Ανασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων
|
|
- Πάτροκλος Σπηλιωτόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μονοδιάστατο πρόβλημα βελτιστοποίησης Συνθήκες ακροτάτου f ( ) Κυρτή (conve) συνάρτηση Σημείο ελαχίστου f ( ) Κοίλη (concave) συνάρτηση Σημείο μεγίστου f ( ) Πολυκόρυφη (mulimodal) Τοπικό συνάρτηση ελάχιστο Ολικό ελάχιστο f' ( ) Σημείο μηδενισμού α' παραγώγου f' ( ) Σημείο μηδενισμού α' παραγώγου f' ( ) Σημεία μηδενισμού α' παραγώγου f ( ) f ( ) f ( ) β παράγωγος θετική αρνητική Θετική β παράγωγος Αρνητική β παράγωγος Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 1
2 Αναζήτηση ακροτάτου: μέθοδος χρυσής τομής f ( ) Σημείο ελαχίστου Δοκιμή 4 Δοκιμή 3 Δοκιμή 2 a b u Δοκιμή 1 c Ξεκινάμε από τρία σημεία (a, b, c). Πυκνώνουμε (σημείο u) από το ενδιάμεσο σημείο (b) προς την πλευρά του πιο απομακρυσμένου, ακολουθώντας την αναλογία της χρυσής τομής ((3 5) / 2 =.38197). Εξετάζουμε ποιο από τα δύο ενδιάμεσα σημεία αντιστοιχεί στη μικρότερη τεταγμένη. Κρατάμε αυτό το σημείο και δύο σημεία εναλλάξ. Σταματάμε όταν το διάστημα που ορίζουν τα δύο ακραία σημεία προς το άθροισμα των τετμημένων των δύο ενδιάμεσων σημείων (κατ απόλυτη τιμή) γίνει μικρότερο από μια τιμή ανοχής. Διαφορετικά επαναλαμβάνουμε. (Για κωδικοποίηση αλγορίθμου βλ. Press e al., 1992) Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 2 Αναζήτηση ακροτάτου: μέθοδος παραβολικής παρεμβολής f ( ) a Σημείο ελαχίστου Υπολογισμός κορυφής παραβολής b Δοκιμή 4 Δοκιμή 3 Δοκιμή ( b a) [ f ( b) f ( c)] ( b c) [ f ( b) f ( a)] u = b 2 ( b a)[ f ( b) f ( c)] ( b c)[ f ( b) f ( a)] u Δοκιμή 1 c Ξεκινάμε από τρία σημεία (a, b, c). Πυκνώνουμε με ένα ακόμη σημείο (u) προσαρμόζοντας παραβολή στα τρία γνωστά σημεία (a, b, c) και υπολογίζοντας τη θέση της κορυφής της παραβολής. Εξετάζουμε ποιο από τα δύο ενδιάμεσα σημεία αντιστοιχεί στη μικρότερη τεταγμένη. Κρατάμε αυτό το σημείο και δύο σημεία εναλλάξ. Σταματάμε όταν το διάστημα που ορίζουν τα δύο ακραία σημεία προς το άθροισμα των τετμημένων των δύο ενδιάμεσων σημείων (κατ απόλυτη τιμή) γίνει μικρότερο από μια τιμή ανοχής. Διαφορετικά επαναλαμβάνουμε. Βελτιωμένη εκδοχή της μεθόδου έχει αναπτυχθεί από τον Bren (βλ. Press e al., 1992) Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 3
3 2. Πολυδιάστατα προβλήματα: Εισαγωγικές έννοιες Διανύσματα και μητρώα Διάνυσμα (μεγέθους n): = Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 4 a 11 a 12 a 1k a 21 a 22 a 2k Μητρώο (μεγέθους n k): A = n a n1 a n2 a nk a 11 a 21 a n1 Ανάστροφo * διάνυσμα: T = [ n ] Ανάστροφο μητρώο: A T = Πρόσθεση: + y = Βαθμωτός πολλαπλασιασμός: λ = y y 1 y 2 + y 2 + = A + B = n y n n + y n λ λ λ A = λ n * Συνάρτηση EXCEL: TRANSPOSE(A) όπου A: range (array formula) a 12 a 22 a n2 a 1k a 2k a nk a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1k + b 1k a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2k + b 2k a n1 + b n1 a n2 + b n2 a nk + b nk λ a 11 λ a 12 λ a 1k λ a 21 λ a 22 λ a 2k λ a n1 λ a n2 λ a nk Διανύσματα και μητρώα (2) Πολλαπλασιασμός μητρώων ή/και διανυσμάτων * : n γραμμές A (n k) B (k l) = C (n l) α 11 a 12 a 1k α 21 a 22 a 2k α n1 a n2 a nk b 11 b 12 b 1l b 21 b 22 b 2l = k γραμμές b k1 b k2 b kl k στήλες l στήλες k όπου c ij = air b rj (π.χ. c 21 = a 21 b 11 + a 22 b a 2k b k1 ) r = 1 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων: <, y> := T y (βαθμωτό μέγεθος) Νόρμα διανύσματος: = <, > 1/2 := ( T ) 1/2 Τετραγωνική μορφή: η συνάρτηση της μορφής f() = <, A > = T A, όπου Α τετραγωνικό συμμετρικό μητρώο και διάνυσμα. Θετικά ορισμένο μητρώο: Ένα τετραγωνικό συμμετρικό μητρώο Α για το οποίο ισχύει <, A > > για κάθε. (Θετικά ημιορισμένο μητρώο: <, A > ) * Συνάρτηση EXCEL: MMULT(A, B), όπου A, B: ranges (array formula) n γραμμές c 11 c 12 c 1l c 21 c 22 c 2l c n1 c n2 c nl l στήλες Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 5
4 Διανύσματα και μητρώα (3) Ιδιότητες πολλαπλασιασμού μητρώων: A (B C) = (A B) C, (A B) T = B T A T Μοναδιαίο μητρώο (μεγέθους n n): Ι = Αντίστροφο μητρώο * : Ένα τετραγωνικό μητρώο Α (μεγέθους n n) ονομάζεται ομαλός (nonsingular) αν υπάρχει ένα αντίστροφο μητρώο (συμβολικά Α 1 ) που να ικανοποιεί τη σχέση Α Α 1 = Α 1 Α = Ι Σε αντίθετη περίπτωση το μητρώο Α ονομάζεται ανώμαλο (singular). Ιδιότητα αντιστροφής: (A B) 1 = B 1 A 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων: Ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους, της μορφής a 11 + a a 1n n = b 1 a n1 + a n2 + + a nn n = b n γράφεται σε διανυσματική μορφή: A = b και η λύση του (για ομαλό Α) είναι = A 1 b. * Συνάρτηση EXCEL: MINVERSE(A) όπου Α: range (array formula). Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 6 Ευθείες, επίπεδα και υπερεπίπεδα σε διανυσματικούς χώρους Σημείο: Το διάνυσμα = [,,, n ] T στο χώρο n διαστάσεων παριστάνει (α) ένα σημείο (β) μία διεύθυνση. Ευθεία: Για να οριστεί μια ευθεία (ε) σε χώρο n διαστάσεων απαιτούνται δύο σημεία (p, p 1 ) ή ένα σημείο (p ) και μια διεύθυνση (d). Η εξίσωση της ευθείας δίνεται: 1. Με βάση τα δύο σημεία (p, p 1 ): = (1 β) p + β p 1, όπου β R (για το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ p και p 1, β [, 1]). 2. Με βάση το σημείο (p ) και τη διεύθυνση (d) (παραμετρική μορφή): = p + β d. 3. Με βάση τη σχέση A = b, όπου A μητρώο μεγέθους (n 1) n και b διάνυσμα μεγέθους n 1. Ευθεία σε χώρο 3 διαστάσεων (Υπερ)επίπεδο: Στο χώρο n διαστάσεων μπορούν να οριστούν επίπεδα k διαστάσεων, όπου 1 k n 1 (για k = 1 έχουμε ευθεία). Ένα k-επίπεδο καθορίζεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους και έχει τις αντίστοιχες εξισώσεις: 1. Με βάση k + 1 σημεία (p, p 1,, p k ): = P w, όπου P = [p, p 1,, p k ] μητρώο μεγέθους n (k + 1) και w διάνυσμα μεγέθους k + 1 με άθροισμα συνιστωσών ίσο με Παραμετρικά, από την εξίσωση = p + Q, όπου p διάνυσμα μεγέθους n (σημείο στο χώρο n διαστάσεων), διάνυσμα μεγέθους k και Q μητρώο μεγέθους n k. 3. Ως τομή n k διαφορετικών (n 1)-επιπέδων: A = b, όπου A μητρώο μεγέθους (n k) n και b διάνυσμα μεγέθους n k. Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 7 3 p p 1 d ε
5 Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής Πραγματική συνάρτηση διανυσματικής μεταβλητής: f: R n R Παράγωγος ως προς διάνυσμα (της f() ως προς ): df d := f, f,, Τελεστής «ανάδελτα»: :=,,, n Κλίση ή βαθμίδα (gradien): grad(f) := f = f, f,, Δεύτερη παράγωγος ως προς διάνυσμα: d2 f d = T. 2 f 2 2 f 2 f n f n T = T df d f n 2 f 2 f n 2 f 2 2 f n 2 f 2 f 2 n n Η δεύτερη παράγωγος είναι συμμετρικό μητρώο, γνωστό ως Eσσιανό (Hessian) Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 8 Παράδειγμα πραγματικής συνάρτησης διανυσματικής μεταβλητής f(, ) Διανυσματική μεταβλητή: = [, ] T (χώρος δύο διαστάσεων) Πραγματική συνάρτηση: f() = (.5) 2 +.5(.5) 2.5(.5)(.5) Το γράφημα της συνάρτησης στο πεδίο ( 1, 1) φαίνεται στα διπλανά σχήματα (πάνω τριδιάστατη προοπτική απεικόνιση, κάτω διδιάστατη απεικόνιση με μορφή ισοτιμικών καμπυλών). Κλίση: grad(f) = f = T df d = f T f, = 1 [2(.5).5 (.5), (.5).5 (.5)] Τ Παραδείγματα τιμών κλίσης: Για = [.6,.3] T, grad(f) = [.3, ] Τ Για = [.65,.75] T, grad(f) = [.175,.175] Τ Τα διανύσματα των δύο παραδειγμάτων έχουν απεικονιστεί στο κάτω σχήμα (πράσινα βέλη). Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 9
6 Διανυσματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής Διανυσματική συνάρτηση διανυσματικής μεταβλητής: f: R n R k δηλαδή f() = [f 1 (), f 2 (),, f k ()] Τ όπου οι f 1 (), f 2 (),, f k () είναι πραγματικές συναρτήσεις της διανυσματικής μεταβλητής. (Παράδειγμα: η κλίση grad(f()) της πραγματικής f() είναι διανυσματική συνάρτηση διανυσματικής μεταβλητής.) T f 1 f 1 f 1 n f 2 f 2 f 2 n Παράγωγος της f() ως προς : df d := f 1, f 2,, f k = f k f k f k n Η παράγωγος είναι γνωστή ως Ιακωβιανό (Jacobian) μητρώο. Στοιχειώδεις κανόνες παραγώγισης διανυσματικών συναρτήσεων Συνάρτηση (f) Παράγωγος (df / d) Συνάρτηση (f) Παράγωγος (df / d) a ή a T O n A A A ή A O mn n T B B T ή T I n T T a T a T T C T C + T C T a, : n-διανύσματα A: m n μητρώο Β: n l μητρώο C: n n μητρώο O n : μηδενικό n-διάνυσμα O mn n : μηδενικό mn n μητρώο I n : μοναδιαίο n n μητρώο τα a, A, B, C είναι ανεξάρτητα του. Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 1 3. Πολυδιάστατα προβλήματα βελτιστοποίησης Συνθήκες ακροτάτου χωρίς περιορισμούς Πρόβλημα: Να βρεθεί το σημείο * έτσι ώστε f( * ) = min [f()] Αναγκαίες συνθήκες ελαχίστου: 1. df( * ) d = Ο Τ ( * στάσιμο saionary σημείο) 2. Εσσιανό μητρώο d 2 f( * ) 2 d θετικά ορισμένο. Παρατηρήσεις: Οι παραπάνω συνθήκες είναι και ικανές αν η συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή το Εσσιανό μητρώο είναι θετικά ορισμένο για κάθε. Σε αυτή την περίπτωση η f() έχει μόνο ένα στάσιμο σημείο που είναι και ολικό (global) ελάχιστο. Διαφορετικά μπορεί η f() να έχει περισσότερα στάσιμα σημεία, καθένα από τα οποία, ανάλογα με τις ιδιότητες του Εσσιανού, μπορεί να είναι τοπικό (local) ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο ή τίποτε απ τα δύο. Σε αυτή την περίπτωση η επίλυση του προβλήματος προϋποθέτει την εύρεση όλων των στάσιμων σημείων *i και τη σύγκριση των τιμών f( *i ). Το πρόβλημα της αναζήτησης μεγίστου άμεσα μετατρέπεται σε πρόβλημα αναζήτησης ελαχίστου, δεδομένου ότι ma[ f()] = min[ f()]. Παράδειγμα: f() = (.5) 2 +.5(.5) 2.5(.5)(.5) df d = [2(.5).5 (.5), (.5).5 (.5)] d 2 f d = (θετικά ορισμένο παντού ορίζουσα θετική άρα η συνάρτηση είναι κυρτή) Στάσιμο σημείο: * = [.5,.5] T ολικό ελάχιστο Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 11
7 Εξισωτικοί περιορισμοί Πρόβλημα: Να βρεθεί το σημείο * έτσι ώστε f( * ) = min [f(): K] όπου το σύνολο περιορισμών Κ ορίζεται από τη σχέση h( * ) = για δεδομένη διανυσματική (ή πραγματική) συνάρτηση h(). Παραδείγματα: Στα παραδείγματα των σχημάτων εξετάζεται η συνάρτηση f() = (.5) 2 +.5(.5) 2.5(.5)(.5) με διάφορες μορφές εξισωτικών περιορισμών. Ελάχιστο: * [.5,.5] T h()=.5.5= (ευθεία) Ελάχιστο: * = [.5,.5] T h() = 2 2 = (παραβολή) Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων Ανισωτικοί περιορισμοί Πρόβλημα: Να βρεθεί το σημείο * έτσι ώστε f( * ) = min [f(): K] όπου το σύνολο περιορισμών Κ ορίζεται από τη σχέση g( * ) για δεδομένη διανυσματική (ή πραγματική) συνάρτηση g(). Παραδείγματα: Στα παραδείγματα των σχημάτων εξετάζεται η συνάρτηση f() = (.5) 2 +.5(.5) 2.5(.5)(.5) με διάφορες μορφές ανισωτικών περιορισμών. Ελάχιστο Κυρτό σύνολο g 1 ()= g 2 ()=.35 g 3 ()= g 1 ()= 2 (.5) Μη κυρτό σύνολο Ελάχιστο: * = [.5,.5] T g 2 () = Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων
8 Μαθηματικός χειρισμός περιορισμών Αρχικό πρόβλημα με εξισωτικούς περιορισμούς: min f() όπου = [,,, n ] T s.. h() = όπου h() = [h 1 (), h 2 (),, h k ()] T Μετασχηματισμένο πρόβλημα: ma φ(, λ) = f() + λ Τ h() όπου λ = [λ 1, λ 2,, λ k ] T διάνυσμα παραμέτρων που είναι γνωστές ως πολλαπλασιαστές Langrange. Με τον τρόπο αυτό το αρχικό πρόβλημα με περιορισμούς μετατράπηκε σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς, με περισσότερες όμως μεταβλητές (n + k έναντι n). Αρχικό πρόβλημα με ανισωτικούς περιορισμούς: min f() όπου = [,,, n ] T s.. g() όπου g() = [g 1 (), g 2 (),, g k ()] T Μετασχηματισμένο πρόβλημα: 1. Εισάγουμε τις «αδιάφορες» (slack) μεταβλητές r = [r 1, r 2,, r k ] T και τη διανυσματική συνάρτηση ψ(r) = [r 1, r2,, rk] T για να μετατρέψουμε τους ανισωτικούς σε εξισωτικούς: h(, r) = g() + ψ(r) = 2. Εισάγουμε πολλαπλασιαστές Lagrange λ = [λ 1, λ 2,, λ k ] T και μετατρέπουμε έτσι το αρχικό πρόβλημα σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς: ma φ(, r, λ) = f() + λ Τ g() + λ Τ ψ(r) Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 14 Ειδική περίπτωση: γραμμικός προγραμματισμός f(, ) Προς Ελάχιστο Σύνολο περιορισμών (κυρτό) Προς Γραμμικός προγραμματισμός: Πρόβλημα προσδιορισμού ακροτάτου στο οποίο τόσο η αντικειμενική συνάρτηση f(), όσο και οι περιορισμοί (εξισωτικοί h() και ανισωτικοί g()) είναι γραμμικές συναρτήσεις. Παρατήρηση 1: Αν δεν υπάρχουν περιορισμοί το πρόβλημα δεν έχει λύση (η f() απειρίζεται βλ. διπλανό σχήμα που παριστάνει τη συνάρτηση f() = ). Παρατήρηση 2: Το σύνολο των γραμμικών περιορισμών (εξισωτικών και ανισωτικών) είναι πάντα ένα κυρτό σύνολο που ονομάζεται πολύεδρο (στις δύο διαστάσεις πολύγωνο βλ. διπλανό σχήμα). Παρατήρηση 3: Η λύση του προβλήματος (το ελάχιστο της συνάρτησης) είναι μια κορυφή του πολυέδρου. Κατά συνέπεια το πρόβλημα ανάγεται στη συστηματική πορεία προς αυτή την κορυφή. Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 15
9 Εφαρμογή στη λύση ελάχιστων τετραγώνων γραμμικών συστημάτων Tο γενικευμένο αντίστροφο μητρώο Πρόβλημα: Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων A = b έχει τη μοναδική λύση = A 1 b αν ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων (δηλαδή το A είναι τετραγωνικό, n n) και επιπλέον το Α είναι ομαλό. Πως μπορεί να βρεθεί μια «λύση», όταν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις αυτές; Περίπτωση 1: Αριθμός εξισώσεων (n) μικρότερος του αριθμού αγνώστων (m) (Εδώ υπάγεται και η περίπτωση που το Α δεν είναι ομαλό, γιατί αυτό σημαίνει ότι μια ή περισσότερες από τις εξισώσεις αποτελούν γραμμικό συνδυασμό άλλων εξισώσεων). Συνθήκες: To A έχει μέγεθος n m, όπου m > n. Υπάρχουν άπειρες λύσεις. Στόχος: Αναζητούμε τη «μικρότερη» δυνατή λύση, δηλαδή αυτή που ελαχιστοποιεί τη νόρμα = ( T ) 1/2 Διατύπωση: min T s.. A b = Αναδιατύπωση χωρίς περιορισμούς: min φ(, λ) = T + λ Τ (A b) Παράγωγος (βλ. στοιχειώδεις κανόνες παραγώγισης): φ = 2 T + λ Τ A, φ λ = A b Στάσιμο σημείο: {2 T = λ Τ A, A = b} Επίλυση: { = ( 1/2) A T λ, A = b} { = ( 1/2) A T λ, ( 1/2)A A T λ = b}. To A A T έχει μέγεθος n n και είναι ομαλό, άρα αντιστρέψιμο. Έτσι η δεύτερη εξίσωση δίνει λ = 2 (A A T ) 1 b και η πρώτη = A T (A A T ) 1 b. Αποδεικνύεται (βλ. π.χ. Marlow, 1993, σ. 263) ότι το Εσσιανό στο σημείο της λύσης είναι Ι και άρα θετικά ορισμένο. Τελική λύση: = A T (A A T ) 1 b (μοναδικό ελάχιστο στο πρόβλημα). Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 16 Εφαρμογή στη λύση ελάχιστων τετραγώνων γραμμικών συστημάτων Tο γενικευμένο αντίστροφο μητρώο (2) Περίπτωση 2: Αριθμός εξισώσεων (n) μεγαλύτερος του αριθμού αγνώστων (m) Συνθήκες: To A έχει μέγεθος n m, όπου m < n. Δεν υπάρχει καμιά (ακριβής) λύση Στόχος: Αναζητούμε μια προσεγγιστική λύση και συγκεκριμένα αυτή που δίνει το μικρότερo δυνατό σφάλμα A b = [(A b) T (A b)] 1/2 = ( T A T A T A T b b T A + b T b) 1/2 Διατύπωση: min f() = T A T A T A T b b T A + b T b Παράγωγος (βλ. στοιχειώδεις κανόνες παραγώγισης): df d = 2 T A T A 2 b T A Στάσιμο σημείο: T A T A = b T A A T A = A T b Επίλυση: To A T A έχει μέγεθος m m και είναι ομαλό, άρα αντιστρέψιμο. Άρα = (A T A) 1 A T b. Αποδεικνύεται (βλ. π.χ. Marlow, 1993, σ. 255) ότι το Εσσιανό στο σημείο της λύσης είναι 2 A T A και άρα θετικά ορισμένο. Τελική λύση: = (A T A) 1 A T b (μοναδικό ελάχιστο στο πρόβλημα). Κωδικοποίηση της λύσης του συστήματος Α = b Σχέση m, n Ομαλό μητρώο Mητρώο C της λύσης = C b m = n B = A C = A 1 (m n) [Κανονικό αντίστροφο] m > n B = A A T (n n) C = A T B 1 (m n) [Δεξιό αντίστροφο ή αντίστροφο ελάχιστης νόρμας] m < n B = A T A (m m) C = B 1 A T (m n) [Αριστερό αντίστροφο ή αντίστροφο ελάχιστων τετραγώνων] Παρατήρηση: Το δεξιό και το αριστερό αντίστροφο ταυτίζονται με το κανονικό όταν m = n. Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 17
10 4. Εφαρμογή στην προσαρμογή υδρολογικού μοντέλου Γραμμικά συστήματα και μοναδιαίο υδρογράφημα Γραμμικό σύστημα: Ένα σύστημα, του οποίου η είσοδος I() και η έξοδος Q(), όπου ο χρόνος, συνδέονται με γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, δηλ. της μορφής a d n Q n d n + a d n 1 Q n 1 d n a dq 1 d + a 1 Q = I όπου a i συντελεστές. Αποδεικνύεται η λύση της εξίσωσης είναι μια συνελικτική σχέση της μορφής Q() = I(τ) U( τ) dτ όπου U() είναι η λεγόμενη συνάρτηση απόκρισης (response funcion) του συστήματος. Γραμμική λεκάνη απορροής: Μια λεκάνη απορροής για την οποία υποτίθεται βάσιμα ότι μπορεί να θεωρηθεί γραμμικό σύστημα ως προς το μετασχηματισμό της ενεργού βροχής σε απορροή. Εν προκειμένω η είσοδος Ι() είναι η καθαρή βροχόπτωση στη λεκάνη (= ολική βροχόπτωση απώλειες κατακράτησης και διήθησης) και Q() είναι η πλημμυρική παροχή σε δεδομένη διατομή του υδατορεύματος. Στιγμιαίο μοναδιαίο υδρογράφημα (ΣΜΥ): Εξ ορισμού είναι η συνάρτηση απόκρισης U(). Το ΣΜΥ αποτελεί την χρονική εξέλιξη της παροχής αν ως εισροή I() θεωρηθεί ένας στιγμιαίος παλμός συνολικού ύψους βροχής Η (κατά σύμβαση Η = 1 cm = 1 mm) που πραγματοποιείται στο χρόνο =. Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 18 Βασικές ιδιότητες του μοναδιαίου υδρογραφήματος Μοναδιαίο υδρογράφημα διάρκειας d: Εξ ορισμού είναι η χρονική εξέλιξη της παροχής U d () αν η εισροή I() θεωρηθεί ένας τετραγωνικός παλμός διάρκειας d και συνολικού ύψους βροχής Η (έντασης Η / d). Καμπύλη S (κατασκευασμένη από το μοναδιαίο υδρογράφημα διάρκειας d): Εξ ορισμού είναι η χρονική εξέλιξη της παροχής S d () αν η εισροή I() θεωρηθεί ότι έχει σταθερή ένταση Η / d για άπειρη διάρκεια, ξεκινώντας από το χρόνο = (αποτελεί επαλληλία άπειρων μοναδιαίων υδρογραφημάτων διάρκειας d). Εμβαδό μοναδιαίου υδρογραφήματος (όγκος απορροής) U ( ), U d( ) d Βροχή H /d Στιγμιαίο μοναδιαίο υδρογράφημα (εμβαδό V = H A ) Μοναδιαίο υδρογράφημα διάρκειας d (εμβαδό V = H A ) T d T V = Ud () d = U() d = H A όπου Α το εμβαδό της λεκάνης, και T d και T οι διάρκειες πλημμύρας για το μοναδιαίο και το στιγμιαίο μοναδιαίο υδρογράφημα, αντίστοιχα. Σχέση στιγμιαίου μοναδιαίου υδρογραφήματος και καμπύλης S: S d () = 1 d U(τ) dτ Σχέση μοναδιαίου υδρογραφήματος και καμπύλης S: U d () = S d () S d ( d) H /d S d( ) d Βροχή Καμπύλη S Η Α d Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 19
11 Πλημμυρικό υδρογράφημα μετά από τυχούσα βροχόπτωση Εναλλακτική λύση 1, με βάση το στιγμιαίο μοναδιαίο υδρογράφημα (από συνελικτική εξίσωση μειονέκτημα: απαίτηση ολοκλήρωσης). Εναλλακτική λύση 2, με βάση το μοναδιαίο υδρογράφημα διάρκειας d: Διακριτοποιούμε το χρόνο σε διαστήματα Δ j = ( j 1, j ), όπου j j 1 = d, και προσεγγίζουμε το ωφέλιμο υετογράφημα Ι() με μια αλληλουχία σταθερών ανά χρονικό βήμα εντάσεων I j (και υψών Η j = d I j ), οπότε όπου q Q( j ) = Ud ( j + 1 k ) H q k = H Ud ( k ) H j + 1 k k = p p = ma(1, j + 1 n), q = min (j, m), p = ma(1, j + 1 m), q = min (j, n), j = 1, 2,..., n + m 1 ενώ n = T d / d 1 είναι ο αριθμός των τεταγμένων του μοναδιαίου υδρογραφήματος ανά χρονικά διαστήματα μήκους d, m = T H / d είναι ο αριθμός χρονικών διαστημάτων μήκους d στο καθαρό υετογράφημα, T d είναι η διάρκεια του μοναδιαίου υδρογραφήματος διάρκειας d και T H η διάρκεια της καθαρής βροχόπτωσης. k = p Βασική αναλλοίωτη πλημμυρογραφήματος χρόνος υστέρησης: Ο χρόνος υστέρησης ορίζεται L ως η χρονική απόσταση από το κέντρο βάρους του υετογραφήματος μέχρι το κέντρο βάρους του πλημμυρογραφήματος. Αποδεικνύεται ότι ο χρόνος υστέρησης L είναι σταθερός για κάθε πλημμυρογράφημα (με την προϋπόθεση της γραμμικότητας του συστήματος/λεκάνης). H Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 2 Παραμετρική έκφραση του μοναδιαίου υδρογραφήματος T u() Τυποποιημένο στιγμιαίο μοναδιαίο υδρογράφημα: u() = U() / V (Εμβαδό: d = 1) Τυποποιημένη καμπύλη S: s() = S d () (d / V ) (Ιδιότητες: s() = u() d, s() =, s(t ) = 1) Αναλυτικές παραμετρικές εκφράσεις τυποποιημένου στιγμιαίου μοναδιαίου υδρογραφήματος: Παρόμοιες με αυτές των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας κωδωνωειδούς μορφής (Nash, 1959, Kousoyiannis, 1989). 1 Παράδειγμα 1 (συνηθέστερη έκφραση): u() = β 1 ep α Γ(β) α Παράδειγμα 2 (απλούστερη έκφραση): u() = β α α β + 1 ep α, s() = u() d, L = α β α β, s() = ep α β, L = α Γ(1 1/β) Έκφραση μοναδιαίου υδρογραφήματος συναρτήσει του τυποποιημένου στιγμιαίου μοναδιαίου υδρογραφήματος: U d () = S d () S d ( d), όπου S d () = s() (V / d) Συνάρτηση EXCEL για τον υπολογισμό της Γ(): EXP(GAMMALN()) Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 21
12 Eκτίμηση μοναδιαίου υδρογραφήματος και σφάλμα εκτίμησης Σφάλμα εκτίμησης Η σχέση πλημμυρογραφήματος-υετογραφήματος μπορεί να γραφεί υπό μορφή διανυσμάτωνμητρώων με τον ακόλουθο τρόπο A = b όπου διάνυσμα μεγέθους n με i = U d ( i ) (μοναδιαίο υδρογράφημα), b διάνυσμα μεγέθους n + m 1 με b i = Q( i ) (πλημμυρογράφημα), και A μητρώο μεγέθους (n + m 1) n με a ij = H i + 1 j H για i + 1 m j i, a ij = διαφορετικά όπου n ο αριθμός των τεταγμένων του μοναδιαίου υδρογραφήματος, και m ο αριθμός χρονικών διαστημάτων στο καθαρό υετογράφημα. Εφόσον το πλημμυρογράφημα b έχει μετρηθεί, η σχέση A = b δεν μπορεί να ισχύει επακριβώς (υπάρχουν n + m 1 εξισώσεις με n αγνώστους αν το είναι άγνωστο ή με m αγνώστους αν το Α είναι άγνωστο). Επομένως το μέγεθος A b 2 παριστάνει το τετραγωνικό σφάλμα εκτίμησης. Εκτίμηση μοναδιαίου υδρογραφήματος (εκτίμηση του για γνωστά Α και b) 1. Παραμετρική έκφραση μοναδιαίου υδρογραφήματος = (α, β, γ, ) όπου α, β, γ,, παράμετροι. Αντικειμενική συνάρτηση: min f(α, β, γ, ) := A b 2 2. Μη παραμετρική έκφραση μοναδιαίου υδρογραφήματος = (,,, n ) T, όπου όλα τα,,, n αποτελούν αγνώστους. Αντικειμενική συνάρτηση: min f() := A b 2 Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 22 Βασική βιβλιογραφία Αναφορές Βασική βιβλιογραφία Loucks, D. P., Sedinger, J. R., and Haih, D. A., Waer Resource Sysem Planning and Analysis, Prenice-Hall, Englewood Cliffs, Mays, L. W., and Y.-K. Tung, Hydrosysems Engineering and Managemen McGraw-Hill, New York, Mays, L. W., and Y.-K. Tung, Sysems analysis, in Waer Resources Handbook, edied by L. W. Mays, McGraw-Hill, New York, Marlow, W. H., Mahemaics for Operaions Research, Dover Publicaions, New York, Pierre, D. P., Opimizaion Theory Wih Applicaions, Dover, New York, Press, W. H., S. A. Teukolsky, W. T. Veerling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge Universiy Press, Cambridge, Searle, S. R., Mari Algebra Useful for Saisics, Wiley, Αναφορές O Donnell, T., Deerminisic cachmen modelling, in River flow modelling and forecasing, edied by D. A. Kraijenhoff, and J. R. Moll, D.Reidel Publishing Company, Dordrech, Kousoyiannis, D., and Th. Xanhopoulos, On he parameric approach o uni hydrograph idenificaion, Waer Resources Managemen, 3(2), , Nash, J. E., Sysemaic deerminaion of uni hydrograph parameers, Journal of Geophysical Research, 64(1), , Δ. Κουτσογιάννης, Ανασκόπηση εννοιών μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων 23
Ανασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Ανασκόπηση εννοιών, μεθόδων βελτιστοποίησης και άλγεβρας μητρώων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μονοδιάστατο πρόβλημα βελτιστοποίησης Συνθήκες ακροτάτου f (x
Διαβάστε περισσότεραIII.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ
III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)
Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 5 ο : Απορροή
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων
Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μη γραμμικός προγραμματισμός χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων
Συνδυασμός προσομοίωσης και μη γραμμικής βελτιστοποίησης Εφαρμογές σε συστήματα ταμιευτήρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Μη γραμμικός προγραμματισμός χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότερα1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20
Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα - Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα: Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 8:Υδρογραφήματα-ΜοναδιαίοΥδρογράφημα - Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα: Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)
Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 7 ο : Διόδευση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραAf(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος.
Διαβάστε περισσότερα(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :
ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)
Διαβάστε περισσότεραII.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Παραβολική
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότερα3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ
3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότερακαι να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n (1) x g (2)
KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραII.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι
Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΑστικά υδραυλικά έργα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης
ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f
ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΠολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)
Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότερα5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος
Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ
ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 7. ΔΙΟΔΕΥΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 7. ΔΙΟΔΕΥΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ 7.1. ΓΕΝΙΚΑ Ένα από τα συνηθέστερα προβλήματα στην επιστήμη της υδρολογίας είναι ο χωροχρονικός προσδιορισμός
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότερα21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 5. ΑΠΟΡΡΟΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 5. ΑΠΟΡΡΟΗ 5.1 ΓΕΝΙΚΑ Από το νερό που φθάνει στην επιφάνεια της γης ως κατακρήμνισμα: - Ένα μέρος συγκρατείται από το φύλλωμα των
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας 1: Μ.ΥΓ. 6 ωρών
ΑΣΚΗΣΗ 5A.5 ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΥΔΡΟΓΡΑΦΗΜΑ Το μοναδιαίο υδρογράφημα μιας λεκάνης απορροής εκτάσεως 404km 2 και διάρκειας t R =6hr έχει ως εξής: Πίνακας 1: Μ.ΥΓ. 6 ωρών Χρόνος (hr) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 Παροχή
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραf(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότεραΗμερολόγιο μαθήματος
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΒελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενικές έννοιες Σύστημα (system) (1) Σύνολο συνδεδεμένων τμημάτων που αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΒελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή
Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενικές έννοιες Σύστημα (system) (1) Σύνολο συνδεδεμένων τμημάτων που αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Πετρωμάτων Τάσεις
Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των
Διαβάστε περισσότερα11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός
56 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση,, Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε σταθερά τα και και
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης 19.1. Δείξτε ότι το Perceptron με (α) συνάρτηση ενεργοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson Μέθοδοι ελαχίστων τετραγώνων Least square methos Αν οι κλάσεις είναι γραμμικώς διαχωρίσιμες το perceptron θα δώσει σαν έξοδο ± Αν οι κλάσεις ΔΕΝ είναι
Διαβάστε περισσότερα