Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
|
|
- reek Αλαφούζος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν διαδοχικές προσεγγίσεις, που συγκλίνουν στο ελάχιστο. Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες μεθόδων: Μέθοδοι που δεν χρησιμοποιούν τις παραγώγους, αλλά μόνο τις τιμές της συνάρτησης. Μέθοδοι που χρησιμοποιούν τις παραγώγους (πρώτες ή/και δεύτερες) της συνάρτησης. Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dppgeo@cc.uoi.gr Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Αναζήτηση με διαμέριση Αναζήτηση με διαμέριση Δίνεται η συνάρτηση και ένα διάστημα, μέσα στο οποίο γνωρίζουμε ότι βρίσκεται το ελάχιστο. h=( )/Μ Αναζήτηση με διαμέριση: Χωρίζουμε το διάστημα, σε ίσα υποδιαστήματα το καθένα με μήκος Ονομάζουμε τα σημεία,,, Το κάθε σημείο δίνεται από: Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης σε κάθε σημείο: Επιλέγουμε ως ελάχιστο το σημείο που έχει την μικρότερη τιμή Σφάλμα στην εύρεση του ελαχίστου Η αναζήτηση με διαμέριση βρίσκει μια προσεγγιστική λύση. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε μια ακριβέστερη προσέγγιση του ελαχίστου; Πυκνότερη διαμέριση. Ποιο είναι το σφάλμα που κάνουμε χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο; Πόσες διαμερίσεις χρειάζονται για να βρούμε το ελάχιστο με προκαθορισμένο σφάλμα ; Παράδειγμα: Αν 0,, Ποιο είναι το μικρότερο δυνατό σφάλμα που μπορούμε να απαιτήσουμε ; Εξαρτάται από τη σχετική ακρίβεια του υπολογιστή. Απλή ακρίβεια 0 Διπλή ακρίβεια 0 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 4
2 Αναζήτηση με διαμέριση Υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται Πως μετράμε τον υπολογιστικό χρόνο που απαιτεί η αναζήτηση με διαμέριση; Πως συγκρίνουμε δύο διαφορετικούς αλγορίθμους για να βρούμε τον πιο αποδοτικό ; Σε όλους τους αλγορίθμους ελαχιστοποίησης γίνονται δύο ειδών υπολογισμοί: Υπολογισμοί της αντικειμενικής συνάρτησης. Λειτουργίες που αφορούν καθαυτό τον αλγόριθμο (πχ. εύρεση της μικρότερης τιμής) Θεωρούμε ότι ο χρόνος που απαιτείται για λειτουργίες του αλγορίθμου είναι μικρός. Χρησιμοποιούμε το πλήθος υπολογισμών της αντικειμενικής συνάρτησης για να αποτιμήσουμε την αποδοτικότητα κάθε αλγορίθμου ελαχιστοποίησης. Για μια διαμέριση διαστημάτων απαιτούνται υπολογισμοί της συνάρτησης Αναζήτηση με διαμέριση Γενίκευση σε πολλές διαστάσεις Θεωρήστε μια συνάρτηση μεταβλητών, Πρέπει να κατασκευάσουμε διαμέριση στον άξονα και στον άξονα Συνολικά απαιτούνται υπολογισμοί της συνάρτησης. Παράδειγμα: Πόσος χρόνος απαιτείται για μια συνάρτηση 5 μεταβλητών με διαμέριση 000 διαστημάτων σε κάθε μεταβλητή, όταν ένας υπολογισμός της συνάρτησης διαρκεί 0.0ms ; Οι υπολογισμοί της συνάρτησης που απαιτούνται είναι: Ο συνολικός χρόνος είναι: 0 0.0ms0 s 6 dys Η αναζήτηση με διαμέριση είναι απαγορευτική για πολλές διαστάσεις. Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 6 Αναζήτηση με διαμέριση Διαστήματα αβεβαιότητας Πλεονεκτήματα Εύκολη υλοποίηση Χρησιμοποιεί μόνο τις τιμές της συνάρτησης Μειονεκτήματα Απαιτούνται πολλοί υπολογισμοί της συνάρτησης για μικρή έστω ακρίβεια Πρακτικά δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλές διαστάσεις Διάστημα αβεβαιότητας Ένα διάστημα, που φράσει τη θέση του ελαχίστου, δηλαδή f ( x ) x * c x Το διάστημα, συνοδεύεται από ένα τρίτο σημείο (σημείο ελέγχου), που βρίσκεται εντός του διαστήματος και τέτοιο ώστε: Γράφουμε:,, Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 7 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 8
3 Προσέγγιση του ελαχίστου σε διάστημα αβεβαιότητας Αν το μήκος του διαστήματος είναι μικρό, τότε μια καλή προσέγγιση του ελαχιστοποιητή είναι: με σφάλμα (το πολύ): αλλιώς πρέπει να μικρύνουμε το διάστημα αβεβαιότητας μέχρι να πετύχουμε ικανοποιητικό σφάλμα. Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας Χρησιμοποιώντας μόνο τιμές της συνάρτησης f ( x ) Θεωρούμε δύο νέα σημεία, εντός του διαστήματος, τέτοια ώστε Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης, Συγκρίνουμε τις τιμές, και απορρίπτουμε ένα τμήμα του διαστήματος. f ( x ) f ( x) f ( x ) f ( x ) f ( x) x x x x x x Νέο διάστημα αβεβαιότητας:, Νέο διάστημα αβεβαιότητας:, Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 9 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 0 Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας Αλγόριθμος Δίνεται η συνάρτηση και διάστημα αβεβαιότητας,. Θεωρούμε δύο νέα σημεία, εντός του διαστήματος, τέτοια ώστε. Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης,. Έλεγχος. Αν τότε θέτουμε ως νέο διάστημα το,. Αν τότε θέτουμε ως νέο διάστημα το, 4. Επαναλαμβάνουμε από το βήμα Κριτήριο τερματισμού Η διαδικασία τερματίζεται όταν το σφάλμα γίνει μικρότερο από μια προκαθορισμένη τιμή, δηλαδή: σφάλμα Ο έλεγχος γίνεται πρίν την έναρξη κάθε επανάληψης (πριν πάρουμε τα δύο νέα σημεία) Πότε τερματίζεται η διαδικασία ; Πως επιλέγουμε τα εσωτερικά σημεία ; Πως μετράμε την απόδοση του αλγορίθμου ; Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση
4 Πως επιλέγουμε τα εσωτερικά σημεία Ο τρόπος επιλογής των δύο εσωτερικών σημείων οδηγεί σε αλγορίθμους με διαφορετικές ιδιότητες: Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Αναζήτηση διχοτόμησης Αναζήτηση Fioncci Αναζήτηση χρυσής τομής Πως μετράμε την αποδοτικότητα Για να αξιολογήσουμε τους διαφορετικούς τρόπους επιλογής των διαφορετικών σημείων ορίζουμε το συντελεστή μείωσης του διαστήματος αβεβαιότητας: Μήκος τελικού διαστήματος μετά από n κλήσεις της fx Μήκος αρχικού διαστήματος Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 4 Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Διαλέγουμε τα εσωτερικά σημεία έτσι ώστε το διάστημα αβεβαιότητας να διαιρείται σε τρία ίσα τμήματα, δηλαδή: Επανάληψη 0 Αναπαράσταση του διαστήματος αβεβαιότητας x x Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 6
5 Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Πως μικραίνει το διάστημα αβεβαιότητας Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Πόσες επαναλήψεις χρειαζόμαστε ; Επανάληψη Μήκος διαστήματος Πλήθος κλήσεων της σφάλμα μήκος τελικού διαστήματος log log log log log log Αν προκαθορίσουμε το μέγιστο αποδεκτό σφάλμα τότε το πλήθος των επαναλήψεων: Εξαρτάται μόνο από το μήκος του αρχικού διαστήματος αβεβαιότητας είναι ίδιο για οποιοδήποτε συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί εκ των προτέρων Πχ. Για μήκος αρχικού διαστήματος και 0 παίρνουμε Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 7 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 8 Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Συντελεστής απόδοσης Μήκος διαστήματος μετά από n κλήσεις της fx Αρχικό μήκος διαστήματος Επειδή κάθε επανάληψη χρειάζεται δύο υπολογισμούς της, μετά από n κλήσεις έχουν γίνει επαναλήψεις. Μετά από επαναλήψεις το μήκος του διαστήματος αβεβαιότητας είναι: / Συνεπώς ο συντελεστής απόδοσης είναι: / / Αναζήτηση διχοτόμησης Διαλέγουμε τα εσωτερικά σημεία κοντά στο μέσο του διαστήματος αβεβαιότητας x x Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 9 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 0
6 Αναζήτηση διχοτόμησης Αναζήτηση διχοτόμησης Επανάληψη Αναπαράσταση του διαστήματος αβεβαιότητας Πως μικραίνει το διάστημα αβεβαιότητας 0 Επανάληψη Μήκος διαστήματος Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Αναζήτηση διχοτόμησης Πως μικραίνει το διάστημα αβεβαιότητας Μετά από επαναλήψεις το μήκος του διαστήματος αβεβαιότητας είναι: 4 Όμως ισχύει ότι (ταυτότητα): Στην περίπτωσή μας Συνεπώς: Αναζήτηση διχοτόμησης Πως μικραίνει το διάστημα αβεβαιότητας Τελικά το μήκος του διαστήματος μετά από επαναλήψεις είναι: Παρατηρήστε ότι όταν τότε το μήκος Συνεπώς το τελικό διάστημα αβεβαιότητας δεν μπορεί να γίνει μικρότερο από 4 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 4
7 Αναζήτηση διχοτόμησης Πόσες επαναλήψεις χρειαζόμαστε ; σφάλμα μήκος τελικού διαστήματος Δεν μπορούμε να λύσουμε αναλυτικά την ανωτέρω εξίσωση ως προς Μπορούμε όμως:. Να κάνουμε τον έλεγχο για το σφάλμα στην αρχή κάθε επανάληψης.. Να θεωρήσουμε ότι το είναι μικρό, οπότε γράφουμε: log log Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 5 log log log log Πχ. Για μήκος αρχικού διαστήματος και 0 βρίσκουμε 9 Αναζήτηση διχοτόμησης Συντελεστής απόδοσης Μήκος διαστήματος μετά από n κλήσεις της fx Αρχικό μήκος διαστήματος Επειδή κάθε επανάληψη χρειάζεται δύο υπολογισμούς της, μετά από n κλήσεις έχουν γίνει επαναλήψεις. Μετά από επαναλήψεις το μήκος του διαστήματος αβεβαιότητας είναι: / Συνεπώς ο συντελεστής απόδοσης είναι: / / Αναζήτηση διχοτόμησης Αναζήτηση ίσων διαστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 6 Εύρεση αρχικού διαστήματος αβεβαιότητας Εύρεση αρχικού διαστήματος αβεβαιότητας. Δίνεται μια τιμή εκκίνησης και βήμα. Υπολογίζουμε την.. Παίρνουμε ένα δεύτερο σημείο και υπολογίζουμε την. 4. Επαναλαμβάνουμε για,4,. Διπλασιάζουμε το βήμα. Παίρνουμε ένα νέο σημείο c. Ελέγχουμε αν τα σημεία,, αποτελούν διάστημα αβεβαιότητας. f ( x ) x x x x 4 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 7 4 Τι γίνεται αν ; x Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Τετραγωνική Η βασική ιδέα Αφού ξέρουμε τις τιμές της συνάρτησης σε τρία σημεία,, μπορούμε να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση με μια παραβολή που διέρχεται από τα τρία αυτά σημεία. Η παραβολή έχει εξίσωση: όπου τα,, πρέπει να προσδιοριστούν Το ελάχιστο της παραβολής είναι: Οι άγνωστοι συντελεστές προσδιορίζονται από: Σημείο ελέγχου Διάστημα αβεβαιότητας Γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 8
8 Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Τετραγωνική Λύνοντας το σύστημα λαμβάνουμε τους συντελεστές,,. Το ελάχιστο της παραβολής είναι: όπου συμβολίζουμε: Στη συνέχεια ανάλογα με τη θέση του ελαχίστου απορρίπτουμε ένα τμήμα του διαστήματος αβεβαιότητας. Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Τετραγωνική ~ x c f ( ~ x ) f ( c) f ( ~ x ) f ( c) ~ x c x~ c c ~ x Νέο διάστημα: [, c], ~ x Νέο διάστημα: [ c, ], ~ x f ( ~ x ) f ( c) f ( ~ x ) f ( c) x~ c c ~ x Νέο διάστημα: [ ~ x, ], c Νέο διάστημα: [, ~ x], c Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 9 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 0 Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Τετραγωνική Αλγόριθμος. Δίνονται ως είσοδος το αρχικό διάστημα αβεβαιότητας,,. Έλεγχος αν ικανοποιούνται τα κριτήρια τερματισμού. Υπολογίζουμε το ελάχιστο της παραβολής και το 4. Έλεγχος της θέσης του σε σχέση με το. Εάν Εάν τότε το νέο διάστημα είναι:,, Εάν τότε το νέο διάστημα είναι:,,. Εάν Εάν τότε το νέο διάστημα είναι:,, Εάν τότε το νέο διάστημα είναι:,, 5. Επαναλαμβάνουμε από το βήμα. Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Τετραγωνική Κριτήρια τερματισμού Εφαρμόζονται κατά περίπτωση ένα ή περισσότερα κριτήρια τερματισμού της διαδικασίας.. Αν το μέγεθος του διαστήματος αβεβαιότητας γίνει μικρότερο από ένα προκαθορισμένο όριο. Η σχετική μείωση της τιμής της συνάρτησης είναι μικρότερη από ένα προκαθορισμένο όριο. Ο συνολικός αριθμός κλήσεων της συνάρτησης ξεπερνά ένα προκαθορισμένο όριο Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση
9 Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Τετραγωνική Πόσες επαναλήψεις χρειάζονται ; Το πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται για να πετύχουμε μια προκαθορισμένη ακρίβεια: Εξαρτάται από τη μορφολογία της συνάρτησης Δεν μπορεί να προσδιοριστεί εκ των προτέρων Σύκριση με τις προηγούμενες μεθόδους μείωσης του διαστήματος αβεβαιότητας είναι εφικτή μόνο αφού ολοκληρωθεί ο αλγόριθμος. Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Κυβική Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολυώνυμο υψηλότερης τάξης, πχ κυβικό Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 4 Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Χρήση της πρώτης παραγώγου Μείωση του διαστήματος αβεβαιότητας: Διχοτόμηση (με χρήση της πρώτης παραγώγου) Αλγόριθμος. Χωρίζουμε το διάστημα σε δύο ίσα μέρη. Υπολογίζουμε την παράγωγο. Έλεγχος κριτηρίων τερματισμού 4. Έλεγχος. Εάν 0 και 0 το νέο διάστημα είναι,. Εάν 0 και 0 το νέο διάστημα είναι, 5. Eπαναλαμβάνουμε από το βήμα m Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 6
10 Η μέθοδος Newton για εύρεση ριζών εξίσωσης Ανάπτυγμα σε σειρά Tylor Θέλουμε να λύσουμε τη μη γραμμική εξίσωση 0 Η βασική ιδέα: Ξεκινάμε με μια αρχική προσέγγιση της λύσης Κατόπιν ψάχνουμε ένα βήμα τέτοιο ώστε το σημείο να είναι η λύση, δηλαδή: 0 φ(x) 0 x x 0 Λύση Sir Isc Newton Ανάπτυγμα Tylor της συνάρτησης γύρω από το σημείο!! ή αλλιώς! Ανάπτυγμα της συνάρτησης σε απόσταση από το σημείο Προκύπτει αν θέσουμε στο παραπάνω όπου το και όπου το! ή αλλιώς! Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 7 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 8 Η μέθοδος Newton για εύρεση ριζών εξίσωσης Γράφουμε τη σειρά Tylor της κρατώντας μόνο τον όρο πρώτης τάξης! Θέλουμε ένα βήμα τέτοιο ώστε να φτάσουμε στη λύση: 0 Αντικαθιστούμε από τη σειρά Tylor: 0 Βήμα Newton για επίλυση εξισώσεων Η μέθοδος Newton για εύρεση ριζών εξίσωσης Αλγόριθμος:. Δίνεται ή συνάρτηση και αρχικό σημείο. Επαναλαμβάνουμε για,,. Ελέγχουμε τα κριτήρια τερματισμού. Υπολογίζουμε το βήμα Newton: / c. Βρίσκουμε το νέο σημείο: Συνήθη κριτήρια τερματισμού: Το πλήθος των επαναλήψεων ξεπερνάει ένα προκαθορισμένο αριθμό Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 9 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 40
11 Η μέθοδος Newton για ελαχιστοποίηση Η μέθοδος Newton για ελαχιστοποίηση Εάν θέλουμε να βρούμε ελάχιστο της συνάρτησης εφαρμόζουμε τη μέθοδο Newton για να λύσουμε τη μη γραμμική εξίσωση: f (x) Ελάχιστο της συνάρτησης Αλγόριθμος:. Δίνεται ή συνάρτηση και αρχικό σημείο. Επαναλαμβάνουμε για,, 0. Ελέγχουμε τα κριτήρια τερματισμού Γράφουμε το ανάπτυγμα Tylor της κρατώντας μόνο τον όρο πρώτης τάξης: Το βήμα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να μας οδηγεί στη λύση: f '( x) Ρίζα της παραγώγου. Υπολογίζουμε το βήμα Newton: / c. Βρίσκουμε το νέο σημείο: Συνήθη κριτήρια τερματισμού: 0 0 Το πλήθος των επαναλήψεων ξεπερνάει ένα προκαθορισμένο αριθμό Βήμα Newton για ελαχιστοποίηση Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 4 Υπολογιστικές Μέθοδοι Πολύπλοκων Συστημάτων Μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση 4
Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επίλυση ασκήσεων - Αλγόριθμοι αναζήτησης - Επαναληπτική κάθοδος ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Θα επιλυθούν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι
Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις για το μάθημα Υπολογιστικές μέθοδοι πολύπλοκων συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα Υπολογιστικές μέθοδοι πολύπλοκων συστημάτων Δ. Γ. Παπαγεωργίου ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2016 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 1.1 Ιστορική αναδρομή.....................................
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Τεχνικές αναζήτησης - Search tools in MATLAB - Διερεύνηση λύσης NCM ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ Στόχος: Ο σταδιακός
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραNon Linear Equations (2)
Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα 3 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΣυνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραx k+1 = x k + α k (x k ) ώστε f(x k+1 ) < f(x k ),
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 Υπολογιστικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση min f(x) x R n x Στα περισσότερα
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ
Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2017-2018 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 03 ΟΚΤ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική 2. Αλγόριθμοι
Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 02, 09 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Μη γραμμικές εξισώσεις 2. Η μέθοδος της διχοτόμησης 1 Μη γραμμικές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών
Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 2: Δομικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)
6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότερα5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα
5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Διαδικασίες
Επαναληπτικές Διαδικασίες Οι επαναληπτικές δομές ( εντολές επανάληψης επαναληπτικά σχήματα ) χρησιμοποιούνται, όταν μια ομάδα εντολών πρέπει να εκτελείται αρκετές- πολλές φορές ανάλογα με την τιμή μιας
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών
Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότερα.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887
Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης
Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασιακός Προγραμματισμός
Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 12 η Αναζήτηση/Ταξινόμηση Πίνακα Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα C: Από τη Θεωρία στην
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων
Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Τα πρωταρχικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι: 1. πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 2. πώς μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους οι διάφοροι
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αριθμητικές τεχνικές - Επισκόπηση αλγορίθμων - Optimization in MATLAB ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Εφαρμόζονται κυρίως σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 4) Σεπτέμβριος 2015
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;
5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότεραΑν ένα πρόβλημα λύνεται από δύο ή περισσότερους αλγόριθμους, ποιος θα είναι ο καλύτερος; Με ποια κριτήρια θα τους συγκρίνουμε;
Αν ένα πρόβλημα λύνεται από δύο ή περισσότερους αλγόριθμους, ποιος θα είναι ο καλύτερος; Με ποια κριτήρια θα τους συγκρίνουμε; Πως θα υπολογίσουμε το χρόνο εκτέλεσης ενός αλγόριθμου; Για να απαντήσουμε
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ
ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΟ 13 ΚΟΣΤΗ TC = FC + VC ή TC = AC* SOS TC ATC = Το μέσο κόστος ισούται με το
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Τι είναι πρόβλημα (σελ. 3) 2) Τι είναι δεδομένο, πληροφορία, επεξεργασία δεδομένων (σελ. 8) 3) Τι είναι δομή ενός προβλήματος (σελ. 8)
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20
Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραAριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου
Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων Πληροφορικής 2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών 3. Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότερα1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
Διαβάστε περισσότερα