ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΣΚΟΤΕΙΝΗ ΥΛΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΒΙΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ CP

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΣΚΟΤΕΙΝΗ ΥΛΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΒΙΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ CP"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΥΠΕΡΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΣΚΟΤΕΙΝΗ ΥΛΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΒΙΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ CP ιδακτορική ιατριβή Μαρία Κ. Αργυρού ΑΘΗΝΑ 2008

2

3 Στην µνήµη του Αν. Καθηγητή Αγγελου Πετρίδη

4 Πρόλογος Το αντικείµενο της διατριβής ήταν η Σκοτεινή Υλη και ιδιαίτερα η ερµηνεία της ως η εναποµένουσα περίσσεια των ελαφρύτερων ουδέτερων υπερσυµµετρικών σωµατιδίων (LSPs ) τα οποία προβλέπονται στα πλαίσια των υπερσυµµετρικών ϑεωριών. Τα κοσ- µολογικά δεδοµένα ακρίβειας για την περίσσεια της Σκοτεινής Υλης, ιδιαίτερα µετά την συλλογή δεδοµένων από τον δορυφόρο WMAP3, ϑέτουν αυστηρούς περιορισµούς στις παραµέτρους που περιγράφουν τα υπερσυµµετρικά πρότυπα και µάλιστα σε κάποιες περιπτώσεις αυστηρότερα από αυτά που επιβάλλουν τα δεδοµένα από τους επιταχυντές. Στην παρούσα διατριβή αναπτύχθηκε νέα µεθοδολογία για τον υπολογισµό της περίσσειας της Σκοτεινής Υλης που ϐασίζεται στην ανάπτυξη των πλατών µετάβασης σε µερικά κύµατα ελικότητας. Η συγκεκριµένη µέθοδος εφαρµόσθηκε σε υπερσυµµετρικά υποδείγµατα στα οποία η συµµετρία CP παραβιάζεται από όρους που δεν εµπεριέχονται στον πίνακα ανάµειξης Cabibbo Kobayashi Maskawa. Η επέκταση αυτή είναι αναγκαία για την ερ- µηνεία της Βαρυονικής Ασυµµετρίας στο σύµπαν. Η παρουσία πηγών παραβίασης της συµµετρίας CP τροποποιεί τις προβλέψεις των γνωστών υπερσυµµετρικών προτύπων, σ- τα οποία αυτή διατηρείται και επιπλέον προβλέπει Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές οι οποίες υφίστανται πειραµατικούς περιορισµούς. Μελετήθηκε η ενεργειακή εξέλιξη των µιγαδικών ϕάσεων που ευθύνονται για την παραβίαση της συµµετρίας CP µέσω των διαφορικών εξισώσεων της οµάδας επανακανονικοποίησης, σε προσέγγιση 2-ϐρόχων. Η εξέλιξη αυτή είναι δυνατόν να επιφέρει σηµαντικές αλλαγές στις υπολογιζόµενες Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές. ιερευνώνται περιοχές του παραµετρικού χώρου της ϑεωρίας στις οποίες ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι περιορισµοί από τα πρόσφατα κοσµολογικά δεδοµένα, από τα πειραµατικά όρια των Ηλεκτρικών ιπολικών Ροπών και τα υπόλοιπα πειραµατικά δεδοµένα. Η ανάλυση δείχνει ότι υπάρχουν περιοχές συµβατές µε τα δεδοµένα του WMAP3, τις Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές του ηλεκτρονίου, Νετρονίου και Υδραργύρου και τους πε- ϱιορισµούς που ϑέτουν τα πειράµατα από τους επιταχυντές, για µεγάλες τιµές των ϕάσεων, όπως απαιτείται στα µοντέλα Βαρυογένεσης. Οι περιοχές αυτές µπορεί να είναι εντός των δυνατοτήτων του LHC. ii

5 iii Η εκπόνηση της διατριβής συγχρηµατοδοτήθηκε στα πλαίσια του ΕΠΕΑΕΚ από το Ευ- ϱωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο και Εθνικούς πόρους (πρόγραµµα «Ηράκλειτος : Υποτροφίες Ερευνας µε προτεραιότητα στη ϐασική έρευνα»). Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθ. κ. Α. Λαχανά ο οποίος υπήρξε ο κύριος επι- ϐλέπων της εργασίας αυτής και του οποίου η συµβολή υπήρξε πολύτιµη και καθοριστική. Τον Επικ. Καθ, κ. Ξ. Μαϊντά µε την επίβλεψη του οποίου είχα εκπονήσει την εργασία για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης, και στον οποίο οφείλω ένα σηµαντικό ποσοστό των προαπαιτούµενων γνώσεων για το ϑεωρητικό υπόβαθρο της διατριβής. Τον Επικ. Καθ. κ. Β. Γεωργαλά για τις χρήσιµες συµβουλές καθ όλη την διάρκεια της προσπάθειας αυτής καθώς και για την εµπειρία που απέκτησα δουλεύοντας µαζί του στο εργαστήριο Πυρηνικής Φυσικής. Ενα µεγάλο ευχαριστώ οφείλω στα µέλη της επταµελούς εξεταστικής επιτροπής, τον Επικ. Καθ. κύριο Γ. ιαµάντη, τον Καθ. κ. Γ. Ζουπάνο, Επικ. Καθ. κ. Α. Κεχαγιά, τον Καθ. κ. Π. Σφήκα, για τις διαφωτιστικές συζητήσεις που είχα µαζί τους το τελευταίο χρονικό διάστηµα. Ευχαριστώ τον ρ. Β. Σπανό για την συνεργασία και την πολύτιµη ϐοήθειά του ό- λα αυτά τα χρόνια και τους συνεργάτες - συνοδοιπόρους στα ερευνητικά µονοπάτια, την κ. Κ. Κατσικάτσου και τον κ. Ι. Μαλάµο. Ευχαριστώ όλους τους συναδέλφους που µε υποστήριξαν ηθικά σε όλη την διάρκεια της προετοιµασίας, τον ρ. Χρήστο Παπαδηµητρόπουλο και τον Ν. Κάπλη (για την υπολογιστική ϐοήθεια που µου παρείχαν), τον ρ. Λίνο Παπαχρήστου, τον Χ. Τσαγκαράκη, τον Α. Καρλή, τον Ν. Μπρουζάκη και την Γ. Ζαχαρίου. Τέλος ευχαριστώ ιδιαιτέρως τους γονείς µου, τον αδελφό µου και όλους τους ϕίλους µου οι οποίοι ήταν δίπλα µου και µε ενθάρρυναν σε κάθε ϐήµα της πορείας αυτής.

6 Περιεχόµενα Πρόλογος Εισαγωγή ii vii 1 Το Καθιερωµένο Κοσµολογικό Πρότυπο Οι εξισώσεις Friedmann Η ϑερµική ιστορία του σύµπαντος Οι εξισώσεις Friedmann και η εξέλιξη του σύµπαντος Η διαδικασία της αποσύζευξης ενός είδους σωµατιδίων από την ϑερµική ισορροπία Προσδιορισµός των κοσµολογικών παραµέτρων Το πρόβληµα της Σκοτεινής Υλης Σωµατιδιακή ερµηνεία της Σκοτεινής Υλης Υπολογισµός της υπολειπόµενης πυκνότητας του LSP - Η εξίσωση µεταφοράς Boltzmann Υπολογισµός των ενεργών ϐαθµών ελευθερίας της ενέργειας και της εντροπίας Ο υπολογισµός του ϑερµικού µέσου όρου Προσεγγιστικές λύσεις της εξ. Boltzmann Το Υπερσυµµετρικό πρότυπο και η παραβίαση της συµµετρίας CP Εισαγωγή στην Υπερσυµµετρία Η παραβίαση της συµµετρίας CP στα πλαίσια του MSSM Οι Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές του νετρονίου και των ατόµων του Θαλλίου και του Υδραργύρου Η Λαγκρανζιανή του MSSM µε πηγές παραβίασης της συµµετρίας CP Οι εξισώσεις της οµάδας επανακανονικοποίησης µε µιγαδικές ϕάσεις Ελαχιστοποίηση του δυναµικού σε προσέγγιση 1 -ϐρόχου iv

7 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ v 3.5 Επίλυση των εξισώσεων επανακανονικοποίησης - Ο ϱόλος των µαζών Κβαντικές διορθώσεις στις µάζες των top, bottom και gluino Κβαντικές διορθώσεις των µαζών των σωµατιδίων Higgs Υπολογισµός των πλατών εξαΰλωσης µε ανάπτυξη σε µερικά κύµατα Ο ϕορµαλισµός των πλατών της ελικότητας Εφαρµογή για την διαδικασία χ χ f f Εφαρµογή της µεθόδου για την διαδικασία χ χ W + W Εφαρµογή για την διαδικασία χ χ ZZ Εξαΰλωση των LSPs σε τελική κατάσταση µε σωµατί δια Higgs Αριθµητική επεξεργασία - Συµπεράσµατα Εισαγωγή Η επίδραση των εξισώσεων επανακανονικοποίησης στις ϕάσεις ιερεύνηση επιτρεπτών περιοχών από τις κοσµολογικές παρατηρήσεις και τα δεδοµένα των Η Ρ Συζήτηση Συµπεράσµατα 109 Α Το Περιορισµένο Υπερσυµµετρικό Καθιερωµένο Πρότυπο - Συµβάσεις 112 Β Οι µάζες των σωµατιδίων Higgs 117 Β.1 Συνεισφορές από τα sfermions και τα fermions Β.1.1 Συνεισφορές των Stops και top Β.1.2 Συνεισφορές των Sbottoms και bottom Β.1.3 Συνεισφορές των Staus και tau Β.2 Συνεισφορές των διανυµατικών µποζονίων Z, W ± Β.2.1 Συνεισφορά του µποζονίου Z Β.2.2 Συνεισφορά των µποζονίων W ± Β.3 Συνεισφορές των charginos Β.4 Συνεισφορές των neutralinos Β.5 Συνεισφορές των Higgses Β.5.1 Συνεισφορές από τα ϕορτισµένα Higgses Β.5.2 Συνεισφορές από τα ουδέτερα Higgses

8 vi ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Γ Αλληλεπιδράσεις που συµµετέχουν στην εξαΰλωση των neutralinos 133 Γ.1 Αλληλεπιδράσεις στην διαδικασία χ χ f f Γ.1.1 Κανάλι s - Ανταλλαγή µποζονίου Ζ Γ.1.2 Κανάλι s- Ανταλλαγή ϐαθµωτών µποζονίων Higgs Γ.1.3 Κανάλια t & u : ανταλλαγή sfermions f Γ.2 Αλληλεπιδράσεις στις διαδικασίες χ χ W + W, Z Z Πλάτος σκέδασης σε σωµατίδια µε σπίν s 1 στα κανάλια t, u 137

9 Εισαγωγή Το αντικείµενο της διατριβής είναι η Σκοτεινή Υλη και ιδιαίτερα η ερµηνεία της ως η ε- ναποµένουσα περίσσεια των ελαφρύτερων ουδέτερων υπερσυµµετρικών σωµατιδίων (LSP ) τα οποία προβλέπονται στα πλαίσια των υπερσυµµετρικών ϑεωριών. Τα κοσµολογικά δεδοµένα ακρίβειας για την περίσσεια της Σκοτεινής Υλης, ιδιαίτερα µετά την συλλογή δεδοµένων από τον δορυφόρο WMAP3, ϑέτουν αυστηρούς περιορισµούς στις παραµέτρους που περιγράφουν τα υπερσυµµετρικά πρότυπα και µάλιστα σε κάποιες περιπτώσεις αυστη- ϱότερα από αυτά που επιβάλλουν τα δεδοµένα από τους επιταχυντές. Στην παρούσα διατριβή αναπτύχθηκε νέα µεθοδολογία για τον υπολογισµό της περίσσειας της Σκοτεινής Υλης η οποία εφαρµόσθηκε σε υπερσυµµετρικά υποδείγµατα στα οποία η συµµετρία CP παραβιάζεται από όρους που δεν εµπεριέχονται στον πίνακα ανάµειξης Cabibbo Kobayashi Maskawa. Η επέκταση αυτή είναι αναγκαία για την ερµηνεία της Βαρυονικής Ασυµµετρίας στο σύµπαν. Η παρουσία πηγών παραβίασης της συµµετρίας CP τροποποιεί τις προβλέψεις των γνωστών υπερσυµµετρικών υποδειγµάτων, στα οποία αυτή διατηρείται και επιπλέον προβλέπει Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές οι οποίες υφίστανται πειραµατικούς περιορισµούς. Η συµφωνία των προτύπων που παραβιάζουν την συµµετρία CP µε τα κοσµολογικά δεδοµένα, τους περιορισµούς από τις Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές και τα υπόλοιπα δεδοµένα από τους επιταχυντές ϑέτουν πολύ αυστηρά όρια που απαιτούν ενδελεχή µελέτη των προτύπων αυτών. Για τον σκοπό αυτό αναπτύχθηκε νέα µέθοδος και λογισµικό σε κώδικα Fortran προκειµένου να υπολογιστούν, i. οι µάζες και οι σταθερές σύζευξης όπως προβλέπονται από το MSSM στην περίπτωση που παραβιάζεται η συµµετρία CP λαµβάνοντας υπ όψη την εξέλιξη των παραµέτρων του MSSM µε την ενεργειακή κλίµακα µέσω του συστήµατος διαφορικών εξισώσεων της οµάδας επανακανονικοποίησης (RGEs) σε προσέγγιση δύο κβαντικών ϐρόχων για τα µέτρα και τις ϕάσεις αυτών ii. οι ενεργές διατοµές εξαΰλωσης των LSPs και η περίσσεια των LSPs την σηµερινή εποχή, αναπτύσσοντας νέα µεθοδολογία ανάλυσης σε µερικά κύµατα vii

10 viii ΕΙΣΑΓΩΓ Η Για την εξαγωγή των αποτελεσµάτων που αφορούν στις Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές του Θαλλίου, του νετρονίου και του Υδραργύρου, έγινε χρήση του κώδικα FeynHiggs µε κατάλληλη προσαρµογή στο υπάρχον λογισµικό. Στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι ϐασικές αρχές του Καθιερωµένου Κοσµολογικού Προτύπου που περιγράφει την εξέλιξη του Σύµπαντος το οποίο ξεκινά από µια συµπυκνωµένη κατάσταση ενέργειας και ύλης µε την Μεγάλη Εκρηξη. Σύµφωνα µε το πρότυπο αυτό µπορεί να ερµηνευθεί ικανοποιητικά η διαδικασία κατά την οποία δηµιουργούνται ϑερµικά υπόλοιπα στο Σύµπαν τα οποία είναι δυνατόν να αποτελέσουν και τα συστατικά της Σκοτεινής Υλης. Για τον σκοπό αυτό δίνονται οι ϐασικές έννοιες της Θερµοδυναµικής που είναι αναγκαίες για την κατανόηση της ϑερµικής εξέλιξης του Σύµπαντος αλλά και την ποσοτική ανάλυση που αφορά τον προσδιορισµό της περίσσειας των ϑερµικών υπολοίπων η οποία αναλύεται στο 2ο κεφάλαιο. Ορίζονται επίσης οι σηµαντικότεροι παράµετροι οι οποίες καθορίζονται από τα σύγχρονα παρατηρησιακά δεδοµένα µε µεγάλη ακρίβεια. Στο 2ο κεφάλαιο αναφέρονται τα δεδοµένα κυρίως από τον δορυφόρο WMAP3 τα οποία επιβεβαιώνουν την ύπαρξη της Σκοτεινής Υλης και Σκοτεινής Ενέργειας. Σύµφωνα µε αυτά, η συνολική πυκνότητα ύλο-ενέργειας στο σύµπαν είναι κοντά στην κρίσιµη τιµή (Ω total = 1) από την οποία µόνο το 4% αποτελείται από την συνηθισµένη ύλη που αντιλαµ- ϐανόµαστε. Το 73% αποδίδεται στην Σκοτεινή ενέργεια, η οποία έχει ως αποτέλεσµα την επιταχυνόµενη διαστολή του σύµπαντος ενώ το εναποµένον 23 % αποδίδεται στην ύπαρξη της Σκοτεινής Υλης. Οι καταλληλότεροι υποψήφιοι για Σκοτεινή Υλη είναι σωµατίδια µε µεγάλη µάζα που αλληλεπιδρούν ασθενώς µε την ύλη (Weakly Interacting Massive Particles, WIMPs). Ενα τέτοιο σωµατίδιο είναι το neutralino το οποίο προβλέπεται αβίαστα από την Υπερσυµµετρική προέκταση του Καθιερωµένου Προτύπου των αλληλεπιδράσεων µε την προϋπόθεση ότι είναι ευσταθές το Ελαφρύτερο Υπερσυµµετρικό Σωµατίδιο (Lightest Supersymmetric Particle, LSP ). Αυτό συµβαίνει για τιµές των παραµέτρων στο µεγαλύτερο µέρος του παραµετρικού χώρου και µάλιστα είναι σε µεγάλο ποσοστό ο υπερσυµµετρικός εταίρος του διανυσµατικού µποζονίου της συµµετρίας U Υ (1) του Καθιερωµένου Προτύπου, το λεγόµενο Bino. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται αναλυτικά ο υπολογισµός της περίσσειας του LSP µέσω της επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης Boltzmann. Για την επίλυσή της είναι αναγκαίος ο υπολογισµός των ενεργών ϐαθµών ελευθερίας ενέργειας και εντροπίας και του ϑερµικού µέσου όρου της συνολικής ενεργού διατοµής των εξαϋλώσεων επί την σχετική ταχύτητα των αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων. Κατά τον υπολογισµό γίνεται προσεκτικός χειρισµός του θερµικού ολοκληρώµατος του οποίου η συµπεριφορά µπορεί να οδηγήσει σε αριθµητικές υπερχειλίσεις λόγω των συναρτήσεων Bessel από τις οποίες εξαρτάται. Επιπλέον αποφεύγεται το ανάπτυγµα της ενεργού διατοµής σε δυνάµεις

11 ix της σχετικής ταχύτητας των αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων. Η µη σχετικιστική προσέγγιση αν και οδηγεί σε απλούστερες εκφράσεις για τον ϑερµικό µέσο όρο δεν ισχύει όταν η ενέργεια των σωµατιδίων που εξαϋλώνονται είναι κοντά στον συντονισµό παραγωγής του ενδιάµεσου σωµατιδίου ή είναι κοντά στο κατώφλι παραγωγής των τελικών σωµατιδίων. Και οι δύο περιπτώσεις αυτές έχουν ιδιαίτερο κοσµολογικό ενδιαφέρον διότι εξασφαλίζουν µικρές τιµές πυκνότητας του LSP, συµβατές µε τα κοσµολογικά δεδοµένα. Στην συνέχεια περιγράφεται η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Boltzmann. Η ολοκλήρωση της εξίσωσης Boltzmann από την ϑερµοκρασία αποσύζευξης µέχρι την ϑερµοκρασία υποβάθρου (2.7 o K) δίνει την σηµερινή τιµή της περίσσειας των LSPs. Για τον υπολογισµό της ενεργού διατοµής στα διάφορα κανάλια εξαΰλωσης γίνεται χρήση νέας µεθοδολογίας των πλατών ελικότητας που εξασφαλίζουν µεγαλύτερη ακρίβεια από τις προγενέστερες µεθόδους τις ϐιβλιογραφίας. Ιδιαίτερα η µέθοδος αυτή επιτρέπει ακριβείς υπολογισµούς στην περιοχή εξαΰλωσης των LSPs µέσω των ϐαθµωτών σωµατιδίων Higgs. Ο µηχανισµός αυτός καλύπτει µεγάλο µέρος του παραµετρικού χώρου και είναι από τους επικρατέστερους για την δηµιουργία ψυχρής υπερσυµµετρικής Σκοτεινής Υλης (CDM). Το 3ο κεφάλαιο έχει ως ϑέµα την περιγραφή του Περιορισµένου Υπερσυµµετρικού Καθιερωµένου Προτύπου (MSSM ) στην περίπτωση που οι παράµετροί του έχουν µιγαδικές ϕάσεις, ενδεικτικές της παραβίασης της συµµετρίας CP. Η κυριότερη αιτία για την αναζήτηση ϕάσεων πέραν του Καθιερωµένου Προτύπου είναι ότι αυτό περιέχει µόνο την ϕάση Cabibbo Kobayashi Maskawa η οποία είναι πολύ µικρή και αδυνατεί να εξηγήσει την παρατηρούµενη ϐαρυονική ασυµµετρία στο Σύµπαν. Η ύπαρξη µιγαδικών ϕάσεων στην υπερσυµµετρική ϑεωρία είναι υπεύθυνη όχι µόνο για την εµφάνιση νέων ϕαινοµένων αλλά και την τροποποίηση ϕαινοµενολογικών µεγεθών τα οποία είναι γνωστά από την περίπτωση που διατηρείται η συµµετρία CP, όπως για παράδειγµα το ϕάσµα µαζών των υπερσυµµετρικών σωµατιδίων. Περιγράφονται οι αλλαγές που επιφέρει η παραβίαση της συµµετρίας CP σε ϕαινοµενολογικά Ϲητήµατα του MSSM, όπως το ϕάσµα µαζών των σωµατιδίων Higgs και τις διορθώσεις της Κβαντικής Χρωµοδυναµικής στα πλάτη διάσπασής τους καθώς και στις µάζες των κουάρκς t και b. Αυτές επηρεάζουν σηµαντικά την υπολογιζόµενη περίσσεια του neutralino. Η παραβίαση της συµµετρίας CP έχει ως αποτέλεσµα την δηµιουργία µη µηδενικών Ηλεκτρικών ιπολικών Ροπών, Η Ρ (Electric Dipole Moments, EDMs) για τα ϕερµιόνια. Τα πειραµατικά δεδοµένα για τις Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές του Θαλλίου, του νετρονίου και του Υδραργύρου περιορίζουν αυστηρά τις ϑεωρητικές παραµέτρους ϑέτοντας ισχυρούς περιορισµούς στα ϑεωρούµενα πρότυπα. ιερευνάται επίσης η εξέλιξη των µιγαδικών ϕάσεων που ευθύνονται για την παραβίαση της συµµετρίας CP συναρτήσει της ενέργειας µέσω των διαφορικών εξισώσεων της οµάδας

12 x ΕΙΣΑΓΩΓ Η επανακανονικοποίησης (Renormalization Group Equations, RGEs). Η εξέλιξή τους µε την ενέργεια είναι δυνατόν να επιφέρει σηµαντικές αλλαγές στις υπολογιζόµενες Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές. Στο 4ο κεφάλαιο περιγράφεται ο υπολογισµός του πλάτους εξαΰλωσης και της ενεργού διατοµής των neutralinos σε Ϲεύγος ϕερµιονίου-αντιφερµιονίου, που είναι η κυρίαρχη διαδικασία στο µεγαλύτερο µέρος του παραµετρικού χώρου καθώς και σε άλλες τελικές καταστάσεις που περιλαµβάνουν τα µποζόνια W,Z και παρουσιάζονται οι τελικές εκφράσεις αυτών. Ακολουθείται η µέθοδος ανάλυσης του πλάτους εξαΰλωσης σε µερικά κύµατα πλατών ελικότητας ως προς την ολική στροφορµή J. Τα πλεονεκτήµατα της µεθόδου αυτής έναντι της καθιερωµένης τακτικής υπολογισµού µέσω των ιχνών των πινάκων γ είναι σηµαντικά. Κατ αρχήν τα πλάτη µε διαφορετικό J προστίθενται µε τέτοιο τρόπο ώστε να αποφεύγεται το µεγάλο πλήθος των όρων συµβολής. Επίσης αποφεύγεται το προσεγγιστικό ανάπτυγµα της ενεργού διατοµής στο µη σχετικιστικό όριο µε αποτέλεσµα να γίνεται µε µεγαλύτερη ακρίβεια η αριθµητική αντιµετώπιση του ϑερµικού µέσου της ενεργού διατοµής ειδικά κοντά στους συντονισµούς γύρω από τις µάζες των Higgses. Επιπλέον, σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή, στα πλάτη µετάβασης συνεισφέρουν µερικά κύµατα οποιασδήποτε ολικής στροφορµής J µε αποτέλεσµα το ανάπτυγµα σε µερικά κύµατα να προσεγγίζει καλύτερα την πραγµατική τιµή του πλάτους µετάβασης. Στην τρέχουσα ϐιβλιογραφία συνηθίζεται ο τερµατισµός του αναπτύγµατος στα κύµατα p της τροχιακής στροφορµής L της αρχικής κατάστασης τα οποία συµπεριλαµβάνονται σε πλάτη µε ολική στροφορµή J 2. Τέλος, η µέθοδος που ακολουθούµε διαρθρώνεται έτσι ώστε να επιτρέπει τον εύκολο χειρισµό της ύπαρξης µιγαδικών ϕάσεων στις παραµέτρους του MSSM κατά την µελέτη παραβίασης της συµµετρίας CP. Στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζονται και σχολιάζονται τα αποτελέσµατα µε την χρήση της µεθοδολογίας που αναπτύχθηκε. ιερευνώνται οι περιοχές του παραµετρικού χώρου του MSSM που είναι συµβατές µε τα κοσµολογικά δεδοµένα για την πυκνότητα της Σκοτεινής Υλης αν υποτεθεί ότι αυτή αποτελείται εξ ολοκλήρου από neutralinos, σε συνδυασµό µε τα πειραµατικά δεδοµένα των Ηλεκτρικών ιπολικών Ροπών και των άλλων δεδοµένων από επιταχυντές. Ο υπολογισµός της περίσσειας των neutralinos ϐασίζεται στην εφαρµογή της ανάπτυξης σε µερικά κύµατα όπως έχει περιγραφεί στο 4ο κεφάλαιο. Η µελέτη επικεντρώνεται στις περιοχές µε µεγάλες τιµές της παραµέτρου tanβ όπου κυριαρχεί η εξαΰλωση των neutralinos µέσω του ψευδοβαθµωτού µποζονίου Higgs. Αξιολογείται η παρουσία ϕάσεων στον υπολογισµό της περίσσειας του neutralino και των Ηλεκτρικών ιπολικών Ροπών στην περίπτωση επιβολής καθολικών συνοριακών συνθηκών στις παραµέτρους του CMSSM (Constrained MSSM). Χρησιµοποιούµε τις διαφορικές εξισώσεις επανακανον-

13 xi ικοποίησης σε προσέγγιση 2-ϐρόχων για όλες τις εµπλεκόµενες παραµέτρους λαµβάνοντας υπ όψη τις συνθήκες ελαχιστοποίησης του ενεργού δυναµικού σε προσέγγιση 1-ϐρόχου µε την παρουσία ϕάσεων. Η εξέλιξη των ϕάσεων µε την ενέργεια σε προσέγγιση 2-ϐρόχων επηρεάζει σηµαντικά τις υπολογιζόµενες ιπολικές Ροπές γεγονός το οποίο δεν συµβαίνει σε προσέγγιση 1-ϐρόχου και δεν έχει µελετηθεί στην διεθνή ϐιβλιογραφία. Στις Ηλεκτρικές ιπολικές Ροπές επάγονται διορθώσεις από την σχετική µετατόπιση ϕάσης µεταξύ των µέσων αναµενόµενων τιµών του κενού των πεδίων Higgs οι οποίες είναι σηµαντικές όταν η παράµετρος tan β πάρει µεγάλες τιµές. Στην αναζήτηση περιοχών που ικανοποιούν συγχρόνως τα κοσµολογικά δεδοµένα και τα όρια των Ηλεκτρικών ιπολικών ϱοπών, ϐρίσκουµε ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό όταν οι ϕάσεις υποστούν λεπτή ϱύθµιση στην κλίµακα ενοποίησης. Οι ϕάσεις αυτές µπορεί να έχουν αρκούντως µεγάλες τιµές όπως απαιτούν τα ϑεωρητικά πρότυπα Βαρυογένεσης. Τέλος, στο 6ο κεφάλαιο, παρατίθενται τα κύρια συµπεράσµατα της διατριβής αυτής.

14 xii ΕΙΣΑΓΩΓ Η

15 Κεφάλαιο 1 Το Καθιερωµένο Κοσµολογικό Πρότυπο Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι ϐασικές αρχές του Καθιερωµένου Κοσµολογικού Προτύπου που περιγράφει την εξέλιξη του Σύµπαντος το οποίο ξεκινά από µια συµπυκνωµένη κατάσταση ενέργειας και ύλης µε την Μεγάλη Εκρηξη. Σύµφωνα µε το πρότυπο αυτό µπορεί να ερµηνευθεί ικανοποιητικά η διαδικασία κατά την οποία δηµιουργούνται ϑερµικά υπόλοιπα στο Σύµπαν τα οποία είναι δυνατόν να αποτελέσουν και τα συστατικά της Σκοτεινής Υλης. Για τον σκοπό αυτό περιγράφονται οι έννοιες της Θερµοδυναµικής που είναι αναγκαίες για την κατανόηση της ϑερµικής εξέλιξης του Σύµπαντος αλλά και την ποσοτική ανάλυση που αφορά τον προσδιορισµό της περίσσειας των ϑερµικών υπολοίπων. Τα παρατηρησιακά δεδοµένα δείχνουν ότι το Σύµπαν είναι ισότροπο και οµοιογενές για υπεργαλακτικές κλίµακες, περίπου 1000Mpc 1. Η ισοτροπία σύµφωνα µε την οποία το σύµπαν ϕαίνεται το ίδιο σε όλες τις κατευθύνσεις, αποδεικνύεται άµεσα από την οµαλότητα στην κατανοµή της ϑερµοκρασίας της κοσµικής ακτινοβολίας υποβάθρου, στην οποία ϑα αναφερθούµε αργότερα. Η οµοιογένεια, το γεγονός δηλαδή ότι το σύµπαν ϕαίνεται το ίδιο σε κάθε σηµείο, στηρίζεται σε καταµέτρηση των γαλαξιών. Οι ιδιότητες αυτές, γνωστές ως Κοσµολογική Αρχή σύµφωνα µε τον Einstein [1], µας επιτρέπουν να προσεγγίσουµε το σύµπαν ως χωρικά οµοιογενή και ισότροπο τρισδιάστατο χώρο ο οποίος µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Η µορφή της µετρικής που περιγράφει έναν χώρο µε αυτή την γεωµετρία είναι η µετρική Friedmann Robertson Walker [2] (συντοµογρ. µετρική FRW ) που περιγράφει σε πρώτη προσέγγιση ένα σύµπαν µε τα ανωτέρω χαρακτηριστικά. Το στοιχείο γραµµής 1 1 pc = 3, 2615 light years = 3, km 1

16 δίνεται από την σχέση, [ ] dr ds 2 = dt 2 + a 2 2 (t) 1 k r + 2 r2 (dθ 2 + sinθ 2 dφ 2 ), (1.1) και συνεπώς οι µη µηδενικές συνιστώσες της µετρικής FRW είναι, g t t = 1, g r r = a2 (t) 1 k r 2, g θ θ = a 2 (t) r 2, g φφ = a 2 (t) r 2 sin 2 θ, (1.2) Η µετρική (1.1) εκφράζεται ως προς τις σφαιρικές συντεταγµένες (t, r, θ, φ) οι οποίες χαρακτηρίζονται ως ταυτόχρονα κινούµενες (comoving): Με τον όρο αυτό εννοούµε ότι το χωρικό σύστηµα αναφοράς προσαρµόζεται στις µέσες ϑέσεις των γαλαξιών. Η συνάρτηση a(t) ονοµάζεται παράγοντας κοσµικής κλίµακας και έχει διαστάσεις µήκους ενώ η συντεταγµένη r είναι αδιάστατη. Η παράµετρος k παίρνει τις τιµές +1, 0, 1, ενδεικτικές για την χωρική καµπυλότητα του σύµπαντος, η οποία στον τρισδιάστατο χώρο εκφράζεται από την ϐαθµωτή συνάρτηση Ricci, που στην γεωµετρία (1.1) είναι 3 R(t) = k a 2 (t). Αναλυτικότερα λοιπόν, για k = +1, το σύµπαν είναι κλειστό µε ϑετική χωρική καµπυλότητα και χωρικό όγκο 2 π a 3, για k = 0 είναι επίπεδο µε µηδενική χωρική καµπυλότητα ενώ για k = 1, είναι ανοιχτό µε αρνητική χωρική καµπυλότητα και µοιάζει µε την επιφάνεια σάγµατος. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις k = 0 και k = 1 ο χωρικός όγκος είναι άπειρος. 1.1 Οι εξισώσεις Friedmann Προκειµένου να µελετήσουµε την δυναµική του σύµπαντος που περιγράφεται από την µετρική FRW χρειάζονται οι διαφορικές εξισώσεις που διέπουν την χρονική εξέλιξη του παράγοντα κοσµικής κλίµακας a(t). Αυτές προκύπτουν από τις εξισώσεις Einstein, R µν g µν 2 R = 8 πg N (T µν g µν Λ). (1.3) όπου έχουµε ϑεωρήσει την γενικότερη περίπτωση κατά την οποία υπάρχει µη µηδενική κοσµολογική σταθερά εν γένει. Κάνουµε επίσης την παραδοχή -η οποία αποτελεί πολύ καλή προσέγγιση της πραγ- µατικότητας - ότι το σύµπαν είναι ένα ιδανικό ϱευστό από ύλη, ακτινοβολία και κάθε µορφή ενέργειας γενικότερα µε πυκνότητα ρ και πίεση P. Τότε ο τανυστής ενέργειας - ορµής µπορεί να γραφτεί ως : T µν = (ρ + P) U µ U ν + g µν P, (1.4) 2

17 όπου U µ είναι το κανονικοποιηµένο τετράνυσµα της ταχύτητας του ϱευστού στις ταυτόχρονα κινούµενες συντεταγµένες της εξ.(1.1): U µ = (1, 0, 0, 0). Από τον συνδυασµό των εξισώσεων (1.3) και (1.4) προκύπτουν δύο εξισώσεις, (ȧ ) 2 = 8 π G N ρ k a 3 a 2 (1.5) (ä ) 2 = 4 π G N ( ρ + 3 a 3 P). (1.6) όπου ρ = ρ + Λ και P = P Λ. Η πρώτη εξ αυτών, δίνει για κάθε χρονική στιγµή τον ϱυθµό διαστολής του σύµπαντος, που εκφράζεται από την παράµετρο του Hubble H ȧ, ως συνάρτηση της πυκνότητας a ύλης και ενέργειας. Η σηµερινή τιµή της H 0 ονοµάζεται σταθερά του Hubble. Η δεύτερη διαφορική εξίσωση δίνει την επιτάχυνση µε την οποία διαστέλλεται το σύµπαν. Από τις εξισώσεις (1.5) και (1.6) γίνεται κατανοητό ότι το σύµπαν µπορεί να διαστέλλεται ή να συστέλλεται επιταχυνόµενο ή επιβραδυνόµενο. Αυτό εξαρτάται από το είδος των σωµατιδίων ή των µορφών ενέργειας που περιέχει (της πυκνότητας ύλης, ενέργειας και της πίεσης που ασκούν) και ϐέβαια από την ύπαρξη ή όχι της κοσµολογικής σταθεράς. Προσδιορίζοντας εποµένως την ποσότητα και την ποιότητα των συστατικών του Σύµπαντος είναι δυνατόν στα πλαίσια του Καθιερωµένου Κοσµολογικού Προτύπου να κάνουµε προβλέψεις για την γεωµετρία και το µέλλον του. Η εξίσωση συνέχειας για το κοσµικό ϱευστό που εκφράζεται από τον µηδενισµό της συναλλοίωτης παραγώγου του τανυστή ενέργειας - ορµής T µν ;µ = 0, παίρνει την απλή µορφή, ρ + 3 H (ρ + P) = 0. (1.7) Η εξίσωση αυτή είναι δυνατόν να προκύψει και από τον συνδυασµό των (1.5) και (1.6) και εκφράζει το γεγονός ότι η διαστολή του σύµπαντος οδηγεί σε τοπικές µεταβολές της πυκνότητας της ύλης και της ενέργειας. Ενα άλλο ϑέµα που µας απασχολεί προκειµένου να επιλύσουµε τις εξισώσεις Friedmann είναι ο τρόπος µε τον οποίο συσχετίζεται η πίεση µε την πυκνότητα µέσω της καταστατικής εξίσωσης. Στην προσέγγιση του ιδανικού ϱευστού που υιοθετούµε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η µορφή αυτής της καταστατικής εξίσωσης είναι, P = w ρ. (1.8) Η παράµετρος w είναι σταθερά και εξαρτάται από το είδος του συστατικού του κοσµικού ϱευστού. Η τιµή w = 0 αντιστοιχεί σε ϱευστό που αποτελείται από µη σχετικιστικά 3

18 σωµατίδια µε µάζα τα οποία δεν ασκούν πίεση. Για τα σχετικιστικά σωµατίδια ή την ακτινοβολία ισχύει w = 1/3. Σε ό,τι αφορά την κοσµολογική σταθερά Λ, P Λ = ρ Λ = Λ 8 π G N οπότε w Λ = 1. Από την εξίσωση συνέχειας (1.7) και την καταστατική εξίσωση (1.8) προκύπτει η µεταβολή της πυκνότητας ύλης και ενέργειας σε σχέση µε τον παράγοντα κοσµικής κλίµακας, ρ(a) 1. (1.9) a(t) 3(1+w) Εποµένως κατά την χρονική περίοδο που κυριαρχούσε η ακτινοβολία, η πυκνότητά της µειωνόταν σύµφωνα µε τη σχέση ρ 1/a 4, όταν κυριαρχούσε η ύλη ίσχυε ρ 1/a 3 ενώ όταν επικρατεί η συνεισφορά της κοσµολογικής σταθεράς τότε η πυκνότητά της παραµένει σταθερή (ρ σταθερό). Το γεγονός ότι η πυκνότητα ενέργειας της κοσµολογικής σ- ταθεράς παραµένει σταθερή µε το χρόνο, δικαιολογεί τον όρο ενέργεια κενού που της αποδίδουµε. 1.2 Η ϑερµική ιστορία του σύµπαντος Στα πρώτα κλάσµατα του δευτερολέπτου µετά την Μεγάλη Εκρηξη, οι πολύ υψηλές ϑερµοκρασίες πυροδότησαν ϑερµικές διαδικασίες µεταξύ των συστατικών του υπερπυκνού πλάσµατος οι οποίες είχαν σαν αποτέλεσµα την αποσύζευξη της κοσµικής ακτινοβολίας από την ύλη και την σύνθεση των ελαφρών χηµικών στοιχείων. Οι διαδικασίες αυτές ευθύνονται και για την ύπαρξη ϑερµικών υπολοίπων τα οποία αποσυζεύχθηκαν από το πλάσµα καθώς το σύµπαν ψυχόταν και συνεισφέρουν στις κοσµολογικές παραµέτρους της µάζας που υπάρχει στο σύµπαν σήµερα. Για την κατανόηση τους, είναι αναγκαία η έννοια της ϑερµοδυναµικής ισορροπίας και της χηµικής ισορροπίας. Ενα είδος σωµατιδίων ϑεωρείται ότι ισορροπεί ϑερµικά και χη- µικά µε τα υπόλοιπα σωµατίδια όταν διατηρεί την ίδια πίεση και ϑερµοκρασία µε αυτά κι επιπλέον όταν τα προϊόντα µιας αλληλεπίδρασης είναι δυνατόν να επανασυνδυαστούν ώστε να δώσουν τις αρχικές καταστάσεις. Αυτά συµβαίνουν όταν ο ϱυθµός αλληλεπίδρασης Γ του συγκεκριµένου είδους µε το σύνολο των υπολοίπων σωµατιδίων είναι πολύ µεγαλύτερος από τον ϱυθµό H µε τον οποίο διαστέλλεται το σύµπαν (Γ >> H). Στο πρώιµο σύµπαν, στο οποίο κυριαρχούσε η ακτινοβολία, τα σωµατίδια διατηρούνταν σε κατάσταση ϑερµικής και χηµικής ισορροπίας µε το κοσµικό περιβάλλον λόγω της υψηλής ϑερµοκρασίας. Στην κατάσταση ϑερµοδυναµικής ισορροπίας, ο αριθµός καταστάσεων ενός είδους 4

19 σωµατιδίων µε µέτρο ορµής από p εως p + dp ανά µονάδα όγκου δίνεται από την σχέση 2 : dn(p) = g s 2π 2f(p)p2 dp, (1.10) όπου g s είναι οι ϐαθµοί ελευθερίας λόγω spin. Συγκεκριµένα g s = 1 για τα ουδέτερα ϐαθµωτά, g s = 2 για ϕερµιόνια τύπου Majorana, αριστερόστροφα νετρίνα και άµαζα διανυσµατικά µποζόνια (π.χ. ϕωτόνια), g s = 3 για έµµαζα διανυσµατικά µποζόνια και g s = 4 για ϕερµιόνια τύπου Dirac. Η συνάρτηση κατανοµής f(p) είναι f(p) = (e E(p) kt ± 1) 1. Το αρνητικό πρόσηµο αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου τα σωµατίδια ακολουθούν την στατιστική Bose Einstein ενώ το ϑετικό, στην περίπτωση που ακολουθούν την Fermi Dirac. Εποµένως ο αριθµός σωµατιδίων ανά όγκο n, η πυκνότητα ρ και η πίεση P του ϱευστού των σωµατιδίων, δίνονται από τα ολοκληρώµατα : n = ρ = 0 0 P = 1 3 dn dp (1.11) dp E dn dp (1.12) dp 0 p 2 E dn dp (1.13) dp Η εντροπία είναι ένα διατηρούµενο µέγεθος σε ένα σύµπαν που περιγράφεται από την µετρική FRW και η πυκνότητά της ισούται µε s = ρ + P. Τα ϕυσικά αυτά µεγέθη µ- T πορούν να εκφραστούν στην ακόλουθη µορφή : n = T 3 N(T) (1.14) ρ = π2 30 T 4 g(t) (1.15) s = 2 π2 45 T 3 h(t) (1.16) P = π2 90 T 4 [4 h(t) 3 g(t)] (1.17) Με N, g, h συµβολίζονται αντίστοιχα οι ϐαθµοί ελευθερίας αριθµού σωµατιδίων, ενέργειας και εντροπίας οι οποίοι είναι συναρτήσεις της ϑερµοκρασίας. Στην γενικότερη περίπτωση 2 Θεωρούµε ότι = c = k = 1 5

20 αυτές ορίζονται µε τον ακόλουθο τρόπο : N(T) = g s 1 2π 2 x 3 g(t) = g s 15 π 4 1 x 4 1 h(t) = g s 15 4 π 4 1 x 4 u(u 2 1) 1/2 du e u/x (1.18) u 2 (u 2 1) 1/2 du e u/x (1.19) 1 (4 u 2 1)(u 2 1) 1/2 du e u/x (1.20) 1 όπου u = E m, x = T. Το αρνητικό πρόσηµο στον παρονοµαστή της υπό ολοκλήρωση ποσότητας αντιστοιχεί στους µποζονικούς ϐαθµούς ελευθερίας ενώ το ϑετικό m στους ϕερµιονικούς όπως προαναφέρθηκε. Οταν επικρατούν υψηλές ϑερµοκρασίες, η ενέργεια ηρεµίας είναι αµελητέα T m, x >> 10 και η περίπτωση αυτή ισοδυναµεί µε την περίπτωση σωµατιδίων µε µηδενική µάζα (υπερσχετικιστικό όριο). Οι εκφράσεις για τους ενεργούς ϐαθµούς ελευθερίας είναι απλές σε αυτή την περίπτωση 3 : ζ(3) N(T) = g s π { 2 g(t) = g s h(t) = g s { { 1, για µποζόνια 3/4, για ϕερµιόνια 1, για µποζόνια 7/8, για ϕερµιόνια 1, για µποζόνια 7/8, για ϕερµιόνια (1.21) (1.22) (1.23) Εάν τα σωµατίδια είναι µη σχετικιστικά (T m, x 0.1), η κινητική δηλαδή ενέργεια λόγω ϑερµικής κίνησης είναι πολύ µικρότερη της ενέργειας ηρεµίας, τότε ϕερµιόνια και µποζόνια έχουν τις ίδιες εκφράσεις για την πυκνότητα του αριθµού σωµατίδιων (κατανοµή Boltzmann ), την πυκνότητα µάζας, την πίεση και την πυκνότητα εντροπίας. Και στις δύο περιπτώσεις οι εκφράσεις για τα µεγέθη n, ρ, P, s είναι εξαιρετικά απλές και παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί : Μέχρι τώρα στις εκφράσεις που δώσαµε για τα διάφορα ϑερµοδυναµικά µεγέθη, αναφερ- ϑήκαµε στην περίπτωση ενός είδους σωµατιδίων. Στην πραγµατικότητα όµως και ειδικότερα όταν µελετάµε το ϑερµικό υπόβαθρο του σύµπαντος αντιµετωπίζουµε την περίπτωση 3 ζ(3) = είναι η συνάρτηση Ϲήτα του Riemann µε όρισµα 3 6

21 Σχετικιστικά Σχετικιστικά Μη σχετικιστικά Μποζόνια Φερµιόνια µποζόνια και ϕερµιόνια n ζ(3) π 2 g st 3 ( ) 3 ζ(3) 4 π g st 3 2 g s ( ) 3/2 m T e m/t 2 π ρ P π 2 30 g s T ρ i ( ) 7 π g s T 4 m n 1 3 ρ i n T ρ Πίνακας 1.1: Η πυκνότητα αριθµού, ενέργειας και πίεσης, για µποζόνια και ϕερµιόνια σε ϑερµική ισορροπία. πολλών διαφορετικών σωµατιδίων, µποζονίων και ϕερµιονίων. Για τον λόγο αυτό ορίζουµε την πυκνότητα ενέργειας και εντροπίας µε τον ακόλουθο τρόπο, ρ(t) = π2 30 g eff(t) T 4 (1.24) s(t) = 2 π2 45 h eff(t) T 3. (1.25) Τα µεγέθη g eff και h eff είναι αντίστοιχα οι ενεργοί ϐαθµοί ελευθερίας ενέργειας και εντροπίας και είναι συναρτήσεις της ϑερµοκρασίας : g eff (T) = i g i (x i ) (1.26) h eff (T) = i h i (x i ). (1.27) Ο δείκτης i αναφέρεται σε κάθε είδος σωµατιδίου, ϕερµιόνιο ή µποζόνιο µε µάζα m i, (x i = T/m i ). Οι συναρτήσεις g i (x i ), h i (x i ), δίνονται γενικά από τις σχέσεις (1.18) ή από τις αντίστοιχες εκφράσεις στο υπερσχετικιστικό όριο (x 10). 1.3 Οι εξισώσεις Friedmann και η εξέλιξη του σύµπαντος Μελετώντας την ιστορία του σύµπαντος από την στιγµή της µεγάλης έκρηξης µέχρι σή- µερα µπορεί να διακρίνει δύο εποχές στις οποίες επικρατούσαν η ακτινοβολία και η ύλη αντιστοίχως. 7

22 Στην εποχή που επικρατούσε η ακτινοβολία στην πυκνότητα ύλης και ενέργειας συνεισέ- ϕεραν κυρίως σχετικιστικά σωµατίδια των οποίων η ϑερµική κίνηση είναι παρόµοια µε αυτή των ϕωτονίων. Οπως είδαµε, σύµφωνα µε την εξ. (1.9) είναι ρ 1/a 4. Επιλύοντας την διαφορική εξίσωση (1.5) στην οποία κυριαρχεί ο όρος της πυκνότητας, ϐρίσκουµε ότι ο παράγοντας κοσµικής κλίµακας µεταβάλλεται ανάλογα µε την τετραγωνική ϱίζα του χρόνου, a t 1/2 οπότε ρ t 2 και από τον ορισµό (1.15) T t 1/2. Ο ϱυθµός διαστολής εκείνη την εποχή ϐρίσκεται να είναι : H ȧ a = 1 2 t = 1.66 (k T)2 g(t). (1.28) M Planck Θα πρέπει να σηµειώσουµε εδώ ότι το περιεχόµενο των ϐαθµών ελευθερίας της ενέργειας g(t) είναι διαφορετικό σε κάθε χρονική στιγµή. Εξαρτάται από το είδος το σωµατδίων που ϐρίσκεται σε ισοροροπία µε το κοσµικό υπόβαθρο. Ενα σωµατίδιο µε µάζα m i σε ϑερµοκρασία T >> m i είναι σχετικιστικό και συνεισφέρει στην συνάρτηση στους ϐαθµούς ελευθερίας της ενέργειας και της εντροπίας 7/8 g s αν είναι ϕερµιόνιο ή g s αν είναι µποζόνιο. Καθώς το σύµπαν διαστέλλεται, η ϑερµοκρασία του ελαττώνεται και όταν T << m i η συνεισφορά του συγκεκριµένου είδους είναι αµελητέα αφού µειώνεται εκθετικά από τον παράγοντα Boltzmann e m i k T. Ετσι για παράδειγµα, όταν T < m e, στους ϐαθµούς ελευθερίας της ενέργειας συµµετέχουν τα ϕωτόνια και τα νετρίνα των 3 οικογενειών µε τα αντινετρίνα τους κατά = Μετά την εποχή της ακτινοβολίας το σύµπαν πέρασε στην περίοδο εκείνη όπου κυριαρχεί η ύλη. Η πίεση που ασκούν τα σωµατίδια είναι αµελητέα ως προς την πυκνότητα µάζας τους. Η σχέση (1.9) δίνει ότι η πυκνότητα ύλης µεταβάλλεται ως ρ a 3 ενώ από την επίλυση της πρώτης από τις εξισώσεις Friedmann (1.5) προκύπτει ο κοσµικός παράγοντας συναρτήσει του χρόνου. Συνοψίζοντας, έχουµε ότι a t 2/3 ενώ για την πυκνότητα και την ϑερµοκρασία είναι ρ t 2 και T t 2/3. Ο ϱυθµός διαστολής του σύµπαντος είναι H = 2. Η µετάβαση του σύµπαντος από την εποχή της ακτινοβολίας στην εποχή που 3 t κυριαρχεί η ύλη γίνεται στην ϑερµοκρασία T EQ εκείνη όπου η πυκνότητα της ακτινοβολίας εξισώνεται µε την πυκνότητα της ύλης και υπολογίζεται ότι T EQ 10 4 K 1eV. Καθώς το σύµπαν εξακολουθεί να διαστέλλεται, η ϑερµοκρασία µειώνεται ακόµη περισσότερο οπότε η συνεισφορά του όρου µε την κοσµολογική σταθερά-αν αυτή υπάρχει- στην εξ. (1.5) είναι δυνατόν να γίνει σηµαντική. Τα πρόσφατα παρατηρησιακά δεδοµένα, τα οποία ϑα σχολιαστούν στο επόµενο κεφάλαιο, δικαιολογούν τον ισχυρισµό αυτό καθώς δείχνουν ότι το 70 % περίπου της συνολικής µάζας και ενέργειας που υπάρχει στο σύµπαν αποτελείται από την ενέργεια του κενού η οποία µπορεί να αποδοθεί στην κοσµολογική σταθερά Λ. 8

23 Στην περίπτωση λοιπόν που στο σύµπαν κυριαρχεί η ενέργεια κενού, οι εξισώσεις Friedmann (1.5) και (1.6) παίρνουν την µορφή : (ȧ ) 2 8 π G N Λ (1.29) a 3 (ä ) 2 = 8 π G N Λ (1.30) a 3 Εάν Λ < 0, συµπεραίνουµε ότι το σύµπαν ουδέποτε ϑα εισέλθει στην ϕάση όπου ϑα κυριαρχεί η κοσµολογική σταθερά διότι όπως ϕαίνεται στην εξ. Friedmann (1.29), ο παράγοντας κοσµικής κλίµακας ϕτάνει σε µια µέγιστη τίµή λίγο πριν την ϕάση αυτή. Στην περίπτωση εντούτοις που η κοσµολογική σταθερά είναι ϑετική, η λύση της διαφορικής 8 π GN Λ εξίσωσης (1.29) είναι a = exp t ενώ από την εξ. (1.30) προκύπτει ότι η επιτάχυνση µε την οποία διαστέλλεται το σύµπαν είναι ϑετική και εποµένως οι ϐαρυτικές δυνάµεις 3 δρούν απωστικά µε αρνητική πίεση P vac = ρ vac = Λ. Βέβαια η ανάλυση αυτή προϋποθέτει ότι η κοσµολογική σταθερά είναι όντως σταθερά και δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Αν η ενέργεια του κενού οφείλεται σε κάποιο άλλου είδους πεδίο, όπως προτείνεται από διαφόρους συγγραφείς, τότε το σκηνικό αλλάζει και η εξέλιξη του σύµπαντος δεν επιδέχεται τόσο απλές περιγραφές. 1.4 Η διαδικασία της αποσύζευξης ενός είδους σωµατιδίων από την ϑερµική ισορροπία Στις προηγούµενες παραγράφους αναφερθήκαµε στην κατάσταση της ϑερµοδυναµικής ισορροπίας η οποία διατηρείται όσο ο ϱυθµός µε τον οποίο αλληλεπιδρούν τα σωµατίδια µεταξύ τους είναι πολύ µεγαλύτερος από τον ϱυθµό διαστολής του σύµπαντος (Γ >> H). Ο ϱυθµός αλληλεπίδρασης µεταξύ των σωµατιδίων είναι Γ = n σ υ όπου σ είναι η ενεργός διατοµή της αλληλεπίδρασης και n ο αριθµός σωµατιδίων ανά µονάδα όγκου. Καθώς η ϑερµοκρασία µειώνεται, ο ϱυθµός αλληλεπίδρασης ελαττώνεται σε σχέση µε τον ϱυ- ϑµό διαστολής. Σε κάποια ϑερµοκρασία T f, που ονοµάζεται ϑερµοκρασία αποσύζευξης, (freeze out temperature) οι δύο ϱυθµοί εξισώνονται µε αποτέλεσµα τα σωµατίδια να α- ποσυζεύγνυνται από το ϑερµικό υπόβαθρο (decoupling). Για ϑερµοκρασίες T < T f τα σωµατίδια παύουν ουσιαστικά να αλληλεπιδρούν µε τα υπόλοιπα σωµατίδια του υπόβα- ϑρου που ϐρίσκονται σε κατάσταση ϑερµικής ισορροπίας και διαδίδονται ελεύθερα µέσα στο διαστελλόµενο σύµπαν. Ο συνολικός τους αριθµός παραµένει σταθερός ενώ η 9

24 πυκνότητά τους ελαττώνεται σύµφωνα µε την σχέση n 1/a 3. Η διαδικασία της αποσύζευξης είναι ιδιαίτερα σηµαντική για την Αστροσωµατιδιακή Φυσική, καθώς ερµηνεύει την ύπαρξη ϑερµικών υπολοίπων από την εποχή της Μεγάλης Εκρηξης, όπως π.χ. τα νετρίνα. Επιπλέον ορισµένα σωµατιδιακά πρότυπα προβλέπουν την ύπαρξη ασθενώς αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων µε µεγάλη µάζα (Weakly Interacting Massive Particles, WIMPs) τα οποία ακολουθώντας την διαδικασία της αποσύζευξης έχουν τέτοιες τιµές πυκνότητας στην σηµερινή εποχή ώστε να δίνεται λύση στο πρόβληµα της Σκοτεινής Υλης στο οποίο ϑα αναφερθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Εάν τα σωµατίδια κατά την αποσύζευξή τους κινούνται µε ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του ϕωτός τότε έχουµε την περίπτωση των λεγόµενων ϑερµών υπολοίπων ενώ αν κινούνται µε µικρές σχετικά ταχύτητες αναφερόµαστε στην ύπαρξη ψυχρών υπολοίπων. Παράδειγµα ϑερµών υπολοίπων αποτελούν τα νετρίνα τα οποία είναι σχεδόν άµαζα και συµµετέχουν στις Ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Σε ϑερµοκρασίες T < m µ οι ϐαθµοί ελευθερίας που συµµετέχουν στην ενέργεια και στην εντροπία του σύµπαντος προέρχονται από τα ϕωτόνια, τα νετρίνα και τα αντινετρίνα, τα ηλεκτρόνια και τα ποζιτρόνια. Τα νετρίνα, τα ηλεκτρόνια καθώς και τα αντισωµατίδιά τους είναι σχετικιστικά (υ 1) για ϑερµοκρασίες µεγαλύτερες από την µάζα του ηλεκτρονίου, εποµένως σύµφωνα µε την (1.14) η πυκνότητά τους είναι n T 3. Η ενεργός διατοµή της αλληλεπίδρασης των νετρίνων και αντινετρίνων µε τα ηλεκτρόνια και τα ποζιτρόνια είναι σ ν (G F / π) 2 T 2 όπου G F είναι η σταθερά Fermi. Βρίσκουµε λοιπόν ότι ο ϱυθµός της συγκεκριµένης αλληλεπίδρασης είναι : Γ n σ ν υ (G F / π) 2 T 5 (1.31) ενώ ο ϱυθµός µε τον οποίο διαστέλλεται το σύµπαν δίνεται από την σχέση (1.28). εδοµένου του ότι οι ϐαθµοί ελευθερίας της ενέργειας στην συγκεκριµένη περιοχή ϑερµοκρασιών είναι g(t) 43/4 υπολογίζεται εύκολα ότι η ϑερµοκρασία στην οποία εξισώνονται οι δύο ϱυθµοί και άρα αποσυζεύγνυνται τα νετρίνα είναι T f 2 MeV. Για ϑερµοκρασίες κάτω από την ϑερµοκρασία αποσύζευξης αυτή, τα νετρίνα και τα αντινετρίνα παύουν να αλληλεπιδρούν µε τα ηλεκτρόνια, τα ποζιτρόνια και τα ϕωτόνια και ο συνολικός τους αριθµός παραµένει σταθερός. Την στιγµή της αποσύζευξής τους έχουν την ίδια ϑερµοκρασία µε τα ϕωτόνια. Οταν η ϑερµοκρασία ϕτάσει σε τιµές τέτοιες ώστε T < 2 m e ξεκινούν οι διαδικασίες εξαΰλωσης των ηλεκτρονίων µε τα ποζιτρόνια, e + e + 2 γ. Η αντίστροφη διαδικασία δεν συµβαίνει καθώς τα παραγόµενα ϕωτόνια δεν έχουν την απαιτούµενη ενέργεια για να παραχθούν ηλεκτρόνια και ποζιτρόνια. Κατ αυτόν τον τρόπο όµως το σύνολο των ϕωτονίων αναθερµαίνεται (reheating) ή, για να είµαστε πιο ακριβείς, κρυώνει 10

25 µε πιο αργό ϱυθµό. Το σύνολο εντούτοις των νετρίνων δεν επηρεάζεται από την αναθέρ- µανση αυτή. Η τελική ϑερµοκρασία των ϕωτονίων µπορεί να υπολογιστεί από την διατήρηση της εντροπίας η οποία ισχύει σε ( ένα σύµπαν ) που περιγράφεται από την µετρική 11 FRW. Εξισώνοντας τις εντροπίες πριν 2 T ν 3 και µετά (2 Tγ 3 ) την διαδικασία της ανα- ( ) 1/3 11 ϑέρµανσης προκύπτει ότι T γ = T ν όπου µε T ν, T γ συµβολίζουµε τις αντίστοιχες 4 ϑερµοκρασίες των ϕωτονίων. Ετσι υπολογίζεται ότι η ϑερµοκρασία των νετρίνων είναι ( ) 1/3 4 T ν = T γ. Λόγω της διαδικασίας της αναθέρµανσης οι ϐαθµοί ελευθερίας της 11 ενέργειας για ϑερµοκρασίες πάνω από την µάζα του µιονίου δεν είναι πλέον = 7.25 όπως είχαµε επιχειρηµατολογήσει σε προηγούµενη παράγραφο αλλά περίπου οι µισοί, ( ) 4 Tν T γ 1.5 Προσδιορισµός των κοσµολογικών παραµέτρων Μια από τις ϐασικότερες παραµέτρους που χρησιµοποιείται στην περιγραφή κοσµολογικών εννοιών είναι σηµερινή τιµή της παραµέτρου του Hubble, H 0 η οποία συνδέει την ταχύτητα αποµάκρυνσης ενός γαλαξία µε την απόσταση του από εµάς, υ = H 0 r. Συνήθως χρησιµοποιείται η αδιάστατη ποσότητα h 0 =. Το Hubble Space Telescope Key Project [3] έχει µετρήσει µε πολύ καλή ακρίβεια την σταθερά του Hubble 100 km/sec/mpc : H 0 = 72 ± 3, (στατιστικό) ± 7 (συστηµατικό) km/sec/mpc. Το αποτέλεσµα αυτό ϐρίσκεται σε πολύ καλή συµφωνία µε τα δεδοµένα από άλλα ερευνητικά προγράµµατα όπως για παράδειγµα το WMAP3 τα οποία ϐελτίωσαν τα πειραµατικά σφάλµατα ακόµη περισσότερο. Από την εξίσωση Friedmann (1.5) προκύπτει ο συσχετισµός της πυκνότητας ρ µε την σταθερά Hubble, ρ = 3 8 π G N H 0 (H 2 + ka 2 ) (1.32) όπου k είναι ο δείκτης χωρικής καµπυλότητας και a ο παράγων κοσµικής κλίµακας. Εάν αγνοήσουµε την κοσµολογική σταθερά, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή της πυκνότητας ύλης / ενέργειας που πρέπει να υπάρχει σήµερα στο σύµπαν ώστε να είναι χωρικά επίπεδο, (k = 0). Η κρίσιµη πυκνότητα όπως ονοµάζεται η παράµετρος αυτή, ισούται µε ρ c = 3 H2 0 8πG N (1.33) 11

26 και η σηµερινή τιµή της είναι ρ c = h 2 0 gr/cm3. Η χωρική καµπυλότητα του σύµπαντος καθορίζεται από την σύγκριση της σηµερινής τιµής της ποσότητας ρ ως προς την κρίσιµη πυκνότητα ρ c : Αν ρ > ρ c, τότε το σύµπαν είναι κλειστό (k > 0), αν ρ < ρ c, τότε έχουµε ένα ανοιχτό σύµπαν (k < 0) και για ρ = ρ c, το Σύµπαν είναι χωρικά επίπεδο (k = 0). Για πρακτικούς λόγους ορίζουµε το αδιάστατο µέγεθος Ω, Ω = ρ (1.34) ρ c Στην παράµετρο αυτή συµµετέχουν όλα τα είδη συστατικών που υπάρχουν στο σύµπαν, ύλη (Ω M ), ακτινοβολία (Ω rad ) και η κοσµολογική σταθερά (Ω Λ ): Ω = Ω M + Ω rad + Ω Λ. (1.35) Η τιµή της παραµέτρου Ω σήµερα είναι δυνατόν να εκφραστεί συναρτήσει της σταθεράς Hubble µε την ϐοήθεια των εξισώσεων (1.32) και(1.33), Ω 0 = 1 + k a 2 0 H0 2 (1.36) όπου µε τον κάτω δείκτη 0 συµβολίζουµε τις τιµές των αντίστοιχων µεγεθών στην σηµερινή εποχή. Στην Αστροσωµατιδιακή ϕυσική συνηθίζεται να χρησιµοποιούµε την αδιάστατη παράµετρο Ω 0 h 2 0. Το συµπέρασµα που προκύπτει από την εξίσωση (1.36) είναι ότι η γεωµετρία του σύµπαντος συσχετίζεται µε την κοσµολογική παράµετρο Ω 0 η οποία ουσιαστικά εξαρτάται από το είδος και την αναλογία των συστατικών που υπάρχουν στο σύµπαν. Με την ϐοήθεια λοιπόν των πλέον πρόσφατων µετρήσεων που αφορούν τον προσδιορισµό της παραµέτρου Ω 0 γίνεται σαφές ότι είναι δυνατόν για πρώτη ϕορά να δοθούν απαντήσεις στα καίρια ερωτήµατα σχετικά µε την γεωµετρία του σύµπαντος αλλά και την µελλοντική του εξέλιξη όπως ϑα δούµε παρακάτω. Μελετώντας το ϕάσµα της κοσµικής ακτινοβολίας υποβάθρου εκτιµήθηκε ότι η πυκνότητα συνολικής µάζας και ενέργειας σήµερα είναι πολύ κοντά στην κρίσιµη, δηλαδή Ω 0 1. Το γεγονός αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι το σύµπαν στο οποίο Ϲούµε είναι χωρικά επίπεδο όπως προκύπτει από την σχέση (1.36). Η ακτινοβολία αυτή αποτελείται από τα ϕωτόνια που σκεδάστηκαν τελευταία από την ύλη, καθώς το σύµπαν περνούσε από την εποχή της ακτινοβολίας στην εποχή της ύλης. Είναι γνωστό δε µετά από τα δεδοµένα του WMAP3, ότι ακολουθεί την κατανοµή µέλανος σώµατος ϑερµοκρασίας T = 2, 2726 o K και είναι σχεδόν ισότροπη σε κλίµακα 10 5 του ϐαθµού Kelvin. Μικρές διακυµάνσεις της ϑερµοκρασίας αυτής ανιχνεύθηκαν στα τέλη του περασµένου αιώνα. Η κατανοµή 12

27 του ϕάσµατος αυτών των ανισοτροπιών ως προς τις γωνίες παρατήρησης ή ισοδύναµα ως προς τις πλειονοπολικές 4 ϱοπές l, εµφανίζει µέγιστα µε ιδιαίτερη ϕυσική σηµασία. Για παράδειγµα η ϑέση του πρώτου µεγίστου καθορίζει την χωρική καµπυλότητα του σύµπαντος. Εµφανίζεται δε σε τάξη l = 220 Ω 1/2 0. Τα πειράµατα MAXIMA, BOOMERANG σε συνδυασµό µε τα δεδοµένα από τον δορυφόρο COBE [4], προσδιόρισαν ϑέση της κορυφής αυτής και από εκεί, την τιµή της παραµέτρου Ω 0, Ω 0 = 1.0 ± 0.1. Τα τελευταία χρόνια, υπάρχουν νέα δεδοµένα από τον δορυφόρο, το WMAP3 (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) ο οποίος µέτρησε ανισοτροπίες της ακτινοβολίας υποβάθρου µε πολύ µεγαλύτερη ακρίβεια από τον COBE, περίπου ένα δισεκατοµµυριοστό του ϐα- ϑµού Kelvin. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του WMAP3 [5]- [7] και σε συνδυασµό µε τις παρατηρήσεις του τηλεσκοπίου SDSS [8], η παράµετρος Ω 0 ισούται µε Ω 0 = 1.02 ± (1.37) Ο ποσοτικός προσδιορισµός κάθε όρου της εξίσωσης (1.35) που συνεισφέρει στο συνολικό ισοζύγιο ύλης και ενέργειας του σύµπαντος παραµετροποιείται από το µέγεθος Ω 0. Η συνεισφορά της ακτινοβολίας στην συνολική µάζα και ενέργεια του σύµπαντος σήµερα είναι αµελητέα. Πρόκειται ουσιαστικά για τα ϕωτόνια και τα νετρίνα. Πράγµατι από τον ορισµό της πυκνότητας ενέργειας (1.15) προκύπτει για τα ϕωτόνια, Ω γ = /h όταν h 0 0.7, η πυκνότητά τους είναι δηλαδή 5 τάξεις µεγέθους µικρότερη από την κρίσιµη πκνότητα. Σε ό,τι αφορά τα νετρίνα και τα αντινετρίνα, ϑεωρώντας ότι έχουν µηδενική µάζα η συνεισφορά τους είναι Ω ν N ν Ω γ όπου N ν ο συνολικός αριθµός των ειδών νετρίνων και αντινετρίνων. Στο Καθιερωµένο Πρότυπο υπάρχουν N ν = 6 συνολικά νετρίνα και αντινετρίνα. Στην περίπτωση όµως που έχουν µάζα η συνεισφορά τους δίνεται από την σχέση Ω ν = Σ ν m ν /(92.5 ev ). Τα αποτελέσµατα από το SuperKamionkande το οποίο ανιχνεύει ταλαντώσεις µεταξύ των ιδιοκαταστάσεων µάζας των νετρίνων ν µ, ν τ δείχνουν ότι η διαφορά µάζας τους δεν µπορεί να ξεπερνά τα 0.05 ev και κατά συνέπεια η µάζα του νετρίνο είναι της τάξης του ev. Εποµένως η συνεισφορά των νετρίνων είναι επίσης πολύ µικρή, Ω ν O(10 2 ). Το ποσό της ϐαρυονικής ύλης που υπάρχει στο σύµπαν δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί εξ ολοκλήρου από την ακτινοβολία που εκπέµπει. Γι αυτό στηριζόµαστε στις ϑεωρίες της πρώιµης πυρηνοσύνθεσης για την δηµιουργία των ελαφρών στοιχείων. Η κοσµική αφθονία των ισοτόπων (He,D,Li) καθορίζεται συναρτήσει του λόγου η = n B /n γ, δηλαδή του λόγου των πυκνοτήτων του αριθµού των ϐαρυονίων ως προς τον αριθµό των ϕωτονίων. Ο λόγος η 4 Κρίνουµε ότι ο όρος πλειονοπολικές είναι πιο δόκιµος από τον όρο πολυπολικές 13

28 είναι της τάξης η ( ) Με την µέθοδο αυτή προκύπτει η πυκνότητα της ϐαρυονικής ύλης Ω B = ± Η ϐαρυονική ύλη επηρεάζει την γωνιακή κατανοµή του ϕάσµατος των ανισοτροπιών της ϑερµοκρασίας της κοσµικής ακτινοβολίας υποβάθρου. Η ανάλυση από τα δεδοµένα του WMAP3 [5]- [7] δίνει την παράµετρο πυκνότητας της ϐαρυονικής ύλης, Ω B = ± Η τιµή αυτή ϐρίσκεται σε πολύ καλή συµφωνία µε την µέθοδο που στηρίζεται στις κοσµικές αφθονίες των ελαφρών ισοτόπων. Η συνολική πυκνότητα ύλης στο σύµπαν καθορίζεται µε σηµαντική ακρίβεια από τις µετρήσεις του WMAP3, Ω M = ± Συνεπώς η ύλη µε την µορφή που γνωρίζουµε καταλαµβάνει µόνο ένα µικρό ποσοστό της συνολικής ύλης που υπάρχει στο σύµπαν. Το υπόλοιπο (Ω M Ω B ), αποτελείται από µορφή ύλης άγνωστη σε µας µέχρι τώρα και γι αυτό της αποδίδουµε τον χαρακτηρισµό Σκοτεινή Υλη. Τα πρώτα ερωτήµατα για την ύπαρξη µιας µορφής ύλης, ξεχωριστής από την ορατή ανέκυψαν πριν από αρκετές δεκαετίες όταν οι Zwicky [9] και Rubin [10] µελέτησαν την ταχύτητα περιστροφής του υλικού που ϐρίσκεται στα άκρα των σπειροειδών γαλαξιών. Εφαρµόζοντας τους νόµους του Νεύτωνα και υποθέτοντας ότι όλη η ύλη που ϐρίσκεται στον γαλαξία είναι αυτή που ακτινοβολεί, είναι εύκολο να δειχθεί ότι η ταχύτητα περιστροφής πέραν της έκτασης του οπτικού δίσκου ελαττώνεται ως 1/ r, όπου r η απόσταση από το κέντρο του γαλαξία. Οι παρατηρήσεις όµως έδειξαν ότι η ταχύτητα περιστροφής στα άκρα του γαλαξία είναι σταθερή και ϑα έπρεπε η κατανοµή της µάζας από το κέντρο προς τα άκρα του γαλαξία να είναι γραµµική. Το γεγονός αυτό δεν µπορεί να εξηγηθεί παρά µόνο µε την υπόθεση ύπαρξης µιας µορφής ύλης που δεν αλληλεπιδρά ηλεκτροµαγνητικά ώστε να γίνει αντιληπτή, συµµετέχει όµως ϐαρυτικά στην γαλαξιακή δυναµική. Άλλες ενδείξεις για την ύπαρξη Σκοτεινής Υλης υπάρχουν από τις παρατηρήσεις του ϕαινοµένου της ϐαρυτικής εστίασης (gravitational lensing) αποµακρυσµένων πηγών Η/Μ ακτινοβολίας από τους πιο κοντινούς γαλαξίες και σµήνη γαλαξιών. Τα σύγχρονα δεδοµένα δείχνουν ότι η συνολική ύλη, ϐαρυονική και µη ϐαρυονική, που υπάρχει στο σύµπαν συνεισφέρει µόνο κατά 27% στο συνολικό ισοζύγιο ύλης και ενέργειας. Γίνονται υποθέσεις για το υπόλοιπο 73%. Σύµφωνα µε αυτές αυτό µπορεί να αποδοθεί σε µια καινούρια µορφή ενέργειας, η οποία ονοµάζεται Σκοτεινή Ενέργεια, ή ενέργεια του κενού, και η οποία µπορεί να οφείλεται στην ύπαρξη της κοσµολογικής σταθεράς. Σε αυτή την περίπτωση το κενό συµπεριφέρεται ως υλικό µε αρνητική πίεση P Λ = ρ Λ µε αποτέλεσµα να επιταχύνει το σύµπαν. Αν ληφθεί υπ όψη και η συµµετοχή της παραµέτρου µάζας Ω M προκύπει ότι η τιµή της παραµέτρου επιβράδυνσης του 14

29 σύµπαντος σήµερα είναι αρνητική, q 0 = (äa/ȧ 2 ) 0 = Ω M 2 Ω Λ < 0, όπου a ο παράγοντας κοσµικής κλίµακας. Στο πρόσφατο παρελθόν υπήρξαν δύο σηµαντικές µελέτες, από τις οµάδες SCP, (Supernova Cosmology Project) [11] και HZSST, (High z Supernova Search Team) [12] οι οποίες ϐασίστηκαν στις µετρήσεις της απόστασης ϕωτεινότητας υπερκαινοφανών αστέρων τύπου Ia οι οποίοι έχουν µεγάλη τιµή της παραµέτρου z. Η παράµετρος αυτή εκφράζει την µετατόπιση των οπτικών ϕασµάτων προς το ερυθρό. Τα συγκεκριµένα αστρονοµικά αντικείµενα έχουν το χαρακτηριστικό ότι η ϕωτεινότητά τους είναι γνωστή και σχεδόν σ- ταθερή οπότε προσφέρονται για την εξαγωγή ασφαλών συµπερασµάτων που αφορούν την κοσµολογία (standard candles). Το µετρούµενο µέγεθος είναι η απόσταση ϕωτεινότητας d L που εξαρτάται από τις κοσµολογικές παραµέτρους Ω M, Ω Λ µέσω της παραµέτρου επιβράδυνσης q 0 : d L = c H 1 0 [z + z2 2 ( 1 + Ω Λ Ω ) ] M (1.38) 2 Για την ακρίβεια ο συντελεστής του z 2 είναι ακριβώς η ποσότητα 1 q 0. Τα δεδοµένα από τους υπερκαινοφανείς αστέρες SNIa προσδιόρισαν το q 0 < 0 και επίσης συσχέτισαν τα Ω M, Ω Λ από άλλες παρατηρήσεις. Για επίπεδο σύµπαν όπως δείχνουν τα τρέχοντα δεδοµένα, η συσχέτιση αυτή δίνεται από τον εµπειρικό τύπο [13] : Ω Λ = 4 3 Ω M ± 1 6, (1.39) µε δεδοµένη την τιµή της παραµέτρου πυκνότητας ύλης στο σύµπαν Ω M = 0.27 ± και Ω Λ = 0.72 ± Η Αστροφυσική µε την ϐοήθεια της Τεχνολογίας έχει δώσει πληρέστερα από ποτέ την εικόνα του σύµπαντος στο οποίο Ϲούµε : ένα σύµπαν χωρικά επίπεδο και επιταχυνόµενο όπου κυριαρχεί η Σκοτεινή Ενέργεια και όπου το ποσοστό της Σκοτεινής Υλης υπερισχύει έναντι του ποσοστού της συνήθους ϐαρυονικής. Ερχεται λοιπόν η σειρά της Σωµατιδιακής Φυσικής να συµπληρώσει ένα από τα κοµµάτια που λείπουν από το κοσµικό παζλ : τα συστατικά από τα οποία αποτελείται η σκοτεινή ύλη και ενέργεια. Πιο συγκεκριµένα, µέσα από ϑεωρητικά πρότυπα έχει προταθεί ένα πλήθος σωµατιδίων, τα οποία ϕιλοδοξούν όχι µόνο να δώσουν απαντήσεις ως προς το είδος των σωµατιδίων που απαρτίζουν την σκοτεινή ύλη αλλά και να προβλέψουν µε ακρίβεια την περίσσειά τους σε σχέση πάντοτε µε τα σύγχρονα παρατηρησιακά δεδοµένα. Εχουν γίνει επίσης προσπάθειες, σε πιο ϑεωρητικό επίπεδο, προκειµένου να εξηγηθεί η προέλευση της κοσµολογικής σταθεράς η οποία αν και έχει µικρή τιµή, περίπου σε ανηγµένες µονάδες Planck, καταλαµβάνει όπως είδαµε συντριπτικό ποσοστό της συνολικής ύλης και ενέργειας του σύµπαντος. 15

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Ελένη Πετράκου - National Taiwan University ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Πρόγραμμα επιμόρφωσης ελλήνων εκπαιδευτικών CERN, 7 Νοεμβρίου 2014 You are here! 1929: απομάκρυνση γαλαξιών θεωρία της μεγάλης έκρηξης

Διαβάστε περισσότερα

H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ

H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ ΔΡ. ΣΠΥΡΟΣ ΒΑΣΙΛΑΚΟΣ ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ 25/11/2015 Η ΧΡΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ 96% του Σύμπαντος

Διαβάστε περισσότερα

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Η φυσική υψηλών ενεργειών µελετά το µικρόκοσµο, αλλά συνδέεται άµεσα µε το µακρόκοσµο Κοσµολογία - Μελέτη της δηµιουργίας και εξέλιξης του

Διαβάστε περισσότερα

1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη. 2 Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ. 2.1 Ο νόμος του Hubble. Διδάσκων: Θεόδωρος Ν.

1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη. 2 Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ. 2.1 Ο νόμος του Hubble. Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Α. ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη 1 light year = 0.951 10 16 m 1 AU = 1.50 10 11 m 1 = 4.85 10 6 rad 1pc 1 parsec 1AU/(1 in rad) = 3.1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Σωμάτια & Αντισωμάτια Κουάρκ & Λεπτόνια Αδρόνια & Διατήρηση κβαντικών αριθμών 16/12/2011 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωμάτια

Διαβάστε περισσότερα

Λ p + π + + Όλα τα κουάρκ και όλα τα λεπτόνια έχουν ασθενείς αλληλεπιδράσεις Τα νετρίνα έχουν ΜΟΝΟ ασθενείς αλληλεπιδράσεις

Λ p + π + + Όλα τα κουάρκ και όλα τα λεπτόνια έχουν ασθενείς αλληλεπιδράσεις Τα νετρίνα έχουν ΜΟΝΟ ασθενείς αλληλεπιδράσεις Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις έχουμε ήδη δει διάφορες αντιδράσεις που γίνονται μέσω των ασθενών αλληλεπιδράσεων π.χ. ασθενείς διασπάσεις αδρονίων + + 0 K ππ Λ pπ n pe ν π e μ v + + μ ασθενείς διασπάσεις λεπτονίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΧΕΙΜΩΝΑΣ 2004 Κ.Ν. ΓΟΥΡΓΟΥΛΙΑΤΟΣ

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΧΕΙΜΩΝΑΣ 2004 Κ.Ν. ΓΟΥΡΓΟΥΛΙΑΤΟΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΧΕΙΜΩΝΑΣ 2004 Κ.Ν. ΓΟΥΡΓΟΥΛΙΑΤΟΣ Η Μεγάλη Έκρηξη Πριν από 10-15 δις χρόνια γεννήθηκε το Σύμπαν με μια εξαιρετικά θερμή και βίαια διαδικασία Το σύμπαν

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης Η μουσική των (Υπερ)Χορδών Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης H σύγχρονη (αγοραία) αντίληψη για την δηµιουργία του Σύµπαντος (πιθανά εσφαλµένη..) E t Ενέργεια Χρόνος String Theory/M-Theory H Ιστορία της

Διαβάστε περισσότερα

www.cc.uoa.gr/~dfassoul/syghroni_fysiki.html

www.cc.uoa.gr/~dfassoul/syghroni_fysiki.html Σύγχρονη Φυσική Στοιχειώδη Σωµατίδια Σωµατίδια Επιταχυντές Ανιχνευτές Αλληλεπιδράσεις Συµµετρίες Νόµοι ιατήρησης Καθιερωµένο Πρότυπο www.cc.uoa.gr/~dfassoul/syghroni_fysiki.html Σύγχρονη Φυσική: Στοιχειώδη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A Ένα ισότοπο, το οποίο συµβολίζουµε µε Z X, έχει ατοµικό αριθµό Ζ και µαζικό αριθµό Α. Ο πυρήνας του ισοτόπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια Περιεχόµενα Διαγράµµατα Feynman Δυνητικά σωµάτια Οι τρείς αλληλεπιδράσεις Ηλεκτροµαγνητισµός Ισχυρή Ασθενής Περίληψη Κ. Παπανικόλας, Ε. Στυλιάρης, Π. Σφήκας

Διαβάστε περισσότερα

Το Καθιερωμένο Πρότυπο των Βασικών Αλληλεπιδράσεων και η Κοσμική Ακτινοβολία

Το Καθιερωμένο Πρότυπο των Βασικών Αλληλεπιδράσεων και η Κοσμική Ακτινοβολία 1 Το Καθιερωμένο Πρότυπο των Βασικών Αλληλεπιδράσεων και η Κοσμική Ακτινοβολία Εισαγωγή Στο παρόν Κεφάλαιο συνοψίζονται οι αρχές που διέπουν τον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων στο πλαίσιο του Καθιερωμένου

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΚΑΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Στοιχειώδη σωµατίδια 1) Τι ονοµάζουµε στοιχειώδη σωµατίδια και τι στοιχειώδη σωµάτια; Η συνήθης ύλη, ήταν γνωστό µέχρι το 1932 ότι αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Αδρανειακή Βαρυτική Μάζα Σύμφωνα με τον Νεύτωνα η μάζα ενός σώματος ορίζεται με δύο τρόπους: Μέσω του δευτέρου νόμου F=ma. (Αδρανειακή Μάζα). Ζυγίζοντας το σώμα και εφαρμόζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Συζευγμένα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία τα οποία κινούνται με την ταχύτητα του φωτός και παρουσιάζουν τυπική κυματική συμπεριφορά Αν τα φορτία ταλαντώνονται περιοδικά οι διαταραχές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το σύμπαν για αρχάριους

Το σύμπαν για αρχάριους Το σύμπαν για αρχάριους Μια βασική εισαγωγή στη νέα κοσμολογία Στέφανος Τραχανάς Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης www.cup.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ι Τα τρία βασικά παρατηρησιακά δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής, ΑΠΘ Εισαγωγή στην αστρονοµία Κεφάλαιο 11: Ο Θάνατος των αστέρων

Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής, ΑΠΘ Εισαγωγή στην αστρονοµία Κεφάλαιο 11: Ο Θάνατος των αστέρων Εισαγωγή στην αστρονοµία Κεφάλαιο 11: Ο Θάνατος των αστέρων Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής, ΑΠΘ 28 Νοεµβρίου 2009 Εισαγωγή στην αστρονοµία Κεφάλαιο 11: Ο Θάνατος των αστέρων Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Κοσµολογία. Το παρελθόν, το παρόν, και το µέλλον του Σύµπαντος.

Κοσµολογία. Το παρελθόν, το παρόν, και το µέλλον του Σύµπαντος. Κοσµολογία Το παρελθόν, το παρόν, και το µέλλον του Σύµπαντος. Τι είναι όµως η Κοσµολογία; Ηκοσµολογία είναι ο κλάδος της φυσικής που µελετά την δηµιουργία και την εξέλιξη του Σύµπαντος. Με τον όρο Σύµπαν

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Υπέρφωτες κινήσεις σε πίδακες αερίων Φύλλο Φοιτητή

Ενότητα 2: Υπέρφωτες κινήσεις σε πίδακες αερίων Φύλλο Φοιτητή 1 Ενότητα 2: Υπέρφωτες κινήσεις σε πίδακες αερίων Φύλλο Φοιτητή Σκοπός της ενότητας αυτής: Πολλοί ενεργοί γαλαξιακές πυρήνες έχουν πίδακες αερίων οι οποίοι εκπεµπουν σε όλο ουσιαστικά το ηλεκτροµαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ασφάλεια στον LHC Ο Μεγάλος Επιταχυντής Συγκρουόµενων εσµών Αδρονίων (Large Hadron Collider, LHC) είναι ικανός να επιτύχει ενέργειες που κανένας άλλος επιταχυντής έως σήµερα δεν έχει προσεγγίσει. Ωστόσο,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΠΥΡΗΝΙΚΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΥΡΗΝΙΚΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα επαναλαμβανόμενο περιοδικά φαινόμενο, έχει μία συχνότητα επανάληψης μέσα στο χρόνο και μία περίοδο. Επειδή κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΘΕΜΑ A ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 0 Μαΐου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Στις ερωτήσεις Α -Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 1 Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θα αποδεχτούµε ότι το παν αποτελείται από το κενό και τα άτοµα, όπως υποστήριξε ο ηµόκριτος; Αν δεχτούµε σαν αξίωµα αυτή την υπόθεση, τι είναι το κενό και

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 130 Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. α, β 2. γ 3. ε 4. β, δ 5. γ 6. α, β, γ, ε Β. Απαντήσεις στις ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού 1. η αρχαιότερη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04 Χρήσιμες ερωτήσεις Ηλεκτρομαγνητισμού, Πυρηνικής Φυσικής και Σχετικότητας για τους υποψήφιους Φυσικούς του επικείμενου διαγωνισμού του Ασέπ από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστηρία ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κοσμολογία. Μιχάλης Κορατζίνος CERN

Εισαγωγή στην Κοσμολογία. Μιχάλης Κορατζίνος CERN Εισαγωγή στην Κοσμολογία Μιχάλης Κορατζίνος CERN Θέματα συζήτησης Σε αυτή τη διάλεξη θα αναφερθώ σε ένα μικρό αριθμό από επιλεγμένα θέματα από την κοσμολογία: Το big bang Κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου

Διαβάστε περισσότερα

β - διάσπαση Δήμος Σαμψωνίδης (26-11- 2010) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

β - διάσπαση Δήμος Σαμψωνίδης (26-11- 2010) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο β - διάσπαση Δήμος Σαμψωνίδης (26-11- 2010) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο β - διάσπαση Βήτα διάσπαση (εκπομπή e + ) είναι ένας μηχανισμός αποκατάστασης της συμμετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Hideki Yukawa and the Nuclear Force Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής πυρηνική δύναμη Η πυρηνική δύναμη (ή αλληλεπίδραση νουκλεονίουνουκλεονίου, ή NN forces,

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ;

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ; ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ; 4 Μαρτίου 2015 Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας «Ωρίων» Βασίλης Αρμάος - Ανδρέας Παπαλάμπρου Αλματώδης ανάπτυξη επιστήμης και τεχνολογίας Θα φτάσουμε ποτέ στην απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορίες για τον Ήλιο:

Πληροφορίες για τον Ήλιο: Πληροφορίες για τον Ήλιο: 1) Ηλιακή σταθερά: F ʘ =1.37 kw m -2 =1.37 10 6 erg sec -1 cm -2 2) Απόσταση Γης Ήλιου: 1AU (~150 10 6 km) 3) L ʘ = 3.839 10 26 W = 3.839 10 33 erg sec -1 4) Διαστάσεις: Η διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ. Λεονάρδος Γκουβέλης. Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου

ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ. Λεονάρδος Γκουβέλης. Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ Λεονάρδος Γκουβέλης Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου Συνοπτικά: Κοσμολογικές θεωρίες ανά τους αιώνες Σύγχρονη κοσμολογική άποψη Αστρονομικές αποδείξεις της θεωρίας του Big Bang Μεγάλα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί θα μιλήσουμε: Δημιουργία Σύμπαντος Θεωρία Μεγάλης έκρηξης. Τι είναι η Κοσμική Μικροκυματική Ακτινοβολία Υποβάθρου (CMB) Που την παρατηρούμε?

Γιατί θα μιλήσουμε: Δημιουργία Σύμπαντος Θεωρία Μεγάλης έκρηξης. Τι είναι η Κοσμική Μικροκυματική Ακτινοβολία Υποβάθρου (CMB) Που την παρατηρούμε? Γιατί θα μιλήσουμε: Δημιουργία Σύμπαντος Θεωρία Μεγάλης έκρηξης Τι είναι η Κοσμική Μικροκυματική Ακτινοβολία Υποβάθρου (CMB) Που την παρατηρούμε? Ιστορία της ανακάλυψης Γιατί είναι Σημαντική για τον άνθρωπο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑ.Λ. Β ΟΜΑ ΑΣ ΦΥΣΙΚΗ I ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑ.Λ. Β ΟΜΑ ΑΣ ΦΥΣΙΚΗ I ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 ΕΠΑ.Λ. Β ΟΜΑ ΑΣ ΦΥΣΙΚΗ I ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1- και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σχετικά µε τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ. Εργαλεία Κατανόησης του Σύµπαντος. Ε. Χατζηχρήστου. CERN, 25 Αυγούστου, 2010. 26 Ιουνίου 2008 Κοσμολογία &..., Α.

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ. Εργαλεία Κατανόησης του Σύµπαντος. Ε. Χατζηχρήστου. CERN, 25 Αυγούστου, 2010. 26 Ιουνίου 2008 Κοσμολογία &..., Α. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ Εργαλεία Κατανόησης του Σύµπαντος Ε. Χατζηχρήστου CERN, 25 Αυγούστου, 2010 26 Ιουνίου 2008 Κοσμολογία &..., Α. Λαχανάς 1 ! Εισαγωγή! Διαστολή του Σύµπαντος Νόµος Hubble! Η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 1. Εισαγωγή. Η ενέργεια, όπως είναι γνωστό από τη φυσική, διαδίδεται με τρεις τρόπους: Α) δι' αγωγής Β) δια μεταφοράς Γ) δι'ακτινοβολίας Ο τελευταίος τρόπος διάδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Το Σύμπαν. (Δημιουργία, δομή και εξέλιξη) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Το Σύμπαν. (Δημιουργία, δομή και εξέλιξη) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Το Σύμπαν (Δημιουργία, δομή και εξέλιξη) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Μια σημαντική παρατήρηση Η επιστήμη αναζητά την αλήθεια μέσα από το πείραμα και την παρατήρηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Διδακτορική Διατριβή Απόστολου Γ. Τσιριγώτη (20/12/2004) Λειτουργικά χαρακτηριστικά και ανιχνευτική ικανότητα πρότυπου

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 16: Παράδοξα σωματίδια και οκταπλός δρόμος

Διάλεξη 16: Παράδοξα σωματίδια και οκταπλός δρόμος Διάλεξη 16: Παράδοξα σωματίδια και οκταπλός δρόμος Παράδοξα σωματίδια Μετά την ανακάλυψη του μεσονίου που είχε προβλέψει ο Yukawa, την ανακάλυψη των αντισωματιδίων του Dirac και την κοπιώδη αλλά αποτελεσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 204 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Πυρηνικές Δυνάμεις Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Η Ύλη στο βιβλίο: Cottingham & Greenwood 2 Κεφάλαιο 5: Ιδιότητες των Πυρήνων 5.5: Μαγνητική Διπολική Ροπή του Πυρήνα 5.7: Ηλεκτρική Τετραπολική του Πυρήνα 5.1:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 2008. Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών.

Εργαστήριο 2008. Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών. Υπολογισμός σταθεράς Hubble Εργαστήριο 2008 Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών. Εισαγωγή Το 1929, ο Edwin Hubble (με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Φώτης Νταής Καθηγητής Πανεπιστηµίου Κρήτης, Τµήµα Χηµείας Φασµατοσκοπία NMR Ο Πυρηνικός µαγνητικός Συντονισµός (NMR) είναι ένα φαινόµενο που συµβαίνει όταν πυρήνες

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής

Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής Θ1 Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα µελετηθεί το φαινόµενο της γραµµικής διαστολής και θα προσδιοριστεί ο συντελεστής γραµµικής διαστολής ορείχαλκου ή χαλκού..

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

2015 ii. iii. 8 ii. iii. 9

2015 ii. iii. 8 ii. iii. 9 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ Κ. Ν. Γουργουλιάτος ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ Αντικείμενα που εμποδίζουν την διάδοση φωτός από αυτά Πρωτοπροτάθηκε γύρω στα 1783 (John( John Michell) ως αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή ή Άσκηση η 3

Εργαστηριακή ή Άσκηση η 3 Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:09101187 Υπεύθυνος Άσκησης: Μ. Κόκκορης Συνεργάτης: Κώστας Καραϊσκος Ημερομηνία Διεξαγωγής: 9/11/005 Εργαστήριο Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών ν Σωματιδίων Εργαστηριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα