ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι και η εξίσωση S P 0 έχει τις ίδιες ρίζες. (μον.6) Α.. Να αποδείξετε ότι. Πότε ισχύει το =; (μον.6) A.. Να κυκλώσετε το (Σ) ή το (Λ) στις προτάσεις :. Αν P(A), P(B) και P(A B) τότε P(A B). Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ). Αν (y ) 0 τότε = και y=-. 0 και 0 5. Αν 5 τότε Η εξίσωση 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. 8. Οι εξισώσεις 5 και 5( ) έχουν τις ίδιες λύσεις. 9. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που έχουν άθροισμα S= και γινόμενο P= 0. Η εξίσωση 0, με 0, έχει δύο ρίζες άνισες και αντίστροφες. (μον.0) Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

2 Θέμα ο : Β.. Ένα κουτί περιέχει κόκκινες, άσπρες και 0 μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα.αν η πιθανότητα να επιλέξουμε κόκκινη μπάλα είναι 8 και η πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη είναι, να βρείτε πόσες μπάλες έχει το κουτί. (μον.7) Β..α) Στην εξίσωση 0, το α καθορίζεται από τη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού.να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να είναι αδύνατη. (μον.) β) Δίνεται η εξίσωση 0, όπου α, β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτων ζαριών.να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες, δοθέντος ότι η εξίσωση του α) ερωτήματος είναι αδύνατη. (μον.5) Β.. Θεωρούμε την εξίσωση P(A) P(B) 0 όπου P(A), P(B) οι πιθανότητες πραγματοποίησης δύο ενδεχομένων του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. α.) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. (μον.) β). Αν P(A B), να βρείτε την πιθανότητα να 8 πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή το Β. (μον.5) Θέμα ο : Γ.. Να αποδείξετε ότι : α) y y,,y 0 β), 0 γ) (y )(z ) 8 yz,, y,z 0 δ) (μον.0) Γ.. Αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις 0 07 να αποδείξετε ότι η είναι αδύνατη. (μον.) Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

3 Γ.. Να λυθεί η εξίσωση 6 (μον.) Γ.. Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση. (μον.) Γ.5. Αν ο μ είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε να αποδείξετε ότι ο μ είναι άρτιος ακέραιος. (μον.) Θέμα ο : Δ.. Να λύσετε την εξίσωση Δ.. Δίνεται η εξίσωση (μον.) * v v v 0, v N. Αποδείξτε ότι : α) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες, η μία άρτια και η άλλη περιττή. (μον.) β) 0 (μον.) Δ.. Δίνεται η εξίσωση 0, 0. Αν να δείξετε ότι η εξίσωση έχει άνισες ρίζες. Δ.. Αν η εξίσωση 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, (μον.) τις και τότε : α) Να βρείτε τις τιμές του λ. (μον.) β) Για λ=- να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i) ii) iii) (μον.9) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Ενδεικτικές) Θέμα ο : A.. Θεωρία Α.. Θεωρία Α.. Θεωρία Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Α.. Σ, Σ, Σ, Λ, 5Σ, 6Σ, 7Λ, 8Λ, 9Λ, 0Σ Θέμα ο Β.. Έστω κ οι κόκκινες και α οι άσπρες μπάλες.έχουμε : P( ) P( ) (7 0) Το κουτί λοιπόν έχει α+κ+μ=8++0 = μπάλες. Β.. α) Έχουμε το,,,,5,6 Η εξίσωση είναι ου βαθμού γιατί 0 και είναι αδύνατη όταν Δ<0 δηλ άρα α=5 ή α=6 N(A) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(A) N( ) 6 β) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες όταν έχει Δ>0 δηλ. όταν 0 δηλ. όταν 5 5 Αν α=5 τότε 6,5 άρα, (5,), (5,), (5,), (5,), (5,5), (5,6) Αν α=6 τότε άρα Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

5 (α,β) =(6,), (6,), (6,), (6,), (6,5), (6,6) Ο δειγματικός χώρος έχει, από το γνωστό πίνακα διπλής εισόδου για παράδειγμα, 6 στοιχεία. N(A) Η ζητούμενη πιθανότητα λοιπόν είναι : P(A) N( ) 6 Β..α) Από την εξίσωση P(A) P(B) 0 P(A) 0 και P(B) 0 άρα P(A) και P(B). Έστω Α και Β ασυμβίβαστα.τότε από την ισότητα 5 P(A B) P(A) P(B) P(A B), άτοπο.άρα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμβιβαστά. Θέμα ο β) Το ενδεχόμενο «να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β» είναι το A B.Ξέρουμε ότι P(A B) P(A) P(B) P(A B), 6 άρα P(A B) y Γ.. α) Θ.δ.ο y y y y y 0 ( y) 0, που ισχύει β) Η σχέση του α) ερωτήματος, για y= δίνει γ) Σύμφωνα με το β) ερώτημα έχουμε : () y y ( )(y )(z ) 8 yz z z δ) Από το β) έχουμε ότι. 5 Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

6 Για έχουμε ( ) δηλ Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Γ.. Αφού η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις και θα είναι ή λ=- και ή λ=- άρα λ=-.για λ=- η δεύτερη εξίσωση έχει: 0 ( ) 0 και 07 ( ) 0 οπότε είναι αδύνατη. Γ.. Η εξίσωση 6 γράφεται ισοδύναμα : 6 ( ) ( ) 6 () ή 5 ή 7 άρα ύ Γ.. Έχουμε : Άρα 0 Γ.5. Έστω ότι ο μ δεν είναι άρτιος ακέραιος δηλ. έστω είναι περιττός. Τότε :, Z ( ) = = ( ), δηλ. z Αυτό είναι άτοπο. Άρα ο μ είναι άρτιος. περιττός ακέραιος. 6 Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

7 Θέμα ο Δ.. Η εξίσωση έχει = = 5 0 και ρίζες, 5 ( 5 ) = Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι 5 5 = άρα : 5 5 Δ.. α) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα ( ) = και ρίζες : ( ), άρα δηλ και δηλ. Οι ρίζες είναι διαδοχικοί φυσικοί, επομένως η μία άρτιος και η άλλη περιττός αριθμός β) Δ.. Αφού 0 είναι α και 0 οπότε η εξίσωση είναι ου βαθμού. Από την ισότητα έχουμε ότι και άρα 0 οπότε οι α, γ είναι ετερόσημοι.έτσι η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες. 0 7 Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)

8 Δ.. α) Αφού η εξίσωση έχει ετερόσημες ρίζες θα είναι P 0 δηλ 0 β) Για λ=- η εξίσωση γίνεται 0 και έχει S και P. Έχουμε λοιπόν : i) ( ) ii) (i) ( ) ( ) 5 άρα 5 iii) ( ) ( ) = (ii) (i) ( ) 5 ( ) 5 8 Τρίκαλα τηλ.-fa(0-67)