ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ - Εφικτός χώρος λύσεων - Συνάρτηση Lagrange - Γενικές συνθήκες ECM

2 ΣΥΝΘΗΚΕΣ CONSTRAINED Ιδιαιτερότητες των προβλημάτων με περιορισμούς: H λύση, εκτός του ότι θα πρέπει να είναι ακρότατο της f, οφείλει να ικανοποιεί και όλους τους περιορισμούς. Οι περιορισμοί (ισοτικοί/ανισοτικοί) θα πρέπει με κάποιο τρόπο να ενσωματωθούν στις συνθήκες ελαχιστοποίησης. Επιπτώσεις στη μεθοδολογία? Αλλαγές στις συνθήκες ή/και την αντικειμενική συνάρτηση??? Πρώτη προσέγγιση? Οι λύσεις που περιλαμβάνονται σε εκείνες του προβλήματος χωρίς περιορισμούς. 2

3 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εφικτό σημείο Που ικανοποιεί τους περιορισμούς. Σύνολο των εφικτών σημείων = Εφικτός χώρος (λύσεων). Μη κενός εφικτός χώρος Αποτελούμενο πρόβλημα. Κυρτός (ως σύνολο) εφικτός χώρος Κυρτό πρόβλημα. Επιθυμητές ιδιότητες του εφικτού χώρου λύσεων: 3

4 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (συν.) Ορισμός του «ομαλού» εφικτού σημείου: Σε πρόβλημα βελτιστοποίησης με αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και m συναρτήσεις περιορισμών C(Χ) = 0, αν σε κάποιο εφικτό σημείο Χ* τα διανύσματα c 1, c 2,, c m είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε το X* λέγεται ομαλό σημείο. Περιορισμοί εμφανίζονται σε προβλήματα ως μίγμα ισοτήτων με ανισότητες, πχ. c 1 (X) = 0, c 2 (X) 0 Ενεργός περιορισμός: c i (X) = 0 στο βέλτιστο Χ (= Χ*). Μη ενεργός περιορισμός: c j (X) 0 στο βέλτιστο Χ. Παρατήρηση: Η τιμή (θέση) του Χ* μεταβάλλεται μόνο αν αρθεί κάποιος από τους ενεργούς περιορισμούς! 4

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Με περιορισμούς x 1 0, x 2 0, (x 1-1) 2 x 2, να δείξετε ότι το Χ*=(x 1 *,x 2 *) = (1,0) είναι εφικτό αλλά όχι ομαλό. Οι τρεις περιορισμοί εκφράζονται στη μορφή: c 1 (X) = - x 1 0, c 2 (X) = - x 2 0, c 3 (X) = x 2 - (x 1-1) 2 0. Αντικατάσταση του Χ* στις σχέσεις των τριών περιορισμών τους ικανοποιεί, οπότε το Χ* είναι εφικτό σημείο, και δίνει επιπλέον ότι οι c 2 και c 3 είναι ενεργοί στο Χ*. Έλεγχος ομαλότητας Χ* (επί των ενεργών περιορισμών): c 2 Χ = c 2 x 1 c 2 x 2 = 0 1, c 3 (Χ ) = c 3 x 1 c 3 x 2 = 0 1. c 2 Χ, c 3 (Χ ) γραμ. εξ. (συνευθειακά) (1,0) μη ομαλό. 5

6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ CONSTRAINTS Αναγωγή σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς: Καθορισμός του εφικτού χώρου λύσεων του προβλήματος. Συμπερίληψη των μαθηματικών σχέσεων των περιορισμών στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος NCM. Υπάρχουν τρία είδη περιορισμών: Ισοτικοί: Της μορφής H(X) = 0. h i (x 1, x 2,, x n ) = 0. Ανισοτικοί: Της μορφής G(X) < 0. g i (x 1, x 2,, x n ) < 0. Μικτοί: Της μορφής W(X) 0. w i (x 1, x 2,, x n ) 0. 6

7 ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE Εφαρμογή όταν οι περιορισμοί είναι μόνο ισότητες! Ορισμός της συνάρτησης Lagrange: Σε πρόβλημα βελτιστοποίησης με αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και m περιορισμούς ισότητας H(Χ) = 0, ορίζουμε σαν συνάρτηση Lagrange την L X, Λ = f X + Λ H(Χ), όπου Λ = [λ 1 λ 2 λ m ] (λ i > 0) οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Σύνοψη του μετασχηματισμένου προβλήματος: Μεταβλητές: Οι αρχικές (Χ) μαζί με τους συντελεστές Λ. Ζητούμενο: Η ελαχιστοποίηση της L ως προς Χ και Λ. Τύπος προβλήματος: NCM με αντικειμενική συνάρτηση L. 7

8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η L μετράει την «ευαισθησία» του ελαχίστου της f σε μικρές (παραμετρικές) μεταβολές των περιορισμών. Βασικές ιδιότητες των L, Λ: Σύμπτωση ακροτάτων f και L: L X, Λ = f X. Ευθυγράμμιση των κλίσεων στο βέλτιστο σημείο X : f X = Λ H(X ). Στο X, ο Λ δίνει τον ρυθμό μεταβολής της L ως προς H: L X, Λ Τ h i X = λ i. 8

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Εξετάστε αν το x* = 0 είναι λύση του προβλήματος min[f(x)] υπό τον περιορισμό h(x) = 0, με f(x) = x και h(x) = x 2 U(-x) + (x-1) 2 U(x-1) (U: step function). Ο εφικτός χώρος λύσεων του προβλήματος (με βάση τον περιορισμό) είναι το διάστημα S = [0,1]. Στον S, το x* είναι ένα τοπικό ελάχιστο (ως η τιμή γνησίως αύξουσας συνάρτησης στο κατώτατο άκρο του πεδίου). Ισχύει όμως ότι f (x) = 1 και h (x) = 0, οπότε οι κλίσεις της αντικειμενικής συνάρτησης και του περιορισμού δεν είναι ποτέ δυνατό να ευθυγραμμιστούν εντός του S. Συνεπώς, το x* δεν αποτελεί λύση του προβλήματος. 9

10 ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕCM Αναγκαία συνθήκη ECM (1 ης τάξης): Έστω πρόβλημα με m περιορισμούς H(Χ) = 0, αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και την συνάρτηση Lagrange L: Q R n+m R. Αν το Χ* S είναι τοπικό ελάχιστο τότε υπάρχει Λ* R m με L(Χ, Λ ) = f(χ ) + Λ H(Χ ) = 0. Αναγκαία συνθήκη ECM (2 ης τάξης): Έστω πρόβλημα με m περιορισμούς H(Χ) = 0, αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και την συνάρτηση Lagrange L: Q R n+m R. Αν το Χ* S είναι τοπικό ελάχιστο, τότε υπάρχει Λ* R m ώστε να ισχύει L(Χ, Λ ) = 0 και 2 L 0 επί του εφαπτόμενου επιπέδου στις H(X) = 0 στο σημείο Χ*. 10

11 ΙΚΑΝΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕCM Ικανή συνθήκη ECM (2 ης τάξης): Έστω πρόβλημα με m περιορισμούς H(Χ) = 0, αντικειμενική συνάρτηση f: S R n R και την συνάρτηση Lagrange L: Q R n+m R. Αν στο ομαλό σημείο Χ* S υπάρχει Λ* R m ώστε L(Χ, Λ ) = 0 και 2 L 0 στο εφαπτόμενο επίπεδο των H(X) = 0 στο σημείο Χ*, τότε το Χ* είναι τοπικό ελάχιστο. Σύνδεση με το αρχικό πρόβλημα: Απεικόνιση προβλήματος m περιορισμών με f διαστάσεων n σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς με L διαστάσεων n+m. Επιπλέον εξισώσεις (μια για κάθε στοιχείο λ i του Λ) που προκύπτουν από τους περιορισμούς του προβλήματος. 11

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Να υπολογιστεί η ακτίνα r και το ύψος b δεξαμενής κυλινδρικού σχήματος, με σταθερό όγκο V 0, ώστε η επιφάνειά της να είναι η ελάχιστη δυνατή. Επιφάνεια: S = 2πr(b +r) Όγκος: V 0 = πr 2 b. Αντικειμενική συνάρτηση: f(r, b) = 2πr(b + r). Περιορισμός ισότητας: h(r, b) = πr 2 b - V 0 = 0. Συνάρτηση Lagrange: L = f+λh = 2πr(b+r) + λ(πr 2 b-v 0 ). Οι αναγκαίες συνθήκες 1 ης τάξης γράφονται: L r = π b + 2r + 2λ b = 0, Επίλυση συστήματος Κρίσιμο σημείο L b = πr 2 + λ r = 0, L λ = πr 2 b V 0 = 0. r = 3 V 0, 2π b = 3 4V 0, π λ = 2 3 2π r = 2. V 0 12

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ (σειρά 2) 6 ασκήσεις προς επίλυση: Κυρτότητα συναρτήσεων. Προβλήματα NCM. Συνάρτηση Lagrange. Προβλήματα ECM. Παράδοση των ασκήσεων 16/4/2018. Χρόνος για την παράδοση: 3 εβδομάδες! Επεξεργασία στις διακοπές του Πάσχα Επικοινωνία με για τυχόν απορίες. 13

14 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Εφικτός χώρος λύσεων Συνάρτηση Lagrange Γενικές συνθήκες ΕCΜ 14