ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ."

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο

2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση ονομάζεται μία αντιστοίχιση δύο μεταβλητών χ, y, όπου για κάθε τιμή του χ αντιστοιχεί μόνο μία τιμή του y. Μία συνάρτηση μπορούμε να τη συμβολίζουμε με όποιο γράμμα θέλουμε είτε Αγγλικό είτε Ελληνικό, π.χ. f, g, h, F, G, H, φ κτλ. χ: ανεξάρτητη μεταβλητή y: εξαρτημένη μεταβλητή με π.χ. Έστω η συνάρτηση: f(χ)=3χ-1 για χ=1 έχουμε f(1)=3.1-1=3-1=2 άρα y=2 άρα προκύπτει το ζεύγος (1,2) για χ=2 έχουμε f(2)=3.2-1=6-1=5 άρα y=5 άρα προκύπτει το ζεύγος (2,5) κ.ο.κ. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A. Οι τιμές των χ, που βάζουμε μέσα σε κάθε συνάρτηση ανήκουν σε ένα σύνολο που θα το λέμε Πεδίο Ορισμού (Π.Ο.) Αν η συνάρτηση είναι πολυωνυμική το Π.Ο. της είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών το. Π.χ. Αν Αν η συνάρτηση είναι ρητή (κλασματική) το Π.Ο. της είναι το σύνολο που προκύπτει από τον περιορισμό : παρανομαστής Π.χ. Αν Θυμήσου ότι το δεν ορίζεται αφού έχει μηδέν στον Σελίδα 1 παρονομαστή.

3 Αν η συνάρτηση είναι άρρητη (έχουμε ρίζα με υπόριζο κάποια έκφραση του χ ) το Π.Ο. της είναι το σύνολο που προκύπτει από τον περιορισμό : υπόριζο Π.χ. Αν Άρα το χ Θυμήσου ότι το δεν ορίζεται αφού έχει αρνητικό υπόριζο. Αν η συνάρτηση είναι λογαριθμική ( lng(χ) ) το Π.Ο. της είναι το σύνολο που προκύπτει από τον περιορισμό : g(x) Π.χ. Αν Άρα το, Δ=1>0, χ Θα δούμε παρακάτω ότι το ln(-1) δεν ορίζεται αφού έχει μη θετικό αριθμό μέσα του. B. Τα αποτελέσματα y μιας συνάρτησης που προκύπτουν για τις διάφορες τιμές του χ ανήκουν σε ένα σύνολο που θα το ονομάζουμε Σύνολο Τιμών (Σ.Τ.) Σελίδα 2

4 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όπως είπαμε πιο πάνω μία συνάρτηση π.χ. f συσχετίζει δύο αριθμούς χ, y=f(x), οπότε παράγεται ένα ζεύγος αριθμών (χ,y) ή (χ,f(x)) που αντιστοιχεί σε ένα σημείο Α(χ,y) ή Α(χ,f(x)) του επιπέδου. To σύνολο όλων αυτών των σημείων, που προκύπτουν για τις διάφορες τιμές των χ, ονομάζεται Γραφική Παράσταση της f. Προφανώς ένα σημείο Α(κ,λ) θα ανήκει στη Αλλιώς μπορούμε να γράψουμε : Α(κ,λ) αν και μόνο αν f(κ)=λ f(κ)=λ Για να βρούμε που η τέμνει τους άξονες κάνουμε τα εξής: Για τον χ χ θέτω όπου y=0 δηλ. λύνω την εξίσωση f(χ)=0 οπότε προκύπτει π.χ. το χ=m και το χ=d άρα η τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία Α(m,0), G(d,0). Για τον y y θέτω όπου x=0 δηλ. βρίσκω το y=ρ άρα η τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0,ρ). Βλέποντας την παραπάνω γραφική παράσταση καταλαβαίνουμε ότι: Η ανίσωση f(x)>0 αντιστοιχεί στα κομμάτια της πάνω από τον χ χ άρα. Η ανίσωση f(x)<0 αντιστοιχεί στα κομμάτια της κάτω από τον χ χ άρα. Η εξίσωση f(x)=0 αντιστοιχεί στα σημεία της χ χ άρα., που είναι, που είναι, που τέμνει τον Σελίδα 3

5 Πριν προχωρήσω στις ασκήσεις θα ήθελα να αναφέρω τα βασικά σημεία της Εκθετικής και Λογαριθμικής Συνάρτησης. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αρχικά θα θυμηθούμε τις ιδιότητες των δυνάμεων ΟΡΙΣΜΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ,, ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση ονομάζεται εκθετική συνάρτηση. Το Π.Ο. είναι όλο το. Το Σ.Τ. είναι το. Για τη γραφική της παράσταση διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν τότε η γραφική παράσταση είναι : Αν τότε η γραφική παράσταση είναι : Η είναι στο Έχει ασύμπτωτο (τον πλησιάζει αλλά δεν τον τέμνει) άξονα τον θετικό ημιάξονα των χ. Η είναι στο Έχει ασύμπτωτο (τον πλησιάζει αλλά δεν τον τέμνει) άξονα τον αρνητικό ημιάξονα των χ. Σελίδα 4

6 Π.χ. f(χ)= { f(χ)= { ( ) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η εκθετική συνάρτηση f(χ)=, όπου e=2,718. f(χ)= { Πριν αναφέρω την λογαριθμική συνάρτηση, θα πω δυο λόγια για τον ορισμό του λογαρίθμου. ΟΡΙΣΜΟΣ Λογάριθμος του θ>0 με βάση το α, ονομάζεται ένας αριθμός, που θα τον συμβολίζουμε με και ισχύει : Π.χ. Άρα Άρα Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει ο λογάριθμος με βάση το e=2,718, τον οποίο θα τον συμβολίζουμε με, δηλ.. Σελίδα 5

7 Πάμε, όμως, τώρα να δούμε μερικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα τις παρουσιάσω με τους λογάριθμους που έχουν βάση το e=2,718, δηλ. με το lnθ. Βέβαια ισχύουν και για τους λογαρίθμους με άλλες βάσεις. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση συνάρτηση. ονομάζεται λογαριθμική Το Π.Ο. είναι το. Το Σ.Τ. είναι όλο το. Για τη γραφική της παράσταση διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν τότε η γραφική παράσταση είναι : Αν τότε η γραφική παράσταση είναι : Η είναι στο Έχει ασύμπτωτο (τον πλησιάζει αλλά δεν τον τέμνει) άξονα τον θετικό ημιάξονα των y. Η είναι στο Έχει ασύμπτωτο (τον πλησιάζει αλλά δεν τον τέμνει) άξονα τον αρνητικό ημιάξονα των y. Σελίδα 6

8 Επειδή η πιο πάνω θεωρία μπορεί να σας φάνηκε λίγο δύσκολή, πάμε να δούμε μερικές εφαρμογές, οι οποίες όμως είναι η ουσία και πρέπει να τις καταλάβετε καλά. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Στις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε τις τιμές : f(-2), f(-1), f(0), f(1). α. β. { ΛΥΣΗ α. β. Αφού χ=-2<0 τότε θα πάρουμε τον κάτω κλάδο της f που ορίζεται για χ<0, δηλ. Αφού χ=-1<0 τότε θα πάρουμε τον κάτω κλάδο της f που ορίζεται για χ<0, δηλ. Αφού χ=0 τότε θα πάρουμε τον πάνω κλάδο της f που ορίζεται για χ άρα και χ=0, δηλ. Αφού χ=1 τότε θα πάρουμε τον πάνω κλάδο της f που ορίζεται για χ, δηλ. Σελίδα 7

9 ΑΣΚΗΣΗ 2 η Στις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε τα Π.Ο. τους. α. Λύνεται με σχήμα Horner β. γ. δ. ΛΥΣΗ (ΔΕΣ ΤΑ ΛΥΜΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΙΟ ΠΑΝΩ ) Σελίδα 8

10 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δίνεται η συνάρτηση, όπου. Να βρεθεί : α. Η τιμή του λ ώστε το σημείο Α(1,3). β. Η τιμή του κ ώστε το σημείο Β(κ,15). γ. Που η τέμνει τους άξονες. δ. Για ποια χ η είναι πάνω από τον χ χ. ε. Για ποια χ είναι κάτω από τον χ χ. στ. Για ποια χ η είναι πάνω από την με ζ. Για ποια χ η είναι κάτω από την με α. Α(1,3) ΛΥΣΗ β. Β(κ,15) α=1, β=-6, γ=7 = { γ. Για να βρω που η τέμνει τον χ χ λύνω την εξίσωση f(x)=0 α=1, β=-6, γ=8 = { Σελίδα 9

11 Η τέμνει τον χ χ στα σημεία Γ(4,0) και Δ(2,0) Για να βρω που η τέμνει τον y y θέτω χ=0, στην f Η τέμνει τον y y στo σημείo E(0,8). δ. Για να βρω για ποια χ η είναι πάνω από τον χ χ λύνω την ανίσωση: (Μία ανάλογη ανίσωση είναι λυμένη στη σελ. 3, διαβάστε την και προσπαθήστε να τη λύσετε. ) ε. Για να βρω για ποια χ η είναι κάτω από τον χ χ λύνω την ανίσωση: Σελίδα 10

12 στ. Για να βρω για ποια χ η είναι πάνω από την λύνω την ανίσωση: ζ. Για να βρω για ποια χ η είναι κάτω από την λύνω την ανίσωση: Σελίδα 11

13 ΑΣΚΗΣΗ 3 η (Και τώρα μια δύσκολη ) Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β στις παρακάτω περιπτώσεις: α. fx αln x 2β με x 0 όταν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία (1,6) και (e,-3). β. 2 g x αx 2,x 3 β 2α 1,x 3 όταν g(3) 2g( 1) 4 γ. hx x 2 3α, 2 x 8 όταν η γραφική παράσταση β x 2, x9 της h(x) διέρχεται από τα σημεία Λύση 2 (2,α 2) και (9,11α) Περιμένω απορίες στο : Σελίδα 12

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α.

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; y = x. εξαρτάται από το α. BAΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a / x. Πεδιο Ορισμου: Α = =(-,0) (0, + ) (αφου πρεπει x 0) * 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον;. Aν α, θετικοι. Συνολο Τιμων: f(α) = (αφου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Η : A έχει: ) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία 0 τ.µ.τ. όταν lim ± ή lim ± ή lim ± ( ηλαδή η ευθεία 0 0 + 0 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( )

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( ) . Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις-Ανισώσεις. Δείκτες επιτυχίας: Τι θα μάθουμε: Περιεχόμενα Ενότητας. Αναπαριστούν γραφικά τη συνάρτηση

Εξισώσεις-Ανισώσεις. Δείκτες επιτυχίας: Τι θα μάθουμε: Περιεχόμενα Ενότητας. Αναπαριστούν γραφικά τη συνάρτηση ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Συνάρτηση f(x) = ax 2 + βx + γ Ενδεικτικός Προγραμματισμός 23 περίοδοι Εξισώσεις-Ανισώσεις Δείκτες επιτυχίας: Αναπαριστούν γραφικά τη συνάρτηση y = ax 2 + βx + γ και αναγνωρίζν πώς προκύπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα