ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ & ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ

Transcript

1 ΙΑΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ & ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΔΡ. Γ. ΜΑΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

2 Εισαγωγή Σχηματισμός Εικόνας Συλλογή και Δημιουργία Εικόνας Ανάλυση Εικόνων Τεχνικές Επεξεργασίας Ιατρικών Εικόνων 2

3 Εισαγωγή Η όραση αποτελεί σημαντική αίσθηση που επιτρέπει τη συλλογή και επεξεργασία πληροφοριών από το περιβάλλον Μέσω της Πληροφορικής αναπτύχθηκαν νέα ερευνητικά πεδία όπως η επεξεργασία των οπτικών πληροφοριών Η Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων αφορά στη βελτίωση, επεξεργασία και ανάλυση ψηφιακών εικόνων μέσω υπολογιστή (είσοδος: εικόνα έξοδος: εικόνα) 3

4 Σχηματισμός Εικόνας στο Μάτι Το ανθρώπινο μάτι αποτελεί τον καλύτερο επεξεργαστή εικόνων 4

5 Ανθρώπινη Αντίληψη Εικόνων Το χρώμα αποτελεί σημαντικό στοιχείο στην επεξεργασία εικόνων Είδος εικόνων προς επεξεργασία (με βάση το χρώμα): Εικόνες διαφορετικών επιπέδων του γκρι (256 αποχρώσεις του γκρι / gray level) Δυαδικές εικόνες ( δύο χρώματα / black and white) Έγχρωμες εικόνες (συνδυασμοί βασικών χρωμάτων / RGB) 5

6 Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Εικόνων Εικόνες διαφορετικών επιπέδων του γκρι (gray level) Φωτεινότητα (brightness): αφορά στη χρωματική ένταση (intensity) μίας εικόνας Αντίθεση (contrast): αφορά στο διαχωρισμό των διαφορετικών επιπέδων του γκρι στην εικόνα 6

7 Φωτεινότητα Το ανθρώπινο μάτι μπορεί να διακρίνει το πολύ 50 διαφορετικές διαβαθμίσεις του γκρι από το μαύρο έως το λευκό Μαύρο: 0 gray level Αντιλαμβανόμενη Φωτεινότητα Άσπρο: 255 gray level Πραγματική Φωτεινότητα 7

8 Αντίθεση Τα τρία τετράγωνα έχουν την ίδια φωτεινότητα αλλά εμφανίζονται διαφορετικά (πιο σκούρα) καθώς η φωτεινότητας του υποβάθρου γίνεται πιο ανοικτή 8

9 Συλλογή Εικόνων Εικόνες προέρχονται από φωτογραφικό φιλμ, video κάμερες, ψηφιακές κάμερες (CCD) με χρήση κατάλληλων ανιχνευτών Εικόνες ψηφιοποιούνται με κατάλληλες διατάξεις (σαρωτής (scanner), ψηφιοποιητής (grabber)) ή απευθείας (ψηφιακές κάμερες) Η απευθείας λήψη ψηφιακών εικόνων παρέχει αυξημένη ποιότητα εικόνων Τα περισσότερα Ιατρικά Απεικονιστικά Συστήματα παρέχουν απευθείας ψηφιακή έξοδο 9

10 Συλλογή Ψηφιακής Εικόνας Φωτεινή πηγή (Ενέργεια) Απεικονιστικό Σύστημα Ψηφιακή Εικόνα Αντικείμενο Επίπεδο Εικόνας (Προβολή) 0

11 Δειγματοληψία - Κβαντισμός (α) - Συνεχής εικόνα (β) - Προφίλ της γραμμής ΑΒ της συνεχούς εικόνας (γ) - Δειγματοληψία (δ) - Κβαντισμός (ψηφιακή α β γραμμή) γ δ

12 Παράδειγμα Δειγματοληψίας Προβολή συνεχούς εικόνας σε ανιχνευτή Ψηφιακή εικόνα μετά από δειματοληψία - κβαντισμό 2

13 Χωρική Αναπαράσταση Εικόνων Οι εικόνες αποτελούνται από ένα σύνολο στοιχειωδών πληροφοριών: Αντιστοιχούν στην τιμή της μετρούμενης ιδιότητας Οργανώνονται σε ορθογωνικές περιοχές Ανάλογα με τη διάσταση των εικόνων, η στοιχειώδης πληροφορία ορίζεται: 2D Εικόνες: Εικονοστοιχείο ή Pixel (Picture Element) 3D Εικόνες: Χωροστοιχείο ή Voxel (Volume Element) 4D Εικόνες: Υπερ-χωροστοιχείο ή Hypervoxel (Hyper Volume Element) Ως τέταρτη διάσταση θεωρείται ο χρόνος (t) 3

14 Χωρική Αναπαράσταση Εικόνων 2D Εικόνα: Pixels 3D Εικόνα: Voxels 4

15 Αναπαράσταση Ψηφιακής Εικόνας Η Ψηφιακή Εικόνα ορίζεται ως: Ένας τετραγωνικό πίνακας αποτελούμενος από N γραμμές και M στήλες (N M) Κάθε στοιχείο του πίνακα αντιστοιχεί σε ένα pixel: Κάθε pixel αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο επίπεδο του γκρι: gray levels Γραμμή I I I ( 0,0) I( 0,)... I( 0, M ) (,0 ) I(, )... I(, M ) ( N,0) I( N, )... I( N, M ) I ( x, y) Στήλη 5

16 Έγχρωμες Ψηφιακές Εικόνες Κάθε pixel της εικόνας αντιστοιχεί στο συνδυασμό των βασικών χρωμάτων (κόκκινο, πράσινο, μπλε) Χρωματικά Μοντέλα: RGB: κάθε pixel αντιστοιχεί ως ένα διάνυσμα συνιστωσών RGB ή οποιαδήποτε μετασχηματισμό συστήματος (βλ. σχήμα) του βάσει ενός καρτεσιανού Άλλα μοντέλα: YIQ, HIS 6

17 Χαρακτηριστικά Ψηφιακών Εικόνων Χωρική Διακριτική Ανάλυση (spatial resolution): Αντιπροσωπεύει το πόσο καλά μπορούν να διακρίνονται τα γειτονικά pixels Μετρούμενο μέγεθος: περιοχή εικόνας στο πραγματικό χώρο Στην Ιατρική, αντιστοιχεί στο μέγεθος του pixel (σε mm) 7

18 Χωρική Διακριτική Ανάλυση

19 Χαρακτηριστικά Ψηφιακών Εικόνων Κβαντισμός (Quantization): Δημιουργία κλίμακας διακριτών τιμών (στάθμες) απεικονιζόμενης φυσικής ιδιότητας (π.χ. εξασθένιση σε X-ray κ.λπ) μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό σήμα πλήθος bits που χρησιμοποιείται ανά pixel για την απόδοση της χρωματικής τιμής Για ιατρικές εικόνες, χρησιμοποιούνται 8bits(X-ray),2bits(CT,MR),24bits (έγχρωμες εικόνες) nbits 2 n Στάθμες 9

20 Κβαντισμός 2 bits/pixel 4 bits/pixel 2 bits/pixel 20

21 Παράμετροι Συλλογής Εικόνων Ιατρικών Απεικονιστικών Συστημάτων CT MRI US Pixels/Εικόνα Bits/pixel Χωρική ευκρίνεια μέτρια χαμηλή μέτρια Ευκρίνεια αντίθεσης υψηλή υψηλή χαμηλή Ακτινοβόληση μέτρια - - Φυσιολογική λειτουργία όχι ναι ναι 2

22 Βασικοί Συσχετισμοί Pixels 2D Εικόνες: σε Ψηφιακές Εικόνες Η Έννοια της Γειτονιάς (Neighborhood) Pixels συσχετίζονται μεταξύ τους σχηματίζοντας μία υπο- περιοχή της εικόνας Τετραγωνικό πλέγμα (grid) Pixels θεωρούνται γειτονικά (neighbors) όταν έχουν κοινή ακμή ή τουλάχιστον μία κοινή γωνία Pixels μπορούν να έχουν 4 ή 8 γείτονες 3D Εικόνες: Voxels μπορούν να έχουν 6 ή 8 ή 26 γείτονες σε κυβικό πλέγμα 22

23 Γειτονιά Pixels σε 2D Εικόνες Τετραγωνικό πλέγμα 4 γειτόνων Τετραγωνικό πλέγμα 8 γειτόνων 23

24 Γειτονιά Pixels σε 3D Εικόνες Κυβικό πλέγμα 6 γειτόνων Κυβικό πλέγμα 8 γειτόνων Κυβικό πλέγμα 26 γειτόνων 24

25 Μετρικές Αποστάσεις σε Εικόνες Έστω δύο pixels: = y Ευκλείδεια Απόσταση: p ( x, ) 2 = y ( x2, 2) Μετρική Απόσταση (city block distance): D p, p2) D ( = x x + y y p ( p, p2) = ( x x2) + ( y y2) 2 2 D o o o o o o o o o o o o o o o p o o o o o o o o o o p 2 Ευκλείδεια 25

26 Αριθμητικοί Τελεστές Εικόνων Πρόσθεση & Αφαίρεση: ( I ± I )( x, y) = I ( x, y) ± I ( x, y),( x, y) I, I Πολλαπλασιασμός: ( I I )( x, y) = I ( x, y) I ( x, y),( x, y) I, I I 2 Συνήθως η εικόνα είναι δυαδική, οπότε ο τελεστής του πολλαπλασιασμού καλείται ΜΑΣΚΑ (Masking) 26

27 Παραδείγματα Εφαρμογής Αριθμητικών Τελεστών Εικόνα CT Εικόνα MRI (ευθυγραμμισμένη) CT+MRI ( I + I )( x, y) 2 = ( x, y) + I ( x, y) I 2, 255, διαφορετικά αν αποτέλεσμα

28 Αριθμητικοί Τελεστές Εικόνων Μέγιστη Τιμή: { I, I }( x, y) max { I ( x, y), I ( x, y) } max = 2 2 Ελάχιστη Τιμή: { I, I }( x, y) min { I ( x, y), I ( x, y) } min =

29 Παραδείγματα Εφαρμογής Αριθμητικών Τελεστών Εικόνα MRI Περιγράμματα από Aντίστοιχη Ευθυγραμμισμένη Εικόνα CT Εικόνα Τελεστή MAX 29

30 Λογικοί Τελεστές Εικόνων Εφαρμόζονται σε κάθε pixel (pixel by pixel ή pixelwise) Λογικοί Τελεστές: AND OR NOT (ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΕΙΚΟΝΑ) Mε χρήση των παραπάνω μπορούμε να παράγουμε οποιαδήποτε λογική έκφραση 30

31 Παραδείγματα Εφαρμογής Λογικών Τελεστών Εικόνα MRI Μάσκα Εικόνα Λογικού AND I I 2 I AND I

32 Παραδείγματα Εφαρμογής Λογικών Τελεστών Εικόνα ΜRI Πληροφορία Οστών από Αντίστοιχη Ευθυγραμμισμένη Εικόνα CT Εικόνα Λογικού OR I I 2 I OR I

33 Συνέλιξη Εικόνων Έστω δύο εικόνες με x = 0,,N-, y = 0,,M- I *h I ( x, y) Η συνέλιξη ορίζεται: h( x, y) ( I * h)( x, y) = M N I ( x k, y l) h ( k, l) k = 0 l= 0 33

34 Συνέλιξη Εικόνων Γραφική Παρουσίαση Έστω μία εικόνα με x=0,,n-, y=0,,m- Έστω μία τετραγωνική περιοχή (Μάσκα) Μ(k,l), όπου k=-,..., και l=-,..., I ( x, y) Η συνέλιξη στο σημείο (x 0,y 0 ) ορίζεται γραφικά: Μ(k,l) I M -,- -,0 -, 0,- 0,0 0,,-,0, x0,y0 I(x,y) 35

35 36 Συνέλιξη Εικόνων Παράδειγμα = 25 * Εικόνα MRI Εικόνα Συνέλιξης Μήτρα 5 5

36 Παράγωγοι σε Επίπεδο Εικόνων Χρησιμοποιούνται κυρίως για: Βελτίωση της ποιότητας των εικόνων Ανίχνευση ακμών ης Τάξεως Παράγωγος: Ανιχνεύουν πυκνές ακμές 2 ης Τάξης Παράγωγος: Ανιχνεύουν λεπτές ακμές, όπως γραμμές και σημεία 37

37 38 ης Τάξεως Παράγωγος Εικόνας Έστω η εικόνα: Ορισμός ης Τάξεως παραγώγου: Υπολογίζεται με διάφορους τρόπους, π.χ. συνέλιξη, B-splines, κ.λπ. Λεπτομέρειες επί της υλοποίησης στην Ενότητα «Τμηματοποίηση Εικόνων» ), ( y x I = y y x I x y x I y x I ), ( ), ( ), (

38 Παράδειγμα ης Τάξεως Παραγώγου Εικόνα MRI Εικόνα ης Παραγώγου 39

39 2 ης Τάξεως Παράγωγος Εικόνας Έστω η εικόνα: I ( x, y) Ορισμός 2 ης Τάξεως παραγώγου (Λαπλασιανή): 2 I( x, y) 2 I( x, y) 2 I( x, y) = + x 2 y 2 Υπολογίζεται με διάφορους τρόπους, π.χ. συνέλιξη, B-splines, κ.λ.π. Λεπτομέρειες επί της υλοποίησης στις Ενότητες: «Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων & «Τμηματοποίηση Ιατρικών Εικόνων» 40

40 Παράδειγμα 2 ης Τάξεως Παραγώγου Εικόνα MRI Εικόνα 2 ης Παραγώγου 4

41 Ανάλυση Εικόνων στο Πεδίο Συχνοτήτων Fourier Transform Έστω μία εικόνα Ορισμός Μετασχηματισμού Fourier (FT): Συνεχής FT: F( u, v) I ( x, y) j 2π ( ux+ vy) = I( x, y) e dx dy Διακριτός FT: M N ux vy j 2π ( + F( u, v) = I( x, y) e M N ) x= 0 y= 0 j = 42

42 43 Ανάλυση Εικόνων στο Πεδίο Συχνοτήτων Fourier Transform Μετασχηματισμός Fourier (FT) ως μιγαδική συνάρτηση: Φάσμα (spectrum): Γωνία (angle): Φάσμα ισχύος (power spectrum): ( ) ( ) ρος μ φανταστικ ρος μ πραγματικ έ ό I έ ό R v u I v u R v u F : & :,, ), ( = ( ) = ), ( ), ( tan, v u R v u I v u ϕ ( ) ( ) v u I v u R v u F v u P,, ), ( ), ( = =

43 Ανάλυση Εικόνων στο Πεδίο Συχνοτήτων Inverse Fourier Transform Έστω μία εικόνα Ορισμός Αντίστροφου Μετασχηματισμού Fourier (IFT): Συνεχής IFT: I( x, y) I ( x, y) j 2π ( ux+ vy) = F( u, v) e du dv Διακριτός IFT: M N ux vy j2π ( + I( x, y) = F( u, v) e M N MN u= 0 v= 0 ) 44

44 Ανάλυση Εικόνων στο Πεδίο Συχνοτήτων Fourier Transform Παράδειγμα Μετασχηματισμού Fourier (FT): Αρχική Εικόνα Μετασχηματισμός Fourier 45

45 Ανάλυση Εικόνων στο Πεδίο Συχνοτήτων Fourier Transform Παράδειγμα Μετασχηματισμού Fourier (FT): Αρχική Εικόνα Μετασχηματισμός Fourier 46

46 Ανάλυση Εικόνων στο Πεδίο Συχνοτήτων Fourier Transform Συνέλιξη στο Πεδίο Συχνοτήτων: I ( x, y)* h( x, y) F( u, v) H ( u, v) F H ( u, v) FTτης I ( x, y) ( u, v) FTτης h( x, y) 47

47 Επεξεργασία Ιατρικών Εικόνων Βελτίωση ποιότητας Εξομάλυνση (Enhancement) Με χρήση γραμμικών τελεστών Με χρήση μη γραμμικών τελεστών Τμηματοποίηση (Segmentation) Οπτικοποίηση (Visualization) 48

48 Γιατί? Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων Απομάκρυνση τεχνικών σφαλμάτων που εμφανίζεται: κατά την εξέταση του ασθενούς (πχ. ηλεκτρομαγνητικά πεδία στο χώρο, κίνηση ασθενούς, αναπνοή) κατά την επεξεργασία και αποθήκευση των εικόνων (πχ. θόρυβος λόγω του συστήματος δειγματοληψίας ή λόγω του καναλιού μετάδοσης) Τεχνικές βελτίωσης ποιότητας: στο πεδίο του χώρου και εκμεταλλεύονται τις γεωμετρικές ιδιότητες της εικόνας στο πεδίο της συχνότητας και εκμεταλλεύονται το φάσμα της εικόνας με βάση το συσχετισμό της πληροφορίας από εικόνα σε εικόνα, όπως κατά τη λήψη video (επέκταση ως προς το χρόνο) ή σε ένα σύνολο τομών του ίδιου ασθενή 49

49 Σημειακοί Τελεστές: Τελεστές οι οποίοι δρουν σε ένα pixel: Φίλτρα: που το αποτέλεσμα των οποίων εξαρτάται από τη γειτονιά του pixel: Γραμμικά Φίλτρα (π.χ. Συνέλιξη) Μη Γραμμικά Φίλτρα ( x y) f ( I( x y) ) I ', =, 50

50 Φωτεινότητα και Αντίθεση (Brightness & Contrast): I' ( x, y) = ai max, 0, ( x, y) + b, 0 ai( x, y) ai ai ( x, y) ( x, y) + b max + b > max, + b < 0 ( x, y) I α: Αντίθεση, b: Φωτεινότητα και max: 255 5

51 Παράδειγμα Φωτεινότητας και Αντίθεσης Αρχική Εικόνα Ακτινοθεραπείας Βελτιωμένη Εικόνα 52

52 Έκταση Αντίθεσης (Contrast Stretching): Pixels in [0,Τ ] 0 Pixels in [T 2,255] 255 Pixels in [T,T 2 ] εκτείνονται χρησιμοποιώντας τις τιμές [0,255] Μετασχηματισμένες τιμές pixels Αρχικές τιμές pixels 53

53 Παράδειγμα Έκτασης Αντίθεσης Αρχική Εικόνα MRI Βελτιωμένη Εικόνα 54

54 γ - διόρθωση (Gamma Correction): ( x, y) ci( x, y) γ I ' = Η σταθερά c είναι τέτοια ώστε το πεδίο ορισμού του μετασχηματισμού γ- διόρθωσης να είναι ίσο με το πεδίο τιμών: c = max( I) γ Για μία 8 bit εικόνα, ισχύει: I' ( x, y) = 255 I( x, y) 255 γ 55

55 Παράδειγμα γ διόρθωσης: Αρχική Εικόνα Μαστογραφίας Ρυθμίσεις μετασχηματισμού γ γ-διορθωμένη Εικόνα 56

56 Λογαριθμικός Μετασχηματισμός (Log Transformation): ( x, y) c log( I( x, y)) I ' = + + Αρνητική Εικόνα (Image Negative): I ' ( x, y) = L I( x, y) Πεδίο τιμών: [0, L-] 57

57 Παράδειγμα Αρνητικής Εικόνας: Αρχική Εικόνα Μαστογραφίας Αρνητική Εικόνα 58

58 Ορισμός Ιστογράμματος (Histogram): Το ιστόγραμμα Η - μίας εικόνας καθορίζει για κάθε μία από τις διακριτές τιμές της εικόνας τον αριθμό εμφάνισης της τιμής αυτής ( n) = #{( i, j) : I( i, j) n} H = ( n) p = H ( n) N όπου Ν ο αριθμός των pixel μίας εικόνας 59

59 Παράδειγμα Ιστογράμματος: Εικόνα MRI Ιστόγραμμα Εικόνας MRI 60

60 Εξίσωση Ιστογράμματος (Histogram Equalization): Έστω εικόνα Ν pixels με πεδίο τιμών D =[0,G] Σε κάθε τιμή k D ανατίθεται μία νέα τιμή s(k) ώστε το νέο ιστόγραμμα: να καλύψει όλο το πεδίο τιμών να είναι όσο το δυνατό πιο ομοιογενές Αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός s(k) είναι: s ( k) = G k i= 0 H N () i 6

61 Παράδειγμα Εξίσωσης Ιστογράμματος: Αρχικές τιμές (k) Πιθανότητα εμφάνισης (p k ) Αθροιστική Κατανομή (C k ) Τιμές s(k) = 7C k Νέες τιμές Πιθανότητα Εμφάνισης ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Τιμές pixels Αρχικό Ιστόγραμμα Νέο Ιστόγραμμα

62 Παράδειγμα Εξίσωσης Ιστογράμματος (ολικά): Αρχική Εικόνα MRI Εικόνα με χρήση Εξίσωσης Ιστογράμματος 63

63 Παράδειγμα Εξίσωσης Ιστογράμματος (ολικά): Ιστόγραμμα Αρχικής Εικόνας Ιστόγραμμα Εικόνας με χρήση Εξίσωσης Ιστογράμματος 64

64 Παράδειγμα Εξίσωσης Ιστογράμματος (τμηματικά): Αρχική Εικόνα ΜRI Ιστόγραμμα Εικόνας με χρήση 65 μερικής Εξίσωσης Ιστογράμματος

65 66 Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Μήτρα Μέσου Όρου (Averaging): Το φίλτρο μέσου όρου στην απλή μορφή είναι ένας πίνακας περιττού αριθμού pixel σε κάθε διάσταση, με ίδια τιμή σε κάθε στοιχείο: ( ) ( ) ( ) = = = = ,,, * n n k m m l l k M l y k x I y x c M I 9 49 Μήτρα 3Χ3 Μήτρα 7Χ7

66 67 Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων Μήτρα Μέσου Όρου - Παράδειγμα 49 Μήτρα 7 7 * = Αρχική Εικόνα X-ray Εικόνα Μέσου Όρου

67 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Η Γκαουσιανή ως φίλτρο εξομάλυνσης (Gaussian): Η Γκαουσιανή ορίζεται ως επιφάνεια χρησιμοποιώντας την κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις, σύμφωνα με τον παρακάτω τύπο: 2 2 x + y ( ) 2 2σ P x, y = e 2 σ 2π Η επιφάνεια έχει διασπορά και κορυφή (δηλ. εμφανίζει μέγιστο) στο σημείο σ (0,0) Μεγαλύτερο σ πιο ανοικτή και πιο κοντή επιφάνεια, έτσι ώστε ο όγκος που περικλείεται από την επιφάνεια και το επίπεδο xy να είναι ίσος με 68

68 Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Η δισδιάστατη Γκαουσιανή Συνάρτηση (Gaussian): Γκαουσιανή με σ=0 Γκαουσιανή με σ=4 69

69 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Η Γκαουσιανή υπολογίζεται στις δύο διαστάσεις ως εξής: σ Καθορίζεται το της Γκαουσιανής (δηλ. το πλάτος της) Υπολογίζονται οι τιμές σε ένα πίνακα συμμετρικό γύρω από το (0,0). Η πλευρά του πίνακα πρέπει να είναι τουλάχιστον 6 σ + [ 3σ,...3σ ] [ 3σ,..., 3σ ] Δηλ., ώστε ο διακριτός πίνακας να περιλαμβάνει την επιφάνεια μέχρι και πολύ χαμηλές τιμές 70

70 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Η Γκαουσιανή υπολογίζεται στις δύο διαστάσεις ως εξής: Όσο μεγαλύτερο το, τόσο ισχυρότερη η εξομάλυνση που προκαλείται από τη σ συνέλιξη της εικόνας με την Γκαουσιανή Παράδειγμα Γκαουσιανής 3 3: Για ακρίβεια και σε πίνακες μεγαλύτερων διαστάσεων χρησιμοποιούνται τιμές απευθείας από τον μαθηματικό ορισμό 7

71 Παράδειγμα εξομάλυνσης με χρήση της Γκαουσιανής: Αρχική Εικόνα X-ray Εικόνα με χρήση της Γκαουσιανής 72

72 Παράδειγμα εξομάλυνσης με χρήση της Γκαουσιανής: Εικόνα CT (με θόρυβο) Εικόνα με χρήση της Γκαουσιανής 73

73 74 Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Η Λαπλασιανή ως φίλτρο εξομάλυνσης (Laplacian): 2 ης Τάξης Παράγωγος Ενδεικτικός υπολογισμός (διακριτός): ( ) ), ( 4, ), ( ), ( ), ( ), ( 2 y x I y x I y x I y x I y x I y x I =

74 75 Βελτίωση Ποιότητας Ιατρικών Εικόνων Ενίσχυση αντίθεσης εικόνων με χρήση συνέλιξης Η Λαπλασιανή (Laplacian) : Συνέλιξη με μία μήτρα 3 3: Ενδεικτικές Μήτρες = L = 8 L 2

75 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση συνέλιξης Η Λαπλασιανή ως φίλτρο εξομάλυνσης (Laplacian): Υπολογισμός βελτίωσης ποιότητας εικόνας: I ( x, y) = I( x, y) 2 I( x, y) 76

76 Παράδειγμα εξομάλυνσης με βάση τη Λαπλασιανή: Εικόνα MRI Εικόνα με βάση τη Λαπλασιανή Βελτιωμένη Εικόνα MRI 77

77 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μη γραμμικών τελεστών Τελεστής ενδιάμεσης τιμής (median filtering) Μορφολογικοί τελεστές (morphological operations) 78

78 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση τελεστή ενδιάμεσης τιμής Ορίζεται το παράθυρο του φίλτρου (π.χ. 3 3 γειτονία) Το κεντρικό pixel του παραθύρου τοποθετείται πάνω στο pixel της εικόνας που θέλουμε να εξομαλύνουμε I( x 0, y0 ) Οι τιμές των pixel της εικόνας μέσα στο παράθυρο ταξινομούνται σε αύξουσα ή φθίνουσα διάταξη Επιλέγεται η τιμή του μεσαίου ταξινομημένου pixel Τοποθετείται στο αντίστοιχο κεντρικό pixel της φιλτραρισμένης εικόνας I ( x 0, y0) 79

79 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση τελεστή ενδιάμεσης τιμής Τελεστής Ενδιάμεσης Τιμής Τελεστής Μέσης Τιμής Τελεστής Ενδιάμεσης Τιμής Τελεστής Μέσης Τιμής 80

80 Παράδειγμα με χρήση τελεστή ενδιάμεσης τιμής Αρχική Εικόνα CT Τελεστής Ενδιάμεσης Τιμής (7 7) 8

81 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Μη γραμμικοί τελεστές Η Μορφολογία στηρίζεται στην αλληλεπίδραση παρατηρητή αντικειμένου (εικόνας) μέσω της χρήσης ενός δομικού στοιχείου (structuring element) Ο τρόπος της αλληλεπίδρασης ορίζεται ως Μορφολογικός Μετασχηματισμός (Τελεστές) Η Μαθηματική Μορφολογία εφαρμόζεται σε: Εικόνες διαφορετικών επιπέδων του γκρι (256 αποχρώσεις του γκρι / gray level) Δυαδικές εικόνες ( δύο χρώματα / pure black and white) 82

82 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Βασικοί Μορφολογικοί Τελεστές: Διαστολή (Dilation): επεκτείνει το αντικείμενο σύμφωνα με τη μορφή του δομικού στοιχείου συρρικνώνει οπές & επεκτείνει τα άκρα αντικειμένου Συστολή (Erosion): συρρικνώνει το αντικείμενο σύμφωνα με τη μορφή του δομικού στοιχείου διευρύνει οπές & συρρικνώνει τα άκρα αντικειμένου 83

83 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Δομικά στοιχεία για Μορφολογικούς Τελεστές (συμμετρική μορφή): Κύκλος (5 5) Τετράγωνο (3 3) Ρόμβος (3 3) 84

84 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Δυαδικές Εικόνες: Ορισμός Διαστολής (Dilation): X R B» Έστω ένα αντικείμενο (εικόνα) ως υποσύνολο του δισδιάστατου Ευκλείδιου χώρου 2» Έστω το δομικό στοιχείο (structuring element) και { b b B} Bˆ = : X B = { z R : Bˆ X } 2 z 85

85 Παράδειγμα Δυαδικής Διαστολής 86

86 Παράδειγμα Δυαδικής Διαστολής Εικόνα Αμφιβληστροειδή (Τμηματοποιημένη Εικόνα) Μορφολογική Δυαδική Διαστολή 87

87 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Δυαδικές Εικόνες: Ορισμός Συστολής (Erosion): X R B» Έστω ένα αντικείμενο (εικόνα) ως υποσύνολο του δισδιάστατου Ευκλείδιου χώρου 2» Έστω το δομικό στοιχείο (structuring element) και { 2 : ˆ } z X B= z R B X { } B ˆ = b : b B 88

88 Παράδειγμα Δυαδικής Συστολής 89

89 Παράδειγμα Δυαδικής Συστολής Εικόνα MRI (Δυαδική Εικόνα) Μορφολογική Δυαδική Συστολή 90

90 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Εικόνες με διαφορετικά επίπεδα του γκρι: Ορισμός Διαστολής (Dilation): f ( x, y) B( x, y)» Έστω η συνάρτηση του αντικειμένου (εικόνα) ορισμένη στο χώρο» Έστω το δομικό στοιχείο (structuring element) ορισμένο στο χώρο D D f B ( f B)( x, y) = max { f ( x s, y t) + B( s, t) ( x s), ( y t) D ;( s, t) } f D B 9

91 Παράδειγμα Διαστολής σε Εικόνες με Επίπεδα του γκρι Αρχική Εικόνα CT Μορφολογική Διαστολή 92

92 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Εικόνες με διαφορετικά επίπεδα του γκρι: Ορισμός Συστολής (Erosion): f ( x, y) B( x, y)» Έστω η συνάρτηση του αντικειμένου (εικόνα) ορισμένη στο χώρο» Έστω το δομικό στοιχείο (structuring element) ορισμένο στο χώρο D D f B { } f B ( f B)( x, y) = min f( x+ s, y+ t) B( s, t) ( x+ s),( y+ t) D ;( s, t) D 93

93 Παράδειγμα Συστολής σε Εικόνες με Επίπεδα του γκρι Αρχική Εικόνα CT Μορφολογική Συστολή 94

94 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Μορφολογικό Άνοιγμα (Opening): Εξομαλύνει περιγράμματα, αποκόβει στενές περιοχές, συρρικνώνει απομονωμένες περιοχές, κόβει απότομες κορυφές Ορισμός: X B = ( X B) B 95

95 Παράδειγμα Μορφολογικού Ανοίγματος 96

96 Παράδειγμα Μορφολογικού Ανοίγματος Αρχική Εικόνα CT (Δυαδική Εικόνα) Μορφολογικό Άνοιγμα 97

97 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Μορφολογικό Κλείσιμο (Closing): Εξομαλύνει περιγράμματα, συνενώνει στενές και μακριές περιοχές, κόβει μικρές οπές Ορισμός: X B = ( X B) B 98

98 Παράδειγμα Μορφολογικού Κλεισίματος 99

99 Παράδειγμα Μορφολογικού Κλεισίματος Αρχική Εικόνα CT (Δυαδική Εικόνα) Μορφολογικό Κλείσιμο 00

100 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Μορφολογικός Μετασχηματισμός Hit or- Miss: Χρησιμοποιείται για την αναγνώριση σχημάτων - μορφών Ορισμός: X B = ( X B ) ( X B ) = * C 2 ( X B ) ( X Bˆ ) 2 B = ( B, B 2) B όπου με να περιλαμβάνει στοιχεία του που συσχετίζονται με το B αντικείμενο και να περιλαμβάνει στοιχεία του που συσχετίζονται με το 2 αντίστοιχο υπόβαθρο του αντικειμένου και το συμπληρωματικό του αντικειμένου X C B B 0 X

101 Παράδειγμα Μορφολογικού Μετασχηματισμού Hit-or-Miss B =X B 2 =W-X 02

102 Παράδειγμα Μορφολογικού Μετασχηματισμού Hit-or-Miss Αρχική Εικόνα CT (Δυαδική Εικόνα) Δομικό Στοιχεία Μορφολογικό Hit-or-Miss 03

103 Εξομάλυνση εικόνων με χρήση μορφολογικών τελεστών Μορφολογικός Μετασχηματισμός Γεμίσματος Περιοχών (Region Filling): Χρησιμοποιείται για τη συμπλήρωση περιοχών κλείσιμο οπών Έστω X ένα αντικείμενο (εικόνα) και ένα δομικό στοιχείο B Ορισμός: RF k C = ( RFk B) X ; RF0 = pκαι k =,2,3,... RF k όπου είναι η εικόνα γεμίσματος περιοχών στην επανάληψη, το X p συμπληρωματικό του, αρχικό σημείο του αντικειμένου k X X C 04

104 Παράδειγμα Μορφολογικού Μετασχηματισμού Γεμίσματος Περιοχών 05

105 Παράδειγμα Μορφολογικού Μετασχηματισμού Γεμίσματος Περιοχών Αρχική Εικόνα CT (Δυαδική Εικόνα) Αρχικό Σημείο Μορφολογικό Γέμισμα Περιοχών 06

106 Πεδίο Συχνοτήτων (FT) Επεξεργασία Εικόνας: πολλαπλασιασμός με ( ) x+ y H ( u, v) : Συνάρτηση Μεταφοράς Φίλτρου 07

107 Πεδίο Συχνοτήτων Παράδειγμα βελτίωσης εικόνων με FT και βαθυπερατό Φίλτρο: Αρχική Εικόνα MRI Μετασχηματισμός Fourier 08

108 Πεδίο Συχνοτήτων Μετασχηματισμός Fourier Βαθυπερατού Φίλτρου 09

109 Πεδίο Συχνοτήτων Βελτιωμένη Εικόνα MRI Μετασχηματισμός Fourier Βελτιωμένης Εικόνας 0