Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ"

Transcript

1 Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A B) P( A) P( B) για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. 3. Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ξένα μεταξύ τους. 4. Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ξένα μεταξύ τους, τότε και τα συμπληρωματικά τους Α και Β είναι επίσης ξένα μεταξύ τους. 5. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω είναι πάντα συμπληρωματικά. 6. Αν Ρ(Α)+Ρ(Β)=1 τότε τα Α και Β είναι συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. 7. Αν Ρ(Α)=1 τότε Α=Ω, όπου Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω. 8. Αν Ρ(Α)=0 τότε Α=, όπου Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω. 9. Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης τότε Ρ(Ω)=1 10. Η πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ενός δειγματικού χώρου Ω είναι. 11. Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει 0 P( A) Αν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης είναι ισοπίθανα, τότε ονομάζουμε ( ) πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου Α τον αριθμό: P( ) ( ) 13. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω. Το ενδεχόμενο Α-Β πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Β και δεν πραγματοποιείται το Α. 1

2 14. Αν Α το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε. 15. Ασυμβίβαστα λέγονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω όταν η ένωσή τους είναι το κενό σύνολο. 16. Το συμπλήρωμα Α ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω είναι επίσης ενδεχόμενο αυτού του δειγματικού χώρου. 17. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση: 18. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΤΑΞΗ ΡΙΖΕΣ ΑΠΟΛΥΤΑ 19. Δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές. 0. Ισχύει -x x, για κάθε x IR. 1. Για κάθε α, βr ισχύει ότι: α < β α < β.. Ισχύει ότι : α κ+λ =α κ α λ 3. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει. 4. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει 5. Αν θ>0, τότε : x x ή x= -θ. 6. Για κάθε πραγματικό αριθμό, ισχύει. 7. Αν α>0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος τότε =. 8. Για κάθε α,β R και για κάθε ν φυσικό ισχύει η ισοδυναμία : α ν = β ν α = β. 9. Ισχύει η συνεπαγωγή:, όπου γ< Ισχύει η ισότητα: Αν, 0 τότε, v 31. Ισχύει η ισοδυναμία: x x ή x όπου x, οποιοδήποτε πραγματικοί αριθμοί.

3 3. Για x0 R και 0 ισχύει: x x0 x ( x0, x0 ) 33. Η απόσταση των αριθμών α και β δίνεται από τον τύπο: d(α,β )= α-β 34. Ισχύει α 0 =1 για κάθε a Ισχύει a ( a 0 και μ, ν ) 36. Ισχύει a 0 για κάθε α πραγματικό αριθμό. 37. Ισχύει όπου a, 38. Ισχύει (α+β) =α +β για κάθε a, 39. Ισχύει (α+β)(α-β)=αβ για κάθε a, 40. Ισχύει ότι x x όπου θ θετικός αριθμός 41. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει : a >α. 4. Αν α, β 0 ισχύει ότι: 43. Για κάθε αριθμό θ ισχύει: x x. 44. Αν α < β και γ < 0 τότε ισχύει: ( a,, ) 45. Αν θ > 0 τότε ισχύει : x >θ x >θ και x <θ. 46. Αν 0, 0 και *, τότε 47. Για κάθε α, β 0 ισχύει. 48. Ισχύει ότι:, με α, β > Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α = -α. 50. Αν με τότε ισχύει η ισοδυναμία:. 51. Αν α < β και β < γ τότε α < γ ( a,, ) 5. Αν α+β > β+γ τότε: α>γ ( a,, ) 53. Αν α+β > γ+δ τότε ισχύει πάντα: α>γ και β>δ ( a,,, ) 54. για κάθε α R 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο -4 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 55. Αν αβ=0 τότε α=0 και β=0 56. Η εξίσωση x ν = α, με ν περιττό και αir έχει πάντοτε λύση. 57. Αν η διακρίνουσα μιας εξίσωσης ου βαθμού είναι Δ>0 η εξίσωση είναι αδύνατη 58. Η εξίσωση αx + β = 0 με α = 0 και β 0 είναι αδύνατη. 59. Η εξίσωση x, με 0 και περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μία λύση την. 60. Έστω Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου x x 0, 0. Αν Δ < 0 το τριώνυμο είναι ετερόσημο του σε όλο το R. 61. Η εξίσωση χ ν = α, με α>0 και ν άρτιο φυσικό, έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις και Αν Δ>0 και x 1, x οι ρίζες του τριωνύμου αχ + βχ + γ, α 0, τότε αχ + βχ + γ = α (x+x 1) (x+x ) 63. Αν η εξίσωση x x 0, με 0 έχει μία διπλή ρίζα, τότε Δ=0 64. Αν α>0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε : 65. Αν α=0 και β=0, τότε η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη. 66. Αν α > 0 και Δ < 0 τότε η ανίσωση x. x x 0 αληθεύει για κάθε 67. Αν η διακρίνουσα Δ <0, η εξίσωση αx +βx +γ= 0 έχει δύο πραγματικές λύσεις. 68. Το τριώνυμο x x με,, του Δ είναι μικρότερη του μηδενός. 69. Αν 0 R, είναι πάντα θετικό, όταν η διακρίνουσα a τότε η εξίσωση x 0 έχει ακριβώς μια λύση. 70.Αν η εξίσωση x τότε ισχύει ax x 0,α 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x 1, ( )( ). x x x x1 x x 71. Αν η εξίσωση x Sx P 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε το άθροισμά τους, είναι ίσο με τον αριθμό S και το γινόμενό τους, ίσο με τον αριθμό P. 4

5 7. Αν η διακρίνουσα ενός τριωνύμου είναι μηδέν, τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες. 73. Αν για την διακρίνουσα Δ της εξίσωσης x x 0, a 0, ισχύει 0 τότε η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη στο R. 74. Αν Δ=0 τότε η εξίσωση αχ +βχ+γ=0 (α0) έχει δύο ίσες ρίζες x1 x 75. Αν x 1,x οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης αx +βx+γ=0, τότε x1 x και x1 x. 76. Η εξίσωση με ρίζες x1, x είναι η : x -Sx+P=0, όπουs= x 1 +x και P= x 1.x. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΠΡΟΟΔΟΙ 77. Τρείς αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει. 78. Αν τρεις μη μηδενικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει :. 79. Αν τρεις μη μηδενικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ο β λέγεται πάντα γεωμετρικός μέσος των α, γ. 80. Τρείς αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει α + β = β + γ 81. Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει: αβ = βγ 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8. Το σημείο Μ(x,y) με x < 0 και y < 0 βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο. 83. Η ευθεία y = αx + β, με α > 0 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x x. 84. Ως συντελεστή διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε, ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x. 85. Αν Α(α,β) σημείο του επιπέδου, τότε το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Α (β,α). 86. Αν f 87. Αν Αν 0 x, y C ό f x y., τότε η συνάρτηση f x x είναι γνησίως φθίνουσα., τότε η συνάρτηση f x x έχει μέγιστη τιμή το f 0 0. Β. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΩΝ 89. Το τριώνυμο αx + βx+ γ, α 0, γίνεται : ι) Ετερόσημο του α μόνο όταν Δ και για τις τιμές του x που βρίσκονται.των ριζών ii) Mηδέν όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις.του τριωνύμου iii )Oμόσημο του α σε κάθε άλλη. iv) Θετικό για κάθε x R όταν και μόνο όταν α..και Δ.. v) Αρνητικό για κάθε x R όταν και μόνο όταν α και Δ vi) Θετικό ή μηδέν για κάθε x R όταν και μόνο όταν α.και Δ vii) Αρνητικό ή μηδέν για κάθε x R όταν και μόνο όταν α.και Δ Η εξίσωση α, α με διακρίνουσα Δ έχει: 1) Δύο άνισες ρίζες, αν Δ.... ) Μία διπλή ρίζα, αν Δ.... 3) Καμιά πραγματική ρίζα, αν Δ.... 6

7 91. Αν Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης ax x 0, 0 να γίνει η αντιστοίχιση ώστε να προκύπτουν αηθείς προτάσεις Τιμή Διακρίνουσας Πλήθος Λύσεων Εξίσωσης Α. Μία διπλή λύση Β. Καμία λύση Γ. Δύο άνισες λύσεις 9. Στη στήλη Α δίνεται το είδος της συμμετρίας και στη στήλη Β το συμμετρικό ενός σημείου Μ(α,β). Να αντιστοιχίσετε κάθε γράμμα της στήλης Α στο σωστό αριθμό της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α. Ως προς τον άξονα x x. 1. Α (β,α) β. Ως προς τον άξονα y y.. Β (-α,-β) γ. Ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0). 3. Γ (α,-β) δ. Ως προς την διχοτόμο της γωνίας xοy. 4. Δ (-α,β) 5. Ε(α,β) 93. Να αντιστοιχίσετε τις πιθανότητες της στήλης Α με τους κατάλληλους τύπους της στήλης Β ώστε να προκύπτουν ισότητες. Στήλη A Στήλη B 1.P(A B) α) 1 P(A).P(A β) P(A) P(A B) 3. P(A ) γ) P(A)+P(B) P(A B) δ) P( A B) P( A) 7

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άσκηση. 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία: ι)διέρχεται από το σημείο Α(-2,1) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ 3, 2 ιι)διέρχεται από το σημείο Β(3,-4) και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3 Ø ÔØÓÑ Ò ½ Á ÒÓÙ ÖÓÙ ¾¼¼ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x +lnx. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στοσημείομετετμημένηe. Η εξίσωση της τυχούσας εφαπτομένης της C f είναι y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα