιπτώσεις διάδοσης κυµατισµών σε πυθµένα σταθερού βάθους Πίνακας : Υπολογισµός του συντελεστή ανάκλασης Πίνακας 3: εδοµένα επίλυσης για 3 περιπτώσεις διάδοσης κυµατισµών σε πυθµένα σταθερής κλίσης.47 v

6 . Εισαγωγή Η µελέτη φαινοµένων και ο σχεδιασµός έργων στο παράκτιο περιβάλλον απαιτούν την πρόβλεψη των κυµατικών συνθηκών της περιοχής. Τα χαρακτηριστικά των κυµάτων, όπως η περίοδος, το ύψος και η διεύθυνση, καθορίζονται αρχικά στο υπεράκτιο περιβάλλον, όπου ο πυθµένας δεν επηρεάζει τη διαµόρφωση των κυµατισµών. Αντίθετα στην παράκτια ζώνη, η µορφολογία του πυθµένα συντελεί στο µετασχηµατισµό των χαρακτηριστικών των κυµάτων. Ο µετασχηµατισµός των κυµατισµών, κατά την είσοδο τους στην παράκτια ζώνη, είναι πολύπλοκο φαινόµενο κυρίως λόγω της τυχαίας µορφολογίας του πυθµένα, της ύπαρξης κατασκευών και της ανάπτυξης τυρβώδους ροής κατά τη θραύση των κυµατισµών. Οι αναλυτικές και εµπειρικές µέθοδοι, που έχουν αναπτυχθεί, είναι χρήσιµες για τη γενική κατανόηση του φαινοµένου, αλλά δεν είναι ικανές να προσδιορίσουν τα ακριβή χαρακτηριστικά των κυµατισµών σε ρεαλιστικές συνθήκες. Τα τελευταία χρόνια, παράλληλα µε την πρόοδο στην τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αναπτύχθηκαν µοντέλα αριθµητικής προσοµοίωσης της διάδοσης κυµατισµών σε παράκτια ζώνη. Το πλεονέκτηµα τους είναι ότι µπορούν να προβλέψουν ικανοποιητικά τον µετασχηµατισµό των κυµατισµών, επιλύοντας αριθµητικά τις εξισώσεις ροής και λαµβάνοντας υπ όψιν τις οριακές συνθήκες του πεδίου ροής. Κάθε αριθµητικό µοντέλο προσοµοίωσης συνιστάται από τις κατάλληλες εξισώσεις ροής, τις οριακές συνθήκες και από την αριθµητική µέθοδο επίλυσης των εξισώσεων. Τα µοντέλα αριθµητικής προσοµοίωσης χωρίζονται γενικά σε τρεις κατηγορίες: επίλυση των ολοκληρωµένων κατά το βάθος εξισώσεων ροής, επίλυση των εξισώσεων ιδεατής ροής και επίλυση των πλήρων εξισώσεων ροής. Τα περισσότερα µοντέλα προσοµοίωσης διάδοσης κυµατισµών πάνω από πυθµένα βασίζονται σε ολοκληρωµένες κατά το βάθος εξισώσεις, όπως οι εξισώσεις ήπιας κλίσης και οι εξισώσεις Boussinesq (Liu & Losada 00). Η θραύση των κυµατισµών µοντελοποιείται µε την προσθήκη όρων απόσβεσης ενέργειας. Το κύριο πλεονέκτηµά τους είναι ότι επιτυγχάνεται τρισδιάστατη προσοµοίωση, επιλύοντας εξισώσεις δισδιάστατου πεδίου. Τα αριθµητικά αποτελέσµατα για την ελεύθερη επιφάνεια συµφωνούν ικανοποιητικά µε πειραµατικές µετρήσεις. Ωστόσο το κυριότερο µειονέκτηµα τους είναι ότι δεν αποδίδουν µε ακρίβεια τη χωρική κατανοµή του πεδίου ταχυτήτων και της

7 τυρβώδους κινητικής ενέργειας, που αναπτύσσεται, είτε από τη θραύση των κυµάτων είτε από την επίδραση του πυθµένα. Τα µοντέλα, που βασίζονται στη θεωρία των συνοριακών στοιχείων, επιλύουν την εξίσωση Laplace για ιδεατή αστρόβιλη ροή και η διακριτοποίηση πραγµατοποιείται µόνο στο όριο του υπολογιστικού πεδίου (Grilli & Horillo 997), το οποίο αποτελεί και πλεονέκτηµα της µεθόδου. Η λύση της εξίσωσης Laplace σε συνδυασµό µε την αριθµητική επίλυση των εξισώσεων οριακών συνθηκών υπολογίζει τα χαρακτηριστικά της ροής σε όλο το πεδίο. Η παραδοχή όµως αστρόβιλης ροής αποτελεί το βασικότερο µειονέκτηµα της µεθόδου καθώς αποκλείεται η προσοµοίωση φαινοµένων που σχετίζονται µε θραύση κυµάτων, ανάπτυξη τύρβης και συνεκτικής ροής. Τα µοντέλα που επιλύουν αριθµητικά τις εξισώσεις Navier Stokes, προσφέρουν τη δυνατότητα υπολογισµού των ταχυτήτων και των πιέσεων καθώς και την κατανοµή της τύρβης στο πεδίο ροής. Στην περίπτωση ροής µε ελεύθερη επιφάνεια, η θέση της υπολογίζεται είτε άµεσα από τις οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας είτε έµµεσα µε τη χρήση κάποιας µεθόδου ανίχνευσης. Οι µέθοδοι ανίχνευσης της ελεύθερης επιφάνειας βασίζονται στον προσδιορισµό της διαχωριστικής επιφάνειας δύο ρευστών τα οποία δεν αναµιγνύονται µεταξύ τους και η πιο διαδεδοµένη είναι η µέθοδος VOF (Volume of Fluid), (Scardovelli & Zaleski 999, Hirt & Nichols 98). Το βασικό µειονέκτηµα της µεθόδου VOF είναι το υψηλό υπολογιστικό κόστος στην περιοχή θραυόµενων κυµάτων. Οι εξισώσεις ροής µπορούν να επιλυθούν µε άµεση αριθµητική προσοµοίωση DNS (Direct Numerical Simulation) κατά την οποία επιλέγεται χωρική και χρονική διακριτοποίηση η οποία είναι συµβατή µε τις διακυµάνσεις της τύρβης. Το µειονέκτηµα του παραπάνω µοντέλου είναι ότι απαιτεί υψηλό υπολογιστικό κόστος. Για τη µείωση του υπολογιστικού κόστους αναπτύχθηκαν µοντέλα κατά τα οποία η διακριτοποίηση συνδυάζεται µε εξισώσεις προσέγγισης της τυρβώδους συµπεριφοράς. Με την εφαρµογή ενός χρονικού µέσου όρου στις εξισώσεις Navier-Stokes προκύπτουν οι εξισώσεις RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes), οπού η επίδραση της τύρβης προσεγγίζεται µε πρόσθετες εξισώσεις (Liu & Losada 00). Το πλεονέκτηµα του µοντέλου είναι ότι το µέγεθος του πλέγµατος δεν εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά µεγέθη της τύρβης. Ωστόσο, οι εξισώσεις, που προσεγγίζουν την τύρβη, βασίζονται και σε εµπειρικούς συντελεστές, οι οποίοι εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της ροής και τη γεωµετρία του προβλήµατος, µε αποτέλεσµα να µη δίνουν ακριβή αποτελέσµατα σε περίπτωση που δεν υπάρχει κατάλληλη πειραµατική βαθµονόµηση.

8 Ένας άλλος τρόπος να µοντελοποιηθεί η επίδραση της τύρβης είναι η µέθοδος προσοµοίωσης µεγάλων δινών LES (Large Eddy Simulation) (Lesieur & Métais 995). Κατά την τυρβώδη ροή αναπτύσσονται στρόβιλοι ή δίνες µε χαρακτηριστικά µεγέθη από τη µεγαλύτερη κλίµακα της ροής µέχρι τη µικρότερη κλίµακα µήκους Kolmogorov. Η µετάπτωση της ενέργειας γίνεται από τις µεγαλύτερες δίνες στις µικρότερες και η ανάλωση της γίνεται στη µικρότερη κλίµακα. Η διαµόρφωση των µεγάλων στροβίλων εξαρτάται από τη γεωµετρία και το είδος της ροής, ενώ η συµπεριφορά των µικροτέρων είναι σχεδόν οµοιόµορφη για όλες τις ροές. Η µέθοδος LES προσοµοιώνει τη συµπεριφορά των µεγάλων δινών µε κατάλληλο πλέγµα, ενώ η συµπεριφορά των µικρών δινών περιγράφεται από µοντέλα τάσεων υποκλίµακας. Οι συντελεστές των µοντέλων υπολογίζονται µε µεγαλύτερη ακρίβεια από τους αντίστοιχους των εξισώσεων RANS και απαιτείται λιγότερος υπολογιστικός χρόνος από ότι στη µέθοδο DNS. Επιπλέον, ο διαχωρισµός των δινών συντελεί στην κατανόηση της διαδικασίας µετάπτωσης και ανάλωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Το κυριότερο µειονέκτηµα της µεθόδου LES είναι ότι στην περίπτωση ροής κοντά σε σταθερό όριο απαιτείται πυκνή διακριτοποίηση, µε αποτέλεσµα την αύξηση του υπολογιστικού κόστους. Αντίστοιχα για τις περιπτώσεις ροής µε ελεύθερη επιφάνεια και θραυόµενα κύµατα εκχείλισης έχει αναπτυχθεί η µέθοδος LWS (Large Wave Simulation), όπου επιπλέον διαχωρίζονται οι διαταραχές της ελεύθερης επιφάνειας σε µεγάλου και µικρού µήκους κύµατος κατ αναλογία µε τις δίνες στη µέθοδο LES (Dimas & Fialkowski 000). Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός µοντέλου αριθµητικής προσοµοίωσης δισδιάστατης, µη συνεκτικής διάδοσης κυµατισµών πάνω από πυθµένα, η επαλήθευσή του και η εφαρµογή του σε πυθµένα µε σταθερή κλίση. Το µοντέλο βασίζεται στην αριθµητική επίλυση των δισδιάστατων εξισώσεων Euler, µε µελλοντική δυνατότητα επέκτασής του σε περιπτώσεις τρισδιάστατης και συνεκτικής ροής σε συνδυασµό µε τις µεθόδους LES για την προσοµοίωση της τύρβης και LWS για την προσοµοίωση θραυόµενων κυµάτων. Στην δεύτερη ενότητα παρουσιάζονται οι αδιάστατες εξισώσεις Euler για ασυµπίεστη, δισδιάστατη, µη συνεκτική ροή µε ελεύθερη επιφάνεια και οι οριακές συνθήκες σε ελεύθερη επιφάνεια και πυθµένα. Επιπλέον, εφαρµόζεται κατάλληλος µετασχηµατισµός, έτσι ώστε τα όρια του υπολογιστικού πεδίου να είναι ανεξάρτητα από το χρόνο. 3

9 Στην τρίτη ενότητα παρουσιάζεται αναλυτικά η µέθοδος αριθµητικής επίλυσης των εξισώσεων που αναπτύχθηκαν στη δεύτερη ενότητα. Παρουσιάζονται οι µέθοδοι χωρικής και χρονικής διακριτοποίησης, που υιοθετούνται, καθώς και η εφαρµογή των οριακών συνθηκών κατά την αριθµητική προσοµοίωση. Επίσης παρουσιάζονται µέθοδοι φιλτραρίσµατος του πεδίου ροής, οι οποίες συµβάλλουν στην ευστάθεια της αριθµητικής λύσης. Στην τέταρτη ενότητα επαληθεύεται η ακρίβεια της αριθµητικής µεθόδου επίλυσης της εξίσωσης πίεσης, που αποτελεί και τον κορµό της µεθόδου. Η διαδικασία επιτυγχάνεται µε τη σύγκριση των αποτελεσµάτων της αριθµητικής µε την αναλυτική λύση για το πρόβληµα της κατανοµής θερµοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα, υπό σταθερές συνθήκες. Στην πέµπτη ενότητα αναλύονται διάφοροι τύποι ζωνών απόσβεσης για την απορρόφηση των εξερχόµενων κυµατισµών και συγκρίνονται ως προς την αποτελεσµατικότητά τους σε περιπτώσεις διάδοσης κυµατισµών σε σταθερό πυθµένα. Στην έκτη ενότητα παρουσιάζονται περιπτώσεις προσοµοίωσης κυµατισµών κατά τη διάδοση τους πάνω από πυθµένα σταθερής κλίσης σε διαγράµµατα όπου απεικονίζονται τα πεδία ταχυτήτων και δυναµικής πίεσης καθώς και η διαµόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας υπό την επίδραση του πυθµένα. Η έβδοµη ενότητα αναφέρεται στα κυριότερα συµπεράσµατα που προκύπτουν από την παρούσα εργασία. 4

10 . ισδιάστατη Ροή µε Ελεύθερη Επιφάνεια Οι αδιάστατες εξισώσεις, που διέπουν την ασυµπίεστη, δισδιάστατη, µη συνεκτική ροή ελεύθερης επιφάνειας είναι η εξίσωση συνέχειας u x u + = 0 x () και οι εξισώσεις Euler u u u p + u + u = t x x x () u u u p + u + u = t x x x (3) όπου t ο χρόνος, x, x η οριζόντια και η κατακόρυφη συντεταγµένη, u, u η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας και p η δυναµική πίεση. Για την αδιαστατοποίηση των µεταβλητών χρησιµοποιούνται οι χαρακτηριστικές τιµές του βάθους αναφοράς d 0 στο όριο εισόδου του πεδίου (Σχ. ), της επιτάχυνσης της βαρύτητας g και της πυκνότητας του νερού ρ. Τα µήκη, ο χρόνος οι ταχύτητες και η πίεση αδιαστατοποιούνται µε τις παραµέτρους d o, d o, gd o και ρ gd o αντίστοιχα. Οι g µεταβλητές, που αναφέρονται στη συνέχεια, θεωρούνται ότι είναι αδιαστατοποιηµένες. συνθήκη Οι οριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια, x = η( x, ), είναι η δυναµική t η p = (4) Fr 5

11 όπου η η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας και Fr είναι ο αριθµός Froude της ροής, και η κινηµατική συνθήκη u d η η = = + u η dt t x (5) Ο αριθµός Froude ισούται µε Fr U c = (6) gd o όπου είναι U c η χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής, η οποία στη συγκεκριµένη περίπτωση gd o, εποµένως εξ ορισµού ο αριθµός Froude ισούται µε τη µονάδα. Η χαρακτηριστική ταχύτητα gd o ισούται µε την ταχύτητα διάδοσης κύµατος ρηχού νερού σε βάθος d o. Στον πυθµένα ισχύει η οριακή συνθήκη αδιαπέρατου ορίου, που επιβάλλει το µηδενισµό της κάθετης στον πυθµένα συνιστώσας της ταχύτητας, συνεπώς h = 0 u u x (7) Η στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας είναι άγνωστη µεταβλητή του χρόνου, γεγονός που καθιστά το υπολογιστικό πεδίο µεταβλητή συνάρτηση του χρόνου. Το πρόβληµα αντιµετωπίζεται µε τη χρήση κατάλληλου µετασχηµατισµού της συντεταγµένης x στο διάστηµα [ d, η], όπου d = do h είναι το βάθος του πυθµένα σε τυχαία θέση x, d 0 είναι το βάθος του πυθµένα στη θέση x = 0 και h x ) η συνάρτηση µορφολογίας του d h πυθµένα (Σχ. ). Ισχύει = x x. ( 6

12 Σχήµα : Πεδίο ροής µε ελεύθερη επιφάνεια και πυθµένα. Ο µετασχηµατισµός έχει τη µορφή s = x (8) s x + d η = d + η (9) όπου η µεταβλητή βρίσκεται στο διάστηµα [ d,η] χρόνο. s παίρνει τιµές στο διάστηµα [, + ], εφ όσον η µεταβλητή x. Εποµένως, το υπολογιστικό πεδίο δεν εξαρτάται από το Ο µετασχηµατισµός των µερικών παραγώγων των συναρτήσεων u i t, x, x ), ( p t, x, x ) στις αντίστοιχες µερικές παράγωγους των u, s, i t s ), p t, s, s ) γίνεται ( ( σύµφωνα µε τις εξισώσεις: ( ( pu, i) ( pu, i) ( pu, i) η + s = t t s t d + η (0) 7

13 ( pu, i) ( pu, i) ( pu, ) i η + s h s = + x s s s d + η s d + η () ( pu, i) ( pu, i) = x s d + η () Με την εφαρµογή του µετασχηµατισµού στις εξισώσεις συνέχειας () και Euler () και (3) προκύπτουν οι εξισώσεις: u u η + s h s u + + = 0 s s s d + η s d + η s d + n (3) u u η + s u u s h s u p p s h s u u η + u η = + + t s t d + η s s s d + η s d + η s d + η s s s d + η s d + η (4) u u η + s u u η + s h s u p + u u + + u = t s t d + η s s s d + η s d + η s d + n s d + η (5) Αντίστοιχα, µετασχηµατίζονται οι συνιστώσες της ταχύτητας u, u σύµφωνα µε τις εξισώσεις: v = u (6) u η h v = u ( + s) + ( s) = u nt s s (7) dη η όπου η t = dt t Με την αντικατάσταση των u, u από τις v, v, οι εξισώσεις (3)-(5) λαµβάνουν τη µορφή: 8

14 v v v η h + + = s d + η s s s 0 (8) v T v η + s p η + s h s Π = vω t s t d + η s s d + η s d + η s (9) v ( v + η ) η + s Π = v ω + η t s t d + d + s T t tt η η (0) όπου Π= p + ( v + v) () είναι το ύψος πίεσης, T v v ω = s d + η s () είναι η µετασχηµατισµένη στροβιλότητα και η η η ηtt = + v + v t s d + s t t t η (3) είναι η µετασχηµατισµένη επιτάχυνση της ελεύθερης επιφάνειας. Οι µετασχηµατισµένες εξισώσεις Euler (9) και (0) έχουν γραφεί στη στροφική µορφή, που εξασφαλίζει διατήρηση της ενέργειας και απόλυτη ευστάθεια κατά την αριθµητική διακριτοποίηση τους µε πεπερασµένες διαφορές και φασµατικές µεθόδους (Dimas & Triantafyllou 994). Το ύψος πίεσης () δεν είναι το πραγµατικό, το οποίο ισούται µε Π r = p + ( u + u ), αλλά το µετασχηµατισµένο, το οποίο αντιστοιχεί στις ταχύτητες v, v και σχετίζεται µε το πραγµατικό ύψος πίεσης σύµφωνα µε τη σχέση 9

15 Π=Πr ηt + vη t (4) Οι σχέσεις που περιγράφουν τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος υπόκεινται σε µετασχηµατισµούς σύµφωνα µε τις εξισώσεις (0), (), (), (6), (7) και (). Εποµένως οι σχέσεις (4), (5) και (7), αντίστοιχα, µετασχηµατίζονται ως εξής: η Π ( s,) = + ( v + v ) (5) Fr η v( s,) = t (6) v( s,) = 0 (7) Σηµειώνεται ότι στην ελεύθερη επιφάνεια και στον πυθµένα, αντίστοιχα, ισχύει s = και s =. 0

16 3. Αριθµητική µέθοδος Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων ροής επιτυγχάνεται µε τη χρήση κλασµατικής µεθόδου ολοκλήρωσης µε σταθερό βήµα για τη χρονική ολοκλήρωση και ενός υβριδικού σχήµατος για τη χωρική διακριτοποίηση. Η διακριτοποίηση κατά την οριζόντια διεύθυνση επιτυγχάνεται µε τη µέθοδο των κεντρικών πεπερασµένων διαφορών, ενώ στην κατακόρυφη διεύθυνση χρησιµοποιείται η φασµατική µέθοδος παρεµβολής µε πολυώνυµα Chebyshev. Η χρήση φασµατικής µεθόδου, αντί µεθόδου πεπερασµένων διαφορών, γίνεται για να απεµπλακεί η διακριτοποίηση στην κατακόρυφη διεύθυνση από τη διακριτοποίηση στην οριζόντια, καθώς στη παράκτια ζώνη η κλίµακα της ροής στην κατακόρυφη διεύθυνση είναι πολύ µικρότερη από την κλίµακα στην οριζόντια. Η χρήση πεπερασµένων διαφορών και στην κατακόρυφη διεύθυνση θα απαιτούσε τη χρήση ενός πολύ πυκνού κανάβου και στην οριζόντια διεύθυνση, για την αποφυγή ανακριβειών λόγω της χρήσης επιµήκων κελιών. Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων πραγµατοποιείται σε δύο στάδια για κάθε χρονικό βήµα. Στο πρώτο στάδιο χρησιµοποιείται ένα ρητό σχήµα Euler στο οποίο υπεισέρχονται οι µη γραµµικοί όροι των εξισώσεων (9) και (0), σύµφωνα µε τις παρακάτω εξισώσεις: n n T η + p η + h T = vω = vω + A t s t d + η s s d + η s d + η vˆ v v s s s n (8) n n T v + nt η + T = vω + ηtt = vω + A t s t d + η vˆ v ( ) s n (9) Στο δεύτερο στάδιο χρησιµοποιείται ένα πεπλεγµένο σχήµα Euler στο οποίο υπεισέρχονται οι όροι πίεσης των εξισώσεων (9) και (0), σύµφωνα µε τις παρακάτω εξισώσεις:

17 n+ v ˆ v Π = t s n+ (30) n+ v ˆ v Π = t d + η s n+ (3) Παραγωγίζοντας τις εξισώσεις (30) και (3) ως προς s, s, αντίστοιχα, προκύπτει: n+ v ˆ v Π = t s s s n+ (3) n+ v ˆ v Π = t s s d + η s n+ (33) Σε κάθε χρονικό βήµα οι ταχύτητες v, v ικανοποιούν την µετασχηµατισµένη εξίσωση της συνέχειας (8). Πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις (33) και (30) µε τους η h όρους, και αντίστοιχα, συνδυάζοντας τις µε την εξίσωση (3) και d + η d + η s s λαµβάνοντας υπόψη την (8), προκύπτει η γενικευµένη εξίσωση Poisson. n+ n+ n+ Π 4 Π Π η h vˆ ˆ ˆ v v η h + + = + + s ( d + η) s d + η s s s t s d + η s s s ( ) n (34) Η εξίσωση (34) εξασφαλίζει την ικανοποίηση της συνέχειας σε κάθε χρονικό βήµα και χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του ύψους πίεσης. Το δεξιό σκέλος της εξίσωσης είναι συνάρτηση των ταχυτήτων v ˆ ˆ, v, οι οποίες υπολογίζονται από τις εξισώσεις (8) και (9). Οι οριακές συνθήκες για την επίλυση της (34) προκύπτουν από τη δυναµική συνθήκη της ελεύθερης επιφάνειας και τη συνθήκη πυθµένα. Συγκεκριµένα, η δυναµική συνθήκη (5) στην ελεύθερη επιφάνεια, εκφρασµένη σε σχέση µε το µετασχηµατισµένο ύψος πίεσης, ισούται µε:

18 n+ η( s ) Π ( s,) = + ( v ( s,) + v ( s,) ) Fr n (35) Η οριακή συνθήκη στον πυθµένα (7) συνδυάζεται µε την εξίσωση (3) και το µετασχηµατισµένο ύψος πίεσης στον πυθµένα υπολογίζεται ως εξής: n+ Π( s, ) vˆ ( s, ) = ( η( s) + d( s) ) s t n (36) Ο υπολογισµός του ύψους πίεσης από την (36) εξασφαλίζει ότι στο δεύτερο στάδιο του χρονικού βήµατος, µε τη διόρθωση της ταχύτητας σύµφωνα µε την (33), ισχύει ( s, ) + v n = 0, δηλαδή σε κάθε χρονικό βήµα ικανοποιείται η οριακή συνθήκη στον πυθµένα. Η ελεύθερη επιφάνεια υπολογίζεται µέσω της κινηµατικής οριακής συνθήκης εφαρµόζοντας ένα ρητό σχήµα υπολογισµού στη διαφορική εξίσωση (6) n η + t = v ( s,) n (37) Η χωρική διακριτοποίηση των αγνώστων µεταβλητών πραγµατοποιείται σύµφωνα µε το ανάπτυγµα: N qs (, s, t) = q( s, tt ) ( s) (38) k k k= 0 όπου 0 s l, s, q η άγνωστη µεταβλητή, N η µέγιστη τάξη των πολυωνύµων Chebyshev στην διεύθυνση s και T k είναι πολυώνυµο Chebyshev k τάξης. Οι µη γραµµικοί όροι στις εξισώσεις (8) και (9) υπολογίζονται χρησιµοποιώντας ένα υβριδικό σχήµα αποτελούµενο από πεπερασµένες διαφορές κατά τη διεύθυνση s και ψευδό-φασµατική προσέγγιση µε πολυώνυµα Chebyshev κατά τη διεύθυνση s (Orszag & Kells 980) 3

19 n n T n i k = i k + t i ωt i + t i n k 0 vˆ ( s, s ) v ( s, s ) t v ( s ) ( s ) A ( s ) T ( s ) (39) n n T n i k = i k + t i ωt i + t i n k 0 vˆ ( s, s ) v ( s, s ) t v ( s ) ( s ) A ( s ) T ( s ) (40) όπου τα σηµεία υπολογισµού είναι s i =li L για L ( ) i, s π ( k N) k = cos για 0 k N, L ο αριθµός των σηµείων στη διεύθυνση s και l το µήκος του πεδίου υπολογισµού. Το πλέγµα των σηµείων, που προκύπτει από τα παραπάνω, έχει τη µορφή του σχήµατος. Η συνηµιτονοειδής κατανοµή σηµείων είναι γνωστή µε το όνοµα σηµεία Chebyshev- Lobatto. Σχήµα : Πλέγµα υπολογιστικού πεδίου. Η γραµµή s = αντιστοιχεί στον πυθµένα του φυσικού πεδίου, ενώ η s στην ελεύθερη επιφάνεια, η οποία είναι µεταβλητή του χρόνου. Η επίλυση γίνεται στο παραπάνω πλέγµα και στη συνέχεια οι µεταβλητές ανάγονται στο πραγµατικό πεδίο. Το αντίστοιχο πλέγµα στο πραγµατικό πεδίο θα έχει τη γενική µορφή του σχήµατος 3. = 4

20 Σχήµα 3: Πλέγµα πραγµατικού πεδίου. Οι όροι της ταχύτητας και της δυναµικής πίεσης αρχικά υπολογίζονται στο φυσικό πεδίο, όπως επίσης και οι µη γραµµικοί όροι. Οι τιµές των αντίστοιχων συντελεστών Chebyshev προκύπτουν από το µετασχηµατισµό των αντίστοιχων ποσοτήτων. Ο παραπάνω µετασχηµατισµός επιτυγχάνεται µε τη χρήση αλγορίθµων µετασχηµατισµού Fourier. Ο µετασχηµατισµός Fourier εφαρµόζεται στη συνάρτηση που προκύπτει από την υπέρθεση της αρχικής συνάρτησης και της συµµετρικής της ως προς τον άξονα s και συγκεκριµένα στη θέση ή +, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η περιοδικότητα της σε κάθε περίπτωση. Τιµές τις αρχικής συνάρτησης υπολογίζονται στα σηµεία Chebyshev-Lobatto. Ικανοποιώντας τις παραπάνω προϋποθέσεις (Σχ. 4), το πραγµατικό µέρος των συντελεστών Fourier που προκύπτουν από τον απ ευθείας µετασχηµατισµό της τροποποιηµένης συνάρτησης, ισούται µε τους συντελεστές του µετασχηµατισµού κατά Chebyshev της αρχικής συνάρτησης. 5

21 Σχήµα 4: Παράδειγµα συνάρτησης προσαρµοσµένης σε πλέγµα σηµείων Chebyshev. Με την προσθήκη της συµµετρικής εξασφαλίζεται η περιοδικότητα της. Οι αλγόριθµος που χρησιµοποιείται σε τέτοιες περιπτώσεις είναι ο FFT (Fast Fourier Transform). Με την προϋπόθεση ότι το πλήθος των σηµείων του πλέγµατος στη διεύθυνση s, άρα και των πολυωνύµων Chebyshev, είναι ακέραια δύναµη του δύο, το πλήθος των υπολογισµών που απαιτούνται είναι ελάχιστο και ισούται µε O ( N log N) (Press et al. 99). Με την εφαρµογή της ψευδό-φασµατικής προσέγγισης στους µη γραµµικούς όρους των εξισώσεων, η µέγιστη τάξη των πολυωνύµων Chebyshev θα είναι N, ενώ στην περίπτωση µιας πραγµατικής φασµατικής ανάλυσης θα ήταν N. Εποµένως κατά την ψευδό-φασµατική ανάλυση υπάρχει συσσώρευση ενέργειας στους όρους υψηλότερης τάξης για κάθε χρονικό βήµα το οποίο έχει σαν αποτέλεσµα αστάθεια και κατάρρευση της αριθµητικής λύσης (Myers et al. 98). Για το λόγο αυτό, σε κάθε χρονικό βήµα εφαρµόζεται κατάλληλη συνάρτηση φίλτρου, ώστε να εξαλείφεται η συσσώρευση στους όρους υψηλότερης τάξης, οι οποίοι είναι αµελητέοι, ενώ παράλληλα να µην µεταβάλλονται οι όροι χαµηλότερης τάξης, που είναι και οι σηµαντικότεροι. Η συνάρτηση 6

22 φίλτρου εφαρµόζεται σε κάθε χρονικό βήµα, στο πρώτο στάδιο στις ταχύτητες v ˆ ˆ, v. Μια τυπική συνάρτηση φίλτρου, η οποία χρησιµοποιείται στο συγκεκριµένο πρόβληµα είναι: q k p N F = e (4) Στο σχήµα 5 παρουσιάζεται το διάγραµµα της (4) για N = 3 σηµεία Chebyshev p = 8, q = F k Σχήµα 5: Συνάρτηση φίλτρου ψευδό-φασµατικής προσέγγισης Κατά την επίλυση του προβλήµατος αναµένεται να αναπτυχθούν, κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος, διαταραχές υψηλής συχνότητας, οι οποίες οφείλονται στη συσσώρευση ενέργειας σε κάθε χρονικό βήµα, καθώς οι εξισώσεις Euler δεν έχουν όρους απόσβεσης, µε αποτέλεσµα την κατάρρευση της λύσης. Εποµένως χρησιµοποιείται συνάρτηση φίλτρου αντίστοιχη της (4), η οποία εφαρµόζεται στο µετασχηµατισµένο κατά Fourier πεδίο ταχυτήτων. Ο µετασχηµατισµός γίνεται στην s διεύθυνση, µε τη χρήση αλγορίθµου FFT o οποίος απαιτεί το πλήθος των σηµείων δύναµη του δυο (Press et al. 99) για βέλτιστη απόδοση. s i να είναι ακέραια 7

23 Η συνάρτηση φίλτρου είναι απαραίτητη για τη σταθερότητα της αριθµητικής επίλυσης, καθώς η συσσώρευση ενέργειας δεν αντισταθµίζεται από την αριθµητική απόσβεση λόγω της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Το φίλτρο απορροφά µέρος της αρχικής ενέργειας των κυµατισµών. Παρατηρείται ότι όσο αυξάνεται το χωρικό βήµα ή µειώνεται το χρονικό βήµα, η συνολική ενέργεια που απορροφάται ανά περίοδο, αυξάνεται. Για περισσότερα από 00 σηµεία ανά µήκος κύµατος η ενέργεια που απορροφάται δεν επηρεάζει σηµαντικά την αριθµητική λύση. Αντίθετα, στις περιπτώσεις µε 40 σηµεία ανά µήκος κύµατος, η απορρόφηση ενέργειας λόγω φίλτρου είναι σηµαντική. Στο δεύτερο στάδιο του χρονικού βήµατος επιλύεται η γενικευµένη εξίσωση Poisson (34) στο µετασχηµατισµένο κατά Chebyshev πεδίο, για τον υπολογισµό του ύψους πίεσης. Σύµφωνα µε την εξίσωση (38), το ύψος πίεσης στο µετασχηµατισµένο πεδίο ισούται µε: N Π ( s, s, t) = Π ( s, t) T ( s ) (4) k i k k= 0 Εποµένως η γενικευµένη εξίσωση Poisson σε συνδυασµό µε την (34), γίνεται: ( Πi k Π i k +Πi k) + η h ( Π i k +Πi+ k) 4 i i,,,,, () + + Π ik, = cik, x d( s i) + η( s i) s s x s s ( ds ( i) + η( s i) ) n+ (43) όπου Π i, k, i k c, συντελεστές του k πολυωνύµου Chebyshev στη θέση i κατά τον άξονα s,οι οποίοι προκύπτουν από το µετασχηµατισµό του ύψους πίεσης και του δεξιού σκέλους της εξίσωσης (34), x το βήµα της διακριτοποίησης στον άξονα s, και () Π i,k ο συντελεστής του πολυωνύµου Chebyshev που προκύπτει από το µετασχηµατισµό της συνάρτησης Π s και σχετίζεται µε τους συντελεστές Π i, k ως εξής: Π = Π (44) N () ik, j( j k ) i, j c j j= k+ 8

24 j = 0 όπου k + j άρτιος και c j =. Από την εξίσωση (44) προκύπτει ότι αν j θεωρήσουµε τους συντελεστές Chebyshev του ύψους πίεσης ως ένα πίνακα-διάνυσµα διάστασης N + τότε οι συντελεστές της δεύτερης παράγωγου προκύπτουν από τον πολλαπλασιασµό του µε το µητρώο 0 0 g0, 0 g0, g0, N g, g, 0 N g, g, N G = gn 3, N gn, N (45) όπου g N i, j = j( j k ) c j j= k +. Η εξίσωση (44) δεν µπορεί να καθορίσει τους δύο υψηλότερης τάξης συντελεστές Chebyshev για τη δεύτερη παράγωγο, καθώς οι δύο τελευταίες γραµµές στο µητρώο G είναι µηδενικές. Αυτό προκύπτει επειδή κατά τη διπλή παραγώγιση µιας σειράς πολυωνύµων Chebyshev µέγιστης τάξης N, η νέα σειρά που θα προκύψει θα έχει µέγιστη τάξη N. Οι δύο επιπλέον εξισώσεις, που απαιτούνται, παρέχονται από τη δυναµική οριακή συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια (35) και την οριακή συνθήκη στον πυθµένα (36). Οι εξισώσεις των οριακών συνθήκες προκύπτουν από τη µέθοδο tau για φασµατική ανάλυση. H τιµή ενός Chebyshev πολυωνύµου k τάξης στα σηµεία +,, καθώς και των παραγώγων του δίνονται από τις σχέσεις: T ( ) ( ) k k ± = ± (46) p p d k p p T k x + k i i x=± i= 0 dx ( ) = ( ± ) ( ) ( + ) (47) 9

25 όπου p η τάξη της παραγώγου. Οι εξισώσεις (46) και (47) συνδυάζονται µε την (4) για s = και λαµβάνοντας υπόψη και τις (35) και (36) προκύπτουν οι εξισώσεις: ± n+ η( s ) Π ( s i,) = Π i, ktn() = Π i, k = v ( s i,) + v ( s i,) k= 0 k= 0 Fr N N i ( ) (48) n n+ N ˆ i Π( s, ) v ( s, ) = Π = + s k = 0 t k + i ( ) k ik, 0.5 ( η( s i) d( s i) ) (49) n Οι εξισώσεις (48) και (49), αντικαθιστούν τις δύο τελευταίες γραµµές του µητρώου G το οποίο γίνεται: 0 0 g0, 0 g0, g0, N g, g, 0 N g, g, N G = gn 3, N gn, N ( N ) N (50) Το µητρώο (50) αντιπροσωπεύει τη µεταβολή του ύψους πίεσης κατά τη διεύθυνση s και αποτελεί δοµικό στοιχείο του γενικού µητρώου, µε το οποίο υπολογίζεται το ύψος πίεσης για όλο το πεδίο υπολογισµού. Η εξίσωση (43) ισχύει για όλο το πεδίο υπολογισµού, εκτός των ορίων εισόδου και εξόδου. Στα όρια εισόδου και εξόδου οι εξισώσεις της ροής προέρχονται από τη θεωρία κυµάτων Stokes. Η συνθήκη εισόδου καθορίζεται από την θεωρία Stokes για κύµατα ης τάξης για την οποία η εξίσωση δυναµικού της ροής είναι: ( kd+ x ) 3H ω ( kd+ x ) H cosh ( ) cosh ( ) o o Φ= sin( kx ωt) + sin 4 ( ( kx ωt) ) (5) ω cosh( kd) 3 sinh ( kd) 0

26 όπου H o το ύψος κύµατος, ω η κυκλική συχνότητα του κύµατος, κύµατος. Οι ταχύτητες στο όριο εισόδου υπολογίζονται από τις σχέσεις k π = και λ το µήκος λ u Φ = x (5) u Φ = x (53) Το πραγµατικό ύψος πίεσης υπολογίζεται από τη σχέση: Φ t Π r = (54) και η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας στο όριο εισόδου ισούται µε ( kd ( + kd )) H kh cosh cosh( ) η = cos( kx ωt) + cos 3 ( ( kx ωt) ) (55) 6 sinh ( kd) Για τον καθορισµό των συνθηκών του ορίου εισόδου µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο η θεωρία Stokes ης τάξης, όσο και οι θεωρίες 3 ης και 4 ης τάξης, ωστόσο κρίθηκε ότι η θεωρία ης τάξης παρέχει ικανοποιητικότερη ακρίβεια για πρακτικές εφαρµογές από την θεωρία ης τάξης, ενώ δεν είναι τόσο πολύπλοκη όσο οι θεωρίες 3 ης και 4 ης τάξης. Η διατύπωση των εξισώσεων των ταχυτήτων, του ύψους πίεσης και της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας στο µετασχηµατισµένο πεδίο µπορεί να επιτευχθεί µε το συνδυασµό των εξισώσεων (5)-(55) µε τις εξισώσεις (8), (9), (6), (7), () και (4) για s = 0. ( kdo( + kdo )) H kh cosh cosh( ) η(0) = cos( ωt) + cos( ωt) (56) kd 3 6 sinh ( o)

27 ( η ) ( η ) Hk cosh 0,5 kd ( + (0))( s+ ) 3H ωk cosh kd ( + (0))( s+ ) v (0, s ) = cos t cos t (57) o o ( ω ) 4 ω cosh( kdo) 6 sinh ( kdo) ( ω ) ( η ) ( η ) Hk sinh 0,5 kd ( + (0))( s+ ) 3H ωk sinh kd ( + (0))( s+ ) v (0, s ) = sin t + sin t (0, s ) (58) o o ( ω ) 4 ( ω ) ηt ω cosh( kdo ) 6 sinh ( kdo) ( η ) ( η ) H cosh 0,5 kd ( + (0))( s+ ) 3H ω cosh kd ( + (0))( s+ ) Π (0, s ) = cos t + cos t (59) r o o ( ω ) 4 cosh( kdo ) 6 sinh ( kdo ) ( ω ) Π (0, s) = Πr(0, s) ηt (0, s) + v(0, s) ηt(0, s) (60) Οι εξισώσεις (56)-(60) καθορίζουν τις συνθήκες του ορίου εισόδου. Στο όριο εξόδου το πραγµατικό ύψος πίεσης Π r θεωρείται ανάλογο της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας η και η κατανοµή του κατά τον κατακόρυφο άξονα s προκύπτει από την θεωρία κυµάτων Stokes ης τάξης. Εποµένως στο όριο εξόδου ισχύει: ( kdl+ η l s+ ) cosh 0,5 ( () ())( ) Π r = η() l (6) cosh( kd( l)) και σύµφωνα µε τις εξισώσεις (8), (9), (6), (7), () και (4) το ύψος πίεσης ισούται µε: ( kdl+ η l s+ ) cosh 0,5 ( () ())( ) Π= η() l 0,5 ηt (, ls) + v(, ls) ηt(, ls) (6) cosh( kd( l)) Για την αριθµητική επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων, το οποίο θα δώσει το ύψος πίεσης, στα όρια εισόδου και εξόδου οι τιµές του ύψους πίεσης θεωρούνται γνωστές. Οι εξισώσεις του ύψους πίεσης στα όρια, για να συµφωνούν µε αυτές του υπόλοιπου πεδίου, πρέπει να αναφέρονται στο µετασχηµατισµένο κατά Chebyshev πεδίο, δηλαδή να έχουν τη µορφή: Π = a (63) n+ n+ 0, k 0, k

28 Π = b (64) n+ n Lk, 0, k Ο όρος a είναι ο συντελεστής του πολυωνύµου T k, ο οποίος προκύπτει από τον n+ 0, k µετασχηµατισµό της εξίσωσης (60) για χρόνο t = ( n + ) t και αντίστοιχα ο όρος b n+ 0, k προκύπτει µε τον ίδιο τρόπο από την εξίσωση (6) για χρόνο t = n t. Οι εξισώσεις (43), (48), (49), (63) και (64) ορίζουν ένα σύστηµα µε ( L + )( N + ) εξισώσεις και αντίστοιχους αγνώστους, όπου L+ o αριθµός των σηµείων στον s άξονα και Ν+ ο αριθµός των Chebyshev σηµείων. Το µητρώο που προκύπτει έχει την παρακάτω µορφή: Σχήµα 6: Μορφή του µητρώου υπολογισµού του ύψους πίεσης. 3

29 Το µητρώο του συστήµατος είναι περιορισµένου εύρους µε ηµιεύρος m = N +. Η επίλυση του συστήµατος γίνεται µε τη διάσπαση του περιορισµένου εύρους µητρώου σε ένα άνω τριγωνικό και ένα κάτω τριγωνικό και µερική οδήγηση για την εύρεση των αγνώστων. Ο αλγόριθµος προβλέπει αρχικά τη µετατροπή των διαστάσεων του µητρώου από ( L + )( N + ) ( L + )( N + ) σε ( m + ) ( L + )( N + ), µετατρέποντας τις διαγώνιους µη µηδενικών στοιχείων σε στήλες και παραλείποντας τις διαγώνιους µε µηδενικά στοιχεία (Press et al. 99). Η µετατροπή αυτή γίνεται για τη µείωση του χρόνου που απαιτείται για την επίλυση του µητρώου, σε σχέση µε τον αλγόριθµο που χρησιµοποιείται για τη διάσπαση και µερική οδήγηση ενός γενικού µητρώου. Οι συντελεστές του µητρώου περιέχουν την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, η οποία είναι εξαρτάται από το χρόνο, εποµένως, η επίλυση του µητρώου γίνεται σε κάθε χρονικό βήµα. Με την επίλυση του συστήµατος υπολογίζεται το ύψος πίεσης για το χρονικό βήµα n +. Στη συνέχεια προσδιορίζεται το πεδίο των ταχυτήτων v από τις εξισώσεις n+ n+, v (30) και (3) µε τη µορφή διόρθωσης. Η ταχύτητα στο όριο εισόδου υπολογίζεται από τις εξισώσεις κυµάτων Stokes (57) και (58) και στο όριο εξόδου υπολογίζεται από τις ˆ n εξισώσεις (30) και (3), θέτοντας vi (0, s ) = vi (0, s ), καθώς θεωρείται ότι ισχύει η εξίσωση της συνέχειας. Η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας υπολογίζεται σε κάθε θέση από την κινηµατική οριακή συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια, µε την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (37), εφαρµόζοντας ένα ρητό σχήµα: η ( s ) = tv ( s,) + η ( s ) (65) n + n + n i i i Η εξίσωση (65) εφαρµόζεται σε όλο το πεδίο υπολογισµού, εκτός του ορίου εισροής, όπου η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας υπολογίζεται από την εξίσωση (56). 4

30 4. Επαλήθευση Αριθµητικής Επίλυσης Εξίσωσης Poisson Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται η επαλήθευση της αριθµητικής επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης Poisson, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στον οριζόντιο άξονα και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev στον κατακόρυφο άξονα. Το πρόβληµα που επιλέχθηκε αφορά την κατανοµή της θερµοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα, υπό σταθερές συνθήκες. Σχήµα 7: Οριακές συνθήκες κατανοµής θερµοκρασίας σε ορθογώνια πλάκα. Η διαφορική εξίσωση η οποία περιγράφει την κατανοµή της θερµοκρασίας είναι η εξίσωση Laplace: T x T y + = 0 (66) Οι οριακές συνθήκες του συγκεκριµένου προβλήµατος φαίνονται στο σχήµα. Πιο συγκεκριµένα στην πλευρά x = 0 και x = l ισχύει T = 0 και στην πλευρά y = 0 ισχύει: 5

31 T Kh = g( x) y (67) όπου Κ σταθερά, h το πάχος της πλάκας και g(x) δεδοµένη συνάρτηση. Η αναλυτική λύση του προβλήµατος προβλέπει την επίλυση στο διάστηµα x [ 0, l], y [ 0, + ]. Το υπολογιστικό πεδίο αποκόπτεται στη θέση y = d, εποµένως η επίλυση γίνεται στο διάστηµα x [ 0, l], y [ 0, d], και η οριακή συνθήκη για y = d ισούται µε την αναλυτική τιµή της λύσης στο συγκεκριµένο σηµείο, δηλαδή f ( x) = T ( x, d) Η αναλυτική λύση του προβλήµατος είναι ίση µε: nπ y l T( x, y) = cne sin( nπ x ) (68) l n= όπου c n l = g( x)sin( nπ x ) nπ Kh (69) l 0 Για την επίλυση του συγκεκριµένου προβλήµατος οι παράµετροι επιλέχθηκαν µε τις παρακάτω τιµές: l =, d =, K =, h = και gx ( ) = sinπ x (70) Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και τις σχέσεις (68), (69) και (70), η αναλυτική λύση προκύπτει ίση µε: π y T( x, y) = e sinπ x (7) π Συνεπώς οι οριακές συνθήκες για την αριθµητική επίλυση στις θέσεις y = 0 και y = είναι: 6

32 T( x, y) = sin π x y (7) 4π f ( x) = T( x,) = e sinπ x (73) π Για την εύρεση της θερµοκρασίας στο εσωτερικό της πλάκας επιλύεται η εξίσωση (66), θεωρώντας πεπερασµένες διαφορές στον x άξονα και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev στον y άξονα, σχηµατίζοντας το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων. ( ) ( T i, j + T i+, j) T i, j + T i, j = 0 x x (74) όπου ~ ο συντελεστής που προκύπτει από τον µετασχηµατισµό Chebyshev της T ( x, y ) T i, j στο σηµείο (, i j ) και σηµείο ισούται µε: () T i, j ο αντίστοιχος συντελεστής της T ( x, y), ο οποίος για κάθε x T k k j T (75) K () i, j = ( ) i, k c k k= j+ k = 0 όπου k+j άρτιος, c k = και Κ ο συνολικός αριθµός των σηµείων Chebyshev. Από k τις (74) και (75) προκύπτει: K ( T + T + ) T + k( k j ) T = 0 x x c (76) i, j i, j i, j i, k k k= j+ η επίλυση της οποίας θα δώσει τη θερµοκρασία στα εσωτερικά σηµεία της πλάκας. Από τις οριακές συνθήκες στις θέσεις x = 0 και x = λαµβάνεται T 0. 0, j = T N, j = Παρατηρείται ότι για κάθε σηµείο i στον x άξονα η εξίσωση (76) δεν ορίζεται για τα σηµεία Κ, K, το οποίο οφείλεται στο γεγονός ότι η παρεµβολή πραγµατοποιείται µε 7

33 T ( x, y) πολυώνυµα Chebyshev µέγιστου βαθµού Κ για την T ( x, y), εποµένως για την x µε πολυώνυµα µέγιστου βαθµού Κ. Εξαιτίας των παραπάνω, σε κάθε σηµείο i υπάρχουν Κ εξισώσεις για K αγνώστους. Οι υπόλοιπες δύο εξισώσεις δίνονται από τις συνοριακές συνθήκες για y = 0 και y = ή y = και y =, όπου y = y, καθώς το πεδίο ορισµού των Chebyshev πολυωνύµων είναι το [-,]. Για y = και σε συνδυασµό µε την εξίσωση (7) ισχύει: N j+ ( ) jtij = sin π xi (77) j= 0 όπου x i = k x, µε k = 0, K, και x το βήµα της διακριτοποίησης στον x άξονα. Για y = και σε συνδυασµό µε την εξίσωση (73) ισχύει (78) N 4π Tij = e sin π xi j= 0 π Οι παραπάνω εξισώσεις σχηµατίζουν ένα σύστηµα µεγέθους (N+) (K+). Το µητρώο του συστήµατος είναι περιορισµένου εύρους µε ηµιεύρος K+. Η επίλυση του συστήµατος γίνεται µε τη διάσπαση του περιορισµένου εύρους µητρώου σε ένα άνω τριγωνικό και ένα κάτω τριγωνικό και µερική οδήγηση για την εύρεση των αγνώστων. Σηµειώνεται ότι το x λήφθηκε ίσο µε 0,0 και στην παρεµβολή κατά Chebyshev, χρησιµοποιήθηκαν πολυώνυµα από Τ 0 έως Τ 64. Η αναλυτική λύση του προβλήµατος παρουσιάζεται µε τη µορφή διαγράµµατος ισοθερµικών καµπυλών στο σχήµα 8. 8

34 Σχήµα 8: Αναλυτική λύση προβλήµατος κατανοµής θερµοκρασίας σε λεπτή ορθογωνική πλάκα. Η αριθµητική λύση του προβλήµατος παρουσιάζεται µε τη µορφή διαγράµµατος ισοθερµικών καµπύλων στο Σχήµα 9. 9

35 Σχήµα 9 Αριθµητική λύση για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 64 ου βαθµού. Παρατηρείται ικανοποιητική σύγκλιση των δύο λύσεων. Η κατανοµή του απολύτου σφάλµατος φαίνεται στο σχήµα 0. Σχήµα 0: Κατανοµή σφάλµατος για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 64 ου βαθµού. 30

36 Η κατανοµή του σχετικού σφάλµατος θα έδινε µια πιο ολοκληρωµένη εικόνα. Ωστόσο, σε πολλά σηµεία η λύση έχει µηδενικές τιµές, γεγονός το οποίο θα οδηγούσε σε αδικαιολόγητα υψηλές τιµές σχετικού σφάλµατος. Επιπλέον, εφ όσον οι τιµές της θερµοκρασίας κυµαίνονται από 0,5 έως 0,5 περίπου και συγκρίνοντας την τάξη µεγέθους της λύσης µε την τάξη µεγέθους του απόλυτου σφάλµατος, συµπεραίνεται ότι η ακρίβεια της µεθόδου είναι ικανοποιητική. Η αριθµητική επίλυση του παραπάνω προβλήµατος έγινε για διαφορετικές πυκνώσεις του δικτύου πεπερασµένων διαφορών και για διαφορετικό αριθµό των πολυωνύµων Chebyshev, χωρίς να παρατηρηθούν σηµαντικές διαφορές ως προς τα αποτελέσµατα. Ενδεικτικά στα Σχήµατα και παρουσιάζονται η αριθµητική λύση και η κατανοµή του σφάλµατος αντίστοιχα, για x = 0. 0 και χρησιµοποιώντας στην παρεµβολή τα πολυώνυµα Chebyshev από Τ 0 έως Τ 8 Σχήµα : Αριθµητική λύση για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 8 ου βαθµού. 3

37 Σχήµα : Κατανοµή σφάλµατος για x=0.0 και παρεµβολή µε πολυώνυµα Chebyshev 8 ου βαθµού. 3

38 5. Ζώνη Απορρόφησης ιάδοση Κυµατισµών σε Οριζόντιο Πυθµένα Η συνθήκη εξόδου για το ύψος πίεσης, όπως διατυπώνεται στις εξισώσεις (6) και (6) δηµιουργεί ανάκλαση κυµατισµών, η οποία διαδίδεται µε το χρόνο σε όλο το πεδίο υπολογισµού, επηρεάζοντας τη λύση. Εποµένως, είναι απαραίτητη η χρήση µεθόδων οι οποίες θα ελαχιστοποιούν τα φαινόµενα ανάκλασης. Η µείωση της παραγόµενης ανάκλασης επιτυγχάνεται είτε µε την απορρόφηση των κυµατισµών στο όριο εξόδου, µε τη χρήση ιξωδο-απορροφητικών οριακών συνθηκών, είτε µε τη δηµιουργία µιας ζώνης απορρόφησης ενέργειας κυµατισµών κοντά στο όριο εξόδου ροής. Στην παρούσα εργασία επιλέχθηκε η χρήση ζώνης απορρόφησης ή απόσβεσης ενέργειας. Η ζώνη απορρόφησης αναπτύσσεται στην περιοχή εκροής µε µήκος πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος. Η απορρόφηση της ενέργειας των κυµατισµών επιτυγχάνεται είτε µε τη προσθήκη ενός όρου απόσβεσης στις εξισώσεις Navier-Stokes (Larsen & Dancy 983, Hur & Mizutani 003), ή µε την επιβολή πρόσθετης δυναµικής πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια µέσω της αντίστοιχης οριακής συνθήκης (Grilli & Horillo 997). Ο όρος απόσβεσης υπεισέρχεται στο στάδιο της διόρθωσης των ταχυτήτων και έχει τη µορφή εξισώσεις β / t. Σε συνδυασµό µε τις εξισώσεις (30) και (3) προκύπτουν οι v i n+ n+ n+ ˆ Π v v v = β t s t (79) n+ n+ n+ ˆ Π v v v = β t d + η s t (80) Η συνάρτηση β αντιπροσωπεύει το ποσοστό µείωσης της ταχύτητας σε κάθε χρονικό βήµα, καθώς από τις σχέσεις (79) και (80) προκύπτει ότι: 33

39 n+ n vi v + id = (8) + β όπου ο δείκτης d υποδεικνύει την ταχύτητα στην ζώνη απορρόφησης. Ένας εναλλακτικός τρόπος εφαρµογής της απορρόφησης ενέργειας είναι η επιβολή µείωσης στην ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, µε σταθερό ποσοστό ανά χρονικό βήµα, µέσω της κινηµατικής οριακή συνθήκης, κατ αναλογία µε τις ταχύτητες: n+ n ηi η + d = + β (8) όπου η συνάρτηση β ορίζεται όπως παραπάνω. Οι τρεις µορφές της συνάρτησης β που χρησιµοποιήθηκαν είναι: ( ( s d )) β = 0.5β + tanh κ( 0.5) (83α) ο όπου s d s ( l l d =, d ld ) l το µήκος της ζώνης απορρόφησης, και ο συντελεστής κ 7, ώστε στη θέση s d = 0, β 0, 00β ο 0 s d < 0 β = a β s ο d 0< s d < (83β) όπου a ακέραιος εκθέτης, και 0 s d < 0 sin 0.5 π (4s d ) β = 0,5β ο tanh + 0 < s d < 0,5 ( 4s d ) sin 0.5 π (3 4 s d ) 0,5β ο tanh + 0,5 < s d < ( 3 4s d ) (83γ) 34

40 όπου β ο στις παραπάνω συναρτήσεις είναι η µέγιστη τιµή της απόσβεσης. Τα διαγράµµατα των εξισώσεων (83α)-(83γ) παρουσιάζονται στα σχήµατα β s d Σχήµα 3: Εξίσωση (83α) για β ο =, k=7. 35

41 β s d Σχήµα 4 Εξίσωση (83β) για β ο =, α= β s d Σχήµα 5: Εξίσωση (83γ) για β ο =. 36

42 Στην εξίσωση (83γ) ο µέγιστος συντελεστής β ο καθορίζεται έτσι ώστε να µην απορροφά εντελώς την ενέργεια των κυµατισµών στη θέση του µέγιστου. Σε αντίθετη περίπτωση η εφαρµογή της (83γ) δεν εµφανίζει σηµαντικές διαφορές σε σχέση µε την άλλες δύο εξισώσεις. Η απορρόφηση της ενέργειας των κυµατισµών επιτυγχάνεται επίσης µε την επιβολή πρόσθετης εξωτερικής δυναµικής πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια στη ζώνη απορρόφησης, σύµφωνα µε την εξίσωση: Ps (,, t) = ν ( s) v( s,, t) (84) Η πρόσθετη δυναµική πίεση βρίσκεται σε διαφορά φάσης + π µε τη δυναµική πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια, η οποία είναι ανάλογη της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας. η. Πιο συγκεκριµένα η πρόσθετη δυναµική πίεση µεταβάλλεται από το µηδέν έως τη µέγιστη ή ελάχιστη τιµή της, όταν η δυναµική πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια µεταβάλλεται αντίστροφα. Η ν s ) είναι της µορφής: ( 0 s d < 0 ν ( s d ) = a ν osd 0 s d (85) όπου α εκθέτης µε τιµές από ως 4 και ν ο σταθερά. Από την (84) σε συνδυασµό µε την οριακή συνθήκη (35) προκύπτει η οριακή συνθήκη για την ελεύθερη επιφάνεια. n+ η( s ) Π ( s,) = ( v ( s,) + v ( s,) ) + P( s, ) Fr n (86) Στον πίνακα παρουσιάζονται οι περιπτώσεις προσοµοίωσης κυµατισµών σε πυθµένα σταθερού βάθους που πραγµατοποιήθηκαν για τον έλεγχο της αποτελεσµατικότητας της ζώνης απορρόφησης. Τα κύµατα εισόδου είναι γραµµικά και ως αρχική συνθήκη χρησιµοποιήθηκε κύµα Stokes ης τάξης. Εναλλακτικά, χρησιµοποιήθηκε αρχική συνθήκη ηρεµίας ρευστού για την περίπτωση 8, η οποία παρουσιάζεται στο σχήµα 37

43 6. Η διαφορά της ταχύτητας διάδοσης κύµατος µε την ταχύτητα διάδοσης του µετώπου των κυµατισµών είναι εµφανής, καθώς αναπτύσσονται κυµατισµοί µικρότερου ύψους µπροστά από το µέτωπο των κυµατισµών µε το αρχικό ύψος. Α/Α Πίνακας : εδοµένα επίλυσης για 3 περιπτώσεις διάδοσης κυµατισµών σε πυθµένα σταθερού βάθους Ύψος κύµατος (Η ο ) Μήκος Κύµατος (λ) Περίοδος Κύµατος (Τ) Χρονικό Βήµα ( t) Χωρικό Βηµα ( x) Κόµβοι ανα µήκος κύµατος Αριθµός Κόµβων Αριθµός Σηµείων Chebyshev 0,0 3,555 0,0005 0, ,0 3,555 0,00 0, ,0 3,555 0,00 0, ,0 3,555 0,00 0, ,0 3,555 0,00 0, ,0 3,555 0,00 0, ,0 3,555 0,005 0, Εξίσωση ζώνης απορρόφησης (8), (83α), κ=7, β ο =0,00 (8), (8), (83α), κ=7 β o =0,005&0,05 (8), (8), (83α), α=4, β o =0, (8), (8), (83α), α=4, β ο =0,05 (8), (83α), β ο =0,0, α=4 (8), (8), (83α), α=4, β ο =0,0 (8), (83α), α=4, β ο =0,0 Μήκος ζώνης απορρόφησης λ λ λ λ λ λ λ 8 0,0 3,555 0,005 0, ,0 3,555 0,005 0, ,0 3,555 0,005 0, (8), (83β), β ο =0,005 (8), (83β), β ο =0,00 (8), (83β), β ο =0,00 λ 5λ 4λ 0,0 3,555 0,005 0, (84), α=, ν ο = λ 0,0 3,555 0,005 0, (84), α=, ν ο = 4λ 3 0,0 0 0,6 0,005 0, ,0 0 0,6 0,005 0, ,0 0 0,6 0,005 0, ,0 0 0,6 0,005 0, ,0 0 0,6 0,005 0, ,0 0 0,6 0,005 0, (8), (83α), κ=7, β ο =0, (8), (8), (83α), α=, β ο =0, (8), (8), (83α), α=, β ο =0,05 (8), (8), (83α), α=, β ο =0,0 (8), (8), (83α), α=, β ο =0,0 (8), (8), (83α), α=4, β ο =0,0 λ λ λ λ 4λ λ 9 0,0 0 0,6 0,0 0, (8), (83β), β ο =0,005 λ 0 0,0 0 0,6 0,05 0, (8), (83β), β ο =0,005 λ 0,0 0 0,6 0,005 0, (84), α=, ν ο = 0,0 λ 0,0 0 0,6 0,005 0, (84), α=, ν ο = λ 3 0,0 0 0,6 0,005 0, (84), α=, ν ο = 4λ 38

44 Για την εκτέλεση των υπολογισµών απαιτούνται 0,05 δευτερόλεπτα ανά χρονικό βήµα και ανά κόµβο στη διεύθυνση s, για 3 σηµεία Chebyshev, σε υπολογιστή µε επεξεργαστή Intel P4 3,MHz και λειτουργικό σύστηµα Red hat Linux 9. Η ανάκλαση σε κάθε περίπτωση εκτιµάται µε τη χρήση του συντελεστή ανάκλασης R max : R H + H = (87) max min max (%) Ho όπου H max και Hmin η µέγιστη θετική και αρνητική τιµή του η αντίστοιχα στο πεδίο ροής. Στον πίνακα υπολογίζεται ο συντελεστής R max για κάθε περίπτωση. Πίνακας : Υπολογισµός του συντελεστή ανάκλασης Α/Α H R (%) H max min max 0,0074 0, ,007 0, ,0076 0, ,0076 0, ,007 0, ,007 0, ,0055 0, ,007 0, ,0095 0, ,0065 0, ,007 0, ,0068 0, ,0058 0, ,006 0, ,0058 0, ,0055 0, ,0057 0, ,0055 0, ,0065 0, ,0058 0, ,0090 0, ,0058 0, ,0053 0,

45 Ο συντελεστής ανάκλασης αναφέρεται στη µέγιστη ανάκλαση η οποία παρατηρείται στην αρχή της ζώνης απορρόφησης και είναι συντηρητική εκτίµηση της ανάκλασης, καθώς αναφέρεται στο µέγιστο παρατηρούµενο ύψος κύµατος. Τιµές του συντελεστή της τάξης του 0% θεωρούνται ικανοποιητικές. Η µέθοδος της ζώνης απορρόφησης είναι γενικά αποτελεσµατικότερη για κύµατα µικρού βάθους, σε σχέση µε κύµατα µεγάλου βάθους. Στις περιπτώσεις - (κύµατα µεγάλου βάθους), η χρήση ενός µεγαλύτερου χωρικού βήµατος συµβάλλει στη µείωση της ενέργειας ανάκλασης, η οποία είναι σηµαντική σε σχέση µε την αρχική ενέργεια και απορροφάται κατά µεγάλο µέρος από το φίλτρο Fourier. Αντίθετα σε αντίστοιχες περιπτώσεις κυµάτων µικρού βάθους, λόγω µικρότερης ενέργειας ανάκλασης, η χρήση του φίλτρου µε µεγάλο χωρικό βήµα, απορροφά και µέρος της αρχικής ενέργειας κυµατισµών. Η αύξηση του µήκους της ζώνης απορρόφησης σε ορισµένες περιπτώσεις µειώνει την ανάκλαση, σε συνδυασµό µε την ταυτόχρονη µείωση του συντελεστή απόσβεσης ή ν ο, ώστε να µη δηµιουργούνται περιοχές ηρεµίας του ρευστού στη ζώνη απορρόφησης. Το µήκος της περιοχής απορρόφησης κυµαίνεται από β ο λ έως 5 λ. Είναι επιθυµητό η απορρόφηση της ενέργειας να γίνεται µέχρι το όριο εξόδου, ώστε να αποφευχθεί µεγάλη περιοχή ηρεµίας του ρευστού στη ζώνη απορρόφησης. Η περιοχή ηρεµίας της ζώνης απορρόφησης µειώνει το ενεργό της µήκος, δηλαδή το µήκος της περιοχής όπου πραγµατοποιείται η απορρόφηση ενέργειας, και πλέον λειτουργεί ως σταθερό όριο. Ο συνδυασµός των εξισώσεων (8) και (8) βελτιστοποιεί την απορρόφηση της ενέργειας κυµατισµών στις περιπτώσεις κυµάτων µικρού βάθους. Για κύµατα µεγάλου βάθους δεν υπάρχουν σηµαντικές διαφορές σε σχέση µε την χρήση µόνο της (8). Η εξίσωση (83β) µε α=4 είναι απλούστερη και πιο αποτελεσµατική από τις (83α) και (83γ). Η χρήση της (83β) δίνει µικρότερες τιµές ανάκλασης και η µορφή της συνάρτησης ευνοεί την απορρόφηση της ενέργειας στο όριο εξόδου. Η µέθοδος απόσβεσης δυναµικής πίεσης (84), (85) και (86) εµφανίζει ικανοποιητικά αποτελέσµατα σε κύµατα µικρού βάθους, όταν αυξάνεται το µήκος της ζώνης απορρόφησης. Στην περίπτωση 3 η ανάκλαση είναι η ελάχιστη. Στις περιπτώσεις κυµατισµών µικρού βάθους, η κλίµακα της µεταβολής των µεταβλητών u i, p κατά την κατακόρυφη διεύθυνση είναι µικρότερη σε σχέση µε την αντίστοιχη µεταβολή κατά την οριζόντια διεύθυνση. Η ταχύτητα u και η πίεση p σε όλη 40

46 τη στήλη του ρευστού, εξαρτώνται από την κινηµατική και δυναµική οριακή συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια. Η χρήση των εξισώσεων (8) και (84), οι οποίες επηρεάζουν την κινηµατική και δυναµική οριακή συνθήκη αντίστοιχα, δίνει καλύτερα αποτελέσµατα σε κύµατα µικρού βάθους. Στα σχήµατα 7-0 παρουσιάζονται η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας η σε συνάρτηση µε το χρόνο t σε ορισµένες θέσεις και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας για τις περιπτώσεις, 5, 7 και 3, αντίστοιχα. Στην περίπτωση (Σχ. 7) αναπτύσσεται στάσιµο κύµα λόγω πλήρους ανάκλασης των κυµατισµών. Αντίθετα στην περίπτωση 3 (Σχ. 0) τα φαινόµενα ανάκλασης ελαχιστοποιούνται. Στα σχήµατα -4 παρουσιάζονται οι ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p για τις περιπτώσεις, 5, 7 και 3. Στην περίπτωση 5 (Σχ. ) είναι εµφανής η αύξηση της δυναµικής πίεσης από το όριο εισόδου έως την αρχή της ζώνης απορρόφησης λόγω ανάκλασης. Στις περιπτώσεις 7 (Σχ. 3) και 3 (Σχ. 4) οι κυµατισµοί απορροφούνται στο όριο της ζώνης απορρόφησης. Στην περίπτωση η µειωµένη οριζόντια ταχύτητα και η αυξηµένη δυναµική πίεση οφείλεται στο στάσιµο κύµα. 4

47 Σχήµα 6: Στιγµιότυπα κατά τη διάδοση κύµατος από αρχική συνθήκη ηρεµίας για χρόνο t=7,5 35,5 53, και 7 για την περίπτωση 8. 4

48 Σχήµα 7: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=00 στη θέση x =30 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 για την περίπτωση. Σχήµα 8: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 στη θέση x =6 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=35 έως t=40 για την περίπτωση 5. 43

49 Σχήµα 9: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 στη θέση x =6 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=35 έως t=40 για την περίπτωση 7. Σχήµα 0: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 στη θέση x =30 και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας από t=0 έως t=40 για την περίπτωση 3. 44

50 Σχήµα : Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=0 για την περίπτωση. Σχήµα Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=35 για την περίπτωση 5. 45

51 Σχήµα 3: Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=35,5 για την περίπτωση 7. Σχήµα 4: Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=0 για την περίπτωση 3. 46

52 6. ιάδοση Κυµατισµών σε Πυθµένα µε Σταθερή Κλίση Στη συνέχεια παρουσιάζονται αποτελέσµατα για περιπτώσεις διάδοσης κυµατισµών σε πυθµένα µε σταθερή κλίση. Στο σχήµα 5 φαίνεται η τυπική γεωµετρία που χρησιµοποιήθηκε και στον πίνακα 3 παρουσιάζονται τα δεδοµένα για κάθε περίπτωση ροής. Σχήµα 5: Τυπική γεωµετρία πεδίου ροής µε πυθµένα σταθερής κλίσης. Η περιοχή εξόδου έχει σταθερό βάθος. Το µήκος της ζώνης απορρόφησης είναι συνάρτηση του µήκους κύµατος στο πεδίο εκροής, το οποίο υπολογίζεται σύµφωνα µε τη σχέση διασποράς για γραµµικούς κυµατισµούς. Πίνακας 3: εδοµένα επίλυσης για 3 περιπτώσεις διάδοσης κυµατισµών σε πυθµένα σταθερής κλίσης Α/Α Ύψος κύµατος (Η ο ) Μήκος Κύµατος εισόδου (λ ο ) Περίοδος Κύµατος (Τ) Βάθος εξόδου Κλίση πυθµένα (b) Χρονικό Βήµα ( t) Χωρικό Βηµα ( x) Αριθµος Κόµβων Αριθµός Σηµείων Chebyshev 4 0,0 3,555 0, :0 0,00 0, ,06 4 5,34 0, :50 0,005 0, Εξίσωση ζώνης απορρόφησης (8), (8), (83α), α=4, β ο =0,0 (84), α=, ν ο = Μήκος ζώνης απορρόφησης λ 4λ 6 0,06 4 5,34 0, :50 0,005 0, (84), α=, ν ο = 4λ 47

53 Στην περίπτωση 4 το εισερχόµενο κύµα είναι γραµµικό και µεγάλου βάθους ενώ στις 5 και 6 µη γραµµικό και ενδιάµεσου βάθους. Το χωρικό βήµα x επιλέγεται έτσι ώστε ο λόγος λ να είναι µεγαλύτερος του 80 στη περιοχή µικρού βάθους, ώστε η x απορρόφηση ενέργειας λόγω του φίλτρου Fourier να είναι ασήµαντη. Στην περίπτωση 4 η αρχική συνθήκη είναι κύµατα Stokes πρώτης τάξης µε σταθερό µήκος κύµατος λ = σε όλο το πεδίο ροής. Στις περιπτώσεις 5 και 6 η προσοµοίωση ξεκινάει από αρχική κατάσταση ηρεµίας ρευστού. Στο σχήµα 6 παρουσιάζονται ο µετασχηµατισµός του κύµατος κατά τη διάδοση του στην περιοχή σταθερής κλίσης πυθµένα για την περίπτωση 4. Στα στιγµιότυπα παρατηρείται η σταδιακή µείωση του µήκους κύµατος, σύµφωνα µε τη σχέση γραµµικής διασποράς για µικρά ύψη κύµατος. Με ικανοποιητική προσέγγιση, η αδιάστατη ταχύτητα διάδοσης κύµατος για κύµατα µικρού βάθους είναι: C λ = = Τ d (88) Το βάθος d στην περιοχή εξόδου ισούται µε 0, και προκύπτει ότι για περίοδο Τ= 3,555 το µήκος κύµατος ισούται µε λ =,, το οποίο συµφωνεί µε το παρατηρούµενο µήκος κύµατος στην περιοχή εξόδου. Στο σχήµα 7 παρουσιάζονται η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας η σε συνάρτηση µε το χρόνο t στα σηµεία s = 3,5, s = 40, s = 45, s = 47,5 στην περιοχή σταθερής κλίσης πυθµένα και στιγµιότυπα της ελεύθερης επιφάνειας για την περίπτωση 6. Στο τέλος της περιοχής σταθερής κλίσης πυθµένα αναπτύσσονται µη γραµµικοί κυµατισµοί, οι οποίου έχουν µεγαλύτερο ύψος από τους εισερχόµενους. Η εξίσωση ρήχωσης που περιγράφει τη µεταβολή του ύψους κύµατος συνάρτηση µε το βάθος d και το αρχικό ύψος H o είναι: H o σε H = = Ks (89) H ntanh kd o ( ) 48

54 kd όπου ο συντελεστής n = + παίρνει τιµές από 0,5 για βαθιά κύµατα έως sinh( kd ) για ρηχά κύµατα και K ο συντελεστής ρήχωσης. Για την περίπτωση 6, ισχύει K =,3. s Ο αντίστοιχος συντελεστής ρήχωσης που υπολογίζεται από την αριθµητική προσοµοίωση είναι,6. Η διαφορά οφείλεται στην ανάπτυξη µη γραµµικών κυµατισµών και στο γεγονός ότι το βάθος εξόδου είναι πολύ κοντά στο βάθος θραύσης d b το οποίο ισούται µε 0,094 ( ήµας 003). Τα αποτελέσµατα από το σχήµα 7 συµφωνούν ικανοποιητικά µε τη δηµοσίευση των Grilli & Horillo (997). Στα σχήµατα 8-9 παρουσιάζονται οι ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p για τις περιπτώσεις 4 και 6. s 49

55 Σχήµα 6: Στιγµιότυπα κατά τη διάδοση κύµατος από αρχική συνθήκη ηρεµίας για χρόνο t=0 0,5, και 35,5 για την περίπτωση 4. 50

56 Σχήµα 7: Μεταβολή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας µε το χρόνο στις θέσεις x =3, και 45 για την περίπτωση 6. 5

57 Σχήµα 8 Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=35,5 για την περίπτωση 4 Σχήµα 9: Ισοϋψείς καµπύλες της ταχύτητας u και της δυναµικής πίεσης p σε χρόνο t=05,5 για την περίπτωση 6 5