ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0"

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των ιδιοτήτων των πράξεων, επιλύουμε την παραπάνω εξίσωση, οποιοιδήποτε και αν είναι οι αριθμοί α., Έχουμε λοιπόν α 0 α α Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν α 0 τότε: α a Επομένως, αν α 0 η εξίσωση έχει ακριώς μία λύση, την Αν α 0, τότε η εξίσωση α γίνεται 0, η οποία:. a i) αν είναι 0 δεν έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη, ενώ ii) αν είναι 0 έχει τη μορφή 0 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό δηλαδή είναι ταυτότητα. Η λύση της εξίσωσης α 0 και γενικά κάθε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. Για παράδειγμα Για την εξίσωση 4( 5) 5 έχουμε:

2 56. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4( 5) Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την =5. Για την εξίσωση Έχουμε 0 που είναι αδύνατη. Για τη εξίσωση 4( 5) 0 έχουμε που είναι ταυτότητα. ΣΧΟΛΙΟ Όπως λέπουμε στα παραπάνω παραδείγματα, κάθε φορά καταλήγουμε σε εξίσωση της μορφής α 0, της οποίας οι συντελεστές α και είναι συγκεκριμένοι αριθμοί και μπορούμε αμέσως να δούμε ποια από τις προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει. Δεν συμαίνει όμως το ίδιο, αν οι συντελεστές α και της εξίσωσης α 0 εκφράζονται με τη οήθεια γραμμάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι, η εξίσωση λέγεται παραμετρική και η εργασία που κάνουμε για την εύρεση του πλήθους των ριζών της λέγεται διερεύνηση. Για παράδειγμα η εξίσωση λ 1 λ10, λ έχει παράμετρο το λ και γράφεται ισοδύναμα λ 1 λ10 λ 1 λ 1 λ1λ1 λ 1 Επομένως Αν λ1και λ 1, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την λ 1 1 λ1 λ1 λ1 Αν λ 1, η εξίσωση γίνεται 0 και είναι αδύνατη. Αν λ 1, η εξίσωση γίνεται 0 0 και είναι ταυτότητα.

3 . 1 Εξισώσεις 1ου αθμού 57 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ένας ποδηλάτης πήγε από μια πόλη Α σε μία πόλη Β και επέστρεψε από τον ίδιο δρόμο. Στην μετάαση οδηγούσε με μέση ταχύτητα 5km/h και ξεκουράστηκε ενδιάμεσα 1 ώρα. Στην επιστροφή οδηγούσε με μέση ταχύτητα 0 km/h και δεν έκανε καμία στάση. Αν ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν 10 ώρες, να υπολογιστεί το μήκος της διαδρομής ΑΒ. ΛΥΣΗ Αν km είναι η απόσταση ΑΒ, τότε ο ποδηλάτης χρειάστηκε 5 ώρες για να πάει από το Α στο Β και ώρες για να επιστρέψει. Αφού ξεκουράστηκε και 1 ώρα, 0 ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν Επειδή ο χρόνος αυτός είναι 10 ώρες έχουμε την εξίσωση: Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε: Άρα το μήκος της διαδρομής είναι 100 km. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου αθμού Στην συνέχεια θα δούμε, με τη οήθεια παραδειγμάτων, πώς μπορούμε να επιλύσουμε εξισώσεις οι οποίες δεν είναι μεν εξισώσεις 1 ου αθμού, αλλά, με κατάλληλη διαδικασία, ανάγονται σε εξισώσεις 1ου αθμού. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Η εξίσωση αυτή ορίζεται για κάθε 1. Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε:

4 58. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ , αφού 1. Επομένως η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η εξίσωση 1 ΛΥΣΗ Από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών έχουμε: 1 1 ή 1 Όμως: ( ) 1. Επομένως η εξίσωση έχει δυο λύσεις, τους αριθμούς 4 και. ΣΧΟΛΙΟ Με τον ίδιο τρόπο λύνουμε κάθε εξίσωση της μορφής f ( ) g( ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Επειδή το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι μη αρνητικό, για να έχει λύση η εξίσωση αυτή πρέπει και το δεύτερο μέλος της να είναι μη αρνητικό. Δηλαδή, πρέπει: 0 (1) Με αυτόν τον περιορισμό, λόγω των ιδιοτήτων των απόλυτων τιμών, έχουμε:

5 . 1 Εξισώσεις 1ου αθμού 59 ή ή 1 ή 55 1 ή 1 Από τις παραπάνω λύσεις δεκτή είναι μόνο η 1, διότι μόνο αυτή ικανοποιεί τον περιορισμό (1). ΣΧΟΛΙΟ Με τον ίδιο τρόπο λύνουμε εξισώσεις της μορφής f ( ) g( ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) iii) ii) iv). Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) , 1,5 1,5 8, Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. i) λ 1 λ 1 ii) λ λ iii) λ λ 1 λ 1 iv) 1 λ λ λ λ 4. Στο διπλανό ορθογώνιο τραπέζιο να ρεθεί η θέση του σημείου Μ στην ΑΔ ώστε για τα εμαδά Ε ( ΜΔΓ), Ε ( ΜΑΒ) και Ε ( Μ ΒΓ) 1 ισχύει: i) Ε1 Ε Ε ii) Ε1 Ε 5. Από κεφάλαιο 4000 ένα μέρος του κατατέθηκε σε μια τράπεζα προς 5% και το υπόλοιπο σε μια άλλη τράπεζα προς %. Ύστερα από 1 χρόνο εισπράχθηκαν συνολικά 175 τόκοι. Ποιο ποσό τοκίστηκε προς 5% και ποιο προς %; να

6 60. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6. Να επιλυθούν οι παρακάτω τύποι ως προς την αναφερόμενη μεταλητή: i) v v0 αt, α 0 ως προς το t ii) (ως προς το R 1 ). R R R 1 7. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) 1 0 ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) 0 ii) Να λύσετε τις εξισώσεις 1 i) 1 1 ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) 1 iii) 4 iv) Να ρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους τέτοιους ώστε το άθροισμα τους να ισούται με το γινόμενο τους. 14. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 ii) 4 1 iii) 1 iv) 1.

7 . 1 Εξισώσεις 1ου αθμού Να λύσετε τις εξισώσεις 4 4 i), ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) 4 ii) 1 1 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: i) α αα ii) α α έχουν πάντα λύση, οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί α.,. Ποιοί περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α,, ώστε να έχει λύση η εξίσωση 1; α. Πόσο καθαρό οινόπνευμα πρέπει να προσθέσει ένας φαρμακοποιός σε 00ml διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 15%, για να πάρει διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας %; 4. Ένα αυτοκίνητο Α κινείται με 100km/h. Ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β που κινείται με 10km/h προσπερνάει το Α. Σε πόσα λεπτά τα δυο αυτοκίνητα θα απέχουν 1km; 5. Να λύσετε την εξίσωση α α α για όλες τις τιμές του α. 6. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση 1 5.

8 . Η ΕΞΙΣΩΣΗ v α Έστω η εξίσωση 8. Όπως αναφέραμε στον ορισμό της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού, η εξίσωση 8 έχει ακριώς μια θετική λύση, την 8. Η εξίσωση αυτή δεν έχει μη αρνητικές λύσεις, γιατί, για κάθε 0 ισχύει 0. Επομένως η εξίσωση 8 έχει ακριώς μια λύση, την 8. Γενικότερα: Η εξίσωση v ακριώς μια λύση την v α. Έστω η εξίσωση α, με α 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει Όπως και προηγουμένως η εξίσωση αυτή έχει ακριώς μια θετική λύση την Η εξίσωση αυτή όμως έχει ως λύση και την , αφού Επομένως η εξίσωση την Γενικότερα: 4 16 έχει ακριώς δύο λύσεις, την 4 16 και Η εξίσωση v ακριώς δύο λύσεις τις v α και α, με α 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει v α. Έστω η εξίσωση 8 Έχουμε διαδοχικά: Επομένως η εξίσωση αυτή έχει ακριώς μια λύση, την 8 Γενικότερα: Η εξίσωση v ακριώς μια λύση την v a. α, με α 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει Έστω η εξίσωση είναι αδύνατη. Γενικότερα: 4 4. Επειδή για κάθε ισχύει 4 0, η εξίσωση Η εξίσωση αδύνατη. v α, με α 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι

9 . Η εξίσωση ν =α 6 Από τα παραπάνω συμπεράσματα και από το γεγονός ότι η εξίσωση v v α, με ν, έχει προφανή λύση την α, προκύπτει ότι: v Αν ο ν περιττός, τότε η εξίσωση v α έχει μοναδική λύση, την α v v Αν ο ν άρτιος, τότε η εξίσωση α έχει δύο λύσεις, τις 1 α και α. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ ή 8 0 ή 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 15 0 ii). Να λύσετε τις εξισώσεις i) 15 0 ii). Να λύσετε τις εξισώσεις i) 64 0 ii) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 i) 8 0 ii) iii) iii) iii) 4 0 iii) Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο 81m και διαστάσεις, και. Να ρείτε τις διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου. 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 1 64 ii) 4 iii)

10 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α γ α 0, 0 Η λύση πολλών προλημάτων της Γεωμετρίας, της Φυσικής καθώς και άλλων επιστημών ανάγεται στην επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής: α γ0, με α 0 (1) η οποία λέγεται εξίσωση δευτέρου αθμού. 1 Για παράδειγμα, έστω ο τύπος S v0t γt, όπου S το διάστημα που διανύει κινητό σε χρόνο t, με αρχική ταχύτητα v 0 και επιτάχυνση γ. Αν θεωρή- σουμε ως άγνωστο τον χρόνο t, τότε προκύπτει η εξίσωση: γt v ts, η οποία είναι εξίσωση δευτέρου αθμού. Στη συνέχεια θα επιλύσουμε την εξίσωση δευτέρου αθμού στη γενική της μορφή με τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του τετραγώνου». Έχουμε: γ 0 0 [αφoύ 0 ] α α γ α α γ α α α γ α γ α 4α α 4α 4αγ α 4α Αν θέσουμε Δ 4αγ, τότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: Δ α 4α Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: Αν Δ 0, τότε έχουμε: Δ Δ ή α α α α ()

11 . Εξισώσεις ου αθμού 65 δηλαδή Δ Δ ή α α Επομένως η εξίσωση (), άρα και η ισοδύναμή της (1), έχει δύο λύσεις άνισες τις: Δ Δ 1 και α α Για συντομία οι λύσεις αυτές γράφονται 1, Δ. α Αν Δ 0, τότε η εξίσωση () γράφεται: 0 0 α α α =0 ή =0 α α ή α α Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την. α Αν Δ 0, τότε η εξίσωση (), άρα και η ισοδύναμή της (1), δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή είναι αδύνατη στο. Η αλγερική παράσταση αγ, από την τιμή της οποίας εξαρτάται το Δ 4 0, 0, ονομάζεται διακρί- πλήθος των ριζών της εξίσωσης νουσα αυτής. α γ α Τα παραπάνω συμπεράσματα συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: Δ 4 αγ Η εξίσωση α γ α 0, 0 Δ 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις 1, α Δ 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη α Δ Δ 0 Είναι αδύνατη στο. Για παράδειγμα

12 66. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η εξίσωση 1 0 έχει ρίζες τις 1 1 και. Η εξίσωση Δ 411 0, οπότε έχει δυο 44 0 έχει Δ , οπότε έχει μια δι- 4 πλή ρίζα την. 1 Η παραπάνω εξίσωση λύνεται σύντομα ως εξής: 440 ( ) 0 (διπλή ρίζα). Η εξίσωση 4 0 έχει πραγματικές ρίζες. έχει Δ 44 0, οπότε δεν Στην περίπτωση που η εξίσωση α γ α 1,, έχουμε: Δ Δ 1 και α α α α 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες Δ 4αγ Δ Δ 4αγ γ 1 α α 4α 4α 4α α Αν με S συμολίσουμε το άθροισμα 1 και με P το γινόμενο 1, τότε έχουμε τους τύπους: S και α που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. γ P α Η εξίσωση α γ 0, με την οήθεια των τύπων του Vieta, μετασχηματίζεται ως εξής: γ α γ 0 0 α α SP0 Η τελευταία μορφή της εξίσωσης α γ 0 μας δίνει τη δυνατότητα να την κατασκευάσουμε, όταν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της. Για παράδειγμα η εξίσωση με άθροισμα ριζών και γινόμενο είναι η 0

13 . Εξισώσεις ου αθμού 67 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 η Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Η διακρίvoυσα είναι Δ Επομένως η εξίσωση έχει δύο ρίζες τις 1, η Ένας ράχος ρίσκεται στην κορυφή της χαράδρας ενός ποταμού, η οποία έχει άθος 00m. Πόσος χρόνος απαιτείται μέχρι τη στιγμή, που ο ράχος θα αγγίξει το νερό του ποταμού, αν ο ράχος i) πέσει από την κορυφή; ii) εκσφενδονιστεί κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα 50 m/sec; Δίδεται ότι g 10 m/sec. ΛΥΣΗ i) Είναι γνωστό από την Φυσική ότι το διάστημα S που διανύει ένα σώμα στην 1 ελεύθερη πτώση σε χρόνο t sec είναι: S gt m Επειδή S 00m και g 10, έχουμε: sec t t t 60 t 60 t 7,75 Η αρνητική ρίζα δεν είναι αποδεκτή, διότι ο χρόνος στο συγκεκριμένο πρόλημα δεν μπορεί να είναι αρνητικός. Άρα t 7,75sec. ii) Όταν το σώμα έχει αρχική ταχύτητα v 0, το διάστημα που διανύει σε χρόνο t 1 sec είναι S v0t γ t. m Επειδή v0 50 και t 0 θα έχουμε: sec t t t 50 t 00 0 t 10t , 4 t 4, sec. Άρα, ο ζητούμενος χρόνος είναι περίπου 4, sec.

14 68. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΟ Κατά την επίλυση ενός προλήματος, όπως είδαμε και παραπάνω, δεν πρέπει να ξεχνάμε να ελέγχουμε, αν οι λύσεις που ρήκαμε είναι εύλογες. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου αθμού Στη συνέχεια θα δούμε, με τη οήθεια παραδειγμάτων, πώς μπορούμε να επιλύσουμε εξισώσεις οι οποίες δεν είναι μεν ου αθμού, αλλά, με κατάλληλη διαδικασία, ανάγονται σε εξισώσεις ου αθμού. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ο : Να λυθεί η εξίσωση 0. ΛΥΣΗ Επειδή Αν θέσουμε, η εξίσωση γράφεται: 0 ω, τότε η εξίσωση γίνεται ω ω 0. Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες τις ω1 και ω 1. Από αυτές δεκτή είναι μόνο η θετική, αφού ω 0. Επομένως, που σημαίνει ή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : Να λυθεί η εξίσωση: ΛΥΣΗ Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει 1 0 και 0, δηλαδή 0και 1. Με αυτούς τους περιορισμούς του έχουμε:

15 . Εξισώσεις ου αθμού 69 Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες 1 1 και. Από αυτές, λόγω του περιορισμού, δεκτή είναι μόνο η. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : Να λυθεί η εξίσωση: (1) ΛΥΣΗ Αν θέσουμε Η εξίσωση y η εξίσωση γίνεται: y 7y 4 0 y y () έχει ρίζες τις y1 4 και y Επειδή y 0, δεκτή είναι μόνο η y1 4. Επομένως, οι ρίζες της (1) είναι οι ρίζες της εξίσωσης και. 1 4, δηλαδή οι ΣΧΟΛΙΟ Η μέθοδος που ακολουθήσαμε στο παραπάνω παράδειγμα εφαρμόζεται και για την επίλυση κάθε εξίσωσης της μορφής: 4 α γ0, με α 0 Οι εξισώσεις της μορφής αυτής ονομάζονται διτετράγωνες εξισώσεις. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 0 ii) 69 0 iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 1, 69 0 ii) 0,5 0 iii) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες: λ λ 0, λ 0 α α 0, α 0. i) ii) 4. Να ρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες η εξίσωση μ μ μ 0, 0 έχει διπλή ρίζα.

16 70. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5. Αν α, να δείξετε ότι είναι αδύνατη στο η εξίσωση α α 0. Να εξετάσετε την περίπτωση που είναι α. 6. Να ρείτε την εξίσωση ου αθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς i) και. ii) 1 και 1 iii) 5 6 και Να ρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i) Άθροισμα και γινόμενο 15. ii) άθροισμα 9 και γινόμενο Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) Να λύσετε την εξίσωση α,. α a, για τις διάφορες τιμές των 10. Να ρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου με περίμετρο 68cm και διαγώνιο 6cm. 11. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) 5 0 iii) Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε τις εξισώσεις 1 1 i) 1 6 ii) Να λύσετε τις εξισώσεις 4 i) ii) iii)

17 . Εξισώσεις ου αθμού 71 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Δίνεται η εξίσωση 4 α α α α 10, με 0. i) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ 4α. ii) α 1 α 1 Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και. α a. Δίνεται η εξίσωση i) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ 1 ii) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και.. Να ρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση α α α έχει διπλή ρίζα Αν ο αριθμός ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης α γ 0, με αγ 0, να δείξετε ότι ο αριθμός 1 ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης γ α Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 1 i) α, α 0 α ii) α α, α α α, Δίνεται η εξίσωση λ 8 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. ii) Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τετράγωνο της άλλης, τότε να ρεθούν οι ρίζες και η τιμή του λ. 7. Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι που να είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 8. Η σημαία. του διπλανού σχήματος έχει διαστάσεις 4m και m αντιστοίχως. Να ρείτε πλάτος d του σταυρού, αν γνωρίζουμε ότι το εμαδόν του είναι ίσο με το εμαδόν του υπόλοιπου μέρους της σημαίας.

18 7. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 9. Μια κατασκευαστική εταιρεία διαθέτει δυο μηχανήματα Α και Β. Το μηχάνημα Β χρειάζεται 1 ώρες περισσότερο από ότι το μηχάνημα Α για να τελειώσει ένα συγκεκριμένο έργο. Ο χρόνος που απαιτείται για να τελειώσει το έργο, αν χρησιμοποιηθούν και τα δυο μηχανήματα μαζί είναι 8 ώρες. Να ρείτε το χρόνο που θα χρειαζόταν το κάθε μηχάνημα για να τελειώσει το έργο αυτό αν εργαζόταν μόνο του Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης 10 α 0 είναι ο αριθμός 1. Να ρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, και γ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ. 1. Η εξίσωση ( α 1) αα ( 1) έχει μοναδική λύση την α. Α Ψ. H εξίσωση 0. H εξίσωση 0 4. H εξίσωση 0 1 είναι αδύνατη. Α Ψ 1 έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ 1 έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ 5. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Α Ψ 6. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Α Ψ 7. Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης α γ 0 είναι ετερόσημοι, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. 8. Αν δύο εξισώσεις ου αθμού έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε οι συντελεστές των ίσων δυνάμεων του των εξισώσεων αυτών είναι ίσοι. Α Α Ψ Ψ 9. Η εξίσωση άνισες. 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και α α Α Ψ

19 . Εξισώσεις ου αθμού Η εξίσωση 4α 4α 0, με α 0, έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Α Ψ α α 0, με α 0, δεν έχει πραγματι- 11. Η εξίσωση κές ρίζες. Α Ψ 1. Η εξίσωση α α 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. Α Ψ 1. Η εξίσωση α 10 α και αντίστροφες πραγματικές ρίζες. 1, με α 0, 1 έχει δύο άνισες Α Ψ 14. Οι εξισώσεις ίδιες λύσεις. 0 1 και 0 έχουν τις Α Ψ Οι εξισώσεις 5 1 έχουν τις ίδιες λύσεις. και ( 1) 5( 1) Α Ψ 16. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που να έχουν άθροισμα S 10 και γινόμενο P Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που να έχουν άθροισμα S 10 και γινόμενο P 5. Α Α Ψ Ψ 18. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που να έχουν άθροισμα S και γινόμενο P. Α Ψ II. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς: 1. Η εξίσωση (1)( ) ( )( ) γράφεται ισοδύναμα: (1)( ) ( )( ) Όμως και ο αριθμός επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.. Η εξίσωση 1 γράφεται ισοδύναμα: 1 1 ή 1 1 ή 1. Όμως καμία από τις τιμές αυτές του δεν επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.

20 74. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Από τα αρχαία χρόνια οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν διάφορες τεχνικές για να λύσουν μια εξίσωση ου αθμού. Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποίησαν γεωμετρικές μεθόδους, ίσως λόγω των δυσκολιών που είχαν με τους άρρητους αριθμούς, αλλά και λόγω πρακτικών δυσκολιών που προέκυπταν από τα ελληνικά ψηφία. Οι Ινδοί και οι Άραες χρησιμοποίησαν μια μέθοδο όμοια με τη σημερινή διαδικασία «συμπλήρωσης τετραγώνου», περιγράφοντας όμως λεκτικά τον τρόπο εύρεσης των λύσεων. Αυτοί θεωρούσαν ως διαφορετικού τύπου κάθε μία από τις εξισώσεις p q, p q, p q. Σήμερα όμως γράφουμε τις εξισώσεις αυτές με τη γενική μορφή α γ 0 Ο σύγχρονος συμολισμός άρχισε να εμφανίζεται περί το 1500 µ.χ, και οι δυνατότητες χρησιμοποίησης αρνητικών ριζών και ακόμα μιγαδικών ριζών προτάθηκαν από τους Cardano και Girard. Η γεωμετρική παράσταση των αρνητικών ριζών από τον Descartes και των μιγαδικών αριθμών από τούς Wessel, Argand και Gauss έκαμε τους αριθμούς αυτούς περισσότερο αποδεκτούς ως ρίζες μιας δευτεροάθμιας εξίσωσης. Όμως η ποικιλία των επιλύσεων που αναπτύχθηκε τα αρχαία χρόνια μας ενέπνευσε να αναπτύξουμε μερικούς τρόπους εξαγωγής του τύπου 4αγ 1, α που δίνει τις ρίζες της γενικής εξίσωσης ου αθμού α γ 0, α 0. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τρεις μεθόδους επίλυσης μίας εξίσωσης ου αθμού. Μέθοδος των Ινδών Η επίλυση αυτή που επινοήθηκε στην Ινδία, αποδίδεται στον Sridhara (105 μ.χ. περίπου). Έχουμε διαδοχικά: α γ 0 α γ Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με 4α και ύστερα προσθέτουμε το και στα δύο μέλη, για να προκύψει ένα «τέλειο» τετράγωνο στο αριστερό μέλος. Δηλαδή

21 . Εξισώσεις ου αθμού 75 4α 4α 4αγ 4α 4α 4αγ α 4αγ α 4 αγ, εφόσον 4αγ 0. 4αγ Έτσι προκύπτει ότι: α Σχόλιο: Η απλότητα της μεθόδου των Ινδών χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το κλάσμα δεν εμφανίζεται. παρά μόνο στο τελευταίο ήμα. Μέθοδος του Vieta Η εξίσωση ου αθμού α γ 0, α 0 μπορεί να λυθεί ευκολότερα, αν δεν περιέχει τον πρωτοάθμιο όρο, πράγμα που μπορεί εύκολα να επιτευχθεί με την αντικατάσταση y (1) α Τότε η εξίσωση γίνεται: α y y γ 0 η οποία όταν απλοποιηθεί α α γίνεται: 4αγ αy 0. 4α 4αγ Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι y εφόσον 4αγ 0 α Για να ρούμε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης αντικαθιστούμε την παραπάνω τιμή του y στην (1) και έχουμε: Οπότε 4αγ y α α α 4αγ. α Σχόλιο: Η μέθοδος αυτή του Vieta είναι ενδιαφέρουσα, γιατί είναι ο προάγγελος της τεχνικής για την επίλυση της γενικής τριτοάθμιας καθώς και της διτετράγωνης εξίσωσης. Για παράδειγμα, το πρώτο ήμα στην επίλυση της εξίσωσης α γ δ 0, είναι η αντικατάσταση y που απαλ- α λάσσει την εξίσωση από το δευτεροάθμιο όρο.

22 76. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μέθοδος του Harriot Ο μαθηματικός Thomas Harriot ( ) εφάρμοσε τη μέθοδο της παραγοντοποίησης, για να ρει τις λύσεις μιας εξίσωσης ου αθμού, στο μεγάλο έργο του για την άλγερα «Artis Analytical Prais». Η τεχνική του είναι η εξής περίπου: Υποθέτουμε ότι 1 και είναι οι ρίζες της δευτεροάθμιας εξίσωσης α γ 0, α 0 (1). Σχηματίζουμε τώρα μία εξίσωση με ρίζες 1 και. Αυτή είναι η 1 0 ή,ισοδύναμα, η () Με διαίρεση των μελών της (1) με α 0, ρίσκουμε: γ 0 α α () Επειδή οι εξισώσεις () και () είναι ίδιες, οι αντίστοιχοι συντελεστές πρέπει να είναι ίσοι. Επομένως: γ 1 και 1 (4) α α σε συνδυασμό με την (4) δίνει Η ταυτότητα 4αγ 1, [εφόσον 4αγ 0] (5) α Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4) και (5) έχουμε: 4αγ 4αγ 1 και α α Σχόλιο: Είναι αρκετό να θεωρήσουμε μόνο τη θετική τετραγωνική ρίζα της (5). Η αρνητική ρίζα απλώς εναλλάσσει τη διάταξη των 1 και.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η. Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα