Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων
|
|
- Ιόλη Δασκαλοπούλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
2 1. Μη γραμμικός προγραμματισμός χωρίς περιορισμούς Συνθήκες ακροτάτου Πρόβλημα: Να βρεθεί το σημείο x * έτσι ώστε f(x * ) = min [f(x)] Αναγκαίες συνθήκες ελαχίστου: 1. df(x * ) = 0 dx Τ (x * στάσιμο σημείο) 2. Εσσιανό μητρώο d 2 f(x * ) dx 2 θετικά ορισμένο. Παρατηρήσεις: Οι παραπάνω συνθήκες είναι και ικανές αν η συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή το Εσσιανό μητρώο είναι θετικά ορισμένο για κάθε x. Σε αυτή την περίπτωση η f(x) έχει ένα μοναδικό στάσιμο σημείο που είναι και ολικό (global) ελάχιστο. Διαφορετικά μπορεί η f(x) να έχει περισσότερα στάσιμα σημεία, καθένα από τα οποία, ανάλογα με τις ιδιότητες του Εσσιανού, μπορεί να είναι τοπικό (local) ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο ή τίποτε απ τα δύο. Σε αυτή την περίπτωση η επίλυση του προβλήματος προϋποθέτει την εύρεση όλων των στάσιμων σημείων x *i και τη σύγκριση των τιμών f(x *i ). Το πρόβλημα της αναζήτησης μεγίστου άμεσα μετατρέπεται σε πρόβλημα αναζήτησης ελαχίστου, δεδομένου ότι max[f(x)] = min[ f(x)]. Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 1
3 Τοπικά και ολικά ακρότατα f(x 1, x 2 ) f(x) = (x 1 0.5) (x 2 0.5) x 1 0.5(x 1 0.5)(x 2 0.5) x Μοναδικό ελάχιστο x * = [0.5, 0.5] T, f(x * ) = x x f(x) = 0.5 (1.1 x 1 x 2 ) (x 1 0.5)(x 2 0.5) f(x 1, x 2 ) x Ολικό ελάχιστο x * = [0.314, 0.705] T, f(x * ) = Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 2 x x Τοπικό ελάχιστο x * = [0.618, 0.371] T, f(x * ) = x
4 2. Τυπικοί αλγόριθμοι αναζήτησης τοπικού ελαχίστου Η μέθοδος της πιο απότομης κατάβασης (steepest descent) (1) Ξεκινάμε από ένα αρχικό σημείο x [k] όπου k = 0. (2) Υπολογίζουμε την κλίση (gradient) f(x [k] ) της προς ελαχιστοποίηση συνάρτησης f(x). (3) Κινούμαστε πάνω στην ευθεία που ορίζει η f(x [k] ), αλλά σε αντίθετη κατεύθυνση, και εντοπίζουμε το νέο σημείο x [k + 1] το οποίο είναι το σημείο ελαχίστου της f(x) πάνω στη συγκεκριμένη ευθεία. Η ευθεία έχει εξίσωση x = x [k] β [k] f(x [k] ) όπου β [k] (βαθμωτή) παράμετρος, και κατά συνέπεια x [k + 1] = x [k] β [k] f(x [k] ) όπου η τιμή της β [k] προσδιορίζεται σε τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται η g(β [k] ) := f(x [k] β [k] f(x [k] )) (πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας μεταβλητής). (4) Επαναλαμβάνουμε ξεκινώντας από το νέο σημείο x [k + 1] μέχρι να ικανοποιηθούν ορισμένα κριτήρια σύγκλισης Παράδειγμα: Εντοπισμός ελαχίστου της f(x 1, x 2 ) = 20 x x x 1 x 2 3 x 2 f = 1 Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 3 f = 4 f = 9 f = 16 Σημείο εκκίνησης x
5 Η μέθοδος των συζυγών κλίσεων (conjugate gradient) Η πορεία σύγκλισης στη μέθοδο της πιο απότομης κατάβασης είναι αργή (μικρά βήματα). Στην ίδια μέθοδο, η διεύθυνση μετακίνησης σε κάθε βήμα είναι κάθετη στην αντίστοιχη διεύθυνση του προηγούμενου βήματος. Για επιτάχυνση της πορείας, σε κάθε βήμα λαμβάνονται υπόψη και οι διευθύνσεις προηγούμενων βημάτων (μέθοδοι συζυγών διευθύνσεων). Στη μέθοδο συζυγών διευθύνσεων των Fletcher-Reeves η νέα διεύθυνση προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός των κλίσεων στο παρόν και το προηγούμενο σημείο εκκίνησης. Κατά συνέπεια x [k + 1] = x [k] β [k] [ f(x [k] ) + γ [k] f(x [k 1] )] όπου γ [k] = f(x [k] ) 2 / f(x [k 1] ) 2 και η τιμή της β [k] προσδιορίζεται σε τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται η g(β [k] ) := f(x [k + 1] ) (πρόβλημα βελτιστοποίησης μιας μεταβλητής). 3 x 2 f = Παράδειγμα: Εντοπισμός ελαχίστου της f(x 1, x 2 ) = 20 x x x 1 x 2 f = 4 f = 9 f = 16 Σημείο εκκίνησης Πορεία απότομης κατάβασης x Πορεία Fletcher-Reeves Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 4
6 3. Μη γραμμικός προγραμματισμός με περιορισμούς Εξισωτικοί περιορισμοί Πρόβλημα: Να βρεθεί το σημείο x * έτσι ώστε f(x * ) = min [f(x): x K] όπου το σύνολο περιορισμών Κ (γνωστό και ως εφικτή περιοχή) ορίζεται από τη σχέση h(x * ) = 0 για δεδομένη διανυσματική (ή πραγματική) συνάρτηση h(x). Παραδείγματα: Στα παραδείγματα των σχημάτων εξετάζεται η συνάρτηση f(x) = (x 1 0.5) (x 2 0.5) 2 0.5(x 1 0.5)(x 2 0.5) με διάφορες μορφές εξισωτικών περιορισμών. Ελάχιστο: x * [0.5, 0.5] T h(x)=x x 1 0.5=0 (ευθεία) Ελάχιστο: x * = [0.5, 0.5] T h(x) = x 2 2 x 1 2 = 0 (παραβολή) x x x x Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 5
7 Ανισωτικοί περιορισμοί Πρόβλημα: Να βρεθεί το σημείο x * έτσι ώστε f(x * ) = min [f(x): x K] όπου το σύνολο περιορισμών Κ (εφικτή περιοχή) ορίζεται από τη σχέση g(x * ) 0 για δεδομένη διανυσματική (ή πραγματική) συνάρτηση g(x). Παραδείγματα: Στα παραδείγματα των σχημάτων εξετάζεται η συνάρτηση f(x) = (x 1 0.5) (x 2 0.5) 2 0.5(x 1 0.5)(x 2 0.5) με διάφορες μορφές ανισωτικών περιορισμών. Ελάχιστο Κυρτό σύνολο g 1 (x)= x x g 2 (x)= x g 3 (x)= x x g 1 (x)= x 1 2 (x 2 0.5) Μη κυρτό σύνολο Ελάχιστο: x * = [0.5, 0.5] T g 2 (x) = x x x x x x Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 6
8 Συνθήκες Kuhn-Tucker για βελτιστοποίηση με περιορισμούς (1) Αρχικό πρόβλημα: min f(x) όπου x = [x 1, x 2,, x n ] T με περιορισμούς g(x) 0 όπου g(x) = [g 1 (x), g 2 (x),, g k (x)] T (ανισωτικοί περιορισμοί) Μετασχηματισμένο πρόβλημα: max φ(x, λ) = f(x) + λ Τ g(x) όπου λ = [λ 1, λ 2,, λ k ] T, διανύσματα παραμέτρων που είναι γνωστές ως πολλαπλασιαστές Langrange. Αναγκαίες συνθήκες βέλτιστου: Αν το σημείο x * αποτελεί λύση του προβλήματος, τότε ικανοποιεί τις συνθήκες g(x * ) 0 και επιπλέον υπάρχει μοναδικό λ = [λ 1, λ 2,, λ k ] T τέτοιο ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα (συνθήκες Kuhn-Tucker): df(x * ) dx + dg(x * ) λτ dx = 0Τ λ j g j (x * ) = 0, λ j 0 (j = 1, 2,, k) Σημείωση: Οι συνθήκες είναι και ικανές αν τόσο η f(x), όσο και οι g j (x * ) είναι κυρτές συναρτήσεις. (Εφόσον οι g j (x * ) είναι κυρτές, τότε και η εφικτή περιοχή δηλαδή το σύνολο των x που ικανοποιούν τους περιορισμούς είναι κυρτή.) Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 7
9 Συνθήκες Kuhn-Tucker για βελτιστοποίηση με περιορισμούς (2) Αρχικό πρόβλημα: min f(x) όπου x = [x 1, x 2,, x n ] T με περιορισμούς h(x) = 0 όπου h(x) = [h 1 (x), h 2 (x),, h k (x)] T (εξισωτικοί περιορισμοί) x x x όπου x = [x 1, x 1,, x n], x = [x 1, x 1,, x n], (άνω και κάτω όρια μεταβλητών) Σημείωση: Κάθε πρόβλημα με ανισωτικούς περιορισμούς μετατρέπεται στην παραπάνω μορφή με την εισαγωγή αδιάφορων (slack) μεταβλητών. Μετασχηματισμένο πρόβλημα: max φ(x, λ, μ, μ ) = f(x) + λ Τ h(x) + μ Τ (x x) + μ Τ (x x ) όπου λ = [λ 1, λ 2,, λ k ] T, μ = [μ 1, μ 1,, μ n], μ = [μ 1, μ 1,, μ n] διανύσματα παραμέτρων που είναι γνωστές ως πολλαπλασιαστές Langrange. Αναγκαίες συνθήκες βέλτιστου: Αν το σημείο x * αποτελεί λύση του προβλήματος, τότε ικανοποιεί τις συνθήκες h(x * ) = 0, x x * x και επιπλέον υπάρχουν μοναδικά λ = [λ 1, λ 2,, λ k ] T, μ = [μ 1, μ 1,, μ n], μ = [μ 1, μ 1,, μ n], τέτοια ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα (συνθήκες Kuhn-Tucker): df(x * ) dx + dh(x * ) λτ μ Τ dx + μ Τ = 0 Τ μ j (x j x j* ) = 0, μ j (x j* x j) = 0, μ j 0, μ j 0 (j = 1, 2,, n) Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 8
10 Η μέθοδος της γενικευμένης ανηγμένης κλίσης (Generalised Reduced Gradient GRG) Αρχικό πρόβλημα: min f(x) όπου x = [x 1, x 2,, x n ] T με περιορισμούς h(x) = 0 όπου h(x) = [h 1 (x), h 2 (x),, h k (x)] T (εξισωτικοί περιορισμοί) x x x όπου x = [x 1, x 1,, x n], x = [x 1, x 1,, x n], (άνω και κάτω όρια μεταβλητών) Βασικές και μη βασικές μεταβλητές: Οι n μεταβλητές διακρίνονται σε k βασικές x B (όπου k ο αριθμός των περιορισμών) και n k μη βασικές x N, ήτοι x = (x B, x N ). Λόγω των περιορισμών, οι βασικές μεταβλητές εκφράζονται συναρτήσει των μη βασικών: x B = g(x N ) και η αντικειμενική συνάρτηση ανάγεται στην F(x N ) = f(g(x N ), x N ). Πορεία επίλυσης: 1. Ξεκινάμε το αρχικό βήμα k = 0, επιλέγοντας τις μη βασικές μεταβλητές x [k] N. 2. Καταστρώνουμε και επιλύουμε αριθμητικά τις εξισώσεις x [k] B = g(x [k] N ) προσδιορίζοντας έτσι τις βασικές μεταβλητές. 3. Προσδιορίζουμε τη διεύθυνση μετακίνησης d [k] στο χώρο των μεταβλητών x [k] N. [k + 1] 4. Προσδιορίζουμε το νέο σημείο x N επιλύοντας ως προς β [k] το μονοδιάστατο πρόβλημα βελτιστοποίησης min F(x [k] N + β [k] d [k] ), σε τρόπο ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί x x x (για βασικές και μη βασικές μεταβλητές). 5. Επαναλαμβάνουμε μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Σε κάθε επανάληψη μπορεί να αλλάξει η διάκριση των μεταβλητών σε βασικές και μη βασικές σε τρόπο ώστε βασικές μεταβλητές να είναι αυτές που δεν φτάνουν τα επιτρεπτά όριά τους. Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 9
11 Τυπικοί μη γραμμικοί επιλυτές: (1) για λογιστικά πακέτα Excel Solver Τυπικός γραμμικός και μη γραμμικός επιλυτής ενσωματωμένος στο πακέτο του Excel. Έχει αναπτυχθεί από την Frontline Systems. Γενικές πληροφορίες και οδηγίες παρέχονται στο διαδίκτυο ( βλ. και Winston and Albright, 1997, σσ ). Ο μη γραμμικός επιλυτής βασίζεται στη μέθοδο GRG (Lasdon et al., 1978 Lasdon and Smith, 1992). Excel Solver Upgrades Διάφοροι εξελιγμένοι επιλυτές κατάλληλοι για το Excel με πολύ περισσότερες δυνατότητες από τον τυπικό επιλυτή. Έχουν αναπτυχθεί από την Frontline Systems. Περιλαμβάνουν διάφορους αλγόριθμους (γραμμικού προγραμματισμού, ακέραιου προγραμματισμού, μη γραμμικού προγραμματισμού, εξελικτικούς). What s Best!: Αντίστοιχος επιλυτής κατάλληλος για πακέτα λογιστικών φύλλων (ειδικότερα για το πακέτο Lotus 1-2-3). Έχει αναπτυχθεί από τη Lindo Systems (βλ. και Winston, 1994, σσ Winston and Albright, 1997, σσ ). Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 10
12 Τυπικοί μη γραμμικοί επιλυτές: (2) αυτόνομοι LINGO Αυτόνομο πρόγραμμα-γλώσσα προγραμματισμού για κατασκευή (γραμμικών, μη γραμμικών και ακέραιων) μοντέλων βελτιστοποίησης Έχει αναπτυχθεί από τη Lindo Systems (βλ. και Winston, 1994, σσ ). GINO Αυτόνομο πρόγραμμα μη γραμμικού επιλυτή (Liebman et al., 1986 βλ. και Winston, 1994, σ. 640). Nonlinear Solver DLL Μη γραμμικός επιλυτής σε μορφή βιβλιοθήκης δυναμικής σύνδεσης (DLL). Έχει αναπτυχθεί από την Frontline Systems. Βασίζεται στη μέθοδο GRG. Είναι κατάλληλος για ενσωμάτωση σε οποιαδήποτε προγράμματα (για προγραμματιστές). «Συνταγές» βελτιστοποίησης Σειρά υπολογιστικών διαδικασιών σε μορφή πηγαίου κώδικα. Έχουν αναπτυχθεί από τους Press et al. (1992). Διατίθενται σε γλώσσες C, FORTRAN και Pascal. Βασίζονται σε μια ποικιλία μεθοδολογιών, χωρίς όμως να καλύπτουν βελτιστοποίηση με περιορισμούς. Είναι κατάλληλες για ενσωμάτωση σε οποιαδήποτε προγράμματα (για προγραμματιστές). Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 11
13 4. Αναζήτηση ολικού ακροτάτου Γενικά σχόλια Σε προβλήματα που υπάρχουν πολλά ακρότατα, η αναζήτηση του ολικού ακροτάτου δυσχεραίνεται. Δεν υπάρχει εγγυημένη μεθοδολογία εντοπισμού ενός ολικού ακροτάτου. Γενικά οι τρέχουσες μεθοδολογίες στηρίζονται είτε σε διακριτοποίηση της εφικτής περιοχής, ακολουθούμενη από απαριθμητική (εξαντλητική) αναζήτηση στο σύνολο των διακριτών σημείων (πρόβλημα: υπερβολικά μεγάλος αριθμός λύσεων σε πολυδιάστατα προβλήματα «κατάρα» της διαστατικότητας). είτε σε χρήση τυχαίων αριθμών (πρόβλημα: μη αντικειμενικός τρόπος προσδιορισμού της βέλτιστης λύσης έλλειψη επαρκών κριτηρίων αξιολόγησης) (βλ. Loucks et al., 1981, σσ Nalbantis and Koutsoyiannis, 1997). Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 12
14 Μεθοδολογίες αναζήτησης Απλά σχήματα αναζήτησης: Αναζήτηση με ομοιόμορφο πλέγμα. Αναζήτηση με επάλληλα ομοιόμορφα πλέγματα. Αναζήτηση μέσω τυχαίας δειγματοληψίας. Υβριδικά σχήματα αναζήτησης: Ορίζεται ένα σύνολο αρχικών σημείων, είτε με βάση ένα αραιό ομοιόμορφο πλέγμα, είτε σε τυχαίο τρόπο, και στη συνέχεια από κάθε αρχικό σημείο ξεκινά μια διαδικασία συστηματικής αναζήτησης (με τις τυπικές μεθόδους μη γραμμικού προγραμματισμού). Γενετικοί/εξελικτικοί αλγόριθμοι. Μέθοδος προσομοιωμένης ανόπτησης (Press et al., 1992). Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 13
15 5. Εναλλακτικές μεθοδολογίες αντιμετώπισης συστημάτων υδατικών πόρων Βελτιστοποίηση (χρήση γραμμικού ή δυναμικού προγραμματισμού ή θεωρίας βέλτιστου ελέγχου) Πλεονέκτημα: Βέλτιστη λύση Μειονεκτήματα: Υπερβολικά μεγάλος αριθμός μεταβλητών (ανέφικτη λύση για πολύπλοκα συστήματα) Απλοποιημένη περιγραφή του συστήματος Προσομοίωση (χρήση ευρετικών κανόνων λειτουργίας ) Πλεονεκτήματα: Πιστή αναπαράσταση του συστήματος Εφικτή εφαρμογή σε πολύπλοκα συστήματα Μειονέκτημα: Μη βέλτιστη λύση Παραμετροποίηση-Προσομοίωση-Βελτιστοποίηση (ΠΠΒ) (χρήση παραμετρικών κανόνων λειτουργίας και εκτίμηση των παραμέτρων με βελτιστοποίηση ενός δείκτη επίδοσης, ο οποίος υπολογίζεται με προσομοίωση) Πλεονεκτήματα: Πιστή αναπαράσταση του συστήματος Εφικτή εφαρμογή σε πολύπλοκα συστήματα Μικρός αριθμός μεταβλητών Μειονέκτημα: Προσέγγιση της βέλτιστης λύσης (λόγω αυθαίρετης προαποφασισμένης μορφής των κανόνων λειτουργίας) Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 14
16 6. Το γενικό σχήμα ΠΠΒ Γενική μεθοδολογία Παραμετροποίηση του συστήματος με την εισαγωγή παραμετρικών κανόνων λειτουργίας. Οι παραμετρικοί κανόνες αποτελούν μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τις απολήψεις από ταμιευτήρες με τις μεταβλητές που περιγράφουν την κατάσταση του συστήματος (π.χ. αποθέματα ταμιευτήρων). Οι σχέσεις αυτές περιλαμβάνουν ένα αριθμό παραμέτρων, οι οποίες αποτελούν τις προς βελτιστοποίηση μεταβλητές (αντί των απολήψεων). Λεπτομερής προσομοίωση της λειτουργίας του συστήματος. Το μοντέλο προσομοίωσης αναπαριστά με πιστό τρόπο τη λειτουργία του συστήματος με ικανοποίηση όλων των φυσικών και των εσωτερικών λειτουργικών περιορισμών του. Η λειτουργία του προϋποθέτει τον καθορισμό των τιμών των παραμέτρων των παραμετρικών κανόνων. Βελτιστοποίηση του δείκτη επίδοσης του συστήματος. Ο δείκτης επίδοσης συνδέεται, ανάλογα με το εξεταζόμενο πρόβλημα, με την αξιοπιστία του συστήματος ή με το οικονομικό όφελος από τη λειτουργία του (ενεργειακό, αρδευτικό κτλ.). Στο μοντέλο βελτιστοποίησης μπορεί να υπεισέρχονται και εξωτερικοί λειτουργικοί περιορισμοί, η ικανοποίηση των οποίων δεν μπορεί να ελεγχθεί από το μοντέλο προσομοίωσης. Από τη βελτιστοποίηση (με ή χωρίς περιορισμούς) προκύπτουν οι τιμές παραμέτρων του συστήματος. Σημείωση: Το σχήμα έχει εισαχθεί από τους Nalbantis and Koutsoyiannis (1997) για την αντιμετώπιση συστημάτων ταμιευτήρων απλού σκοπού, ενώ έχει γενικευτεί και εφαρμοστεί σε συστήματα πολλαπλού σκοπού (π.χ. Κουτσογιάννης, 1996 Καραβοκυρός κ.ά., 1999 Ευστρατιάδης και Ζερβός, 1999). Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 15
17 Εφαρμογή σε συστήματα ταμιευτήρων απλού σκοπού Κανόνας εκκίνησης: Χωρικός κανόνας Γενίκευση - Παραμετροποίηση S * i = a i + b i V όπου S i* το απόθεμα-στόχος στον ταμιευτήρα i, V το συνολικό απόθεμα σε όλους τους ταμιευτήρες και a i και b i παράμετροι προς προσδιορισμό. Οι παράμετροι ικανοποιούν τις σχέσεις Σ i a i = 0, Σ i b i = 1 Κατά συνέπεια ο αριθμός των προς προσδιορισμό παραμέτρων είναι μόνο 2 (k 1) όπου k ο αριθμός των ταμιευτήρων. (Μάλιστα, όπως έχει εμπειρικά δειχτεί, μπορεί να τεθεί χωρίς ουσιώδες σφάλμα a i = 0, οπότε ο αριθμός των προς προσδιορισμό παραμέτρων μειώνεται σε k 1). Δείκτης επίδοσης: Επίπεδο αξιοπιστίας (μέτρο αξιοπιστίας σε ετήσια βάση ή βάση χρονικού βήματος ή ογκομετρική βάση ή προτιμότερο συνδυασμός των διαφορετικών μέτρων αξιοπιστίας). Σημείωση: Ο παραπάνω κανόνας στη γραμμική του μορφή παραβιάζει τους προφανείς περιορισμούς 0 S i * Κ i όπου Κ i η χωρητικότητα του ταμιευτήρα i. Οι Nalbantis and Koutsoyiannis (1997) έχουν προτείνει διόρθωση της γραμμικής εξίσωσης, οπότε η τελική μορφή του κανόνα λειτουργίας είναι μη γραμμική. Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 16
18 Βασική βιβλιογραφία Loucks, D. P., Stedinger, J. R., and Haith, D. A., Water Resource System Planning and Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Mays, L. W., and Y.-K. Tung, Hydrosystems Engineering and Management McGraw-Hill, New York, Mays, L. W., and Y.-K. Tung, Systems analysis, in Water Resources Handbook, edited by L. W. Mays, McGraw-Hill, New York, Marlow, W. H., Mathematics for Operations Research, Dover Publications, New York, Nalbantis, I., and D. Koutsoyiannis, A parametric rule for planning and management of multiple reservoir systems, Water Resources Research, 33(9), , Pierre, D. P., Optimization Theory With Applications, Dover, New York, Press, W. H., S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, Cambridge, Searle, S. R., Matrix Algebra Useful for Statistics, Wiley, Winston, W, L., Operations Research, Applications and Algorithms, 3rd ed., Duxbury, Belmont, Winston, W, L., and S. C. Albright, Practical Management Science, Spreadsheet modeling and Applications, Duxbury, Belmont, Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 17
19 Αναφορές Lasdon, L.S., A. Waren, A. Jain and M. Ratner, Design and Testing of a Generalized Reduced Gradient Code for Nonlinear Programming, ACM Transactions on Mathematical Software, 4(1), 34-50, Lasdon, L.S. and S. Smith, Solving Sparse Nonlinear Programs Using GRG, ORSA Journal on Computing, 4(1), 2-15, Liebman, J. S., L. S. Lasdon, L. Schrage and A. Waren, Modeling and Optimization with GINO, The Scientific Press, Palo Alto, Κουτσογιάννης, Δ., Μελέτη λειτουργίας ταμιευτήρων, Γενική διάταξη έργων εκτροπής Αχελώου προς Θεσσαλία, Εργοδότης: Μελετητής: ΕΥΔΕ Αχελώου, Σύμβουλοι: Γ. Καλαούζης, ELECTROWATT, Π. Μαρίνος, Δ. Κουτσογιάννης, Υπουργείο Περιβάλλοντος Χωροταξίας και Δημόσιων Έργων, 420 σσ., Αθήνα, Καραβοκυρός, Γ., Δ. Κουτσογιάννης, Ν. Μανδέλλος, Ανάπτυξη μοντέλου προσομοίωσης και βελτιστοποίησης του υδροσυστήματος της ανατολικής στερεάς Ελλάδας, Εκτίμηση και διαχείριση των υδατικών πόρων της Στερεάς Ελλάδας Φάση Γ, Τεύχος 40, ΕΜΠ, Τομέας ΥΠΥΘΕ, 164 σσ., Αθήνα, Ευστρατιάδης, Α. και Ν. Ζερβός, Βελτιστη διαχείριση συστημάτων ταμιευτήρων Εφαρμογή στο σύστημα Αχελώου-Θεσσαλίας, Διπλωματική εργασία, ΕΜΠ, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αθήνα, Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 18
20 Θέσεις διαδικτύου (University of British Columbia's MBA program online tutorial) (Frontline Systems Optimization using EXCEL Solver) (Lindo Systems Premier Optimization Modeling Tools) (Numerical Recipes) Δ. Κουτσογιάννης, Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων 19
Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων
Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μη γραμμικός προγραμματισμός χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Ανασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μονοδιάστατο πρόβλημα βελτιστοποίησης Συνθήκες ακροτάτου f (x
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΒελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενικές έννοιες Σύστημα (system) (1) Σύνολο συνδεδεμένων τμημάτων που αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΒελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή
Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενικές έννοιες Σύστημα (system) (1) Σύνολο συνδεδεμένων τμημάτων που αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης:
Διαβάστε περισσότεραΤο µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα
Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης: Εύρεση
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΤο υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην προσοµοίωση συστηµάτων ταµιευτήρων
Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην προσοµοίωση συστηµάτων ταµιευτήρων 4ο Εθνικό Συνέδριο της Ελληνικής Επιτροπής για τη ιαχείριση Υδατικών Πόρων (Ε.Ε..Υ.Π.) «ιαχείριση Υδατικών
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων
Ανασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μονοδιάστατο πρόβλημα βελτιστοποίησης Συνθήκες ακροτάτου f (
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (7 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Υδατικών Πόρων Υδροπληροφορική Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης, Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Αθήνα Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΔιάρθρωση παρουσίασης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Βέλτιστη Διαχείριση Συστημάτων Ταμιευτήρων Εφαρμογή στο Σύστημα Αχελώου - Θεσσαλίας Διπλωματική
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Β. ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Προχωρημένες Μέθοδοι Προβλήματα με την «κλασική» βελτιστοποίηση Η αντικειμενική συνάρτηση σπανίως
Διαβάστε περισσότεραΔιερεύνηση μεθόδων αναζήτησης ολικού βελτίστου σε προβλήματα υδατικών πόρων
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» Διερεύνηση μεθόδων αναζήτησης ολικού βελτίστου σε προβλήματα υδατικών πόρων
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης
Διαβάστε περισσότερα4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης
4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων Δρ Μ.Σπηλιώτης Ολοκληρωμένη διαχείριση υδατικών πόρων (integrated water resources management), έμφαση στην εξέταση όλων των πτυχών
Διαβάστε περισσότεραΤα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Υδατικών Πόρων Υδροπληροφορική Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης, Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέµατα δικτύων διανοµής
Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 2005-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών: Κατεύθυνση Α: Αειφορική Διαχείριση Ορεινών Υδρολεκανών με Ευφυή Συστήματα και Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών: Κατεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Ταμιευτήρα
Διαχείριση Ταμιευτήρα Μονοκριτηριακή βελτιστοποίηση Διαχείριση υδατικών πόρων Ανάγκη σύνθεσης επιστημών Σημερινό μάθημα: έμφαση στη χρήση εννοιών και μεθόδων από την επιχειρησιακή έρευνα Κουτσογιάννης,
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικά στοιχεία για υδρευτικά έργα
Αστικά Υδραυλικά Έργα Οικονομικά στοιχεία για υδρευτικά έργα Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Συντελεστές οφέλους και κόστους υδροσυστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΤο υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου
Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου ηµήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μέρη της
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΤο υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου
Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου ηµήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μέρη της
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκησης Επιχειρήσεων. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ eμβα ΚΩΔ. ΤΜΗΜΑ ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΕΠ5 ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Credits 6 ΕΞΑΜΗΝΟ 3 ος κύκλος ΟΝΟΜ/ΝΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΟΣ
ΤΜΗΜΑ Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ eμβα ΚΩΔ. ΤΙΤΛΟΣ Επιχειρησιακή ΔΙΕΠ5 ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Έρευνα Credits 6 ΕΞΑΜΗΝΟ 3 ος κύκλος ΟΝΟΜ/ΝΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΟΣ Βασίλης Αγγελής Ε-ΜAIL v.angelis@aegean.gr ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος 1a: Συμβατικές Μέθοδοι Βελτιστοποίηση; Maximum Minimum Βελτίωση Δικτύων Ύδρευσης
Διαβάστε περισσότεραυναµικός προγραµµατισµός
υναµικός προγραµµατισµός Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Βελτιστοποίηση συστηµάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραυναµικός προγραµµατισµός
υναµικός προγραµµατισµός Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Βελτιστοποίηση συστηµάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ - Θεμελιώδεις έννοιες - Επισκόπηση ύλης - Χρήσιμες πληροφορίες ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα επιλογής
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση:Προχωρημένες Μέθοδοι Χρήστος Μακρόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών
Διαβάστε περισσότεραΗ επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα Ελένη Ζαχαροπούλου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική
Διαβάστε περισσότεραΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΙΩΑΝΝΑ
Διαβάστε περισσότεραFermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807
Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑστικά υδραυλικά έργα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (7 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ)
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών 2 Εργαλεία διαχείρισης Για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση, η πρόβλεψη αποτελεί το
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.
Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας
Ημερίδα της ΕΥΔΑΠ για την Παγκόσμια Ημέρα Νερού Αθήνα, 22 Μαρτίου 2001 Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Δημήτρης Κουτσογιάννης
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΟικονοµικά µεγέθη συστηµάτων υδατικών πόρων. ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Οικονοµικά µεγέθη συστηµάτων υδατικών πόρων ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Συντελεστές οφέλους και κόστους υδροσυστηµάτων Επιµερισµός του κόστους Αρχικό κατασκευαστικό
Διαβάστε περισσότεραΟικονοµικά µεγέθη συστηµάτων υδατικών πόρων
Οικονοµικά µεγέθη συστηµάτων υδατικών πόρων ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Συντελεστές οφέλους και κόστους υδροσυστηµάτων Επιµερισµός του κόστους Αρχικό κατασκευαστικό
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας
Ημερίδα της ΕΥΔΑΠ για την Παγκόσμια Ημέρα Νερού Αθήνα, 22 Μαρτίου 2001 Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Δημήτρης Κουτσογιάννης
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού
3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης
Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,
Διαβάστε περισσότεραΠιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.
i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αναλυτικές τεχνικές - Ειδικά θέματα θεωρίας - Λύση ασκήσεων πράξης ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Να επιλύουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 711
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γεωργία Φουτσιτζή- Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου τελευταία ενημέρωση: 7/10/2016 1 Περιεχόμενα Εισαγωγή Ιστορική Αναδρομή Επιχειρησιακή
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα. Εισαγωγική Διάλεξη
Επιχειρησιακή Έρευνα Εισαγωγική Διάλεξη Πληροφορίες Διδάσκων: Αντώνης Δημάκης (dimakis@aueb.gr) Γραφείο: 506, 5 ος όροφος, Τροίας 2 (νέο κτήριο), Ώρες: Πέμπτη 1-3μμ Τηλ: 210-8203-924 Βοηθός: Δέσποινα Μεντζελιώτου
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων Εισαγωγή Η χρήση των μεταβλητών με δείκτες στην άλγεβρα είναι ένας ιδιαίτερα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότερακαθ. Βασίλης Μάγκλαρης
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Ενισχυτική Μάθηση - Δυναμικός Προγραμματισμός: 1. Markov Decision Processes 2. Bellman s Optimality Criterion 3. Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας
Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.
Διαβάστε περισσότεραΥδρολογική διερεύνηση λειτουργίας ταµιευτήρα Πλαστήρα
ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Παρουσίαση στα πλαίσια του µαθήµατος: «Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά Έργα» Υδρολογική διερεύνηση λειτουργίας ταµιευτήρα Πλαστήρα Ανδρέας Ευστρατιάδης,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αριθμητικές τεχνικές - Επισκόπηση αλγορίθμων - Optimization in MATLAB ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Εφαρμόζονται κυρίως σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επίλυση ασκήσεων - Αλγόριθμοι αναζήτησης - Επαναληπτική κάθοδος ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Θα επιλυθούν
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ - Εφικτός χώρος λύσεων - Συνάρτηση Lagrange - Γενικές συνθήκες ECM ΣΥΝΘΗΚΕΣ CONSTRAINED Ιδιαιτερότητες των προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Τεχνικές αναζήτησης - Search tools in MATLAB - Διερεύνηση λύσης NCM ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ Στόχος: Ο σταδιακός
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΥδρονοµέας Σύστηµα υποστήριξης της διαχείρισης υδατικών πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Υδρονοµέας Σύστηµα υποστήριξης της διαχείρισης υδατικών πόρων Γ. Καραβοκυρός Α. Ευστρατιαδης. Κουτσογιάννης Φεβρουάριος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH
ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΑστικά υδραυλικά έργα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών
Διαβάστε περισσότεραΤοπικές και ολικές τεχνικές βελτιστοποίησης
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Τοπικές και ολικές τεχνικές βελτιστοποίησης Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος Τομέας Υδατικών Πόρων
Διαβάστε περισσότεραΠεριβάλλον και Ανάπτυξη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Δ.Π.Μ.Σ. "ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ" ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΏΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη διαχείριση επιφανειακών και υπόγειων υδατικών πόρων με ποσοτικά, ποιοτικά και οικονομικά
Διαβάστε περισσότεραΥδρολογική αβεβαιότητα στα συστήµατα υδατικών πόρων Προσοµοίωση. ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Υδρολογική αβεβαιότητα στα συστήµατα υδατικών πόρων Προσοµοίωση ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Εισαγωγή στην προσοµοίωση Γενικές έννοιες Προσοµοίωση (simulation):
Διαβάστε περισσότεραΦ. Δογάνης I. Bafumba Χ. Σαρίμβεης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Χημικών Μηχανικών Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής
Αριστοποίηση παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας από συντονισμένη αξιοποίηση υδροηλεκτρικών και συμβατικών μονάδων ηλεκτροπαραγωγής με χρήση μικτού ακέραιου τετραγωνικού προγραμματισμού. Φ. Δογάνης I. Bafumba
Διαβάστε περισσότεραΥδρολογική αβεβαιότητα στα συστήµατα υδατικών πόρων Προσοµοίωση
Υδρολογική αβεβαιότητα στα συστήµατα υδατικών πόρων Προσοµοίωση ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Εισαγωγή στην προσοµοίωση Γενικές έννοιες Προσοµοίωση (simulation):
Διαβάστε περισσότεραΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΧΩΡΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ RRR ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΒΡΙΔΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ
ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΧΩΡΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ RRR ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΒΡΙΔΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Δ. Σαγρής, Σ. Μήτση, Κ.-Δ. Μπουζάκης, Γκ. Μανσούρ Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας, Τμήμα Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραικτυακός προγραµµατισµός Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Γραµµικός Προγραµµατισµός ικτυακός προγραµµατισµός Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος ΓΠ Ένα πρόβληµα
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Χρήστος Μακρόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Tα Διαχειριστικά Προβλήματα Μοντέλα που επιβάλουν τους περιορισμούς
Διαβάστε περισσότερα