ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι"

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι β θετικοι καλα ορισμενα, συγκρινεται και διακρινονται τους αριθμους το ενα Α = απ το α + αλλο. β, Β = α β + αβ. Στοιχεια η μελη του συνολου, λεγονται τα αντικειμενα που αποτελουν το συνολο. Καλως ορισμενο συνολο, λεγεται αυτο που τα στοιχεια του εμφανιζονται μια μονο φορα. Ενα συνολο Α λεγεται υποσυνολο του συνολου Β, οταν καθε στοιχειο του ειναι και στοιχειο του συνολου Β. Συμβολιζεται: Α Β Ισχυει: Α Α (ανακλαστικη) Α Β και Β Γ τοτε Α Γ (μεταβατικη) Α Β και Β Α τοτε Α = Β (αντισυμμετρικη) Κενο συνολο, λεγεται αυτό που δεν εχει κανενα στοιχειο. Συμβολιζεται: { } η Δυο συνολα Α και Β λεγεται ισα, οταν εχουν ακριβως τα ιδια στοιχεια. Συμβολιζεται: Α = Β Ισχυει: Α Β και Β Α Ενα συνολο Α μπορει να παρασταθει με: αναγραφη Α = {α,α,... }, οπου α, α,... ολα τα στοιχεια του Α περιγραφη Α = {xω/ιδιοτητα του A} οπου Α Ω. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γραψετε με αναγραφη τα συνολα: Α={x / x < 4} B={x / x- } Eιναι x < 4 και επειδη ο x ειναι φυσικος,τοτε: x= η η 3 Αρα, Α = {,,3} Eιναι x- - x- - + x-+ + x 3 και επειδη ο x ειναι φυσικος, τοτε: x = η η 3 Αρα, Β = {,,3} Να γραψετε με περιγραφη τα συνολα: Α={-,-,0,,} B={0,,,3} Ο x παιρνει τιμες, που είναι διαδοχικοι ακεραιοι απ το - ως το. Αρα, Α = {x / - x } η A = {x / x } Ο x παιρνει τιμες, που είναι διαδοχικοι φυσικοι απ το 0 ως το 3. Αρα, Β = {x / 0 x 3 } H Εννοια του διανυσματος

2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α ( Ε ν ω σ η - Τ ο μ η - Σ υ μ π λ η ρ ω μ α ) Διαγραμμα Venn, λεγεται η εποπτικη παρουσιαση των συνολων που γινεται με Α κλειστες γραμμες. Β Ω Το βασικο συνολο (Ω) συμβολιζεται με το εσωτερικο ενος ορθογωνιου. Εργαζομαστε με συνολα που είναι υποσυνολα του βασικου συνολου, και παριστανονται με το εσωτερικο κλειστων καμπυλων. Για τα συνολα Α,Β ειναι: Β Α. Ενωση δυο συνολων Α και Β λεγεται το συνολο που αποτελειται απ ολα τα στοιχεια των συνολων Α, Β. Συμβολιζεται: ΑUΒ Ισχυει: ΑUΒ ={x Ω/ x A η x Β} Τομη δυο συνολων Α και Β λεγεται το συνολο που αποτελειται απ τα κοινα στοιχεια των συνολων Α, Β. Συμβολιζεται: Α Β Ισχυει: Α Β ={x Ω/ x A και x Β} Συμπληρωμα του συνολου Α λεγεται το συνολο που αποτελειται απ τα στοιχεια του συνολου Ω που δεν ανηκουν στο συνολο Α. Συμβολιζεται: Α Ισχυει: Α = {xω/ x A } Π α ρ α δ ε ι γ μ α Δινονται τα συνολα: Α={,,3} και B={xΖ/ x-3 } Nα βρεθει: η ενωσηa U B η τομη A B το συμπληρωμα της τομης (A B ) ως προς το συνολο αναφορας Β. το διαγραμμα Venn για τα συνολα Α και Β ως προς το συνολο αναφορας το Γ={0,,,3,4,5} Eιναι x-3 - x x x 4 και επειδη ο x ειναι ακεραιος, τοτε:x= η 3 η 4, οποτε Β={,3,4}. Αρα Α Β A U B ={,,3,4} 3 4 A B ={,3} (A B ) ={4} Α Α Α Α Β Ω Β Ω Ω 0 5 Γ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 Σ υ ν α ρ τ η σ η - Ο ρ ι σ μ ο ι Εστω Α ενα μη κενο υποσυνολο του. Ονομαζουμε πραγματικη συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α μια διαδικασια (κανονα), με την οποια καθε στοιχειο xa αντιστοιχιζεται σε ενα μονο πραγματικο αριθμο y. To y ονομαζεται τιμη της στο x και συμβολιζεται με (x). Παρατηρησεις. Το γραμμα x λεγεται ανεξαρτητη μεταβλητη, ενώ το γραμμα y που παριστανει την τιμη της στο x λεγεται εξαρτημενη μεταβλητη.. Το πεδιο ορισμου Α της συμβολιζεται με A. Αν η συναρτηση δινεται μονο με τον τυπο της, πεδιο ορισμου της θα θεωρειται το ευρυτερο υποσυνολο των πραγματικων αριθμων για τους οποιους η τιμη (x) να εχει νοημα πραγματικου αριθμου. Συμβολικα γραφουμε: A = {x : y = (x) }. 3. Το συνολο τιμων της συμβολιζεται με (A). Ειναι το συνολο που στοιχεια του είναι οι τιμες της για κάθε x. Δηλαδη (A)={y / y=(x) για τουλαχιστον ενα xα} Το συνολο τιμων περιλαμβανει εκεινους τους πραγματικους αριθμους y για τους οποιους υπαρχει ενα τουλαχιστον xα, ώστε (x)=y. 4. Μια συναρτηση είναι ορισμενη, όταν γι αυτην γνωριζουμε: To πεδιο ορισμου της Α Την τιμη της (x) για κάθε x, δηλαδη τον τυπο μεσω του οποιου μπορουμε να βρουμε την τιμη (x) για κάθε x. 5. Καθε στοιχειο x του πεδιου ορισμου Α ονομαζεται αρχετυπο της, ενώ το y ονομαζεται εικονα της στο x. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων: (x) = x- (x) = (x) = - x x - Επειδη η (x) για κάθε x, το πεδιο ορισμου είναι το συνολο. Πρεπει: x - 0 x ± Ετσι, το πεδιο ορισμου της είναι: Α={x / x και x - = (-,-) (-,) (,+ ) Πρεπει: -x 0 x x - x Oποτε το πεδιο ορισμου της είναι: Α={x / - x } η Α=[-,] Δινεται η συναρτηση (x)=x-. Nα βρεθουν: το x ώστε να ισχυει (x)=(3x-)+ το α αν (α)=5 Είναι (3x-)=(3x-)-=6x-4-=6x-5 () Οποτε, (x)=(3x-)+ () x-=6x-5+ 4x=3 x= 3 4 Είναι (α)=5 α-=5 α=6 α=3

4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 Σ υ ν α ρ τ η σ η - Γ ρ α φ ι κ η π α ρ α σ τ α σ η Γραφικη παρασταση της με πεδιο ορισμου το Α, που συμβολιζεται με C, είναι το συνολο ολων των σημειων του επιπεδου που αντιστοιχουν στα ζευγη (x,(x)), x. Παρατηρησεις. Η C τεμνει τον x x στα σημεια A₁(x₁,0), A₂(x₂,0), oπου x₁, x₂, είναι οι ριζες της εξισωσης (x)=0.. Η C τεμνει τον y y στο σημειο Β(0,(0)), με την προυποθεση ότι το 0 A. 3. Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες του x που η C βρισκεται πανω απο τον x x λυνουμε την (x) > 0 και συναληθευουμε τις λυσεις με το A, ενω λυνουμε την (x) < 0 οταν η C είναι κατω από τον x x. 4. Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των,g λυνουμε την εξισωση (x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. g 5. Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες x που η C βρισκεται πανω απο την C g λυνουμε την (x)>g(x) και συναληθευουμε τις λυσεις στο A Ag, ενω την (x) < g(x) αν η C g είναι πανω απ την C. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να βρειτε τα σημεια που η γραφικη παρασταση C της συναρτησης (x)=x -5x+6 τεμνει τους αξονες x x και y y. Η C τεμνει τον αξονα x x όταν (x)=0. Oποτε (x)=0 x -5x+6=0 x= η x=3 Αρα τα ζητουμενα σημεια είναι: Α(,0) και Β(3,0). Η C τεμνει τον αξονα y y όταν x=0. Oποτε (0)= =6 Αρα τo ζητουμενo σημειo είναι: Γ(0,6). Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C και C g των συναρτησεων (x)=x 4-6 και g(x)=4x 3-6. Eιναι (x)-g(x) x 4-6=4x 3-6 x 4 =4x 3 x 4-4x 3 =0 x 3 (x-)=0 x=0 η x= Για x=0 είναι (0)=.0 4-6=-6 (το ιδιο είναι (0)= =-6) Για x= είναι ()=. 4-6=6 (το ιδιο είναι (4)=4. 3-6=6) Αρα τα ζητουμενα σημεια είναι: Α(0,-6) και Β(,6). Να βρειτε τα α,β ωστε η γραφικη παρασταση C της συναρτησης (x)=α +β +αx-4βx να διερχεται απ το σημειο Α(,-5). Αφου η γραφικη παρασταση της διερχεται απ το σημειο Α(,-5), τοτε: ()=-5 α +β +α-4β=-5 α +β +α-4β+5=0 (α +α+)+(β -4β+4)=0 (α+) +(β-) =0 (α + ) = 0 α + = 0 α = - (β - ) = 0 β - = 0 β =

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Ο ρ θ ο κ α ν ο ν ι κ ο Σ υ σ τ η μ α Σ υ ν τ ε τ α γ μ ε ν ω ν Καρτεσιανο συστημα αναφορας είναι το συστημα των δυο καθετα τεμνομενων αξονων x x και y y με κοινη αρχη το 0. Ορθοκανονικο είναι το καρτεσιανο συστημα αναφορας, που οι μοναδες των αξονων εχουν το ιδιο μηκος. Εστω το σημειο Α του καρτεσιανου επιπεδου. Οι αριθμοι α,β λεγονται συντεταγμενες του σημειου Α. y A (-a,β) -α β 0 Α(α,β) α x Ο αριθμος α λεγεται τετμημενη του σημειου Α. Ο αριθμος β λεγεται τεταγμενη του σημειου Α. A (-a,-β) -β Α (α,-β) Τα σημεια Α,Α,Α είναι τα συμμετρικα του σημειου Α, ως προς τον αξονα y y, τον αξονα x x και την αρχη των αξονων Ο, αντιστοιχα. Η αποσταση δυο σημειων Α(x,y ) και Β(x,y ) δινεται απ τον τυπο: (ΑΒ) = (x - x ) + (y - y ) Στο τριγωνο ΑΒΓ εφαρμοζουμε το Πυθαγορειο θεωρημα. Ετσι:(ΑΒ) =(ΑΓ) +(ΒΓ) () Όμως: (ΑΓ) = x -x () (ΒΓ) = y -y (3) Oποτε: () () (3) (ΑΒ) = x -x + y -y (AB) = (x - x ) + (y - y ) y y y A Γ 0 x x x x -x B y -y Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να αποδειχτει οτι το τριγωνο ΑΒΓ με κορυφες τα σημεια Α(,4), Β(-,8), Γ(,) ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες. Στη συνεχεια να βρειτε το εμβαδον του. Ειναι (AB) = (- - ) + (8-4) = (-3) + (4) = = 5 = 5 (AΓ) = ( - ) + ( - 4) = + 7 = + 49 = 50 (ΒΓ) = ( + ) + ( - 8) = = = 5 = 5 Επειδη (ΑΒ)=(ΒΓ) το τριγωνο είναι ισοσκελες. Επειδη (ΑΒ) +(ΒΓ) =5 +5 =5+5=50=(ΑΓ) το τριγωνο είναι ορθογωνιο στο Β. Το εμβαδον του είναι: 5 Ε = (ΑΒ)(ΒΓ) = 5 5 = τ.μ.

6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Σ υ ν α ρ τ η σ η : ( x ) = a x + β Η γραφικη παρασταση της συναρτησης (x)=αx+β είναι ευθεια που: τεμνει τον αξονα y y στο σημειο (0,β) τεμνει τον αξονα x x στο σημειο (-β/α,0) σχηματιζει με τον αξονα x x γωνια ω, για την οποια: εφω=α Συντελεστης διευθυνσης (κλιση) της ευθειας y y=αx+β λεγεται ο αριθμος λ=α=εφω, ο- α<0 α<0 α>0 α>0 που ω είναι η γωνια που σχηματιζει η (x (x,y,y ) ) ευθεια με τον αξονα y y. α=0 a=0 0 Αν α>0 τοτε: 0 0 < ω < 90 (x (x,y,y ) 0 Αν α<0 τοτε: 0 90 < ω < 80 ω ω Αν α=0 τοτε: ω = 0 0 y - y Aκομα η κλιση δινεται απο: λ = x - x Η γρ. παρασταση της συναρτηση (x)=ax ειναι η γρ. παρασταση της συναρτησης (x)=αx+β μετατοπισμενη παραλληλα ωστε να διερχεται απ την αρχη των αξονων. Για τις ευθειες ε :y=α x+β και ε :y=α x+β ισχυει: ε ε α = α ε ε α α = - Α π ο δ ε ι ξ η : Π α ρ α λ λ η λ ι α ς - Κ α θ ε τ ο τ η τ α ς Παραλληλια (σχ. ) ε ε α = α ε ε ω =ω εφω =εφω α = α Καθετοτητα (σχ. ) ε ε α α = - Θεωρουμε δυο καθετες ευθειες ε και ε με εξισωσεις y=α x και y=α x αντιστοιχα. Στο ορθ. τριγωνο ΟΑΒ απ το Πυθαγορειο θεωρημα: (ΟΑ) + (ΟΒ) = (ΑΒ) α + + α + = (α - α ) + (-) α + + α + = α - α α + α = -α α α α = - Επειδη οι ευθειες y = α x + β και y = α x + β ειναι παραλληλες στις y = α x και y = α x, γενικα συμπεραινουμε οτι δυο ευθειες y = α x + β και y = α x + β ειναι καθετες αν α α =-. Σχ. ε x ω ω Σχ. α Α(,α ) 0 α Β(,α ) ε

7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να βρειτε τον λ ώστε η ευθεια ε: y = (λ -3λ+)x+5-λ, να : διερχεται απ την αρχη των αξονων είναι παραλληλη στον αξονα x x είναι παραλληλη στην ευθεια ε :y=(λ-)x+3 είναι καθετη στην ευθεια ε :y=x-5 Για να διερχεται η ευθεια (ε) απ την αρχη των αξονων πρεπει η εξισωση της να είναι της μορφης: y=αx, δηλαδη 5-λ=0 λ=5 Για να είναι παραλληλη στον αξονα x x η ευθεια (ε) πρεπει η εξισωση της να είναι της μορφης: y=β, δηλαδη λ -3λ+=0 (λ-)(λ-)=0 λ= η λ= Για να είναι η ευθεια (ε) παραλληλη στην ευθεια (ε ) πρεπει: λ -3λ+=(λ-) λ -3λ+=λ-4 λ -5λ+6=0 (λ-)(λ-3)=0 λ= η λ=3 Για να είναι η ευθεια (ε) καθετη στην ευθεια (ε ) πρεπει: (λ -3λ+).=- λ -3λ+=- λ -3λ+3=0 Δ=9-=-3<0 αρα δεν υπαρχει πραγματικος λ, ώστε οι ευθειες να είναι καθετες. Να βρειτε τη συναρτηση, που η γραφικη παρασταση φαινεται στο διπλανο σχημα. - 0 Για x : - Η ευθεια περναει απ την αρχη των αξονων, οποτε είναι της μορφης: y=αx Όμως το σημειο (-,) ανηκει στην ευθεια. Αρα ικανοποιει τον τυπο της, δηλαδη =α(-) α=-, αρα η ευθεια εχει τυπο: y=-x Για x : H ευθεια είναι παραλληλη στον αξονα x x, οποτε είναι της μορφης: y=β, με β=-. Αρα η ευθεια εχει τυπο: y=- -x αν x Και τελικα η συναρτηση εχει τυπο: (x) = - αν x >

8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Κ α τ α κ ο ρ υ φ η - Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α μ ε τ α τ ο π ι σ η κ α μ π υ λ η ς Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x) + c, οπου c > 0, προκυπτει απο μια κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα πανω. Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x) - c, οπου c > 0, προκυπτει απο μια κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα κατω. Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x - c), οπου c > 0, προκυπτει απο μια οριζοντια μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα δεξια. Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x + c), οπου c > 0, προκυπτει απο μια οριζοντια μετατοπιση της γρα - φικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα αριστερα. Σημειωση: Η C εχει μαυρο χρωμα, ενω η C εχει μπλε. Το μηκος του κοκκινου βελους ειναι ο c. φ

9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Α ρ τ ι α - Π ε ρ ι τ τ η - Μ ο ν ο τ ο ν ι α - Α κ ρ ο τ α τ α Μια συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α λεγεται αρτια αν: Για καθε xa και - xa (-x) = (x) για καθε xa Μια συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α λεγεται περιττη αν: Για καθε xa και - xa (-x) = -(x) για καθε xa Μια συναρτηση λεγεται γνησιως αυξουσα σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, οταν για οποιαδηποτε x₁,x₂δ με x₁ < x₂ ισχυει: (x₁) < (x₂). Μια συναρτηση λεγεται γνησιως φθινουσα σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, οταν για οποιαδηποτε x₁,x₂δ με x₁ < x₂ ισχυει: (x₁) > (x₂). Για μια συναρτηση με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: Παρουσιαζει στο x₀a (ολικο) μεγιστο, το (x₀), αν :(x) (x₀), για καθε xa. Παρουσιαζει στο x₀a (ολικο) ελαχιστο, το (x₀), αν : (x) (x₀), για καθε xa.. Οι γν. αυξουσες και οι γν. φθινουσες συναρτησεις γενικα λεγονται γνησιως μονοτονες.. Οταν μια συναρτηση είναι γνησιως μονοτονη και δεν αναφερεται το διαστημα, θα εννοουμε οτι είναι γνησιως μονοτονη στο πεδιο ορισμου της. 3. Το μεγιστο και το ελαχιστο μιας συναρτησης λεγονται ακροτατα. Ειναι φανερο οτι μια συναρτηση μπορει να μην εχει ακροτατα. 4. Αν το συνολο τιμων μιας συναρτησης ειίναι κλειστο διαστημα, τα ακρα του ειναι τα ακροτατα της συναρτησης. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να εξετασετε αν είναι αρτια η περιττη η συναρτηση: (x) = 6 - x Πρεπει: 6-x 0 x 4 x 4-4 x 4. Aρα το πεδιο ορισμου της ειναι Α =[-4,4] (συμμετρικο ως προς το 0). Οποτε: για x A και το - x A Eιναι (-x) = 6 - (-x) = 6 - (-x) = 6 - x = (x). Aρα η ειναι αρτια. Να μελετηθει ως προς τη μονοτονια η συναρτηση (x)=x +5 To πεδιο ορισμου της είναι το. Εστω x,x 0 με x x. Τοτε (x ) - (x ) x (x + 5) x x - 5 (x + x )(x - x ) λ = = = = = x + x > 0 x - x x - x x - x x - x Αρα η ειναι γνησιως αυξουσα στο [0,+ ). Εστω x,x 0 με x x. Τοτε (x ) - (x ) x (x + 5) x x - 5 (x + x )(x - x ) λ = = = = = x + x < 0 x - x x - x x - x x - x Αρα η ειναι γνησιως φθινουσα στο (-,0]. Να βρεθουν τα ακροτατα της συναρτησης: (x)=x -4x+3. To πεδιο ορισμου της ειναι το. Eιναι, (x)=x -4x+3 (x)=(x -4x+4)- (x)+=(x-) 0 (x) - Eπισης, (x)= οταν (x-) =0 x=.αρα η παρουσιαζει ελαχιστο για x= το ()=-.

10 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Να γραφουν με αναγραφη τα συνολα : Α = {x / (x + )(x - )(x - 3) = 0} B = {x / x - 3 5} Να γραφουν με περιγραφη τα συνολα : Γ = {,,3} Δ = {-3,-,-,0,,,3} Δινονται τα συνολα : Ε = {x - x +, x} και Ζ = {x -,} Nα βρεθει η τιμη του x, για την οποια ισχυει : Ε = Ζ. Ειναι, (x + )(x - )(x - 3) = 0 x = - η x = η x = 3. Αρα, Α = {-,,3} (+3) x x x x 8 Eπειδη x, το x παιρνει τιμες τους φυσικους αριθμους που ειναι μικροτεροι η ισοι του 8. Αρα, Β = {0,,,3, 4,5, 6, 7, 8} Ειναι, Γ = {x / (x - )(x - )(x - 3) = 0} η Γ = {x / x - < } Αφου (x - )(x - )(x - 3) = 0 x = η x = η x = 3. x x x - < - < x - < 0 < x < 4 x = η x = η x = 3. Δ = {x / x < 4} Αφου x < 4-4 < x < 4 x = -3, -, -, 0,,,3. Για να ειναι ισα τα συνολα Ε και Ζ, πρεπει : x - x + = x - x - 3x + = 0 (x - )(x - ) = 0 x = η x = x = x = x = x = x = Δινεται η συναρτηση : (x) = x - 4. Να βρεθει το x ωστε να ισχυει : (x) = (x - 4x + 6) Να βρεθει το y ωστε να ισχυει : (y) = y - 4y x +, αν x < - Δινεται η συναρτηση : g(x) = x - α, αν - x < 3 βx + 3, αν x 3 Nα βρεθουν τα α και β, αν ισχυει : g(-) = g() και g(0) = g(4). Ειναι (x) = x - 4. Oποτε : (x - 4x + 6) = (x - 4x + 6) - 4 = x - 4x +. Ομως, x = (x) = (x - 4x + ) x - 4 = x - 4x + x - 5x + 6 = 0... x = 3 (x) = x - 4. Oποτε : (y) = y - 4. Ομως, y = (y) = y - 4y y - 4 = y - 4y y - 5y + 4 = 0... y = 4 Αφου, - < -, - < 3, - 0 < 3 και 4 3, τοτε g(-) = g() - + = - α α = + - α = 3 () () g(0) = g(4) 0 - α = β = 6β + 3 6β = -6 β = -

11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Nα βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων : -3 (x) = + + x - g(x) = - x - Πρεπει x + x - 5x h(x) = + x - - x - x + 0 x + 0 x + 0, x x - 5x (x - )(x - 3) 0 x και x 3 Α = [,)U(,3)U(3, + ) x - 0 x x Πρεπει - x - 0 x - - x x x 3 Αρα Α = [-,3] g Πρεπει (+) x - 0 x - 0 x - > 0 x > x > x > < x < 3 - x x - > 0 x - < - < x - < - < x < 3 - x - 0 Αρα Α = (,3) h Eστω το σημειο Μ(x - 3x +, x - ). Nα βρεθει η τιμη του x, ωστε το σημειο Μ : να ανηκει μονο στον αξονα y'y. να ανηκει και στους δυο αξονες x'x και y'y. Eστω η συναρτηση, με τυπο : (x) = 3x - 6. Nα βρεθουν τα σημεια που η C : τεμνει τον αξονα x'x. τεμνει τον αξονα y'y. Για να ανηκει το σημειο Μ, μονο στον αξονα y'y, πρεπει : x x x - 0 x και και και και x - = 0 x = x = x - 3x + = 0 (x - )(x - ) = 0 η η x - = 0 x = Για να ανηκει το σημειο Μ και στους δυο αξονες, πρεπει : x - = 0 και... x = x - 3x + = 0 Η C τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (x, (x )), αν x = 0 (x ) = (x ) = -6 Αρα στο σημειο (0, -6). Η C τεμνει τον y'y στο σημειο (x, (x )), αν (x ) = 0 0 = 3.x x = 6 x = Αρα στο σημειο (, 0).

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η συναρτηση, με τυπο : (x) = x + α - 6. Να δειξετε οτι το σημειο Μ(3, α) ανη - κει στη γρ. παρασταση της. Δινεται η συναρτηση g, με τυπο : g(x) = x η γρ. παρασταση της g διερχεται απο το σημειο Ν(α, 5 + 3α). Για να ανηκει το σημειο Μ(3, α) στη γρ.παρασταση της, πρεπει : (3) = α.3 + α - 6 = α 6 = 6, που αληθευει. Αρα το σημειο Μ ανηκει στη γρ.παρασταση της Να βρεθουν οι τιμες του α, για τις οποιες Για να διερχεται η γρ.παρασταση της g απ'το σημειο Ν(α,5 + 3α), πρεπει : (α) = 5 + 3α α + 7 = 5 + 3α α - 3α + = 0 α - α - α + = 0 α - = 0 α = α(α - ) - (α - ) = 0 (α - )(α - ) = 0 α - = 0 α = Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση της συν - αρτηση. Να βρεθουν : Το πεδιο ορισμου της. Το συνολο τιμων της. Τα (), (4), (6). Οι τιμες εκεινες του x για τις οποιες ειναι : (x) =. Η προβολη της γρ.παραστασης της πανω στον αξονα x'x δινει το πεδιο ορισμου της. Δηλαδη : Α = [-, 6] Η προβολη της γρ.παραστασης της πανω στον αξονα y'y δινει το συνολο τιμων της. Δηλαδη : (Α) = [,3]U(4, 5] Aπο τη γρ.παρασταση της προκυπτει : () = (4) = 5 (6) = 5 x = -, αν (x) = Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση, με τυπο : x -, αν x 0 (x) = x + 3, αν 0 < x 3, αν x > Κανουμε πινακα τιμων για την, σε καθενα απ'τα διαστηματα. y Για x 0 Για x x - 0 x 3 y - - y - 0 Για x 0 η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο (0,-) που διερχεται απ το σημειο (0,-). - Για 0<x η γρ. παρασταση της ειναι ευθ.τμημα με ακρα τα σημεια (0,-) και (,-), παραλληλη στον αξονα x x. Για x η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο (,-) που διερχεται απ το σημειο (3,0).

13 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση της συναρτηση. Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης. Για x 0 η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο O(0,0) που διερχεται απ το σημειο A(-,3). Oποτε τα σημεια αυτα επαληθευουν τον τυπο της, (x)=αx: 3=-α α=-3. Δηλαδη για α=-3, τοτε (x)=-3x. Για 0<x η γρ. παρασταση της ειναι ευθ.τμημα με ακρα τα σημεια O(0,0) και B(,). Oποτε τα σημεια αυτα επαληθευουν τον τυπο της, (x)=αx: =α α=. Δηλαδη για α=, τοτε (x)=x Για x η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο B(,) παραλληλη στον αξονα x x. Oποτε (x)= -3x, αν x 0 Τελικα (x) = x, αν 0 < x, αν x > Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε οι ευθειες : ε : y = α - 3 x + 4 και ε : y = - α x -, να ειναι παραλληλες. ε : y = α x + 5 και ε : y = ( 4α -4)x -, να ειναι καθετες. 3 4 Δινεται η ευθεια ε : y = (α - )x + (α - 5α + 6) Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε : η ευθεια ε να διερχεται απ'την αρχη των αξονων. η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x. η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = α(α - )x - α. 4 α - 3 = - α 3α = 4 α = ε / /ε τοτε : α - 3 = - α 3 α - 3 = α - α = α = ε3 ε 4 τοτε : α.( 4α -4) = - 4 α -4 α + = 0 ( α -) = 0 α - = 0 α = α = ± 6 y 5 4 Α 3 Β η ευθεια ε διερχεται απ'την αρχη των αξονων, αν : 5 α - 5α + 6 = 0 (ειναι της μορφης y = αx, β = 0) α - α - 3α + 6 = 0 α - = 0 α = α(α - ) - 3(α - ) = 0 (α - )(α - 3) = 0 α - 3 = 0 α = 3 η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x, αν : α - = 0 α = 5 η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = α(α - )x - α, αν : 5 6 α - = α(α - ) α - = α - α α - 3α + = 0 α - α - α + = 0 α(α - ) - (α - ) = 0 (α - )(α - ) = 0 α - = 0 α - = 0 α = α =

14 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, για τις οποιες το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α(0,3α - ) και Β(0,α ) να εχει μηκος ισο με. Δινονται τα σημεια Α(3,0), Β(,6) και Γ(,3). Να αποδειχτει οτι : Α, Β και Γ συνευθειακα και Γ μεσο του ΑΒ. Ειναι (ΑΒ) = (0-0) + [α - (3α - )] = (α - 3α + ) = α - 3α + = Ειναι α - 3α + = α - 3α = 0 α(α - 3) = 0 α - 3α + = - α - 3α + = 0 (ΑΒ) = ( - 3) + (6-0) = + 6 = = 0 (ΑΓ) = ( - 3) + (3-0) = (-) + 3 = + 9 = 0 (ΒΓ) = ( - ) + (3-6) = + (-3) = + 9 = 0 α = 0 η α = η α = η α = 3. (α - )(α - ) = 0 (ΑΓ) + (ΒΓ) = (ΑΒ) = 0 Α, Β και Γ συνευθειακα Αφου, (ΑΓ) = (ΒΓ) = 0 Γ μεσο του ΑΒ Να εξετασετε αν ειναι αρτιες η περιττες οι παρακατω συναρτησεις : x -3 -x +, x 0 (x) = - 4x g(x) = h(x) = p(x) = x (x - )(x - 3) x +, x 0 Για να οριζεται η, πρεπει : - 4x 0 x x - x Το πεδιο ορισμου της ειναι : Α = -, 4 4 (συμμετρικο ως προς 0) Οποτε για x A τοτε και - x A, και (-x) = - 4(-x) = - 4x = (x), αρα η ει Για να οριζεται η g, πρεπει : x 0 Το πεδιο ορισμου της g ειναι : Α = Οποτε για x A τοτε και - x A,και g g -x = x -x -3 x -3 g ναι αρτια. (συμμετρικο ως προς 0) g(-x) = = - = -(x), αρα η ειναι περιττη. -x x Για να οριζεται η h, πρεπει : x και x 3. h p * Το πεδιο ορισμου της h ειναι : Α = - {,3} (οχι συμμετρικο ως προς 0) Οποτε η h δεν ειναι ουτε αρτια, ουτε περιττη. Το πεδιο ορισμου της p ειναι : Α = (συμμετρικο ως προς 0) Οποτε Για x 0 -x 0 και p(-x) = -(-x) + = x + = p(x), αρα η p, αρτια. Για x 0 -x 0 και p(-x) = -x + = p(x), αρα η p, αρτια. Tελικα για καθε x ειναι p(-x) = p(x), αρα η p ειναι αρτια.

15 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 3 Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση : (x) = x - 3 Το πεδιο ορισμου της ειναι το. Eστω x, x, με x < x. (x ) - (x ) = x (x - 3) = x x + 3 = x - x = (x - x ) = = (x - x )(x + x.x + x ) > 0 (Αφου x - x > 0 και x + x.x + x > 0) Αρα η ειναι γνησιως αυξουσα στο. Eιναι (x ) - (x ) x (x - 3) x x + 3 x - x λ = = = = x - x x - x x - x x - x (x - x ) = = x - x (x - x )(x + x.x + x ) = = (x + x.x + x ) > 0 (Αφου x + x.x + x > 0) x - x Αρα η ειναι γνησιως αυξουσα στο. Να δειξετε οτι η συναρτηση με (x) = αx + β, ειναι γν.αυξουσα αν α > 0 και γν.φθι - νουσα αν α < 0. Να μελετηθουν ως προς τη μονοτονια οι συναρτησεις : g(x) = (4 - κ )x - h(x) = x + x - To πεδιο ορισμου της ειναι το. Eστω x, x, με x < x. (x ) - (x ) αx + β - (αx + β) αx + β - αx - β λ = = = = x - x x - x x - x Αν α > 0, τοτε η ειναι γνησιως αυξουσα στο. Αν α < 0, τοτε η ειναι γνησιως φθινουσα στο. To πεδιο ορισμου της ειναι το. Η συναρτηση g(x) = (4 - κ )x - ειναι της μορφης g( α( x - x x - x Αν 4 - κ > 0 κ < 4 κ < κ < - < κ <, η g ειναι γν. αυξουσα στο. Αν 4 - κ = 0 κ = 4 κ = ±, η g ειναι σταθερη στο. Αν 4 - κ < 0 κ > 4 κ > κ > κ < - η κ <, η g εινα στο. ) = α x) = αx + β, οποτε : ι γνησιως φθινουσα -3x +, αν x 0 Ευκολα ο τυπος της συναρτησης h γινεται : h(x) = x +, αν 0 < x 3x -, αν x > Oποτε Στο διαστημα (-, 0] η h ειναι γν.φθινουσα, αφου α = -3 < 0. Στο διαστημα (0,] η h ειναι γν.αυξουσα, αφου α = > 0. Στο διαστημα (, + ) η h ειναι γν.αυξουσα, αφου α = 3 > 0.

16 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να βρεθουν τα ακροτατα των συναρτησεων : 4 (x) = x + x + g(x) = x - + To πεδιο ορισμου της ειναι το. Eιναι x (x +) 0 4 (x) = x + x + 4 (x) - = x + x (x) - = x (x + ) (x) - 0 (x) () Ομως x +0 (x) = αν x (x + ) = 0 x = 0, δηλαδη (0) = Oποτε η () γινεται : (x) (0), που σημαινει οτι η παρουσιαζει ελαχιστο, το, οταν x = 0. x -, αν x Ευκολα ο τυπος της συναρτησης g γινεται : g(x) = -x + 3, αν x > Oποτε Στο διαστημα (-,] η g ειναι γν.αυξουσα, αφου α = > 0. Στο διαστημα (, + ) η g ειναι γν.φθινουσα, αφου α = - < 0. Aρα η g παρουσιαζει στη θεση x = μεγιστο, το g() =. (Στη θεση x =, αλλαζει η μονοτονια της g, οποτε εχουμε ακροτατο) Να γινει η μελετη και η γρ.παρασταση της συναρτησης : x +, αν x < 0 (x) = -x +, αν x 0 To πεδιο ορισμου της ειναι το (συμμετρικο ως προς 0). Eιναι Για x < 0 -x > 0 και (-x) = -(-x) + = x + = (x), αρα η, αρτια. Για x 0 -x 0 και (-x) = -x + = (x), αρα η, αρτια. Tελικα για καθε x ειναι (-x) = (x), αρα η ειναι αρτια. Οποτε η γρ.παρασταση της εχει αξονα συμμετριας τον y'y. Ειναι Στο διαστημα (-, 0) η ειναι γν.αυξουσα, αφου α = > 0. Στο διαστημα [0, + ) η ειναι γν.φθινουσα, αφου α = - < 0. Aρα η g παρουσιαζει στη θεση x = 0 μεγιστο, το (0) =. (Στη θεση x = 0, αλλαζει η μονοτονια της, οποτε εχουμε ακροτατο) Κατασκευαζουμε πινακα τιμων για την στα δυο διαστηματα : Για x < 0 Για x 0 x - 0 x 0 y 0 y 0-0

17 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Να γραφουν με αναγραφη τα συνολα : Α = {x / x - 4} B = {x / x - 4} Να γραφουν με περιγραφη τα συνολα : Γ = {, 3, 5, 7, 9} Δ = {-, -, 0,,, 3} Δινονται τα συνολα : Ε = {x,} και Ζ = {, x Nα βρεθει η τιμη του x, aν ισχυει : Ε = Ζ. }. Για ενα συνολο Α με : αναγραφη Α = α,α, περιγραφη Α = {x Ω / ιδιο - τητα τουa} οπου Α Ω. Ισα συνολα : εχουν ακριβως τα ιδια στοιχεια. Δινεται η συναρτηση : (x) = x -. Να βρεθει το x ωστε να ισχυει : (x) = (x - x) + 3 Να βρεθει το y ωστε να ισχυει : (y) = αx+ β αν x < Δινεται η συναρτηση : g(x) = (α - )x, αν x Nα βρεθουν τα α και β, αν ισχυει : g(-) = 3 και g() = 4. Nα βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων : -3 (x) = + + x - x + - x g(x) = x - - x x h(x) = + x - x - - 3x + Eστω το σημειο Μ(λ -, λ - 4). Nα βρεθει η τιμη του λ, ωστε το σημειο Μ : να ανηκει μονο στον αξονα x'x. να ανηκει και στους δυο αξονες x'x και y'y. Eστω η συναρτηση, με τυπο : (x) = x - -. Nα βρεθουν τα σημεια που η γρ. παρασταση της συναρτησης : τεμνει τον αξονα x'x. τεμνει τον αξονα y'y. Η συναρτηση εχει τυπο : (x) = αx + β, τοτε (γx + δ) = α(γx + δ) + β (y) = αy + β Αν ο τυπος της συναρτησης : Περιεχει ριζα, τοτε πρεπει το υπορριζο να ειναι μεγαλυτερο η ισο με το 0. Περιεχει κλασμα, τοτε πρεπει ο παρονομαστης να ειναι διαφο - ρος του 0. Eνα σημειο Μ(α,β) ανηκει μο - νο στον x'x, αν : α 0 και β = 0. Eνα σημειο Μ(α,β) ανηκει και στους δυο αξονες, αν : α = 0 και β = 0. Η γρ.παρασταση της (x) = αx + β τεμνει : τον αξονα x'x στο : Α(0,β) β τον αξονα y'y στο : Α(-,0) α

18 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 Δινεται η συναρτηση, με τυπο : (x) = x - α. Να δειξετε οτι το σημειο Μ(α +, α + ) ανηκει στη γρ. παρασταση της. Δινεται η συναρτηση g, με : g(x) = x - x + + β. Να βρεθουν οι τιμες των α και β, για τις οποιες η γρ. παρασταση της g διερχεται απο το σημειο Ν(α, -β - β). Για να διερχεται η γρ.παρασταση της απ'το σημειο Α(α,β), η το σημειο Α να ανηκει στη γρ.παρα - σταση της συναρτησης, πρεπει : (α) = β Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση, με τυπο : -x, αν x (x) = x -, αν < x 3, αν x > 3 Βρειτε τις τιμες του πραγματικου αριθμου α, για Η αποσταση δυο σημειων, τις οποιες το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α(x, y ) και Β(x, y ), Α(α, x + 6) και Β(α,x + 3) να εχει μηκος ισο με. δινεται απ'το τυπο : Δινονται τα σημεια Α(3, ), Β(4, -) καιγ(-,). (ΑΒ) = (x - x ) + (y - y ) Να αποδειχτει οτι : Α, Β και Γ ειναι κορυφες ισοσκε - λους τριγωνου. 3 4 Προκειμενου να χαραξουμε τη γρ. παρασταση συναρτησης : Παιρνουμε πινακα τιμων της συναρτησης. Ενωνουμε καταλληλα τα ση - μεια που προκυπτουν, σε σχεση με τον τυπο της συναρτησης και το πεδιο ορισμου της. Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, Δυο ευθειες : ωστε οι ευθειες : y = α x + β και y = α x + β : ε : y = (3α + )x και ε : y = (α - 3)x + 5 ειναι : ειναι παραλληλες αν : α = α παραλληλες καθετες ειναι καθετες αν : α.α = - α + 3 Δινεται η ευθεια ε : y = x +, με α. Μια ευθεια y = αx + β : 3 α - διερχεται απ'τo O(0,0) : Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, β = 0 ωστε : ειναι παραλληλη στον x'x αν : η ευθεια ε 3 να διερχεται απ'την αρχη των αξονων. α = 0 η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = -5x +. η ευθεια ε 3 να ειναι καθετη στην ευθεια ε 5 : y = - x

19 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Να εξετασετε αν ειναι αρτιες η περιττες οι παρα - Αν το πεδιο ορισμου μιας συναρ - κατω συναρτησεις : τησης, ειναι συμμετρικο ως (x) = x - 9 g(x) = x - x + x - h(x) = x + Δινεται η συναρτηση p ορισμενη στο p(x) = (α - 4)x + 7. *, με Να βρεθει ο πραγματικος αροιθμος α, ωστε η p να ειναι αρτια. προς το 0, δηλ. για καθε x A τοτε και - x A : η ειναι αρτια, αν (-x) = (x). και περιττη, αν (-x) = -(x). Μελετησετε ως προς τη μονοτονια τις συναρτησεις : (x) = x + 3 g(x) = -x - x + h(x) = x - 4x + 3, με x Μελετησετε ως προς τη μονοτονια τις : (x) = (λ - 9)x + g(x) = x - + x + x +, αν x 0 h(x) = -x + 3, αν x > 0 Nα βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, αν η συναρτηση 4 (x) = x - 8x + Αν και x,x A, με x < x. Aν (x ) < (x ) τοτε η γν. αυξουσα. Aν (x ) > (x ) τοτε η γν. φθινουσα. x < x (x ) < (x ) : x < x (x ) > (x ) : Βγαλτε τα απολυτα με (x) = α x + -3 x - ειναι γν.φθινουσα στο διαστημα [, + ). Να βρεθουν τα ακροτατα των συναρτησεων : g(x) = 3 x - + Αν η συναρτηση ειναι : γν.αυξουσα, στο (-,x ] γν.φθινουσα, στο (x,+ ) τοτε στη θεση x παρουσιαζει 0 0 μεγιστο, το (x ). (Το ιδιο αν : (x) (x )) ομοια Να γινει η μελετη και η γρ.παρασταση των : (x) = -x x +, αν x < g(x) = -x +, αν x x + - x - h(x) = x Βρισκουμε το π.ο. της. Ελεγχουμε αν η ειναι αρτια η περιττη (συμμετριες). Εξεταζουμε τη μονοτονια της. Βρισκουμε τα ακροτατα της. Κατασκευαζουμε πινακα τιμων.

20 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Στο σχημα δινεται η γρ. παρασταση της. Να βρεθουν : Το πεδιο ορισμου της. Το συνολο τιμων της. Τα (), (4), (6). Οι τιμες εκεινες του x για τις οποιες : (x) =. y Η προβολη της γρ.παραστα - σης της πανω στον αξονα x'x δινει το π.ο. της. Η προβολη της γρ.παραστα - σης της πανω στον αξονα y'y δινει το σ.τ. της Nα βρειτε το τυπο της συναρτησης, που η γραφικη της παρασταση φαινεται στο παρακατω σχημα y A 3 B x Απο γνωστα σημεια που ανη - κουν στη γραφικη παρασταση της συναρτησης, αντικαθιστων - τας στη γνωστη εξισωση της ευ - θειας y = αx + β, το x με την τετμημενη του σημειου και το y με την τεταγμενη, προσδιορι - ζουμε τον τυπο της συναρτησης.

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α.

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α. BAΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a / x. Πεδιο Ορισμου: Α = =(-,0) (0, + ) (αφου πρεπει x 0) * 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον;. Aν α, θετικοι. Συνολο Τιμων: f(α) = (αφου,

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εισαγωγή Σε πολλά καθημερινά φαινόμενα εμφανίζονται δύο μεγέθη, τα οποία μεταβάλλονται έτσι, ώστε η τιμή του ενός να καθορίζει την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ () = α ΘΕΩΡΙΑ. Μορφή της συνάρτησης (Ισοσκελής υπερβολή) Ιδιότητες Πεδίο ορισµού g() = R = (, 0) (0, + ) Είναι περιττή, άρα συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Είναι γν.φθίνουσα

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = αx 2

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = αx 2 1 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() = α ΘΕΩΡΙΑ 1. Μορφή της συνάρτησης g() = (Παραβολή) O g( ) = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού = R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα Είναι γν.φθίνουσα στο διάστηµα (,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα