Διακριτά Μαθηματικά Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Σχέσεις και συναρτήσεις Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ROSEN (Κεφ.9), ΕΡΡ (Κεφ.10) -- Πράξεις σχέσεων -- Σχέσεις ισοδυναμίας & διάταξης -- Ακρότατα ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ROSEN (Κεφ.2), ΕΡΡ (Κεφ.7) και επί συναρτήσεις ΑΡΧΗ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ ΕΡΡ (Κεφ.7) 6 η + 7 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Click to edit Master Σχέσεις Aνθρώπινες σχέσεις φίλοι, ζευγάρι, αδέρφια, συγγενείς, εχθροί,... Συσχετίσεις αφηρημένων εννοιών συνώνυμα, αντώνυμα, άρτιοι αριθμοί,... Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που κατ εξοχήν χειρίζεται αφηρημένες έννοιες, και μελετά τρόπους συσχέτισής τους. Μια μαθηματική σχέση αποτυπώνει κάποιου είδους συσχέτιση μεταξύ διατεταγμένων ομάδων (πλειάδων) στοιχείων ενός συνόλου. 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

3 Έστω Α = {0,1,2} και Β = {1,2,3}. Click to edit Ένα Master παράδειγμα Θεωρούμε την ιδιότητα δό Σ «το α είναι μικρότερο του β», που συγκρίνει τυχόντα στοιχεία α Α με τυχόντα στοιχεία β Β. ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς αποτυπώνουμε την «ιδιότητα» Σ? ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Μέσω ενός καινούριου συνόλου Σ, που περιλαμβάνει αποκλειστικά και μόνο εκείνα τα διατεταγμένα ζεύγη (α,β) Α Β για τα οποία ισχύει ότι «α < β». ηλαδή: Σ = { (0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3) } ΑΡΑ: (α,β) Α Β, (α,β) Σ α < β 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Σχέσεις Master συνόλων ΟΡΙΣΜΟΣ REL.1: ΣΧΕΣΕΙΣ Για οποιαδήποτε συλλογή συνόλων A, B, Α 1,..., Α κ : Μονομελής Σχέση Σ στο Α ονομάζεται οποιοδήποτε υποσύνολο του Α. ιμελής Σχέση Σ μεταξύ των Α και Β καλείται ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Α B. κ-μελής Σχέση Σ στα σύνολα Α 1,..., Α κ καλείται ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ υποσύνολο του Α 1 Α 2... Α κ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Όταν αναφερόμαστε σε μια κ-μελή σχέση στο σύνολο Α, εννοούμε ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Α A A A(κφορές). 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

4 Click to edit Master Αναπαράσταση μονομελών / διμελών σχέσεων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ηλώσεις Μαθημάτων Έστω Α ={ Γιώργος, Άννα, Ελένη }, Β ={ ιακριτά, Προγρ/σμός } ΑΝ ΡΑΣ = { Γιώργος }, ΓΥΝΑΙΚΑ = { Άννα, Ελένη } Σ = {(Γιώργος, ιακριτά), (Γιώργος,Προγρ/σμός), (Άννα,Προγρ/σμός)} Άλλοι Τρόποι Αναπαράστασης ιμελών Σχέσεων: 1. Με πίνακα: 2. Με διάγραμμα: Γ Α Ε Π ιακριτά Προγρ/σμός Γιώργος ΝΑΙ ΝΑΙ Άννα Ελένη ΝΑΙ 3. Ως διμελές κατηγορηματικό σύμβολο, που επιστρέφει ΑΛΗΘΕΙΑ ή ΨΕΜΑ: Πχ, Γιώργος Σ ιακριτά, ή Σ(Γιώργος, ιακριτά). 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Στο σύνολο των Φυσικών Αριθμών: Click Παραδείγματα to edit Master σχέσεων (Ι) ΜΟΝΟΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: PRIME(α): Είναι ο απρώτος αριθμός? ODD(α): Είναι ο α περιττός αριθμός? EVEN(α): Είναι ο αάρτιος αριθμός? ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: α β, ή (α,β) α < β, ή <(α,β) α β ή (α,β) : Ο α διαιρεί ΑΚΕΡΑΙΑ τον β MOD 2 (α,β) : Ο α είναι το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του βμε το 2. Στο σύνολο των Ρητών Αριθμών: CompareFloor(p,q): ηλαδή, απαντά με ΑΛΗΘΕΙΑ ή ΨΕΜΑ στο ερώτημα: p q. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

5 Click Παραδείγματα to edit Master σχέσεων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.1: Στο σύνολο Ζ των ακεραίων, έστω η διμελής σχέση Σπου ορίζεται: α Ζ β Ζ { (α,β) Σ [ γ Ζ(α β 2γ) ] }. (1) Ισχύει ότι: (4,0) Σ? (2,6) Σ? (1,3) Σ? (2,5) Σ? (2) Αληθεύει ότι: α Ζ, (2α+1,1) Σ? ΑΠΑΝΤΗΣΗ: είτε το βιβλίο της ΕΡΡ. ΑΣΚΗΣΗ REL.1: Νδο για την παραπάνω σχέση Σ ισχύει το εξής: α Ζ β Ζ { (α,β) Σ [ α mod 2 β mod 2 ] }. Υπενθύμιση: Η διμελής πράξη μεταξύ ακεραίων αριθμών α mod β (υπόλοιπο ακέριας διαίρεσης) ορίζεται ως εξής: α Ζ, β Ζ, α mod β = υ { 0,..., β 1 } : α = β*π + υ, για κάποιο π Ζ ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Έστω α = 2*π α + υ α και β = 2*π β + υ β. [ ] ΑΝ υ α = υ β ΤΟΤΕ α β 2*(π α π β ) + υ α υ β 2*(π α π β ) ΑΡΑ: (α,β) Σ [ ] ΑΝ (α,β) Σ ΤΟΤΕ γ Ζ : α β 2*(π α π β ) + υ α υ β 2*γ ΤΟΤΕ υ α υ β 2[ γ π α + π β ] ΑΛΛΑ: υ α, υ β { 0, 1 } υ α υ β { -1, 0, 1 } ΑΡΑ: υ α υ β = 0 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click Παραδείγματα to edit Master σχέσεων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.2: Ορίζουμε μια διμελή σχέση Κ στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών, ως εξής: (x,y) R R, (x,y) K (x/2) 2 + y Τι από τα παρακάτω ισχύει? 1. (1, 0) K? 2. (0, 1) K? 3. (1, - 3/2) K? 4. ( 3/2, -1) K? 5. (-2, 0) K? y 2. Προσπαθήστε να σχεδιάσετε στο χαρτί τα σημεία του επιπέδου που περιλαμβάνονται στο Κ. 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

6 Click Παραδείγματα to edit Master σχέσεων (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.3: Έστω Ατο σύνολο των λέξεων μήκους 3 που γράφουμε στο αλφάβητο {α, β}. Ορίζουμε τη διμελή σχέση Σ στο Α ως εξής: (Χ,Υ) (, ) Α Α,, (Χ,Υ) Σ «τα Χ και Υ διαφέρουν το πολύ σε μια θέση» 1. Τι από τα παρακάτω αληθεύει? 1. (ααβ, ααα) Σ. 2. (αββ, βαβ) β) Σ. 3. (βαβ, αβα) Σ. 4. (ααβ β, αββ) Σ. ααα βαα ββα βαβ βββ ααβ 2. Σχεδιάστε δά το διάγραμμα δά της Σ. αβα αββ 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Master Συναρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ REL.2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για σύνολα Α, Β και διμελή σχέση F από το Α στο Β, η F ονομάζεται συνάρτηση από το Α στο Β (ισοδύναμα, μ με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β) ΑΝΝ κάθε στοιχείο του Α έχει ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ εικόνα στο Β. ηλαδή: α Α Α β Β Β {(α,β) F γ Β[ (α,γ) F β γ ]} Συμβολισμός: F:A B, F(α) = β ( αντί για (α,β) F ή ισοδύναμα α F β ). Το β είναι η (μοναδική) εικόνα του α. Το α είναι (μια) αντίστροφη εικόνα του β. υο συναρτήσεις F :A B και G :A B ταυτίζονται (συμβολικά, β λ ά F G) ΑΝΝ α Α[ F(α) G(α) )]. 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

7 Παραδείγματα Click to edit συναρτήσεων Master (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.4: Εξετάστε αν οι ακόλουθες διμελείς σχέσεις είναι συναρτήσεις: 1. Γ : α R, R β R, R {(α (α,β) Γ α β =1} }. 2. Κ : α [-1,1], β [-1,1], { (α,β) Κ α 2 + β 2 = 1 }. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. ΝΑΙ γιατί για τυχόντα πραγματικό αριθμό α, ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΚΑΙ ΜΟΝΑ ΙΚΗ εικόνα του, β = Γ(α) = α 1,στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. 2. ΟΧΙ, γιατί αν και ισχύει ότι κάθε πραγματικός αριθμός α [-1,1] έχει τουλάχιστον μια εικόνα ως προς την Κ, υπάρχουν περιπτώσεις αριθμών που ΕΝ ΕΧΟΥΝ ΜΟΝΑ ΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ. Πχ, για α = 0, η εξίσωση α 2 = 1 β 2 επαληθεύεται για δυο πραγματικές τιμές του β : β { -1, 1 }. 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Click to edit συναρτήσεων Master (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.5: ώστε τη διμελή σχέση που υπολογίζει τη μονομελή πράξη ακεραίων αριθμών mod2(α) ορίζεται ως εξής: α Ζ, mod2(α) = υ {0,1} : α =2*π π + υ, για κάποιο π Ζ Νδο πρόκειται για συνάρτηση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η διμελής σχέση mod2 : Z Z ορίζεται ως εξής: α Ζ, υ Ζ, [(α (α,υ) mod2 υ {0,1} π Ζ :(α α 2*π π + υ )] Για να είναι συνάρτηση η mod2, θα πρέπει να βεβαιωθούμε για τα εξής: ΒΗΜΑ 1: Θδο για κάθε ακέραιο α Ζ υπάρχει το πολύ μια εικόνα του υ {0,1} ως προς τη mod2. Έστω τυχόντες ακέραιοι π,π,υ,υ : ΕΣΤΩ α 2*π+υ ΚΑΙ α 2*π +υ για π,π Ζ και υ,υ { 0, 1 }. ΤΟΤΕ 2*π+υ 2*π +υ π 2*(π 2(π π ) ) υ υ { -1, 0, 1 } ΑΡΑ: υ υ 0 ΚΑΙ π π 0. // ΑΡΑ: το πολύ ένα υπόλοιπο ακ. διαίρεσης με 2 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

8 Παραδείγματα Click to edit συναρτήσεων Master (ΙΙΙ) ΒΗΜΑ 2: Θδο για κάθε ακέραιο αριθμό α Ζ, υπάρχει τουλάχιστον μια εικόνα, δηλαδή ο α μπορεί να γραφτεί στη μορφή α = 2*π + υ, για κάποιους ακέραιους αριθμούς π,υ // ΑΡΑ: Ο α έχει τουλάχιστον ένα υπόλοιπο ακέραιας διαίρεσης με 2 Αρκεί νδο ισχύει η ιδιότητα για φυσικούς αριθμούς γιατί: -- Για κάθε α = 2*β > 0, π α = β, υ α = 0 και -α = 2*(-β), π -α = -β, υ -α = 0 -- Για κάθε α = 2*β+1 > 0, π α = β, υ α = 1 και -α = 2*(-β) 1 = 2*(-β-1) + 1 Απόδειξη με ΕΠΑΓΩΓΗ στην τιμή του ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ α. ΒΑΣΗ: Προφανώς ισχύει ότι 0 = 2*0 + 0 και 1 = 2* ΕΠΑΓ. ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω για αυθαίρετο α 1 ότι ισχύει : π α Ζ, υ α {0,1} : α = 2*π α + υ α ΕΠΑΓ. ΒΗΜΑ: Θδο π α+1 Ζ,, υ α+1 {0,1} {, } : α + 1 = 2π α+1 + υ α+1. ΑΝ υ α = 0 ΤΟΤΕ α + 1 = 2*π α + 1 ΑΡΑ: π α+1 = π α, υ α+1 = 1 ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ υ α =1ΚΑΙ α +1=2*π α +2=2*(π 2*(π α +1) ΑΡΑ: π α+1 = π α +1, υ α+1 = 0 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click 1-1 to 1 edit και επί Master συναρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ REL.3: 1-1 ΚΑΙ ΕΠΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση F από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζεται: «Επί» Ε ί ΑΝΝ κάθε στοιχείο του πεδίου τιμών Β είναι εικόνα κάποιου στοιχείου τουπεδίου ορισμού Α: β Β α Α [ β = F(α) ] «1-1» ΑΝΝ οποιαδήποτε διαφορετικά στοιχεία του Α έχουν διαφορετικές εικόνες: α 1 Α α 2 Α [ α 1 α 2 F(α 1 ) F (α 2 )] α 1 Α α 2 Α [ F(α 1 ) = F (α 2 ) α 1 = α 2 ] Αμφιμονοσήμαντη ΑΝΝ είναι «1-1» και «επί.» 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

9 Click to edit Master 1 title και / style ή επί Παραδείγματα συναρτήσεων 1-1 και / ή επί ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.5: Ποια από τα παρακάτω διαγράμματα διμελών σχέσεων αναπαριστούν συναρτήσεις? Τι είδους συναρτήσεις? ΑΠΑΝΤΗΣΗ (1) ΝΑΙ (2) ΟΧΙ (3) ΕΠΙ (4) 1-1 (5) 1-1 και ΕΠΙ ΑΣΚΗΣΗ REL.2: Ποιες σχέσεις είναι συναρτήσεις, 1-1, ή επί? (1) { (X,Y) : X R KAI Υ R ΚΑΙ Y=4X+2 } (2) {(X,Υ) : X R ΚΑΙ Υ {2} } (3) { (X,Υ) : X [-1,1] 11]ΚΑΙ Υ [-1,1] [ 11]ΚΑΙ Χ + Υ 2 = 1 } Συν. 1-1 και επί Συνάρτηση επί ΟΧΙ συνάρτηση Συνάρτηση 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) (4) {(X,Υ) : X [-1,1] ΚΑΙ Υ [-1,1] ΚΑΙ Χ 2 + Υ = 1 } Click Η Αρχή to edit του Master περιστερώνα ΑΞΙΩΜΑ REL.1 [ΑΡΧΗ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ]: Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό Ν, αν έχουμε Ν+1 1 περιστέρια και Ν φωλιές, τότε για οποιαδήποτε τοποθέτηση των περιστεριών στις φωλιές ισχύει ότι ΥΠΑΡΧΕΙ φωλιά που φιλοξενεί ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ δυο περιστέρια. Μερικά απλά παραδείγματα: Για δυο οποιαδήποτε πεπερασμένα σύνολα Α, Β τέτοια ώστε Α > Β ισχύει ότι ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ 1-11 συνάρτηση F : Α Β. Υπάρχουν τουλάχιστον δυο, μεταξύ 13 διαφορετικών ατόμων, που έχουν γεννηθεί τον ίδιο μήνα. 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

10 Click to edit Μια Master απλή γενίκευση ΠΡΟΤΑΣΗ REL.1 [ΑΡΧΗ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ]: Για οποιαδήποτε οαδή ο πεπερασμένα ερασμέ α σύνολα A, B και συνάρτηση F : A B, υπάρχουν τουλάχιστον ρ = Α / Β διαφορετικά στοιχεία του Α που έχουν ΤΗΝ Ι ΙΑ εικόνα στο Β. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η συνάρτηση CEILING(X) = X στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ορίζεται ως ο μικρότερος ΑΚΕΡΑΙΟΣ αριθμός που είναι τουλάχιστον ίσος με την τιμή του Χ. Η συνάρτηση FLOOR(X) = X είναι ο μεγαλύτερος ΑΚΕΡΑΙΟΣ αριθμός που δεν ξεπερνά την τιμή του Χ. Μια ιδιότητα των δυο αυτών συναρτήσεων είναι ότι για κάθε πραγματικό αριθμό Χ ισχύει ότι: Χ 1< X Χ Χ < Χ Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Master Απόδειξη γενικευμένης αρχής περιστερώνα ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω: Α ={α α 1, α 2,..., α κ }, Β ={β β 1, β 2,..., β λ }. F : A B είναι ΟΠΟΙΑ ΗΠΟΤΕ συνάρτηση. ΓΙΑ ΚΑΘΕ β Β, Φ β = { α Α : F(α) = β }. Ζητάμε νδο ΥΠΑΡΧΕΙ β* Β τ.ώ. Φ β* ρ = κ / λ. Με ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ: ΕΣΤΩ ΤΟΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΕ β Β, Φ β ρ-1. Όλα τα στοιχεία α Α έχουν ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ εικόνα F(α). ΤΟΤΕ Το { Φ β : β Β } είναι μια ΙΑΜΕΡΙΣΗ του Α. ΤΟΤΕ κ = Α = Σ β Β Φ β (ρ-1) * Β = ( κ / λ 1)*λ < (κ / λ) * λ = κ (ΑΤΟΠΟ) 18 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

11 Μια Click εφαρμογή to edit του Master περιστερώνα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.6: Σε ένα ξενοδοχείο έχουμε 90 δωμάτια και 100 πελάτες. Θέλουμε να μοιράσουμε κλειδιά στους πελάτες, έτσι ώστε ΟΠΟΙΑ ΗΠΟΤΕ ομάδα 90 πελατών να έχει κλειδιά από ΟΛΑ τα δωμάτια. Πόσα κλειδιά πρέπει να φτιάξουμε συνολικά? ΑΠΟ ΕΙΞΗ 990 κλειδιά είναι αρκετά: 90 πελάτες παίρνουν από ένα διαφορετικό αντικλείδι δωματίου. 10 πελάτες παίρνουν από 90 αντικλείδια ο καθένας. Όλες οι ομάδες 90 πελατών ανοίγουν όλα τα δωμάτια. 989 κλειδιά είναι λίγα: 9000 αντικλείδια, με ένα όνομα πελάτη και ένα όνομα δωματίου = 8011 αντικλείδια ΕΝ μοιράζονται. ΑΝ για κάθε δωμάτιο δεν μοιράζονται 89 αντικλείδια, ΤΟΤΕ θα έλειπαν συνολικά 89*90 90 = 8010 αντικλείδια (ΑΤΟΠΟ) Λ : 8011 περιστέρια (αντικλείδια) σε 90 περιστερώνες (δωμάτια). Υπάρχει περιστερώνας (δωμάτιο) με 8011/90 = 90 κλειδιά (που δε μοιράστηκαν). Υπάρχει ομάδα 90 πελατών που ΕΝ ανοίγει το συγκεκριμένο δωμάτιο. 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικές Ασκήσεις Click to edit για Master Περιστερώνα (Ι) 1. Έστω ότι μας δίνονται 2000 βόλοι καθένας από τους οποίους έχει κάποιο (αυθαίρετο) χρώμα. Νδο τουλάχιστον μια από τις δυο προτάσεις ισχύει σε κάθε περίπτωση: (ι) Υπάρχουν τουλάχιστον 45 βόλοι διαφορετικού χρώματος. (ιι) Υπάρχουν 46 τουλάχιστον βόλοι ίδιου χρώματος. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ότι χρησιμοποιούνται ΤΟ ΠΟΛΥ 44 χρώματα, αλλιώς ισχύει η πρόταση (ι) ( χρώματα = περιστερώνες ). Βάφονται με αυθαίρετο τρόπο 2000 βόλοι ( βόλοι = περιστέρια ) ΑΡΑ: Υπάρχει χρώμα που χρησιμοποιείται από τουλάχιστον 2000/44 = 46 βόλους. 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

12 Μερικές ασκήσεις Click to edit για περιστερώνα Master (ΙΙ) 2. Νδο για οποιονδήποτε ρητό αριθμό q = \ δ :,δ Ν, στη δεκαδική αναπαράσταση του q είτε υπάρχει πεπερασμένος αριθμός δεκαδικών ψηφίων, ή υπάρχει ένα πεπερασμένο πρόθεμα (το πολύ δ-1 ψηφίων) που επαναλαμβάνεται επ άπειρο. 3. Νδο ανάμεσα σε n+1 αυθαίρετα επιλεγμένους ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ ακέραιους αριθμούς, υπάρχουν δυο που η διαφορά τους διαιρείται ακέραια από το n. Υπόδειξη: είξτε πρώτα ότι (βλ. σχετική Άσκηση REL.1): α Ζ, β Ζ, { [ γ Ζ(α β n*γ) [ α mod n β mod n ] } 4. Έστω ότι 42 φοιτητές μοιράζονται 12 υπολογιστές, και κάθε φοιτητής χρησιμοποιεί μόνο έναν υπολογιστή. Κανένας υπολογιστής δεν χρησιμοποιείται από περισσότερους από 6 φοιτητές. Νδο τουλάχιστον 5 υπολογιστές χρησιμοποιούνται από τουλάχιστον 3 φοιτητές. 21 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) «1-1» 1» και «επί» Click για to πεπερασμένα edit Master title σύνολα style ΠΡΟΤΑΣΗ REL.2 Έστω Χ,Υ πεπερασμένα σύνολα με τον ίδιο πληθάριθμο Χ = Υ, και τυχούσα συνάρτηση φ : X Y. Τότε, η φ είναι «1-1» 1» ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ είναι «επί». ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω Χ = {Χ 1,Χ 2,...,Χ Ν } και Υ = {Υ 1,Υ 2,...,Υ Ν }. ΑΝ «1-1» ΤΟΤΕ «επί»: Α 1 = { φ(χ 1 ) }, Α 2 = { φ(χ 2 ) },..., Α Ν = { φ(χ Ν ) } Β = Υ ( Α 1... Α Ν ) // στοιχεία του Υ που δεν είναι εικόνες του Χ ως προς την φ... Τι είναι το { Α 1, Α 2,..., Α Ν, Β } για το Υ??? Μια ΙΑΜΕΡΙΣΗ του Υ!!! ΑΡΑ: Ν = Υ = Α 1 + Α Α Ν + Β = Β Β = 0 ΑΝ «επί» ΤΟΤΕ «1-1»: ΓΙΑ ΚΑΘΕ β Υ,, Φ β = { α Χ : φ(α) ) = β }. «επί» Φ β β 1. { Φ Υ1, Φ Υ2,..., Φ ΥΝ } == ΙΑΜΕΡΙΣΗ του Υ. Άρα: Ν = X = Φ Υ1 + Φ Υ Φ ΥΝ = Ν ΑΝ ίσχυε για κάποιο β ότι Φ β 2 ΤΟΤΕ Ν Ν+1 > Ν (ΑΤΟΠΟ) ΑΡΑ: Φ Υ1 = Φ Υ2 =... = Φ ΥΝ = 1 (δηλαδή, η φείναι «1-1»). 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

13 Ιδιότητες Click και to edit πράξεις Master σχέσεων (Ι) ΟΡΙΣΜΟΣ REL.4: Έστω σύνολα Α,Β,Γ και οι διμελείς σχέσεις Π ΑxΑ,, Σ ΑxB και Ρ ΒxΓ. Σύνθεση ΡοΣ είναι η διμελής σχέση: ΡοΣ = {(α,γ) ΑxΓ : β Β[ β [ (α,β) Σ (β,γ) Ρ ] } Αντίστροφη της Σ είναι η σχέση Σ -1 = { (β,α) ΒxΑ : (α,β) Σ }. Η σχέση Π είναι : Aνακλαστική ΑΝΝ: α Α[ (α,α) Π ] Aντιανακλαστική ΑΝΝ: α Α[ (α,α) α) Π ] Συμμετρική ΑΝΝ: α Α β Α[ α β {(α,β),(β,α) } Π 1] Αντισυμμετρική ΑΝΝ: α Α β Α[ (α,β) Π (β,α) Π α β ] α Α β Α[ α β { (α,β), (β,α) } Π 1 ] 23 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Πλήθος Click to των edit ιμελών Master title Σχέσεων style ΑΣΚΗΣΗ REL.3: Στο σύνολο Α = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }, πόσες διαφορετικές διμελείς σχέσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε? Αιτιολογείστε τις απαντήσεις σας. 1. ίχως κανένα περιορισμό. 2. Ώστε να είναι ανακλαστικές. 3. Ώστε να είναι συμμετρικές. 4. Ώστε να είναι αντισυμμετρικές. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: *3 45 ΑΣΚΗΣΗ REL.4: Υπολογίστε (αν υπάρχουν τέτοιες) το πλήθος των διμελών σχέσεων πάνω σε ένα σύνολο Αμε 10 στοιχεία για τις οποίες : 1. Ισχύει και η συμμετρικότητα και η αντισυμμετρικότητα. 2. εν ισχύει ούτε η συμμετρικότητα, ούτε η αντισυμετρικότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 1. ΝΑΙ, ΝΑΙ, * Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

14 Click Αντιστροφή to edit Master Συνάρτησης ΕΡΩΤΗΣΗ: Πότε η αντίστροφη σχέση F -1 μιας συνάρτησης F: A B είναι επίσης συνάρτηση? ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η F -1 : Β Α είναι συνάρτηση ΑΝΝ κάθε στοιχείο βαπό το πεδίο ορισμού της Βέχει ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ εικόνα στο πεδίο τιμών της Α: β Β α Α { (β,α) F -1 γ Α [ (β,γ) F -1 α γ ] } ΑΡΑ: Η συνάρτηση F θα πρέπει να είναι: 1. «1-1», ώστε κάθε στοιχείο βτου πεδίου ορισμού Βτης F -1 να έχει ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑ εικόνα στο πεδίο τιμών Α της F -1 : β Β α Α γ Α[ (α,β) F (γ,β) F α γ ] b aχ 2. «επί», ώστε κάθε στοιχείο βτου πεδίου ορισμού Βτης F -1 να έχει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΜΙΑ εικόνα στο πεδίο τιμών Α της F -1 : β Β α Α [ (α,β) F] 25 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Χ Click to edit Master Παραδείγματα αντιστροφής συναρτήσεων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.7: Μια συνάρτηση F : A B ονομάζεται αντιστρέψιμη ΑΝΝ η αντίστροφη σχέση F -1 : Β Α είναι επίσης συνάρτηση. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμες, και (αν είναι) προσδιορίστε τις αντίστροφές τους συναρτήσεις. 1. square : x R x 2 R 0 OXI 2. sqrt : x R 0 (x) 1/2 R 0 NAI, (sqrt) -1 :y R 0 y 2 R 0 3. log 2 : x R + y R τ.ώ. 2 y = x NAI, (log -1 2 ) =exp 2 4. exp 2 : x R 2 x R + NAI, (exp -1 2 ) =log 2 26 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

15 Ιδιότητες Click και to edit πράξεις Master σχέσεων (ΙΙ) ΟΡΙΣΜΟΣ REL.4: Για διμελή σχέση Π ΑxΑ επί συνόλου Α: Η Π είναι μεταβατική, ανν α Α β Α γ Α [(α (α,β) Π (β,γ) Π (α,γ) Π ] Η Π 1 είναι μεταβατική επέκταση της Π, ανν Π Π 1 και επιπλέον, α Α β Α γ Α [ (α,β) Π (β,γ) Π (α,γ) Π 1 ] Για κάθε κ 2, η σχέση Π κ, είναι η μεταβατική επέκταση της Π κ-1. Η μεταβατική θήκη (transitive closure) Π* της Π είναι η σχέση που ορίζεται ρζ από την ένωση των σχέσεων Π,Π 1,Π 2, Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Click Μεταβατικών to edit Master Επεκτάσεων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.8: Έστω διμελής σχέση Σπου αποτυπώνει στο σύνολο των πόλεων ενός χάρτη το αν (ανά δύο) συνδέονται μεταξύ τους με ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ οδική σύνδεση (δίχως την παρέμβαση άλλης πόλης). Τι συμβολίζει η μεταβατική της επέκταση Σ 1? Τι συμβολίζει η μεταβατική της επέκταση Σ 2? Τι συμβολίζει η μεταβατική θήκη Σ* της σχέσης Σ? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.9: Για μια οποιαδήποτε διμελή σχέση Π επί του συνόλου Α = {0,1,2,3,4,5, 6, 7, 8 } ελέγξτε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν : 1. Η μεταβατική της επέκταση Π 1 είναι μεταβατική σχέση? OXI ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ 2. Η μεταβατική της επέκταση Π 3 είναι μεταβατική σχέση? NAI 3. Η μεταβατική της θήκη Π* είναι μεταβατική σχέση? NAI 28 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

16 Click to edit Σχέσεις Master Ισοδυναμίας ΟΡΙΣΜΟΣ REL.5: Για τυχόντα σύνολα Α,Β και σχέσεις Π ΑxΑ, Ρ ΒxΒ: Περιορισμός ρ της Π στο Β είναι η σχέση Π (BxB). H Π είναι σχέση ισοδυναμίας, ANN είναι: Ανακλαστική, Συμμετρική, και Μεταβατική. Για σχέσεις ισοδυναμίας Π,Ρ: - Εκλέπτυνση Π της Ρ: Π P - ΓινόμενοΠ Ρ = Π Ρ (σχέση ισοδυναμίας) - Άθροισμα Π+Ρ = (Π Ρ)* (σχέση ισοδυναμίας) 29 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επαγόμενες Click to από edit ιαμέριση Master title Σχέσεις style Κάθε ρητός αριθμός έχει άπειρους τρόπους γραφής ως κλάσμα ακεραίων: Πχ, 3/2 = 6/4 = 9/6 = 12/8 = 15/10 =... ΑΡΑ: Το σύνολο Q των ρητών αριθμών διαμερίζεται σε υποσύνολα αριθμών που μεταξύ τους είναι ίσοι (ως προς την τιμή τους). Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ REL.6: Για τυχόν σύνολο Α και διαμέριση Β = { Α 1, Α 2,..., Α κ } του Α, η διμελής σχέση στο Α που ορίζεται ως εξής: α Α β Α { (α,β) Σ λ {1,2,...,κ} [ α Α λ β Α λ ] } λέγεται επαγόμενη από την διαμέριση Β σχέση στο Α. 30 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

17 Σχέσεις Ισοδυναμίας ή Σχέσεις Επαγόμενες από ιαμέριση??? Click to edit Master ΠΡΟΤΑΣΗ REL.3 Έστω Σ η σχέση που επάγεται από μια τυχούσα διαμέριση { Α 1,..., Α κ } ενός συνόλου A. Τότε, η Σ είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική (δλδ, σχέση ισοδυναμίας). ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: [κ] = { 1, 2,..., κ } ΙΑΜΕΡΙΣΗ: Α 1 Α 2... Α κ Α λ [κ] μ [κ] (λ μ Α λ Α μ ) Ανακλαστικότητα: α Α λ [κ] ( α Α λ α Α λ ). Προφανώς: (α,α) Σ. Συμμετρικότητα: α Α β Α [ (α,β) Σ (β,α) Σ ] (α,β) Σ = λ [κ] ( α Α λ β Α λ ) (β,α) Σ = λ [κ] ( β Α λ α Α λ ) (α,β) Σ (β,α) Σ Μεταβατικότητα: α Α β Α γ Α [ (α,β) Σ (β,γ) Σ (α,γ) Σ ] Αφού έχουμε διαμέριση, το στοιχείο β ανήκει σε ΕΝΑ μερίδιο (λ=μ). Άρα, για τυχόντα α,β,γ Α, θδο αληθεύει ο τύπος (α,β) Σ (β,γ) Σ (α,γ) Σ : 1. [ (α,β) Σ (β,γ) Σ λ [κ] ( α Α λ β Α λ γ Α λ ) ] Από Ορισμό της Σ 2. λ [κ] [ ]( α Α λ β Α λ γ Α λ )] (α,γ) Σ Σ Από Ορισμό της Σ 3. (α,β) Σ (β,γ) Σ (α,γ) Σ Από Τ.Θ. Μεταβατικότητας 31 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Master Παραδείγματα Σχέσεων Ισοδυναμίας (???) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η διαμέριση {Α 1,Α 2,...,Α κ } συνόλου Αορίζει μια σχέση ισοδυναμίας Σπάνω στο Α, και κάθε μερίδιο Α i ονομάζονται κλάση ισοδυναμίας. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.10: Είναι σχέσεις ισοδυναμίας οι σχέσεις που περιγράφονται από τα ακόλουθα διαγράμματα? Αν ναι, ποιες οι κλάσεις ισοδυναμίας τους? Υπάρχει κάποια σχέση που είναι εκλέπτυνση της άλλης? ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 η : ΟΧΙ 2 η : ΝΑΙ, με τις κλάσεις: { {1}, {2,3}, {4} }. 3 η : ΝΑΙ, με τις κλάσεις: { {1,2,3}, {4} }. Η 2 η σχέση είναι εκλέπτυνση της 3 ης. 32 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

18 Click to edit Master Παραδείγματα Σχέσεων Ισοδυναμίας (???) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.11: Εξετάστε αν είναι ισοδυναμίας οι εξής διμελείς σχέσεις: 1. ΜODn «ισοτιμίας modulo n» στο σύνολο των ακεραίων, που ορίζεται ως εξής: (α,β) Ζ Ζ { (α,β) ΜODn [ α mod n β mod n ] } 2. ΕQCIRCUIT στο σύνολο Τ των λογικών κυκλωμάτων με τρεις εισόδους (προτασιακών τύπων με τρεις μεταβλητές) που ορίζεται ως εξής: (α,β) Τ T T { (α,β) EQCIRCUIT [ α β ] } 3. LEQ «μικρότερο ή ίσο» στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών: (α,β) R R ( {(α,β) LEQ [ α β ]} 4. Έστω Ατο σύνολο των λέξεων μήκους 3 που γράφουμε στο αλφάβητο { 0, 1 }. Ορίζουμε ρζ τη διμελή σχέση Σ στο Α ως εξής: (Χ,Υ) Α Α, (Χ,Υ) Σ «τα Χ,Υ διαφέρουν το πολύ σε μια θέση». ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 33 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Σχέσεις Master title ιάταξης style ΟΡΙΣΜΟΣ REL.7 Για σύνολο Α και σχέση Π ΑxΑ: H Π είναι σχέση μερικής διάταξης, ανν είναι 1. Ανακλαστική. 2. Αντισυμμετρική. 3. Μεταβατική. H Π είναι σχέση ολικής διάταξης, ανν είναι 1. Ανακλαστική. 2. α Α β Α [α β { (α,β), (β,α) } Π = 1]. 3. Μεταβατική. Το ζεύγος (Α,Π) είναι μερικά διατεταγμένο σύνολο ανν το Π είναι σχέση μερικής διάταξης στο Α. 34 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

19 Παραδείγματα Click to Σχέσεων edit Master ιάταξης (?) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.12: 1. Είναι σχέση μερικής / ολικής διάταξης η διμελής σχέση «a b» της ακέραιας διαίρεσης στο σύνολο των φυσικών αριθμών? Η «a b»? Η «a (mod n) b (mod n)»? 2. Είναι σχέσεις ολικής / μερικής διάταξης δά οι σχέσεις που περιγράφονται από τα ακόλουθα διαγράμματα? ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. ΟΛΙΚΗΣ ΜΕΡΙΚΗΣ ΟΧΙ 2. ΟΛΙΚΗΣ ΜΕΡΙΚΗΣ ΟΧΙ 3. ΟΛΙΚΗΣ ΜΕΡΙΚΗΣ ΟΧΙ 35 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΟΡΙΣΜΟΣ REL.8: Για ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο (Α, Π) ονομάζουμε: Click Αλυσίδες to edit Master Αντιαλυσίδες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.13: Στη σχέση μερικής διάταξης που ορίζει το διάγραμμα ΑΛΥΣΙ Α ένα οποιοδήποτε υποσύνολο Β A τ.ώ. ΓΙΑ ΚΑΘΕ ζεύγος διαφορετικών στοιχείων α,β B, B ισχύει ότι: { (α,β), (β,α) } Π = 1. βρείτε όλες τις μέγιστες ως ηλαδή, ο περιορισμός της Π στο προς τον πληθάριθμό τους Β είναι σχέση ολικής διάταξης. δά αλυσίδες και αντιαλυσίδες: ΑΝΤΙΑΛΥΣΙ Α ένα οποιοδήποτε ΑΠΑΝΤΗΣΗ υποσύνολο Β A τ.ώ. για ΓΙΑ Το σύνολο {123} {1,2,3} είναι η ΚΑΘΕ ζεύγος διαφορετικών μεγαλύτερη αλυσίδα, ενώ τα στοιχείων α,β B, ισχύει ότι: σύνολα {1,4}, {2,4}, {2,5}, { (α,β), (β,α) } Π = 0. {3,5} είναι οι μεγαλύτερες αντιαλυσίδες. 36 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

20 Click to edit Master Ερωτήσεις Κατανόησης για Σχέσεις Συνόλων [Α] Ποια η μεγαλύτερη (ως προς τον πληθάριθμο) αλυσίδα που υπάρχει σε μια σχέση ολικής διάταξης Π Α Α? [Β] Έστω για μια ανακλαστική σχέση Π Α Α ότι θεωρούμε ως «συμπληρωματική» διμελή σχέση Π c = (Α Α Π) { (α,α) : α Α } όπου προσθέτουμε σε κάθε κορυφή τους βρόχους, ώστε να ανακτήσουμε την ανακλαστικότητα). 1. Τι μπορούμε να πούμε για την Π c, αν η Π είναι σχέση ολικής διάταξης? 2. Τι μπορούμε να πούμε για την Π c, αν η Π είναι σχέση μερικής (αλλά όχι ολικής) διάταξης? 3. Τι μπορούμε να πούμε για την Π c, αν η Π είναι σχέση ισοδυναμίας? 37 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ακρότατα Μερικά Click ιατεταγμένων to edit Master title Συνόλων style ΟΡΙΣΜΟΣ REL.9: Έστω διμελής σχέση Π Α Α στο σύνολο Α. Γειτονιά στοιχείου α Α ονομάζεται κάποιο υποσύνολο Γ Α (α) Α. Για κάθε ορισμό γειτονιών { Γ Α (β) : β Α }, ένα στοιχείο α Α είναι: Τοπικό (ολικό, αν Γ Α (α) = Α) Μεγιστικό (maximal) Στοιχείο: β Α[ β Γ Α (α) α β (α,β) Π ] Α Τοπικό (ολικό, αν Γ Α (α) = Α) Μέγιστο (maximum) Στοιχείο: β Α[ β Γ Α (α) α β (β,α) Π ] Τοπικό (ολικό, αν Γ Α (α) = Α) Ελαχιστικό (minimal) Στοιχείο: β Α[ β Γ Α (α) α β (β,α) Π ] Τοπικό (ολικό αν Γ Α Α( (α) = Α) ) Ελάχιστο (minimum) Στοιχείο: β Α[ β Γ Α (α) α β (α,β) Π ] 38 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

21 Εξήγηση Click to Σημασίας edit Master Ακροτάτων Έστω πεπερασμένο σύνολο Α σκακιστών, όπου όλοι παίζουν με όλους τους άλλους (μια παρτίδα ανά ζεύγος) και τα αποτελέσματα κάθε παρτίδας (Ν-Ι-Η) Ι αποτυπώνονται από μια διμελή σχέση Π Α Α ως εξής: α Α, β Α, β Α «ο α έχασε από τον β» (α,β) Π. Τι σημαίνει ότι ο α* είναι: Ολικό μεγιστικό στοιχείο ως προς την Π? Ο α* δεν έχασε από κανέναν (μπορεί όμως με κάποιους να έφερε ισοπαλία). Ολικό μέγιστο σο στοιχείο ως προς την Π? Ο α* κέρδισε όλους τους αντιπάλους. Ολικό ελαχιστικό στοιχείο ως προς την Π? Ο α* δεν κέρδισε κανέναν (μπορεί όμως με κάποιους να έφερε ισοπαλία). Ολικό ελάχιστο στοιχείο ως προς την Π? Ο α* έχασε από όλους τους αντιπάλους. 39 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Master Μερικές Παρατηρήσεις για τα Ακρότατα (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ REL.4 Έστω διμελής σχέση Π Α Α σε ένα πεπερασμένο σύνολο Α. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς: 1. Αν η Π παραβιάζει την αντισυμμετρικότητα τότε ενδέχεται να μην έχει καθόλου ακρότατα. 2. Αν η Π παραβιάζει την μεταβατικότητα τότε ενδέχεται να μην έχει καθόλου ακρότατα. 3. Αν η Π είναι σχέση μερικής διάταξης τότε έχει πάντοτε μεγιστικά και ελαχιστικά στοιχεία, αλλά όχι απαραίτητα αραί α μέγιστα κι ελάχιστα στοιχεία. 4. Αν η Π είναι σχέση ολικής διάταξης έχει πάντοτε (μοναδικά ολικά, ενδεχομένως πολλά τοπικά) μέγιστα κι ελάχιστα στοιχεία. 40 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

22 Click to edit Master Μερικές Παρατηρήσεις για τα Ακρότατα (ΙΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για τα (1,2) βρείτε (προφανή) παραδείγματα σχέσεων που παραβιάζουν αντισυμμετρικότητα ή μεταβατικότητα, δίχως ακρότατα. 3. ΕΣΤΩ (για χάρη απ. σε άτοπο) η Π είναι ΣΜ δίχως κανένα ακρότατο. ΤΟΤΕ α Α β Α γ Α[ α β α γ (α,β) Π (γ,α) Π ] ΤΟΤΕ α Α β Α γ Α[ α β α γ β γ (α,β) Π (γ,α) Π ] (από αντισυμμετρικότητα) ΤΟΤΕ Υπάρχει «κατευθυνόμενος κύκλος» στο διάγραμμα της Π με τουλάχιστον δυο στοιχεία του Α. Ξεκινάμε από αυθαίρετο στοιχείο στο διάγραμμα, και επιλέγουμε κάθε φορά ένα εξερχόμενο τόξο. Αν αυτό οδηγεί σε κορυφή που συναντήσαμε στο παρελθόν, τότε σχηματίζεται κύκλος (και σταματάμε), διαφορετικά ακολουθούμε ένα εξερχόμενο τόξο της καινούργιας κορυφής. Αφού υπάρχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων στο Α, αναγκαστικά θα προκύψει κύκλος. ΤΟΤΕ Παραβιάζεται είτε η αντισυμμετρικότητα, ή η μεταβατικότητα της Π, λόγω της ύπαρξης του κύκλου. (ΑΤΟΠΟ) 4. Μια ΣΟ είναι και ΣΜ, άρα έχει ακρότατα. Οποιοδήποτε στοιχείο του Α συγκρίνεται με όλα τα άλλα στοιχεία του Α, στην Π (ΣΟ ). ΑΡΑ: Κάθε μεγιστικό στοιχείο (ελαχιστικό) είναι και μέγιστο (ελάχιστο). ΑΛΛΑ δεν μπορούν να υπάρχουν δυο διαφορετικά μέγιστα (ελάχιστα) στοιχεία αφού συγκρίνονται και μεταξύ τους. 41 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικά Click Παραδείγματα to edit Master Ακροτάτων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.13: Για το Α = { 2, 3, 5, 12, 15, 18, 30, 36, 45, 180 } έστω η διμελής σχέση που ορίζεται ως : (α,β) «ο α διαιρεί ακέραια τον β». Τι είδους σχέση είναι η στο Α? = { (2,2), (2,12), (2,18), (2,30),(2,36), (2,180), (3,3), (3,12), (3,15), (3,18), (3,30), (3,36), (3,45), (3,180), (5,5), (5,15), (5,30), (5,45), (5,180), (18,18), (18,36), (18,180), (30,30), (30,180), (36,36), (36,180), (45,45), (45,180), (180,180) } Τι είδους σχέση είναι η? ΜΕΡΙΚΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ Είναι το (Α, ) μερικά διατεταγμένο σύνολο? ΝΑΙ Υπάρχει Ολικό Μέγιστο Στοιχείο? 180 Υπάρχει Ολικό Μεγιστικό Στοιχείο? 180 Υπάρχει Ολικό Ελάχιστο Στοιχείο? ΟΧΙ Υπάρχει Ολικό Ελαχιστικό Στοιχείο? { 2, 3, 5 } 42 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

23 Μερικά Παραδείγματα Click to edit Master Ακροτάτων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.14: Για την σχέση του διαγράμματος, εξετάστε αν: 1. Είναι σχέση μερικής ή ολικής διάταξης. 2. Ποιες οι μεγιστικές / μεγιστικές αλυσίδες / αντιαλυσίδες υπάρχουν. 3. Ποια τα ακρότατα που μπορείτε να εντοπίσετε. 4. Ποια σχέση έχουν με τις αλυσίδες που βρήκατε. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Είναι σχέση μερικής (αλλά όχι ολικής) διάταξης. 2. Μέγιστη αλυσίδα: {1,2,3}. Μεγιστική αλυσίδα: {3,4}. Μέγιστες αντιαλυσίδες: {2,4}, {1,4}. Μεγιστική αλυσίδα: {3}. 3. Υπάρχουν τα ελαχιστικά στοιχεία 24αλλά 2,4 κανένα ελάχιστο στοιχείο, και ένα μοναδικό μέγιστο στοιχείο, το Τα στοιχεία που έχουν ΜΟΝΟ εισερχόμενα (εξερχόμενα) τόξα από άλλα στοιχεία είναι μεγιστικά (ελαχιστικά) λ στοιχεία, και «ακραία ί σημεία» αλυσίδων. 43 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to edit Master Φράγματα ΟΡΙΣΜΟΣ REL.10: Για μερικά διατεταγμένο σύνολο (Α,Π), και Β Α: Το γ Α είναι άνω φράγμα του Β, ανν: β Β[ (β,γ) Π ]. Το γ Α είναι ελαχιστικό άνω φράγμα του Β, ανν: β Β [(β,γ) Π ] δ Α { δ γ (δ,γ) Π β Β[ (δ,β) Π ]} Το γ Α είναι ελάχιστο άνω φράγμα του Β, ανν: β Β [ (β,γ) Π ] δ Α { β Β[ (β,δ) Π ] (γ,δ) Π } ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ και για κάτω φράγμα, μεγιστικό κάτω φράγμα, και μέγιστο κάτω φράγμα του Β. 44 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

24 Εξήγηση Click to Σημασίας edit Master Φραγμάτων Έστω πεπερασμένο σύνολο Α σκακιστών, όπου όλοι παίζουν με όλους τους άλλους (μια παρτίδα ανά ζεύγος) και τα αποτελέσματα κάθε παρτίδας (Ν-Ι-Η) Ι αποτυπώνονται από διμελή σχέση Π Α Α Α ως εξής: α Α, β Α, «ο α έχασε από τον β» (α,β) Π. Τι σημαίνει ότι ο α* είναι: Ελαχιστικό Α.Φ. στοιχείο του Β Α ως προς την Π? Ο α* νίκησε όλους στο Β και δεν έχασε από κανέναν άλλον που νίκησε όλους του Β. Ελάχιστο Α.Φ. στοιχείο του Β Αως προς την Π? Ο α* νίκησε όλους στο Β και νίκησε και όλους τους άλλους που νίκησαν όλους του Β. Μεγιστικό Κ.Φ. του Β Αως προς την Π? Ο α* έχασε από όλους του Β και δεν κέρδισε κανέναν άλλον που νίκησε όλους του Β. Μέγιστο Κ.Φ. του Β Α ως προς την Π? Ο α* έχασε από όλους του Β και έχασε και από όλους εκείνους που νίκησαν όλους του Β. 45 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Click to Μερικά edit Master Παραδείγματα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.13 (συνέχεια): Για το Α = { 2, 3, 5, 12, 15, 18, 30, 36, 45, 180 } έστω η διμελής σχέση που ορίζεται ως : (α,β) «ο α διαιρεί ακέραια τον β». 1. Ποια τα ελαχιστικά άνω φράγματα του { 2, 3 }? 2. Ποιο το ελάχιστο άνω φράγμα του { 2, 3, 12 }? 3. Ποιο το μέγιστο κάτω φράγμα του { 30, 45 }? 4. Ποια τα μεγιστικά κάτω φράγματα του { 2, 18 }? 12, 18, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.15: Θεωρείστε το σύνολο των φυσικών αριθμών και τη διμελή σχέση. Ποιοι αριθμοί είναι άνω φράγματα κάποιου υποσυνόλου φυσικών, πχ, του { 4, 6, 12 }? Ποιοι από αυτούς είναι ελαχιστικά άνω φράγματα? Ποιοι αριθμοί είναι κάτω φράγματα κάποιου υποσυνόλου φυσικών, πχ, του { 4, 6, 12 }? Ποιοι από αυτούς είναι μεγιστικά κάτω φράγματα?? 46 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) 15 2

25 Ιδιότητες Click Αλυσίδων to edit / Αντιαλυσίδων Master (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ REL.5 Έστω (A,Π) ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο, τ.ώ. το μέγιστο μήκος (πληθάριθμος) αλυσίδας είναι Ν. Τα στοιχεία του A μπορούν να ΙΑΜΕΡΙΣΤΟΥΝ σε Ν (ξένες μεταξύ τους) αντιαλυσίδες. Παράδειγμα: Στην ΣΜ του διπλανού σχήματος βρείτε: 1. Όλες τις μεγιστικές ως προς το μήκος τους αλυσίδες. ΑΠ: {1,2,3}, {1,5}, {3,4}, {4,5} 2. Μια διαμέριση του Α σε τόσες αντιαλυσίδες όσο και το μέγιστο μήκος αλυσίδας. ΑΠ: { {1,4}, {2,5}, {3} } 47 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ιδιότητες Αλυσίδων Click to edit / Αντιαλυσίδων Master (ΙΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Με επαγωγή στο μέγιστο μήκος αλυσίδας, Ν. [ΒΑΣΗ] Για Ν=1, συμπεραίνουμε ότι Π {(α (α,α) α) :α Α } = (διαφορετικά θα υπήρχε αλυσίδα μήκους τουλάχιστον 2). Άρα, ολόκληρο το Α ορίζει μια αντιαλυσίδα. [ΥΠΟΘ.] Έστω για κάποιο Ν 1 ότι για ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ Μ Σ (A,Π ) με μέγιστο μήκος αλυσίδας Ν, το A διαμερίζεται σε Ν αντιαλυσίδες. [ΒΗΜΑ] Για Μ Σ (A,Π) με μέγιστο μήκος αλυσίδας Ν+1: Μ Α : Υποσύνολο ολικών μεγιστικών στοιχείων στο (Α,Π). Το Μ είναι μια (μη κενή) αντιαλυσίδα του (Α,Π). Το Μ Σ ( Α-Μ, Π (Α-Μ)x(Α-Μ) ) έχει μέγιστο μήκος αλυσίδας ακριβώς Ν (γιατί?). Το Α-Μ διαμερίζεται σε Ν (ξένες) αντιαλυσίδες // Επαγ. Υπόθεση Κάθε αντιαλυσίδα του ( Α-Μ, Π (Α-Μ)x(Α-Μ) ) είναι αντιαλυσίδα και του (Α,Π). Μαζί με το Μ, έχουμε συνολικά Ν+1 αντιαλυσίδες. 48 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

26 Παραδείγματα Click Αλυσίδων to edit Master Αντιαλυσίδων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.16: Σε μια πόλη με αβ+1 ανθρώπους, θα πρέπει να ισχύει τουλάχιστον ένα από τα δυο ενδεχόμενα: 1. Υπάρχουν β+1 άνθρωποι που ΕΝ έχουν σχέση προγόνου απογόνου μεταξύ τους (ανά δύο). 2. Υπάρχουν α+1 άνθρωποι που όλοι είναι μεταξύ τους συγγενείς. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: ημιουργούμε στο σύνολο Α των ανθρώπων της πόλης τη διμελή σχέση Π: «ο είναι πρόγονος του», όπου θεωρούμε κατά σύμβαση ότι κάθε άνθρωπος είναι πρόγονος του εαυτού του. Το (Α,Π) είναι μερικά διατεταγμένο σύνολο. Οποιαδήποτε αλυσίδα του (Α,Π) αντιπροσωπεύει ένα σύνολο ανθρώπων που μεταξύ τους (ανά ά δύο) ) έχουν συγγενική σχέση. ΑΝ υπάρχει αλυσίδα μήκους α+1 ΤΟΤΕ ισχύει το (2) ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ // μέγιστο μήκος αλυσίδας α Το Σ μπορεί να διαμεριστεί σε ΤΟ ΠΟΛΥ α ξένες αντιαλυσίδες. ΑΝ όλες οι αντιαλυσίδες είχαν βανθρώπους ΤΟΤΕ Σ αβ (ΑΤΟΠΟ) ΑΡΑ: Υπάρχει αντιαλυσίδα μεγέθους β+1 ισχύει το (1). 49 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Click Αλυσίδων to edit Master Αντιαλυσίδων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ REL.17: Στο θετικό τεταρτημόριο επίπεδο ορίζουμε τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με κάτω αριστερή γωνία το σημείο (0,0), και πάνω δεξιά γωνία το (Χ,Υ), για κάποιους μη αρνητικούς αριθμούς Χ,Υ. Νδο όπως κι αν τοποθετήσουμε 5 σημεία (X 1,Y 1 ),, (X 5,Y 5 ) στο θετικό τεταρτημόριο, υπάρχουν τουλάχιστον 3 ορθογώνια που είτε περιέχονται εξ ολοκλήρου το ένα στο άλλο, είτε ανά δύο κανένα δεν περιλαμβάνει το άλλο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ορίζουμε τη διμελή σχέση ως προς διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών. Το (Σ, ) είναι Μ Σ. Υπάρχει αλυσίδα μήκους 3, ή αντιαλυσίδα μήκους Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

27 Click Τοπολογική to edit Master Ταξινόμηση ΟΡΙΣΜΟΣ REL.11: Έστω σχέσεις μερικής διάταξης Π Α Α και Σ Α Α, σε πεπερασμένο σύνολο Α. Η Σ είναι συμβατή με την Π ΑΝΝ α Α β Α[ (α,β) Π (α,β) Σ ] Η Σ είναι τοπολογική διάταξη της Π ΑΝΝ η Σ είναι σχέση ΟΛΙΚΗΣ διάταξης και είναι συμβατή με την Π. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Υπάρχει τρόπος να τοποθετήσουμε στην ευθεία τις κορυφές του διπλανού γραφήματος, ώστε όλες οι ακμές να κινούνται από αριστερά προς τα δεξιά? Ποια ιδιότητα το εξασφαλίζει? ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΝΑΙ, γιατί η μεταβατική κλειστότητά της είναι και αντισυμμετρική, άρα (προσθέτοντας βρόχους) μπορούμε να πάρουμε μια ΣΜ,, στην οποία υπάρχει μια ΣΟ που να είναι συμβατή με αυτήν. 51 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

28 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

29 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

30 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Σχέσεις και συναρτήσεις». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.