Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Transcript

1 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους

4 Ενότητα 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

5 Περιεχόμενα ενότητας 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Η διατύπωση της δυναμικής ισορροπίας πολυβάθμιων συστημάτων διευκολύνεται μέσω της χρήσης μητρώων 3 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ -ΒΕ 4 ΑΝΑΠΟΣΒΕΣΤΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ν-βε

6 Σκοποί ενότητας

7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Mονοβάθμιος ταλαντωτής συγκεντρωμένη μάζα, απόσβεση, ακαμψία και διέγερση η προκύπτουσα κίνηση να δύναται να περιγραφεί από μία και μόνο μεταβλητή Μόνον σπάνιες περιπτώσεις κατασκευών καλύπτουν αυτή την προϋπόθεση

8 Αντίθετα, η πλειονότητα των κατασκευών παρουσιάζουν χωρικά κατανεμημένα φορτία βαρύτητας (και άρα μάζες) και στοιχεία δυσκαμψίας, η διακριτοποίηση των οποίων καταλήγει σε συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας κίνησης Το απλούστερο πολυβάθμιο σύστημα είναι αυτό με δύο βαθμούς ελευθερίας Ένα τέτοιο σύστημα, για παράδειγμα, αποτελεί ένα διώροφο επίπεδο διατμητικό πλαίσιο με άκαμπτα ζυγώματα και αβαρή υποστυλώματα

9 m Ι u (t) f (t) k m 1 Ι u 1 (t) f 1 (t) k 1 Διατμητικό πλαίσιο δύο βαθμών ελευθερίας Άκαμπτα ζυγώματα Αξονική ατένεια αβαρών υποστυλωμάτων Μηδενική απόσβεση

10 Για την κατάστρωση των εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας επιχειρούνται τομές των δύο ζυγωμάτων από τις οποίες προκύπτουν και τα αντίστοιχα διαγράμματα ελευθέρου σώματος (ΔΕΣ) f I f (t) f Sa f I1 f Sb f 1 (t) f Sa f Sb f S1a Όπου f Ij = η δύναμη αδράνειας μάζας j = m j * u j Και f Sj = f Sja + f Sjb = k j *(u j u i ) = η ελαστική δύναμη επαναφοράς στάθμης j λόγω των στοιχείων σύνδεσης της στάθμης αυτής με την αμέσως χαμηλότερη στάθμη f S1b

11 Από τα ΔΕΣ των δύο ζυγωμάτων προκύπτουν οι ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις δυναμικής ισορροπίας: f I + f S1 = f (t) m u + k (u -u 1 ) = f (t) f I1 + f S1 + f S10 = f 1 (t) m 1 u 1 + k (u 1 -u ) +k 1 u 1 = f 1 (t) Άρα στην περίπτωση των πολυβάθμιων ταλαντωτών έχουμε: Σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όσες και οι βαθμοί ελευθερίας του ταλαντωτή Επιπλέον, οι εξισώσεις του συστήματος είναι συζευγμένες

12

13 Η διατύπωση της δυναμικής ισορροπίας πολυβάθμιων συστημάτων διευκολύνεται μέσω της χρήσης μητρώων

14

15

16

17 5 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ -ΒΕ Έστω ότι το όροφο πλαίσιο ταλαντώνεται ελεύθερα λόγω επιβεβλημένων αρχικών μετατοπίσεων ή /και ταχυτήτων Τότε, η εξίσωση κίνησης σε μητρωική μορφή είναι: Μ*U + K*U = 0 Αν οι αρχικές συνθήκες είναι κατάλληλες, η ταλάντωση κάθε ζυγώματος θα είναι αρμονική, με κοινή κυκλική συχνότητα αλλά διαφορετικό εύρος: u 1(t) φ1 cos(ωt θ) φ1 U(t) = u (t) = φ cos(ωt θ) = φ cos(ωt-θ) = Φ cos(ωt-θ)

18 Παραγωγίζοντας δύο φορές ως προς τον χρόνο, το αντίστοιχο διάνυσμα επιταχύνσεων προκύπτει ως: U (t) = ω φ1 cos(ωt θ) ω φ cos(ωt θ) = -ω Φ cos(ωt-θ) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ισορροπίας, έχουμε: M [-ω Φ cos(ωt-θ)] + K [Φ cos(ωt-θ)] = [0] {K - ω Μ} Φ cos(ωt-θ) = [0] Με δεδομένο ότι το διάνυσμα των ευρών μετάθεσης Φ δεν είναι μηδενικό, τότε για να ισχύει η εξίσωση για κάθε χρονική στιγμή t, θα πρέπει η ορίζουσα του μητρώου που περιλαμβάνεται στην αγκύλη να ισούται με μηδέν

19 Κ - ω Μ k k m - k = [0] 1 1 = [0] - k k m ω 4 (m 1 m ) ω {(k 1 +k )m + k m 1 } + k 1 k = 0 Θέτοντας ω = λ, σχηματίζουμε ένα τριώνυμο ως προς λ με λύσεις λ 1 = ω 1 και λ = ω Συνεπώς, σε ένα σύστημα -ΒΕ υπάρχουν δύο συχνότητες ελεύθερης ταλάντωσης (ιδιοσυχνότητες) Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση: {K ω j Μ} Φ j cos(ω j t-θ) = [0] {K ω j Μ} Φ j = [0] Η παραπάνω εξίσωση προσδιορίζει τις ιδιομορφές Φ j ως σχέσεις αναλογίας μεταξύ των συνιστωσών τους, και όχι με συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές Είναι συνήθης η πρακτική να τίθεται μία συνιστώσα ίση με την μονάδα και να προκύπτουν οι υπόλοιπες από τις σχέσεις αναλογίες

20 Άσκηση Να υπολογισθούν οι ιδιοπερίοδοι Τ j και να σχεδιασθούν ιδιομορφές Φ j του διώροφου διατμητικού πλαισίου αμελητέας απόσβεσης (ξ = 0) Τα υποστυλώματα θεωρούνται αβαρή και τα ύψη των ορόφων είναι ίδια (h) m Ι u (t) Ι m k k u 1 (t)

21 Επίλυση: Η δυσκαμψία των υποστυλωμάτων ορόφου είναι k = *1EI/h 3 = 4EI/h 3, ενώ των υποστυλωμάτων ισογείου, k = *1E*I/h 3 = 48EI/h 3 Οι εξισώσεις δυναμικής ισορροπίας προκύπτουν ως:

22 Οι ιδιοσυχνότητες υπολογίζονται από την σχέση Κ - ω Μ 3k m - k = 0 = 0 - k k m ω 4 m 5ω km + k = 0 Οι λύσεις του τριωνύμου είναι ω 1 = k/m και ω = k/m, με αντίστοιχες ιδιοπεριόδους τις 8m Τ 1 = π/ω 1 = π, Τ = π/ω = π k m k

23 Οι ιδιομορφές Φ 1 και Φ, υπολογίζονται ως:

24 Θέτοντας αυθαίρετα φ 1 = φ = 10, έχουμε:

25 ΑΝΑΠΟΣΒΕΣΤΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ν-βε Οι εξισώσεις ισορροπίας του δευτεροβάθμιου διατμητικού πλαισίου, εύκολα επεκτείνονται και για την περίπτωση συστήματος με ν- βαθμούς ελευθερίας m ν k ν m ν-1 k ν-1 m 3 u ν u ν-1 u 3 m ν m ν-1 m 3 k ν k ν-1 u ν u ν-1 u 3 k 3 k 3 Εδώ, με k j συμβολίζεται η συνολική δυσκαμψία των υποστυλωμάτων, που συνδέουν την στάθμη j με την αμέσως χαμηλότερη m k m 1 k 1 u u 1 m m 1 k k 1 u u 1

26 Από την δυναμική ισορροπία κάθε μιας μάζας χωριστά, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων ελεύθερης ταλάντωσης σε μητρωϊκή μορφή: όπου M U + K U = 0 U(t) = διάνυσμα μετάθεσης = u 1(t) u (t) u 3(t) u 1(t) u (t)

27 Μ = μητρώο μάζας = Κ = μητρώο δυσκαμψίας = m m m m m k k k k k k k k k k k k k k k

28 Στο υπόψη σύστημα ν-βε, υπάρχουν ν ιδιοσυχνότητες ω j που αντιστοιχούν σε ν ιδιομορφές Φ j, για j = 1,,, ν Το μητρώο Φ που προκύπτει από την παράθεση των ν ιδιομορφών Φ j, ονομάζεται ιδιομορφικό μητρώο και ισούται με:,,,

29 Τέλος Ενότητας 9