ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άσκηση. 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία: ι)διέρχεται από το σημείο Α(-2,1) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ 3, 2 ιι)διέρχεται από το σημείο Β(3,-4) και είναι κάθετη στο 4,2 διάνυσμα ΛΥΣΗ i)ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας είναι : 2 λ λ. Και επειδή διέρχεται από το σημείο Α(-2,1), η δ 3 εξίσωση της είναι : y-1= 2 3 x 2 1 ii) Επειδή ο συντελεστής της η είναι: λ η θα έχω 4 2 ότι λ=2 και επειδή διέρχεται από το Β(3,-4) η εξίσωση της θα είναι: y+4=2(x-3) y 2x 10 Άσκηση. 2 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3,-2) και: α)είναι παράλληλη προς το διάνυσμα =(2,-5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα =(0,3) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα =(2,0) δ)είναι κάθετη στο διάνυσμα =(2,1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα =(0,-2) στ)σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω=135 ο

2 ΛΥΣΗ Υποθέτουμε ότι (ε) είναι η ζητούμενη εφαπτομένη σε κάθε μια των περιπτώσεων α)θέλουμε να είναι: ε// > λ ε = => λ ε = => λ ε =- Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται και από το σημείο Α(3,-2),θα έχει εξίσωση: ε y-(-2)=- (x-3) => y+2=- x+ => 2y+4=-5x+15 => 5x+2y-11=0 β)επειδή x x => x x άρα ε x=3 γ)επειδή y y => y y άρα ε y=-2 δ)είναι λ δ = Θέλουμε να είναι: => λ ε* λ δ =-1 => λ ε =-2 Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται και από το σημείο Α(3,-2),θα έχει εξίσωση: ε y (-2) = -2(x-3) => y+2 = -2x +6 => 2x + y -4 =0 ε) Είναι : x x και επειδή θέλουμε να είναι : ε => ε y y Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται και από το σημείο Α(3,-2), θα έχει εξίσωση: ε y= -2 στ) Είναι λ ε =εφ135 ο => λ ε = -εφ45 ο => λ ε = -1 Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται και από το σημείο Α(3,-2), θα έχει εξίσωση: ε y (-2) = -1(χ-3)=> y+2= -x+3 => x+y-1 = 0 Άσκηση. 3 Να δείξετε ότι τα σημεία Α(2,1) συνευθειακά. Β(4,5) Γ(-1,-5) είναι

3 ΛΥΣΗ ( 5) Έχουμε λ ΑΒ 2 και ( 1) Έτσι έχουμε: //,, ά Άσκηση. 4 Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,4) Β(-5,2) και Γ(1,-2) Να βρείτε : 1)την εξίσωση της ευθείας που περιέχει τη διάμεσο ΑΔ. 2)Την εξίσωση της ευθείας που περιέχει το ύψος ΒΕ 3)Την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ ΛΥΣΗ 1)Το μέσο Δ της πλευράς ΒΓ έχει συντεταγμένες (-2,0) Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΔ είναι λ ΑΔ = και επειδή η ευθεία διέρχεται από το 3 ( 2) 5 σημείο Α(3,4) η εξίσωση της είναι: y-4= ( x 3) y x ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΓ είναι 4 ( 2) 1 λ ΑΓ = 3. Έπειδή ΒΕ ΑΓ έχουμε ότι λ ΒΕ = Και επειδή η ΒΕ διέρχεται από το σημείο Β(-5,2) η εξίσωση της είναι: y 2 ( x 5) y x )Το μέσο Ζ της πλευράς ΑΒ έχει συντεταγμένες (-1,3). Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι :

4 4 2 1 λ ΑΒ =. Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της 3 ( 5) 4 μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ είναι λ ε =-4. Και επειδή η ε διέρχεται από το Ζ(-1,3) η εξίσωση της είναι: y-3=-4(x+1). Άσκηση 5 Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: 2x-3y-12=0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο εμβαδόν ίσο με 12 τ.μ. Λύση Υποθέτουμε ότι (η) y=λx+β είναι εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Επειδή είναι (ε)//(η) => λ ε =λ η => λ η = Επομένως η y= x+β (1) Εύρεση των συντεταγμένων του Β Λύνουμε το σύστημα:.άρα Β(-,0) Εύρεση των συντεταγμένων του Α Λύνουμε το σύστημα:.άρα Α(0,β)

5 Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ (ΟΑΒ)= (ΟΑ) (ΟΒ) = β - = β 2 => β 2 = 12=> β 2 =16=> β= 4 Όμως (ΟΑΒ) =12 Αν β=4 τότε η (1) δίνει: η y= x+4 Αν β=-4 τότε η (1) δίνει: η y= x-4 ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άσκηση 6 Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(1,2) και οι εξισώσεις x-3y+1=0 και y-1=0 δύο διαμέσων του. Να βρείτε τις εξισώσεις των του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση Έστω ε 1 x-3y+1=0 και ε 2 y-1=0 Το Α ε 1, διότι: 1-3*2+1 0 Το Α ε 2, διότι: Συνεπώς οι διάμεσες που δίνονται είναι οι ΒΜ,ΓΛ Έστω Β(x 1,y 1 ) και Γ(x 2,y 2 ). Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου G(x 0,y 0 ). Λύνουμε το σύστημα:.άρα G(2,1) Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου K(x κ,y κ ). Επειδή είναι: =2 => (2-1,1-2)= 2(x k -2,y k -1) (1,-1)= (2x k -4,2y k -2)=>

6 =>.Άρα: Κ(, ) Επειδή το Λ(x λ,y λ ) είναι το μέσο της ΑΒ θα είναι: Επειδή το Μ(x μ,y μ ) είναι το μέσο της ΑΓ θα είναι: Επειδή το Κ(, ) είναι το μέσο της ΒΓ θα είναι: Έτσι έχουμε: Λ ε2 => yλ-1=0 => yλ=1 (7) Μ ε1 => xμ-3yμ+1=0 (3),(4) => =0 => x2-3y2-3=0 (8) Οι σχέσεις (7) και (2) δίνουν: =1=> y1+2 =2=> y1=0 (9) Οι σχέσεις (9) και (6) δίνουν: y1+y2=1 =>0+y2=1 (10) Οι σχέσεις (8) και (10) δίνουν: x2-3y2-3=0 => x2-3*1-3=0 => x2=6 (11)

7 Οι σχέσεις (11) και (5) δίνουν: x1+x2=5 => x1+6=5 =>x1=-1 (12) Επομένως: Β(-1,0) και Γ(6,1) Για την εξίσωση της ΑΒ με Α(1,2) και Β(-1,0) Είναι: λαβ= =1 Άρα: ΑΒ y-0=1(x+1)=> x-y+1=0 Για την εξίσωση της ΑΓ με Α(1,2) και Γ(6,1) Είναι: λαγ= =- Άρα: ΑΓ y-2= - (x-1) => 5y-10=-x+1=> x+5y-11=0 Για την εξίσωση της ΒΓ με Β(-1,0) και Γ(6,1) 1 0 Είναι: λβγ= 6 ( 1) = Άρα: ΒΓ y-0= (x+1)=> 7y=x+1=> x-7y+1=0 Άσκηση 7 Δίνονται τα σημεία Α(2,1), Β(6,4) και Γ(,6) Α) Να δειχθεί ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή. Β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Γ) Να βρεθούν οι συντταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ

8 Λύση Α) Είναι λαβ= και λβγ= = =- Ισχύει λοιπόν: λαβ*λβγ= *(- )= -1=> ΑΒ ΒΓ => ΑΒΓ=90 ο Β) Αν Κ είναι το μέσο της ΑΓ, τότε: Κ(, ) δηλ. Κ(, ) Οπότε αν Δ(xΔ,yΔ), θα έχουμε: Άρα: Δ( Γ) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ έχει κέντρο το μέσο του ΑΓ δηλαδή το Κ. Σημείωση Για τις συντεταγμένες του Δ, θεωρήστε και την σχέση: κ.λ.π Άσκηση 8 Δίνονται οι ευθείες ε 1 :y=2x-3 και ε 2 =y=-x+2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία τέμνει τις ε 1 και ε 2 στα σημεία Α και Β αντιστοίχως και το Μ (3,1) είναι το μέσο του ΑΒ. ΛΥΣΗ Έστω α η τετμημένη ενός σημείου Α της ευθείας ε 1, οπότε η τεταγμένη του Α είναι y=2α-3 και άρα Α(α,2α-3). Ομοίως αν β η τετμημένη ενός σημείου Β της ευθείας ε 2,οπότε :

9 Β(β,-β+2). Το σημείο Μ(3,1) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ αν και μόνο αν α β 3 2 α=3 και β= Έτσι έχουμε Α(3,3) και Β(3,-1). Επειδή τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη 3, η ζητούμενη ευθεία ΑΒ είναι κατακόρυφη και η εξίσωση της είναι η χ=3. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα χ χ Σ Λ 2.Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(χ 1,y 1 ) και Β(χ 1,y 2 ) έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν Σ Λ 3.Οι ευθείες k y x 1 και y x 2 είναι 3 παράλληλες. Τότε ισχύει κ=3λ. Σ Λ 4.Οι ευθείες y=2 και y=2x είναι παράλληλες Σ Λ 5. Τα σημεία Α(κ,α),Β(λ,α),Γ(μ,α) είναι συνευθειακά Σ Λ 6.Τα σημεία Α(α+β,γ),Β(β+γ,α) Γ(γ+α,β) είναι συνευθειακά αν a Σ Λ 7.Δίνονται τα σημεία Α(-3,-1),Β(2,2) Γ(-3,4) Δ(3,-6).Η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη προς την ΓΔ Σ Λ 8.Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο (1,1) και σχηματίζει με το χ χ γωνία είναι χ+y=0 Σ Λ 9.Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωση της είναι της μορφής χ=χ 0 Σ Λ y 10.Η ευθεία 1 με, 0 τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(α,0) και Β(0,β) Σ Λ

10 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα χ χ η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: i)α(-4, 3-1) και Β(5,4 3-1) ii)γ(-4,-3) και Δ(2,-3) iii)ε(-2,-5) και Ζ(-2,-7) 2.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(3,-2) και από το σήμειο τομής Μ των ευθειών ε1: 3x+2y-3=0 και ε2: 2x-y+5=0 και είναι κάθετη στην ευθεία ε3: 3x+2y-7=0. 3.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας,η οποία : i)διέρχεται από το σημείο Α(-1,3) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=-2. ii)διέρχεται από το σημείο Β(0,5) και σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας,η οποία : i)διέρχεται από τα σημεία :Α(-3,5) και Β(-3,-10) ii)διέρχεται από τα σημεία : Γ(1,-3) και Δ(5,-1) 5.Έστω η εξίσωση: x α+yσυν 2 α+συν2α=0 (1). Να δείξετε ότι: Α) για κάθε α R η εξίσωση (1) παριστάνει μια ευθεία. Β) οι ευθείες (1) διέρχονται από ένα σταθερό σημείο 6.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας,η οποία: i)διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) και είναι παράλληλη στην ευθεία ε:y=3x-7 ii)διέρχεται από το σημείο Β(-4,1) και είναι κάθετη στην 1 ευθεία ε : y=

11 7.Να βρείτε τους αριθμούς α R για τους οποίους οι ευθείες ε1: x-2y-3=0, ε2: 2x+3y+1=0, ε3: 5x+4y+α 2-2α=0 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 8.Έστω η εξίσωση: x α+yσυν 2 α+συν2α=0 (1). Να δείξετε ότι: Α) για κάθε α R η εξίσωση (1) παριστάνει μια ευθεία. Β) οι ευθείες (1) διέρχονται από ένα σταθερό σημείο 9.Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά τα σημεία : Α(2,1) Β(4,5) και Γ(-1,-5) 10.Να βρεθεί η μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ όπου Α(6,0) και Β(10,2). 11.Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(4,3) Β(2,5) Γ(2,-1). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται: i)η πλευρά ΑΓ ii)η πλευρά ΒΓ iii)το ύψος ΒΔ iv)το ύψος ΑΚ v)η διάμεσος ΓΜ 12.Αν Α(2,1) και ε:y=x-5,να βρείτε : i) την προβολή Β του Α στην ε, ii)το συμμετρικό Α του Α ως προς ε. 13.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3).Αν ε 1 :y= 1 2 και ε 2 : y=1 οι εξισώσεις των δύο διαμέσων του τριγώνου,να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του

12 14.Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ του οποίου οι δύο πλευρές έχουν εξισώσεις ε 1 : y=χ+1 και ε 2 : y=-χ+2.αν η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (1,3),να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του και της διαγωνίου του ΑΓ. 15.Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Σ(1,3) και σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 16.Η κορυφή Β ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (3,1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται η πλευρά ΑΓ και η 1 διάμεσος ΑΜ έχουν εξισώσεις y=-2x+7 και y= 3 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(4,4) και Β(10,5).Αν η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η διχοτόμος ΑΔ έχει εξίσωση y=x, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΓ. 18.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας ε που έχει τετμημένη επί την αρχή -2 και είναι παράλληλη προς την ευθεία 1. 2 ε 1 : y= - ( 1) 19.Δίνονται οι ευθείες ε 1 :y=2χ-3 και ε 2 :y=-χ+2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία τέμνει τις ε 1 και ε 2 στα σημεία Α και Β,αντιστοίχως και το σημείο Μ(3,1) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 20.Θεωρούμε τα σημεία Α(4,2) και Β(3,-5) και την ευθεία ε:y=-7x+23. Να βρείτε τα σημεία Μ της ευθείας ε, για τα οποία το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ορθογώνιο στο Μ

13 21.Θεωρούμε τις ευθείες ε:y= 2 1 χ-5 και ε 1 :y=3χ-5. Να βρείτε την εξίσωση της συμμετρικής ευθείας ε της ε ως προς την ε Να βρείτε τις συντεταγμένες του ορθόκεντρου Η του τριγώνου ΑΒΓ με : Α(1,0),Β(2,-4) και Γ(-5,-2). 23.Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ(-1,4),τέμνουν τους άξονες χ χ και y y στα σημεία Α και Β,αντιστοίχως,και το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β είναι ίσο με Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,5).Η διάμεσος του 2 1 ΒΜ ανήκει στην ευθεία ε 1 :y= και η διάμεσος του ΓΝ ανήκει στην ευθεία ε 2 :y=-χ+2.να βρείτε τις συντεταγμένες των δύο άλλων κορυφών του τριγώνου αυτού Θεώρουμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,3).Το ύψος του ΒΔ 1 2 ανήκει στην ευθεία ε 1 :y= 1 και η διάμεσος του ΓΜ ανήκει στην ευθεία ε 2 :y=-3χ+5.να βρείτε τις συντεταγμένες των δύο άλλων κορυφών του τριγώνου αυτού. 26.Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών με συντελεστή διεύθυνσης - 2 3, οι οποίες σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 12 (τετραγωνικές μονάδες). 27.Οι ευθείες ε 1 :y=-χ+5 και ε 2 :y=-3x+9 τέμνονται σε ένα σημείο Κ.Η ε 1 τέμνει τους άξονες χ χ και y y στα σημεία Α

14 και Β και η ε 2 τους τέμνει στα Γ και Δ,αντιστοίχως.Να δείξετε ότι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΔ,ΒΓ,ΟΚ είναι συνευθειακά. 28.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6,0),Β(4,-3) και ορθόκεντρο Η(5,-1).Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Γ

15 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 1.Έστω η εξίσωση: (3λ+2) x +(λ-1)y (λ+4)=0 i)να δείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση παριστάνει μία ευθεία,την οποία συμβολίζουμε με ε λ. ii) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες ε λ διέρχονται από ένα σταθερό σημείο, το οποίο να βρείτε. iii)από τις ευθείες ε λ να βρείτε εκείνη, η οποία είναι παράλληλη στην ζ:4x-2y+7=0 ΛΥΣΗ i)η εξίσωση είναι της μορφής Αx+Βy+Γ=0 όπου Α=3λ+2, Β=λ-1 και Γ=-(λ+4). Έστω ότι για κάθε λ, ισχύουν : A 0 B λ=, λ=1 1, άτοπο 3 3 Άρα για κάθε λ έχουμε Α 0 και Β 0. Συνεπώς για κάθε λ η εξίσωση παριστάνει μία ευθεία. ii)πρώτος τρόπος:για κάθε λ, έχουμε: 3λx+2x+λy-y-λ-4=0 (3x+y-1)λ+(2χ-y-4)=0. (2)

16 Εξετάζουμε αν υπάρχει σημείο (χ 0,y 0 ) του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν τη (2) για κάθε λ, δηλαδή τέτοιο ώστε να ισχύει (3x 0 +y 0-1)λ+(2x 0 -y 0-4)=0 Πρέπει και αρκεί: 3x 0 +y 0-1=0 2x 0 -y 0-4=0 x 0 =1, y 0 =-2 Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο (1,-2). Δεύτερος τρόπος:θεωρούμε δύο ευθείες ε 0 :2x-y-4=0 (λ=0) ε 1 :5x-5=0 (λ=1) Λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι: χ=1,y=-2.η λύση αυτή είναι και λύση της εξίσωσης για κάθε λ. iii)η ευθεία ζ είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ (2,4). Επίσης η ευθεία ε λ είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ λ ( 1, 3 2). Έτσι έχουμε ζ//ε λ // (-3λ-2)-4(λ-1)=0 0 Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι 2x-y-4=0. Άσκηση 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2y 2-3xy-2x 2 =0, παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; Λύση

17 Η εξίσωση 2y 2-3xy-2x 2 =0, θεωρείται εξίσωση είτε ως προς x είτε ως προς y. Αν π.χ. την θεωρήσουμε εξίσωση ως προς y, τότε η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: Δ=(-3x) 2-4*2*(-2x 2 )= 9x 2 +16x 2 =25x 2, και επομένως οι ρίζες θα είναι: y= Οι σχέσεις (1) και (2) παριστάνουν 2 ευθείες Έστω ε1 y=2x. Τότε λε1=2 ε2 y= -. Τότε λε2= - Παρατηρούμε ότι λε1*λε2= 2 = -1, άρα οι ευθείες τέμνονται κάθετα. Άσκηση 3 Να βρείτε το γ.τ των σημείων Μ(2λ-1,λ+1) όταν το λ διατρέχει το. ΛΥΣΗ Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στο ζητούμενο γ.τ αν και μόνο αν υπάρχει λ με χ=2λ-1 λ=y-1 y=λ+1 χ=2λ-1 προς τούτο πρέπει και αρκει : χ=2(y-1)-1 x-2y+3=0. Άσκηση 4 Θεωρούμε τις ευθείες ε: αx+βy+γ=0, ε1:αx-βy+γ=0, ε2:αx-βy-γ=0 και ε3:αx+βy-γ=0 (α,β,γ 0). Να αποδείξετε ότι:

18 Α) η ε1 είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον x x Β) η ε2 είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον y y Γ) η ε3 είναι συμμετρική ως προς άξονα συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Λύση Α) Για να είναι η ευθεία ε1 συμμετρική της ε ως προς άξονα x x πρέπει: Για τυχαίο σημείο Μ(x,y) της ε1, το συμμετρικό του ως προς άξονα x x, δηλάδή: Μ (x,-y) να ανήκει στην (ε). Έστω λοιπόν Μ(x,y) σημείο της ε1, τότε: αx-βy+γ=0 (1) Εξετάζουμε να δούμε αν το Μ είναι σημείο της (ε). Έχουμε: αx+β(-y)+γ=0 ή αx-βy+γ=0 που ισχύει, λόγω της (1) Άρα το Μ είναι σημείο της (ε). Β) Για να είναι η ευθεία ε2 συμμετρική της ε ως προς τον άξονα y y πρέπει: Για τυχαίο σημείο Μ(x,y) της ε2, το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y y, δηλαδή; Μ (-x,y) να ανήκει στην (ε). Έστω λοιπόν Μ(x,y) σημείο της ε2, τότε: αx-βy-γ=0 (2) Εξετάζουμε να δούμε αν το Μ είναι σημείο της (ε). Έχουμε: α(-x) +βy+γ=0 ή αx-βy-γ=0 που ισχύει, λόγω της (2) Άρα το Μ είναι σημείο της (ε). Γ) Για να είναι η ευθεία ε3 συμμετρική της (ε) ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0) πρέπει: Για τυχαίο σημείο Μ(x,y) της ε3, το συμμετρικό του ως προς το Ο(0,0), δηλαδή το Ν(-x,-y) να ανήκει στην (ε). Έστω λοιπόν Μ(x,y) σημείο της ε3, τότε: αx+βy-γ=0 (3) Εξετάζουμε να δούμε αν το Ν είναι σημείο της (ε). Έχουμε:

19 α(-x)+β(-y)+γ=0 ή αx-βy-γ=0 ή αx+βy-γ=0 που ισχύει, λόγω της (1) άρα το Ν είναι σημείο της (ε). Άσκηση 5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(λ-1, 2λ+3), λ R. Λύση Έστω Μ(α,β) οι συντεταγμένες του σημείου Μ. τότε θα πρέπει: 2x+2=y-3 2x-y+5=0 Συνεπώς το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία (η) με εξίσωση: η 2x-y+5=0 Άσκηση 6 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x 2 -y 2-4λy-2λχ-3λ 2 =0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο αυτών ευθειών. Λύση Η δοσμένη εξίσωση γράφεται διαδοχικά: x 2 -y 2-4λy-2λx-3λ 2 =0=> (x 2-2λx+λ 2 )-(y 2-4λy+4λ 2 )=0=> (x-λ 2 )-(y+2λ) 2 => (x-λ+y+2λ)(x-λ-y-2λ)=0=> (x+y+λ)(x-y-3λ)=0. Άρα: x+y+λ=0 (1) ή x-y-3λ=0 (2) Οι εξισώσεις (1) και (2) παριστάνουν ευθείες

20 Αν υποθέσουμε ότι Κ(α,β) είναι το κοινό σημείο των παραπάνω ευθειών, τότε: 2α+β= 0 Επομένως το σημείο Κ ανήκει στην ευθεία (η) με εξίσωση: 2x+y=0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ 1.Η εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 με Α 0 παριστάνει πάντα ευθεία Σ Λ 2.Στην ευθεία Αχ+Βy+Γ=0 δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Τότε Β=0. Σ Λ 3.Το διάνυσμα 2,1 είναι κάθετο στην ευθεία χ+y+2=0 Σ Λ 4. Η ευθεία με εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 είναι κάθετη στο διάνυσμα,. Σ Λ 5.Δύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσματα 1, και 2, αντίστοιχα είναι μεταξύ τους κάθετες Σ Λ 6.Η ευθεία y=k 2 x+1 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα χ χ για κάθε κ 0. Σ Λ 7.Αν οι ευθείες (μ+1)χ-y=0 και 3χ+y-7=0 είναι παράλληλες,τότε μ=2. Σ Λ 8.Η εξίσωση χy=x παριστάνει μια μόνο ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου Σ Λ 9.Όλες οι ευθείες της οικογένειας ευθειών: (χ+y+1)+λ(3χ-2y-4)=0 περνούν από το σημείο (2,1) Σ Λ 10.Η εξίσωση y-2=λ(x-3), παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(3,2) Σ Λ

21 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2y 2-3xy -2x 2 =0 παριστάνει ζεύγος δύο κάθετων μεταξύ τους ευθειών,οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 2.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 2 y 2-4λy -2λx -3λ 2 =0 παριστάνει δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες και ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή (ανεξάρτητη του λ) ευθεία καθώς το λ μεταβάλλεται. 3.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που έχει τετμημένη επί την αρχή -2 και είναι παράλληλη προς την ευθεία 1. 2 ε 1 :y=- ( 1) 4.Να αποδείξετε ότι για κάθε λ, η εξίσωση x+2y -5 +λ(x-3y)=0 παριστάνει ευθεία,η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο. 5.Δίνονται οι ευθείες ε 1 :λχ+(λ-1)y-1=0 και ε 2 :4χ+λy+λ+2=0. Να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει : α)ε 1 //ε 2 β)ε 1 ε 2 6.Θεωρούμε τις ευθείες με εξισώσεις: (ε 1 ):αχ+βy=1 και (ε 2 ):2βχ+(α-β)y=-2 α,β a 0, i)βρείτε τη σχέση μεταξύ των α,β ώστε οι ευθείες να είναι παράληλες ii)βρείτε σχέση μεταξύ των α,β ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται. iii)στη περίπτωση που τέμνονται οι ευθείες να βρείτε το σημειο τομής και να αποδείξετε ότι κινείται σε σταθερή ευθεία

22 7.Να αποδείξετε ότι για κάθε λ οι ευθείες ε 1 :λχ+(2λ+1)y=λ-1 και ε 2 : (λ-1)χ+(2λ-1)y=λ έχουν μοναδικό κοινό σημείο Μ.Ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος του Μ,όταν το λ μεταβάλλεται; 8.Να βρεθεί η οξεία γωνία θ που σχηματίζουν μεταξύ τους οι ευθείες ε 1 :- 3 χ+y+2=0 και ε 2 :-χ+ 3 y-1 =0. 9.Δίνονται οι ευθείες ε 1 :χ-y+1=0 και ε 2 :χ-y+5=0 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ε 1 και ε Δίνεται η εξίσωση (x-3y+6)+λ(2χ-y+4)=0 Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή.στη συνέχεια να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται διέρχονται από το ίδιο σημείο. 11.Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Μ(1,3) ως προς την ευθεία ε:χ-2y+3=0. 12.Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων,τέμνουν τις ευθείες ε 1 :χ-y-1=0 και ε 2 :χ-y-3=0 στα σημεία Α και Β,αντιστοίχως,και ισχύει (ΑΒ)=2. 13.Να βρείτε την οξεία γωνία ω που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 :χ+7y-5=0 και ε 2 :3χ-4y+10=

23 2 Π.14.Α)Να δείξετε ότι η εξίσωση x 4x y xy 3 0 παριστάνει δύο ευθείες ε 1 και ε 2. Β)Να βρεθεί η οξεία γωνία των ε 1 και ε 2. Π.15.Δίνεται η εξίσωση (α+1)χ+(2α-1)y+(2α-7)=0,α και το σημείο Α(2,-4) Να αποδείξετε ότι: α)η εξίσωση για κάθε α παριστάνει ευθεία. β)όλες οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ. γ)ποια από τις ευθείες είναι παράλληλη στον χ χ δ)να βρείτε την εξίσωση της ΑΡ. ε)ποια από τις ευθείες που διέρχονται από το Ρ είναι κάθετη στην ΑΡ. Π.16.Δίνεται η ευθεία ε:x+y=2 και το σημείο Α(-3,1). Να βρείτε i)την εξίσωση της ευθείας (ζ) η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). ii)το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (ζ). iii)το συμμετρικό Β του σημείου Α ως προς την ευθεία (ε

24 ΕΜΒΑΔΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Θεωρούμε τα σημεία Α(-3,1) και Β(-1,-1). Να βρείτε το γ.τ των σημείων Μ του επιπέδου,για τα οποία το εμβαδό του τριγώνου ΑΜΒ είναι 7 (τετραγωνικές μονάδες) ΛΥΣΗ Έστω ένα σημείο Μ(x,y). Έχουμε AM ( x 3, y 1) και AB (2,2) Το σημείο Μ ανήκει στο ζητούμενο γ.τ αν και μόνο αν : (ΑΜΒ)=7 1 det(αμ, ) 2 x y ( 3) 2( y 1) ( x y 2 7 ή x y 2 7) ( x y 5 0 ή x+y+9=0) 7 Άσκηση 2 Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε:x-y=0,των οποίων η απόσταση από την ευθεία ε :4x-3y-2=0 είναι

25 ΛΥΣΗ Έστω Μ(α,β) ένα σημείο της ευθείας ε,οπότε α-β=0, δηλαδή β=α και άρα Μ(α,α). Το σημείο Μ(α,α) είναι το ζητούμενο αν, και μόνο αν : 4α-3α-2 dm (,ε ) ( 3) ( 12 ή 8) Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι:μ 1 (12,12) και Μ 2 (-8,-8) Άσκηση 3 Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία ε:3x-4y-2=0 και η απόσταση τους από την ε είναι 2. ΛΥΣΗ Έχουμε λ ε = 4 3. Άρα, κάθε ευθεία η//ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης 4 3 και συνεπώς θα έχει μία εξίσωση της μορφής 3 y x k 4 Βρίσκω ένα σημείο της η. Για χ=0 βρίσκω y=κ.άρα το σημείο Μ(0,κ) ανήκει στην (η). Η ευθεία η είναι η ζητούμενη ευθεία αν και μόνο αν: κ0-2 d(η,ε) 2 d(m,ε) ή 3. Οπότε έχω την εξίσωση: με κ=2, βρίσκω 3 y x

26 με κ=-3 βρίσκω 3 y x 3 4 Άσκηση 4 Θεωρούμε τα σημεία Α(2,-1) και Β(-2,3). Να βρείτε τα σημεία Μ της ευθείας ε:2x+y-7=0, για τα οποία το εμβαδό του τριγώνου ΜΑΒ είναι 12(τετραγωνικές μονάδες). ΛΥΣΗ Έστω Μ(x,y) ένα σημείο της ευθείας ε,οπότε :2x+y-7=0. Έχουμε : AB ( 4,4) και AM ( x 2, y 1). Έτσι, έχουμε: (ΜΑΒ)= 2 x 2 y 1 2 x y 1 Άρα το σημείο Μ(x,y) είναι ζητούμενο αν και μόνο αν : 2x+y-7=0 2x+y=7 2x+y=7 2x+y=7 2 x y 1 12 x y 1 6 x+y-1=6 x+y-1=-6 x=0 y=7 x=12 y=-17 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι : Μ 1 (0,7) και Μ 2 (12,-17) Άσκηση 5 Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών ε 1 :5x+12y-1=0 και ε 2 :5x+12y+15=0-71 -

27 ΛΥΣΗ Α τρόπος : Η μεσοπαράλληλη ζ δύο παράλληλων ευθειών ε 1,ε 2 είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ τα οποία ισαπέχουν από τις ε 1 και ε 2. Για ένα οποιοδήποτε σημείο Μ(x,y) του επιπέδου ισχύουν οι ισοδυναμίες: 5x 12y 1 5x 12y 15 d(μ,ε 1 )=d(m,ε 2 ) x 12y 1 5x 12y 15 5x 12y 1 (5x 12y 15) 5x+12y-1=5x+12y+15 (αδύνατη) ή 5x+12y-1=-5x-12y-15 5x+12y+7=0 B τρόπος: Επίλέγουμε ένα τυχαίο σημείο της ε 1 και ένα 1 τυχαίο σημείο της ε 2, για παράδειγμα έστω Α(,0) της ε 1 και 2 Β(-3,0) της ε 2. Βρίσκουμε το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ και 7 έχουμε Μ(,0). Ο συντελεστής διεύθυνσης καθεμιάς από τις 5 5 ε 1,ε 2 είναι λ=, οπότε και η μεσοπαράλληλός τους ζ θα 12 έχει τον ίδιο συντελεστή και επειδή διέρχεται από το Μ η εξίσωση θα είναι: 5 7 y 0 ( x ) άρα 5x+12y+7= Άσκηση 6 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: Α) ε1: 3x-y+1=0 και ε2: -6x+2y-3=0 Β) ε1: x=4 και ε2:x=-6 Γ) ε1: y=x και ε2:y=x

28 Λύση Έστω ε1 Α1x+B1y+Γ1=0 (1) ε2 Α1x+B1y+Γ2=0 (2) δύο παράλληλες ευθείες. Η μεσοπαράλληλη θα έχει εξίσωση: ε Α1x+B1y+Γ3=0 (3) αρκεί λοιπόν να βρούμε το Γ3. Ένα σημείο της ευθείας ε1 είναι το Κ(,0) Ένα σημείο της ευθείας ε2 είναι το Λ(,0) Τότε το σημείο Μ,0)=(-,0) θα είναι σημείο της (ε), και, άρα: ( )+Β1*0+Γ3=0 => = Η εξίσωση της μεσοπαράλληλης θα είναι: ε x+ y+ =0 Εφαρμογές Α) έστω ε1 3x-y+1=0 ε2-6x+2y-3=0 Οι ευθείες είναι παράλληλες, διότι: λε1=λε2=3 Ένα σημείο της ευθείας ε1 είναι το Κ(, 0) Ένα σημείο της ευθείας ε2 είναι το Λ(, 0) Τότε το σημείο Μ(, 0)= (, 0) θα είναι σημείο της (ε), και, άρα: ε y-0=3(x+ )=> y=3x

29 Β) έστω ε1 x=4 ε2 x=-6 Οι ευθείες είναι παράλληλες, διότι είναι κάθετες πάνω στον άξονα x x. Ένα σημείο της ευθείας ε1 είναι το Κ(4,0) Ένα σημείο της ευθείας ε2 είναι το Λ(-6,0) Τότε το σημείο Μ(,0)=(-1,0) θα είναι σημείο της (ε), και, άρα: ε x=-1 Γ) Έστω ε1 y=x ε2 y=x-3 Οι ευθείες είναι παράλληλες, διότι λε1=λε2=1 Ένα σημείο της ευθείας ε1 είναι το Κ(0,0) Ένα σημείο της ευθείας ε2 είναι το Λ(3,0) Τότε το σημείο Μ(,0)=(,0) θα είναι σημείο της (ε), και, άρα: ε y-0=1(x- )=> y=x Άσκηση 7 Ένα σημείο Ρ του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία y=x. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο Ρ του Ρ ως προς την ευθεία x+2y-1=0 κινείται πάνω στην ευθεία 7x-y-2=0. Λύση Υποθέτουμε ότι: ε1 y=x (1) ε2 7x-y-2=0 (2)

30 ε x+2y-1=0 (3) Εστω Ρ(α,β) σημείο της ευθείας ε1. Τότε θα ισχύει: Β=α Θα βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Ρ και θα αποδείξουμε ότι επαληθεύουν την εξίσωση: Εύρεση της εξίσωσης της ΡΡ. Είναι: ΡΡ (ε)=> λρρ λε= -1 λ ε = - => λρρ ( )=-1 => λρρ =2 Επειδή η ΡΡ περνά από το σημείο Ρ(α,β) θα έχει εξίσωση: ΡΡ y-β=2(x-α) (4) => y=2x-α Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου Κ Το σημείο Κ είναι κοινό σημείο των ΡΡ και (ε) και συνεπώς οι συντεταγμένες του Κ βρίσκονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων: Άρα : Κ(, ) Αν Ρ (x1,y1), θα πρέπει να ισχύει: β=α Τότε όμως είναι : 7 = =0 (αληθής) Επομένως το σημείο Ρ είναι σημείο της ε2. Άσκηση 8 Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π1,Π2 είναι Π1(τ-1,τ+2) και Π2(3τ,3τ-1) για κάθε χρονική στιγμή τ(τ>0). Α) να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία

31 Β) να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του τα που τα δύο πλοία να συναντηθούν. Γ) να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή τα=3. Λύση Α) για το πλοίο Π1 Αν τ-1=x1 και τ+2=y1 είναι οι συντεταγμένες του πλοίου για τ>0, τότε: => => Άρα το πλοίο κινείται πάνω στην ευθεία ε1 x-y+3=0 (1) Για το πλοίο Π2 Αν 3τ= και 3τ-1= είναι οι συντεταγμένες του πλοίου για τ>0, τότε: x2=y2+1=> x2-y2-1=0 άρα το πλοίο κινείται πάνω στην ευθεία ε2 x-y-1=0 (2) Β) επειδή είναι λε1=λε2=>ε1//ε2. Δηλαδή τα πλοία κινούνται σε παράλληλες ευθείες, συνεπώς δεν θα συναντηθούν. Γ) για τ=3 το πλοίο Π1 βρίσκεται στην θέση: Α(2,5) Για τ=3 το πλοίο Π2 βρίσκεται στην θέση: Β(9,8) Η απόσταση των πλοίων θα είναι: d(α,β)= μ.μ

32 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Η απόσταση των παράλληλων ευθειών y=x και y=x+1 είναι 1. Σ Λ 2.Το εμβαδό του τριγώνου που ορίζεται από την ευθεία 2x+5y=10 και τους άξονες χ χ και y y είναι 5 Σ Λ 3.Η εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ε :χ+3=0 και περνά από το σημείο (3,2) είναι y=3. Σ Λ 4.Η εξίσωση της ευθείας Αχ+Βy+Γ=0 μπορεί να γραφεί υπό την μορφή v 0,όπου (, ) και v x y,. Σ Λ 5.Οι ευθείες Α 1 χ+β 1 y+γ 1 =0 και Α 2 χ+β 2 y+γ 2 =0 είναι κάθετες.τότε ισχύει Α 1 Α 2 =Β 1 Β 2. Σ Λ 6.Για την απόσταση d(α,ε) του σημείου Α από την ευθεία ε ισχύει d=0.το σημείο Α ανήκει στην ε. Σ Λ 7.Η εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 παριστάνει ευθεία για κάθε Α,Β. Σ Λ

33 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΑΒΓΔ,όπου Α(0,2), Β(2,5),Γ(4,-1) και Δ(3,-6). 2.Να δείξετε ότι οι αποστάσεις ενός οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε:7χ+4y=16 από τις ευθείες ε 1 :3χ-4y-4=0 και ε 2 :5χ-12y-4=0 είναι ίσες. 3.Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε:χ-y=0, των οποίων η απόσταση από την ευθεία ε :4χ-3y-2=0 είναι 2. 4.Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(-1,-2) και των οποίων η απόσταση η απόσταση από το σημείο Μ(3,-5) είναι 4. 5.Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 :3χ+4y-7=0 και ε 2 :5χ-12y+7=0. 6.Θεωρούμε τις ευθείες ε 1 :χ+μy+1=0 και ε 2 :2μχ+2y+λ=0 όπου λ,μ.να βρείτε τους αριθμούς λ και μ,για τους οποίους οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες και η μεταξύ τους απόσταση είναι Θεωρούμε τα σημεία Α(2,-1) και Α(-2,-3).Να βρείτε τα σημεία Μ της ευθείας ε:2χ+y-7=0, για τα οποία το εμβαδό του τριγώνου ΜΑΒ είναι 12.(τετραγωνικές μονάδες) 8.Θεωρούμε τα σημεία Α(1,4) και Β(3,-2). Να βρείτε τα σημεία Μ, για τα οποία ισχύουν : (ΜΑ)=(ΜΒ) και (ΜΑΒ)=

34 9.Δύο παράλληλες ευθείες απέχουν απόσταση ίση με 4 και 4 έχουν ως μεσοπαράλληλο την ευθεία ε:y= 6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών αυτών Δίνονται τα σημεία Α(1,-3) και Β(5,0).Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ)= Δίνονται τα σημεία Α(1,1),Β(-2,2) και Γ(λ+1,λ 2 +2), λ i)να αποδείξετε ότι για κάθε λ τα σημεία Α,Β,Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. ii)να βρείτε για ποιες τιμές του λ το τρίγωνο ΑΒΓ έχει 5 εμβαδόν ίσο με 2 12.Δίνεται η ευθεία: (2α+1)χ+(α-1)y+3=0. (1) i)να αποδείξετε ότι η (1) για κάθε τιμή του α παριστάνει ευθεία. ii)να δείξετε ότι για κάθε τιμή του α οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο Μ το οποίο να βρεθεί. iii)δίνεται η ευθεία ε:χ+5y-3=0.αν Α,Β είναι τα σημεία τομής της ε με ευθείες που προκύπτουν από την (1) όταν α=0 και α=-1 να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ΜΑΒ. 13.Δίνεται η ευθεία με εξίσωση (ε):x-y+1=0. Α)Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι συμμετρικές της (ε) ως προς τους άξονες χ χ καιy y και ως προς την αρχή των αξόνων Β)Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρική της (ε) ως προς το σημείο Α(1,3)

35 Π.14.Έστω τα σημεία (1, 3) Β(2,0) (3,3 3) α)να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων,. β)να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Π.15.Έστω η εξίσωση ε(2λ+1)χ-(2+λ)ψ+1-λ=0, α)να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε β)να βρείτε την τιμή του λ ώστε η απόσταση του σημείου Β(2,1) από την ευθεία ε να είναι 1. Π.16.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2),Β(3,-2) και Γ(1,4) και Μ το μέσο της ΑΒ.Να βρεθούν : α)η εξίσωση της πλευράς ΒΓ β)η εξίσωση του ύψους του από την κορυφή Α. γ)το εμβαδόν του τριγώνου ΒΜΓ. Π.17.Έστω οι ευθείες (ε 1 ):y=2x και (ε 2 ):y=x με y>0 και ( ) ( ) που τέμνει την (ε 1 ) στο Β και την (ε 2 ) στο 2 Α έτσι ώστε (ΑΒ)= 2. Να βρεθεί: α)η εξίσωση της (ε) β)το εμβαδόν του ΟΑΒ γ)η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Ο,Α,Β Π.18.Δίνονται τα σημεία Α(2,3) Β(4,5) Γ(μ+κ+1,μ+κ+3) α)να βρείτε την εξίσωση της ΑΒ. β)δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ είναι η ευθεία (ε): y=x+2. γ)βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε) δ)βρείτε το πλησιέστερο σημείο της (ε) στο Α

36 Π.19.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-1,-2),Β(3,2) και Γ(1,4).Να βρείτε: Α)Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ Β)Την εξίσωση του ύψους που φέρνουμε από την κορυφή Β Γ)Την εξίσωση της διαμέσου που φέρνουμε από την κορυφή Α Δ)Την εξίσωση της μεσοκαθέτου ΑΒ. Ε)Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. 2 2 Π.20. Δίνεται η εξίσωση x y 2xy 4x 4y 3 0 (1) Α)Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει τις παράλληλες ευθείες ε 1 :y=x-1 και ε 2 : y=x-3. Β)Να σχεδιάσετε τις ε 1 και ε 2 Γ)Να βρείτε την απόσταση των ε 1 και ε 2. Δ)Να υπολογίσετε το εμβαδό του τραπεζιου που σχηματίζεται από τις ε 1,ε 2 και τους άξονες χ χ και y y. Π.21.Δίνονται τα σημεία Α(1,3) και Β(-1,5) Α)Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ είναι y=x+4. Γ)Έστω Γ(-κ,κ),με κ πραγματικό αριθμό,σημείο της παραπάνω μεσοκαθέτου.να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Π.22.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2),Β(4,2) και Γ(3,-2) Α)Να βρείτε το μέσο Ε του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Β)Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ. Γ) Να βρείτε σημεία Μ(x,y) της ΒΕ που σχηματίζουν το τρίγωνο ΜΒΓ που έχει εμβαδό ίσο με

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 06 12 2014)

(Έκδοση: 06 12 2014) (Έκδοση: 06 04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 04 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 Α ίνονται τα διανύσµατα á, â, x, y 1 για τα οποία ισχύουν: x+ â = y+ á και 11 y+ 11 â = á x Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) .Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα. Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα