ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5"

Transcript

1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος Για χρήση των ϕοιτητών του Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστηµίου Αθηνών Να µην αναπαραχθεί από τρίτους για εµπορικούς λόγους

2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 2/ 53 Περιεχόµενα 5ης ενότητας Γενική Θεώρηση

3 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 3/ 53 Κίνηση σε δυναµικό -

4 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 4/ 53 Γενική Θεώρηση Κλασική κίνηση Η Χαµιλτωνιανή για κίνηση σε δυναµικό V( r) H clas = 1 2 µ p 2 + V( r) Η ορµή αναλύεται σε παράλληλη και κάθετη συνιστώσα ως προς το άνυσµα κίνησης

5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 53 Γενική Θεώρηση H cl = 1 2 µ ( p r 2 + ) L 2 + V( r) r 2 Για κεντρικό δυναµικό : V( r) = V(r) = { H cl, L i } = 0 = { H cl, L 2 } = 0 Η τροχιακή στροφορµή διατηρείται L L L L = σταθɛϱα Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στην τροχιακή στροφορµή.

6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 53 Γενική Θεώρηση H cl = 1 2 µ ( p r 2 + ) L 2 + V( r) r 2 Για κεντρικό δυναµικό : V( r) = V(r) = { H cl, L i } = 0 = { H cl, L 2 } = 0 Η τροχιακή στροφορµή διατηρείται L L L L = σταθɛϱα Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στην τροχιακή στροφορµή.

7 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 53 Γενική Θεώρηση H cl = 1 2 µ ( p r 2 + ) L 2 + V( r) r 2 Για κεντρικό δυναµικό : V( r) = V(r) = { H cl, L i } = 0 = { H cl, L 2 } = 0 Η τροχιακή στροφορµή διατηρείται L L L L = σταθɛϱα Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στην τροχιακή στροφορµή.

8 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 5/ 53 Γενική Θεώρηση H cl = 1 2 µ ( p r 2 + ) L 2 + V( r) r 2 Για κεντρικό δυναµικό : V( r) = V(r) = { H cl, L i } = 0 = { H cl, L 2 } = 0 Η τροχιακή στροφορµή διατηρείται L L L L = σταθɛϱα Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στην τροχιακή στροφορµή.

9 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 6/ 53 Γενική Θεώρηση

10 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 7/ 53 Γενική Θεώρηση Αν το δυναµικό ( σύστηµα ) είναι συµµετρικό σε περιστροφή γύρω από έναν άξονα n n n { H Hcl, n L } = 0 ιατηρείται η προβολή της τροχιακής στροφορµής στον άξονα n n n

11 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 53 Γενική Θεώρηση Κβαντική κίνηση Το κβαντικό ανάλογο της κλασικής ακτινικής ορµής p r = p r/r είναι ο Ερµιτιανός τελεστής ˆp r 1 ( ˆp ˆr + ˆr ) ˆp 2 r r Μπορεί να αποδειχθεί ( άσκηση! ) ότι σε σφαιρικές συντεταγµένες παίρνει την µορφή ( ˆp r = i r + 1 ) r Ενώ το τετράγωνο αυτού έυκολα ϐρίσκεται ότι έχει την ακόλουθη µορφή ( ˆp r 2 = 2 2 r + 2 ) ( ) 1 = r r r r r 2 Η δεύτερη γραφή είναι ισοδύναµη µε την πρώτη ( αποδείξτε το! ) Εποµένως το τετράγωνο του τελεστή της ορµής όπως έχει δοθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο ( σύγκρινε µε την έκφραση της σελίδας 114 ) είναι ˆp 2 = ˆp r 2 ˆL 2 + r 2

12 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 53 Γενική Θεώρηση Κβαντική κίνηση Το κβαντικό ανάλογο της κλασικής ακτινικής ορµής p r = p r/r είναι ο Ερµιτιανός τελεστής ˆp r 1 ( ˆp ˆr + ˆr ) ˆp 2 r r Μπορεί να αποδειχθεί ( άσκηση! ) ότι σε σφαιρικές συντεταγµένες παίρνει την µορφή ( ˆp r = i r + 1 ) r Ενώ το τετράγωνο αυτού έυκολα ϐρίσκεται ότι έχει την ακόλουθη µορφή ( ˆp r 2 = 2 2 r + 2 ) ( ) 1 = r r r r r 2 Η δεύτερη γραφή είναι ισοδύναµη µε την πρώτη ( αποδείξτε το! ) Εποµένως το τετράγωνο του τελεστή της ορµής όπως έχει δοθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο ( σύγκρινε µε την έκφραση της σελίδας 114 ) είναι ˆp 2 = ˆp r 2 ˆL 2 + r 2

13 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 8/ 53 Γενική Θεώρηση Κβαντική κίνηση Το κβαντικό ανάλογο της κλασικής ακτινικής ορµής p r = p r/r είναι ο Ερµιτιανός τελεστής ˆp r 1 ( ˆp ˆr + ˆr ) ˆp 2 r r Μπορεί να αποδειχθεί ( άσκηση! ) ότι σε σφαιρικές συντεταγµένες παίρνει την µορφή ( ˆp r = i r + 1 ) r Ενώ το τετράγωνο αυτού έυκολα ϐρίσκεται ότι έχει την ακόλουθη µορφή ( ˆp r 2 = 2 2 r + 2 ) ( ) 1 = r r r r r 2 Η δεύτερη γραφή είναι ισοδύναµη µε την πρώτη ( αποδείξτε το! ) Εποµένως το τετράγωνο του τελεστή της ορµής όπως έχει δοθεί στο προηγούµενο κεφάλαιο ( σύγκρινε µε την έκφραση της σελίδας 114 ) είναι ˆp 2 = ˆp r 2 ˆL 2 + r 2

14 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 53 Γενική Θεώρηση Η Κβαντική Χαµιλτωνιανή είναι Ĥ = 1 2 µ ˆp 2 + V(ˆr) = 2 2 µ 2 + V( r) και σύµφωνα µε τα προηγούµενα µπορεί να τεθεί στην µορφή = Ĥ = 1 2 µ ( ˆL ) ˆp 2 2 r + + V( r) r 2 Παρατηρούµε ότι η Κβαντική Χαµιλτωνιανή µπορεί να γραφεί σε µορφή ανάλογη της κλασικής Χαµιλτωνιανής της σελίδας 129!

15 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 9/ 53 Γενική Θεώρηση Η Κβαντική Χαµιλτωνιανή είναι Ĥ = 1 2 µ ˆp 2 + V(ˆr) = 2 2 µ 2 + V( r) και σύµφωνα µε τα προηγούµενα µπορεί να τεθεί στην µορφή = Ĥ = 1 2 µ ( ˆL ) ˆp 2 2 r + + V( r) r 2 Παρατηρούµε ότι η Κβαντική Χαµιλτωνιανή µπορεί να γραφεί σε µορφή ανάλογη της κλασικής Χαµιλτωνιανής της σελίδας 129!

16 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 53 Γενική Θεώρηση Για κεντρικό δυναµικό η Χαµιλτωνιανή µετατίθεται µε την στροφορµή [ ] Ĥ, ˆL k = 0, για k = x, y, z Οι τελεστές Ĥ, ˆL 2 και µόνο µία συνιστώσα, έστω η ˆL z, µετατίθενται [ ] Ĥ, ˆL 2 = [ ] [ ] Ĥ, ˆL z = ˆL 2, ˆL z = 0 = οι τελεστές Ĥ, ˆL 2, ˆL z έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις ψ E l m ( r ) = R ( r ) Y l m (θ, φ) Οι καταστάσεις αυτές έχουν καθορισµένη ενέργεια E και καθορισµένη στροφορµή που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθµούς l, m! Το µέτρο της τροχιακής στροφορµής είναι l(l + 1) και η προβολή της στον άξονα - z ίση µε m

17 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 53 Γενική Θεώρηση Για κεντρικό δυναµικό η Χαµιλτωνιανή µετατίθεται µε την στροφορµή [ ] Ĥ, ˆL k = 0, για k = x, y, z Οι τελεστές Ĥ, ˆL 2 και µόνο µία συνιστώσα, έστω η ˆL z, µετατίθενται [ ] Ĥ, ˆL 2 = [ ] [ ] Ĥ, ˆL z = ˆL 2, ˆL z = 0 = οι τελεστές Ĥ, ˆL 2, ˆL z έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις ψ E l m ( r ) = R ( r ) Y l m (θ, φ) Οι καταστάσεις αυτές έχουν καθορισµένη ενέργεια E και καθορισµένη στροφορµή που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθµούς l, m! Το µέτρο της τροχιακής στροφορµής είναι l(l + 1) και η προβολή της στον άξονα - z ίση µε m

18 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 53 Γενική Θεώρηση Για κεντρικό δυναµικό η Χαµιλτωνιανή µετατίθεται µε την στροφορµή [ ] Ĥ, ˆL k = 0, για k = x, y, z Οι τελεστές Ĥ, ˆL 2 και µόνο µία συνιστώσα, έστω η ˆL z, µετατίθενται [ ] Ĥ, ˆL 2 = [ ] [ ] Ĥ, ˆL z = ˆL 2, ˆL z = 0 = οι τελεστές Ĥ, ˆL 2, ˆL z έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις ψ E l m ( r ) = R ( r ) Y l m (θ, φ) Οι καταστάσεις αυτές έχουν καθορισµένη ενέργεια E και καθορισµένη στροφορµή που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθµούς l, m! Το µέτρο της τροχιακής στροφορµής είναι l(l + 1) και η προβολή της στον άξονα - z ίση µε m

19 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 10/ 53 Γενική Θεώρηση Για κεντρικό δυναµικό η Χαµιλτωνιανή µετατίθεται µε την στροφορµή [ ] Ĥ, ˆL k = 0, για k = x, y, z Οι τελεστές Ĥ, ˆL 2 και µόνο µία συνιστώσα, έστω η ˆL z, µετατίθενται [ ] Ĥ, ˆL 2 = [ ] [ ] Ĥ, ˆL z = ˆL 2, ˆL z = 0 = οι τελεστές Ĥ, ˆL 2, ˆL z έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις ψ E l m ( r ) = R ( r ) Y l m (θ, φ) Οι καταστάσεις αυτές έχουν καθορισµένη ενέργεια E και καθορισµένη στροφορµή που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθµούς l, m! Το µέτρο της τροχιακής στροφορµής είναι l(l + 1) και η προβολή της στον άξονα - z ίση µε m

20 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 11/ 53 Γενική Θεώρηση Από την εξίσωση ιδιοτιµών της ενέργειας Ĥ ψ = E ψ = Η ακτινική εξίσωση Schrödinger ( 2 R + 2r ) 2 µ R ( ) 2 l (l + 1) + + V(r) 2 µ r R = E R 2 η οποία για την συνάρτηση u(r) r R(r) ( όπως έχει διατυπωθεί και στην σελίδα 115 ) 2 2 µ u + ( ) 2 l (l + 1) + V(r) 2 µ r u = E u 2

21 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 12/ 53 Γενική Θεώρηση Φυγοκεντρικό υναµικό Στην ακτινική εξίσωση Schrödinger εκτός του πραγµατικού δυναµικού V(r) συνεισφέρει και ο φυγοκεντρικός όρος 2 l (l + 1) 2 µ r 2 Απωστικό δυναµικό ( θετικό ), αυξάνει όταν το σωµατίδιο πλησιάζει το κέντρο τη δύναµης, δηλαδή το σηµείο r = 0, και είναι τόσο µεγαλύτερο όσο µεγαλύτερη είναι η τροχιακή τροφορµή του σωµατιδίου! Το ολικό δυναµικό U(r) = 2 l (l + 1) + V(r) 2 µ r 2 ονοµάζεται και ενεργό δυναµικό.

22 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 13/ 53 Γενική Θεώρηση Ακτινική πιθανότητα Η φυσική σηµασία της u(r) είναι αυτή του πλάτους ακτινικής πιθανότητας u(r) 2 d r = P ( r, r + d r ) P ( r, r + d r ) = Πιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο σε σφαιρικό φλοιό µε ακτίνες r και r + d r. Ο τελεστής της ακτινικής ορµής ˆp r είναι αυτοσυζυγής, ˆp r u(0) = 0 = ˆp r. Από αυτό προκύπτει Το πλάτος της ακτινικής πιθανότητας µηδενίζεται στην αρχή r = 0.

23 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 14/ 53 Γενική Θεώρηση Μονοδιάστατο ανάλογο της ακτινικής εξίσωσης 2 2 µ u + U(r) u = E u Με την αντιστοιχία r = x u(r) = ψ(x) Το πρόβληµα γίνεται µαθηµατικά ισοδύναµο µε κίνηση σε µονοδιάστατο δυναµικό U (x) όταν x > µ ψ + U (x) ψ = E ψ

24 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 15/ 53 Γενική Θεώρηση Η συνθήκη u(0) = 0 αντιστοιχεί στην ψ(0) = 0 Αυτό εξασφαλίζεται όταν το δυναµικό είναι απειρό για x < 0.

25 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 16/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός του ενεργειακού φάσµατος Η ακτινική εξίσωση δεν εξαρτάται από την τρίτη συνιστώσα της τροχιακής στροφορµής. Εξαρτάται µόνο από την ενέργεια και τον κβαντικό αριθµό της ολικής στροφορµής l Το ακτινικό µέρος εξαρτάται από την ενέργεια και τον κβαντικό αριθµό της ολικής τροχιακής στροφορµής l R(r) = R E l (r) Για την ίδια ενέργεια και την ίδια ολική τροχιακή στροφορµή υπάρχουν 2l + 1 ανεξάρτητες καταστάσεις που αντιστοιχούν στις τιµές L z = m όπου m = l, l + 1,...l Eκϕυλισµoς 2 l + 1

26 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 17/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E, στροφορµής l και L z στροφορµής ίση µε m συνιστώσας της τροχιακής ψ(r, θ, φ) = R E l (r) Y l m (θ, φ) Οποιοσδήποτε γραµµικός συνδιασµός αυτών χαρακτηρίζει κατάσταση µε ενέργεια E, στροφορµή l αλλά δεν είναι ιδιοσυνάρτηση του L z! ψ(r, θ, φ) = R E l (r) m c m Y l m (θ, φ) Η πιθανότητα να µετρηθεί τρίτη συνιστώσα m είναι P m = c m 2 m cm 2 Με αυτούς τους γραµµικούς συνδιασµούς µπορεί κανείς να κατασκευάσει καταστάσεις µε ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, π.χ καταστάσεις µε ενέργεια E τροχιακή στροφορµή l = 1 που είναι ιδιοκαταστάσεις των συνιστωσών L x η L y

27 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 17/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E, στροφορµής l και L z στροφορµής ίση µε m συνιστώσας της τροχιακής ψ(r, θ, φ) = R E l (r) Y l m (θ, φ) Οποιοσδήποτε γραµµικός συνδιασµός αυτών χαρακτηρίζει κατάσταση µε ενέργεια E, στροφορµή l αλλά δεν είναι ιδιοσυνάρτηση του L z! ψ(r, θ, φ) = R E l (r) m c m Y l m (θ, φ) Η πιθανότητα να µετρηθεί τρίτη συνιστώσα m είναι P m = c m 2 m cm 2 Με αυτούς τους γραµµικούς συνδιασµούς µπορεί κανείς να κατασκευάσει καταστάσεις µε ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, π.χ καταστάσεις µε ενέργεια E τροχιακή στροφορµή l = 1 που είναι ιδιοκαταστάσεις των συνιστωσών L x η L y

28 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 17/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E, στροφορµής l και L z στροφορµής ίση µε m συνιστώσας της τροχιακής ψ(r, θ, φ) = R E l (r) Y l m (θ, φ) Οποιοσδήποτε γραµµικός συνδιασµός αυτών χαρακτηρίζει κατάσταση µε ενέργεια E, στροφορµή l αλλά δεν είναι ιδιοσυνάρτηση του L z! ψ(r, θ, φ) = R E l (r) m c m Y l m (θ, φ) Η πιθανότητα να µετρηθεί τρίτη συνιστώσα m είναι P m = c m 2 m cm 2 Με αυτούς τους γραµµικούς συνδιασµούς µπορεί κανείς να κατασκευάσει καταστάσεις µε ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, π.χ καταστάσεις µε ενέργεια E τροχιακή στροφορµή l = 1 που είναι ιδιοκαταστάσεις των συνιστωσών L x η L y

29 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 18/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E και στροφορµής µε l = 1 και L z = 0 ψ(r, θ, φ) = R E 1(r) Y 1 0(θ, φ)

30 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 19/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E και στροφορµής µε l = 1 και L x = 0 ψ(r, θ, φ) = R Y E 1(r) 1 1(θ, φ) Y 1 1(θ, φ) 2

31 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 20/ 53 Γενική Θεώρηση Ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E και στροφορµής µε l = 1 και L y = 0 ψ(r, θ, φ) = R Y E 1(r) 1 1(θ, φ) + Y 1 1(θ, φ) 2

32 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 21/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός και συµµετρία

33 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 22/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός και συµµετρία περιστροφών

34 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 23/ 53 Γενική Θεώρηση Εκφυλισµός µε µεγαλύτερη συµµετρία

35 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 24/ 53 Γενική Θεώρηση Μεγαλύτερη συµµετρία Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες Μεγαλύτερος εκφυλισµός Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την περιστροφική συµµετρία του! Αυτό σηµαίνει ότι η συµµετρία του συστήµατος είναι µεγαλύτερη της συµµετρίας περιστροφής και εποµένως αναµένει κανείς ότι εκτός της τροχιακης του στροφορµής και άλλες ποσότητες διατηρούνται!

36 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 24/ 53 Γενική Θεώρηση Μεγαλύτερη συµµετρία Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες Μεγαλύτερος εκφυλισµός Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την περιστροφική συµµετρία του! Αυτό σηµαίνει ότι η συµµετρία του συστήµατος είναι µεγαλύτερη της συµµετρίας περιστροφής και εποµένως αναµένει κανείς ότι εκτός της τροχιακης του στροφορµής και άλλες ποσότητες διατηρούνται!

37 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 25/ 53 Υδρογονοειδή άτοµα - Ατοµο του Υδρογόνου

38 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 26/ 53 Το δυναµικό εξαρτάται από την σχετική απόσταση : Ψ( r N, r e) = Φ ( r CM) ψ( r ) Η ολική ενέργεια : E tot = E CM + E E η ενέργεια δέσµευσης του ηλεκτρονίου.

39 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 27/ 53 Για άτοµο Υδρογονοειδούς 2 µ ( R E l + 2 ( R 2 E l r ) + l (l + 1) Z ) e2 R 2 µ r 2 E l r 2 = E R E l µ είναι η ανηγµένη µάζα 1 µ = 1 + m e 1 M πυϱηνα Το ενεργό δυναµικό του προβλήµατος είναι U(r) = 2 l (l + 1) Z e 2 2 µ r 2 r που µηδενίζεται στο σηµείο r 0 = 2 l (l + 1) µ e 2 2 Z

40 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 28/ 53

41 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 53 Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα για r > r 0 Η τιµή του r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. είναι ανάλογη της σταθεράς µήκους a 0 2 µ e 2 2 m e e 2 που καθορίζει την ατοµική κλίµακα. Η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου και η σταθερά a 0 είναι πολύ κοντά στην ακτίνα Bohr µε τιµή περίπου cm. Το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού είναι στο σηµείο r min = 2 r 0 µε τιµή ελαχίστου U min = Z 2 l (l + 1) µ e 4 Z 2 = 13, l (l + 1) ev Το ελάχιστο είναι για µηδενική στροφορµή!

42 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 53 Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα για r > r 0 Η τιµή του r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. είναι ανάλογη της σταθεράς µήκους a 0 2 µ e 2 2 m e e 2 που καθορίζει την ατοµική κλίµακα. Η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου και η σταθερά a 0 είναι πολύ κοντά στην ακτίνα Bohr µε τιµή περίπου cm. Το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού είναι στο σηµείο r min = 2 r 0 µε τιµή ελαχίστου U min = Z 2 l (l + 1) µ e 4 Z 2 = 13, l (l + 1) ev Το ελάχιστο είναι για µηδενική στροφορµή!

43 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 53 Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα για r > r 0 Η τιµή του r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. είναι ανάλογη της σταθεράς µήκους a 0 2 µ e 2 2 m e e 2 που καθορίζει την ατοµική κλίµακα. Η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου και η σταθερά a 0 είναι πολύ κοντά στην ακτίνα Bohr µε τιµή περίπου cm. Το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού είναι στο σηµείο r min = 2 r 0 µε τιµή ελαχίστου U min = Z 2 l (l + 1) µ e 4 Z 2 = 13, l (l + 1) ev Το ελάχιστο είναι για µηδενική στροφορµή!

44 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 53 Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα για r > r 0 Η τιµή του r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. είναι ανάλογη της σταθεράς µήκους a 0 2 µ e 2 2 m e e 2 που καθορίζει την ατοµική κλίµακα. Η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου και η σταθερά a 0 είναι πολύ κοντά στην ακτίνα Bohr µε τιµή περίπου cm. Το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού είναι στο σηµείο r min = 2 r 0 µε τιµή ελαχίστου U min = Z 2 l (l + 1) µ e 4 Z 2 = 13, l (l + 1) ev Το ελάχιστο είναι για µηδενική στροφορµή!

45 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 29/ 53 Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα για r > r 0 Η τιµή του r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. είναι ανάλογη της σταθεράς µήκους a 0 2 µ e 2 2 m e e 2 που καθορίζει την ατοµική κλίµακα. Η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου και η σταθερά a 0 είναι πολύ κοντά στην ακτίνα Bohr µε τιµή περίπου cm. Το ελάχιστο του ενεργού δυναµικού είναι στο σηµείο r min = 2 r 0 µε τιµή ελαχίστου U min = Z 2 l (l + 1) µ e 4 Z 2 = 13, l (l + 1) ev Το ελάχιστο είναι για µηδενική στροφορµή!

46 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 30/ 53 Η συνάρτηση u E l = r R E l (r) ικανοποιεί την εξίσωση 2 2 µ u E l + U(r) u E l = E u E l Το ενεργό δυναµικό έχει αρνητικό ελάχιστο και µηδενίζεται όταν r +. Οι δέσµιες ενέργειες, αν υπάρχουν, ϑα είναι στο διάστηµα U min E 0 άρα ϑα είναι της τάξης των ολίγων ev όταν l 0.

47 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 31/ 53 Απλοποίηση της ακτινικής εξίσωσης Η ακτινική εξίσωση απλουστεύεται αν ορίσουµε την αδιάστατη µεταβλητή ρ = k r Η σταθερά k, µε µονάδες αντιστρόφου µήκους, επιλέγεται ως k = ( ) 8 µ E 1/2 2 Η ακτινική εξίσωση γίνεται ( d 2 u(ρ) l (l + 1) + + λ d ρ 2 ρ 2 ρ 1 ) u = 0 4 όπου u(ρ) είναι η συνάρτηση u E l (r) µε την αντικατάσταση r = ρ/k και ( µ c 2 λ Z α 2 E ) 1/2

48 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 32/ 53 α είναι η σταθερά της λεπτής υφής, α e 2 /( c) = 1 137, 059 Η ενέργεια ως συνάρτηση της παραµέτρου λ E = Z 2 α 2 µ c 2 λ 2 2 = 13, 6 Z 2 λ 2 ev Η επίλυση της ακτινικής εξίσωσης προσδιορίζει τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες υπάρχουν δέσµιες ενέργειες και εποµένως και τις αντίστοιχες τιµές της ενέργειας.

49 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 32/ 53 α είναι η σταθερά της λεπτής υφής, α e 2 /( c) = 1 137, 059 Η ενέργεια ως συνάρτηση της παραµέτρου λ E = Z 2 α 2 µ c 2 λ 2 2 = 13, 6 Z 2 λ 2 ev Η επίλυση της ακτινικής εξίσωσης προσδιορίζει τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες υπάρχουν δέσµιες ενέργειες και εποµένως και τις αντίστοιχες τιµές της ενέργειας.

50 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 32/ 53 α είναι η σταθερά της λεπτής υφής, α e 2 /( c) = 1 137, 059 Η ενέργεια ως συνάρτηση της παραµέτρου λ E = Z 2 α 2 µ c 2 λ 2 2 = 13, 6 Z 2 λ 2 ev Η επίλυση της ακτινικής εξίσωσης προσδιορίζει τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες υπάρχουν δέσµιες ενέργειες και εποµένως και τις αντίστοιχες τιµές της ενέργειας.

51 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 32/ 53 α είναι η σταθερά της λεπτής υφής, α e 2 /( c) = 1 137, 059 Η ενέργεια ως συνάρτηση της παραµέτρου λ E = Z 2 α 2 µ c 2 λ 2 2 = 13, 6 Z 2 λ 2 ev Η επίλυση της ακτινικής εξίσωσης προσδιορίζει τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες υπάρχουν δέσµιες ενέργειες και εποµένως και τις αντίστοιχες τιµές της ενέργειας.

52 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 33/ 53 Ασυµπτωτικές λύσεις Για την επίλυση της ακτινικής εξίσωσης ϑα αναζητήσουµε πρώτα την συµπεριφορά του ακτινικού µέρους για µικρές και για µεγάλες τιµές του ρ. Για µικρές τιµές της ρ ο ϕυγοκεντρικός όρος l (l + 1)/ρ 2 λ/ρ, 1/4. Οι ανεξάρτητες λύσεις για µικρά ρ κυριαρχεί έναντι των u(ρ) ρ l+1, ρ l, ρ << 1 Μόνο η πρώτη είναι συµβατή µε την απαίτηση του µηδενισµού της u(0). Για µεγάλες τιµές του ρ ο όρος 1/4 κυριαρχεί έναντι των άλλων δύο. Οι λύσεις σε αυτήν την περιοχή είναι u(ρ) exp ( ρ/2), exp (+ρ/2), ρ >> 1 Μόνο αυτή µε τον αρνητικό εκθέτη µηδενίζεται για r + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση.

53 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 34/ 53 Η ασυµπτωτική συµπεριφορά υποδεικνύει να γράψουµε την u ως u = ρ l+1 e ρ 2 H(ρ) Η H(ρ) πρέπει να είναι µη µηδενική όταν ρ = 0, έτσι ώστε η u να συµπεριφέρεται ως ρ l+1 για µικρές τιµές του ρ, Η H(ρ) για µεγάλες τιµές του ρ ϑα πρέπει να συµπεριφέρεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ο µηδενισµός της u για ρ +. Θέτωντας αυτήν στην.ε. εξίσωση του u προκύπτει ( H 2 (l + 1) + ρ 1 ) H + λ l 1 H = 0 ρ η οποία επιλύεται εύκολα αν η H αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά!

54 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 35/ 53 Επίλυση της εξίσωσης - Ενεργειακό φάσµα H(ρ) = α k ρ k k=0 Ο συντελεστής α 0 ϑα πρέπει να είναι µη µηδενικός γιατί H(0) 0. Από την.ε. προσδιορίζεται η ακόλουθη σχέση µεταξύ των συντελεστών k + l + 1 λ α k+1 = α k (k + 1) (k l) Για µεγάλους ακεραίους k η αναδροµική σχέση γίνεται α k+1 = αk k όπως συµβαίνει στους συντελεστές του e ρ. Αρα η H συµπεριφέρεται ως H e ρ u = ρ l+1 e ρ/2 H(ρ) απειρίζεται για ρ = +! και η ΑΝ ΣΥΝΕΒΑΙΝΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ ΕΝ ΘΑ ΥΠΗΡΧΑΝ Υ ΡΟΓΟΝΟΕΙ Η ΑΤΟΜΑ!

55 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 35/ 53 Επίλυση της εξίσωσης - Ενεργειακό φάσµα H(ρ) = α k ρ k k=0 Ο συντελεστής α 0 ϑα πρέπει να είναι µη µηδενικός γιατί H(0) 0. Από την.ε. προσδιορίζεται η ακόλουθη σχέση µεταξύ των συντελεστών k + l + 1 λ α k+1 = α k (k + 1) (k l) Για µεγάλους ακεραίους k η αναδροµική σχέση γίνεται α k+1 = αk k όπως συµβαίνει στους συντελεστές του e ρ. Αρα η H συµπεριφέρεται ως H e ρ u = ρ l+1 e ρ/2 H(ρ) απειρίζεται για ρ = +! και η ΑΝ ΣΥΝΕΒΑΙΝΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ ΕΝ ΘΑ ΥΠΗΡΧΑΝ Υ ΡΟΓΟΝΟΕΙ Η ΑΤΟΜΑ!

56 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 35/ 53 Επίλυση της εξίσωσης - Ενεργειακό φάσµα H(ρ) = α k ρ k k=0 Ο συντελεστής α 0 ϑα πρέπει να είναι µη µηδενικός γιατί H(0) 0. Από την.ε. προσδιορίζεται η ακόλουθη σχέση µεταξύ των συντελεστών k + l + 1 λ α k+1 = α k (k + 1) (k l) Για µεγάλους ακεραίους k η αναδροµική σχέση γίνεται α k+1 = αk k όπως συµβαίνει στους συντελεστές του e ρ. Αρα η H συµπεριφέρεται ως H e ρ u = ρ l+1 e ρ/2 H(ρ) απειρίζεται για ρ = +! και η ΑΝ ΣΥΝΕΒΑΙΝΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ ΕΝ ΘΑ ΥΠΗΡΧΑΝ Υ ΡΟΓΟΝΟΕΙ Η ΑΤΟΜΑ!

57 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 35/ 53 Επίλυση της εξίσωσης - Ενεργειακό φάσµα H(ρ) = α k ρ k k=0 Ο συντελεστής α 0 ϑα πρέπει να είναι µη µηδενικός γιατί H(0) 0. Από την.ε. προσδιορίζεται η ακόλουθη σχέση µεταξύ των συντελεστών k + l + 1 λ α k+1 = α k (k + 1) (k l) Για µεγάλους ακεραίους k η αναδροµική σχέση γίνεται α k+1 = αk k όπως συµβαίνει στους συντελεστές του e ρ. Αρα η H συµπεριφέρεται ως H e ρ u = ρ l+1 e ρ/2 H(ρ) απειρίζεται για ρ = +! και η ΑΝ ΣΥΝΕΒΑΙΝΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ ΕΝ ΘΑ ΥΠΗΡΧΑΝ Υ ΡΟΓΟΝΟΕΙ Η ΑΤΟΜΑ!

58 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 53 Αν όµως η σταθερά λ έχει τιµή λ = l n r όπου n r ένας ακέραιος και ϑετικός αριθµός, n r = 0, 1, 2,, τότε όλοι οι συντελεστές α k µε δείκτες k n r + 1 µηδενίζονται. Τότε η συνάρτηση H(ρ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού n r και δεν αυξάνει εκθετικά! Εποµένως = Στην περίπτωση αυτή η u(ρ) µηδενίζεται για ρ = + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση! Εποµένως µόνο για ακέραιες τιµές της λ = n υπάρχουν δέσµιες καταστάσεις, όπου n l n r Η ενέργεια παίρνει τιµές E n = Z 2 α 2 µ c 2 n 2 2, n = 1, 2, 3,... Ο n καλείται κύριος κβαντικός αριθµός. Ο n r που χαρακτηρίζει τον ϐαθµό του πολυωνύµου H ονοµάζεται ακτινικός κβαντικός αριθµός.

59 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 36/ 53 Αν όµως η σταθερά λ έχει τιµή λ = l n r όπου n r ένας ακέραιος και ϑετικός αριθµός, n r = 0, 1, 2,, τότε όλοι οι συντελεστές α k µε δείκτες k n r + 1 µηδενίζονται. Τότε η συνάρτηση H(ρ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού n r και δεν αυξάνει εκθετικά! Εποµένως = Στην περίπτωση αυτή η u(ρ) µηδενίζεται για ρ = + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση! Εποµένως µόνο για ακέραιες τιµές της λ = n υπάρχουν δέσµιες καταστάσεις, όπου n l n r Η ενέργεια παίρνει τιµές E n = Z 2 α 2 µ c 2 n 2 2, n = 1, 2, 3,... Ο n καλείται κύριος κβαντικός αριθµός. Ο n r που χαρακτηρίζει τον ϐαθµό του πολυωνύµου H ονοµάζεται ακτινικός κβαντικός αριθµός.

60 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 53 Για δεδοµένη ενέργεια En E n το άθροισµα l + n r είναι πάντα n 1 l n 1 n r n 1 n 2 n 3 0 Σε κάθε τιµή του l αντιστοιχουν 2 l + 1 τιµές της τρίτης συνιστώσας της τροχιακής στροφορµής, m = l, l + 1,... l 1, l. Αριθµός καταστάσεων για δεδοµένη ενέργεια n 1 ( 2 l + 1 ) = n 2 l = 0 Για κάθε ενέργεια υπάρχουν n 2 διαφορετικές καταστάσεις. Ο ϐαθµός του εκφυλισµού των ατόµων των Υδρογονοειδών είναι µεγαλύτερος από αυτόν που αναµένεται για ένα κεντρικό δυναµικό!

61 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 53 Για δεδοµένη ενέργεια En E n το άθροισµα l + n r είναι πάντα n 1 l n 1 n r n 1 n 2 n 3 0 Σε κάθε τιµή του l αντιστοιχουν 2 l + 1 τιµές της τρίτης συνιστώσας της τροχιακής στροφορµής, m = l, l + 1,... l 1, l. Αριθµός καταστάσεων για δεδοµένη ενέργεια n 1 ( 2 l + 1 ) = n 2 l = 0 Για κάθε ενέργεια υπάρχουν n 2 διαφορετικές καταστάσεις. Ο ϐαθµός του εκφυλισµού των ατόµων των Υδρογονοειδών είναι µεγαλύτερος από αυτόν που αναµένεται για ένα κεντρικό δυναµικό!

62 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 37/ 53 Για δεδοµένη ενέργεια En E n το άθροισµα l + n r είναι πάντα n 1 l n 1 n r n 1 n 2 n 3 0 Σε κάθε τιµή του l αντιστοιχουν 2 l + 1 τιµές της τρίτης συνιστώσας της τροχιακής στροφορµής, m = l, l + 1,... l 1, l. Αριθµός καταστάσεων για δεδοµένη ενέργεια n 1 ( 2 l + 1 ) = n 2 l = 0 Για κάθε ενέργεια υπάρχουν n 2 διαφορετικές καταστάσεις. Ο ϐαθµός του εκφυλισµού των ατόµων των Υδρογονοειδών είναι µεγαλύτερος από αυτόν που αναµένεται για ένα κεντρικό δυναµικό!

63 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 38/ 53 Ατοµο του Υδρογόνου, Z = 1 n l n r Αρ. καταστάσεων E n ev = ev = ev = ev s = sharp p = principal d = diffuse f = fundamental E n

64 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 39/ 53

65 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 40/ 53

66 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 41/ 53 Οι κυµατικές συναρτήσεις των Υδρογονοειδών ατόµων Το ακτινικό µέρος έχει την γενική µορφή R(ρ) = ρ l e ρ 2 H(ρ) και εξαρτάται από τους κβαντικούς αριθµούς n και l. Η αδιάστατη µεταβλητή ρ συνδέεται µε την r µε την σχέση ( ) 8 µ E 1/2 ρ = k r, k = 2 Η σταθερά n εξαρτάται από την ενέργεια και για την E n στάθµη έχει τιµή k = 2 Z/n a 0 οπότε ρ = 1 n 2 Z r a 0 Για δεδοµένους κβαντικούς αριθµούς n και l, όπου l n 1, η συνάρτηση H(ρ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού n r = n l 1 και στην ϐιβλιογραφία αναφέρεται ως πολυώνυµο Laguerre L 2l+1 (ρ) n l 1

67 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 42/ 53 ( ) Z 3/2 ψ nlm (r, θ, φ) = N lm [ ρ l e ρ 2 L 2l+1 (ρ) ] n l 1 Y lm(θ, φ) a 0 ρ = 2 Z r, ( a 0 2 a 0 n µ e ) 2 Η σταθερά νορµαλισµού N lm = 2 [ ] (n l 1)! 1/2 n 2 ((n + l)!) 3 Στην µαθηµατική ϐιβλιογραφία τα πολυώνυµα Laguerre L p k (ρ), ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση ( ) L p p + 1 k + 1 L p k + k ρ ρ L p k = 0

68 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 42/ 53 ( ) Z 3/2 ψ nlm (r, θ, φ) = N lm [ ρ l e ρ 2 L 2l+1 (ρ) ] n l 1 Y lm(θ, φ) a 0 ρ = 2 Z r, ( a 0 2 a 0 n µ e ) 2 Η σταθερά νορµαλισµού N lm = 2 [ ] (n l 1)! 1/2 n 2 ((n + l)!) 3 Στην µαθηµατική ϐιβλιογραφία τα πολυώνυµα Laguerre L p k (ρ), ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση ( ) L p p + 1 k + 1 L p k + k ρ ρ L p k = 0

69 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 43/ 53 Ατοµο του Υδρογόνου - Οι καταστάσεις s, p Θεµελειώδης κατάσταση 1s : ψ 100 = (π a 3 o ) 1/2 e r/ao Η πρώτη διεγερµένη στάθµη περιλαµβάνει τις καταστάσεις 2s, 2p Κατάσταση 2s : ( ψ 200 = (32 π a 3 o ) 1/2 2 r ) a o e r/2ao Καταστάσεις 2p : ( ) ψ 210 = (32 π a 3 o ) 1/2 r a o e r/2ao cos θ ( ) ψ 21,±1 = (64 π a 3 o ) 1/2 r a o e r/2ao sin θ e ±i φ

70 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 44/ 53

71 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 45/ 53 Ακτινική πιθανότητα της 1s και 2s Κατάσταση 1s : Κατάσταση 2s : P 1(r) = 4 a 0 3 r 2 e 2 r/a 0 P 2(r) = 1 ( 8 a 3 r 2 2 r ) 2 e r/a 0 0 a 0

72 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 46/ 53

73 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 47/ 53 Ενεργειακός εκφυλισµός του Υδρογόνου Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την συµµετρία του σε στροφές! Μεγαλύτερος εκφυλισµός = Μεγαλύτερη συµµετρία = Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες εκτός της τροχιακής στροφορµής! Η εύρεση των διατηρουµένων µεγεθών θα καθορίσει και την συµµετρία του συστήµατος!

74 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 47/ 53 Ενεργειακός εκφυλισµός του Υδρογόνου Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την συµµετρία του σε στροφές! Μεγαλύτερος εκφυλισµός = Μεγαλύτερη συµµετρία = Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες εκτός της τροχιακής στροφορµής! Η εύρεση των διατηρουµένων µεγεθών θα καθορίσει και την συµµετρία του συστήµατος!

75 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 47/ 53 Ενεργειακός εκφυλισµός του Υδρογόνου Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την συµµετρία του σε στροφές! Μεγαλύτερος εκφυλισµός = Μεγαλύτερη συµµετρία = Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες εκτός της τροχιακής στροφορµής! Η εύρεση των διατηρουµένων µεγεθών θα καθορίσει και την συµµετρία του συστήµατος!

76 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 47/ 53 Ενεργειακός εκφυλισµός του Υδρογόνου Το άτοµο του H 2 έχει µεγαλύτερο εκφυλισµό από τον αναµενόµενο από την συµµετρία του σε στροφές! Μεγαλύτερος εκφυλισµός = Μεγαλύτερη συµµετρία = Περισσότερες διατηρούµενες ποσότητες εκτός της τροχιακής στροφορµής! Η εύρεση των διατηρουµένων µεγεθών θα καθορίσει και την συµµετρία του συστήµατος!

77 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 48/ 53 Για την κλασική κίνηση σε δυναµικό Coulomb η τροχιά είναι έλλειψη µε ηµιάξονες a, b Η ενέργεια και το µέτρο στροφορµής είναι E = g 2 a, L = m g a ( 1 ɛ 2 ) Για δεδοµένη ενέργεια εκτός της τροχιακής στροφορµής υπάρχουν και άλλα µεγέθη που διατηρούνται! Το µήκος και η διέυθυνση των ηµιαξόνων!

78 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 49/ 53 Για κίνηση σε δυναµικό Coulomb V(r) = g r (g > 0) διατηρείται το άνυσµα r M = L v + g r Runge Lenz Η κατεύθυνση του είναι αυτή του µεγάλου ηµιάξονα και το µήκος του σχετίζεται µε την εκκεντρότητα της έλλειψης M = g ɛ a 2 b 2 Εκκεντρότητα ɛ = a 2

79 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 50/ 53

80 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 51/ 53 Με την προσθήκη µικρού διαταρακτικού όρου, που δεν έχει την µορφή Coulomb g r = g r + δ Coulomb = η τροχία υφίσταται µετάπτωση ( precession )!

81 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 52/ 53

82 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος , Α. Λαχανάς 53/ 53 Το άνυσµα της στροφορµής διατηρείται Κβανοµηχανικά για κίνηση σε κεντρικό δυναµικό [ ] Ĥ, ˆL = 0 Η Χαµιλτωνιανή έχει συµµετρία περιστροφής, O(3) Το άνυσµα Runge - Lenz διατηρείται Κβανοµηχανικά για κίνηση σε δυναµικό Coulomb [ ] Ĥ, ˆM = 0 Η Χαµιλτωνιανή έχει µεγαλύτερη συµµετρία, O(4)

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που

Διαβάστε περισσότερα

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 25 Περιεχόµενα 6ης ενότητας Φαινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό

Διάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöding για το κεντρικό δυναμικό Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 k V ) Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κύριος κβαντικός αριθμός (n)

Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Επιτρεπτές τιμές: n = 1, 2, 3, Καθορίζει: το μέγεθος του ηλεκτρονιακού νέφους κατά μεγάλο μέρος, την ενέργεια του τροχιακού τη στιβάδα στην οποία κινείται το ηλεκτρόνιο Όσομεγαλύτερηείναιητιμήτουn

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 12 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

το ένα με ηλεκτρικό φορτίο Ζe και το άλλο με e. Η χαμιλτονιανή του συστήματος (στο πλαίσιο της προσέγγισης Coulomb) μπορεί να έλθει στη μορφή

το ένα με ηλεκτρικό φορτίο Ζe και το άλλο με e. Η χαμιλτονιανή του συστήματος (στο πλαίσιο της προσέγγισης Coulomb) μπορεί να έλθει στη μορφή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΑΤΟΜΑ, Σελ. 19 έως 14 του βιβλίου ΚΣ ENOTHTA 1 Η, 13 ο VIDEO, 15/11/013, Από 55λ έως 1ω,5λ (τέλος), Σελ. 19 έως 13 του βιβλίου ΚΣ: ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Της ΒΑΣΙΚΉΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΥΔΡΟΓΟΝΟΕΙΔΟΥΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger

υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4.1 Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Θεωρούµε την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου µε µάζα m e και ϕορτίο q e = e µε έναν πυρήνα µε ϕορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η πιθανότερη ακτίνα, *, στην οποία θα βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ) Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα

Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το πιο απλό κβαντομηχανικό ρεαλιστικό σύστημα, το οποίο λύνεται ακριβώς, είναι το άτομο του Υδρογόνου (1 πρωτόνιο και 1 ηλεκτρόνιο) Το δυναμικό στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Οι ασκήσεις που ακολουθούν είναι προς επίλυση από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Εξίσωση του chrodger H H H µ µ m e e 4πε r Ζe 4πε r για το άτοµο του υδρογόνου για τα υδρογονοειδή άτοµα He Ζe 4πε r < j Ζe 4πε r j για πολυηλεκτρονικά άτοµα µ m m m e

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική

Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική Ποια ήταν τα αναπάντητα ερωτήματα της θεωρίας του Bohr; 1. Φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων 2. Κυκλικές τροχιές 3. Γιατί η ενέργεια του e είναι κβαντισμένη; Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Το άτομο του Υδρογόνου Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κινούμενα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν κύματα (κύματα de Broglie)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία

Μάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία Μάθημα 7ο Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία h m U(x,y,z, t) ih t (x, y,z,t) (x, y,z)e iet / h H E Γενική & Ανόργανη Χημεία 06-7 Ewin Schöinge Η ανεξάρτητη από τον χρόνο εξίσωση Schöinge U m H E E

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή 1. Κίνηση σε τρεις διαστάσεις Αποδεικνύεται (με τον ίδιο τρόπο όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Στόχος : Να εξηγήσουμε την επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου στις Ε- Ειδικώτερα: Το δυναμικό του κρυστάλλου 1. εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί Κβαντικοί αριθμοί Στην κβαντομηχανική εισάγονται τρεις κβαντικοί αριθμοί για τον καθορισμό της κατανομής του ηλεκτρονιακού νέφους (ατομικού τροχιακού). Οι κβαντικοί αυτοί αριθμοί προκύπτουν από την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 7 Ατομική Δομή Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 7 Ατομική Δομή Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 7 Ατομική Δομή Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. D Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό

Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 1 q Έστω ένα σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης Ø Δύναμη παράλληλη στο 0 F q Υποθέτουμε ότι η δύναμη είναι συντηρητική: F = V( ) m Ø V

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2013-14) Τμήμα T3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: Ε. Βιτωράτος

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: Ε. Βιτωράτος ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 016-017 Ε. Βιτωράτος Υπολογισμός της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στην περίπτωση του υδρογόνου Η τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου 1. Ερώτηση: Τι είναι η κβαντομηχανική; H κβαντομηχανική, είναι η σύγχρονη αντίληψη μιας νέας μηχανικής που μπορεί να εφαρμοστεί στο μικρόκοσμο του ατόμου. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί αριθμοί. l =0 υποφλοιός S σφαίρα m l =0 ένα τροχιακό με σφαιρική συμμετρία

Κβαντικοί αριθμοί. l =0 υποφλοιός S σφαίρα m l =0 ένα τροχιακό με σφαιρική συμμετρία Κβαντικοί αριθμοί Η θεωρία του Bohr χρειάζεται μόνο τον κύριο κβαντικό αριθμό η, για να καθορίσει ενέργεια για το άτομο του υδρογόνου Ε η =-2,18.10-18 /η 2 κυκλική τροχιά. και επιτρεπτή Στην κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό. ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 12: Συνάρτηση Green από ιδιοσυναρτήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την συνάρτηση Green από

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα µε το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Επίδραση του πυρήνα στα ατομικά φάσματα Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Σκέδαση Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της

Διαβάστε περισσότερα