Zaštitni premazi i brodska kozmetika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Zaštitni premazi i brodska kozmetika"

Transcript

1 Zaštitni premazi i brodska kozmetika Linija AQUATIC HRVATSKI

2 2

3 SADRŽAJ O tvrtki NANOPROM 3 Nanotehnologija 4 Hibridna matrica lotosa 6 Briga za zdravlje i okoliš 7 Trup 8 Natjecateljski trup 10 Tikovina 12 Čišćenje plovila 16 Jedra 18 Tkanine 20 Zaštita platna 22 Premazi 23 O tvrtki NANOPROM NANOPROM se bavi proizvodnjom i inženjeringom, te prodajom i primjenom novih proizvoda, sistema i uređaja posredstvom svojih lokalnih zastupnika. Mi smo mlada i stabilna tvrtka sa značajnom mrežom kontakata i partnerstva, koji su rezultat našeg kontinuiranog istraživanja i osiguravanja kvalitete proizvoda. Surađujemo sa privatnim laboratorijima. Prve korake u nanotehnologiji, tvrtka Nanoprom, ostvarila je godine prodajom proizvoda za industrijsko tržište. U uskoj suradnji sa multinacionalnim kompanijama širom svijeta, godine 2006., Nanoprom odlučuje stvoriti čvrstu organizaciju koja obuhvaća različite sektore. Spomenutom organizacijom poslovanja, omogućeno nam je predstavljanje inovativnih i jedinstvenih rješenja na području zaštite površina. Proizvodi su razvijeni na bazi suvremenih nanotehnoloških supstanci s ciljem rješavanja velikog broja problema koje bi s uobičajenim tretmanima bilo teško ili čak nemoguće ukloniti. 3

4 NANOTEHNOLOGIJA mala tehnologija za veliku budućnost Rijetko je jedna tehnologija privukla toliku pažnju unutar samo par godina, kao što je to nanotehnologija. To je puno više od mode, to je tehnologija koja će obilježiti 21. stoljeće. Što je u njoj tako privlačno? Gotovo sve stvari koje nas okružuju su velike toliko da ih možemo vidjeti svojim vlastitim očima. Govorimo o metrima, centimetrima i milimetrima (makro svijet). Kada su u pitanju manje stvari, teže je shvatiti o čemu se radi. Što je to nanotehnologija? Prefiks nano, u riječi nanotehnologija, dolazi od grčke riječi nanos, koja znači patuljak, patuljast, veoma malen. Kada se govori o nanotehnologiji, govori se o veličinama koje su deset tisuća puta manje od jednog milimetra. Smanjivanjem na nano dimenzije, poznati materijali dobivaju potpuno nove karakteristike. Napredne tvrtke primjenjuju ova znanja u svrhu izrade optimalnih proizvoda i tehnika. Nanotehnologija je nova? Ne, svaka ljudska stanica sastoji se od nano čestica. Nanotehnologija primjenjivala se nesvjesno već u srednjem vijeku. Čestice istog materijala imaju potpuno drugačije karakteristike kada su u makro svijetu ili nano svijetu. U nano svijetu zlato mijenja svoju boju, gubi svoje svojstvo metala i postaje crveno. Na isti način, prozori crkve postaju crvene boje poput rubina, unatoč tome što su u staklo rastopljene čestice zlata. vanjske dimenzije promjer ljudske vlasi los 2 m mikročipa 1 cm od 100 µm 1nm 1 m 0,1 m 1 cm 1 mm 0,1 mm atom 0,1nm kanarinac 10 cm buha 1 mm =100 µm 0,1-0,4 nm 0 10 m = 1,0 m = 1m (1 metar) 3 10 m = 0,001 m = 1mm (1 milimetar) 6 10 m = 0, m = 1μm (1 mikrometar) 9 10 m = 0, m = 1nm (1 nanometar) 4 Nanotehnologija

5 Zbog čega je zanimljiva za vaše plovilo? Određujući čimbenik novih karakteristika leži u odnosu promjera čestica i njihove površine. Na primjer, ako kocku režemo na sve manje kocke, površina manjih kocaka biti će puno veća od površine velike kocke. Puno kemijskih reakcija događa se na površini takozvanih katalizatora (akceleratori kemijske reakcije). Ako se povećaju površine tih katalizatora, povećava se njihova aktivnost. Kod sportskih obloga, na primjer, moguće je značajno povećati učinke kao što su nepropusnost, protočnost itd. Nanotehnologija je puno naprednija u odnosu na tradicionalne tehnologije. Zahvaljujući načelu inteligentne samoorganizacije, moguće je ciljano proizvesti optimalnu oblogu za odgovarajuću primjenu na podlozi. Tradicionalne obloge: gdje se pojedine čestice spontano raspoređuju. Obloga je nestabilna i površina nije potpuno zaštićena. Nanoprom obloge: gdje se čestice raspoređuju na površini u više samoorganiziranih tanjih slojeva. Tako se dobiva visoko stabilna i potpuna zaštita. U nanu je sve ili? Nano svijet ima neograničene mogućnosti. Sa druge strane je i izlika za razmetljivost i obećanja koja je nemoguće održati. Neki proizvođači koriste nesigurnost i manjak informacija te stavljaju na tržište proizvode koji nisu pouzdani, nisu ispitani i nisu funkcionalni. Marka NANOPROM je sinonim za visoku tehnologiju, pouzdanost i povjerenje stečeno godinama rada na polju premaza i obloga u raznolikim industrijskim primjenama. NANOPROM razvija svoje proizvode u dugoročnoj suradnji s renomiranim partnerima. Nanotehnologija je samo jedna tehnologija među mnogima koje se primjenjuju ondje gdje su prednosti stvarne. Nanotehnologija 5

6 Hibridna matrica lotosa savršena preslika prirode Zahvaljujući suradnji s vodećim tvrtkama na tom polju, osim nanotehnologije, NANOPROM također primjenjuje i specijalne ultra učinkovite metode za optimalno povezivanje primarnih materija u visokoj tehnologiji s odgovarajućim aditivima ili drugim aktivnim supstancama u smislu obogaćivanja matrice fizičkim učincima. U Aziji, cvijet lotosa je simbol čistoće. Voda, pa čak i ljepljive supstance kao što je med, jednostavno teku niz njegove listove. Nečistoće se mogu ukloniti s vrlo malom količinom vode. Biološka važnost ovog učinka znači za cvijet zaštitu od mikroorganizama, patogenih agensa ili klica. Površinska struktura lista sastoji se od puno malih brežuljaka. Na taj način, voda ima malo dodirnih točaka s listom. Ako prolijemo vodu na takvu strukturu, voda upije čestice nečistoće i otječe čista. Zahvaljući nanotehnologiji i hibridnoj tehnologiji, proizvodi NANOPROM imitirajući načelo strukture lotosa, nude na mnogim poljima savršenu zaštitu od nečistoća. 6 Hibridna matrica lotosa

7 Nanotehnologija ne nudi samo prednosti u ekonomskom i društvenom smislu, već može skrivati i neke rizike. Istraživanje mogućih rizika provodi se na nacionalnoj i međunarodnoj razini. Brojne tvrtke ulažu milijune eura u ovo istraživanje. Proizvodi se prije uvođenja na tržište podvrgavaju brojnim ispitivanjima. Ne koriste se čiste nanokomponente. Komponente su vezane unutar matrice. Osim toga, veličina kapljica u raspršivačima je takva da se raspršene komponente ne mogu udahnuti, kao što se vidi na ilustraciji: VELIČINA KAPLJICA U MIKROMETRIMA 2,1 µm moguće udahnuti u pluća 4,7 µm moguće udahnuti u bronhije 10 µm moguće udahnuti u usnu šupljinu 100 µm NANOPROM Nakon isparavanja otapala, komponente se stabilno učvršćuju u bazu tretirane površine. Na taj način, isključen je rizik od oslobađanja pojedinih nanočestica. Sve upotrijebljene komponente podvrgnute su toksikološkim ispitivanjima. Da zaključimo, proizvodi imaju 4 jamstva: 1. Polazne komponente nisu toksične. 2. Koriste se samo vezane komponente ili nanoslojevi. 3. Potvrđeno je da se raspršene kapljice ne mogu udahnuti. 4. Nanokomponente se učvršćuju u bazi. Briga za zdravlje i okoliš 7

8 UV zrake i nečistoće koje postoje u vodi i u zraku napadaju površine u vanjskom zaštitno-dekorativnom premazu (eng. gelcoat), kao i lakove, koji vremenom matiraju i postaju porozni. Tradicionalni premazi i sredstva za poliranje Nisu dugoročno i na odgovarajući način otporni na ovaj proces. Osim toga, uzimaju previše vremena za rad. Agresivna otapala prisutna u ovim proizvodima često prodiru u površinu, što otežava vršenje popravaka. Jedrilice za regate sa fiksnom kobilicom koje ostaju u vodi nekoliko dana, bez anti-vegetativnog premaza brzo obrastu naslagama. U ovom slučaju, tradicionalni voskovi i sredstva za poliranje nisu učinkoviti. 8 Trup

9 POLIRANJE SPORT POLISH ml 500 ml Premaz za trup i palubu SVE-U-JEDNOM kao sredstvo za čišćenje čisti trup kao sredstvo za poliranje čini površinu glatkom kao sredstvo za brtvljenje pruža optimalnu zaštitu površine te otpornost na UV zrake primjenjiv je na vanjske zaštitno-dekorativne premaze (gelcoat), lakove, karbonske sustave i metale čisti bez agresivnih detergenata zahvaljujući svojoj nanostrukturi, optimalno i dugotrajno štiti površinu od nepovoljnih vremenskih uvjeta usporava proces starenja i regenerira gelcoat premaze i lakove omogućava lako uklanjanje soli, prljavština i ulja lako se nanosi PRIMJENA Prije upotrebe treba energično protresti bočicu. Nanijeti SportPolish pomoću krpe od mikrovlakana marke NANOPROM (ručno) ili uređaja za poliranje (mehanički) kružnim pokretima (pri sporom broju okretaja). Pustiti da se suši najmanje 30 minuta. Kada se stvrdne, ukloniti ostatke pomoću krpe od mikrovlakana marke NANOPROM ili uređaja za poliranje (pri sporom broju okretaja), sve dok se ne dobije glatka površina. PREPORUKA komada Za postizanje optimalnog rezultata prilikom ručnog nanošenja proizvoda SportPolish uvijek koristite krpe od mikrovlakana koje su posebno namijenjene nanošenju i poliranju s proizvodima Nanoprom. Te krpe napravljene su posebno za nanošenje proizvoda iz linije Aquatic i jamče postizanje optimalnih rezultata. Trup 9

10 Pobjednici s povjerenjem daju svoja plovila na brigu NANOPROMU AQUA SPEED ml Najveća zaštita protiv gubitaka zbog trenja i nečistoća na trupu smanjenje površinskog trenja između obloge trupa i vode do 45% (potvrđeno probama u aerodinamičnim tunelima provedenim na Tehničkom sveučilištu u Monaku) privremeno smanjenje naslaga na podvodnom dijelu trupa bolje čišćenje plovila sa kobilicom za vrijeme regata optimizirane performanse trupa za vijeme regata optimalne performanse u vodi do 7 dana, čime postaje idealno za dužu navigaciju smanjenje prljavština nastalih prijevozom optimalno i za daske za surfanje, wakeboard, skije na vodi i kiteboard 10 Natjecateljski trup

11 PRIMJENA 1 Očistiti površinu proizvodom SportPolish (vidi primjenu na stranici 9). 2 Nanijeti proizvod AquaSpeed pomoću krpe od mikrovlakana marke NANOPROM. 3 Pustiti da se suši 5 do 10 minuta. 4 Polirati kružnim pokretima da se uklone ostaci. PREPORUKA komada Za postizanje optimalnog rezultata prilikom ručnog nanošenja proizvoda AquaSpeed uvijek koristite krpe od mikrovlakana koji su posebno namijenjene nanošenju i poliranju s proizvodima Nanoprom. Te krpe napravljene su posebno za nanošenje proizvoda iz linije Aquatic i jamče postizanje optimalnih rezultata. Natjecateljski trup 11

12 12 Tikovina

13 SREDSTVA ZA ČIŠĆENJE TIKOVINE Tikovina posjeduje prirodnu primarnu materiju koja je otporna i dugotrajna, atmosferski agensi kao što su UV zrake, voda i prljavština stavljaju drvo na tešku probu. Tikovina postaje siva, alge i mahovina prodiru u strukturu drva. Dosad je čišćenje i brtvljenje tikovine predstavljalo velike probleme. Agresivna sredstva za čišćenje na bazi kiselina oštećuju materijale za brtvljene fuga, rubove, gelcoat premaze i boje. Blagi sapuni, s druge strane, ne mogu dovoljno dobro očistiti jako zaprljane površine. WOODCLEANER ml Dubinsko blago čišćenje, istovremeno vrlo učinkovito za drvene površine. Jednostavnost uklanjanja mrlja. Postizanje čiste i ravnomjerne površine. Idealna baza za brtvljenje s proizvodom WoodProtector. Proizvod nije na bazi kiselina, ne oštećuje rubove. PRIJE POSLIJE TEAKBRUSH MICRO TEAKBRUSH HAIR Čišćenje proizvodom WoodCleaner mora se izvršiti pomoću dvije četke marke Nanoprom. Jedna četka je napravljena od konjske dlake, a druga je mikro žičana od nehrđajućeg čelika. Nanošenje proizvoda pomoću ovih četki omogućava postizanje optimalnih rezultata. Tikovina 13

14 Za obnavljanje tikove brodske palube koriste se posebna ulja. Problem predstavlja dugotrajno brtvljenje. Ulja za tikovinu: jamče samo kratkotrajnu zaštitu protiv vlage upijaju prljavštinu paluba od tikovine postaje skliska ne pružaju zaštitu od UV zraka Drvo nije zaštićeno i trune. I druge vrste sredstava za brtvljenje štite od vlage samo kratkotrajno i ne pružaju zaštitu od UV zraka. WOOD PROTECTOR ml Novost u svijetu nastala na modernoj nanotehnologiji za dugotrajnu njegu i zaštitu tikovine na plovilima Nano sredstvo za brtvljenje za drvo marke NANOPROM Obnavlja izvornu i prirodnu boju drva Pruža zaštitu od vlage, soli i mahovine Pruža dugotrajnu povećanu zaštitu od UV zraka Drvena paluba nije skliska Značajno se smanjuje sivljenje drva Jednostavna njega drva Optimalno dubinsko djelovanje Povišena otpornost na mrlje Ekološki proizvod na bazi vode Kombiniranjem proizvoda WoodCleaner i WoodProtector dobili ste rješenje koje vam daje najučinkovitiju i najjednostavniju trajnu zaštitu tikovine Prije nakon nanošenja proizvoda WoodCleaner nakon nanošenja proizvoda WoodProtector 14 Tikovina

15 BRTVLJENJE TIKOVINE Tikovina 15

16 SREDSTVO ZA ČIŠĆENJE Sredstvo za čišćenje 8-u-1 primjenjuje se na gelcoat premazima/plastici, staklu, metalu, keramici, pleksi staklu, drvu/tikovini, kamenu i tkanini. CLEANER 8in ml Uklanja tvrdokornu masnoću i prljavštinu i vraća izvorni izgled površine 1 litra koncentrata Cleaner 8in1 daje 200 litara proizvoda Velika ušteda u prostoru na brodu Potrošnja varira ovisno o količini prljavštine Potpuno biorazgradivi detergent Posebno napravljen da djeluje na 8 različitih površina Lako se nanosi i iznenađujuće je mnogostran Dosta je bilo s punjenjem brodskih spremišta sa bocama i bočicama, Nanoprom će vam pojednostaviti život na brodu i uštedjeti na prostoru - s pogledom na novčanik. Cleaner 8in1 je jedinstveni proizvod napravljen na bazi nanotehnologije koji daje visoke rezultate u čišćenju 8 različitih vrsta površina: gelcoat/plastika, staklo, metal, keramika, pleksi staklo, drvo/tikovina, kamen (lagano izbjeljuje) i tkanina. Cleaner 8in1 dubinski čisti prljavštinu i masnoće i vraća izvorna svojstva površine. Lako se nanosi i iznenađujuće je primjenjiv, pa više nemate brigu oko nabave brojnih sredstava za čišćenje. Ovaj proizvod vam jamči dugotrajnu čistoću i potpuno je razgradiv u prirodi. Cleaner 8in1 učinkovit je i ekonomičan, a razrjeđuje sa vodom. Potrebno je primjeniti 50/100 ml na 10 l vode za uklanjanje manjih prljavština odnosno 150 ml za tvrdokornu prljavštinu. Sa pakiranjem od 1 litre, na brodu ćete imati i do 200 litara proizvoda što je izuzetno isplativo kako u smislu troškova tako i u smislu iskoristivosti prostora na brodu. 16 Čišćenje plovila

17 PROPELLER CARE ZAŠTITA PROPELERA Proizvod za zaštitu propelera PropellerCare marke NANOPROM usporava stvaranje naslaga i izraslina na propeleru. Lako se nanosi i štiti prijenosni dio zahvaljujući vrlo tankom sloju proizvoda. Propeler nakon tretiranja postaje lakši za čišćenje i u prvim tjednima nakon tretiranja ostaje čist zahvaljujući samom pokretu rotacije kojeg potiskuje motor u navigaciji. Napomena: Ovaj proizvod ne smije se koristiti na žrtvovanim anodama (cink). Čišćenje plovila 17

18 Jedra nisu samo jedna od najvažnijih dijelova na brodu ili dasci za jedrenje, već su to i najosjetljiviji dijelovi. Mehanička djelovanja (manevri, jak vjetar) i atmosfersko djelovanje (voda, sol, UV zrake) stavljaju na tešku probu i najotpornija platna i folije. Vlažna jedra umanjuju njihove performanse i trajanje. SEALnGLIDE ml 1000 ml Zaštitni premaz za jedra napravljen na bazi nanotehnologije koji daje odlične rezultate, ne služi samo za primjenu u regatama. Brzo lagano jednostavno Poboljšava svojstva tkanine, laminata i folije Poboljšava skliskost/okretljivost (puno jednostavnije namještanje, dizanje i spuštanje glavnog jedra, trokutastog jedra avio-profila, spinakera i genakera) Značajno smanjuje trenje u ležištu jarbola i profilu pramčanog leta Ne upija vlagu i odbija prljavštinu Smanjuje nastajanje mrlji od vlage Povećava vršno opterećenje jedra bez povećavanja težine platna Omogućava optimalna aerodinamična svojstva Daje ljepši izgled jedra (i kod starih jedara) Povećano trajanje Otpornost na kemijske supstance sredstava za čišćenje Sami provjerite razliku Jedro na desnoj slici tretirano je proizvodom SEALnGLIDE. Kapljice vode jednostavno se ne zadržavaju. To u praksi znači da imate jedro koje je suše, laganije, čišće i učinkovitije, čime postaje lakše za upravljanje. 18 Jedra

19 PREMAZ ZA JEDRA PRIMJENA Položiti jedro na pod i učvrstiti ga za kuteve (utegom, užetom ili klinovima). Napraviti mješavinu vode i sredstva za aktiviranje SEALnGLIDE (vidi tablicu za omjer miješanja u uputama za uporabu proizvoda). Uliti SEALnGLIDE. 4 Dobro promiješati. Mješavina mora biti iskorištena unutar par sati. 5 Izliti otopinu SEALnGLIDE na platno, na primjer, pomoću spužve (ne raspršivati!). 6 Pomoću metle za pranje ili spužve nanijeti otopinu ravnomjerno na cijelo jedro te ukloniti višak. 7 8 Pustiti da se suši oko 3 sata (ovisno o vanjskoj temperaturi i vlažnosti zraka). Ponoviti postupak na drugoj strani platna. PAŽNJA: NE RASPRŠIVATI! Opasnost za zdravlje zbog udisanja raspršene maglice. Jedra 19

20 ODRŽAVANJE TKANINE RJEČNIK POJMOVA O TKANINI Disanje tkanine je jedan od najsloženijih i najzanimljivijih pojmova na polju funkcionalne odjeće i od apsolutne je važnosti za zdravlje. U doslovnom značenju, pojam nije sasvim prikladan. Samo živa bića dišu. Što se onda skriva iza tako deklariranog pojma? Disanje tkanine znači prijenos vlage, dakle propusnost materijala na vodenu paru iz unutrašnjosti prema van. A koža ostaje suha. Kako točno funkcionira? Čovjek je aktivan i proizvodi energiju. Kako se tijelo ne bi pregrijalo, mora ispuštati toplinu. 10% topline gubi se preko disanja, a preostali dio preko znojenja. Da bi se izbjeglo nakupljanje topline u tijelu, također i odjeća mora biti u stanju ispuštati toplinu prema van i prenositi znoj. S druge strane, odjeća mora biti zračno nepropusna da bi štitila zagrijano tijelo od rashlađivanja. Proizvođači odjeće neprekidno istražuju nove tehnologije koje primjenjuju u inovativne tkanine. Za sve tkanine je važno da vanjski materijal ne upija vlagu, kako bi molekule vodene pare mogle stvarno ostati vani. * Odjevni predmeti visoke tehnologije traže i visoko tehnološku njegu i čuvanje. Informacije i preporuke na slijedećim stranicama. 20 O tkanini

21 HIGIJENSKI UČINAK Znojenje je način koji ljudsko tijelo koristi da bi se rashladilo. Tijelo stalno proizvodi toplinu koja se ispušta prema van preko isparavanja znoja na površini tijela. Kod napora i povišenih temperatura, količina stvorenog znoja ubrzano se povećava. Čovjek proizvodi dnevno najmanje pola litre znoja. U slučaju prekomjerne topline i tijekom sportskih aktivnosti, ta količina može biti veća od 5 litara. Uz znojenje povezuju se neugodni mirisi. Kada bakterije rastvore znoj, nastaje onaj tipičan miris. Sportska funkcionalna odjeća standardno se smije prati samo na 30 C odnosno 40 C. Održava se samo ručno. Ovakvom vrstom pranja ne može se postići potpuna čistoća. Neugodni mirisi često ostaju i nakon pranja. Higijenski učinak 21

22 ZAŠTITA PLATNA TEXTILE CARE ml Visoka otpornost na vodu i ulje Optimalna zaštita za kabanice, vanjske tende, platnene zavjese i unutarnje i vanjsko platneno tapeciranje Održava svojstva disanja tkanine Povećana učinkovitost i trajanje tkanine Redovnim nanošenjem površina postaje laka za čišćenje PRIMJENA Proizvod prije uporabe dobro protresti. Nakon temeljitog pranja platna, proizvod se nanosi lagano pomoću spužve. Nanijeti proizvod u tankom sloju na cijelu površinu koju treba zaštititi. Po nanošenju proizvoda TEXTILE CARE, savjetuje se upotrijebiti sušilo da se osuši tretirana površina i potom pustiti da se suši najmanje 30 minuta u suhim uvjetima. Nakon prvog nanošenja, ako se nanosi redovito, površina postaje puno lakša za održavanje. 22 Zaštita platna

23 PREMAZI SPORT CLEAR SCREEN komad Da bi jasno vidjeli kako djeluje nanotehnologija. Premaz koji je visoko otporan na upijanje vode i namjenjen je za staklo i keramiku (hidrofobne karakteristike). Smanjuje nakupljanje kamenca i prljavštine na pločicama i zidovima u tuš kabinama, čime čišćenje postaje lakše. Maksimalna plovila vidljivost kroz vjetrobrane vozila i Kod visokih brzina brisači postaju suvišni. Kapljice kiše ne zadržavaju se i vjetar ih lako otpuše. Brisači ostaju duže čisti, čišćenje postaje lakše. Lako uklanjanje insekata. Trajanje do oko km / 4 mjeseca. PRIMJENA Najprije očistiti krpom. Navlažiti čistom vodom. Istrljati površinu da se osuši. Više ne dirati površinu. Izglancati krpom koja je natopljena zaštitnim sredstvom, sve dok više ne bude crta. Pustiti da se suši najmanje 30 minuta. Postupak je gotov Premazi 23

24 Zastupnik i distributer NANOPROM proizvoda za Hrvatsku EXERTUS d.o.o. Rubeši 136, Kastav Tel/Fax. 051/ info@exertusboje.com

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Konopi. ARTIKl BOJA PlAVO/ŽUTA. ARTIKl BOJA CRVENO/PlAVA. PREKIDNA ČVRSTOĆA (dan) DUŽINA (m) Φ (mm) ARTIKl BOJA PlAVA. ARTIKl BOJA CRVENA

Konopi. ARTIKl BOJA PlAVO/ŽUTA. ARTIKl BOJA CRVENO/PlAVA. PREKIDNA ČVRSTOĆA (dan) DUŽINA (m) Φ (mm) ARTIKl BOJA PlAVA. ARTIKl BOJA CRVENA KONOP ZA ŠKOTE RACE - materijal jezgra dyneema na 16 struka, izvana poliester na 32 struka - za dizanje i spuštanje jedara, otporan na habanje, mala rastezljivost CRVENO/ PlAVO/ TF30 05000 TF33 05000 5

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra Cjenik građevinskih izolacija i folija 2018 Izolacija za bolje sutra Toplinska i zvučna izloacija za dugoročno održivu gradnju Odlična toplinska izolacija Odlična zvučna izolacija Negoriva - klasa A1 Paropropusna

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα