ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9

2 40

3 4

4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4

5 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ), iv) (α β ) 4 α α α β, για α, β.. Να βρείτε την αριθµητική τιµή της παράστασης : α β ( α γ) γ β 0, β 5, γ., για α. Nα εκφράσετε µε µια αλγεβρική παράσταση την περίµετρο Τ του διπλανού τριγώνου και µετά να βρείτε την αριθµητική τιµή της για α 0,7 0, β 0,5 0, γ 0,4 0. (Οι τιµές που δίνονται εκφράζουν m). γ α β 4. Να γίνουν οι πράξεις. i) 0,α 4,α 4α - α 4 ii) y y y y iii) (4 yω ) ( y) ω iv) (90α 5 β 4 γ):(0α 5 βγ) v) (-)()(-) vi) -( -) (-)-(-). 5. Να γίνουν οι πράξεις. i) ( -y4y )(y) ii) ( )( -) iii) (6α β -α β -αβ 4 ):(-αβ) iv) (4 7 y 8 6 y 4-4 y 6 ):(- 4 y ) v) (λ -κ) κ(λκκ )(-λ)(λκ)(-λκ)-(λ) κ. 6. Να γίνουν οι πράξεις. [7 (y-)-(yy )] - [y( )-(y -y)] [ 7 y(yy)]. 7. ίνονται τα πολυώνυµα Α() 4 -, B() -, Γ() -. Να βρείτε τα: i) Α()-B() Γ() ii) Β() [Γ() - A()]. 8. Σε ένα τεχνικό µνηµόνιο διαβάζουµε ότι: α) Το βάρος Β (σε gr) ενός µπρούντζινου δίσκου που έχει διάµετρο δ cm και πάχος cm δίνεται από τον τύπο Β 6,8δ.

6 44 β) Το βάρος Β (σε gr) µιας σφαίρας από µολύβι µε διάµετρο δ cm δίνεται από τον τύπο Β 5,9δ. Να υπολογίσετε το βάρος ενός µπρούντζινου δίσκου που έχει διάµετρο 9cm µε πάχος cm και το βάρος µιας µολυβένιας σφαίρας µε διάµετρο 6cm. 9. ίνεται το πολυώνυµο P() Να υπολογίσετε το γινόµενο P(-) P(). 0. Να βρείτε την αριθµητική τιµή του πολυωνύµου Κ(α,β) α β -αβ 4α -β για α - και β -.. Στο διπλανό σχέδιο οι τελίτσες είναι κορυφές ίσων τετραγώνων. Να βρείτε ένα µονώνυµο µε µεταβλητή το που να παριστάνει την περίµετρο του σχήµατος µε την έντονη γραµµή.. Μέσα σε ένα χάρτινο κουτί σε σχήµα κύβου µε ακµή έχουµε βάλει 4 ξύλινα µικρά κυβάκια, ίσα µεταξύ τους, µε ακµή y. Να βρείτε ένα πολυώνυµο που να παριστάνει τον άδειο χώρο του κουτιού. y. Να κάνετε τις πράξεις: i) ()(-) - (-) ii) ( -) -( ) iii) (-) -(-)( ) - () 4. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: i) ( ) ii) (... - y)(...) iii) (... y)... y6y... iv) (y...)(... -y...) Αν -y, τότε η παράσταση - y ισούται µε: i) ii) y iii) -y ιv) 0 v) y (κύκλωσε τη σωστή απάντηση). 6. α) Παρατηρήστε τις ισότητες: -, - 5, 4-7, Τι συµπέρασµα βγάζετε από αυτές;

7 45 β) Μπορείτε να βρείτε τη διαφορά , χωρίς να υπολογίσετε τις δυνάµεις ; γ) Να διατυπώσετε ένα ισχυρισµό (µια εικασία) για τη διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών ακεραίων. δ) Να αποδείξετε τον ισχυρισµό που διατυπώσατε. 7. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: i) d 4-6 (d 4)(d)(d-) ii) d 6 -(d -d)(d d)(d-)(d) iii) 8δ (δ)(4δ -δ) 8. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i) α β (αβ) - αβ ii) (αβγ) α β γ αβαγβγ iii) (α β ) (α -β ) (αβ) iv) (α β )( y ) - (αβy) (αy - β) v) (υ ω ) - (ω υ ) (ω υ ) (ω υ ). 9. Να αποδείξετε ότι: Αν αβ 0, τότε α β Αν α, β θετικοί και αβ αβ, να αποδείξετε ότι α β αβ.. Αν α 5 και β 5 -, να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή της παράστασης 5α 8αβ β.. Να αποδείξετε ότι: Αν αβ -, τότε α β αβ.. Αν α β να υπολογίσετε τις αριθµ.τιµές των παραστάσεων: β α α β i) ( ) ( ) α β ii) ( ) ( ). β α β α 4. Το οικόπεδο του διπλανού σχήµατος αποτελείται από δύο τετράγωνα µε πλευρές α και β αντιστοίχως. Αν γνωρίζετε ότι αβ49m και αβ550m, να βρείτε πόσα m είναι η έκταση ολόκληρου του οικοπέδου. 5. Έστω >0 και ( των παραστάσεων και ) 5..α) Να βρείτε τις αριθµητικές τιµές. α β β) Να αποδείξετε ότι 5 6. Να χρησιµοποιήσετε τη µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο για να αποδείξετε ότι: i) Αν α β 0 τότε ισχύει α0 και β0 ii) Αν α β 0 τότε ισχύει α0 και β0.

8 46 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Αν πολλαπλασιάσουµε τα πολυώνυµα y και y-, θα βρούµε το πολυώνυµο y- y -y. Έτσι έχουµε: y- y -y ( y) (y-), δηλαδή το πολυώνυµο y- y -y µπορούµε να το γράψουµε ως γινόµενο άλλων πολυωνύµων. Η µετατροπή ενός πολυωνύµου σε γινόµενο άλλων πολυωνύµων λέγεται παραγοντοποίηση του πολυωνύµου. Το πρόβληµα της παραγοντοποίησης ενός πολυωνύµου είναι το αντίστροφο του προβλήµατος του πολλαπλασιασµού των πολυωνύµων. Τονίζουµε ότι: α) Υπάρχουν πολυώνυµα που δεν παραγοντοποιούνται. β) Η διαδικασία της παραγοντοποίησης θεωρείται ολοκληρωµένη, όταν κανένας από τους παράγοντες του γινοµένου που βρήκαµε δε συνεχίζει να παραγοντοποιείται. Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου ή µιας αλγεβρικής παράστασης, εφόσον γίνεται, µας διευκολύνει στο να γράφουµε πιο απλά τις αλγεβρικές παραστάσεις, να λύνουµε εξισώσεις και ανισώσεις, να απλοποιούµε αλγεβρικά κλάσµατα, να εκτελούµε πιο σύντοµα πράξεις και να αποδεικνύουµε διάφορες προτάσεις. Γι αυτό και είναι µια πολύ χρήσιµη διαδικασία στην Άλγεβρα. Στο Γυµνάσιο είχαµε µάθει τις σπουδαιότερες περιπτώσεις παραγοντοποίησης, τις οποίες επαναλαµβάνουµε µε παραδείγµατα. Παραδείγµατα..i) y y y ii) yy y Λύση: i) Όλοι οι όροι της παράστασης έχουν κοινό παράγοντα το y (είναι οι κοινοί παράγοντες µε το µικρότερο εκθέτη). Έτσι, y y y y ( y). ii) Η παράσταση έχει κοινούς παράγοντες κατά οµάδες. Έτσι,. i) 4 - y 4 ii) (-y) - y. Λύση: yy y (y)y (y)(y)( y ). Εφαρµογή της ταυτότητας «διαφορά δύο τετραγώνων» i) 4 -y 4 ( -y )( y )(y)(-y)( y ), ii) (-y) -y [(-y)y][(-y) -y] (-y-y) (-y).. i) 4 yy ii) 8. Λύση: i) Εφαρµογή της ταυτότητας «τετράγωνο αθροίσµατος». 4 yy ( ) yy ( y). ii) Εφαρµογή της ταυτότητας «άθροισµα κύβων». 8 () ()[() - ]()(4 -). 4. i) 4-4 y4y - ω ii) -0 iii) d - d -. Λύση:

9 47 i) 4-4 y4y -ω ( 4-4 y4y )-ω ( -y) -ω ( -yω)( -y-ω). ii) (διάσπαση όρου). (5) - (5) (5)(-) iii) d -d - d -dd - d(d -)(d -) (d -)(d). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: ι) -6 yy ii) -y iii) ( -9) - () iv) () - (5) v) () -- vi) ( -)( -).. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i) (-)(-)-(-6)- ii) y--y iii) 5y-y-56 iv) 8(-) -4(-5) v) -y - 4 y.. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυµα P() -, Q() -6, F() --, Φ()

10 48 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Στις πράξεις µε κλασµατικές παραστάσεις ισχύουν οι γνωστοί κανόνες των πράξεων µε αριθµητικά κλάσµατα. Υπενθυµίζουµε ότι: α) Η µεταβλητή ή οι µεταβλητές σε µια κλασµατική αλγεβρική παράσταση δεν µπορεί να πάρουν τιµές που µηδενίζουν τον παρονοµαστή της. β) Για να απλοποιήσουµε µια κλασµατική αλγεβρική παράσταση, πρέπει πρώτα να παραγοντοποιήσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή της. γ) Για να προσθέσουµε ή αφαιρέσουµε κλασµατικές αλγεβρικές παραστάσεις, πρέπει πρώτα να τις µετασχηµατίσουµε έτσι, ώστε να έχουν τον ίδιο παρονοµαστή. Στα παραδείγµατα που ακολουθούν φαίνεται ο τρόπος που γνωρίσαµε στο Γυµνάσιο και µε τον οποίο κάνουµε πράξεις στις κλασµατικές αλγεβρικές παραστάσεις. Παραδείγµατα 8 y. Να απλοποιηθεί το κλάσµα: 4 4y y. Λύση: 8 y (4 y )(y)(y) 4 4yy () yy (y) Έτσι: 4 8 y 4y y ( y) ( -y) ( y)( y) ( -y) Τρέπουµε σε γινόµενα τους όρους του κλάσµατος. Απλοποιούµε το κλάσµα µε το -y, που είναι ο Μ.Κ.. των όρων του.

11 49. Να κάνετε τις πράξεις: 50 7 : 5. Λύση: : ( 50)( ) ( 7)( 5) Αντιστρέφουµε το o κλάσµα και κάνουµε πολ/σµό Είναι: 50( 5)(5)(5) 7 ()( 9) Παραγοντοποίηση Άρα: ( 50)( ) ( 7)( 5) ( 5)( 5)( ) ( )( 9)( 5) ( 5) 9.. Να κάνετε τις πράξεις: Λύση: (), (), (). Παραγοντοποιούµε τους παρονοµαστές ΕΚΠ : () Σχηµατίζουµε το γινόµενο που αποτελείται από τους κοινούς και µη κοινούς παράγοντες µε τον µεγαλύτερο εκθέτη. Αυτό είναι το ΕΚΠ των παρονοµαστών.

12 50 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) Βρίσκουµε τα πηλίκα του γινοµένου αυτού µε καθένα παρονοµαστή. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Πολ/ζουµε τους όρους κάθε κλάσµατος µε το αντίστοιχο πηλίκο. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Προσθέτουµε τα οµώνυµα κλάσµατα

13 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να κάνετε τις πράξεις: y : y y.. Αν A y -t y και Β -y yt-t, να απλοποιήσετε το κλάσµα B A.. Αν A και Β, να απλοποιήσετε την παράσταση B A A B. 4. Να κάνετε τις πράξεις: i), ii) ( ) y y y, iii) y y y y y y iv) ( ) : 5. Να υπολογίσετε την αριθµ. τιµή της παράστασης: 6 4 για 0,4.

14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5

15 5

16 54

17 Εξισώσεις δευτέρου βαθµού. 55

18 56

19 57 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

20 58 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ-ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Ας πάρουµε τη σχέση - 5 > 0. Αν βάλουµε στη µεταβλητή την τιµή 6, θα δούµε ότι η σχέση αληθεύει, δηλαδή γίνεται µια σωστή αριθµητική ανισότητα. Το 6 όµως δεν είναι η µοναδική τιµή του, για την οποία αληθεύει η -5>0. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι αυτή αληθεύει για κάθε τιµή του που είναι µεγαλύτερη από το 5. ηλαδή η -5>0 αληθεύει, όταν >5. Το σύνολο όλων αυτών των αριθµών που είναι µεγαλύτεροι από το 5, το παριστάνουµε γραφικά πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, όπως στο διπλανό σχέδιο. Τέτοιες ανισότητες µε µια µεταβλητή, στις οποίες ζητάµε τις τιµές της µεταβλητής τους, ώστε να αληθεύουν, λέγονται ανισώσεις µε έναν άγνωστο. Ο άγνωστος της ανίσωσης είναι η µεταβλητή της. Το σύνολο των τιµών του αγνώστου για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση λέγεται σύνολο λύσεων αυτής και µπορούµε να το γράψουµε µε τη µορφή ενός διαστήµατος ή να το παραστήσουµε γραφικά στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης -5>0 είναι το διάστηµα (5, ) Αν σε µια ανίσωση δεν υπάρχουν τιµές του αγνώστου που να την επαληθεύουν τότε λέµε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη. Π.χ η ανίσωση 0 > είναι αδύνατη. Ανισώσεις που έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων λέγονται ισοδύναµες. Η ανίσωση που µπορεί να γραφεί µε τη µορφή α β > 0 ή α β < 0, όπου ο άγνωστος και α, β σταθεροί αριθµοί (που δεν εξαρτώνται από το ), λέγεται ανίσωση α βαθµού µε έναν άγνωστο. Ας πάρουµε τις ανισώσεις >0 και -<0. Tα σύνολα λύσεων αυτών είναι αντιστοίχως τα διαστήµατα (-, ) και (-,). Παρατηρούµε ότι οι ανισώσεις αυτές έχουν κοινές λύσεις τους αριθµούς που είναι ανάµεσα στο - και στο. ηλαδή, το σύνολο των κοινών λύσεων είναι το διάστηµα (-,). Λέµε τότε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για τις τιµές του που είναι: - < < (διπλή ανισότητα). Το - διπλανό σχήµα δείχνει γραφικά τη συναλήθευση των δύο ανισώσεων. Για να λύσουµε µια ανίσωση, χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες των ανισοτήτων και κάνουµε πράξεις, -<<

21 59 ώστε τελικά να βρούµε µια απλή ανίσωση ισοδύναµη µε την αρχική, από την οποία να προκύπτει εύκολα το σύνολο λύσεων. Η διαδικασία επίλυσης της πρωτοβάθµιας ανίσωσης µοιάζει µε αυτή της πρωτοβάθµιας εξίσωσης (απαλοιφή παρονοµαστών, χωρισµός γνωστών και άγνωστων όρων, αναγωγή οµοίων όρων, διαίρεση µε το συντελεστή του αγνώστου). Κατά την επίλυση των ανισώσεων πρέπει να θυµόµαστε ότι, όταν ο συντελεστής του αγνώστου είναι αρνητικός αριθµός και διαιρούµε τα µέλη της µε αυτόν, πρέπει να αλλάζουµε φορά στην ανίσωση. Παραδείγµατα. Να λυθεί η ανίσωση ΛΥΣΗ Απαλοιφή παρονοµαστών (Πολ/ζουµε τα µέλη µε το 70) 7 4(-) - 5() Πράξεις Χωρίζουµε γνωστούς από άγνωστους Αναγωγή οµοίων όρων - 89 ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι το διάστηµα (-,-6].. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων i) ( ) 5>(5 6) και ii) 5()> ΛΥΣΗ 4 7 Λύνουµε τις ανισώσεις i) και ii) και διαδοχικά έχουµε: i) ( - )- 5>(5-6) -6-5> >0- >7. ii) 5()> ()> 4-7 ή 045> > ή 6>- 5 >- Το διάστηµα που συναληθεύουν είναι το (7, ) και αποδίδεται γραφικά µε το διπλανό σχήµα. - 7

22 60 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν στο διάστηµα λύσεων µιας ανίσωσης περιλαµβάνεται και άκρο του διαστήµατος, τότε το αντίστοιχο σηµείο του άξονα θα έχει «µαύρη τελεία». Σε αντίθετη περίπτωση θα έχει «άσπρη». ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν για τους αριθµούς α και β ισχύει -<α< και -<β<, να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις: i) αβ, ii) α-β, iii) αβ.. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 4()-5>-7(6) ii) - 4() -5 iii) 5(4) -.. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) (α) (α4) 8<5(α) (α) ii) β(5β) 6(β) (β). 4. Να βρείτε το σύνολο λύσεων των ανισώσεων: i) ( ) < ii) < Να συµπληρώσετε τον πίνακα:. 5 ιάστη µα (,) [,] Ανισότη τα > <,5 Γραφική παράστ

23 6 6. Να βρείτε για ποιες τιµές του συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5( ) < και 7 > Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5 (4) - (6) - και 6 (). 7. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5-45 και µετά να βρείτε το πρόσηµο της αριθµητικής τιµής της για κάθε που είναι - < <. 9. Τα µήκη των πλευρών α και β των τετραγώνων του διπλανού σχήµατος είναι < α < και < β <. Να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχεται το εµβαδό του σχήµατος. α β 0. Να βρείτε τις τιµές του, για τις οποίες ισχύει: i) -6 < - () < - ii) (-) -.

24 6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Εκτός από τις εξισώσεις µε έναν άγνωστο, υπάρχουν και εξισώσεις µε δύο ή και µε περισσότερους αγνώστους. Η y0 είναι µια εξίσωση που έχει δύο αγνώστους, το και το y. Αυτή η εξίσωση επαληθεύεται µε τις τιµές και y9. Γι αυτό το διατεταγµένο () ζεύγος (,y)(,9) λέµε ότι είναι λύση της. Αυτή δεν είναι η µοναδική λύση της εξίσωσης, γιατί, αν βάλουµε στο την τιµή και λύσουµε ως προς y, θα βρούµε y8, δηλαδή και το διατεταγµένο ζεύγος (,y)(,8) είναι λύση της εξίσωσης. Έτσι µπορούµε να βρούµε άπειρες λύσεις της εξίσωσης. Αυτό δε σηµαίνει ότι η y0 είναι µια ταυτότητα, γιατί η ισότητα αυτή δεν επαληθεύεται για οποιεσδήποτε τιµές των µεταβλητών της. Π.χ. το ζεύγος (,y)(,5) δεν την επαληθεύει. Γενικά: Η εξίσωση που µπορεί να γραφεί µε τη µορφή αβyγ, όπου και y άγνωστοι και α,β,γ σταθεροί αριθµοί (που δεν εξαρτώνται από τα,y), λέγεται εξίσωση α βαθµού µε δύο αγνώστους (). ύο εξισώσεις της παραπάνω µορφής, για τις οποίες θέλουµε να βρούµε τις κοινές τους λύσεις π.χ. y και 5y4, λέµε ότι αποτελούν ένα σύστηµα α βαθµού δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (ή αλλιώς, ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους). Αν δεν υπάρχουν κοινές λύσεις αυτών των εξισώσεων, λέµε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο, ενώ αν όλες οι λύσεις της µιας είναι και λύσεις της άλλης, λέµε ότι είναι αόριστο. Συστήµατα που έχουν τις ίδιες λύσεις λέγονται ισοδύναµα. Στο Γυµνάσιο µάθαµε να λύνουµε τέτοια συστήµατα και είδαµε ότι αυτά ή θα έχουν µία µόνο λύση ή θα είναι αδύνατα ή θα είναι αόριστα. Παρακάτω υπενθυµίζουµε τις δυο βασικότερες µεθόδους που χρησιµοποιούµε για την αλγεβρική επίλυση του πρωτοβάθµιου συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Με τις µεθόδους αυτές µετατρέπουµε το σύστηµα σε άλλο ισοδύναµο και απλούστερο, από το οποίο προκύπτουν εύκολα οι λύσεις. () ιατεταγµένο λέγεται το ζεύγος στο οποίο έχουµε ορίσει ποιο στοιχείο του γράφεται πρώτο και ποιο δεύτερο. () Λέγεται και γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους

25 6 Μέθοδος της αντικατάστασης Λύνουµε τη µια εξίσωση (την απλούστερη) ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούµε στην άλλη. Προκύπτει έτσι µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. y 4 () 50y 47 () 4-y 50y 47 4-y 5(4-y)0y 47 Λύνουµε την () ως προς. Έχουµε 4-y Αντικαθιστούµε το µε το ίσο του 4-y στην άλλη εξίσωση Λύνουµε τη δεύτερη εξίσωση, που είναι α βαθµού µε άγνωστο το y. Έχουµε: 70-5y0y47 ή -5y47-70 ή -5y- ή y 5 4,6 4-y y 4,6 Αντικαθιστούµε την τιµή του y που βρήκαµε στην άλλη εξίσωση. 4-4,6 4-,8 0, y 4,6 Άρα, η λύση του συστήµατος είναι (,y) (0,, 4,6) (Σηµείωση: Η µέθοδος της αντικατάστασης µπορεί να εφαρµοστεί και σε συστήµατα που δεν είναι γραµµικά) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων µε κατάλληλους αριθµούς, ώστε να γίνουν αντίθετοι οι συντελεστές ενός αγνώστου, και προσθέτουµε κατά µέλη. Προκύπτει έτσι µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. 5 y () -5y 4 () Πολλ/ζουµε τα µέλη της () µε το 5 και της () µε το, για να γίνουν αντίθετοι οι συντελεστές του y

26 64 5(y) 5 (-5y) 4 Κάνουµε τις πράξεις (Επιµεριστική ιδιότητα) 50y 5 6-0y 8 Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις (Ιδιότητα στις ισότητες). Βρίσκουµε: 0y ή Αντικαθιστούµε µια από τις εξισώσεις π.χ. την πρώτη µε την 6-0y 8 ή 6-0y 8 Θέτουµε στη δεύτερη όπου το 6-0y 8 Λύνουµε τη δεύτερη εξίσωση, που έχει µοναδικό άγνωστο το y. 8-0y8 ή -0y8-8 ή -0y0 ή y- y - Άρα η λύση του συστήµατος είναι (,y)(,-) (Για να δούµε αν σωστά λύθηκε το σύστηµα κάνουµε την επαλήθευση: Η πρώτη εξίσωση δίνει: (-)- και η δεύτερη -5(-)954. Βλέπουµε ότι επαληθεύονται και οι δύο, άρα, η λύση που βρήκαµε είναι σωστή)

27 65 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. ίνεται η εξίσωση: -y0. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη (,y) είναι λύσεις της; (Βάλτε στο πλαίσιο) (,4) (,) (,5) (, 6) (0,0) (8,). Το ζεύγος (,y) που επαληθεύει την εξίσωση ( - y ) 0 είναι: Α: (,0) Β: (-,) Γ: (0,0) : (0,-) Ε: (,). Το σύστηµα αβ 0 0αβ έχει λύση το ζεύγος (α,β) που ισούται µε: Α: (0,) Β: (,0) Γ: (0,0) : (,) Ε: (, ) 5. Να γράψετε µια εξίσωση α βαθµού µε έναν άγνωστο η οποία να είναι αδύνατη και µια άλλη που να έχει λύση κάθε πραγµατικό αριθµό. 6. Ποια είναι η γνώµη σας για τις λύσεις της κλασµατικής εξίσωσης ( ) 0 ; 7. Ποιές τιµές δεν µπορεί να πάρει η µεταβλητή d στον τύπο d K ; d 4 8. ίνεται η εξίσωση ()( )0. Να χαρακτηρίσετε µε Σ (σωστό) ή µε Λ (λάθος) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: i) Η εξίσωση είναι αδύνατη. ii) Ο αριθµός είναι λύση της. iii) Οι λύσεις της είναι οι αριθµοί 0 και.

28 66 iv) Η εξίσωση έχει τρεις λύσεις. v) Μόνο το 0 είναι λύση της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τα α και β γνωρίζοντας οτι: i) a β και αβ 8. Να λύσετε τα συστήµατα: ii) β 5 a και αβ 0. i) y 7 45y ii) 5y 8 4 y. Να λύσετε τα συστήµατα: i) y 6 ()(y) ii) y ()y 9y 8 iii) y (y) 0 4. Να λύσετε τα συστήµατα: i) (7y)4 9()5(y) ii) (φω)5(ωφ) (φω)(4ωφ)5 5. Να λύσετε το σύστηµα και να κάνετε επαλήθευση. y 4 y 6

29 67 6. Να λύσετε τα συστήµατα: i) y ii) y 0 y y 6 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παράδειγµα Αν ο Νίκος δώσει 00 δρχ στο Γιώργο, τότε ο Γιώργος θα έχει -πλάσια χρήµατα από το Νίκο. Αν ο Γιώργος δώσει 00 δρχ στο Νίκο, τότε ο Νίκος θα έχει -πλάσια χρήµατα από το Γιώργο. Πόσα χρήµατα έχει καθένας τους; ΛΥΣΗ Ας ονοµάσουµε δρχ τα χρήµατα του Νίκου και y δρχ τα χρήµατα του Γιώργου. Αν ο Νίκος δώσει τις 00 δρχ, θα του µείνουν -00 και ο Γιώργος θα έχει y00. Σύµφωνα µε την εκφώνηση του προβλήµατος, θα έχουµε την εξίσωση: (-00) y00 Αν ο Γιώργος δώσει τις 00 δρχ, θα του µείνουν y-00 και ο Νίκος θα έχει 00. Σύµφωνα µε την εκφώνηση, θα έχουµε την εξίσωση : 00 (y-00) Οι εξισώσεις που βρήκαµε σχηµατίζουν ένα γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους τα και y, που παριστάνουν θετικούς αριθµούς. (-00) y00 00 (y-00) Κάνουµε τις πράξεις, για να γράψουµε πιο απλά τις εξισώσεις, και λύνουµε τη δεύτερη ως προς -00 y00 00 y-400 ή -y 0000 y ή -y 400 y-600 ή (y-600)y400 y-600 5y 0 y-600 ή y 440 y-600 ή y Η λύση του συστήµατος είναι (,y)(80,440) και είναι δεκτή. Άρα, ο Νίκος είχε 80 δρχ και ο Γιώργος 440.

30 68 Παράδειγµα Να βρεθούν οι ποσότητες των υγρών που περιέχονται σε δυο δοχεία α και β, αν γνωρίζουµε ότι: i) Αν αυξηθεί κατά λίτρο το -πλάσιο της ποσότητας του α, θα βρούµε το 4-πλάσιο της ποσότητας του β. ii) Αν µειώσουµε κατά λίτρο το -πλάσιο της ποσότητας του β, θα βρούµε την ποσότητα του α. ΛΥΣΗ Έστω λίτρα η ποσότητα του α και y λίτρα η ποσότητα του β. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος, έχουµε τις εξισώσεις: 4y και y όπου,y είναι θετικοί αριθµοί. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων µε τη µέθοδο της αντικατάστασης, αφού η δεύτερη είναι ήδη λυµένη ως προς. 4y y - ή (y-)4y y - ή 6y-4y y - ή 6y-4y- y - ή y y - y y - ή y y - ή y - ή y Λύση (,y)(,) δεκτή. Άρα, τα δοχεία έχουν από λίτρο το καθένα. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε δύο αριθµούς που να έχουν άθροισµα 50 και διαφορά 4.. Η περίµετρος ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις και y είναι 6m. Αν το είναι µεγαλύτερο του y κατά m, να βρείτε πόσα µέτρα είναι κάθε διάσταση.. Θέλουµε να κόψουµε ένα χάλκινο σύρµα µε µήκος 0m σε δύο κοµµάτια, ώστε το µήκος του ενός να είναι τα / του µήκους του άλλου. Τι θα κάνουµε για να βρούµε το σηµείο τοµής; 4. Να βρείτε δύο θετικούς αριθµούς που η διαφορά τους είναι 4 και η διαίρεση του µεγαλύτερου µε το µικρότερο δίνει πηλίκο 4 και υπόλοιπο.

31 69 5. Οι τρεις τορναδόροι και οι πέντε βοηθοί τους σε ένα µηχανουργείο πληρώνονται µε 555 δρχ την ηµέρα. Αν το ηµεροµίσθιο του βοηθού είναι τα 5/8 του ηµεροµισθίου του τορναδόρου, πόσο είναι το ηµεροµίσθιο καθενός; (Οι τορναδόροι πληρώνονται µε το ίδιο ηµεροµίσθιο) 6. Το διπλανό σχήµα δείχνει έναν τροχό και έναν τροχίσκο που συµπλέκονται µεταξύ τους και έχουν απόσταση στους άξονές τους 60 mm. Το διπλάσιο της διαµέτρου του τροχίσκου είναι µικρότερο κατά 40 mm από τη διάµετρο του τροχού. Να υπολογίσετε τις ακτίνες του τροχού και του τροχίσκου Ένα ορθογώνιο µε µήκος cm και πλάτος y cm έχει περίµετρο 0cm. Αν µεγαλώσουµε το µήκος κατά y/ και µικρήνουµε το πλάτος κατά /4, η περίµετρος αυξάνει κατά cm. Να βρείτε το µήκος και το πλάτος του αρχικού ορθογωνίου. 8. Ένας έµπορος υφασµάτων, όταν θέλησε να πληρώσει την πρώτη δόση από τις οκτώ του φόρου του στην εφορία, σκέφτηκε πως αν πουλούσε ένα κοµµάτι ύφασµα προς 0δρχ το µέτρο, θα του έλειπαν ακόµα 00δρχ. Αν όµως το πουλούσε προς 400δρχ. το µέτρο, θα του περίσσευαν 000δρχ. Πόσα µέτρα ήταν το κοµµάτι αυτό και πόσος ολόκληρος ο φόρος; 9. ύο µαθητές Α και Β ξεκίνησαν από το ίδιο σηµείο Ο ενός δρόµου προς την ίδια κατεύθυνση µε ταχύτητα 60µέτρα το λεπτό ο Α και 75 µέτρα το λεπτό ο Β. Αν ο Α ξεκίνησε 4 λεπτά νωρίτερα από τον Β, να βρείτε σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν από τη στιγµή που ξεκίνησε ο Α και σε πόση απόσταση από το σηµείο Ο.

32 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν Να λύσετε τις παρακάτω πράξεις σύµφωνα µε τo παράδειγµα : 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 8 5 2 ' 5 ' 6 2 0 6 2 0 2 1 3 1 2 5 1 3, 7 5 1 8 6 0 = 4 6 5 0 4 3 4 0 = 3 1 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ.

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ. Παραγοντοποίηση του τριωνύµου αx + βx + γ (α ) ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου είναι µία από τις πιο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα